1

Uvod:

U uvodu maturalnog rada na temu: Krug, krunica i pravilni poligoni demo objasniti o kakvim se temama radi u sadraju rada. Razradit demo teme opsega i povrine kruga, duljine krunog luka i povrine krunog isjeka, tetivne i tangencijalne etverokute, pravilne mnogokute i ostala podruja. Krug i krunica esti su oblici u naoj okolini. Zato i nije udo to su uvijek bili predmet izuavanja u ljudskoj povijesti. Za krunicu moemo redi da je to skup svih toaka u ravnini jednako udaljenih od zadane toke (sredita), a za krug da je skup svih toaka ravnine ija je udaljenost od sredita manja ili jednaka polumjeru. Pravilne poligone jo nazivamo i pravilnim mnogokutima, jer rije poligon potjee iz grkog jezika, i u prijevodu znai vie kutova.

2

1. OPSEG KRUGA

1.1 Krug i krunica

Krunica dijeli ravninu na 2 dijela. Krug je ogranieni dio ravnine omeen krunicom. Toke krunice pripadaju krugu.

Duina koja spaja dvije toke na krunici naziva se tetiva krunice (ili kruga). Od svih tetiva najdulja je ona koja prolazi sreditem krunice. Ta se tetiva naziva promjer (dijametar) krunice (ili kruga). Duljina promjera je . (esto govorimo krade: promjer kruga je .)

Promjer dijeli krug na dva polukruga. Za svaki je krug omjer opsega i duljine promjera konstantan i ne ovisi o velicini kruga. Tako, na primjer ako su i dva kruga s polumjerima i , onda de biti

Lako se moemo uvjeriti da je ova tvrdnja istinita, jer su svaka dva kruga slina, pa su im odgovarajudi elementi proporcionalni. Koliki je omjer ? Taj omjer je iracionalan broj koji oznaavamo s .

Krunica je skup svih toaka ravnine koje su od zadane toke udaljene za istu udaljenost . se naziva sredite (centar) krunice, a je polumjer (radijus) krunice. Krunicu oznaavamo s

.

Krug je skup svih toaka ravnine ija je udaljenost od toke manja ili jednaka . je sredite kruga, a je polumjer kruga. Krug oznaavamo s .

Opseg kruga jednak je

.

Broj nije racionalan. Njegova priblina vrijednost je 3.14159.

3

Zadatak

Koliki je opseg kruga ija je povrina jednaka ?

1.2 Povrina kruga

Neka je stranica a pravilnog -terokuta opisana oko kruga. Njegova povrina je jednaka

jer je duljina visine svakog od sukladnih trokuta na koje se raspada mnogokut jednaka je polumjeru kruga r.

Zamsilimo da se broj stranica -terokuta povedava. Tada njegov opseg postaje priblino jednak opsegu kruga: , a njegova povrina priblino jednaka povrini kruga : . to je broj vedi, razlike izmeu tih brojeva bit de zanemarive. Zato za povrinu kruga vrijedi formula:

Povrina kruga polumjera iznosi

4

2. DULJINA KRUNOG LUKA I POVRINA KRUNOG ISJEKA

2.1 Kruni luk

Dvije toke na krunici dijele tu krunicu na dva dijela koje nazivamo krunim lukovima. Ta demo dva

luka oznaiti s i .

Oznaka nam govori da po luku putujemo od toke do toke u pozitivnom smjeru (suprotno od

smjera kazaljke na satu). Kod luka takoer putujemo od toke do toke u pozitivnom smjeru.

Ponekad koristimo i tredu toku za oznaku luka. Ta se treda toka nalazi na luku izmeu njegovih rubnih toaka. Tada ne moramo paziti na poredak rubnih toaka, jer srednja toka odreuje o kojem je luku rije.

Tako na slici i oznaavaju isti luk, onaj kojemu su i rubne

toke, a sadri i toku . Isto tako je = = .

