CAMPI ELETTROMAGNETICI

Kurt Lechner

Prefazione

Le conoscenze sperimentali e teoriche acquisite finora sul comportamento della materia

a livello microscopico, portano a concludere che l’interezza dei fenomeni fisici microscopici

puo essere interpretata assumendo che tutta la materia sia costituita da particelle elemen-

tari puntiformi, soggette a solo quattro tipi di interazioni fondamentali: gravitazionale,

elettromagnetica, debole e forte. Tra queste l’interazione gravitazionale e quella nota da

piu tempo, mentre quella elettromagnetica e la piu studiata avendo trovato una sua solida

formulazione teorica nell’Elettrodinamica Quantistica, a meta del secolo scorso. La quasi

totalita dei fenomeni fisici quotidiani – dalla stabilita della materia alla propagazione della

luce – e infatti riconducibile a questa teoria. Le interazioni deboli e forti, che a differenza

di quelle elettromagnetica e gravitazionale si manifestano solo a distanze microscopiche,

hanno trovato una formulazione analoga nell’ambito del Modello Standard delle particelle

elementari – che include la stessa Elettrodinamica Quantistica – mentre l’interazione gra-

vitazionale risulta tuttora in conflitto con le leggi della Meccanica Quantistica, nonostante

i progressi maturati nell’ambito della Teoria delle Superstringhe.

Nonostante il comune ruolo di mediatrici dell’azione reciproca tra i costituenti ele-

mentari della natura, ciascuna delle quattro interazioni fondamentali e contrassegnata da

proprieta esclusive tali da comportare fenomeni fisici peculiari. Cosı le interazioni forti

sono le sole a dar luogo al fenomeno del confinamento, che confina i quark e i gluoni

all’interno dei nucleoni, mentre le interazioni deboli sono le uniche ad essere mediate da

particelle massive, le W± e la Z0. Analogamente l’interazione elettromagnetica e l’unica

a essere mediata da particelle – i fotoni – le quali, non essendo dotate di carica elettrica

non sono soggette a loro volta a un’interazione elettromagnetica reciproca. E infine, l’in-

terazione gravitazionale e l’unica che si esercita tra tutte le particelle elementari, compresi

i mediatori delle interazioni stesse.

Di fronte a queste distinzioni importanti appare alquanto sorprendente come le quattro

interazioni fondamentali siano rette da un’impalcatura teorica comune, che ne determina

fortemente la struttura generale; impalcatura elegante nella sua forma e matematicamen-

te solida, le cui profonde origini fisiche sono in parte ancora da scoprire. Tra i pilastri

principali di questa impalcatura unificante ricordiamo i seguenti: tutte le interazioni fon-

damentali soddisfano il principio di relativita einsteiniana e ammettono una formulazione

covariante a vista, con conseguente conservazione del quadrimomento e del momento an-

golare quadridimensionale. Ciascunca delle interazioni e mediata da una o piu particelle

bosoniche, rappresentate a livello classico da un insieme di campi vettoriali Aµ, la cui

dinamica e controllata da un’invarianza di gauge locale. Il teorema di Noether associa

poi a ciascun bosone vettore una grandezza conservata. Infine, il pilastro forse piu miste-

rioso ma non per questo meno fondante e rappresentato dal fatto che l’intera dinamica

riguardante l’insieme delle interazioni fondamentali puo essere dedotta da un principio

variazionale.

Il presente testo costituisce un trattato sull’Elettrodinamica classica di particelle pun-

tiformi, ed e stato costruito attorno agli argomenti svolti nel corso “Campi Elettroma-

gnetici” che ho tenuto negli anni accademici 2004/05–2008/09 per la Laurea Magistrale

in Fisica presso l’Universita di Padova. Nella sua stesura mi sono fatto guidare in prima

linea dall’intento di enucleare gli aspetti che accomunano l’Elettrodinamica alle altre inte-

razioni fondamentali – vale a dire i pilastri sopra nominati – mettendo anche in evidenza,

ove possibile, analogie e differenze. La rinuncia piu pesante che questa impostazione ha

comportato consiste nell’aver trascurato quasi completamente l’argomento importante dei

campi elettromagnetici nei materiali.

Le altre linee guida che ho seguito si riassumono come segue. Ho cercato di formulare

l’Elettrodinamica classica come una teoria basata su un sistema di postulati – essenzial-

mente il principio di relativita einsteininana e le equazioni di Maxwell e di Lorentz – da

cui l’intera e ricca fenomenologia delle interazioni elettromagnetiche tra particelle cariche

puo essere dedotta in modo stringente. Per poter impostare queste equazioni in modo

matematicamente rigoroso e indispensabile ambientarle nello spazio delle distribuzioni.

Particolare attenzione e poi stata dedicata alle proprieta di consistenza interna e fisica

dell’Elettrodinamica. In questo contesto viene svolta un’analisi accurata delle divergenze

ultraviolette che accompagnano la reazione di radiazione, e che rendono l’Elettrodinami-

ca classica – in ultima analisi – una teoria internamente inconsistente. Ogni argomento

teorico e illustrato con una serie di esempi fisicamente rilevanti che vengono svolti in

dettaglio, cosı come l’introduzione di ogni nuovo strumento matematico viene motivata

e accompagnata da esemplificazioni pratiche. Infine, la soluzione dei problemi proposti a

conclusione dei capitoli comporta una migliore comprensione di alcuni argomenti trattati

nel testo, pur non condizionando la comprensione dei capitoli successivi.

Organizzazione del materiale. A grandi linee gli argomenti del testo sono suddivisi in

tre parti. La prima parte (capitoli 1–4) espone le basi concettuali e matematiche su cui si

fonda la costruzione dell’Elettrodinamica di un sistema di particelle cariche puntiformi.

Questa parte iniziale presenta in particolare gli strumenti matematici necessari per una

formulazione precisa della teoria, vale a dire il formalismo covariante come sede naturale

di una qualsiasi teoria relativistica, e la teoria delle distribuzioni, strumento indispensa-

bile per una trattazione corretta delle singolarita implicate dalla natura puntiforme delle

particelle cariche. Dopo l’introduzione delle equazioni fondamentali dell’Elettrodinamica

– le equazioni di Maxwell e di Lorentz – e una loro analisi strutturale preliminare, si ana-

lizzano le leggi di conservazione da esse implicate. Conclude la prima parte l’introduzione

del metodo variazionale. Questo metodo viene presentato come approccio alternativo per

la formulazione di una generica teoria di campo che ne codifica la dinamica in modo con-

ciso ed elegante, e come ingrediente fondamentale per la validita del teorema di Noether.

Lo stretto nesso esistente in generale tra questo teorema e il principio variazionale viene

poi esemplificato in dettaglio nel caso dell’Elettrodinamica di particelle puntiformi.

La seconda parte (capitoli 5–11) – la piu estesa – verte maggiormente sulle applica-

zioni dell’Elettrodinamica e comprende in particolare una trattazione sistematica della

generazione di campi elettromagnetici da parte di particelle cariche in moto arbitrario,

e un’analisi approfondita del fenomeno dell’irraggiamento, sia nel limite non relativistico

che in quello ultrarelativistico. Cosı si svolge un’analisi sistematica delle distribuzioni an-

golare e spettrale della radiazione emessa in diverse situazioni fisicamente rilevanti, come

ad esempio quelle riguardanti le antenne, gli acceleratori ultrarelativistici, le collisioni tra

particelle cariche e la diffusione della radiazione da parte di particelle cariche. In questa

parte vengono inoltre trattati in dettaglio alcuni argomenti che nei libri di testo raramente

vengono presentati in modo sistematico. Cosı si risolve, ad esempio, il problema del cam-

po elettromagnetico creato da una particella carica priva di massa, si esegue un confronto

dettagliato tra la radiazione elettromagnetica e quella gravitazionale, e si presenta una

trattazione teorica sistematica dell’effetto Cerenkov.

La terza parte (capitoli 12–13) verte su argomenti piu speculativi, e delicati, che nei

testi spesso vengono trattati con superficialita. Il capitolo 12 e dedicato alla reazione

di radiazione e affronta con cura il problema delle divergenze ultraviolette da cui essa

e inevitabilmente affetta. Lo scopo di questo capitolo e doppio: da un lato si vogliono

enucleare le motivazioni teoriche che ci costringono a sostituire l’equazione di Lorentz

(divergente) – un dogma dell’Elettrodinamica classica – con l’equazione di Lorentz–Dirac.

Dall’altro si vuole illustrare come l’Elettrodinamica che emerge da questa sostituzione e

affetta da un’inconsistenza interna incurabile, che muta solo di aspetto a seconda del

punto di vista pragmatico che si assume. La seconda parte di questo capitolo e dedicata

all’altro “problema antico” dell’Elettrodinamica, rappresentato dall’energia infinita del

campo elettromagnetico creato da una particella puntiforme, che mina la stessa legge

di conservazione dell’energia. Sorprendentemente, questo problema ha trovato una sua

soluzione solo una trentina di anni fa, e noi ne presenteremo una versione alternativa in

una veste piu moderna, nell’ambito della teoria delle distribuzioni. Infine, il capitolo 13 e

dedicato ai monopoli magnetici e ha lo scopo di illustrare come l’Elettrodinamica – pur

essendo basata su un sistema di postulati molto rigidi – e perfettamente compatibile con

l’esistenza in natura di questo nuovo tipo di particelle cariche.

Prerequisiti. Si suppone che il lettore di questo testo possegga conoscenze di base

di Elettromagnetismo classico e abbia familiarita con le equazioni di Maxwell e Lorentz

scritte in forma covariante a vista, e in generale con l’uso dei tensori quadridimensionali.

L’origine fisica e gli elementi fondamentali del calcolo tensoriale vengono comunque richia-

mati con un certo grado di completezza e rigore logico nel capitolo 1. E anche richiesto un

minimo di familiarita con la teoria delle distribuzioni, in particolare con la distribuzione

δ di Dirac. Tuttavia, gli elementi essenziali riguardanti le distribuzioni e necessari per la

comprensione del testo sono presentati in modo succinto nel capitolo 2. Infine e utile, ma

non indispensabile, conoscere il metodo variazionale relativo a un sistema lagrangiano con

un numero finito di gradi di liberta.

Padova, dicembre 2008 Kurt Lechner

Indice

1 I fondamenti della Relativita Ristretta 1

1.1 I postulati della Relativita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Trasformazioni di Lorentz e di Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Linearita delle trasformazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.2 Invarianza dell’intervallo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Leggi fisiche covarianti a vista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1 Calcolo tensoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Struttura del gruppo di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.1 Trasformazioni infinitesime e trasformazioni finite . . . . . . . . . . 12

1.5 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Le equazioni dell’Elettrodinamica 16

2.1 Cinematica di una particella relativistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 L’Elettrodinamica di particelle puntiformi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.1 Equazione di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.2 Identita di Bianchi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.3 Equazione di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 La natura distribuzionale del campo elettromagnetico . . . . . . . . . . . . 30

2.3.1 Lo spazio delle distribuzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3.2 Operazioni sulle distribuzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3.3 Identita di Bianchi e forme differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3.4 Il campo elettromagnetico della particella statica . . . . . . . . . . 40

2.4 Le costanti del moto dell’Elettrodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.4.1 Conservazione e invarianza della carica elettrica . . . . . . . . . . . 44

2.4.2 Tensore energia–impulso e conservazione del quadrimomento . . . . 47

2.4.3 Il tensore energia–impulso dell’Elettrodinamica . . . . . . . . . . . 49

2.4.4 Conservazione del momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.5 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3 Metodi variazionali in teoria di campo 64

3.1 Principio di minima azione in meccanica classica . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.2 Principio di minima azione in teoria di campo . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.2.1 Ipersuperfici nello spazio di Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.2.2 Invarianza relativistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.2.3 La lagrangiana per l’equazione di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . 79

3.3 Il Teorema di Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.3.1 Trasformazioni di Poincare infinitesime . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.3.2 Teorema di Noether per il gruppo di Poincare . . . . . . . . . . . . 87

3.3.3 Tensore energia–impulso canonico per il campo di Maxwell . . . . . 92

3.4 Costruzione di un tensore energia–impulso simmetrico . . . . . . . . . . . . 93

3.4.1 Tensore energia–impulso simmetrico per il campo di Maxwell . . . . 96

3.5 Densita di momento angolare “standard” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.6 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4 Il metodo variazionale per l’Elettrodinamica di particelle puntiformi 101

4.1 Principio variazionale per una particella libera . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.2 L’azione per l’Elettrodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.3 Il teorema di Noether in Elettrodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.4 Invarianza di gauge e conservazione della carica elettrica . . . . . . . . . . 112

4.5 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5 Onde elettromagnetiche 115

5.1 I gradi di liberta del campo elettromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.1.1 I gradi di liberta in meccanica newtoniana . . . . . . . . . . . . . . 116

5.1.2 I gradi di liberta in teoria di campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.1.3 Il problema di Cauchy per l’equazione di Maxwell . . . . . . . . . . 118

5.2 L’equazione delle onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5.2.1 Il problema alle condizioni iniziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.3 Soluzioni dell’equazione di Maxwell nel vuoto . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.3.1 Proprieta delle onde elettromagnetiche elementari . . . . . . . . . . 134

5.3.2 Onde piane ed elicita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.3.3 Onde elettromagnetiche e invarianza di gauge manifesta . . . . . . . 145

5.4 Effetto Doppler relativistico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5.5 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

6 Generazione di campi elettromagnetici 157

6.1 Il metodo della funzione di Green: equazione di Poisson . . . . . . . . . . . 158

6.1.1 Una soluzione particolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

6.1.2 Validita della soluzione e soluzione generale . . . . . . . . . . . . . 163

6.2 Il campo generato da una corrente generica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

6.2.1 La funzione di Green ritardata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

6.2.2 Il potenziale vettore ritardato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

6.2.3 Validita della soluzione e trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . 176

6.3 Campo di una particella in moto rettilineo uniforme . . . . . . . . . . . . . 178

6.3.1 Campo di una particella massiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

6.3.2 Campo di una particella di massa nulla . . . . . . . . . . . . . . . . 183

6.4 Campo di una particella in moto arbitrario . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

6.4.1 Condizioni asintotiche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

6.4.2 I campi di Lienard–Wiechert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

6.4.3 Emissione di radiazione da cariche accelerate . . . . . . . . . . . . . 198

6.4.4 Limite non relativistico e formula di Larmor . . . . . . . . . . . . . 201

6.5 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

7 Irraggiamento 206

7.1 Il campo elettromagnetico nella zona delle onde . . . . . . . . . . . . . . . 208

7.1.1 Emissione di quadrimomento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

7.1.2 Sorgenti monocromatiche e onde piane . . . . . . . . . . . . . . . . 212

7.2 La radiazione dell’antenna lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

7.3 Sviluppi non relativistici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

7.3.1 Sviluppo in multipoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

7.3.2 La radiazione di dipolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

7.3.3 Potenza emessa da un’antenna lineare corta . . . . . . . . . . . . . 226

7.3.4 Diffusione Thomson della radiazione . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

7.3.5 Bremsstrahlung dall’interazione coulombiana . . . . . . . . . . . . . 234

7.3.6 La radiazione dell’atomo d’idrogeno classico . . . . . . . . . . . . . 240

7.4 Radiazione di quadrupolo elettrico e di dipolo magnetico . . . . . . . . . . 242

7.5 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

8 La radiazione gravitazionale 252

8.1 Onde gravitazionali e onde elettromagnetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

8.2 Le equazioni per un campo gravitazionale debole. . . . . . . . . . . . . . . 253

8.2.1 La relazione con le equazioni di Einstein . . . . . . . . . . . . . . . 255

8.3 Irraggiamento gravitazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

8.3.1 Un argomento euristico per la formula di quadrupolo . . . . . . . . 259

8.4 La potenza della radiazione di quadrupolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

8.5 La pulsar binaria PSR 1913+16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

8.6 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

9 Irraggiamento ultrarelativistico 269

9.1 Generalizzazione relativistica della formula di Larmor . . . . . . . . . . . . 270

9.1.1 Un argomento di covarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

9.1.2 Deduzione della formula di Larmor relativistica . . . . . . . . . . . 273

9.2 Perdita di energia negli acceleratori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

9.2.1 Acceleratori lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

9.2.2 Acceleratori circolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

9.3 Distribuzione angolare nel limite ultrarelativistico . . . . . . . . . . . . . . 281

9.4 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

10 Analisi spettrale 286

10.1 Analisi di Fourier e risultati generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

10.2 Analisi spettrale nel limite non relativistico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

10.2.1 Bremsstrahlung a spettro continuo e catastrofe infrarossa . . . . . . 291

10.2.2 Bremsstrahlung a spettro discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

10.3 Analisi spettrale relativistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

10.3.1 Spettro di emissione di una particella singola . . . . . . . . . . . . . 297

10.3.2 Frequenze caratteristiche nel limite ultrarelativistico . . . . . . . . . 300

10.4 La radiazione del ciclotrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

10.4.1 Analisi spettrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

10.4.2 Lo spettro nel limite ultrarelativistico . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

10.4.3 Distribuzione angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

10.4.4 Luce di sincrotrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

10.5 Spettro di emissione di una corrente generica . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

10.5.1 Corrente periodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

10.5.2 Corrente aperiodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

11 L’effetto Cerenkov 315

11.1 Campo di una particella in moto rettilineo uniforme in un mezzo . . . . . . 316

11.2 Il campo per v <c

n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

11.2.1 Analisi in frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

11.3 Il campo per v >c

n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

11.3.1 Il campo nella zona delle onde e l’angolo di Cerenkov . . . . . . . . 325

11.4 Mezzi dispersivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

11.5 Perdita di energia ed emissione di fotoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

11.5.1 Un argomento euristico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

11.5.2 La formula di Frank e Tamm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

11.6 Rivelatori Cerenkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

12 La reazione di radiazione 338

12.1 Forze di frenamento: analisi preliminare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

12.1.1 Un argomento euristico per l’equazione di Lorentz–Dirac . . . . . . 343

12.2 L’equazione di Lorentz–Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

12.2.1 Derivazione dell’equazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

12.2.2 Determinazione dell’autocampo regolarizzato . . . . . . . . . . . . . 350

12.2.3 Caratteristiche dell’equazione di Lorentz–Dirac . . . . . . . . . . . . 351

12.2.4 La particella carica libera: soluzione esatta . . . . . . . . . . . . . . 355

12.2.5 Moto in campo costante: preaccelerazione . . . . . . . . . . . . . . 358

12.3 L’equazione integro–differenziale di Rohrlich . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

12.3.1 Preaccelerazione e violazione della causalita . . . . . . . . . . . . . 363

12.4 Il problema relativistico a due corpi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

12.4.1 Espansione non relativistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

12.5 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

13 Un tensore energia–impulso privo di singolarita 375

13.1 Linee guida della costruzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

13.2 Costruzione di Θµνem per la particella libera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

13.2.1 Esistenza di Θµνem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

13.2.2 Conservazione di Θµνem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

13.2.3 Una definizione operativa dell’energia elettromagnetica . . . . . . . 386

13.3 Costruzione generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

14 Monopoli magnetici 390

14.1 La dualita elettromagnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

14.2 L’Elettrodinamica classica in presenza di dioni . . . . . . . . . . . . . . . . 393

14.2.1 Leggi di conservazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

14.3 La condizione di quantizzazione di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

14.3.1 Una carica e un monopolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

14.3.2 Il momento angolare del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

14.3.3 Consistenza quantistica e condizione di quantizzazione di Dirac . . 401

1 I fondamenti della Relativita Ristretta

L’Elettrodinamica classica costituisce il prototipo per eccellenza di una teoria relativistica,

avendo contribuito in modo determinante alla nascita della Relativita stessa. Il principio

guida della relativita einsteiniana, che afferma che tutte le leggi della Fisica devono avere

la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento inerziali, e emerso con forza da questa

teoria ed e andato consolidandosi sempre di piu man mano che le nostre conscenze del

mondo microscopico si sono ampliate e approfondite. L’implementazione piu naturale

ed elegante di questo principio, di fatto l’unica di una vera utilita, avviene attraverso il

paradigma della “covarianza a vista” realizzato nell’ambito del calcolo tensoriale. Questo

paradigma ha mostrato possedere carattere universale essendo stato applicato con successo

a qualsiasi teoria di tipo fondamentale, come le teorie che descrivono le quattro interazioni

fondamentali o la piu speculativa Teoria delle superstringhe, e mantiene per di piu la sua

piena validita anche a livello quantistico. La presentazione dell’Elettrodinamica fornita

in questo testo si basera cosı con forza, e diremo a ragione, su questo paradigma.

In questo capitolo introduttivo ripercorreremo innanzitutto i tratti essenziali del per-

corso logico che ha portato dai postulati della Relativita alla formulazione del paradigma

della covarianza a vista. E infatti importante tenere presente quali sono le assunzioni

apriorstiche fatte nella costruzione di una teoria, e distinguere le conseguenze inevitabili

di tali assunzioni dalle conseguenze di eventuali ipotesi aggiuntive formulate strada fa-

cendo. Riassumeremo poi in particolare gli elementi fondamentali del calcolo tensoriale

di cui faremo ampio uso in questo testo. Nella parte finale del capitolo anlizzeremo in

dettaglio la struttura del gruppo di Poincare per via della sua connessione intima con le

leggi di conservazione, connessione che verra sviscerata piu avanti.

1.1 I postulati della Relativita

La Meccanica Newtoniana e la teoria della Relativita Ristretta si basano su alcune as-

sunzioni aprioristiche comuni sulle proprieta dello spazio vuoto e del tempo, mentre si

distinguono in modo fondamentale attraverso i “principi di relativita” su cui ciascuna

delle due teorie e basata.

1

Le assunzioni in comune sono costituite dalle proprieta dello spazio vuoto di essere

omogeneo e isotropo, e dall’omogeneita del tempo. Inoltre le leggi fisiche di entrambe le

teorie sono formulate rispetto a una classe particolare di sistemi di riferimento, i riferi-

menti inerziali, ed entrambe implementano l’equivalenza fisica di tutti questi riferimenti

attraverso un principio di relativita. Il principio di relativita galileiana della Meccanica

Newtoniana prevede che le leggi della meccanica mantengano la stessa forma sotto trasfor-

mazioni di Galileo da un sistema di riferimento a un altro, mentre il principio di relativita

einsteiniana richiede che tutte le leggi della fisica abbiano la stessa forma in tutti i sistemi

riferimenti, non facendo – a priori – nessuna ipotesi sul modo in cui trasformano lo spazio

e il tempo.

D’altra parte rispetto alla Meccanica Newtoniana la teoria della Relativita Ristretta

rinuncia al paradigma dell’assolutezza degli intervalli spaziali e temporali, sostituendolo

con il postulato della costanza della velocita della luce. In definitiva i postulati della fisica

relativistica risultano i seguenti:

I) Lo spazio e isotropo e omogeneo, e il tempo e omogeneo.

II) La velocita della luce e la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali.

III) Le leggi della fisica hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento inerziali.

Per rendere operativi questi postulati, in particolare il postulato III) che pone forti

restrizioni sulla forme delle leggi fisiche ammesse, e necessario determinare innanzitutto

la forma delle trasformazioni delle coordinate spazio–temporali da un sistema di riferi-

mento a un altro. Prima di derivare la forma di queste trasformazioni dai postulati stessi

specifichiamo le notazioni che adottiamo in questo testo.

Indichiamo le coordinate spazio–temporali “controvarianti” di un evento con indici

greci, µ, ν, · · · = (0, 1, 2, 3),

xµ = (x0, x1, x2, x3), x0 = ct,

dove d’ora in poi la velocita della luce c verra posta uguale all’unita. Indichiamo le

componenti puramente spaziali dell’evento con indici latini, i = (1, 2, 3, ),

xi = (x1, x2, x3),

2

e scriveremo anche xµ = (x0, xi). Denotiamo inoltre la metrica di Minkowski, e la sua

inversa, con,

ηµν = diag(1,−1,−1,−1) = ηµν , ηµνηνρ = δµρ .

Adottiamo poi la convenzione di Einstein della “somma sugli indici muti”, che sottintende

il simbolo di sommatoria su un indice che compare due volte nella stessa espressione. La

metrica di Minkowski permette di introdurre coordinate spazio–temporali “covarianti”

secondo,

xµ ≡ ηµνxν = (x0,−x1,−x2 − x3), xµ = ηµνxν .

Scrivendo xµ = (x0, xi) avremo quindi x0 = x0, xi = −xi. Si dice che la metrica di

Minkowski permette di abbassare e alzare gli indici.

1.2 Trasformazioni di Lorentz e di Poincare

Come notato sopra, al contrario dei postulati della Meccanica Newtoniana i postulati

della Relativita non specificano a priori la forma delle trasformazioni delle coordinate

spazio–temporali nel passaggio da un sistema di riferimento a un altro; sono piuttosto i

postulati stessi che determinano in modo univoco la forma delle trasformazioni permesse,

che risulteranno essere le trasformazioni di Poincare. In questa sezione ripercorriamo

brevemente la deduzione della forma di queste trasformazioni dai postulati, illustrando

cosı l’estrema economia dei postulati stessi e sottolineando la solidita delle proprieta

formali che attraverso essi la Relativita Ristretta impone a tutte le leggi della fisica.

1.2.1 Linearita delle trasformazioni

Consideriamo un sistema di riferimento inerziali K, e in esso due eventi infinitesimamente

vicini, con coordinate xµ e xµ + dxµ. Le coordinate in un altro sistema di riferimento

K ′ saranno legate alle coordinate in K da una generica trasformazione x′µ = fµ(x). Se

le funzioni fµ sono sufficientemente regolari le coordinate degli stessi due eventi in K ′

differiranno allora di,

dx′µ =∂fµ(x)

∂xνdxν ≡ Λµ

ν(x) dxν .

3

Tuttavia, per l’omogeneita dello spazio e del tempo, postulato I), la matrice Λµν(x) deve

essere indipendente da x, e integrando si percio una relazione lineare tra le coordinate in

K e K ′,

x′µ = Λµνx

ν + aµ. (1.1)

Per le coordinate covarianti si ottiene allora,

x′µ = Λµνxν + aµ, Λµ

ν ≡ ηµα ηνβ Λαβ. (1.2)

I quattro parametri aµ corrispondono ad arbitrarie traslazioni dello spazio e del tempo, che

rappresentano in effetti una classe di trasformazioni permesse tra due sistemi di riferimento

inerziali. D’altra parte ci si convince facilmente che per una scelta arbitraria dei 16

parametri Λµν la (1.1) in generale non corrisponde a una trasformazione da un sistema

di riferimento inerziale a un altro. Per vederlo e sufficiente considerare la scelta Λµν =

k δµν , corrispondente a una trasformazione di scala, che per k 6= 1 in generale non lascia

invarianti le leggi della fisica.

1.2.2 Invarianza dell’intervallo

Per determinare la classe delle matrici Λ che corrispondono a trasformazioni tra sistemi di

riferimento fisicamente permesse e necessario ricorrere anche al postulato II), dimostrando

“l’invarianza dell’intervallo”. Si definisce intervallo tra due eventi xµ e xµ + dxµ, con dxµ

differenze infinitesime o anche finite, la quantita,

ds2 ≡ dxµdxνηµν = dt2 − |d~x|2,

che si dimostra essere indipendente dal sistema di riferimento. Consideriamo, infatti,

l’intervallo tra gli stessi due eventi in un altro sistema di riferimento K ′. Per (1.1) si ha,

ds′2 = dx′µdx′νηµν = dt′2 − |d~x ′|2 = Gµνdxµdxν , (1.3)

dove la matrice simmetrica Gµν e definita da,

Gµν ≡ ΛαµΛβ

νηαβ,

e risulta indipendente dagli eventi considerati. Se i due eventi corrispondono al passaggio

di un raggio di luce si ha evidentemente ds2 = 0, e vale anche il viceversa. Dal postulato

4

II) segue allora che,

ds′2 = 0 ⇔ ds2 = 0 ⇔ dt = ±|d~x|.

Concludiamo che la quantita ds′2, vista come polinomio del secondo ordine in dt, ha gli

zeri in dt = ±|d~x|. La (1.3) permette allora di scrivere,

ds′2 = G00 (dt− |d~x|) (dt + |d~x|) = G00 ds2, (1.4)

dove la quantita G00 puo dipendere solo dal moto relativo dei due riferimenti. In parti-

colare, per l’invarianza per rotazioni – postulato I) – G00 puo dipendere solo dal modulo

della velocita relativa, G00(|~v|). Ma invertendo nella (1.4) i ruoli di K e K ′ avremmo

~v → −~v e quindi otterremmo G00(|~v|) = 1/G00(|~v|), e dunque G00 = 1. L’intervallo tra

due eventi qualsiasi e quindi lo stesso in tutti i sistemi di riferimento,

ds2 = ds′2,

e la (1.3) pone dunque,

Gµν = ηµν .

Concludiamo che le matrici Λ che compaiono nelle trasformazioni (1.1) tra due sistemi di

riferimento sono soggette ai vincoli,

ΛαµΛβ

νηαβ = ηµν ⇔ ΛT η Λ = η. (1.5)

L’insieme di queste matrici forma un gruppo di Lie, chiamato gruppo di Lorentz, che

viene anche indicato con,

O(1, 3) ≡ Λ, matrici reali 4× 4 /ΛT η Λ = η.

Due generici sistemi di riferimento sono pertanto collegati da una trasformazione li-

neare non omogenea del tipo (1.1), dove Λ e un elemento del gruppo di Lorentz. L’insieme

di queste trasformazioni forma a sua volta un gruppo di Lie che viene chiamato gruppo

di Poincare, P . Gli elementi di questo gruppo sono identificati univocamente dalle coppie

(Λαβ, aµ),

P ≡ (Λ, a) /Λ ∈ O(1, 3), a ∈ R4.

5

Il gruppo O(1, 3) e omeomorfo al sottogruppo di P corrispondente ad a = 0, mentre

gli elementi di P corrispondenti a Λµν = δµ

ν formano il sottogruppo delle traslazioni.

Le trasformazioni delle coordinate (1.1) indotte dagli elementi del gruppo di Poincare

vengono chiamate trasformazioni di Poincare, mentre le trasformazioni corrispondenti ad

aµ = 0 vengono chiamate trasformazioni di Lorentz.

Strettamente parlando quello che abbiamo dimostrato finora e che una trasformazione

che collega due sistemi di riferimento inerziali e necessariamente una trasformazione di

Poincare. A rigore dovremmo ancora convincerci che ogni trasformazione di Poincare

corrisponde realmente al passaggio da un riferimento inerziale a un altro; e ovvio che

questo problema riguarda solo le trasformazioni di Lorentz in quanto le traslazioni hanno

un significato fisico immediato. Affronteremo questa questione nella sezione 1.4.

1.3 Leggi fisiche covarianti a vista

Una volta determinata la forma delle trasformazioni delle coordinate da un sistema di

riferimento a un altro possiamo procedere all’implementazione del postulato III), ovverosia

allo sviluppo di una strategia che permetta di derivare leggi fisiche che soddisfano il

principio di relativita einsteiniana. Prima di poter fare questo dobbiamo determinare

il modo in cui si trasformano in generale le grandezze fisiche quando si passa da un

riferimento a un altro.

Cominciamo notando che il gruppo di Lorentz possiede come sottogruppo il gruppo

delle rotazioni spaziali, vedi sezione 1.4, rappresentato dalle matrici 3× 3 ortogonali Rij,

O(3) ≡ R matrici reali 3× 3 /RTR = I.

Questo gruppo costituisce un gruppo di invarianza “a vista” per le equazioni della Mec-

canica Newtoniana, in quanto queste genericamente sono scritte in forma tri–vettoriale.

Esempi ne sono l’equazione di Newton stessa, ~F = m~a, oppure la formula per il momento

angolare di un corpo rigido, Li = I ijωj, dove I ij e il tensore d’inerzia,

I ij =∑

n

mn(xinxj

n − r2n δij),

e ωj e lo pseudo–vettore velocita angolare. Notiamo comunque che le grandezze fi-

siche coinvolte sono raggruppate in vettori o tensori tridimensionali, che trasformano

6

linearmente sotto O(3). Abbiamo per esempio,

F ′i = RijF

j, I ′ij = RimRj

nImn.

Essendo O(3) sottogruppo di O(1, 3) possiamo allora assumere che le grandezze fisiche

che compaiono nelle leggi della fisica relativistica siano raggruppate in multipletti che tra-

sformano linearmente sotto il gruppo di Lorentz. Nel linguaggio della teoria dei gruppi si

dice che ciascuno di questi multipletti deve essere sede di una rappresentazione, riducibi-

le o irriducibile, del gruppo di Lorentz. Da un risultato fondamentale della teoria delle

rappresentazioni dei gruppi segue allora che questi multipletti devono formare “tensori

quadridimensionali di rango (m,n)” sotto l’azione del gruppo di Lorentz.

Per definizione un tensore quadridimensionale di rango (m,n) porta m indici contro-

varianti e n indici covarianti,

TMN ≡ T µ1···µm

ν1···νn,

ed e caratterizzato dalla specifica legge di trasformazione sotto una generica trasformazio-

ne di Poincare (1.1), che specificheremo tra un momento. Tensori di rango (0,0) vengono

chiamati scalari, e tensori di rango (1,0) e (0,1) vengono chiamati vettori, rispettivamente

controvarianti e covarianti.

Piu in generale considereremo campi tensoriali di rango (m,n), che rispetto ai ten-

sori esibiscono anche una dipendenza dalla coordinata quadridimensionale x, T µ1···µmν1···νn

(x).

Per definizione la sua legge di trasformazione sotto una trasformazione di Poincare delle

coordinate, x′ = Λx + a, e data da,

T ′µ1···µmν1···νn

(x′) = Λµ1α1 · · ·Λµm

αm Λν1

β1 · · · Λνn

βn T α1···αm

β1···νn(x). (1.6)

In particolare un campo tensoriale e invariante per traslazioni. La legge di trasformazione

di un tensore di rango (m,n) si ottiene semplicemente dalla (1.6) omettendo la dipendenza

dalle coordinate spazio–temporali. In seguito per semplicita useremo la dicitura generica

“tensore” sia per un campo tensoriale che per un tensore, in quanto sara chiaro dal contesto

di che tipo di oggetto si sta trattando.

Una volta accettato che le osservabili fisiche in una teoria relativistica si devono rag-

gruppare in tensori quadridimensionali, l’implementazione del postulato III) – la relati-

vita einsteiniana – avviene in analogia con la Meccanica Newtoniana. Cosı come le leggi

7

di quest’ultima eguagliando vettori tridimensionali a vettori tridimensionali rispettano

automaticamente la richiesta di invarianza sotto rotazioni spaziali, le leggi della fisica

relativistica avranno automaticamente la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento

inerziali, se sono scritte nel linguaggio quadritensoriale, cioe, eguagliano quadritensori a

quadritensori. Se SNM e TM

N sono due tensori dello stesso rango schematicamente avremo

infatti,

SMN (x) = TM

N (x) in K ⇒ S ′MN (x′) = T ′MN (x′) in K ′, (1.7)

come si vede moltiplicando la prima equazione con un’opportuna serie di matrici Λ. Un’e-

quazione scritta in forma quadritensoriale come la (1.7) si dice essere “covariante a vista”,

in quanto soddisfa automaticamente il principio di relativita einsteiniana.

In conclusione, il paradigma della covarianza a vista costituisce il metodo piu diretto

ed efficace per implementare il postulato III) in una qualsiasi teoria relativistica: in ultima

analisi questo pardigma risulta equivalente al postulato stesso in quanto non sono note

leggi fisiche che hanno la stessa forma in tutti i riferimenti inerziali, ma non possono essere

poste in forma covariante a vista.

Di seguito riassumiamo gli elementi fondamentali del calcolo tensoriale in quanto

strumento essenziale per la costruzione di equazioni covarianti a vista.

1.3.1 Calcolo tensoriale

Di seguito elenchiamo le operazioni principali che si possono eseguire sui tensori, lasciando

eventuali dimostrazioni per lo piu come esercizio.

Indici covarianti e controvarianti. Un tensore di rango (m,n) puo essere trasformato

in un tensore di rango (m − k, n + k), alzando o abbassando k indici con la metrica di

Minkowski. In generale il tensore ottenuto viene indicato ancora con lo stesso simbolo.

Per esempio, per m = 2, n = 1 e k = 2 si scrive,

Tαβρ = ηαµηβνTµν

ρ.

