Krivuljni in ploskovni integrali - Stromar.si · Krivuljni in ploskovni integrali 1. Najprej narisi...
11
Krivuljni in ploskovni integrali 1. Najprej narisi krivuljo C, ki jo dobis kot presek valja x 2 + y 2 = 1 in elipti nega paraboloida z = x 2 + 2 y 2 , nato pa izra unaj krivuljni integral C 1 Ix 2 + yM 1 + 4 x 2 y 2 s, kjer C 1 ozna uje del krivulje C, za katerega velja, da je x£ 0. Rezultat: 3 Π 4 Clear@x, y, z, tD x = Cos@tD; y = Sin@tD; z = x^2 + 2y^2 rt = 8x, y, z< ParametricPlot3D @rt, 8t, 0, 2 Pi<D Integrate @Hx^2 + yL * Sqrt@1 + 4 * x^2 * y^2D * Sqrt@HD@x, tDL ^2 + HD@y, tDL ^2 + HD@z, tDL ^2D, 8t, - Pi 2, Pi 2<D Cos@tD 2 + 2 Sin@tD 2 9Cos@tD, Sin@tD, Cos@tD 2 + 2 Sin@tD 2 = -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.0 1.5 2.0 3 Π 4
Transcript of Krivuljni in ploskovni integrali - Stromar.si · Krivuljni in ploskovni integrali 1. Najprej narisi...
Krivuljni in ploskovni integrali
1. Najprej narisi krivuljo C, ki jo dobis kot presek valja x2 + y2 = 1 in elipti nega
paraboloida z = x2 + 2 y2, nato pa izra unaj krivuljni integral
ÙC1
Ix2 + yM 1 + 4 x2 y2 âs, kjer C1 ozna uje del krivulje C, za katerega velja, da je x£
0.
Rezultat: 3 Π
4
Clear@x, y, z, tDx = Cos@tD;y = Sin@tD;z = x^2 + 2 y^2
rt = 8x, y, z<ParametricPlot3D@rt, 8t, 0, 2 Pi<DIntegrate@Hx^2 + yL * Sqrt@1 + 4 * x^2 * y^2D *
Sqrt@HD@x, tDL^2 + HD@y, tDL^2 + HD@z, tDL^2D, 8t, -Pi � 2, Pi � 2<D
Cos@tD2+ 2 Sin@tD2
9Cos@tD, Sin@tD, Cos@tD2+ 2 Sin@tD2=
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.0
1.5
2.0
3 Π
4
2. Iza unaj krivuljni integral druge vrste ÙC
Log@x yD âx + y z ây + ArcSin@zD x âz, kjer
C predstavlja polkroznico x2 + y2 + z2 = 2 x, z=x, y>0 od to ke A(0,0,0) do to ke
B(1,0,1). Krivuljo C najprej narisi!
Rezultat: 1
24H-52 + 3 Π + 4 Log@8DL
2. Iza unaj krivuljni integral druge vrste ÙC
Log@x yD âx + y z ây + ArcSin@zD x âz, kjer
C predstavlja polkroznico x2 + y2 + z2 = 2 x, z=x, y>0 od to ke A(0,0,0) do to ke
B(1,0,1). Krivuljo C najprej narisi!
Rezultat: 1
24H-52 + 3 Π + 4 Log@8DL
In[1]:= Clear@x, y, zDx = t
Solve@2 x^2 + y^2 � 2 x, yD
y = 2 x - x2
z = x
ParametricPlot3D@8x, y, z<, 8x, 0, 1<DIntegrate@HLog@x * yD * D@x, tD + y * z * D@y, tD + ArcSin@zD * x * D@z, tDL, 8t, 0, 1<D
Out[2]= t
Out[3]= ::y ® - 2 t - t2 >, :y ® 2 t - t2 >>
Out[4]= 2 t - t2
Out[5]= t
Out[6]=
0.0
0.5
1.0
0.0
0.5
1.0
0.0
0.5
1.0
Out[7]=1
24H-52 + 3 Π + 4 Log@8DL
3. Prepri aj se, da je integral
ÙA
B-2 x y +
2 x y z3
1-x4 y2 z6, -x2 +
x2 z3
1-x4 y2 z6+
CosB y
zF
z, ãz +
3 x2 y z2
1-x4 y2 z6-
y CosB y
zF
z2.âr
Ó neodvisen od inte-
gracijske poti in ga izra unaj za primer A(1,0,2), B(0,Pi,2).
