Licence de MathematiquesL2 – Series entieres et series de Fourier

Examen du 20 mai 20101 - duree : 2h

- Le seul document autorise est un resume manuscrit du cours de deux pages maximum.- Les telephones portables et les calculatrices ne sont pas autorises.- Toutes les reponses doivent etre soigneusement justifiees.

1. Soit f la fonction 2π-periodique definie par f(x) = x+ x2, x ∈ [0, 2π[.a) Demontrer que la serie de Fourier de f converge et que sa somme, notee S, est donnee par

S(x) =f(x+) + f(x−)

2, pour tout x ∈ R.

b) Verifier que le calcul des coefficients de Fourier de f donne

S(x) =4π2

3+ π +

∑n≥1

[ 4n2

cos(nx)− 2 + 4πn

sin(nx)].

c) En deduire les sommes ∑n≥1

(−1)n

n2et∑n≥1

1n2.

2. Developper en serie entiere au voisinage de 0 la fraction rationnelle 2x−1(x−1)(x−2) .

3. Donner le rayon de convergence de chacune des series suivantes∑ lnn√n+ 2

xn,∑ n!

nnxn,

∑enxn

3.

4. Soit la serie entiere∑n≥1

(−1)n

(2n−1)(2n+1)x2n+1. On note S sa somme.

a) Calculer le rayon de convergence r de cette serie.b) Determiner le domaine de continuite de S.c) Demontrer que S′ est la solution de l’equation differentielle

xy′(x)− y(x) = − x2

1 + x2

d) En deduire S′, S puis la valeur de∑n≥1

(−1)n

4n2−1 .

1Le corrige sera disponible a partir du 21 mai 2010 a l’adresse

http ://www.math.univ-metz.fr/∼ choulli/enseignement.html

Licence de MathematiquesL2 – Series entieres et series de Fourier

Corrige de l’examen du 20 mai 2010

1. a) C’est une consequence immediate du theoreme de Dirichlet puisque f verifie les hypotheses de cedernier.b) On a

a0 =1π

∫ 2π

0

(x+ x2)dx =1π

(4π2

2+

8π3

3

)= 2π +

8π2

3.

D’autre part, en effectuant des integrations par parties successives, on trouve aisement

an =1π

∫ 2π

0

(x+ x2) cos(nx)dx =4n2

et

bn =1π

∫ 2π

0

(x+ x2) sin(nx)dx = −2 + 4πn

.

Par suite,

S(x) =4π2

3+ π +

∑n≥1

[ 4n2

cos(nx)− 2 + 4πn

sin(nx)].

c) Puisque f est continue en π, on a

f(π) = π + π2 = S(π) =4π2

3+ π + 4

∑n≥1

(−1)n

n2,

ce qui entraine ∑n≥1

(−1)n

n2= −π

2

12

f etant discontinue en 0, on obtient

f(0+) + f(0−)2

= π + 2π2 = S(0) =4π2

3+ π + 4

∑n≥1

1n2.

D’ou, ∑n≥1

1n2

=π2

6.

2. On a, pour |x| < 1,

2x− 1(x− 1)(x− 2)

=2x− 1x− 2

∣∣∣x=1

1x− 1

+2x− 1x− 1

∣∣∣x=2

1x− 2

= − 1x− 1

+3

x− 2

=1

1− x− 3

2− x

=∑n≥0

xn − 3∑n≥0

xn

2n+1=∑n≥0

(1− 3

2n+1

)xn.

3. Soient R1, R2 et R3 les rayons de convergence des series dans l’ordre de l’enonce. Alors

R1 = limn→+∞

lnnln(n+ 1)

√n+ 1 + 2√n+ 2

= limn→+∞

lnnlnn+ ln(1 + 1

n )

√n+ 1 + 2√n+ 2

= 1,

R2 = limn→+∞

n!(n+ 1)n+1

(n+ 1)!nn= limn→+∞

(1 +

1n

)n= e,

R3 = limn→+∞

(en)1/n3

= limn→+∞

e1/n2

= 1.

4. a) Puisque

limn→+∞

(2n− 1)(2n+ 1)(2n+ 1)(2n+ 3)

= 1,

on a r = 1.b) La serie

∑n≥1

(−1)n

(2n−1)(2n+1)x2n+1 est normalement convergente dans le domaine {|x| ≤ 1} car∣∣∣ (−1)n

(2n− 1)(2n+ 1)x2n+1

∣∣∣ ≤ 1(2n− 1)(2n+ 1)

, ∀|x| ≤ 1,

et 1(2n−1)(2n+1) est le terme general d’une serie convergente. Il en resulte que S est continue dans le

domaine {|x| ≤ 1}.c) Pour |x| < 1, on a

S′(x) =∑n≥1

(−1)nx2n

2n− 1= x

∑n≥1

(−1)nx2n−1

2n− 1.

D’ou,

S′′(x) =∑n≥1

(−1)nx2n−1

2n− 1+ x

∑n≥1

(−1)nx2n−2,

ce qui entraine

xS′′(x) = x∑n≥1

(−1)nx2n−1

2n− 1+ x2

∑n≥1

(−1)n(x2)n−1 = S′(x)− x2

1 + x2.

d) On a, pour x 6= 0,S′′(x)x− S′(x)

x2=(S′(x)

x

)′= − 1

1 + x2.

D’ou, puisque S′(0) = 0,S′(x) = −x arctanx.

Il en resulte que

S(x) = −x2

2arctanx+

12

∫x2

1 + x2= −x

2

2arctanx+

x

2− 1

2

∫1

1 + x2,

ce qui entraine

S(x) = −x2

2arctanx+

x

2− 1

2arctanx

car S(0) = 0.Finalement, en prenant x = 1, on obtient

S(1) =∑n≥1

(−1)n

4n2 − 1=

12.