Kalkulus BAB IV - Differensiasi
-
Upload
el-rasyied-harun-kurnia-ali -
Category
Documents
-
view
3.870 -
download
8
description
Transcript of Kalkulus BAB IV - Differensiasi
88
BAB IV
DIFFERENSIASI
4.1 Garis singgung
Garis singgung adalah garis yang menyinggung suatu titik tertentu pada suatu kurva. Pengertian garis singgung tersebut dapat dilihat pada Gambar 4.1. Akan tetapi jika terdapat dua buah titik pada suatu kurva maka berkemungkinan garis singgung yang menyinggung salah satu titik akan memotong kurva pada titik lainnya. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada Gambar 4.2.
Untuk mendapatkan pengertian yang lebih jelas mengenai garis singgung kita perlu mendefinisikan kemiringan garis singgung l pada titik A(x1,f(x1)) yang terletak pada grafik fungsi. Selanjutnya pada grafik fungsi tersebut kita pilih
A
l
Gambar 4.1
Gambar 4.2
A
B l
89
suatu titik B(x,f(x)). Jika kita hubungkan titik A dan B maka akan terbentuk garis l1 yang mempunyai kemiringan :
m1 = x - xf(x) - )x(f
1
1 ( 4.1 )
Jika f(x) kontinu pada selang [A,B] maka kita dapat mendekatkan titik B ke titik A dengan jalan memperkecil jarak antara x dan x1. Dalam bentuk limit hal tersebut dapat ditulis dalam bentuk :
xxf(x) - )x(f
limmlim1
1xx
1xx 11 -
=®®
( 4.2 )
Persaman (4.2) adalah kemiringan garis l1 jika x mendekati x1. Jika kita perhatikan Gambar 4.3 maka kita dapat melihat bahwa kemiringan garis l1 jika x mendekati x1 adalah mendekati kemiringan garis l. Dalam bentuk limit dapat ditulis :
mxxf(x) - )x(f
limmlim1
1xx
1xx 11
=-
=®®
l1
A l
B
x x1
h
x 0
y
Gambar 4.3
Kemiringan garis l1 = m1 Kemiringan garis l = m
90
Jadi :
xxf(x) - )x(f
limm1
1xx 1 -
=®
( 4.3 )
Karena x1 – x = h, maka h
f(x) - )hx(flimm
0h
+=
® ( 4.4 )
Jika dimisalkan h = Dx, maka x
f(x) - )xx(flimm
0x DD+
=®D
( 4.5 )
Persamaan 4.3 s/d 4.5 adalah kemiringan garis l pada titik (x, f(x)) Contoh 4.1 Diketahui f(x) = 3x2 + 5 Tentukan kemiringan dan persamaan garis singgung yang melalui titik (a,a2) Penyelesaian :
xf(x) - )xx(f
limm0x D
D+=
®D
x
5x35x)3(x x6 x3lim
x53x-5 )xx(3
lim222
0x
22
0x D--+D+D+
=D
-+D+=
®D®D
x6x3x6lim0x
=D+=®D
Jadi m = 6x (*) Persamaan garis singgung : y = mx + n (**) Karena garis singgung melalui titik (a,a2) maka : persamaan (*) menjadi :m = 6a persamaan (**) menjadi : a2 = 6a2 + n. Sehingga n = -5a2 Persamaan garis singgung menjadi : y = 6ax – 5a2
4.2 Turunan Turunan adalah hasil dari proses differensiasi suatu fungsi. Untuk mendapatkan pengertian yang jelas dari turunan dan differensiasi perhatikan Gambar 4.4 berikut. Differensiasi dapat dimisalkan sebagai suatu mesin yang memproses masukan f(x) menjadi turunan f(x) atau f’(x).
Selanjutnya turunan didefinisikan sebagai kemiringan garis yang menyinggung kurva f(x) di titik (x,f(x)). Berdasarkan persamaan 4.3 dan Gambar 4.3 maka definisi turunan dapat ditulis dalam bentuk :
xx
)x(f)x(flim)x('f
1
1xx 1 -
-=
® , jika nilai limitnya ada ( 4.6 )
Jika persamaan 4.6 dapat dipenuhi berarti f(x) dapat didifferensiasikan (differensiable) pada x. Maka dikatakan f(x) mempunyai turunan pada x.
Differensiasi f(x) f’(x)
Gambar 4.4
91
Contoh 4.2 Jika f(x) = 2x2 + 5x – 7, tentukan f’(x), f’(c) dan f’(3) Penyelesaian : f(x) = 2x2 + 5x – 7 f(x+Dx) = 2(x+Dx)2 + 5(x+Dx) – 7 = 2x2 + 4xDx +2(Dx)2 + 5x + 5Dx – 7 f(x+Dx) – f(x) = 4xDx + 2(Dx)2 + 5Dx
5x45x2x4limx
x5)x(2xx4lim
x)x(f)xx(f
lim)x('f0x
2
0x0x+=+D+=
DD+D+D
=D
-D+=
®D®D®DJadi : 5x4)x('f +=
5c4)c('f += 175)3(4)3('f =+=
4.3 Notasi turunan Pada pasal terdahulu kita telah menggunakan notasi turunan dengan lambang f’ yaitu lambang turunan dari suatu fungsi f yang diperkenalkan pertama kali oleh matematikawan Perancis Louis Lagrange (1646 – 1716). Selain notasi tersebut masih terdapat notasi lain yang sering digunakan yaitu notasi double “d”. Jadi kita juga dapat menulis lambang turunan sebagai dy/dx, dy/dz, … dimana x dan z adalah peubah-peubah bebas dan y sebagai peubah tak bebas. Hubungan antara notasi-notasi turunan yang disebut diatas adalah sebagai berikut : Jika terdapat suatu persamaan y = f(x), maka : dy/dx = f’(x).
4.4 Differensiabilitas dan kontinuitas
Jika f adalah fungsi yang differensiabel pada x maka f dikatakan kontinu pada x. Bukti : Pada uraian terdahulu telah dijelaskan bahwa suatu fungsi f dikatakan differensiable jika memenuhi persamaan 4.6, yaitu :
Jika :x
)x(f)xx(flim
0x D-D+
®D ada, maka
x)x(f)xx(f
lim)x('f0x D
-D+=
®D
f(x+Dx)-f(x)= xx
)x(f)xx(fD·
D-D+
xlim.x
)x(f)xx(flim))x(f)xx(f(lim
0x0x0xD
D-D+
=-D+®D®D®D
=f’(x) . 0 = 0
Sehingga : )x(flim)xx(flim0x0x ®D®D
=+D ® )x(f)x(flim0x
=®D
(terbukti)
Sebaliknya jika f adalah fungsi yang kontinu pada x, maka tidak secara otomatis f differensiable pada x.
