Kvadraticke Funkcie, Rovnice, Nerovnice

Kvadratické funkcie, rovnice, 1 nerovnice 2. ročník

Kvadratická funkcia Kvadratickou funkciu sa nazýva každá funkcia na množine reálnych čísel R daná rovnicou y = ax2 + bx + c, kde a je reálne číslo rôzne od nuly, b, c sú ľubovoľné reálne čísla. Jednotlivé členy a koeficienty nazývame: ax2 ... kvadratický člen, a ... koeficient kvadratického člena bx ... lineárny člen, b ... koeficient lineárneho člena c ... absolútny člen Grafom kvadratickej funkcie je parabola. Príklad: Zostrojte graf kvadratickej funkcie f: y = x2. Riešenie: Zostavíme tabuľku pre vybrané hodnoty x:

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

f(x) 16 9 4 1 0 1 4 9 16 Zostavíme graf tejto funkcie:

Kvadratické funkcie, rovnice, 2 nerovnice 2. ročník Z grafu vidíme, že definičným oborom funkcie je množina reálnych čísel. Oborom hodnôt je interval )∞;0 . Funkcia je párna. Je klesajúca na intervale ( 0;∞− a rastúca na intervale )∞;0 . Funkcia je zdola ohraničená, nie je zhora ohraničená. V bode x = 0 má ostré minimum. Tento bod sa nazýva vrchol paraboly. Ako vplývajú hodnoty a, b, c na priebeh grafu funkcie? Začneme s hodnotou a. Majme kvadratickú funkciu typu f: y = ax, kde a je reálne číslo rôzne od nuly. Zostrojme grafy funkcií: f1: y = x2; f2: y =- x2; f3: y = 2 x2; f4 : y = -2x2;

f5: y =3 x2; f6: y = -3x2; f7: y = 2

1 x2; f8: y = 2

1− x2;

f9: y = 3

1 x2; f10: y = 4

1 x2

Zostavíme tabuľku pre vybrané hodnoty x:

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 f1(x) 16 9 4 1 0 1 4 9 16 f2(x) -16 -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 -16 f3(x) 32 18 8 2 0 2 8 18 32 f4(x) -32 -18 -8 -2 0 -2 -8 -18 -32 f5(x) 48 27 12 3 0 3 12 27 48 f6(x) -48 -27 -12 -3 0 -3 -12 -27 -48 f7(x) 8 4,5 2 0,5 0 0,5 2 4,5 8 f8(x) -8 -4,5 -2 -0,5 0 -0,5 -2 -4,5 -8 f9(x)

3

16 3 3

4 3

1 0 3

1 3

4 3 3

16

f10(x) 4 4

9 1 4

1 0 4

1 1 4

9 4

Vykreslíme grafy jednotlivých funkcií:


Z grafov funkcií vidíme: Vrchol všetkých parabol je v bode [0, 0]. Ak a > 0, tak graf funkcie má tvar „doliny“. Ak a < 0, tak graf funkcie má tvar „kopca“. Ďalej vidíme, že

• pre kladné hodnoty a čím je hodnota a väčšia, tým sa ramená paraboly viac blížia k osi y;

• pre záporné hodnoty a čím je hodnota a menšia, tým sa ramená paraboly viac blížia k osi y.

Kvadratické funkcie, rovnice, 4 nerovnice 2. ročník Sledujme priebeh funkcií tvaru f: y = x2 + e, teda napr. funkcií: f1: y = x2+ 1; f2: y = x2+ 2; f3: y = x2-3; f4: y = x2-0,5. Sami si zostavte tabuľku hodnôt pre vybrané x, my už priamo vykreslíme grafy jednotlivých funkcií:

Vidíme, že vrcholy parabol sa „pohybujú“ po osi y, majú x-ovú súradnicu nula, y-ová súradnica je závislá od hodnoty e, teda vrchol paraboly má súradnice [0, e].

Kvadratické funkcie, rovnice, 5 nerovnice 2. ročník Sledujme priebeh funkcií tvaru f: y = (x + f)2, teda napr. funkcií f1: y = (x + 1)2; f2: y = (x + 2)2; f3: y = (x – 1)2; f4: y = (x – 3)2. Sami si zostavte tabuľku hodnôt pre vybrané x, my už priamo vykreslíme grafy jednotlivých funkcií:

Z grafov vidíme, že vrcholy parabol sa „pohybujú“ po osi x, majú y-ovú súradnicu nula, x-ová súradnica je závislá od hodnoty f, teda vrchol paraboly má súradnice [-f, 0].

