Matematica - Appunti di Matematica 3

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Matematica Appunti di Matematica 3 Michele prof. Perini IISS Copernico Pasoli - Liceo Scientifico A.S. 2021-2022 Michele prof. Perini Matematica 1 / 212

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MatematicaAppunti di Matematica 3

Michele prof. PeriniIISS Copernico Pasoli - Liceo Scientifico

A.S. 2021-2022

Michele prof. Perini Matematica 1 / 212

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1 FunzioniGeneralitàGraficoPari e dispariMonotoneComposte e inverseGrafici

2 SuccessioniMonotoneDefinizioni ricorsivePrincipio di induzioneProgressione aritmeticaProgressione geometrica

3 Vettori 2D e piano cartesianoMichele prof. Perini Matematica 2 / 212

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DefinizioneModuloScalare per vettoreSommaProdotto scalareRetteDeterminantiDistanza punto-rettaFasci di rette

4 Introduzione alle trasformazioni lineariSimmetria centraleSimmetria assialeTraslazioneDilatazioni

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OmotetieGrafici

5 GoniometriaAngoliFunzioni goniometricheAngoli associatiTriangoli rettangoliGrafici funzioni goniometricheFunzioni periodicheFunzioni goniometriche inverseEquazioni e disequazioniFormule di addizione e sottrazioneFormule di duplicazioneFormule di bisezione

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Formule parametricheFunzione lineare in seno e coseno

6 ConicheCirconferenzaEllisseParabolaIperboleAx2 +0 · x y +C y2 +Dx +E y +F = 0Sezioni di cono

7 TrigonometriaTriangoli rettangoliArea di un triangoloTeorema della corda e dei seniTeorema del coseno

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Coseno e prodotto scalare

8 StatisticaSommatorieDati e loro rappresentazioneFrequenze assoluteFrequenze relativeFrequenze cumulateFrequenze relative cumulateLa media aritmeticaLa varianzaLa deviazione standardTest del χ2 di CramerRegressione lineare

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Funzioni GeneralitàLe funzioni sono particolari relazioni.Una relazione R ⊆ X ×Y è una funzione se:

∀x ∈ X ,∀y1, y2 ∈ Y , xRy1 ∧xRy2 ⇔ y1 = y2

Notazione per una funzione:y = f (x) : X → Y

l’insieme X si chiama anche dominio, Dl’insieme Y si chiama codominio, CL’insieme I = {

y ∈C : y = f (x), x ∈ D}

si chiamaimmagine. In generale I ⊆C .

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Funzioni GeneralitàLe funzioni sono particolari relazioni.Una relazione R ⊆ X ×Y è una funzione se:

∀x ∈ X ,∀y1, y2 ∈ Y , xRy1 ∧xRy2 ⇔ y1 = y2

Notazione per una funzione:y = f (x) : X → Y

l’insieme X si chiama anche dominio, Dl’insieme Y si chiama codominio, CL’insieme I = {

y ∈C : y = f (x), x ∈ D}

si chiamaimmagine. In generale I ⊆C .

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Funzioni GeneralitàLe funzioni sono particolari relazioni.Una relazione R ⊆ X ×Y è una funzione se:

∀x ∈ X ,∀y1, y2 ∈ Y , xRy1 ∧xRy2 ⇔ y1 = y2

Notazione per una funzione:y = f (x) : X → Y

l’insieme X si chiama anche dominio, D

l’insieme Y si chiama codominio, CL’insieme I = {

y ∈C : y = f (x), x ∈ D}

si chiamaimmagine. In generale I ⊆C .

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Funzioni GeneralitàLe funzioni sono particolari relazioni.Una relazione R ⊆ X ×Y è una funzione se:

∀x ∈ X ,∀y1, y2 ∈ Y , xRy1 ∧xRy2 ⇔ y1 = y2

Notazione per una funzione:y = f (x) : X → Y

l’insieme X si chiama anche dominio, Dl’insieme Y si chiama codominio, C

L’insieme I = {y ∈C : y = f (x), x ∈ D

}si chiama

immagine. In generale I ⊆C .

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Funzioni GeneralitàLe funzioni sono particolari relazioni.Una relazione R ⊆ X ×Y è una funzione se:

∀x ∈ X ,∀y1, y2 ∈ Y , xRy1 ∧xRy2 ⇔ y1 = y2

Notazione per una funzione:y = f (x) : X → Y

l’insieme X si chiama anche dominio, Dl’insieme Y si chiama codominio, CL’insieme I = {

y ∈C : y = f (x), x ∈ D}

si chiamaimmagine. In generale I ⊆C .

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Funzioni Generalità

Rappresentazione sagittale di una funzione f (x) : D →C

D C

una funzione è un collegamento, una regola tra elementidell’insieme dominio, D, e elementi dell’insieme codominio, C ,che abbina ad ogni elemento x ∈ D uno e uno solo elemento

y ∈C .Michele prof. Perini Matematica 8 / 212

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Funzioni Grafico

Grafico di una funzioneData la funzione f (x) : D →C si chiama grafico di fl’insieme delle coppie ordinate:

G = {(x, f (x)

): x ∈ D

}

−3 −2 −1 1 2 3

−2

−1

1

2

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Funzioni Grafico

Funzioni ugualiDue funzioni f e g sono uguali se hanno lo stessodominio D e inoltre:

f (x) = g (x), ∀x ∈ D

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Funzioni Pari e dispari

Funzioni pariaaIl nome di queste funzioni deriva dal fatto che la proprietà che le

definisce è tipica delle funzioni polinomiali che presentano solo potenzepari della variabile indipendente.

Una funzione f (x) : D →R si dice pari se

f (−x) = f (x), ∀x ∈ D

le funzioni pari sono simmetriche rispetto all’asse y .

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Funzioni Pari e dispari

Funzioni dispariaaIl nome di queste funzioni deriva dal fatto che la proprietà che le

definisce è tipica delle funzioni polinomiali che presentano solo potenzedispari della variabile indipendente.

Una funzione f (x) : D →R si dice dispari se

f (−x) =− f (x), ∀x ∈ D

le funzioni dispari sono simmetriche rispettoall’origine.

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Funzioni Monotone

Funzioni strettamente crescentif : D →C è strettamente crescente in I ⊂ D se:

x1 < x2 → f (x1) < f (x2), ∀x1, x2 ∈ I

−2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2

−1.5

−1

−0.5

0.5

1

1.5

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Funzioni Monotone

Funzioni strettamente decrescentif : D →C è strettamente decrescente in I ⊂ D se:

x1 < x2 → f (x1) > f (x2), ∀x1, x2 ∈ I

−2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2

−1.5

−1

−0.5

0.5

1

1.5

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Funzioni Monotone

Funzioni costantif : D →C è costante in I ⊂ D se:

f (x1) = f (x2), ∀x1, x2 ∈ I

−2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

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Funzioni Monotone

Funzioni crescentif : D →C è crescente in I ⊂ D se:

x1 < x2 → f (x1) ≤ f (x2), ∀x1, x2 ∈ I

−2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2

−8

−6

−4

−2

2

4

6

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Funzioni Monotone

Funzioni decrescentif : D →C è decrescente in I ⊂ D se:

x1 < x2 → f (x1) ≥ f (x2), ∀x1, x2 ∈ I

−2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2

−6

−4

−2

2

4

6

8

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Funzioni Monotone

Funzioni monotoneUna funzione crescente o decrescente in un certosottoinsieme I del suo dominio si dice monotona inI .

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Funzioni Composte e inverse

Una funzione y = f (x) : D →C può essere (o nonessere):suriettiva C = I = {

y ∈C : y = f (x), x ∈ D}

iniettiva ∀x1, x2 ∈ D, x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2)

biiettiva se è sia suriettiva che iniettiva

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Funzioni Composte e inverse

Una funzione y = f (x) : D →C può essere (o nonessere):suriettiva C = I = {

y ∈C : y = f (x), x ∈ D}

iniettiva ∀x1, x2 ∈ D, x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2)

biiettiva se è sia suriettiva che iniettiva

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Funzioni Composte e inverse

Una funzione y = f (x) : D →C può essere (o nonessere):suriettiva C = I = {

y ∈C : y = f (x), x ∈ D}

iniettiva ∀x1, x2 ∈ D, x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2)

biiettiva se è sia suriettiva che iniettiva

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Funzioni Composte e inverse

Rappresentazione sagittale di una funzionef (x) : D →C non suriettiva, non iniettiva, non

biiettiva:

D C

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Funzioni Composte e inverse

Rappresentazione sagittale di una funzionef (x) : D →C suriettiva, non iniettiva, non biiettiva:

D C

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Funzioni Composte e inverse

Rappresentazione sagittale di una funzionef (x) : D →C suriettiva, iniettiva, biiettiva:

D C

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Funzioni Composte e inverse

Le funzioni biiettive ammettono inversa. L’inversadi una funzione f (x) si indica con il simbolo f −1(x).

f :

D C

f −1 :

D C

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Funzioni Composte e inverse

Le funzioni biiettive ammettono inversa. L’inversadi una funzione f (x) si indica con il simbolo f −1(x).

f :

D C

f −1 :

D C

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Funzioni Composte e inverse

I grafici delle funzioni inverse sono simmetricirispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.

−2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2

−2

−1.5

−1

−0.5

0.5

1

1.5

2

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Funzioni Composte e inverse

Funzioni composteDate due funzioni f e g , si dice funzione compostadi f dopo g , e si indica con il simbolo f ◦ g lafunzione:

f ◦ g (x) = f (g (x))

in generale f ◦ g (x) 6= g ◦ f (x).

Composizione di funzioni inverseDate due funzioni f e f −1, una inversa dell’altra siha che f ◦ f −1(x) = f −1 ◦ f (x) = x o con altri simbolif ( f −1(x)) = f −1( f (x)) = x.

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Funzioni Composte e inverse

Funzioni composteDate due funzioni f e g , si dice funzione compostadi f dopo g , e si indica con il simbolo f ◦ g lafunzione:

f ◦ g (x) = f (g (x))

in generale f ◦ g (x) 6= g ◦ f (x).

Composizione di funzioni inverseDate due funzioni f e f −1, una inversa dell’altra siha che f ◦ f −1(x) = f −1 ◦ f (x) = x o con altri simbolif ( f −1(x)) = f −1( f (x)) = x.

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Funzioni Grafici

y = f (x) = x + c , c ∈R

x

y

La funzione f (x) = x + c è iniettiva e monotona crescente∀c ∈R, può essere applicata ad ambo i membri di equazioni,disequazioni e disuguaglianze non modificando il loro insiemedelle soluzioni.

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Funzioni Grafici

y = f (x) = |x|

x

y

La funzione f (x) = |x| è non iniettiva e non monotonacrescente su tutto R, può essere applicata ad ambo i membridi equazioni, disequazioni e disuguaglianze non modificando illoro insieme delle soluzioni se i membri sono entrambi positivi.

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Funzioni Grafici

y = f (x) = kx , k ∈R0

x

y

La funzione f (x) = kx , k ∈R0 è iniettiva e monotona su tuttoR, può essere applicata ad ambo i membri di equazioni,disequazioni e disuguaglianze non modificando il loro insiemedelle soluzioni.

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Page 37: Matematica - Appunti di Matematica 3

Funzioni Grafici

y = f (x) = x2n , n ∈N0

x

y

La funzione f (x) = x2n è non iniettiva e non monotona sututto R, può essere applicata ad ambo i membri di equazioni,disequazioni e disuguaglianze non modificando il loro insiemedelle soluzioni se i membri sono entrambi positivi.

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Funzioni Grafici

y = f (x) = 2np

x , n ∈N0

x

y

La funzione f (x) = 2np

x è iniettiva e monotona crescente sututto R+, può essere applicata ad ambo i membri di equazioni,disequazioni e disuguaglianze non modificando il loro insiemedelle soluzioni solo se i membri sono positivi.

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Page 39: Matematica - Appunti di Matematica 3

Funzioni Grafici

y = f (x) = x2n+1 , n ∈N0

x

y

La funzione f (x) = x2n+1 è iniettiva monotona crescente sututto R, può essere applicata ad ambo i membri di equazioni,disequazioni e disuguaglianze non modificando il loro insiemedelle soluzioni.

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Page 40: Matematica - Appunti di Matematica 3

Funzioni Grafici

y = f (x) = 2n+1p

x , n ∈N0

x

y

La funzione f (x) = 2n+1p

x è iniettiva e monotona crescente sututto R, può essere applicata ad ambo i membri di equazioni,disequazioni e disuguaglianze non modificando il loro insiemedelle soluzioni.

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Successioni

SuccessioneUna successione è una funzione s(n) : D ⊆N→R.I termini di una successione si indicano con i simbolis(n) o semplicemente sn.

1 2 3 4 5

0.5

1

1.5

2

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Successioni Monotone

Monotonia delle successioni

Una successione s(n) : D ⊆N→R si dice:strettamente crescente se sn < sn+1 ∀n ∈ D

strettamente decrescente se sn > sn+1 ∀n ∈ D

costante se sn = sn+1 ∀n ∈ D

crescente se sn ≤ sn+1 ∀n ∈ D

decrescente se sn ≥ sn+1 ∀n ∈ D

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Page 43: Matematica - Appunti di Matematica 3

Successioni Monotone

Monotonia delle successioni

Una successione s(n) : D ⊆N→R si dice:strettamente crescente se sn < sn+1 ∀n ∈ D

strettamente decrescente se sn > sn+1 ∀n ∈ D

costante se sn = sn+1 ∀n ∈ D

crescente se sn ≤ sn+1 ∀n ∈ D

decrescente se sn ≥ sn+1 ∀n ∈ D

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Page 44: Matematica - Appunti di Matematica 3

Successioni Monotone

Monotonia delle successioni

Una successione s(n) : D ⊆N→R si dice:strettamente crescente se sn < sn+1 ∀n ∈ D

strettamente decrescente se sn > sn+1 ∀n ∈ D

costante se sn = sn+1 ∀n ∈ D

crescente se sn ≤ sn+1 ∀n ∈ D

decrescente se sn ≥ sn+1 ∀n ∈ D

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Page 45: Matematica - Appunti di Matematica 3

Successioni Monotone

Monotonia delle successioni

Una successione s(n) : D ⊆N→R si dice:strettamente crescente se sn < sn+1 ∀n ∈ D

strettamente decrescente se sn > sn+1 ∀n ∈ D

costante se sn = sn+1 ∀n ∈ D

crescente se sn ≤ sn+1 ∀n ∈ D

decrescente se sn ≥ sn+1 ∀n ∈ D

Michele prof. Perini Matematica 34 / 212

Page 46: Matematica - Appunti di Matematica 3

Successioni Monotone

Monotonia delle successioni

Una successione s(n) : D ⊆N→R si dice:strettamente crescente se sn < sn+1 ∀n ∈ D

strettamente decrescente se sn > sn+1 ∀n ∈ D

costante se sn = sn+1 ∀n ∈ D

crescente se sn ≤ sn+1 ∀n ∈ D

decrescente se sn ≥ sn+1 ∀n ∈ D

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Page 47: Matematica - Appunti di Matematica 3

Successioni Definizioni ricorsive

Definizione ricorsiva: potenza ad esponentenaturale

Con a ∈R0 e n ∈N:

an ={

1 se n = 0a ·an−1 se n 6= 0

Esempio:

24 = 2·23 = 2·2·22 = 2·2·2·21 = 2·2·2·2·20 = 2·2·2·2·1 = 16

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Successioni Definizioni ricorsive

Definizione ricorsiva: fattoriale

Con n ∈N:

n! ={

1 se n = 0n · (n −1)! se n 6= 0

Esempio:

4! = 4·3! = 4·3·2! = 4·3·2·1! = 4·3·2·1·0! = 4·3·2·1·1 = 24

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Page 49: Matematica - Appunti di Matematica 3

Successioni Principio di induzione

Principio di induzioneCon n ∈N e P (n) una proprietà. Se P (0) è vera e∀n ∈N P (n) →P (n +1) allora P (n) vale per tuttigli n ∈N.

Il principio di induzione permette di dimostrareproprietà generali in modo estremamente semplice.

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Successioni Progressione aritmetica

Definizione ricorsiva: progressione aritmetica

Con n ∈N e d ∈R:

an ={

a0 se n = 0d +an−1 se n 6= 0

Esempio:

an ={

3 se n = 02+an−1 se n 6= 0

a3 = 2+a2 = 2+2+a1 = 2+2+2+a0 = 2+2+2+3 = 9

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Successioni Progressione aritmetica

Progressione aritmetica: formula generaledimostrata per induzione

Se an è una progressione aritmetica di ragione d siha che an = a0 +nd . Per dimostrare la proprietàan = a0 +nd usiamo il principio di induzione:

a0 = a0 +0 ·d = a0 la proprietà è verificata pern = 0

an+1 = an+d = a0+nd+d = a0+(n+1)d = an+1,per tutti i naturali se la proprietà an = a0 +ndè vera per n allora è vera anche per n +1

Quindi la proprietà an = a0+nd è valida ∀n ∈N.

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Successioni Progressione aritmetica

Progressione aritmetica: formula generaledimostrata per induzione

Se an è una progressione aritmetica di ragione d siha che an = a0 +nd . Per dimostrare la proprietàan = a0 +nd usiamo il principio di induzione:

a0 = a0 +0 ·d = a0 la proprietà è verificata pern = 0an+1 = an+d = a0+nd+d = a0+(n+1)d = an+1,per tutti i naturali se la proprietà an = a0 +ndè vera per n allora è vera anche per n +1

Quindi la proprietà an = a0+nd è valida ∀n ∈N.