4.5 Teorema-teorema
4.5.1 Turunan bilangan konstan Jika c suatu bilangan konstan dan y didefinisikan sebagai :
92
y = f(x) = c maka 0)x('fdxdy
== ( 4.7 )
Bukti : f(x) = c ; f(x+Dx) = c
x)x(f)xx(f
lim)x('f0xdx
dyD
-D+==
®D= 0
xcc
lim0x
=D-
®D (terbukti)
4.5.2 Jika n adalah sembarang bilangan bulat, k adalah sembarang
bilangan ril dan jika y didefinisikan sebagai :
y = f(x) = kxn maka 1nknx)x('fdxdy -== ( 4.8 )
Bukti : f(x) = kxn f(x+Dx) = k(x+Dx)n
Dengan mengunakan teorema binomial didapat : k(x+Dx)n =
! nx! kn
! )1n(x! 1)-k(n
! 2
)x(x)1n(kn! 1
xknx! 0
kx n1-n22n1nn D+
-D
++D-
+D
+--
L
1n0x
knxx
)x(f)xx(flim)x('f
dxdy -
®D=
D-D+
== (terbukti)
Contoh 4.3 Tentukan turunan pertama dari f(x) = 5x7 Penyelesaian :
617 x35x)7)(5()x('fdxdy
=== -
4.5.3 Aturan penjumlahan Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai :
y = h(x) = f(x) + g(x) maka )x('g)x('fdxdy
+= ( 4. 9 )
Bukti : h(x) = f(x) + g(x) h(x+Dx) = f(x+Dx) + g(x+Dx)
h’(x) =x
)x(g)x(f)xx(g)xx(flim
x)x(h)xx(h
lim0x0x D
--D++D+=
D-D+
®D®D
= )x('g)x('fx
)xx(glim
x)x(f)xx(f
lim0x0x
+=D
D++
D-D+
®D®D (terbukti)
Contoh 4.4 Diketahui y = 5x6 + 2x-3
93
Tentukan dxdy
Penyelesaian : f(x) = 5x6 g(x) = 2x-3
f’(x) = 30x5 g’(x) = -6x-4
=dxdy
f’(x) + g’(x) = 30x5 – 6x-4
4.5.4 Aturan perkalian
Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai :
y = h(x) = f(x).g(x) maka )x('g)x(f)x(g)x('fdxdy
+= (4.10)
Bukti :
h’(x) = x
)x(g).x(f)xx(g).xx(flim
0x D-D+D+
®D
=x
)x(g).x(f)x(g).xx(f)x(g).xx(f)xx(g).xx(flim
0x D-D++D+-D+D+
®D
=x
)x(g)xx(g)xx(flim
0x D-D+
D+®D
+x
)x(f)xx(f)x(glim
0x D-D+
®D
= f(x).g’(x) + g(x).f’(x) (terbukti) Contoh 4.5 Diketahui y = (3x5 + 2x-2)(7x+3)
Tentukan dxdy
Penyelesaian : f(x) = 3x5 + 2x-2 g(x) = 7x+3
f’(x) = 15x4 – 4x-3 g’(x) = 7
dxdy
= f’(x).g(x) + g’(x).f(x) = (15x4-4x-3)(7x+3) + (3x5 + 2x-2)(7)
= 105x5-28x-2 +45x4 – 12x-3 +21x5 + 14x-2 = 126x5 + 45x4 - 14x-2 – 12x-3
4.5.5 Aturan pembagian Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai :
y = h(x) = )x(g)x(f
maka [ ]2)x(g
)x('g)x(f)x(g)x('fdxdy -
= (4.11)
Bukti :
94
h(x) = )x(g)x(f
; h(x+Dx) = )xx(g)xx(f
D+D+
h’(x) = x
)x(g)x(f
)xx(g)xx(f
limx
)x(h)xx(hlim
0x0x D
-D+D+
=D
-D+
®D®D
= )x(g).xx(g.x
)x(f).xx(g)xx(f).x(glim
0x D+DD+-D+
®D
=)x(g).xx(g.x
)x(g).x(f)x(f).xx(g)x(g).x(f)xx(f).x(glim
0x D+D+D+--D+
®D
= )x(g).xx(g.x
)x(f)xx(f)x(glim
0x D+D-D+
®D -
)x(g).xx(g.x)x(g)xx(g
)x(flim0x D+D
-D+
®D
=
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
D+D
-D+
®D )x(g).xx(gx
)x(f)xx(f
)x(glim0x
-
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
D+D
-D+
®D )x(g).xx(gx
)x(g)xx(g
)x(flim0x
= [ ]2)x(g
)x(f).x('g)x('f).x(g - (terbukti)
Contoh 4.6
Tentukan h’(x) jika h(x) = 3
24
x4
x3x2 -
Penyelesaian : f(x) = 2x4 – 3x2 f’(x) = 8x3 – 6x g(x) = 4x3 g’(x) = 12x2
h’(x) = 23
22433
2 )x4(
)x12)(x3x2()x4)(x6x8(
)]x(g[
)x('g).x(f)x(g).x('f ---=
-
= 6
46
6
4646
16128
1636242432
xxx
xxxxx +
=+--
= 2
2
432
xx +
4.5.6 Turunan fungsi komposisi
Jika y = f(u) dan u = g(x) maka dxdu
dudy
dxdy
= (4.12)
Bukti : Jika y = f(u) dan u = g(x) maka y = f(g(x)). Fungsi tersebut mempunyai bentuk komposisi dan dapat ditulis sebagai (fog)(x). u = g(x) Du= g(x+Dx) – g(x) ® g(x+Dx) = g(x) + Du = u + Du Jadi Du ® 0 maka Dx ® 0 y = f(g(x)) Dy = f(g(x+Dx)) – f(g(x))
95
x))x(g(f))xx(g(f
xy
D-D+
=DD
uu
x))x(g(f))xx(g(f
DD
D-D+
=
=DDxy
xu
u)u(f)uu(f
DD
D-D+
® =DD
®D xy
lim0x dx
dyxu
u)u(f)uu(f
lim0x
=DD
D-D+
®D
dxdu
dudy
xu
lim.u
)u(f)uu(flim
dxdy
0x0x=
DD
D-D+
=®D®D
(terbukti)
Persamaan 4.12 disebut aturan rantai Contoh 4.7
Tentukan dxdy
jika y = (4x3 + 5x2 – x + 4)3
Penyelesaian : Misal u = 4x3 + 5x2 – x + 4 y = u3
1x10x12dxdu 2 -+= 2u3
dudy
=
)1x10x12(u3dxdu
dudy
dxdy 22 -+==
2232 )4xx5x4)(1x10x12(3 +-+-+= Soal-soal Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut !
