KIDOLGOZOTT TÉTELEK AZ ÉRETTSÉGIRE

1/20

Mechanika elméleti összefoglaló

Reál tagozat- matematika-informarika és természettudomány szakok

TÉMÁK AZ ÉRETTSÉGIRE

1. Az anyagi pont kinematikája

1.1 Mozgás és nyugalom (helyzetvektor, sebesség, gyorsulás)

1.2 Az anyagi pont egyenes vonalú egyenletes mozgása

1.3 Az anyagi pont egyenes vonalú egyenletesen változó mozgása

2. A newtoni mechanika törvényei. Erőtípusok

2.1 Az I., II. és III. alaptörvény (tehetetlénség, a dinamika alaptörvénye, hatás-ellenhatás)

2.2 A nehézségi erő. Gravitációs tömegvonzás

2.3 A súrlódási erő. A csúszó súrlódás törvényei

2.4 A feszítőerő (a fonálban fellépő belső erő)

2.5 A rugalmas erő. A rugalmas test modellje

2.6 Hooke törvénye

3. A változási törvények. Megmaradási tételek a mechanikában

3.1 A mechanikai munka (mint folyamatmennyiség). A teljesítmény. Hatásfok

3.2 A mechanikai energia (mint állapotmennyiség)

3.3 Az anyagi pont mozgási energiája változásának a tétele

3.4 A gravitációs helyzeti energia

3.5 A mechanikai energia megmaradásának a törvénye

3.6 A konzervatív erők által végzett mechanikai energia

3.7 Az impulzus. Az impulzus változásának a tétele és az impulzus megmaradásának a törvénye

Elméleti összefoglaló FIZIKA ÉRETTSÉGI SZÉKELY MIKÓ KOLLLÉGIUM

2/20.

1. Az anyagi pont kinematikája 1.1. Mozgás és nyugalom

A testek mechanikai állapota kétféle lehet: mozgás és nyugalom. A mozgás és a nyugalomi állapot

viszonylagos (relatív). Minden esetben ahhoz, hogy meghatározzuk milyen mechanikai állapotban van

egy test egy vonatkoztatási rendszert (VR) kell választanunk. A VR kezdőpontjához viszonyítva

megnézzük, hogy változott vagy nem a test helyzete. Ha a test helyzete változik (növekszik vagy

csökken a távolság a test és a VR kezdőpontja között) a választott VR-hez viszonyítva, akkor azt

mondjuk mozgásban van, ha pedig nem változik a helyzete a VR-hez képest akkor nyugalomban van.

A mozgás leírásohoz különböző fizikai mennyiségeket használunk, mint: helyzetvektor,

elmozdulásvektor, sebesség- és gyorsulás vektor.

a) a mozgástörvény x=x(t)

A mozgástörvény egy olyan függvény, amely egy test helyzetét (x) adja meg bármely tetszőleges t-

időpillanatban, egy 0t -pillanatbeli állapothoz viszonyítva.

b) a sebesség, a sebességvektor (�� )

A sebesség (jele: v) az anyagi pontnak vagy véges kiterjedésű test egyetlen pontjának a mozgását

jellemző vektor.

A középsebességvektor ( v

) matematikailag a

következőképpen fejezhető ki:

t

rr

t

rv

−=

= 12

,

ahol r

a pálya 1P és 2P pontjait összekötő elmozdulásvektor

(𝑟 -a test pillanatnyi helyzetét adja meg a VR origójához

képest; tehát helyzetvektor),

t a 1P -től 2P -ig való elmozdulás időtartama.

A sebességvektor iránya és irányítása megegyezik a r

elmozdulásvektor irányával és irányításával.

Egy mozgás átlag (közép) sebessége a teljes elmozdulás osztva a teljes mozgási idővel. Nem számtani

középarányossal számolunk a legtöbb esetben. Egyenes vonalú egyenletes mozgásokból álló elmozdulás

során minden egyes szakasz összegezve, majd osztva a szakaszok megtételéhez szükséges ődőtartamok

összegével.

𝑣á𝑡𝑙𝑎𝑔 =𝑑ö𝑠𝑠𝑧

∆𝑡ö𝑠𝑠𝑧

A sebesség mértékegysége nemzetközi rendszerben:

s

m

t

rv

SI

SISI =

=

Egy méter per szekundum annak a mozgó testnek a sebessége, amely egységnyi idő alatt egységnyi

hosszúságot tesz meg.

Ha a pillanatnyi sebességet keressük, akkor az elmozdulás t időtartama olyan kicsi kell legyen, hogy

határértékben nullának tekintjük. (lim t →0). Ekkor a differenciál hányados (az elmozdulás idő szerinti

elsőrendű deriváltja) adja meg a sebesség pillanatnyi értékét.

𝑣 𝑝𝑖𝑙𝑙 =𝑑𝑟

𝑑𝑡

A pillanatnyi sebesség értelmezése: A test pályájához egy adott pontban

húzott érintő iránytényezője adja meg a sebesség értékét az adott pillanatban.


3/20.

c) a gyorsulás, a gyorsulásvektor

Ha egy test sebessége megváltozik, akkor van gyorsulása. A gyorsulása oka a tesre ható erő.

A közép gyorsulásvektor matematikailag a következőképpen adható meg:

12

12

tt

vv

t

va

−

−=

=

,

ahol 21 ,vv

a sebességvektorok a 1t ill. a 2t időpillanatokban.

A gyorsulás mértékegysége nemzetközi rendszerben:

2s

m

t

va

SI

SISI =

=

1 2s

m a gyorsulása annak a testnek, amelynek a sebessége egységnyi idő alatt 1

s

m-al változik meg.

A gyakorlatban használt más mértékegység a km/h vagy a cm/perc.

A gyorsulásvektor iránya és irányítása megegyezik a sebességváltozás-vektor 𝑣 irányával és

irányításával.

Vagyis, ha:

v0, akkor a test gyorsul és 𝑣 ↑↑ 𝑎 valamint ha v0, akkor a test lassul, tehát és 𝑣 ↑↓ 𝑎 :

Ha a pillanatnyi gyorsulást keressük, akkor a 𝑣 −sebességváltozás t időtartama olyan kicsi kell

legyen, hogy határértékben nullának tekintjük. (lim t →0). Ekkor egy differenciál hányados (a

sebességváltozás idő szerinti elsőrendű deriváltja vagy az elmozdulás idő mszerinti másodrendű) adja

meg a gyorsulás pillanatnyi értékét.

