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Karlsruher Institut für Technologie Winter-Semester 2018
TKM 1Dozent:
Alexander Shnirman Di. 11:30-13:00, Kl. HS B
Fr. 14:00-15:30, Lehmann-HS
Fr. 26.10 - Raum 229.3
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Kristallgitter
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Ein perfekter Kristall besteht aus einer regelmäßigen Anordnung sich wiederholender Einheiten, genannt Einheitszellen die den Raum vollständig ausfüllen
Primitive Einheitszelle oder Elementarzelle ist die Einheitszelle mit kleinstem Volumen.
NaCl Kristallstruktur
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Erste Definition: Ein Bravais-Gitter ist eine unendliche Anordnung diskreter Punkte, deren Orientierung und Ordnung von jedem Punkt aus gesehen dieselbe ist.
⌅R = n1⌅a1 + n2⌅a2 + n3⌅a3
Zweite Definition:
Bravais-Gitter
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BeispielEinfaches kubisches Gitter („simple cubic“ sc)
⇤a1 = a⇤x
⇤a2 = a⇤y
⇤a3 = a⇤z
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Beispiel
⇤a1 = a⇤x
⇤a2 = a⇤y
Raumzentriertes kubisches Gitter („body-centered cubic“ bcc)
⇧a3 =a
2(⇧x + ⇧y + ⇧z)
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BeispielFlächenzentriertes kubisches Gitter („face-centered cubic“ fcc)
⌅a1 =a
2(⌅x + ⌅y)
⌅a2 =a
2(⌅x + ⌅z)
⌅a3 =a
2(⌅y + ⌅z)
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Beispiel
⇤a1 = a⇤x
Hexagonales Gitter
⌅a3 = c⌅z
�a2 =a
2�x +
p3a
2�y
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Primitive Einheitszelle oder Elementarzelle:
Jedes Raumvolumen, das bei Verschiebung um alle Gittervektoren des Bravaisgitters den Raum vollständig ausfüllt (d.h. ohne Überlappungen und Löcher).
Mehrere Möglichkeiten, beliebige Form.
Wigner-Seitz-Zelle (WSC): ist definiert als der Raumbereich um einen Gitterpunkt herum,der diesem Punkt näher ist als irgendeinem anderen. Die WSC hat die volle Symmetriedes Gitters. Eindeutlich definiert.
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Konstruktion der Wigner-Seitz-Zelle (WSC)
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Wigner-Seitz-Zelle des bcc GittersRaumzentriertes kubisches Gitter („body-centered cubic“ bcc)
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Gitter mit Basis
Bravaisgitter + Basis = Kristallstruktur
Kristallstruktur:1) Bravaisgitter2) Basis: Anordnung der Atome in der Einheitszelle
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Punkte desBravaisgitters
Beispiel: Honigwaben
Gitter, Graphen
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⌅a2 =a
2(⌅x + ⌅z)
fcc mit zweiatomiger BasisFlächenzentriertes kubisches Gitter („face-centered cubic“ fcc)
⌅a1 =a
2(⌅x + ⌅y)
⌅a3 =a
2(⌅y + ⌅z)
z.B. NaClBasis⇥d1 = ⇥0 ⌃d2 =
a
2(⌃x + ⌃y + ⌃z)
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fcc mit zweiatomiger Basis
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Reziprokes Gitter
ei ⌅K·⌅R = 1
Definition: Die diskrete Menge aller Wellenvektoren die ebene Wellen mit der Periodizität des Bravais-Gitters liefern, heisst „reziprokes Gitter“
R.G. ist wesentlich für die Beschreibung von Streuung bzw. Beugung von Teilchen oder Wellen am Kristallgitter, bzw. für die Dynamik von Kristallelektronen und Gitterschwingungen im Festkörper selbst.
ei ⇧K·(⇧r+⇧R) = ei ⇧K·⇧r
⌅R = n1⌅a1 + n2⌅a2 + n3⌅a3
⇤K � R.G.
⇤R ⇥ Bravais�G.
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Explizite Konstruktion
ei ⌅K·⌅R = 1 ⇧K · ⇧R = 2�n
⇥b1
⇥b2 ⇥b1
⇥b2
⌅b2 · ⌅a2 = 2�
⌅b1 · ⌅a1 = 2�
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Explizite Konstruktion
ei ⌅K·⌅R = 1 ⇧K · ⇧R = 2�n
⌅b1 =2�
�[⌅a2 � ⌅a3]
⌅b2 =2�
�[⌅a3 � ⌅a1]
⌅b3 =2�
�[⌅a1 � ⌅a2]
� ⇤ ⇥a1 · [⇥a2 ⇥ ⇥a3]
⌅K = k1⌅b1 + k2
⌅b2 + k3⌅b3 k1, k2, k3 � Z
Volumen der primitiven Einheitszelle
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Explizite Konstruktion: Beweis
⌅b1 =2�
�[⌅a2 � ⌅a3]
⌅b2 =2�
�[⌅a3 � ⌅a1]
⌅b3 =2�
�[⌅a1 � ⌅a2]
� ⇤ ⇥a1 · [⇥a2 ⇥ ⇥a3]
⌅K = k1⌅b1 + k2
⌅b2 + k3⌅b3
⇧bi · ⇧aj = 2⇥�ij
⌅R = n1⌅a1 + n2⌅a2 + n3⌅a3
⌃K · ⌃R = 2�(k1n1 + k2n2 + k3n3)
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Reziprokes Gitter
Das reziproke des reziproken Gitters ist das direkte (Ausgangs-)Gitter
Wigner-Seitz-Zelle des reziproken Gitters wird „Erste Brillouin-Zone“ genannt.