Michele prof. Perini Matematica 39 / 212

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Successioni Progressione aritmetica

Somma termini progressione aritmetica:dimostrazione per induzione

Se an è una progressione aritmetica di ragione d si ha chesn =∑n

i=0 ai = (n +1)a0 + n(n+1)2 d . Per dimostrare la proprietà

usiamo il principio di induzione:s0 =∑0

i=0 ai = (0+1)a0 + 0(0+1)2 d = a0 la proprietà è

verificata per n = 0

sn+1 = an+1 + sn = a0 + (n +1)d + (n +1)a0 + n(n+1)2 d=

(n +2)a0 + n2+3n+22 d = (n +2)a0 + (n+1)(n+2)

2 d = sn+1, pertutti i naturali se la proprietà è vera per n allora è veraanche per n +1

Quindi la proprietà sn = (n +1)a0 + n(n+1)2 d è valida

∀n ∈N.Michele prof. Perini Matematica 40 / 212

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Successioni Progressione aritmetica

Somma termini progressione aritmetica:dimostrazione per induzione

Se an è una progressione aritmetica di ragione d si ha chesn =∑n

i=0 ai = (n +1)a0 + n(n+1)2 d . Per dimostrare la proprietà

usiamo il principio di induzione:s0 =∑0

i=0 ai = (0+1)a0 + 0(0+1)2 d = a0 la proprietà è

verificata per n = 0

sn+1 = an+1 + sn = a0 + (n +1)d + (n +1)a0 + n(n+1)2 d=

(n +2)a0 + n2+3n+22 d = (n +2)a0 + (n+1)(n+2)

2 d = sn+1, pertutti i naturali se la proprietà è vera per n allora è veraanche per n +1

Quindi la proprietà sn = (n +1)a0 + n(n+1)2 d è valida

∀n ∈N.Michele prof. Perini Matematica 40 / 212

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Successioni Progressione geometrica

Definizione ricorsiva: progressione geometrica

Con n ∈N e q ∈R0:

an ={

a0 se n = 0q ·an−1 se n 6= 0

Esempio:

an ={

3 se n = 02 ·an−1 se n 6= 0

a3 = 2 ·a2 = 2 ·2 ·a1 = 2 ·2 ·2 ·a0 = 2 ·2 ·2 ·3 = 24

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Successioni Progressione geometrica

Progressione geometrica: formula generaledimostrata per induzione

Se an è una progressione geometrica di ragione q siha che an = a0qn. Per dimostrare la proprietàan = a0qn usiamo il principio di induzione:

a0 = a0q0 = a0 la proprietà è verificata pern = 0

an+1 = q ·an = q ·a0qn = a0qn+1 = an+1, pertutti i naturali se la proprietà an = a0qn è veraper n allora è vera anche per n +1

Quindi la proprietà an = a0qn è valida ∀n ∈N.Michele prof. Perini Matematica 42 / 212

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Successioni Progressione geometrica

Progressione geometrica: formula generaledimostrata per induzione

Se an è una progressione geometrica di ragione q siha che an = a0qn. Per dimostrare la proprietàan = a0qn usiamo il principio di induzione:

a0 = a0q0 = a0 la proprietà è verificata pern = 0

an+1 = q ·an = q ·a0qn = a0qn+1 = an+1, pertutti i naturali se la proprietà an = a0qn è veraper n allora è vera anche per n +1

Quindi la proprietà an = a0qn è valida ∀n ∈N.Michele prof. Perini Matematica 42 / 212

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Successioni Progressione geometrica

Somma termini progressione geometrica:dimostrazione per induzione

Se an è una progressione geometrica di ragione q 6= 1 si ha chesn =∑n

i=0 ai = a01−qn+1

1−q . Per dimostrare la proprietà usiamo ilprincipio di induzione:

s0 =∑0i=0 ai = a0

1−q0+1

1−q = a0 la proprietà è verificata pern = 0

sn+1 = an+1 + sn = a0qn+1 +a01−qn+1

1−q = a01−qn+2

1−q = sn+1,per tutti i naturali se la proprietà è vera per n allora èvera anche per n +1

Quindi la proprietà sn = a01−qn+1

1−q è valida ∀n ∈N.Michele prof. Perini Matematica 43 / 212

Page 59: Matematica - Appunti di Matematica 3

Successioni Progressione geometrica

Somma termini progressione geometrica:dimostrazione per induzione

Se an è una progressione geometrica di ragione q 6= 1 si ha chesn =∑n

i=0 ai = a01−qn+1

1−q . Per dimostrare la proprietà usiamo ilprincipio di induzione:

s0 =∑0i=0 ai = a0

1−q0+1

1−q = a0 la proprietà è verificata pern = 0

sn+1 = an+1 + sn = a0qn+1 +a01−qn+1

1−q = a01−qn+2

1−q = sn+1,per tutti i naturali se la proprietà è vera per n allora èvera anche per n +1

Quindi la proprietà sn = a01−qn+1

1−q è valida ∀n ∈N.Michele prof. Perini Matematica 43 / 212

Page 60: Matematica - Appunti di Matematica 3

Vettori 2D e piano cartesiano DefinizioneUn vettore può essere definito come una ennuplaordinata sulla quale si definiscono le operazioni diprodotto scalare-vettore e di somma.

x

y

~AB

A

B

A(xA, y A

)B

(xB , yB

)~AB =

(xB −xA

yB − y A

)

Michele prof. Perini Matematica 44 / 212

Page 61: Matematica - Appunti di Matematica 3

Vettori 2D e piano cartesiano DefinizioneUn vettore può essere definito come una ennuplaordinata sulla quale si definiscono le operazioni diprodotto scalare-vettore e di somma.

x

y

~AB

A

B

A(xA, y A

)B

(xB , yB

)~AB =

(xB −xA

yB − y A

)

Michele prof. Perini Matematica 44 / 212

Page 62: Matematica - Appunti di Matematica 3

Vettori 2D e piano cartesiano DefinizioneUn vettore può essere definito come una ennuplaordinata sulla quale si definiscono le operazioni diprodotto scalare-vettore e di somma.

x

y

~AB

A

B

A(xA, y A

)B

(xB , yB

)~AB =

(xB −xA

yB − y A

)

Michele prof. Perini Matematica 44 / 212

Page 63: Matematica - Appunti di Matematica 3

Vettori 2D e piano cartesiano DefinizioneDue vettori sono equivalenti se hanno le medesimerispettive componenti. Due vettori equivalentihanno lo stesso modulo, direzione e verso.

x

y

~AB

A

B

~A′B ′

A′

B ′

~AB =(

xB −xA

yB − y A

)=

= ~A′B ′ =(

xB ′ −xA′

yB ′ − y A′

)

Michele prof. Perini Matematica 45 / 212

Page 64: Matematica - Appunti di Matematica 3

Vettori 2D e piano cartesiano DefinizioneDue vettori sono equivalenti se hanno le medesimerispettive componenti. Due vettori equivalentihanno lo stesso modulo, direzione e verso.

x

y

~AB

A

B

~A′B ′

A′

B ′

~AB =(

xB −xA

yB − y A

)=

= ~A′B ′ =(

xB ′ −xA′

yB ′ − y A′

)

Michele prof. Perini Matematica 45 / 212

Page 65: Matematica - Appunti di Matematica 3

Vettori 2D e piano cartesiano DefinizioneDue vettori sono equivalenti se hanno le medesimerispettive componenti. Due vettori equivalentihanno lo stesso modulo, direzione e verso.

x

y

~AB

A

B

~A′B ′

A′

B ′

~AB =(

xB −xA

yB − y A

)=

= ~A′B ′ =(

xB ′ −xA′

yB ′ − y A′

)

Michele prof. Perini Matematica 45 / 212

Page 66: Matematica - Appunti di Matematica 3

Vettori 2D e piano cartesiano Modulo

Modulo di un vettoreDato il vettore ~v =

(vx

vy

)il suo modulo è

|~v | = v =√

v2x + v2

y

x

y

~v

~v

vxvx

vy

vy

Michele prof. Perini Matematica 46 / 212

Page 67: Matematica - Appunti di Matematica 3

Vettori 2D e piano cartesiano Scalare per vettore

Prodotto scalare per vettore

~v~12 v

~32 v

~−v

α~v =α(

vx

vy

)=

(αvx

αvy

)|α~v | = |α| |~v |~v ∥α~v

Michele prof. Perini Matematica 47 / 212

Page 68: Matematica - Appunti di Matematica 3

Vettori 2D e piano cartesiano Scalare per vettore

Prodotto scalare per vettore

~v~12 v

~32 v

~−v

α~v =α(

vx

vy

)=

(αvx

αvy

)|α~v | = |α| |~v |~v ∥α~v

Michele prof. Perini Matematica 47 / 212

Page 69: Matematica - Appunti di Matematica 3

Vettori 2D e piano cartesiano Scalare per vettore

Prodotto scalare per vettore

~v~12 v

~32 v

~−v

α~v =α(

vx

vy

)=

(αvx

αvy

)|α~v | = |α| |~v |~v ∥α~v

Michele prof. Perini Matematica 47 / 212

Page 70: Matematica - Appunti di Matematica 3

Vettori 2D e piano cartesiano Scalare per vettore

Prodotto scalare per vettore

~v~12 v

~32 v

~−v

α~v =α(

vx

vy

)=

(αvx

αvy

)|α~v | = |α| |~v |~v ∥α~v

Michele prof. Perini Matematica 47 / 212

Page 71: Matematica - Appunti di Matematica 3

Vettori 2D e piano cartesiano Somma

Somma tra vettori

~a

~b~c

x

y

~c =~a +~b ==

(ax

ay

)+

(bx

by

)=

=(

ax +bx

ay +by

)

Michele prof. Perini Matematica 48 / 212

Page 72: Matematica - Appunti di Matematica 3

Vettori 2D e piano cartesiano Somma

Somma tra vettori

~a

~b~c

x

y

~c =~a +~b ==

(ax

ay

)+

(bx

by

)=

=(

ax +bx

ay +by

)

Michele prof. Perini Matematica 48 / 212

Page 73: Matematica - Appunti di Matematica 3

Vettori 2D e piano cartesiano Somma

Somma tra vettori

~a

~b~c

x

y

~c =~a +~b ==

(ax

ay

)+

(bx

by

)=

=(

ax +bx

ay +by

)

Michele prof. Perini Matematica 48 / 212

Page 74: Matematica - Appunti di Matematica 3

Vettori 2D e piano cartesiano Somma

Somma tra vettori

~a

~b~c

x

y

~c =~a +~b ==

(ax

ay

)+

(bx

by

)=

=(

ax +bx

ay +by

)

Michele prof. Perini Matematica 48 / 212

Page 75: Matematica - Appunti di Matematica 3

Vettori 2D e piano cartesiano Prodotto scalare

Prodotto scalare: definizione

x

y

~bγ

~a

~a ·~b ==

(ax

ay

)·(

bx

by

)=

= axbx +ay by

Michele prof. Perini Matematica 49 / 212

Page 76: Matematica - Appunti di Matematica 3

Vettori 2D e piano cartesiano Prodotto scalare

Prodotto scalare: definizione

x

y

~bγ

~a

~a ·~b ==

(ax

ay

)·(

bx

by

)=

= axbx +ay by

Michele prof. Perini Matematica 49 / 212

Page 77: Matematica - Appunti di Matematica 3

Vettori 2D e piano cartesiano Prodotto scalare

Prodotto scalare: definizione

x

y

~bγ

~a

~a ·~b ==

(ax

ay

)·(

bx

by

)=

= axbx +ay by

Michele prof. Perini Matematica 49 / 212

Page 78: Matematica - Appunti di Matematica 3

Vettori 2D e piano cartesiano Prodotto scalare

Prodotto scalare: definizione

x

y

~bγ

~a

~a ·~b ==

(ax

ay

)·(

bx

by

)=

= axbx +ay by

Michele prof. Perini Matematica 49 / 212

Page 79: Matematica - Appunti di Matematica 3

Vettori 2D e piano cartesiano Prodotto scalare

Prodotto scalare: proprietà

~a ·~b =~b ·~a~a ·

(k~b

)= k~b ·~a

~a ·(~b +~c

)=~a ·~b +~a ·~c

~a ·~a =~a2 = |~a|2 = a2

Le proprietà possono essere facilmente dimostrate apartire dalla definizione, dimostriamo l’ultima:

~a ·~a =~a2 =(

ax

ay

)·(

ax

ay

)= a2

x +a2y = |~a|2

Michele prof. Perini Matematica 50 / 212

Page 80: Matematica - Appunti di Matematica 3

Vettori 2D e piano cartesiano Prodotto scalare

Prodotto scalare: proprietà~a ·~b =~b ·~a

~a ·(k~b

)= k~b ·~a

~a ·(~b +~c

)=~a ·~b +~a ·~c

~a ·~a =~a2 = |~a|2 = a2

Le proprietà possono essere facilmente dimostrate apartire dalla definizione, dimostriamo l’ultima:

~a ·~a =~a2 =(

ax

ay

)·(

ax

ay

)= a2

x +a2y = |~a|2

Michele prof. Perini Matematica 50 / 212

Page 81: Matematica - Appunti di Matematica 3

Vettori 2D e piano cartesiano Prodotto scalare

Prodotto scalare: proprietà~a ·~b =~b ·~a~a ·

(k~b

)= k~b ·~a

~a ·(~b +~c

)=~a ·~b +~a ·~c

~a ·~a =~a2 = |~a|2 = a2

Le proprietà possono essere facilmente dimostrate apartire dalla definizione, dimostriamo l’ultima:

~a ·~a =~a2 =(

ax

ay

)·(

ax

ay

)= a2

x +a2y = |~a|2

Michele prof. Perini Matematica 50 / 212

Page 82: Matematica - Appunti di Matematica 3

Vettori 2D e piano cartesiano Prodotto scalare

Prodotto scalare: proprietà~a ·~b =~b ·~a~a ·

(k~b

)= k~b ·~a

~a ·(~b +~c

)=~a ·~b +~a ·~c

~a ·~a =~a2 = |~a|2 = a2

Le proprietà possono essere facilmente dimostrate apartire dalla definizione, dimostriamo l’ultima:

~a ·~a =~a2 =(

ax

ay

)·(

ax

ay

)= a2

x +a2y = |~a|2

Michele prof. Perini Matematica 50 / 212

Page 83: Matematica - Appunti di Matematica 3

Vettori 2D e piano cartesiano Prodotto scalare

Prodotto scalare: proprietà~a ·~b =~b ·~a~a ·

(k~b

)= k~b ·~a

~a ·(~b +~c

)=~a ·~b +~a ·~c

~a ·~a =~a2 = |~a|2 = a2

Le proprietà possono essere facilmente dimostrate apartire dalla definizione, dimostriamo l’ultima:

~a ·~a =~a2 =(

ax

ay

)·(

ax

ay

)= a2

x +a2y = |~a|2

Michele prof. Perini Matematica 50 / 212

Page 84: Matematica - Appunti di Matematica 3

Vettori 2D e piano cartesiano Prodotto scalare

Prodotto scalare e perpendicolarità

~a~b

~c =~b −~a

Per il teorema di Pitagorasi ha:

~a2 +~b2 =(~b −~a

)2

~a2 +~b2 =~a2 +~b2 −2~a ·~b~a ·~b = 0

~a ⊥~b ↔~a ·~b = 0

Michele prof. Perini Matematica 51 / 212

Page 85: Matematica - Appunti di Matematica 3

Vettori 2D e piano cartesiano Prodotto scalare

Prodotto scalare e perpendicolarità

~a~b

~c =~b −~a

Per il teorema di Pitagorasi ha:

~a2 +~b2 =(~b −~a

)2

~a2 +~b2 =~a2 +~b2 −2~a ·~b~a ·~b = 0

~a ⊥~b ↔~a ·~b = 0

Michele prof. Perini Matematica 51 / 212

Page 86: Matematica - Appunti di Matematica 3

Vettori 2D e piano cartesiano Prodotto scalare

Prodotto scalare e perpendicolarità

~a~b

~c =~b −~a

Per il teorema di Pitagorasi ha:

~a2 +~b2 =(~b −~a

)2

~a2 +~b2 =~a2 +~b2 −2~a ·~b~a ·~b = 0

~a ⊥~b ↔~a ·~b = 0

Michele prof. Perini Matematica 51 / 212

Page 87: Matematica - Appunti di Matematica 3

Vettori 2D e piano cartesiano Prodotto scalare

Prodotto scalare e perpendicolarità

~a~b

~c =~b −~a

Per il teorema di Pitagorasi ha:

~a2 +~b2 =(~b −~a

)2

~a2 +~b2 =~a2 +~b2 −2~a ·~b~a ·~b = 0

~a ⊥~b ↔~a ·~b = 0

Michele prof. Perini Matematica 51 / 212

Page 88: Matematica - Appunti di Matematica 3

Vettori 2D e piano cartesiano Rette

Retta parallela al vettore ~v e passante per ilpunto P (xP , yP )(

xy

)= k~v +

(xP

yP

)Due rette, nel piano, definite rispettivamente daivettori ~v e ~w sono parallele se e solo se ~v ∥ ~w , sonoperpendicolari se e solo se ~v ⊥ ~w .

Michele prof. Perini Matematica 52 / 212

Page 89: Matematica - Appunti di Matematica 3

Vettori 2D e piano cartesiano Rette

Retta passante per il punto A(xA, y A) eB(xB , yB ) (

xy

)= k

(xA −xB

y A − yB

)+

(xA

y A

)

Michele prof. Perini Matematica 53 / 212

Page 90: Matematica - Appunti di Matematica 3

Vettori 2D e piano cartesiano Rette

Equazione cartesiana retta passante perP (xP , yP ) e perpendicolare al vettore

~n =(

ab

)(

x −xP

y − yP

)·(

ab

)= 0 → a (x −xP )+b

(y − yP

)= 0

Michele prof. Perini Matematica 54 / 212

Page 91: Matematica - Appunti di Matematica 3

Vettori 2D e piano cartesiano Determinanti

Ricordiamo la definizione di determinante diuna matrice 2×2

det

(a bc d

)=

∣∣∣∣ a bc d

∣∣∣∣= ad −bc

Michele prof. Perini Matematica 55 / 212

Page 92: Matematica - Appunti di Matematica 3

Vettori 2D e piano cartesiano Determinanti

Determinanti e aree dei parallelogrammi

x

y

~a

~b

ax bx

ay

by

S = | (ax +bx)(ay +by

)+−2bx ay −ax ay −bxby | =

= ∣∣axby −ay bx

∣∣==

∣∣∣∣det

(ax bx

ay by

)∣∣∣∣

Michele prof. Perini Matematica 56 / 212

Page 93: Matematica - Appunti di Matematica 3

Vettori 2D e piano cartesiano Determinanti

Determinanti e aree dei parallelogrammi

x

y

~a

~b

ax bx

ay

by

S = | (ax +bx)(ay +by

)+−2bx ay −ax ay −bxby | =

= ∣∣axby −ay bx

∣∣==

∣∣∣∣det

(ax bx

ay by

)∣∣∣∣

Michele prof. Perini Matematica 56 / 212

Page 94: Matematica - Appunti di Matematica 3

Vettori 2D e piano cartesiano Determinanti

Determinanti e aree dei parallelogrammi

x

y

~a

~b

ax bx

ay

by

S = | (ax +bx)(ay +by

)+−2bx ay −ax ay −bxby | =

= ∣∣axby −ay bx

∣∣==

∣∣∣∣det

(ax bx

ay by

)∣∣∣∣

Michele prof. Perini Matematica 56 / 212

Page 95: Matematica - Appunti di Matematica 3

Vettori 2D e piano cartesiano Determinanti

Determinanti e aree dei parallelogrammi

x

y

~a

~b

ax bx

ay

by

S = | (ax +bx)(ay +by

)+−2bx ay −ax ay −bxby | =

= ∣∣axby −ay bx

∣∣==

∣∣∣∣det

(ax bx

ay by

)∣∣∣∣Michele prof. Perini Matematica 56 / 212

Page 96: Matematica - Appunti di Matematica 3

Vettori 2D e piano cartesiano Determinanti

Determinanti e vettori paralleli:

~v ∥ ~w →~v = k~w

det(~v ~w

)= det

(vx wx

vy wy

)=

= det

(kwx wx

kwy wy

)= kwx wy −kwx wy = 0

In conclusione:

~v ∥ ~w ↔ det(~v ~w

)= 0

Michele prof. Perini Matematica 57 / 212

Page 97: Matematica - Appunti di Matematica 3

Vettori 2D e piano cartesiano Distanza punto-retta

Distanza tra retta r e punto P

x

y

~a

~b r

P

H

PH =∣∣det

(~a ~b

)∣∣|~a|

Michele prof. Perini Matematica 58 / 212

Page 98: Matematica - Appunti di Matematica 3

Vettori 2D e piano cartesiano Distanza punto-retta

Distanza tra retta r e punto P

x

y

~a

~b r

P

H

PH =∣∣det

(~a ~b

)∣∣|~a|

Michele prof. Perini Matematica 58 / 212

Page 99: Matematica - Appunti di Matematica 3

Vettori 2D e piano cartesiano Distanza punto-retta

Distanza tra retta r e punto P

x

y

~a

~b r

P

H

PH =∣∣det

(~a ~b

)∣∣|~a|

Michele prof. Perini Matematica 58 / 212

Page 100: Matematica - Appunti di Matematica 3

Vettori 2D e piano cartesiano Fasci di rette

I fasci di rette sono famiglie di rette ognuna dellequali si ottiene per un certo k ∈R.

fascio di rette passanti per P (xP , yP ):y − yP = k(x −xP )

fascio di rette parallele y = mx +k

fascio generato da due rette generatrici:(ax +by + c)+k(a′x +b′y + c ′) = 0

Michele prof. Perini Matematica 59 / 212

Page 101: Matematica - Appunti di Matematica 3

Vettori 2D e piano cartesiano Fasci di rette

I fasci di rette sono famiglie di rette ognuna dellequali si ottiene per un certo k ∈R.

fascio di rette passanti per P (xP , yP ):y − yP = k(x −xP )

fascio di rette parallele y = mx +k

fascio generato da due rette generatrici:(ax +by + c)+k(a′x +b′y + c ′) = 0

Michele prof. Perini Matematica 59 / 212

Page 102: Matematica - Appunti di Matematica 3

Vettori 2D e piano cartesiano Fasci di rette

I fasci di rette sono famiglie di rette ognuna dellequali si ottiene per un certo k ∈R.

fascio di rette passanti per P (xP , yP ):y − yP = k(x −xP )

fascio di rette parallele y = mx +k

fascio generato da due rette generatrici:(ax +by + c)+k(a′x +b′y + c ′) = 0

Michele prof. Perini Matematica 59 / 212

Page 103: Matematica - Appunti di Matematica 3

Introduzione alle trasformazioni lineari

AffinitàUna affinità è una trasformazione lineare biunivocadi punti del piano in altri punti del piano. Unaaffinità A :R2 →R2 che trasforma punti dicoordinate (x, y) in punti di coordinate (x ′, y ′) puòessere descritta dal sistema di equazioni:

A :

{x ′ = ax +by +hy ′ = cx +d y + s

con ad −bc 6= 0 affinché la trasformazione siainvertibile. Per ora limiteremo lo studio di questetrasformazioni ad alcuni casi particolari.

