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5/28/2018 LA TEORA DE LA DISONANCIA.pdf

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LA TEORA DE LA DISONANCIAY LA AFINACIN EN LA OBRA

DEEL CLAVE BIEN TEMPERADODE J. S. BACH

SERGIO MARTNEZ RUIZRevista de Musicologa, Vol. XXVII, n 2 (2004), pp.895-931

Sociedad Espaola de Musicologa (SEDEM)Febrero de 2004


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LA TEORA DE LA DISONANCIA Y LA AFINACIN EN LAOBRA DEEL CLAVE BIEN TEMPERADODE J. S. BACH

Resumen: Partiendo de las teoras de la disonancia desarrolladas por autorescomo Helmholtz, Partch, Plomp, Levelt y Sethares, y haciendo uso de un software

apropiado, se ha realizado un estudio de la afinacin para la obra de El clave bientemperado de J. S. Bach, cuestin que ha sido discutida desde puntos de vista diferentes

por diversos musiclogos. Los resultados de este trabajo afirman que el temperamentode Kirnberger II constituye una afinacin bastante adecuada ya que con ella se consigueminimizar la disonancia de forma global para toda la obra estudiada.

Palabras clave: Acstica musical. Temperamento. Teora de la disonancia.Consonancia sensorial. Bach, Johann Sebastian,El clave bien temperado.

THE THEORY OF DISSONANCE AND TUNING IN THE WELL-TEMPERED CLAVIER BY J. S. BACH

Abstract: Based on the theories of dissonance developed by authors such asHelmholtz, Partch, Plomp, Levelt and Sethares, and by using the proper software, ananalysis has been done on tuning in The Well-tempered Clavierby J. S. Sebastian Bach,a matter that has been widely debated among a number of musicologists. The results ofthis study have demonstrated that the Kirnberger II well-temperament tuning is quiteadequate as it serves to minimize dissonance throughout the entire musical corpus understudy.

Keywords:Musical acoustics. Temperament. Theory of dissonance. Sensorialconsonance. Johann Sebastian Bach, The Well-tempered Clavier.

Este trabajo constituye parte de mi Proyecto Final de Carrera para la obtencin del ttulo deIngeniero Superior de Telecomunicaciones. El ttulo del proyecto es Desarrollo de un software para elestudio de aplicaciones del anlisis espectral en la musicologa histrica y la etnomusicologa y fue

presentado el da 17 de julio de 2003 en la Escola Tcnica Superior dEnginyeria de Telecomunicaci deBarcelona (ETSETB) de la Universitat Politnica de Catalunya (UPC).


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originales. Estos reforzamientos del sonido se perciben de forma diferente segn sufrecuencia de produccin.

La membrana basilar es la responsable de la sensacin de frecuencia que unaonda peridica produce en nuestro cerebro. Dependiendo de su frecuencia de vibracin,la onda sonora afecta a un punto determinado de esta membrana. Entonces, si una onda

est compuesta por una superposicin de diversos tonos puros, son varios los puntosque responden ante la perturbacin. En resumen, puede decirse que la membrana basilarfunciona como un analizador de espectros.

En consecuencia, cuando interfieren en el odo dos tonos de frecuencia similar,sus respuestas se superponen en la membrana basilar y se dice que estn en la misma

banda crtica. Experimentando con sonidos puros se ha comprobado que el conjunto defrecuencias audibles puede agruparse ms o menos en 24 bandas crticas. Cada una deellas abarca aproximadamente una longitud de 1,3 mm sobre la membrana basilar, loque equivale a unas 1300 neuronas o clulas conectadas al nervio auditivo.

Para una cierta frecuencia comprendida dentro del margen audible y que se tomecomo frecuencia central, su anchura de banda crtica12depende de su misma magnitud.

La anchura de banda crtica es prcticamente constante para frecuencias menores de 500Hz (aproximadamente, por debajo del Do 4) y, por encima de ese margen, aumenta deforma casi proporcional. El grfico de la Figura 113muestra claramente esa relacin.

La consecuencia que las bandas crticas tienen sobre la audicin de dos sonidospuros simultneos depende de la magnitud de la diferencia entre sus frecuencias:

1) Por debajo de los 10 Hz, los batidos producidos por la interferencia seperciben como reforzamientos del sonido. Dentro de este margen, estosbatidos se perciben lentos y de una forma apacible. Evidentemente,desaparecen si las dos frecuencias se igualan.

2) A partir de los 15 Hz, los batidos son demasiado rpidos y se percibenmezclados de una forma ms molesta. En este caso, los dos sonidos excitanla misma banda crtica y sus neuronas tienen que reaccionar a la vez

produciendo cierta confusin en el cerebro. Tal confusin se percibe comouna aspereza14en el sonido.

3) Al aumentar ms, la sensacin de aspereza va desapareciendo y los dossonidos empiezan a percibirse como dos frecuencias separadas.

4) A partir de un cierto valor, la aspereza desaparece por completo y los dossonidos se perciben por separado. Es a partir de este punto cuando puedeconsiderarse que los dos sonidos excitan bandas crticas diferentesasumiendo la diferencia de frecuencias correspondiente como el ancho de

banda crtica para la frecuencia fija.

H. L. F. von Helmholtz15

concluy que el mximo grado de dureza se producacuando la diferencia de frecuencia entre los dos sonidos es de 32 Hz. Posteriormente,

12El trmino anchura de banda crtica ha sido propuesto en FLETCHER, H.Review of modern physics, 12 (1940), pp. 47-65.Por otro lado, esta magnitud ha sido medida de diversas maneras en gatos y humanos en PLOMP, R. Aspects of Tone Sensation.London: Academic Press, 1976; ZWICKER, E. [et al.]. Critical bandwith on loudness summation. En: Journal of AcousticalSociety of America, 29 (1957), p. 548; ZWICKER, E. y FASTL, H. Psychoacoustics. London: Springer-Verlag, 1990; y WIER, C.G. [et al.]: Frequency discrimination as a function of frequency and sensation level. En:Journal of Acoustical Society of America,61 (1977), pp. 178-184.

13Las figuras se encuentran al final del artculo.14 Traduccin del trmino ingls roughness (tambin podra traducirse como rugosidad) usado en FERNNDEZ DE LA

GNDARA, G. y LORENTE, M. Acstica Musical. En el mismo trabajo tambin se identifica el mismo trmino como durezaacstica haciendo referencia a BKSY, G. von. Ueber akustische Rauhigkeit (La dureza acstica). En: Zeitschrift fr tecnischePhysik, 16 (1935), pp. 276-282. Tal magnitud se define como la propiedad caracterstica del odo humano por la cual ciertos

sonidos se perciben molestos y speros. Por otro lado, en PILES ESTELLS, Jaime. Intervalos y gamas. Valencia: Piles, Editorialde Msica, 1982, 131 p. se identifica el mismo fenmeno mediante los trminos trmolo y temblor. El temblor se identificasimplemente como un trmolo ms rpido.

15HELMHOLTZ, H. L. F. von. On the sensations of tone..., op. cit.


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los experimentos realizados por R. Plomp y W. J. M. Levelt16 han relacionado elconcepto de dureza con la anchura de banda crtica, observando que, en casi todos losmrgenes de frecuencia, el punto de mxima aspereza se produce alrededor de !de laanchura de banda crtica. Este criterio coincide con el de Helmholtz para frecuenciascercanas a 500 Hz.

El grfico de la Figura 2 muestra el proceso descrito para dos tonos puros y seidentifica con el nombre de curva de disonancia17.Puede observarse claramente que el resultado no coincide con la clasificacin

clsica asumida de forma terica por los msicos. No obstante, si se generaliza esteresultado para tonos ms complejos formados por varios parciales se llegar a unresultado ms cercano a la realidad. Para ello se asume que la dureza o disonancia totales igual a la suma de la disonancia de todos los pares de parciales que interactan entres. Esta suposicin ya fue afirmada por el mismo Helmholtz.

En este caso se obtienen unas curvas de disonancia ms complejas en las que sepuede observar la existencia de picos y valles. Los picos representan mximos deaspereza o disonancia y los valles, ausencia de batidos o consonancia.

