PROBABILITAS/PELUANG/KEBOLEH JADIANPELUANG/KEBOLEH JADIAN

Sepasang DaduSepasang Dadu

Untuk satu dadu peluang setiap muka dadu muncul Untuk satu dadu, peluang setiap muka dadu muncul adalah sama yaitu 1/6

Oleh karena itu setiap bilangn 1 s.d 6 akan muncul dengan peluang yang sama.g p g y g

Untuk dua dadu, berapa peluang yang muncul dengan total jumlah 2, 3, 4, …s.d 12?

P lPeluang

Untuk menghitung peluang suatu hasil spesifik maka hitung jumlah semua hasil yang mungkin. Kemudian hitung jumlah yang memberikan hasil yang diinginkan hitung jumlah yang memberikan hasil yang diinginkan. Peluang hasil yang diinginkan adalah sama dengan jumlah yang memberikan hasil yang diinginkan dibagi j y g y g g gjumlah total hasil. Jadi 1/6 untuk satu datu, sedangkan untuk dua dadu 1/6 x1/6=1/36

Sepasang DaduSepasa g adu

Daftar semua hasil yang mungkin untuk sepasang Daftar semua hasil yang mungkin untuk sepasang dadu adalah 36. Total Kombinasi angka Banyaknya g y yjumlah2 1+1 12 1+1 13 1+2, 2+1 24 1+3 3+1 2+2 34 1+3, 3+1, 2+2 35 1+4, 4+1, 2+3, 3+2 46 1+5 5+1 2+4 4+2 3+3 56 1+5, 5+1, 2+4, 4+2, 3+3 5

S D dSepasang Dadu

Total Kombinasi angka Banyaknyajumlah7 1+6, 6+1, 2+5, 5+2, 3+4, 4+3 68 2+6, 6+2, 3+5, 5+3, 4+4 5

6 6 9 3+6, 6+3, 4+5, 5+4 410 4+6, 6+4, 5+5 3

6 611 5+6, 6+5 212 6+6 1

Sum 36Sum = 36Back to

Peluang untuk dua Dadu

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 Total

361

362

363

364

365

366

365

364

363

362

361 Prob.

2.8 5.6 8.3 11 14 17 14 11 8.3 5.6 2.8 %3636363636363636363636

Back to

Peluang untuk dua Dadu

Dice

0 120.140.160.18

ty

0.040.060.080.1

0.12

Prob

abili

00.02

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Number

Gabungan PeluangJika suatu contoh hasil dapat dicapai dalam dua atau

lebih cara yang saling gantung dengan peluang masing p dan p maka peluang hasil tersebut adalah p + ppA dan pB maka peluang hasil tersebut adalah pA + pB.

Ini adalah peluang mendapatkan A atau B Ini adalah peluang mendapatkan A atau B.

ContohTandai dua muka dadu dengan warna merah. Jika dadu

diundi berapa peluang mendapatkan muka merah muncul? muncul?

31

61

61 =+=p

366

G b P lGabungan Peluang

Jika suatu contoh hasil mewakili kombinasi dua kejadian tak saling gantung yang mempunyai peluang individu p and p maka peluang hasil tersebut adalah individu pA and pB maka peluang hasil tersebut adalah pA × pB.

Ini adalah peluang mendapatkan A dan B. Peluang mendapatkan A dan B adalah pA × pB. Peluang mendapatkan A dan B adalah pA × pB.

ContohUndi dua normal dadu. Berapa peluang dua angka 6

muncul?

111361

61

61)2( =×=p

KomplikasiTinjau satu daduJika p adalah peluang sukses (1/6) maka

d l h l l ( /6)q adalah peluang gagal (5/6)

p + q = 1 or q = 1 – pp + q = 1, or q = 1 – p

Apabila dua dadu diundi, berapa peluang p , p p gmendapatkan satu angka 6.?