𝑎 𝑝𝑖𝑙𝑙 =𝑑𝑣

𝑑𝑡=

𝑑2𝑟

𝑑𝑡2

A pillanatnyi gyorsulás értelmezése: A test sebesség-idő grafikonjának egy

adott pontjába húzott érintő iránytényezője adja meg a gyorsulás értékét az

adott pillanatban.

1.2 az egyenes vonalú egyenletes mozgás törvénye

Egyenes vonalú egyenletes mozgásról akkor beszélünk, ha a mozgó test pályája egyenes, és a

sebességvektora (tehát a sebesség iránya, irányítása és számértéke is állandó) a mozgás során nem

változik (állandó). 𝑣 = á𝑙𝑙𝑎𝑛𝑑ó

Az egyenes vonalú egyenletes mozgás törvénye a következőképpen adható meg:

𝑥 = 𝑥𝑜 + 𝑣(𝑡 − 𝑡𝑜)

ahol v a mozgás sebessége, 0x a test (kezdőút) helykoordinátája a 0t időpillanatban, x a helykoordináta

egy tetszőleges t időpillanatban.

Ha nincs kezdő út: 0x =0, akkor: 𝑥 = 𝑣(𝑡 − 𝑡𝑜)

A legtöbb feladatban a kezdeti időpillanatot nullának tekintjük, tehát: to=0, vagyis:

𝑥 = 𝑣 ∙ 𝑡


4/20.

A mozgás grafikus képe egy egyenes x=x(t), a sebesség állandó és nincs gyorsulás a=0.

1.3 az egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás törvénye

Egyenes vonalú egyenletesen változó mozgásról akkor beszélünk, ha a mozgó test sebessége változó,

pályája egy egyenes és a gyorsulásvektor állandó 𝑎 = á𝑙𝑙𝑎𝑛𝑑ó (tehát a gyorsulás iránya, irányítása és

számértéke is állandó).

Az egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás törvénye a következőképpen adható meg:

𝑥 = 𝑥𝑜+ 𝑣𝑜 ∙ (𝑡 − 𝑡𝑜) +1

2𝑎 ∙ (𝑡 − 𝑡𝑜)

2

Ahol:

0v a kezdősebesség,

0x a test helykoordinátája a 0t - időpillanatban (kezdőút),

x - a helykoordináta egy tetszőleges t- időpillanatban és

a - a mozgó test gyorsulása.

Sebességtörvény: 𝑣 = 𝑣𝑜 + 𝑎(𝑡 − 𝑡𝑜)

Ha nincs kezdő út: 0x =0, akkor:

𝑥 = 𝑣𝑜 ∙ (𝑡 − 𝑡𝑜) +1

2𝑎 ∙ (𝑡 − 𝑡𝑜)

2

Ha a kezdeti időpillanat nulla, to=0, akkor:

𝑥 = 𝑣𝑜 ∙ 𝑡 +1

2𝑎 ∙ 𝑡2

És 𝑣 = 𝑣𝑜 + 𝑎𝑡

Galilei egyenlet: 𝑣2 = 𝑣𝑜2 + 2𝑎𝑥

Sebességtörvény: 𝑣 = 𝑣𝑜 + 𝑎(𝑡 − 𝑡𝑜)

A mozgás grafikus képe egy

parabola, mivel x=x(t) egy

másodfokú függvény időben.

A sebesség grafikonja egyenes, a gyorsulás állandó:


5/20.

a). gyorsuló mozgás b). lassuló mozgás

Sajátos esetek:

szabadesés (vo=0 és a=g) adott h-magasságból illetve a függőleges hajítás felfelé (vo0 és a= - g, mert

𝑎 ↑↓ 𝑔 ).

Szabadesés gravitációs mezőben:

vo=0

𝑎 ↓↓ 𝑔 𝑡𝑒ℎá𝑡: a=g=9,80665m/s29,8m/s2

𝑥 =1

2𝑔 ∙ 𝑡2

A test sebessége a t-pillanatban: 𝑣 = 𝑔𝑡 és x-távolság megtétele után:

𝑣2 = 2𝑔𝑥

Ha a test x=h magasságból esik a földre, akkor az esési idő és a

becsapódási sebesség a föld felszínén:

𝑡𝑒𝑠é𝑠 = √2ℎ

𝑔

𝑣𝑓ö𝑙𝑑 = √2𝑔ℎ

Függőleges hajítás felfelé gravitációs mezőben:

Egy test csak kezdősebességgel vo0 tud

felemelkedni a föld felszínéről, mert a nehézségi erő

ellenszegül az elmozdulásnak. 𝑎 ↑↓ 𝑔

a= - g= - 9,80665m/s2-9,8m/s2

𝑥 = 𝑣𝑜 ∙ 𝑡 −1

2𝑔 ∙ 𝑡2

𝑣 = 𝑣𝑜 − 𝑔𝑡

𝑣2 = 𝑣𝑜2 − 2𝑔𝑥

A test hmax- magasra emelkedhet fel csak, mert ekkor a mozgási energiája illetve a mozgási sebessége

nulla lesz (v=0). A legnagyobb emelkedési magasság hmax és az emelkedési idő tem kiszámítható:

ℎ𝑚𝑎𝑥 =𝑣0

2

2𝑔

𝑡𝑒𝑚 =𝑣𝑜

𝑔

A hmax magasságról a test szabadeséssel jut vissza a földre.


6/20.

2 . A newtoni mechanika törvényei. Erőtípusok

2.1 A klasszikus mechanika (Newton) törvényei

a) a tehetetlenség elve (Newton I. alaptörvénye)

Az anyagi pont mindaddig megőrzi nyugalmi állapotát vagy egyenes vonalú egyenletes mozgását, amíg

egy másik, külső test (hatás) annak megváltoztatására nem kényszeríti. (A dinamika első alaptörvénye

– A tehetetlenség elve).

A tehetetlenség mértéke a TÖMEG (m)- mértékegysége a kg.

- tehetetlenségi rendszerek

Tehetetlenségi rendszernek (T. R.) nevezzük azt a vonatkoztatási rendszert, amelyben érvényes a

tehetetlenség elve (Newton I. törvénye). A T. VR.-ek egymáshoz képest egyenes vonalú egyenletes

mozgást végeznek (𝑣 -állandó). A newtoni mechanika elvei minden T. VR.-ben érvényesek.