Za kut kaemo da je sredinji kut koji odgovara luku . Jasno je da mjera tog kuta ovisi o duljini krunice. Oznaimo s duljinu luka

krunice. Tako, na primjer, polukrunici odgovara luk duljine (polovina opsega krunice).

Kolika je duljina luka koji odgovara kutu od na krunici polumjera ?

Sad moemo napisati i formulu za duljinu luka za po volji odabran kut.

Sredinjem kutu od stupnjeva krunice polumjera odgovara luk duljine

.

5

2.2 Kruni isjeak

Kut s vrhom u sreditu kruga isjeca od njega dio koji nazivamo kruni isjeak. Zanima nas kolika je njegova povrina.

Ta je povrina proporcoinalna mjeri kuta. Oznaimo tu ovisnost s . Tada vrijedi, na primjer,

, jer je isjeak koji odgovara ispruenom kutu polovina kruga. Isjeak koji odgovara kutu

od iznosi onda

Opdenito, ako je mjera kuta jednaka onda je

Uvaimo li sada formulu za duljinu luka krunice, dobivamo:

Vidimo da je formula za povrinu isjeka slina formuli za povrinu trokuta, s tim da umjesto stranice uzimamo duljinu krunog luka, a umjesto visine polumjer.

Povrina krunog isjeka koji odgovara sredinjem kutu od stupnjeva je

gdje je duljina pripadnog luka.

6

3. OBODNI I SREDINJI KUT

3.1 Pouak o obodnom kutu

Neka je luk krunice sa sreditem u toki i toka na krunici koja ne pripada tom luku. Kut

naziva se obodni kut nad lukom ili tetivom . Za kut kaemo da je sredinji kut koji odgovara obodnom kutu .

Na slici su nacrtane dvije mogude situacije. Na prvoj je obodnikut iljast,a drugoj tup. Uoite i pripadni kut . Ako je tup onda je izboen.

Neka je luk krunice, obodni i sredinji kut nad tim lukom. Onda vrijedi

PRIMJER

Nad stranicama i kvadrata konstruirane

su polukrunice, a oko vrha je opisan luk . Na taj nain je dobiven lik na slici. Dokai da su povrine oznaene sa i jednake.

Nain ne koji demo rijeiti zadatak est je pri rjeavanju ovakvih problema. Oznaimo jo s povrine dvaju sukladnih dijelova. Sukladni su zbog simetrije slike.

Tada vrijedi: .

No gledamo li povrine dvaju polukrugova, onda je

.

Dakle, , odakle izravno slijedi

7

Dokaimo ovaj pouak.

Promotrimo sliku desno. Neka je sredite krunice, a i dvije na njoj po volji odabrane toke. Izabrali smo obodni kut takav da je promjer krunice. Trokut je jednakokraan pa je . Bududi da je vanjski kut u trokutu , slijedi . Time smo dokazali pouak o ovom posebnom sluaju.

Uzmimo sad toku C bilo gdje na krunici. Dva su moguda sluaja opisana slikama:

Provucimo promjer krunice . Time smo dobili dva obodna kuta i , s mjerama i (prva slika). Neka su i mjere pripadnih sredinjih kutova. Sada se nalazimo u situaciji koja odgovara onoj na prethodnoj slici. Zato je = 2 i = 2 pa imamo

+ )= 2

U situaciji sa slike desno je obodni kut, a pripadni sredinji kut. Povucimo promjer . Tada je , . Zato je ponovo

) 2

Time je dokaz gotov.

Primjetimo da je jednim lukom krunice odreen samo jedan sredinji kut, ali i beskonano mnogo obodnih kutova. Svi su ti obodni kutovi meusobno sukladni.

Nadalje, dva luka jednakih duljina odreuju jednake sredinje kutove, pa onda i jednake obodne kutove. Zato vrijedi:

1.Svi obodni kutovi krunice nad istim lukom su sukladni. 2.Obodni kutovi koji odgovaraju lukovima jednakih duljina (iste krunice) su sukladni.

