Klasična mehanika - fizika.unios.hr · 1.Sustavi čestica 1.1.Masa. Središte mase. 1.1. Tanka...
23
Klasična mehanika - vježbe 22. siječnja 2018.
Transcript of Klasična mehanika - fizika.unios.hr · 1.Sustavi čestica 1.1.Masa. Središte mase. 1.1. Tanka...
Klasična mehanika- vježbe
22. siječnja 2018.
***
Sadržaj
Uvod 1
I Mehanika sustava čestica 2
1 Sustavi čestica 31.1 Masa. Središte mase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Lagrangeovo i D’Alembertovo načelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Sudari čestica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Mali titraji sustava čestica 82.1 Mali longitudinalni titraji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Mali transverzalni titraji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Ravninsko gibanje krutog tijela 103.1 Moment tromosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Općenito ravninsko gibanje krutog tijela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3 Trenutno središte vrtnje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.4 Statika krutog tijela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 Prostorno gibanje krutog tijela 134.1 Tenzor tromosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
II Analitička mehanika 15
5 Lagrangeove jednadžbe 165.1 Varijacijski račun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6 Hamiltonove jednadžbe 18
Literatura 20
ii
Uvod
***
1
Dio I
Mehanika sustava čestica
2
1. Sustavi čestica
1.1. Masa. Središte mase.
1.1. Tanka žica je savijena u obliku zavojnice polumjera R i hoda h. Linijska masenagustoća je dana izrazom:
λm = A+B sin φ
gdje su A i B konstante, a φ je kut u ravnini okomitoj na os zavojnice, mjeren u odnosuna odabranu početnu točku. Ako su
x = R cos φ y = R sin φ z = h
2πφ
parametarske jednadžbe zavojnice, izračunajte duljinu i masu N zavoja zavojnice.
Rješenje:...
1.2. Izračunajte položaj središta mase tanke žice konstantne gustoće savijene u polukrugpolumjera R.
Rješenje:...
1.3. Izračunajte položaj središta mase polukružne ploče konstantne gustoće polumjeraR.
Rješenje:...
3
1. SUSTAVI ČESTICA 4
1.4. Izračunajte položaj središta mase polukugle konstantne gustoće polumjera R.
Rješenje:...
1.5. Izračunajte centar mase tijela sastavljenog od valjka visine H i polumjera baze R ipolukugle istog polumjera koja se nalazi na jednoj njegovoj bazi.
Rješenje:...
1.6. Iz kružnog diska polumjera R izreže se kružni disk polumjera R2 tako da se rubovi
diskova poklapaju. Pronađi centar mase takvog tijela.
Rješenje:...
Zadaci za vježbu
1.7. Izračunajte centar mase stožca konstantne gustoće visine H i polumjera baze R.
1.8. Tijelo se sastoji od stožca i polukugle jednakih polumjera. Pokažite da se ovakvotijelo na ravnoj podlozi može nalaziti u ravnoteži ako i samo ako je kut pri vrhu stožcaα veći od 60 stupnjeva.
1.9. Izračunaj masu kugle polumjera R čija je gustoća maksimalna u središtu i iznosiσ0, smanjuje se linearno s udaljenosti od središta sfere i iznosi 0 na rubu.
1.10. Izračunaj masu kocke brida a čija se gustoća mijenja kao σ = σ0xy2
1. SUSTAVI ČESTICA 5
1.11. Izračunaj centar mase žice konstantne gustoće savijene u polukrug polumjera R.
1.12. Izračunaj centar mase četverostrane piramide čija je duljina stranica baze jednakab, a visina h.
1.13. Izračunaj centar mase stošca visine H i polumjera baze R čija se gustoća mijenjakao σ = σ0
H (H − z).
