Kalkulus Bab- Xviiaas

7/24/2019 Kalkulus Bab- Xviiaas

1/13

BAB XVII

BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA

Banjar/Barisan Tak Hingga

Barisan tak hingga {Sn} = S1, S2, S3, , Sn, adalah suatu fungsi dari n

dimana daerah domainnya adalah himpunan bilangan bulat positif (bilangan asli!

Contoh:

Bila n = 1, 2, 3, !!, maka fungsi1n

1

+ menghasilkan urutan atau ban"ar

Suku#suku !!!!!!!!!!,$

1,

%

1,

3

1,

2

1ban"ar ini disebut Banjar Tak Berhinggauntuk

menun"ukkan bah&a tak ada suku terakhir! 'ungsi1n

1

+ disebut suku umum atau

ke#n dari ban"ar!

Suatu ban"ar tak berhingga dinyatakan dengan menutup suku umum dalam kurung

kura&al seperti

+ n1

1, atau dapat ditulis

!!!!!,1n

1

$

1,

%

1,

3

1,

2

1!!!!!,,+

Contoh lain:

1! {1, 2, 3, %, )n} * )n = n

2! {3, +, , 12, )n} * )n = 3n

3!n

1nn

%

1,

3

1,

2

1!)}!!!)!!!!!!!!!!,1,{ =

%! 1, %, -, 1., 13, an = 3n / 2, n 0 1

$! ,$

%,

%

3,

3

2,

2

1., 1n,

n

1#1a

n =

+! ,-

+,

+

-,

$

%,

%

$,

3

2,

2

3., 1n,

n

1(#11b n

n +=

Andiani / Kalkulus I / September08 1


2/13

-! ,-

+#,

+

-,

$

%#,

%

$,

3

2#,

2

3., 1n,

n

1(#1 nn +=

! .!, .!, .!, .!, dn = .!, n 0 1

Barisan {Sn} dikatakan teratas "ika terdapat bilangan#bilangan dan 4

sehingga Sn4 untuk semua n!

Contoh:

!!!,2n

1n2,!!!,

+

-,

%

$,

2

3 + adalah terbatas karena untuk semua n 1 Sn

2

5etapi 2, %, +, !!! , 2n, !!! adalah tidak terbatas!

Barisan {Sn} dikatakan ti!ak t"r"n "ika S1 S2 Sn

6an dikatakan ti!ak naik"ika S1 0 S2 0 0 Sn 0

Contoh:

Barisan

1! !!!,$

1+

,%

,3

%

,2

1

1n

n2

=

+ adalah barisan tidak turun!

2! {2n # (#1n} = 3, 3, -, -, adalah barisan tidak turun!

3! !!!,%

1,

3

1,

2

11,

n

1=

adalah barisan tidak naik!

%! {#n} = #1, #2, #3, #%, adalah barisan tidak naik

#i$it Barisan

7ika titik#titik berurutan yang diperoleh dari barisan

(8!!!!!,n

1#2!!!!,,

$

,

%

-,

3

$,

2

31,

terletak pada garis bilangan, dan untuk n ukup besar akan terletak disekitar titik 2!

9eadaan seperti ini dikatakan bah&a #i$it arisan a!alah %!



3/13

7ika : adalah peubah yang "angkauannya barisan (8, maka dikatakan bah&a :

mendekati 2 sebagai limit atau : menu"u 2 sebagai limit dan ditulis : * 2

2n

1

#(2lim)limn

nn ==

Kekon&ergenan

Barisan {Sn} dikatakan kon&ergen ke bilangan berhingga S sebagai limit,

SSlim nn

=+ , "ika untuk setiap bilangan positif , bagaimanapun keilnya, terdapat

bilangan bulat positif m sehingga untuk n ; m akan berlaku !

7ika Sn; maka +=+ Slim nn !

7ika Sn> # maka =+ #Slim nn !

7adi dapat disimpulkan

De*inisi

# Barisan {an} dinamakan kon&ergen menu"u ? atau berlimit ? dan ditulis

sebagai ?alim nn =# @pabila untuk tiap bilangan positif A , ada bilangan positif sehingga untuk

n 0 =; C an/ ? C > A

# Suatu barisan yang tidak konDergen ke suatu bilangan ? yang terhingga

dinamakan !i&ergen!



