KIRGIZĠSTAN TÜRKĠYE MANAS ÜNĠVERSĠTESĠ FEN...
30
KIRGIZĠSTAN-TÜRKĠYE MANAS ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLER ENSTĠTÜSÜ MATEMATĠK ANABĠLĠM DALI HĠPERGEOMETRĠK SERĠLER VE UYGULAMALARI YÜKSEK LĠSANS TEZĠ Sefa UTOĞLU BĠġKEK-2011
Transcript of KIRGIZĠSTAN TÜRKĠYE MANAS ÜNĠVERSĠTESĠ FEN...
KIRGIZĠSTAN-TÜRKĠYE MANAS ÜNĠVERSĠTESĠ FEN
BĠLĠMLER ENSTĠTÜSÜ MATEMATĠK ANABĠLĠM DALI
HĠPERGEOMETRĠK SERĠLER VE UYGULAMALARI
YÜKSEK LĠSANS TEZĠ
Sefa UTOĞLU
BĠġKEK-2011
KIRGIZĠSTAN-TÜRKĠYE MANAS ÜNĠVERSĠTESĠ FEN
BĠLĠMLER ENSTĠTÜSÜ MATEMATĠK ANABĠLĠM DALI
HĠPERGEOMETRĠK SERĠLER VE UYGULAMALARI
YÜKSEK LĠSANS TEZĠ
Sefa UTOĞLU
Tez DanıĢmanı
Prof.Dr.Ramiz RAFATOV
BĠġKEK-2011
İntihal Yapılmadığını Belirten İfade
Ben bu tezdeki bütün bilgileri akademik ve etik kurallara göre aldığımı ve
sunduğumu belirtiyorum.Bu çalıĢmaya özgün olmadan kullandığım bütün materyal ve
bilgilere akademik ve etik kurallar gereğince atıfta bulunduğumu ve hiçbir Ģekilde
intihal yapmadığımı açıkça bildiriyorum.
ĠSĠM,SOYAD: Sefa UTOĞLU
ĠMZA:
TARĠH:
Плагиат жасалбагандыгы тууралуу билдируу
Мен бул эмгекте алынган бардык маалыматтарды академияалык жана
этикалык эрежелерге ылайык колдондум.Тагыраак айтганда бул эмгекте
колдонулган бирок мага тишелүү болбогон малыматтардын бардыгын тиркеьеде
так көрсөттүм жана эч кайы жерден плагиат жасалбагандыгына ынандырып
кетким келет.
АТЫ,ЖӨНҮ: Сефа УТОГЛУ
КОЛУ:
ДАТАСЫ:
KIRGIZĠSTAN TÜRKĠYE
MANAS ÜNĠVERSĠTESĠ
FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ MÜDÜRLÜĞÜNE
Matematik Anabilim dalı,Matematik Bilim dalı’nda 0951Y03002 numaralı
Sefa UTOĞLU’nun hazırladığı “Hipergeometrik Seriler ve Uygulamaları” konulu
Yüksek Lisans ile ilgili tez savunma sınavı, ../../ 2011 günü ..-.. saatleri arasında
yapılmıĢ, sorulan sorulara alınan cevaplar sonunda adayın
tezinin.................olduğuna..........ile karar verilmiĢtir.
Jüri BaĢkanı
Doç.Dr.Ümetaliev Marat
Ġ.Razzakov KDTÜ
Üye (Tez DanıĢmanı) Üye
Prof. Dr. Ramiz RAFATOV Prof. Dr. Avıt Asanov
Kırgızistan-Türkiye Manas Üniversitesi Kırgızistan-Türkiye Manas Üniversitesi
Üye Üye
Prof. Dr. Asan ÖMÜRALĠEV Öğr. Gör. Dr. Elmira ABDILDAYEVA
Kırgızistan-Türkiye Manas Üniversitesi Kırgızistan-Türkiye Manas Üniversitesi
ЧЕЧИМ
Кыргыз-Түрк Mанас университетинин Табигый илимдер институтунун
экзамендик инструкциясынын ………….. жобосун,………….№ жыйынында
уюшулган комиссия, математика бөлүмүнүн магистранты Сефа УТОГЛУ
«ГИПЕРГЕОМЕТРИЯЛЫК КАТАР ЖАНА МИСАЛДАРЫ» темасында жазган
магистрдик диссертацияны анализдеп, …../…../2011 ж. саат ……..дө жактоого
кабыл алды.
Магистрант ……..минута убакыт ичинде дипломдук магистрдик
диссертацияны жактап, комиссия……………….(көпчүлүк добуш менен/бир
добуштан)…………….. (Кабыл алынбайт/ Кабыл алынсын /Кайра оңдолсун) деген
чечим чыгарды.
