La Matematica e le sue attrattive per i giovani di oggi

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di Margherita Guida e Carlo Sbordone

1. L’efficacia della Matematica per l’interpretazione della realtà fisica

Alcuni enti della Matematica sono a noi familiari sin dagli anni della scuola. Numeri interi, frazioni, pi-greco, radice quadrata di 2, espressioni algebriche e poi: rette, triangoli, quadrati, rettangoli, cerchi e così via.

Essi hanno varie caratteristiche. In primo luogo questi enti esistono in sé: nessuno può negare di avere l’idea di una circonferenza come di un ente ben preciso, anche se troverà abbastanza difficile ricordarne la definizione esatta.

In secondo luogo sappiamo che gli enti matematici possono essere rappresentati, con un certo grado di approssimazione, mediante oggetti fisici; si pensi alla luna piena, il cui profilo ha certamente costituito, per i pensatori antichi, il modello di un cerchio. Si pensi anche alla traccia circolare lasciata su un foglio dalla punta del compasso, dopo adeguata rotazione.

Si pensi ora al disegno con matita di un segmento eseguito con l’ausilio di una riga. Ci rendiamo conto, adoperando una lente di ingrandimento, che il nostro disegno del segmento non può rappresentare esattamente il segmento della matematica, perché riconosciamo che la linea disegnata ha uno spessore e che non è dritta.

Analoga sensazione proviamo dopo aver disegnato una circonferenza con il compasso. La circonferenza della matematica ha una perfezione irraggiungibile dai modelli che di volta in volta possiamo realizzare.

Siamo in presenza di un fenomeno interessante: gli enti matematici vengono definiti e trattati con un linguaggio astratto, ma noi non siamo in grado di concretizzare questi enti nel nostro mondo sensibile, possiamo solo pensare a questi enti come se fossero il risultato di un procedimento di approssimazione, con un “passaggio al limite”, per quanto vago debba esser considerato tale delicato procedimento.

Volendo assumere un atteggiamento “pratico” siamo indotti a chiederci: ma allora a che serve la matematica? Anzi: come mai serve la matematica ?. Il fisico Eugene Wigner, premio Nobel nel 1963, intitolò un famoso suo articolo “L’irragionevole efficacia della Matematica nelle Scienze Naturali”

Una prima risposta a questa domanda viene dal progresso del pensiero umano nella direzione della conoscenza dell’Universo.

Pensiamo innanzitutto all’Astronomia. Questa scienza ci aiuta a farci un’idea dell’Universo, ci fornisce informazioni su quanto ci circonda, ci consente di prendere coscienza di tutta una serie di fenomeni che all’apparenza risultano alquanto misteriosi.Le più antiche concezioni dell’Universo rispondono all’idea che uomini di cultura elementare si formano della Terra, degli astri e della volta celeste, basandosi sulle apparenze. Prima di tutto la Terra e la sua forma: lontano dai centri abitati, essa ci appare come una grande distesa con alternarsi di pianure, monti e valli. Solo in vicinanza del mare si può intuire che la superficie terrestre possa essere curva.

La Terra ci sembra ferma, sormontata da un cielo luminoso di giorno e buio di notte, costellato di astri, che hanno forme, dimensioni e moti diversi. Il Sole, la Luna, le stelle e i pianeti (questi ultimi meno riconoscibili) sembrano ruotare intorno a noi. E’ del tutto logico che, per secoli, l’uomo abbia ritenuto di essere al centro dell’universo e che questi astri ruotassero intorno al nostro pianeta, in maniera più o meno regolare, più o meno strana.

Fu grazie ad alcuni individui eccezionalmente dotati che l’Astronomia poté progredire come Scienza e fu possibile osservare attentamente ed interpretare correttamente le fasi della Luna e il ritardo quotidiano dell’apparire di questo corpo celeste in confronto a quello del Sole e delle stelle, il moto apparente del cielo stellato, lo spostarsi in un verso o nell’altro dei pianeti attraverso le costellazioni, le stelle cadenti, le comete e le eclissi di Luna e di Sole. Fu Copernico (1473-1543) a dimostrare matematicamente che la Terra, contrariamente all’apparenza, ruota intorno al suo asse in circa ventiquattro ore e gira intorno al sole in circa trecentosessantacinque giorni.

