Kaidah Pencacahan
description
Transcript of Kaidah Pencacahan
Kaidah Pencacahan
1. Aturan pengisian tempat yang tersediaContoh:
Pada lomba lari 100 meter, empat anak lolos ke putaran akhir, yaitu A(Adi), B(Banu), C (Candra), dan D(Dodi).
Pada perlombaan tersebut disediakan dua hadiah. Ada berapakah susunan pemenang yang mungkin muncul pada akhir pertandingan?
~ Aturan pengisian tempat yang tersedia
jawab
Pemenang pertama dan kedua yang mungkin muncul, dapat kita susun yaitu:
AB, AC, AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,dan DC.
Proses menentukan banyaknya susunan pemenang secara umum mengikuti aturan sebagai berikut:
Langkah 1:
Ada 4 peserta lomba yang semuanya bisa keluar sebagai juara pertama.
Langkah 2:
Satu orang sudah masuk garis akhir, masih ada 3 peserta lomba yang bisa menduduki juara kedua.
Jadi seluruhnya ada 4 x 3 = 12 (susunan pemenang yang mungkin terjadi)
Contoh 2
Amalia memiliki 4 buah kemeja, 2 buah celana panjang dan 3 sepatu. Ada berpa cara ia dapat berpakaian lengkap?
Jawab:
Kemeja yang dapat dipilih Amalia ada 4 cara, celana panjang 2 cara dan sepatu 3 cara.
Jadi, ada 4 x 2 x 3 = 24 cara amelia dapat berpakain lengkap
Dari uraian tersebut dapat kita peroleh suatu kesimpulan :
Jika terdapat buah tempat yang tersedia dengan:n1 = banyaknya cara untuk mengisi tempat pertama.n2 = banyaknya cara mengisi tempat kedua, setelah tempat pertama terisi.n3 = banyaknya cara mengisi tempat ketiga, setelah tempat pertama dan kedua terisi, dannk = banyaknya cara mengisi tempat ke – k, setelah tempat- tempat sebelumnya terisi.
Maka banyaknya cara untuk mengisi k tempat yang tersedia adalah
Aturan ini yang dimaksud sebagai aturan pengisian tempat yang tersedia atau kaidah perkalian.
n1 x n2 x n3 x … x nk.
Definisi dan Notasi faktorial
Definisi:
Hasil perkalian semua bilangan bulat positip dari satu sampai dengan n disebut n faktorial, dan diberi notasi n!.
jd n! = 1 x 2x 3 x … x (n-1) x n, atau n! = n x ( n-1) x (n-2) x … x 2 x 1
dengan 1! = 1 dan 0! = 1
Misalkan diadakan undian untuk memperebutkan 2 hadiah (hadiah I dan II). Jika yang memperebutkan hadiah itu ada 3 orang (A, B, dan C), ada berapa cara kedua macam hadiah itu dapat diberikan kepada para pemenang?.
Jawab:
Menurut Prinsip Perkalian
= 3×2
1
123 )!23(
!3
nrP )!rn(
!n
=3
2P32P
ObyekEksp.
A
B
C
Cara Eksp.
Diundi untuk
memperebutkan 2 hadiah
A
B
C
B
C
A
C
A
B
(B,A) = permutasi ke-3 = p3
(A,B) = permutasi ke-1 = p1
(A,C) = permutasi ke-2 = p2
(C,A) = permutasi ke-5 = p5
(C,B) = permutasi ke-6 = p6
(B,C) = permutasi ke-4 = p4
...
...
...
...
...
...
S, n(S) =
3 cara 2
cara
32P
Banyaknya cara: n(S) =
= 3×2 = 6
==
Permutasi
Permutasi Dengan Beberapa Unsur Sama
Ada berapa cara untuk membuat susunan huruf yang berbeda dari kata “MAMA”?.
Jawab
MMAAMAMAAMMAAMAMAAMMMAAM
Ada 6 cara
cabang) 4 memuat anggota 6 dari anggota masing-(masing 4
berlainan) huruf 4 dari huruf 4 permutasi (banyaknya 4!
= ) Adan Adari (permutasi 2! )M dan M dari (permutasi 2!
4!
2121 = 2! !2
!4=
6=cabangmemuatindeksdiberisetelahanggotadarigsinmagsinMa
hurufbanyaknyasesuaiindekasdiberiAdanMsetelahpermutasiSeluruh
46
Berapa banyak cara untuk membuat susunan huruf dari kata “KAKAKKU”?