Michele prof. Perini Matematica 60 / 212

Page 104: Matematica - Appunti di Matematica 3

Introduzione alle trasformazioni lineari

Affinità e matriciIn termini matriciali una affinità A :R2 →R2 può essere scrittacome:

A :

(x ′

y ′

)=

(a bc d

)(xy

)+

(hs

)o anche:

A :

(x ′

y ′

)= L

(xy

)+~T

con L =(

a bc d

)una trasformazione lineare (invertibile con

det (L) = ad −bc 6= 0) e ~T =(

hs

)un vettore di traslazione.

Michele prof. Perini Matematica 61 / 212

Page 105: Matematica - Appunti di Matematica 3

Introduzione alle trasformazioni lineari Simmetriacentrale

x

y

•P (x, y)

•C (x0, y0)

•P ′(x ′, y ′)

Una simmetria centrale dicentro C (x0, y0) trasformaun punto P (x, y) in unoP ′(x ′, y ′) in modo tale cheC sia punto medio di PP ′.Si ha quindi:{

x0 = x+x′2

y0 = y+y ′2

{x ′ =−x +2x0

y ′ =−y +2y0↔

(x ′

y ′

)=

( −1 00 −1

)(xy

)+

(2x0

2y0

)Michele prof. Perini Matematica 62 / 212

Page 106: Matematica - Appunti di Matematica 3

Introduzione alle trasformazioni lineari Simmetriacentrale

x

y

•P (x, y)

•C (x0, y0)

•P ′(x ′, y ′)

Una simmetria centrale dicentro C (x0, y0) trasformaun punto P (x, y) in unoP ′(x ′, y ′) in modo tale cheC sia punto medio di PP ′.Si ha quindi:{

x0 = x+x′2

y0 = y+y ′2

{x ′ =−x +2x0

y ′ =−y +2y0↔

(x ′

y ′

)=

( −1 00 −1

)(xy

)+

(2x0

2y0

)Michele prof. Perini Matematica 62 / 212

Page 107: Matematica - Appunti di Matematica 3

Introduzione alle trasformazioni lineari Simmetriacentrale

x

y

•P (x, y)

•C (x0, y0)

•P ′(x ′, y ′)

Una simmetria centrale dicentro C (x0, y0) trasformaun punto P (x, y) in unoP ′(x ′, y ′) in modo tale cheC sia punto medio di PP ′.Si ha quindi:{

x0 = x+x′2

y0 = y+y ′2{

x ′ =−x +2x0

y ′ =−y +2y0↔

(x ′

y ′

)=

( −1 00 −1

)(xy

)+

(2x0

2y0

)Michele prof. Perini Matematica 62 / 212

Page 108: Matematica - Appunti di Matematica 3

Introduzione alle trasformazioni lineari Simmetriaassiale

x

y

•P (x, y)

•H

•P ′(x ′, y ′)

Una simmetria assialerispetto alla rettas : ax +by + c = 0trasforma un puntoP (x, y) in uno P ′(x ′, y ′) inmodo tale che PP ′ ⊥ s esia PH = P ′H . In terminidi equazioni:{ ∣∣ax+by+c

∣∣p

a2+b2=

∣∣ax′+by ′+c∣∣

pa2+b2

ba = y−y ′

x−x′

Michele prof. Perini Matematica 63 / 212

Page 109: Matematica - Appunti di Matematica 3

Introduzione alle trasformazioni lineari Simmetriaassiale

x

y

•P (x, y)

•H

•P ′(x ′, y ′)

Una simmetria assialerispetto alla rettas : ax +by + c = 0trasforma un puntoP (x, y) in uno P ′(x ′, y ′) inmodo tale che PP ′ ⊥ s esia PH = P ′H . In terminidi equazioni:{ ∣∣ax+by+c

∣∣p

a2+b2=

∣∣ax′+by ′+c∣∣

pa2+b2

ba = y−y ′

x−x′

Michele prof. Perini Matematica 63 / 212

Page 110: Matematica - Appunti di Matematica 3

Introduzione alle trasformazioni lineari Simmetriaassiale

x

y

•P (x, y)

•H

•P ′(x ′, y ′)

Una simmetria assialerispetto alla rettas : ax +by + c = 0trasforma un puntoP (x, y) in uno P ′(x ′, y ′) inmodo tale che PP ′ ⊥ s esia PH = P ′H . In terminidi equazioni:{ ∣∣ax+by+c

∣∣p

a2+b2=

∣∣ax′+by ′+c∣∣

pa2+b2

ba = y−y ′

x−x′

Michele prof. Perini Matematica 63 / 212

Page 111: Matematica - Appunti di Matematica 3

Introduzione alle trasformazioni lineari Simmetriaassiale

Una trasformazione di simmetria assiale ha quindiequazione:{

x ′ = b2−a2

a2+b2 x − 2aba2+b2 y − 2ac

a2+b2

y ′ =− 2aba2+b2 x + a2−b2

a2+b2 y − 2bca2+b2

o anche (in termini matriciali):(x ′

y ′

)= 1

a2 +b2

(b2 −a2 −2ab−2ab a2 −b2

)(xy

)− 2c

a2 +b2

(ab

)

Michele prof. Perini Matematica 64 / 212

Page 112: Matematica - Appunti di Matematica 3

Introduzione alle trasformazioni lineari Simmetriaassiale

In particolare una simmetria rispetto a y = y0 (cona = 0,b = 1,c =−y0) ha equazione:{

x ′ = xy ′ =−y +2y0

o anche (in termini matriciali):(x ′

y ′

)=

(1 00 −1

)(xy

)+

(0

2y0

)

Michele prof. Perini Matematica 65 / 212

Page 113: Matematica - Appunti di Matematica 3

Introduzione alle trasformazioni lineari Simmetriaassiale

In particolare una simmetria rispetto a x = x0 (cona = 1,b = 0,c =−x0) ha equazione:{

x ′ =−x +2x0

y ′ = y

o anche (in termini matriciali):(x ′

y ′

)=

( −1 00 1

)(xy

)+

(2x0

0

)

Michele prof. Perini Matematica 66 / 212

Page 114: Matematica - Appunti di Matematica 3

Introduzione alle trasformazioni lineari Simmetriaassiale

In particolare una simmetria rispetto a y = x (cona =−1,b = 1,c = 0) ha equazione:{

x ′ = yy ′ = x

o anche (in termini matriciali):(x ′

y ′

)=

(0 11 0

)(xy

)

Michele prof. Perini Matematica 67 / 212

Page 115: Matematica - Appunti di Matematica 3

Introduzione alle trasformazioni lineari Simmetriaassiale

In particolare una simmetria rispetto a y =−x (cona = 1,b = 1,c = 0) ha equazione:{

x ′ =−yy ′ =−x

o anche (in termini matriciali):(x ′

y ′

)=

(0 −1−1 0

)(xy

)

Michele prof. Perini Matematica 68 / 212

Page 116: Matematica - Appunti di Matematica 3

Introduzione alle trasformazioni lineari Traslazione

Traslazione: ~T =(

hs

), •→•

x

y

• x

y

Michele prof. Perini Matematica 69 / 212

Page 117: Matematica - Appunti di Matematica 3

Introduzione alle trasformazioni lineari Traslazione

Traslazione: ~T =(

hs

), •→•

x

y

• x

y

Michele prof. Perini Matematica 69 / 212

Page 118: Matematica - Appunti di Matematica 3

Introduzione alle trasformazioni lineari Traslazione

Traslazione: ~T =(

hs

), •→•

x

y

x

y

Michele prof. Perini Matematica 69 / 212

Page 119: Matematica - Appunti di Matematica 3

Introduzione alle trasformazioni lineari Traslazione

Traslazione: ~T =(

hs

), •→•

x

y

• x

y

Michele prof. Perini Matematica 69 / 212

Page 120: Matematica - Appunti di Matematica 3

Introduzione alle trasformazioni lineari Traslazione

Equazione di una traslazione:{x ′ = x +hy ′ = y + s

o anche (in termini matriciali):(x ′

y ′

)=

(1 00 1

)(xy

)+

(hs

)

Michele prof. Perini Matematica 70 / 212

Page 121: Matematica - Appunti di Matematica 3

Introduzione alle trasformazioni lineari Dilatazioni

Una dilatazione di centro l’origine ha equazione:{x ′ = axy ′ = by

o anche (in termini matriciali):(x ′

y ′

)=

(a 00 b

)(xy

)

Michele prof. Perini Matematica 71 / 212

Page 122: Matematica - Appunti di Matematica 3

Introduzione alle trasformazioni lineari Omotetie

Una omotetia di centro l’origine ha equazione:{x ′ = kxy ′ = k y

o anche (in termini matriciali):(x ′

y ′

)=

(k 00 k

)(xy

)

Michele prof. Perini Matematica 72 / 212

Page 123: Matematica - Appunti di Matematica 3

Introduzione alle trasformazioni lineari Grafici

Grafico di y = f (x) e di y =− f (x)

x

y

Michele prof. Perini Matematica 73 / 212

Page 124: Matematica - Appunti di Matematica 3

Introduzione alle trasformazioni lineari Grafici

Grafico di y = f (x) e di y = f (−x)

x

y

Michele prof. Perini Matematica 74 / 212

Page 125: Matematica - Appunti di Matematica 3

Introduzione alle trasformazioni lineari Grafici

Grafico di y = f (x) e di y = ∣∣ f (x)∣∣

x

y

Michele prof. Perini Matematica 75 / 212

Page 126: Matematica - Appunti di Matematica 3

Introduzione alle trasformazioni lineari Grafici

Grafico di y = f (x) e di y = f (|x|)

x

y

Michele prof. Perini Matematica 76 / 212

Page 127: Matematica - Appunti di Matematica 3

Introduzione alle trasformazioni lineari Grafici

Grafico di y = f (x) e di y = f (x +a)

x

y

Michele prof. Perini Matematica 77 / 212

Page 128: Matematica - Appunti di Matematica 3

Introduzione alle trasformazioni lineari Grafici

Grafico di y = f (x) e di y = f (x)+b

x

y

Michele prof. Perini Matematica 78 / 212

Page 129: Matematica - Appunti di Matematica 3

Introduzione alle trasformazioni lineari Grafici

Grafico di y = f (x) e di y = k f (x)

x

y

Michele prof. Perini Matematica 79 / 212

Page 130: Matematica - Appunti di Matematica 3

Introduzione alle trasformazioni lineari Grafici

Grafico di y = f (x) e di y = f (kx)

x

y

Michele prof. Perini Matematica 80 / 212

Page 131: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Angoli

Angolo e sua unità di misuraUn angolo per la geometria razionale è la porzionedi piano compresa tra due semirette. Questadefinizione di angolo non è pienamentesoddisfacente in quanto definire la misura diporzioni di piano non è semplice. Si ridefinisceperciò un angolo come rapporto tra arco e raggio.

γ

A

B

A′

B ′

rr ′

γ=ÙAB

r=

ÚA′B ′

r ′

Michele prof. Perini Matematica 81 / 212

Page 132: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Angoli

Angolo e sua unità di misuraUn angolo per la geometria razionale è la porzionedi piano compresa tra due semirette. Questadefinizione di angolo non è pienamentesoddisfacente in quanto definire la misura diporzioni di piano non è semplice. Si ridefinisceperciò un angolo come rapporto tra arco e raggio.

γ

A

B

A′

B ′

rr ′

γ=ÙAB

r=

ÚA′B ′

r ′

Michele prof. Perini Matematica 81 / 212

Page 133: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Angoli

Angolo e sua unità di misuraUn angolo per la geometria razionale è la porzionedi piano compresa tra due semirette. Questadefinizione di angolo non è pienamentesoddisfacente in quanto definire la misura diporzioni di piano non è semplice. Si ridefinisceperciò un angolo come rapporto tra arco e raggio.

γ

A

B

A′

B ′

rr ′

γ=ÙAB

r=

ÚA′B ′

r ′

Michele prof. Perini Matematica 81 / 212

Page 134: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Angoli

Angolo e sua unità di misuraUn angolo per la geometria razionale è la porzionedi piano compresa tra due semirette. Questadefinizione di angolo non è pienamentesoddisfacente in quanto definire la misura diporzioni di piano non è semplice. Si ridefinisceperciò un angolo come rapporto tra arco e raggio.

γ

A

B

A′

B ′

rr ′

γ=ÙAB

r=

ÚA′B ′

r ′

Michele prof. Perini Matematica 81 / 212

Page 135: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Angoli

Angolo e sua unitá di misura

L’unità di misura degliangoli è il radiante.Angolo giro:γ= 2πAngolo piatto:γ=πAngolo retto:γ= π

2

Michele prof. Perini Matematica 82 / 212

Page 136: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Angoli

Angolo e sua unitá di misura

L’unità di misura degliangoli è il radiante.Angolo giro:γ= 2πAngolo piatto:γ=πAngolo retto:γ= π

2

Michele prof. Perini Matematica 82 / 212

Page 137: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Angoli

Angolo e sua unitá di misura

L’unità di misura degliangoli è il radiante.Angolo giro:γ= 2πAngolo piatto:γ=πAngolo retto:γ= π

2

Michele prof. Perini Matematica 82 / 212

Page 138: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Angoli

Angolo e sua unitá di misuraL’unità di misura degliangoli è il radiante.Angolo giro:γ= 2πAngolo piatto:γ=πAngolo retto:γ= π

2

Michele prof. Perini Matematica 82 / 212

Page 139: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Funzioni goniometriche

Definizione di seno, coseno e tangente di un angolo:

cos(γ)= xP

r

sin(γ)= yP

r

tan(γ)= yP

xP= sin

(γ)

cos(γ)

Relazione goniometricafondamentale:

cos2 (γ)+sin2 (

γ)= 1

Michele prof. Perini Matematica 83 / 212

Page 140: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Funzioni goniometriche

Definizione di seno, coseno e tangente di un angolo:

cos(γ)= xP

r

sin(γ)= yP

r

tan(γ)= yP

xP= sin

(γ)

cos(γ)

Relazione goniometricafondamentale:

cos2 (γ)+sin2 (

γ)= 1

Michele prof. Perini Matematica 83 / 212

Page 141: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Funzioni goniometriche

Definizione di seno, coseno e tangente di un angolo:

cos(γ)= xP

r

sin(γ)= yP

r

tan(γ)= yP

xP= sin

(γ)

cos(γ)

Relazione goniometricafondamentale:

cos2 (γ)+sin2 (

γ)= 1

Michele prof. Perini Matematica 83 / 212

Page 142: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Funzioni goniometriche

Particolari valori delle funzioni goniometriche:angolo di π

6

−1 −0.5 0.5 1

−1

−0.5

0.5

1

cos(π

6

)=p

3

2

sin(π

6

)= 1

2

tan(π

6

)= sin

(π6

)cos

(π6

) = p3

3

Michele prof. Perini Matematica 84 / 212

Page 143: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Funzioni goniometriche

Particolari valori delle funzioni goniometriche:angolo di π

6

−1 −0.5 0.5 1

−1

−0.5

0.5

1

cos(π

6

)=p

3

2

sin(π

6

)= 1

2

tan(π

6

)= sin

(π6

)cos

(π6

) = p3

3

Michele prof. Perini Matematica 84 / 212

Page 144: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Funzioni goniometriche

Particolari valori delle funzioni goniometriche:angolo di π

6

−1 −0.5 0.5 1

−1

−0.5

0.5

1

cos(π

6

)=p

3

2

sin(π

6

)= 1

2

tan(π

6

)= sin

(π6

)cos

(π6

) = p3

3

Michele prof. Perini Matematica 84 / 212

Page 145: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Funzioni goniometriche

Particolari valori delle funzioni goniometriche:angolo di π

4

−1 −0.5 0.5 1

−1

−0.5

0.5

1

cos(π

4

)=p

2

2

sin(π

4

)=p

2

2

tan(π

4

)= sin

(π4

)cos

(π4

) = 1

Michele prof. Perini Matematica 85 / 212

Page 146: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Funzioni goniometriche

Particolari valori delle funzioni goniometriche:angolo di π

4

−1 −0.5 0.5 1

−1

−0.5

0.5

1

cos(π

4

)=p

2

2

sin(π

4

)=p

2

2

tan(π

4

)= sin

(π4

)cos

(π4

) = 1

Michele prof. Perini Matematica 85 / 212

Page 147: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Funzioni goniometriche

Particolari valori delle funzioni goniometriche:angolo di π

4

−1 −0.5 0.5 1

−1

−0.5

0.5

1

cos(π

4

)=p

2

2

sin(π

4

)=p

2

2

tan(π

4

)= sin

(π4

)cos

(π4

) = 1

Michele prof. Perini Matematica 85 / 212

Page 148: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Funzioni goniometriche

Particolari valori delle funzioni goniometriche:angolo di π

3

−1 −0.5 0.5 1

−1

−0.5

0.5

1

cos(π

3

)= 1

2

sin(π

3

)=p

3

2

tan(π

3

)= sin

(π3

)cos

(π3

) =p3

Michele prof. Perini Matematica 86 / 212

Page 149: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Funzioni goniometriche

Particolari valori delle funzioni goniometriche:angolo di π

3

−1 −0.5 0.5 1

−1

−0.5

0.5

1

cos(π

3

)= 1

2

sin(π

3

)=p

3

2

tan(π

3

)= sin

(π3

)cos

(π3

) =p3

Michele prof. Perini Matematica 86 / 212

Page 150: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Funzioni goniometriche

Particolari valori delle funzioni goniometriche:angolo di π

3

−1 −0.5 0.5 1

−1

−0.5

0.5

1

cos(π

3

)= 1

2

sin(π

3

)=p

3

2

tan(π

3

)= sin

(π3

)cos

(π3

) =p3

Michele prof. Perini Matematica 86 / 212

Page 151: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Angoli associati

α

α+ π2

1

cos(α+ π

2

)=−sin(α)

sin(α+ π

2

)= cos(α)

Michele prof. Perini Matematica 87 / 212

Page 152: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Angoli associati

α

α+ π2

1

cos(α+ π

2

)=−sin(α)

sin(α+ π

2

)= cos(α)

Michele prof. Perini Matematica 87 / 212

Page 153: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Angoli associati

α

α+ π2

1

cos(α+ π

2

)=−sin(α)

sin(α+ π

2

)= cos(α)