8

3.2 Obrat pouka o obodnom kutu

Nacrtajmo trokut . Kut pri vrhu neka je .

Kaemo da se duina vidi iz toke pod kutom .

Gdje se nalaze sve ostale toke iz kojih se ta duina vidi pod istim kutom?

Nacrtajmo krunicu opisanu trokutu ABC. Neka je njezino sredite i . Prema pouku o obodnom kutu, duina

vidi se iz svake toke luka pod

istim kutom . Nacrtajmo i kruni luk

simetrian luku s obzirom na pravac

se vidi pod istim kutom .

Sve toke pod kojim se zadana duina vidi pod kutem lee na dvama krunim lukovima.

Moemo li postaviti pitanje: vidi li se duina iz jo neke toke u ravnini pod istim kutem ? Nasludujemo da je odgovor da ovo pitanje: ne! Uvjerimo se u to.

Duina se iz toke unutar krunice vidi pod vedim, a iz toke van krunica pod manjim

kutom od obodnog.

Promotrimo gornju sliku. Neka toki krunog luka odgovara obodni kut . U tom sluaju za svaku toku unutar kruga , a iznad pravca p mjera kuta veda je od , jer je kut mjere . Isto tako za svaku

toku E izvan kruga mjera kuta manja od , jer je mjera kuta jednaka . Dakle, samo tokama na krunom luku odgovara obodni kut . Time smo dokazali sljededi pouak.

Sve toke iz kojih se zadana duina vidi pod istim kutom nalaze se na dvama krunim lukovima sa sredinjim kutom .

9

3.3 Talesov pouak

Prema pouku o obodnom i sredinjem kutu krunice obodni je kut upola manji od pridruenog sredinjeg. Posebice, ako je sredinji kut jednak , tj. ako je pripadna tetiva promjer krunice, tada je obodni kut pravi.

Ovaj pouak, koji je poseban sluaj Pouka o obodnom i sredinjem kutu pripisuje se Talesu, a najede se prikazuje u ovom obliku:

Obodni kut nad promjerom krunice je pravi.

Vrijedi i obrat ovog pouka: Ako je obodni kut nad tetivom krunice pravi, tada je ta tetiva promjer krunice.

PRIMJER

Ako su , i duljine stranica, a duljina polumjera trokutu opisane krunice, tada je povrina trokuta

jednaka

Opiimo trokutu krunicu. Toka je noite

visine poloene iz vrha nastranicu . Povucimo jo i promjer krunice. Trokuti i su slini. Oni su pravokutni, a uz to je i , jer su to obodni kutovi nad tetivom

Zbog slinosti vrijedi: , odakle je .

Ako sada to uvrstimo u formulu dobit

demo

10

4. TANGENTA NA KRUNICU

4.1 Tangenta na krunicu

Pravac moe se u odnosu na krunicu nalaziti u trima razliitim poloajima. Moe je sjedi u dvijema tokama, tada za njega kaemo da je sekanta krunice. Moe s krunicom ne imati nijednu zajedniku toku. Kao granini sluaj izmeu ovih dvaju, pravac moe imati samo jednu zajedniku toku. Tada kaemo da on dira ili da je pravac tangenta krunice. Toka u kojoj tangenta dira krunicu zove se diralite tangente.

Tangente krunice. Povuemo li pravac tokom T dvama posebnim sluajevima pravac de s krunicom imati samo jednu zajedniku toku.

Dokaimo ovaj pouak. On sadri dvije tvrdnje koje treba posebno dokazati.

a) Dokaimo: ako je tangenta krunice u njezinoj toki , onda je ona okomita na pravac .

Pretpostavimo da nije okomita na . Onda okomica iz na pravac sijee u toki . Odaberimo na pravcu toku takvu da je .