KomplikasiPeluang angka 6 muncul pada dadu pertama dan tidak

pada dadu kedua adalah:

365

65

61 =×=pq

Peluang angka 6 muncul pada dadu kedua dan tidak pada dadu pertama adalah sama jadi: pada dadu pertama adalah sama, jadi:

185

36102)1( === pqp

1836

SimplifikasiPeluang sama sekali tidak muncul angka 6 adalah

2555)0(3625

65

65)0( =×== qqp

Jumlah ketiga peluang adalah: p(2) + p(1) + p(0) = 1

Simplifikasip(2) + p(1) + p(0) = 1

p² + 2pq + q² =1(p + q)² = 1

Pangkat adalah jumlah dadu atau jumlah usahaApakah ini berlaku umum?

Tiga Dadu(p + q)³ = 1

p³ + 3p²q + 3pq² + q³ = 1p(3) + p(2) + p(1) + p(0) = 1

Karena berlaku untuk dadu 3 maka secara umum(p + q)N = 1

Distribusi Binomial

Peluang berhasil n dalam N usaha(p + q)N = 1

nNnNP −!)( nNnqpnNn

NnP −

−=

)!(!!)(

dimana, q = 1 – p.

Random Walk Problem / Binomial Distribution

( ) !lr nnNP n r l=

!r rn N nN r l −=( )

! !lr

rr l

P n r ln n

=( )! !

r r

r r

r ln N n

=−

1r l+ =

Teorema Binomial ( ) ( )0

!! !

NN n N n

n

Nx y x yn N n

−

=

+ =−∑ ( )0 ! !n n N n=

( ) 1N

P∑ ( )0

1r

rn

P n=

=∑ Normalisasi

Koin Mata Uang

Undi 6 koin. Peluang n gambar garuda611!6! ⎞⎛⎞⎛−N nn

61!6

21

21

)!6(!!6

)!(!!)(

⎞⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

−= −

nnqp

nNnNnP nNn

6

21

)!6(!!6)( ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

nnnP

Number ExpectedToss 6 coins N times. Probability of n heads:

611!6! ⎞⎛⎞⎛−N nn

61!6

21

21

)!6(!!6

)!(!!)(

⎞⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

−= −

nnqp

nNnNnP nNn

N b f ti h d i t d i

6

21

)!6(!!6)( ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

nnnP

Number of times n heads is expected is:n = N P(n)

Distribusi Untuk 6 KoinDistribusi Untuk 6 Koin

Binomial Distribution

0.3

0.35

Binomial Distribution

0.15

0.2

0.25

obab

ilty

0

0.05

0.1

0.15

Pro

00 1 2 3 4 5 6

Successes

Untuk 100 koin

0.09

Binomial Distribution

0.05

0.06

0.07

0.08

bilty

0 01

0.02

0.03

0.04

Prob

ab

0

0.01

Successes

Untuk 1000 koinBinomial Distribution

0.03

0.015

0.02

0.025

babi

lty

0

0.005

0.01Prob

0 60 120

180

240

300

360

420

480

540

600

660

720

780

840

900

960

Successes

Rerata Distribusi BinomialnnPn

n)(∑=

N nNn!)(

where

qpnNn

NnP nNn

)!(!!)(

∂−

= −

nnPnPp

p )()( :Notice =∂∂

Rerata Distribusi Binomial

nPp

pnnPnnn∑

∂∂=∑= )()(

qppnPpn

p

N

nn

+∂∂=∑

∂∂=

∂

)()(

pNqppNn

qpp

pp

p

NN

n

=+=

∂∑

∂−− 11 )1()(

)()(

pNnpqpp

=

)()(

Deviasi Standar (σ)

