La subalternaci6n y la conversi6n aristotelicade las proposiciones

Leticia Valadez H.Umversidad Panamericana

The author demonstrates the validity of the inferenee ofparticular sentences from universai sentences through theAristoteiian simpie conversion and accidentai conversionof categorical propositions.

La iogica es una de las partes de la filosofia aristoteliea que hapermanecido praeticamente intaeta desde su inieio por e! Estagirita. Yaunque la afirmacibn kantiana de que a partir de Aristoteles la Iogicano ha tenido que dar ningun paso ni para atras, ni para adeianteresulta un tanto exagerada, hay que admitir que los fundamentos y iosprincipaies esquemas de io que hoy conocemos como iogicasistematiea fueron dados por Aristoteles.

Quiero detenerme linieamente en un tema de ia iogica ciasica que apartir de su critiea por algunos logicos ha dado lugar a io queconocemos como iogica euantifieaeional, y en eoncreto, ai uso deieuantificador existenciai en ias proposieiones categorieas. Este temaes el de las infereneias inmediatas por subaltemacion.

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El clasico cuadro de oposicion' indica, entre otras cosas, que lasproposiciones A-I y E-0 son subaltemas. Por ejemplo, la proposieion:

'Todos los presentes son invitados'

es subaltema de:

'Algunos de Ios presentes son invitados'.

Y la proposicion;

'Ningun B es C

es subaltema de:

'Algun B no e s C \

La teoria comunmente admitida sobre las subaltemas se puederesumir en los siguientes puntos:

1. Son subaltemas las proposiciones opuestas que difieren encantidad, pero no en cualidad.

2. Las inferencias que se obtienen a partir de este tipo de oposicionson:

2.1 De la verdad de la universal se infiere la verdad de laparticular, pero no viceversa.

' La presentacion del cuadro fue inventada por el poeta latino Apuleyo; enel aparecian las contradictorias, las contrahas y las subcontrarias, pero nolas subaltemas. Fue precisamente Boecio quien despues lo completa con lasubaltemaci6n. Cfr. REALE, G. Y ANTISERI, D.: Historia del pensamientoniosdfico y cientiTico. Vol. I, pp. 404-408.

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LA SUBALTERNACION Y LA CONVERSION DE LAS PROPOSICIONES

2.1 De la falsedad de la particular se infiere la falsedad dela universal, pero no viceversa.

De acuerdo con el punto 2.1,

3. Si A es verdadera, I es verdadera. Y si E es verdadera, 0 esverdadera.

De acuerdo con el punto 2.2,

4. Si I es falsa, A cs falsa. Si O es falsa, E es &lsa

La inferencia que me interesa analizar ahora es la que se obtiene apartir de las universales (2.1).

El cuantificador existencial

Para muchos logicos las proposiciones universales no implican laexistencia, mientras que las proposiciones particulares si. De hecho,el eiemento que distingue ambos tipos de proposieiones es justamenteel cuantificador: en el primer caso el cuantificador universal y en elultimo, el euantificador existencial.

Los ejemplos dados anteriormente se simbolizan segiin Iosprincipios de la logica simbolica modema del siguiente modo:

'Todos Ios presentes son invitados'

(x) (Fx ^ Gx)

Donde F esta por 'presentes' y G por 'invitados', y se lee:

'Para todos los x, si x es un F, x es un G.

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TOPICOS

Y las proposiciones!:

'Algunos de los presentes son invitados*

(3x) (Fx -> Gx)

Donde F estd por 'presentes' y G por 'invitados', y se lee:

'Existe, por Io menos, un x tal que, x es F y x es G'^.

Al aAadir el cuantificador existencial a las proposiciones I, lainferencia inmediata por subaltemacion no es posible, es decir, habriaque explicitar la existencia del sujeto antes de hacer la infereneia: "A'Todos Ios F son G', parece a primera vista afirmar mas cosas que I,'Algun F es G' y parece tambien implicaria; sin embargo, esto no esasi, a causa de la posibilidad de que no haya ningun F, (...) Lo masque podemos afirmar es que si todos los F son G y si hay algun F,entonces algunos F son G"^.

Hay abundante literatura sobre el tema del cuantificador existencialy el problema de la subaltemacion. Una consideracion, entre lasmuchas que existen, que atiende a un aspecto basico de la formalidaden la logica, consiste en entender de tres maneras la existencia en lasproposiciones.

2 Cfr. FERRATER MORA, J. Y LEBLANC, H.: Ldgica matematica. FCE.Mexico. 1990. p. 78.^ QuiNE, W.V.: Los m t̂odos de la I6gica. Ariel. Barcelona, 1981. p. 121"Podria pensarse que una proposicion 1 se deduce de su correspondienteproposici6n A, asf eomo una proposici6n O de su correspondienteproposici6n E. pero no es asi. Una proposicion A puede ser verdadera y, noobstante. su proposicion I correspondiente ser falsa". CoPi. I.M.:Iiitroducci6n a la 16gica. Eudeba. Buenos Aires, 1974, p. 368.