Tada vrijedi

pa je . Zakljuimo da toka pripada krunici. Tako smo nali dvije razliite toke, i na pravcu koje priparaju krunici, sto je nemogude jer je tangenta. Zakljuimo da je naa pretpostavka pogrena pa mora vrijediti . Dakle pravac okomit je na spojnicu

.

Neka je toka na krunici, a njezino sredite. Pravac koji prolazi tokom tangenta je krunice onda i samo onda ako je okomit na spojnicu .

11

b) Dokaimo: ako je pravac koji prolazi tokom okomit na pravac , onda je tangenta.

Uzmimo bilo koju toku tog pravca razliitu od . Tada vrijedi

pa je i toka ne pripada krunici.

Zakljuimo da pravac s krunicom ima samo jednu toku. Zato je on tangenta krunice.

4.2 Meusobni poloaji dviju krunica

Neka su i polumjeri dviju krunica i , te udaljenost njihovih sredita. Pretpostavimo da je . Poloaj tih krunica moemo prouiti na temelju tih podataka. Mogude su sljedede situacije,

koje su prikazane slikama:

1) , krunice nemaju zajednikih toaka; 2) , krunice imaju samo jednu zajedniku toku. Kaemo da se sve one diraju izvana; 3) , krunice se sijeku u dvijema tokama; 4) , krunice se diraju iznutra; 5) , krunice nemaju zajednikih toaka, manja se nalazi unutar vede. 6) Meusobni poloaj dviju krunica

Ako je , tj. ako se sredita krunica ne podudaraju, za njih kaemo da su koncentrine. Ako se krunice dodiruju u toki , tad one imaju zajedniku tangentu u toj toki. Prema pouku o tangenti krunice ta je tangenta okomita na spojnicu diralita i sredita. To znai da je pravac koji je odreen sreditima krunica prolazi i diralitem tih dviju krunica. Diralite dviju krunica i njihova sredita su kolinearne toke.

12

4.2 Konstrukcija tangente

Kako konstruirati tangentu na krunicu koja prolazi nekom zadanom tokom izvan krunice? Rjeenje tog problema temelji se na pouku o tangenti i Talesovom pouku.

Spojimo toku sa sreditem krunice i odredimo polovite duine . Nacrtajmo krunicu kojoj je promjer. Neka ta krunica sijee krunicu u tokama i . Prema Talesovom pouku kut nad

promjerom krunice je pravi. Dakle, kut je pravi, pa je to pravac okomit na pravac . Prema pouku o tangenti pravac tangenta je krunice. Jednako tako je i tangenta krunice.

Trokuti i su sukladni, jer su pravokutni i podudaraju se u hipotenuzi i jednoj kateti. Zato je : udaljenost od toke do diralita tangenata povuenih iz te toke na krunicu su

jednake.

5. TETIVNI I TANGENCIJALNI ETVEROKUT

5.1 Konveksnost

Promotrimo dva etverokuta nacrtana na slijededoj slici: Po emu se oni razlikuju? etverokut

ima sve nutarnje kutove manje od ispruenog kuta. etverokut ima jedan izboen kut, pri vrhu . Takav etverokut nazivamo vitoperim. Odaberemo li dvije toke i tog etverokuta, moemo postidi da spojnica

ne lei cijela u etverokutu. To za etverokut nije mogude postidi. Spojnica dviju po volji odabranih toaka etverokuta uvijek lei unutar tog etverokuta. Za njega kaemo da je konveksan. Konveksnost moemo definirati za po volji odabran skup toaka u ravnini.

Svaki je trokut konveksan skup: spojnica bilo kojih dviju toaka unutar trokuta lei u tom trokutu.

Krug je takoer konveksan skup. Polukrug, kruni odsjeak, kruni isjeak s kutom manjim od izboenog takoer su konveksni.

Skup je konveksan ako je spojnica bilo kojih dviju njegovih toaka cijela lei u .