Michele prof. Perini Matematica 87 / 212

Page 154: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Angoli associati

απ−α

π+α −α1

cos(−α) = cos(α)

sin(−α) =−sin(α)

cos(π−α) =−cos(α)

sin(π−α) = sin(α)

cos(π+α) =−cos(α)

sin(π+α) =−sin(α)

Michele prof. Perini Matematica 88 / 212

Page 155: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Angoli associati

απ−α

π+α −α1

cos(−α) = cos(α)

sin(−α) =−sin(α)

cos(π−α) =−cos(α)

sin(π−α) = sin(α)

cos(π+α) =−cos(α)

sin(π+α) =−sin(α)

Michele prof. Perini Matematica 88 / 212

Page 156: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Angoli associati

απ−α

π+α −α1

cos(−α) = cos(α)

sin(−α) =−sin(α)

cos(π−α) =−cos(α)

sin(π−α) = sin(α)

cos(π+α) =−cos(α)

sin(π+α) =−sin(α)

Michele prof. Perini Matematica 88 / 212

Page 157: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Triangoli rettangoli

Relazioni lato-angolo in un triangolo rettangolo:

a

b

c

α

β

a = c · sinα= c ·cosβ

b = c · sinβ= c ·cosα

c = a

sinα= a

cosβ= b

sinβ= b

cosα

tanα= a

b

tanβ= b

a

Michele prof. Perini Matematica 89 / 212

Page 158: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Triangoli rettangoli

Relazioni lato-angolo in un triangolo rettangolo:

a

b

c

α

β

a = c · sinα= c ·cosβ

b = c · sinβ= c ·cosα

c = a

sinα= a

cosβ= b

sinβ= b

cosα

tanα= a

b

tanβ= b

a

Michele prof. Perini Matematica 89 / 212

Page 159: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Triangoli rettangoli

Relazioni lato-angolo in un triangolo rettangolo:

a

b

c

α

β

a = c · sinα= c ·cosβ

b = c · sinβ= c ·cosα

c = a

sinα= a

cosβ= b

sinβ= b

cosα

tanα= a

b

tanβ= b

a

Michele prof. Perini Matematica 89 / 212

Page 160: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Grafici funzioni goniometriche

Funzione coseno, cos(x) :R→ [−1,1]

−π −π2

π2

π 3π2

2π−1

1x

y

cos(x) = cos(x +2kπ), k ∈Z

cos(−x) = cos(x)

Michele prof. Perini Matematica 90 / 212

Page 161: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Grafici funzioni goniometriche

Funzione seno, sin(x) :R→ [−1,1]

−π −π2

π2

π 3π2

2π−1

1x

y

sin(x) = sin(x +2kπ), k ∈Z

sin(−x) =−sin(x)

Michele prof. Perini Matematica 91 / 212

Page 162: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Grafici funzioni goniometriche

Funzione tangente, tan(x) :R−{π2 +kπ

}→R

−3π2

−π −π2

π2

π 3π2

−2

2

x

y

tan(x) = tan(x +kπ), k ∈Ztan(−x) =− tan(x)

Michele prof. Perini Matematica 92 / 212

Page 163: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Funzioni periodiche

Funzioni periodicheUna funzione si dice periodica se per essa valef (x) = f (x +T ) ∀x del suo dominio e per un certoT > 0. Il minimo valore di T per cui è verificata larelazione precedente si dice periodo.

Seno e coseno sono periodiche di periodo 2π,tangente è periodica di periodo π.

Michele prof. Perini Matematica 93 / 212

Page 164: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Funzioni goniometriche inverse

Funzione coseno, cos(x) : [0,π] → [−1,1]Funzione arcocoseno, arccos(x) : [−1,1] → [0,π]

−π −π2

1−1 π2

π 3π2−1

1

π2

π

x

y

Michele prof. Perini Matematica 94 / 212

Page 165: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Funzioni goniometriche inverse

Funzione seno, sin(x) :[−π

2 , π2]→ [−1,1]

Funzione arcoseno, arcsin(x) : [−1,1] → [−π2 , π2

]

−π −π2

1−1 π2

π

−π2

−1

1

π2

x

y

Michele prof. Perini Matematica 95 / 212

Page 166: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Funzioni goniometriche inverse

Funzione tangente, tan(x) :]−π

2 , π2[→R

Funzione arcotangente, arctan(x) :R→ ]−π2 , π2

[

−π2

π2−π

2

π2

x

y

Michele prof. Perini Matematica 96 / 212

Page 167: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Funzioni goniometriche inverse

Per le funzioni goniometriche e le loro inversevalgono le relazioni1:

cos(arccos(x)) = arccos(cos(x)) = x

sin(arcsin(x)) = arcsin(sin(x)) = x

tan(arctan(x)) = arctan(tan(x)) = x

con x appartenente al dominio della funzionegoniometrica o della sua inversa o di entrambe aseconda dell’insieme di esistenza delle scritture.1che sono particolari applicazioni della caratteristica generale delle

funzioni inverse: f ( f −1(x)) = f −1( f (x)) = xMichele prof. Perini Matematica 97 / 212

Page 168: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

cos(x) = h

h

x

1

−arccos(h)

arccos(h)

se −1 < h < 1,x = arccos(h)+2kπ∨x =−arccos(h)+2kπ

se h = 1, x = 2kπ

se h =−1,x =π+2kπ

se h > 1∨h <−1,6 ∃x ∈R

Michele prof. Perini Matematica 98 / 212

Page 169: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

cos(x) = h

h

x

1

−arccos(h)

arccos(h)

se −1 < h < 1,x = arccos(h)+2kπ∨x =−arccos(h)+2kπ

se h = 1, x = 2kπ

se h =−1,x =π+2kπ

se h > 1∨h <−1,6 ∃x ∈R

Michele prof. Perini Matematica 98 / 212

Page 170: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

cos(x) = h

h

x

1

−arccos(h)

arccos(h)

se −1 < h < 1,x = arccos(h)+2kπ∨x =−arccos(h)+2kπ

se h = 1, x = 2kπ

se h =−1,x =π+2kπ

se h > 1∨h <−1,6 ∃x ∈R

Michele prof. Perini Matematica 98 / 212

Page 171: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

cos(x) = h

h

x

1

−arccos(h)

arccos(h)

se −1 < h < 1,x = arccos(h)+2kπ∨x =−arccos(h)+2kπ

se h = 1, x = 2kπ

se h =−1,x =π+2kπ

se h > 1∨h <−1,6 ∃x ∈R

Michele prof. Perini Matematica 98 / 212

Page 172: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

cos(x) = h

h

x

1

−arccos(h)

arccos(h)

se −1 < h < 1,x = arccos(h)+2kπ∨x =−arccos(h)+2kπ

se h = 1, x = 2kπ

se h =−1,x =π+2kπ

se h > 1∨h <−1,6 ∃x ∈R

Michele prof. Perini Matematica 98 / 212

Page 173: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

cos(x) = h

h

x

1

−arccos(h)

arccos(h)

se −1 < h < 1,x = arccos(h)+2kπ∨x =−arccos(h)+2kπ

se h = 1, x = 2kπ

se h =−1,x =π+2kπ

se h > 1∨h <−1,6 ∃x ∈R

Michele prof. Perini Matematica 98 / 212

Page 174: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

cos(x) = h

h

x

1

−arccos(h)

arccos(h)

se −1 < h < 1,x = arccos(h)+2kπ∨x =−arccos(h)+2kπ

se h = 1, x = 2kπ

se h =−1,x =π+2kπ

se h > 1∨h <−1,6 ∃x ∈R

Michele prof. Perini Matematica 98 / 212

Page 175: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

cos(x) > h

h

−arccos(h)

arccos(h)

x

1

se −1 < h < 1,−arccos(h)+2kπ<x < arccos(h)+2kπ

se h =−1,x 6=π+2kπ

se h ≥ 1, 6 ∃x ∈Rse h <−1, ∀x ∈R

Michele prof. Perini Matematica 99 / 212

Page 176: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

cos(x) > h

h

−arccos(h)

arccos(h)

x

1

se −1 < h < 1,−arccos(h)+2kπ<x < arccos(h)+2kπ

se h =−1,x 6=π+2kπ

se h ≥ 1, 6 ∃x ∈Rse h <−1, ∀x ∈R

Michele prof. Perini Matematica 99 / 212

Page 177: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

cos(x) > h

h

−arccos(h)

arccos(h)

x

1

se −1 < h < 1,−arccos(h)+2kπ<x < arccos(h)+2kπ

se h =−1,x 6=π+2kπ

se h ≥ 1, 6 ∃x ∈Rse h <−1, ∀x ∈R

Michele prof. Perini Matematica 99 / 212

Page 178: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

cos(x) > h

h

−arccos(h)

arccos(h)

x

1

se −1 < h < 1,−arccos(h)+2kπ<x < arccos(h)+2kπ

se h =−1,x 6=π+2kπ

se h ≥ 1, 6 ∃x ∈Rse h <−1, ∀x ∈R

Michele prof. Perini Matematica 99 / 212

Page 179: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

cos(x) > h

h

−arccos(h)

arccos(h)

x

1

se −1 < h < 1,−arccos(h)+2kπ<x < arccos(h)+2kπ

se h =−1,x 6=π+2kπ

se h ≥ 1, 6 ∃x ∈Rse h <−1, ∀x ∈R

Michele prof. Perini Matematica 99 / 212

Page 180: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

cos(x) > h

h

−arccos(h)

arccos(h)

x

1

se −1 < h < 1,−arccos(h)+2kπ<x < arccos(h)+2kπ

se h =−1,x 6=π+2kπ

se h ≥ 1, 6 ∃x ∈R

se h <−1, ∀x ∈R

Michele prof. Perini Matematica 99 / 212

Page 181: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

cos(x) > h

h

−arccos(h)

arccos(h)

x

1

se −1 < h < 1,−arccos(h)+2kπ<x < arccos(h)+2kπ

se h =−1,x 6=π+2kπ

se h ≥ 1, 6 ∃x ∈Rse h <−1, ∀x ∈R

Michele prof. Perini Matematica 99 / 212

Page 182: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

cos(x) < h

h

2π−arccos(h)

arccos(h)

x

1

se −1 < h < 1,arccos(h)+2kπ< x <2π−arccos(h)+2kπ

se h = 1, x 6= 2kπ

se h > 1, ∀x ∈Rse h ≤−1, 6 ∃x ∈R

Michele prof. Perini Matematica 100 / 212

Page 183: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

cos(x) < h

h

2π−arccos(h)

arccos(h)

x

1

se −1 < h < 1,arccos(h)+2kπ< x <2π−arccos(h)+2kπ

se h = 1, x 6= 2kπ

se h > 1, ∀x ∈Rse h ≤−1, 6 ∃x ∈R

Michele prof. Perini Matematica 100 / 212

Page 184: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

cos(x) < h

h

2π−arccos(h)

arccos(h)

x

1

se −1 < h < 1,arccos(h)+2kπ< x <2π−arccos(h)+2kπ

se h = 1, x 6= 2kπ

se h > 1, ∀x ∈Rse h ≤−1, 6 ∃x ∈R

Michele prof. Perini Matematica 100 / 212

Page 185: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

cos(x) < h

h

2π−arccos(h)

arccos(h)

x

1

se −1 < h < 1,arccos(h)+2kπ< x <2π−arccos(h)+2kπ

se h = 1, x 6= 2kπ

se h > 1, ∀x ∈Rse h ≤−1, 6 ∃x ∈R

Michele prof. Perini Matematica 100 / 212

Page 186: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

cos(x) < h

h

2π−arccos(h)

arccos(h)

x

1

se −1 < h < 1,arccos(h)+2kπ< x <2π−arccos(h)+2kπ

se h = 1, x 6= 2kπ

se h > 1, ∀x ∈Rse h ≤−1, 6 ∃x ∈R

Michele prof. Perini Matematica 100 / 212

Page 187: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

cos(x) < h

h

2π−arccos(h)

arccos(h)

x

1

se −1 < h < 1,arccos(h)+2kπ< x <2π−arccos(h)+2kπ

se h = 1, x 6= 2kπ

se h > 1, ∀x ∈R

se h ≤−1, 6 ∃x ∈R

Michele prof. Perini Matematica 100 / 212

Page 188: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

cos(x) < h

h

2π−arccos(h)

arccos(h)

x

1

se −1 < h < 1,arccos(h)+2kπ< x <2π−arccos(h)+2kπ

se h = 1, x 6= 2kπ

se h > 1, ∀x ∈Rse h ≤−1, 6 ∃x ∈R

Michele prof. Perini Matematica 100 / 212

Page 189: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

sin(x) = h

harcsin(h)π−arcsin(h)

x

1

se −1 < h < 1,x = arcsin(h)+2kπ∨ x =π−arcsin(h)+2kπ

se h = 1, x = π2 +2kπ

se h =−1,x =−π

2 +2kπ

se h > 1∨h <−1,6 ∃x ∈R

Michele prof. Perini Matematica 101 / 212

Page 190: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

sin(x) = h

harcsin(h)π−arcsin(h)

x

1

se −1 < h < 1,x = arcsin(h)+2kπ∨ x =π−arcsin(h)+2kπ

se h = 1, x = π2 +2kπ

se h =−1,x =−π

2 +2kπ

se h > 1∨h <−1,6 ∃x ∈R

Michele prof. Perini Matematica 101 / 212

Page 191: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

sin(x) = h

harcsin(h)π−arcsin(h)

x

1

se −1 < h < 1,x = arcsin(h)+2kπ∨ x =π−arcsin(h)+2kπ

se h = 1, x = π2 +2kπ

se h =−1,x =−π

2 +2kπ

se h > 1∨h <−1,6 ∃x ∈R

Michele prof. Perini Matematica 101 / 212

Page 192: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

sin(x) = h

harcsin(h)π−arcsin(h)

x

1

se −1 < h < 1,x = arcsin(h)+2kπ∨ x =π−arcsin(h)+2kπ

se h = 1, x = π2 +2kπ

se h =−1,x =−π

2 +2kπ

se h > 1∨h <−1,6 ∃x ∈R

Michele prof. Perini Matematica 101 / 212

Page 193: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

sin(x) = h

harcsin(h)π−arcsin(h)

x

1

se −1 < h < 1,x = arcsin(h)+2kπ∨ x =π−arcsin(h)+2kπ

se h = 1, x = π2 +2kπ

se h =−1,x =−π

2 +2kπ

se h > 1∨h <−1,6 ∃x ∈R

Michele prof. Perini Matematica 101 / 212

Page 194: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

sin(x) = h

harcsin(h)π−arcsin(h)

x

1

se −1 < h < 1,x = arcsin(h)+2kπ∨ x =π−arcsin(h)+2kπ

se h = 1, x = π2 +2kπ

se h =−1,x =−π

2 +2kπ

se h > 1∨h <−1,6 ∃x ∈R

Michele prof. Perini Matematica 101 / 212

Page 195: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

sin(x) = h

harcsin(h)π−arcsin(h)

x

1

se −1 < h < 1,x = arcsin(h)+2kπ∨ x =π−arcsin(h)+2kπ

se h = 1, x = π2 +2kπ

se h =−1,x =−π

2 +2kπ

se h > 1∨h <−1,6 ∃x ∈R

Michele prof. Perini Matematica 101 / 212

Page 196: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

sin(x) > h

harcsin(h)π−arcsin(h)

x

1

se −1 < h < 1,arcsin(h)+2kπ< x <π−arcsin(h)+2kπ

se h =−1,x 6= −π

2 +2kπ

se h ≥ 1, 6 ∃x ∈Rse h <−1, ∀x ∈R

Michele prof. Perini Matematica 102 / 212

Page 197: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

sin(x) > h

harcsin(h)π−arcsin(h)

x

1

se −1 < h < 1,arcsin(h)+2kπ< x <π−arcsin(h)+2kπ

se h =−1,x 6= −π

2 +2kπ

se h ≥ 1, 6 ∃x ∈Rse h <−1, ∀x ∈R

Michele prof. Perini Matematica 102 / 212

Page 198: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

sin(x) > h

harcsin(h)π−arcsin(h)

x

1

se −1 < h < 1,arcsin(h)+2kπ< x <π−arcsin(h)+2kπ

se h =−1,x 6= −π

2 +2kπ

se h ≥ 1, 6 ∃x ∈Rse h <−1, ∀x ∈R

Michele prof. Perini Matematica 102 / 212

Page 199: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

sin(x) > h

harcsin(h)π−arcsin(h)

x

1

se −1 < h < 1,arcsin(h)+2kπ< x <π−arcsin(h)+2kπ

se h =−1,x 6= −π

2 +2kπ

se h ≥ 1, 6 ∃x ∈Rse h <−1, ∀x ∈R

Michele prof. Perini Matematica 102 / 212

Page 200: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

sin(x) > h

harcsin(h)π−arcsin(h)

x

1

se −1 < h < 1,arcsin(h)+2kπ< x <π−arcsin(h)+2kπ

se h =−1,x 6= −π

2 +2kπ

se h ≥ 1, 6 ∃x ∈Rse h <−1, ∀x ∈R

Michele prof. Perini Matematica 102 / 212

Page 201: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

sin(x) > h

harcsin(h)π−arcsin(h)

x

1

se −1 < h < 1,arcsin(h)+2kπ< x <π−arcsin(h)+2kπ

se h =−1,x 6= −π

2 +2kπ

se h ≥ 1, 6 ∃x ∈R

se h <−1, ∀x ∈R

Michele prof. Perini Matematica 102 / 212

Page 202: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

sin(x) > h

harcsin(h)π−arcsin(h)

x

1

se −1 < h < 1,arcsin(h)+2kπ< x <π−arcsin(h)+2kπ

se h =−1,x 6= −π

2 +2kπ

se h ≥ 1, 6 ∃x ∈Rse h <−1, ∀x ∈R

Michele prof. Perini Matematica 102 / 212

Page 203: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

sin(x) < h

harcsin(h)−π−arcsin(h)

x

1

se −1 < h < 1, −π−arcsin(h)+2kπ<x < arcsin(h)+2kπ

se h = 1, x 6= π2 +2kπ

se h > 1, ∀x ∈Rse h ≤−1, 6 ∃x ∈R

Michele prof. Perini Matematica 103 / 212

Page 204: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

sin(x) < h

harcsin(h)−π−arcsin(h)

x

1

se −1 < h < 1, −π−arcsin(h)+2kπ<x < arcsin(h)+2kπ

se h = 1, x 6= π2 +2kπ

se h > 1, ∀x ∈Rse h ≤−1, 6 ∃x ∈R

Michele prof. Perini Matematica 103 / 212

Page 205: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

sin(x) < h

harcsin(h)−π−arcsin(h)

x

1

se −1 < h < 1, −π−arcsin(h)+2kπ<x < arcsin(h)+2kπ

se h = 1, x 6= π2 +2kπ

se h > 1, ∀x ∈Rse h ≤−1, 6 ∃x ∈R

Michele prof. Perini Matematica 103 / 212

Page 206: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

sin(x) < h

harcsin(h)−π−arcsin(h)

x

1

se −1 < h < 1, −π−arcsin(h)+2kπ<x < arcsin(h)+2kπ

se h = 1, x 6= π2 +2kπ

se h > 1, ∀x ∈Rse h ≤−1, 6 ∃x ∈R

Michele prof. Perini Matematica 103 / 212

Page 207: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

sin(x) < h

harcsin(h)−π−arcsin(h)

x

1

se −1 < h < 1, −π−arcsin(h)+2kπ<x < arcsin(h)+2kπ

se h = 1, x 6= π2 +2kπ

se h > 1, ∀x ∈Rse h ≤−1, 6 ∃x ∈R

Michele prof. Perini Matematica 103 / 212

Page 208: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

sin(x) < h

harcsin(h)−π−arcsin(h)