Di conseguenza un tensore di rango (m,n) e equivalente a tutti gli effetti a un tensore di

rango (m− k, n + k), motivo per cui come rango di un tensore si definisce spesso l’intero

m + n.

8

Prodotti tra tensori. Il “prodotto” tra due tensori di rango (m,n) e (k, l) e un tensore

di rango (m + k, n + l).

Contrazione degli indici e prodotti scalari. A partire da un tensore di rango (m,n) si

possono costruire tensori di rango (m − k, n − k), contraendo k indici covarianti con k

indici controvarianti. Per esempio, a partire da un tensore T µνρ di rango (2, 1) contraendo

un indice si ottiene il vettore controvariante,

T µνν = T µν

ρ δρν . (1.8)

In particolare la contrazione degli indici del prodotto di due vettori, T µUν , da lo scalare,

T µUν δνµ = T µUµ = T µU νηµν .

Indicheremo il “quadrato” di un vettore con V 2 ≡ V µVµ.

Gradiente di un campo tensoriale. Il gradiente quadri–dimensionale, o piu semplice-

mente la “derivata”, di un campo tensoriale di rango (m,n) costituisce un campo tensoriale

di rango (m,n + 1). Indicheremo il gradiente rispetto alle coordinate spazio–temporali

controvarianti con il simbolo,

∂µ ≡ ∂

∂xµ.

Si noti che l’operatore ∂µ porta l’indice in basso in quanto corrisponde a un vettore

covariante. Cosı la derivata di un campo scalare ϕ(x) e il campo vettoriale covariante

∂µϕ(x).

Simmetrie. Un tensore di rango (2, 0) si dice simmetrico se Sµν = Sνµ, e antisimmetrico

se Aµν = −Aνµ, proprieta che vengono preservate dalle trasformazioni di Poincare. La

contrazione doppia del prodotto tra un tensore simmetrico e uno antisimmetrico e zero,

AµνSµν = 0.

Si definiscono parte simmetrica e parte antisimmetrica di un generico tensore di rango

(2, 0) T µν i tensori,

T (µν) ≡ 1

2(T µν + T νµ), T [µν] ≡ 1

2(T µν − T νµ),

il primo essendo un tensore simmetrico e il secondo un tensore antisimmetrico. Si ha la

decomposizione,

T µν = T (µν) + T [µν].

9

Per la contrazione doppia del prodotto di un generico tensore T µν con un tensore simme-

trico, rispettivamente antisimmetrico, valgono le identita,

T µνSµν = T νµSµν = T (µν)Sµν , T µνAµν = −T νµAµν = T [µν]Aµν . (1.9)

Un tensore di rango (n, 0) si dice completamente (anti)simmetrico se e (anti)simmetrico

nello scambio di qualsiasi coppia di indici, proprieta preservata dall’azione del gruppo di

Poincare. Si definisce parte completamente antisimmetrica di un tensore T µ1···µn di rango

(n, 0), il tensore dello stesso rango,

T [µ1···µn] ≡ 1

n!(T µ1µ2···µn − T µ2µ1···µn + · · ·),

dove nella somma compaiono tutte le n! permutazioni degli indici, ciascuna con il segno

(−)p dove p e l’ordine della permutazione. Il tensore T [µ1···µn] e completamente antisim-

metrico, ed esso e nullo se T µ1···µn e simmetrico anche in una sola coppia di indici. Inoltre

la contrazione doppia del prodotto di T [µ1···µn] con un tensore di rango (0, 2) simmetrico

e nulla.

Proprieta speculari valgono per la parte completamente simmetrica di un tensore di

rango (n, 0),

T (µ1···µn) ≡ 1

n!(T µ1µ2···µn + T µ2µ1···µn + · · ·).

Tensori invarianti. Un tensore TMN si dice invariante sotto il gruppo di Lorentz O(1, 3)

se per ogni Λ ∈ O(1, 3) si ha

T ′MN = TM

N .

Osserviamo che da (1.5) segue che le matrici Λ ∈ O(1, 3) soddisfano |detΛ| = 1. Se

ci limitiamo alla richiesta di invarianza sotto trasformazioni di Lorentz corrispondenti

a detΛ = +1, usando la teoria dei gruppi si puo dimostrare che un generico tensore

invariante e necessariamente un polinomio nei due tensori invarianti fondamentali,

ηαβ e εαβγδ,

dove εαβγδ e il tensore (di Levi–Civita) completamente antisimmetrico, determinato in

modo univoco dalla condizione ε0123 = 1. La restrizione alle sole matrici con detΛ = +1

deriva dal fatto che per una generica matrice Λ 4× 4 si ha l’identita del determinante,

ΛαµΛβ

νΛγ

ρΛδσ εµνρσ = detΛ · εαβγδ,

10

proprieta che identifica il tensore di Levi–Civita come uno “pseudotensore” invariante.

Questo tensore gode delle proprieta,

εµνρσεαβγδ = −4! δµ[α δν

β δργ δσ

δ], εµνρσεαβγσ = −3! δµ[α δν

β δργ],

εµνρσεαβρσ = −2!2! δµ[α δν

β], εµνρσεανρσ = −3! δµα, εµνρσεµνρσ = −4!

Il fatto che la metrica di Minkowski sia un tensore invariante segue invece direttamente

dalla (1.5).

1.4 Struttura del gruppo di Lorentz

In questa sezione vogliamo analizzare brevemente la struttura del gruppo di Lorentz alla

luce del fatto che le matrici Λ che rappresentano trasformazioni ammesse di coordinate da

un sistema inerziale a un altro, sono vincolate dalla (1.5). In particolare vogliamo trovare

una parametrizzazione esplicita per la generica matrice Λ che soddisfa questo vincolo per

individuare le corrispondenti operazioni fisiche che connettono due sistemi di riferimento,

questione lasciata aperta nella sezione 1.2.2. Come vedremo a questo scopo sara utile

eseguire un’analisi dettagliata delle trasformazioni di Lorentz prossime all’identita.

Cominciamo con il notare che i vincoli (1.5) comportano le condizioni |detΛ| = 1 e

|Λ00| ≥ 1. Il gruppo di Lorentz risulta quindi scisso in quattro sottoinsiemi disgiunti,

a seconda del valore di detΛ e del segno di Λ00. Si chiama gruppo di Lorentz proprio il

sottogruppo di O(1, 3) definito da,

SO(1, 3)c ≡ Λ ∈ O(1, 3)/detΛ = 1, Λ00 ≥ 1.

Il simbolo “S” indica comunemente il fatto che il determinante delle matrici vale +1, e il

pedice “c” si riferisce al fatto che il gruppo di Lorentz proprio risulta connesso all’unita,

al contrario di O(1, 3). Siccome gli altri tre sottoinsiemi di O(1, 3) si possono ottenere

da SO(1, 3)c attraverso trasformazioni discrete e sufficiente occuparsi di questo ultimo

gruppo.

Conosciamo gia due classi importanti di elementi di SO(1, 3)c. La prima classe e

costituita dalle rotazioni spaziali definite da,

Λij = Ri

j, Λ00 = 1, Λ0

i = 0 = Λi0,

11

dove R ∈ SO(3) ≡ R ∈ O(3)/detR = 1. Si verifica infatti immediatamente che la

matrice Λ cosı definita soddisfa la (1.5).

La seconda classe importante e costituita dalle trasformazioni di Lorentz speciali. Per

un sistema di riferimento che si muove con velocita v lungo l’asse x abbiamo per esempio,

Λµν =

γ −βγ 0 0−βγ γ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

, (1.10)

dove β = v e γ = 1/√

1− v2. In generale possiamo eseguire trasformazioni di Lorentz

speciali con velocita ~v arbitraria, purche in modulo minore di uno, e le matrici Λ corrispon-

denti dipenderanno quindi da tre parametri indipendenti, vale a dire dalle tre componenti

della velocita. Le rotazioni spaziali dipendono a loro volta da tre parametri indipendenti,

per esempio i tre angoli di Eulero, e ci aspettiamo quindi che i 16 elementi della generica

matrice Λ ∈ SO(1, 3)c possano esprimersi in termini di 6 variabili indipendenti. In altre

parole, il gruppo di Lie SO(1, 3)c dovrebbe avere dimensione 6.

Per dimostrare la correttezza di questa conlusione riscriviamo la (1.5) come,

H ≡ ΛT ηΛ− η = 0, (1.11)

che corrisponde a un sistema di 16 equazioni nelle 16 incognite Λµν , vale a dire Hµν = 0.

Tuttavia, siccome per costruzione H e una matrice 4 × 4 simmetrica, solo 10 di queste

equazioni sono linearmente indipendenti, e la generica soluzione Λ potra quindi esprimersi

effettivamente in termini di 16− 10 = 6 parametri indipendenti.

1.4.1 Trasformazioni infinitesime e trasformazioni finite

Per individuare una possibile scelta di questi 6 parametri consideriamo una generica

trasformazione di Lorentz prossima all’identita,

Λµν = δµ

ν + Ωµν , |Ωµ

ν | ¿ 1.

Imponendo la (1.11) e tenendo solo i termini lineari in Ωµν otteniamo,

(δαµ + Ωα

µ) ηαβ (δβν + Ωβ

ν)− ηµν = 0 ⇒ ηναΩαµ = −Ωβ

νηβµ. (1.12)

12

Definendo la matrice,

ωµν ≡ ηµβΩβν ,

risulta anche,

Ωµν = ηµαωαν , (1.13)

e la relazione in (1.12) diventa allora,

ωµν = −ωνµ. (1.14)

ω e quindi una matrice antisimmetrica e come tale ha sei elementi indipendenti. Con-

cludiamo che la generica trasformazione di Lorentz infinitesima dipende da sei parametri

liberi, potendo essere scritta come,

Λµν = δµ

ν + ηµαωαν . (1.15)

A questo punto siamo anche in grado di dare un’espressione esplicita per il generico

elemento finito di SO(1, 3)c. In forma matriciale risulta semplicemente,

Λ = eΩ, (1.16)

purche Ω soddisfi la relazione (1.12) oppure, equivalentemente, ω soddisfi la (1.14). Per

dimostrare che le matrici Λ date in (1.16) soddisfano effettivamente la condizione (1.11)

notiamo intanto che la (1.12) in forma matriciale si scrive,

η Ω = −ΩT η ⇔ ΩT = −η Ω η.

Risulta allora,

ΛT η Λ = eΩT

η eΩ = e−η Ω η η eΩ = η e−Ω η η eΩ = η, c.v.d.

Notiamo infine che le matrici Λ date da (1.16), pur dipendendo da sei parametri indipen-

denti, parametrizzano solo SO(1, 3)c e non l’intero gruppo di Lorentz. Infatti, siccome

l’esponenziale di una matrice e una funzione continua dei suoi elementi, l’insieme delle

matrici eΩ e connesso con continuita alla matrice identita.

Per concludere chiariamo il significato fisico dei sei parametri ωµν analizzando di nuovo

una generica trasformazione infinitesima. In notazione tridimensionale, data la (1.14), in

13

tutta generalita possiamo porre,

ω00 = 0, (1.17)

ωi0 = vi = −ω0i (1.18)

ωij = ϕ εijkuk, (1.19)

dove il vettore ~v corrispondera alla velocita infinitesima di un sistema di riferimeno ri-

spetto all’altro, mentre ϕ sara l’angolo di rotazione infinitesimo attorno alla direzione

individuata dal versore ~u. Che queste interpretazioni sono in effetti corrette si vede

scrivendo esplicitamente le trasformazioni infinitesime delle coordinate, usando la (1.15),

x′µ = Λµνx

ν = xµ + ηµαωανxν .

Otteniamo,

t′ = t + η00ω0i xi = t− ~v · ~x, (1.20)

x′i = xi + ηij(ωj 0t + ωj k xk) = xi − vit + ϕ( ~u× ~x)i. (1.21)

Per ~v = 0 si ottiene in effetti una rotazione spaziale infinitesima di un angolo ϕ intorno

ad ~u, mentre per ϕ = 0 si riconosce una trasformazione di Lorentz speciale infinitesima

con velocita relativa ~v. Si noti che nelle (1.20), (1.21) sono assenti i fattori 1/√

1− v2 in

quanto essi introdurrebbero correzioni quadratiche in ωµν , mentre nella presente analisi

ci siamo limitati ai termini lineari in ωµν .

Infine, a titolo di esempio facciamo vedere in che modo possiamo riottenere la tra-

sformazione di Lorentz speciale finita data in (1.10), a partire dalla formula generale

(1.16). A questo scopo nella parametrizzazione generale (1.17)–(1.19) poniamo ϕ = 0 e

vi = (v, 0, 0), con,

v = v + o(v2).

In questo caso le componenti non nulle di ωµν sono,

ω10 = v = −ω01.

Dalla (1.13) segue allora che gli elementi non nulli della matrice Ωµν sono dati da,

Ω01 = −v = Ω1

0. (1.22)

14

A questo punto il calcolo di eΩ puo essere eseguito agevolmente sviluppando l’esponenziale

in serie di Taylor, ed e facile vedere che il risultato coincide con la (1.10), per un’opportuna

scelta di v, vedi problema 1.7.

1.5 Problemi

1.1 Usando le tecniche della sezione 1.4 si trovi una parametrizzazione esplicita per la

generica matrice R appartenente a O(3).

1.2 Si dimostri che il tensore dato in (1.8) corrisponde a un vettore controvariante.

1.3 Si dimostri che l’operatore ∂µ corrisponde a un vettore covariante.

1.4 Si dimostrino le relazioni (1.9).

1.5 Si dimostri che la matrice Λµν data in (1.10) soddisfa il vincolo (1.5).

1.6 Dato un generico tensore T µνρ di rango (3, 0) si dimostri che si ha,

T [µνρ] = 0 ⇔ εµνρσTµνρ = 0.

1.7 Si consideri la matrice,

Ωµν =

0 −v 0 0−v 0 0 00 0 0 00 0 0 0

,

corrispondente a una trasformazione di Lorentz speciale infinitesima lungo l’asse x, vedi

(1.22). Si dimostri che l’esponenziale eΩ coincide con la trasformazione di Lorentz speciale

finita data in (1.10), per un’opportuna scelta di v. [Sugg.: si sviluppi l’esponenziale in

serie di Taylor e si noti che la matrice,

M ≡(

0 11 0

),

gode delle identita algebriche,

M2n =

(1 00 1

), M2n+1 = M,

per ogni intero positivo n.]

15

2 Le equazioni dell’Elettrodinamica

In questo capitolo presenteremo le equazioni che governano la dinamica di un sistema di

particelle cariche puntiformi in interazione con il campo elettromagnetico, ne illustreremo

ruolo e significato e analizzeremo le loro caratteristiche generali. Una parte sostanziale

del corso sara poi dedicata ad un’analisi approfondita delle soluzioni e delle conseguenze

fisiche di queste equazioni.

Cominciamo con l’introdurre le grandezze fisiche che caratterizzano dal punto di vista

cinematico il moto di una singola particella relativistica.

2.1 Cinematica di una particella relativistica

Linee di universo causali. In Meccanica Newtoniana le legge oraria di una particella cor-

risponde alla curva tridimensionale ~y(t) ≡ (x(t), y(t), z(t)) 1. In ambito relativistico per

motivi di covarianza si introduce la traiettoria quadridimensionale γ della particella –

detta anche linea di universo – che e descritta da quattro funzioni di un parametro reale

λ,

yµ(λ) = (y0(λ), ~y(λ)),

che in generale supporremo essere di classe C2. Perche una linea di universo sia fisicamente

accettabile e necessario che essa sia causale e diretta nel futuro. Diremo che una linea di

universo e causale e diretta nel futuro quando, definito il vettore tangente,

V µ =dyµ

dλ,

risultano soddisfatte le condizioni,

a) V 2 ≥ 0, ∀λ,

b) V 0 > 0, ∀λ.

Se la condizione b) e sostituita con la richiesta V 0 < 0, ∀λ la linea di universo si dice

invece causale e diretta nel passato. La condizione a) segue dal fatto che in una teoria

relativistica una particella non puo superare la velocita della luce, mentre la condizione b)

1Di solito la legge oraria di una particella viene indicata con ~x(t). Noi preferiamo la notazione~y(t) al posto di ~x(t), per evitare la confusione con il generico evento (t, ~x) in cui si valuta il campoelettromagnetico.

16

assicura che il parametro λ e una funzione monotona crescente del tempo, proprieta il cui

significato verra chiarito tra un momento. Da un punto di vista geometrico la condizione

a) definisce l’interno del cono luce, mentre l’aggiunta della condizione b) ne delimita la

meta “in avanti”, ovvero, il “cono luce futuro”. D’ora in poi supporremo, dunque, che

la linea di universo percorsa da una qualsiasi particella sia causale e diretta nel futuro,

ovvero, che il suo vettore tangente V µ appartenga all’interno del cono luce futuro, per

ogni λ.

Per la condizione b), ovvero dy0/dλ > 0, la funzione y0(λ) puo essere invertita per

determinare in modo univoco il parametro in funzione del tempo,

y0(λ) = t ⇒ λ(t).

Le componenti spaziali ~y(λ) descrivono invece la traiettoria tridimensionale della particel-

la. La legge oraria tridimensionale si ottiene, infine, eliminando dalla traiettoria spaziale

il parametro λ in favore del tempo, e per semplicita la scriveremo come,

~y(λ(t)) ≡ ~y(t).

In seguito indicheremo velocita e accelerazione tridimensionali con,

~v =d~y

dt, ~a =

d~v

dt.

Invarianza per riparametrizzazione. Rispetto alla Meccanica Newtoniana sembrerebbe

che la linea di universo relativistica introduce un quarto grado di liberta nella dinamica

della particella – la funzione y0(λ). Tuttavia, questo grado di liberta risulta “spurio”,

ovvero inosservabile, in quanto riflette l’arbitrarieta della scelta del parametro. Due linee

di universo yµ1 (λ) e yµ

2 (λ) risultano, infatti, fisicamente equivalenti se sono collegabili da

una ridefinizione del parametro, vale a dire se esiste una funzione f da R in R, invertibile

e di classe C2 insieme alla sua inversa, tale che,

yµ1 (f(λ)) = yµ

2 (λ).

Si dice che le due linee di universo sono collegate da una riparametrizzazione. E evidente

che le leggi orarie associate a due linee di universo collegate da una riparametrizzazione

sono identiche,

~y1(t) = ~y2(t).

17

Saremo quindi autorizzati a usare le linee di universo per descrivere il moto di una par-

ticella, al posto delle leggi orarie, purche le equazioni del moto che postuleremo risultino

invarianti per riparametrizzazione. Si noti che la stessa legge oraria ~y(t) e una funzione in-

variante per riparametrizzazione e risulta una “grandezza osservabile”, mentre le funzioni

~y(λ) e y0(λ) non lo sono.

Se tutte le equazioni che scriveremo risulteranno invarianti per riparametrizzazione

e lecito scegliere un parametro arbitrario. Una scelta che adotteremo di frequente e la

componente µ = 0 della traiettoria stessa, vale a dire il tempo, λ = y0 ≡ t. In questo caso

la linea di universo sara parametrizzata da,

yµ(t) = (t, ~y(t)).

Un’altra scelta di estrema utilita e il cosiddetto tempo proprio s, che ha il pregio di

essere invariante simultaneamente per trasformazioni di Lorentz e per riparametrizzazione.

Formalmente esso e definito da,

ds =√

dyµ dyµ, (2.1)

che costituisce una notazione abbreviata per l’espressione,

s(λ) =

∫ λ

0

√dyµ

dλ′dyµ

dλ′dλ′ + s(0), (2.2)

dove s(0) e una costante arbitraria. Mentre l’invarianza di Lorentz di s e manifesta, la

sua invarianza per riparametrizzazione e conseguenza del fatto che nella formula appena

scritta i fattori dλ′ formalmente si cancellano. Si noti inoltre che grazie alla causalita

della linea di universo – condizione a) di cui sopra – il radicando in (2.2) e mai negativo,

dyµ

dλ

dyµ

dλ=

(dt

dλ

)2

(1− v2) ≥ 0.

Il concetto di tempo proprio permette poi di definire la derivata invariante,

d

ds≡ 1√

dyµ

dλ

dyµ

dλ

d

dλ. (2.3)

Grazie all’invarianza per riparametrizzazione di s, nelle (2.2) e (2.3) possiamo usare come

parametro il tempo, ottenendo cosı,

s(t) =

∫ t

0

√1− v2(t′) dt′ + s(0),

d

ds=

1√1− v2(t)

d

dt. (2.4)

18

Quadrivelocita, quadriaccelerazione e quadrimomento sono definiti da,

uµ =dyµ

ds=

(1√

1− v2,

~v√1− v2

), wµ =

duµ

ds, pµ = muµ,

e soddisfano identicamente le relazioni,

uµuµ = 1, uµwµ = 0, p2 ≡ pµpµ = m2, (2.5)

dove m e la massa della particella. Per l’energia e la quantita di moto della particella si

ottengono allora le note espressioni,

ε ≡ p0 =m√

1− v2, ~p =

m~v√1− v2

.

Notiamo ancora che per ogni fissato istante t0 esiste sempre un sistema di riferimento

inerziale K – chiamato “sistema a riposo istantaneo” – in cui la particella all’istante t0 e

a riposo. Si verifica facilmente che in K in questo istante si ha,

uµ = (1,~0), wµ = (0,~a).

2.2 L’Elettrodinamica di particelle puntiformi

Introduciamo ora il sistema fisico la cui dinamica e l’oggetto di studio primario di questo

testo: un sistema di N particelle cariche puntiformi interagenti con il campo elettroma-

gnetico. Le variabili cinematiche indipendenti che lo descrivono sono le 4N funzioni yµr (λr)

con r = 1, . . . , N , che parametrizzano le linee di universo γr percorse dalle particelle, e il

campo tensoriale di Maxwell F µν(x) antisimmetrico,

F µν = −F νµ.

Per ciascuna delle particelle possiamo definire le quantita cinematiche introdotte nella

sezione precedente: il tempo proprio sr, la quadrivelocita uµr , la quadriaccelerazione wµ

r , e

il quadrimomento pµr = mru

µr , dove mr e la massa della particella r–esima. Per il momento

parametrizziamo ogni linea di universo γr con un parametro λr arbitrario.

Se indichiamo con er la carica della particella r–esima, al sistema di cariche resta

associata la (densita di) quadricorrente elettrica,

jµ(x) =∑

r

er

∫

γr

dyµr δ4(x− yr) ≡

∑r

er

∫dyµ

r

dλr

δ4(x− yr(λr)) dλr. (2.6)

19

Questa espressione risulta manifestamente Lorentz–covariante e – come conviene a qual-

siasi grandezza osservabile – essa e anche invariante per riparametrizzazione in quanto

i fattori dλr formalmente si cancellano. Ricordiamo inoltre che questa corrente risulta

conservata identicamente,

∂µjµ = 0. (2.7)

Le proprieta di una generica quadricorrente elettrica conservata verranno analizzate in

dettaglio nel paragrafo 2.4.1. Quı ci limitiamo a osservare che la corrente di un sistema di

particelle puntiformi strettamente parlando non puo essere considerata come un “campo

vettoriale”, in quanto le sue quattro componenti, coinvolgendo la funzione–δ di Dirac,

non sono “funzioni di x” ma elementi di S ′(R4), vale a dire distribuzioni temperate. La

corrente data in (2.6) va quindi considerata piuttosto come un “campo vettoriale a valori

nelle distribuzioni”. Le conseguenze di questa circostanza verranno discusse in dettaglio

nella prossima sezione, dove analizzeremo a fondo la natura distribuzionale delle equazioni

di Maxwell.

Ricordiamo che il tensore di Maxwell e legato ai campi elettrico e magnetico ( ~E, ~B)

dalle note relazioni,

F 00 = 0 (2.8)

F i0 = Ei (2.9)

F ij = − εijkBk ↔ Bi = −1

2εijkF jk, (2.10)

e che gli invarianti di Lorentz indipendenti che si possono formare con le componenti di

F µν sono dati da,

εµνρσFµνFρσ = −8 ~E · ~B, F µνFµν = 2 (B2 − E2). (2.11)

Presentiamo ora le tre equazioni fondamentali che governano la dinamica del nostro

sistema,

dpµr

dsr

= erFµν(yr) urν , (2.12)

εµνρσ∂νFρσ = 0, (2.13)

∂µFµν = jν , (2.14)

20

che chiamiamo rispettivamente Equazioni di Lorentz, Identita di Bianchi ed Equazione di

Maxwell. Scopo di queste equazioni e di determinare univocamente i campi F µν(x) e le

linee di universo yµr (λr) – modulo riparametrizzazioni – date certe condizioni iniziali, vale

a dire, di dare luogo a un ben definito problema di Cauchy in accordo con il determinismo

newtoniano. Per le coordinate yµr il problema di Cauchy verra specificato nel prossimo

paragrafo mentre per il tensore di Maxwell lo affronteremo piu avanti.

Di seguito analizzeremo brevemente la struttura e il significato delle singole equazioni.

2.2.1 Equazione di Lorentz

Per non appesantire la notazione consideriamo una singola particella di carica e e linea di

unverso yµ(λ), che deve dunque soddisfare l’equazione di Lorentz,

dpµ

ds= eF µν(y) uν . (2.15)

Prima di tutto facciamo notare che in questa equazione il campo elettromagnetico ri-

sulta valutato sulla traiettoria della particella in quanto con F µν(y) si intendono le sei

funzioni di una variabile F µν(y(λ)). Assunto noto il campo elettromagnetico F µν(x) le

(2.15) cositituiscono allora formalmente quattro equazioni differenziali del secondo ordine

nelle quattro funzioni incognite yµ(λ). D’altra parte queste equazioni risultano invarianti

per riparametrizzazione perche l’unica variabile che vi compare esplicitamente e il tempo

proprio s, e cio comporta che esse determinano le yµ(λ) solo modulo una riparametriz-

zazione in accordo con quanto richiesto nella sezione 2.1. In particolare queste equazioni

dovrebbero allora determinare univocamente la legge oraria ~y(t) note le condizioni iniziali,

~y(0) e ~v(0). (2.16)

Vediamo allora due approcci diversi – ma matematicamente e fisicamente equivalenti – di

formulare il problema alle condizioni iniziali.

Approccio covariante. In questo approccio si considera s come una variabile indipen-

dente, vale a dire non legata alla traiettoria dalla (2.2), e si parametrizza la linea di

universo con s. Corrispondentemente le (2.15) sono considerate come quattro equazioni

differenziali del secondo ordine nelle quattro funzioni incognite yµ(s), che ora pero sono

21

legate dal vincolo supplementare, vedi (2.1),

u2 =dyµ

ds

dyµ

ds= 1. (2.17)

Tuttavia, il contenuto di questo vincolo risulta meno restrittivo di quanto non potrebbe

sembrare a prima vista. Le (2.15) assicurano infatti che esso e automaticamente soddi-

sfatto per ogni valore s, una volta che e soddisfatto all’istante iniziale, diciamo per s = 0.

Per vederlo e sufficiente moltiplicare le (2.15) con uµ. Il membro di destra si annulla al-

lora identicamente, perche F µνuµuν = 0 grazie all’antisimmetria del tensore di Maxwell.

Quindi deve annullarsi anche il membro di sinistra,

0 = uµdpµ

ds=

m

2

d

dsu2.

u2 e quindi indipendente da s, e se vale 1 per s = 0 vale 1 per ogni s.

Analizziamo ora le condizioni iniziali. Essendo le (2.15) del secondo ordine esse hanno

soluzione unica note le condizioni iniziali,

yµ(0),dyµ

ds(0) ≡ uµ(0).

Per quanto riguarda yµ(0) osserviamo che, traslando il tempo iniziale, senza perdita di

generalita possiamo porre y0(0) = 0, mentre ~y(0) fa parte dei dati iniziali “fisici”, vedi

(2.16). Per quanto riguarda invece uµ(0), una volta assegnata la velocita iniziale ~v(0)

poniamo prima,

~u(0) =~v(0)√

1− v2(0),

e imponiamo poi il vincolo (2.17) all’istante s = 0,

u0(0) =√

1 + |~u(0)|2 =1√

1− v2(0).

A questo punto le (2.15) determinano le yµ(s) in modo univoco, e il vincolo (2.17) e

automaticamente soddisfatto per ogni s. La legge oraria ~y(t) si ottiene infine usando

l’equazione y0(s) = t per determinare s come funzione di t, e sostituendo la funzione

risultante s(t) in ~y(s).

L’approccio covariante e molto conveniente quando il campo elettromagnetico ha una

forma analitica semplice, vedi per esempio il problema 2.7.

22

Approccio non covariante. In questo approccio si affronta la soluzione delle (2.15)

parametrizzando la linea di universo con il tempo,

yµ(t) = (t, ~y(t)),

con il vantaggio palese che non sono presenti gradi di liberta spuri. In questo caso abbiamo

ancora quattro equazioni differenziali del secondo ordine, ma le incognite sono solo le tre

funzioni ~y(t). Tuttavia, possiamo fare vedere che solo tre delle quattro equazioni (2.15)

sono funzionalmente indipendenti. Per fare questo definiamo il quadrivettore,

Hµ ≡ dpµ

ds− eF µνuν ,

e scriviamo l’equazione di Lorentz nella forma,

Hµ = 0.

Dalle (2.8)–(2.10) si ricavano facilmente le componenti spaziali e temporale di Hµ,

~H =1√

1− v2

(d~p

dt− e

(~E + ~v × ~B

)),

H0 =1√

1− v2

(dε

dt− e~v · ~E

).

A questo punto osserviamo che vale identicamente – anche senza usare la (2.15) –

uµHµ = u0H0 − ~u · ~H = 0. (2.18)

Infatti, in contrasto con l’approccio precedente, in questo caso la relazione uµwµ = 0 e

un’identita, e vale ancora uµuνFµν = 0. Ne discende che H0 dipende funzionalmente da

~H essendo,

H0 =~u · ~H

u0= ~v · ~H.

La componente temporale dell’equazione di Lorentz, H0 = 0, e allora automaticamente

soddisfatta se sono soddisfatte le sue componenti spaziali, ~H = 0. E allora sufficiente

risolvere queste ultime che, essendo del secondo ordine nelle derivate temporali, assumono

a tutti gli effetti il ruolo di “equazione di Newton” per la particella,

d~p

dt= e

(~E + ~v × ~B

). (2.19)

23

Dato F µν(x) e note le condizioni iniziali ~y(0), ~v(0), essa ammette soluzione unica per la

legge oraria ~y(t). La componente temporale dell’equazione di Lorentz corrisponde invece

alla legge della potenza,dε

dt= e~v · ~E, (2.20)

ed e quindi conseguenza dell’equazione di Newton, esattamente come in fisica non relati-

vistica. Infine, nota ~y(t) la (2.4) fornisce s(t) e permette quindi di ricostruire yµ(s).

Concludiamo questo paragrafo insistendo sul significato preciso della (2.19), come

spiegato all’inizio di questo paragrafo,

d

dt

(m~v(t)√1− v(t)2

)= e

[~E(t, ~y(t)) + ~v(t)× ~B(t, ~y(t))

]. (2.21)

2.2.2 Identita di Bianchi

L’“identita” (2.13) nella nomenclatura comune costituisce “meta” delle equazioni di Max-

well, piu precisamente quella meta che non lega il campo elettromagnetico alla corrente

ma ne vincola la forma. In effetti e facile trovare soluzioni semplici di questa equazione

in termini di un potenziale vettore Aµ, detto anche campo di Maxwell o campo di gauge,

ponendo,

Fµν = ∂µAν − ∂νAµ. (2.22)

Sostituendo in (2.13) si trova infatti,

εµνρσ∂νFρσ = εµνρσ(∂ν∂ρAσ − ∂ν∂σAρ) = 0, (2.23)

in quanto in entrambi i termini si contrae una coppia di indici simmetrici – quelli delle

derivate – con una coppia di indici antisimmetrici – quelli del tensore di Levi–Civita. Ma

usando i metodi della Geometria Differenziale si puo dimostrare un risultato piu forte: per

ogni campo tensoriale antisimmetrico Fµν soddisfacente l’equazione (2.13) esiste un campo

vettoriale Aµ, tale che Fµν possa essere scritto come in (2.22) 2. La conclusione, forse

sorprendente, e che la (2.22) rappresenta la soluzione generale dell’identita di Bianchi.

2Questo risultato e valido purche lo spazio–tempo considerato sia topologicamente banale, come peresempio R4.

24

Tuttavia, potenziali vettori diversi possono dare luogo allo stesso F µν . Infatti, dato

un campo scalare Λ qualsiasi si puo definire un nuovo potenziale vettore,

A′µ = Aµ + ∂µΛ, (2.24)

e si verifica immediatamente che vale,

F ′µν = ∂µA

′ν − ∂νA

′µ = Fµν + ∂µ∂νΛ− ∂ν∂µΛ = Fµν ,

grazie alla commutativita delle derivate parziali. Le trasformazioni (2.24), che vengono

chiamate trasformazioni di gauge, lasciano quindi il tensore di Maxwell invariante.

In definitiva possiamo affermare che “l’identita” di Bianchi puo essere risolta identica-

mente in termini di un potenziale vettore, ma che il potenziale vettore stesso e determinato

solo modulo una trasformazione di gauge. Schematicamente abbiamo,

εµνρσ∂νFρσ = 0 ⇐⇒ Fµν = ∂µAν − ∂νAµ, con Aµ ≈ Aµ + ∂µΛ. (2.25)

La nostra strategia per affrontare il sistema (2.12)–(2.14) sara – nella maggior parte dei

casi – di considerare risolta l’identita di Bianchi in termini di Aµ, rimanendo quindi con

le equazioni (2.12) e (2.14) nelle incognite yµr e Aµ.

Ricordiamo che, ponendo Aµ = (A0, ~A), in notazione tridimensionale le (2.22) corri-

spondono alle relazioni note,

~E = −~∇A0 − ∂ ~A

∂t, ~B = ~∇× ~A. (2.26)

2.2.3 Equazione di Maxwell

L’equazione (2.14) e da considerarsi come la vera e propria equazione del moto per il campo

elettromagnetico, in quanto lega F µν alla quadricorrente elettrica. Questa equazione

quantifica quindi il modo in cui la corrente genera il campo. Ricordiamo che l’equazione e

consistente con l’equazione di continuita della corrente, ∂νjν = 0, grazie all’antisimmetria

del tensore di Maxwell, che implica l’identita,

∂ν∂µFµν = 0.

Come abbiamo appena osservato, una volta risolta l’identita di Bianchi secondo la

(2.22), l’equazione di Maxwell diventa in realta un’equazione per il potenziale vettore.

25

Avremmo quindi quattro equazioni differenziali alle derivate parziali del secondo ordine,

nelle quattro incognite Aµ. Tuttavia, questo conteggio e solo parzialmente significativo,

per due motivi: primo, le componenti del potenziale vettore non sono tutte “fisiche” in

quanto soggette alle trasformazioni di gauge; infatti, potenziali vettori diversi possono cor-

rispondere agli stessi campi elettrici e magnetici, ma sono solo questi ultimi a poter essere

osservati sperimentalmente. Secondo, le quattro componenti dell’equazione di Maxwell

non sono funzionalmente indipendenti. Per vederlo definiamo,

Gν ≡ ∂µFµν − jν ,

e scriviamo le equazione di Maxwell nella forma Gν = 0. Grazie alle identita ricordate

poc’anzi e poi immediato vedere che le Gν soddisfano identicamente il vincolo,

∂νGν = 0 ⇒ ∂0G

0 = −~∇ · ~G. (2.27)

La derivata della componente temporale dell’equazione di Maxwell e quindi legata alle

sue componenti spaziali. Tuttavia, questo vincolo non e di tipo algebrico – non coinvolge

direttamente le equazioni del moto ma le loro derivate – e quindi non e immediato indi-

viduare le equazioni indipendenti. Risolveremo questo problema piu avanti, nell’ambito

della formulazione del problema di Cauchy per il campo elettromagnetico, quando avremo

a disposizione i mezzi per affrontarlo. Concludiamo questa sezione con qualche ulteriore

commento sul sistema (2.12)–(2.14).