13

etverokut je konveksan onda i samo onda ako nema izboenog unutarnjeg kuta. Isto vrijedi i za mnogokut s vedim brojem kutova

Svakom se trokutu moe opisati i upisati krunica, to za etverokute nije istinita tvrdnja. To de biti mogude uiniti za neke vrste etverokuta:

Za etverokut kaemo da je tetivni etverokut, ako mi se moe opisati krunica. (Stanice tog trokuta tetive su krunice.)

Za etverokut kaemo da je tangencijalni etverokut, ako mu se moe upisati krunica. (Stranice tog etverokuta tangente su krunice.)

5.2 Tetivni etverokut

Neka je etverokut tetivni. Oznaimo sa sredite krunice

opisane tom etverokutu. Uoimo luk . Obodni kut tog luka je kut . Obodni kut tog luka je kut pri vrhu . Zato je pripadni sredinji luk

jednak . Obodni kut za luk je kut pri vrhu . Sredinji kut onda je jednak . Vidimo da je , pa je .

Na isti nain bismo zakljuili da je (to moemo zakljuiti i iz injenice da je zbroj kutova u etverokutu jednak ).

Dakle , u tetivnom etverokutu je zbroj nasuprotnih kutova jednak .

Uvjerimo se da vrijedi i obratna tvrdnja: ako je zbroj nasuprotnih kutova u nekom etverokutu jednak , onda je etverokut tetivni.

Neka je . Nacrtajmo krunicu opisanu trokutu . Neka je njezino sredite (vidi sliku).

Onda je . Sredinji kut luka je zato . Prema obratu pouku o obodnom kutu to nam govori d a je etvrti vrh klojem pripala kut lei na luku iste krunice. Dakle, je tetivni etverokut.

etverokut ABCD je tetivan onda i samo onda ako vrijedi

.

14

5.3 Tangencijalni etverokut

Neka je tangencijalni etverokut i neka su , , , duljine njegovih stranica.

Neka je sredite krunice upisane u etverokut. Stranice etverokuta tangente su na upisanu krunicu, pa su spojnice sredita i diralita , ,

, okomite na stranice etverokuta. Trokuti i su sukladni jer se podudaraju u hipotenuzi, pravom kutu i kateti, . Zato je

. Iz istoga je razloga i slino za druga dva vrha. Oznaimo duljine tih odrezaka kao na slici. Onda imamo

Dakle, zbroj duljina nasuprotnih stranica je jednak.

PRIMJER

Ptolomejev pouak Ako je tetivni etverokut, onda vrijedi Drugim rijeima, umnoak duljina dijagonala tetivnog etverokuta jednak je zbroju umnoaka duljina nasuprotnih stranica.

Konstruiramo kut jednak kutu Kako su i obodni kutovi nad istim lukom, oni su jednaki, pa su trokuti i

slini. Zbog te je slinosti , odnosno

.

Na isti nain zakljuujemo da su i trokuti i slini, pa je , odnosno

.

Zbrojimo svije dobivene jednakosti te imamo:

.

15

Dokaimo sada i obratnu tvrdnju: ako za stranice konveksnog etverokuta vrijedi , onda je on tangencijalan.

Nacrtajmo krunicu koja dira stranice . (Njezino sredite dobivamo pomodu simetrala kutova uz vrhove i .) Neka je sada

tengencijalni etverokut, pri emu je toka na pravcu . Pretpostavimo da je . Za stranice etverokuta vrijedi:

.

Odavde je . Zbroj duljina sviju stranica trokuta jednak je tredoj samo ako trokut degenerira u duinu (nejednakost trokuta!). Zato mora biti i etverokut je tangencijalan.

Uvjerimo se da isti zakljuak dobivamo i ako pretpostavimo da je .