x

1

se −1 < h < 1, −π−arcsin(h)+2kπ<x < arcsin(h)+2kπ

se h = 1, x 6= π2 +2kπ

se h > 1, ∀x ∈R

se h ≤−1, 6 ∃x ∈R

Michele prof. Perini Matematica 103 / 212

Page 209: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

sin(x) < h

harcsin(h)−π−arcsin(h)

x

1

se −1 < h < 1, −π−arcsin(h)+2kπ<x < arcsin(h)+2kπ

se h = 1, x 6= π2 +2kπ

se h > 1, ∀x ∈Rse h ≤−1, 6 ∃x ∈R

Michele prof. Perini Matematica 103 / 212

Page 210: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

tan(x) = h

−π2

arctan(h)π2

h

x

y

x = arctan(h)+kπ

Michele prof. Perini Matematica 104 / 212

Page 211: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

tan(x) = h

−π2

arctan(h)π2

h

x

y

x = arctan(h)+kπ

Michele prof. Perini Matematica 104 / 212

Page 212: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

tan(x) = h

−π2

arctan(h)π2

h

x

y

x = arctan(h)+kπ

Michele prof. Perini Matematica 104 / 212

Page 213: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

tan(x) > h

−π2

arctan(h)π2

h

x

y

arctan(h)+kπ< x < π

2+kπ

Michele prof. Perini Matematica 105 / 212

Page 214: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

tan(x) > h

−π2

arctan(h)π2

h

x

y

arctan(h)+kπ< x < π

2+kπ

Michele prof. Perini Matematica 105 / 212

Page 215: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

tan(x) > h

−π2

arctan(h)π2

h

x

y

arctan(h)+kπ< x < π

2+kπ

Michele prof. Perini Matematica 105 / 212

Page 216: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

tan(x) ≥ h

−π2

arctan(h)π2

h

x

y

arctan(h)+kπ≤ x < π

2+kπ

Michele prof. Perini Matematica 106 / 212

Page 217: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

tan(x) ≥ h

−π2

arctan(h)π2

h

x

y

arctan(h)+kπ≤ x < π

2+kπ

Michele prof. Perini Matematica 106 / 212

Page 218: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

tan(x) ≥ h

−π2

arctan(h)π2

h

x

y

arctan(h)+kπ≤ x < π

2+kπ

Michele prof. Perini Matematica 106 / 212

Page 219: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

tan(x) < h

−π2

arctan(h)π2

h

x

y

−π2+kπ< x < arctan(h)+kπ

Michele prof. Perini Matematica 107 / 212

Page 220: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

tan(x) < h

−π2

arctan(h)π2

h

x

y

−π2+kπ< x < arctan(h)+kπ

Michele prof. Perini Matematica 107 / 212

Page 221: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

tan(x) < h

−π2

arctan(h)π2

h

x

y

−π2+kπ< x < arctan(h)+kπ

Michele prof. Perini Matematica 107 / 212

Page 222: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

tan(x) ≤ h

−π2

arctan(h)π2

h

x

y

−π2+kπ< x ≤ arctan(h)+kπ

Michele prof. Perini Matematica 108 / 212

Page 223: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

tan(x) ≤ h

−π2

arctan(h)π2

h

x

y

−π2+kπ< x ≤ arctan(h)+kπ

Michele prof. Perini Matematica 108 / 212

Page 224: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Equazioni e disequazioni

tan(x) ≤ h

−π2

arctan(h)π2

h

x

y

−π2+kπ< x ≤ arctan(h)+kπ

Michele prof. Perini Matematica 108 / 212

Page 225: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Formule di addizione e sottrazione

BD

C

A

1

Ipotizziamo che sia:

0 <β<α< 2π

A(1,0),B(cos(α−β),sin(α−β)),C (cos(β),sin(β)),D(cos(α),sin(α)).

AB =C D

AB 2 =C D2(1−cos(α−β)

)2 + (−sin(α−β))2 =

= (cos(β)−cos(α)

)2+(sin(β)− sin(α)

)2

Michele prof. Perini Matematica 109 / 212

Page 226: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Formule di addizione e sottrazione

BD

C

A

1

Ipotizziamo che sia:

0 <β<α< 2π

A(1,0),B(cos(α−β),sin(α−β)),C (cos(β),sin(β)),D(cos(α),sin(α)).

AB =C D

AB 2 =C D2(1−cos(α−β)

)2 + (−sin(α−β))2 =

= (cos(β)−cos(α)

)2+(sin(β)− sin(α)

)2

Michele prof. Perini Matematica 109 / 212

Page 227: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Formule di addizione e sottrazione

BD

C

A

1

Ipotizziamo che sia:

0 <β<α< 2π

A(1,0),B(cos(α−β),sin(α−β)),C (cos(β),sin(β)),D(cos(α),sin(α)).

AB =C D

AB 2 =C D2(1−cos(α−β)

)2 + (−sin(α−β))2 =

= (cos(β)−cos(α)

)2+(sin(β)− sin(α)

)2

Michele prof. Perini Matematica 109 / 212

Page 228: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Formule di addizione e sottrazione

(1−cos(α−β)

)2 + (−sin(α−β))2 = (

cos(β)−cos(α))2 + (

sin(β)− sin(α))2

ricordando che cos2(γ)+ sin2(γ) = 1, sviluppiamo eotteniamo:

2−2cos(α−β) = 2−2cos(α)cos(β)−2sin(α)sin(β)

cos(α−β) = cos(α)cos(β)+ sin(α)sin(β)

la relazione ottenuta è valida in generale essendo ilcoseno una funzione pari (cos(α−β) = cos(β−α)) eperiodica di periodo 2π.

Michele prof. Perini Matematica 110 / 212

Page 229: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Formule di addizione e sottrazione

La formula di sottrazione del coseno può essereriscritta anche come:

cos(α− (−β)) = cos(α)cos((−β))+ sin(α)sin((−β))

ricordando che il seno è una funzione dispari e ilcoseno è una pari, si ottiene:

cos(α+β) = cos(α)cos(β)− sin(α)sin(β)

che è la formula di addizione del coseno.

Michele prof. Perini Matematica 111 / 212

Page 230: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Formule di addizione e sottrazioneSi è già dimostrato (nella sezione dedicata agli angoli associati) checos

(π2 +γ)=−sin

(γ), possiamo quindi scrivere:

sin(α+β)=−cos

(π2+ (α+β))=−cos

((π2+α

)+β

)=−cos

(π2+α

)cos

(β)+ sin

(π2+α

)sin

(β)=

= sin(α)cos(β)+ sin

(π2+α

)sin

(β)=

sempre nella sezione sugli angoli associati si è dimostrato chesin

(π2 +α)= cos(α), in sintesi si ha:

sin(α+β) = sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)

che è la formula di addizione del seno.Michele prof. Perini Matematica 112 / 212

Page 231: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Formule di addizione e sottrazione

Ricordando che il seno è una funzione dispari e ilcoseno è una pari, dalla formula di addizione delseno si può ottenere:

sin(α+ (−β)) = sin(α)cos(−β)+cos(α)sin(−β)

da cui in sintesi si ricava la formula di sottrazioneper il seno:

sin(α−β) = sin(α)cos(β)−cos(α)sin(β)

Michele prof. Perini Matematica 113 / 212

Page 232: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Formule di addizione e sottrazioneDalla definizione di tangente e dalle formule diaddizione si può ottenere:

tan(α+β)= sin(α+β)

cos(α+β)=

= sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)

cos(α)cos(β)− sin(α)sin(β)=

=sin(α)cos(β)cos(α)cos(β) +

cos(α)sin(β)cos(α)cos(β)

cos(α)cos(β)cos(α)cos(β) −

sin(α)sin(β)cos(α)cos(β)

=sin(α)cos(α) +

sin(β)cos(β)

1− sin(α)sin(β)cos(α)cos(β)

=

= tan(α)+ tan(β)

1− tan(α) tan(β)

Michele prof. Perini Matematica 114 / 212

Page 233: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Formule di addizione e sottrazioneRiassumendo quanto visto in precedenza la formuladi addizione della tangente è:

tan(α+β)= tan(α)+ tan(β)

1− tan(α) tan(β)

ricordando che la tangente è una funzione dispari sipuò ottenere la formula di sottrazione dellatangente come:

tan(α−β)= tan(α)− tan(β)

1+ tan(α) tan(β)

le formule di addizione e sottrazione della tangentesono valide solamente per angoli che siano neldominio della tangente (cioè angoli 6= π

2 +kπ).Michele prof. Perini Matematica 115 / 212

Page 234: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Formule di duplicazioneDalla formula di addizione del coseno per α=β siottiene:

cos(α+α) = cos(2α) = cos2(α)− sin2(α) =ricordando anche la relazione goniometricafondamentale cos2(α)+ sin2(α) = 1:

= 1−2sin2(α) = 2cos2(α)−1

in definitiva le formule di duplicazione del cosenosono:

cos(2α) = cos2(α)− sin2(α) = 1−2sin2(α) = 2cos2(α)−1

Michele prof. Perini Matematica 116 / 212

Page 235: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Formule di duplicazione

Dalla formula di addizione del seno per α=β siottiene:

sin(α+α) = sin(2α) = 2sin(α)cos(α)

in definitiva la formula di duplicazione del seno è:

sin(2α) = 2sin(α)cos(α)

Michele prof. Perini Matematica 117 / 212

Page 236: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Formule di duplicazioneDalla formula di addizione della tangente per α=βsi ottiene:

tan(α+α) = tan(2α) = 2tan(α)

1− tan2(α)

in definitiva la formula di duplicazione dellatangente è:

tan(2α) = 2tan(α)

1− tan2(α)

la formula di duplicazione della tangente hasignificato solo per 2α 6= π

2 +kπ∧α 6= π2 +kπ.

Michele prof. Perini Matematica 118 / 212

Page 237: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Formule di bisezione

Dalle formule di duplicazione del coseno si possonoricavare le equazioni sin2(α) = 1−cos(2α)

2 ecos2(α) = 1+cos(2α)

2 che riscritte per un angolo α2

anziché α diventano:

sin2(α

2

)= 1−cos(α)

2

cos2(α

2

)= 1+cos(α)

2

che sono le formule di bisezione per seno e coseno.

Michele prof. Perini Matematica 119 / 212

Page 238: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Formule di bisezionePer la tangente è possibile ricavare diverse formuledi bisezione. Qui ne ricaviamo due utilizzando leformule di duplicazione e quelle di bisezione perseno e coseno:

tan(α

2

)= sin

(α2

)cos

(α2

) = 2sin2(α2

)2sin

(α2

)cos

(α2

) = 2 1−cos(α)2

sin(α)= 1−cos(α)

sin(α)

tan(α

2

)= sin

(α2

)cos

(α2

) = 2sin(α2

)cos

(α2

)2cos2

(α2

) = sin(α)

2 1+cos(α)2

= sin(α)

1+cos(α)

in sintesi:

tan(α

2

)= 1−cos(α)

sin(α)= sin(α)

1+cos(α)

Michele prof. Perini Matematica 120 / 212

Page 239: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Formule parametricheLe formule di bisezione per la tangente permettonodi ricavare (per α 6=π+2kπ):{

tan(α2

)= 1−cos(α)sin(α)

tan(α2

)= sin(α)1+cos(α)

→ cos(α) = 1−tan2(

α2

)1+tan2

(α2

)sin(α) = 2tan

(α2

)1+tan2

(α2

)essendo l’immagine della tangente l’insieme R èpossibile effettuare la sostituzione t = tan

(α2

)con

t ∈R, questo permette di esprimere le funzionigoniometriche in funzione di un parametro reale:

sin(α) = 2t

1+ t 2cos(α) = 1− t 2

1+ t 2tan(α) = 2t

1− t 2

Michele prof. Perini Matematica 121 / 212

Page 240: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Funzione lineare in seno e cosenoCon a 6= 0∧b 6= 0 si ha:

f (x) = a sin(x)+b cos(x)+ c =

=√

a2 +b2

(ap

a2 +b2sin(x)+ bp

a2 +b2cos(x)

)+ c

i coefficienti apa2+b2

e bpa2+b2

sono tali per cui lasomma dei loro quadrati è 1, possono quindi essereinterpretati come un particolare seno e coseno di uncerto angolo, in particolare poniamo:

cos(γ) = apa2 +b2

e sin(γ) = bpa2 +b2

Michele prof. Perini Matematica 122 / 212

Page 241: Matematica - Appunti di Matematica 3

Goniometria Funzione lineare in seno e coseno

la funzione lineare scritta anche in termini di seno ecoseno di γ diventa:

f (x) = a sin(x)+b cos(x)+ c =

=√

a2 +b2(cos(γ)sin(x)+ sin(γ)cos(x)

)+ c ==

√a2 +b2 sin

(x +γ)+ c

con {sin(γ) = bp

a2+b2

cos(γ) = apa2+b2

Michele prof. Perini Matematica 123 / 212

Page 242: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Circonferenza

CirconferenzaUna circonferenza è il luogo dei punti del piano chehanno la stessa distanza, detta raggio (r ), da unpunto detto centro C (x0, y0).

x

y

•C (x0, y0)•P (x, y)r

Michele prof. Perini Matematica 124 / 212

Page 243: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Circonferenza

Equazione della circonferenza:

PC = r

PC 2 = r 2

(x −x0)2 + (y − y0

)2 = r 2

x2 + y2 −2x0x −2y0y +x20 + y2

0 − r 2 = 0

x2 + y2 +ax +by + c = 0

con a =−2x0, b =−2y0, c = x20 + y2

0 − r 2.

Michele prof. Perini Matematica 125 / 212

Page 244: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Circonferenza

Tangente ad una circonferenza (r γ)Una tangente ad una circonferenza è una retta cheinterseca la circonferenza in un solo punto. Perdeterminare la tangente ad una circonferenza èpossibile:

intersecare retta e circonferenza ottenendo unaequazione di secondo grado, che ammette unasola soluzione se e solo se il ∆= 0

imporre che la retta disti dal centro dellacirconferenza quanto il raggio.

Michele prof. Perini Matematica 126 / 212

Page 245: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Circonferenza

Tangente ad una circonferenza (r γ)Una tangente ad una circonferenza è una retta cheinterseca la circonferenza in un solo punto. Perdeterminare la tangente ad una circonferenza èpossibile:

intersecare retta e circonferenza ottenendo unaequazione di secondo grado, che ammette unasola soluzione se e solo se il ∆= 0

imporre che la retta disti dal centro dellacirconferenza quanto il raggio.

Michele prof. Perini Matematica 126 / 212

Page 246: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Circonferenza

Tangente ad una circonferenza (r γ)Una tangente ad una circonferenza è una retta cheinterseca la circonferenza in un solo punto. Perdeterminare la tangente ad una circonferenza èpossibile:

intersecare retta e circonferenza ottenendo unaequazione di secondo grado, che ammette unasola soluzione se e solo se il ∆= 0

imporre che la retta disti dal centro dellacirconferenza quanto il raggio.

Michele prof. Perini Matematica 126 / 212

Page 247: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Circonferenza

Circonferenza2 in sintesi:Equazione Notecentro-raggio:(x −x0)2 + (

y − y0

)2 = r 2C (x0, y0)r > 0

canonica:x2 + y2 +ax +by + c = 0

C(−a

2 ,−b2

)r =

√a2+b2

4 − c2

2le equazioni ricavate descrivono tutte le possibili circonferenze sulpiano xO y .

Michele prof. Perini Matematica 127 / 212

Page 248: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Circonferenza

Fascio di circonferenzeUn fascio di circonferenze è l’insieme dei punti dellecurve ottenute al variare di k ∈R dall’equazione:

x2 + y2 +ax +by + c +k(x2 + y2 +a′x +b′y + c ′)= 0

se k =−1 l’equazione del fascio di circonferenze puòdivenire quella di una retta, in tal caso quella retta èdetta asse radicale.

Michele prof. Perini Matematica 128 / 212

Page 249: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Ellisse

EllisseUna ellisse è il luogo dei punti del piano P (x, y) chemantiene costante la somma delle distanze tra duepunti fissi, F1 e F2, detti fuochi.

x

y

•••

F1(−c,0) F2(c,0)

P (x, y)

Michele prof. Perini Matematica 129 / 212

Page 250: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Ellisse

Equazione di una ellisse con fuochi in F1(−c,0) eF2(c,0), a > 0 e c > 0:

PF1 +PF2 = 2a√(x + c)2 + y2 +

√(x − c)2 + y2 = 2a√

(x + c)2 + y2 = 2a −√

(x − c)2 + y2

(x + c)2 + y2 = 4a2 + (x − c)2 + y2 −4a√

(x − c)2 + y2

4a√

(x − c)2 + y2 = 4a2 −4xc

Michele prof. Perini Matematica 130 / 212

Page 251: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Ellisse

a√

(x − c)2 + y2 = a2 −xc

se a2 ≥ xc → x ≤ a2

c

a2 ((x − c)2 + y2)= a4 +x2c2 −2a2xc(a2 − c2)x2 +a2y2 = a4 −a2c2(

a2 − c2)x2 +a2y2 = a2 (a2 − c2)

x2

a2+ y2

a2 − c2= 1

Michele prof. Perini Matematica 131 / 212

Page 252: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Ellisseponendo b2 = a2 − c2 si ha:

x2

a2+ y2

b2= 1

x

y

••

F1

F2

P

b

a

c

aa

Le condizioni x ≤ a2

c e b2 = a2 − c2 risultano sempre verificate.Michele prof. Perini Matematica 132 / 212

Page 253: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Ellisse

Tangente ad una ellisse (r E )Una tangente ad una ellisse è una retta cheinterseca l’ellisse in un solo punto. Per determinarela tangente ad una ellisse è possibile:

intersecare retta e ellisse ottenendo unaequazione di secondo grado, che ammette unasola soluzione se e solo se il ∆= 0

trasformare l’ellisse in una circonferenzatramite una trasformazione lineare, determinarela tangente alla circonferenza esuccessivamente applicare la trasformazioneinversa per determinare la tangente all’ellisse.

Michele prof. Perini Matematica 133 / 212

Page 254: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Ellisse

Tangente ad una ellisse (r E )Una tangente ad una ellisse è una retta cheinterseca l’ellisse in un solo punto. Per determinarela tangente ad una ellisse è possibile:

intersecare retta e ellisse ottenendo unaequazione di secondo grado, che ammette unasola soluzione se e solo se il ∆= 0

trasformare l’ellisse in una circonferenzatramite una trasformazione lineare, determinarela tangente alla circonferenza esuccessivamente applicare la trasformazioneinversa per determinare la tangente all’ellisse.

Michele prof. Perini Matematica 133 / 212

Page 255: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Ellisse

Tangente ad una ellisse (r E )Una tangente ad una ellisse è una retta cheinterseca l’ellisse in un solo punto. Per determinarela tangente ad una ellisse è possibile:

intersecare retta e ellisse ottenendo unaequazione di secondo grado, che ammette unasola soluzione se e solo se il ∆= 0

trasformare l’ellisse in una circonferenzatramite una trasformazione lineare, determinarela tangente alla circonferenza esuccessivamente applicare la trasformazioneinversa per determinare la tangente all’ellisse.

Michele prof. Perini Matematica 133 / 212

Page 256: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Ellisse

Ellisse3 in sintesi:Equazione Notefuochi su retta ∥ asse x:(x−x0)2

a2 + (y−y0)2

b2 = 1semiasse maggiore: asemiasse minore: b

centro: C (x0, y0)fuochi: F (x0 ± c, y0)c =p

a2 −b2

eccentricità: e = ca

fuochi su retta ∥ asse y :(x−x0)2

a2 + (y−y0)2

b2 = 1semiasse maggiore: bsemiasse minore: a

centro: C (x0, y0)fuochi: F (x0, y0 ± c)c =p

b2 −a2

eccentricità: e = cb

3le equazioni ricavate descrivono solo alcune delle possibili ellissi sulpiano xO y , è possibile ricondurre tutte le ellissi a queste tramite unaaffinità.