Fu Keplero (1571-1630) a dimostrare matematicamente che i pianeti percorrono orbite a forma di ellissi (e non di circonferenze) intorno al sole. Fu Galileo Galilei (1564-1642) a dimostrare sperimentalmente nel 1630 che non tutti i corpi celesti ruotano esclusivamente intorno al sole. Egli scoprì il moto intorno a Giove dei principali quattro suoi satelliti: Io, Europa, Ganimede e Callisto.

Un particolare assai rilevante: le ellissi erano già state ampiamente studiate da Apollonio, nel III secolo avanti Cristo, in termini puramente matematici.

E’ questo un primo esempio che mostra una delle caratteristiche della Matematica: essa a volte viene sviluppata indipendentemente dalle sue applicazioni agli altri rami

del sapere e spesso i suoi risultati trovano riscontro sensibile solo in epoche successive.

2. Il Teorema di Pitagora

La poetessa polacca Wislawa Szymborska, Nobel 1996 così si esprime nel suo libro In “Letture facoltative” (2006) a proposito del principe dei teoremi della geometria

“Non ho difficoltà ad immaginare un’antologia dei più bei frammenti della poesia mondiale in cui trovasse posto anche il Teorema di Pitagora. Perché no? Lì c’è quella folgorazione che è connaturata alla grande poesia e una forma sapientemente ridotta ai termini più indispensabili e una grazia che non a tutti i poeti è stata concessa”

Uno degli obiettivi perseguiti da chi si occupa di diffusione della matematica è quello di rivisitare classici risultati della matematica, dandone un’interpretazione intuitiva. Il teorema di Pitagora, ad esempio, secondo il quale: “il quadrato costruito sull’ipotenusa c di un triangolo rettangolo è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti a e b” può essere concretamente “messo in mostra” realizzando un dispositivo del tipo rappresentato nella figura 1 e facendolo ruotare opportunamente.

Il liquido, che inizialmente riempie il recipiente a forma di quadrato costruito sulla ipotenusa, previa una rotazione, va a riempire i due recipienti quadrati costruiti sui cateti.

In prima approssimazione si ottiene così una prova “tangibile” del teorema di Pitagora: quale soddisfazione nel verificare “sperimentalmente” una verità matematica. Prima di passare ad approfondire tale “prova sperimentale” e di mostrarne i limiti, presentiamo una ben nota dimostrazione geometrica rigorosa ed

assai semplice, limitatamente al caso particolare che il triangolo rettangolo sia anche isoscele, cioè che abbia i cateti uguali (Figura 2).

Il quadrato costruito sull’ipotenusa c è scomponibile in quattro triangoli equivalenti al triangolo dato, mentre ciascuno dei due quadrati costruiti sui cateti è scomponibile in due triangoli equivalenti al triangolo dato. Ne segue il teorema.

Eppure il dispositivo non funziona perfettamente. Si vede chiaramente che spostando il liquido dal quadrato grande in quelli piccoli, ve ne è una piccola quantità che avanza. (Figura 3)

Il motivo è il seguente. Un qualsiasi contenitore di liquido deve avere delle pareti con certo spessore. Dunque anche i contenitori a sezione quadrata costruiti nel dispositivo (Figura 1 e Figura 3) avranno uno spessore ε. Pertanto, se le loro pareti esterne misurano rispettivamente a,b,c con a2+b2=c 2 , le loro pareti interne misureranno rispettivamente per lati non a,b,c ma a-ε, b-ε, c-ε.

Si verifica subito che a fronte dell’uguaglianza pitagorica a2+b2=c2 si ha invece la disuguaglianza

(a- ε)2 +(b-ε)2 < (c-ε)2

per ε sufficientemente piccolo.

Per convincerci con un esempio di questo fatto, immaginiamo di partire dalla terna pitagorica a=3, b=4, c=5 (32+42=52) e supponiamo che sia ε =1. Si ha

a-ε=3-1=2, b-ε =4-1=3; c- ε =5-1=4

dunque

22 + 32 = 13 < 16 = 42

Cioè la terna 2,3,4 non è una terna pitagorica e la somma delle aree dei quadrati di lato 2 e 3 è inferiore all’area del quadrato di lato 4. Ecco perché avanza il liquido.