6. PRAVILNI POLIGONI

6.1. Pravilni mnogokuti

Jednakostranian trokut ima sve tri stranice jednake i sva tri kuta jednaka. Kvadrat ima sve etiri stranice jednake duljine i sva etiri kuta jednaka.

Za svaki prirodni broj postoji mnogokut koji ima sve stranice jednake duljine i sve unutarnje kutove jednake. Taj mnogokut nazivamo pravilni mnogokut (pravilni -terokut, pravilni poligon).

Dokaimo ovaj pouak. Neka su , , i etiri uzastopna vrha pravilnog mnogokuta. Neka je sredite krunice opisane trokutu . Dovoljno je pokazati da vrh lei u toj krunici, jer onda i svaki sljededi vrh mnogokuta lei na istoj krunici.

Trokuti i su sukladni. Oni se podudaraju u dvijema stranicama (sve su stranice pravilnog mnogokuta sukladne) i kutu pri vrhovima i (svi su unutarnji kutovi pravilnog mnogokuta jednaki). Primjetimo jo da su ti trokuti jednakokrani. Zato je kut pri vrhu jednak kutu pri vrhu . Meutim kut je obodni kut nad lukom

. Onda je i kut obodni kut nad istim lukom, pa toka mora leati na krunici koja prolazi tokama , i prema obratu pouka o obodnom kutu.

Konveksni etverokut je tangencijalan onda i samo onda ako za duljine njegovih stranica vrijedi

.

Oko svakog pravilnog mnogokuta moe se opisati krunica. Svakom pravilnom mnogokutu moe se upisati krunica.

16

Dakle, oko svakog se pravilnog mnogokuta moe opisati krunica. Neka je njezino sredite . Onda su svi trokuti , itd. sukladni, jer se podudaraju u svim trima stranicama. Posebno, visine iz vrha u svim tim trokutima su sukladne. Ta je visina polumjer krunice upisane u mnogokut.

Time je pouak dokazan.

Trokut zove se karakteristini trokut pravilnog mnogokuta.

6.2 Dijagonale i kutovi pravilnog n-terokuta

Spojimo jedan vrh konveksnog n-terokuta sa svim ostalim vrhovima. Dvije su takve spojnice stranice n-terokuta, one koje spajaju vrh s dva njemu susjedna vrha. Preostale spojnice su dijagonale -terokuta. Tih dijagonala, povuenih iz jednog vrha, ima . (Trokut nema nijednu dijagonalu, kod kvadrata se moe povudi jedna dijagonala iz vrha, kod peterokuta dvije itd.)

Koliki je ukupni broj dijagonala konveksnog -terokuta? Na prvi pogled ima ih jer je u mnogokutu vrhova, a iz svakog ide jer je u mnogokutu vrhova, a iz svakog ide dijagonala. To bi znailo da u kvadratu imamo dijagonale! U ovom brojanju svaku smo dijagonalu prebrojili dva puta,

jer dijagonala izlazi iz dvaju vrhova. Zato je broj dijagonala u -terokutu jednak .

Koliki su kutovi pravilnog -terokuta? Dijagonalama iz jednog vrha mnogokut je podijeljen na trokute. Tih trokuta ima , zato je ukupan zbroj kutova u svim trokutima jednak . Taj zbroj je jednak zbroju svih unutarnjih kutova -terokuta. Ako s oznaimo unutarnji kut (svi su unutarnji kutovi

jednaki), onda je , pa dobivamo .

Broj dijagonala u konveksnom -terokutu iznosi .

Unutanji kut pravilnog -terokuta je .

Zadatak

Koliko ima dijagonala u konveksnom sedmerokutu?

17

6.3 Konstrukcija pravilnih mnogokuta

Pravilni -terokut upisan u zadanu krunicu nije mogude konstruirati za svaki prirodni broj . Za neke brojeve znamo da je to mogude napraviti, tako znamo konstruirati jednakostranian trokut, kvadrat, pravilni esterokut upisan u zadanu krunicu.