Kvadratické funkcie, rovnice, 6 nerovnice 2. ročník Ako bude vyzerať graf funkcie tvaru f: y = (x + f)2 + e, teda napr. f: y = (x + 2)2 + 1? Z predchádzajúcich skúseností vieme, že graf bude „dolina“, lebo koeficient kvadratického člena je kladný. Vykreslíme graf funkcie:

Vrchol funkcie f: y = (x + 2)2 + 1 má súradnice V[-2; 1] . Všeobecne môžeme zapísať, že vrchol funkcie v tvare f: y =(x + f)2+e má súradnice V[-f; e] . Budeme však potrebovať zobraziť graf kvadratickej funkcie v tvare f: y = ax2 + bx + c. Túto funkciu budeme musieť upraviť podobný ako v predchádzajúcej časti. Vyskúšame úpravy na konkrétnych príkladoch:

Kvadratické funkcie, rovnice, 7 nerovnice 2. ročník Príklad: Určte súradnice vrcholu funkcie f: y = x2 - 2x + 3. Riešenie: Predpis funkcie f: y = x2 - 2x + 3 budeme upravovať týmto spôsobom: ( x2 - 2x) + 3 ... výraz v zátvorke upravíme na štvorec

a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 ( x2 - 2x + 1) - 1 + 3 ... v skutočnosti sme „nič“ nepridali ( x2 - 2x + 1) + 2 ... upravíme ( x2 - 1)2 + 2 Teda platí f: y = x2 - 2x + 3 = ( x2 - 1)2 + 2 Z tohto predpisu vieme, že vrchol má súradnice V[1; 2] . O správnosti sa presvedčíme zostrojením grafu funkcie f:

Príklad: Určte súradnice vrcholu funkcie f: y =-0,5 x2 + x + 2. Riešenie: Z predpisu vidíme, že graf funkcie bude mať tvar „kopca“, pretože koeficient kvadratického člena je záporný. Musíme upraviť: -0,5 x2 + x + 2 = -0,5(x2 - 2x – 4) -0,5[(x2 – 2x) - 4]

Kvadratické funkcie, rovnice, 8 nerovnice 2. ročník -0,5[(x2 – 2x +1) -1 - 4] -0,5[(x2 – 2x + 1) - 5] -0,5[(x – 1)2 - 5] … roznásobíme -0,5 (x - 1)2 + 2,5 Teda platí f: y = y =-0,5 x2 + x + 2 = -0,5 (x - 1)2 + 2,5 Z tohto predpisu vieme, že vrchol má súradnice V[1; 2,5]. O správnosti sa presvedčíme zostrojením grafu funkcie f:

Kvadratické funkcie, rovnice, 9 nerovnice 2. ročník Kvadratická rovnica

Rovnica ax2 + bx + c = 0 Pričom a, b, c sú reálne čísla, 0≠a , x je neznáma, sa nazýva kvadratická rovnica . Rovnici v takomto tvare často hovoríme kvadratická rovnica v anulovanom tvare, pretože na pravej stne je nula. V kvadratickej rovnici nikdy nesmie chýbať kvadratický člen, teda nikdy nesmie obsahovať člen 0x2 !!! Jednotlivé členy a koeficienty nazývame: ax2 ... kvadratický člen, a ... koeficient kvadratického člena bx ... lineárny člen, b ... koeficient lineárneho člena c ... absolútny člen Príklad: Určte, či nasledujúce rovnice s neznámou x sú kvadratické rovnice, určte ich jednotlivé členy a koeficienty:

a) 2x2 + 4x + 7 = 0 b) 7x2 = 5x + 1 c) 0x2 – 5x + 2 = 0

d) (x – 1)(4x + 3) = 0 e) -3x2 + 5 = 0 f) 4x2 – 9x = 0

Riešenie:

a) Rovnica je kvadratická, kvadratický člen je 2x2 , koeficient kvadratického člena je 2, lineárny člen je 4x, koeficient lineárneho člena je 4, absolútny člen je 7.