Жюри төрагасы
Т.и.к., доц. Үметалиев Марат
И. Раззаков атындагы КГТУ
Жюри мүчөсү Жюри мүчөсү
Ф.-м.и.д., проф. Рамиз Рафатов Ф.-м.и.д., проф. Авыт Асанов
Кыргыз-Түрк Манас Университети Кыргыз-Түрк Манас Университети
Жюри мүчөсү Жюри мүчөсү
Ф.-м.и.д., проф. Асан Өмүралиев Др.Элмира АБДЫЛДАЕВА
Кыргыз-Түрк Манас Университети Кыргыз-Түрк Манас Университети
……./……./2011
ÖZ
Yazar : Sefa UTOĞLU
Üniversite : Kırgızistan Türkiye Manas Üniversitesi
Anabilim Dalı : Fen Bilimleri
Bilim Dalı : Matematik
Tezin Niteliği : Yüksek Lisans Tezi
Sayfa Sayısı : IX+18
Mezuniyet Tarihi : Aralık 2011
Tez DanıĢmanı : Prof.Dr. Ramiz RAFATOV
HİPERGEOMETRİK SERİLER VE UYGULAMALARI
Bu tezde sayılar teorisi, fizik, istatistik, ve bilgisayar alanlarında birçok
uygulamaya sahip olan hipergeometrik serilerin bazı özellikleri verilmiĢtir.
Ġlk olarak tez için gerekli olan genel tanımlar ve konu için kullanacağımız
bazı temel toremler içermektedir.Hipergeometrik fonksiyonların kullanım alanlarından
bahsedilmiĢtir.Ġkinci dereceden lineer denklem yardımıyla Hipergeometrik denklemi ve
Hipergeometrik fonksiyonlar elde edilmiĢtir.
Ardından bazı toplama ve dönüĢüm formülleriyle hipergeometrik denklemler
hakkında bilgi ,toremler ve uygulamalar verilmiĢtir. En sonunda temel Hipergeometrik
Seriler hakkında teoremler ispat edilmiĢtir.
Anahtar Kelimeler: Hipergeometrik Seri, Hipergeometrik Fonksiyon, Hipergeometrik
Denklem.
III
КЫСКАЧА МАЗМУНУ
Даярдаган : Сефа УТОГЛУ
Университет : Кыргызстан-Туркия Манас Университети
Институт : Табигий Илимдер Институту
Багыты : Математика
Иштин сыпаты : Магистрстура
Беттердин саны : IX+18
Бүтүрүү датасы : Декабр 2011
Диссертация жетекчиси : Проф. Док Рамиз РАФАТОВ
ГИПЕРГЕОМЕТРИЯЛЫК КАТАР ЖАНА МИСАЛ ДАРЫ
Бул изилдөөдө сан теориясы, физика, статистика жана компьютер
чөйрөсүндөгү гипергеометрикaлык катарлардын кээ бир өзгөчөлүктөрү берилди.
Биринчи кезекте, изилдөөдө керек болгон жалпы мүнөздөмөлөр жана тема үчүн
колдонула турган кээ бир негизги теоремалар бар.
Изилдөөдө гипергеометрикaлык функциялардын колдонуусу жөнүндө
да айтылды. Экинчи даражадагы сызыктуу теӊдемесинин жардамы менен
гипергеометрикaлык теӊдеме жана гипергеометрикaлык функциялар алынды.
Кээ бир кошуу жана айлануу формулалары менен гипергеометрикaлык
теӊдемелер жөнүндө маалымат берилди. Эӊ акырында жалпы
гипергеометрикaлык катарлар жөнүндө теориялар далилденди.
Ачкыч сөздөр: Гипергеометрикaлык катар, Гипергеометрикaлык функция,
Гипергеометрикaлык тендеме.
IV
АБСТРАКT
Автор : Сефа УТОГЛУ
Университет : Кыргызстан-Турция Манас Университети
Институт : Естественных Наук
Кафедра : Математика
Качество диссертации : Магистрaтура
Количество страниц : IX+18
Дата выпуска : Декабр 2011
Руководитель диссертации : Проф. Док.Рамиз РАФАТОВ
ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД И ИX ПРИЛОЖЕНИЯ
В этом дисертации даны некоторые особенности гипергеометрических
ряд в сфере теории цифр, физики, статистики и компьютера.
В первую очередь в дисертации даны необходимые общие определения и
теоремы.
Здесь использоваться о применениях гипергеометрических функций. С
помощью линейного уравнения во второй степени была получена
гипергеометрическая функция и гипергеометрическое уравнение.
В дисертации даны информации о некоторых формулах сложения,
превращения в гипергеометрических уравнениях. В конце дисертации были
доказаны теории общего гипергеометрического ряда.
Ключевые слова: гипергеометрически ряд, гипергеометрическая функция,
гипергеометрическое уравнение
V
ABSTRACT
Prepared by : Sefa UTOĞLU
University : Kyrgyzstan-Turkey Manas University
Institute : Natural Sciences
Department : Mathematics
Thesis Level : Master Thesis
Number of Pages : IX+18
Graduate Date : December 2011
Thesis Advisor : Prof.Dr. Ramiz RAFATOV
HYPERGEOMETRİC SERİES AND THEİR APPLİCATİONS
In this thesis, some properties of Hypergeometric Series, which is involved in
the areas of number theory, physics, statistics and computer science, were given.