Como ejemplo, en el grfico de la Figura 3, se representa la curva de disonanciapara un espectro armnico de 6 picos con amplitudes uniformes y normalizadas a 1:

dondef0es la frecuencia fundamental18.

3.2Relacin entre escalas y espectrosSe ha definido la curva de disonancia como una funcin que pretende valorar, en

dependencia del espectro, la disonancia sensorial del intervalo expresado en trminos desu relacin numrica19. Adems, se ha visto que esta curva puede contener diversosmximos y mnimos. Los mnimos corresponden a intervalos para los cuales existe un

mximo de consonancia y un mnimo de disonancia en relacin con el resto deintervalos posibles. Por lo tanto, resulta obvio pensar que tales intervalos sern buenoscandidatos para formar una escala musical apta para trabajar con el espectro con el cualse ha calculado la curva. Si se identifican tales puntos de la curva con los intervalos deuna escala se puede decir que un espectro y una escala estn relacionados si la curva dedisonancia para aqul espectro tiene mnimos en los intervalos de la escala20.

Igualmente, puede aplicarse el camino inverso que consiste en crear uninstrumento, o sea, sintetizar un sonido a partir de un modelo espectral definidomediante un conjunto de tonos parciales relacionados con una escala determinada21.

En la curva del ejemplo del apartado anterior22pueden observarse unos mnimosen los siguientes intervalos: 6/5 (tercera menor), 5/4 (tercera mayor), 3/2 (quinta justa),5/3 (sexta mayor); ms otros dos amplios23 que caen aproximadamente en los

16PLOMP, R. y LEVELT, W. J. M. Tonal consonance..., op. cit.17Traduccin del trmino dissonance curveempleado en SETHARES, W. A. Tuning...18 Vase el apndice 8.1 para la explicacin para la explicacin del modelo matemtico de los espectros utilizado en este

trabajo. Vase igualmente el apndice 8.2 donde se describe de forma exacta el procedimiento matemtico para calcular las curvasde disonancia a partir de un modelo de rayas espectrales.

19Vase el apartado 8.1 del apndice para aclarar la definicin del concepto de relacin numrica.20SETHARES, William A. Local consonance and the relationship between timbre and scale. En:Journal of Acoustics Society

of America, 94 (1993), n. 3, pp. 1218-1228. Un estudio ms detallado se encuentra en SETHARES, W. A. Tuning..., op. cit., cap. 5,pp. 89-122.

21Vase la referencia de la nota anterior. Un estudio ms detallado se encuentra en SETHARES, W. A. Tuning..., op. cit., cap.10, pp. 211-233.

22Vase la figura 3.23

En una curva de disonancia pueden producirse dos tipos de mnimos: los que son causados por la coincidencia de parciales ylos que son causados por una separacin suficiente entre ellos. Los primeros tienen un aspecto ms abrupto y su valor coincide conlos cocientes de las frecuencias de los dos parciales que coinciden. Los segundos tienen un aspecto ms curvilneo y se identificancomo mnimos amplios. El trmino amplio corresponde a una traduccin del ingls broady que el mismo Sethares utiliza entre


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intervalos de segunda mayor y sptima menor. Se observa claramente como estosmnimos coinciden con los intervalos consonantes24 calculados segn la justaentonacin25.

Otra observacin importante es que el grado de consonancia de los intervalosobtenidos est ms o menos en relacin con el grado de consonancia que se les atribuye

tradicionalmente, por ejemplo, se ve claramente que el intervalo ms consonante es laoctava seguido de la quinta justa. Igualmente, la segunda mayor y la sptima menoraparecen como mnimos de la curva pero con un valor de dureza bastante ms elevado.

De la misma manera, ocurrir que una obra musical afinada mediante lasconsonancias habituales sonar disonante si se reproduce con un instrumento deespectro no armnico ya que los intervalos correspondientes a los mnimos de su curvade disonancia no coincidirn con los intervalos consonantes de la justa entonacin.

3.3Teoras y experimentos acerca de la consonancia sensorialLas principales teoras que justifican estas afirmaciones han sido desarrolladas

por Hermann L. F. von Helmholtz26, Harry Parch27, R. Plomp, W. J. M. Levelt28y W.A. Sethares29.

Helmholtz introduce por primera vez el concepto de consonancia sensorial comoun efecto fisiolgico basado en el fenmeno de los batidos o pulsaciones provocadas

por la interferencia de los diversos tonos parciales de una mezcla de sonidos. A la vez,ampla el concepto de consonancia para aplicarlo al conjunto infinito de todos losintervalos posibles, teniendo en cuenta que todos los antecedentes anteriores hacanreferencia nicamente a los intervalos usados en la prctica. El experimento fuerealizado con dos violines, uno sonando a frecuencia fija y el otro aumentndola

progresivamente hasta completar el mbito de una octava. Representando grficamentela sensacin de consonancia para todos los intervalos llega a la conclusin de que los

intervalos consonantes coinciden con relaciones de frecuencia expresadas mediantefracciones simples. Adems, debe tenerse en cuenta que Helmholtz trabaj conespectros armnicos y que las fracciones simples corresponden a la coincidencia entrelos primeros armnicos, demostrndose de esta manera la conexin con la teoraexpuesta en el aparatado anterior.

Partch, al igual que Helmholtz, trabaj con espectros armnicos pero, en estecaso, el experimento lo realiz utilizando una especie de armonio fabricado por lmismo y que llam chromelodeon. Las conclusiones tericas son similares a las deHelmholtz. La novedad de su investigacin reside en la creacin de una nueva escalamusical compuesta por 43 notas y ampliando el nmero de intervalos consonantes hastaconsiderar fracciones con 7, 11 y 13. Llev a la prctica su teora y compuso msica

comillas. Puede verse una explicacin ms detallada de todas las propiedades de las curvas de disonancia en SETHARES, W. A.Local consonance..., op. cit., as como en SETHARES, W. A. Tuning..., op. cit., ap. F, pp. 303-307.

24La sexta menor podra obtenerse igualmente aadiendo un pico en 8f0. Para una descripcin ms detallada del problema vaseMARTNEZ RUIZ, Sergio: Desarrollo de un software para el estudio de aplicaciones del anlisis espectral en la musicologahistrica y la etnomusicologa. Proyecto Final de Carrera para la obtencin del ttulo de Ingeniero de Telecomunicaciones.Barcelona: Universitat Politcnica de Catalunya (UPC), julio 2003, 275 p. Debemos tener en cuenta que la relacin numrica de lasexta menor en la justa entonacin es 8/5 y que el nmero 8 requiere la existencia del anterior pico espectral. No es casualidad queeste intervalo ya fuese problemtico para la clasificacin de consonancias realizada en ZARLINO, Gioseffo. Institutioneharmonique. Venecia (s. n.), 1558, cap. 14. En tal tratado, Zarlino incluye todas las consonancias (perfectas e imperfectas segnnuestra clasificacin actual) dentro del senario, el conjunto determinado por los seis primeros nmeros naturales y que secorresponde con un sustitutivo de la tetractyspitagrica. Debe recurrir a la distincin aristotlica de potencia y acto para darcabida al intervalo de sexta menor dentro del conjunto de las consonancias. Vase GOLDRAZ GAINZA, J. Javier. Afinacin ytemperamento en la msica occidental. Madrid: Alianza, 1992, 143 p. Alianza Msica, 58, p. 34.

25Por lo tanto, de forma general, puede decirse que la justa entonacin est relacionada con el espectro armnico.26

HELMHOLTZ, H. L. F. von. On the sensations of tone..., op. cit.27PARTCH, H. Genesis of a music..., op. cit.28PLOMP, R. y LEVELT, W. J. M. Tonal consonance,op. cit.29SETHARES, W. A. Tuning..., op. cit.


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adecuada a ella utilizando instrumentos ideados por l mismo. Su visin esttica hacareferencia a una msica justa que no atormentara el odo y, de la misma manera, noera partidario de aproximaciones tales como las que se producen en cualquier tipo detemperamento.

Plomp y Levelt trabajaron igualmente con espectros armnicos y su experimento

consisti en la obtencin emprica de la curva de disonancia para dos tonos puros. Losresultados se obtuvieron evaluando la sensacin de aspereza producida por diversospares de tonos puros generados mediante un dispositivo electrnico. La principalaportacin fue el hecho de trabajar con gente no educada musicalmente evitando as laidentificacin de ciertos intervalos que pudieran variar la verdadera percepcin desonancia. Igualmente, la teora se generaliz posteriormente para tonos complejos.

