La Méthode Du Simplexe

8/17/2019 La Méthode Du Simplexe

1/45

La méthode du simplexe


2/45

1) Algorithme du simplexe

Cet algorithme permet de déterminer lasolution optimale, si elle existe, d’unproblème de programmation linéaire à n

variables. Le principe de la méthode est de transformer

les contraintes qui sont des inéquations enéquations en ajoutant des variables positives

que l’on appelle variables d’écart. uis ontransforme ce s!stème d’équations linéaires jusqu’à trouver la solution optimale.


3/45

2) Les étapes de la méthode

remière étape " La formulationmathématique du problème

#euxième étape " $ise sous formestandard du problème %roisième étape " &pplication de

l’algorithme du simplexe


4/45

3) La formulation mathématique du

problème (1)

& partir de l’énoncé du problème qui estdonné en langage naturel, il faut obtenir saformulation mathématique. C’est la phase

de modélisation. 'l faut déterminer et décrire avec précision

les variables du problème (unités etpériodes de temps de l’observation).

'l faut déterminer et classer les contraintesen vérifiant l’homogénéité des unités.


5/45

3) La formulation mathématique du

problème (2)

'l faut déterminer la fonctionéconomique (ou objectif) et donnerle t!pe d’optimisation recherchée(maximum ou minimum)

Les contraintes et la fonctionéconomique doivent *tre linéaires

par rapport aux variables duproblème sinon l’algorithme dusimplexe n’est pas applicable.


6/45

4) Mise sous forme standard du

problème

Un problème de programmationlinéaire est dit sous formestandard s’il vérifie les

conditions suivantes : Les variables du problème doivent

toutes être positives. Le type d’optimisation doit être une

recherche de maximum. Les contraintes sont des

contraintes d’égalité.


7/45

4a) !ransformation des "ariables

+i une variable x est négative, on pose ! -x. La nouvelle variable ! est positive

et les contraintes et la fonction

économique restent bien linéaires aprèsavoir remplacé l’ancienne variable x par !.


8/45


+i une variable x est de signequelconque, on pose x x/-x0 o1 x/ etx0 sont deux nouvelles variables

positives. Les contraintes et la fonctionéconomique restent bien linéaires aprèsavoir remplacé l’ancienne variable x parx/-x0.


9/45


+i le t!pe d’optimisation est unerecherche de minimum pour la fonctionéconomique 2, on procède à un

changement de fonction économique enconsidérant 2 (qui est toujours unefonction linéaire des variables).

3n a la propriété min(2) - $ax(-2).


10/45

4b) !ransformation des inégalités en

égalités

Pour cela il faut a!outer desvariables dites variables d’écart"ui doivent être égalementpositives.

#n suppose "u’initialement lesvariables sont : x/, x0, 4 , xn


11/45

Cas d’une contrainte

de type ≤ ou

&u départ on a la contrainte " a/x/ 5 a0x0 5 4. 5 anxn

≤

b

3n ajoute une variable d’écart epositive, la contrainte devient "

a/x/ 5 a0x0 5 4. 5 anxn 5 e b

Les nouvelles variables sont :x/, x0, 4 , xn, e


12/45

Cas d’une contrainte

de type ≥ ou

&u départ on a la contrainte " a/x/ 5 a0x0 5 4. 5 anxn

≥

b

3n retranche une variable d’écart epositive, la contrainte devient "

a/x/ 5 a0x0 5 4. 5 anxn - e b

Les nouvelles variables sont :x/, x0, 4 , xn, e


13/45

#xemple

6orme canonique du programmelinéaire "0x5! 7 899x50! 7 :99! 7 ;99

x ≥9, ! ≥9

6onction économique à maximiser "2 ;9999x 5


14/45

$orme standard

Le problème est mis sous formestandard en ajoutant trois variablesd’écart positives, e/, e0, e;.

0x5!5e/ 899x50!5e0 :99!5e; ;99

x≥

9, !≥

9, e/≥

9, e0≥

9, e;≥

9$ax(;9999x5


15/45

!ableau du simplexe

Variablesen base

x y e1 e2 e3 2ème

membreRatio

e1 2 1 1 0 0 800

e2 1 2 0 1 0 700

e3 0 1 0 0 1 300

Z 30000 40000 0 0 0 0


16/45

%ariables en base et horsbase

3n distinguera les variables dites $ en base % etles variables dites $ hors base %. Les variableshors base ont toujours une valeur nulle, lesvariables en base sont celles pour lesquelles ne

figurent qu’un seul / sur leur colonne, les autrescoefficients sont nuls sur la colonne. &u départ =ase> e/, e0, e;? @ors=ase> x,!? Les coefficients de la fonction économique sont

appelés taux marginaux de substitution (ou %$+).'ci ;9999 et


17/45

&emarque 1

+i la fonction économique a dans sonexpression un coefficient constant, il fautle faire figurer dans l’avant-dernière

colonne (celle des seconds membres)avec le signe opposé.