1.14. Izračunaj centar mase područja omeđenog krivuljama y = x2 i y = H.
1.15. Izračunaj centar mase štapa duljine L čija se gustoća povećava linearno s udalje-nosti od jednog kraja.
1.16. Izračunaj centar mase kocke brida a čija se gustoća mijenja kao σ = σ0xy2
1.2. Lagrangeovo i D’Alembertovo načelo
1.17. Dvije mase m1 i m2 nalaze se na dvostrukoj kosini bez trenja. Spojene su tankomnerastezivom niti zanemarive mase preko koloture na vrhu kosine. Koristeći se principomvirtualnog rada pokažite da je za stanje ravnoteže potrebno:
sin α1sin α2
= m2m1
Rješenje:...
1.18. Koristeći D’Alembertovo načelo, opišite gibanje masa na dvostrukoj kosini.
Rješenje:...
1. SUSTAVI ČESTICA 6
Zadaci za vježbu
1.19. Ljestve duljine l i mase m oslonjene su na zid. Podnožje ljestava vezano je užetomza dno zida. Ako ljestve čine kut α u odnosu na horizontalu, pronađite napetost užeta.
1.20. Na udaljenosti a1 i a2 od nepomičnog uporišta vage nalaze se tijela masa m1 i m2.Koristeći Langrangeovo načelo nađite uvjet ravnoteže.
1.21. Tijelo koje se sastoji valjka i polukugle nalazi se na horizontalnoj podlozi balansi-rajući na polukugli. Pokažite da je u stabilnoj ravnoteži ako i samo ako je
R
H>√
2
1.22. Tijelo se sastoji od stožca i polukugle jednakih polumjera. Pokažite da se ovakvotijelo na ravnoj podlozi može nalaziti u ravnoteži ako i samo ako je kut pri vrhu stožcaα veći od 60 stupnjeva.
1.3. Sudari čestica
1.23. Ako lopta udari u zid brzinom ~v kojom brzinom će se odbiti ako ovaj sudar nijeelastičan? Promatrajte sudar lopte i zida kao sudar dvije kuglice uz odgovarajuće uvjete.
Rješenje:...
Zadaci za vježbu
1.24. Loptu ispustimo s visine H. Nakon udara u tlo odbije se do visine h. Izračunajtekoeficijent restitucije. Koju udaljenost prijeđe lopta prije nego se zaustavi na podu?
1.25. Dvije čestice masa m i M gibaju se duž osi x brzinama v1 i V1. U jednom trenutkuone se sudare te se zatim gibaju brzinama v2 i V2. Pokaži da je brzina centra mase
1. SUSTAVI ČESTICA 7
sustava prije i nakon sudara jednaka.
2. Mali titraji sustava čestica
2.1. Mali longitudinalni titraji
2.1. Dvije jednake mase m međusobno su spojene oprugom konstante k i istovjetnimoprugama svaka za zid. Postavite jednadžbe titranja, izračunajte normalne frekvencijei modove titranja. Ako se u početnom trenutku prva masa nalazi u položaju ravnoteže,a drugu izvučemo u desno za iznos a, pronađite položaje masa u bilo kojem trenutku.
Rješenje:...
Zadaci za vježbu
2.2. Dvije jednake mase m povezane su oprugom te je jedna od njih vezana jednakomoprugom za zid.
1. Postavite jednadžbe gibanja sustava.
2. Nađite normalne frekvencije titranja.
3. Opišite normalne modove titranja.
2.3. Dvije mase m1 i m2 povezane su oprugom konstante elastičnosti k. Pronađitefrekvenciju titranja ovakvog sustava, a konačni odgovor izrazite preko reducirane maseµ. Pomoć: 1
µ = 1m1
+ 1m2
8
2. MALI TITRAJI SUSTAVA ČESTICA 9
2.2. Mali transverzalni titraji
2.4. Nit s nepomičnim krajevima izvučemo iz položaja ravnoteže na njenoj sredini zavisinu H i pustimo da titra. Pronađite pomak svakog dijela žice u bilo kojem trenutku.
Rješenje:...
2.5. Riješite jednadžbu∂2Ψ∂t2
= 9∂2Ψ∂x2
s uvjetimaΨ(0, t) = Ψ(2, t) = 0
Ψ(x, 0) = 0, 05x(2− x)
Rješenje:...