Como se ha visto, los tres experimentos hacen referencia a espectros armnicosy los tres concluyen en confirmar la explicacin dada por H. Helmholtz. Segn estateora, la falta de disonancia entre dos sonidos complejos simultneos cuya relacin defrecuencias est dada por fracciones simples se debe a la ausencia de batidos entre losarmnicos prximos.

La aportacin posterior de Sethares al estudio de la consonancia ha sido, enprimer lugar, su desarrollo matemtico basado en la parametrizacin de las curvas dePlomp y Levelt30. En segundo lugar, la extensin del concepto a cualquier tipo deespectro compuesto por un conjunto de parciales, ya sean o no armnicos. Igualmente,tal desarrollo matemtico ser aplicado a diferentes estudios relacionados con laafinacin cualquier tipo de escala musical y a la bsqueda de una afinacin variable queest relacionada con el timbre del instrumento. En este artculo se trabajarn nicamentelos conceptos de partitura de disonancia, disonancia total y su aplicacin en la

prediccin de temperamentos.

3.4Partitura de disonancia y disonancia total31La partitura de disonancia, definida por Sethares, consiste en una medida de la

disonancia sensorial aplicada a una partitura concreta. Igualmente, constituye un mtodode anlisis de la obra musical y un mtodo de evaluacin para cualquier tipo de escaladentro de un contexto prctico.

El procedimiento consiste en evaluar cada uno de los intervalos de la partitura entrminos de su disonancia, es decir, calcular su disonancia sensorial a partir de los

presupuestos ya definidos y de las expresiones matemticas desarrolladas por Sethares.Este procedimiento podr aplicarse convenientemente a un fichero MIDI o WAVEutilizando un programa de clculo adecuado32.

A partir de estos clculos tambin puede definirse la disonancia total como un

parmetro que d una idea global de la disonancia en toda la partitura dependiendo de laafinacin que se le haya aplicado y del espectro del instrumento para el cual se haya

pensado. En realidad, tal medida consiste en una media de todos los valores de ladisonancia correspondiente a todos los intervalos que han aparecido en la partitura

ponderada por la duracin temporal que se les ha otorgado. As, pues, tendrn muchoms peso los intervalos que aparezcan con valores largos que los que aparezcan convalores cortos33.

Dada la dependencia de la disonancia total con la afinacin y, teniendo en cuentaun determinado contexto histrico, la medida de la disonancia total puede proporcionar

30Este desarrollo se expone ntegramente en el apartado 8.2.31

Traducciones de los trminos dissonance scorey total dissonanceusados en SETHARES, W. A. Tuning..., op. cit.32Por ejemplo, el programa SpecMusic.33Una descripcin matemtica ms detallada para la disonancia total se expone en el apartado 8.3. Por otro lado, en el apartado

siguiente se describe ms concretamente el procedimiento utilizado para este clculo en el caso de un fichero MIDI.


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razones para rechazar afinaciones que produzcan una disonancia elevada y reconsiderarotras que la reduzcan, todo ello dentro de una determinada obra musical. Aunque talesafirmaciones deben realizarse con cierta perspicacia, es decir, no pueden hacersemecnicamente, el mtodo s puede constituir una buena pista. Llevando ms lejos este

procedimiento, puede aplicarse un algoritmo de optimizacin para encontrar una

afinacin ptima adecuada para una determinada obra musical34

.No obstante, deben considerarse algunas limitaciones de este procedimiento. Sise tiene en cuenta que la msica no consta exclusivamente de consonancias y que lasdisonancias pueden jugar un papel muy importante, stas influirn negativamente en el

proceso descrito para la prediccin de una afinacin adecuada a una determinada obramusical. Para subsanar este problema debera analizarse previamente la partitura yeliminar las disonancias, es decir, quedarse nicamente con la estructura armnica. Porahora, en el apartado 5 de este trabajo, se estudiarn las aplicaciones que esta medida

puede proporcionar y, en cualquier caso, se intentarn buscar los elementos que puedandesviar el resultado de la solucin exacta.

4.MODELADO DE UNA PARTITURA Y CLCULO DE LA DISONANCIACON EL PROGRAMASPECMUSIC

4.1Modelado de las partiturasPara el clculo de la disonancia sensorial de una partitura ha sido necesario

modelar sta de forma adecuada para los clculos. Debe considerarse, en primer lugar,que tal modelo constituye una visin de la obra totalmente vertical o armnica, teniendoen cuenta la definicin de consonancia que se est aplicando35. Si se toma una piezaescrita en textura contrapuntstica (como, por ejemplo, la obra que se analizar en elapartado 5), cada vez que en una de las diferentes voces se produce un movimiento

meldico, an cuando el resto de voces se mantienen, se genera un nuevo acordeformado por las notas mantenidas del instante anterior y la nueva nota resultante delmovimiento meldico de la otra voz.

De esta manera, la partitura queda modelada como una secuencia de acordes oconjuntos de frecuencias tomados en diferentes instantes por lo cual deber asociarse acada uno de ellos un parmetro temporal que haga referencia a su duracin y que podrexpresarse en trminos relativos a la duracin de alguna de las figuras musicales (ya seala figura de mnima duracin de la partitura o bien alguna otra que se tome como unidadde duracin y que corresponda a un valor breve en relacin al ritmo general de la

partitura).Por otro lado, el nmero notas para cada acorde variar en funcin del nmero

de voces presentes en cada instante, especialmente en una obra de texturacontrapuntstica. Debe tenerse en cuenta que un unsono corresponde a un acorde deuna nota y una pausa, a un acorde de cero notas. En tales casos, la disonancia del acordecorresponde respectivamente a la disonancia intrnseca36de la nota y a la ausencia totalde disonancia.

34Vase SETHARES, William, A. Adaptative tunings for musical scales. En: Journal of Acoustical Society of America, 96

(1994), n. 1, pp. 10-18. Una descripcin ms detallada puede encontrarse en SETHARES, W. A. Tuning..., op. cit., cap. 7, pp. 147-164.35Vase el apartado 3.1.36Vase el apartado 8.2 para la explicacin de este trmino.


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4.2El programaSpecMusicPara los clculos realizados en este artculo utilizaremos el programa

SpecMusic37. Se trata de una herramienta software creada por m mismo y que se haimplementado en lenguaje C++ utilizando las MFC38y algunas funciones de la API39deWindows. Para ello se ha utilizado la herramienta Visual C++ versin 6.

A modo de resumen, el programa puede trabajar con seis tipos de documentos,los cuales se describen brevemente a continuacin:

1) Escalas: fichero que guarda la informacin de la afinacin de una escala decualquier nmero de notas. Estos ficheros tienen extensin scl. El

programa presenta la escala como un conjunto de intervalos o frecuenciasque definen la afinacin.

2) Espectros: fichero que guarda un modelo de rayas espectrales aplicado acualquier timbre que pueda modelarse mediante un conjunto de tonos

parciales, ya sean o no armnicos. Estos ficheros tienen extensin spt. Elprograma presenta el espectro mediante una tabla de dos columnas que

representan respectivamente las frecuencias y amplitudes de cada no de lospicos espectrales.3) Partitura: fichero que guarda los datos pertenecientes a una partitura concreta

segn el modelo que se ha descrito en el apartado anterior y que permiteaplicarle los clculos necesarios en relacin con la disonancia sensorial.Estos ficheros tienen extensin prt. El programa presenta los datos de la

partitura en forma de una tabla de intervalos o frecuencias junto con suduracin temporal.

4) Fichero MIDI: fichero de msica en formato MIDI estndar40 y conextensin mid. El programa presenta este documento en forma de eventosdescritos brevemente en forma de texto.

5) Fichero WAVE: fichero de audio en formato WAVE estndar41 y conextensin wav. El programa lo presenta como un conjunto de nmeros querepresentan el conjunto de muestras de amplitud de una onda de sonidomuestreada. Adems, el programa presenta los parmetros en los que se ha

basado el muestreo, o sea, frecuencia de muestreo, nmero de bits pormuestra y nmero de canales.