Michele prof. Perini Matematica 134 / 212

Page 257: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Parabola

ParabolaUna parabola è il luogo dei punti del piano P (x, y)per cui rimane costante la distanza tra un puntodetto fuoco (F ) e una retta detta direttrice (d) acui il fuoco non appartiene.

x

y

••

•V

F

P

Hd

Michele prof. Perini Matematica 135 / 212

Page 258: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Parabola

Equazione di una parabola con asse parallelo all’assey : F (xF , yF ) e direttrice y = d (yF 6= d):

PF = PH√(x −xF )2 + (y − yF )2 = ∣∣y −d

∣∣(x −xF )2 + (y − yF )2 = (y −d)2

y = 1

2(yF −d)x2 + −xF

yF −dx + x2

F + y2F −d 2

2(yF −d)

y = ax2 +bx + c

con a = 12(yF−d) , b = −xF

yF−d e c = x2F+y2

F−d2

2(yF−d) .Michele prof. Perini Matematica 136 / 212

Page 259: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Parabola

a = 12(yF−d)

b = −xFyF−d

c = x2F+y2

F−d2

2(yF−d)

xF =− b

2a

yF = 1−(b2−4ac)4a

d =−1+(b2−4ac)4a

ricordando che ∆= b2 −4ac il fuoco ha coordinateF

(− b2a , 1−∆

4a

), la direttrice ha equazione y =−1+∆

4a el’asse di simmetria ha equazione x =− b

2a . Il verticedella parabola si può determinare intersecando l’assedi simmetria con la parabola stessa:{

x =− b2a

y = ax2 +bx + c→

{x =− b

2ay =− ∆

4a

→V

(− b

2a,− ∆

4a

)Michele prof. Perini Matematica 137 / 212

Page 260: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Parabola

Tangente ad una parabola (r P )Una tangente ad una parabola è una retta cheinterseca la parabola in un solo punto. Perdeterminare la tangente ad una parabola èsufficiente intersecare retta e parabola ottenendouna equazione di secondo grado, che ammette unasola soluzione se e solo se il ∆= 0.

Michele prof. Perini Matematica 138 / 212

Page 261: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Parabola

Parabola4 in sintesi:Equazione Noteasse di simmetria ∥ asse y :y = ax2 +bx + cconcavità verso l’alto se a > 0

concavità verso il basso se a < 0

vertice: V(− b

2a ,− ∆4a

)fuoco: F

(− b2a , 1−∆

4a

)asse di simmetria: x =− b

2a

direttrice: y =−1+∆4a

asse di simmetria ∥ asse x:x = ay2 +by + cconcavità verso destra se a > 0

concavità verso sinistra se a < 0

vertice: V(− ∆

4a ,− b2a

)fuoco: F

(1−∆4a ,− b

2a

)asse di simmetria: y =− b

2a

direttrice: x =−1+∆4a

4le equazioni ricavate descrivono solo alcune delle possibili parabolesul piano xO y , è possibile ricondurre tutte le parabole a queste tramiteuna affinità.

Michele prof. Perini Matematica 139 / 212

Page 262: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Parabola

Fascio di paraboleUn fascio di parabole è l’insieme dei punti dellecurve ottenute al variare di k ∈R dall’equazione:

y −ax2 −bx − c +k(y −a′x2 −b′x − c ′)= 0

Michele prof. Perini Matematica 140 / 212

Page 263: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Iperbole

IperboleUna iperbole è il luogo dei punti del piano P (x, y)che mantiene costante la differenza delle distanzetra due punti fissi, F1 e F2, detti fuochi.

x

y

••

F1(−c,0) F2(c,0)

P (x, y)

Michele prof. Perini Matematica 141 / 212

Page 264: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Iperbole

Equazione di una iperbole con fuochi in F1(−c,0) eF2(c,0), a > 0 e c > 0:

|PF1 −PF2| = 2a∣∣∣∣√(x + c)2 + y2 −√

(x − c)2 + y2

∣∣∣∣= 2a

2x2 +2y2 +2c2 −2√

(x + c)2 + y2√

(x − c)2 + y2 = 4a2√(x + c)2 + y2

√(x − c)2 + y2 =−2a2 +x2 + y2 + c2

Michele prof. Perini Matematica 142 / 212

Page 265: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Iperbole

se −2a2 +x2 + y2 + c2 ≥ 0 → x2 + y2 ≥ 2a2 − c2:((x + c)2 + y2)((x − c)2 + y2)= (−2a2 +x2 + y2 + c2)2

c4 −2c2x2 +2c2y2 +x4 +2 x2y2 + y4 == 4 a4−4 a2c2−4 a2x2−4 a2y2+c4+2c2x2+2c2y2+x4+

+2 x2y2 + y4

−2c2x2 = 4a4 −4a2c2 −4a2x2 −4a2y2 +2c2x2

(a2 − c2)x2 +a2y2 = a4 −a2c2

(a2 − c2)x2 +a2y2 = a2(a2 − c2)

Michele prof. Perini Matematica 143 / 212

Page 266: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Iperboleponendo −b2 = a2 − c2 → c2 = a2 +b2 si ha:

x2

a2− y2

b2= 1

x

y

••F1(−c,0) F2(c,0)a

c

b

Le condizioni x2 + y2 ≥ 2a2 − c2 e c2 = a2 +b2 risultano sempre verificate.Michele prof. Perini Matematica 144 / 212

Page 267: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Iperbole

Asintoti dell’iperbole

Intersechiamo l’iperbole con una qualsiasi retta perl’origine per determinare per quali valori di m essa èsecante l’iperbole.{

x2

a2 − y2

b2 = 1y = mx

→{

x2

a2 − m2x2

b2 = 1y = mx

→{

(b2 −a2m2)x2 = a2b2

y = mx

l’equazione di secondo grado (b2 −a2m2)x2 = a2b2

ammette 2 soluzioni distinte se e solo se ∆> 0 →4a2b2(b2 −a2m2) > 0 → m2 < (

ba

)2 →−ba < m < b

a

Michele prof. Perini Matematica 145 / 212

Page 268: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche IperboleSe −b

a < m < ba la retta è secante l’iperbole. Le rette

y =±ba x, sono le “prime” non secanti e non

tangenti all’iperbole e sono dette asintoti.

x

y

••F1 F2

a

b

Michele prof. Perini Matematica 146 / 212

Page 269: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Iperbole

Tangente ad una iperbole (r I )Una tangente ad una iperbole è una retta cheinterseca l’iperbole in un solo punto. Perdeterminare la tangente ad una iperbole è sufficienteintersecare retta e iperbole ottenendo una equazionedi secondo grado, che ammette una sola soluzionese e solo se il ∆= 0.

Michele prof. Perini Matematica 147 / 212

Page 270: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Iperbole

Iperbole5 in sintesi:Equazione Notefuochi sull’asse x:(x−x0)2

a2 − (y−y0)2

b2 = 1centro: C (x0, y0)

fuochi: F (x0 ± c, y0)c =p

a2 +b2

asintoti:y − y0 =±b

a (x −x0)fuochi sull’asse y :(x−x0)2

a2 − (y−y0)2

b2 =−1centro: C (x0, y0)

fuochi: F (x0, y0 ± c)c =p

a2 +b2

asintoti:y − y0 =±b

a (x −x0)

5le equazioni ricavate descrivono solo alcune delle possibili iperboli sulpiano xO y , è possibile ricondurre tutte le iperboli a queste tramite unaaffinità.

Michele prof. Perini Matematica 148 / 212

Page 271: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Iperbole

Iperboli equilatere

Una iperbole equilatera è una iperbole con a = b, lasue equazione canonica è dunque:

x2 − y2 =±a2

gli asintoti di una iperbole equilatera sono lebisettrici del primo e terzo e del secondo e quartoquadrante (y =±x). L’equazione dell’iperbole si puòriscrivere come:

(x − y)(x + y) =±a2

Michele prof. Perini Matematica 149 / 212

Page 272: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Iperbole

Se all’equazione (x − y)(x + y) =±a2 si applica latrasformazione6:{

x ′ =p

22 x −

p2

2 y

y ′ =p

22 x +

p2

2 y↔

(x ′

y ′

)=

( p2

2 −p

22p

22

p2

2

)(xy

)si ottiene l’equazione:

x ′y ′ =±(p

2

2a

)2

→ x y = k

detta iperbole equilatera riferita ai propri asintoti.6la trasformazione scelta corrisponde ad una rotazione di π

4Michele prof. Perini Matematica 150 / 212

Page 273: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche IperboleLa trasformazione lineare (rotazione di π

4 ) e la sua inversa consentono ditrovare le coordinate dei fuochi e le equazioni degli asintoti dell’iperboleriferita ai propri asintoti:(

x ′y ′

)=

( p2

2 −p

22p

22

p2

2

)(xy

)↔

(xy

)=

( p2

2

p2

2

−p

22

p2

2

)(x ′y ′

)

Equazione: (x − y)(x + y) = a2 → x ′y ′ =(p

22 a

)2 = k

con k = a2

2 > 0 e a =p2k, c = 2

pk

Fuochi: F (±c,0) → F ′(±p2k,±p2k)Asintoti: y = x →−

p2

2 x ′+p

22 y ′ =

p2

2 x ′+p

22 y ′ →

x ′ = 0y =−x →−

p2

2 x ′+p

22 y ′ =−

p2

2 x ′−p

22 y ′ →

y ′ = 0

Michele prof. Perini Matematica 151 / 212

Page 274: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche IperboleLa trasformazione lineare (rotazione di π

4 ) e la sua inversa consentono ditrovare le coordinate dei fuochi e le equazioni degli asintoti dell’iperboleriferita ai propri asintoti:(

x ′y ′

)=

( p2

2 −p

22p

22

p2

2

)(xy

)↔

(xy

)=

( p2

2

p2

2

−p

22

p2

2

)(x ′y ′

)

Equazione: (x − y)(x + y) = a2 → x ′y ′ =(p

22 a

)2 = k

con k = a2

2 > 0 e a =p2k, c = 2

pk

Fuochi: F (±c,0) → F ′(±p2k,±p2k)

Asintoti: y = x →−p

22 x ′+

p2

2 y ′ =p

22 x ′+

p2

2 y ′ →x ′ = 0y =−x →−

p2

2 x ′+p

22 y ′ =−

p2

2 x ′−p

22 y ′ →

y ′ = 0

Michele prof. Perini Matematica 151 / 212

Page 275: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche IperboleLa trasformazione lineare (rotazione di π

4 ) e la sua inversa consentono ditrovare le coordinate dei fuochi e le equazioni degli asintoti dell’iperboleriferita ai propri asintoti:(

x ′y ′

)=

( p2

2 −p

22p

22

p2

2

)(xy

)↔

(xy

)=

( p2

2

p2

2

−p

22

p2

2

)(x ′y ′

)

Equazione: (x − y)(x + y) = a2 → x ′y ′ =(p

22 a

)2 = k

con k = a2

2 > 0 e a =p2k, c = 2

pk

Fuochi: F (±c,0) → F ′(±p2k,±p2k)Asintoti: y = x →−

p2

2 x ′+p

22 y ′ =

p2

2 x ′+p

22 y ′ →

x ′ = 0y =−x →−

p2

2 x ′+p

22 y ′ =−

p2

2 x ′−p

22 y ′ →

y ′ = 0Michele prof. Perini Matematica 151 / 212

Page 276: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Iperbole

x

y

••

Michele prof. Perini Matematica 152 / 212

Page 277: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Iperbole

x

y

Michele prof. Perini Matematica 153 / 212

Page 278: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Iperbole

Iperbole equilatera riferita ai propri asintoti:Equazione Notefuochi su y = x:x y = kk > 0

fuochi: F (±p2k,±p2k)c =p

2a = 2p

kasintoti:y = 0∨x = 0

fuochi su y =−x:x y = kk < 0

fuochi:F (∓p−2k,±p−2k)c =p

2a = 2p−k

asintoti:y = 0∨x = 0

Michele prof. Perini Matematica 154 / 212

Page 279: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Iperbole

Funzione omografica:

Una funzione omografica è una iperbole equilaterariferita ai propri asintoti traslata con centro inC (x0, y0). L’equazione della curva per effetto dellatraslazione diventa:

(x −x0)(y − y0) = k → y = αy0x +αk −αx0y0

αx −αx0, α 6= 0

possiamo riscriverla come:

y = ax +b

cx +dcon a =αy0,b =αk−αx0y0,c =α,d =−αx0

Michele prof. Perini Matematica 155 / 212

Page 280: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Iperbole

y = ax +b

cx +dcon x0 =−d

c, y0 = a

c, k = bc −ad

c2

x

y

Michele prof. Perini Matematica 156 / 212

Page 281: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Iperbole

Funzione omografica:Equazione Notey = ax+b

cx+d

k = bc−adc2 > 0

fuochi:F (±p2k − d

c ,±p2k + ac )

c =p2a = 2

pk

asintoti:y = a

c ∨x =−dc

y = ax+bcx+d

k = bc−adc2 < 0

fuochi:F (∓p−2k − d

c ,±p−2k + ac )

c =p2a = 2

p−kasintoti:y = a

c ∨x =−dc

Michele prof. Perini Matematica 157 / 212

Page 282: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Ax2 +0 · x y +C y2 +Dx +E y +F = 0

Una equazione del tipo Ax2 +C y2 +Dx +E y +F = 07 rappresenta una conica. In particolare se AC 6= 0:

A

[x2 + D

Ax

]+C

[y2 + E

Cy

]+F = 0

A

[(x + D

2A

)2

− D2

4A2

]+C

[(y + E

2C

)2

− E 2

4C 2

]+F = 0

A

(x + D

2A

)2

+C

(y + E

2C

)2

= D2

4A+ E 2

4C−F

7in generale l’equazione di una conica è del tipoAx2 +B x y +C y2 +Dx +E y +F = 0 che è riconducibile tramite unatrasformazione lineare a Ax2 +C y2 +Dx +E y +F = 0.

Michele prof. Perini Matematica 158 / 212

Page 283: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Ax2 +0 · x y +C y2 +Dx +E y +F = 0

Una equazione del tipo Ax2 +C y2 +Dx +E y +F = 0è:

una circonferenza se:A =C 6= 0∧

[D2

4A + E 2

4C −F]

A > 0

una ellisse se: AC > 0∧[

D2

4A + E 2

4C −F]

A > 0

una parabola se:((A = 0∧D 6= 0)∨ (C = 0∧E 6= 0))∧ A =C = 0

una iperbole se: AC < 0∧ D2

4A + E 2

4C −F 6= 0

un punto, una o due rette o l’insieme vuotoaltrimenti.

Michele prof. Perini Matematica 159 / 212

Page 284: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Ax2 +0 · x y +C y2 +Dx +E y +F = 0

Una equazione del tipo Ax2 +C y2 +Dx +E y +F = 0è:

una circonferenza se:A =C 6= 0∧

[D2

4A + E 2

4C −F]

A > 0

una ellisse se: AC > 0∧[

D2

4A + E 2

4C −F]

A > 0

una parabola se:((A = 0∧D 6= 0)∨ (C = 0∧E 6= 0))∧ A =C = 0

una iperbole se: AC < 0∧ D2

4A + E 2

4C −F 6= 0

un punto, una o due rette o l’insieme vuotoaltrimenti.

Michele prof. Perini Matematica 159 / 212

Page 285: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Ax2 +0 · x y +C y2 +Dx +E y +F = 0

Una equazione del tipo Ax2 +C y2 +Dx +E y +F = 0è:

una circonferenza se:A =C 6= 0∧

[D2

4A + E 2

4C −F]

A > 0

una ellisse se: AC > 0∧[

D2

4A + E 2

4C −F]

A > 0

una parabola se:((A = 0∧D 6= 0)∨ (C = 0∧E 6= 0))∧ A =C = 0

una iperbole se: AC < 0∧ D2

4A + E 2

4C −F 6= 0

un punto, una o due rette o l’insieme vuotoaltrimenti.

Michele prof. Perini Matematica 159 / 212

Page 286: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Ax2 +0 · x y +C y2 +Dx +E y +F = 0

Una equazione del tipo Ax2 +C y2 +Dx +E y +F = 0è:

una circonferenza se:A =C 6= 0∧

[D2

4A + E 2

4C −F]

A > 0

una ellisse se: AC > 0∧[

D2

4A + E 2

4C −F]

A > 0

una parabola se:((A = 0∧D 6= 0)∨ (C = 0∧E 6= 0))∧ A =C = 0

una iperbole se: AC < 0∧ D2

4A + E 2

4C −F 6= 0

un punto, una o due rette o l’insieme vuotoaltrimenti.

Michele prof. Perini Matematica 159 / 212

Page 287: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Ax2 +0 · x y +C y2 +Dx +E y +F = 0

Una equazione del tipo Ax2 +C y2 +Dx +E y +F = 0è:

una circonferenza se:A =C 6= 0∧

[D2

4A + E 2

4C −F]

A > 0

una ellisse se: AC > 0∧[

D2

4A + E 2

4C −F]

A > 0

una parabola se:((A = 0∧D 6= 0)∨ (C = 0∧E 6= 0))∧ A =C = 0

una iperbole se: AC < 0∧ D2

4A + E 2

4C −F 6= 0

un punto, una o due rette o l’insieme vuotoaltrimenti.

Michele prof. Perini Matematica 159 / 212

Page 288: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Ax2 +0 · x y +C y2 +Dx +E y +F = 0

In sintesi una equazione del tipoAx2 +C y2 +Dx +E y +F = 0 è8:

una ellisse (eventualmente degenere) se:AC > 0

una circonferenza (eventualmente degenere) se:A =C

una parabola (eventualmente degenere) se:AC = 0

una iperbole (eventualmente degenere) se:AC < 0

8Per conica degenere intendiamo qui una retta o una coppia di rette,un punto o l’insieme vuoto.

Michele prof. Perini Matematica 160 / 212

Page 289: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Ax2 +0 · x y +C y2 +Dx +E y +F = 0

In sintesi una equazione del tipoAx2 +C y2 +Dx +E y +F = 0 è8:

una ellisse (eventualmente degenere) se:AC > 0

una circonferenza (eventualmente degenere) se:A =C

una parabola (eventualmente degenere) se:AC = 0

una iperbole (eventualmente degenere) se:AC < 0

8Per conica degenere intendiamo qui una retta o una coppia di rette,un punto o l’insieme vuoto.

Michele prof. Perini Matematica 160 / 212

Page 290: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Ax2 +0 · x y +C y2 +Dx +E y +F = 0

In sintesi una equazione del tipoAx2 +C y2 +Dx +E y +F = 0 è8:

una ellisse (eventualmente degenere) se:AC > 0

una circonferenza (eventualmente degenere) se:A =C

una parabola (eventualmente degenere) se:AC = 0

una iperbole (eventualmente degenere) se:AC < 0

8Per conica degenere intendiamo qui una retta o una coppia di rette,un punto o l’insieme vuoto.

Michele prof. Perini Matematica 160 / 212

Page 291: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Ax2 +0 · x y +C y2 +Dx +E y +F = 0

In sintesi una equazione del tipoAx2 +C y2 +Dx +E y +F = 0 è8:

una ellisse (eventualmente degenere) se:AC > 0

una circonferenza (eventualmente degenere) se:A =C

una parabola (eventualmente degenere) se:AC = 0

una iperbole (eventualmente degenere) se:AC < 0

8Per conica degenere intendiamo qui una retta o una coppia di rette,un punto o l’insieme vuoto.