Rezultat: 1
2 vaja5.nb
3. Prepri aj se, da je integral
ÙA
B-2 x y +
2 x y z3
1-x4 y2 z6, -x2 +
x2 z3
1-x4 y2 z6+
CosB y
zF
z, ãz +
3 x2 y z2
1-x4 y2 z6-
y CosB y
zF
z2.âr
Ó neodvisen od inte-
gracijske poti in ga izra unaj za primer A(1,0,2), B(0,Pi,2).
Rezultat: 1
Clear@x, y, z, tD
V1 = -2 x y +2 x y z3
1 - x4 y2 z6;
V2 = -x2 +x2 z3
1 - x4 y2 z6+
CosA y
zE
z;
V3 = ãz +3 x2 y z2
1 - x4 y2 z6-
y CosA y
zE
z2;
rotor = Simplify@8D@V3, yD - D@V2, zD, D@V1, zD - D@V3, xD, D@V2, xD - D@V1, yD<D
Integrate@V1, xD;Integrate@V2, yD;Integrate@V3, zD;
u = ãz + ArcSinAx2 y z3E + SinBy
zF - x^2 * y
prvi = -u �. 8x ® 1, y ® 0, z ® 2<;drugi = u �. 8x ® 0, y ® Pi, z ® 2<;rezultate = prvi + drugi
80, 0, 0<ãz - x2 y + ArcSinAx2 y z3E + SinB y
zF
1
4. Izra unaj ploskovni integral prve vrste Ù ÙS
ý xyz ý âS, kjer je S del paraboloida
z = x2 + y2, ki ga odreze ravnina z=1.
Rezultat: 1
420I-1 + 125 5 M
vaja5.nb 3
Clear@x, y, z, r, uDPlot3D@8x^2 + y^2, 1<, 8x, -2, 2<, 8y, -2, 2<DRegionPlot@x^2 + y^2 <= 1, 8x, -2, 2<, 8y, -2, 2<Dx = r Cos@tDy = r Sin@tDz = r^2
s = 8x, y, z<
EGF2 = Simplify@Dot@D@s, rD, D@s, rDD * Dot@D@s, tD, D@s, tDD - HDot@D@s, rD, D@s, tDDL^2DIntegrate@Abs@x * y * zD * Sqrt@EGF2D, 8t, 0, 2 * Pi<, 8r, 0, 1<D
-2
-1
0
1
2-2
-1
0
1
2
0
2
4
6
8
-2 -1 0 1 2
-2
-1
0
1
2
r Cos@tDr Sin@tD
4 vaja5.nb
r2
9r Cos@tD, r Sin@tD, r2=r2 + 4 r4
1
420J-1 + 125 5 N
5. Dano je vektorsko polje V={xy, xz, z^2} in kroznica C = {(x, y, z); x^2 + y^2
= 1, z = 1}.
Narisi kroznico in izra unaj krivuljni integral druge vrste
ÙCV®
.âr®
Kroznica naj bo odebeljena in rde e barve.
Rez: Π
vaja5.nb 5
Clear@x, y, zDV = 8x y, x z, z^2<x = Cos@fiDy = Sin@fiDz = 1
rt = 8x, y, z<drt = D@rt, fiDKrivulja = ParametricPlot3D@rt, 8fi, 0, 2 Pi<, PlotStyle -> 8Red, Thick<D
Integrate@Hx * y * D@x, fiD + x * z * D@y, fiD + z^2 * D @z, fiDL, 8fi, 0, 2 * Pi <D
9x y, x z, z2=Cos@fiDSin@fiD1
8Cos@fiD, Sin@fiD, 1<8-Sin@fiD, Cos@fiD, 0<
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Π
6. Preveri Stokesovo formulo za krivuljni integral iz prejsnje naloge, tako da
izra unas ploskovni integral
ÙS rot V.
®
âS®
kjer je
a) krog S = {(x,y,z); z=1, x^2+y^2<1}.
b) stozec S = {(x,y,z); z=Sqrt[x^2+y^2], z < 1}.
c) krogelna kapica S = {(x,y,z); x^2+y^2+z^2=2, z > 1}.
Narisi krivuljo C iz 5.naloge in posamezno ploskev S v isto sliko!
Primerjaj dobljene rezultate z rezultatom prejsnje naloge!