First of all, the general definitions necessary for the thesis and some basic
theorems that will be used to explain the topic were taken in hand. The using areas of
the Hyperfeometric functions were mentioned. By means of quadratic linear equations,
Hypergeometric equations and Hypergeometric functions were obtained.
After that, with some summation and transformation formulas, inormation,
theorems and applications were given. Finally, the theorems about Basis
Hypergeometric Series were proved.
Keywords: Hypergeometric Series, Hypergeometric Function, Hypergeometric
Equation.
VI
TEŞEKKÜR
Bu çalıĢmamım bütün aĢamalarında bana ayırdığı kıymetli zamanı ve paylaĢtığı
çok değerli bilgileri ile bana yol gösteren sayın hocam Prof.Dr.Ramiz RAFATOV’a ,
çalıĢmamda zaman noktasında vermiĢ olduğu büyük destekten dolayı Enstitü
Müdürümüz sayın Prof.Dr. Zafer GÖNÜLALAN’a , değerli yardımlarından dolayı
bölüm baĢkanımız Prof.Dr.Avıt ASANOV’a, ilgilerinden dolayı enstitiümüzün kıymetli
sekreteri Bakıt RAHĠMOV’a ve ayrıca herzaman bana destek veren aileme
teĢekkürlerimi sunarım.
VII
İÇİNDEKİLER
Sayfa
TEZ ONAY SAYFASI………………………………………………...... II
ÖZ……………………………………………………………………..... III
КЫСКАЧА МАЗМУНУ..........................................................................IV
АБСТРАКТ................................................................................................V
ABSTRACT……………………………………………………………..VI
TEġEKKÜR................................................................................................VII
ĠÇĠNDEKĠLER............................................................................................VIII
SĠMGELER ……………………………….................................................IX
GĠRĠġ………………………………………………………..........………1
1. Hipergeometrik Seriler ve Fonksiyonlar..................…………………2
2. Hipergeometrik Denklemler.........……………………………………9
3. Temel Hipergeometrik Seriler.............……………………………….14
Kaynaklar.....…………………………………………………………….18
VIII
SİMGELER VE KISALTMALAR LİSTESİ
F a,b;c; z : Hipergeometrik fonksiyon
J x : Bessel fonksiyonu
B u,v : Beta fonksiyonu
l P x : Legendre polinomu
z : Gamma fonksiyonu
z,b : TamamlanmamıĢ Gamma fonksiyonu
IX
1. Hipergeometrik Seriler ve Fonksiyonlar
Açıklama: Eğer n
n
cc 1 denklemi n-ye bağımlı rasyonel fonksiyon ise, o halde nc -
serisine Hipergeometrik serisi denir. Buradan n indeksi sıfırdan baĢlayan pozitif
değerlere sahip olur , bu durumdan seri aĢağıdaki gibi tanımlanır:
,!...
...x;
,...,
,...,
0 1
1
1
1
n nqn
n
npn
q
p
qpnbb
xaa
bb
aaF
.
(1)
Burada
.0,1
,...,2,1,1...1
n
nnaaaa n (2) olur.
(1) serisi qp olduğunda herhangi bir x için toplam seri olur, ve en azından rasyonel
sayıların bölünen kısmından en az bir tanesi de olsa sıfıra veya negatif sayıya eĢit olmaz
ise:
Seri 1 qp ise 1x için 1 qp olunca sadece 0x için toplama olur.
Örnek olarak binom serisin alabiliriz.
.
!x;
0
01
n
n
n
n
xaaF (3)
Bu seri sadece 1x için toplama serisi olur , fakat binom teoremi
ax
aF
1x;01 , (4)
yardımıyla toplanabilir.
Bu özellik
x;01
aF fonksiyonun 1x den x kadarki on defa çizgiyi
kesen karmaĢık x -in değerlerine analitik yaklaĢım için yol olur.
(3) serisini kendisi ile çarparak x in eĢit derecelerinin katsayılarını toplayarak
aĢağıdaki seriyi elde ederiz;
.
!
)(
)!(!
)(
0 n
ba
knk
ba nn
n
knk
(5)
k
k
nkn nbbb )1/()1()()( , (6)
(6) .formülünü kullanarak (5) serisini aĢağıdaki gibi yazarız;
.)(
)(1;
1
,12
n
n
b
ba
bn
anF
Eğer, bnc 1 olarak ifadeyi yazarsak, (6) eĢitliğinin yardımıyla aĢağıdaki denklemi
elde ederiz;
.)(
)(1;
,12
n
n
c
ac
c
anF
(7)
(5) serisinin değerini anlamak için aĢağıdaki gibi yazarız
.)1(
!
)(
11
1
1
)!(
)1()(
!