Ako znamo konstruirati pravilni -terokut, onda znamo konstruirati i pravilni -terokut. Dovoljno je odrediti simetralu jedne njegove stranice. Njezino sjecite s krunicom opisanom -terokutu predstavlja novi vrh

-terokuta. Tako moemo dobiti novih vrhova -terokuta.

6.4 Konstrukcija pravilnog peterokuta

Moe se dokazati da je duljina stranice pravilnog preterokuta i pravilnog deseterokuta upisanog u krunicu polumjera jednaka

.

Sada moemo izvesti konstrukciju ovih mnogokuta.

Neka je toka dane krunice, a njezino sredite.

Povucimo promjer . estarom s vrhom u toki opiimo luk duljine . Neka je presjek tog krunog luka i promjera . Tvrdimo: , . Vrijedi:

.

Zato je

.

Provjerimo i drugu tvrdnju:

.

18

O KONSTRUKCIJI PRAVILNIH -TEROKUTA

Postavlja se pitanje: za koje brojeve mogude konstruirati pravilni -terokut? Posebno je vano pitanje za koje je proste brojeve to mogude uiniti? Odgovor na to pitanje dao je po mnogima najvedi matematiar svih vremena K. F. Gauss.

Neka je prost broj. Pravilni -terokut mogude je konstruirati onda i samo onda ako je oblik

Za imamo . Jednako stranicni trokut znamo konstriurati. Za imamo . Pravilni peterokut moe se konstruirati. Za imamo . Gauss je prvi izveo konstrukciju pravilnog 17-terokuta, u dobi od 19. godina. Po nekima, ba je taj rezultat opredijelio Gaussa prema matematici. U spomen toga na jednom njegovom spomeniku je postolje u obliku 17-terokuta.

Proste brojeve oblika nazivaju se Fermatovi brojevi, prema francuskom matematiaru P. Fermatu. Fermat je drao da su svi brojevi tog oblika prosti i provjerio tvrdnju za brojeve 17, 257, 65537.

Meutim ved sljededi broj za , nije prost, . Taj rezultat dokazao je L. Euler 1732. godine.

Danas nije poznat ni jedan novi Fermatov prost broj. Za mnoge eksponente provjereno je da broj nije prost.

Prosti brojevi , , itd. nisu Fermantovi brojevi. Zato se ne moe konstruirati pravilan -terokut s tim brojem stranica. Tako, na primjer, svaka konstrukcija pravilnog sedmerokuta moe biti

samo priblina. To, dakako, nema vanosti u praksi, pri crtanju lika, jer su tu i pribline konstrukcije dovoljno precizne. Meutim, vanost ovakvih razmatranja i dokaza ogromna je u razvoju matematike.

Opiimo kako se konstruira stranica pravilnog peterokuta i pravilnog deseterokuta upisanih u zadanu krunicu.

6.5 Zlatni rez

Podijelimo li duinu na dva dijela tako da je omjer duljine cijele duine i vedeg dijela jednak omjeru duljina vedeg i manjeg dijela, tada smo nauili zlatni rez duine.

Drugim rijeima, ako je duljina duine i duljina vedeg od dvaju dijelova na koje je duina podijeljena tokom , tada se zahtjeva da vrijedi jednakost:

.

Ovdje slijedi kvardatna jednadba . Njezino rjeenje rijeenje zadatka.

Uoimo da je to upravo duljina stranice pravilnog deseterokuta upisanog krunici polumjera .

19

Ako izraunamo priblinu vrijednost broja vidjet demo da taj vedi dio ini priblino 61.8%

duine, dok je manji dio ostatak 38.2 %

Kako za danu duinu , konstruirati toku ? Konstruirajmo pravokutni trokut tako da je i ta krunica sijee hipotenuzu u toki . Sada jo oko opiimo kruni luk polumjera

te de taj luk duinu presjedi u toki .

