Analisis struktur metode matrix · Perkalian matriks dengan matriks pada ... Nilai determinan dari...
33
ANALISIS STRUKTUR METODE MATRIX PERTEMUAN KE-2
Transcript of Analisis struktur metode matrix · Perkalian matriks dengan matriks pada ... Nilai determinan dari...
ANALISIS STRUKTUR METODE MATRIX
PERTEMUAN KE-2
ANALYSIS STRUCTURES CONCEPT
DEFORMASI LENTUR
DEFORMASI AKSIAL
DEFORMASI AKSIAL
DEFORMASI TORSI
DEFORMASI GESER
DEFORMASI GESER
ANALYSIS STRUCTURES CONCEPT
DISPLACEMENT (perpindahan)
• Translasi perpindahan posisi dalam arah lurus
• Rotasi perpindahan posisi dalam arah berputar
DISPLACEMENT (perpindahan)
OPERASI MATRIX
PERTEMUAN KE-2
◦ Bila kita memiliki suatu sistem persamaan linier :
2 x + 3 y + 2 z = 4
x + y + 3 z = 5
- x + 2 y - z = 8
Maka persamaan tersebut dapat ditulis ulang menjadi :
[A] {X} = {B}
Jajaran bilangan dengan notasi [A], [B], {X} disebut sebagai matrix
8
5
4
121
311
232
z
y
x
◦ Secara umum, matrix dapat dituliskan sebagai :
mnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
...
...............
...
...
...
321
3333231
2232221
1131211
A
Baris 1
Kolom 1 Kolom 2 Kolom n
Baris 2
Baris m
Matriks [A] berukuran m x n baris x kolom
Atau disebut matrix [A] ber-orde m x n
aij i = baris ; j = kolom
◦ Bilangan-bilangan yang terdapat dalam sebuah matriks
dinamakan elemen
mnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
...
...............
...
...
...
321
3333231
2232221
1131211
A
Baris 1
Kolom 1 Kolom 2 Kolom n
Baris 2
Baris m
aij i = baris ; j = kolom
Elemen diagonal
◦ Berapa orde matrix berikut ?
◦ Berapa a22, a12, a31 ?
510
242A
13
41B
4121C
4
3
1
E
16
12
13
41
D
600
210
542
F
Macam macam matrix
◦ Matrix bujur sangkar
◦ Matrix baris, bila m=1
◦ Matrix kolom, bila n=1
600
210
542
13
41
4121
4
3
1
◦ Matrix nol, bila aij = 0
000
000
000
Tipe matrix bujur sangkar
◦ Matrix diagonal
◦ Matrix satuan, bila aii = 1
◦ Matrix simetris, bila aij=aji
◦ Matrix skew simetris, bila aij=-aji
300
020
001
I
100
010
001
304
005
451
304
005
451
Operasi matrix
◦ Kesamaan matrix
Matrix A dan B dikatakan sama bila : orde sama dan elemen
matrix sama
C dan D ?
303
925
501
A
304
005
451
C
304
005
451
D
303
925
501
B
Operasi matrix
◦ Penjumlahan matrix
Syarat matrix bisa dijumlahkan adalah memiliki orde yang sama
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
333231
232221
131211
bbb
bbb
bbb
B
333332323131
232322222121
131312121111
bababa
bababa
bababa
BA
Operasi matrix
◦ Penjumlahan matrix
22
31
24
A
21
12
43
B
2212
1321
4234
BA
43
41
27
BA
Sifat penjumlahan matrix :
[A]+[B] = [B]+[A]
[A]+[B]+[C]=([A]+[B]) + [C]
Berlaku pula untuk pengurangan
matrix
Operasi matrix
◦ Perkalian matrix dengan skalar
◦ Jika k adalah suatu bilangan skalar dan matriks A=(aij )
◦ Sifat perkalian dengan skalar
k [A] =[A] k
k ([A]+[B]) = k[A] + k[B]
15
83A
1*45*4
8*43*44A
420
32124A
Operasi matrix
◦ Perkalian matrix dengan matrix
◦ Perkalian matriks dengan matriks pada umumnya tidakbersifat komutatif. A x B tidak sama dg B x A
◦ Syarat perkalian adalah jumlah banyaknya kolom pertama matriks sama dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua
Contoh :
A3x4 x B4x1 = C3x1
Operasi matrix
◦ Perkalian matrix dengan matrix
0
1
3
B
11)0*1()1*2()3*3(
0
1
3
*123*
BA
123A
000
123
369
1*02*03*0
1*12*13*1
1*32*33*3
123*
0
1
3
* AB
Operasi matrix
◦ Sifat perkalian matrix dengan matrix
AB ≠ BA
A (BC) = (AB)C
A(B+C) = AB+AC
(B+C)A = BA+CA
A(B-C)=AB-AC
(B-C)A = BA-CA
A(BC) = (aB)C= B(aC)
AI = IA = A
Operasi matrix
◦ Determinan matrix
◦ Nilai determinan dari suatu matriks merupakan suatu skalar.
◦ Contoh :
2221
1211
aa
aaA
21122211)det( aaaaA 2221
1211)det(
aa
aaA
31
52A 156)det( A
31
52)det( A
◦ Determinan matrix
◦ Contoh
det(A) = (-2·1 ·-1) + (2 ·3 ·2) + (-3 ·-1 ·0) – (-3 ·1 ·2) –(-2 ·3 ·0)-(2 ·-1 ·-1)
= 2 +12+0+6-0-2
= 18
122133112332132231322113312312332211)det( aaaaaaaaaaaaaaaaaaA
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
102
311
322
A
Operasi matrix
◦ Transpose matrix
◦ Merubah matrix dari baris x kolom menjadi kolom x baris
◦ Contoh :
◦ Sifat transpose :
314
131A
31
13
41T
A
TT
TTT
TT
TTT
kAkA
ABAB
AA
BABA
)(
)(
)(
)(
Operasi matrix
◦ Inverse matrix
Matriks invers dari suatu matriks A adalah matriks B yang
apabila dikalikan dengan matriks A memberikan satuan I
Formula invers
IAA 1
dc
baA
ac
bd
bcadA
11
Operasi matrix dalam excel ?
◦ Penjumlahan
◦ Pengurangan
◦ Perkalian matrix dengan skalar
◦ Perkalian matrix dengan matrix
◦ Invers
◦ Determinan
◦ Transpose
= A + B
= A – B
= k*A
=MMULT(A:B)
=MINVERSE(A)
=MDETERM(A)
=TRANSPOSE(A)
Sistem persamaan linier simultan
◦ Bila kita memiliki suatu sistem persamaan linier :
2 x + 3 y + 2 z = 4
x + y + 3 z = 5
- x + 2 y - z = 8
Maka persamaan tersebut dapat ditulis ulang menjadi :
[A] {X} = {B}
8
5
4
121
311
232
z
y
x [A] matrix koefisien persamaan linear
[B] matrix kolom dari variabel /
bilangan yg tdk diketahui
[C] matrix kolom konstanta yg
diketahui
Sistem persamaan linier simultan
[A] {X} = {B}
Bisa diselesaikan dengan metode numerik metode
eliminasi gauss dsb.
Atau menggunakan invers matrix
{X} = [A]-1 .{B}
8
5
4
121
311
232
z
y
x
◦ Contoh
Sistem persamaan linier simultan