4/13

Teore$a+Teore$a Barisan

1! Setiap barisan tidak turun atau tidak naik dan terbatas adalah konDergen!

2! Setiap barisan yang tidak terbatas adalah diDergen!

3! Barisan konDergen atau diDergen akan tetap konDergen atau diDergen sesudah n

suku pertama dihapus!

%! ?imit dari barisan konDergen adalah tunggal!

@ndaikan {sn} dan {tn} barisan#barisan yang konDergen dan k sebuah

konsatanta, maka

7ika sslim nn

=+ dan

ttlim nn

=+

$! ?im (k!sn = k ksslim nn=

+ dimana k konstanta

+! ( ) tstlimslimtslim nn

nn

nnn

==+++

-! ( ) t!stlim!slimt!slim nn

nn

nnn

==+++

! t

s

tlim

slim

t

slim

nn

nn

n

n

n==

+

+ "ika t E . dan tnE . untuk semua n

! 7ika {sn} adalah barisan suku#suku tidak nol dan "ika

=+

slim nn

, maka .limn

S

1

n=

+

1.! 7ika a ; 1, maka +=+

alimn

n

11! 7ika r > 1, maka .rlimn

n=

+

'"$lah :

ssssS n3211n

n +++++=

= !!!!!!!!!!!!!!! (1

6an barisan tak hingga {Sn} disebut !eret tak hingga!

,nt"k setia- !eret ter!a-at searisan j"$lah -arsial

S1 = s1

S2 = s1 F s2

Andiani / Kalkulus I / September08 %


5/13

S3 = s1 F s2F s3

Sn = s1 F s2F s3F F sn

7ika sSlim nn

=+

suatu bilangan hingga, maka deret (1 dikatakan kon&ergendan s

disebutj"$lahn.a!

7ika adatidakSlim nn

=+ , maka deret (1 dikatakan !i&ergen!

Suatu deret adalah diDergen karena =+

Slim nn

atau "ika n membesar maka Sn

membesar dan mengeil tanpa mendekati suatu limit!

Gontoh

6eret 1 / 1 F 1 / 1 F !!!!!

)ntuk deret ini s1= 1, s2= ., s3= 1, s%= . ,

Contoh+Contoh:

1! Hunakan 5eorema 1 untuk memperlihatkan bah&a barisan { }n

1#1 adalah

konDergen!

enyelesaian

Barisan { }n

1#1 adalah terbatas karena . Sn 1 untuk semua n! 9arena

7ika Sn = { }n1

#1 , maka

1n(n

1S

1n(n

1

n

1#1

1n

1#1S

n

1n

++=

++=

+=+

Andiani / Kalkulus I / September08 $


6/13

Berarti bah&a SnF10 Sn, merupakan barisan yang tidak turun!

7adi barisan ini konDergen ke s = 1

2! Hunakan 5eorema 1 untuk memperlihatkan bah&a barisan

!!(2n2!%!+!!!!

1#!!(2n1!3!$!-!!! adalah konDergen!

enyelesaian

Barisan!!(2n2!%!+!!!!

1#!!(2n1!3!$!-!!! adalah terbatas, karena . Sn 1 untuk semua

n!

9arena

7ika!!(2n2!%!+!!!!

1#!!(2n1!3!$!-!!!Sn =

aka

n

1n

S!22n

12n

2!!(2n2!%!+!!!!

1!!(2n1!3!$!-!!!S

+

+=

+

+=+

Berarti barisan ini tidak naik, "adi barisan konDergen ke s = .

3! ?imit dari barisan konDergen adalah t"nggal!

isalkan berlaku kebalikannya sehingga

sSlim nn

=

dan tSlim nn

= , dimana

.2At#s >>

?ingkungan A dari s dan t mempunyai sifat#sifat yang saling berkontradiksi

i 5idak memiliki titik#titik persekutuan

ii asing#masing memiliki semua suku#suku barisan keuali se"umlah

berhingga dari suku#suku tersebut!

7adi s = t dan limitnya adalah tunggal!