Minden T. VR. egyenértékű, mert minden fizikai jelenség minden T. VR.-ben azonos módon játszódik

le.

b) Newton II. törvénye (a dinamika alaptörvénye)

A newtoni dinamika alapelve, hogy nem a mozgás fenntartásához, hanem a mozgásállapot

megváltoztatásához van szükség külső hatásra. Ez a külső hatás az erő. Az erő mindig két test közötti

kölcsönhatás. A testet érő hatásnak a nagysága és az iránya is fontos: az erő vektoriális mennyiség.

Ha egy testre erő ( F

) hat, az gyorsulást ( a

) vált ki. A gyorsulás iránya és irányítása megegyezik a

hatóerő irányával és irányításával; a gyorsulás egyenesen arányos az erővel és fordítottan arányos a

test tömegével (m):

m

Fa

= . Mértékegysége (m/s2)

𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎

A testre ható erő azonban nem csak a test mozgásállapotát változtatja meg, hanem a test alkját is kisebb-

nagyobb mértékben megváltoztathatja (dinamikus hatás= a mozgásállapot megváltozása; statikus hatás=

alakváltozás).

A dinamika alaptörvénye szerint:

𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎

ahol F

- az m tömegű testre ható erő és a

az erő által kiváltott gyorsulás. [Gyorsulás akkor van, ha az

erő hatására változik a test sebessége, vagyis: t

va

.]

-az erő mértékegysége:

Az erő mértékegysége nemzetközi rendszerben:

)(.. 2 newtonNkgamFs

mSISISI ===

Egy newton egyenlő azzal az erővel, amely az 1 kg tömegű testtel 1 2s

m gyorsulást közöl.

A test alakváltozása (deformációja) lehetőséget ad az erő egyszerű mérésére. Az erőt rugós erőmérővel

(dinamóméter) mérjük.

Newton második törvénye felírható az impulzus segítségével is: p=mv


7/20.

𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎 = 𝑚 ∙𝑣

∆𝑡 =

𝑚 ∙ 𝑣 − 𝑚𝑣𝑜

∆𝑡 =

∆𝑝

∆𝑡

c) a kölcsönhatás törvénye (a dinamika III. alaptörvénye, azaz a hatás és visszahatás elve)

Ha egy test valamilyen erőt (F12- hatást) fejt ki egy másik testre, akkor a másik test ugyanakkora

nagyságú, de ellentétes irányítású erővel (F21- visszahatás) hat vissza az első testre.

Ez erővektorokkal kifejezve: 2112 FF

−= , 𝐹 12 ↑↓ 𝐹 21 𝑖𝑙𝑙𝑒𝑡𝑣𝑒 𝑠𝑘𝑎𝑙á𝑟𝑖𝑠𝑎𝑛 𝐹12 = 𝐹21

ahol 12F

az 1. test által a 2. testre gyakorolt erő, 21F

a 2. test által az 1. testre gyakorolt erő.

Példák:

2.2 Nehézségi erő (𝐹 𝑛𝑒ℎ.) és a súly (G)

A nehézségi erő a gravitációs kölcsönhatásból származó dinamikus erő, ami azt eredményezi, hogy a

testek a Föld középpontja felé esnek. Azt az erőhatást, amely a szabadon eső testeket a Föld felé

gyorsítja, nehézségi erőnek nevezzük.

Egy testre ható nehézségi erő a test m- tömegének és a test földrajzi helyén mérhető 𝑔 nehézségi

gyorsulásnak a szorzata:

𝐹 𝑛𝑒ℎ. = 𝑚 ∙ 𝑔

Ezek szerint a nehézségi erő a 𝑔 –gravitációs gyorsulás "miatt keletkezik", úgy is mondhatnánk, hogy a

nehézségi erő felléptének az oka pont az, ami miatt a szabadon elengedett test zuhanni kezd 𝑔 nehézségi

gyorsulással. A nehézségi erő a gravitációs erő következménye figyelembe véve a Föld forgásából

származó egyéb hatásokat.

A súly (G) az az erőhatás, amellyel a test az alátámasztását nyomja, vagy a felfüggesztését húzza.

Amíg egy testre ható nehézségi erő a Föld egy pontján mindig változatlan nagyságú, addig a test súlyát

(G) a körülmények befolyásolják. Egy test súlya tehát változó nagyságú, lehet a nehézségi erőnél kisebb,

nagyobb, de vele egyenlő nagyságú is.

N=G


8/20.

A nehézségi erő és a súly kapcsolata:

Egy adott test esetén nehézségi erő nagysága a Föld egy kiválasztott helyén (adott szélesség és

hosszúság) mindig állandó, és ez az erőhatás a testre hat. Ezzel szemben a test súlya a testnek a

környezetére gyakorolt hatása és nagysága változhat a körülményekkel. A hétköznapi életben ezek

gyakran és könnyen összekeverhetők, pedig a két erőhatás különbözik egymástól.

Bizonyos esetekben azonban van kapcsolat a nehézségi erő nagysága és a súly nagysága között.

Például: Ha egy vízszintes asztallapra leteszünk egy könyvet, akkor ott az egyensúlyban van. A könyvre

ható nehézségi erőt az asztal merőleges nyomóereje ellensúlyozza, tehát a két erő egyenlő nagyságú. Az

asztal nyomóereje viszont hatás-ellenhatás kapcsolatban van a könyv súlyával, tehát ez a két erő is

egyenlő nagyságú.

Tehát, az egyensúlyban levő könyvre ható nehézségi erő nagysága egyenlő a könyv súlyával. Ez az

alapja annak, hogy a két fogalom időnként - nem túl szerencsésen - összekeveredik a szóhasználatban.

Adott földrajzi szélességen az egyensúlyban levő test súlya és a nehézségi erő egyenlő!!!!

(tehát feladatokban így használható)

𝐹 𝑛𝑒ℎ. = 𝐺 = 𝑚 ∙ 𝑔

Forrás: https://www.netfizika.hu/a-nehezsegi-ero

Tömegvonzás: Ha a Földet egy homogén (egyenletes) tömegeloszlású gömbnek tekintjük, akkor a

Newton-féle gravitációs törvény szerint az R sugarú, M tömegű Föld és a felszínén lévő m tömegű test

között fellépő vonzóerőre felírható:

𝐹 = 𝑘 ∙𝑚 ∙ 𝑀

𝑟2

De 𝑭𝒏𝒆𝒉.=mg

Tehát a Föld esetén: 𝑔 = 𝑘 ∙𝑀𝑓ö𝑙𝑑

𝑟2 é𝑠 𝑘 = 6,67384 ∙ 10−11 𝑁∙𝑚2

𝑘𝑔2

ahol g - a gravitációs gyorsulás, ebben a közelítésben a g=9,8m/s2, ha a Föld felszínén r=R=6370km

sugárral számolunk; Mföld=5,9736 x1024kg;

2.3.Testek érintkezésekor fellépő erők. Súrlódás

Bármely két test érintkezésekor két, egyenlő nagyságú, de

ellentétes irányítású erő lép fel: a ható és a visszaható erő.