6 vaja5.nb
6. Preveri Stokesovo formulo za krivuljni integral iz prejsnje naloge, tako da
izra unas ploskovni integral
ÙS rot V.
®
âS®
kjer je
a) krog S = {(x,y,z); z=1, x^2+y^2<1}.
b) stozec S = {(x,y,z); z=Sqrt[x^2+y^2], z < 1}.
c) krogelna kapica S = {(x,y,z); x^2+y^2+z^2=2, z > 1}.
Narisi krivuljo C iz 5.naloge in posamezno ploskev S v isto sliko!
Primerjaj dobljene rezultate z rezultatom prejsnje naloge!
<< "VectorAnalysis`"
Clear@x, y, zDV = 9x y, x z, z2= ;
rotV = Curl@V, Cartesian@x, y, zDDx = r Cos@fiD;y = r Sin@fiD;z = 1 ; H* Eksplicitna ea ba ploskve za primere aL bL in cL *Ls = 8x, y, z<;PloskevA = ParametricPlot3D@s, 8r, 0, 1<, 8fi, 0, 2 Pi<D;Show@Krivulja, PloskevAD
ni = Cross@D@s, rD, D@s, [email protected], 8r, 0, 1<, 8fi, 0, 2 Pi<D
[email protected], 8r, 0, 1<, 8fi, 0, 2 Pi<D8-x, 0, -x + z<
vaja5.nb 7
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
90, 0, r Cos@fiD2+ r Sin@fiD2=
Π
8 vaja5.nb
Clear@x, y, zDV = 9x y, x z, z2= ;
rotV = Curl@V, Cartesian@x, y, zDDx = r Cos@fiD;y = r Sin@fiD;z = r; H* Eksplicitna ea ba ploskve za primere aL bL in cL *Ls = 8x, y, z<;ni = Cross@D@s, rD, D@s, [email protected], 8r, 0, 1<, 8fi, 0, 2 Pi<DPloskevA = ParametricPlot3D@s, 8r, 0, 1<, 8fi, 0, 2 Pi<D;Show@Krivulja, PloskevAD8-x, 0, -x + z<9-r Cos@fiD, -r Sin@fiD, r Cos@fiD2
+ r Sin@fiD2=Π
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
vaja5.nb 9
Clear@x, y, zDV = 9x y, x z, z2= ;
rotV = Curl@V, Cartesian@x, y, zDDx = r Cos@fiD;y = r Sin@fiD;z = Sqrt@2 - r^2D ; H* Eksplicitna ea ba ploskve za primere aL bL in cL *Ls = 8x, y, z<;ni = Cross@D@s, rD, D@s, [email protected], 8r, 0, 1<, 8fi, 0, 2 Pi<DPloskevA = ParametricPlot3D@s, 8r, 0, 1<, 8fi, 0, 2 Pi<D;Show@Krivulja, PloskevAD8-x, 0, -x + z<
: r2 Cos@fiD2 - r2
,r2 Sin@fiD
2 - r2, r Cos@fiD2
+ r Sin@fiD2>
Π
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
-1.0-0.5
0.00.5
1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
zGnuDRIObWJJ2Nk6vaOcsS/teVj+zsEd3MMdjJywc1ag8jjs
10 vaja5.nb
Clear@x, z, yDV = Hx^2 + y^2 + z^2L 8x, y, z<divV = Div@V, Cartesian@x, y, zDDx = r Cos@fiDy = r Sin@fiDz = 2 - r^2
s = 8x, y, z<PloskevA = ParametricPlot3D@s, 8r, 0, Sqrt@2D<, 8fi, 0, 2 Pi<D
ni = Cross@D@s, rD, D@s, [email protected], 8r, 0, Sqrt@2D<, 8fi, 0, 2 Pi<D
Clear@zDIntegrate@divV * r, 8r, 0, Sqrt@2D<, 8fi, 0, 2 Pi<, 8z, 0, 2 - r^2<D
9x Ix2 + y2 + z2M, y Ix2 + y2 + z2M, z Ix2 + y2 + z2M=5 x2 + 5 y2 + 5 z2
r Cos@fiDr Sin@fiD2 - r2
9r Cos@fiD, r Sin@fiD, 2 - r2=
-1
01
-1
0
1
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
92 r2 Cos@fiD, 2 r2 Sin@fiD, r Cos@fiD2+ r Sin@fiD2=
40 Π
3
40 Π
3
vaja5.nb 11