Sui gradi di liberta del campo elettromagnetico. Daremo una definizione precisa di cio

che intendiamo con i “gradi di liberta” associati a un generico campo ϕ(x) in sezione 5.1,

dove analizzeremo anche a fondo i gradi di liberta del campo elettromagnetico. Quali-

tativamente possiamo dire che con i gradi di liberta di un sistema fisico si intendono le

variabili indipendenti necessarie per descriverne la dinamica. In particolare si richiede

che le equazioni del moto siano in grado di determinare il loro valore a un istante ge-

nerico, assegnati certi dati iniziali. Possiamo svolgere un’analisi preliminare dei gradi di

liberta contenuti nel campo elettromagnetico, se partiamo dalle (2.13), (2.14) riscritte nel

consueto formalismo tridimensionale,

−∂ ~E

∂t+ ~∇× ~B = ~j, (2.28)

26

∂ ~B

∂t+ ~∇× ~E = 0, (2.29)

~∇ · ~E = j0, (2.30)

~∇ · ~B = 0. (2.31)

Le (2.28), (2.29) costituiscono sei equazioni nelle sei funzioni incognite ~E(t, ~x) e ~B(t, ~x),

che coinvolgono le derivate prime di ~E e ~B rispetto al tempo: esse vanno quindi considerate

come equazioni dinamiche. Queste equazioni ammettono infatti soluzione unica, note le

sei condizioni iniziali ~E(0, ~x), ~B(0, ~x). Al contrario, le due equazioni scalari (2.30) e (2.31)

non contengono derivate temporali e vanno quindi considerate come vincoli, piuttosto che

come equazioni dinamiche. In particolare, le sei condizioni iniziali non possono essere

assegnate arbitrarimente, perche esse sono soggette ai vincoli (2.30), (2.31),

~∇ · ~E(0, ~x) = j0(0, ~x),

~∇ · ~B(0, ~x) = 0.

All’istante t = 0 e quindi sufficiente assegnare 6 − 2 = 4 componenti del campo elet-

tromagnetico, in quanto a quello stesso istante le rimanenti due componenti risultano

determinate in termini delle altre quattro. A questo punto non e difficile dimostrare

che, se le equazioni (2.28), (2.29) sono soddisfatte per qualsiasi t, e le (2.30), (2.31) so-

no soddisfatte all’istante t = 0, allora queste ultime sono automaticamente soddisfatte

per qualsiasi t, vedi problema 2.11. Ci aspettiamo quindi che il campo elettromagnetico

corrisponda non a sei, ma solo a quattro “gradi di liberta fisici del primo ordine”.

Sulle soluzioni del sistema (2.12)–(2.14) . L’insieme di queste equazioni costituisce un

sistema di equazioni differenziali non lineari fortemente accoppiate che, eccetti casi raris-

simi, non e risolubile esattamente: la forma dei campi determina il moto delle particelle

secondo le (2.12), e i campi a loro volta sono determinati dal moto delle particelle secondo

le (2.14), e dalle (2.13). Tuttavia, in molte situazioni fisiche il problema puo essere ridotto

difatti a considerare una delle due seguenti situazioni, in cui le equazioni si disaccoppiano:

I) E dato un campo elettromagnetico “esterno” nel vuoto, soddisfacente, cioe, le (2.13)

e (2.14) con jµ = 0. Esempi sono un campo elettromagnetico costante e uniforme in

una certa regione dello spazio, come quello tra le due paratie di un condensatore, oppure

27

un’onda elettromagnetica piana di frequenza e ampiezza data. In molti casi si chiede di

determinare il moto di una particella carica sottoposta a un tale campo. Questo problema

si riconduce allora alla soluzione delle sole equazioni (2.12) nelle incognite yµr .

II) E assegnato il moto di una particella carica, oppure di piu particelle cariche, e si chie-

de di determinare il campo elettromagnetico creato da questo sistema di cariche in moto.

Questo problema riguarda solamente le equazioni (2.13) e (2.14) che, come vedremo,

possono essere risolte esattamente, in termini dei celebri potenziali di Lienard–Wiechert.

In entrambi i casi, pero, bisogna tenere presente che la dinamica vera del sistema e

governata dall’intero set di equazioni (2.12)–(2.14), e che si sta considerando soltanto una

schematizzazione della situazione fisica reale, la cui validita deve essere valutata caso per

caso.

In astratto la strategia da seguire per risolvere il sistema delle equazioni fondamentali

dell’Elettrodinamica, e che in linea di principio seguiremo anche noi in questo testo, e la

seguente. Risolta l’identita di Bianchi in termini di un potenziale vettore Aµ, si trova la

soluzione esatta dell’equazione di Maxwell per Aµ – e quindi per F µν – in termini delle

traiettorie generiche yµr . Dopodiche si sostituisce il campo F µν cosı trovato nelle equazioni

di Lorentz, che diventano quindi delle equazioni non locali, ma chiuse, nelle sole incognite

yµr . Risolte queste equazioni si possono sostituire le yµ

r risultanti in F µν , per ottenere

infine il campo elettromagnetico come funzione delle sole x.

Come menzionato sopra questo programma raramente puo essere portato a termine in

modo esplicito, per via delle difficolta tecniche coinvolte. Ma vedremo, per di piu, che nel

corso della sua attuazione emergeranno anche difficolta concettuali – causati dalla natura

puntiforme delle particelle cariche – che minano irrimediabilmente la consistenza interna

dell’Elettrodinamica classica. In altre parole, vedremo l’Elettrodinamica classica entrare

in contraddizione con se stessa. D’altra parte da un punto di vista sperimentale questa

teoria descrive tutti i fenomeni elettromagnetici classici con estrema precisione: teoria ed

esperimento sono in perfetto accordo. Restera quindi da spiegare come mai le inconsi-

stenze interne della teoria non si manifestano anche a livello sperimentale. Vedremo, per

l’appunto, che e facile predisporre esperimenti in cui queste inconsistenze si tradurreb-

bero in fenomeni fisicamente osservabili. Tuttavia, vedremo anche che questi fenomeni

28

occorrerebbero su scale spazio–temporali alle quali gli effetti quantistici non possono piu

essere trascurati. A queste scale l’Elettrodinamica classica perde quindi la sua validita

fenomenologica, ed essa deve essere sostituita dalla Teoria Quantistica di Campo. In

altri termini: sono proprio gli effetti quantistici a mascherare le inconsistenze interne

dell’Elettrodinamica classica – rendendole inosservabili.

Sulle cariche elettriche. Per il momento abbiamo tacitamente assunto che le cariche

elettriche delle particelle costituiscano un arbitrario insieme di costanti er. Siamo con-

fortati in questa ipotesi dal fatto che – per quanto riguarda le analisi svolte finora sul

sistema (2.12)–(2.14) – non abbiamo incontrato nessuna inconsistenza: questo sistema di

equazioni sembra consistente qualsiasi siano i valori delle er. A questo proposito possia-

mo, pero, anche notare che le cariche elettriche entrano nelle equazioni fondamentali in

due modi diversi: nelle equazioni di Lorentz, e nell’equazione di Maxwell attraverso la

corrente. E evidente che a priori non c’e nessun motivo per cui i due insiemi di cariche

siano identici. Potremmo, cioe, usare nelle equazioni di Lorentz le cariche er, e nella

definizione della corrente (2.6) un insieme diverso e∗r, e le equazioni fondamentali man-

terrebbero tutte le buone proprieta discusse finora. Rimane allora da capire cosa ci ha

spinto a identificare questi due insiemi di cariche fin dall’inizio. Un’indicazione cruciale

che ci aiuta a rispondere a questa domanda viene dal limite non relativistico. Consideria-

mo in questo limite due particelle con cariche (e1, e∗1) e (e2, e

∗2), e chiamiamo ~r il raggio

vettore che congiunge la particella 1 alla particella 2. Allora dall’equazione di Maxwell

(2.30) ci possiamo calcolare il campo elettrico quasi–statico creato dalla particella 1 nel

punto in cui si trova la particella 2, e viceversa,

~E2 =e∗14π

~r

r3, ~E1 = − e∗2

4π

~r

r3,

mentre nel limite non relativistico i campi magnetici possono essere trascurati. In questo

limite le equazioni di Lorentz (2.19) ci danno allora per la forza ~F12 esercitata dalla

particella 1 sulla particella 2, e viceversa,

~F12 = e2~E2 =

e2e∗1

4π

~r

r3, ~F21 = e1

~E1 = −e1e∗2

4π

~r

r3.

Si vede quindi che la terza legge di Newton, ovverosia il principio di azione e reazione

29

~F12 = −~F21, che e un postulato fondamentale della Meccanica Newtoniana, vale solo se,

e1

e∗1=

e2

e∗2.

Ripetendo questo ragionamento per un’arbitraria coppia di particelle si conclude che la

validita della terza legge di Newton richiede che il rapporto er/e∗r sia una costante uni-

versale, che puo essere posta uguale all’unita riscalando il campo elettromagnetico e le

cariche. Si ottiene cosı,

er = e∗r.

A livello non relativistico l’origine di questa identificazione risiede dunque nel principio

di azione e reazione. D’altra parte, sempre a livello non relativistico questo principio e

equivalente alla conservazione della quantita di moto totale di un sistema isolato,

d

dt(~p1 + ~p2) = ~F21 + ~F12 = 0.

A livello relativistico dobbiamo allora aspettarci che l’identificazione dei due tipi di carica

venga imposta dalla richiesta di conservazione del quadrimomento totale, in particolare

dell’energia. Nella sezione 2.4 vedremo in effetti che questo e cio che succede.

2.3 La natura distribuzionale del campo elettromagnetico

Abbiamo gia fatto notare che le componenti della quadricorrente jµ non sono funzioni,

bensı distribuzioni, supportate sulle linee di universo delle particelle. Dall’equazione di

Maxwell (2.14) si deduce allora che le componenti di F µν non possono essere “funzioni

derivabili” lungo le linee di universo, perche altrimenti anche le componenti del quadri-

vettore ∂µFµν sarebbero funzioni. Traiamo allora le seguente conclusioni: I) il tensore

F µν e necessariamente singolare lungo le linee di universo, e vedremo che la singolarita

in questione e del tipo 1/r2, se r indica la distanza spaziale dalla linea di universo; II)

l’equazione di Maxwell (2.14) non ha senso come equazione differenziale nello spazio delle

funzioni, mentre essa sara perfettamente ben definita se la consideriamo come equazione

differenziale nello spazio delle distribuzioni temperate S ′(R4) 3.

3In ultima analisi il ruolo della (2.14) e unicamente quello di qualificare le singolarita di Fµν lungole linee di universo, visto che nel loro complemento la corrente si annulla, e quindi ivi vale banalmente∂µFµν = 0.

30

In questa nuova ottica le componenti di F µν andranno dunque considerate come ele-

menti di S ′(R4), e le derivate che compaiono nella (2.14) andranno considerate come

derivate nel senso delle distribuzioni. Per consistenza allora anche l’identita di Bianchi

(2.13) deve essere riguardata come equazione differenziale in S ′(R4). Si noti che questa

reinterpretazione delle due equazioni di Maxwell come equazioni differenziali nello spazio

delle distribuzioni e consistente, perche esse sono lineari in F µν .

Una volta che abbiamo dato un significato matematico preciso alle equazioni di Max-

well e Bianchi possiamo chiederci se ora anche l’equazione di Lorentz risulta ben definita.

E immediato vedere che la risposta a questa domanda e negativa. Infatti, nelle (2.12)

compare F µν(yr), cioe il campo elettromagnetico valutato proprio sulla traiettoria del-

la particella, luogo dove esso e singolare: le quantita F µν(yr) sono quindi divergenti e

l’equazione di Lorentz e mal definita. L’interpretazione fisica di questa patologia e che

l’interazione della particella con il campo elettromagnetico da essa stessa creata – l’au-

tointerazione – e di intensita infinita. Si intuisce facilmente che la causa prima di questa

divergenza “ultravioletta”, dovuta cioe alle leggi che determinano la fisica a piccole distan-

ze, e proprio la natura puntiforme delle particelle cariche, come anticipato nel paragrafo

precedente.

Nel capitolo 12 discuteremo possibili soluzioni pragmatiche al problema dell’autointe-

razione infinita, ma nessuna di queste risultera soddisfacente dal punto di vista teorico,

se ci si confina all’ambito dell’Elettrodinamica classica.

2.3.1 Lo spazio delle distribuzioni

Prima di illustrare con qualche esempio il significato – e la necessita – di questa nuova

interpretazione delle leggi dell’Elettrodinamica, ricordiamo qualche elemento operativo

della teoria delle distribuzioni (temperate) in uno spazio di dimensione arbitraria.

Distribuzioni e funzioni di test. In D dimensioni lo spazio delle funzioni di test S ≡S(RD) e lo spazio vettoriale delle funzioni complesse ϕ(x) di classe C∞, che all’infinito de-

crescono insieme a tutte le loro derivate piu rapidamente dell’inverso di qualsiasi potenza.

Devono, cioe, essere finite tutte le “seminorme”,

||ϕ||P,Q ≡ sup x∈RD |P(x)Q(∂)ϕ(x)| , (2.32)

31

dove con P intendiamo un generico monomio nelle xµ e con Q un generico monomio nelle

derivate parziali ∂µ. Per quanto riguarda la topologia di cui si dota S si rimanda a un

testo di Metodi Matematici. Lo spazio delle distribuzioni S ′ ≡ S ′(RD) e allora definito

come l’insieme dei funzionali F che sono lineari e continui su S,

F : S → C,

ϕ → F (ϕ). (2.33)

Una generica distribuzione F ∈ S ′ e completamente determinata dai valori F (ϕ) che essa

assume quando viene applicata a una generica funzione di test ϕ ∈ S. Ricordiamo ora un

teorema che e di grande utilita pratica quando si tratta di stabilire se un dato funzionale

lineare su S risulta continuo.

Teorema: un funzionale lineare F su S e continuo, cioe, appartiene ad S ′, se e solo se esso

puo essere maggiorato da una somma finita di seminorme di ϕ, vale a dire,

|F (ϕ)| ≤∑

CP,Q ||ϕ||P,Q, ∀ϕ ∈ S, (2.34)

per opportune costanti positive CP,Q indipendenti da ϕ.

Un’importante classe di distribuzioni e quella costituita dalle distribuzioni regolari,

ovvero dalle distribuzioni che sono rappresentate da funzioni. Si dice che una distribuzione

F e rappresentata dalla funzione f(x) da RD in C quando si ha,

F (ϕ) =

∫f(x) ϕ(x) dDx.

Sfruttando il teorema di cui sopra e allora facile dimostrare che rappresentano distribu-

zioni regolari in particolare tutte le funzioni limitate, e tutte le funzioni con singolarita

integrabili, che divergono all’infinito al massimo come qualche potenza, vedi problema 2.4.

Ricordiamo inoltre che in generale le distribuzioni non si possono moltiplicare o divi-

dere tra di loro, e che il valore di una distribuzione F in un punto x in generale non e una

quantita ben definita. Tuttavia, certe proprieta delle distribuzioni risultano di “accesso

immediato” se si ricorre alla notazione “simbolica”, vale a dire se si introduce formalmente

la quantita F (x). In notazione simbolica scriveremo per esempio,

F (ϕ) =

∫F (x) ϕ(x) dDx.

32

2.3.2 Operazioni sulle distribuzioni

Le operazioni che presentiamo di seguito si riferiscono a distribuzioni F che operano su

funzioni di test ϕ appartenenti ad S, ma in molti casi queste operazioni mantengono

la loro validita anche quando le distribuzioni vengono applicate a funzioni molto meno

regolari di quelle appartenenti a S.

Derivate di distribuzioni. Ogni elemento F ∈ S ′ ammette derivate parziali ∂µF ∈ S ′,definite da,

(∂µF )(ϕ) = −F (∂µϕ). (2.35)

Dalla definizione segue immediatamente che le derivate parziali nel senso delle distribu-

zioni commutano sempre,

∂µ∂νF = ∂ν∂µF.

La valutazione esplicita della derivata di una distribuzione F e facilitata se in un sottoin-

sieme B di RD essa puo essere rappresentata da una funzione di classe C∞. In questa

regione la derivata puo essere calcolata semplicemente nel senso delle funzioni, e il calcolo

della derivata di F e ridotto essenzialmente alla determinazione di ∂µF nel complemento

di B, che e il luogo dove F e singolare. Siccome le singolarita delle distribuzioni con cui

avremo a che fare costituiscono sempre insiemi di misura nulla, questa strategia si rivelera

molto efficace.

Convoluzione. La convoluzione F ∗ϕ tra una distribuzione F e una funzione di test ϕ

e una distribuzione che in notazione simbolica e data da,

(F ∗ ϕ)(x) =

∫F (x− y) ϕ(y) dDy.

Per le sue derivata si ha,

∂µ(F ∗ ϕ) = ∂µF ∗ ϕ = F ∗ ∂µϕ.

Se anche F ∈ S si ha inoltre F ∗ ϕ = ϕ ∗ F .

Funzione–δ di Dirac unidimensionale. La distribuzione di Dirac unidimensionale δa

supportata in x = a, con a ∈ R, e l’elemento di S ′(R) definito da δa(ϕ) = ϕ(a), per

ogni ϕ ∈ S(R). Essa al solito viene rappresentata dalla funzione simbolica δ(x − a) che

33

soddisfa, ∫δ(x− a) ϕ(x) dx = ϕ(a).

La δ di Dirac gode di alcune importanti proprieta che ora elencheremo usando la notazione

simbolica. Per la sua derivata n–esima si ha,

∫dn

dxnδ(x− a) ϕ(x) dx = (−)n dnϕ

dxn(a).

Per ogni f ∈ OM(R) – l’insieme delle funzioni C∞ su R polinomialmente limitate insieme

a tutte le loro derivate – si ha poi,

f(x) δ(x− a) = f(a) δ(x− a). (2.36)

Questa relazione comporta alcune semplici identita, come per esempio,

x δ(x) = 0, x2 d

dxδ(x) = 0, x

d

dxδ(x) = −δ(x), etc.

Queste identita si dimostrano facilmente usando la regola di Leibnitz, valida per prodotti

del tipo fF , con f ∈ OM(R) e F ∈ S ′(R). Se c e un numero reale diverso da zero vale

anche,

δ(c (x− a)) =δ(x− a)

| c| .

Data una funzione reale f(x), in certe condizioni resta definita anche l’espressione δ(f(x)).

Puı precisamente, se f e derivabile e ha un numero finito di zeri xn tali che le derivate

prime f ′(xn) sono tutte diverse da zero, si definisce,

δ(f(x)) =∑

n

δ(x− xn)

|f ′(xn)| . (2.37)

L’origine di questa definizione diventa evidente se si applicano entrambi i membri a una

funzione di test, e se nell’integrale risultante a primo membro si esegue formalmente

il cambiamento di variabile x → y = f(x). Un caso che incontreremo di frequente

corrisponde alla funzione f(x) = x2 − a2, a 6= 0, per cui la (2.37) da,

δ(x2 − a2) =1

2|a| (δ(x− a) + δ(x + a)) . (2.38)

Dalla definizione della convoluzione data sopra segue inoltre che si ha,

δ ∗ ϕ = ϕ,

34

per ogni ϕ ∈ S.

Funzione–δ di Dirac quadridimensionale. La distribuzione di Dirac si generalizza im-

mediatamente a uno spazio di dimensione arbitraria. Per definitezza, e in vista dell’uso

che ne faremo in seguito, quı presentiamo il caso quadridimensionale.

Dato un quadrivettore aµ la distribuzione di Dirac δa, supportata in xµ = aµ, e l’ele-

mento di S ′(R4) definito da δa(ϕ) = ϕ(a), per ogni ϕ ∈ S(R4). Essa viene rappresentata

dall’espressione simbolica,

δ4(x− a) = δ(x0 − a0) δ3(~x− ~a) = δ(x0 − a0)δ(x1 − a1)δ(x2 − a2)δ(x3 − a3), (2.39)

e si scrive,

δa(ϕ) =

∫δ4(x− a) ϕ(x) d4x = ϕ(a).

Per le sue derivate si ottiene,

(∂µδa)(ϕ) = −δa(∂µϕ) = −∂µϕ(a),

che in notazione simbolica si scrive come,

∫∂µδ

4(x− a) ϕ(x) d4x = −∂µϕ(a).

Per ogni f ∈ OM(R4) si ha poi,

f(x) δ4(x− a) = f(a) δ4(x− a).

In questo caso da questa relazione seguono le identita,

xµδ4(x) = 0, xµxν∂ρ δ4(x) = 0, xµ∂ν δ4(x) = −δµν δ4(x), etc.

Se Cµν e una qualsiasi matrice 4× 4 invertibile si ha inoltre,

δ4(C(x− a)) =δ4(x− a)

| detC| .

La quadricorrente in notazione tridimensionale. Per illustrare l’uso della δ di Dirac

come funzione simbolica deriviamo la forma tridimensionale della quadricorrente jµ di un

sistema di particelle, vedi (2.6). A questo scopo esplicitiamo l’integrale r–esimo in (2.6),

35

scegliendo come variabile di integrazione la coordinata temporale della particella r–esima,

cioe, λr = y0r . Usando la (2.39) si ottiene,

jµ(x) =∑

r

er

∫

γr

dyµr (y0

r)

dy0r

δ4(x−yr(y0r)) dy0

r =∑

r

er

∫

γr

dyµr (y0

r)

dy0r

δ(t−y0r) δ3(~x−~yr(y

0r)) dy0

r .

A questo punto si puo eseguire l’integrale della δ(t − y0r) in dy0

r , considerando il resto

dell’integrando come una “funzione di test”, la quale va quindi valutata in y0r = t. Si

ottiene,

jµ(t, ~x) =∑

r

erdyµ

r (t)

dtδ3(~x− ~yr(t)),

dove e sottinteso che y0r(t) = t. Scrivendo separatamente parte temporale e parte spaziale

si ottengono rispettivamente la densita di carica e la densita di corrente spaziale,

j0(t, ~x) =∑

r

er δ3(~x− ~yr(t)), (2.40)

~j(t, ~x) =∑

r

er ~vr(t) δ3(~x− ~yr(t)). (2.41)

Distribuzioni con supporto in un punto. Completiamo l’elenco delle proprieta della δ

di Dirac enunciando un teorema che vincola fortemente la forma di una distribuzione che

e “diversa da zero” solo in un insieme finito di punti, vale a dire il cui supporto e costituito

da un insieme finito di punti.

Teorema: Una distribuzione F ∈ S ′(RD) il cui supporto e costituito dal punto xµ = aµ,

e necessariamente una combinazione lineare finita della δD(x − a) e delle sue derivate.

Avremo, cioe,

F = c δD(x− a) + cµ∂µδD(x− a) + · · ·+ cµ1···µn∂µ1 · · · ∂µnδD(x− a), (2.42)

dove i cµ1···µk sono coefficienti costanti. Se il supporto di una distribuzione e invece co-

stituito da un insieme finito di punti, essa e data da una somma di espressioni del tipo

(2.42). Come vedremo questo teorema risultera molto utile nella soluzione di equazioni

algebriche per distribuzioni.

Trasformata di Fourier di una distribuzione. La trasformata di Fourier costituisce una

biiezione di S in se stesso ed, opportunamente estesa, di S ′ in se stesso. Indicheremo la

trasformata di Fourier di un generico elemento ϕ ∈ S con ϕ, e analogamente quella di un

36

generico elemento F ∈ S ′ con F . Nello spazio–tempo di Minkowski quadridimensionale

per una generica funzione di test si ha,

ϕ(k) =1

(2π)2

∫d4x e−ik·xϕ(x), ϕ(x) =

1

(2π)2

∫d4k eik·xϕ(k),

dove abbiamo introdotto le quattro variabili duali k ≡ kµ e definito k · x ≡ kµxνηµν . Si

noti che, strettamente parlando, per quanto riguarda la variabile ~x la nostra definizione

corrisponde in realta all’antitrasformata di Fourier. La trasformata di Fourier di una

distribuzione e allora definita da,

F (ϕ) = F (ϕ), ∀ϕ ∈ S.

Da questa definizione segue facilmente che in notazione simbolica si ha,

F (k) =1

(2π)2

∫d4x e−ik·xF (x), F (x) =

1

(2π)2

∫d4k eik·xF (k),

ma insistiamo sul fatto che questi integrali sono da intendersi come tali solo se la distri-

buzione F e sufficientemente regolare.

Per le derivate e la moltiplicazione per una coordinata si ha,

∂µF (k) = i kµF (k), xµF (k) = i∂

∂kµ

F (k),

con ovvie estensioni alla trasformata di Fourier di un generico polinomio in xµ e ∂ν ,

applicato a F . Ricordiamo in particolare le trasformate della δ4 e delle sue derivate,

δ4(x)(k) =1

(2π)2, ∂µδ4(x)(k) =

ikµ

(2π)2.

Per concludere riportiamo la formula per la trasformata di Fourier della convoluzione

tra un elemento F di S ′ e un elemento ϕ di S. In uno spazio a dimensione D in notazione

simbolica si ha,

F ∗ ϕ (k) = (2π)D/2F (k) ϕ(k).

2.3.3 Identita di Bianchi e forme differenziali

Una volta assodato che le equazioni per il campo elettromagnetico devono essere formulate

nello spazio delle distribuzioni e opportuno riesaminarle in questo nuovo ambito. In questo

37

paragrafo rianalizzeremo l’identita di Bianchi (2.13) e la sua soluzione generale (2.22),

mentre nel prossimo paragrafo ci dedicheremo all’equazione di Maxwell.

Come ora sappiamo le componenti di F µν non sono derivabili ovunque – come funzioni

– e le derivate ∂νFρσ che compaiono nella (2.13) vanno eseguite nel senso delle distribuzioni.

Si ripresenta allora la domanda se l’espressione Fµν = ∂µAν − ∂νAµ e ancora soluzione

dell’identita di Bianchi, ovverosia, se il calcolo formale eseguito in (2.23) e ancora valido.

Se vogliamo dare senso a questa domanda, come prima cosa dobbiamo considerare anche

le componenti di Aµ come distribuzioni. A questo punto la correttezza del risultato (2.23)

– indipendentemente dalla presenza o meno di singolarita in Aµ, purche di carattere

distribuzionale – segue semplicemente dal fatto che le derivate nel senso delle distribuzioni

commutano.

Per dimostrare il viceversa, cioe, che in S ′(R4) ogni soluzione di (2.13) puo essere

scritta nella forma (2.22), conviene fare uso di un formalismo che viene introdotto in

Geometria Differenziale 4, piu precisamente il formalismo delle “p–forme differenziali a

valori nello spazio delle distribuzioni”. Questi oggetti geometrici – che vengono chiamati

anche piu semplicemente “p–forme” – sono essenzialmente tensori di rango (0, p) comple-

tamente antisimmetrici a valori in S ′(R4). L’analisi che segue, non essendo indispensabile

per la comprensione del resto del testo, e rivolta a coloro che sono familiari con questo

formalismo.

Nel linguaggio delle forme al tensore antisimmetrico F µν resta associata la due–forma,

F =1

2dxν ∧ dxµFµν . (2.43)

Ricordiamo poi che sull’algebra delle forme e definito l’operatore “differenziale esterno”

d, che associa a una p–forma una (p + 1)–forma, e risulta nihilpotente, cioe soddisfa,

d2 = 0.

Nell’ambito delle forme a valori nelle distribuzioni questa proprieta e conseguenza diretta

del fatto che le derivate parziali nel senso delle distribuzioni commutano sempre. Per

4Un testo che presenta la Geometria Differenziale con particolare riferimento alle sue applicazioni infisica, compreso il linguaggio delle forme differenziali, e “Analysis, Manifolds and Physics”, di YvonneChoquet–Bruhat, Cecile DeWitt–Morette e Margaret Dillard–Bleick, ed. North–Holland, Amsterdam,1982.

38

definizione il differenziale esterno di F e la tre–forma,

dF =1

2dxν ∧ dxµ ∧ dxρ ∂[ρFµν].

L’identita di Bianchi e allora equivalente alla richiesta che F sia una forma chiusa, cioe,

che valga dF = 0. Infatti, vedi problema 2.2,

dF = 0 ⇔ ∂[ρFµν] = 0.

Siccome F e una forma chiusa, secondo il Lemma di Poincare nello spazio delle forme a

valori nelle distribuzioni, essa e anche esatta 5. Esiste, cioe, una uno–forma A = dxνAν a

valori nelle distribuzioni tale che,

F = dA. (2.44)

Esplicitando il differenziale si ottiene,

F =1

2dxν ∧ dxµFµν = d(dxνAν) = dxν ∧ dxµ ∂[µAν],

e quindi,

Fµν = 2∂[µAν] = ∂µAν − ∂νAµ,

che corrisponde alla (2.22). D’altra parte, dato che l’operatore d e nihilpotente la uno–

forma A data in (2.44) e a sua volta definita modulo uno–forme esatte,

A ≈ A + dΛ, (2.45)

dove Λ e una zero–forma, ovverosia un campo scalare. Siccome dΛ = dxµ∂µΛ la (2.45) si

traduce in,

Aµ ≈ Aµ + ∂µΛ,

cosicche ritroviamo che il potenziale vettore e definito modulo una trasformazione di

gauge. In conclusione, nel linguaggio delle forme differenziali le relazioni (2.25) si scrivono

semplicemente,

dF = 0 ⇐⇒ F = dA, con A ≈ A + dΛ.

5Nello spazio delle forme differenziali a valori in S ′(RD) il lemma di Poincare asserisce che ogni formachiusa e anche esatta. Questo e essenzialmente dovuto al fatto che lo spazio RD e topologicamente banale.

39

Si vede che da un lato il formalismo delle forme differenziali e utile perche fornisce

una notazione compatta che evita di indicare esplicitamente gli indici; dall’altro lato

nell’ambito della teoria delle distribuzioni esso permette di definire le componenti delle p–

forme “globalmente” – vale a dire in tutto R4 – anche in presenza di singolarita. Notiamo,

tuttavia, che questo formalismo non si applica a tensori che non sono completamente

antisimmetrici.

2.3.4 Il campo elettromagnetico della particella statica

La necessita di considerare le equazioni che governano la dinamica del campo elettroma-

gnetico nello spazio delle distribuzioni, emerge molto chiaramente dal semplice esempio

di una particella statica. Per questo motivo analizzeremo ora in dettaglio questo caso.

Ad una particella statica nell’origine corrisponde la linea di universo, y0(t) = t, ~y(t) =

0, e quindi ~v(t) = 0. Secondo le (2.40) e (2.41) ad essa corrisponde la quadricorrente,

j0(t, ~x) = e δ3(~x), ~j(t, ~x) = 0.

In questo caso sappiamo che il campo magnetico e nullo,

~B = 0,

e che il campo elettrico e statico. L’equazione di Maxwell e l’identita di Bianchi si riducono

allora rispettivamente a,

~∇ · ~E = e δ3(~x), ~∇× ~E = 0, (2.46)

vedi (2.28)–(2.31). Come e noto la soluzione di questo sistema di equazioni dovrebbe

essere data dal campo coulombiano,

~E(t, ~x) =e

4π

~x

r3, r = |~x|, (2.47)

affermazione che ora rianalizzeremo criticamente.

Come analisi preliminare ci calcoliamo le derivate di ~E nel senso delle funzioni. Dato

che ∂i r = xi/r, per ~x 6= 0 si ottiene facilmente,

∂iEj =

e

4πr3

(δij − 3

xixj

r2

). (2.48)

40

L’identita di Bianchi sarebbe quindi soddisfatta in quanto ∂iEj − ∂jE

i = 0, mentre

l’equazione di Maxwell sarebbe violata, perche si otterrebbe ∂iEi = 0 ! L’errore sta

evidentemente nell’avere considerato sia ~E che l’operator ∂i nello spazio delle funzioni.

Rianalizziamo dunque il problema nello spazio di distribuzioni S ′ ≡ S ′(R3), appro-

priato per il caso statico. Come prima cosa dobbiamo domandarci se le componenti Ei

del campo elettrico (2.47) appartengono effettivamente ad S ′. La risposta e affermativa

in quanto ~E ha solo una singolarita integrabile in ~x = 0, e all’infinito e limitato da una

costante, vedi problema 2.4. Le derivate ∂iEj sono allora ben definite in S ′, ma esse vanno

– per l’appunto – calcolate nel senso delle distribuzioni, vale a dire applicando la (2.35).

Presentiamo prima i calcoli spiegando i passaggi intermedi di seguito,

(∂iEj)(ϕ) = −Ej(∂iϕ) = − e

4π

∫d3x

xj

r3∂iϕ = − e

4πlimε→0

∫

r> ε

d3xxj

r3∂iϕ

= − e

4πlimε→0

∫

r> ε

d3x

[∂i

(xj

r3ϕ

)− ∂i

(xj

r3

)ϕ

]

=e

4πlimε→0

[∫

r=ε

dΩ ninj ϕ +

∫

r>ε

d3x1

r3

(δij − 3

xixj

r2

)ϕ

]

=e

3δij ϕ(0) +

e

4π

∫d3x

1

r3

(δij − 3

xixj

r2

)ϕ. (2.49)

Spieghiamo ora i passaggi. L’integrando della prima riga appartiene a L1(R3), e cosı

possiamo eseguire l’integrale introducendo una successione invadente qualsiasi. Abbiamo

usato la successione invadente Vε = R3\Sε, dove Sε e la palla di raggio ε centrata nel-

l’origine. Siccome in Vε l’integrando e di classe C∞ abbiamo poi potuto usare il calcolo

differenziale standard. Nella seconda riga abbiamo cosı usato la regola di Leibnitz e nella

terza il teorema di Gauss. Il bordo di Vε e costituito dalla sfera all’infinito, che non da

contributo al flusso perche ϕ svanisce all’infinito piu rapidamente dell’inverso di qualsiasi

potenza, e dalla sfera di raggio ε centrata nell’origine. Per valutare l’integrale su questa

sfera abbiamo usato coordinate polari ~x ↔ (r, Ω), con Ω = (φ, ϑ) e dΩ ≡ senϑ dϑ dφ,

e introdotto il versore radiale uscente ni = xi/ε. L’elemento di superficie diventa allora

41

dΣi = niε2dΩ. Infine abbiamo ultilizzato l’integrale sugli angoli, vedi problema 2.6,

∫dΩ ninj =

4π

3δij.

Riscrivendo la (2.49) in notazione simbolica otteniamo in definitiva per le derivate di ~E

nel senso delle distribuzioni,

∂iEj =

e

3δij δ3(~x) +

e

4πr3

(δij − 3

xixj

r2

). (2.50)

Confrontando con la (2.48) si vede che il calcolo “naiv” e valido per ~x 6= 0, ma non e

capace di rivelare la presenza del termine supportato in ~x = 0, dove il campo elettrico e

infatti singolare 6.

Come si vede l’espressione (2.50) soddisfa ora entrambe le equazioni di (2.46), la prima

in particolare essendo equivalente all’identita in S ′,

~∇ · ~x

r3= 4π δ3(~x). (2.51)

Infine possiamo rileggere i nostri risultati in termini del potenziale coulombiano A0. La

soluzione generale dell’identita di Bianchi ~∇× ~E = 0 e infatti data da,

~E = −~∇A0.

Data la (2.47) si verifica facilmente (esercizio) che questa relazione e soddisfatta – anche

nel senso delle distribuzioni – se si sceglie il potenziale,

A0 =e

4πr, (2.52)

appartenente anch’esso S ′. L’analisi svolta sopra implica allora la validita dell’equazione

di Poisson −∇2A0 = e δ3(~x), dalla quale segue la nota identita,

∇2 1

r= −4π δ3(~x). (2.53)

L’equazione di Lorentz. Una volta risolte l’equazione di Maxwell e l’identita di Bianchi

possiamo considerare l’equazione di Lorentz, le cui componenti indipendenti sono date

6Si noti che il secondo e il terzo termine in (2.50), che per r → 0 si comportano entrambi come 1/r3,presi separatamente non costituiscono affatto distribuzioni. E solo la particolare combinazione lineareche compare in (2.50), con coefficiente relativo −3, ad essere un elemento di S ′.

42

in (2.21). Siccome abbiamo ~v = ~p = 0, il membro di sinistra di questa equazione e

identicamente nullo. D’altra parte, dato che ~y(t) = 0 il membro di destra della (2.21) si

ridurrebbe a e ~E(t,~0), espressione che – data la (2.47) – diverge! Ritroviamo cosı che la

forza esercitata dal campo elettromagnetico generato da una particella puntiforme sulla

particella stessa e divergente, e che l’equazione di Lorentz e inconsistente. A dire il vero

nel caso statico quı considerato conosciamo una soluzione pragmatica del problema: in

accordo con l’esperienza dobbiamo porre la quantita mal definita ~E(t,~0) uguale a zero,

perche sperimentalmente si osserva che una particella statica non subisce nessuna forza.