)1(
1
1 1
111
0
1ban
bab
knn
k
a
k nn
ba
n
k
n
k
kn
knb
k
ka
n
(8)
(8)denklemindeki toplamını k ya 3 defa bölelim : 0 dan nlog ye kadar; (n- nlog )
den n ye kadar; k nin kalan değerleriyle n yi sonsuza kadar götürürüz.. Limiti
hesaplamak için Gamma fonksiyonunda Euler’i kullanarak aĢağıdaki gibi yazarız:
an
nn
n
a
a
1
!
)(lim
)(
1, (9)
Veya
a
n nan
na
11)1(
1
. (10)
eĢitliği gibi yazarız.
Sonucunda aĢağıdaki ifadeye geliriz;
.0Re,0Re,)(
)()()1(
1
0
11
baba
badttt ba (11)
Dolayısıyla , (5) ve (7).ifadelerden,
.0Re),(0
1
aadtet ta (12)
sonucu elde edilir.
Bu integrallerin kullanımı Hipergeometrik serinin integral biçiminde ifade edilmesini
sağlar. Binom teoremi ve (11) formülü Euler integraline getirilir.
.)1()1()()(
)(x;
,, 1
0
11
12 dtttxtbcb
c
c
baF bcba
(13)
(13) formülünü t değişkeniyle aşağıdaki gibi değiştirebiliriz. tt 1 o halde
.1-x
x;
,)1(
)1()1()()(
)(x;
,,
12
1
0
11
12
c
bcaFx
dtttxtxbcb
c
c
baF
a
bbca
(14)
(13) integrali
x;
,12
c
baF fonksiyonun 1x den x kadarki on defa çizgiyi
kesen karmaĢık x -in değerlerine analitik yaklaĢımla ulaĢabiliriz. Onunla beraber b ve
с parametrelerine sınırlar konulur, çünkü (13) integrali bcb ReRe,0Re olunca
ancak toplanmalı olur.2
1Re x olunca 11
x
x olduğundan,
21Re x kümesinde
(14) formülü
x;
,12
c
baF fonksiyonu analitik yaklaĢımı kullanarak devam etmeye
yol açar, dolayısıyla (14) formülündeki parametrelere konulacak sınırlar iptal edilir.
Euler ifadesiyle );;;(12 õñâàFy fonksiyonu
01)xb(a-cyx)-x(1 abyy (15)
Diferensiyal denklemini sağlar. Ve
x
c
bcacFx bac ;
,)1( 12 (15) denkleminin
çözümü olacağını göstererek,
xc
bcacFx
c
baF bac ;
,)1(x:
,1212 (16)
Formülü bulundu.
Gaussun temel iĢlemi sonrası Hipergeometrik serilerini sistematik Ģekilde
geliĢmeye baĢlanmiĢ. Bir çift parametre bir farkla ifade edildiyse kalan parametreleri
çift çift birbirine eĢit iki fonksiyonuna 12 F ye komĢu fonksiyon denir. Eğer
);;,(12 xcbaFF fonksiyonu verildise o halde );;,1()( 12 xcbaFaF
fonksiyonu komĢu fonksiyon , aynı zamanda )( bF ve )( cF fonksiyonları F
fonksiyonu ile komĢu olurlar.
Gauss );;,(12 xcbaF serisi ve ona komĢu olan iki seri arasında lineer bağımlılık
gerçekleĢtiğini gösteriyor
Devamlı rasyonel için );;,(/);1;1,( 1212 xcbaFxcbaF Gauss yeni ayırımı
bulmuĢ. Bu ayırım aĢağıdaki gibi
...121
1
0
112
12
1
1
;,
;1
1,
xd
xd
xd
xc
baF
xc
baF
, (17)
Burada
)12()2(
)()(2
ncnc
nbcnad n , (18)
)22()12(
)1()1(12
ncnc
nacnbd n . (19)
12 F fonksiyonu için (14), (16) lineer değiĢimden baĢka bir parametreye bağlı olarak
seçtikten sonra karesel değiĢim gerçekleĢir. Bu değiĢimlerin özel ifadelerini Landen ve
Lagranj ispatlamıĢlardır, ondan sonra Gauss 12 F fonksiyonu için bir parametre
sınırladığı zaman genel ifade bulmuĢtur. Bu ifade krr )cos21( 2 fonksiyonu
ncos olarak Fourier serisine ayırdığında meydana gelecek sonucunu
göstermiĢtir.Gauss eĢitliği ;
1
02 cos2
)cos21(n
n
k naa
rr , (20)
burada
2
12 ;1
1,
!
)(r
n
kkFr
n
ka nn
n (21)
22
2
122
)1(
4;
1
2/)1(,2/)()1(
!
)(
r
r
n
nknkFrr
n
k nnkn
212222
)1(
4;
12
2/1,)1(
!
)(
r
r
n
nnkFrr
n
k nnkn
.)1(
4;
12
2/1,)1(
!
