58

KATI CİSİM DİNAMİĞİ

A) KATI CİSİMLER

B) DÖNMELER

C) MATRİSLER YOLUYLA VEKTÖR İŞLEMLERİ

D) EULER AÇILARI VE EULER TEOREMİ

E) SONSUZ KÜÇÜK DÖNMELER

F) HIZ VE İVME

G) KATI CİSİM HAREKET DENKLEMLERİ

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

A ) KATI CİSİMLER

Noktasal olmayıp, uzayda yer tutan Katı Cisimlerin dinamiği uygulamada çok önemlidir. Katı

cisim, 'kendisini oluşturan tüm noktasal unsurlar arasındaki uzaklıkların sabit olduğu yapı'

olarak tanımlanır. Bunun matematik ifadesi: tüm i , j çiftleri için i jr r Sabit

olması demektir. Bir yapının uzaydaki konumunu belirlemek için kaç tane koordinata gerek

olduğu temel bir sorudur. Bu sayı 'Serbestlik Derecesi' olarak adlandırılır ve f ile

gösterilir. Katı cisim kısıtlamaları olmayan, Akışkanlar Mekaniği benzeri konularda N

parçacığın 3 N serbestlik derecesi vardır ve N için bu sayının üst sınırı yoktur.

Katı cisimlerin özel durumunu anlamak için adım adım gitmek yararlı olur. Tek parçacığın

serbestlik derecesi 3f olacaktır. İki parçacıkta * 2 3 6f ile başlanır ama

1 2 r r Sabit kısıtı bu sayıyı 5 'e indirir. Bu sisteme bir üçüncü parçacık eklersek

5 3 8f olur ama 2 3 r r Sabit ve 3 1 r r Sabit kısıtları bu

sayıyı 6 'ya indirir. Bundan sonra eklenen her parçacık 3 yeni serbestlik derecesi yanı sıra

3 de kısıt getireceği için f 'in üst sınırı 6 olacaktır. 6 tane koordinatın akılcı bir biçimde

59

seçiminde önce 'Kütle Merkezi' CMR ile ilk 3 'ü aradan çıkartılır. Geri kalan 3 koordinatı

seçmeden önce 3-Boyutlu uzayda dönmeleri incelemek gerekir.

B ) DÖNMELER

Dönmelerin matematiksel incelenmesinde somut matris cebri, soyut işlemlerden daha

kullanışlıdır. Başlangıç noktası : Sabit bir nokta etrafında dönmede merkezden uzaklığın

değişmezliği olacaktır : ,

x x

r y r y

z z

ve

: 3 3 R dönme matrisi olmak üzere r rR ile verilen 'Dönme'

denklemi 'Transpoze' edilerek T TTr rR bulunur.

T T TTr r r r r r R R , yani

2 2 2 2 2 2 x y z x y z olabilmesi için gerekli şartın

T R R 1 olduğu görülür. 1 T R R sağlayan matrisler 'Ortogonal'

olarak adlandırılır : iki ortogonal matrisin çarpımının da ortogonal olduğu ve

Determinantların 1 olacağı kolayca gösterilir. Dönme işleminin özel bir durumu olan

Özdeşlik'te determinant +1 olduğu için tüm R matrislerinde bu şart aranır.

Determinantı +1 olan 3 3 ortogonal matrisler SO(3) olarak adlandırılan bir 'Grup'

oluştururlar. SO(3) grubunun her kartezyen yön için bir SO(2) alt grubu vardır. Örnek

olarak : x-ekseni etrafında açısıyla dönme :

1 0 0

0 cos sin SO(3)

0 sin cosx

R ve

60

cos sin

SO(2)sin cos

R . Dönme matrislerini 'Üstel' biçimde

yazmak ileride hesap kolaylığı sağlayacağı için cos sin

exp sin cos

i

L

denkleminden, 'Jeneratör' olarak adlandırılan ve Hermitsel olan 0

0

i

i

L

elde edilir.(1) SO(2) 'nin tek parametreli ve tek jeneratörlü olmasına karşın SO(3) 'ün 3

parametresi ve 3 jeneratörü vardır, doğal olarak bu jeneratörler :

0 0 0 0 0 0 0

0 0 ; 0 0 0 ; 0 0

0 0 0 0 0 0 0

x y z

i i

i i

i i

L L L

ile verilirler. Bu matrislerin sağladığı x y y x z

i L L L L L ,

y z z y x

i L L L L L , z x x z y

i L L L L L komütasyon

bağıntıları kuantum matematiğinin habercisi gibidir.