b) Rovnicu upravíme na anulovaný tvar: 7x2 - 5x – 1 = 0. Rovnica je kvadratická, kvadratický člen je 7x2 , koeficient kvadratického člena je 7, lineárny člen je -5x, koeficient lineárneho člena je -5, absolútny člen je -1.

c) Rovnica nie je kvadratická, pretože koeficient kvadratického člena 0x2 je 0, čo podľa definície kvadratickej rovnice nesmie byť.

d) Rovnicu roznásobíme: (x – 1)(4x + 3) = 0 ⇒ 4x2 + 3x – 4x – 3 = 0 ⇒ 4x2 – x – 3 = 0


Rovnica je kvadratická, kvadratický člen je 4x2, koeficient kvadratického člena je 4, lineárny člen je –x, koeficient lineárneho člena je -1, absolútny člen je -3.

e) Rovnica je kvadratická, neobsahuje lineárny člen. Kvadratický člen je -3x2, koeficient kvadratického člena je -3, absolútny člen je 5.

f) Rovnica je kvadratická, neobsahuje absolútny člen. Kvadratický člen je 4x2 , koeficient kvadratického člena je 4, lineárny člen je – 9x, koeficient lineárneho člena je -9.

Grafické riešenie kvadratických rovníc Viem už zostrojiť graf kvadratickej funkcie. Tieto grafy využijeme aj pri riešení kvadratických rovníc. Z grafov kvadratických funkcií určíme približné riešenie rovníc, teda hodnoty premennej x, pre ktoré príslušné funkcie nadobúdajú hodnotu nula. Tieto čísla x sú koreňmi rovníc. Príklad: Riešte graficky kvadratické rovnice:

a) x2 – 5x + 6 = 0 b) x2 + x + 1 = 0

c) 9x2 + 6x + 1 = 0 d) 0,1 x2 – 2,3x + 2 = 0

Riešenie:

a) Zostrojíme graf kvadratickej funkcie f:y = x2 – 5x + 6. Zostavíme tabuľku pre vybrané hodnoty x:

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

f(x) 42 30 20 12 6 2 0 0 2

Kvadratické funkcie, rovnice, 11 nerovnice 2. ročník Zostrojíme graf:

Z tabuľky i z grafu je vidieť, že funkcia f nadobúda hodnotu nula pre čísla x1 = 2 a x2 = 3. Preto K = {2; 3} .

b) Zostrojíme graf kvadratickej funkcie g:y = x2 + x + 1. Zostavíme tabuľku pre vybrané hodnoty x:

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 g(x) 13 7 3 1 1 3 7 13 21

Zostrojíme graf:

Z grafu vidíme, že funkcia g nenadobúda hodnotu nula pre nijaké x. Preto K = Ø.


c) Zostrojíme graf kvadratickej funkcie h:y = 9x2 + 6x + 1. Zostavíme tabuľku pre vybrané hodnoty x:

x -2 -1 0 1 2 -0,5 -0,3 h(x) 25 4 1 16 49 0,25 0,01

Zostrojíme graf:

Z grafu vidíme, že funkcia h nadobúda hodnotu nula pre číslo x

väčšie ako -0,3, konkrétne pre 3

1−=x . Preto K =

−

3

1 .

O správnosti riešenia sa presvedčte dosadením hodnoty do kvadratickej rovnice.

d) Zostrojíme graf kvadratickej funkcie i:y = 0,1x2 – 2,3x + 2. Zostavíme tabuľku pre vybrané hodnoty x:

x -1 0 1 2 20 25 i(x) 4,4 2 -0,2 -2,2 -4 7

Zostrojíme graf:


Z grafu vidíme, že funkcia i nadobúda hodnotu nula pre číslo x z intervalu (0; 1) a pre číslo z intervalu (20; 25) Presné riešenie nám zatiaľ robí problémy.

Ako vidíme, grafické riešenie kvadratických rovníc je pomerne náročné a nakoniec nám dáva len približné výsledky. Preto budeme hľadať iné možnosti riešenia kvadratických rovníc. Najprv si uvedieme rôzne typy kvadratických rovníc.

Typy kvadratických rovníc Kvadratické rovnice nemusia mať všetky tri členy (teda kvadratický, lineárny a absolútny), v každom prípade musí obsahovať kvadratický člen. Kvadratickú rovnicu, ktorá má tvar ax2 + bx = 0, nazývame kvadratická rovnica bez absolútneho člena. Kvadratickú rovnicu, ktorá má tvar ax2 + c = 0, nazývame rýdzokvadratická rovnica.