6) Textos: fichero ASCII normal que puede contener cualquier tipo de texto.El programa permite la representacin grfica de los espectros, las partituras y

las ondas en formato WAVE. Adems, permite el clculo numrico y la representacingrfica de la curva de disonancia para los espectros as como la partitura de disonancia

para las partituras. En este ltimo caso ser necesario tomar como parmetro un

espectro y una escala editadas con el mismo programa.Igualmente, el programa permite la conversin de ficheros MIDI en ficheros de

partitura y viceversa, as como la obtencin de una onda WAVE o una escala a partir deun espectro editado con el mismo programa. La escala resultante corresponder a laescala relacionada con el espectro en cuestin. Otro parmetro importante es la

37Una versin de este programa puede obtenerse en la siguiente direccin de Internet: http://rt001cmw.eresmas.net. Para unaexplicacin de su funcionamiento, implementacin y aplicaciones puede consultarse MART

NEZ RUIZ, Sergio. Desarrollo de unsoftware..., op. cit.

38Microsoft Fundation Classes.39Application Programming Interfaces.40

Para ms informacin acerca del formato de los ficheros MIDI vase, por ejemplo, la siguiente referencia de Internet:http://www.borg.com/~jglatt/tech/midispec.htm.

41 Para ms informacin acerca del formato de los ficheros WAVE vase, por ejemplo,http://www.borg.com/~jglatt/tech/miditech.htm.


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disonancia total y se presenta junto con la descripcin numrica y grfica de la partiturade disonancia.

Todas estas funcionalidades permitirn, en el apartado siguiente, realizar losclculos necesarios para el objetivo propuesto.

5.APLICACIN DE LA TEORA DE LA DISONANCIA AL ESTUDIO DE LAAFINACIN EN LA OBRA DE EL CLAVE BIEN TEMPERADO DE J. S.BACH

5.1Antecedentes de la cuestinSegn uno de sus hijos42, el mtodo de afinacin usado por Bach era algo

incierto pero, an as, todos los antecedentes contemporneos al autor, al igual que otrosestudios posteriores, sugieren que el tema de la afinacin era importante para l y que lotuvo muy en cuenta a la hora de componer sus obras. De entre los tericoscontemporneos que crearon algn tipo de afinacin temperada de la escala43 seencuentran Andreas Werckmeister44, Johann Phillip Kirnberger45y Friedrich WilhelmMarpurg46. Otros tericos ms recientes, como Herbert Antn Kellner47 o JohnBarnes48, tambin han estudiado el tema y han sugerido otros temperamentos similares alos anteriores y que, en principio, se ajustan mejor a la composicin de El clave bientemperado. Si bien los temperamentos conocidos de la poca o los propuestos

posteriormente no tienen porqu coincidir exactamente con el temperamento usado porBach (poda ser uno propuesto por l mismo), s pueden constituir una va deacercamiento o, simplemente, una de las posibles soluciones al problema.

De los escritos de Werckmeister se puede deducir que sus temperamentos eranya usados por los compositores e intrpretes contemporneos al final del siglo XVII. Deentre sus diversos temperamentos, el ms usado, el ms fcil de afinar y el que se adapta

mejor a mucha msica de teclado de principios del siglo XVIII, es el que habitualmentese denomina Werckmeister III. Adems de eso, Werckmeister tambin hace referenciaal arte de cmo se puede bien temperar la afinacin de un clave para que con ella

puedan practicarse todas las tonalidades (modi ficti), en un conjunto armnicoagradable y biensonante49, afirmacin que se adapta perfectamente a los propsitos deBach para la obra en cuestin.

Barnes50, en su estudio, teniendo en cuenta las afirmaciones anteriores, parte dela suposicin de que el temperamento de Werckmeister III se acerca a la realidad de lacuestin y lo aplica a la misma obra que estamos tratando. Prueba los resultados conalguno de los otros temperamentos contemporneos al autor, observa que el anterior esel que mejor se adapta y, finalmente, propone otro muy similar que solventa alguna de

las desviaciones observadas.

42BACH, C. P. E. y AGRCOLA, J. F. Obituary of J. S. Bach by C. P. E. Bach and J. F. Agricola. En: Lorenz MizlersMusikalische Bibliothek, 4 (1754), n. 1, p. 173.

43 Vase GOLDRAZ GAINZA, J. Javier. Afinacin..., op. cit. para aclaraciones referentes a las diversas afinaciones ytemperamentos usados a lo largo de la historia de la msica occidental.

44WERCKMEISTER, Andreas. Musikalische Temperatur, oder deutlicher und warer Mathematischer Unterricht, Wie mandurch Anweisung des Monochord Ein Clavier, Sonderlich die Orgel-Wercke, Positive, regale, Spinetten und dergleichen wolTemperirt Stimmen Knne. Frankfurt y Leipzig (s. n.), 1691.

45KIRNBERGER, Johann Phillip.Die Kunst des reinen Satzes in der Musik. Berln y Knisberg (s. n.), 1779.46MARPURG, Friedrich Wilhelm. Versuch ber die musicalische Temperatur. Berln (s. n.), 1776.47KELLNER, Herbert Antn. Eine Rekonstruktion der wohltemperierten Stimmung von Johann Sebastian Bach. En: Das

Musikinstrument, 1 (1977), pp. 34-35.48

BARNES, John. Bachs keyboard temperament: Internal evidence from the Well-Tempered Clavier. En:Early Music, 7(1979), pp. 236-249.49WERCKMEISTER, A.Musikalische Temperatur..., op. cit.50BARNES, J. Bachs keyboard temperament, op. cit.


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El mtodo seguido en este estudio parte de la siguiente tabla en la que se expresala desviacin de distancia existente en los intervalos de quinta y tercera mayor que sedan sobre cada una de las notas de la escala cromtica con respecto de la justaentonacin para el temperamento de Werckmeister III51:

Werckmeister III Mi b Si b Fa Do Sol Re La Mi Si Fa # Do # Sol #Quintas 0 0 0 6 6 6 0 0 6 0 0 0Terceras mayores 16 10 4 4 10 10 16 16 16 22 22 22

En esta tabla se observan algunas terceras ms buenas que otras. Ello induce aque las terceras ms disonantes, es decir, las ms desviadas, deberan ser usadas conmenor frecuencia y en condiciones especiales que no evidencien sus cualidades. Barnesrealiza el estudio para los 24 preludios compuestos en las tonalidades mayores (de lasdos partes de la obra) evaluando todas las terceras mayores que aparecen en ellos.

Tal evaluacin consiste en asignar un parmetro de importancia52dentro de unaescala que va de A a E; A indica que el contexto presta a algn error de afinacin muyobvio; B, un error bastante obvio; C, un error fcilmente perceptible; D, un error apenas

perceptible y E, un error imperceptible. Estos parmetros parten de la suposicin de quelos intervalos estn perfectamente afinados segn el temperamento considerado.

Para determinar el valor del parmetro, Barnes ha tenido en cuenta los siguientesfactores, algo subjetivos pero muy acertados:

1) La persistencia temporal, es decir, una duracin considerable evidencia mslas caractersticas y la categora del intervalo dentro de su escala de valores.

2) El registro al que pertenece el intervalo segn el cual la disonancia puedevariar.

3) El resto de notas que se producen simultneamente con la tercera y quepueden causar ms o menos disonancia en funcin del intervalo y delregistro.

4) El ataque simultaneo o precedente de las notas con las cuales se producedisonancia. Hay que tener en cuenta que el efecto de decaimiento de la onda

producida por un determinado instrumento provoca que una nota tocadapreviamente no tenga el mismo peso sobre el clculo de la disonancia que sila misma nota se toca simultneamente.

Todos estos factores, a su vez, dependen de otros parmetros relativos acuestiones como el tempo, el fraseo, la repeticin o no de las notas pedales o eldecaimiento de la onda producida por el instrumento.

Las medidas realizadas segn estos parmetros quedan resumidas en la siguiente

tabla donde se enumeran las terceras de cada categora que aparecen a lo largo de lospreludios estudiados:

51Las cifras de esta tabla y las del resto de tablas de este trabajo estn expresadas en cents. Vase el apndice 8.1 para ladefinicin de esta unidad de medida.