1. f(t) = at2 – bt + 7 6. f(x) = úû
ùêë
é+ú
û
ùêë
éx1
5x4
3x- x4
5
2. f(x) = 3x-5 + 3 2x5 7. g(t) = (at2+bt+c)2(3at–7)5
3. g(x) = úû
ùêë
é+
2x
x2
8. h(w) = cw
2awb+
-
4. h(x) = 2
x1
5x4
úû
ùêë
é+ 9. v(t) =
3)dct(
2)bt2at(
-
-
5. w(x) = 3
32x- x47
úû
ùêë
é+ 10. g(t) =
3 - t) 3 (2t
t2+
4.6 Turunan fungsi-fungsi trigonometri
Jika y = f(x) = sin x maka x cos)x('fdxdy
== (4.13)
Bukti :
xxsin)xxsin(
limx
)x(f)xx(flim)x('f
dxdy
0x0x D-D+
=D
-D+==
®D®D
96
x
xsinxsinxcosxcosxsinlim
0x D-D+D
=®D
x
xsinxcos)1x(cosxsinlim
0x DD+-D
=®D
úû
ùêë
éD
D+
D-D
®D=
xxsin
xcosx
)1x(cosxsin
0xlim
x
xsinlimxcos
x1xcos
limxsin0x0x D
D+
D-D
=®D®D
= (sinx)(0) + (cosx)(1) = cosx (terbukti)
Jika y = sin u dan u = f(x) maka dxdu
u cosdxdy
= (4.14)
Bukti :
y = sin u ucosdudy
=
u = f(x) )x('fdxdu
=
dxdu
ucosdxdu
dudy
dxdy
== (terbukti)
Jika y = f(x) = cos x maka x sin)x('fdxdy
-== (4.15)
Bukti :
xxcos)xxcos(
0xlim
x)x(f)xx(f
0xlim)x('f
dxdy
D-D+
®D=
D-D+
®D==
x
xcosxsinxsinxcosxcos
0xlim
D-D-D
®D=
x
xsinxsin)1x(cosxcos
0xlim
DD--D
®D=
úû
ùêë
éD
D-
D-D
®D=
xxsin
xsinx
)1x(cosxcos
0xlim
x
xsin
0xlimxsin
x1xcos
0xlimxcos
DD
®D-
D-D
®D=
= (cosx)(0) - (sinx)(1) = -sinx (terbukti)
Jika y = cos u dan u = f(x) maka dxdu
u sindxdy
-= (4.16)
Bukti :
y = cos u usindudy
-=
u = f(x) )x('fdxdu
=
97
dxdu
usindxdu
dudy
dxdy
-== (terbukti)
Contoh 4.8
Jika y = sin(p-2x), tentukan dxdy
Penyelesaian : Misal u = p - 2x y = sin u
2dxdu
-= u cosdudy
=
)x2cos(2)2)(u (cosdxdu
dudy
dxdy
-p-=-==
Contoh 4.9
Jika y = 2x
cos tentukan dxdy
Penyelesaian :
Misal u = 2x y = cos u
2/1dxdu
= u sindudy
-=
2x
sin21
-)21
)(u sin(dxdu
dudy
dxdy
=-==
Contoh 4.10
Jika y = sin2x cos3x, tentukan dxdy
Penyelesaian : Misal u = sin 2x v = cos 3x
x2cos2dxdu
= 3x sin3dxdv
-=
)x3sin3)(x2(sin)x3)(cosx2cos2(dxdv
uv.dxdu
dxdy
-+=+=
x3sin.x2sin3x3cos.x2cos2 -= Contoh 4.11
Jika y = x4cosx3sin , tentukan
dxdy
Penyelesaian : Misal u = sin 3x v = cos 4x
x3cos3dxdu
= 4x sin4dxdv
-=
2)x4(cos
)x4sin4)(x3(sin)x4)(cosx3cos3(2v
dxdv
.uv.dxdu
dxdy --
=-
=
x4cos
x4sin.x3sin4x4cos.x3cos32+
=
98
Jika y = f(x) = tan x maka x sec)x('fdxdy 2== (4.16)
Bukti :
y = tan x = xcosxsin
u = sin x v = cos x
xcosdxdu
= xsindxdv
-=
2v
dxdv
.uv.dxdu
dxdy -
= = 2)x(cos
)xsin)(x(sin)x)(cosx(cos --=
xcos
xsinxcos2
22 +
= xsecxcos
1 22
= (terbukti)
Jika y = tan u maka dxdu
u)(secdxdy 2= (4.17)
Bukti :
y = tan u usecdudy 2=
u = f(x) )x('fdxdu
=
dxdu
)u(secdxdu
dudy
dxdy 2== (terbukti)
Contoh 4.12
Jika y = 5 tan 3x, tentukan dxdy
Penyelesaian : Misal u = 3x y = 5 tan u
3dxdu
= usec5dudy 2=
x3sec15usec15)3)(usec5(dxdu
dudy
dxdy 222 ====
Jika y = f(x) = cot x maka x csc)x('fdxdy 2-== (4.18)
Bukti :
y = cot x = xsinxcos
u = cos x v = sin x
xsindxdu
-= xcosdxdv
=
99
2v
dxdv
.uv.dxdu
dxdy -
= = 2)x(sin
)x)(cosx(cos)x)(sinxsin( --=
xsin
)xcosx(sin2
22 +-
= xcscxsin
1 22
-=- (terbukti)
Jika y = cot u maka dxdu
u)csc(dxdy 2-= (4.19)
Bukti :
y = cot u ucscdudy 2-=
u = f(x) )x('fdxdu
=
dxdu
)ucsc(dxdu
dudy
dxdy 2-== (terbukti)
Contoh 4.13
Jika y = x31
cot21
, tentukan dxdy
Penyelesaian :
Misal u = x31 y = ucot
21
31
dxdu
= ucsc21
dudy 2-=
x31
csc61
ucsc61
)31
)(ucsc21
(dxdu
dudy
dxdy 222 -=-=-==
Jika y = f(x) = sec x maka tanx xsec)x('fdxdy
== (4.20)
Bukti :
y = sec x = xcos
1
u = 1 v = cos x
0dxdu
= xsindxdv
-=
2v
dxdv
.uv.dxdu
dxdy -
= = 2)x(cos
)xsin)(1()x)(cos0( --
= tanx xsecx2cos
xsin= (terbukti)
100
Jika y = sec u maka dxdu
tanu) u(secdxdy
= (4.21)
Bukti :
y = sec u tanu usecdudy
=
u = f(x) )x('fdxdu
=
dxdu
u) tan u (secdxdu
dudy
dxdy
== (terbukti)
Jika y = f(x) = csc x maka cotx xcsc)x('fdxdy
-== (4.22)
Bukti :
y = csc x = xsin
1
u = 1 v = sin x
0dxdu
= xcosdxdv
=
2v
dxdv
.uv.dxdu
dxdy -
= = 2)x(sin
)x)(cos1()x)(sin0( - = cotx xcsc
x2sin
xcos-=
- (terbukti)
Jika y = csc u maka dxdu
cotu) ucsc(dxdy
-= (4.23)
Bukti :
y = csc u cotu ucscdudy
-=
u = f(x) )x('fdxdu
=
dxdu
u) cot u csc(dxdu
dudy
dxdy
-== (terbukti)
Contoh 4.15
Jika y = )xcsc(31
-p , tentukan dxdy
Penyelesaian :
Misal u = p-x y = ucsc31