In definitiva il dispositivo non riproduce una dimostrazione esatta del Teorema di Pitagora, ma ne costituisce una prova sperimentale approssimativa, che suscita ancora maggiore interesse, perché mette in luce un’ulteriore proprietà elementare delle terne pitagoriche.

3. Gli insiemi infiniti

Passiamo a descrivere un oggetto con interessante significato matematico: l’albergo infinito, che costituisce un modello sensibile dell’insieme dei numeri interi. I numeri interi 1,2,3,…… nella loro globalità sono un’astrazione della mente umana o possono essere realizzati attraverso qualche modello sensibile?

Proviamo ad immaginare un albergo con infinite camere. Che vuol dire?

Vuol dire che comunque scegliamo un numero, c’è sempre una camera a cui corrisponde quel numero. Scegliamo il numero 100.000 e c’è la camera numero 100.000. Scegliamo il numero 100 milioni e c’è la camera con quel numero e cosi via. Questo è l’albergo infinito.

Domanda: in un albergo infinito, c’è l’ultima camera, cioè quella con il massimo numero?

Risposta: poiché non esiste il massimo numero, allora non esiste neppure l’ultima camera. Dopo ogni camera c’è n’è sempre un’altra, con il numero successivo.

Un giorno, l’albergo infinito era completo. Che vuol dire?

Vuol dire che componendo al centralino il numero di una stanza qualsiasi, c’era sempre un ospite che rispondeva. Ad una certa ora si presentò un nuovo cliente. Il direttore, non sapendo come accontentare il cliente, si rivolse al suo consulente matematico. Questi gli consigliò di spostare ogni ospite nella camera successiva. Dunque l’ospite della camera 1 fu spostato nella 2, quello della 2 nella 3 e così via, in modo che la camera 1 risultò libera e assegnata al nuovo cliente.

Quest’ultimo era un famoso giornalista attrezzato di computer che inviò via a tutti i giornalisti del mondo la notizia dell’esistenza di quell’incredibile albergo dotato di infinite stanze capace di accogliere sempre un’ospite in più.

Dopo qualche ora vi fu un’invasione di infiniti giornalisti, aspiranti clienti dell’albergo infinito. Tutti volevano una stanza e si misero in fila all’ingresso dell’Hotel.

Il direttore telefonò al suo consulente matematico per risolvere il problema di sistemare tutti questi nuovi clienti.

Il suggerimento questa volta era più articolato: spostare il cliente 1 nella 2, quello della 2 nella 4, quello della 3 nella 6; in definitiva ogni cliente doveva essere spostato nella camera corrispondente al doppio del numero della propria. In tal modo restavano libere tutte le infinite camere di numero dispari e fu possibile accontentare gli infiniti nuovi clienti. Questo esempio mette in luce i paradossi dell’infinito. In Matematica non è possibile, in genere, fare a meno del concetto di infinito e, allorché si cerca di concretizzare un insieme infinito, si verificano situazioni che appaiono strane.

4. Somme con infiniti addendi

Un interessante esempio che si fa frequentemente per dare un’idea della necessità del concetto di limite è fornito dal paradosso di Achille e la tartaruga, di cui diamo una opportuna interpretazione.

Immaginiamo che Achille si trovi indietro di 1000 metri rispetto alla tartaruga e, per fissare le idee, che corra ad una velocità di 10 metri al secondo, mentre quest’ultima percorre 5 metri al secondo.

Allora:

In 100 secondi Achille percorre 1000 m e quindi raggiunge la posizione iniziale

della tartaruga che però nel frattempo è andata avanti di 500 metri

Nei successivi 50 secondi Achille copre questi 500 metri, ma nel frattempo la tartaruga è andata avanti di 250 metri

Nei successivi 25 secondi Achille copre questi 250 metri, ma nel frattempo la

tartaruga è andata avanti di 125 metri

e così via.

Sembrerebbe che Achille non raggiunga mai la tartaruga (paradosso segnalato da Zenone nel III secolo a.C.).

In realtà Achille raggiunge la tartaruga dopo un certo tempo, se è possibile dar significato alla somma con infiniti addendi

100+50+25+………………

Corrispondenti ai tempi parziali in secondi.