C’est dans cette m*me cellule que l’ontrouvera l’opposé de la valeur de la

fonction économique pour la solution encours et donc l’opposé de l’optimumquand il sera atteint.


18/45

&emarque 2

3n remarque, dans le tableauinitial, que pour chaque variable enbase on a un seul un sur la colonneet les autres coefficients sont nuls.& chaque étape, le tableau devrarépondre à cette exigence.


19/45

'onstitution du tableau

Auand le problème est mis sous formestandard, on peut appliquer l’algorithme dusimplexe. Les différentes équations linéairessont placées dans un tableau. Chaque équationest une ligne du tableau, la dernière ligne estréservée pour la fonction économique.

Les colonnes correspondent aux variables duproblème. & droite du tableau l’avant dernièrecolonne contient les seconds membres deséquations. La dernière colonne contient ce quel’on appelle les ratios qui seront expliqués plusloin.


20/45

Les calculs qui sont effectués sontdes calculs de combinaisonslinéaires sur les lignes du tableau.

3n suppose comme cela est signalédans la remarque ci-dessus quetoutes les variables d’écart ont uncoefficient /.

3n recherche un maximum de lafonction économique.

) Appliation de l*algorithme du simplexe


21/45

+épart de l*algorithme

&u départ, on a une solutionréalisable du problème enconsidérant que les variables d’écart

sont égales aux seconds membreset que les autres variables sontnulles.

Cette solution respecte bien lescontraintes de positivité et leségalités sont satisfaites


22/45

,rinipe de l*algorithme

& chaque étape de l’algorithme, on choisitune variable hors base que l’on appellevariable entrante et une variable en baseque l’on appelle variable sortante afind’améliorer la solution précédente.

uis on transforme le tableau pour leremettre sous sa forme standard. Bneffet, les colonnes des variables en basene doivent avoir qu un seul / et des 9ailleurs.

Cette transformation se fait parcombinaison linéaire des lignes.


23/45

'hoix de la "ariable entrante

3n choisit celle dont le &'( eststrictement positif et le plusgrand possible.

+i tous les %$+ sont négatifs ounuls, l’optimum est atteint.L’algorithme s’arr*te


24/45

'hoix de la "ariable sortante

&près avoir choisi la variable entrante, oncalcule pour chaque ligne représentantune contrainte, le ratio qui est le rapport

entre le coefficient du deuxième membrede la contrainte et le coefficient sur lacolonne de la variable entrante.

Ce ratio peut *tre infini si le coefficient est

nul. La variable sortante est celle dont le ratio

est le plus petit strictement positif.


25/45

!ransformation du tableau

&près choix de la variable entrante et de lavariable sortante, on transforme le tableau.

L’intersection de la colonne de la variable

entrante et de la ligne de la variablesortante s’appelle le pivot.

'l faut transformer le tableau parcombinaisons linéaires sur les lignes pour

faire apparaDtre un / sur le pivot et des 9ailleurs sur la colonne de la nouvellevariable en base.


26/45

$in de l*algorithme

L’optimum est atteint lorsque tous les %$+ sontnégatifs. Les variables hors base sont nulles. Lesvaleurs des variables en base se lisentdirectement sur le tableau puisque leur coefficient

est / et que les autres variables qui ont uncoefficient non nuls sur la m*me ligne sont horsbase.

La valeur de l’optimum est l’opposé de la valeurqui figure sur la ligne de la fonction économique à

l’avant dernière colonne. 3n vérifiera cette valeuren remplaEant les valeurs des variables dans lafonction économique.


27/45

Méthode appliquée - l*exemple

Base x y e1 e2 e3 2ème

membre Ratio

e1 2 1 1 0 0 800

e2 1 2 0 1 0 700

e3 0 1 0 0 1 300

Z 30000 40000 0 0 0 0

A ce stade les variables en base sont e1, e2 et e3. On remarqueque pour chaque variable en base on a un seul 1 sur la colonne etque les autres coefcients sont nuls.Base={e1, e2, e3}es variables hors base sont ! et ".#orsBase={!, "}


28/45

&emarques sur le tableau initial

#n admettra "u’) cha"ue étape lesvariables hors base sont nulles. Lesvariables en base se calculent dans letableau en tenant compte du fait "ue

les variables hors base sont nulles. &vec ce tableau initial, on a une solution

intermédiaire (au départ) " x9 et !9 (car ces variables sont hors

base) e/899, e0:99, e;;99. Bn effet,

chaque ligne du tableau correspond à uneégalité.


29/45

&emarques sur le tableau initial

La valeur de * est l’opposé de la case+ème membre de la ligne de *. 3npeut la recalculer, par vérification, avec la

formule 2


30/45

%ariable entrante


membreRatio

e1 2 1 1 0 0 800

e2 1 2 0 1 0 700

e3 0 1 0 0 1 300

Z 30000 40000 0 0 0 0

$ariable entrante = Celle qui correspond au plusgrand TMS strictement positif %tau! mar&inal desubstitution' coefcient () de la *onction ob+ecti*. ci " estla variable entrante.