52Traduccin del trmino inglsprominenceusado en BARNES, J. Bachs keyboard temperament..., op. cit.


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Mi b Si b Fa Do Sol Re La Mi Si Fa # Do # Sol #A 0 0 2 9 2 0 0 0 1 0 0 0B 3 5 6 4 1 2 3 1 2 1 1 4C 14 22 20 11 15 10 12 12 6 7 8 18D 32 35 44 29 18 20 37 18 13 14 21 22

E 26 54 30 25 15 22 28 23 16 17 21 20Mtodo I 75 116 102 78 51 54 80 64 38 39 51 64

MTODO II 72 99 124 139 68 48 73 46 41 32 41 74

De una tabla previa que Barnes expone en su estudio y de la cual se ha extradola precedente, se puede deducir que, en general, las terceras mayores son msnumerosas en las tonalidades con pocas alteraciones y, an dentro de cada tonalidad,son ms numerosas las que corresponden a una categora ms alta y las que estn menosdesviadas de las justas segn el temperamento de Werckmeister III. En cualquier caso,queda en evidencia la falsedad del argumento que defiende que el temperamento iguales el que Bach tuvo presente en la composicin deEl clave bien temperado.

Dos procedimientos posteriores, identificados en la tabla anterior como Mtodo Iy II, pueden ayudar a determinar una relacin ms estrecha entre estos resultados y laestructura del temperamento en cuestin.

El primer mtodo consiste en sumar todas las apariciones de los intervalos detercera de las cinco categoras y para cada tonalidad obtenindose los resultados de la

penltima fila de la tabla.El segundo mtodo realiza una suma ponderada aplicando pesos diferentes para

cada categora de tercera, es decir, aplicando ms peso a las terceras de categora baja ymenos a las de categora alta53. Se obtienen los resultados que se muestra en la ltima

fila de la tabla.Si se comparan los resultados de las sumas anteriores con la tabla que expresalas desviaciones de las terceras calculadas para el temperamento de Werckmeister III, se

puede observar una correlacin muy elevada, especialmente para el caso del segundomtodo. Tal correlacin queda demostrada de forma ms clara en los grficosrepresentados en la Figura 4.

El primer grfico representa la tabla numrica de los resultados de la suma delsegundo mtodo y el segundo, la tabla numrica de las desviaciones de las tercerascalculada para el temperamento de Werckmeister III. Observando estas dos grficas

puede deducirse que Bach us ms libremente las terceras mejor afinadas y evit el usode aqullas otras ms desviadas respecto de la justa entonacin54. No obstante, se

observa una pequea desviacin para las terceras formadas sobre las notas Do # y Fa #.Igualmente, las terceras sobre Sol y Re son menos usadas de lo que era de esperar.Varios factores pueden influir en este resultado:

1) La dependencia que el compositor tiene con otros mltiples factores duranteel proceso creativo.

2) La muestra de obras trabajadas es algo reducida para los objetivosestadsticos propuestos.

3) El temperamento usado por Bach podra diferir significativamente deltemperamento de Werckmeister III.

An as, se puede decir que el resultado es notablemente satisfactorio.

53Los pesos aplicados son: 8 veces para la categora A, 4 para B, 2 para C, 1 para D y ninguna (0) para E.54Las terceras que estn menos desviadas del temperamento igual aparecen con mayor frecuencia y peso.


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Barnes realiza la misma comparacin para los temperamentos de Kirnberger yKellner55. Para el caso del temperamento de Kirnberger, los resultados obtenidoscontradicen la afirmacin realizada por Herbert Kelletat56quien sugiri que uno de lostemperamentos publicados por Kirnberger era realmente de Bach (y, por lo tanto, la

posible solucin al problema planteado). La grfica obtenida muestra una desviacin

bastante superior a la obtenida para el caso del temperamento de Werckmeister III. Algosimilar ocurre para el caso del temperamento de Kellner, quien dedujo su temperamentoa partir de un estudio de la espiritualidad del mundo del Barroco y apoy su teoramediante un estudio numerolgico57.

Finalmente, Barnes propone un nuevo temperamento basado en una ligeramodificacin del temperamento de Werckmeister III. Tal propuesta solventa lasdesviaciones observadas para las terceras formadas sobre las notas Sol, Re, Do # y Fa #.Para este temperamento, identificado como temperamento de Barnes, las desviacionesde sus intervalos de quinta y tercera mayor con respecto a la justa entonacin son:

Barnes Mi b Si b Fa Do Sol Re La Mi Si Fa # Do # Sol #Quintas 0 0 4 4 4 4 4 0 4 0 0 0Terceras mayores 14 10 6 6 10 10 14 18 18 22 22 18

Barnes concluye de forma muy evidente que la obra deEl clave bien temperadofue escrita para un temperamento similar al de Werckmeister III. Igualmente, una

pequea modificacin demuestra la gran concordancia existente entre el temperamentoy la partitura.

No obstante, para tener en cuenta esta opinin, debe considerarse que Barnes hatrabajado nicamente los intervalos de tercera mayor en los preludios de tonalidadesmayores. Por lo tanto, las tonalidades menores, los intervalos de tercera menor y las

fugas, no se han tenido en cuenta para el resultado.5.2Procedimiento

Una vez planteado el problema y estudiados sus antecedentes, se propone otroestudio realizado desde un punto de vista diferente, si ms no, relacionado en algunosaspectos con el estudio de Barnes. En este caso se parte de unos principios msobjetivos basados en la teora de la disonancia sensorial desarrollada por Sethares eimplementada informticamente por m. No se pretende desmentir los resultados deBarnes ni ofrecer la solucin definitiva al problema; nicamente se trata de ofrecer unasolucin alternativa o, en todo caso, un punto de vista diferente para la cuestin

planteada.A continuacin se enumeran los pasos necesarios para la prediccin del

temperamento y para los cuales se requiere el uso del programa SpecMusic (descritobrevemente en el apartado 4.2):

1) Proponer un modelo espectral vlido para el clavicmbalo y que despus serutilizado para el clculo de la disonancia total. Sethares, en su estudioaplicado a las sonatas de D. Scarlatti58, asume el siguiente espectro para elinstrumento:

55KELLNER, H. A. Eine Rekonstruktion, op. cit.56KELLETAT, Herbert.Zur musikalischen Temperatur, insbesondere bei Johann Sebastian Bach. Hassel, 1960.57

Bien es sabido que el simbolismo (o la numerologa) era un mtodo frecuente en la esttica barroca y especialmente usadopor Bach quien acostumbraba a firmar sus obras mediante un sello o signo numrico basado en las letras de su apellido. Talprocedimiento ha permitido a los musiclogos asegurar la autora de muchas de sus obras.

58SETHARES, W. A. Tuning..., op. cit.


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dondef0es la frecuencia fundamental.2) Utilizando el programa, para cada preludio y fuga en formato MIDI59:

a) Convertir el fichero MIDI en un fichero de partitura.b) Obtener la partitura de disonancia para cada preludio y fuga y para cada

afinacin que se quiera considerar. Tomar como parmetro el espectropropuesto en el paso anterior y anotar el valor obtenido para ladisonancia total.

3) Realizar una tabla con todas las TD obtenidas en el apartado anterior.Aquella afinacin que proporcione un valor ms reducido para la disonanciade todas las piezas estudiadas ser la ms apropiada para la obra y, por tanto,la ms firme candidata a la solucin del problema propuesto.

En este estudio se tomar la muestra formada por los 12 preludios y fugascorrespondientes a las tonalidades mayores de la primera parte (se considerar cada

preludio y fuga conjuntamente). Con relacin al estudio de Barnes, se obtendr ms

informacin debido a la inclusin de las fugas aunque, por otro lado, se perder lainformacin proporcionada por las piezas de la segunda parte. No obstante, lainformacin relativa a las fugas puede ser ms representativa que la de los preludios dela segunda parte. Con relacin a la afinacin, se considerarn nicamente los buenostemperamentos60, incluyendo igualmente las propuestas posteriores de Kellner yBarnes.