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Reziprokes Gitter: wichtige Beispiele
⇤a1 = a⇤x
⇤a2 = a⇤y
⇤a3 = a⇤z
⇧b1 =2�
a⇧x
⇧b2 =2�
a⇧y
⇧b3 =2�
a⇧z ⇥b1
⇥b2
⇥b3
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Reziprokes Gitter: wichtige Beispiele - bcc
⇤a1 = a⇤x
⇤a2 = a⇤y
⇧a3 =a
2(⇧x + ⇧y + ⇧z)
� ⇤ ⇥a1 · [⇥a2 ⇥ ⇥a3] =a3
2
⌃b1 =2�
�[⌃a2 ⇥ ⌃a3] =
2�
a(⌃x� ⌃z)
⌃b2 =2�
�[⌃a3 ⇥ ⌃a1] =
2�
a(⌃y � ⌃z)
⇧b3 =2�
�[⇧a1 � ⇧a2] =
4�
a⇧z
bcc fcc
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Röntgen-Beugung
� � a � 10�8cm
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von Laue-Bedingung
⇥ni
⇥no
einfallende Welle
gebeugte Welle
⇧ki =2⇥
�⇧ni ⇧ko =
2⇥
�⇧no
⌅ki � ⌅ko = ⌅K ⇥ rezip. Gitter
�L = R cos � + R cos �� = ⌥R(⌥no � ⌥ni) = N⇥
⇧R(⇧ko � ⇧ki) = 2�N
Konstruktive-Interferenz-Bedingung
Beugung von Atomen
Muss für alle Paaren der Punkte im Bravais-Gitter erfüllt sein
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Bragg-Bedingung
⇥ni ⇥no
einfallende Welle reflektierte
Welle
⇧ki =2⇥
�⇧ni
⇧ko =2⇥
�⇧no
⌅ki � ⌅ko = ⌅K ⇥ rezip. Gitter
Konstruktive-Interferenz-Bedingung
�L = 2d sin � = N⇥
Reflexion von Ebenen
| ⌅K| =2�
d
⇥K
2k sin � = N2⇥
d
von Laue- und Bragg-Bedingungen sind äquivalent
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Klassifizierung von Kristallstrukturen
1) Klassifizierung von Bravais-GitterSymmetrieoperationen fuhren das
Gitter in sich selber über Beispiele: Translationssymmetrie, Spiegelsymmetrie,
Rotationssymmetrie, Inversionssymmetrie
Alle Symmetrieoperationen formen eine Gruppe
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Satz: Jede Symmetrieoperation eines Bravaisgitters kann zerlegt werden in eine
1. Translation (mit ∈ Bravaisgitter) und eine2. Punktsymmetrieoperation
Punktsymmetrieoperation: Symmetrieoperation die mindestens einen Gitterpunkt des Bravaisgitters fest läßt
Beweis:Betrachte Symmetrioperation Sdie keinen Symmetriepunkt fest laßt.S(⌅0) = ⌅R � BravaisgitterT�1
⇥RS - Punktsymmetrieoperation
S = T⇥R
�T�1
⇥RS
⇥
T⇥R⇥R
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Punktgruppen:Beispiele
Cn
C6
Drehachse n-ter Ordnung:Drehungen um den Winkel 2�
n m
m = 0, 1, 2, . . . , n� 1
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Punktgruppen:Beispiele
D6
Dn
1 Drehachse n-ter Ordnung:n Drehachsen 2-ter Ordnung
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Punktgruppen:Beispiele
T
T Tetraedergruppe
4 Drehachse 3-ter Ordnung:3 Drehachsen 2-ter Ordnung
12 Elemente
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Punktgruppen:Beispiele
Oktaedergruppe
24 Elemente
O
O
3 Drehachse 4-ter Ordnung:4 Drehachsen 3-ter Ordnung6 Drehachsen 2-ter Ordnung
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Punktgruppen:Beispiele
Ikosaedergruppe
60 Elemente
Y
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Erlaubte Drehungen
⇥ =2�
n
|⌅R�1 � ⌅R�
2| = m|⌅R1 � ⌅R2| = (1� 2 cos �)|⌅R1 � ⌅R2|
n 1 2 3 4 6m -1 3 2 1 0
⇥ =�
3,
�
2,
2�
3, �Erlaubte Winkel
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z.B. Oh = O+ Inversion
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Klassifizierung von Kristallstrukturen
32 Punktgruppen (Kristallklassen)
230 Raumgruppen (Kristallstrukturen)
Raumgruppe: Alle Symmetrieoperationen des Gitters