A testek érintkezésekor, ahogy a mellékelt ábra mutatja, az érintő

irányával egybeeső irányú, tangenciális összetevő a súrlódási erő

(jele: fF

)

https://hu.wikipedia.org/wiki/Newton-f%C3%A9le_gravit%C3%A1ci%C3%B3s_t%C3%B6rv%C3%A9ny


9/20.

Ha egy testet egy másik testen csúsztatunk el, a test érintkezési

felülete között súrlódás lép fel, ezt a csúszó súrlódási erővel fejezzük

ki, amely a test sebeségével ellentétes irányítású.

A súrlódási erőt az érintkezési felületek

érdessége okozza, amelyek csúszáskor

egymásba hatolnak.

A mozgás kezdete előtt is van súrlódás. Ezt nyugalmi

súrlódásnak (vagy tapadásnak) nevezzük. A nyugalmi súrlódási

erő nagyobb, mint a csúszó súrlódási erő.

A csúszó súrlódás törvényei

– Csúszó súrlódás esetén a két test között fellépő súrlódási erő nem

függ az érintkező felületek területének nagyságától, ha a

nyomóerő ugyanaz (ha N-állandó!!!!).

– A csúszó súrlódásnál fellépő erő arányos az érintkezési felületre

ható merőleges nyomóerővel:

𝑭𝒇 = 𝝁 ∙ 𝑵

ahol N az érintkezési felületekre ható merőleges nyomóerő;

a arányossági tényezőt csúszó súrlódási együtthatónak nevezzük.

A bal oldali ábrán látható testet egy ferde irányú F erővel húzzuk, ennek

az a hatása, hogy csökken a felületi súrlódás, mert az erő Fy összetevője

„megemeli” a testet, nem nyomja annyira a felületet, mint amikor az F-

vízszintes irányú.

Ha egy testet egy másik testen csúsztatunk el, a test egyenletesen

lassuló mozgást végez, a súrlódási erő (jele: fF

) hatására, amely

a test sebeségével ellentétes irányítású. (lásd az ábrán)

A csúszó súrlódási együttható

A csúszó súrlódási erő egyenesen arányos az érintkezési

felületekre merőleges nyomóerővel (N):

𝑭𝒇 = 𝝁 ∙ 𝑵

ahol a arányossági tényezőt súrlódási együtthatónak nevezzük.

A csúszó súrlódási együttható az érintkezési felületek

kidolgozottságától és anyagi minőségétől függ.

A súrlódási együttható meghatározható egy lejtő

segítségével, ha a test állandó sebességgel szabadon

csúszik le a lejtőn:

tg

cos.

sin.===

G

G

N

F f, ahol súrlódási szög, amely

a lejtő azon szöge, amelynél még a test a lejtőn

nyugalomban van, de amelynél nagyobb szögnél már

csúszni kezd.


10/20.

A súrlódási együttható erők aránya, ezért mértékegység nélküli szám.

Közegellenállási erő: Ha a közegben egy test mozog, akkor a közeg egy olyan erőt fejt ki rá, ami

csökkenti a testnek a közeghez viszonyított sebességét. Ez a hatás a közegellenállás, amelyet a

közegellenállási erővel jellemzünk. A közegellenállási erő egyenesen arányos a közeg sebességének, a

homlokfelület nagyságának és a közeg és a test egymáshoz viszonyított sebességnégyzetének

szorzatával, az arányossági tényező a közegellenállási tényező fele.

𝐹𝑘ö𝑧𝑒𝑔𝑒𝑙𝑙. =1

2∙ 𝑐𝐴𝜌𝑣2

Alkalmazás: Testek mozgása a lejtőn

a) Mozgás lefelé a lejtőn

A test lejtőn való mozgását a súly lejtőmenti Gt összetevője valamint a súrlódási

erő Ff határozza meg, mivel más külső erő nem hat a testre.

A testet anyagi pontnak tekintjük és felírjuk Newton törvényeit:

(1). 𝐺𝑡 − 𝐹𝑓 = 𝑚𝑎; a test lefelé csúszik a lejtőn.

(2). 𝑁 = 𝐺𝑛; nincs mozgás a lejtőre merőleges irány mentén.

Ahol: 𝐺𝑡 = 𝐺𝑠𝑖𝑛𝛼 = 𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼; a súly tangenciális össztevője

𝐺𝑛 = 𝐺𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝛼; a súly normális (lejtőre merőleges) összetevője.

𝐹𝑓 = 𝜇 ∙ 𝑁; a csúszó súrlódási erő

Ezek alapján a test gyorsulása lefelé a lejtőn:

𝑎𝑙𝑒 = 𝑔(𝑠𝑖𝑛𝛼 − 𝜇 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼)

b). Mozgás felfelé a lejtőn- ez csak akkor történhet meg, ha

egy külső (F) erő húzza testet felfelé. Ha 𝐹 = 𝐺𝑡 + 𝐹𝑓, akkor a

test egyenletesen emelkedik

𝐹 = 𝑚𝑎𝑓𝑒𝑙 = 𝑚𝑔(𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝜇 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼)

Ha pedig 𝐹 > 𝐺𝑡 + 𝐹𝑓, akkor a test gyorsulva emelkedik a

lejtőn felfele. 𝐹 − 𝐺𝑡 − 𝐹𝑓 = 𝑚𝑎

2.4.A fonálban fellépő feszítőerő (forţa de tensiune din fir)

Kényszererők: A testek mozgásuk során nem mozoghatnak szabadon, más testek kényszerfeltételeket

szabhatnak a test mozgására. Ezek a kényszerek is erők formájában hatnak a testre, amelyeket

kényszererőknek nevezzük. Kiterjedt testek, egymásra való helyezésükkor, nem hatolhatnak

akadálytalanul egymásba, vagyis az egyik (merev) test felülete kényszerként megakadályozza a másik

test szabad mozgását. A két test felülete közt ható erő a merőleges nyomóerő �� . A nyomóerő mindig merőleges a felületre, nagyságát azonban a testre ható más erők és a test mozgása

határozza meg. Egy másik, gyakran előforduló kényszererő a fonálerő

(kötélerő, feszítőerő). Egy fonálra rögzített test mozgását korlátozza a

fonál: a testre a többi erő és a test mozgásától függő nagyságú fonálirányú

húzó erő hat. A feszítőerő (jele: Tf) az az erő, amely erőhatásnak kitett

fonálban, kábelekben, huzalokban keletkezik; ez egy válaszerő.