)(212
222
r
r
n
nnkFrr
n
k nnkn
Gauss karesel değiĢimi kullanarak aĢağıdaki sonuca ulaĢmıĢtır
);2/1;2,2())1(4;2/1;,( 1212 xbabaFxxbabaF . (22)
Bu sonuç Gaussun Hipergeometrik diferensiyal denklemiyle direk bağıntı
oluĢturmuĢtur.
bacbcac
bacc
c
baF
,
)()(
)()(1;
,12 (23)
Sonsuz serisi bac olduğu halde toplanma serisini ispatlamak için kullanmıĢtır.
.Pfaffanın toplamından:
.)()(
)()(1;
1,
,,23
nn
nn
bacc
bcac
ncbac
banF
(24)
n (23) formülü elde edilir.
Eğer 1y ve
2y fonksiyonları (15) denklemin çözümü ise o halde fonksiyonların
aĢağıdaki Hipergeometrik seriler yoluyla ispatlanacağını Klausen göstermiĢtir.
x
c
baFy ;
,121 (25)
x
c
cbcaFxy c ;
2
1,112
1
2 . (26)
Aynı zamanda Klausen 2
2
2
1 , yy ve 21yy fonksiyonları üçüncü derecedeki denklemi
sağlıyorsa, 2/1 bac ise 23 F fonksiyonu üçüncü derecedeki denklemin çözümü
olacağını aĢağıdaki sonuçla göstermiĢtir.
x
baba
babaFx
ba
baF ;
22,2/1
,2,2;
2/1
,23
2
12 . (27)
Diferensiyal denklemlerin bakıĢıyla Kummer 12 F fonksiyonun bir çok
özelliklerini tanımlamıĢtır. (15) denklemin 24 tane çözümü olduğunu göstermiĢtir. x in
pozitif derecesi olarak 4 dereceli seri çözümünü bulmuĢtur. Yani, yukarıda gösterilen 1y
ve 2y çözümü, aynı zamanda (16). formül yardımıyla bulunan sonuçlardır. DeğiĢimleri
bu kurallar ifadesiyle değiĢtirerek 111 )1(,1,,1 xxxxxxxxx ve
1)1( xx Hipergeometrik diferensiyal denklemi elde ederiz. Bu denklem 4 adet
çözümden oluĢan 5 adet grub halindedir. Bu çözümlerin 3 tanesi lineer bağımsız
çözümlerdir. Bu özellik 12 F fonksiyonun 1 den kadarki aralıkla pozitif doğruyu
kesen karmaĢık ifadelerle tanımlanır.
Kummer (15) denklemin 1x noktadaki özellikleri incelemiĢtir. Onun için (15)
denklemindeki değiĢim büyüklüğü bxx / değiĢim büyüklüğüyle değiĢtirerek
b giderken bx noktasına kaydırmıĢtır. Böyle değiĢim bx ve x olduğu
regular özel noktaları x olduğu regular olmayan özel noktalara geçebileceğini
bulmuĢtur. Ve bu değiĢimler sonucunda aĢağıdaki denklemi elde etmiĢtir
x
c
bcFex
c
bF x ;; 1111 . (28)
Elde edilen sonuçları 1x zamanında toparlayarak
x
ed
cbaF ;
,
,,23
fonksiyonuna kullanmıĢtır.Parametrele konulan bir sınır olarak karesel değiĢim yoluyla
x
c
baF ;
,12 fonksiyon araĢtırılmıĢtır.
Bu araĢtırmanın örneği (22) .ci formülde hesaplanmıĢtır. Bundan baĢka örnekler
olarak aĢağıdaki fonksiyonlar :
)1(
4;
122
2/1,)1(;
1
,212
22
12x
x
ab
abbFxx
ab
baF b , (29)
Parametre özel Ģekilde seçilerek 2/1x noktasındaki 12 F fonksiyonun değerini
hesaplamada (22).formülü (karesel değiĢtirmeyi) kullanmak mümkündür. O halde
aĢağıdaki formülü ele alırsak:
.)2/1()2/1(
)2/1()2/1(2/1;
2/1
2,212
ba
ba
ba
baF (30)
Parametrelerin ifadelerinde asıl ve baĢlangıç fonksiyonları Hipergeometrik
fonksiyonlar yardımıyla tanıtmak fonksiyonların en önemli özelliklerinden sayılır:
BaĢlangıç fonksiyonlar için örnekler:
,
,
Lejandrın polinomu:
Lejandrın fonksiyonu:
Bessel fonksiyonu:
2. Hipergeometrik Denklemler
Hipergeometrik veya Gauss denklemi aĢağıdaki biçimde ifade edilir:
01)xb(a--yx)-x(1 abyy (1)
Burada ,,ba -reel sayılar.
1x ve 0x noktaları (1) denklemdekinen farklı noktaları olur. 0x
naktasının yanında (1) denklemi aĢağıdaki gibi yazılır:
0
1
x
1)xb(a--
y2
00
yx
xab
y
xk
k
k
k
. (2)
0x noktasına denk gelen ifade aĢağıdaki gibi
01 . (3)
(3) denklemin kökleri 1,0 . Eğer -negatif sayı değilse, o halde Gauss
denklemi 1x olduğunda toplam iki lineer bağımsız çözümü bulabiliriz.