1dxdu
-= cotu ucsc31
dudy
-=
x)-cot( )xcsc(31
cotu ucsc31
)1)(cotu ucsc31
(dxdu
dudy
dxdy
p-p==--==
Soal-soal Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ! PR : 2, 5, 6 & 9
1. f(x) = )32
xsin(
p- 6. f(x) = )x
3(csc4 -
p
101
2. f(x) = cos )3x
2( -
p 7. g(t) = t cos t2sin
21
p
3. g(x) = tan3x 8. h(w) = )bwcos()awsin(
-pp-
4. h(x) = cot3x 9. v(t) = )tbcos(t2sinat2
--
5. w(x) = )32
x(sec5 p
- 10. g(t) = t3sin
cos2t tsin
4.7 Turunan fungsi-fungsi trigonometri invers
Jika y = f(x) = arcsin x maka 2x1
1)x('f
dxdy
-== (4.24)
Bukti :
y = arcsinx ® sin y = x ® 1dxdx
dxdy
ycos == ® ycos
1dxdy
=
Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini ! sin y = x
cos y = 2x1 -
2x1
1dxdy
-= (terbukti)
2x1 -
Jika y = arcsin u dan u = f(x) maka dxdu
u1
1dxdy
2-= (4.25)
Bukti :
y = arcsin u ® 2u1
1dudy
-=
dxdu
u1
1dxdu
.dudy
dxdy
2-== (terbukti)
Contoh 4.16
Jika y = )x31
arcsin(83
- , tentukan dxdy
Penyelesaian :
Misal u = x31
- y = uarcsin83
1 x
y
102
31
dxdu
-= 2u1
183
dudy
-=
22
x91
18
131
u1
183
dxdu
dudy
dxdy
-
-=úû
ùêë
é-
-==
Jika y = f(x) = arccos x maka 2x1
1)x('f
dxdy
--== (4.26)
Bukti :
y = arccosx ® cos y = x ® 1dxdx
dxdy
ysin ==- ® ysin
1dxdy
-=
Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini ! cos y = x
sin y = 2x1 -
2x1
1dxdy
--= (terbukti) 2x1 -
x
Jika y = arccos u dan u = f(x) maka dxdu
u1
1dxdy
2--= (4.27)
Bukti :
y = arccos u ® 2u1
1dudy
--=
dxdu
u1
1dxdu
.dudy
dxdy
2--== (terbukti)
Contoh 4.17
Jika y = 2x arccos3- , tentukan dxdy
Penyelesaian : Misal u = 2x y = u arccos3-
2dxdu
= 2u1
13
dudy
-=
22 x41
6)2(
u1
13
dxdu
dudy
dxdy
-=
-==
1
y
103
Jika y = f(x) = arctan x maka 2x1
1)x('f
dxdy
+== (4.28)
Bukti :
y = arctanx ® tan y = x ® sec2y 1dxdx
dxdy
== ® ysec
1dxdy
2=
Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini ! tan y = x
sec2 y = 2x1 -
2x1 + x
2x1
1dxdy
-= (terbukti)
1
Jika y = arctan u dan u = f(x) maka dxdu
u1
1dxdy
2+= (4.29)
Bukti : y = arctan u ® 2u1
1dudy
+=
dxdu
u1
1dxdu
.dudy
dxdy
2+== (terbukti)
Contoh 4.18
Jika y = x31
arctan53 , tentukan
dxdy
Penyelesaian :
Misal u = x31 y = uarctan
53
31
dxdu
= 2u1
153
dudy
+=
)x
91
1(5
131
u1
153
dxdu
dudy
dxdy
22+
=úû
ùêë
é
+==
Jika y = f(x) = arccot x maka 2x1
1)x('f
dxdy
+-== (4.30)
Bukti : y = arccotx ® cot y = x ® -csc2y 1dxdx
dxdy
== ® ycsc
1dxdy
2-=
Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini ! cot y = x csc2 y = 2x1 +
2x1 + 1
y
104
2x1
1dxdy
+-= (terbukti)
x
Jika y = arccot u dan u = f(x) maka dxdu
u1
1dxdy
2+-= (4.31)
Bukti : y = arccot u ® 2u1
1dudy
+-=
dxdu
u1
1dxdu
.dudy
dxdy
2+-== (terbukti)
Contoh 4.19
Jika y = 2 arccot 3x, tentukan dxdy
Penyelesaian : Misal u = 3x y = 2 arccot u
3dxdu
= 2u1
12
dudy
+-=
22 x91
6)3(
u1
12
dxdu
dudy
dxdy
+-=
+-==
Jika y = f(x) = arcsec x maka 1xx
1)x('f
dxdy
2 -== (4.32)
Bukti : y = arcsecx ® sec y = x ® secy tany 1dxdx
dxdy
== ® y tan ysec
1dxdy
-=
Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini ! sec y = x
sec y tan y = 1xx 2 -
x 1x2 -
1xx
1dxdy
2 --= (terbukti)
1
Jika y = arcsec u dan u = f(x) maka dxdu
1uu
1dxdy
2 -= (4.33)
Bukti : y = arcsec u ® 1uu
1dudy
2 -=
dxdu
1uu
1dxdu
.dudy
dxdy
2 -== (terbukti)
y
y
105
Contoh 4.20
Jika y = arcsec )x2
( -p , tentukan
dxdy
Penyelesaian :
Misal u = x2
-p y = arcsec u
1dxdu
-= 1uu
1dudy
2 -=
1)x
2()x
2(
1)1(
1uu
1dxdu
dudy
dxdy
22--
p-
p-=-
-==
Jika y = f(x) = arccsc x maka 1xx
1)x('f
dxdy
2 --== (4.34)
Bukti :
y = arccscx ® csc y = x ® -csc y cot y 1dxdx
dxdy
== ® y cot ycsc
1dxdy
-=
Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini ! csc y = x
csc y cot y = 1xx 2 - x 1
1xx
1dxdy
2 --= (terbukti)
1x2 -
Jika y = arcsec u dan u = f(x) maka dxdu
1uu
1dxdy
2 --= (4.35)
Bukti : y = arccsc u ® 1uu
1dudy
2 --=
dxdu
1uu
1dxdu
.dudy
dxdy
2 --== (terbukti)
Contoh 4.21
Jika y = arccsc )2
x(p
- , tentukan dxdy
Penyelesaian :
Misal u = 2
xp
- y = arccsc u
1dxdu
= 1uu
1dudy
2 --=
y
106
1)
2x()
2x(
1 )1(
1uu
1dxdu
dudy
dxdy
22-
p-
p-
-=-
-==
Soal-soal Carilah turunan pertama dari soal-soal berikut !