Michele prof. Perini Matematica 160 / 212

Page 292: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Sezioni di cono

ConoUn cono è la superficie che si ottiene facendoruotare due rette incidenti, dette generatrici,attorno alla loro bisettrice, detta asse.

assegeneratrice

generatrice

Michele prof. Perini Matematica 161 / 212

Page 293: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Sezioni di conoConsideriamo un “particolare” cono con assecoincidente con l’asse z di equazionem2x2 +m2y2 = z2, m > 0 le cui sezioni sono:

sezione rispetto al piano y = 0:

x

z

generatrici: z =±mx ∧ y = 0

sezione rispetto al piano x = 0:

y

z

generatrici: z =±my ∧x = 0

Michele prof. Perini Matematica 162 / 212

Page 294: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Sezioni di conoConsideriamo un “particolare” cono con assecoincidente con l’asse z di equazionem2x2 +m2y2 = z2, m > 0 le cui sezioni sono:sezione rispetto al piano y = 0:

x

z

generatrici: z =±mx ∧ y = 0

sezione rispetto al piano x = 0:

y

z

generatrici: z =±my ∧x = 0

Michele prof. Perini Matematica 162 / 212

Page 295: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Sezioni di conoConsideriamo un “particolare” cono con assecoincidente con l’asse z di equazionem2x2 +m2y2 = z2, m > 0 le cui sezioni sono:sezione rispetto al piano y = 0:

x

z

generatrici: z =±mx ∧ y = 0

sezione rispetto al piano x = 0:

y

z

generatrici: z =±my ∧x = 0

Michele prof. Perini Matematica 162 / 212

Page 296: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Sezioni di cono

Circonferenza

sezione rispetto al piano y = 0:

x

z

piano ⊥ asse: z = h

{m2x2 +m2y2 = z2

z = h

x2 + y2 = h2

m2

Michele prof. Perini Matematica 163 / 212

Page 297: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Sezioni di cono

Circonferenzasezione rispetto al piano y = 0:

x

z

piano ⊥ asse: z = h

{m2x2 +m2y2 = z2

z = h

x2 + y2 = h2

m2

Michele prof. Perini Matematica 163 / 212

Page 298: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Sezioni di cono

Circonferenzasezione rispetto al piano y = 0:

x

z

piano ⊥ asse: z = h

{m2x2 +m2y2 = z2

z = h

x2 + y2 = h2

m2

Michele prof. Perini Matematica 163 / 212

Page 299: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Sezioni di cono

Ellisse

sezione rispetto al piano y = 0:

x

z

piano: z = kx +q con−m < k < m, q 6= 0

{m2x2 +m2y2 = z2

z = kx +q

m2 −k2

q2x2 + m2

q2y2 − 2k

qx = 1

Michele prof. Perini Matematica 164 / 212

Page 300: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Sezioni di cono

Ellissesezione rispetto al piano y = 0:

x

z

piano: z = kx +q con−m < k < m, q 6= 0

{m2x2 +m2y2 = z2

z = kx +q

m2 −k2

q2x2 + m2

q2y2 − 2k

qx = 1

Michele prof. Perini Matematica 164 / 212

Page 301: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Sezioni di cono

Ellissesezione rispetto al piano y = 0:

x

z

piano: z = kx +q con−m < k < m, q 6= 0

{m2x2 +m2y2 = z2

z = kx +q

m2 −k2

q2x2 + m2

q2y2 − 2k

qx = 1

Michele prof. Perini Matematica 164 / 212

Page 302: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Sezioni di cono

Parabola

sezione rispetto al piano y = 0:

x

z

piano: z = mx +q, q 6= 0

{m2x2 +m2y2 = z2

z = mx +q

x = m

2qy2 − q

2m

Michele prof. Perini Matematica 165 / 212

Page 303: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Sezioni di cono

Parabolasezione rispetto al piano y = 0:

x

z

piano: z = mx +q, q 6= 0

{m2x2 +m2y2 = z2

z = mx +q

x = m

2qy2 − q

2m

Michele prof. Perini Matematica 165 / 212

Page 304: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Sezioni di cono

Parabolasezione rispetto al piano y = 0:

x

z

piano: z = mx +q, q 6= 0

{m2x2 +m2y2 = z2

z = mx +q

x = m

2qy2 − q

2m

Michele prof. Perini Matematica 165 / 212

Page 305: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Sezioni di cono

Iperbole

sezione rispetto al piano y = 0:

x

z

piano: z = kx +q conk > m ∨k <−m, q 6= 0

{m2x2 +m2y2 = z2

z = kx +q

k2 −m2

q2x2 − m2

q2y2 + 2k

qx =−1

Michele prof. Perini Matematica 166 / 212

Page 306: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Sezioni di cono

Iperbolesezione rispetto al piano y = 0:

x

z

piano: z = kx +q conk > m ∨k <−m, q 6= 0

{m2x2 +m2y2 = z2

z = kx +q

k2 −m2

q2x2 − m2

q2y2 + 2k

qx =−1

Michele prof. Perini Matematica 166 / 212

Page 307: Matematica - Appunti di Matematica 3

Coniche Sezioni di cono

Iperbolesezione rispetto al piano y = 0:

x

z

piano: z = kx +q conk > m ∨k <−m, q 6= 0

{m2x2 +m2y2 = z2

z = kx +q

k2 −m2

q2x2 − m2

q2y2 + 2k

qx =−1

Michele prof. Perini Matematica 166 / 212

Page 308: Matematica - Appunti di Matematica 3

Trigonometria Triangoli rettangoli

Relazioni lato-angolo in un triangolo rettangolo:

a

b

c

α

β

a = c · sinα= c ·cosβ

b = c · sinβ= c ·cosα

c = a

sinα= a

cosβ= b

sinβ= b

cosα

tanα= a

b

tanβ= b

a

Michele prof. Perini Matematica 167 / 212

Page 309: Matematica - Appunti di Matematica 3

Trigonometria Triangoli rettangoli

Relazioni lato-angolo in un triangolo rettangolo:

a

b

c

α

β

a = c · sinα= c ·cosβ

b = c · sinβ= c ·cosα

c = a

sinα= a

cosβ= b

sinβ= b

cosα

tanα= a

b

tanβ= b

a

Michele prof. Perini Matematica 167 / 212

Page 310: Matematica - Appunti di Matematica 3

Trigonometria Triangoli rettangoli

Relazioni lato-angolo in un triangolo rettangolo:

a

b

c

α

β

a = c · sinα= c ·cosβ

b = c · sinβ= c ·cosα

c = a

sinα= a

cosβ= b

sinβ= b

cosα

tanα= a

b

tanβ= b

a

Michele prof. Perini Matematica 167 / 212

Page 311: Matematica - Appunti di Matematica 3

Trigonometria Area di un triangolo

Per un triangolo qualsiasi posizionato come in figurasi ottiene una relazione che permette di ottenerel’area del triangolo ABC .

x

y

•A(0,0)

•B(c,0)

•C (b cosα,b sinα)

α β

γab

c

~AC =(

b cosαb sinα

)~AB =

(c0

)

Michele prof. Perini Matematica 168 / 212

Page 312: Matematica - Appunti di Matematica 3

Trigonometria Area di un triangolo

Per un triangolo qualsiasi posizionato come in figurasi ottiene una relazione che permette di ottenerel’area del triangolo ABC .

x

y

•A(0,0)

•B(c,0)

•C (b cosα,b sinα)

α β

γab

c

~AC =(

b cosαb sinα

)~AB =

(c0

)

Michele prof. Perini Matematica 168 / 212

Page 313: Matematica - Appunti di Matematica 3

Trigonometria Area di un triangolo

Per un triangolo qualsiasi posizionato come in figurasi ottiene una relazione che permette di ottenerel’area del triangolo ABC .

x

y

•A(0,0)

•B(c,0)

•C (b cosα,b sinα)

α β

γab

c

~AC =(

b cosαb sinα

)~AB =

(c0

)

Michele prof. Perini Matematica 168 / 212

Page 314: Matematica - Appunti di Matematica 3

Trigonometria Area di un triangolo

L’area del triangolo ABC si può ottenere dallarelazione qui sotto dimostrata(b > 0, c > 0, 0 ≤α≤π, sinα≥ 0):

S ABC = 1

2xB yC = 1

2bc sinα

In conclusione:

S ABC = 1

2bc sinα

Michele prof. Perini Matematica 169 / 212

Page 315: Matematica - Appunti di Matematica 3

Trigonometria Teorema della corda e dei seniOgni triangolo può essere inscritto in una circonferenza, scegliamo diinserirne uno ABC come in figura.

x

y

• Aα

•Bβ

•C

γ

O

0 < v < w < 2π

O(0,0), A(r,0),

B(r cos(v),r sin(v)),

C (r cos(w),r sin(w))�O AB = �OB A = π− v

2�OBC = �OC B = π− (w − v)

2�OC A = �O AC = π− (2π−w)

2

Michele prof. Perini Matematica 170 / 212

Page 316: Matematica - Appunti di Matematica 3

Trigonometria Teorema della corda e dei seniOgni triangolo può essere inscritto in una circonferenza, scegliamo diinserirne uno ABC come in figura.

x

y

• Aα

•Bβ

•C

γ

O

0 < v < w < 2π

O(0,0), A(r,0),

B(r cos(v),r sin(v)),

C (r cos(w),r sin(w))�O AB = �OB A = π− v

2�OBC = �OC B = π− (w − v)

2�OC A = �O AC = π− (2π−w)

2

Michele prof. Perini Matematica 170 / 212

Page 317: Matematica - Appunti di Matematica 3

Trigonometria Teorema della corda e dei seniOgni triangolo può essere inscritto in una circonferenza, scegliamo diinserirne uno ABC come in figura.

x

y

• Aα

•Bβ

•C

γ

O

0 < v < w < 2π

O(0,0), A(r,0),

B(r cos(v),r sin(v)),

C (r cos(w),r sin(w))�O AB = �OB A = π− v

2�OBC = �OC B = π− (w − v)

2�OC A = �O AC = π− (2π−w)

2Michele prof. Perini Matematica 170 / 212

Page 318: Matematica - Appunti di Matematica 3

Trigonometria Teorema della corda e dei seni

�AOB = v, �AOC = w, �OC A = �O AC = w −π2

,

α= π− v

2+ w −π

2= w − v

2

β= π− v

2+ π− (w − v)

2= 2π−w

2

γ= π− (w − v)

2+ w −π

2= v

2Le ultime tre relazioni dimostrano che l’angolo al centro è doppio rispettoall’angolo alla circonferenza e che tutti gli angoli alla circonferenza di unacorda di data lunghezza sono uguali tra loro. Infatti γ dipende solo da v

che dipende solo dalla lunghezza di AB = c, così anche per α e β chedipendono solo dalle corde BC = a e C A = b.

Michele prof. Perini Matematica 171 / 212

Page 319: Matematica - Appunti di Matematica 3

Trigonometria Teorema della corda e dei seni

AB = c = r√

(cos(v)−1)2 + (sin(v))2 == r

√cos(v)2 + sin(v)2 +1−2cos(v) =

= 2r

√1−cos(v)

2= 2r sin

(v

2

)= 2r sin(γ)

in sintesi:c = 2r sin(γ)

Michele prof. Perini Matematica 172 / 212

Page 320: Matematica - Appunti di Matematica 3

Trigonometria Teorema della corda e dei seni

AC = b = r√

(cos(w)−1)2 + (sin(w))2 == r

√cos(w)2 + sin(w)2 +1−2cos(w) =

= 2r

√1−cos(w)

2= 2r sin

(w

2

)= 2r sin

(π− w

2

)=

= 2r sin

(2π−w

2

)= 2r sin(β)

in sintesi:b = 2r sin(β)

Michele prof. Perini Matematica 173 / 212

Page 321: Matematica - Appunti di Matematica 3

Trigonometria Teorema della corda e dei seni

BC = a = r√

(cos(w)−cos(v))2 + (sin(w)− sin(v))2 =

= r√

2−2cos(w)cos(v)−2sin(w)sin(v) =

= 2r

√1− (cos(w)cos(v)+ sin(w)sin(v))

2=

= 2r

√1−cos(w − v)

2= 2r sin

(w − v

2

)= 2r sin(α)

in sintesi:a = 2r sin(α)

Michele prof. Perini Matematica 174 / 212

Page 322: Matematica - Appunti di Matematica 3

Trigonometria Teorema della corda e dei seniTenendo conto di quanto ottenuto possiamo enunciare i seguenti teoremi.

Teorema della cordaLa misura di una corda di una circonferenza è pari alprodotto della misura del diametro dellacirconferenza per il seno dell’angolo allacirconferenza che insiste sulla corda.

Teorema dei seniIn un triangolo con lati di misura a, b, c, con angoliopposti rispettivamente α, β e γ vale la relazione:

a

sin(α)= b

sin(β)= c

sin(γ)

Michele prof. Perini Matematica 175 / 212

Page 323: Matematica - Appunti di Matematica 3

Trigonometria Teorema della corda e dei seniTenendo conto di quanto ottenuto possiamo enunciare i seguenti teoremi.

Teorema della cordaLa misura di una corda di una circonferenza è pari alprodotto della misura del diametro dellacirconferenza per il seno dell’angolo allacirconferenza che insiste sulla corda.

Teorema dei seniIn un triangolo con lati di misura a, b, c, con angoliopposti rispettivamente α, β e γ vale la relazione:

a

sin(α)= b

sin(β)= c

sin(γ)Michele prof. Perini Matematica 175 / 212

Page 324: Matematica - Appunti di Matematica 3

Trigonometria Teorema della corda e dei seni

I teoremi della corda e dei seni si possonosintetizzare in un solo teorema.Teorema dei seni e della cordaIn un triangolo con lati di misura a, b, c, con angoliopposti rispettivamente α, β e γ e inscritto in unacirconferenza di raggio r , vale la relazione:

a

sin(α)= b

sin(β)= c

sin(γ)= 2r

Michele prof. Perini Matematica 176 / 212

Page 325: Matematica - Appunti di Matematica 3

Trigonometria Teorema del cosenoInseriamo un triangolo in un piano cartesiano perottenere un teorema che è l’estensione ad untriangolo qualsiasi del teorema di Pitagora (ilteorema del coseno è noto anche come teorema diCarnot).

x

y

•A(0,0)

•B(c,0)

•C (b cosα,b sinα)

α β

γab

c

~AC =(

b cosαb sinα

)~AB =

(c0

)~BC =

(b cosα− c

b sinα

)

Michele prof. Perini Matematica 177 / 212

Page 326: Matematica - Appunti di Matematica 3

Trigonometria Teorema del cosenoInseriamo un triangolo in un piano cartesiano perottenere un teorema che è l’estensione ad untriangolo qualsiasi del teorema di Pitagora (ilteorema del coseno è noto anche come teorema diCarnot).

x

y

•A(0,0)

•B(c,0)

•C (b cosα,b sinα)

α β

γab

c

~AC =(

b cosαb sinα

)~AB =

(c0

)~BC =

(b cosα− c

b sinα

)

Michele prof. Perini Matematica 177 / 212

Page 327: Matematica - Appunti di Matematica 3

Trigonometria Teorema del cosenoInseriamo un triangolo in un piano cartesiano perottenere un teorema che è l’estensione ad untriangolo qualsiasi del teorema di Pitagora (ilteorema del coseno è noto anche come teorema diCarnot).

x

y

•A(0,0)

•B(c,0)

•C (b cosα,b sinα)

α β

γab

c

~AC =(

b cosαb sinα

)~AB =

(c0

)~BC =

(b cosα− c

b sinα

)Michele prof. Perini Matematica 177 / 212

Page 328: Matematica - Appunti di Matematica 3

Trigonometria Teorema del cosenoTenendo conto del fatto chea > 0, b > 0, c > 0, 0 ≤α≤π, sinα≥ 0):

a = ∣∣ ~BC∣∣

a2 = ~BC2 = (b cosα− c)2 + (b sinα)2 =

= b2 cos2α+ c2 −2bc cosα+b2 sin2α== b2 + c2 −2bc cosα

In conclusione:

a2 = b2 + c2 −2bc cosα

Michele prof. Perini Matematica 178 / 212

Page 329: Matematica - Appunti di Matematica 3

Trigonometria Coseno e prodotto scalare

Grazie al teorema di Carnot è possibile ridefinire ilprodotto scalare nei termini del modulo dei vettorimoltiplicati e dell’angolo tra essi compreso.

A B

C

α β

γab

c

∣∣ ~AB∣∣= c∣∣ ~BC∣∣= a∣∣ ~AC∣∣= b

~AB + ~BC = ~AC

Michele prof. Perini Matematica 179 / 212

Page 330: Matematica - Appunti di Matematica 3

Trigonometria Coseno e prodotto scalare

Grazie al teorema di Carnot è possibile ridefinire ilprodotto scalare nei termini del modulo dei vettorimoltiplicati e dell’angolo tra essi compreso.

A B

C

α β

γab

c

∣∣ ~AB∣∣= c∣∣ ~BC∣∣= a∣∣ ~AC∣∣= b

~AB + ~BC = ~AC

Michele prof. Perini Matematica 179 / 212

Page 331: Matematica - Appunti di Matematica 3

Trigonometria Coseno e prodotto scalare

Grazie al teorema di Carnot è possibile ridefinire ilprodotto scalare nei termini del modulo dei vettorimoltiplicati e dell’angolo tra essi compreso.

A B

C

α β

γab

c

∣∣ ~AB∣∣= c∣∣ ~BC∣∣= a∣∣ ~AC∣∣= b

~AB + ~BC = ~AC

Michele prof. Perini Matematica 179 / 212

Page 332: Matematica - Appunti di Matematica 3

Trigonometria Coseno e prodotto scalare

~AB + ~BC = ~AC~BC = ~AC − ~AB(

~BC)2 = (

~AC − ~AB)2

a2 = b2 + c2 −2 ~AC · ~AB

confrontando quest’ultima scrittura con il teorema di Carnotsu ABC , a2 = b2 +c2 −2bc cos(α), si può ottenere la relazione:

~AC · ~AB = bc cos(α) = ∣∣ ~AC∣∣ · ∣∣ ~AB

∣∣cos(α)

In generale il prodotto scalare tra due vettori è ilprodotto del modulo dei vettori per il cosenodell’angolo tra essi compreso.

Michele prof. Perini Matematica 180 / 212

Page 333: Matematica - Appunti di Matematica 3

Trigonometria Coseno e prodotto scalare

Prodotto scalareIl prodotto scalare tra due vettori ~a e ~b tra cui ècompreso l’angolo γ si può scrivere anche come:

~a ·~b = ab cos(γ)

Michele prof. Perini Matematica 181 / 212

Page 334: Matematica - Appunti di Matematica 3

Statistica Sommatorie

(ax1 +b)+ (ax2 +b)+·· ·+ (axi +b)+·· ·+ (axn +b) == (ax1 +ax2 +·· ·+axi +·· ·+axn)+b +·· ·+b︸ ︷︷ ︸

n−volte=

= a(x1 +x2 +·· ·+xi +·· ·+xn)+nb

oppuren∑

i=1(axi +b) =

=n∑

i=1axi +

n∑i=1

b =

= an∑

i=1xi +nb

Michele prof. Perini Matematica 182 / 212

Page 335: Matematica - Appunti di Matematica 3

Statistica Dati e loro rappresentazione

Indichiamo un dato di una indagine statistica conuna lettera minuscola e un pedice:

x1, x2, . . . , xi , . . . , xN

a dati diversi corrispondono pedici diversi, a datiuguali corrispondono pedici uguali, la statisticacomprende N dati in totale.