C ) MATRİSLER YOLUYLA VEKTÖR İŞLEMLERİ

Dönmeleri incelerken kullanılacak matematik yapı olarak vektörler yetersiz kalır. Soyut

düzeyde 'Kuaternion'lar, somut olarak da matris cebiri kullanmak gerekir. Ancak sonsuz

küçük dönmelerin vektör karakterinden de yararlanılır. Sonsuz küçük bir açının vektör

davranışını görmek için xy-düzleminde

1

2 2 2 2

2

1 tan

1

y x dy y dx x dy y dxd

yx x x yx

bağıntısından 2

ˆ

r dr r drd

r r

genellemesi yapılır. Bu denklemden

sonsuz küçük açının düzleme dik bir vektör olduğu ve ismine uygun olarak r yönüne dik bir

(açı)klığın, boyutsuz bir sonuç elde etmek için r 'ye bölündüğü görülmektedir.

61

Vektörlerin çarpımlarını matris işlemlerine indirgemek hesaplarda kolaylık ve tutarlılık sağlar.

İki vektörün x x y y z z

A B A B A B A B 'Skalar Çarpım' ifadesini bir matris

işlemi olarak yazarken 'Son Çarpan'

x

y

z

B

B B

B

olarak korunup, 'İlk Çarpan' ve

'İşlem' x y z

A A A A biçiminde ifade edilir.

y z z y

z x x z

x y y x

A B A B

A B A B A B

A B A B

'Vektör Çarpımı'nda ise 'Son Çarpan' gene

x

y

z

B

B B

B

olarak korunup, 'İlk Çarpan' ve 'İşlem' için

0

0

0

z y

z x

y x

A A

A A A

A A

kullanılır.

D ) EULER AÇILARI VE EULER TEOREMİ

Katı cismin uzaydaki konumunu saptamak için gerekli 6 koordinatın 3 tanesi kütle merkezi

olarak seçilmişti. Geri kalan 3 koordinatı gözümüzde canlandırmak için uzayda sabitlenmiş

bir 'Uzay' koordinat sistemine ek olarak cismin kendisine has ve temel yönleri zamana göre

değişebilen bir 'Cisim' koordinat sistemi olduğu düşünülür. Hesap kolaylığı açısından ve

genellikten ayrılmadan, bu iki sistem eşmerkezsel kabul edilebilir. Cisim koordinatları, Uzay

koordinatlarının aksine zamanın fonksiyonu olarak değişecektir. Bu iki koordinat sistemi

arasındaki dönüşümün 3 parametreli olacağını görmek zor değildir. Fiziksel yaklaşımla: iki

sistem arasındaki ilişki belli bir eksen etrafında dönme olduğu için eksen birim vektörü

n̂ 'den iki , dönme açısı 'den de bir parametre gelir. Matematiksel yaklaşım ise SO(3)

grubunun 3 tane SO(2) alt grubu oluşundan yararlanır. Uygulamada tercih edilen yol

matematiksel yaklaşıma daha yakındır ve 'Euler Açıları' olarak adlandırılan , ,

kullanılır. İki koordinat sistemi arasındaki genel dönüşüm 3 adımda sağlanır:

62

i) Önce z-ekseni etrafında açısıyla,

ii) Sonra 'yeni' x-ekseni etrafında açısıyla,

iii) En sonra da 'yepyeni' z-ekseni etrafında açısıyla döndürme:

exp( ) exp( ) exp( ) z x z

i i i

R L L L

z x z

R R R R ifadesinden

z x z x

R R R R

x z x z

R R R R

z z z z

R R R R özdeşlikleri kullanılarak önce

x z x x z

R R R R R R

x z z

R R R , sonra da

z x z z z z z R R R R R R R R

z x z R R R elde edilir. Bu da

exp( ) exp( ) exp( ) z x z

i i i R L L L demektir.