Örmek 1: 01)xb(a--yx)-x(1 abyy denklemin 1x ve -bütün ters
sayı olmayan andaki çözümünü bulalım;
Çözüm: Denklem ifadelerini bulalım, bunlar 1,0 . Ve daha 0
köklerine denk gelen çözümleri bulalım
0
1 )(k
k
k xcxy . (4)
(4) çözümdeki kc büyüklüğün değerini bulmak için (4)formülünde denklemi
yerine koyarak
0ckc1)xb(a--1-kkcx)-x(12k
k
2k
1
k
2k
2
k
kkk xabxx . (5)
x in eĢit derecedeki kat sayıların sıfıra eĢitleyerek, kc ye göre denklemini elde
etmiĢ oluruz.
,...2,1,0
,1
))((
1
)1(1
,0)1(111
1
11
k
ckk
kbkac
kk
abkbakkc
abckcbackckkckk
kkk
kkkkk
(6)
10 c diye kabul edelim kc nin kalan değerlerini yan yana bulalım
.,...1...21!
1...211...21...,
,...21!3
2121,
1!2
11, 321
kk
kbbbbkaaaac
bbbaaac
bbaac
abc
k
(7)
Dolayısıyla, aradığımız )(1 xy çözümü aĢağıdaki gibi yazılır
k
k
xkk
kbbbbkaaaaxy
1
11...21!
1...211...211)(
. (8)
(8) ifadedeki çözüme Hipergeometrik serisi denir ve 1x olunca toplama serisi
olur, bunun toplamına ise Hipergeometrik fonksiyon denir.
k
k
xkk
kbbbbkaaaaxbaF
1
121...21!
1...211...211),,,(
. (9)
Denklem )(1 xy çözümüyle lineer bağımsız ifadesini aĢağıdaki gibi yazabiliriz;
0
1
2 )(k
k
k xcxxy . (10)
Verilen denklemdeki aradığımız fonksiyonu yeni fonksiyonla değiĢtirirsek;
).()( 1 xzxxy (11)
O halde
)(1)()( 1 xzxxzxxy ,
)(1)(12)()( 11 xzxxzxxzxxy . (12)
(11), (12) formüllerini kullanarak verilen denklemi değiĢtirelim:
0)(-1b)-1(a)(x-1b)-1(a12(x)zx)-x(1 xzxz (13)
(13) Hipergeometrik denklem parametreleri olarak 2,-1b,-1a sayıları
alınır. (13) denkleminin çözümü Hipergeometrik seri Ģeklinde gözükür ve
xFxz ,2,-1b,-1a)( 12 Hipergeometrik fonksiyonu (13) denklemin çözümü
olur. (11) formül cinsinden verilen denklemin ikinci çözümüne sahip oluruz.
xFxxy ,2,-1b,-1a)( 121
2 . (14)
yani, 1x ve -negatif sayı olmadığı durumda (8) ve (14) formülleri cinsinden verilen
çözümü elde ederiz.
xFxcxFcxy ,2,-1b,-1a,,b,a)( 121
2121 , (15)
burada 21, cc -sabit sayılar, xFxF ,2,-1b,-1a,,,b,a 1212 ise
Hipergeometrik fonksiyonlardır.
Örmek 2: 01 ) xb(a--yx)-x(1 abyy denkleminin 1x noktasında
1ba -negatif sayı olmadığı durumda çözümünü bulalım.
Çözüm: Eğer tx 1 yerine koyma yoluyla sabit büyümeyi değiĢtirecek olursak; o
halde 1x noktası 0t noktasına geçer verilen denklem aĢağıdaki gibi değiĢir:
01)tb(a)-1b(a-y1)-t(t abyy . (16)
Ġfadedeki denklemin 0 çözümüne denk gelen (16). denklem çözümün derece
cinsindeki seri Ģeklinde hesaplayalım.
0
1 )(k
k
k tcxy . (17)
(17) formülündeki kc büyüklüğün değerini bulmak için (4). formülde verilen
denklemi yerine koyalım .
0ckc1)tb(a)-1b(a-1-kkc1)-t(t2k
k
2k
1
k
2k
2
k
kkk tabtt .
(18)
t nin eĢit derecedeki kat sayılarını sıfıra eĢitleyerek , kc ye göre denklemini
elde etmiĢ
oluruz.
,...2,1,0
,11
))((
11
)1(1
,0)1(1)1(11
1
11
k
ckbak
bkkac
kbak
abkbakkc
abckcbackbackkckk
kkk
kkkkk
(19)
10 c diye kabul edersek kc nin kalan değerlerin yan yana bulabiliriz.
.,......321!
