Determinan dan Invers Matriks:

DIC 126 Kuliah 3

Referensi: K. F. Riley, M. P. Hobson and S. J. Bence, Mathematical Methods for Physics and Engineering 3rd edition ,Cambridge University Press, 2006

Tujuan:• Memahami konsep determinan dan invers matriks

• Dapat menghitung determinan dan invers matriks

Relevansi:Determinan dan invers matriks sangat penting dalam operasi matematis misalnya untuk menyelesaikan persamaan linier, transformasi dsb

1. Determinan matriks

Untuk menghitung determinan matriks A, det A perlu dipelajari notasi minor dan ko-faktor

Minor, Mij, dari elemen matriks aij matrik A (N x N) adalah determinan dari matriks {(N-1) x (N-1)} didapat dengan menghilangkan elemen baris ke-i dan baris ke-j. Contoh

3231

2221

3231

2221 ,aa

aaM

aa

aaA ij

33

23

131211

a

a

aaa

Ko-faktor dari matriks A, Aij adalah elemen yang didapatkan dengan mengalikan minor dengan (-1)i+j. untuk matriks di atas, kofaktor dari a13 adalah

Dengan cara yang sama, kofaktor dari a32 adalah

3231

222113

3113 1aa

aaMA

2321

131132

3232 1aa

aaMA

Matriks kofaktor Ac menggantikan setiap elemen matriks dengan kofaktor

333231

232221

131211

,

AAA

AAA

AAA

AA C

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

333231

232221

131211

,

AAA

AAA

AAA

AA C

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

2323

2222

2121

3131

2121

1111det AaAaAaAaAaAaAA

A. Menghitung determinan, det A

Determinan adalah jumlah hasil kali dari setiap elemen dalam satu baris (atau satu kolom) dengan kofaktornya

Contoh:

14821351112

3712

52

4715

51

4311

512

437

251312111

xxx

B. Sifat Determinan

1. Nilai determinan tidak berubah jika baris dan kolom yang berkaitan saling ditukar

321

321

321

333

222

111

ccc

bbb

aaa

cba

cba

cba

D

2. Jika hasil kali suatu kolom ditambahkan (baris dg baris) dengan kolom yang lain atau hasil kali suatu baris (kolom dg kolom) ditambahkan dg baris yang lain, maka determinannya tidak berubah

3333

2222

1111

333

222

111

cbkba

cbkba

cbkba

cba

cba

cba

D

0000

333

111

cba

cba

D

3. Jika tiap elemen dari baris atau kolom adalah nol, maka determinannya nol

4. Jika ada dua kolom atau baris identik, maka determinannya nol

0

111

222

111

cba

cba

cba

D

5. Jika ada dua kolom atau baris sebanding, maka determinannya nol

0

721

263

542

D

333

222

111

333

222

111

abc

abc

abc

cba

cba

cba

D

6. Jika dua kolom atau baris saling ditukar, maka tanda dari determinannya berubah

7. Jika setiap elemen kolom atau baris dikalikan degan suatu bilangan, maka determinannya adalah perkaliannya dengan bilangan tersebut

333

222

111

333

222

111

cba

cba

cba

k

kcba

kcba

kcba

D

8. Jika A, B, … dan G adalah matriks bujur sangkar yang ordenya sama, maka

BABAAB

BAGGBAGAB .........

Determinan untuk matriks dg orde > 3

Jika determinan berorde 4 atau lebih tinggi, perhitungan determinan tersebut menjadi lebih rumit.

Perhitungan dapat dipermudah dengan memperkecil orde determinan secara berulang sehingga didapat determinan dg orde 2.

Proses ini dapat dilakukan dengan

1. menggunakan sifat determinan

2. membuatnya memiliki elemen nol sebanyak mungkin, yang dapat dilakukan dengan metoda seperti reduksi matriks melalui operasi kolom.

Teknik ini dikenal sebagai metoda Laplace.

3210

4101

9173

4031

2

3410

4201

9273

4031

0413

1204

3279

1034

2/341

DDD CCC

Contoh:

1. Pergunakan sifat determinan

2. Lakukan reduksi matriks

321

013

312

2

3210

0130

3120

4031

2

3210

4101

3120

4031

2

3210

4101

9173

4031

2 13132

DDDD LaplaceRRRR

930

310

321

2

312

310

321

2

312

031

321

2

321

013

312

2 1231221

DDDD RRRRCC

3699293

312

930

310

321

2

DD Laplace

2. Invers Matriks

Matriks invers, A-1 didefenisikan sebagai

Matriks invers dapat ditentukan dari hubungan

dengan AC adalah matriks kofaktor A dan adalah determinan A

AAIAA 11

A

AA

TC

1

A

Sifat-sifat dari matriks invers

1111

111

11

11

11

.......

.

.

.

.

ABGGABv

ABABiv

AAiii

AAii

AAiTT

Contoh:

Tentukan invers dari matrik

211

012

101

A