Jawab
!1!.2!.4
!7
=2471C
74C × ×47
2C
1! 2! !4
!7
1! 2! !4
2).(1) . (3 . 4) . 5 . 6 . 7(=7
)1,2,4(P
Secara umum,
dengan
n1= + n2 + + nkn
.Banyaknya cara mengambil 2 huruf A dari (7 – 4) huruf sisanya ada , dan banyaknya cara mengambil 1 huruf A dari (7 – 4 – 2) huruf sisanya ada
Maka menurut prinsip perkalian banyaknya cara untuk membuat susunan huruf dari kata KAKAKKU ada:
74C
472C
2471C
Karena ada 4K, 2A, dan 1U, maka banyaknya cara =
!n...!n.!n
!n
k21=
n)n,...,n,n( k21
P
Permutasi Dengan Beberapa Unsur Sama
7)1,2,4(P = = 105 cara
Secara matematika formal, banyaknya cara mengambil 4 huruf K dari 7 huruf ada
Permutasi Siklis
A
C B
C
B A
B
A C
Secara umum banyaknya permutasi siklis dari n obyek =
nsiklisP
Misalkan 3 orang anak A, B, dan C diminta naik ke permainan roda putar
Dari 3 tempat duduk pada permainan roda putar itu sebenarnya hanya ada 2 saja yang berbeda susunannya, yakni ABC dan ACB. Sehingga hanya ada 2 permutasi siklis.
Maka berarti ketiga permutasi siklis tersebut sama, yakni ABC = CAB = BCA. Untuk melihat kesamaannya perhatikan bahwa:
CAB.CAB = BCA.BCA = ABC (Pandanglah A sebagai titik awal).
Secara umum banyaknya permutasi siklis dari n obyek = = (n –
1)!
Permutasi berulang
Jika kita inin menyusun kata yang terdiri 2 huruf, yang dipilih dari huruf A, D, I, serta kata yang terbentuk boleh mengandung huruf yang sama, maka kita akan mendapatkan kata: AA, AD, AI, DD, DA, DI, II, IA, ID.
Jadi, banyaknya permutasi dua huruf yang diambil dari 3 huruf dengan huruf- huruf itu boleh berulang ada 9 cara.
Secara umum:
Banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia (dengan tiap unsur yang tersedia boleh ditulis berulang) adalah sebagai berikut:
dengan r < n P (berulang) =nr
No Obyek Eksp. Cara Eksp. Kemungkinan yang dapat hadir
1 O = {A,B,C,D}
Diundang 2 orang wakilnya untuk rapat keluarga
AB = c1
AC = c2
AD = c3
BC = c4
BD = c5
CD = c6
2 O = {A,B,C,D}
Diundang 3 orang wakilnya untuk rapat keluarga
ABC = c1
ABD = c2
ACD = c3
BCD = c4
Kombinasi
42P
42C
42C
42P
Perhatikan bahwa
= x 2! 12 = 6 x 2!
6 × 2! Total = = 12 = 6 × 2 = 6
2!2!2!2!2!2!
AB dan BAAC dan CAAD dan DABC dan CBBD dan DBCD dan DC
c1 = AB
c2 = AC
c3 = AD
c4 = BC
c5 = BD
c6 = CD
Banyaknya Permutasi
Jika elemen-elemen kombinasi itu dipermutasikan
Macam Kombinasi
Kombinasi k Unsur dari n Unsur dengan beberapa unsur sama
Misal 4 bola akan yang diambil dari dalam kotak berisi 4 bola merah, 3 bolaputih dan 2 bola hijau.Empat bola yang diambil harus terdiri dari 2 bola merah, 1 bola putih dan 1 bola hijau.
Cara pengambilan ini merupakan masalah kombinasi k unsur dari n unsur dengan beberapa unsur yang sama.
Sehingga total cara pemilihan 4 bola dari 9 bola adalah 4 C 2 . 3 C 1 . 2 C 1 cara.
Misal terdapat n unsur yang terdiri dari q1, q2, q3, …, qn
Unsur q1 ada sebanyak n1, unsur q2 ada sebanyak n2, unsur q3 ada sebanyak n3, …, unsur qe ada sebanyak ne, sehingga n1 + n2 + n3 + …+ ne = n.
Dari n unsur tersebut akan diambil k unsur yang terdiri dari k1 unsur q1, k2 unsur q2, k3 unsur q3, …, ke unsur qe dengan k1 + k2 + k3 + … + ke = k.