Provjerimo:

Najprije je . Zatim imamo:

Genijalni talijanski umjetnik Leonardo da Vinci spoznao je znaenje zlatnog reza te je vrlo poznata njegova slika ljudskog

tijela inspirirana injenicom to su neki njegovi dijelovi u zlatnom omjeru.

Nadalje, konstruiramo li pravokutnik ije su stranice dva dijela duine podijeljene zlatnim rezom, dobit demo zlatni pravokutnik koji likovni umjetnici dre najskladnijim od svih pravokutnika. Zbog toga se o toj injenici vodi rauna kad se grade graevine, kad se bira oblik fotografije, slike ili knjige itd.

Osim toga, zlatni prakovutnik ima jednu zanimljivu osobinu: Odree li se od njega kvardat, ostat de zlatni pravokutnik. Ako unutar niza kvadrata koje dobijemo uzastopnim odsjecanjem od pravokutnika konstruiramo lukove kao na slici, dobit cemo spiralu koja se naziva zlatna spirala.

Takve spirale esto se nalaze u prirodi, a najpoznatije su one na kudicama pueva ili na koljkama.

Dodajmo tome da postoji i zlatni trokut. To je karakteristian trokut pravilnog deseterokuta. Ako konstruiramo simetralu kuta uz njegovu osnovicu, ta de simetrala od trokuta odsjedi slian trokut. K tome simetrala dijeli krak trokuta po zlatnom rezu.

Ako nacrtamo pravilni peterokut upisan krunici polumjera i izvuemo sve njegove dijagonale, dobit demo pentagram ili petokraku zvijezdu.

Pravilni peterokut i pentagram. Dijagonale iz svakog vrha dijele unutarnji kut peterokuta na tri jednaka dijela. Toka dijeli dijagonalu po zlatnom rezu.

20

Unutarnji kut peterokuta iznosi . Dijagonale povuene iz jednog kuta dijele taj kut

pri vrhu na tri jednaka dijela (pouak o obodnom kutu!). Naime, svaki od ovih kutova je obodni kut nad jednako velikim lukom, pa su svi ti kutovi sukladni. Zato su trokuti i slini, a trokut je jednakokraan.

Neka je duljina stranice peterokuta, a duljina njegove dijagonale. Onda je Iz slinosti trokuta imamo:

Dakle toka dijeli dijagonalu peterokuta po zlatnom rezu. Istu relaciju moemo napisati i ovako:

Pa odavde slijedi . Stranica peterokuta dijeli dijagonalu po zlatnom rezu.

Zbog ovog je svojstva petokraka zvijezda bila simbol u razliitim kulturama. Ona je bila mistini simbol Pitagorejaca, ali i znak ljeviara irom svijeta.

21

Zakljuak:

U ovom radu cilj nam je bio obraditi teme kruga, krunice i pravilnih poligona. U sva tri poglavlja smo se dotakli najvanijih podruja koja smo obradili u srednjoj koli. U prvom dijelu rada smo se posvetili krunici i krugu te sadrajima koji idu uz njih, kao to su obodni i sredinji kut, tangenta na krunicu, duljina krunog luka i povrina krunog isjeka. U drugom dijelu smo obratili pozornost na poligone, gdje treba navesti tetivni i tangencijalni etverokut, te konstrukciju pravilnih mnogokuta. U svim podrujima smo naveli slike i primjere koji olakavaju shvadanje oblasti koju elimo obraditi.

22

Literatura:

1. Neven Elezovid, Branimir Dakid, Matematika 1, 2. dio, udbenik i zbirka zadataka za 1. razred gimnazije, Element, Zagreb, 2006. g.

2. Pavkovid, Veljan, Elementarna matematika, Zagreb, Tehnika knjiga ,1992. g.

3. Neven Elezovid, Branimir Dakid, Matematika 2, udbenik i zbirka za 2. razred gimnazija, Element, Zagreb, 2004. g.