Ancak x z z xL L L L ve

exp( ) exp( ) exp( ) exp( ) AB BA A B B A olduğu

için R tek bir üstel ifadeye indirgenemez. Ancak sonsuz küçük açılarla işlem

yapıldığında exp exp exp d d d d A B A B sağlanır.

63

Euler Teoremi: Bir nirengi noktasına ( mesela kütle merkezi ) sahip bir katı cismin en genel

hareketinin o noktadan geçen bir eksen etrafında dönme olacağını öngörür. Bunun bir adım

sonrası da katı cismin en genel hareketinin Öteleme + Dönme olmasıdır.(2) Euler teoreminin

ispatı tamamen matematiksel olup, matris ve reel katsayılı cebirsel denklemlerin özellikleri

kullanılır:

*) SO(3)R Ortogonal, dolayısıyla Reel ve Üniter'dir,

*) Üniter matrislerin özdeğerleri Ünimodüler'dir, yani 1 sağlarlar,

*) 3 3 reel bir matrisin özdeğerleri, 3. Derece bir cebirsel denklem olan 'Karakteristik

Denklem'in kökleridir,

*) 3, tek bir sayı olduğu için karakteristik denklemin en az bir reel kök vardır,

*) Reel katsayılı cebirsel denklemlerde eğer bir kök ise * da bir köktür,

*) Ortogonal matrisler Det 1R sağlar, bu da 1 2 3 1 demektir,

*) Dolayısıyla Spektrum 1 , exp , exp i i R olur.

Bu teorem ˆ

, , n

R R geçişinin öngördüğü eksen ve açıyı

belirlemeye yarar. Bir dönme'de aynı kalan özvektör, eksen yönünü vereceği için

1 'e karşılık gelen normalize özvektör, dönme ekseni n̂ 'i verir.

ˆ

1 0 0

, , 0 exp 0

0 0 expn

i

i

R R diyagonalleştirme

işleminde 'İz' aynı kalacağı için de

1 Tr 1

1 2cos Tr cos2

RR bulunur.

64

E ) SONSUZ KÜÇÜK DÖNMELER

Artık uygulamaya geçip 'Uzay' ve 'Cisim' koordinatları arasındaki ilişki ele alınabilir. Sonsuz

küçük d açısı ile dönme, yukarıda elde edilen , , x y zL L L temsilleri

kullanılarak exp d d i d i d R R L L1 1

0

0

0

z y

z x

y x

d d

d d d

d d

R biçimini alır ve

0

0

0

z y

z x

y x

d

dt

R elde edilir, bunun da ' ' işleminin matris

temsili olduğu görülür. Çok önemli bir ilke : Doğrusal bir 'İtme' o

x x u t , özel

bir Galileo dönüşümüdür ve sistemi belli bir çerçeveden, aynı doğa yasaların geçerli olduğu

başka bir çerçeveye taşır. Açısal 'İtme' ot ise sistemi aynı yasaların

geçerli olmadığı, ivmelenmiş bir çerçeveye taşıdığı için bu geçişte Newton yasalarının geçerli

olması ancak bazı 'Sanal Kuvvetler' eklenerek sağlanır.

F ) HIZ VE İVME

Newton yasalarının geçerli olduğu 'Uzay' koordinat sistemi ile bu sisteme göre sabit açısal

hız o ile dönmekte olan 'Cisim' koordinat sistemi arasındaki ilişkinin 'Konum'

vektörüne uygulanmasını ˆ

U C

nr r R denklemi ile gösterelim. Bu ifadenin

zamana göre türevi

U C C

C o C

d r d r d d rr r

dt dt dt dt

RR R

65

ile verilir, ancak o o

R olduğu için

v v U C

o C U C o C

d r d rr r

dt dt

R R

olarak yazılır. Bir türev daha alarak, 'İvme' ifadesi

v

v v U

U C o C o C o C

da a r

dt R

2 v + C o C o o C

a r R olur.