5.3Evaluacin de los resultadosHe aqu la tabla de las disonancias obtenidas para cada preludio y fuga tomando

diversos temperamentos:

BWV 846 848 850 852 854 856 858 860 862 864 866 868

Tonalidad (mayor) Do Do # Re Mi b Mi Fa Fa # Sol La b La Si b SiMedia Desviacin

estndar

Temperamento igual 0,00 -0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,01 -0,01 0,00 0,00 0,01 0,00 0,006685579

Werckmeister I -3,09 -0,26 4,11 -3,35 -1,38 -11,43 1,82 2,75 -3,19 -0,73 -10,20 2,40 -1,88 4,855065693

Werckmeister II 2,66 -0,13 -4,56 -4,63 -3,85 -13,82 1,93 8,34 -3,38 -3,59 -12,05 2,80 -2,52 6,247667686

Werckmeister III -3,09 -0,26 4,11 -3,35 -1,38 -11,43 1,82 2,75 -3,19 -0,73 -10,20 2,40 -1,88 4,855065693

Werckmeister IV -5,53 22,63 -1,86 14,52 3,36 -6,10 32,63 -11,68 25,16 -6,59 1,09 20,89 7,38 14,97779589

Werckmeister V -7,72 22,63 3,06 1,75 2,35 0,26 14,76 -8,44 12,06 -0,27 -2,50 7,75 3,81 9,128810661

Kirnberger II -27,51 -0,83 -2,21 -3,72 4,29 -5,90 1,94 -26,88 -3,53 -6,33 -7,96 -0,04 -6,56 10,25022424

Kirnberger III -9,32 -0,42 3,91 -3,51 3,01 -10,45 1,39 -3,17 -3,08 0,85 -9,94 -0,38 -2,59 4,985386144

Neidhardt I -4,41 -1,73 1,15 0,14 3,37 -5,06 -0,28 -2,07 0,23 -0,16 -5,34 1,13 -1,09 2,710744475

Marpurg I -3,54 9,50 -4,60 -5,21 0,15 1,66 -3,88 -6,26 -2,03 0,01 -1,96 -6,10 -1,86 4,389927521

Tartini-Vallotti -5,58 -0,29 -3,22 -2,30 2,43 -6,07 1,96 -5,00 -2,71 -3,98 -7,14 2,97 -2,41 3,460292837

Barca -4,37 -1,19 -2,22 -0,58 2,52 -4,72 1,36 -3,73 -1,91 -2,97 -5,19 2,78 -1,69 2,750733786

Kellner -6,56 -0,30 0,93 -2,75 1,80 -8,07 1,77 -2,14 -2,98 -1,75 -8,23 2,27 -2,17 3,766846101

Barnes -2,79 -0,42 1,53 -4,49 1,67 -5,73 1,42 -0,31 -4,05 -0,45 -6,64 1,54 -1,56 3,045992897

En la tabla anterior, se observa la existencia de un valor mnimo (en media) parael caso del temperamento Kirnberger II. Incluso, aunque con bastante diferencia, elsiguiente valor corresponde al temperamento de Kirnberger III. Aunque los valores delas desviaciones estndar para estos dos temperamentos son algo elevados (lo cual va en

59Los ficheros MIDI pueden obtenerse en la siguiente direccin de Internet: http://www.bachcentral.com/.60Vase la nota 1.


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contra de un concepto de circularidad), los resultados particulares de cada preludio yfuga muestran pocos valores positivos para la TDy stos son relativamente reducidos.En concreto, los preludios y fugas para los que se obtienen valores positivos de la TDson los siguientes: Mi mayor (BWV 854) y Fa # mayor (BWV 858) para el caso deltemperamento Kirnberger II; Re mayor (BWV 850), Mi mayor (BWV 854), Fa # mayor

(BWV 858) y La mayor (BWV 864) para el caso e Kirnberger III.Para el caso de los temperamentos de Werckmeister, teniendo en cuenta queconstituan unos de los temperamentos ms probables, se obtienen unos resultados

bastante malos para los casos IV y V. Para los casos de Werckmeister I, II y III, losresultados son mejores pero, an as, sus TDson mayores que para los temperamentosde Kirnberger. Eso s, las desviaciones estndar para estos tres ltimos temperamentosson relativamente bajas y slo cuatro preludios y fugas de cada caso tienen valores

positivos para la TD. nicamente destaca por su valor elevado de la TD, el casocorrespondiente al preludio y fuga en Sol mayor (BWV 860).

Otro valor bastante bueno se produce para el caso del temperamento Tartini-Vallotti, con una media y desviacin estndar reducidas. Las soluciones de Kellner y

Barnes son bastante buenas pero el valor correspondiente de la TDes mayor que paralos temperamentos Kirnberger II y III. Incluso, el temperamento de Barnes proporcionaun valor ms alto que para el caso de Werckmeister III, lo cual contradice la conclusinde su propio estudio.

Teniendo en cuenta el valor mnimo de disonancia obtenido para el caso deltemperamento de Kirnberger II, y sin considerar relevantes los valores obtenidos paralas desviaciones estndar, se propone el temperamento de Kirnberger II como el msadecuado para la obra de El clave bien temperado de J. S. Bach y como solucin al

problema planteado. Tal resultado contradice la opinin de Barnes en dos sentidos yaque no slo se ha obtenido un resultado diferente sino que constituye una solucinnegada por l. No obstante, ha de tenerse en cuenta que el presente estudio haconsiderado los preludios conjuntamente con las fugas y que tambin ha consideradotodos los tipos de intervalos (Barnes consider nicamente los de tercera mayor). Anas, este resultado coincide con la anterior opinin de Kelletat. Eso s, ciertaslimitaciones de este procedimiento podran haber desviado el resultado de su solucinreal. Tales limitaciones se exponen en el apartado siguiente.

5.4Limitaciones de este procedimientoComo ocurre en todo procedimiento, existen ciertas limitaciones que podran

haber desviado el resultado anterior de su solucin verdadera. Muchas de ellas estnigualmente presentes en el estudio de Barnes pero, an as, pueden aadirse otras que

tambin podran afectar a sus propios resultados. Igualmente, algunas de las que ya hansido consideradas por Barnes no se han tenido en cuenta para el presente estudio pero,en cualquier caso, todas estas limitaciones permitirn, ms tarde, definir otros mtodosde estudio ms completos y fiables. Las limitaciones consideradas se enumeran acontinuacin:

1) La dependencia que el compositor tiene con otros mltiples factores que hade tener en cuenta en el proceso creativo.

2) La muestra trabajada es algo pequea para los objetivos estadsticospropuestos y el nmero de clculos realizados puede no ser suficientementerepresentativo.

3) El temperamento usado realmente por Bach podra diferir ms o menos decualquiera de los temperamentos histricos conocidos.


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4) Ciertos recursos utilizados con finalidad expresiva, en aplicacin de teora delos afectos tpica de la esttica barroca, pueden aumentar el valor de ladisonancia:a) Utilizacin intencionada de intervalos disonantes con finalidad

expresiva, ya sean intervalos falsos que atraviesen la quinta del lobo61,

u otros intervalos aumentados o disminuidos (especialmente cuartas yquintas).b) Otros recursos expresivos que pueden provocar disonancias como ciertos

pasajes rpidos u otros fragmentos escritos en registros graves. Muchosde ellos pueden constituir figuras retricas.

5) Disonancias debidas a la escritura contrapuntstica:a) Utilizacin de notas extraas que provoquen disonancia, ya sigan o no

las normas establecidas por J. J. Fux62. No obstante, tales notasconstituyen parte de la ornamentacin y no deberan ser consideradas conla misma importancia.

b) Intervalos cuya medida de disonancia se modifique debido a que sus dosnotas constitutivas se ejecuten en instantes diferentes, efecto que vienecausado por el decaimiento de la onda (la cual es muy evidente en elclave).

6) Limitaciones debidas al espectro utilizado:a) El espectro utilizado no deja de constituir un modelo matemtico con su

consiguiente desviacin de la realidad.b) Se ha tomado un modelo nico para todas las notas del teclado cuando

bien es sabido que el timbre vara con la frecuencia y, por tanto, difieresegn el registro utilizado63.

Efectos que s contempla el presente estudio:1) La relativa duracin de un intervalo que pueda hacerlo ms o menos evidente

ante su contribucin al efecto de disonancia.2) Diferencia de octavas entre las respectivas notas que forman el intervalo o

conjunto de intervalos.