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LA SUBALTERNACI6N Y LA CONVERSI6N DE LAS PROPOSICIONES

Desde un punto de vista formal, las proposiciones categdricas A,£, I y O no a^mian ni niegan ia existencia de ios individuos a ios quese refieren. Es por esto que "en un contexto determinado, unasproposiciones pueden suponer existencia, otras la no existencia, yotras suponer desconocimiento de la existencia"^. Es decir, en ellenguaje ordinario, en situaciones ordinarias, no es necesario queexplicitemos la existencia en nuestras afirmaciones. Por ejemplo,cuando se afirma:

'Todos los canguros son mamiferos' o

*algunos canguros son mamiferos',

se esta dando por supuesto que hay canguros sin necesidad de iiacerIa aciaracion. Y cuando se dice que

Todos ios marcianos son dei sistema solar'o

'algunos marcianos son dei sistema solar',

aunque podrian parecer afimiaciones faisas no lo son si se estapartiendo dei supuesto de que no existen marcianos y de que Marte esun pianeta del sistema solar, y por lo tanto, lo que nazca ahipertenecera a ia ciase del sistema solar. Del mismo modo, estas eranverdaderas antes de que se supiera que no existian los marcianos,cuando -en este caso- se partia del supuesto de que se desconocia suexistencia o no existencia, La afinnaci<!>n falsa seria:

'Existen los marcianos y todos los marcianos son del sistema solar',

donde se hace una referencia explicita, y ademis falsa, sobre laexistencia de aquello de lo que se habla.

^ GUERRERO, L.: El razonamiento deductivo formal. UniversidadPanamericana. Mexico, 1992, p. 166.

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La conversi6n aristotelica de las proposiciones

Partiendo de lo anterior, la inferencia por subaltemacion podriaexpliearse considerando la verdad o falsedad de las proposicionesexclusivamente desde un punto de vista de las propiedades y no de laexistencia. En una consideracion tal, en las proposieiones 'todomareiano es del sistema solar', 'todos los canguros son mamiferos' o'todo F es G' lo que se predica es una propiedad de una clase.

En el primer caso se afirma que la clase de los marcianos tiene lapropiedad 'ser del sistema solar'. En el segundo, que la clase de loscanguros tiene la propiedad 'mamiferos'. En el tercero, que los Ftienen la propiedad 'G'. Aunque en ningun easo, ciertamente, decimossi los seres de los que estamos hablando existen o no, o si sedesconoce su existencia.

En el diagrama

se muestra de manera grafica lo dicho anteriormente: que 'todo io quees F tiene la propiedad G', aunque no sabemos que es F o que es G, osi existe F o si existe G; y de donde puede inferirse tambien que'algiin F tiene la propiedad G'.

Aristoteles estudio la oposicion, pero no habla de la subaltemacion.Sin embargo, la inferencia por subaltemacion puede demostrarse a

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LASUBALTERNACION Y LACONVERSI6N DE LAS PROPOSICIONES

partir de la conversion simple y la conversion accidental que el mismoAristoteies exptica en Analiticos Primeros, I, 2, 25a i-25.

"Es necesario que, en ei caso de la asercion privativauniversai, se puedan invertir los terminos, v.g.: si ningunplacer es un bien, tampoco ningun bien sera un placer, encambio, la predicativa es necesario que se invierta, pero notomada universalmente, sino particularmente, v.g.: si todoplacer es un bien, tambien algun bien es un placer, encuanto a las particulares, la afirmativa es necesario que seinvierta tomada particularmente (pues, si algun placer es unbien, tambien algun bien serd un placer), en cambio laprivativa no es necesario que se invierta; (pues, si hombre nose da en algun animal, no por ello animal no ha de darse enalgun hombre^.

Analicemos las partes de este texto:

I. "Es necesario que, en el caso de la asercion privativa universal, sepuedan invertir los terminos". Este tipo de conversion es lacomunmente conocida como conversion simple de E. Por ejemplo:

'Ningun sospechoso es extranjero'

se convierte a:

'Ningun extranjero es sospechoso'.

2, "La predicativa es necesario que se invierta, pero no tomadauniversalmente, sino particulannente". Esta es la conversionaccidental de A. Por ejemplo:

'An, Prior. 1,2. 25a 5-13.

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'Todos los sospechosos son extranjeros'

se convierte a:

'Aigunos extranjeros son sospechosos'.

3. "En cuanto a las particuiares, ia afirmativa es necesario que seinvierta tomada particularmente". Se trata de la conversion simpie deI. Por ejempio:

'Aigunos sospechosos son extranjeros'

se convierte a:

'Algunos extranjeros son sospechosos'.

Por lo tanto, se llega a la misma conciusion tanto por lasubaitemacion como por la conversion de proposiciones expuesta porAristoteles. Y la demostracion formai es ia siguiente:

La ley de ia subaitemacion dice que 'Aigunos sospechosos sonextranjeros' se infiere de ia proposicion Todos ios sospechosos sonextxanjeros'. Demostremos que ia inferencia es vahda:

(1) Todos los sospechosos son extranjeros.

(2) Aigunos extranjeros son sospechosos (conversi6n accidental de 1).

(3) Algunos sospechosos son extranjeros (conversi6n simple de 2).

Q.E.D.

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