*Megjegyzés: A fonálban fellépő feszítőerőt mindig az adott feladat

feltételei szerint (vektoriális ábra, erők) számoljuk ki, nem használunk

hozzá egységes, előre meghatározott képletet, mivel ez egy belső,

válaszerő.


11/20.

Ha egyetlen nyújthattalan fonál vagy kábel van, akkor abban végig ugyanakkora a feszítő erő.

A feszítőerő megadható a fonálban keletkező feszültség ( ) és a huzal keresztmetszetének (S) a

szorzataként (ha ezek ismertek!):

𝑇𝑓 = 𝜎 ∙ 𝑆

Néhány példa:

2.5. A rugalmas erő

A rugalmas erő ( eF vagy Fr) az az erő, amely a rugalmas alakváltozáskor a testekben

lép fel. Amikor egy külső hatás meg akarja változtatni a test alakját, akkor a

rugalmassági erő megpróbálja visszaállítani a test alakját (hosszát) az eredeti formában.

Rugalmas erőnek nevezzük a rugalmas testek alakváltozása közben fellépő erőt.

• A rugalmas erő nagysága egyenesen arányos a hosszváltozással.

• A rugalmas erő iránya ellentétes a hosszváltozással.

• A rugalmas erő egyenesen arányos a rugalmas

test hosszváltozásával, de a hosszváltozással ellentétes

irányú. Az arányossági tényezőt rugóállandónak nevezzük (k).

A rugalmas erő az alakváltoztató erővel egyenlő nagyságú, de ellentétes

irányítású.

A rugalmas erő arányos a megnyúlással (x) és ezzel ellentétes irányítású:

𝐹𝑟 = 𝑘 ∙ ∆𝑙 𝑣𝑎𝑔𝑦 𝐹𝑒 = 𝑘 ∙ 𝑥 (ez a használt jelőlésektől függ)

ahol k rugalmassági állandó, amelynek értéke: 0

0.

l

SEk = ; 0S a huzal

keresztmetszete (ezt úgy tekintjük a legtöbb esetben, hogy nem változik a

folyamat során, de Hooke törvénye éppen az mondja el, hogy ez is változik),

0l -a huzal megnyúlás előtti (kezdeti) hosszúsága és E a rugalmassági-

(Young-) modulusz, amely anyagállandó.


12/20.

Hooke törvénye:

(több változatban felírva)

𝜎 = 𝐸 ∙ 𝜀

𝜎 =𝐹

𝑆 é𝑠 𝜀 =

∆𝑙

𝑙𝑜=

𝑙 − 𝑙𝑜𝑙𝑜

𝐹 = 𝑆 ∙ 𝐸 ∙∆𝑙

𝑙𝑜

-mechanikai feszültség, belső nyomás jelegű mennyiség [N/m2]

- realtív megnyúlás (a rugó megnyúlása a kezdeti hosszúságához viszonyítva); nincs mértékegysége;

E- Young modulus [N/m2] a rugó anyagára jellemző állandó mennyiség;

3. Megmaradási törvények a mechanikában

3.1. A mechanikai munka, mint folyamatfüggvény (NEM ÁLLAPOTHATÁROZÓ!)

Az állandó erő által végzett mechanikai munka egyenlő az erővektor ( F

) és az elmozdulás-

vektor ( d

) skaláris szorzatával:

𝐿 = 𝐹 ∙ 𝑑

Ha az F

és a d

által közrezárt szög , akkor: 𝐿 = 𝐹 ∙ 𝑑 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼

Ha az F

és a d

által közrezárt szög 0, akkor: dFL .=

FONTOS:

𝐿 = 𝐹 ∙ 𝑑 ; ezt az összefüggést akkor használhatjuk, ha a testre ható 𝐹 erő állandó! Ha az erő változik,

akkor meg kell vizsgálni, milyen típusú a változás és középértéket kell számolni az adott elmozdulásra.

A XII. osztályban már lehet használni a következő összefüggést (ha ismered és fel tudod írni az erő

képletét):

𝐿 = ∫ 𝐹 ∙ 𝑑𝑟

𝑟2

𝑟1

Például ezt használjuk a tömegvonzási erő álatl végzett munka kiszámítására vagy a rugalmas

alakváltozás esetén is:

𝐿𝑡ö𝑚𝑒𝑔𝑣𝑜𝑛𝑧á𝑠 = ∫ 𝑘 ∙𝑚∙𝑀

𝑟2∙ 𝑑𝑟

𝑟2𝑟1

illetve

𝐿𝑟𝑢𝑔𝑎𝑙𝑚𝑎𝑠 = ∫ 𝑘 ∙ 𝑥 ∙ 𝑑𝑥

𝑥2

𝑥1

A mechanikai munka mértékegysége nemzetközi rendszerben:

)(.. jouleJmNdFL SISISI ===

Egy joule a munkavégzés akkor, ha az 1 newton nagyságú erő támadáspontját 1 méter úton mozdítja el

saját támadásvonala mentén, az irányítással megegyezően.

A mechanikai munka a rendszer és a környezete közötti energiacsere egyik formája.

a) a mechanikai munka geometriai értelmezése


13/20.

Valamely erő által végzett mechanikai munka grafikus módszerrel is meghatározható. Ha az F erő

változását ábrázoljuk a távolság vagy elmozdulás (x) függvényében, akkor az F erő görbéje és az Ox

tengely által határolt felület területének nagysága számszerűen egyenlő az erő által végzett mechanikai

munkával. Például:

a) b). c).