1...211...21
,...321!3
2121
,21!2
11
,1
3
2
1
bakbababak
kbbbbkaaaac
bababa
bbbaaac
baba
bbaac
ba
abc
k
(20)
Dolayısıyla, aradığımız )(1 ty çözümü aĢağıdaki gibi yazılır
k
k
tbakbababak
kbbbbkaaaaty
1
1...321!
1...211...211)(
.
(21)
(21) çözümündeki seri Hipergeometrik seri denir ve 1t olunca toplama serisi
olur,ve toplamı Hipergeometrik fonksiyon denir
k
k
tbakbababak
kbbbbkaaaatbabaF
1
12...321!
1...211...211),1,,(
(22)
denklemin )(1 ty çözümüyle lineer bağımsız çözümünü aĢağıdaki gibi
yazabiliriz:
0
2 )(k
k
k
ba tctty . (23)
Verilen denklemdeki aranan fonksiyonu yeni fonksiyonla değiĢtirerek ;
).()( tztty ba (24)
O halde denklemin çözümü Hipergeometrik seri Ģeklinde gözükür ve
tbaabFtz ,1,,)( 12 Hipergeometrik fonksiyonu (24) formülüyle elde
edilen denklem çözüme ulaĢır. (24) formülü cinsinden ikinci çözümünü elde ederiz.
tbaabFtty ba ,1,,)( 122 . (25)
Dolayısıyla , 1t ve 1ba -negatif sayı olmadığı durumda (21) ve (25)
formülleriyle (16) denklemin çözümüne ulaĢırız.
tbaabFtctbabaFcty ba ,1,,),1,,()( 122121 , (26)
burada 21, cc -sabit sayılar,
tbaabFttbabaF ba ,1,,),,1,,( 1212 Hipergeometrik
fonksiyonlar.
yani tx 1 yerine koymayı hatırlarsak (21) ve (25) formülleri yardımıyle
verilen denklemin 1x noktasındaki lineer bağımsız çözümlerine sahip oluruz
)1,1,,()( 121 xbabaFxy ,
xbaabFxxyba
1,1,,1)( 122
. (27)
3. Temel Hipergeometrik Serisi
Açıklama: Eğer n
n
cc 1 ifadesi her hengi bir sabit q parametresini n.ci dereceden
bağımlı rasyonel fonksiyonu ise , o halde nc -serisi Temel Hipergeometrik Serisi
denir
Temel Hipergeometrik Serisi için q – binom teoremi aĢağıdaki gibi yazılır;
1,,
,
,
,
0
xqx
qaxx
na n
n n
n . (1)
Genel kabul görülen iĢareti hatırlayacak olursak, o halde
0
1,n
naqqa . (2)
ve
...,2,1,0,,
,,
nqaq
qaqa
nn (3)
AĢağıdaki gibi seriyi toplamalı Hipergeometrik serinin örneği gibi bakabiliriz:
n
n nnrpn
nnrrn
npn
rp
p
rpp xqqqbqb
qqaqaxq
bb
aa
0 1
2/)(
0
1
0
1,,....,
1,...,,,
,...,
,...,2
. (4)
(4) serisine benzer iki taraflı seri de toplamalı Hipergeometrik seri Ģeklinde kullanılır.
n
nrpn
nnrrn
npn
rp
p
rpp xqbqb
qqaqaxq
bb
aa
,....,
1,...,,,
,...,
,...,
1
2/)(
1
1
1
2
. (5)
ġimdi q- binom teoremini aĢağıdaki gibi gösterebiliriz.
1,;
;,;01
xqx
qaxxq
a . (6)
XVIII asırda L. Euler
xq,;
001 ,
xq,;
0
011 fonksiyonlarını böyle
tanımlamıĢtır.
,
;
1
;,;
0
0
01
qxqq
xxq
n n
n
(7)
qx
xqxq
n n
nnnn
;;
1,;
0
0
0
2/
11
2
. (8)
Ve aynı zamanda , Euler aĢağıdaki ifadeyi bulmuĢtur.
qqq nnn;1 2/3 2
. (9)
Eulerin (9) kuralındaki ifadeyi Gauss devam ettirerek aĢağıdaki sonuca
ulaĢmıĢtır.
q
xq
qxqqxq nnnn;;;1 2/2
. (10)
Geyne q –binom teoremini tekrar açarak 12 fonksiyonuna ilave etmiĢtir.
ÇaliĢmasında Gauss kurallarını sonuçlamıĢtır, dolayısıyla aynı tipteki kesintisiz
denklemler için iki ayrımı tanımlamıĢtır .
bqax
xbc
qcqx
qbqaxxq
c
ba,;
,/
);();(
);();(,;
,1212 (11)
c
abxq
c
bcac
qx
qc
abx
xqc
ba,;
/,/
);(
);(
,;,
1212 (12)
12 F fonksiyonu için q değiĢken sonucunu bulmakla denklemin bazı çözümlerini
de ilave etmiĢtir.
Tome (11) formülünü değiĢtirerek tam integralın q toplamasını veya sonucunu
(13) formülü cinsinden tanımlamıĢtır.