Banyak cara pengambilan adalah:
n1 C k1 . n2 C k2 . n3 C k3 …. . ne C ke
Peluang KejadianPercobaan, Ruang Sampel, Peluang suatu kejadian
)A(frlimn
Kombinatorik Adalah teknik menghitung banyaknya anggota ruang sampel dengan :1.Cara mendatar2.Membuat tabel3.Membuat diagram pohon
Peluang adalah nilai frekuensi relatif munculnya suatu peristiwa dalam suatu eksperimen jika banyaknya percobaan tak terhingga.
P(A)=
Eksperimen (Percobaan Acak) Ada Obyek Eksperimen Ada Cara Eksperimen Ada Hasil-hasil Yang Mungkin (Titik-titik Sampel)
ObyekEksp.
Cara Eksp.
Hasil-hasilYang Mungkin
s1
s2
s3
s4
s5
S
S = Ruang Sampel = { s1 , s2 , s3 , . . . , s5 }
= Himpunan semua hasil yang mungkin
dalam eksperimen itu
s1 , s2 , s3 , . . . , s5 masing-masing
disebut titik sampel
s2
Ss1
s3 s4 s5
sn
S
As3
s2s1sm
S = Ruang Sampel
= Himpunan semua hasil yang mungkin terjadi dalam eksperimen itu
= {s1 , s2 , s3 , . . . , sm , . . . , sn}
A = Suatu peristiwa dalam ruang sampel S
= {s1 , s2 , s3 , . . . , sm}
Prinsip Penjumlahan
P(A) = P({s1}) + P({s2}) + P({s3}) + . . . + P({sm})
= jumlah peluang masing-masing titik sampel
yang ada di dalamnya
Peluang Berdasar Pengambilan Sampel
Pengambilan Sekaligus → KombinasiPengulangan obyek eksp. tidak
dimungkinkan dan urutan tak
diperhatikan (tak punya makna)
Pengambilan Satu Demi Satu
1. Tanpa Pengembalian → PermutasiPengulangan obyek eksp. tidak
dimungkinkan dan urutan diperhatikan (punya makna)
2. Dengan Pengembalian → Bukan Permutasi dan Bukan Kombinasi
Banyaknya Eksp.
Frek. Munculnya
s1 =s2 s3
300 kali3.000 kali
15.000 kali30.000 kali
banyak kali
921.0124.989
10.012
Fr (s1) ≈
105991
5.0079.984
Fr (s2) ≈
93997
5.00410.004
Fr (s3) ≈
3
1
3
1
1. Pengambilan Sekaligus
Hasil-hasil yang mungkinObyek Eksp
Cara Ekp.
1 2 3
Eksp1: ambil acak
2 bola sekaligus
… s1
… s2
… s3
1 2
1 3
2 3
S
A
Ambil acak 2 bola sekaligus.Hasil-hasil yang mungkin?
3
1
A
Ss2
s1 s3
P({s1}) = P({s2}) = P({s3}) = Maka S berdistribusi seragam
3
1
S = {s1, s2 , s3 } = Ruang sampel hasil eksperimen
A = Peristiwa terambilnya jumlah kedua nomor bola ganjil
= {s1, s3 } , n(A) = 2.
n(S) =
= 3 .32C
P(A)
= )S(n
)A(n3
2
2. Pengambilan Satu demi Satu Tanpa Pengembalian
Obyek Eksp
Cara Ekp.
1 2 3
Eksp 2 : ambil acak
2 bola 1 – 1 tanpa pengembalian
Ambil acak 2 bola 1 – 1 tanpa pengemb. Hasil-hasil yang mungkin?
1
2
3
2
3
1
3
1
2
1 2 … s1…
1 3 … s2…
2 1 … s3…
2 3 … s4…
3 1 … s5…
3 2 … s6…
S
A
3 cara2 cara
Hasil-hasil yang
mungkin
A
S
s6
s5
s4
s2
s1
s3
P({s1}) = P({s2}) = … =
P({s6}) = Maka S berdistribusi seragam.
6
1
S = {s1, s2 , s3 , . . . ,s6 } = Ruang sampel hasil eksperimen
A = peristiwa terambilnya jumlah kedua nomor bola ganjil
= {s1, s3, s4 , s6 } P(A) = = = .
n(S) = = =
)S(n
)A(n6
4
3
2
3 × 2 6..ekspobyekdari
obyekP 32
3. Pengambilan 1 – 1 Dengan Pengembalian
Eksp2:ambil acak2 bola 1-1 dengan
pengemb.
Ambil acak 2 bola 1-1 dengan pengembalian. Hasil-hasil yang
mungkin?