Ha az erő F-állandó (konstans), akkor a) és c) ábra, ha az erő változik akkor b). ábra.

b) állandó gravitációs mező által végzett mechanikai munka matematikai kifejezése

A gravitációs erő által végzett mechanikai munka egyenlő a test tömegének (m), a gravitációs állandónak

(g) és a függőleges irányban vett szintkülönbségnek (amely az anyagi pont kezdeti és végső helyzete

között van) avagy magasságnak (h) a szorzatával,: hgmL ..=

A fenti összefüggés értelmében az anyagi pontra ható gravitációs erő által végzett mechanikai munka

független az anyagi pont által megtett úttól és ennek a mozgástörvényétől; csak a befutott út kezdeti és

végső pontjainak a helyzetétől függ. Az ilyen erőt konzervatív erőnek nevezzük.

c) a rugalmas erő által végzett mechanikai munka matematikai kifejezése

A rugalmas erő által végzett mechanikai munka egyenlő a negatív előjellel vett rugalmassági állandó (k)

és a megnyúlás (x) négyzete szorzatának a felével:

𝐿 = −𝑘∙𝑥2

2

A fenti összefüggés szerint a végzet mechanikai munka csak az erő támadáspontja által megtett út

kezdeti és végső pontjának helyzetétől függ. Tehát a rugalmassági erő konzervatív erő.

d) a csúszó súrlódási erő által végzett mechanikai munka

A csúszó súrlódási erő által végzett mechanikai munka a

következő összefüggéssel adható meg:

𝐿𝑓 = 𝐹𝑓 ∙ 𝑑 = 𝐹𝑓 ∙ 𝑑 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝐹𝑓

, 𝑑 ) = −𝜇𝑚𝑔𝑑

ahol gmFf ..= , a súrlódási erő, a súrlódási együttható, m a test tömege, g gravitációs állandó és s

a megtett út hossza.

Figyelni kell arra, hogy különböző könyvek, jegyzetek, feladatok az elmozdulást, a test által megtett

távolságot különböző betűkkel jelölik: x; d; s, r vagy éppen x, d, r, s, l. Ezek mind ugyanazt

jelentik, csak a képletben helyesen kell használni.


14/20.

e) állandó erő által kifejtett teljesítmény

Állandó erő által kifejtett teljesítmény (P) egyenlő az erő által végzett mechanikai munka (L) és a

munkavégzés időtartamának (t) a hányadosával:

𝑃 =𝐿

∆𝑡

A fenti képlet értelmében azt is mondhatjuk, hogy a teljesítmény a munkavégzés sebessége.

A teljesítmény mértékegysége nemzetközi rendszerben (S.I.):

)(wattWs

J

t

LP

SI

SISI === .

1 watt annak az erőnek a teljesítménye, amely 1 joule mechanikai munkát végez 1 másodperc alatt.

𝑃 =𝐿

∆𝑡=

𝐹 ∙ ∆𝑑 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼

∆𝑡= 𝐹 ∙ 𝑣 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼

Ha az állandó erő és az elmozdulás vektor által közrezárt szög 0ofok, akkor cos=1, és azt kapjuk, hogy:

𝑃 =𝐿

∆𝑡=

𝐹 ∙ ∆𝑑 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼

∆𝑡= 𝐹 ∙ 𝑣

Hatásfok: 𝜂 =𝐿ℎ𝑎𝑠𝑧𝑛𝑜𝑠

𝐿𝑏𝑒𝑓𝑒𝑘𝑡𝑒𝑡𝑒𝑡𝑡,𝑒𝑙𝑣é𝑔𝑧𝑒𝑡𝑡=

𝑃ℎ𝑎𝑠𝑧𝑛𝑜𝑠

𝑃𝑏𝑒𝑓𝑒𝑘𝑡𝑒𝑡𝑒𝑡𝑡,𝑓𝑒𝑙ℎ𝑎𝑠𝑧𝑛á𝑙𝑡

Az η- hatásfokot %-ban fejezzük ki;

3.2. A mechanikai energia, mint állapothatározó

Az energia olyan skaláris fizikai mennyiség, amely egy test vagy rendszer munkavégző képességét fejezi

ki. A test (rendszer) minden egyes állapotának adott energia felel meg – ezt az energiát E-vel jelöljük.

Az energiának ugyanaz a mértékegysége, mint a mechanikai munkának:

)( jouleJE SI = .

Az energia állapothatározó fizikai mennyiség, amely a test (rendszer) állandó jellegű (stacionárius)

helyzetére jellemző.

Az E mechanikai energia kétféle lehet:

mozgási (kinetikai) energia ( cE ) és helyzeti (potenciális) energia ( pE ).

f) az anyagi pont mozgási energiája

A v sebességgel haladó test mozgási energiája ( cE vagy Em) egyenlő a test tömegének (m) és sebessége

négyzetének a felével:

2

. 2vmEC =

g) az anyagi pont mozgási energiája változásának a tétele


15/20.

Adott rendszerben elmozduló anyagi pont mozgási energiájának változása egyenlő azzal a mechanikai

munkával (L), amelyet az anyagi pontra ható erők eredője végez az elmozdulás során:

LEE cc =− 12 (a mozgási energia változásának a tétele),

ahol 21 , cc EE az anyagi pont kezdeti és végső mozgási energiája.

Tudva azt, hogy a mozgási energia: 2

. 2vmEC = (m a test tömege, v a sebessége), a fenti összefüggés a

következő formába írható:

Lvmvm

=−2

.

2

. 2

1

2

2

Konzervatív erő: Konzervatív erőnek nevezzük azt az erőt, amelynek mechanikai munkája nem függ az

anyagi pont által megtett úttól és ennek a mozgástörvényétől; csak a befutott út kezdeti és végső

pontjainak helyzetétől függ. Ilyen erő például: a gravitációs erő és a rugalmas erő is.

h) a helyzeti energia (Ep)

Helyzeti energiának nevezzük azt az energiát, amellyel egy test a viszonyítási szinthez, vagy egy

rendszeret alkotó testek egymáshoz viszonyított a helyzetéből adódóan rendelkezik.

A helyzeti energia mértéke megadható azzal a mechanikai munkával, amelyet a testre ható erők

ellenében kell végezni, hogy a testet az alaphelyzetből (ahol a helyzeti energiát zérónak tekintjük) az

adott helyzetbe vigyük. Ez a helyzeti energia változási tétele.

A helyzeti energiát megadó összefüggés:

A rendszerben működő konzervatív erők mechanikai munkája (L) egyenlő és ellentétes előjelű a rendszer

helyzeti energiájának a változásával:

)( 12 pp EEL −−= ,

ahol 21, pp EE a rendszer kezdeti ill. végső helyzeti energiája.