00
)()1()(n
nn
a
q qaqfqatdtf . (13)
Bu durumda 10 q .
Tome ),( 1 nn aqaq aralığında )( 1 nn qqa ağırlığı aynı değerde bölünen halinde
ise; a,0 kesintisindeki sabit miktarı diskret miktarına değiĢtirmeyi sunmuĢtur. O
halde q –binom teoreminin aĢağıdaki gibi yazılımı mümkündür.
);();(
);();(
);(
);(
0
1
qaqx
qqqaxx
qaq
qq n
nn
n
. (14)
Devamında !n nin q -sonucu aĢağıdaki gibi tanımlanır.
n
n
n
q qqqqqqn )1();()...1(...)1(1! 1 . (15)
(2). formülü kullanarak Gamma Fonksiyonu için (15) .formülünü sonuclandıralım.
n
nqq qqq
qqnn
)1();(
);(!)1(
1
veya
x
xqq qqq
qqnx
1)1();(
);(!)( (16)
Dolayısıyla, q integralın kullanarak ve a yı q , x i aq değiĢtirerek (14).
formülü tekrar kuralım.
)(
)()(
);(
);(1
0
1
a
atd
qtq
qtqt
q
q
a
, (17)
(17) formülü Euler integralinin q -sonucun gösterir.
)(
)()()1( 1
1
0
1
a
adttt a .
Geynenin ilk değiĢim tanımı, veya (11) formülü aĢağıdaki gibi yazılabilir
. tdtqtq
qtq
qxt
qxtqxq
q
qqq
a
qa
1
1
0
12);(
);(
);(
);(
)()(
)(,;
,
, (18)
Ve bu Eulerin integral cinsinden q açıklaması olur.
dtttxtxa
F a 1
1
0
1
12 )1()1()()(
)(;
,
. (19)
Tomenin çalıĢmalarından haberi olmayan Rodjes Geyne değiĢimleri anlatmaya
çalıĢmıĢtır. Parçalı interpretasyonları bulmakla yeni fonksiyonları tanımlayarak en
önemli eĢitliğe sahip olmuĢtur. EĢitliklerin içerisindeki (20) ve (21) formülleri
yardımıyla açıklanan eĢitlikler kısa sürede çalıĢma kapsamına alınmıĢtır.
);();(
1
);( 5450
2
qqqqqq
q
n n
n
(20)
);();(
1
);( 53520
2
qqqqqq
q
n n
nn
. (21)
Rodjersin önemli formüllerinin birinde duracak olursak. )|;( qbxCn polinom
kümelerini açıklayalım.
.112/;,1/;
,/;1/;1/;12
1
10
1
12
1
1
qbxqbxCqbxC
qbxCqbqbxCqqbxCbqx n
n
n
n
n
n
(22)
O haldeRodjersin formülüne sahip oluruz
,)|;(,,,)|;()|;(0
2
nm
k
kmnmn qbxCnmkaqbxCqbxC (23)
burada
bqbqqqqqqqqb
bqqbqbqbqqmnka
knmkknkmknm
knm
knmkkmknm
1;;;;;
1;;;;,,
2
2
22
2 . (24)
Eğer nm ise (23), (24) formüllerinen
baqababqab
cbacabba
qqqababqab
cbacba
,;,,,
,,,,,;
,,,
,,,
22
2222
45
222
34
(25)
Formülü meydana geleceğini Gasper göstermiĢtir.
Eğer iecqbqa ,, ise, o halde (25) formülüne 1q limite giderken
aĢağdaki tanımı eldeederiz.
tFtF ;
22,2
1
,2,2;
21
,23
2
12
, (26)
burada cos12 t . (26) formülü parçalanabilen seriler için yer alır , ve (25)
formülü parçalanabilen formüller için yer almaz.
Kaynaklar
1. Arhıpov G.Ġ. Matematik analiz dersi., Sayı, 1999.
2. VıgodskiyМ.Y. yuksek matematik sözlüğü, Sayı 1963.
3. Djekson Fourier Serisi ve Ortogonal Polinomları 1948.
4. Ġlyin В.А., Poznyak E.G. Matematik analizler temeli. М., Sayı, 1973.
5. Kleyn F. XIX yy Matematik geliĢimleri Sayı, 1974.
6. Lebedev N Özel fonksiyonlar ve kullanımları. 1963.
7. Nikifiriv L.F . Uvarov V.B. Fonksiyonların Özel Teorileri 1963.
8. Olver F. Asimptotlar ve Özel Fonksiyonlar Sayı, 1990.
9. Romaovskiy P.Ġ. Fourier Serisi. Alan teorisi. Analitik ve Özel Fonksiyonlar. Laplas
Transferi. Fiz-mat Literatur 1961.
10. Sımirnov V.Ġ.Yüksek matematik kursu Т. I. М., Sayı, 1974.
11. Uitteker,Vatson. Yeni analiz Kursu cilt 1,2
12. Fihtengold. Diferensiyal ve Ġntegral hesapları kursu