Dinamiğe doğrudan etkili olmayan, sadece koordinat eksenlerinin yönlerini belirleyen

R 'den kurtularak, kısaca U Cr r , v v

U C o Cr ve

2 v + U C o C o o C

a a r yazılır.

2 vo C

ifadesi 'Coriolus İvmesi' , o o C

r ise 'Merkezcil İvme'

olarak adlandırılır. Cisim sisteminde yer alan bir gözlemci

2 v + C o C o o C

a r 'Sanal İvme'lerini hissedecektir.

Kendi etrafında 5 7.3 10

o

radyan / saniye açısal hızla dönen dünyamız bu

ivmelerin gözlenmesi için ideal bir ortamdır.

Yönler için r̂ : Yukarı ; ̂ : Güney ; ̂ : Doğu seçimi yapıp,

ˆˆ sin cos cos cos sin

ˆˆ sin sin cos cos cos

ˆˆ cos sin 0

rx

y

z

ˆˆˆ cos sin o o o

z r bağıntılarını kullanarak önce Coriolis

kuvvetini inceleyelim : İstanbul enleminde(3), Güney'e doğru, 3v 10

o m / s , ses

hızının üç katı hızla atılan bir yatay mermiye etki eden kuvvet

66

ˆ ˆ ˆˆ ˆ2 cos sin v 2 v cos sin o o o o

m r m r ile verilir.

Bu ifadenin r̂ bileşeni, aynı yöndeki yer çekimi kuvvetine göre küçük ( < % 1 ) olduğu

için göz ardı edilir. ̂ , yani Batı yönündeki kuvvet ise 10 km uzaktaki bir hedefte 5 m

bir sapmaya sebep olur. Aynı şartlarla Doğu'ya atılan bir mermi de aynı ölçüde Güney'e

sapacaktır. D uzaklığında bir hedefe vo hızı ile gönderilen bir merminin sapma miktarı

2 cosv

o

o

s D

ile verilir. Kuzey yarıkürede genel kural sağa sapmaktır ve bu

yüzden alçak basınç bölgelerine yönelen rüzgarlar saat yönü tersine bir dönme hareketi

oluştururlar. Coriolis sapmasının ilginç ve pratik bir uygulaması 'Foucault Sarkacı'dır : uzun

bir ipin ucundaki kütle yatay düzlemde salınım yaparken, sonsuz küçük bir dt zaman

aralığındaki açısal sapması

2

v cos cos

v

o

o

dtd dt

dt

Yana sapma

Boyuna mesafe ile verilir.

Gün boyunca toplam açısal sapma ise 2

2 cos1

o

Gün

olacaktır. Yüksekten düşen cisimlerde de Coriolus sapması gözlenir; bu problemdeki hız

değişken olduğu için çözüm biraz daha zordur. H yüksekliğinden serbest düşüşte

ˆˆ ˆv , cos sin o o

g t r r

ˆ 2 sin

oa g t geçerlidir. Bu ivmenin zamana göre

iki kere integrali alınarak Coriolis sapması 2

H

g kullanılarak

2 3 8

2 9

a Hs

g

bulunur.

67

Merkezkaç ivmesi o o C

r ise

2 2ˆ ˆ cos sin + sin C o

a R r sonucunu verir. r̂ yönündeki ivme,

aynı yöndeki yer çekimi ivmesine göre çok küçük

2

0.4 %oR

g

olduğu için gene

göz ardı edilir. ̂ yönündeki bileşen, uzun bir ipe bağlı kütlenin gerçek dik r̂ yönünden

güneye doğru

2

sin cosoR

g

açısal sapma yapmasını öngörür.

G ) KATI CİSİM HAREKET DENKLEMLERİ

Noktasal bir parçacık için geçerli dp

Fdt

bağıntısının r ile vektörel çarpımı,

v 0p olduğu için,

d r pdp

r r Fdt dt

denklemini verir.

Açısal Momentum : L r p ve Tork : r F tanımları ile

dp

Fdt

benzeri dL

dt elde edilir.