I
Hasil-hasil yang mungkin
S
II A
2
3
1 2 3
1
1 … s11 1…
2 … s21 2…
3 … s31 3…
1 … s73 1…
2 … s83 2…
3 … s93 3… 3 cara
3 cara
A
Ss7
s2s6
s3
s4
s8
s1
s5s9
S = {s1, s2 , s3, ... , s9} = Ruang sampel hasil eksperimen.
n(S) = 3 × 3 = 9
A = peristiwa terambilnya jumlah kedua nomor bola ganjil. = {s2, s4, s6 , s8 }
P(A) = = .)S(n
)A(n
9
4
P({s1}) = P({s2}) = … =
P({s9}) = Maka S berdistribusi seragam.
9
1
Frekuensi Harapan
Frekuensi Harapan suatu kejadian adalah hasil kali peluang kejadian tersebut dengan banyaknya percobaan.
Fr(A) = P(A) . n dengan, Fr(A) = frekuensi harapan kejadian A P (A) = peluang kejadian A n = banyaknya percobaan
Contoh:Peluang seorang anak terkena penyakit polio adalah 0,01, dari 8000 anak. Berapa kira- kira yang terjangkit penyakit polio?Jawab:P(kenapolio) = 0,01, n= 8000Fr(A) = P(kena polio) . n = 0,01 x 8000 = 80 Jadi, dari 8000 anak diperkirakan ada 80 anak yang terkena penyakit polio
)( 1 )(
1
)(
'
'
APAP
n
an
a
n
nn
anAP
A’
S
A
Jika A mempunyai a elemen, dan S
mempunyai n elemen maka A’ mempunyai
n-a elemen. Maka P(A’) adalah peluang
tidak terjadinya A.
Kejadian bukan A dari himpunan S ditulis
dengan simbol A’ (atau Ac) disebut
komplemen dari A.
1. Komplemen
2.Dua Kejadian Saling Lepas
.1.4
A .2 .5 .7 .3 .11
B .6 .8 .9 .10 .12
S
Maka A = {2, 3, 5, 7, 11} dan B = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
Sehingga
S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}A={kejadian mendapatkan bilangan
prima}B={kejadian mendapatkan sedikitnya
bilangan 5}
Jika kita melihat hubungan antara , P(A) dan P(B), terdapatirisan antara A dan B, yaitu {5, 7, 11} dan juga diperoleh
6
5
12
10 B) (A P
)( BAP
12
3 ) ( BAP dan
)( )( )( )(
12
3
12
8
12
5
12
3 8 5
12
10 ) (
BAPBPAPBAP
BAP
Jika suatu kejadian A dan B tidak bersekutu, dalam hal ini =Ø, maka kita katakan dua kejadian tersebut adalah saling lepas. Untuk kejadian saling lepas (saling asing)
)( )( )( BPAPBAP
Maka = P(Ø) = 0
) ( BA
Jika A dan B kejadian yang saling lepas maka
Contoh Soal :
1. Sebuah dadu dilemparkan satu kali, Jika A = {kejadian muncul mata dadu lebih dari 2}, tentukan P(A’) ? Jawab : Sebuah dadu dilemparkan satu kali, maka ruang sampelnya adalah:S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Jika A = {kejadian muncul mata dadu lebih dari 2} = {3, 4, 5, 6}Maka P(A) = 4/6 = 2/3 P(A’) = 1 – 4/6 = 2/6 = 1/3
2. Pada pengambilan 1 kartu secara acak dari 1 set kartu bridge, berapa peluang mendapatkan kartu As atau King?
DUA KEJADIAN SALING BEBAS
6
1
)(
)(
Sn
An
Sekeping uang logam dan sebuah dadu dilempar sekali. Kejadian munculnya sisi angka pada uang logam dan kejadian munculnya mata 3 pada dadu adalah dua kejadian yang tidak saling mempengaruhi.
Peluang dua kejadian A dan B yang yang saling bebas adalah:P (A B) = P (A) . P(B)Contoh : Misal A = kejadian muncul mata dadu 3 pada pelemparan pertama, maka :n(A) = 1, sehingga P(A) =
Misal B = kejadian muncul mata dadu 5 pada pelemparan kedua, maka: n(B) = 1, sehingga P(B) =
Peluang A dan B: P( A B) = P(A) . P(B) =
6
1
)(
)(
Sn
An
6
1
)(
)(
Sn
Bn
36
1
6
1.
6
1
1. Peluang tidak terjadinya A atau P(A’) adalah P(A’) = 1 – P(A)
)( )( )( BPAPBAP
Rangkuman
2. Jika A dan B kejadian yang saling lepas maka
3. Jika A dan B kejadian yang saling bebas maka
)( )( )( BPAPBAP
SEKIAN
TERIMA KASIH
SAMPAI JUMPA LAGI