In Matematica questa somma ha pienamente significato grazie ad un procedimento di limite, come sa ogni studente universitario che abbia seguito un corso di Analisi. Il risultato che si ottiene è 200. Dunque il nostro Achille raggiunge la tartaruga che corre a metà della sua velocità, in 200 secondi, cioè in 3 minuti e 20 secondi.

5. Crescita esponenziale

Un’altra questione con contenuto matematico , riguarda la velocità con la quale si raggiungono numeri abbastanza grandi con procedendo al raddoppio iterato. Cominciamo con la domanda: quanti antenati di un bambino di dieci anni sono nati dal 1500 in poi?

Supponiamo che tra genitori e figli vi sia una differenza di età di 25 anni. Quindi di un ragazzo di 10 anni sono nati in questo secolo i 2 genitori, i 4 nonni e gli 8 bisnonni. Nel 1800 sono nati i 16=24 trisavoli, i 32=25 loro genitori, i 64=26 genitori di questi ultimi e i loro 128=27 genitori. E così via: nel 1700 dobbiamo contare 28+29+210+211 antenati, nel 1600, 212+213+214+215, nel 1500, 216+217+218+219. In totale abbiamo

2+22+23+…….. 216+217+218+219

Antenati nati dal 1500 in poi. Applicando la regola delle progressioni aritmetiche

1+a+a2+a3+………………….+an-1=(an-1)/(a-1)

Con a=2, n=20 troviamo

1+ 2+22+23+…….. 216+217+218+219=2020-1

Essendo 210=1024, risulta

2020=2010×2010=1.048.576

In conclusione il ragazzo conta oltre un milione di antenati dal 1500 in poi. Bisogna dire, in verità, che in molti di questi antenati saranno parenti tra loro e quindi uno stesso antenato figurerà più volte nell’albero genealogico, ma ciò non toglie che si raggiungano numeri veramente inattesi.

6. Coincidenze e creduloni

Attraverso il calcolo delle probabilità è possibile spiegare razionalmente delle coincidenze apparentemente non credibili, al punto che alcuni non addetti ai lavori, invocano credenze o spiegazioni soprannaturali, implicite nella fase “non può trattarsi di una semplice coincidenza” o talvolta, “era destino”.

Come vedremo su qualche esempio, l’equivoco nasce semplicemente dalla sottostima della probabilità di certi eventi, o dal fatto che alcune coincidenze, generalmente

molto improbabili, diventano relativamente frequenti quando è molto alto il numero delle circostanze in cui esse possono realizzarsi.

Dinanzi alla frase: <<ieri eravamo solo in 5 in aula, eppure due di noi avevano lo stesso segno zodiacale. Che combinazione! >> faremo vedere che, a conti fatti, non c’è da stupirsi.

Ci chiediamo: se un certo numero n di studenti si trovano a caso in un’aula, qual è la probabilità che almeno due di essi siano nati nello stesso mese? Si vede che, se n=5, cioè se ho un gruppo di 5 studenti, allora la probabilità della coincidenza del mese di nascita è maggiore del 50%, cioè è più probabile che due di loro siano nati nello stesso mese anziché il contrario.

Cominciamo con un’osservazione semplice: se in un’aula vi sono 13 posti a sedere, allora possiamo far sedere 13 studenti, scelti a caso, con la certezza (cioè con probabilità uguale a 1) che due di loro siano nati nello stesso mese. Se avessimo solo 12 sedie, la certezza verrebbe meno, in quanto, scegliendo a caso, potremmo anche trovare tutti studenti nati in mesi diversi. Possiamo così concludere che il numero n = 13 è il “minimo numero di persone che dobbiamo chiamare per esser certi di poter far in modo che due di loro siano nate nello stesso mese”.

Ci chiediamo ora: quanto grande deve essere n affinchè sia più probabile che tra n persone ce ne siano 2 nate nello stesso mese anziche non? Cioè, affinchè la probabilità che ve ne siano due nate nello stesso mese sia maggiore del 50%?