Zadaci za vježbu
3. Ravninsko gibanje krutog tijela
3.1. Moment tromosti
3.1. Tri čestice masa m, 2m i 3m nalaze se redom u točkama (0, 0, 1), (0, 1, 2) i (1, 2, 3).Izračunajte momente tromosti ovog sustava čestica oko osi x, y i z.
Rješenje:...
3.2. Izračunajte moment tromosti tankog homogenog štapa mase m i duljine l u odnosuna os koja je okomita na njega, a prolazi(a) njegovim središtem.(b) jednim njegovim krajem.(c) točkom udaljenom za ld od jednog njegovog kraja, pri čemu je 0 < d < 1.
Rješenje:...
3.3. Izračunajte momemt tromosti kružne ploče polumjera R oko osi koja prolazi njenimsredištem i okomita je na nju. Izračunajte moment tromosti iste ploče oko njene osisimetrije.
Rješenje:...
10
3. RAVNINSKO GIBANJE KRUTOG TIJELA 11
3.4. Izračunajte moment tromosti kugle oko osi koja prolazi njenim središtem.
Rješenje:...
3.2. Općenito ravninsko gibanje krutog tijela
3.5. Valjak polumjera R i mase m kotrlja se bez klizanja niz kosinu nagiba α. Izračunajakceleraciju valjka niz kosinu.
Rješenje:...
3.3. Trenutno središte vrtnje
3.6. Riješite prethodni zadatak koristeći trenutno središte vrtnje.
Rješenje:...
3.4. Statika krutog tijela
3.7. Ljestve su oslonjene na zid i tvore kut α s podlogom. Koliki minimalno mora bitikoeficijent trenja između ljestava i podloge da bi se čovjek težine G mogao popeti dovrha ljestava?
Rješenje:...
3. RAVNINSKO GIBANJE KRUTOG TIJELA 12
Zadaci za vježbu
3.8. Izračunaj moment tromosti oko x, y i z-osi sustava triju čestica masa 2m, 1m i 4mkoje se nalaze u točkama (1, -1, 1), (2,0,2), (-1, 1, 0).
3.9. Izračunaj moment tromosti četverostrane piramide stranice baze a i visine h okoosi koja prolazi vrhom piramide i okomita je na bazu.
3.10. Izračunaj moment tromosti četverostrane piramide stranice baze a i visine h okoosi koja prolazi njenim vrhom i paralelna je s bazom.
3.11. Izračunaj moment tromosti kugle oko osi koja prolazi njenim središtem.
3.12. Izračunaj moment tromosti elipsoidne ploče koja leži u x-y ravnini sa središtemmase u ishodištu oko x, y i z osi.
3.13. Izračunaj moment tromosti polukružnog diska oko osi simetrije.
3.14. Izračunaj moment tromosti kocke oko osi paralelne s jednim njenim bridom.
3.15. Kugla polumjera r i mase m miruje na većoj kugli polumjera R i mase M . Manjukuglu lagano pomaknemo iz položaja ravnoteže tako da se krene kotrljati bez klizanjaniz veću kuglu. Kada će se manja kugla odvojiti od veće?
3.16. Ljestve su jednim svojim krajem naslonjene na zid pod nekim kutom α u odnosuna podlogu. Nađite najmanji mogući kut α za koji će ljestve biti u ravnoteži. Zanemaritetrenje između ljestvi i zida.
3.17. Dva štapa duljine a i b spojena su na svojim krajevima pod pravim kutom. Ako senjihovo spojište postavi na tanko okomito uporište, izračunajte kuteve α i β koje štapovizatvaraju u odnosu na okomicu.
3.18. Izračunaj moment tromosti valjka oko osi koja je okomita na njegovu os simetrijei prolazi kroz središte mase.
4. Prostorno gibanje krutog tijela
4.1. Tenzor tromosti
4.1. Izračunajte tenzor tromosti kvadratne ploče oko njenog vrha.
Rješenje:...