Vedremo, tuttavia, che nel caso generale di una particella in moto vario questa semplice

ricetta non risulta implementabile, perche entrerebbe in conflitto con la conservazione del

quadrimomento totale.

L’energia infinita del campo elettromagnetico. Concludiamo l’analisi della particella

statica con un ulteriore commento, anticipando l’espressione per la densita di energia

del campo elettromagnetico, vedi paragrafo 2.4.3,

ρem =1

2(E2 + B2).

Vista la (2.47) e dato che ~B = 0, l’energia totale del campo elettromagnetico di una

particella statica risulterebbe quindi,

εem =

∫ρem d3x =

( e

4π

)2∫

d3x

r4,

che corrisponde a una “costante” divergente, per via del comportamento singolare del-

l’integrando in r → 0. D’altra parte, nel caso sotto esame l’energia della particella e

conservata banalmente, essendo ε =m√

1− v2= m, e allora – se si deve conservare l’ener-

gia totale – anche l’energia εem del campo elettromagnetico dovrebbe essere una costante

(finita). Nel capitolo 13 vedremo che nel caso statico l’unico valore di εem compatibile

con l’invarianza relativistica, in realta e εem = 0. Ma vedremo anche che nel caso di

una particella in moto arbitrario, questa semplice scelta “fatta a mano” violerebbe sia la

conservazione del quadrimomento totale, sia l’invarianza relativistica.

E abbastanza evidente che il problema dell’energia infinita del campo elettromagnetico

– cosı come quello dell’autointerazione infinita di una particella carica – e conseguenza

della natura puntiforme delle particelle elementari: mentre il secondo in ultima analisi e

43

tuttora irrisolto, vedi capitolo 12, il primo ha trovato una soluzione – anche se solo di

recente – nell’ambito della teoria delle distribuzioni 7. Noi la presenteremo in una forma

alternativa nel capitolo 13.

2.4 Le costanti del moto dell’Elettrodinamica

In Fisica un ruolo fondamentale viene giocato dalle costanti del moto associate alla di-

namica di un sistema, ovverosia dalle grandezze fisiche che si conservano durante la sua

evoluzione temporale. D’altra parte, come e noto esiste un legame molto stretto tra leggi

di conservazione e simmetrie continue di una teoria, legame che viene concretizzato dal

teorema di Noether. L’importanza concettuale di questo teorema che, oltre a stabilire

l’esistenza di costanti del moto ne fornisce anche la forma esplicita, risiede nella sua ge-

neralita: e valido in qualsiasi teoria le cui equazioni del moto possano essere dedotte da

un principio variazionale. Per l’Elettrodinamica di particelle puntiformi, le cui equazioni

del moto sono relativamente semplici, deriveremo ora la forma delle principali costanti del

moto in modo euristico – senza ricorrere a questo teorema – utilizzando invece nozioni di

elettromagnetismo di base. La verifica che le costanti del moto cosı ottenute combaciano

perfettamente con quelle previste dal teorema di Noether verra poi fatta nel capitolo 4.

2.4.1 Conservazione e invarianza della carica elettrica

Come prototipo di una legge di conservazione locale, che sia cioe basata su un’equazione di

continuita per un’opportuna quadricorrente jµ, consideriamo la conservazione della carica

elettrica. Se la materia carica e costituita da particelle puntiformi la corrente e data dalla

(2.6); se la carica e invece distribuita con continuita la corrente ha una forma generica. Per

quello che segue la forma particolare della corrente sara irrilevante, in quanto assumeremo

soltanto che essa goda delle seguenti proprieta:

I) jµ e un campo vettoriale,

II) jµ soddisfa l’equazione di continuita, ∂µjµ = 0,

III) lim|~x|→∞ |~x|3jµ(t, ~x) = 0, richiediamo cioe che per ogni t fissato la corrente decada

7E.G.P. Rowe, Phys. Rev. D 18 3639 (1978).

44

all’infinito spaziale piu rapidamente di 1/|~x|3, proprieta certamente posseduta da (2.40)

e (2.41).

Sotto queste ipotesi vogliamo ora dimostrare che esiste una carica totale Q conservata,

e che essa e uno scalare sotto trasformazioni di Lorentz.

La costruzione della carica segue una procedura standard, che consiste nell’integrare

l’equazione di continuita su un volume V ,

∂0

∫

V

j0 d3x = −∫

V

~∇ ·~j d3x.

Applicando il teorema di Gauss e definendo la carica contenuta in un volume V come

QV =∫

Vj0 d3x, si ottiene poi l’equazione di conservazione locale,

dQV

dt= −

∫

∂V

~j · d~Σ. (2.54)

La derivata della carica contenuta nel volume V eguaglia dunque l’opposto del flusso della

corrente spaziale attraverso il bordo di V . Se estendiamo ora il volume a tutto R3, per la

proprieta III) converge l’integrale della densita j0 su tutto lo spazio, mentre va a zero il

flusso della corrente spaziale all’infinito 8. Si ottiene quindi la carica conservata,

Q =

∫j0 d3x,

dQ

dt= 0. (2.55)

Che la carica totale sia un invariante di Lorentz – proprieta certamente non posseduta

dalla carica in un volume finito QV – e un po’ meno ovvio. Per dimostrarlo valutiamo la

carica, che e indipendente dal tempo, all’istante t = 0 e la riscriviamo come segue,

Q =

∫j0(0, ~x) d3x =

∫j0(x) δ(t) d4x =

∫j0(x)∂0H(t) d4x =

∫jµ(x) ∂µH(t) d4x.

Abbiamo introdotto la funzione di Heaviside H(t), nulla per t < 0 e uguale a 1 per t ≥ 0,

legata alla δ di Dirac dalla nota relazione,

dH(t)

dt= δ(t).

8Se V si estende a tutto lo spazio possiamo scegliere per ∂V una sfera di raggio R e mandare Rall’infinito. Conviene passare a coordinate polari. Ponendo d~Σ = ~nR2 dΩ, dove ~n e il versore normalealla sfera e Ω l’angolo solido, otteniamo

∫∂V

~j · d~Σ =∫

dΩ~n · (limR→∞R2~j). Ma per la proprieta III) illimite tra parentesi e zero.

45

Consideriamo ora la carica totale Q′ in un altro sistema di riferimento, legato al primo da

una trasformazione di Lorentz propria x′µ = Λµνx

ν , Λ00 ≥ 1. Con lo stesso procedimento

di cui sopra troviamo,

Q′ =∫

j′µ(x′) ∂′µH(t′) d4x′.

Sfruttando le trasformazioni di Lorentz,

j′µ(x′) = Λµνj

ν(x),

∂′µ = Λµρ∂ρ,

d4x′ = |detΛ| d4x = d4x,

si ottiene poi,

Q′ =∫

jµ(x)∂µH(t′) d4x,

dove,

t′ = Λ00 t + Λ0

i xi. (2.56)

Possiamo infine valutare la differenza,

Q′ −Q =

∫jµ(x) ∂µ (H(t′)−H(t)) d4x =

∫∂µ [jµ(x) (H(t′)−H(t))] d4x, (2.57)

dove nell’ultimo passaggio abbiamo sfruttato l’equazione di continuita. Dividiamo ora la

quadridivergenza in parte spaziale e parte temporale, applicando alla prima il teorema di

Gauss in d = 3, e alla seconda il teorema fondamentale del calcolo in t. Supponendo di

poter scambiare gli ordini di integrazione si ottiene,

Q′ −Q =

∫dt

∫

Γ∞(H(t′)−H(t))~j(x) · d~Σ +

∫d3x j0(x)(H(t′)−H(t))|t=+∞

t=−∞.

Nel primo termine Γ∞ e una superficie sferica posta all’infinito spaziale, dove ~j si annulla

piu rapidamente di 1/|~x|3; l’integrale del flusso e quindi zero. Nel secondo termine dob-

biamo valutare la differenza H(t′) − H(t) nei limiti t → ±∞, per ~x fissato. Grazie al

fatto che Λ00 ≥ 1, dalla (2.56) si vede che per t → +∞ anche t′ → +∞, ed entrambe

le funzioni di Heaviside vanno a 1, mentre per t → −∞ anche t′ → −∞ ed entrambe le

funzioni di Heaviside vanno a zero. Anche il secondo integrale e quindi zero e abbiamo,

Q′ = Q.

46

2.4.2 Tensore energia–impulso e conservazione del quadrimomento

In questo paragrafo – e nel successivo – illustreremo come il principio di conservazione

dell’energia e della quantita di moto – cardine di qualsiasi teoria fisica fondamentale – vie-

ne realizzato nell’ambito dell’Elettrodinamica, come conseguenza delle equazioni (2.12)–

(2.14). Ma prima di considerare il caso particolare dell’Elettrodinamica, imposteremo ora

il problema in una generica teoria relativistica.

In una teoria relativistica l’energia costituisce la quarta componente di un quadri-

vettore, appunto del quadrimomento. Siccome una trasformazione di Lorentz mescola

energia e quantita di moto ci aspettiamo quindi che la conservazione della prima non

possa avvenire senza la contemporanea conservazione della seconda. In realta stiamo

quindi cercando quattro costanti del moto raggruppate nel quadrimomento P ν , la cui

componente temporale P 0 = ε rappresenta l’energia totale del sistema.

In analogia con la carica elettrica ci aspettiamo anche per il quadrimomento leggi di

conservazione locali, ovverosia ci aspettiamo che ad ogni componente del quadrimomento

P ν sia associata una corrente conservata. Indichiamo le quattro correnti risultanti con,

jµ(ν)(x) ≡ T µν(x), (2.58)

grandezza che viene chiamata “tensore energia–impulso”.

In base a quanto abbiamo appena detto postuliamo che in una teoria relativistica la

conservazione del quadrimomento sia conseguenza dell’esistenza di un tensore energia–

impulso, che gode delle seguenti proprieta:

I) T µν e un campo tensoriale,

II) T µν soddisfa l’equazione di continuita, ∂µTµν = 0,

III) lim|~x|→∞ |~x|3 T µν(t, ~x) = 0.

La proprieta I) assicura in particolare la covarianza dell’equazione di continuita II), cioe,

se essa vale in un sistema di riferimento vale in tutti i sistemi di riferimento.

Procediamo ora come nel caso della corrente elettrica per dedurre l’esistenza di quan-

tita conservate. Integrando l’equazione di continuita su un volume finito otteniamo,

∂0

∫

V

T 0ν d3x = −∫

V

∂iTiν d3x. (2.59)

47

In base all’identificazione (2.58) le componenti T 0ν corrispondono alla densita di quadri-

momento, e il quadrimomento contenuto in un volume V e dunque dato da,

P νV =

∫

V

T 0ν d3x. (2.60)

La (2.59) ci dice allora che le quantita T iν sono da interpretarsi come “densita di corrente

di quadrimomento”. Infatti, applicando il teorema di Gauss si ottiene l’equazione del

flusso,dP ν

V

dt= −

∫

∂V

T iνdΣi. (2.61)

Scriviamo in particolare le componenti ν = 0 delle (2.60), (2.61), che riguardano l’energia

εV ≡ P 0V contenuta nel volume V ,

εV =

∫

V

T 00 d3x,dεV

dt= −

∫

∂V

T i0dΣi.

Si vede che mentre T 00 rappresenta la densita di energia, il vettore tridimensionale T i0

rappresenta il flusso di energia, entrambe quantita che in seguito giocheranno un ruolo

importante. Interpretazioni analoghe valgono per le componenti T µi, che riguardano la

quantita di moto.

Se infine nella (2.61) estendiamo il volume a tutto lo spazio, grazie alla proprieta III)

deduciamo che il quadrimomento totale e conservato,

P ν =

∫T 0ν d3x,

dP ν

dt= 0. (2.62)

A questo punto facciamo notare che il quadrimomento P νV contenuto in un volume finito

– che in generale dipende dal tempo – non ha proprieta ben definite sotto trasformazioni

di Lorentz, mentre, se vogliamo che la conservazione del quadrimomento totale sia una

proprieta preservata nel passaggio da un sistema di riferimento a un altro, dobbiamo

dimostrare che P ν costituisce effettivamente un quadrivettore. La dimostrazione di questo

fatto si basa sulle proprieta I)–III), e segue da vicino quella dell’invarianza della carica

elettrica del paragrafo precedente. Eseguendo gli stessi passaggi si ottiene facilmente,

P ν =

∫T µν(x) ∂µH(t) d4x, P ′ν =

∫T ′µν(x′) ∂′µH(t′) d4x′.

Considerando che i tensori energia–impulso nei due riferimenti sono legati dalla relazione,

T ′µν(x′) = ΛµαΛν

βT αβ(x),

48

si ottiene,

P ′ν = Λνβ

∫T µβ(x) ∂µH(t′) d4x.

Calcoliamo allora la differenza,

P ′ν−ΛνβP β = Λν

β

∫T µβ(x)∂µ(H(t′)−H(t)) d4x = Λν

β

∫∂µ

[T µβ(x)(H(t′)−H(t))

]d4x,

dove nell’ultimo passaggio abbiamo sfruttato l’equazione di continuita. L’integrale otte-

nuto e della stessa forma dell’integrale (nullo) in (2.57), e quindi anch’esso e zero. Vale

dunque,

P ′ν = ΛνβP β,

come volevamo dimostrare.

2.4.3 Il tensore energia–impulso dell’Elettrodinamica

In questo paragrafo diamo una dimostrazione costruttiva dell’esistenza di un tensore

energia–impulso per l’Elettrodinamica classica, che goda delle proprieta postulate nel

paragrafo precedente. Deriveremo prima, in modo euristico, la forma della densita di

energia T 00, dopodiche useremo l’invarianza di Lorentz per ricostruire l’intero tensore.

Per cominciare ricordiamo la nota formula per la densita di energia del campo elet-

tromagnetico,

T 00em =

1

2(E2 + B2). (2.63)

Chiaramente l’energia totale conservata non potra essere data solo dall’integrale di T 00em,

perche sappiamo che il campo elettromagnetico scambia energia con le particelle cariche.

Per quantificare questo scambio ci calcoliamo la derivata temporale di T 00em, usando le

equazioni di Maxwell nella forma (2.28)–(2.31),

∂T 00em

∂t= ~E · ∂

~E

∂t+ ~B · ∂

~B

∂t

= ~E ·(

~∇× ~B −~j)− ~B · ~∇× ~E

= −~j · ~E − ~∇ ·(

~E × ~B)

.

Integriamo ora questa relazione su tutto lo spazio. Applicando all’ultimo termine il teo-

rema di Gauss e assumendo che ~E e ~B decrescano all’infinito spaziale abbastanza rapida-

mente, vediamo che esso non da contributo. Ricordando la forma della corrente spaziale

49

(2.41) possiamo allora scrivere,

d

dt

∫T 00

em d3x = −∫

~E ·~j d3x = −∑

r

er ~vr ·∫

~E(t, ~x) δ3(~x− ~yr(t)) d3x (2.64)

= −∑

r

er ~vr · ~E(t, ~yr(t)) = − d

dt

(∑r

εr

), (2.65)

dove abbiamo usato la legge della potenza (2.20), con εr = mr/√

1− v2r . La relazione che

abbiamo ottenuto ci dice che si conserva l’energia totale del sistema, nella forma,

ε =

∫T 00

em d3x +∑

r

εr =

∫ (1

2(E2 + B2) +

∑r

εr δ3(~x− ~yr(t))

)d3x.

Da questa formula possiamo dedurre l’espressione della densita di energia,

T 00 =1

2(E2 + B2) +

∑r

εr δ3(~x− ~yr(t)).

Viene allora naturale assumere che il tensore energia–impulso totale possa essere scritto

come somma di due contributi, uno che rappresenta solo i campi e l’altro che rappresenta

solo le particelle,

T µν = T µνem + T µν

p , (2.66)

con le condizioni,

T 00em =

1

2(E2 + B2), T 00

p =∑

r

εr δ3(~x− ~yr(t)). (2.67)

Con queste posizioni cerchiamo ora di determinare i due tensori separatamente, sfrut-

tando il fatto che sotto trasformazioni di Lorentz entrambi si devono trasformare in modo

covariante.

Cominciamo con il contributo del campo elettromagnetico. Siccome T 00em e bilineare in

~E e ~B – che sono le componenti del tensore F µν – e siccome le trasformazioni di Lorentz

sono lineari, possiamo concludere che tutte le componenti di T µνem devono essere bilineari

in F µν . La covarianza di Lorentz impone allora la seguente struttura generale, dove a, b

e c sono per il momento costanti arbitrarie 9,

T µνem = aF µ

αFαν + b ηµνFαβFαβ + c F µνFαα. (2.68)

9A priori potrebbero essere presenti anche contributi che coinvolgono il tensore di Levi–Civita εµνρσ,ma questi renderebbero Tµν

em uno pseudotensore. Per parita, ovverosia per ~x → −~x, ~E → − ~E, ~B → ~B,la componente T 00

em dovrebbe allora cambiare di segno, in contraddizione con la (2.63) che resta inveceinvariante.

50

L’ultimo termine e identicamente nullo grazie all’antisimmetria di Fαβ. Per determinare

le costanti a e b calcoliamo T 00em dalla (2.68) e confrontiamo il risultato con la (2.67),

T 00em = aF 0

αFα0 + b η00 · 2(B2 − E2)

= aF 0iF

i0 + 2b (B2 − E2) = (a− 2b)E2 + 2bB2.

Il confronto da a = 1, b = 1/4, e quindi,

T µνem = F µ

αFαν +1

4ηµνFαβFαβ. (2.69)

Per determinare T µνp riscriviamo la componente T 00

p in (2.67) nel modo seguente,

T 00p =

∑r

∫εr δ4(x− yr) dy0

r =∑

r

∫εr u0

r δ4(x− yr) dsr =∑

r

mr

∫u0

r u0r δ4(x− yr) dsr.

Questa forma suggerisce di porre,

T µνp =

∑r

mr

∫uµ

r uνrδ

4(x− yr) dsr, (2.70)

che e un tensore per trasformazioni di Lorentz e riproduce la componente 00 corretta. E

sottinteso che l’integrale curvilineo e esteso all’intera linea di universo di ciascuna parti-

cella, come nella definizione della quadricorrente. Integrando nuovamente la δ temporale

possiamo riscrivere questo tensore in modo non manifestamente covariante, in una forma

che sara utile nel prossimo paragrafo,

T µνp =

∑r

pµr pν

r

εr

δ3(~x− ~yr(t)). (2.71)

Facciamo notare che i tensori dati in (2.69) e (2.70) sono simmetrici in µ e ν, e quindi lo

e anche il tensore energia–impulso totale,

T µν = T νµ.

Per il momento questa proprieta sembra accidentale, ma essa giochera un ruolo rilevante

in seguito.

L’equazione di continuita per T µν. Le formula per T µνp e T µν

em appena trovate sono state

dedotto in modo euristico, ma la loro giustificazione definitiva discende dal fatto che si

puo dimostrare che il tensore energia–impulso totale T µν e conservato se,

51

a) F µν soddisfa l’identita di Bianchi e l’equazione di Maxwell,

b) le coordinate delle particelle soddisfano l’equazione di Lorentz.

Per dimostrarlo calcoliamo la quadridivergenza dei due tensori separatamente, comincian-

do dal tensore elettromagnetico,

∂µTµνem = ∂µF

µαFαν + F µα∂µFα

ν +1

2Fαβ ∂νFαβ

= −F ναjα +1

2Fαβ

(∂αF βν − ∂βFαν

)+

1

2Fαβ∂νFαβ

= −F ναjα +1

2Fαβ

(∂αF βν + ∂βF να + ∂νF αβ

)

= −∑

r

er

∫F να(yr)urα δ4(x− yr) dsr. (2.72)

Abbiamo usato l’equazione di Maxwell, l’identita di Bianchi nella forma (2.89), e la

definizione della quadricorrente.

Per calcolare la quadridivergenza del tensore energia–impulso delle particelle si ese-

guono gli stessi passaggi del calcolo della quadridivergenza della corrente elettrica 10,

∂µTµνp =

∑r

∫pν

r uµr ∂µδ

4(x− yr) dsr = −∑

r

∫pν

r

d

dsr

δ4(x− yr) dsr

=∑

r

∫dpν

r

dsr

δ4(x− yr) dsr −∑

r

pνr δ4(x− yr)

∣∣sr=+∞sr=−∞

=∑

r

∫dpν

r

dsr

δ4(x− yr) dsr. (2.73)

Sommando questo risultato alla (2.72) si ottiene,

∂µTµν =

∑r

∫ (dpν

r

dsr

− erFνα(yr)urα

)δ4(x− yr) dsr = 0, (2.74)

in virtu dell’equazione di Lorentz.

Concludiamo che le formule (2.66), (2.69) e (2.70) individuano un tensore energia–

impulso che soddisfa le proprieta I) e II) del paragrafo precedente. Sotto ipotesi molto

generali si puo inoltre fare vedere che esso soddisfa anche la proprieta III) sul suo anda-

mento asintotico. Il contributo T µνp soddisfa questa proprieta in modo ovvio. Per quanto

riguarda invece il tensore T µνem vedremo che esso la soddisfa, per esempio, se l’accelerazione

10Per non appesantire la notazione in questo calcolo usiamo per le distribuzioni la notazione simbolica.Per rendersi conto che i passaggi eseguiti sono corretti e sufficiente applicare i risultati intermedi a unafunzione di test ϕ.

52

delle particelle cariche svanisce per t → −∞ con sufficiente rapidita (in particolare se le

particelle sono accelerate solo per un intervallo temporale finito). Nel capitolo 6 faremo,

infatti, vedere che in questo caso il campo elettromagnetico ha l’andamento asintotico

tipico di un campo coulombiano,

F µν ∼ 1

r2, per r = |~x| → ∞.

Siccome T µνem e quadratico in F µν ne segue che asintoticamente,

T µνem ∼

1

r4,

e quindi r3T µνem → 0.

Prima di procedere osserviamo che nella dimostrazione dell’equazione di continuita

appena svolta abbiamo evidentemente sottointeso l’identificazione dei due tipi di carica

discussi alla fine del paragrafo 2.2.3, vale a dire abbiamo posto er = e∗r. Ricordiamo che le

e∗r sono le cariche che compaiono – a priori – nella corrente, e che le er sono quelle che

compaiono nelle equazioni di Lorentz. Ma e facile ripetere gli stessi passaggi di cui sopra

senza usare questa identificazione, e si vede immediatamente che al posto di ∂µTµν = 0 si

otterrebbe, vedi (2.74),

∂µTµν =

∑r

(er − e∗r)∫

F να(yr) δ4(x− yr) dyrα. (2.75)

L’equazione di continuita e quindi violata, a meno che non si abbia er = e∗r. L’identificazio-

ne dei due tipi di carica e quindi effettivamente necessaria per assicurare la conservazione

del quadrimomento totale del sistema, come anticipato nel paragrafo 2.2.3.

Il significato delle componenti di T µν. Analizziamo ora brevemente il significato del-

le singole componenti di T µν , cominciando di nuovo con il contributo elettromagnetico.

Calcoli elementari danno,

T 00em =

1

2(E2 + B2), (2.76)

T i0em = T 0i

em = ( ~E × ~B)i, (2.77)

T ijem =

1

2(E2 + B2) δij − EiEj −BiBj. (2.78)

Riotteniamo ovviamente la densita di energia T 00em dalla quale eravamo partiti. Nelle com-

ponenti miste riconosciamo poi il vettore di Poynting Si che, come sappiamo, rappresenta

53

effettivamente il flusso di energia del campo elettromagnetico,

T i0em = Si, ~S = ~E × ~B. (2.79)

Vediamo inoltre che il vettore di Poynting eguaglia anche la densita di quantita di moto

T 0iem. Le componenti spazio–spazio invece formano un tensore simmetrico che viene chia-

mato “tensore degli sforzi di Maxwell”; esso rappresenta il flusso della quantita di moto.

Infine osserviamo che il tensore energia–impulso elettromagnetico e a traccia nulla,

T µem µ = T µν

em ηµν = 0.

Per quanto riguarda il tensore energia–impulso delle particelle, dalla (2.71) si vede che

la densita di quadrimomento ha la forma aspettata,

T 0µp =

∑r

pµr δ3(~x− ~yr(t)). (2.80)

Infatti, il quadrimomento totale delle particelle che a un istante considerato si trovano

all’interno di un volume V e dato da,

∫

V

T 0µp d3x =

∑r

pµr

∫

V

δ3(~x− ~yr(t)) d3x =∑r∈V

pµr ,

dove la somma si estende a tutte le particelle contenute in V .

Concludiamo questo paragrafo riprendendo il bilancio del quadrimomento riferito a

un volume V . Secondo la (2.61) il quadrimomento che abbandona nell’unita di tempo il

volume V e dato da,dP µ

V

dt= −

∫

∂V

T iµdΣi.

L’intgrale a secondo membro e un integrale di superficie e riceve – a priori – contributi

sia da T iµem che da T iµ

p . Ma siccome le particelle all’istante considerato stanno o all’interno

o all’esterno della superficie, il termine T iµp non contribuisce e si ottiene,

dP µV

dt= −

∫

∂V

T iµem dΣi. (2.81)

In altre parole, la variazione del quadrimomento totale contenuto in V , che risulta dalla

somma del quadrimomento delle particelle e di quello del campo elettromagnetico, e cau-

sata dal solo flusso elettromagnetico. In particolare per “l’energia irradiata” nell’unita di

54

tempo dal volume V otteniamo,

dεV

dt= −

∫

∂V

T i0em dΣi = −

∫

∂V

~S · d~Σ. (2.82)

Questa importante relazione sara la formula cardine per l’analisi energetica di tutti i

fenomeni di irraggiamento.

2.4.4 Conservazione del momento angolare

In questo paragrafo stabiliremo la legge di conservazione locale del momento angolare qua-

dridimensionale, in una generica teoria relativistica. Applicheremo poi la ricetta ottenuta

all’Elettrodinamica.

Sappiamo che in un sistema isolato di particelle non relativistiche, oltre all’energia e

alla quantita di moto si conserva anche il momento angolare tridimensionale, nella forma,

Li =∑

r

(~yr × ~pr)i = εijk

∑r

yjr pk

r ,

dove ~pr = mr~vr e la quantita di moto non relativistica della particella r–esima. In una

teoria relativistica questa legge di conservazione vettoriale, opportunamente generalizzata

dovrebbe acquisire carattere covariante quadridimensionale. Ma il tentativo piu naturale

di estendere il momento angolare a un quadrivettore fallisce, in quanto il prodotto esterno

tridimensionale non ammette nessuna estensione quadrivettoriale. Tuttavia, possiamo

sfruttare il fatto che in tre dimensioni ogni vettore e equivalente a un tensore doppio

antisimmetrico,

Lij ≡ εijkLk =∑

r

(yirp

jr − yj

rpir). (2.83)

In quanto tensore antisimmetrico questa espressione ammette ora un’estensione naturale

a un quadritensore antisimmetrico di rango due,

Lαβp =

∑r

(yαr pβ

r − yβr pα

r ), Lαβp = −Lβα

p , (2.84)

purche identifichiamo pαr con il quadrimomento relativistico della particella. Un tensore

di questo tipo corrisponderebbe quindi a sei quantita conservate. In realta dovevamo

aspettarci che il momento angolare relativistico fosse costituito da piu di tre componenti.

Sappiamo, infatti, che in fisica Newtoniana la conservazione del momento angolare discen-

de dall’invarianza per rotazioni spaziali, le quali costituiscono un gruppo a tre parametri.

55

A livello relativistico questo gruppo si allarga al gruppo di Lorentz che costituisce invece

un gruppo a sei parametri, e quindi risulta naturale la comparsa di altrettante quantita

conservate.

Come per la carica elettrica e il quadrimomento assumiamo anche in questo caso leggi

di conservazione locali. Ipotizziamo quindi l’esistenza di un tensore “densita di corrente

di momento angolare” di rango tre Mµαβ, con le proprieta,

I) Mµαβ = −Mµβα,

II) ∂µMµαβ = 0.

Alla luce della (2.84), vedi sotto, postuliamo la seguente definizione,

Mµαβ = xαT µβ − xβT µα. (2.85)

La proprieta I) e allora valida per costruzione. Per quanto riguarda la II) calcoliamo,

∂µMµαβ = δα

µT µβ + xα∂µTµβ − δβ

µT µα − xβ∂µTµα = Tαβ − T βα,

dove abbiamo sfruttato la conservazione del tensore energia–impulso. Vediamo ora che se

quest’ultimo e anche simmetrico – come nel caso dell’Elettrodinamica – allora risulta in

effetti l’equazione di continuita,

∂µMµαβ = 0.

Seguendo il procedimento standard e assumendo opportuni andamenti asintotici dei campi

all’infinito, segue allora che esistono sei quantita conservate date da,

Lαβ =

∫M0αβ d3x =

∫(xαT 0β − xβT 0α) d3x, Lαβ = −Lβα. (2.86)

Con il consueto procedimento si dimostra poi anche che le quantita Lαβ costituiscono

un tensore di rango due sotto trasformazioni di Lorentz. Inoltre, in assenza di campo

elettromagnetico, cioe per un sistema di particelle neutre, usando la (2.80) si vede im-

mediatamente che la (2.86) si riduce alla (2.84). Giustifichiamo cosı – a posteriori – la

definizione del momento angolare relativistico data in (2.85).

In realta i campi Mµαβ si comportano come campi “tensoriali” solo sotto trasformazioni

di Lorentz, mentre sotto traslazioni, xµ → x′µ = xµ + aµ, essi trasformano in modo

“anomalo”,

M ′µαβ(x′) = Mµαβ(x) + aαT µβ(x)− aβT µα(x).

56

Ricordiamo, appunto, che sotto traslazioni un tensore non dovrebbe cambiare. In modo

simile le quantita conservate (2.86) trasformano secondo, vedi (2.62),

L′αβ = Lαβ + aαP β − aβPα. (2.87)

Questa anomalia si spiega facilmente osservando che la densita di momento angolare

(2.85) e stata calcolata considerando implicitamente come polo l’origine O, con coordinate

xµO = 0. Per un polo generico la (2.85) si generalizza invece come,

MµαβO = (xα − xα

O)T µβ − (xβ − xβO)T µα,

espressione che risulta ora invariante per traslazioni e preserva, per di piu, le proprieta I) e

II) di cui sopra. La (2.87) puo allora essere interpretata come la versione relativistica della

nota regola di cambiamento del momento angolare non relativistico per un cambiamento

del polo, xµO → x′µO = xµ

O − aµ.

Esplicitiamo ora la forma delle costanti del moto Lαβ nel caso dell’Elettrodinamica.

Analizziamo separatamente le componenti Lij, ovverosia il vettore Li = 12εijkLjk che

corrisponde al momento angolare spaziale, e le tre nuove costanti del moto Ki ≡ L0i, che

vengono chiamate boost. Per il momento angolare spaziale la (2.79) e la (2.80) danno,

Li =1

2εijkLjk = εijk

∫xj T 0k d3x = εijk

∫xj

(Sk +

∑r

pkr δ3(~x− ~yr)

)d3x,

e quindi,

~L =

∫(~x× ~S) d3x +

∑r

~yr × ~pr ≡ Lem + ~Lp, (2.88)

risultato non sorprendente, dato che il vettore di Poynting rappresenta la densita di

quantita di moto del campo elettromagnetico.

Il significato dei boost. Analizziamo ora le componenti (0 i) di Lαβ, in una teoria

relativistica generica. Dalla (2.86) otteniamo le costanti del moto,

Ki = L0i = t

∫T 0i d3x−

∫xi T 00 d3x,

dove nelle quantita P i =∫

T 0i d3x riconosciamo la quantita di moto totale conservata del

sistema. Per dare un’interpretazione al secondo termine di Ki definiamo la posizione del

“centro di massa” di un sistema relativistico come,

~xcm(t) ≡∫

~x T 00 d3x∫T 00 d3x

,

57

dove ε =∫

T 00 d3x e l’energia totale conservata del sistema. Si noti che questa formula si

ottiene dalla corrispondente espressione non relativistica sostituendo la densita di massa

con la densita di energia. La costanza del vettore di boost,

~K = t ~P − ε ~xcm(t),

e allora equivalente all’affermazione che il centro di massa del sistema si muove di moto

rettilineo uniforme, con velocita data da,

~vcm =~P

ε.

Resta, tuttavia, da notare che il concetto di centro di massa di un sistema, per come

l’abbiamo introdotto non e un concetto relativisticamente invariante, nel senso che le sue

coordinate (t, ~xcm) non costituiscono un quadrivettore: il centro di massa di un sistema e

rappresentato da punti diversi in sistemi di riferimento diversi.

In definitiva, dalle equazioni del moto dell’Elettrodinamica siamo riusciti a dedurre

l’esistenza delle dieci quantita conservate P ν e Lαβ – tante quanti sono i parametri con-

tinui che parametrizzano il gruppo di Poincare. Abbiamo gia anticipato che alla base di

questa “coincidenza” numerica c’e un legame profondo esistente in natura tra principi di

simmetria e leggi di conservazione, legame che a livello matematico viene decodificato dal

teorema di Noether.

2.5 Problemi

2.1 Si dimostri che il quadrato della quadriaccelerazione w2 ≡ wµwµ soddisfa,

w2 ≤ 0.

[Sugg.: si sfrutti l’identita wµuµ = 0.] Si dimostri che in termini di velocita e accelerazione

tridimensionali si ha,

w2 = −a2 − (~a× ~v)2

(1− v2)3.

2.2 Si dimostri che le seguenti tre versioni dell’identita di Bianchi sono equivalenti tra

di loro:

∂µFνρ + ∂νFρµ + ∂ρFµν = 0, (2.89)

58

∂[µFνρ] = 0,

εµνρσ∂νFρσ = 0.

2.3 Si trovino tutte le soluzioni per F ∈ S ′(R) dell’equazione in una dimensione,

(x2 − a2)F (x) = 0, a > 0.

Si dimostri che ogni soluzione puo essere posta nella forma F (x) = f(x)δ(x2 − a2), per

un’opportuna funzione continua f .

2.4 Si dimostri che una funzione f(x) : RD → C definisce un elemento F ∈ S ′(RD),

dato da,

F (ϕ) =

∫f(x) ϕ(x) dDx, (2.90)

se 1) f e integrabile in modulo su una qualsiasi palla di RD – in particolare se possiede un

numero finito di singolarita integrabili – e 2) se essa e asintoticamente polinomialmente

limitata. Una funzione f si dice asintoticamente polinomialmente limitata se esistono una

distanza d, un intero positivo N e una costante positiva C, tali che per ogni x per cui

r ≥ d si abbia,

|f(x)| ≤ C r2N ,

dove r ≡√

(x1)2 + · · ·+ (xD)2. [Sugg.: E necessario e sufficiente dimostrare che vale la

(2.34) per opportuni monomi P e Q. A questo scopo e utile suddividere il dominio di

integrazione nella (2.90) in una palla sufficientemente grande e nel suo complemento in

RD, e sfruttare le proprieta asintotiche (2.32) della ϕ.]

2.5 Si dimostri il “Teorema di Birkhoff”, enunciato come segue. Sia data una

quadricorrente a simmetria sferica, ma in generale non statica,

j0(~x, t) = ρ(r, t),

ji(~x, t) =xi

rj(r, t),

a supporto spaziale compatto, cioe,

jµ(~x, t) = 0 per r > r0, ∀ t.

59

Allora il campo elettromagnetico generato dalla quadricorrente nel vuoto, vale a dire nella

regione r > r0, e statico, essendo dato da,

~E =Q

4π

~x

r3, ~B = 0, Q =

∫

r<r0

ρ(r, t) d3x.

[Sugg.: si usi l’Ansatz ~E = ~x f(r, t), ~B = ~x g(r, t), implicato dalla simmetria sferica.] Se

ne conclude in particolare che una distribuzione di corrente a simmetria sferica – seppure

costituita da cariche accelerate – non puo irradiare onde elettromagnetiche, perche il

campo da essa generato e statico.

2.6 Integrali invarianti in 3 dimensioni. Si definisca il tensore doppio tridimensio-

nale,

H ij =

∫dΩ ninj, (2.91)

dove dΩ = senϑ dϑ dϕ e la misura dell’angolo solido in 3 dimensioni, con∫

dΩ = 4π, e

ni = xi/r, r = |~x|. L’integrando nella (2.91) dipende quindi solo dagli angoli.

a) Si dimostri che si puo scrivere H ij =∫

d3x δ(r − 1) xixj.

b) Si dimostri che H ij e un tensore invariante per SO(3), cioe,

RimRj

nHmn = H ij, ∀ R ∈ SO(3).