La risposta è : n= 5. (come dimostreremo tra poco) : pertanto, se abbiamo un gruppo di già soltanto 5 persone, è più probabile che due di esse siano nate nello stesso mese, piuttosto che il contrario. In realtà, come vedremo, con 5 persone si hanno quasi 2 chance su 3 di determinare tale coincidenza, e questo appare sorprendente a chi ha poca familiarità con questo genere di questioni. Un individuo non esperto tende infatti ad argomentare “intuitivamente” che, poiché ci vogliono 13 persone per avere

la certezza della coincidenza, un numero intero prossimo a 213 (= 6,5) e cioè 6

persone (e non 5) garantiscono la coincidenza con più del 50%.

Per arrivare al risultato, determiniamo la probabilità dell’evento contrario, cioè che i 5 studenti siano nati in 5 mesi diversi. Ovvero che

1) il mese di nascita del secondo sia diverso da quello del primo, (con probabilità

uguale a 1211 perché per il secondo ci sono 11 mesi “disponibili” su 12)

2) il mese di nascita del terzo sia diverso da quelli dei primi due, (con probabilità

uguale a 1210 perché per il terzo ci sono 10 mesi “disponibili” su 12)

3) il mese del quarto sia diverso da quelli dei primi tre ( con probabilità uguale a 129

perché per il quarto ci sono 9 mesi disponibili su 12)

4) il mese del quinto diverso dai segni dei primi quattro ( con probabilità uguale a 128

perché per il quinto ci sono 8 mesi disponibili su 12)

La probabilità che cerchiamo per l’evento contrario è la probabilità del prodotto logico di ( o evento composto da) questi quattro eventi e cioè è il prodotto delle

probabilità dei singoli eventi citati: (1211 )(

1210 )(

129 )(

128 ) =

207367920 =

14455 , da cui la

probabilità dell’evento che ci interessa è 1-(14455 ) =

14489 che è circa il

10062 cioè il 62%.

Con un ragionamento simile, si prova che è circa del 50% la probabilità che in un gruppo di 23 studenti ve ne siano almeno due nate nello stesso giorno dell’anno. Determiniamo la probabilità dell’evento contrario cioè che i 23 studenti siano tutti nati in giorni diversi.

Allora (ignorando gli anni bisestili), qualunque sia la data di nascita del primo studente,

1) la probabilità che il secondo studente sia nato in un giorno dell’anno diverso da

quello del primo è 365364

2) la probabilità che il terzo studente sia nato in un giorno dell’anno diverso da

quelli dei primi due è 365363

3) la probabilità che il quarto studente sia nato in un giorno dell’anno diverso da

quelli dei primi tre è 365362

e così via…

dunque la probabilità dell’evento contrario che è l’ evento composto che tutti e 23 siano nati in giorni diversi è il prodotto logico delle probabilità elencate e cioè

(365364 ) (

365363 ) (

365362 ) ….. (

365343 ) .

ed è circa 0.493. Pertanto la probabilità dell’evento che ci interessa è circa 1-0.493=0.507, cioè un po’ più del 50%.

Infine si può dimostrare che basta avere 111 studenti in aula perché sia più probabile del 50% averne due nati nello stesso giorno ed alla stessa ora di quel giorno, tenendo conto del fatto che il 365 giorni vi sono 8760 ore.

In generale, il quadro completo della situazione è riassunto dal seguente diagramma, dove sull’asse delle ordinate sono riportati i valori della probabilità di coincidenza delle date dei compleanni e sull’asse delle ascisse i valori del numero di studenti su cui si effettua il calcolo:

Molti altri “exhibits” hanno trovato posto nel percorso di matematica, alcuni di tipo interattivo, allo scopo di invogliare il visitatore a impegnarsi in prima persona, eventualmente con l’aiuto di una guida.

Infatti la mostra non è fatta solo per essere osservata: molte sezioni prevedono la sperimentazione diretta delle possibili soluzioni di vari quesiti o l’interpretazione dei fenomeni matematici selezionati.

In definitiva, al visitatore si offre una gradualità di livelli di approfondimento che vanno da quello più elementare, rivolto ai più giovani, a quello più impegnativo, destinato agli insegnanti.

Frequente è il caso di visitatori non più giovani che ritrovano interesse per formule, eventi matematici e forme geometriche, di cui colgono un fascino del tutto particolare, quello di un ritorno nostalgico a sensazioni della propria fanciullezza, allorché erano “costretti” a parlare di numeri, operazioni, frazioni e poi di rette, triangoli, quadrati, rettangoli, cerchi e così via.