( )2nn −=σ ( )( ) ( )222 )( nnnPnn

n∑ −=−=σ

( ) 22222 22 nnnnnnnnnnn

+−=+−=−222 nn −=σ

Deviasi Standar (σ)nP

ppnnPn

nn∑⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂=∑= )()(

222

qppNpqpppn

p

NN

nn

+⎞⎜⎛ ∂=+⎞

⎜⎛ ∂⎞

⎜⎛ ∂=

⎠⎝ ∂

−)()( 12

[ ]qpNpNqpNpn

qppNp

pqpp

pp

pn

NN +−++=

+⎠

⎜⎝ ∂

+⎠

⎜⎝ ∂⎠

⎜⎝ ∂

−− ))(1()(

)()(

212 [ ][ ] [ ]pNqpNppNpNn

qpNpNqpNpn

+=−+=

+++

1

))(1()(2

Deviasi Standar (σ)

nn −=σ 222

[ ] pNpNqpN

nn

−+=

−=

σ

σ22 )(

NpqNpqpNpNNpq

=

=−+=

σσ 222 )()(

Npq=σ

Untuk Distribusi Binomial

Npq

pNn

=

=

σ

qNq

Npq

1==

σ

σ

NpNpn

Untuk p=q maka N

1=

σp qNn

Apa makna fisisnya? σ dapat diartikan sebagai “kesalahan” terhadapσ dapat diartikan sebagai “kesalahan” terhadap rata-rata

pengambilan sampling dalam jumlah besarpengambilan sampling dalam jumlah besar akan mengakibatkan kesalahan relatif mengecil. Contoh kasus Fisika:

APLIKASI DISTRIBUSI BINOMIALUndi koinMemilih barang rusak atau tidakMengambil benda dua jenis benda dalam kotakJalan acak

Gaussian dan Poisson Distribution

Binomial ( N →∞, r ~ l ) ⇒ Gaussian

( N →∞, r → 0 ) ⇒ Poisson

( )P n( )n

Di t ib i G iDistribusi Gaussian

Bila N sangat besar maka n juga besar sehingga perubahan P sangat kecil:

d di d b i f i k i P dapat dipandang sebagai fungsi kontinyu sehingga perlu dicari P maksimum

∂

Akan diperoleh P(n) maksimum pada nilai rata‐rata

0)( =∂∂ nPn

Akan diperoleh P(n) maksimum pada nilai rata‐rata

nn =

Dapat dibuktikan bahwa fungsi distribusi Gaussian

( ) ⎤⎡1 2( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−=

2exp

2

1)(2

nnnGσπσ

∫ =1)( dnnG

Distribusi Gaussian mempunyai bentuk simetris dan merupakan hal yang umum dan sering ditemui di alam.

Keadaan mikro(Microstates) danKeadaan makro(Macrostates)

Setiap hasil yang mungkin disebut keadaan mikro

Kombinasi semua keadaan mikro yang memberikan bilangan pengamatan (spots) sama disebut keadaan makromakro

Keadaan makro yang memuat keadaan mikro Keadaan makro yang memuat keadaan mikro terbanyak disebut peluang yang paling munkin terjadi

Peluang Thermodinamika

Suku dengan semua faktorial pada persamaan distribusi Binomial merupakan jumlah microstates distribusi Binomial merupakan jumlah microstates yang menuju menjadi ke macrostate tertentu. Suku ini disebut kesetimbangan termodinamika ,“thermodynamic probability”, wn.

!N)!(!

!nNn

Nwn −=

MicrostatesJumlah total dari microstates adalah:

=Ω ∑nw

nP

w

)(yasesungguhnPeluangΩ

=nP )(yasesungguhnPeluang

Untuk microstates dengan jumlah

maxw≅ΩUntuk microstates dengan jumlah sangat besar

Multiple Outcomes

NN !!NNNN

wi∏

=⋅⋅⋅⋅

=!!!! 321

NNi

i =∑

Stirling’s Approximation

⎞⎛

−≅

N

NNNNN

!

ln!ln: largeFor

( ) ∑−=∏−=⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∏

=i

iii

NNNNN

Nw !ln!ln!ln!ln!

!lnln

∑ ∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−=

i iiii NNNNNNw )ln(lnln

∑−=⎠⎝

iii

i i

NNNNw )ln(lnlni