[Sugg.: si esegua il cambiamento di variabili xi = Rik yk nell’integrando del punto a)].

c) Sapendo che gli unici tensori invarianti indipendenti per SO(3) sono δij e εijk, si

concluda che H ij = C δij per qualche costante C. Si determini C contraendo la (2.91)

con δij.

d) Secondo questa linea di argomenti si stabilisca la seguente tabella di integrali invarianti:

∫dΩ = 4π,

∫dΩ ni = 0,

∫dΩ ninj =

4π

3δij,

∫dΩ ninjnk = 0,

∫dΩ ninjnknl =

4π

15(δijδkl + δikδjl + δilδjk).

60

2.7 Una particella di carica e e massa m si trova in presenza di un campo elettroma-

gnetico costante e uniforme F µν . La quadrivelocita iniziale della particella per s = 0 sia

uµ(0), con u2(0) = 1. Seguendo l’approccio covariante del paragrafo 2.2.1,

a) si dimostri che in questo caso l’equazione di Lorentz e equivalente all’equazione del

primo ordine,dyµ

ds= uµ(s) =

[esA

]µν uν(0),

per un’opportuna matrice costante Aµν , determinandola esplicitamente.

b) Si verifichi esplicitamente che u2(s) = 1 ∀ s. [Sugg.: si noti che esA ∈ SO(1, 3)c ∀ s.]

c) Si dimostri che la quantita w2 = wµ(s)wµ(s) e indipendente da s, esprimendola in

termini di F µν e uµ(0).

d) Escluso il caso in cui | ~E| = | ~B| e simultaneamente ~E ⊥ ~B = 0, esiste sempre un sistema

di riferimento in cui ~E e ~B sono paralleli e diretti lungo l’asse delle x: ~E = (E, 0, 0),

~B = (B, 0, 0). Si dimostri che in questo riferimento la matrice A e diagonale a blocchi

2× 2.

e) Sfruttando questa struttura di A si determini esA sviluppando l’esponenziale in serie,

e risommandolo in termini delle funzioni sen, cos, cosh e senh.

f) Ponendo come velocita iniziale ~v0 = (0, v0, 0), cioe,

uµ(0) =1√

1− v20

(1, 0, v0, 0),

si determinino uµ(s) e yµ(s), e quindi la legge oraria ~y(t). In questo quesito per semplicita

si ponga B = 0.

2.8 Si consideri un sistema di N particelle cariche nel limite non relativistico, vr ¿ 1,

che creano quindi un campo elettromagnetico dato da,

~E = −~∇A0, A0(t, ~x) =N∑

r=1

er

4π|~x− ~yr(t)| ,~B = 0.

a) Utilizzando l’equazione di Coulomb −∇2A0 = j0, si dimostri che l’energia del campo

elettromagnetico εem = 12

∫d3x (E2 + B2) puo essere riscritta “formalmente” come somma

delle energie potenziali relative di tutte le cariche,

εem =1

2

∫d3xA0j0 =

1

2

N∑r,s=1

eres

4π|~yr(t)− ~ys(t)| . (2.92)

61

b) Si sottragga da questa espressione la parte divergente dovuta all’autointerazione, e si

scriva l’energia totale del sistema campo elettromagnetico + particelle cariche, aggiungen-

do l’energia cinetica non relativistica di queste ultime. Si dimostri che l’energia totale cosı

ottenuta risulta conservata nel limite non relativistico. Si noti che mentre l’espressione

originale per εem e sempre positiva – qualsiasi siano i segni delle cariche – cio non e piu

vero per l’espressione (2.92), dopo la sottrazione della parte divergente (esempio: N = 2,

e1 = −e2).

2.9 Si trovi la soluzione generale yµ(λ) dell’equazione del moto per la particella libera,

d2yµ

ds2= 0,

parametrizzando la linea di universo con un parametro λ generico, vedi (2.3). Si verifichi

che la soluzione generale e determinata solo modulo una riparametrizzazione.

2.10 Si dimostri che “l’equazione di Newton” (2.21) puo essere posta nella forma,

m~a = ~F (~y,~v),

per un’opportuna forza ~F .

2.11 Si dimostri che se un campo elettromagnetico F µν(x) soddisfa le equazioni di Max-

well (2.28), (2.29) per ogni t, e le equazioni (2.30), (2.31) a t = 0, allora esso soddisfa

automaticamente le (2.30), (2.31) per ogni t. [Sugg.: si valuti la divergenza spaziale delle

(2.28), (2.29).]

2.12 Si verifichi esplicitamente che il tensore tridimensionale,

1

r3

(δij − 3

xixj

r2

),

che compare al membro di destra della (2.50), appartiene a S ′(R3).

Soluzione Problema 2.3 L’equazione,

(x2 − a2)F (x) = 0, a > 0, (2.93)

62

implica che F puo essere “diversa da zero” solo per x = ±a, ovverosia che il supporto di F

e −a, a, che e un insieme di punti. Il teorema enunciato nel paragrafo 2.3.2, vedi (2.42),

implica allora che F e una combinazione lineare finita di δ(x ± a) e delle loro derivate.

Evidentemente,

F0 ≡ c1 δ(x− a) + c2 δ(x + a),

e soluzione dell’equazione (2.93), con c1 e c2 costanti aribitrarie, come si verifica subito

usando la (2.36). Per quanto riguarda invece le derivate prime notiamo che, derivando

l’identita (x2 − a2) δ(x± a) = 0, si ottiene,

(x2 − a2)δ′(x± a) = −2xδ(x± a) = ±2a δ(x± a) 6= 0.

Quindi le derivate prime non sono soluzioni di (2.93), e allo stesso modo si dimostra che

nemmeno le derivate successive lo sono. F0 e quindi la soluzione generale della (2.93).

Per porre F0 nella forma richiesta nel problema e sufficiente ricordare la (2.38), e

moltiplicarla per una generica funzione continua f ,

F1 ≡ f(x)δ(x2 − a2) =1

2a(f(a)δ(x− a) + f(−a)δ(x + a)).

Siccome f(a) e f(−a) possono assumere qualsiasi valore F0 puo quindi sempre essere

posta nella forma F1.

Soluzione Problema 2.5 Inserendo gli Ansatz dati per ~E e ~B nelle equazioni di Max-

well nel vuoto, ~∇ · ~E = 0, ~∇ · ~B = 0, si trovano equazioni differenziali che determinano

completamente la dipendenza di f e g da r,

f(r, t) =F (t)

r3, g(r, t) =

G(t)

r3.

Inserendo queste formule di nuovo negli Ansatz per ~E e ~B, si trova che vale identicamente

~∇ × ~E = 0 = ~∇ × ~B. Usando questi risultati nelle rimanenti due equazioni di Maxwell

nel vuoto, si trova che F (t) e G(t) sono funzioni costanti. Queste costanti si determinano,

infine, applicando il teorema di Gauss alle equazioni di Maxwell complete, ~∇ · ~E = ρ,

~∇ · ~B = 0.

63

3 Metodi variazionali in teoria di campo

Nel capitolo precedente abbiamo illustrato le equazioni fondamentali dell’Elettrodinami-

ca evidenziando le loro proprieta piu salienti, tra cui l’invarianza sotto trasformazioni

del gruppo di Poincare. Abbiamo poi scoperto che queste equazioni godono di un’altra

importante proprieta, cioe, quella di garantire la conservazione del quadrimomento e del

momento angolare quadridimensionale. A prima vista questi due aspetti – l’invarianza

relativistica e la presenza di leggi di conservazione – non sembrano avere niente a che

fare l’uno con l’altro. Ma in realta le equazioni dell’Elettrodinamica posseggono un’al-

tra caratteristica fondamentale, che a questo punto appare ancora completamente velata:

esse discendono da un principio variazionale. Come vedremo e proprio questa proprieta

aggiuntiva ad assicurare la validita delle leggi di conservazione – stabilite “a mano” nel ca-

pitolo precedente – e a qualificare definitivamente l’Elettrodinamica come un’interazione

fondamentale.

In questo capitolo rideriveremo dunque le equazioni del moto e le leggi di conservazio-

ne dell’Elettrodinamica usando il metodo variazionale – metodo che in generale fornisce

una descrizione alternativa, compatta e elegante, della dinamica di un generico sistema

fisico. L’importanza che questo metodo riveste in Fisica si desume dal fatto che tutte

le teorie fondamentali, dal Modello Standard delle particelle elementari fino alla Relati-

vita Generale e alla piu speculativa Teoria delle Stringhe, sono deducibili da un principio

variazionale: senza un tale principio la consistenza interna di queste teorie sarebbe difficil-

mente controllabile, e non sarebbero garantite le principali leggi di conservazione. Infatti,

come anticipato nella sezione 2.4, la validita del teorema di Noether, che rivela la pro-

fonda connessione esistente in natura tra principi di simmetria e leggi di conservazione,

necessita di un principio variazionale.

Lo strumento fondamentale del metodo variazionale e il principio di minima azione.

Questo principio si basa sulla conoscenza di un’unica funzione delle variabili dinamiche del

sistema – la lagrangiana L – dalla quale per integrazione discende un funzionale, l’azione

I. Il pregio tecnico del metodo consiste nell’estrema economia impiegata nella derivazione

di una teoria fisica: assegnata la sola funzione L il principio di minima determina univo-

64

camente la dinamica del sistema, e il teorema di Noether fornisce poi la forma esplicita

delle leggi di conservazione.

Quantizzazione e invarianza relativistica. C’e un’ulteriore circostanza che conferisce al

metodo variazionale un ruolo fondamentale: e il fatto che esso costituisce il punto di par-

tenza indispensabile per la quantizzazione canonica di una qualsiasi teoria. Ricordiamo,

infatti, che e la lagrangiana a determinare la forma dei momenti coniugati e, attraverso

la trasformata di Legendre, l’hamiltoniana – oggetto su cui si fonda la quantizzazione

canonica di una qualsiasi teoria. Notiamo, tuttavia, che in una teoria relativistica la

quantizzazione canonica non costituisce una procedura covariante a vista, semplicemen-

te perche l’hamiltoniana, essendo la quarta componente di un quadrivettore, non e un

invariante relativistico. D’altra parte per le teorie relativistiche esiste una procedura di

quantizzazione alternativa, quella dell’integrale funzionale di Feynman, che si basa diret-

tamente sull’azione – e quindi non sull’hamiltoniana, ma sulla lagrangiana – e che ha il

pregio di mantenere la teoria quantistica covariante a vista.

Nelle teorie relativistiche il metodo variazionale e soggetto, infatti, a un ulterio-

re vincolo: l’azione deve essere un’invariante per trasformazioni di Poincare, cioe, un

quadriscalare,

I = I ′.

Sotta questa ipotesi le equazioni del moto che ne derivano soddisfano automaticamente

il principio di relativita einsteiniana. Infatti, secondo il principio di minima azione le

configurazioni che soddisfano le equazioni del moto sono quelle che rendono stazionaria

l’azione – δI = 0 – sotto opportune variazioni delle variabili dinamiche. Schematicamente

abbiamo allora,

Equazioni del moto in K ↔ δI = 0 ↔ δI ′ = 0 ↔ Equazioni del moto in K′.

Le equazioni del moto hanno quindi automaticamente la stessa forma in tutti i sistemi di

riferimento.

Localita. Concludiamo questa nota introduttiva soffermandoci su un aspetto peculiare

della dinamica delle particelle relativistiche, la localita dell’interazione. Ricordiamo prima

di tutto che in fisica newtoniana le particelle interagiscono attraverso forze che esercitano

65

un’azione a distanza. Per esempio, una particella di carica e2 esercita su una particella

di carica e1 la forza,

~F =e1e2

4π

~y1 − ~y2

|~y1 − ~y2|3 ,

la quale viene trasmessa istantaneamente: se a un dato istante la seconda particella si

sposta, la prima ne subisce l’effetto allo stesso istante. Un’interazione – non locale – di

questo tipo corrisponde a un segnale che si propaga con velocita infinita, ed e quindi in

conflitto con i principi della Relativita Ristretta. In una teoria relativistica, invece, le

particelle non interagiscono tra di loro direttamente ma attraverso i campi, e l’interazione

tra campi e particelle e un’azione a contatto, ovverosia, locale. Cosı la forza di Lorentz

subita da una particella carica relativistica,

e F µν(y)uν ,

dipende solo dal valore del campo nel punto yµ dello spazio–tempo dove essa si trova, e

non dalle posizioni delle altre particelle o dai valori del campo in altri punti. L’interazione

elettromagnetica tra particelle cariche si propaga quindi con la velocita di propagazione

del campo elettromagnetico, cioe, con la velocita della luce. Per confronto osserviamo

che a livello quantistico la richiesta di localita si traduce nel fatto che l’interazione tra

particelle cariche e mediata dai quanti del campo elettromagnetico, ovverosia dai fotoni,

che viaggiano a loro volta con la velocita della luce. L’interazione tra questi ultimi e le

particelle cariche, nella schematizzazione dei grafici di Feynman avviene di nuovo in un

punto, e risulta quindi a sua volta “locale”.

In una teoria relativistica sono quindi i campi a implementare la localita dell’inte-

razione, e cosı essi vanno considerati a tutti gli effetti come gradi di liberta dinamici

indipendenti, alla stessa stregua delle coordinate delle particelle: mentre in fisica non

relativistica il concetto di campo e utile, in una teoria relativistica esso e indispensabile.

In conlusione, la formulazione di una teoria fisica attraverso il metodo variazionale

avviene secondo il seguente schema:

I) Individuare l’espressione dell’azione.

II) Derivare le equazioni del moto attraverso il principio di minima azione.

66

III) Usare il teorema di Noether per derivare le leggi di conservazione.

Per quanto detto sopra, in fisica relativistica genericamente avremo a che fare con

un sistema di particelle puntiformi in interazione con un sistema di campi. Un sistema

fisico i cui gradi di liberta consistono di soli campi viene chiamato “teoria di campo”. In

generale dovremo quindi implementare il metodo variazionale per un sistema di particelle

in interazione con una teoria di campo. In questo capitolo svilupperemo dunque prima

il metodo variazionale per una generica teoria di campo che, come vedremo, puo essere

considerata come un sistema lagrangiano con un numero infinito di gradi di liberta. Per

questo motivo nel paragrafo che segue ricorderemo brevemente in che cosa consiste il

metodo per un sistema lagrangiano con un numero finito di gradi di liberta, ovverosia, in

meccanica classica.

Nel prossimo capitolo estenderemo infine il principio variazionale a un sistema di

particelle cariche interagenti con il campo elettromagnetico.

3.1 Principio di minima azione in meccanica classica

Consideriamo un sistema meccanico non relativistico, conservativo e olonomo, a N gradi

di liberta, descritto dalle coordinate lagrangiane qn(t), n = 1, · · · , N. Indicheremo le coor-

dinate collettivamente con q = (q1, · · · , qN), e le loro derivate prime con q = (q1, · · · , qN),

dove,

qn =dqn

dt.

Sappiamo allora che esiste una funzione di 2N variabili, la lagrangiana L(q, q), tale che le

equazioni del moto del sistema meccanico sottostante siano equivalenti alle equazioni di

Lagrange,d

dt

∂L

∂qn

− ∂L

∂qn

= 0, n = (1, · · · , N). (3.1)

Ricordiamo l’esempio prototipico di un sistema di M particelle non vincolate, con

coordinate cartesiane ~yi(t), i = 1, · · · ,M , nel qual caso le coordinate lagrangiane sono date

da q = (~y1, · · · , ~yM), e N = 3M . Se indichiamo il potenziale di interazione reciproca con

V (q), e l’energia cinetica totale delle particelle con T (q) = 12

∑i miv

2i , allora la lagrangiana

67

di questo sistema e data da,

L(q, q) = T − V.

Fissiamo ora due estremi temporali t1 < t2, e associamo alla generica lagrangiana L il

seguente funzionale I delle leggi orarie q(t), chiamato azione,

I[q] =

∫ t2

t1

L(q(t), q(t)) dt. (3.2)

Possiamo allora dimostrare il principio di minima azione, detto anche principio di Hamil-

ton.

Principio di minima azione: le leggi orarie q(t) soddisfano le equazioni di Lagrange

(3.1) nell’intervallo [t1, t2], se e solo se esse rendono l’azione I[q] stazionaria per variazioni

δq = (δq1, · · · , δqN) arbitrarie purche nulle agli estremi, vale a dire,

δqn(t1) = 0 = δqn(t2).

Prima di dimostrare il principio spieghiamo la terminologia usata nell’enunciato. In-

nanzitutto specifichiamo che le δqn(t) indicano N funzioni reali del tempo con le stesse

proprieta di regolarita delle qn(t). Introduciamo poi il concetto di “variazione dell’azione”

δI attorno a una configurazione q, per delle variazioni δq assegnate. Poniamo 11,

δI ≡ d

dαI[q + α δq]

∣∣∣∣α=0

, (3.3)

dove α e un parametro reale. Siccome l’azione (3.2) e data dall’integrale di una funzione

delle q e q che supponiamo essere sufficientemente regolare, la (3.3) equivale a,

δI = limα→0

I[q + α δq]− I[q]

α=

(I[q + δq]− I[q]

)lin

. (3.4)

Con l’ultima espressione intendiamo la quantita I[q + δq] − I[q] sviluppata in serie di

Taylor attorno a q, e arrestata al termine lineare in δq. Per calcolare δI userermo in

pratica sempre la (3.4), tralasciando il pedice “lin”.

Si dice, infine, che la configurazione q rende l’azione I stazionaria per delle variazioni

δq date, se risulta δI = 0.

11Si tenga presente che δI e in realta un funzionale delle 2N funzioni q e δq, e andrebbe quindipropriamente indicato con δI[q, δq].

68

Passiamo ora a dimostrare il principio di minima azione calcolando la variazione δI

usando la (3.4),

δI = I[q + δq]− I[q] =

∫ t2

t1

(L(q + δq, q + δq)− L(q, q)

)dt

=

∫ t2

t1

δL dt =

∫ t2

t1

∑n

(∂L

∂qn

δqn +∂L

∂qn

d δqn

dt

)dt

=

∫ t2

t1

∑n

(∂L

∂qn

δqn +d

dt

(∂L

∂qn

δqn

)− d

dt

∂L

∂qn

δqn

)dt

=

∫ t2

t1

∑n

(∂L

∂qn

− d

dt

∂L

∂qn

)δqn dt +

∑n

∂L

∂qn

δqn

∣∣∣∣t2

t1

.

Se vale δqn(t1) = 0 = δqn(t2) l’ultima sommatoria e nulla. Si conclude allora che δI = 0

per variazioni δqn arbitrarie nell’intervallo aperto (t1, t2), se e solo se le qn(t) soddisfano

le equazioni di Lagrange (3.1) nell’intervallo [t1, t2].

3.2 Principio di minima azione in teoria di campo

Una teoria classica di campo e descritta da un certo numero di funzioni dello spazio–tempo,

ϕr(t, ~x) ≡ ϕr(x), r = 1, · · · , N , i – campi lagrangiani – che indicheremo collettivamente

con ϕ = (ϕ1, · · · , ϕN). Questi campi descrivono completamente il sistema nel senso che

ogni grandezza fisica osservabile potra esprimersi in funzione di essi, ma in generale essi

stessi non sono necessariamente osservabili. Nel caso dell’Elettrodinamica, per esempio,

i campi lagrangiani non saranno i campi elettrico e magnetico bensı le componenti del

quadripotenziale, ϕ = (A0, A1, A2, A3), legate ai primi dalla relazione (2.22). In questo

caso i campi lagrangiani non sono osservabili perche sono definiti modulo trasformazioni

di gauge, mentre le componenti del tensore F µν sono gauge invarianti e costituiscono

grandezze osservabili.

Scrivendo ϕr(t, ~x) ≡ qr,~x(t) e identificando la coppia (r, ~x) con “l’indice” n del caso

finito dimensionale, possiamo pensare l’insieme dei campi come un sistema lagrangiano

con un numero infinito di gradi di liberta. Anche in una teoria di campo cercheremo

quindi di derivare la dinamica del sistema da un principio di minima azione, a partire

da un’azione I[ϕ] che sara ora un funzionale dei campi. In questo caso partiremo da

una densita lagrangiana L, in seguito chiamata ancora semplicemente lagrangiana, che in

69

analogia con il caso finito dimensionale sara funzione dei campi ϕ e delle loro derivate

ϕ = ∂0ϕ. Tuttavia, se vogliamo che l’azione sia un’invariante relativistico, allora la

lagrangiana dovra dipendere necessariamente da tutte le derivate parziali ∂µϕ,

L(ϕ(x), ∂ϕ(x)).

La lagrangiana L, propriamente detta, sara allora ottenuta sommando su tutti i gradi di

liberta, ovverosia integrando la densita lagrangiana sulla coordinata spaziale ~x,

L(t) =

∫L(ϕ(x), ∂ϕ(x)) d3x.

Definiamo, infine, l’azione della teoria di campo come,

I[ϕ] =

∫ t2

t1

L(t) dt =

∫ t2

t1

L(ϕ(x), ∂ϕ(x)) d4x. (3.5)

Per questa azione vogliamo ora formulare un principio variazionale, analogo al principio

di minima azione per un sistema a finiti gradi di liberta. Come in quel caso supponiamo

che le funzioni ϕ(x) e L(ϕ, ∂ϕ) siano sufficientemente regolari in modo tale che la (3.4),

opportunamente generalizzata, sia ancora valida, ma oltre a questo imponiamo opportune

condizioni asintotiche su queste funzioni. Piu precisamente richiediamo che all’infinito

spaziale i campi e le loro derivate si annullino con sufficiente rapidita. In particolare

avremo,

lim|~x|→∞

ϕr(t, ~x) = 0. (3.6)

Supponiamo inoltre che la lagrangiana si annulli con sufficiente rapidita per ϕ → 0, di

modo tale che nella (3.5) l’integrale nella variabile ~x su tutto R3 esista finito.

Le equazioni analoghe alle (3.1) per la lagrangiana L sono allora le equazioni di Eulero–

Lagrange,

∂µ∂L

∂(∂µϕr)− ∂L

∂ϕr

= 0, (3.7)

equazioni che vanno riguardate come le equazioni del moto dei campi. Possiamo allora

enunciare il principio variazionale per una teoria classica di campo.

Principio di minima azione in teoria di campo: le leggi orarie ϕr(t, ~x) soddisfano le

equazioni di Eulero–Lagrange nell’intervallo [t1, t2], se e solo se esse rendono l’azione I[ϕ]

70

stazionaria per variazioni δϕr arbitrarie purche nulle agli estremi, vala a dire δϕr(t1, ~x) =

0 = δϕr(t2, ~x), per ogni ~x.

La stazionarieta del funzionale I[ϕ] rispetto a variazioni δϕr e definita in modo comple-

tamente analogo alla stazionarieta del funzionale I[q] rispetto a variazioni δqn, vedi (3.3)

e la discussione susseguente. E inoltre sottinteso che le variazioni δϕr che prendiamo in

considerazione hanno le stesse proprieta di regolarita e le stesse proprieta asintotiche dei

campi ϕr.

Per dimostrare il principio calcoliamo dapprima la variazione di (3.5) per variazioni

δϕr arbitrarie dei campi,

δI =d

dαI[ϕ + α δϕ]

∣∣∣∣α=0

= I[ϕ + δϕ]− I[ϕ]

=

∫ t2

t1

(L(ϕ + δϕ, ∂ϕ + δ∂ϕ)− L(ϕ, ∂ϕ)

)d4x

=

∫ t2

t1

δL d4x =

∫ t2

t1

∑r

(∂L∂ϕr

δϕr +∂L

∂(∂µϕr)δ ∂µϕr

)d4x.

Siccome per definizione abbiamo,

δ ∂µϕr = ∂µ(ϕr + δϕr)− ∂µϕr = ∂µδϕr,

usando la regola di Leibnitz si ottiene,

δI =

∫ t2

t1

∑r

(∂L∂ϕr

− ∂µ∂L

∂(∂µϕr)

)δϕr d4x +

∫ t2

t1

∑r

∂µ

(∂L

∂(∂µϕr)δϕr

)d4x. (3.8)

Il secondo integrale, il cui integrando e una quadridivergenza, e nullo. Per dimostrarlo

usiamo il teorema fondamentale del calcolo nella variabile temporale, e il teorema di Gauss

tridimensionale con una superficie chiusa Γ∞ posta all’infinito spaziale,

∫ t2

t1

∑r

∂µ

(∂L

∂(∂µϕr)δϕr

)d4x =

∑r

∫d3x

∂L∂ϕr

δϕr

∣∣∣∣t2

t1

+∑

r

∫ t2

t1

(∫

Γ∞

∂L∂(∂iϕr)

δϕr dΣi

)dt.

Il primo termine a secondo membro e nullo se le variazioni δϕr si annullano sugli iperpiani

t = t1 e t = t2, mentre il secondo termine e nullo perche all’infinito spaziale i campi

svaniscono. La (3.8) si riduce allora al primo integrale, e vediamo che δI si annulla per

qualsiasi scelta delle δϕr se e solo se i campi soddisfano le equazioni di Eulero–Lagrange.

71

3.2.1 Ipersuperfici nello spazio di Minkowski

In questo paragrafo introduciamo alcune nozioni riguardanti le ipersuperfici in quattro

dimensioni, di cui ci serviremo in seguito.

Per definizione un’ipersuperficie Γ nello spazio quadridimensionale di Minkowski e un

sottoinsieme – per essere piu precisi, una sottovarieta – di R4 di dimensione tre. In forma

parametrica un’ipersuperficie e descritta da quattro funzioni di tre parametri,

xµ(λ), (3.9)

dove con λ indichiamo la terna λa, con a = 1, 2, 3. Alternativamente essa puo essere

rappresentata in forma implicita in termini di un’unica funzione scalare f(x) attraverso,

xµ ∈ Γ ⇔ f(x) = 0.

Si passa da una rappresentazione all’altra, per esempio, invertendo le funzioni spaziali

~x(λ) nella (3.9) per determinare i parametri λ(~x) come funzioni di ~x, e definendo poi,

f(x) ≡ x0 − x0(λ(~x)).

Useremo una rappresentazione o l’altra a seconda della convenienza. Si noti comunque

che vale identicamente,

f(x(λ)) = 0. (3.10)

Una classe importante di ipersuperfici e costituita dagli iperpiani, che in forma impli-

cita sono descritti da una funzione del tipo,

f(x) = Mµ(xµ − xµ0) = 0, (3.11)

dove Mµ e xµ0 sono vettori costanti. L’iperpiano corrispondente a (3.11) passa per il punto

xµ0 ed e ortogonale al vettore Mµ.

Vettori tangenti e normali. In un generico punto P ≡ xµ(λ) ∈ Γ i tre vettori,

V µa ≡

∂xµ(λ)

∂λa, (3.12)

costituiscono una base per lo “spazio tangente”, sicche un generico vettore tangente a Γ

in P puo essere scritto come combinazione lineare di questi,

V µ =3∑

a=1

caV µa ,

72

per certi coefficienti ca. Sempre in P possiamo anche definire il “vettore normale” a Γ,

come il vettore Nµ(λ) ortogonale a tutti i vettori tangenti,

NµVµa = 0, ∀ a. (3.13)

Per come l’abbiamo definito Nµ e determinato a meno di un fattore di normalizzazione.

Differenziando l’identita (3.10) rispetto a λa si ottiene,

0 =∂f

∂xµ

∂xµ

∂λa=

∂f

∂xµV µ

a ,

sicche otteniamo per Nµ la semplice espressione,

Nµ =∂f

∂xµ.

A questo punto siamo in grado di definire i tre tipi di ipersuperficie che ci interesseranno

in seguito.

Definizione. Un’ipersuperficie Γ si dice di tipo spazio, tempo o nullo, se in ogni punto

di Γ vale rispettivamente,

N2 > 0, N2 < 0, N2 = 0,

caratteristiche che sono evidentemente invarianti sotto trasformazioni di Lorentz.

Ipersuperfici di tipo spazio. Per un’ipersuperficie di tipo spazio abbiamo N2 > 0, e di

conseguenza i vettori tangenti sono tutti di tipo spazio. Per vederlo e sufficiente sfruttare

il fatto che se N2 > 0, allora per ogni punto P ∈ Γ esiste un sistema di riferimento in

cui il vettore normale ha la forma Nµ = (N0, 0, 0, 0). La condizione NµVµ = 0 comporta

allora che in questo sistema di riferimento si ha V 0 = 0, e quindi,

V 2 < 0.

Si puo inoltre far vedere che un’ipersuperficie Γ e di tipo spazio, se e solo se per ogni

coppia di punti (x, y) appartenenti a Γ vale,

(x− y)2 < 0.

Questa caratterizzazione alternativa e immediata nel caso degli iperpiani (3.11), per cui

si ha,

Nµ =∂f

∂xµ= Mµ.

73

Infatti, se x e y appartengono a Γ e M2 > 0, allora la (3.11) implica che,

(xµ − yµ)Mµ = 0 ⇒ (x− y)2 < 0,

ed e facile convincersi che vale anche il viceversa. Nel caso particolare in cui Mµ =

(1, 0, 0, 0) otteniamo gli iperpiani a tempo costante,

f(x) = Mµ(xµ − xµ0) = t− t0 = 0,

che sono le particolari ipersuperfici di tipo spazio che abbiamo usato per definire l’azione

(3.5). In forma parametrica, vedi (3.9), questi iperpiani si scrivono,

x0(λ) = t0, xi(λ) = λi. (3.14)

Ipersuperfici di tipo tempo. Per un’ipersuperficie di tipo tempo abbiamo N2 < 0,

ma in questo caso i vettori tangenti possono essere di tipo spazio, tempo o nullo. Se

consideriamo, per esempio, l’iperpiano con Mµ = (0, 0, 0, 1) la condizione V µMµ = 0

da V µ = (V 0, V x, V y, 0), e V 2 puo quindi essere positivo, negativo o nullo. Un’altra

ipersuperficie di tipo tempo e rappresentata dalla funzione,

f(x) =1

2(~x2 −R2) = 0, Nµ = (0, ~x), N2 = −|~x|2 < 0,

che corrisponde alla sfera di raggio R al variare del tempo. Per R → ∞ questa ipersu-

perficie corrisponde a una “ipersuperficie di tipo tempo all’infinito spaziale”, un tipo di

ipersuperficie che incontreremo tra poco.

L’elemento di ipersuperficie. In seguito faremo uso del teorema di Gauss in quattro

dimensioni, e quindi ci servira l’elemento di ipersuperficie tridimensionale. Consideriamo

dunque l’integrale della quadridivergenza di un vettore W µ su un volume quadridimen-

sionale V , con bordo l’ipersuperficie Γ ≡ ∂V . Se parametrizziamo Γ come in (3.9) allora

il teorema di Gauss – che riportiamo senza dimostrazione – asserisce che,

∫

V

∂µWµd4x =

∫

Γ

W µdΣµ, (3.15)

dove l’elemento di ipersuperficie tridimensionale e dato da, vedi (3.12),

dΣµ = εµαβγ V γ1 V β

2 V α3 d3λ.

74

Siccome vale identicamente,

V µa

(εµαβγ V γ

1 V β2 V α

3

)= 0, ∀ a,

concludiamo che,

εµαβγ V γ1 V β

2 V α3 = Nµ,

dove un’eventuale costante di normalizzazione e stata assorbita nel vettore normale Nµ.

Abbiamo quindi,

dΣµ = Nµ d3λ.

Si noti l’analogia con la forma dell’elemento di superficie bidimensionale, d~Σ = ~n dΣ.

Se una falda di Γ e costituita da un’iperpiano a tempo costante, vedi (3.14), allora e

immediato vedere che su questa falda dΣµ si riduce a,

dΣ0 = d3λ ≡ d3x, dΣi = 0,

come c’era da aspettarsi. Il corrispondente contributo all’integrale (3.15) diventa allora,

∫W 0 d3x

∣∣∣∣t=t0

.

3.2.2 Invarianza relativistica

Fino a questo punto non abbiamo fatto nessuna ipotesi sulle proprieta di invarianza della

teoria di campo in considerazione. In questo paragrafo analizzeremo alcune caratteristiche

importanti del principio di minima azione, nel caso particolare di una teoria di campo

relativistica.

Principio di minima azione covariante a vista. Nel caso di una teoria di campo re-

lativistica ci aspettiamo che le equazioni del moto siano covarianti a vista. A questo

proposito notiamo che se i campi sono suddivisi in multipletti tensoriali e se L e un inva-

riante relativistico, cioe, un campo scalare, allora le equazioni di Eulero–Lagrange (3.7)

sono effettivamente covarianti a vista. In una teoria relativistica richiederemo dunque che

la lagrangiana sia uno scalare sotto trasformazioni di Poincare, vale a dire,

L(ϕ′(x′), ∂′ϕ′(x′)) = L(ϕ(x), ∂ϕ(x)), x′ = Λx + a. (3.16)

75

Possiamo allora domandarci se anche l’azione sia uno scalare – come richiesto nell’intro-

duzione a questo capitolo. In realta dalla scrittura (3.5) emerge un’ostruzione immediata

all’invarianza di I: mentre la misura dell’integrale e invariante,

d4x′ = |detΛ| d4x = d4x,

la regione d’integrazione non lo e affatto, in quanto la variabile temporale e integrata

su un intervallo finito. Tuttavia, non e difficile ovviare a questo problema. E sufficiente

sostituire nella (3.5) gli iperpiani t = t1 e t = t2, che delimitano la regione d’integrazione

quadridimensionale, con due generiche ipersuperfici di tipo spazio Γ1 e Γ2 che non si

intersecano. Un iperpiano a tempo costante e in effetti una particolare ipersuperficie di

tipo spazio, che in seguito a una trasformazione di Poincare non sara piu un iperpiano

a tempo costante, ma restera pur sempre un’ipersuperficie di tipo spazio. Consideriamo

allora l’azione generalizzata,

I[ϕ] =

∫ Γ2

Γ1

L(ϕ(x), ∂ϕ(x)) d4x, (3.17)

che grazie a (3.16) e ora un invariante relativistico,

I ′ =∫ Γ′2

Γ′1

L(ϕ′(x′), ∂′ϕ′(x′)) d4x′ =∫ Γ2

Γ1

L(ϕ(x), ∂ϕ(x)) d4x = I.

Possiamo allora formulare un principio di minima azione covariante a vista, richiedendo

che l’azione (3.17) sia stazionaria per variazioni δϕr arbitrarie, purche nulle su Γ1 e Γ2.

La versione relativisticamente invariante della condizione asintotica (3.6) e invece,

limx2→−∞

ϕr(x) = 0. (3.18)

E poi evidente che il principio di minima azione basato sulla (3.17) fornisce come equazioni

del moto ancora le equazioni di Eulero–Lagrange (3.7).

Quadridivergenze. Aggiungiamo ora un commento riguardo all’esistenza e all’unicita

della lagrangiana. Data L, le equazioni del moto (3.7) sono ovviamente univocamente

determinate, ma spesso si deve affrontare il problema inverso: dato un insieme di equazioni

del moto per i campi, si cerca una lagrangiana da cui esse discendano. E chiaro che per

un insieme arbitrario di equazioni del moto – seppure relativistiche – questo problema

76

in generale non ammette nessuna soluzione, nel senso che non esiste nessuna lagrangiana

per cui queste equazioni possano essere poste nella forma (3.7). D’altra parte, se una tale

lagrangiana esiste – come per tutte le teorie fisiche fondamentali – e facile vedere che in

generale essa non e unica. In particolare, se a e b sono costanti reali e immediato verificare

che le lagrangiane L e,

L = aL+ b,

danno luogo alle stesse equazioni di Eulero–Lagrange.

Un’ambiguita un po’ meno ovvia e costituita, invece, dall’aggiunta di una quadridi-

vergenza,

L = L+ ∂µCµ(ϕ),

dove le Cµ(ϕ) sono quattro funzioni arbitrarie dei campi, con le stesse proprieta di rego-

larita di L. Possiamo, infatti, fare vedere che L e L danno luogo alle stesse equazioni di

Eulero–Lagrange. A questo scopo calcoliamo la differenza tra le azioni associate alle due

lagrangiane, e applichiamo il teorema di Gauss quadridimensionale,

I − I =

∫ Γ2

Γ1

L d4x−∫ Γ2

Γ1

L d4x =

∫ Γ2

Γ1

∂µCµ d4x =

∫

∂V4

Cµ dΣµ.