5.5Ejemplos ilustrativos de limitaciones debidas a la esttica barrocaA continuacin se enumeran algunos ejemplos de obras en las que se encuentran

algunos de los recursos expresivos tpicos de la esttica barroca a los que se hacareferencia en el apartado anterior:

1) Los tientos de falsas, tpicos en la msica barroca hispnica para teclaconstituyen un caso en el cual se pretende destacar el efecto disonante

provocado por determinados intervalos. Se trabajan especialmente losintervalos de cuarta y quinta disminuida que en los temperamentoshabituales de la poca podan resultar extremadamente disonantes.

2) En los compases 31 a 34 de laFantasa y fuga en sol menor (BWV 542)de J.S. Bach, existe un pasaje cromtico que, interpretado en cualquier tipo detemperamento de la poca, se producen diferencias en la afinacin de losdiversos intervalos de tercera y quinta. Algunos de ellos pueden resultarextremadamente disonantes mientras que otros pueden quedar perfectamente

61Eso no parece ser un problema para el estudio concreto propuesto cuya expresividad puede estar ms delimitada si bien los

intervalos que atraviesan la quinta del lobo son menos disonantes debidos al propio objetivo de los temperamentos circulares.62FUX, Johann Joseph. Gradus ad Parnassum. Viena (s. n.), 1725.63Ello sin contemplar las diferencias que pueden darse en el espectro al cambiar la articulacin y la dinmica aunque sta

ltima no sea propia del clave.


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afinados segn la justa entonacin. En una grabacin existente64 puedeapreciarse claramente ese efecto aunque en ningn sitio se especifica laafinacin utilizada en el rgano. Se supone que tal efecto resulta provocadoconscientemente por el autor.

3) En la Toccata Cromaticha per le Levatione de laMissa della DomenicadeGirolamo Frescobaldi, se encuentran diversos fragmentos cromticos dondese observa un efecto similar al anterior y que tambin se aprecia

perfectamente en una grabacin existente65.4) En el recitativo del Evangelista del Coro I Und siehe da, der Vorhang im

Tempel zerriss in zwei Stck, hacia el final de la segunda parte de laPasinsegn San Mateo de J. S. Bach, se encuentra un pasaje del continuo quecontiene trmolos y escalas rpidas con fusas. Tal pasaje correspondeindudablemente a diversas figuras retricas (tiratas y tremolos) que

pretenden ilustrar el significado del texto. Tanto las escalas rpidas como lostrmolos producen una disonancia provocada conscientemente y con unobjetivo expresivo. Debe aadirse que los trmolos se realizan en un registro

grave que acenta su efecto disonante66.

5.6Posibles vas de solucinTeniendo en cuenta las observaciones realizadas en el apartado 5.4, pueden

proponerse las siguientes vas de solucin de cara a continuar el estudio del problema entrabajos posteriores:

1) De entrada, puede ampliarse el estudio de la disonancia a la totalidad de laobra e, incluso, aplicarlo a otras obras diferentes.

2) Las disonancias provocadas por ciertas figuras retricas con finalidadexpresiva deberan eliminarse del clculo de la disonancia total tras un

previo anlisis musicolgico de la obra. Tal anlisis es realmente complejopara poder ser realizado automticamente pero ello no dejara de ser unaposible va de investigacin futura muy interesante.

3) Las disonancias debidas a causas diferentes de las anteriores (ornamentaciny notas extraas propias de la escritura contrapuntstica) tambin requeriranun anlisis previo para ser posteriormente eliminadas o consideradas deforma diferente (con menos peso de cara al clculo de la disonancia total).Tal anlisis podra ser realizado automticamente de una forma ms fcil queel anterior debido a que se trata de fenmenos musicales ms definidos.

4) Para solucionar el problema de las notas mantenidas en relacin con el efectode decaimiento de las ondas debera simularse la variacin del espectro

correspondiente, lo que llevara a complicar el clculo de la disonancia total.5) Para solucionar las limitaciones debidas al espectro utilizado, por un lado,

bastara con modelar el espectro en funcin de la frecuencia de la notafundamental y, por otro lado, mejorando el modelo espectral en s. En estesentido, podra llegarse a desarrollar de nuevo la teora de la disonancia

64BACH, Johann Sebastin. Obras famosas para rgano. vila: Pilz Espaa, S. A., 1988 (Otto Winter, rgano Silbermann).CD 1, track11. El CD est editado conjuntamente con este otro: BACH, Johann Sebastin. Variaciones Goldberg. vila: PilzEspaa, S. A., 1989 (Christiane Jaccottet, clavicmbalo).

65FRESCOBALDI, Girolamo.Fiori Musicali, 1635. Milan: Audivis-Astre, 1989 (Rinaldo Alessandrini, rgano Gian GiacomoAntegnati, 1554, S. Mauricio al Monastero Maggiore). 2 CD, CD 1, track21.

66

No obstante, debe tenerse en cuenta que la medida realizada para la disonancia puede omitir este efecto al considerar cadafusa independientemente de las otras. Una medida basada en una percepcin auditiva ms real (considerando, por ejemplo, unperiodo de tiempo determinado que sea independiente de la figuracin), podra acentuar ms el efecto disonante buscado por Bachen este pasaje.


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basndose en un espectro continuo la cual cosa llevara a sustituir el clculode sumatorios por integrales.

A parte de todo esto, al igual que han hecho Kellner y Barnes y basndose en losprincipios que se han expuesto, podra proponerse un temperamento diferente a todoslos existentes y que se ajustara lo mximo posible a la obra estudiada. Eso lo podramos

conseguir aplicando el algoritmo de gradiente descendiente propuesto por Sethares paraesta finalidad67. En cualquier caso, tal solucin no dejara de ser un temperamentopropuesto en el siglo XXI y que no tiene porqu coincidir con ninguno otro de lapoca68. No obstante, todo ello ser motivo de estudio en un trabajo posterior.

6.CONCLUSIONESEn este trabajo se ha estudiado la afinacin de la obra de El clave bien

temperadode J. S. Bach. Precisamente, una de las finalidades de esta obra consiste endemostrar el empleo de todas las tonalidades y, de entrada, eso hace pensar en uno delos llamados buenos temperamentos.

Estudios anteriores concluyen de esta misma manera. En concreto, un estudio deKelletat69demuestra que el temperamento ms adecuado es el de Kirnberger II mientrasque un estudio posterior de Barnes70opta por el de Werckmeister III u otro muy similar.

En este trabajo se ha vuelto a considerar la cuestin desde un punto de vistatotalmente diferente y para el cual ha sido necesario el uso de las tecnologas actuales.Con base a los principios de la teora de la disonancia sensorial desarrollada por autorescomo Helmholtz, Partch, Plomp, Levelt y Sethares, se han tomado los desarrollosmatemticos de ste ltimo, adems de unas herramientas software creadas por mmismo, y se ha llegado a la conclusin de que el temperamento ms adecuado para laobra en cuestin es el de Kirnberger II, tal como se puede deducir de los resultadosobtenidos en el apartado 5.3. Estas afirmaciones contradicen los resultados dados por

Barnes en su artculo pero, en cambio, coinciden con la opinin anterior de Kelletat.Tngase en cuenta, tambin, que en el presente estudio se han consideradoconjuntamente los preludios y las fugas, y que tambin se han considerado todos lostipos de intervalos. Barnes, en cambio, slo estudi los intervalos de tercera mayor delos preludios de tonalidades mayores. Por otro lado, tambin debe considerarse queexisten ciertas limitaciones del procedimiento utilizado y a las cuales se ha hechoreferencia en el apartado 5.4.

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67Vase el apartado 3.4.68

De hecho, en este estudio, lo nico que he hecho es decidir qu temperamento se ajusta ms de entre todos los conocidos dela poca.69KELLETAT, H.Zur musikalischen..., op. cit.70BARNES, J. Bachs keyboard temperament, op. cit.


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con este otro: BACH, Johann Sebastin. Variaciones Goldberg. vila: Pilz Espaa, S.A., 1989 (Christiane Jaccottet, clavicmbalo).