1. y = arcsin(p-x) 3. xarccos
x2cosy =
2. y = -3 arccos 4x 4. y = arctan x – sin 3x
4.8 Turunan fungsi Eksponen
Jika y = f(x) = ex maka == )x('fdxdy ex (4.36)
Bukti :
ex didefinisikan sebagai n
nx
1 n
lim úû
ùêë
é+
¥®
Dengan menggunakan teorema binomial didapat : n
nx
1
úû
ùêë
é+ = L
nx
3!
1).2n)(1n(nnx
!21).1n(n
nx
!1
1n1.nnx
!0
n1 33n22n10+ú
û
ùêë
é--+ú
û
ùêë
é-+ú
û
ùêë
é-+ú
û
ùêë
é --
n
nx
1
úû
ùêë
é+ = L x
3!)n/21)(n/11(
x !2
)n/11(x1 32 +
--+
-++
n
nx
1 n
lim
úû
ùêë
é+
¥®= ú
û
ùêë
é+
--+
-++
¥®L x
3!)n/21)(n/11(
x !2
)n/11(x1
nlim 32
ex = L 3x
! 2x
x132
++++ (4.37)
Sehingga : e = LL ++++=++++!3
1!2
111
31
! 21
1132
(4.38)
Jika y = f(x) = ex
Maka x
)1e(elim
xee
limx
)x(f)xx(flim)x('f
dxdy xx
0x
xxx
0x0x D-
=D
-=
D-D+
==D
®D
D+
®D®D
Karena ex = L 3x
! 2x
x132
++++ , maka eDx – 1 = L 3x
! 2x
x32
+D
+D
+D
Sehingga x
)1e(elim
xx
0x D-D
®D= x
2x
0xe
3x
! 2x
1 elim =úúû
ù
êêë
é+
D+
D+
®DL (terbukti)
Jika y = eu dan u = f(x) maka dxdu
edxdy u= (4.39)
Bukti : y = eu uedudy
=
u = f(x) )x('fdxdu
=
107
dxdu
edxdu
dudy
dxdy u== (terbukti)
Contoh 4.22
Jika y = bxae2 -- , tentukan dxdy
Penyelesaian : Misal : u = a – bx
dxdu = -b
bxabxa be)b)(e(dxdy -- -=-=
4.9 Turunan fungsi logaritma
Jika y = f(x) = ln x maka == )x('fdxdy
x1 (4.40)
Bukti : y = f(x) = ln x
x
xx
1lnlim
xxln)xxln(
limx
)x(f)xx(flim)x('f
dxdy
0x0x0x D
úû
ùêë
é D+
=D
-D+=
D-D+
==®D®D®D
=úû
ùêë
é D+
D=
®D xx
1lnx1
lim0x
=úû
ùêë
é D+
D=
®D xx
1lnxx
limx1
0x
xx
0x xx
1lnlimx1 D
®Dúû
ùêë
é D+=
Berdasarkan teorema binomial maka :
L+úû
ùêë
éDúû
ùêë
é-
Dúû
ùêë
éD
+úû
ùêë
éDúû
ùêë
éD
+=úû
ùêë
é D+
-D
-D
DD! 2
xx
11xx
xx
! 1xx
1xx
! 01
xx
1
22xx
1xx
xx
xx
Jadi :
úúúúúú
û
ù
êêêêêê
ë
é
+úû
ùêë
éDúû
ùêë
é-
Dúû
ùêë
éD
+úû
ùêë
éDúû
ùêë
éD
+=úû
ùêë
é D+
-D
-D
D
®D
D
®DL
! 2xx
11xx
xx
! 1xx
1xx
! 01
ln limx1
xx
1 lnlimx1
22xx
1xx
xx
0x
xx
0x
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
+úû
ùêë
é D-ú
û
ùêë
é D-
+úû
ùêë
é D-
++=úû
ùêë
é D+
®D
D
®DL
! 3xx2
1xx
1
! 2xx
111 ln lim
x1
xx
1 ln limx1
0x
xx
0x
( )x1
1x1
e ln x1
! 31
! 21
11 ln x1
===úû
ùêë
é++++= L (terbukti)
108
Jika y = ln u dan u = f(x) maka dxdu
u1
dxdy
= (4.41)
Bukti : y = ln u u1
dudy
=
u = f(x) )x('fdxdu
=
dxdu
u1
dxdu
dudy
dxdy
== (terbukti)
Contoh 4.23
Jika y = e2x ln x31 tentukan
dxdy
Penyelesaian : Misal : u = e2x v = ln x31
x2e2dxdu
= x1
dxdv
=
úû
ùêë
é+=+=+=
x1
x31
ln2ex1
ex31
lne2dxdv
.uv.dxdu
dxdy x2x2x2
Jika y = f(x) = alog x maka == )x('fdxdy
x )a(ln1 (4.42)
Bukti : y = alog x ® ay = x
y ln a = ln x ® y = xlnaln
1
x)a(ln
1dxdy
= (terbukti)
Jika y = alog u dan u = f(x) maka dxdu
u)a(ln1
dxdy
= (4.43)
Bukti :
y = alog u ® u)a(ln
1dudy
=
dxdu
.u)a(ln
1dxdu
.dudy
dxdy
== (terbukti)
Contoh 4.24
Jika y = 7log(3-5x) tentukan dxdy
Penyelesaian : Misal : u = 3 – 5x ® 5dxdu
-=
)x53)(7(ln
5dxdu
u )a(ln1
dxdy
--
==
109
Soal-soal Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut !
1. y = xe3x 4. y = x4
2
e
x3lnx 7. y = x4ln
ex
31
10. y = xlne
ex5lnxx
x-
2. y = x3e2
2x3-
5. y = x2
x
e
)ex4(lnx + 8. y = x23
5
e
)x1log( 3-
-
3. y = x3 ln2x 6. y = x65x3ln2
- 9. y =
x4log
ex3
bxa3 -
4.10 Turunan fungsi hiperbolik
Jika y = f(x) = sinhx maka == )x('fdxdy coshx (4.44)
Bukti :
y = f(x) = sinhx = )ee(21 xx --
)x('fdxdy
= = )ee(21 xx -+ = coshx (terbukti)
Jika y = sinh u dan u = f(x) maka =dxdy cosh u
dxdu (4.45)
Bukti :
y = sinh u ® u coshdudy
=
dxdu
u coshdxdu
.dudy
dxdy
== (terbukti)
Contoh 4.25
Jika y = 3 sinh x51 , tentukan
dxdy
Penyelesaian :
Misal : u = x51 y = 3 sinh u
51
dxdu
= u cosh3dudy
=
110
x31
cosh53
)51
u)( cosh3(dxdu
dudy
dxdy
===
Jika y = f(x) = coshx maka == )x('fdxdy sinhx (4.46)
Bukti :
y = f(x) = coshx = )ee(21 xx -+
)x('fdxdy
= = )ee(21 xx -- = sinhx (terbukti)
Jika y = cosh u dan u = f(x) maka =dxdy sinh u
dxdu (4.47)
Bukti :
y = cosh u ® u sinhdudy
=
dxdu
u sinhdxdu
.dudy
dxdy
== (terbukti)
Contoh 4.26
Jika y = cosh (1-2x), tentukan dxdy
Penyelesaian : Misal : u = 1-2x y = cosh u
2dxdu
-= u sinh=dudy
)21sinh(2)u)(-2 (sinh xdxdu
dudy
dxdy
--===
Jika y = f(x) = tanhx maka == )x('fdxdy sech2 x (4.48)
Bukti :
y = f(x) = tanhx = xcoshxsinh
)x('fdxdy
= = xcosh
xsinhxcosh
)x(cosh
)x)(sinhx(sinh)x)(coshx(cosh2
22
2-
=-
= xhsecxcosh
1 22
= (terbukti)
Jika y = tanh u dan u = f(x) maka =dxdy sech2 u
dxdu (4.49)
Bukti :
111
y = tanh u ® u hsecdudy 2=
dxdu
u hsecdxdu
.dudy
dxdy 2== (terbukti)
Contoh 4.27
Jika y = tanh (a+bx), tentukan dxdy
Penyelesaian : Misal : u = a+bx y = tanh u
bdxdu
= u hsecdudy 2=
)bxa( h sec b)u)(b h(secdxdu
dudy
dxdy 22 +===
Jika y = f(x) = cothx maka == )x('fdxdy -csch2 x (4.50)
Bukti :
y = f(x) = cothx = xsinhxcosh
)x('fdxdy
= = xsinh
xcoshxsinh
)x(sinh
)x)(coshx(cosh)x)(sinhx(sinh2
22
2-
=-
= xhcscxsinh
1 22
-=- (terbukti)
Jika y = coth u dan u = f(x) maka =dxdy - csch2 u
dxdu (4.51)
Bukti : y = tanh u ® u hcscdudy 2-=
dxdu
u hcscdxdu
.dudy
dxdy 2-== (terbukti)
Contoh 4.28
Jika y = coth (a+bt), tentukan dtdy
Penyelesaian : Misal : u = a+bt y = coth u
bdtdu
= u hcscdudy 2-=
)bta( hcscb)u)(b hcsc(dtdu
dudy
dtdy 22 +-=-==
Jika y = f(x) = sechx maka == )x('fdxdy -csch2 x (4.52)
Bukti : y = f(x) = sechx = xcosh
1
112
Misal u = 1 ® 0dxdu
=
V = coshx ® xsinhdxdv
=
2v
dxdv
.uv.dxdu
dxdy -
= = 2)x(cosh
)x)(sinh1()x)(cosh0( - = xcosh
xsinh2
-
= - tanhx sechx (terbukti)
Jika y = sech u dan u = f(x) maka =dxdy - tanhu sechu
dxdu (4.53)
Bukti : y = sech u ® u hsec u tanhdudy
-=
dxdu
u sech u tanh dxdu
.dudy
dxdy
-== (terbukti)
Contoh 4.29
Jika y = 2sech )x51
31
( - , tentukan dtdy
Penyelesaian :
Misal : u = x51
31
- y = 2 sech u
51
dxdu
-= sechu utanhdudy
-=
)x51
31
sech( )x51
31
tanh(52
)51
sechu)(- utanh2(dtdu
dudy
dtdy
--=-==
y = f(x) = cschx maka == )x('fdxdy -csch x cothx (4.54)
Bukti :
y = f(x) = sechx = xsinh
1
Misal u = 1 ® 0dxdu
=
V = sinhx ® xcoshdxdv
=
2v
dxdv
.uv.dxdu
dxdy -
= = 2)x(sinh
)x)(cosh1()x)(sinh0( - = xsinh
xcosh2
-
= - cothx cschx (terbukti)
Jika y = csch u dan u = f(x) maka =dxdy - cothu cschu
dxdu (4.55)
Bukti :
y = csch u ® u hcsc u cothdudy
-=
113
dxdu
u csch u coth dxdu
.dudy
dxdy
-== (terbukti)
Contoh 4.30
Jika y = -3csch )x21
51
( + , tentukan dtdy
Penyelesaian :
Misal : u = x21
51
+ y = -3 csch u
21
dxdu
= cschu ucoth3dudy
=
)x21
51
sech( )x21
51
coth(23
)21
cschu)( ucoth3(dtdu
dudy
dtdy
++===
Soal-soal Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut !
1. y = sinh(2-3x) 6. y = )x21coth(cbxax2
+++
2. y = cosh(a2x – b) 7. y = x2 hsec
e ax-
3. y = x2 sinh5x 8. y = )x54ln(
x3hsec-
4. y = emx cosh2x 9. y = 1)-csch(x x51 3
5. y = ln(2-x) tanh3x 10. y = bx)-csch(a ex
31
4.11 Turunan fungsi hiperbolik invers
Jika y = f(x) = sinh-1x maka == )x('fdxdy
1x
12 +
(4.56)
Bukti : y = f(x) = sinh-1x = )1xxln( 2 ++
1x
1
1xx
1.
1x
x1x
1xx
1x
x1
dxdy
222
2
2
2
+=
+++
++=
++
++
= (terbukti)
Jika y = sinh-1 u dan u = f(x) maka =dxdy
dxdu
1u
12 +
(4.57)
Bukti : y = sinh-1 u ® 1u
1dudy
2 +=
dxdu
1u
1dxdu
.dudy
dxdy
2 +== (terbukti)
114
Contoh 4.31
Jika y = -3sinh-1 x21 , tentukan
dtdy
Penyelesaian :
Misal : u = x21 y = -3 sinh-1u
21
dxdu
= 1
132 +
-=udu
dy
1412
3)21)(
113(
22
+
-=
+-==
xudtdu
dudy
dtdy
Jika y = f(x) = cosh-1x maka == )x('fdxdy
1x
12 -
, x > 1 (4.58)
Bukti : y = f(x) = cosh-1x = )1xxln( 2 -+
1x
1
1xx
1.
1x
x1x
1xx
1x
x1
dxdy
222
2
2
2
-=
-+-
+-=
-+
-+
= , x > 1 (terbukti)
Jika y = cosh-1 u dan u = f(x) maka =dxdy
dxdu
1u
12 -
, u > 1 (4.59)
Bukti : y = cosh-1 u ® 1u
1dudy
2 -=
dxdu
1u
1dxdu
.dudy
dxdy
2 -== , u > 1 (terbukti)
Contoh 4.32
Jika y = cosh-1 x43 , tentukan
dxdy
Penyelesaian :
Misal : u = x43 y = cosh-1u
43
dxdu
= 1u
1dudy
2 -=
1x
169
4
3)
43
)(1u
1(
dtdu
dudy
dtdy
22+
=-
==
Jika y = f(x) = tanh-1x maka == )x('fdxdy
2x1
1
-, 1x < (4.60)
Bukti : y = f(x) = tanh-1x = 1x ,x1x1
ln21
<-+
115
22 x1
1x1x1
.)x1(
221
dxdy
-=
+-
-= , 1x < (terbukti)
Jika y = tanh-1 u dan u = f(x) maka =dxdy
dxdu
u1
12-
, 1u <
(4.61)
Bukti : y = tanh-1 u ® 2u1
1dudy
-=
dxdu
u1
1dxdu
.dudy
dxdy
2-== , 1u < (terbukti)
Contoh 4.33
Jika y = tanh-1(2x-1), tentukan dxdy
Penyelesaian : Misal : u = 2x - 1 y = tanh-1u
2dxdu
= 2u1
1dudy
-=
22 )1x2(1
2)2)(
u1
1(
dxdu
dudy
dxdy
--=
-==
Jika y = f(x) = coth-1x maka == )x('fdxdy
2x1
1
-, 1x > (4.62)
Bukti : y = f(x) = tanh-1x = 1x ,1x1x
ln21
>-+
222 x1
1
1x
11x1x
.)1x(
221
dxdy
-=
--=
+-
-
-= , 1x > (terbukti)
Jika y = coth-1 u dan u = f(x) maka =dxdy
dxdu
u1
12-
, 1u > (4.63)
Bukti : y = tanh-1 u ® 2u1
1dudy
-=
dxdu
u1
1dxdu
.dudy
dxdy
2-== , 1u > (terbukti)
Contoh 4.34
Jika y = 3 coth-1(2-3x), tentukan dxdy
Penyelesaian : Misal : u = 2-3x y = 3 tanh-1u
3dxdu
-= 2u1
3dudy
-=
22 )x32(1
9)3)(
u1
3(
dxdu
dudy
dxdy
---=-
-==
116
Jika y = f(x) = sech-1x maka == )x('fdxdy
2x1x
1
-- , 1x0 << (4.64)
Bukti : y = f(x) = sech-1x = 1x0 ,x
x11ln
2<<
-+
2x1x
1dxdy
--= , 1x0 << (terbukti)
Jika y = sech-1 u dan u = f(x) maka =dxdy
dxdu
u1u
12-
- , 1u0 << (4.65)
Bukti : y = sech-1 u ® 2u1u
1
dudy
--=
dxdu
u1
1
dxdu
.dudy
dxdy
2--== , 1u0 << (terbukti)
Contoh 4.35
Jika y = -2 sech-1(1-x), tentukan dxdy
Penyelesaian : Misal : u = 1-x y = 2 sech-1u
1dxdu
-= 2u1u
2
dudy
--=
22 )x1(1)x1(
2)1)(
u1u
2 (
dxdu
dudy
dxdy
---=-
--==
Jika y = f(x) = csch-1x maka == )x('fdxdy
2x1x
1
+- (4.66)
Bukti : y = f(x) = csch-1x = x
x11ln
2++
2x1x
1dxdy
+-= (terbukti)
Jika y = csch-1 u dan u = f(x) maka =dxdy
dxdu
u1u
12+
- (4.67)
Bukti : y = csch-1 u ® 2u1u
1
dudy
+-=
dxdu
u1u
1
dxdu
.dudy
dxdy
2+-== (terbukti)
Contoh 4.36
117
Jika y = csch-1(sinx), tentukan dxdy
Penyelesaian : Misal : u = sinx y = csch-1u
xcosdxdu
= 2u1u
1
dudy
+-=
xsin1xsin
xcos )x)(cos
u1u
1 (
dxdu
dudy
dxdy
22 +-=
+-==
Soal-soal Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi : 1. y = sinh-1(cosx) 4. y = x2 coth-1x 2. y = cosh-1(sin2x) 5. y = sech-1(x sinx) 3. y = tanh-1(3x+p) 6. y = e-2x csch-1(1-2x)
4.12 Turunan tingkat tinggi Jika terdapat suatu fungsi f(x) yang differensiable, maka kita dapat mencari turunan pertamanya yaitu f’(x). Jika turunan pertama tersebut juga differensiable maka kita dapat menentukan turunan kedua dari fungsi tersebut. Secara umum jika turunan ke (n-1) differensiable maka kita dapat menentukan turunan ke n dari fungsi tersebut. Biasanya turunan kedua dan seterusnya dari suatu fungsi disebut turunan tingkat tinggi. Turunan pertama, kedua dan ketiga ditulis dengan lambang :
2
2
dx
yd ,
dxdy dan
3
3
dx
yd atau f’(x), f’’(x) dan f’’’(x). Sedangkan untuk turunan ke n,
dimana n ³4, maka kita gunakan lambang :n
n
dx
yd atau f(n)(x).