V4 indica il volume di integrazione quadridimensionale il cui bordo e composto da Γ1 e Γ2,

e da un’ipersuperficie di tipo tempo posta all’infinito spaziale, Γ∞, si veda il paragrafo

precedente. Si ha allora,

I − I =

∫

Γ2

Cµ dΣµ −∫

Γ1

Cµ dΣµ +

∫

Γ∞Cµ dΣµ.

L’integrale su Γ∞ e nullo per via della condizione asintotica (3.18). Viceversa, i primi due

integrali sono diversi da zero, ma coinvolgono solo i valori dei campi sulle ipersuperfici Γ1

e Γ2, che nel principio di minima azione sono tenuti fissi. Abbiamo quindi δ(I − I) = 0,

cioe,

δI = δI,

e le due azioni danno quindi luogo alle medesime equazioni di Eulero–Lagrange. In con-

clusione possiamo affermare che tutte le lagrangiane che differiscono per una quadridiver-

genza sono fisicamente equivalenti.

77

Localita. Concludiamo questo paragrafo con un’ulteriore restrizione sul tipo di lagran-

giane che ammetteremo in una teoria relativistica di campo. Alla richesta di invarianza

relativistica aggiungeremo, infatti, quella di localita, analoga alla richiesta di “azione a con-

tatto” tra particelle e campi, discussa nell’introduzione a questo capitolo. Nel caso di una

teoria di campo la localita richiede che la lagrangiana sia data da una somma di prodotti

dei campi e delle loro derivate prime, valutati nello stesso punto dello spazio–tempo.

Illustriamo questa richiesta nel caso di una teoria di campo con due campi scala-

ri, ϕ1(x) ≡ A(x), e ϕ2(x) ≡ B(x). In questo caso ammetteremo, per esempio, una

lagrangiana del tipo,

L1 =1

2∂µA(x) ∂µA(x) +

1

2∂µB(x) ∂µB(x)− g A2(x) B2(x), (3.19)

mentre non accetteremo la lagrangiana,

L2 =1

2∂µA(x) ∂µA(x) +

1

2∂µB(x) ∂µB(x)− gN

∫A2(x) [(x− y)2]N B2(y) d4y,

(3.20)

dove gN e una “costante di accoppiamento” reale, e N e un intero positivo. Infatti, mentre

in L1 il campo A(x) e “in contatto” con il campo B valutato nello stesso punto x, in L2

il campo A(x) e in contatto con B(y) per un qualsiasi valore di y. Dal punto di vista

delle equazioni di Eulero–Lagrange questo vorrebbe dire che la dinamica di A nel punto

x e influenzata dai valori di B in tutti i punti dello spazio, in contrasto con la “localita”

dell’interazione.

Ribadiamo, comunque, che la lagrangiana L2 e uno scalare sotto trasformazioni di

Poincare, e che darebbe dunque luogo a equazioni del moto relativistiche ben definite.

Sussiste, tuttavia, un ulteriore motivo che ci porta a rigettare lagrangiane come queste. Il

fatto e che lagrangiane come (3.20) non hanno carattere “fondamentale”: l’intero N che

ivi compare e completamente arbitrario, anzi, potremmo sostituire il fattore gN [(x−y)2]N

con una qualsiasi funzione f(x, y) invariante sotto il gruppo di Poincare. Sviluppata in

serie di Taylor una tale funzione ha la forma generale,

f(x, y) =∞∑

N=0

gN [(x− y)2]N ,

78

ed essa introdurrebbe quindi un numero infinito di costanti di accoppiamento gN inde-

terminate. Per mantenere il carattere predittivo della teoria la forma della f , ovvero il

valore delle costanti gN , dovrebbe allora essere dedotta da una teoria “piu fondamentale”.

Lagrangiane del tipo L2 rappresentano infatti tipicamente teorie effettive, vale a dire teo-

rie approssimate che riproducono correttamente i risultati sperimentali solo in particolari

regimi fisici, per esempio a basse o ad alte energie.

Consistenza quantistica. Le restrizioni piu forti sulla scelta delle lagrangiane relativi-

stiche permesse provengono, tuttavia, dall’approccio della teoria quantistica relativistica

di campo. Nell’ambito di questo approccio si dimostra, infatti, che le lagrangiane classiche

che a livello quantistico danno luogo a teorie consistenti devono essere:

a) invarianti sotto trasformazioni di Poincare,

b) locali,

c) polinomi nei campi e nelle loro derivate, di ordine massimo quattro.

Queste restrizioni limitano di molto la forma delle lagrangiane permesse, e insieme ad

altre richeste di invarianza spesso permettono di determinarle univocamente. Esempi ne

sono le lagrangiane “fondamentali” che descrivono le interazioni elettrodeboli e quelle forti.

Al contrario, la lagrangiana che nell’ambito della Relativita Generale descrive l’interazione

gravitazionale soddisfa le richiesta a) e b) ma non la c) – la causa essendo la complicata

autointerazione del campo gravitazionale. E questo il motivo per cui, con le conoscenze

che abbiamo acquisito fino ad oggi, questa interazione appare tuttora in conflitto con le

leggi della Meccanica Quantistica.

3.2.3 La lagrangiana per l’equazione di Maxwell

In questo paragrafo illustriamo il metodo variazionale derivando le equazioni che gover-

nano la dinamica del campo elettromagnetico da un principio di minima azione. In linea

di principio si tratta quindi di ottenere le equazioni (2.13) e (2.14) come equazioni di

Eulero–Lagrange relative ad un’opportuna lagrangiana. La prima questione da affrontare

riguarda allora la scelta dei campi lagrangiani ϕr. Siccome le (2.13), (2.14) corrispon-

dono a otto equazioni dovremmo avere altrettanti campi lagrangiani. La scelta naturale

ϕr ≡ F µν – che tra l’altro avrebbe il pregio di introdurre solo campi osservabili – e dunque

79

esclusa, perche il tensore di Maxwell corrisponde non a otto ma solo a sei campi indipen-

denti, vale a dire ~E e ~B. Questa strada risulta quindi impraticabile, si veda in particolare

il problema 3.9, e dobbiamo cercarne un’altra.

Una strategia alternativa consiste nel procedere come anticipato nei paragrafi 2.2.2 e

2.2.3. Risolviamo, cioe, l’identita di Bianchi attraverso,

Fµν ≡ ∂µAν − ∂νAµ,

e consideriamo come campi lagrangiani le componenti del quadripotenziale,

ϕr = Aµ, (3.21)

r = µ = (0, 1, 2, 3). Secondo questa strategia il principio di minima azione dovrebbe allora

dare luogo alle equazioni di Maxwell,

∂µFµν − jν = 0, (3.22)

come equazioni di Eulero–Lagrange associate a un’opportuna lagrangiana L. Si noti che

la scelta dei campi lagrangiani (3.21) e ora consistente con il fatto che le equazioni (3.22)

sono quattro in numero.

Il problema si riduce allora a trovare una lagrangiana L(A, ∂A), polinomiale in A e

∂A, tale che le equazioni di Eulero–Lagrange ad essa associate,

∂µ∂L

∂(∂µAν)− ∂L

∂Aν

= 0, (3.23)

equivalgano alle (3.22). La lagrangiana che cerchiamo dovra essere certamente un in-

variante relativistico, ma dato che abbiamo risolto l’identita di Bianchi introducendo il

potenziale vettore, essa dovra essere altresı invariante per trasformazioni di gauge,

A′µ = Aµ + ∂µΛ,

modulo quadridivergenze. Per quanto riguarda, invece, la corrente assumeremo solo che

essa sia conservata, ∂µjµ = 0, e che non dipenda da Aµ. Per individuare lo scalare L pro-

cediamo in modo euristico, sfruttando la struttura della (3.22). Il primo termine di questa

equazione e lineare in Aµ, mentre il secondo ne e indipendente. Corrispondentemente la

80

lagrangiana dovra contenere un termine quadratico in Aµ, L1, e uno lineare in Aµ, L2.

Considerata poi la forma particolare dei due termini nella (3.22) L1 dovra contenere due

derivate, mentre L2 dovra esserne privo.

Cerchiamo ora di determinare L1. Questo termine deve contenere le derivate del

quadripotenziale. L’invarianza di gauge impone allora che esso dipende da Aµ solo attra-

verso il campo gauge–invariante F µν , e in definitiva L1 deve allora essere quadratico in

quest’ultimo. In effetti abbiamo due invarianti quadratici a disposizione,

F µνFµν e εµνρσFµνFρσ.

Tuttavia, grazie all’identita di Bianchi il secondo invariante corrisponde a una quadridi-

vergenza,

εµνρσFµνFρσ = 2 εµνρσ∂µAνFρσ = 2∂µ ( εµνρσAνFρσ)− 2Aν ( εµνρσ∂µFρσ)

= 2∂µ ( εµνρσAνFρσ) . (3.24)

Esso da quindi un contributo irrilevante alla lagrangiana 12. Possiamo quindi concludere

che L1 e proporzionale a F µνFµν .

Consideriamo ora L2. Questo termine deve essere lineare in Aµ e coinvolgere la corrente

jµ. L’unico scalare che possiamo formare con queste quantita e L2 ∝ Aµjµ. Verifichiamone

l’invarianza di gauge,

A′µj

µ = Aµjµ + ∂µΛjµ = Aµj

µ + ∂µ(Λjµ)− Λ ∂µjµ.

Siccome la corrente e conservata vediamo che L2 e in effetti gauge invariante – modulo

una quadridivergenza.

Per ottenere l’equazione di Maxwell con i coefficienti corretti poniamo,

L = L1 + L2 = −1

4F µνFµν − jνAν . (3.25)

Verifichiamo ora che con questa scelta per L le equazioni (3.23) corrispondono proprio

all’equazione di Maxwell. Al termine ∂L∂Aν

contribuisce solo L2,

∂L∂Aν

= −jν ,

12Il termine εµνρσFµνFρσ in realta e uno pseudoscalare e, anche se non fosse una quadridivergenza,contribuirebbe all’equazione del moto con un termine pseudovettoriale, mentre l’equazione di Maxwell evettoriale.

81

mentre alla derivata ∂L∂(∂µAν)

contribuisce solo L1. Per determinarla e conveniente calcolare

la variazione di L1 per una variazione infinitesima di ∂A,

δL1 = −1

2F µνδFµν = −1

2F µν(δ∂µAν − δ∂νAµ) = −F µνδ(∂µAν),

e quindi,∂L

∂(∂µAν)= −F µν . (3.26)

In definitiva otteniamo,

∂µ∂L

∂(∂µAν)− ∂L

∂Aν

= −∂µFµν + jν = 0, (3.27)

che e l’equazione di Maxwell.

Il ruolo del potenziale vettore. Concludiamo questa deduzione con un commento sul

ruolo del potenziale vettore in Elettrodinamica, classica e quantistica. Intanto insistiamo

sul fatto che a livello classico l’equazione di Maxwell e l’identita di Bianchi di per se

possono essere formulate, e risolte, senza mai introdurre il potenziale vettore, in quanto

quest’ultimo costituisce solo un ausilio “utile”. Al contrario, se vogliamo far discende-

re queste equazioni da un principio variazionale allora – come abbiamo appena visto –

l’introduzione del potenziale vettore risulta indispensabile. Ma il principio variazionale

costituisce, a sua volta, il punto di partenza irrinunciabile per la quantizzazione di una

qualsiasi teoria: concludiamo cosı che, mentre a livello classico l’uso del potenziale vetto-

re e un “optional”, a livello quantistico la sua introduzione e inevitabile. Considerazioni

completamente analoghe valgono per il ruolo dei potenziali vettore nelle altre interazioni

fondamentali.

Sui mediatori delle interazioni deboli e forti. Chiudiamo questo paragrafo con un com-

mento sulla struttura della lagrangiana (3.25) nel caso particolare di corrente nulla, jµ = 0.

In questo caso l’equazione (3.22) descrive il campo di Maxwell nel vuoto, disaccoppiato

da qualsiasi carica, ovvero un campo “libero”. La lagrangiana,

L1 = −1

4F µνFµν ,

descrive quindi un campo di gauge libero. Come abbiamo visto la struttura di questa

lagrangiana e essenzialmente determinata dai principi di invarianza relativistica e di inva-

rianza di gauge. Non stupisce allora che anche la propagazione libera dei mediatori delle

82

interazioni deboli e forti, che sono soggette agli stessi principi, sia descritta da lagrangiane

completamente analoghe. Ai mediatori delle interazioni deboli Z0 e W± sono associati ri-

spettivamente il campo di gauge reale Z0µ, e i campi di gauge complessi W±

µ = (W µ1 ±iW µ

2 ),

con i corrispondenti tensori di Maxwell,

F 0µν = ∂µZ

0ν − ∂νZ

0µ, F±

µν = ∂µW±ν − ∂νW

±µ ,

mentre agli otto mediatori delle interazioni forti sono associati i campi gluonici AIµ, I =

1, · · · , 8, con i relativi tensori di Maxwell,

F Iµν = ∂µA

Iν − ∂νA

Iµ.

La lagrangiana totale che descrive la propagazione libera di tutti questi campi risulta

allora,

L0 = −1

4

(F µνFµν + F 0µνF 0

µν + F+µνF−µν +

8∑I=1

F IµνF Iµν

).

La lagrangiana “libera” L1 da luogo alle equazioni di Maxwell nel vuoto ∂µFµν = 0, le

cui soluzioni sono onde (elettromagnetiche), che si propagano con la velocita della luce. Di

conseguenza i mediatori associati hanno massa nulla. Ma mentre i fotoni e i gluoni sono

effettivamente particelle prive di massa, i mediatori delle interazioni deboli sono in realta

massivi. La lagrangiana L0 andra allora completata con l’aggiunta di un termine Lm,

dipendente solo da W±µ e Z0

µ, che tenga conto delle masse mW e mZ di queste particelle.

Si puo vedere che questo termine deve essere dato da, vedi anche il problema 3.1,

Lm =1

2~2

(m2

W W+µ W−µ + m2

Z Z0µZ

0µ), (3.28)

dove la presenza della costante di Planck ~ e suggerita da motivi dimensionali. D’al-

tra parte si verifica immediatamente che l’espressione in (3.28) non e invariante sotto le

trasformazioni di gauge,

W±µ → W±

µ + ∂µΛ±, Z0µ → Z0

µ + ∂µΛ0,

e anche la lagrangiana totale L0+Lm romperebbe quindi questa invarianza. Per quello che

concerne le interazioni deboli si puo, tuttavia, vedere che questa rottura della simmetria

non inficia la consistenza della teoria, se essa avviene in modo “spontaneo”. Per maggiori

dettagli su questo argomento e per la giustificazione della (3.28) rimandiamo a un testo

di particelle elementari.

83

3.3 Il Teorema di Noether

Il Teorema di Noether asserisce in generale che a ogni gruppo a un parametro di simmetrie

di una teoria fisica, corrisponde una costante del moto, cioe, una quantita conservata.

A titolo di esempio ricordiamo che in una teoria invariante per traslazioni temporali si

conserva l’energia, mentre se essa e invariante per rotazioni spaziali si conserva il momento

angolare.

Prima di proseguire specifichiamo meglio cosa intendiamo con “invarianza di una

teoria”, nel contesto del teorema di Noether. In primo luogo si potrebbe intendere

l’invarianza delle equazioni del moto che governano la dinamica della teoria, sotto l’azio-

ne del gruppo di simmetria. Tuttavia vedremo che questa richiesta risulta genericamente

troppo debole, perche l’invarianza delle equazioni del moto in generale non e sufficiente

per garantire la presenza di costanti del moto. Il teorema di Noether si basa, infatti, sulle

ipotesi piu restrittive che,

1) le equazioni del moto discendano da un principio variazionale,

2) l’azione associata sia invariante sotto il gruppo di simmetrie.

Come abbiamo visto in teoria di campo l’azione e data a sua volta in termini di una

lagrangiana,

I =

∫L d4x.

Per le teorie di campo considerate da noi l’invarianza dell’azione sara poi sempre conse-

guenza dell’invarianza della misura d’integrazione 13 e, separatamente, della lagrangiana

– modulo quadridivergenze .

Un’altro aspetto importante, peculiare del teorema di Noether in teoria di campo, e

che esso assicura la conservazione locale della grandezza fisica in questione. Questo vuol

dire che si conserva non solo una “carica” totale, ma che la conservazione e conseguenza

di un’equazione di continuita. Per ogni gruppo di simmetrie a un parametro il teorema

implica, cioe, l’esistenza di una quadricorrente Jµ a divergenza nulla,

∂µJµ = 0.

13Nel caso di “simmetrie interne” per definizione le coordinate non cambiano, x′µ = xµ ⇒ d4x′ = d4x.Per trasformazioni di Poincare, invece, abbiamo x′µ = Λµ

νxν + aµ ⇒ d4x′ = d4x |det Λ| = d4x.

84

Come visto questo assicura che la variazione della carica QV =∫

VJ0 d3x in un volume V ,

e necessariamente accompagnata da un flusso di carica attraverso il suo bordo,

dQV

dt= −

∫

∂V

~J · d~Σ.

Non e, cioe, possibile che la carica scompaia in un punto e compaia in un altro punto,

senza “fluire” da un punto all’altro.

In Teoria dei Campi esiste una dimostrazione generale e semplice del teorema di Noe-

ther per le cosiddette “simmetrie interne”, cioe, per simmetrie che non coinvolgono trasfor-

mazioni dello spazio–tempo, come per esempio le trasformazioni di gauge. Al contrario,

il gruppo di Poincare origina proprio da trasformazioni dello spazio–tempo, e per questo

gruppo di simmetrie la dimostrazione del teorema e leggermente piu complicata. Tuttavia,

date l’importanza concettuale e la rilevanza fenomenologica che esso ricopre, in questa

sezione dimostreremo il teorema di Noether per il gruppo di Poincare in una generica teo-

ria di campo relativistica. Il sottogruppo delle traslazioni costituisce un gruppo a quattro

parametri a cui corrisponderanno quattro grandezze conservate, che identificheremo con

il quadrimomento totale, mentre il sottogruppo di Lorentz costituisce un gruppo a sei

parametri a cui corrisponderanno altrettante grandezze conservate, che identificheremo

con il momento angolare quadridimensionale totale del sistema.

3.3.1 Trasformazioni di Poincare infinitesime

Per dimostrare il teorema di Noether sfrutteremo in particolare l’invarianza della lagran-

giana sotto trasformazioni di Poincare infinitesime. In questo paragrafo determineremo

preliminarmente le variazioni dei campi sotto trasformazioni “infinitesime” – vale a dire

trasformazioni valutate al primo ordine nei parametri ωµν e aµ – la cui forma esplicita ci

servira poi nella dimostrazione del teorema.

Finora abbiamo indicato l’insieme dei campi lagrangiani genericamente con ϕ =

(ϕ1, · · · , ϕN). In una teoria relativistica i singoli campi devono essere raggruppati in

“multipletti” che costituiscono tensori sotto trasformazioni di Poincare, per esempio cam-

pi scalari Φ(x), campi vettoriali Aµ(x), campi tensoriali di rango due Bµν(x), etc. E ovvio

che possiamo avere anche piu campi dello stesso rango. L’indice r dell’insieme ϕrNr=1

indica allora tutte le componenti di tutti i multipletti.

85

Incominciamo ricordando la forma di una generica trasformazione di Poincare delle

coordinate,

x′µ = Λµνx

ν + aµ, (3.29)

dove la matrice di Lorentz e data da, vedi paragrafo 1.4.1,

Λµν = eωµ

ν , ωµν = −ωνµ. (3.30)

Sotto questa trasformazione i singoli campi trasformano a seconda del loro rango tenso-

riale,

Φ′(x′) = Φ(x), A′µ(x′) = ΛµνA

ν(x), B′µν(x′) = ΛµαΛν

βBαβ(x), (3.31)

e cosı via. Possiamo indicare queste trasformazioni complessivamente con,

ϕ′r(x′) =Mr

sϕs(x), (3.32)

per una qualche matrice N ×N Mrs, indipendente da x. Si noti in particolare che queste

trasformazioni sono lineari nei campi ϕr.

Possiamo allora definire due tipi di variazioni – per il momento finite – dei campi: le

variazioni totali δϕr, e le variazioni in forma δϕr,

δϕr ≡ ϕ′r(x′)− ϕr(x) (3.33)

δϕr ≡ ϕ′r(x)− ϕr(x). (3.34)

Passiamo ora alla valutazione di queste variazioni per trasformazioni di Poincare infinite-

sime. Queste ultime corrispondono a trasformazioni di Lorentz infinitesime,

Λµν = δµ

ν + ωµν ,

e a traslazioni infinitesime. Per le coordinate otteniamo le trasformazioni infinitesime,

δxµ = x′µ − xµ = (δµν + ωµ

ν)xν + aµ − xµ = aµ + ωµ

νxν . (3.35)

Usando le (3.31) troviamo allora le seguenti trasformazioni totali infinitesime, intese al

primo ordine in ωαβ e aµ,

δΦ = Φ′(x′)− Φ(x) = 0,

δAµ = (δµν + ωµ

ν)Aν(x)− Aµ(x) = ωµ

νAν(x),

δBµν = (δµα + ωµ

α)(δνβ + ων

β)Bαβ(x)−Bµν(x) = ωµαBαν(x) + ων

βBµβ(x),

86

e cosı via. Da questi esempi si capisce che le generiche variazioni δϕr sono lineari nei

parametri ωµν e nei campi stessi, si veda anche la (3.32). Possiamo allora scrivere la

formula generale,

δϕr =1

2ωαβ Σαβ

rsϕs, (3.36)

dove le quantita Σαβrs sono antisimmetriche in α e β 14,

Σαβrs = −Σβα

rs,

e la sommatoria su s e sottintesa. Le espressioni esplicite di queste quantita si leggono

facilmente dalle trasformazioni infinitesime totali dei campi calcolate sopra. Per esempio,

per il campo scalare Φ si ha semplicemente Σαβ11 = 0, mentre per il campo vettoriale

Aµ ≡ ϕr si ha,

Σαβrs = δα

r ηβs − δβr ηαs. (3.37)

Calcoliamo ora la versione infinitesima delle variazioni in forma. Aggiungendo e to-

gliendo nella (3.34) lo stesso termine e usando la (3.36), al primo ordine in ωαβ e aµ si

ottiene,

δϕr = ϕ′r(x)− ϕ′r(x′) + ϕ′r(x

′)− ϕr(x)

= ϕ′r(x)− ϕ′r(x + δx) + δϕr

= −δxν ∂νϕ′r + δϕr = −δxν ∂νϕr + δϕr

= −δxν ∂νϕr +1

2ωαβ Σαβ

rsϕs, (3.38)

dove nella penultima riga abbiamo tenuto conto che la differenza tra ϕr e ϕ′r e del primo

ordine in ωαβ e aµ.

3.3.2 Teorema di Noether per il gruppo di Poincare

In una teoria di campo classica il teorema di Noether riferito al gruppo di Poincare si

enuncia come segue.

Teorema di Noether. Si consideri una teoria di campo la cui dinamica discenda dall’a-

zione,

I =

∫d4xL,

14Nella (3.36) gli indici α e β di Σαβrs sono contratti con la coppia antisimmetrica di ωαβ ; cio implica

che comunque solo la parte antisimmetrica in α e β di Σαβrs contribuisce a ωαβ Σαβ

rs.

87

per un’opportuna lagrangiana L, ovvero, una teoria di campo le cui equazioni del moto

siano date dalla (3.7). Allora, se L e invariante per traslazioni si conserva localmente

il quadrimomento, il tensore energia–impulso essendo dato dalla (3.44), mentre se L e

invariante per trasformazioni di Lorentz, allora si conserva localmente il momento angolare

quadridimensionale, il tensore densita di momento angolare essendo dato dalla (3.45).

Queste leggi di conservazione sono valide purche i campi soddisfino le equazioni di Eulero–

Lagrange (3.7).

Per comprendere meglio il significato dell’invarianza per traslazioni di L consideriamo

una classe di lagrangiane leggermente piu ampia di quella considerata finora, del tipo,

L(ϕ(x), ∂ϕ(x), x), (3.39)

dove ammettiamo, cioe, che L abbia anche una generica dipendenza esplicita da x. Per

una traslazione, x′ = x + a, abbiamo ϕ′r(x′) = ϕr(x), e per la lagrangiana traslata si

ottiene allora,

L(ϕ′(x′), ∂′ϕ′(x′), x′) = L(ϕ(x), ∂ϕ(x), x + a),

che uguaglia L(ϕ(x), ∂ϕ(x), x) solo se L non dipende esplicitamente da x. Possiamo quindi

affermare che una lagrangiana e invariante per traslazioni se e sole se essa non esibisce

dipendenza esplicita da x.

Dimostrazione. Il primo passo nella dimostrazione del teorema di Noether consiste nel

valutare la variazione della lagrangiana per un’arbitraria trasformazione finita di Poincare

dei campi, vedi (3.29) e (3.31),

∆L ≡ L(ϕ′(x′), ∂′ϕ′(x′), x′)− L(ϕ(x), ∂ϕ(x), x). (3.40)

Per ogni x fissato questa espressione e una funzione dei parametri ωαβ e aµ, e come tale

puo essere sviluppata in serie di Taylor attorno ai valori ωαβ = 0 = aµ. Siccome ∆L si

annulla per valori nulli dei parametri, otteniamo uno sviluppo del tipo,

∆L = δL+ o(ωαβ, aµ)2,

dove con δL, la “variazione infinitesima della lagrangiana”, abbiamo indicato i termi-

ni di ∆L lineari in ωαβ e aµ. Se L e invariante sotto l’azione del gruppo di Poincare

88

avremo ∆L = 0 identicamente, ovvero ∀ωαβ, ∀ aµ, e per il teorema sull’identita delle

serie di potenze ne seguira che δL = 0, ∀ωαβ, ∀ aµ. Sfruttando quest’ultima identita e

assumendo la validita delle equazioni di Eulero–Lagrange potremo poi concludere che le

quadridivergenze di certi tensori sono nulli.

Secondo questa strategia dobbiamo dunque trovare un’espressione esplicita per δL. A

questo scopo e conveniente aggiungere e togliere a ∆L lo stesso termine, e valutare poi

l’espressione risultante tenendo solo i termini lineari nei parametri,

δL = [L(ϕ′(x′), ∂′ϕ′(x′), x′)− L(ϕ′(x), ∂ϕ′(x), x)]lin

+ [L(ϕ′(x), ∂ϕ′(x), x)− L(ϕ(x), ∂ϕ(x), x)]lin .

I due termini della prima parentesi quadra differiscono solo per la sostituzione x→ x′ =

x + δx, mentre nella seconda parentesi quadra i campi differiscono per la variazione in

forma (3.34). Tenendo conto che ∂µδxµ = ηµνω

µν = 0, vedi (3.35), e definendo i “momenti

coniugati”,

Πµr =∂L

∂(∂µϕr), (3.41)

si ottiene allora,

δL = δxµ∂µL+ δϕr∂L∂ϕr

+ ∂µδϕr Πµr

= ∂µ (δxµL) + δϕr

(δL∂ϕr

− ∂µΠµr

)+ ∂µ (δϕrΠ

µr)

= ∂µ [δxµL+ δϕrΠµr] + δϕr

(δL∂ϕr

− ∂µΠµr

), (3.42)

dove la sommatoria su r e sottintesa. Valutiamo ora il termine tra parentesi quadre in

(3.42), usando la formula (3.38) per la variazione infinitesima dei campi,

δxµL+ δϕrΠµr = δxν (ηµνL − Πµr∂νϕr) +

1

2ΠµrωαβΣαβ

rsϕs. (3.43)

Prima di procedere definiamo il tensore energia–impulso canonico,

T µν = Πµr∂νϕr − ηµνL, (3.44)

e il tensore densita di momento angolare canonico,

Mµαβ = xαT µβ − xβT µα + ΠµrΣαβrsϕs, Mµαβ = −Mµβα. (3.45)

89

Usando queste definizioni e la (3.35), la (3.43) diventa,

δxµL+ δϕrΠµr = −(aν + ωνρ xρ)T µν +

1

2ΠµrωαβΣαβ

rsϕs

= −aνTµν +

1

2ωαβMµαβ. (3.46)

Per la variazione di L sotto una generica trasformazione di Poincare infinitesima otteniamo

cosı il seguente risultato,

δL = −aν ∂µTµν +

1

2ωαβ ∂µM

µαβ + δϕr

(δL∂ϕr

− ∂µΠµr

). (3.47)

Supponiamo ora, per esempio, che la lagrangiana sia invariante per il sottogruppo a

un parametro del gruppo di Poincare costituito dalle traslazioni nel tempo,

t′ = t + a0, ~x ′ = ~x.

Come visto sopra questo equivale all’assunzione che in L sia assente la dipendenza esplicita

da t. Allora abbiamo,

δL = 0, per ai = 0 = ωαβ, a0 arbitrario.

Se in piu imponiamo che i campi soddisfino le equazioni di Eulero–Lagrange,

∂µΠµr − δL∂ϕr

= 0,

si ricordi la definizione (3.41), allora dalla (3.47) si ricava,

0 = −a0 ∂µTµ0 = 0, ∀ a0 ⇒ ∂µT

µ0 = 0.

Abbiamo cosı ottenuto l’equazione di continuita per l’energia, che assicura che l’energia

e localmente conservata.

Allo stesso modo dalla (3.47) segue che a ciascuno dei dieci parametri (aµ, ωαβ) cor-

risponde una corrente a quadridivergenza nulla e una grandezza localmente conservata,

se la lagrangiana e invariante sotto il corrispondente gruppo a un paramentro: ad a0

(traslazioni del tempo) corrisponde la conservazione locale dell’energia, ad a1 (traslazioni

lungo l’asse x) quella della componente x della quantita di moto, ad ω12 (rotazioni attor-

no all’asse z) quella della componente z del momento angolare, ad ω01 (trasformazioni di

90

Lorentz speciali lungo l’asse x) quella della componente x del boost, e via di seguito. In

partciolare se la lagrangiana e invariante sotto l’intero gruppo delle traslazioni si conserva

localmente il quadrimomento, mentre se essa e invariante sotto l’intero gruppo di Loren-

tz allora si conserva localmente il momento angolare quadridimensionale. Abbiamo cosı

concluso la dimostrazione del teorema.

In particolare se L e invariante sotto l’intero gruppo di Poincare, dalla (3.47) ottenia-

mo,

−aν ∂µTµν +

1

2ωαβ ∂µM

µαβ = 0, ∀ aµ, ∀ωαβ,

e quindi,

∂µTµν = 0, ∂µM

µαβ = 0.

In questo caso abbiamo dieci costanti del moto, raggruppate nel quadrimomento e nel

momento angolare quadridimensionale,

P µ =

∫T 0µ d3x, Lαβ =

∫M0αβ d3x.

Insistiamo sul fatto che queste leggi di conservazione sono valide purche i campi soddisfino

le equazioni del moto di Eulero–Lagrange.

Per illustrare la portata di questo teorema nominiamo il fatto che le teorie che descri-

vono le quattro interazioni fondamentali soddisfano il principio di relativita einsteiniana,

e che sono formulate in termini di un principio variazionale: in queste teorie il teorema di

Noether assicura allora che la conservazione del quadrimomento e del momento angolare

e automatica.

Sulle densita di corrente canoniche. Concludiamo questo paragrafo con qualche osser-

vazione sulla struttura delle correnti conservate trovate. Come prima cosa notiamo che

il tensore energia–impulso canonico (3.44) in generale non e simmetrico. In Relativita

Ristretta questa circostanza di per se non costituisce nessun problema. Viceversa, si puo

vedere che l’esistenza di un tensore energia–impulso simmetrico e una richiesta irrinun-

ciabile, se si vuole accoppiare una teoria di campo alla gravita secondo i postulati della

Relativita Generale 15. Come seconda cosa facciamo notare che l’espressione (3.45) per

15Le equazioni di Einstein eguagliano, infatti, un opportuno tensore doppio simmetrico, formatocon la metrica gµν(x) e le sue derivate, al tensore energia–impulso; queste equazioni sarebbero quindiinconsistenti se quest’ultimo non fosse simmetrico.

91

la densita di momento angolare canonico non e “standard”, nel senso che non e della

semplice forma standard xαT µβ −xβT µα. In realta queste due “anomalie” sono legate tra

di loro. Infatti, la divergenza della densita di momento angolare standard non si annulla,

uguagliando proprio la parte antisimmetrica del tensore energia–impulso canonico,

∂µ

(xαT µβ − xβT µα

)= T αβ − T βα.

D’altra parte dalla (3.45) si vede che il tensore Mµαβ si riduce alla forma standard xαT µβ−xβT µα, solo se le quantita Σαβ

rs svaniscono, ma questo succede solo se i campi della teoria

sono tutti campi scalari. In quest’ultimo caso, d’altro canto, non e difficile dimostrare che

T µν e in effetti simmetrico, vedi problema 3.6.

Concludiamo che, per quanto riguarda la densita di momento angolare la “anomalia”

appena discussa non costituisce un problema di tipo concettuale, ma solo di naturalez-

za, mentre per quanto riguarda il tensore energia–impulso sorgerebbe un problema di

incompatibilita con l’interazione gravitazionale, se non fosse possibile trovare un tensore

energia–impulso simmetrico. Questo problema verra affrontato e risolto in tutta generalita

nelle sezioni 3.4 e 3.5.

3.3.3 Tensore energia–impulso canonico per il campo di Maxwell

In questo paragrafo esemplifichiamo la costruzione generale del tensore energia–impulso

canonico (3.44), nel caso semplice di un campo di Maxwell libero, jµ = 0. La dinamica

di questo campo e governata dalla lagrangiana, vedi (3.25),

L1 = −1

4F µνFµν , (3.48)

con ϕr ≡ Aα. Ricordiamo la forma dei momenti coniugati, determinati in (3.26),

Πµα =∂L1

∂(∂µAα)= −F µα. (3.49)

Il tensore energia–impulso canonico discende allora direttamente dalla (3.44),

T µνem = −F µα∂νAα +

1

4ηµνFαβFαβ. (3.50)

Notiamo che questo tensore soffre di due patologie: non e simmetrico, e non e nemmeno

gauge–invariante. Affronteremo questi problemi nel paragrafo 3.4.1.

92

3.4 Costruzione di un tensore energia–impulso simmetrico

In questa sezione faremo vedere che in una teoria di campo lagrangiana invariante sot-

to trasformazioni di Poincare, e sempre possibile costruire un tensore energia–impulso

simmetrico, la costruzione essendo canonica.

A questo proposito notiamo che il tensore energia–impulso di una teoria in realta non

e definito univocamente. Consideriamo, infatti, un generico tensore di rango tre φρµν che

sia antisimmetrico nei primi due indici,

φρµν = −φµρν .

Possiamo allora definire un tensore energia–impulso modificato attraverso,

T µν = T µν + ∂ρφρµν . (3.51)

Questo tensore gode, infatti, delle seguenti due proprieta:

1) ∂µTµν = 0,

2) P ν ≡ ∫T 0ν d3x = P ν .

T µν e dunque conservato, come lo e T µν , ed esso da luogo allo stesso quadrimomento

totale di T µν . La prima proprieta discende dal fatto che,

∂µ∂ρφρµν = 0,

in quanto una coppia di indici antisimmmetrici contrae una coppia di indici simmetrici.

La seconda segue invece da,

P ν−P ν =

∫ (T 0ν − T 0ν

)d3x =

∫∂ρφ

ρ0ν d3x =

∫∂iφ

i0ν d3x =

∫

Γ∞φi0νdΣi = 0, (3.52)

dove abbiamo usato che φ00ν = 0, come conseguenza dell’antisimmetria di φρµν nei primi

due indici. Nell’ultimo passaggio abbiamo applicato il teorema di Gauss, con Γ∞ su-

perficie all’infinito spaziale, e abbiamo inoltre supposto che φρµν decada all’infinito piu

rapidamente di 1/r2. La proprieta 2) assicura in particolare che l’hamiltoniana del siste-

ma, rappresentata dalla componente P 0, non dipende dal tensore energia–impulso che si

considera. T µν puo dunque essere riguardato come tensore energia–impulso della teoria –

alla stessa stregua di T µν . Sfruttando questa liberta di scelta dimostreremo ora il seguente

teorema.

93

Teorema. Sia data una lagrangiana invariante sotto l’azione del gruppo di Poincare.