2 v dL r dm dm r r dm r r r

bağıntısının açık yazılışı

2 2

2 2

2 2

x x

y y

z z

dL y z xy xz

dL dm xy x z yz

dL xz yz x y

ifadesinin integrali alınarak 'Eylemsizlik Momenti' matris elemanları :

2 2 2 2 2 2 , , xx yy zz

dm y z dm x z dm x y I I I

68

, , xy yx xz zx yz zy

dm xy dm xz dm yz I I I I I I

olmak üzere, x xx xy xz x

y yx yy yz y

z zx zy zz z

L I I I

L I I I L

L I I I

I sonucuna

ulaşılır. Genelde II 1 olmadığı için L ve aynı yönde değildir. I

matrisinin 'Simetrik' , yani 'Reel' ve 'Hermitsel' olması özdeğerlerinin reel , özvektörlerinin

de birbirine dik oluşunu sağlar. Özvektörlerin aynı zamanda pozitif olduğunu anlamak için

Kinetik Enerji ifadesini beklemek gerekecektir. Dönme ifade eden ve 'Asal Eksen Dönüşümü'

adı verilen bir benzerlik dönüşümü ile I matrisi diyagonal hale getirilebilir, dolayısıyla

bundan sonra genellikten ayrılmadan

1

2

3

0 0

0 0

0 0

I

I

I

I ve k k k

L I

olduğu kabul edilecektir. Katı cismi oluşturan sonsuz küçük unsurların Kinetik Enerjisi

2 v v 2 2 2

dm dm dLdE r

ifadesinin integrali alınarak

2 2 2

1 1 2 2 3 3 2 2 2

TL I I IE

I sonucuna ulaşılır. Katı Cisim

dinamiği problemleri, 1 2 3 , , I I I değerlerine göre :

*) 1 2 3 I I I : SO(3) Simetrik Topaç ( Küre Simetrisi )

*) 1 2 3 I I I : SO(2) Simetrik Topaç ( Silindir Simetrisi )

*) 1 2 3 , 0I I I : 2-Boyutlu Topaç

*) 1 2 3 I I I : Asimetrik Topaç

olarak sınıflandırılır. Çözümlere gelince : SO(3) simetrisi olan problemler hesap

gerektirmeyecek kadar basittir; açısal momentum bileşenleri ayrı ayrı korunur, L ve

69

sabit ve paraleldir. Öteki uçtaki Asimetrik Topaç probleminde ise lineer olmayan

diferansiyel denklemlerin genel ve analitik çözümü, zahmetine değmeyecek ölçüde

karmaşıktır.(4) Simetrik Topaç probleminin ise matematiği kolay, fiziği zengindir. Açısal hız'ın

bir bileşeninin sabit oluşu denklemleri lineer yapar ve kolayca çözüme varılır.

dL

Ldt

ve k k k

L I başlangıç noktası alınarak varılan

3 2

1

x

y z

d I I

dt I

, 1 3

2

y

z x

d I I

dt I

, 2 1

3

z

x y

d I I

dt I

denklemleri 2 1 I I özel durumunda

3 1

1

x

y z

d I I

dt I

, 1 3

1

y

z x

d I I

dt I

, 0z

d

dt

biçimini alır.

Çözümü en kolay olan 3. denklem z zo

: Sabit sonucunu verir. Bunun diğer

iki denkleme yerleştirilmesi sonucu elde edilen denklemler 3 1

1

zo

I I

I

tanımıyla x

y

d

dt

,

y

x

d

dt

biçimini alırlar. Bunların zamana

göre birer türevi daha alınarak,

2

2

2 x

x

d

dt

,

2

2

2

y

y

d

dt

elde

edilir. Sonucu yazmadan önce ileride 'Başlangıç Koşulu' aşamasında yararlı olacak bir

özdeşliği elde etmek gerekir : x

y

d

dt

,

y

x

d

dt

, 0z

d

dt

denklemlerinden 2

0 0dd

dt dt

olduğu açıktır. Bunun anlamı

z 'ye ek olarak

2 2 2 2 2 z x y

ve 'nin de sabit oluşudur. Böylece

2 2 2 2

2 2 2 2

0 0

cos cos

sin sin

zo zox x

y z y z

z zo z zo

t L L tL

t L L L t

L L

70

sonucu elde edilir. vektörünün yatay bileşeninin bir daire çizmesi olayı 'Presesyon'

olarak adlandırılır ve çocuk oyuncaklarından, dünyamıza kadar dönen pek çok cisimde

gözlenir.(5) Somut bir örnek olarak dünyanın çekim alanında, uç noktası sabit bir topaçın

hareketini inceleyelim :