Contoh 4.37 Tentukan turunan pertama sampai dengan turunan keempat dari f(x) = (x2-4)3
Penyelesaian :
2222 )4x(x6)x2()4x(3)x('fdxdy
-=-==
)4x(x24)4x(6)4x)(x4(x6)4x(6)x(''fdx
yd 22222222
2-+-=-+-==
x288x120x48)4x(x48)4x(x24)x('''fdx
yd 33223
3-=+-+-==
288x360)x(fdx
yd 2)4(4
4-==
Soal-soal Tentukan turunan kedua dari fungsi-fungsi :
1. f(x) = 2x e-x 2. f(x) = ln(a-bx) 3. f(x) = 1x
x2 +
118
4. f(x) = 2
2
x1
4x
-
+ 5. f(x) = sin2(a-bx) 6. f(x) = cos2 (mx+n)
4.13 Differensial Pada pembahasan mengenai masalah turunan kita telah menggunakan lambang dy/dx sebagai suatu kesatuan dan merupakan lambang dari turunan pertama suatu fungsi x. Pada pasal ini kita akan membahas pengertian dy dan dx secara terpisah. Misal terdapat suatu persamaan y = f(x). Dari Gambar 4.5
didapat : x xy
y Dúû
ùêë
éDD
=D (4.68)
Jika harga Dx sangat kecil, maka Dy menjadi sangat kecil juga. Sehingga persamaan 4.68 dapat ditulis menjadi :
dx )x(fdy ¢= (4.69)
Pada persamaan 4.69 diatas dx dan dy disebut differensial dari x dan y. Differensial y atau dy adalah perubahan kecil pada peubah y akibat adanya perubahan kecil pada peubah x atau dx. Contoh 4.38 Jika y = x2 - 2x – 3, tentukan differensial y Penyelesaian : f(x) = x2 - 2x – 3 f’(x) = 2x – 2 Sehingga : dy = (2x-2) dx = 2(x-1) dx Contoh 4.39
Dx = dx l1
f(x) l
f(x + Dx) f(x)
Dy
dy
y
x x+Dx x
0
Gambar 4.5
119
Volume sebuah silinder adalah V = pr2h. Jika jari-jari silinder tersebut membesar 1% dari jari-jari asal, tentukan perubahan volumenya. Penyelesaian : f(r) = pr2h f’(r) = 2prh dV = f’(r) dr = 2prh (0,01r) = 0,02 pr2h Jadi perubahan volume silinder adalah sebesar 0,02 pr2h Soal-soal 1. Sebuah bola mempunyai jari-jari 15 cm. Akibat meningkatnya temperatur
maka jari-jari bola tersebut meningkat menjadi 15,02 cm. Berapakah perubahan volume bola tersebut ?
2. Sebuah kolam renang berisi penuh dengan air.Ukuran kolam renang tsb
adalah sebagai berikut : panjang = 50 m, lebar = 20 meter dan kedalaman = 3 meter. Akibat adanya penguapan kedalaman air berkurang menjadi 2,98 m. Berapakah volume air yang menguap ?
Penjelasan : Kerjakan kedua soal tersebut diatas dengan metode differensial !
4.14 Turunan fungsi implisit Pada pasal-pasal sebelumnya kita telah mempelajari turunan fungsi-fungsi eksplisit, yaitu fungsi yang mempunyai bentuk y =f(x). Akan tetapi tidak semua fungsi mempunyai bentuk eksplisit. Sebagian mempunyai bentuk implisit, yaitu fungsi yang mempunyai bentuk F(x,y) = 0. Untuk mencari turunan fungsi implisit kita gunakan aturan sebagai berikut : 1. Jika pada F(x,y) = 0 mengandung suku g(x), maka :
)x('g)x(gdxd
= (4.70)
2. Jika pada F(x,y) = 0 mengandung suku h(y), maka :
dxdy
)y('h)y(hdxd
= (4.71)
3. Jika pada F(x,y) = 0 mengandung suku u(x) dan v(y), maka :
[ ]dxdy
)y('v).x(u)y(v).x('u)y(v).x(udxd
+= (4.72)
= Contoh 4.40
Tentukan dxdy
dari : x2 – 3xy +y2 = 4
Penyelesaian : x2 – 3xy +y2 = 4 ® x2 – 3xy +y2 – 4 = 0
120
2x – 3y – 3xdxdy
+ 2ydxdy
- 0 = 0
( 2y – 3x )dxdy
= 3y - 2x ® xyxy
dxdy
3223
--
=
Contoh 4.41
Tentukan dxdy dari : x2y + xy2 = 6 pada titik (1,2)
Penyelesaian : x2y + xy2 = r2 ® x2y + xy2 - r2 = 0
2xy + x2dxdy
+ y2 + 2xydxdy
= 0
(x2 + 2xy)dxdy
= -(2xy + y2) ® )xy2x(
)yxy2(dxdy
2
2
+
+-= ®
58
dxdy
2y1x
-=
==
Soal-soal
1. Tentukan dxdy
dari :
i) x + y = sinxy ii) xy = cos (x+y)
iii) y = exy iv) y = ln(xy)
2. Tentukan nilai dxdy
pada titik (1,0) dari :
i) 3xy2 + ex+y = e ii) x2 + y2 + xy = 1
4.15 Turunan fungsi parameter Fungsi parameter adalah fungsi yang mempunyai bentuk : x = f(t) dan y = g(t) , dengan t adalah parameter (4.73)
Untuk menentukan turunan pertama atau dy/dx dari fungsi parameter, terlebih dahulu kita tentukan dx/dt dan dy/dt. Serlanjutnya dy/dx dicari dengan rumus:
dt/dxdt/dy
dxdy
= (4.74)
Soal-soal
Tentukan dxdy dari fungsi parameter berikut :
121
1. ïî
ïíì
-=
+=22
3
)4t(y
)3t(x 3.
îíì
=p-=
t2cosy)tsin(x
2. ïî
ïíì
-==
)7t5ln(yex t2
4.
ïïî
ïïí
ì
-=
++
=
tt1
y
1t1t
x
2
2