4.2. Izračunajte glavne momente tromosti za kvadratnu ploču koristeći izračunati tenzortromosti.
Rješenje:...
4.3. Pronađite glavni osi za kvadratnu ploču iz prethodnih zadataka.
Rješenje:...
Zadaci za vježbu
4.4. Izračunaj tenzor tromosti kocke brida a oko jednog njenog vrha.
13
4. PROSTORNO GIBANJE KRUTOG TIJELA 14
4.5. Izračunaj glavne momente tromosti oko središta mase sustava dvaju čestica masam1 i m2 povezanih štapom duljine L zanemarive mase.
Dio II
Analitička mehanika
15
5. Lagrangeove jednadžbe
5.1. Napišite lagranžijan i Lagrangeove jednadžbe za matematičko njihalo.
Rješenje:...
5.2. Masa M2 visi se jedne strane koloture, dok se s druge strane nalazi kolotura maseM1 preko koje su povezane dvije manje masem1 im2. Koliko stupnjeva slobode ima ovajsustav? Pronađite lagranžijan, i koristeći Lagrangeove jednadžbe izračunajte ubrzanjemase M2.
Rješenje:...
5.3. Dvije čestice mase m na horizontalnoj podlozi bez trenja povezane su oprugom iistovjetnim oprugama za obližnje zidove. Kako glasi lagranžijan ovog sustava? PronađiteLagrangeove jednadžbe.
Rješenje:...
5.4. Čestica mase m pod utjecajem gravitacije giba se po unutarnjoj površini rotacijskogparaboloida određenog jednadžbom x2 + y2 = az. Ako je gibanje bez trenja, pronađitejednadžbe gibanja.
Rješenje:...
5.5. Izvedite jednadžbe gibanja za dvostruko matematičko njihalo.
16
5. LAGRANGEOVE JEDNADŽBE 17
Rješenje:...
5.6. Matematičko njihalo ovješeno je o pomično ovjesište. Izračunajte položaj masematematičkog njihala u bilo kojem trenutku.
Rješenje:...
5.1. Varijacijski račun
5.7. Pronađite krivulju koja spaja dvije točke u ravnini i duljina joj je najmanja.
Rješenje:...
5.8. Čestica pada u konstantnom gravitacijskom polju. Po kojoj krivulji bi se trebalačestica od točke A do točke B da bi vrijeme padanja bilo najmanje?
Rješenje:...
6. Hamiltonove jednadžbe
6.1. Napišite hamiltonijan čestice u sfernim koordinatama ako se nalazi u polju konzer-vativne sile.
Rješenje:...
6.2. Ako je potencijal u prethodnom zadatku oblika V = −Kcos θr2 , napišite Hamilton -
Jacobijevu jednadžbu i nađite njeno rješenje.
Rješenje:...
6.3. Koristeći Hamiltonove jednadžbe, pronađite jednadžbu gibanja tijela koje klizi nakosini.
Rješenje:...
Zadaci za vježbu
6.4. Spiegel 11.26
6.5. Spiegel 11.35
6.6. Izrazite Lagranžijan za masu koja vrši slobodni pad u gravitacijskom polju.
18
6. HAMILTONOVE JEDNADŽBE 19
6.7. Čestica se giba u polju sile sa potencijalom V . Napište Hamiltonijan i Hamiltonovejednadžbe u pravokutnom koordinatnom sustavu.
6.8. Koristeći Hamiltonove jednadžbe, riješite problem višedimenzijskog oscilatora.
Literatura
Glumac, Zvonko. Klasična mehanika - kratak uvod.
Goldstein, H. Poole, C. Safko J. Classical Mechanics. Addison-Wesley
Spiegel, M. R. Theory and Problems of Theoretical Mechanics. McGraw-Hill, 1967.
Wells, D. A. Theory and Problems of Lagrangian Dynamics. McGraw-Hill, 1967.
20