Riešenie kvadratickej rovnice bez absolútneho člena Kvadratickú rovnicu tvaru ax2 + bx = 0 môžeme riešiť nasledujúcim spôsobom: Rovnicu upravíme na súčinový tvar ax2 + bx = 0 ⇒ x(ax + b) = 0 Súčin dvoch čísel je rovný nule práve vtedy, keď aspoň jeden z činiteľov je rovný nule. V našom prípade musí platiť:

00 =+∨= baxx Jeden koreň rovnice x1 = 0, druhý koreň dostávame po úprave

a

bx −=2 . Preto

−=

a

bK ,0 .

Kvadratické funkcie, rovnice, 14 nerovnice 2. ročník Príklad: Riešte kvadratické rovnice:

a) 4x2 – 2x = 0 b) 3x2 + 25x = 0

Riešenie: a) Rovnicu 4x2 – 2x = 0 upravíme na súčinový tvar 2x(2x – 1) = 0.

Rovnica má riešenie práve vtedy, keď 2x = 0 alebo (2x – 1) = 0. Potom x1 = 0 a x2 = 0,5. Zapíšeme: { }5,0;0=K .

b) Rovnicu 3x2 + 25x = 0 upravíme na súčinový tvar x(3x + 25) = 0. Rovnica má riešenie práve vtedy, keď x = 0

alebo 3x + 25 = 0. Potom x1 = 0 a x2 = 3

25− . Zapíšeme:

−=

3

25;0K .

Riešenie rýdzokvadratickej rovnice Kvadratickú rovnicu tvaru ax2 + c = 0 môžeme riešiť nasledujúcim spôsobom (ukážeme na konkrétnych príkladoch): Príklad: Riešte kvadratické rovnice:

a) 4x2 – 1 = 0 b) x2 + 16 = 0

Riešenie: a) 1. spôsob:

Rovnicu 4x2 – 1 = 0 môžeme upraviť na súčinový tvar (2x – 1) (2x + 1) = 0 ... využili sme vzorec a2 – b2 = (a–b)(a+b) Vieme, že rovnica má riešenie, ak (2x – 1)=0 alebo (2x + 1)=0.

Preto 2

11 =x a

2

12 −=x . Zapíšeme:

−=

2

1;

2

1K


2. spôsob: Rovnicu 4x2 – 1 = 0 upravíme na tvar

x2 = 4

1. Hľadáme čísla, ktorých druhá mocnina je rovná

4

1. Je

to číslo 2

11 =x ale aj

2

12 −=x .

Je výhodnejšie používať prvý spôsob, pretože často na druhú možnosť (so záporným znamienkom) zabúdame.

b) Rovnicu x2 + 16 = 0 nemôžeme upraviť na súčinový tvar. Preto použijeme druhý spôsob. Dostávame: x2 = -16. Hľadáme čísla, ktorých druhá mocnina je -16. Také čísla však neexistujú, a tak kvadratická rovnica nemá riešenie.

O výsledku sa môžeme presvedčiť z grafu funkcie f: y = x2 + 16:

Z obrázka vidíme, že graf nepretína x-ovú os, preto funkcia pre žiadne x nenadobúda hodnotu nula.

Tieto postupy riešení sú vhodné len pre vybrané typy kvadratických funkcií. Ale ako sa riešia kvadratické rovnice so všetkými členmi?


Riešenie kvadratických rovníc Nájdeme algebraické riešenie kvadratickej rovnice ax2 + bx + c = 0. Vykonáme postupne tieto úpravy: ax2 + bx + c = 0 rozšírime rovnicu /.a a . ax2 + a . bx + a . c = 0 necháme na jednej strane členy s x a2x2 + abx = - ac upravíme ľavú stranu na trojčlen

(ax)2 + 2.ax2b

+ 2

2

b = - ac +

2

2

bľavú stanu upravíme na súčin

2

2

+ bax = - ac +

2

2

b upravíme pravú stranu rovnice

2

2

+ bax =

4

42 acb −

Zavedieme označenie D = b2 – 4ac. Keďže 2

2

+ bax je vždy

nezáporné číslo, tak aj D musí byť nezáporné číslo. V prípade, že D<0, rovnica nemá riešenie. Teda dostávame:

2

2

+ bax =

4

D pravú stranu rovnice zapíšeme v tvare

2

2

D, teda

2

2

+ bax =

2

2

D upravíme

2

2

+ bax -

2

2

D= 0 ľavú stranu rovnice rozložíme podľa

vzťahu a2 – b2 = (a – b)(a + b), teda

02222

=

++⋅

−+ Db

axDb

ax

Musí platiť:

022

=−+ Dbax alebo 0

22=++ Db

ax , teda

a

D

a

bx

22+−= alebo

a

D

a

bx

22−−= čo môžeme

upraviť na tvar


a

Dbx

2

+−= alebo a

Dbx

2

−−= .

Pre korene kvadratickej rovnice zavedieme označenie x1, x2. Ak D < 0, tak K = Ø.

Ak D = 0, tak

−=

a

bK

2.

Ak D > 0, tak

−=±−= acbDa

DbK 4,

22

.

Výraz D = b2 – 4ac nazývame diskriminant kvadratickej rovnice ax2 + bx + c = 0. Už pri grafickom riešení kvadratickej rovnice sme videli, že rovnica môže mať dva, jeden alebo žiadny koreň. Túto skúsenosť sme aj algebraicky overili. Dosadením vypočítaných koreňov do rovnice numericky overíme správnosť výsledku. Príklad: Riešte rovnicu 2x2 + 5x – 3 = 0. Riešenie: Využijeme vzorec. Najprv si z rovnice určíme a, b, c. Vidíme, že a = 2, b = 5, c = -3. Vypočítame hodnotu diskriminantu: D = b2 – 4ac = 52 – 4 . 2 . (-3) = 25 + 24 = 49. Keďže D > 0, rovnica má dva korene. Dosadíme do vzorca

=±−=⋅

±−=±−=4

75

22

495

22,1 a

Dbx

2

1

-3


Zapíšeme

−= 3,

2

1K . Riešenia môžeme overiť dosadením do

pôvodnej rovnice. Príklad: Určte celé čísla, ktoré sú riešením rovnice (x - 4)(4x - 3) + 3 = 0. Riešenie: Najprv rovnicu upravíme na tvar kvadratickej rovnice: (x - 4)(4x - 3) + 3 = 0 4x2 – 3x – 16x + 12 + 3 = 0 4x2 – 19x + 15 = 0 V danej rovnici a = 4, b = -19, c = 15. Vypočítame diskriminant: D = b2 – 4ac = (-19)2 – 4 . 4 . 15 = 361 – 240 = 121, teda úloha má dve riešenia. Dosadíme do vzťahu

=±=⋅

±=±−=8

1119

42

12119

22,1 a

Dbx

4

15

8

30 =

1 Podľa zadania musíme určiť celé čísla, takže K = {1} .

Vzťahy medzi kore ňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice Skúsime nájsť vzťahy z algebraického riešenia kvadratickej rovnice ax2 + bx + c = 0. Vieme, že kvadratická rovnica má najviac dve riešenia, ktorých tvar je

a

Dbx

22,1

±−=

Určíme x1 + x2:

x1 + x2 = a

b

a

b

a

Db

a

Db −=−=−−++−2

2

22

Kvadratické funkcie, rovnice, 19 nerovnice 2. ročník Určíme x1 . x2:

x1 . x2 = ( )

a

c

a

ac

a

acbb

a

Db

a

Db

a

Db ==−−=−=−−⋅+−22

22

2

2

4

4

4

4

422

Tieto vzťahy môžeme využiť pri riešení kvadratických rovníc. Každú kvadratickú rovnicu ax2 + bx + c = 0 vieme zapísať v tvare

a(x – x1)(x – x2) = 0 s koreňmi x1, x2. Dvojčleny x – x1 a x – x2 nazývame koreňové činitele. Výraz ax2 + bx + c nazývame kvadratický troj člen. Príklad: Rozložte kvadratický trojčlen x2 + x – 6 na súčin koreňových činiteľov. Riešenie: Úlohu môžeme riešiť viacerými spôsobmi:

1.spôsob: Kvadratický trojčlen zapíšeme ako kvadratickú rovnicu x2 + x – 6 = 0. Využijeme vzťahy pre určenie koreňov: a = 1, b = 1, c = -6. Vypočítame diskriminant: D = b2 – 4ac = 12 – 4 . 1 . (-6) = 1 + 24 = 25, teda úloha má dve riešenia. Dosadíme do vzťahu

=±−=⋅

±−=±−=2

51

12

251

22,1 a

Dbx 2

-3 Kvadratický trojčlen x2 + x – 6 = 0 zapíšeme ako súčin koreňových činiteľov a(x – x1)(x – x2) = (x – 2) (x + 3).