%! 7ika a ; 1, maka +=

alim nn

Andiani / Kalkulus I / September08 +


7/13

@mbil ; ., betapapun besarnya!

isalkan a = 1 F b dimana b ; ., maka

( )

=nb1!!!!!!b1!2

1#n(nnb1

b1a

2

nn

>+>+++=

+=

7ikab

=n >

9arena an ; dan "ikab

=n > untuk betapapun besarnya maka

+=

alim nn

$! 6eret aritmatika tak hingga a F (a F d F (a F 2d F !! F Ia F (n#1dJ diDergen"ika a2F d2 ; .

)ntuk deret a F (a F d F (a F 2d F !! F Ia F (n#1dJ

Sn = K n I2a F (n#1dJ dan =Slim n

n

9euali untuk a = d = .

7adi deret diDergen "ika a2F d2 ; .

+! 6eret geometri tak hingga a F ar F ar2

F !! F arn#1

F !!, dimana a E .

9onDergen ker#1

a "ika 1r < dan diDergen "ika 1r

)ntuk deret a F ar F ar2F !! F arn#1

1r,rr#1

a#

r#1

a

r#1

ar#aS

n

n

n

=

=

7ika 1r < , maka .rlim nn

= sehingga r#1aSlim n

n=

7ika 1r > , maka =

rlim nn

sehingga Sn diDergen!

7ika 1r = , deretnya berbentuk a F a F a F a F a F !

@tau a / a F a / a F a F yang diDergen!

Andiani / Kalkulus I / September08 -


8/13

-! )ntuk deretn

1!!!

%

1

3

1

2

11 +++++ ,

7umlah bagiannya adalah

S% ; 2

S ; 2 K

S1+; 3

S32; 3 K

S+%; %

7adi barisan "umlah#"umlah bagiannya tidak terbatas dan diDergen, 7adi deretnya

diDergen!

,ji Kon&ergensi !an Di&ergensi !ari Deret ositi*

I) ,ji Integral

isalkan f(n menyatakan suku umum Sn dari deret L Sn yang suku#sukunya

semua positif! 7ika f(: ; . dan tidak pernah naik dalam interDal : ; M , dimana M

suatu bilangan bulat positif, maka deret L Sn konDergen atau diDergen tergantung kepada

apakah +

d:f(: ada atau tidak ada!

II) ,ji Ban!ing "nt"k Kon&ergensi

Suatu deret positif L Sn adalah konDergen "ika setiap suku (mungkin sesudah

se"umlah berhingga adalah lebih keil atau sama dengan suku yang bersesuaian dari

suatu deret positif konDergen yang diketahui L n

III) ,ji Ban!ing "nt"k Di&ergensi

Suatu deret positif L Sn adalah diDergen "ika setiap suku (mungkin sesudah

se"umlah berhingga adalah sama dengan atau lebih besar dari suku yang bersesuaian dari

suatu deret positif diDergen yang diketahui L dn

Andiani / Kalkulus I / September08


9/13

IV) ,ji Rasio

6eret positif L Sn konDergen "ika 1S

Slim

n

1n

n


10/13

6engan menggunakan u"i integral selidiki kekonDergensian dari

1! !!!+%

1

3+

1

1+

1

%

1 ++++

2! !!!N

%

1sin

1+

1N

3

1sin

1N

2

1sin

%

1sin N ++++

3! .(p!!!$

1

%

1

3

1

2

11

pppp >+++++

,ji Ban!ing

Suku umum dari deret yang diketahui yang akan diu"i konDergensinya akan

dibandingkan dengan suku umum dari deret yang diketahui konDergensinya atau

diDergensinya! 6eret#deret berikut akan berguna sebagai deret u"i

a 6eret geometri a F ar F ar2F !! F arnF !!, dimana a E . akan konDergen "ika

. > r > 1 dan diDergen "ika p 0 1!

b 6eret n

1

%

1

3

1

2

11

pppp ++++++

konDergen "ika p ; 1 dan diDergen "ika p 1

Contoh :

Selidiki konDergensi dari 1n

1

1-

1

1.

1

$

1

2

1

2 +

++++++

6engan menggunakan u"i banding!

enyelesaian

1n

1

1-

1

1.

1

$

1

2

1

2 +

++++++

Suku umum22n

n

1

1n

1S

Kalkulus Bab- Xviiaas

Documents

Transcript of Kalkulus Bab- Xviiaas