M kütlesi düzgün dağılmış H yüksekliğinde , R yarıçaplı bir koninin kütle merkezi uç

noktadan 34

H uzaktır ve ana eksen etrafında dönme için eylemsizlik momenti ise

23 10

MR ile verilir. ˆ CM

dLD Mg z

dt ;

2

3 3 10 4

CM

o

L D

M R H bağıntılarından elde edilen 2

5ˆ

2o

dL Hgz L

dt R

denklemi yukarıdaki probleme benzer biçimde çözülür ve 2

5

2o

Hg

R olmak üzere

2 2

2 2

0

cos

sin

zox

y z

z zo

L L tL

L L L t

L L

elde edilir.

71

PROBLEMLER

C.1 ) A B C B A C C A B özdeşliğini vektör ve işlemlerin matris

temsillerini kullanarak elde edin.

D.1 ) exp( ) exp( ) exp( ) z x z

i i i R L L L ifadesinin

3 3 temsilini oluşturun.

D.2 ) Toplam dönme açısının, Euler açıları cinsinden

cos cos cos2 2 2

olarak verildiğini gösterin.

F.2 ) 2-Boyutta genel hareket :

ˆˆ ˆ , cos , sin , sin , cosr r r r bağıntılarını

ve

2

2 ,

d d d

dt dt dt

tanımlarını kullanarak 2-Boyutlu Polar

koordinatlarda v ave ifadelerini oluşturun, tüm terimleri adlandırıp, yorumlayın.

G.1 ) Ucundan sürtünmesiz bir menteşe ile duvara bağlı, m kütleli, uzunluğunda

düzgün bir çubuğun yatay durumdan dikey konuma düşme zamanını hesaplayın.

İpucu : 2 1 424 g

72

G.2 ) Düzgün dağılımlı, 2-Boyutlu bir 45o dik üçgenin kütle merkezi etrafındaki

1 2 3 , , I I I değerlerini ve 'Asal Eksenler'ini hesaplayın. (Goldstein)

G.3 ) ,0,0 ; 0, ,2 ; 0,2 ,a a a a a noktalarında yer alan üç eşit m

kütlesinin 0,0,0 etrafındaki 1 2 3 , , I I I değerlerini ve 'Asal Eksenler'ini

hesaplayın. (Goldstein)

G.4 ) Larmor frekansı : dI elektrik akımını taşıyan r yarıçaplı bir halka'nın Magnetik

Dipol Momenti * ˆ d dI n Alan ile verilir. hızıyla dönen, Q elektrik yükü ve

M kütlenin benzer dağıldığı bir yapı için 2

QL

M olduğunu gösterin. Magnetik

alanla etkileşmesi B ile verilen bir magnetik momentin presesyon

hareketinin açısal hızını hesaplayın.

5) Açısal hız bileşenlerinin, Euler açıları ve zamana göre türevleri cinsinden

cos sin sin

sin sin cos

cos

x

y

z

Ile verildiğini gösterin.

73

EKLER VE NOTLAR

(1) En kestirme yol : cos sin

exp sin cos

i

L denklemine

0

işlemi uygulamaktır.

(2) Chasles teoremi.

(3) açısının 'Enlem' olmayıp, kuzey yarıkürede 90 o Enlem , Güney yarıkürede

ise 90oEnlem+ olduğu unutulmamalıdır.

(4) Dünyamızın dönme ekseninin presesyon periodu yaklaşık 25 800 yıldır ; bu da

mevsimlerin 5 Yüzyılda 1 haftalık kayması, yani 12 900 yıl sonra bugün Ocak ayında

yaşadığımız soğukların Temmuz ayına taşınması demektir.

(5) Çözümler Eliptik fonksiyon bilgisi gerektirir.