Kvadratické funkcie, rovnice, 20 nerovnice 2. ročník 2.spôsob: Využijeme vzťahy medzi koreňmi a koeficientmi:

x1 + x2 a

b−=

x1 . x2 = a

c

Po dosadení dostávame:

x1 + x2 1

1−= ⇒ x1 + x2 = - 1

x1 . x2 = 1

6−⇒ x1 . x2 = - 6

Určíme dvojice čísel, pre ktoré platí x1 . x2 = - 6. Vyhovujú dvojice: [1; -6], [-1; 6], [2, -3], [-2; 3]. Určíme, pre ktoré z nich zároveň platí x1 + x2 = - 1. Pre dvojicu [1; -6] platí 1 – 6 = -5 … nevyhovuje. Pre dvojicu [-1; 6] platí -1 + 6 = 5 … nevyhovuje. Pre dvojicu [2; -3] platí 2 – 3 = -1 … vyhovuje. Pre dvojicu [-2; 3] platí -2 + 3 = 1 … nevyhovuje. Korene rovnice sú 2 a -3, teda kvadratický trojčlen x2 + x – 6 = 0 zapíšeme ako súčin koreňových činiteľov a(x – x1)(x – x2) = (x – 2) (x + 3). Príklad: Rozložte kvadratický trojčlen 2x2 - 5x – 3 na súčin koreňových činiteľov. Riešenie:

Kvadratický trojčlen najprv upravíme na tvar

−−2

3

2

52 2 xx . Budeme

upravovať trojčlen v zátvorke, pre ktorý a = 1, b = -2,5, c = -1,5. Vypočítame diskriminant: D = b2 – 4ac = (-2,5)2 – 4 . 1 . (-1,5) = 6,25 + 6 = 12,25, teda úloha má dve riešenia. Dosadíme do vzťahu


=±=⋅

±=±−=2

5,35,2

12

25,125,2

22,1 a

Dbx 3

-0,5 Kvadratický trojčlen 2x2 - 5x – 3 upravíme na súčin: 2(x – 3) (x + 0,5). O správnosti sa presvedčíme opätovným roznásobením: 2(x2 + 0,5x – 3x – 1,5) = 2(x2 – 2,5x – 1,5) =2x2 – 5x – 3.

Kvadratické nerovnice Všetky nerovnice tvaru

02 <++ cbxax 02 >++ cbxax 02 ≤++ cbxax 02 ≥++ cbxax

pričom a, b, c sú reálne čísla a 0≠a , x neznáma, sa nazývajú kvadratické nerovnice. Kvadratické nerovnice riešime podobne ako kvadratické rovnice, len pri riešení využívame graf kvadratickej funkcie. Príklad: Riešte nerovnicu: x2 + x – 6 > 0. Riešenie: Kvadratickú nerovnicu zapíšeme ako kvadratickú rovnicu

x2 + x – 6 = 0. Korene tejto rovnice sú 2 a -3. Zakreslíme graf kvadratickej funkcie f: y = x2 + x – 6,


My potrebuje zistiť, pre ktoré x sú hodnoty funkcie kladné. Z obrázka vidieť, že:

Teda riešením nerovnice x2 + x – 6 > 0 sú intervaly ( )3;−∞− a ( )∞;2 . Zapíšeme: ( ) ( )∞∪−∞−= ;23;K .

Kvadratické funkcie, rovnice, 23 nerovnice 2. ročník Príklad: Riešte nerovnicu: x2 + x – 6 ≤ 0. Riešenie: Postupujeme podľa predchádzajúceho príkladu. Dostávame graf:

Z grafu vyplýva, že 2;3−=K .

Kvadraticke Funkcie, Rovnice, Nerovnice

Documents

Transcript of Kvadraticke Funkcie, Rovnice, Nerovnice