FRESCOBALDI, Girolamo. Fiori Musicali, 1635. Milan: Audivis-Astre, 1989(Rinaldo Alessandrini, rgano Gian Giacomo Antegnati, 1554, S. Mauricio al

Monastero Maggiore). 2 CD, CD 1, track21.

8.APNDICES8.1Definiciones matemticas previas

Definicin del modelo espectral utilizado en este trabajo:

Si consideramos un espectro compuesto por una serie de tonos parciales,armnicos o no, su modelo matemtico corresponde a un tren de deltas que, a su vez,resulta ser la transformada de Fourier de una onda compuesta por la suma de variascomponentes sinusoidales:

Si identificamos este modelo como un conjunto de rayas espectrales podemosrepresentarlo de la siguiente forma

dondeNes el nmero de rayas espectrales que componen el espectro, filas frecuenciasde cada tono parcial y Ai, sus respectivas amplitudes. Si las frecuencias son mltiplosenteros de otra frecuencia f0 fundamental (que no tiene porqu existir), el espectro esarmnico, es decir, si .

Relacin numrica de un intervalo:Se define la relacin numrica de un intervalo r como el cociente de lasfrecuenciasf2yf1correspondientes a las dos notas que lo constituyen, es decir:

Entonces, si r>1, el intervalo es ascendente; en caso contrario, si r


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8.2Clculo de la curva de disonancia72Las curvas de R. Plomp y W. J. M. Levelt se pueden parametrizar mediante un

modelo de la forma:

dondexrepresenta la diferencia de frecuencia entre dos sinusoides, y b1y b2representanlas constantes segn las cuales la funcin aumenta y disminuye. A partir de laminimizacin del error cuadrtico medio entre los datos empricos y los de la curva d(x)se obtienen los valores siguientes: b1= 3.5 y b2= 5.75.

La funcin de disonancia d(x), por otro lado, debe ser escalada de tal manera quelas curvas con diferentes amplitudes y frecuencias base puedan representarseconvenientemente. Despus de esta transformacin, la disonancia entre sinusoides defrecuenciasf1yf2 (paraf1< f2) y amplitudes a1y a2 es:

donde

y

La variablex*representa el punto de mxima disonancia obtenido a travs de lafuncin derivada. Tomando los valores escogidos para las constantes b1y b2, se obtiene

x* = 0.24.El parmetro s permite interpolar las curvas de diferentes frecuencias

arrastrndolas a travs del eje de frecuencia y comprimindolas de tal manera que elmximo de disonancia ocurra en la frecuencia adecuada. Aplicando de nuevo unalgoritmo de minimizacin del error cuadrtico medio pueden determinarse los valores

s1=0.021ys2=19.El parmetro a12, por otro lado, permite que las componentes de menor amplitud

contribuyan en menor medida que las de mayor amplitud.Si se considera un sonido complejo F con n tonos parciales de frecuencias

f1


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Para el caso de un intervalo con espectros diferentes para cada nota, ladisonancia puede calcularse as:

dondeFy Gson los espectros y aiy b

isus respectivas amplitudes.

8.3Clculo de la partitura de disonancia y de la disonancia total74Teniendo en cuenta la expresin obtenida en el apartado anterior para la

disonancia sensorialDFde un intervalo con fundamentalesfiyfj,La disonancia total TDde un pasaje musical de mnotas se define como la suma

de las disonancias debidas a los intervalos formados por cada par de notas combinadasentre s. Adems, las disonancias son ponderadas por el tiempo en que ese par de notassuenan simultneamente. Matemticamente tenemos:

donde mes el nmero de notas de la escala75, t (i, j)es el tiempo total para el cual lasnotas i y j suenan simultneamente, y el trmino corresponde a la

disonancia del intervalo entre ellas. Este trmino se calcula a travs de la expresinobtenida en el apartado anterior y especifica la dependencia de la disonancia total con laafinacin.

Por otro lado, debe tenerse en cuenta el efecto de disminucin de la amplitud,especialmente para los instrumentos de teclado. En estos instrumentos, la amplitud deuna nota sostenida disminuye considerablemente pero, a la vez, se incrementasignificativamente cada vez que suena una nueva nota ya que sta refuerza a la anterior

por efecto de la resonancia. Entonces, en pasajes suficientemente rpidos, tal

distribucin rectangular constituye una buena aproximacin.Puede demostrarse que la suma anterior es equivalente a la suma de las

disonancias de cada uno de los acordes de la partitura (tomados segn el modeloexplicado en el apartado 4.1) y tomando como valores temporales la duracin de cadauno de ellos.

Otra observacin importante est en la diferencia existente entre los valores de ladisonancia total para diferentes afinaciones ya que sta resulta ser extremadamente

pequea (menos del 1% entre las afinaciones musicales usuales76). Es por eso quebuscaremos expresiones ms adecuadas para el clculo de la disonancia total. Podemosconsiderar las siguientes soluciones:

1) Expresar el resultado en partes por mil de la diferencia entre la medidaobtenida para la afinacin considerada y la medida obtenida aplicando eltemperamento igual77:

La diferencia de una parte por mil en contextos musicales tpicos esclaramente audible para un odo musicalmente entrenado.

73En SETHARES, W. A. Tuning..., op. cit., ap. E, pp. 299-302, se encuentra la realizacin de un programa en MATLAB yBASIC para calcular y dibujar la curva de disonancia. Mi realizacin del algoritmo en el programa SpecMusicse ha implementadoen lenguaje C++.

74Vase SETHARES, W. A. Tuning..., op. cit., cap. 9, pp. 189-210.75El sumatorio corresponde a todas las posibles combinaciones entre cada una de las mnotas.76

Por esta razn, una precisin numrica de 9 decimales o mejor es aconsejable para el clculo de la disonancia total.77sta es la solucin propuesta por Sethares. Por otro lado, hay que tener en cuenta que el nmero de notas del temperamentoigual debe ser el mismo que el de la escala en la cual se base la composicin de la obra musical. Tal nmero es 12 para la mayorade ejemplos musicales de la msica occidental pero puede ser diferente en otros tipos de msica.


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2) Aplicar logaritmos y sustituir la resta anterior por una divisin (igualmenteen partes por mil)78:

Esta medida proporciona una mayor diferenciacin entre los diferentesresultados por lo que permite extraer conclusiones de una forma ms clara.En las ecuaciones anteriores, TDexpresa la disonancia total calculada mediante

la frmula dada; TD representa la expresin modificada; y TD0 se refiere a ladisonancia total calculada aplicando el temperamento igual. Entonces, TD0constituyeun valor de referencia en relacin al cual se expresar el clculo de la disonancia para elresto de afinaciones. En consecuencia, para el caso del temperamento igual se obtendrun valor nulo para la disonancia. En el presente artculo se ha tomado la segundaexpresin para el clculo de la disonancia total.

78sta es la solucin propuesta por m.


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FIGURAS

Figura 1: Representacin grfica de la anchura de banda crtica79.

Figura 2:Representacin grfica de la disonancia sensorial de dos ondas sinusoidales80.

79Datos extrados de FERNNDEZ DE LA GNDARA, Gonzalo. Curso de acstica..., op. cit., fig. 6-9, p. 69. A su vez, la

figura est extrada de PIERCE, J. R. Los sonidos de la msica. Traduccin espaola de la primera edicin inglesa. Barcelona:Prensa Cientfica, 1985, p. 78.PILES ESTELLS, Jaime.Intervalos y gamas. Valencia: Piles, Editorial de Msica, 1982, 131 p.80Datos extrados de SETHARES, W. A. Tuning..., op. cit.,fig. 2.18, p. 44.


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Figura 3:Curva de disonancia para un espectro de 6 picos obtenida a travs del programa SpecMusic. Eleje vertical representa la medida de disonancia sensorial segn las expresiones expuestas en el apndice

8.2 y el eje horizontal representa la relacin de frecuencia entre las dos notas de un intervalo comprendidoentre el unsono (1.0) y la octava (2.0).


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Figura 4: Comparacin entre las desviaciones de los intervalos de tercera mayor correspondientes altemperamento de Werckmeister III y los resultados del segundo mtodo de anlisis de J. Barnes81.

81Datos extrados de BARNES, J. Bachs keyboard temperament, op. cit., fig. 1, p. 243.

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