Allora si puo costruire un tensore φρµν antisimmetrico in ρ e µ, tale che il tensore energia–

impulso T µν dato in (3.51) risulti simmetrico, la costruzione essendo canonica.

Dimostrazione. Siccome per ipotesi la lagrangiana e invariante sotto trasformazioni

dell’intero gruppo di Poincare, per la dimostrazione del teorema possiamo servirci del

teorema di Noether e ricorrere ai tensori T µν e Mµαβ a quadridivergenza nulla, definiti

in (3.44) e (3.45). Riprendiamo in particolare l’espressione per la densita di momento

angolare,

Mµαβ = xαT µβ − xβT µα + V µαβ, V µαβ ≡ ΠµrΣαβrsϕs, (3.53)

dove abbiamo introdotto il tensore V µαβ, antisimmetrico negli ultimi due indici,

V µαβ = −V µβα.

Sfruttando il fatto che sia Mµαβ che T µν sono a quadridivergenza nulla, si ottiene,

0 = ∂µMµαβ = ∂µx

αT µβ − ∂µxβT µα + ∂µV

µαβ, (3.54)

ovverosia, cambiando di nome agli indici,

∂ρVρµν = T νµ − T µν , (3.55)

che equivale proprio alla parte antisimmetrica di T νµ. Tuttavia, non possiamo identificare

V ρµν direttamente con φρµν , perche il primo non e antisimmetrico in ρ e µ. Se poniamo

invece,

φρµν =1

2(V ρµν − V µρν − V νρµ) , (3.56)

possiamo verificare che questo tensore gode delle seguenti proprieta:

a) φρµν = −φµρν ,

b) ∂ρφρµν = 1

2

(T νµ − T µν

)− 1

2∂ρ (V µρν + V νρµ).

La prima proprieta, che assicura che φρµν da luogo a una modifica consistente di T µν ,

discende dall’antisimmetria di V νρµ negli ultimi due indici; la seconda e conseguenza

diretta di (3.55) e (3.56). Infine possiamo determinare il nuovo tensore energia–impulso

usando la (3.51), e sfruttando la proprieta b),

T µν = T µν + ∂ρφρµν =

1

2

(T νµ + T µν

)− 1

2∂ρ (V µρν + V νρµ) ,

94

che e manifestamente simmetrico in µ e ν. Sfruttando l’antisimmetria di V µνρ negli ultimi

due indici e usando la nostra convenzione sulla simmetrizzazione dei tensori, possiamo

riscrivere questo risultato anche come,

T µν = T (µν) + ∂ρV(µν)ρ, ∂µT

µν = 0. (3.57)

Abbiamo quindi dato una dimostrazione costruttiva dell’esistenza di un tensore energia–

impulso a quadridivergenza nulla e simmetrico, che da luogo allo stesso quadrimomento

totale conservato del tensore energia–impulso canonico. Facciamo, pero, notare che il

quadrimomento P µV contenuto in un volume finito dipende dal tensore energia–impulso

che si considera. Tuttavia, questo quadrimomento non ha carattere tensoriale, cioe P µV

non e un quadrivettore.

Dalla dimostrazione appena svolta traiamo inoltre le seguenti conclusioni. L’esistenza

di un tensore energia–impulso conservato richiede soltanto l’invarianza per traslazioni

di una teoria, mentre l’esistenza di un tensore energia–impulso conservato e simmetrico

richiede in piu che essa sia invariante sotto trasformazioni di Lorentz. Infatti, nella nostra

costruzione di φρµν era essenziale l’equazione di continuita ∂µMµαβ = 0, vedi (3.54) e

(3.55), che a sua volta discende dall’invarianza di Lorentz via il teorema di Noether.

Il gruppo di Poincare e la Relativita Generale. Concludiamo questa sezione con una

considerazione sul doppio ruolo dell’invarianza di Poincare nell’interazione gravitazionale.

In primo luogo menzioniamo il fatto che in base al Principio di Equivalenza qualsiasi

teoria invariante sotto trasformazioni del gruppo di Poincare, nell’ambito della Relativita

Generale ammette un cosiddetto “accoppiamento minimale” consistente con un campo

gravitazionale esterno. In secondo luogo ricordiamo che la consistenza delle equazioni

di Einstein, che governano la dinamica del campo gravitazionale, necessita del tensore

energia–impulso simmetrico (3.57) – la cui esistenza e assicurata, a sua volta, dall’inva-

rianza di Poincare. Possiamo allora affermare che la consistenza dell’interazione gravi-

tazionale di un sistema fisico – benche coinvolga un gruppo di simmetrie piu ampio del

gruppo di Poincare, cioe, il gruppo dei diffeomorfismi 16 – e garantita in ultima analisi

16Un diffeomorfismo e una generica trasformazione di coordinate xµ → x′µ(x), invertibile e di classe C∞

insieme alla sua inversa. I diffeomorfismi costituiscono quindi una generalizzazione delle trasformazionidi Poincare, x′µ(x) = Λµ

νxν + aµ.

95

dall’invarianza di Poincare del sistema in assenza di interazione gravitazionale. L’im-

portanza di questa invarianza sta anche in questo: oltre ad assicurare la covarianza delle

equazioni del moto e la conservazione delle grandezze fisiche fondamentali, essa garantisce

anche la consistenza interna della Relativita Generale.

3.4.1 Tensore energia–impulso simmetrico per il campo di Maxwell

A titolo di esempio determiniamo il tensore energia–impulso simmetrico per il campo

di Maxwell libero. La lagrangiana di questo sistema e data in (3.48), e l’equazione di

Eulero–Lagrange associata e l’equazione di Maxwell nel vuoto, vedi (3.27),

∂µFµν = 0. (3.58)

Il tensore energia–impulso canonico associato a questa lagrangiana e stato determinato

nella (3.50),

T µνem = −F µα∂νAα +

1

4ηµνFαβFαβ.

Denotando i campi di gauge indistintamente con Ar o Aα, ricordiamo anche la forma dei

momenti coniugati (3.49), e delle matrici Σαβrs per un campo vettoriale, vedi (3.37),

Πµr = −F µr, Σαβrs = δα

r ηβs − δβr ηαs.

Calcoliamo dapprima il tensore V µαβ, antisimmetrico in α e β,

V µαβ ≡ ΠµrΣαβrsAs = −F µαAβ + F µβAα. (3.59)

Determiniamo poi il tensore φρµν definito in (3.56), vedi problema 3.7,

φρµν = −F ρµAν , (3.60)

antisimmetrico in ρ e µ. Per la sua divergenza si ottiene allora,

∂ρφρµν = −∂ρF

ρµAν − F ρµ∂ρAν = F µα∂αAν ,

dove abbiamo utilizzato l’equazione di Eulero–Lagrange (3.58). Il nuovo tensore energia–

impulso risulta in definitiva,

T µνem = T µν

em + ∂ρφρµν = F µα(∂αAν − ∂νAα) +

1

4ηµνFαβFαβ = F µαFα

ν +1

4ηµνFαβFαβ,

che e gauge invariante oltre che simmetrico, ed in perfetto accordo con la (2.69).

96

3.5 Densita di momento angolare “standard”

Concludiamo questo capitolo dimostrando che per una lagrangiana L invariante per il

gruppo di Poincare esiste sempre una densita di momento angolare Mµαβ “standard”,

legata al tensore energia–impulso simmetrico dalla relazione,

Mµαβ = xα T µβ − xβ T µα. (3.61)

La dimostrazione di questa proprieta segue una strategia molto simile a quella usata per

dimostrare l’esistenza di un tensore energia–impulso simmetrico. Sfrutteremo, cioe, il fatto

che anche la densita di momento angolare e determinata a meno della quadridivergenza

di un tensore con opportune proprieta di antisimmetria. Dimostreremo, infatti, che esiste

un tensore Λµναβ di rango quattro, antisimmetrico nella prima coppia di indici oltre che

nella seconda, tale che,

Mµαβ = Mµαβ + ∂ρΛρµαβ,

con Mµαβ definito in (3.61). Con un argomento standard, vedi (3.52), si verifica allora

facilmente che,

Lαβ ≡∫

d3xM0αβ =

∫d3x M0αβ ≡ Lαβ,

purche Λµναβ svanisca all’infinito spaziale piu rapidamente di 1/r2.

Incominciamo la dimostrazione ricordando la definizione della densita canonica di

momento angolare,

Mµαβ = xα T µβ − xβ T µα + V µαβ, V µαβ ≡ Πµr Σαβrs ϕs,

e la relazione tra il tensore energia–impulso canonico e quello simmetrico,

T µν = T µν + ∂ρφρµν , φρµν ≡ 1

2(V ρµν − V µρν − V νρµ) . (3.62)

Allora si puo scrivere,

Mµαβ = xα T µβ − xβ T µα − xα ∂ρφρµβ + xβ ∂ρφ

ρµα + V µαβ

= Mµαβ − ∂ρ

(xα φρµβ − xβ φρµα

)+ φαµβ − φβµα + V µαβ

= Mµαβ − ∂ρ

(xα φρµβ − xβ φρµα

),

97

dove nell’ultimo passaggio abbiamo usato la definizione di φρµν riportata in (3.62), che

comporta l’identita,

φαµβ − φβµα = −V µαβ.

Otteniamo quindi,

Mµαβ = Mµαβ + ∂ρΛρµαβ, con Λρµαβ ≡ xα φρµβ − xβ φρµα, (3.63)

dove Λρµαβ e antisimmetrico nella prima coppia di indici oltre che nella seconda, che e

quanto volevamo dimostrare.

3.6 Problemi

3.1 Si consideri un campo scalare reale ϕ (“particella neutra con spin 0 e massa m”)

con lagrangiana,

L =1

2

(∂µϕ∂µϕ−m2ϕ2

)− λ

4!ϕ4,

dove m e λ sono costanti reali.

a) Si scrivano le equazioni di Eulero–Lagrange associate a L.

b) Si verifichi esplicitamente che tali equazioni sono equivalenti alla richiesta di stazio-

narieta dell’azione I =∫ t2

t1L d4x, per variazioni generiche del campo ϕ, purche nulle in

t = t1 e t = t2.

3.2 Si consideri un campo scalare complesso Φ = ϕ1 + iϕ2 (“particella carica con spin 0

e massa m”) con lagrangiana,

L = ∂µΦ∗∂µΦ−m2Φ∗Φ− λ

4(Φ∗Φ)2 ,

dove m e λ sono costanti reali.

a) Si scrivano le equazioni di Eulero–Lagrange associate a L. [Sugg.: si considerino come

campi indipendenti Φ e Φ∗.]

b) Si dica per quali valori di λ e m le equazioni del moto per ϕ1 e ϕ2 risultano disaccoppiate

tra di loro.

3.3 Si consideri l’azione,

I =

∫ t2

t1

L d4x,

98

con L data in (3.25).

a) Si determini la variazione di I per variazioni generiche di Aµ.

b) Si verifichi esplicitamente che la variazione di I e nulla per variazioni arbitrarie dei

campi, purche nulle in t = t1 e t = t2, se e solo se il campo di gauge soddisfa l’equazione

di Maxwell.

3.4 Si consideri la lagrangiana per il campo reale scalare data nel problema 3.1.

a) Si derivi il tensore energia–impulso canonico, analizzandone le proprieta di simmetria.

b) Si scriva l’espressione esplicita per la densita di energia e per l’energia totale del sistema.

Si dica per quali valori di m e λ l’energia e definita positiva.

3.5 Si verifichi esplicitamente che il tensore energia–impulso canonico del campo di

Maxwell libero dato in (3.50) ha quadridivergenza nulla.

3.6 Si dimostri che per una teoria di campo di soli campi scalari il tensore energia–

impulso canonico e simmetrico. [Sugg.: per l’invarianza di Lorentz la lagrangiana puo

dipendere da ∂µϕr solo attraverso la “matrice” Mrs = ∂µϕr∂µϕs, simmetrica in r e s.]

3.7 Si verifichi che per un campo di Maxwell libero il tensore φρµν ha la forma data in

(3.60).

3.8 Si determini la densita di momento angolare canonico Mµαβ per un campo di Max-

well libero. Si verifichi che la corrispondente densita di momento angolare “standard”,

come definita in (3.63), risulta uguale a xαT µβem − xβT µα

em .

3.9 Si consideri una teoria di campo descritta dai sei campi lagrangiani ϕ ≡ ~E, ~B,con lagrangiana,

L = ~E · ∂~B

∂t+

1

2

(~E · ~∇× ~E + ~B · ~∇× ~B

)−~j · ~B,

dove ~j e un campo esterno indipendente da ϕ. Si confrontino le equazioni del moto

associate a questa lagrangiana con le equazioni di Maxwell (2.28)–(2.31).

3.10 Si consideri la lagrangiana L del campo complesso del problema 3.2.

a) Si verifichi che L e invariante sotto il gruppo a un parametro di trasformazioni (gruppo

99

U(1) di “trasformazioni di gauge globali”),

Φ′(x) = eiΛ Φ(x), Φ∗′(x) = e−iΛ Φ∗(x), Λ ∈ R,

con Λ indipendente da x.

b) Si dimostri che sotto una generica variazione infinitesima Φ→ Φ + δΦ si ha,

δL =

(∂L∂Φ− ∂µ

∂L∂(∂µΦ)

)δΦ + c.c. + ∂µ

(∂L

∂(∂µΦ)δΦ

)+ c.c.

c) Si dimostri il teorema di Noether relativo al gruppo di simmetria di cui al punto a),

determinando la forma esplicita della corrente jµ associata. [Sugg.: per una trasforma-

zione infinitesima si ha δΦ = Φ′ − Φ = iΛΦ.]

d) Si verifichi esplicitamente che la corrente jµ e conservata, se il campo Φ soddisfa le

equazioni di Eulero–Lagrange determinate nel punto a) del problema 3.2.

100

4 Il metodo variazionale per l’Elettrodinamica di par-

ticelle puntiformi

In questa sezione estenderemo il metodo variazionale a una teoria di campo accoppiata

ad un sistema di particelle puntiformi. Per concretezza ci limiteremo a considerare il

caso dell’Elettrodinamica, ovvero una teoria di campo con un unico campo vettoriale Aµ,

interagente con un sistema di particelle cariche.

4.1 Principio variazionale per una particella libera

Prima di considerare il sistema accoppiato deduciamo la forma dell’azione per una par-

ticella relativistica libera. La richiesta di stazionarieta di questa azione deve allora dare

luogo alle equazioni del moto di una particella libera, cioe,

dpµ

ds= 0. (4.1)

Si tratta in sostanza di trovare la generalizzazione relativistica dell’azione newtoniana per

la particella libera, con coordinate lagrangiane ~y(t),

I0[~y] =

∫ tb

ta

(1

2mv2

)dt, (4.2)

dove questa volta abbiamo indicato gli estremi temporali con ta e tb, al posto di t1 e

t2. Come abbiamo visto il primo passo nella formulazione di un principio variazionale

consiste nella scelta delle variabili lagrangiane. In questo caso stiamo cercando un’azione

relativistica, e le coordinate lagrangiane appropriate non sono allora le ~y(t), ma le quattro

funzioni,

yµ(λ),

che parametrizzano una generica linea di universo. Conseguentemente l’azione I[y] che

stiamo cercando dovra essere invariante non solo sotto trasformazioni di Poincare, ma

anche sotto riparametrizzazione, perche tale e l’equazione (4.1).

Come primo passo nella covariantizzazione di I0 sostituiamo la misura dt con la misura

invariante, sia per Poincare che per riparametrizzazione,

ds =

√dyµ

dλ

dyµ

dλdλ,

101

che nel limite non relativistico si riduce in effetti a dt. L’azione che stiamo cercando

dovrebbe quindi avere la forma,

I[y] =

∫ b

a

l(y, y) ds,

per un’opportuna lagrangiana invariante l. In questa espressione a e b indicano gli estremi

del tratto di linea di universo considerato, e abbiamo definito,

yµ =dyµ

dλ.

A questo punto facciamo notara che, al contrario delle “velocita” yµ, le coordinate yµ

in realta non hanno carattere “tensoriale”, perche sotto traslazioni non sono invarianti.

Di conseguenza l non puo dipendere dalle yµ, ma solo dalle yµ. D’altra parte l’unico

quadriscalare indipendente che possiamo formare con le yµ e la quantita,

yµyµ,

ma questa non e invariante sotto riparametrizzazione. Concludiamo che l deve essere

indipendente anche dalle yµ, e quindi necessariamente una costante. Poniamo allora per

l’azione relativistica,

I[y] = l

∫ b

a

ds,

che dal punto di vista geometrico corrisponde alla “lunghezza” dell’arco quadridimen-

sionale della linea di universo compreso tra a e b. Per determinare infine la costante l

richiediamo che nel limite non relativistico, v ¿ 1, questa azione si riduca a I0. A questo

scopo ricordiamo la definizione di ds e ne eseguiamo lo sviluppo non relativistico,

ds =√

1− v2 dt =

(1− v2

2+ o(v4)

)dt.

Arrestandoci al termine quadratico ottieniamo allora,

I[y] = l(ta − tb)−∫ tb

ta

(l

2v2

)dt.

Il primo termine e indipendente dalle variabili dinamiche ed e irrilevante. Il secondo si

riduce in effetti a I0 se poniamo l = −m. Otteniamo quindi per l’azione relativistica di

una particella libera,

I[y] = −m

∫ b

a

ds = −m

∫ b

a

√dyµ

dλ

dyµ

dλdλ. (4.3)

102

Ci possiamo ora domandare quali sono le linee di universo che rendono stazionaria

questa azione per variazioni generiche delle coordinate 17,

δyµ(λ) = y′µ(λ)− yµ(λ),

purche nulle ai bordi,

δyµ(a) = 0 = δyµ(b). (4.4)

Faremo ora vedere che le linee di universo in questione sono esattamente quelle che soddi-

sfano le (4.1). Per farlo calcoliamo la variazione dell’azione (4.3) per variazioni generiche

delle coordinate,

δI = −m

∫ b

a

1

2√

dyµ

dλ

dyµ

dλ

δ

(dyµ

dλ

dyµ

dλ

)dλ = −m

∫ b

a

1√dyµ

dλ

dyµ

dλ

(dyµ

dλ

d δyµ

dλ

)dλ.

Usando le relazioni, √dyµ

dλ

dyµ

dλ=

ds

dλ, pµ = m

dyµ

ds,

otteniamo,

δI = −∫ b

a

pµ d δyµ

dsds,

e integrando per parti arriviamo poi a,

δI = −pµδyµ

∣∣∣b

a+

∫ b

a

dpµ

dsδyµ ds.

Se imponiamo ora che l’azione sia stazionaria per variazioni δyµ arbitrarie purche soddi-

sfacenti le (4.4), il primo termine si annulla, e otteniamo la condizione di stazionarieta,

dpµ

ds= 0.

4.2 L’azione per l’Elettrodinamica

In questa sezione consideriamo un generico sistema di particelle cariche in interazione con

il campo elettromagnetico. Se introduciamo come al solito un potenziale vettore Aµ e

17In alternativa l’azione di una particella relativistica potrebbe essere considerata anche come funzionaledelle variabili lagrangiane ~y(t), al posto delle yµ(λ). In questo caso si otterrebbero equazioni del motocompletamente equivalenti, ma non in forma covariante a vista. E facile vedere che nel caso della particellalibera, per esempio, dalla (4.3) si otterrebbe l’equazione d~p/dt = 0, al posto di dpµ/ds = 0. La sceltadelle variabili yµ(λ) ha evidentemente il pregio di mantenere la covarianza a vista.

103

definiamo,

Fµν = ∂µAν − ∂νAµ,

allora le equazione del moto di questo sistema sono l’equazione di Maxwell (2.14) per il

potenziale vettore, e le equazioni di Lorentz (2.12) per le particelle. In questa sezione

rideriveremo queste equazioni da un principio variazionale. Useremo poi il teorema di

Noether applicato al gruppo di Poincare, per riottenere le noti leggi di conservazione.

Confermeremo in particolare le espressioni esplicite delle correnti (2.69), (2.70) e (2.85),

ottenute precedentemente in modo euristico.

Punto di partenza deve essere un’azione I[A, yr] – funzionale del campo elettroma-

gnetico Aµ(x) e delle linee di universo yµr (λr) delle particelle – che sia invariante sotto

trasformazioni di Poincare. Abbiamo gia dedotte l’equazione di Maxwell da un prin-

cipio variazionale a partire dalla lagrangiana (3.25), e conosciamo inoltre l’azione (4.3)

corrispondente a una particella libera. Per l’azione del sistema interagente viene allora

naturale ipotizzare l’espressione,

I[A, yr] = −1

4

∫ Σb

Σa

F µνFµν d4x−∫ Σb

Σa

Aµjµ d4x−

∑r

mr

∫ br

ar

dsr = I1 + I2 + I3. (4.5)

In questa espressione gli integrali quadridimensionali sono eseguiti tra due ipersuperfici

di tipo spazio Σa e Σb non intersecantesi, mentre ar e br sono rispettivamente i punti

d’intersezione della linea di universo r–esima con Σa e Σb18. Interpretiamo I1 come la

parte dell’azione che descrive la propagazione libera di Aµ, I3 come la parte che descrive il

moto libero delle cariche, e I2 come la parte che descrive l’interazione tra particelle cariche

e campo elettromagnetico. La giustificazione ultima di questa azione deriva, ovviamente,

dal fatto che essa da luogo alle equazioni del moto desiderate, come faremo vedere di

seguito.

Per impostare il problema variazionale e conveniente riscrivere l’azione in una forma

diversa. Sfruttando la definizione della corrente possiamo intanto riscrivere il termine di

interazione,

I2 = −∫ Σb

Σa

Aµ(x)∑

r

er

∫δ4(x− yr) dyµ

r d4x = −∑

r

er

∫ br

ar

Aµ(yr) dyµr . (4.6)

18Ogni linea di universo γr interseca le ipersuperfici Σa,b un’unica volta, perche la prima e di tipotempo, mentre le seconde sono di tipo spazio.

104

Come nella sezione precedente introduciamo per le derivate delle variabili lagrangiane

yµr (λr) la notazione abbreviata,

yµr =

dyµr

dλr

.

Usando (4.3) e (4.6) e allora immediato ottenere,

I2 + I3 = −∑

r

∫ br

ar

(mr dsr + erAµ(yr)dyµr ) (4.7)

= −∑

r

∫ br

ar

(mr

√yµ

r yrµ + erAµ(yr)yµr

)dλr (4.8)

=∑

r

∫ br

ar

Lr(yr, yr) dλr, (4.9)

dove abbiamo definito le Lagrangiane “ordinarie”,

Lr(yr, yr) = −mr

√yν

r yrν − er Aν(yr) yνr . (4.10)

Dalle formule scritte si vede anche che l’azione puo essere posta nella forma,

I =

∫ Σb

Σa

L d4x,

se definiamo la lagrangiana totale,

L = L1 + L2 + L3 = −1

4F µνFµν − Aµj

µ −∑

r

mr

∫δ4(x− yr) dsr (4.11)

= L1 +∑

r

∫Lr δ4(x− yr) dλr. (4.12)

Il problema variazionale. Secondo il principio variazionale cerchiamo ora le configu-

razioni di campi e particelle che rendono stazionaria l’azione – δI = 0 – per variazioni

arbitrarie δAµ e δyµr , purche soddisfacenti,

δAµ|Σa = 0 = δAµ|Σb, δyµ

r (ar) = 0 = δyµr (br).

Consideriamo separatamente variazioni dei campi e variazioni delle linee di universo. Per

variazioni dei campi, siccome I3 e indipendente da Aµ, il problema si riduce a considerare

l’azione I1 +I2 =∫

d4x (L1 +L2). Ma sappiamo che le configurazioni dei campi che rendo-

no stazionaria questa azione sono quelle che soddisfano le equazioni di Eulero–Lagrange

associate alla lagrangiana L1 +L2. Queste ultime, d’altro canto, sono state derivate nella

sezione 3.2.3 e viste coincidere con l’equazione di Maxwell (3.27).

105

Resta da imporre la stazionarieta dell’azione per variazioni delle coordinate. In questo

caso, siccome I1 e indipendente dalle yr, e sufficiente considerare l’azione I2+I3. Potremmo

calcolare la variazione di questa azione con le tecniche usate nella sezione precedente,

e troveremmo che le condizioni di stazionarieta coincidono proprio con le equazioni di

Lorentz, vedi problema 4.1.

Di seguito proponiamo una dimostrazione alternativa di questo risultato, basata di-

rettamente sul metodo lagrangiano per un sistema a finiti di gradi di liberta, vedi sezione

3.1. Riprendiamo a questo scopo l’azione I2 + I3, scritta come in (4.9). Questa azione si

separa in una somma di termini,

I2 + I3 =∑

r

I[yr], I[yr] =

∫ br

ar

Lr(yr, yr) dλr,

ciascuno dei quali dipende solo da una delle coordinate. L’azione I2 + I3 sara quindi

stazionaria se ciascuna I[yr] e stazionaria per variazioni generiche delle yµr , con le solite

condizioni agli estremi. Ma I[yr] e l’integrale della lagrangiana ordinaria Lr, corrisponden-

te a un sistema lagrangiano con quattro gradi di liberta. Come sappiamo dalla sezione 3.1,

il problema della stazionarieta di questa azione si riduce allora alle equazioni di Lagrange

associate, vale a dire,d

dλr

∂Lr

∂yµr− ∂Lr

∂yµr

= 0.

Valutiamo dunque i due termini di questa equazione, tralasciando per semplicita l’indice

r. Dalla (4.10) si ottiene immediatamente,

∂L

∂yµ= −e ∂µAν yν .

Calcoliamo poi,∂L

∂yµ= − myµ√

yν yν

− eAµ(y) = −pµ − eAµ(y), (4.13)

dove abbiamo introdotto il quadrimomento pµ della particella, ed utilizzato la solita

relazione√

yν yν = dsdλ

. Infine dobbiamo valutare,

d

dλ

∂L

∂yµ= −dpµ

dλ− e yν ∂νAµ.

In definitiva otteniamo,

d

dλ

∂L

∂yµ− ∂L

∂yµ= −dpµ

dλ+ e yν(∂µAν − ∂νAµ) = − ds

dλ

(dpµ

ds− eFµνu

ν

)= 0, (4.14)

che e l’equazione di Lorentz.

106

4.3 Il teorema di Noether in Elettrodinamica

Nella sezione precedente abbiamo stabilito un principio variazionale per l’Elettrodinamica

classica, compatibile con i postulati della Relativita Ristretta. Piu precisamente, abbia-

mo individuato un’azione invariante sotto trasformazione del gruppo di Poincare da cui

discendono le equazioni del moto per campi e particelle. Secondo il teorema di Noether

dovrebbe quindi essere possibile derivare la forma delle “correnti” conservate T µν e Mµαβ,

sfruttando l’invarianza dell’azione rispettivamente per traslazioni e per trasformazioni di

Lorentz. Anche in questo caso la dimostrazione del teorema puo essere svolta secondo la

strategia adottata nel capitolo precedente per un sistema di soli campi, ma dal punto di

vista tecnico essa e leggermente piu complicata per via della presenza delle particelle.

Seguendo il metodo della sezione 3.3 impostiamo la dimostrazione a partire non diret-

tamente dall’azione, ma dalla lagrangiana del sistema, vedi (4.11). Per brevita indichiamo

le dipendenze funzionali di questa lagrangiana con L(A(x), yr, x), omettendo di indicare

esplicitamente la dipendenza dalle derivate ∂A e yr. Notiamo, comunque, che formal-

mente questa lagrangiana esibisce anche una dipendenza esplicita dalla coordinata x –

indicata dal suo terzo argomento – attraverso le δ4(x− yr) che compaiono in (4.11). Tut-

tavia, vedremo fra poco che in questo caso non sussiste nessuna rottura dell’invarianza

per traslazioni.

Per le trasformazioni di Poincare adottiamo le notazioni del paragrafo 3.3.1. Per

trasformazioni finite abbiamo,

x′µ = Λµνx

ν + aµ, y′µr = Λµν yν

r + aµ, A′µ(x′) = ΛµνA

ν(x),

e per trasformazioni infinitesime, Λµν = δµ

ν + ωµν , ne segue,

δxµ = aµ + ωµνx

ν , δyµr = aµ + ωµ

νyνr . (4.15)

Per le trasformazioni del campo vettoriale distinguiamo di nuovo trasformazioni totali e

trasformazioni in forma,

δAα ≡ A′α(x′)− Aα(x) = ωα

βAβ(x),

δAα ≡ A′α(x)− Aα(x) = −δxν ∂νAα + δAα = −δxν ∂νAα + ωα

βAβ(x). (4.16)

107

L’invarianza di L sotto trasformazioni di Poincare e allora espressa dall’identita,

δL ≡ L(A′(x′), y′r, x′)− L(A(x), yr, x) = 0. (4.17)

Difatti l’unico elemento nella (4.11) la cui invarianza va controllata e la δ4 di Dirac,

δ4(x′ − y′r) = δ4(Λx + a− (Λyr + a)) = δ4(Λ(x− yr)) =δ4(x− yr)

|detΛ| = δ4(x− yr).

Questo vuol dire che le trasformazioni delle δ4 in seguito potranno essere semplicemente

ignorate.

Manipoliamo ora l’identita (4.17) in completa analogia con il caso di una teoria con

soli campi. Scriviamo,

δL = [L(A′(x′), y′r, x′)− L(A′(x), yr, x)] + [L(A′(x), yr, x)− L(A(x), yr, x)] .

I due termini della prima parentesi quadra differiscono solo per le variazioni (4.15) di x

e yr, mentre nella seconda parentesi quadra compare solo una trasformazione in forma

di Aµ. Nella prima parentesi quadra conviene usare l’espressione (4.12), mentre nella

seconda e piu conveniente la (4.11). Si ottiene cosı,

δL =

[δxµ∂µL1 +

∑r

∫δLr δ4(x− yr) dλr

]+

[∂L∂Aν

δAν + Πµν ∂µδAν

]. (4.18)

Con δLr intendiamo quı la variazione di Lr per le variazioni delle yr date in (4.15), e

abbiamo usato la definizione consueta per i momenti coniugati, Πµν ≡ ∂L∂(∂µAν)

= −F µν .

Alla seconda parentesi quadra contribuiscono solo i termini L1+L2, e possiamo riscriverla

come,

∂L∂Aν

δAν + Πµν ∂µδAν = ∂µ (ΠµνδAν) +

[∂L∂Aν

− ∂µΠµν

]δAν ,

= ∂µ (ΠµνδAν) + (∂µFµν − jν) δAν ,

dove nell’ultimo termine riconosciamo l’equazione di Maxwell. In modo completamen-

te analogo possiamo manipolare la variazione di Lr, facendo comparire le equazioni di

Lorentz,

δLr = δyνr

∂Lr

∂yνr

+ δyνr

∂Lr

∂yνr

=d

dλr

(δyν

r

∂Lr

∂yνr

)+ δyν

r

(∂Lr

∂yνr

− d

dλr

∂Lr

∂yνr

)

=d

dλr

(δyν

r

∂Lr

∂yνr

)+

dsr

dλr

(dprν

dsr

− Fνµuµr

)δyν

r ,

108

dove l’ultimo termine corrisponde alle equazioni di Lorentz, vedi (4.14). Il primo termine,

invece, inserito in (4.18), attraverso un’integrazione per parti da luogo a,∫

d

dλr

(δyν

r

∂Lr

∂yνr

)δ4(x− yr) dλr = −

∫δyν

r

∂Lr

∂yνr

d

dλr

δ4(x− yr) dλr

+

(δyν

r

∂Lr

∂yνr

δ4(x− yr)

)∣∣∣∣λr=+∞

λr=−∞.

Per ogni x fissato, per λr → ±∞ la δ4(x − yr) si annulla, quindi il secondo termine e

nullo. Per quanto riguarda il primo termine notiamo invece che,

d

dλr

δ4(x− yr) = −yµr ∂µδ

4(x− yr) = −∂µ(yµr δ4(x− yr)),

e otteniamo una quadridivergenza,∫

d

dλr

(δyν

r

∂Lr

∂yνr

)δ4(x− yr) dλr = ∂µ

(∫yµ

r δyνr

∂Lr

∂yνr

δ4(x− yr) dλr

).

Inseriamo ora questi risultati nella (4.18),

δL = ∂µ

[δxµL1 + ΠµνδAν +

∑r

∫yµ

r δyνr

∂Lr

∂yνr

δ4(x− yr) dλr

](4.19)

+ (∂µFµν − jν) δAν +

∑r

∫ (dprν

dsr

− Fνµuµr

)δyν

r δ4(x− yr) dsr.

Questa formula ha ora la stuttura prevista dal teorema di Noether: eguaglia la va-

riazione della lagrangiana alla quadridivergenza di un certo quadrivettore – la parentesi

quadra – modulo termini proporzionali alle equazioni del moto. E ora un semplice eserci-

zio esplicitare la parentesi quadra e determinare i coefficienti di aν e di ωαβ, per ottenere

la forma esplicita delle correnti conservate. E sufficiente inserire le formule (4.13), (4.15)

e (4.16). Per i primi due termini della parentesi quadra in (4.19) otteniamo,

δxµL1 + ΠµνδAν = δxν (ηµνL1 − Πµν∂νAν) + ΠµνδAν = −δxνTµνem − F µνωνρA

ρ, (4.20)

dove abbiamo ritrovato il tensore energia–impulso canonico per un campo di Maxwell

libero, (3.50). Per il terzo termine in (4.19) notiamo che per le proprieta della δ4 possiamo

sostituire δyνr con δxν . Con l’aiuto di (4.13) e parametrizzando l’integrale con il tempo

proprio, questo termine puo allora essere posto nella forma,

∑r

∫yµ

r δyνr

∂Lr

∂yνr

δ4(x− yr) dλr = −δxν

∑r

∫uµ

r (pνr + erA

ν(yr)) δ4(x− yr) dsr

= −δxν

(T µν

p + jµAν), (4.21)

109

dove abbiamo ritrovato il tensore energia–impulso delle particelle, (2.70). Sommando

(4.20) e (4.21) ed esplicitando δxν = aν + ωνβxβ, la parentesi quadra in (4.19) puo allora

essere scritta come,

−δxν

(T µν

p + T µνem + jµAν

)− F µνωνρA

ρ = −aνTµν +

1

2ωαβMµαβ,

dove abbiamo definito i tensori energia–impulso e densita di momento angolare canonici

dell’Elettrodinamica classica,

T µν = T µνp + T µν

em + jµAν (4.22)

Mµαβ = xαT µβ − xβT µα − F µαAβ + F µβAα. (4.23)

In definitiva possiamo riscrivere la (4.19) come,

δL = −aν ∂µTµν +

1

2ωαβ ∂µM

µαβ (4.24)

+ (∂µFµν − jν) δAν +

∑r

∫ (dprν

dsr

− Fνµuµr

)δyν

r δ4(x− yr) dsr,

da confrontare con l’analoga identita per una teoria di soli campi, vedi (3.47).

Dato che la lagrangiana e invariante per l’intero gruppo di Poincare abbiamo che

δL = 0 identicamente. Concludiamo quindi che, se i campi e le particelle soddisfano le

rispettive equazioni del moto, allora i tensori T µν e Mµαβ risultano conservati,

∂µTµν = 0 = ∂µM

µαβ. (4.25)

Tensore energia–impulso simmetrico e densita di momento angolare standard. Di nuo-

vo vediamo che le correnti che abbiamo ottenuto non hanno la forma che abbiamo trovato

nei paragrafi 2.4.3 e 2.4.4 con metodi euristici; in particolare T µν non e simmetrico e Mµαβ

non ha la forma standard. Inoltre, nessuno dei due tensori e gauge invariante. Vediamo

comunque che in assenza di particelle T µν si riduce a T µνem, mentre in assenza di campo

elettromagnetico esso si riduce a T µνp . Ma nella (4.22) c’e anche il termine di interferenza

jµAν , di interpretazione piu difficile. Tuttavia, anche in questo caso possiamo adottare

la strategia generale per la simmetrizzazione del tensore energia–impulso, sviluppata in

sezione 3.4. Poniamo,

T µν = T µν + ∂ρφρµν , φρµν = −φµρν , (4.26)

110

dove il tensore φρµν e dato in termini del tensore V µαβ secondo la definizione (3.56). D’altra

parte quest’ultimo si puo determinare confrontando la (4.23) con la (3.53). Risulta,

V µαβ = −F µαAβ + F µβAα,

come nel caso del campo di Maxwell libero, vedi (3.59). Anche il tensore φρµν e allora

quello corrispondente al campo di Maxwell libero,

φρµν = −F ρµAν .