– Adott h magasságban, gravitációs térben levő test gravitációs-helyzeti energiája ( pE ) a következő

összefüggéssel adható meg:

hgmEp ..= ,

ahol m a test tömege és g a gravitációs állandó.

– A rugalmas testekben felhalmozódott rugalmas helyzeti energia ( pE )egyenlő a rugalmassági állandó

(k) és a megnyúlás (x) négyzete szorzatának a felével:

2

. 2xkE p =

i) az m tömegű testből és a Földből álló rendszer gravitációs helyzeti energiájának változása


16/20.

Ha egy testet szabadon hagyunk, adott h magasságban, és az a gravitációs térben, a gravitációs erő

hatására a 0h magasságig esik, akkor a test gravitációs-helyzeti energiaváltozása (pE ) egyenlő a

súlyerő által a 0hh − távolságon végzett ellenkező előjellel vett mechanikai munkával (L):

−= LEp

)(.).(. 00 hhgmhhgmEp −=−−= ,

ahol 21, pp EE a rendszer kezdeti ill. végső

helyzeti energiája, m a test tömege és g a

gravitációs állandó.

j) a testből és a rugóból álló rendszer helyzeti energiájának a változása

A testből és a rugóból álló rendszer helyzeti energiaváltozása (pE ) egyenlő a negatív előjellel vett

mechanikai munkával, amit rugalmas erő akkor végez, amikor xo kezdeti megnyúlásból x megnyúlási

állapotba mozdítja el a rugót:

−= LEp

∆𝐸𝑝 = −(𝑘𝑥2

2−

𝑘𝑥𝑜2

2)

ahol xx ,0 a rugó kezdeti illetve végső megnyúlása és k a rugalmassági állandó.

A mechanikai energia megmaradásának a törvénye

A mechanikai energia (E) megmaradásának az a szükséges feltétele, hogy a rendszerben ne hasson

semmiféle nemkonzervatív erő.

Zárt rendszerben (ahol csak konzervatív erők hatnak) az pc EEE += mechanikai energia ( cE – a

mozgási- és pE – a helyzeti energia) mindig állandó, vagyis a zárt rendszer mechanikai energiája nem

változik (a mechanikai energia megmaradásának a törvénye).

Ha a mechanikai energia változik, akkor azt jelenti, hogy a rendszerre külső nem konzervatív erők is

hatnak, munkavégzés történik, amely energiát használ fel.

Az anyagi pont impulzusa

Az impulzus a mozgásban levő anyagi pont dinamikai jellemzője. Az anyagi pont impulzusa p

egyenlő

a test tömegének (m) és sebességének ( v

) a szorzatával:

vmp

.= .

A fenti összefüggés értelmében az anyagi pont impulzusának az iránya és irányítása megegyezik a

sebességének az irányával és irányításával (mivel m>0).

Az impulzus nagyságát az előbbi összefüggés értelmében a következőképpen adhatjuk meg:

vmp .= .

Az impulzus mértékegysége nemzetközi rendszerben:

sm

SISISIkgvmp .. == =Ns


17/20.

1 smkg. az impulzusa annak az egységnyi tömegű testnek, amely 1

sm sebességgel halad.

k) az anyagi pont impulzusváltozásának a törvénye

Az anyagi pont impulzusváltozásának a törvényét a dinamika alaptörvényével adhatjuk meg:

12

12

tt

pp

t

pF

−

−=

=

,

ahol F

az anyagi pontra ható erők eredője, p

az impulzusváltozás, 21 , pp

az impulzusok a 1t ill. a 2t

időpillanatokban.

Ha = 0F

12

12

12 0 pptt

pp

t

p

==−

−=

, vagyis ha az anyagi pontra ható erők eredője adott

időtartam alatt zéró, a rendszer impulzusa nem változik meg (megmarad).

Ellenkező esetben, ha 1200 pppF

, azaz az impulzus megváltozik.

l) az anyagi pont impulzusmegmaradásának a törvénye

Az anyagi pont impulzusváltozásának a törvényét a dinamika alaptörvényével adhatjuk meg:

12

12

tt

pp

t

pF

−

−=

=

,

ahol F

az anyagi pontra ható erők eredője, p

az impulzusváltozás, 21 , pp

az impulzusok a 1t ill. a 2t

időpillanatokban.

Ha = 0F

12

12

12 0 pptt

pp

t

p

==−

−=

, vagyis

ha az anyagi pontra ható erők eredője adott időtartam alatt zéró, a rendszer impulzusa nem változik

meg, tehát megmarad (az impulzusmegmaradás törvénye).

m) két anyagi pontból álló rendszer impulzusváltozásának a törvénye

Ha az 1m és az 2m tömegű anyagi pontokra az 1F

ill. az 2F

külső erők hatnak és 12F

, valmint 21F

belső

erők (az 1. anyagi pont erőhatása a 2.-ra, valamint a 2. anyagi pont erőhatása az 1.-re) akkor a rendszer

impulzusváltozása ( p

) a következőképpen adható meg:

)..(. 2211 vmvmptF

+== (1),

ahol 21 ,vv

az 1. ill. a 2. anyagi pont sebessége.

Mivel a belső erők ugyanakkora nagyságúak, de ellentétes irányításúak, ezért 2112 FF

−= .

A két pontra ható erők vektoriális összege (eredője):

21211221 FFFFFFF

+=+++= (2),

Az (1) és (2) egyenletek értelmében a belső erők nem játszanak szerepet az anyagi pont impulzusának a

megváltoztatásában (ezek egymást semlegesítik), az impulzusváltozásért csakis a külső erők a felelősek.

Tehát: a rendszerre ható külső erőlökés ( tF .

) egyenlő a rendszer teljes impulzusának a változásával.

Gyakorlati alkalmazások:

- tökéletesen rugalmas, centrális ütközések

Tökéletesen rugalmas, centrális ütközésről beszélünk akkor, ha a rendszer teljes mechanikai energiája

illetve impulzusa az ütközés során nem változik, és a testek ütközés előtt és után is szabadon mozognak.

𝑝 1 + 𝑝 2 = 𝑝 1′ + 𝑝 2

′

𝐸𝑚1 + 𝐸𝑚2 = 𝐸𝑚1′ + 𝐸𝑚2

′

A helyzeti energiát nullának választjuk a föld felszínén avagy azon a felszínen ahol a testek mozognak.


18/20.

