Universidad Nacional Autnoma de MxicoFacultad de Ingeniera

La Curva CatenariaSemestre 2005-2Clculo IIIng. Gustavo Rocha Beltrn Martn del Campo Vidal Francisco Amlcar

Introduccin.Vamos a estudiar el problema de un cable colgante sujeto por sus dos extremos como los que emplean las compaas elctricas para llevar la corriente de alta tensin entre las centrales elctricas y los centros de consumo. La curva que describe un cable que est fijo por sus dos extremos y no est sometido a otras fuerzas distintas que su propio peso es una catenaria. La catenaria se confundi al principio con la parbola, hasta que el problema lo resolvieron los hermanos Bernoulli simultneamente con Leibniz y Huygens.

Formulacin discreta Sea una cadena de bolitas metlicas como las que se utilizan para sujetar los tapones de los fregaderos. Supondremos que hay N bolitas igualmente repartidas sobre un hilo de longitud L y de masa despreciable.Cada bolita estar, por tanto, sometida a tres fuerzas: su propio peso, la fuerza que ejerce el hilo a su izquierda y a su derecha.

La condicin de equilibrio para la bolita i de masa m se expresa

Todas las componentes horizontales de la tensin del hilo son iguales, y la denominaremos Tx.

Dividiendo la segunda ecuacin por Tx tenemos la siguiente relacin entre el ngulo i y el ngulo i+1

A la cantidad constante cociente entre el peso de cada bolita mg y la componente horizontal Tx de la tensin del hilo, le denominaremos parmetro g. La relacin de recurrencia se escribe para cada bolita i=1... N.

Sumando miembro a miembro obtenemos el ngulo qN en funcin del ngulo inicial 0

Si los extremos del hilo estn a la misma altura, por razn de simetra tendremos que

Sumando miembro a miembro la relacin de recurrencia hasta el trmino i, obtenemos el ngulo i en funcin del ngulo inicial 0 .

El ngulo i que forma el hilo con la horizontal en la posicin de cada una de las bolitas, el ngulo inicial 0 y el final N se calculan mediante la siguiente frmula

Las coordenadas (xi , yi) de la bolita i se obtendrn sumando las proyecciones dcosq j y dsenqj , j=0...i-1, sobre el eje X y sobre el eje Y respectivamente, siendo d la distancia entre dos bolitas consecutivas d=L/(N+1).

Catenaria simtricaConsideremos un cable de longitud L sujeto por sus dos extremos que estn situados a la misma altura y que distan a uno del otro. Sea r la densidad del cable (masa por unidad de longitud).En la figura, se representa las fuerzas que actan sobre una porcin s de cable que tiene como extremo el punto ms bajo A: el peso, la fuerza que ejerce la parte izquierda del cable sobre el extremo izquierdo A de dicho segmento, la fuerza que ejerce la parte derecha del cable sobre el extremo derecho P del segmento s.

La condicin de equilibrio se escribe

O bien,

Derivando con respecto de x, y teniendo en cuenta que la longitud del arco diferencial ds2=dx2+dy2

Integrando esta ecuacin, teniendo en cuenta que para x=a/2, (en el punto ms bajo A de la curva) dy/dx=0

Integrando de nuevo, con la condicin de que para x=a/2, y=-h.

Como la catenaria es simtrica para x=a, y=0, por lo que la flecha h vale.

La ecuacin de la catenaria es, finalmente

La longitud de la catenaria es

Para calcular la tensin del cable, tomando en cuenta que

AplicacinEn trminos matemticos, una catenaria es la curva que adoptara por la accin de la gravedad un cable pesado y perfectamente flexible colgado entre dos soportes; en el ferrocarril, donde se emplean tramos de hasta 2 Km, es la lnea area de contacto de suspensin longitudinal, a travs de la cual el pantgrafo de las locomotoras elctricas capta la corriente de traccin. En una doble va, va suspendida de unos postes situados a intervalos de hasta 73 m; cuando hay cuatro o ms vas, se emplean hilos de flechar o prticos transversales a la lnea.

En cada poste, el hilo va fijado a un brazo que se desliza por un brazo de atirantado y se ajusta con objeto de que, en va recta, el hilo de toma de corriente "zigzaguee" a lo largo de la va para compensar el desgaste del frotador de los pantgrafos.

En el Reino Unido, los tramos de catenaria estn sustentados a lo largo de la lnea por postes situados a una distancia mxima de 73 m. El hilo de contacto, de cobre, va suspendido por pndolas de la curvada catenaria.

Fuentes.Mecnica Para Ingeniera; Esttica. Bedford, Anthony y Fowler Wallace. Pearson Educacin.1996.Larson, Roland E. Clculo. McGraw-Hill Volumen 1. Sexta Edicin.Granville. Clculo Diferencial e Integral. Editorial Limusa.http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/din_rotacion/catenaria/catenaria.htmhttp://www.todotren.com.ar/trenesturisticos/tecno12.htm