Lineárna algebra - diferenciálne rovnice

Definícia 1.1. Obyčajnou diferenciálnou rovnicou n-tého rádu nazývame rovnicu tvaru

(1) F(x, y, y´,..., )=0,

kde F je nejaká funkcia n+2 premenných, y je neznáma funkcia premennej x a premenná má nenulový koeficient. Jej špeciálny prípad je rovnica

(2) =f(x, y, y´,..., ),

kde f je funkcia n+1 premenných.

Diferenciálne rovnice vyšších rádov

1. Základné pojmy

)(ny

)(ny

)(ny)1( ny

Definícia 1.2 Riešením diferenciálnej rovnice (2) nazývame každú funkciu y=y(x), ktorá má v nejakom intervale I deriváciu n-tého rádu a pre každé x z intervalu I vyhovuje rovnici (2)

Definícia 1.3 Úlohu, nájsť riešenie y rovnice (1) také, že vyhovuje podmienkam

kde

sú dané čísla sa nazýva Cauchyho začiatočná úloha a podmienky sa nazývajú Cauchyho začiatočné podmienky.

)1(0000 ,...,,, nyyyx

00 )( yxy 00 )( yxy

)1(00

)1( )( nn yxy

Veta 1.1 (o existencii a jednoznačnosti)

Nech funkcia f(x, y, y´,..., )a jej parciálne derivácie podľa premenných y, y´, ...., sú spojité v (n+1) rozmernej oblasti D, ktorá obsahuje bod ( ). Potom existuje práve jedno riešenie y=y(x) diferenciálnej rovnice (2), ktoré spĺňa dané začiatočné podmienky z definície (1.3).

)1(0000 ,...,,, nyyyx

)1( ny)1( ny

2. Diferenciálna rovnica tvaru

Riešime postupným integrovaním.

)()( xfy n

3. Diferenciálna rovnica

Použijeme substitúciu

a dostaneme rovnicu

.0),,( )1()( kk yyxF

zyzy kk )1()( ,

.0),,( zzxF

4. Diferenciálna rovnica tvaru F(y, y´, y´´)=0.

Použitím substitúcie: y´(x)=p(u), u =y(x), y´´=p´p, znížime rád o 1.

5. Diferenciálna rovnica tvaru: , kde

Substitúciou

Získame diferenciálnu rovnicu tvaru 4.

0),,( )2()1()( kkk yyyF 1k)2()1()( ,, kkk yzyzyz

Príklad 1. ak sú dané začiatočné podmienky y(0)=1, y´(0)=-1, y´´(0)=0.

Príklad 2.

Príklad 3.

Príklad 4.

,´´´ 2xey

x

yy

´´´´ ́

.0´)(1

2´´ 2

y

yy

2´)(1´´ yy

Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu1. Základné pojmy

• Definícia 1.1Diferenciálna rovnica tvaru

(1) y(n) + p1(x)y(n-1) + ... + pn(x)y=q(x)sa nazýva lineárna diferenciálna rovnica n-

tého rádu, kde q(x), pi(x), i=1, 2, ... , n sú nejaké funkcie definované na intervale J. (pi(x) nazývame koeficientami tejto rovnice)

Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu1. Základné pojmy

• Poznámky:

n=1, lineárna difererenciálna rovnica 1. rádu

q(x)=0, LDR n-tého rádu bez pravej strany, alebo homogénna LDR n-tého rádu (ináč nehomogénna)

(2) y(n) + p1(x)y(n-1) + ... + pn(x)y=0

Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu1. Základné pojmy

• Veta 1.1

Nech funkcie pi(x), i=1, 2, ... , n a q(x) sú spojité na otvorenom intervale J, Nech x0 je ľubovoľné číslo tohto intervalu. Potom existuje práve jedno riešenie y LDR (1) definované v istom okolí U(x0), ktoré spĺňa začiatočné podmienky: y(x0)=b1, y´(x0)=b2, ... , y(n-1)(x0)=bn, kde b1, b2, ... , bn sú ľubovoľné vopred dané čísla.

Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu1. Základné pojmy

• Veta 1.2

Nech funkcie y1, y2, ... ,yn sú riešenia rovnice (2) na intervale J, potom aj ľubovoľná ich lineárna kombinácia y= c1y1 + c2 y2 + ... + cnyn je riešením rovnice (2) na intervale J.

• Veta 1.3Ak komplexná funkcia y=u+i.v je riešením rovnice

(2) na intervale J, tak aj u a v sú riešenia rovnice (2) na J.

Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu 2.Lineárna závislosť a nezávislosť riešení rovnice (2)

• Definícia 2.1Nech y1, y2, ... ,yn sú funkcie definované na intervale

J. Budeme hovoriť, že tieto funkcie sú na J lineárne závislé, ak existujú čísla c1, c2, ... ,cn z ktorých aspoň jedno je rôzne od nuly a pre každé x z intervalu J platí

(3) c1y1 + c2 y2 + ... + cnyn=0.Ak rovnosť (3) platí pre každé x z J iba vtedy ak c1=

c2= ... =cn=0, hovoríme, že funkcie sú na J lineárne nezávislé.

Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu 2.Lineárna závislosť a nezávislosť riešení rovnice (2)

• Poznámky:

• Ak IJ a funkcie sú lineárne závislé na J, potom sú lineárne závislé aj na I.

• Ak JK a funkcie sú lineárne nezávislé na J, potom sú lineárne nezávislé aj na K.

Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu 2.Lineárna závislosť a nezávislosť riešení rovnice (2)

• Veta 2.1• Funkcie y1, y2, ... ,yn sú na intervale J lineárne

závislé práve vtedy, ak jedna z nich sa dá vyjadriť ako lineárna kombinácia ostatných.

• Príklad 2.11, sin2x, cos2x sú lineárne závislé na R.• Príklad 2.21, x, x2, ... , xk sú lineárne nezávislé na každom intervale J.• Príklad 2.3erx, x erx, x2 erx, ... , xk erx sú lineárne nezávislé na každom

intervale J (r je ľubovoľné komplexné číslo)

Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu 2.Lineárna závislosť a nezávislosť riešení rovnice (2)

• Príklad 2.4

Ak r1, r2, ... ,rk sú navzájom rôzne reálne čísla, potom funkcie

sú lineárne nezávislé na každom intervale J.• Poznámka:Zisťovanie lineárnej závislosti a nezávislosti

pomocou derivácií, Wronského determinant

xrxrxr keee ,...,, 21

Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu 2.Lineárna závislosť a nezávislosť riešení rovnice (2)

Wronského determinant

xfxf

xfxf

xfxf

fffW

kk

k

k

k

k

111

1

1

21

,....

.......

.......

,...,

,...,

,...,,

Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu 2.Lineárna závislosť a nezávislosť riešení rovnice (2)

• Veta 2.2

Ak funkcie f1, f2, ... ,fk majú na intervale J derivácie rádu k-1 a sú na tomto intervale lineárne závislé, ich wronskián W(x)=0 pre každé x z J.

• Dôsledok

Ak funkcie f1, f2, ... ,fk majú na intervale J derivácie rádu k-1 a aspoň v jednom čísle x0 z J je W(x0)≠ 0, tak funkcie f1, f2, ... ,fk sú na tomto intervale lineárne nezávislé.

Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu 2.Lineárna závislosť a nezávislosť riešení rovnice (2)

• Príklad 2.5

Nech sú reálne čísla a je rôzne od nuly , potom funkcie

sú lineárne nezávislé na R.

,

xexe xx sin,cos

Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu 2.Lineárna závislosť a nezávislosť riešení rovnice (2)

• Veta 2.3

Nech funkcie y1, y2, ... ,yn sú riešenia rovnice (2) na intervale J, na ktorom sú funkcie pi(x), i=1, 2, ... , n spojité. Funkcie y1, y2, ... ,yn sú na intervale J lineárne nezávislé práve vtedy ak W(x)≠ 0 pre každé x z intervalu J.

Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu 3. Štruktúra všeobecného riešenia rovnice (2)

• Poznámka:

Dá sa ukázať, že každé riešenie rovnice (2) má tvar: y= c1y1 + c2 y2 + ... + cnyn, kde yi sú lineárne nezávislé riešenia rovnice (2).

Systém n lineárne nezávislých riešení rovnice (2) budeme nazývať fundamentálnym systémom riešení rovnice (2).

Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu 3. Štruktúra všeobecného riešenia rovnice (2)

• Veta 3.1• Nech y1, y2, ... ,yn sú lineárne nezávislé riešenia

rovnice (2) na intervale J.– Potom každé riešenie y tejto rovnice na intervale

J môžeme jednoznačne vyjadriť v tvare y= c1y1 + c2 y2 + ... + cnyn , kde c1, c2, ... ,cn sú vhodné konštanty.

– Systém funkcií určený rovnicou y= c1y1 + c2 y2

+ ... + cnyn , kde c1, c2, ... ,cn sú ľubovoľné konštanty je všeobecné riešenie rovnice (2) na intervale J.

Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu 3. Štruktúra všeobecného riešenia rovnice (2)

• Poznámky:• Dá sa ukázať, že každá rovnica má nekonečne

veľa fundamentálnych systémov.• Ako nájsť aspoň jeden? Túto úlohu nevieme riešiť

vo všeobecnosti.

Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu 4. Homogénna lineárna diferenciálna rovnica s konštantnými

koeficientami

• Definícia 4.1

Rovnica

(4) y(n) + a1y(n-1) + ... + any=0

kde ai sú konštanty, je lineárna diferenciálna rovnica s konštantnými koeficientami.

Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu 4. Homogénna lineárna diferenciálna rovnica s konštantnými

koeficientami

• Veta 4.1

Funkcia erx je riešením rovnice (4) vtedy a len vtedy ak číslo r je koreňom algebraickej rovnice

(5) rn + a1rn-1 + ... + an =0.

Rovnicu (5) nazývame charakteristickou rovnicou prislúchajúcou k rovnici (4).

Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu 4. Homogénna lineárna diferenciálna rovnica s konštantnými

koeficientami

• Dôsledok 1

Ak charakteristická rovnica (5) má n rôznych reálnych koreňov, potom funkcie:

tvoria fundamentálny systém riešení rovnice (4).

xrk

xrxr keyeyey ,...,, 2121

Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu 4. Homogénna lineárna diferenciálna rovnica s konštantnými

koeficientami

• Príklad 4.1

Riešte rovnicu: y´´´-4y´=0!

• Dôsledok 2

Ak r je k-násobným koreňom rovnice (5), potom funkcie y1=erx,y2=xerx,...,yk=xk-1erx

sú lineárne nezávislé riešenia rovnice (4).• Príklad 4.2

Riešte rovnicu: y´´´+ 2y´´ + y´=0!

Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu 4. Homogénna lineárna diferenciálna rovnica s konštantnými

koeficientami

• Dôsledok 3

Nech je koreňom rovnice (5), potom

funkcie sú lineárne nezávislé riešenia tejto rovnice.• Príklad 4.3

Riešte rovnicu y´´+ 6y´+ 13y = 0!

i

xeyxey xx sin,cos 21

Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu 4. Homogénna lineárna diferenciálna rovnica s konštantnými

koeficientami

• Zhrnutie:

korene reálne rôzne

korene reálne viacnásobné

korene komlexne združené

korene komplexné viacnásobné

Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu 5. Štruktúra všeobecného riešenia rovnice (1)

• Veta 5.1• Ak y1, y2 sú ľubovoľné dve riešenia rovnice (1) na

intervale J, potom funkcia y= y1- y2 je riešením rovnice (2).

• Veta 5.2• Ak y* je ľubovoľné riešenie rovnice (2) na

intervale J a y** je ľubovoľné riešenie rovnice (1) na intervale J, potom aj funkcia y=y*+y** je riešením rovnice (1) na J.

Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu 5. Štruktúra všeobecného riešenia rovnice (1)

• Veta 5.3

Ak Y= c1y1 + c2 y2 + ... + cnyn je všeobecné riešenie rovnice (2) na intervale J a y* je ľubovoľné riešenie rovnice (1) na J, potom

y=Y+y*= c1y1 + c2 y2 + ... + cnyn +y*

je všeobecné riešenie rovnice (1).

Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu 5. Štruktúra všeobecného riešenia rovnice (1)

• Veta 5.4 (princíp superpozície)

Ak funkcia yi je riešením rovnice y(n) + a1y(n-1) + ... + any=qi, i=1, 2, ...,m, na intervale J, potom funkcia

je riešením rovnice

y(n) + a1y(n-1) + ... + any= na intervale J.

m

iii q

1

m

iii y

1

Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu

6. Metóda variácie konštánt (Lagrangeova metóda)

• Veta 6.1

Nech y1, y2, ... ,yn je fundamentálny systém riešení rovnice (2) na intervale J. Potom funkcia

je riešením rovnice (1) na intervale J.

dxW

Wydx

W

Wydx

W

Wyy n

n...* 22

11

Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu 6. Metóda variácie konštánt (Lagrangeova metóda)

• Príklad 6.1

Riešte rovnicu y´´-2y´+y=exx-1!

• Príklad 6.2

Riešte rovnicu y´´+y=-cotg2x + x2+1!

Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu 7. Riešenie rovnice (1) pre špeciálne pravé strany

• Poznámka:

• Ak je pravá strana špeciálna, nemusíme použiť metódu variácie konštánt a budeme vedieť nájsť riešenie y*.

1. q(x) je polynóm

2. q(x)=eaxP(x)

3. q(x)=P(x)cosbx + Q(x)sinbx

Lineárne diferenciálne rovnice n-tého rádu 7. Riešenie rovnice (1) pre špeciálne pravé strany

• Príklad 7.1

Riešte rovnicu: y´´ - 7y´+ 6y = 2x + 3ex!

• Príklad 7.2

Riešte rovnicu: y´´ + 2y´+ 5y´= 2cosx + e-x!

• Príklad 7.3

Riešte rovnicu: y´´´´ – 6y´´´ + 9y´´ = xex + 2x + e3x!