Rugalamas ütközés modellezése (a kép forrása: https://www.askiitians.com/iit-jee-

physics/mechanics/conservation-of-momentum.aspx)

Ha az ütköző testek tömegei ,1m és 2m valamint sebességei 1v és 2v , a testek ütközés utáni 1v és 2v

sebességei a következőképpen határozhatók meg:

1

21

22111

...2 v

mm

vmvmv −

+

+= és

2

21

22112

...2 v

mm

vmvmv −

+

+= .

Energiamegmaradás (itt mozgási enegiára felírva, mert Ep=0 az ütközési szinten).

𝐸𝑚1 + 𝐸𝑚2 = 𝐸𝑚1, + 𝐸𝑚2

,

Ha ütközés előtt a testek ugyanazon a vonalon, de egymás felé mozognak, akkor az impulzusaik

ellentétes irányításuak!

Rugalmas, centrális, frontális ütközés (a kép forrása: https://en.ppt-online.org/75445)

n) centrális, tökéletesen rugalmatlan ütközések

Tökéletesen rugalmatlan ütközésről beszélünk akkor, ha

a testek ütközés után együtt mozognak. Ebben az esetben

a rendszer impulzusa megmarad, de a teljes mechanikai

energiája nem.

𝑝 1 + 𝑝 2 = 𝑝 12′

𝐸𝑚1 + 𝐸𝑚2 = 𝐸𝑚12′ + 𝑄

Ha az ütköző testek tömegei ,1m és 2m valamint

sebességei 1v és 2v , a testek ütközés utáni v sebessége

a következőképpen számítható ki:


19/20.

21

2211 ..

mm

vmvmv

+

+= .

Az energiamegmaradás értelmében a testek mozgás energiájának egy része más fajta energiává – hővé

(Q) – alakul át. Ez a hő a következőképpen számítható ki:

( )2

21

21

21 ..

.2

1vv

mm

mmQ −

+=

Egy rendszer teljes impulzus megmaradásának a törvénye

Ha az 1m és az 2m tömegű anyagi pontokra az 1F

ill. az 2F

külső erők hatnak és 12F

, valmint 21F

belső

erők (az 1. anyagi pont erőhatása a 2.-ra, valamint a 2. anyagi pont erőhatása az 1.-re) akkor a rendszer

impulzusváltozása ( p

) a következőképpen adható meg:

𝐹 ∙ 𝛥𝑡 = 𝛥𝑝 = 𝛥(𝑚1. 𝑣 1 + 𝑚2. 𝑣 2) (1),

ahol 21 ,vv

az 1. ill. a 2. anyagi pont sebessége.

Mivel a belső erők ugyanakkora nagyságúak, de ellentétes irányításúak, ezért 2112 FF

−= .

A két pontra ható erők vektoriális összege (eredője):

21211221 FFFFFFF

+=+++= (2),

Az (1) és (2) egyenletek értelmében a belső erők nem játszanak szerepet az anyagi pont impulzusának a

megváltoztatásában (ezek egymást semlegesítik), az impulzusváltozásért csakis a külső erők a felelősek.

Tehát: a rendszerre ható külső erőlökés (�� = �� ∙ 𝜟𝒕) egyenlő a rendszer teljes impulzusának a

változásával.

Zárt rendszer esetében (a rendszer nincs kölcsönhatásban a környezetével), az anyagi pontokra

nem hatnak külső erők ( 0=F

), a rendszer teljes impulzusa az (1) értelmében nem változik: 0=p

azaz a rendszer teljes impulzusa megmarad.


20/20.

Felhasznált iradalom:

FIZIKA 9 -Mozgások, energiaváltozások; MOZAIK Kiadó, Szeged, 2015. e-változat_

http://friedrich.brody-ajka.sulinet.hu/fizika_elm/Mozaik%20-%20Fizika%209.pdf

Hristev, V. Falie, D. Manda- FIZIKA, Tankönyv a IX. osztály számára, EDP, Bukarest, 1995.

D. O. Crocnan: Fénytan és Mechanika, Tankönyv a IX. osztály számára, T3, Sepsiszentgyörgy, 2004.

Programa de examen pentru disciplina FIZICĂ-OME nr. 3237/05. 02. 2020.

A Fizikai gondolkodás iskolája; http://mek.oszk.hu/12100/12187/pdf/12187_1.pdf

https://balazsadam.web.elte.hu/9fizika/fizika9kinematika.pdf

https://realika.educatio.hu/ctrl.php/unregistered/preview/coursecs?c=38&pbka=0&pbk=

https://www.youtube.com/watch?v=4sgX8Cu1bng

https://www.youtube.com/watch?v=zOfCwIPaBRY

https://www.youtube.com/watch?v=2otv4duu9Z4

https://www.youtube.com/watch?v=hxeacROcEY8

TELESULI Tananyag: https://telesuli.rmdsz.ro/12-osztaly/fizika/

https://www.youtube.com/watch?v=h1a56KMuv94

https://www.youtube.com/watch?v=jOFX9fjf0O8

https://www.youtube.com/watch?v=Hg6ZT5srv7c

https://www.youtube.com/watch?v=P8lnWZpzh6E

https://www.youtube.com/watch?v=6mvYEWvbJTI

Összeállította:

P. Mária, Székely Mikó Kollégium

Sepsiszentgyörgy

http://friedrich.brody-ajka.sulinet.hu/fizika_elm/Mozaik%20-%20Fizika%209.pdf

http://mek.oszk.hu/12100/12187/pdf/12187_1.pdf

https://balazsadam.web.elte.hu/9fizika/fizika9kinematika.pdf

https://realika.educatio.hu/ctrl.php/unregistered/preview/coursecs?c=38&pbka=0&pbk=

https://www.youtube.com/watch?v=4sgX8Cu1bng

https://www.youtube.com/watch?v=zOfCwIPaBRY

https://www.youtube.com/watch?v=2otv4duu9Z4

https://www.youtube.com/watch?v=hxeacROcEY8

https://telesuli.rmdsz.ro/12-osztaly/fizika/

https://www.youtube.com/watch?v=h1a56KMuv94

https://www.youtube.com/watch?v=jOFX9fjf0O8

https://www.youtube.com/watch?v=Hg6ZT5srv7c

https://www.youtube.com/watch?v=P8lnWZpzh6E

https://www.youtube.com/watch?v=6mvYEWvbJTI

KIDOLGOZOTT TÉTELEK AZ ÉRETTSÉGIRE

Documents

Transcript of KIDOLGOZOTT TÉTELEK AZ ÉRETTSÉGIRE