Michele prof. Perini Matematica 183 / 212

Page 336: Matematica - Appunti di Matematica 3

Statistica Frequenze assoluteUn medesimo dato può presentarsi può volte, inquesto caso ad esso associamo una frequenza, cioèil numero di volte che tale dato si è presentato:

X fx1 f1

x2 f2

. . . . . .xi fi

. . . . . .xn fn

La scrittura significa che il dato xi si è presentatoun numero fi di volte.

Michele prof. Perini Matematica 184 / 212

Page 337: Matematica - Appunti di Matematica 3

Statistica Frequenze relativeLa totalità dei dati di una statistica è pari allasomma delle frequenze:

N =n∑

i=1

fi

Sono frequenze relative le fR :X f fR

x1 f1f1

N

x2 f2f2

N. . . . . . . . .xi fi

fiN

. . . . . . . . .xn fn

fn

NMichele prof. Perini Matematica 185 / 212

Page 338: Matematica - Appunti di Matematica 3

Statistica Frequenze cumulate

Le frequenze cumulate si ottengono sommando lefrequenze assolute come mostrato in tabella:

X f fC

x1 f1 f1

x2 f2 f1 + f2

. . . . . . . . .xi fi f1 + f2 +·· ·+ fi

. . . . . . . . .xn fn N

Michele prof. Perini Matematica 186 / 212

Page 339: Matematica - Appunti di Matematica 3

Statistica Frequenze relative cumulate

Le frequenze relative cumulate si ottengonosommando le frequenze relative come mostrato intabella:

X f fRC

x1 f1f1

N

x2 f2f1+ f2

N. . . . . . . . .xi fi

f1+ f2+···+ fiN

. . . . . . . . .xn fn 1

Michele prof. Perini Matematica 187 / 212

Page 340: Matematica - Appunti di Matematica 3

Statistica La media aritmeticaLa media aritmetica dei dati di una statistica è datadalla relazione:

µ=N∑

i=1

xi

N

oppure, utilizzando le frequenze:

µ=n∑

i=1

fi xi

N

oppure utilizzando le frequenze relative:

µ=n∑

i=1

fRi xi

Michele prof. Perini Matematica 188 / 212

Page 341: Matematica - Appunti di Matematica 3

Statistica La varianza

La varianza dei dati di una statistica è data dallarelazione:

σ2 =N∑

i=1

(xi −µ)2

N=

N∑i=1

x2i −2µxi +µ2

N=

=N∑

i=1

x2i

N−2µ

N∑i=1

xi

N+ Nµ2

N=

N∑i=1

x2i

N−2µ2 +µ2 =

=N∑

i=1

x2i

N−µ2

Michele prof. Perini Matematica 189 / 212

Page 342: Matematica - Appunti di Matematica 3

Statistica La deviazione standard

La deviazione standard o scarto quadratico medio èdato dalla:

σ=√√√√ N∑

i=1

(xi −µ)2

N=

√√√√ N∑i=1

x2i

N−µ2

oppure in termini di frequenze assolute:

σ=√

n∑i=1

fi (xi −µ)2

N

Michele prof. Perini Matematica 190 / 212

Page 343: Matematica - Appunti di Matematica 3

Statistica Test del χ2 di Cramer

Lo scopo che ci prefiggiamo di raggiungere è didefinire un indice che dia conto della dipendenzastatistica tra due caratteri X e Y . Tabuliamo lefrequenze con cui compaiono i caratteri oggetto distudio per meglio comprendere quale sia la relazioneche intercorre tra le due. Denoteremo con f (xi , y j )la frequenza con cui vengono rilevati entrambi icaratteri xi e y j (frequenze congiunte) e con f (xi ) ef (y j ) la totalità delle frequenze rispettivamente dixi e y j (frequenze marginali). L’insieme dellefrequenze marginali è detto distribuzione marginale.

Michele prof. Perini Matematica 191 / 212

Page 344: Matematica - Appunti di Matematica 3

Statistica Test del χ2 di Cramer

Tabella delle frequenze:y1 . . . y j . . . yh Totale

x1 f (x1, y1) . . . f (x1, y j ) . . . f (x1, yh) f (x1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xi f (xi , y1) . . . f (xi , y j ) . . . f (xi , yh) f (xi ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xk f (xk , y1) . . . f (xk , y j ) . . . f (xk , yh) f (xk )

Totale f (y1) . . . f (y j ) . . . f (yh) n

Frequenze marginali di X : f (xi ) =h∑

j=1f (xi , y j )

Frequenze marginali di Y : f (y j ) =k∑

i=1f (xi , y j )

Totale delle frequenze: n =k∑

i=1f (xi ) =

h∑j=1

f (y j ) =k∑

i=1

h∑j=1

f (xi , y j )

Michele prof. Perini Matematica 192 / 212

Page 345: Matematica - Appunti di Matematica 3

Statistica Test del χ2 di Cramer

Tabella delle frequenze nell’ipotesi che X e Y siano indipendenti:y1 . . . y j . . . yh Totale

x1 f ′(x1, y1) . . . f ′(x1, y j ) . . . f ′(x1, yh) f (x1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xi f ′(xi , y1) . . . f ′(xi , y j ) . . . f ′(xi , yh) f (xi ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xk f ′(xk , y1) . . . f ′(xk , y j ) . . . f ′(xk , yh) f (xk )

Totale f (y1) . . . f (y j ) . . . f (yh) n

Frequenze teoriche: f ′(xi , y j ) = n

(f (xi )

n

)(f (y j )

n

)= f (xi ) f (y j )

n

Freq. marginali di X :h∑

j=1f ′(xi , y j ) =

h∑j=1

f (xi ) f (y j )

n= f (xi )

n

h∑j=1

f (y j ) = f (xi )

Freq. marginali di Y :k∑

i=1f ′(xi , y j ) =

k∑i=1

f (xi ) f (y j )

n= f (y j )

n

k∑i=1

f (xi ) = f (y j )

Michele prof. Perini Matematica 193 / 212

Page 346: Matematica - Appunti di Matematica 3

Statistica Test del χ2 di Cramer

Tabella delle contingenze (differenza tra frequenze rilevate eteoriche):

y1 . . . y j . . . yh Totalex1 c(x1, y1) . . . c(x1, y j ) . . . c(x1, yh) 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . 0xi c(xi , y1) . . . c(xi , y j ) . . . c(xi , yh) 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . 0xk c(xk , y1) . . . c(xk , y j ) . . . c(xk , yh) 0

Totale 0 0 0 0 0 0

Contingenze: c(xi , y j ) = f (xi , y j )− f ′(xi , y j )

F. m. cont. di X :h∑

j=1c(xi , y j ) =

h∑j=1

f (xi , y j )−h∑

j=1f ′(xi , y j ) = f (xi )− f (xi ) = 0

F. m. cont. di Y :k∑

i=1c(xi , y j ) =

k∑i=1

f (xi , y j )−k∑

i=1f ′(xi , y j ) = f (y j )− f (y j ) = 0

Michele prof. Perini Matematica 194 / 212

Page 347: Matematica - Appunti di Matematica 3

Statistica Test del χ2 di CramerLe contingenze sono a somma nulla, per ottenere unindice complessivo non identicamente nullo si scegliedi tenere conto dei quadrati delle contingenze divisiper la frequenza teorica.

Tabella delle d(x1, y j ) = c2(xi ,y j )f ′(xi ,y j ) :

y1 . . . y j . . . yh Totalex1 d(x1, y1) . . . d(x1, y j ) . . . d(x1, yh) . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xi d(xi , y1) . . . d(xi , y j ) . . . d(xi , yh) . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xk d(xk , y1) . . . d(xk , y j ) . . . d(xk , yh) . . .

Totale . . . . . . . . . . . . . . . χ2

Chi quadro: χ2 =k∑

i=1

h∑j=1

c2(xi , y j )

f ′(xi , y j )

Michele prof. Perini Matematica 195 / 212

Page 348: Matematica - Appunti di Matematica 3

Statistica Test del χ2 di Cramer

Se X e Y sono indipendenti si haf (xi , y j ) = f ′(xi , y j ) e quindi c2(xi ,y j )

f ′(xi ,y j ) = 0

Tabella delle d(x1, y j ) = c2(xi ,y j )f ′(xi ,y j ) in caso di X e Y indipendenti:

y1 . . . y j . . . yh Totalex1 0 . . . 0 . . . 0 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . 0xi 0 . . . 0 . . . 0 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . 0xk 0 . . . 0 . . . 0 0

Totale 0 0 0 0 0 χ2 = 0

Michele prof. Perini Matematica 196 / 212

Page 349: Matematica - Appunti di Matematica 3

Statistica Test del χ2 di CramerSe X e Y sono dipendenti si ha

f (xi , y j ) ={

0 se i 6= jf (xi ) = f (yi ) se i = j

f (xi ) = 0 se i > min(h,k), f (y j ) = 0 se j > min(h,k)

Tabella delle frequenze nel caso di X e Y dipendenti:y1 . . . yi . . . yk . . . yh Totale

x1 f (x1) 0 0 0 0 0 0 f (x1). . . 0 . . . 0 0 0 0 0 . . .xi 0 0 f (xi ) 0 0 0 0 f (xi ). . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . .xk 0 0 0 0 f (xk ) 0 0 f (xk )

Totale f (x1) . . . f (xi ) . . . f (xk ) 0 0 n

La perfetta dipendenza si ha se xi → yi e viceversa per ogni i , il massimonumero di connessioni è min(k,h).

Michele prof. Perini Matematica 197 / 212

Page 350: Matematica - Appunti di Matematica 3

Statistica Test del χ2 di Cramer

Se X e Y sono dipendenti le frequenze teoriche diventano:

f ′(xi , y j ) ={

f (xi ) f (y j )n se i ≤ min(h,k)∧ j ≤ min(h,k)

0 se i > min(h,k)∨ j > min(h,k)

Tabella delle frequenze nel caso di X e Y dipendenti:y1 . . . yi . . . yk . . . yh Totale

x1f 2(x1)

n . . . f ′(x1, yi ) . . . f ′(x1, yk ) 0 0 f (x1). . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . .xi f ′(xi , y1) . . . f 2(xi )

n . . . f ′(xi , yk ) 0 0 f (xi ). . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . .xk f ′(xk , y1) . . . f ′(xk , yi ) . . . f 2(xk )

n 0 0 f (xk )Totale f (x1) . . . f (xi ) . . . f (xk ) 0 0 n

Michele prof. Perini Matematica 198 / 212

Page 351: Matematica - Appunti di Matematica 3

Statistica Test del χ2 di Cramer

c2(xi , y j )

f ′(xi , y j )=

(f (xi , y j )− f ′(xi , y j )

)2

f ′(xi , y j )=

=(

f (xi , y j )− f (xi ) f (y j )

n

)2 n

f (xi ) f (y j )=

=(

f 2(xi , y j )−2f (xi , y j ) f (xi ) f (y j )

n+ f 2(xi ) f 2(y j )

n2

)n

f (xi ) f (y j )=

= n f 2(xi , y j )

f (xi ) f (y j )−2 f (xi , y j )+ f (xi ) f (y j )

n

Michele prof. Perini Matematica 199 / 212

Page 352: Matematica - Appunti di Matematica 3

Statistica Test del χ2 di Cramer

Nel caso della perfetta dipendenza si ha:

c2(xi , y j )

f ′(xi , y j )=

0 se i ∨ j > min(h,k)

n −2 f (xi )+ f 2(xi )n se i = j

f (xi ) f (y j )

n se i 6= j ≤ min(h,k)

per la somma di tutte le celle (χ2):min(h,k)∑

i=1

(n −2 f (xi )+ f 2(xi )

n

)︸ ︷︷ ︸

i= j

+min(h,k)∑

i=1

min(h,k)∑j=1

f (xi ) f (y j )

n︸ ︷︷ ︸i∧ j≤min(h,k)

−min(h,k)∑

i=1

f 2(xi )

n︸ ︷︷ ︸i= j≤min(h,k)︸ ︷︷ ︸

i 6= j≤min(h,k)

=

Michele prof. Perini Matematica 200 / 212

Page 353: Matematica - Appunti di Matematica 3

Statistica Test del χ2 di Cramer

=min(h,k)∑

i=1

(n −2 f (xi )

)+min(h,k)∑i=1

min(h,k)∑j=1

f (xi ) f (y j )

n=

= n ·min(h,k)−2n + 1

n

min(h,k)∑i=1

f (xi )min(h,k)∑

j=1

f (y j ) =

= n ·min(h,k)−2n + n2

n= n(min(h,k)−1)

Michele prof. Perini Matematica 201 / 212

Page 354: Matematica - Appunti di Matematica 3

Statistica Test del χ2 di CramerFormula alternativa per il χ2:

χ2 =k∑

i=1

h∑j=1

c2(xi , y j )

f ′(xi , y j )=

=k∑

i=1

h∑j=1

(n f 2(xi , y j )

f (xi ) f (y j )−2 f (xi , y j )+ f (xi ) f (y j )

n

)=

=k∑

i=1

h∑j=1

n f 2(xi , y j )

f (xi ) f (y j )−2n +n =

= n

(k∑

i=1

h∑j=1

f 2(xi , y j )

f (xi ) f (y j )−1

)Michele prof. Perini Matematica 202 / 212

Page 355: Matematica - Appunti di Matematica 3

Statistica Test del χ2 di Cramer

In sintesi la tabella delle d(x1, y j ) = c2(xi ,y j )f ′(xi ,y j ) :

y1 . . . y j . . . yh Totalex1 d(x1, y1) . . . d(x1, y j ) . . . d(x1, yh) . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xi d(xi , y1) . . . d(xi , y j ) . . . d(xi , yh) . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xk d(xk , y1) . . . d(xk , y j ) . . . d(xk , yh) . . .

Totale . . . . . . . . . . . . . . . χ2

χ2 =k∑

i=1

h∑j=1

c2(xi , y j )

f ′(xi , y j )= n

(k∑

i=1

h∑j=1

f 2(xi , y j )

f (xi ) f (y j )−1

)

0 ≤χ2 ≤ n(min(h,k)−1)

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Page 356: Matematica - Appunti di Matematica 3

Statistica Test del χ2 di Cramer

Per ottenere un indice compreso tra zero e uno,dove zero indica la perfetta indipendenza tra duecaratteri e uno la perfetta dipendenza,normalizziamo il χ2:

χ2normalizzato =

χ2

n(min(h,k)−1)

Michele prof. Perini Matematica 204 / 212

Page 357: Matematica - Appunti di Matematica 3

Statistica Regressione lineareDato un certo numero di punti su un piano ciproponiamo di trovare un metodo che consenta dideterminare se questi punti sono linearmentecorrelati e di determinare la retta che eventualmenteli correli.

1 2 3 4 5

4

6

8

10

12

14

16

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Page 358: Matematica - Appunti di Matematica 3

Statistica Regressione lineareDati gli n punti Pi (xi , yi ) si ha:

media ascisse: x =n∑

i=1

xi

n, varianza: σ2

x =n∑

i=1

(xi −x)2

n=

n∑i=1

x2i

n−x2

media ordinate: y =n∑

i=1

yi

n, varianza: σ2

y =n∑

i=1

(yi − y)2

n=

n∑i=1

y2i

n−y2

retta interpolante: y = mx +q → y = mx +q

varianza sulle yteor i che − yd ati : σ2 =n∑

i=1

(yi − (mxi +q))2

n

covarianza: σx y =n∑

i=1

(xi −x)(yi − y)

n=

n∑i=1

xi yi −xi y −x yi +x y

n=

=n∑

i=1

xi yi

n− y

n∑i=1

xi

n−x

n∑i=1

yi

n+x y =

n∑i=1

xi yi

n−x y

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Page 359: Matematica - Appunti di Matematica 3

Statistica Regressione lineareVogliamo che la retta di regressione renda minimala varianza sulla differenza tra le yteor i che e le yd ati ,deve cioè essere minima la quantità:

n∑i=1

(yi − (mxi +q))2 =n∑

i=1

(yi −mxi −q)2 =

=n∑

i=1

(m2x2i +2mqxi −2mxi yi +q2 −2q yi + y2

i ) =

ricordando che q = y −mx:

=n∑

i=1(x2m2−2xm2xi+m2x2

i −2x ym+2xmyi+2ymxi−2mxi yi+y2−2y yi+y2i ) =

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Page 360: Matematica - Appunti di Matematica 3

Statistica Regressione lineare

ricordando che∑ni=1 xi = nx,

∑ni=1 yi = ny ,

∑ni=1 x2

i = nσ2x +

nx2,∑n

i=1 y2i = nσ2

y +ny2 ∑ni=1 xi yi = nσx y +nx y si

ottiene:=σ2

xnm2 −2σx y nm +nσ2y

il polinomio di secondo grado in m assume valoreminimo per:

m = 2σx y n

2σ2xn

= σx y

σ2x

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Page 361: Matematica - Appunti di Matematica 3

Statistica Regressione lineare

La retta che meglio interpola i dati è la retta:

y = σx y

σ2x

x + y − σx y

σ2x

x

oppure:y − y = σx y

σ2x

(x −x)

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Page 362: Matematica - Appunti di Matematica 3

Statistica Regressione lineare

Una possibile misura della bontà della linearità delladistribuzione di punti di cui abbiamo ricavato laretta di regressione può essere data dalla varianzasulla differenza tra y teoriche e quelle dei dati, cheper la m della retta di regressione diventa:

σ2 =σ2

xn(σx y

σ2x

)2 −2σx y n(σx y

σ2x

)+nσ2

y

n=

=−σ2

x y

σ2x

+σ2y =

σ2yσ

2x −σ2

x y

σ2x

Michele prof. Perini Matematica 210 / 212

Page 363: Matematica - Appunti di Matematica 3

Statistica Regressione lineare

La relazione σ2 = σ2yσ

2x−σ2

x y

σ2x

ci permette di ricavare:

σ2yσ

2x −σ2

x y

σ2x

≥ 0 →σ2x y ≤σ2

yσ2x →

−σyσx ≤σx y ≤σyσx

vi è perfetta linearità se σ2 = 0 →σx y =±σyσx

i punti da cui si ricava la retta di regressionesono sempre più lontani da una distribuzionelineare al crescere di σ2 cioè per σ2

x y = 0.

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Page 364: Matematica - Appunti di Matematica 3

Statistica Regressione lineare

La relazione σ2 = σ2yσ

2x−σ2

x y

σ2x

ci permette di ricavare:

σ2yσ

2x −σ2

x y

σ2x

≥ 0 →σ2x y ≤σ2

yσ2x →

−σyσx ≤σx y ≤σyσx

vi è perfetta linearità se σ2 = 0 →σx y =±σyσx

i punti da cui si ricava la retta di regressionesono sempre più lontani da una distribuzionelineare al crescere di σ2 cioè per σ2

x y = 0.

Michele prof. Perini Matematica 211 / 212

Page 365: Matematica - Appunti di Matematica 3

Statistica Regressione linearePer quanto detto possiamo definire un coefficiente,detto di correlazione lineare, come:

r = σx y

σyσx→−1 ≤ r ≤ 1

e da questo definiamo anche il coefficiente dideterminazione come:

r 2 =σ2

x y

σ2yσ

2x

→ 0 ≤ r 2 ≤ 1

vi è perfetta linearità se r 2 = 1

i punti da cui si ricava la retta di regressione sono moltolontani da una distribuzione lineare se r 2 = 0.

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Page 366: Matematica - Appunti di Matematica 3

Statistica Regressione linearePer quanto detto possiamo definire un coefficiente,detto di correlazione lineare, come:

r = σx y

σyσx→−1 ≤ r ≤ 1

e da questo definiamo anche il coefficiente dideterminazione come:

r 2 =σ2

x y

σ2yσ

2x

→ 0 ≤ r 2 ≤ 1

vi è perfetta linearità se r 2 = 1

i punti da cui si ricava la retta di regressione sono moltolontani da una distribuzione lineare se r 2 = 0.

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