31/45

'alul des ratios


membreRatio

e1 2 1 1 0 0 800 ,--/

e2 1 2 0 1 0 700 0--+

e3 0 1 0 0 1 300 1--/

Z 30000 40000 0 0 0 0

On calcule les ratios en divisant pour chaque variable de labase %pour chaque li&ne', le coefcient du second membrepar le coefcient de la colonne de la variable entrante.


32/45

%ariable sortante


membre Ratio

e1 2 1 1 0 0 800 ,--/

e2 1 2 0 1 0 700 0--+

e3 0 1 0 0 1 300 1--/

Z 30000 40000 0 0 0 0

$ariable sortante = Celle correspondant au plus petit ratiostrictement positif %coefcient du 2-me membrecoefcient colonnede la variable entrante'.

ci e3 est la variable sortante.


33/45

!ransformation du tableau

Pivot intersection variableentrante et sortante

#ans la colonne du pivot " 'l fautmettre un / à la place du pivot etun 9 ailleurs. Bn effet, il s’agit de lanouvelle variable en base.


34/45

$aire appara.tre un 1 sur le pi"ot

+i le pivot n’est pas égal à /, il fautdiviser toute la ligne par le pivot.

'ci le pivot est déjà à /.


35/45

$aire appara.tre des / sur le reste de

la olonne de la nou"elle "ariable en

base 'l faut retrancher à

chaque ligne uncertain nombre de

fois la ligne dupivot pour faireapparaDtre un 9.


membre

Ratio

e1 2 1 1 0 0 800 ,--/

e2 1 2 0 1 0 700 0--+

e3 0 1 0 0 1 300 1--/

Z 30000 40000 0 0 0 0

pivot /our la li&ne de e1, il*aut lui retrancher lali&ne du pivot. Onremplace la li&ne 1 par

103


36/45

Autres transformations

our la ligne de e0, il faut luiretrancher deux fois la ligne dupivot.. 3n remplace L0 par L0-0L;

our la ligne de 2, il faut luiretrancher


37/45

!ableau 2

Variablesen base

x y e1 e2 e3 2ème membre Ratio

e1 2 0 1 0 -1 500

e2 1 0 0 1 -2 100

y 0 1 0 0 1 300

Z 30000 0 0 0 -40000 -12000000

optimum nest pas atteint %1 4 est

()'


38/45

%ariable entrante0 ratios et "ariable

sortante du tableau 2

Variablesen base


e1 2 0 1 0 -1 500 2--+3+

2-

e2 1 0 0 1 -2 100 /--/3/--

y 0 1 0 0 1 300 1---3

∞

Z 30000 0 0 0 -40000 -12000000

$ariable entrante ! et sortantee2


39/45

!ransformations sur le tableau 2

Le pivot est déjà à /. 'l faut remplacer L/ par L/ - 0FL0

L; ne doit pas *tre changée (il ! adéjà un 9) L< doit *tre remplacée par L<

;9999FL0


40/45

!ableau 3

Variablesen base


e1 0 0 1 -2 3 300

x 1 0 0 1 -2 100

y 0 1 0 0 1 300

Z 0 0 0 -30000 20000 -15000000

optimum nest pas atteint %1 4 est

()'


41/45

%ariable entrante0 ratios et "ariable

sortante du tableau 3

Variablesen base


e1 0 0 1 -2 3 300 31--13/--

x 1 0 0 1 -2 100 34/--+342-

y 0 1 0 0 1 300

31--/31--

Z 0 0 0 -30000 20000 -15000000

$ariable entrante e3 et sortantee1


42/45

#tape 1

+i"ision du pi"ot par 3

Variablesen base


e1 0 0 1/3 -2/3 1 300/3=100

x 1 0 0 1 -2 100

y 0 1 0 0 1 300

Z 0 0 0 -30000 20000 -15000000


43/45

#tape 2

Apparition des / sur le reste

de la olonne Variables

en base x y e1 e2 e3 2ème membre Ratio

e1 0 0 1/3 -2/3 1 300/3=100

x 1 0 0 1 -2 100

y 0 1 0 0 1 300

Z 0 0 0 -30000 20000 -15000000

l *aut remplacer 2 par 2 5 261, 3 par 301 et 7 par 702))))61


44/45

!ableau 4

Variablesen base


e1 0 0 1/3 -2/3 1 100

x 1 0 2/3 -1/3 0 300

y 0 1 -1/3 2/3 0 200

Z 0 -20000/3 0 -50000/3 0 -17000000

optimum est atteint %ous les 4 sont

n8&ati*s'


45/45

&ésultats

3ptimum " /: 999 999 G;99

H099 Iérification "

2;9999G 5

La Méthode Du Simplexe

Documents

Transcript of La Méthode Du Simplexe