Tuttavia, in presenza di particelle la divergenza di questo tensore contiene anche un

termine proporzionale alla corrente. Risulta infatti,

∂ρφρµν = −∂ρF

ρµAν − F ρµ∂ρAν = −jµAν − Fαµ∂αAν .

Aggiungendo questa espressione a (4.22) si vede che il termine di interferenza jµAν si

cancella, e che si ricombina il tensore energia–impulso simmetrico del campo elettroma-

gnetico,

T µν = T µνem + T µν

p , ∂µTµν = 0,

a conferma dei risultati (2.69) e (2.70) del capitolo 2.

Analogamente, secondo la (3.63) si puo modificare la densita di momento angolare

(4.23) ponendo,

Mµαβ = Mµαβ + ∂ρΛρµαβ, Λρµαβ = xα φρµβ − xβ φρµα.

Nel nostro caso risulta,

∂ρΛρµαβ = φαµβ + xα∂ρφ

ρµβ − (α↔ β) = F µαAβ + xα(T µβ − T µβ)− (α↔ β).

Aggiungendo questo termine a (4.23) si vede immediatamente che risulta,

Mµαβ = xαT µβ − xβT µα,

in accordo con il nostro risultato euristico (2.85).

Abbiamo cosı riottenuto la forma dei tensori energia–impulso e densita di momento

angolare per l’Elettrodinamica. Piu del risultato, gia noto, e importante il metodo che

111

abbiamo utilizzato, cioe, il teorema di Noether. Nella sezione 3.3 abbiamo dato una

dimostrazione generale di questo teorema per una teoria di soli campi. In questa sezione

abbiamo dimostrato il teorema in una situazione fisica molto diversa, in cui alcuni gradi di

liberta non sono distribuiti con continuita nello spazio, come i campi, ma costituiscono dei

“difetti” puntiformi, appunto le particelle. In questo capitolo abbiamo difatti illustrato

una circostanza molto generale, e cioe che in Fisica il teorema di Noether vale a tutti i

livelli: vale per teorie contenenti campi, particelle, stringhe e – piu in generale – membrane

di qualsiasi estensione spaziale; vale a livello newtoniano cosı come vale in Relativita

Ristretta e in Relativita Generale, vale in Fisica Classica e in Meccanica Quantistica, in

Teoria Quantistica Relativistica dei Campi e, ancora, nelle Teorie di Superstringa.

4.4 Invarianza di gauge e conservazione della carica elettrica

Nella sezione precedente abbiamo discusso il teorema di Noether relativo al gruppo di

Poincare, con conseguente conservazione del quadrimomento e del momento angolare

quadridimensionale. Ma in Elettrodinamica esiste un’altra grandezza conservata – non

associata al gruppo di Poincare – che e la carica elettrica, e se vale il teorema di Noether,

allora anche ad essa dovrebbe essere associato un gruppo a un parametro di simmetrie.

In effetti l’Elettrodinamica e dotata di una simmetria fondamentale che abbiamo gia am-

piamento esplorato – l’invarianza di gauge – che potrebbe essere legata alla conservazione

della carica via il teorema di Noether.

Per analizzare questo possibile nesso facciamo intanto notare che le trasformazioni di

gauge costituiscono effettivamente un gruppo (abeliano), con un solo parametro Λ. Posto

A′1µ = Aµ + ∂µΛ1,

abbiamo infatti,

A′2µ = A′

1µ + ∂µΛ2 = Aµ + ∂µ(Λ1 + Λ2).

Esploriamo allora la variazione della lagrangiana (4.11) sotto una generica trasformazione

di gauge δAµ = A′µ − Aµ = ∂µΛ. Risulta,

δL = −∂µΛjµ = −∂µ(Λjµ) + Λ ∂µjµ ∼= Λ ∂µj

µ,

112

dove abbiamo sfruttato il fatto che le lagrangiana sono definite modulo quadridivergenze.

Avremmo dunque trovato proprio il legame implicato dal teorema di Noether, ovvero che

l’invarianza della lagrangiana implica la conservazione locale della carica,

δL = 0 ⇒ ∂µjµ = 0. (4.27)

Tuttavia, il nesso appena evidenziato non segue proprio le linee del teorema di Noether,

per come l’abbiamo illustrato nella sezione precedente. Il primo motivo e che il parametro

Λ(x) non e un parametro “globale”, ovvero costante, come invece previsto dal teorema

di Noether; d’altra parte se Λ e costante la trasformazione di gauge si riduce banalmente

alla trasformazione identica. Il secondo motivo e che nella derivazione della (4.27) le

equazioni del moto dell’Elettrodinamica non hanno giocato nessun ruolo, mentre il loro uso

era essenziale nella dimostrazione delle leggi di conservazione (4.25). Sappiamo, infatti,

che la corrente (2.6) e conservata identicamente, indipendentemente dalla validita delle

equazioni del moto.

Si intuisce che questa a–simmetria esistente in Elettrodinamica classica tra il gruppo

di Poincare e il gruppo delle trasformazioni di gauge, e dovuta al fatto che le particelle

cariche in questo ambito vengono trattate come “difetti” puntiformi: conseguentemente

la conservazione della carica totale – in ultima analisi – corrisponde semplicemente al

“conteggio” delle particelle contenute in un dato volume. Infatti, integrando la (2.40) su

un volume finito V si ottiene per la carica QV (t) contenuta all’istante t in V ,

QV (t) =

∫

V

j0(t, ~x) d3x =∑

r

er

∫

V

δ3(~x− ~yr(t)) d3x =∑r∈V

er,

dove la somma si estende a tutte le particelle che all’istante t si trovano in V .

Si puo, al contrario, vedere che quando anche le particelle cariche vengono rappresenta-

te da campi – alla stessa stregua del campo elettromagnetico – allora la conservazione della

carica elettrica segue esattamente lo schema “a la Noether”, illustrato sopra per la con-

servazione di quadrimomento e momento angolare quadridimensionale. Questo succede,

per esempio, nell’ambito della teoria quantistica relativistica di campo.

113

4.5 Problemi

4.1 Seguendo il procedimento della sezione 4.1 si deducano le equazioni di Lorentz (2.12),

imponendo la stazionarieta dell’azione (4.8) per variazioni generiche δyµr delle coordinate,

purche nulle in ar e br.

4.2 Si deduca la forma della lagrangiana di un sistema di cariche non relativistiche

interagenti con un campo elettromagnetico esterno, eseguendo il limite non relativistico

dell’azione (4.7),

114

5 Onde elettromagnetiche

In questo capitolo avviamo la ricerca di soluzioni esatte dell’equazioni di Maxwell e l’analisi

delle loro proprieta. La prima classe di soluzioni che analizzeremo e costituita dalle onde

piane elettromagnetiche, le quali costituiscono un particolare insieme completo di soluzioni

dell’equazione di Maxwell nel vuoto, cioe, in assenza di sorgenti,

jµ = 0.

La rilevanza fenomenologica di queste soluzioni e evidente. Basta pensare che l’energia

fornita dal sole viaggia interamente a cavallo di onde elettromagnetiche, e che qualsiasi

tipo di segnale che si propaga sulla terra via “etere” e costituito da queste onde. Ricor-

diamo inoltre che la quasi totalita dell’informazione che acquisiamo sull’universo arriva

sulla terra tramite segnali luminosi emessi da oggetti stellari, segnali costituiti da onde

elettromagnetiche che si propagano nello spazio vuoto su distanze molto grandi.

L’universo stesso poi e pervaso dalla cosiddetta radiazione cosmica di fondo, con ottima

approssimazione isotropa ed omogenea, che e caratterizzata da uno spettro in frequenza

di corpo nero ad una temperatura di T = 2.73 oK. Questa radiazione e messaggera di

un’epoca primordiale in cui la materia era costituita prevalentemente da particelle cariche

dissociate, soggette in continuazione a urti di natura elettromagnetica. Dopo “l’ultimo

scattering” e la conseguente ricombinazione delle particelle cariche in molecole neutre, il

campo di radiazione prodotto in questi urti si e disaccoppiato dalle cariche e si manifesta

oggi come “radiazione” di fondo – apparentemente priva di sorgenti.

In questo capitolo studieremo le proprieta delle onde elettromagnetiche, in quanto

base completa di soluzioni dell’equazione di Maxwell nel vuoto. Nel prossimo capitolo ci

occuperemo invece delle soluzioni dell’equazione di Maxwell in presenza di sorgenti. In

particolare determineremo il campo elettromagnetico esatto creato da una quadricorrente

jµ arbitraria. Lontano dalle sorgenti questo campo soddisfa di nuovo l’equazione di Max-

well nel vuoto, ed in quella regione potra quindi essere analizzato a sua volta in termini

di onde elettromagnetiche.

Tuttavia, prima di poter affrontare questi argomenti dobbiamo capire qual e il conte-

nuto cinematico del campo elettromagnetico, ovverosia, quali sono le variabili indipendenti

115

che descrivono il suo stato in ogni istante. Detto in altre parole, dobbiamo individuare i

gradi di liberta fisici coinvolti nell’evoluzione temporale del campo elettromagnetico. Solo

allora saremo in grado di impostare correttamente il problema di Cauchy, cioe, di assegna-

re un insieme completo di dati iniziali, che attraverso l’equazione di Maxwell determinano

il valore del campo in ogni istante.

5.1 I gradi di liberta del campo elettromagnetico

Innanzitutto dobbiamo spiegare cosa intendiamo con “grado di liberta” in una generica

teoria di campo. La definizione che ne daremo costituisce una generalizzazione del con-

cetto analogo in meccanica classica – prototipo di un sistema lagrangiano a finiti gradi

di liberta. Prima di passare alla teoria di campo e allora utile ricordare brevemente il

significato di questo importante concetto in meccanica.

5.1.1 I gradi di liberta in meccanica newtoniana

In meccanica newtoniana il concetto di grado di liberta si riferisce al numero di variabili

lagrangiane necessarie per descrivere cinematicamente un sistema fisico. Per esempio,

una particella che si muove nello spazio tridimensionale e caratterizzata da tre gradi di

liberta, in quanto la sua posizione e specificata in ogni istante t dalle tre coordinate ~y(t).

Ma possiamo analizzare lo stesso sistema fisico anche da un altro punto vista, ponendoci

la domanda: quanti dati iniziali, diciamo a t = 0, dobbiamo assegnare per poter predire

la posizione della particella in ogni istante? La risposta – sei e non tre – e strettamente

legata alla dinamica della particella, vale a dire all’equazione di Newton,

md2~y

dt2= ~F ,

quale equazione differenziale del secondo ordine nel tempo, che richiede di assegnare sia

~y(0) che ~v(0). Potremmo porre il problema dinamico equivalentemente nella forma,

md~v

dt= ~F ,

d~y

dt= ~v,

che rappresenterebbe in effetti un sistema a sei gradi di liberta. Ci rendiamo cosı conto

che la convenzione comune “una particella corrisponde a tre gradi di liberta” sottintende

116

in realta tre gradi di liberta del secondo ordine. Equivalentemente potremmo infatti dire

che una particella corrisponde a sei gradi di liberta del primo ordine. La preferenza

per la prima convenzione discende dal fatto che il determinismo newtoniano – confermato

sperimentalmente in modo universale – prevede in generale che una variabile fondamentale

e determinata in ogni istante, se a un dato istante si conoscono il suo valore e la sua

derivata prima.

D’ora in poi useremo il termine “grado di liberta” – sottintendendo “del secondo

ordine” – per una variabile la cui dinamica sia governata da un’equazione del moto che,

noti il suo valore e la sua derivata ad un dato istante, determina la variabile in ogni

istante.

5.1.2 I gradi di liberta in teoria di campo

In teoria di campo le variabili fondamentali sono i campi – che da un punto di vista

meccanico corrispondono a un sistema a infiniti gradi di liberta. Mantenendo l’analogia

con la meccanica, ma adattando la prospettiva, diamo allora la seguente definizione.

Definzione. Diremo che un campo ϕ(t, ~x) corrisponde a un grado di liberta (del secondo

ordine) se le equazioni del moto che governano la sua dinamica sono tali, che noti ϕ(0, ~x)

e ∂0ϕ(0, ~x) in tutto lo spazio, esse determinano ϕ(t, ~x) per ogni t.

Come prototipo di un’equazione di questo tipo consideriamo l’equazione per un campo

scalare,

2 ϕ = P (ϕ), (5.1)

dove P (ϕ) e un polinomio in ϕ e,

2 ≡ ∂µ∂µ = ∂2

0 −∇2,

e l’operatore d’Alembertiano, completamento relativistico dell’operatore Laplaciano tri-

dimensionale. Questa equazione e del secondo ordine nella derivata temporale e ci aspet-

tiamo quindi che essa assegni a ϕ un grado di liberta. Per convincerci che questo e

effettivamente il caso fissiamo i dati iniziali,

ϕ(0, ~x) e ∂0ϕ(0, ~x),

117

e cerchiamo di determinare ϕ(t, ~x) imponendo la (5.1). Se assumiamo che la soluzione sia

una funzione analitica in t possiamo svilupparla in serie di Taylor,

ϕ(t, ~x) =∞∑

n=0

∂n0 ϕ(0, ~x)

n!tn, (5.2)

e cercare di determinare i coefficienti usando la (5.1). I coefficienti con n = 0 e n = 1

sono fissati dai dati inizili. Il coefficiente con n = 2 si ottiene invece valutando la (5.1) in

t = 0,

∂20ϕ(0, ~x) = ∇2ϕ(0, ~x) + P (ϕ(0, ~x)).

Derivando poi la (5.1) una volta rispetto al tempo e valutandola in t = 0 si ottiene il

coefficiente con n = 3,

∂30ϕ(0, ~x) = ∇2∂0ϕ(0, ~x) + P ′(ϕ(0, ~x)) ∂0ϕ(0, ~x).

Derivando ripetutamente la (5.1) rispetto al tempo si ottengono cosı tutte le derivate

∂n0 ϕ(0, ~x) in termini delle derivate spaziali dei dati iniziali ϕ(0, ~x) e ∂0ϕ(0, ~x), e la solu-

zione e quindi univocamente determinata. E poi facile vedere che si giunge alla stessa

conclusione se P e un arbitrario polinomio in ϕ e ∂µϕ, e anche se il membro di destra

della (5.1) contiene un termine aggiuntivo noto j(x), indipendente da ϕ.

5.1.3 Il problema di Cauchy per l’equazione di Maxwell

Siamo ora in grado di affrontare il problema di Cauchy, ovverosia il problema alle condi-

zioni inziali, per l’equazione di Maxwell. In particolare vogliamo stabilire quanti e quali

sono i gradi di liberta associati alla propagazione del campo elettromagnetico. Se secondo

la nostra consueta strategia risolviamo l’identita di Bianchi introducendo un potenziale

vettore Aµ, allora il sistema di equazioni da risolvere schematicamente si scrive,

∂µFµν = jν , F µν ≡ ∂µAν − ∂νAµ, Aµ ≈ Aµ + ∂µΛ.

Condizioni asintotiche. Prima di affrontare la soluzione di questo sistema specifichia-

mo la classe di configurazioni del potenziale vettore e della corrente che consideriamo

“fisicamente accettabili”. Assumeremo intanto che la corrente sia nota e – ovviamente – a

118

quadridivergenza nulla. Supporremo inoltre che per ogni t fissato essa sia a supporto spa-

ziale compatto, come succede per qualsiasi distribuzione di carica realizzabile in natura.

Richiederemo, cioe, che,

jµ(t, ~x) = 0, per |~x| > R, (5.3)

dove il raggio R in generale dipende da t. Corrispondentemente accetteremo come so-

luzioni “fisiche” dell’equazione di Maxwell solo quelle che per ogni t fissato all’infinito

spaziale si annullano,

lim|~x|→∞

Aµ(t, ~x) = 0. (5.4)

Si puo, infatti, vedere che questa condizione discende essenzialmente dall’assunzione che

non ci siano cariche all’infinito.

Nel caso particolare di un campo elettromagnetico nel vuoto, in realta non sembra

esserci nessun legame tra la condizione (5.4) e la posizione delle cariche – semplicemente

perche le cariche sono assenti. Tuttavia, un “campo nel vuoto” costituisce la schema-

tizzazione matematica di una situazione realizzabile fisicamente, in cui il campo e stato

generato da delle cariche “lontane” in un “passato lontano”, e quindi anche in questo

caso all’infinito esso sara zero. Facciamo comunque notare che la condizione (5.4) esclude

anche certe soluzioni idealizzate – di per se non fisiche – che vengono pero spesso uti-

lizzate in Elettrodinamica per semplificare le analisi svolte. Cosı essa esclude il campo

elettromagnetico costante e uniforme fµν , con potenziale vettore,

Aµ(x) =1

2xνf

νµ, F µν(x) = fµν ,

i campi prodotti da fili e piani infiniti uniformemente carichi, e la stessa onda piana, in

quanto infinitamente estesa, vedi (5.61).

Esplicitiamo ora l’equazione di Maxwell in termini del potenziale vettore,

∂µ (∂µAν − ∂νAµ) = 2Aν − ∂ν(∂µAµ) = jν .

Per via della presenza delle derivate seconde rispetto al tempo ci si potrebbe aspettare

che questo sistema corrisponda a quattro gradi di liberta. Tuttavia, questa conclusione e

affrettata, per i seguenti due motivi.

119

Un vincolo. Il primo motivo e costituito dal fatto che – come gia notato nel para-

grafo 2.2.3 – le quattro componenti dell’equazione di Maxwell non sono funzionalmente

indipendenti. Definito,

Gν ≡ ∂µFµν − jν = 2Aν − ∂ν(∂µA

µ)− jν , (5.5)

vale infatti identicamente,

∂νGν = 0 ⇒ ∂0G

0 = −∂iGi. (5.6)

Cio significa che le quattro equazioni di Maxwell,

Gµ = 0,

sono equivalenti al sistema,

Gi(t, ~x) = 0, ∀ t (5.7)

G0(0, ~x) = 0. (5.8)

Infatti, imposto Gi(t, ~x) = 0 ∀ t la (5.6) assicura che ∂0G0(t, ~x) = 0, e quindi la funzione

G0(t, ~x) e indipendente dal tempo; e allora sufficiente imporre il suo annullamento all’i-

stante t = 0. La componento 0 dell’equazione di Maxwell si riduce quindi a un vincolo

sui dati iniziali, e non va considerata come una vera e propria equazione del moto.

Invarianza di gauge e gauge–fixing. Il secondo motivo per cui il conteggio dei gradi

di liberta di cui sopra e errato e costituito dal fatto che il potenziale vettore e definito

solo modulo una trasformazione di gauge: i potenziali Aµ e Aµ + ∂µΛ corrispondono allo

stesso campo elettromagnetico F µν , e sono quindi fisicamente equivalenti. Si rende allora

necessario selezionare tra tutti i potenziali vettore associati ad un dato F µν , un unico

rappresentante, ovverosia, come si suol dire, attuare un “gauge–fixing” su Aµ. Evidente-

mente ci sono infiniti modi diversi di fissare la gauge, tutti fisicamente equivalenti. Noi

optiamo per la cosiddetta “gauge di Lorentz”, rappresentata dal vincolo,

∂µAµ = 0, (5.9)

per il suo pregio di essere preservata sotto trasformazioni di Lorentz 19. La consistenza di

questa scelta deriva dal fatto che a partire da un potenziale vettore arbitrario e sempre

19Gauge–fixing non covarianti usati talvolta sono la gauge di Coulomb ~∇ · ~A = 0, e la gauge assialeA0 = 0, oppure, piu in generale, nµAµ = 0, con nµ vettore costante.

120

possibile eseguire una trasformazione di gauge, tale che il nuovo potenziale vettore abbia

quadridivergenza nulla,

∂µ(Aµ + ∂µΛ) = 0.

E infatti sufficiente scegliere Λ tale che,

2Λ = −∂µAµ,

equazione che, come visto nel paragrafo precedente, ammette in effetti infinite soluzioni.

Con il gauge–fixing (5.9) l’equazione di Maxwell (5.5) si semplifica e diventa,

Gµ = 2Aµ − jµ = 0.

Useremo questa forma per le componenti spaziali Gi dell’equazione mentre, per quello che

segue, per la componente G0 e piu conveniente usare l’espressione originale (5.5),

G0 = 2A0 − ∂0(∂0A0 + ∂iA

i)− j0 = −∇2A0 − ∂i(∂0Ai)− j0 = 0. (5.10)

Si noti che questa equazione non contiene la derivata seconda rispetto al tempo: come an-

ticipato sopra, essa va infatti interpretata come un vincolo, piuttosto che come equazione

dinamica.

Invarianza di gauge residua. Resta a questo punto la domanda se la gauge di Lorentz

e completa, cioe, se essa fissa il potenziale vettore univocamente. La risposta e negativa

perche, assumendo che valga ∂µAµ = 0 e volendo restare nella classe di potenziali che

soddisfano questa condizione, possiamo ancora eseguire trasformazioni di gauge Aµ →Aµ + ∂µΛ, a patto che,

∂µ(Aµ + ∂µΛ) = 0 ⇒ 2Λ = 0.

Sussiste, cioe, l’invarianza di gauge “residua”,

Aµ ≈ Aµ + ∂µΛ, 2Λ = 0. (5.11)

Anche il gauge–fixing dell’invarianza residua puo essere eseguito in infiniti modi equiva-

lenti. Noi optiamo per le condizioni,

A3(0, ~x) = 0 = ∂0A3(0, ~x), (5.12)

121

che si possono in effetti imporre eseguendo una trasformazione di gauge residua. Per

farlo vedere ricordiamo dal paragrafo precedente che la soluzione dell’equazione 2Λ = 0

e completamente determinata dalle “condizioni iniziali”,

Λ(0, ~x) ≡ Φ1(~x), ∂0Λ(0, ~x) ≡ Φ2(~x).

Per una trasformazione di gauge abbiamo,

A′3 = A3 + ∂3Λ, (5.13)

ed e facile vedere che esistono dei campi Φ1 e Φ2 tali che,

A′3(0, ~x) = A3(0, ~x) + ∂3Λ(0, ~x) = A3(0, ~x) + ∂3Φ1(~x) = 0, (5.14)

∂0A′3(0, ~x) = ∂0A

3(0, ~x) + ∂3∂0Λ(0, ~x) = ∂0A3(0, ~x) + ∂3Φ2(~x) = 0. (5.15)

Infatti, e sufficiente scegliere per Φ1 e Φ2 delle primitive rispetto alla variabile x3, rispet-

tivamente di −A3(0, ~x) e −∂0A3(0, ~x). Per il potenziale trasformato le (5.14) e (5.15)

equivalgono allora effettivamente alle (5.12).

In conclusione, tenendo conto delle condizioni di gauge–fixing (5.9) e (5.12) ci siamo

ricondotti al seguente sistema di equazioni,

2Ai = ji, (5.16)

∇2A0 = −∂i(∂0Ai)− j0, per t = 0, (5.17)

∂µAµ = 0, (5.18)

A3(0, ~x) = 0 = ∂0A3(0, ~x). (5.19)

Facciamo ora vedere che questo sistema ammette in effetti soluzione unica per Aµ(t, ~x),

una volta assegnate le condizioni iniziali “fisiche”,

A1(0, ~x), ∂0A1(0, ~x), A2(0, ~x), ∂0A

2(0, ~x). (5.20)

Intanto osserviamo che con queste condizioni iniziali e con le (5.19), le tre equazioni (5.16)

determinano Ai(t, ~x) per ogni t. Noti i campi Ai, la (5.17) determina allora univocamente

A0(0, ~x), perche nello spazio delle funzioni che svaniscono all’infinito il Laplaciano tridi-

mensionale ammette inverso unico, vedi sezione 6.1. Noti A0(0, ~x) e i campi Ai(t, ~x), la

122

(5.18) determina infine A0(t, ~x) per ogni t,

A0(t, ~x) = A0(0, ~x)−∫ t

0

~∇ · ~A(t′, ~x) dt′.

In conclusione, una volta assegnate le quattro condizioni iniziali fisiche (5.20), l’equa-

zione di Maxwell determina i campi Aµ(t, ~x) in modo univoco. Con la procedura scelta

da noi i campi “fisici” sono risultati A1 e A2, ma e chiaro che una scelta diversa del

gauge–fixing portera ad assegnazioni diverse. Quello che restera pero invariato e il nu-

mero di condizioni iniziali – quattro – che si possono imporre arbitrariamente. Resta

poi il problema, solo tecnico, di come si deducono i dati (5.20) a partire dai dati iniziali

osservabili sperimentalmente, che sono i campi elettrico e magnetico all’istante iniziale.

Difatti, noti ~E(0, ~x) e ~B(0, ~x) e imposti i gauge–fixing (5.18) e (5.19), la determinazione

dei dati iniziali (5.20) e un semplice esercizio, lasciato al lettore.

I due gradi di liberta del campo elettromagnetico. Dai dati indipendenti (5.20) vedia-

mo infine che il campo elettromagnetico corrisponde a due gradi di liberta, come anticipato

nel paragrafo 2.2.3, e non a quattro. Dalla nostra trattazione si desume in particolare

che il meccanismo che elimina da Aµ due gradi di liberta e essenzialmente il seguente: un

grado di liberta viene assorbito dall’invarianza di gauge e l’altro dall’invarianza di gauge

residua, in concomitanza con il fatto che una delle quattro equazioni di Maxwell in realta

e un vincolo. Aggiungiamo, tuttavia, che 1) quali siano le componenti di Aµ che appaiono

come fisiche, dipende dalla scelta del gauge–fixing, e che 2) sotto una trasformazione di

Lorentz queste componenti non restano invariate. Infatti, mentre la gauge di Lorentz

(5.9) e invariante sotto trasformazioni di Lorentz, le condizioni (5.12) non lo sono. E im-

portante notare che questa circostanza non viola affatto l’invarianza relativistica, perche,

come abbiamo visto, in qualsiasi sistema di riferimento le condizioni (5.12) possono essere

ripristinate eseguendo un’opportuna trasformazione di gauge.

Il fatto che i gradi di liberta fisici del campo elettromagnetico sono due ha varie con-

seguenze importanti: a livello classico esso implica, come vedremo tra poco, che le onde

elettromagnetiche sono caratterizzate da due vettori di polarizzazione indipendenti, men-

tre a livello quantistico esso comporta che i fotoni esistono in due stati di polarizzazione

indipendenti, contrassegnati da “elicita” opposte.

123

5.2 L’equazione delle onde

Consideriamo un campo scalare reale con lagrangiana,

L =1

2∂µϕ∂µϕ. (5.21)

L’equazione di Eulero–Lagrange associata a questa lagrangiana viene chiamata equazione

delle onde, o anche equazione di d’Alembert,

∂µ∂L

∂(∂µϕ)− ∂L

∂ϕ= ∂µ∂

µϕ = 2ϕ = 0. (5.22)

Essa riveste un ruolo importante in Fisica e in particolar modo in Elettrodinamica, motivo

per cui ora analizzeremo in dettaglio la sua soluzione generale. In particolare vedremo che

la ricerca delle soluzioni dell’equazione di Maxwell nel vuoto sara molto facilitata dalla

conoscenza della soluzione generale della (5.22). In analogia con le condizioni asintotiche

(5.4) considereremo solo soluzioni che soddisfano,

lim|~x|→∞

ϕ(t, ~x) = 0. (5.23)

Se assumiamo che eventuali singolarita di ϕ(x) siano di tipo distribuzionali, vale a dire

se assumiamo che ϕ sia un elemento di S ′(R4), un metodo potente per risolvere l’equazione

delle onde e fornito dalla trasformata di Fourier, che costituisce appunto una biiezione di

S ′ in se stesso. Ricordiamo che in notazione simbolica questa trasformata e definita da,

ϕ(k) =1

(2π)2

∫d4x e−ik·xϕ(x), ϕ(x) =

1

(2π)2

∫d4k eik·xϕ(k), (5.24)

dove abbiamo introdotto la variabile duale k ≡ kµ e definito k · x = kµxµηµν . Tra le

proprieta della trasformata di Fourier ci serviranno le seguenti, vedi paragrafo 2.3.2.

1) Se il campo ϕ e reale, come da noi sottinteso, allora la trasformata soddisfa,

ϕ ∗(k) = ϕ(−k). (5.25)

Per vederlo e sufficiente prendere il complesso coniugato della prima relazione in (5.24),

e sfruttare il fatto che ϕ∗(x) = ϕ(x).

2) Se ϕ(x) e un campo scalare sotto trasformazioni di Lorentz, e se assegniamo a kµ

carattere vettoriale,

k′µ = Λµνk

ν ,

124

allora anche la trasformata ϕ(k) e un campo scalare,

ϕ′(k′) = ϕ(k).

Per la dimostrazione e sufficiente usare le relazioni k′ · x′ = k · x, e d4x′ = d4x.

3) Per la trasformata delle derivate di ϕ abbiamo,

[P (∂µ)ϕ](k) = P (ikµ)ϕ(k),

dove P (∂µ) e un qualsiasi polinomio nelle derivate parziali ∂µ.

Usando la proprieta 3) e immediato eseguire la trasformata di Fourier dell’equazione

delle onde, e si ottiene,

k2ϕ(k) = 0, (5.26)

dove,

k2 = kµkµ = (k0)2 − |~k|2.

In seguito useremo anche,

ω ≡ |~k|,

per indicare la “frequenza”. Vediamo che la trasformata di Fourier ha mutato l’equazio-

ne differenziale (5.22) in un’equazione algebrica, facilmente risolubile nello spazio delle

distribuzioni. Dalla (5.26) si vede in particolare che ϕ(k) ha come supporto il cono luce,

k0 = ±|~k|,

ed e quindi chiaro che essa non puo essere una “funzione” ordinaria. In realta le soluzioni

di questa equazione cadono in due categorie, che ora analizzeremo separatamente.

Soluzioni di tipo I. Analizziamo innanzitutto le soluzioni in una regione del cono luce

che non contenga l’origine, cioe, per ~k 6= 0. Per ~k fissato e allora conveniente considerare

le ϕ(k) come distribuzioni nella sola variabile k0, perche in questo modo le soluzioni della

(5.26) possono essere derivate direttamente dalla soluzione del problema 2.3. E infatti

sufficiente eseguire in questo problema le sostituzioni,

x→ k0, a→ ω, x2 − a2 → (k0)2 − ω2 = k2, f(x)→ f(k),

125

con f(k) generica funzione complessa di kµ, per ottenere le soluzioni della (5.26),

ϕI(k) = δ(k2)f(k). (5.27)

Ricordando che ϕ(x) e reale la (5.25) impone poi,

f ∗(k) = f(−k). (5.28)

Inoltre, dato che δ(k2) e Lorentz–invariante e ϕ(k) e campo scalare, anche la funzione

f(k) e dunque uno scalare per trasformazioni di Lorentz. Usando le proprieta della δ di

Dirac possiamo allora esplicitare le soluzioni (5.27) come segue,

ϕI(k) =1

2ω

(δ(k0 − ω) + δ(k0 + ω)

)f(k0, ~k)

=1

2ω

(δ(k0 − ω)f(ω,~k) + δ(k0 + ω)f(−ω,~k)

)

=1

2ω

(δ(k0 − ω) ε(~k) + δ(k0 + ω) ε∗(−~k)

), (5.29)

dove nell’ultimo passaggio abbiamo definito la funzione complessa di tre variabili,

ε(~k) ≡ f(ω,~k),

e sfruttato la (5.28).

Soluzioni di tipo II. Il problema 2.3 e ben posto solo se a 6= 0, ovvero ω 6= 0, che

esclude dal cono luce l’origine quadridimensionale kµ = 0. Potrebbero dunque esistere

ulteriori soluzioni della (5.26), supportate nel punto kµ = 0. Per il teorema sulle distribu-

zioni supportate in un punto, vedi paragrafo 2.3.2, sappiamo allora che queste soluzioni

sarebbero necessariamente combinazioni lineari finite della δ4(k) e delle sue derivate,

ϕII(k) =N∑

n=1

Cµ1···µn ∂µ1 · · · ∂µnδ4(k), (5.30)

dove i Cµ1···µn sono arbitrari tensori costanti completamente simmetrici. Antitrasformando

questa espressione nello spazio delle configurazioni e tenendo conto che la trasformata della

δ4 vale 1/(2π)4 si ottiene,

ϕII(x) =1

(2π)4

N∑n=1

(−i)n Cµ1···µnxµ1 · · · xµn . (5.31)

126

Inserendo questa espressione nella (5.22) e facile vedere che l’equazione di d’Alembert e

soddisfatta, se e solo se i tensori simmetrici C sono anche a traccia nulla,

Cννµ3···µn = 0. (5.32)

Ed e altrettanto immediato vedere che queste condizioni ammettono infinite soluzioni. Per

esempio, nel caso n = 2, che corrisponde a un polinomio del secondo ordine, la soluzione

generale della (5.32) e data da,

Cµν = Hµν − 1

4ηµνHρ

ρ,

dove Hµν e un’arbitraria matrice simmetrica costante. Concludiamo quindi che esiste una

seconda classe di soluzioni, rappresentate dalla (5.31), che sono polinomi in xµ. Tuttavia,

come tali non svaniscono all’infinito spaziale, e quindi non le ammettiamo come soluzioni

fisiche.

Ritorniamo allora alle soluzioni di tipo I (5.29), antitrasformandole nello spazio delle

coordinate secondo la (5.24). Integrando la δ di Dirac in k0 e eseguendo nell’integrale

che coinvolge ε∗(−~k) il cambiamento di variabili ~k → −~k, si ottiene la soluzione generale

dell’equazione delle onde,

ϕ(x) =1

(2π)2

∫d3k

2ω

∫dk0 ei(k0x0−~k·~x)

(δ(k0 − ω) ε(~k) + δ(k0 + ω) ε∗(−~k)

),

=1

(2π)2

∫d3k

2ω

(eik·x ε(~k) + c.c.

). (5.33)

Sottolineiamo il fatto che nell’espressione finale (5.33) la componente k0 nell’esponenziale

e definita da k0 = +ω, e che k2 = 0. Vediamo quindi che la soluzione generale e identificata

da due funzioni reali di tre variabili,

ε(~k) = ε1(~k) + i ε2(~k),

in accordo con il fatto che un campo scalare che soddisfa l’equazione delle onde corrisponde

a un grado di liberta. Difatti non e difficile determinare ε1(~k) e ε2(~k) in termini dei dati

iniziali ϕ(~x, 0) e ∂0ϕ(~x, 0), e viceversa, vedi il prossimo paragrafo.

Onde elementari. Vediamo che la soluzione generale (5.33) dell’equazione delle onde

puo essere riguardata come una sovrapposizione di infinite “onde elementari” di vettore

127

d’onda ~k fissato,

ϕel(x) = ε(~k) eik·x + c.c., k0 = ω. (5.34)

Esaminiamo ora le principali proprieta di queste onde.

a) Le ϕel sono onde piane, i cui piani delle fasi sono ortogonali a ~k. Per t fissato su un

piano delle fasi la funzione ϕel(x) assume lo stesso valore.

b) Le ϕel sono onde che si propagano con la velocita della luce nella direzione di ~k. Se

scegliamo ~x//~k abbiamo infatti: kµxµ = ω t− ~k · ~x = ω(t− |~x|).

c) Le ϕel sono onde monocromatiche di frequenza ω, periodo T = 2π/ω e lunghezza d’onda

λ = 2πc/ω, fissati.

d) Le ϕel sono onde scalari nel senso che il “tensore di polarizzazione” ε, che ne identifica

l’intensita, e uno scalare sotto trasformazioni di Lorentz.

e) Contenuto in energia. Dalla lagrangiana (5.21) e immediato ottenere il tensore energia–

impulso del campo, vedi problema 3.4,

T µν = ∂µϕ∂νϕ− 1

2ηµν∂αϕ∂αϕ. (5.35)

Per valutarlo determiniamo le derivate dell’onda elementare,

∂µϕel(x) = i kµ ε(~k) eik·x + c.c.

e introduciamo il “vettore” di tipo nullo,

nµ ≡ kµ

ω, n0 = 1, ~n =

~k

ω, n2 = nµn

µ = 0, (5.36)

dove ~n e il versore tridimensionale che indica la direzione di propagazione dell’onda. Allora

possiamo scrivere in modo compatto,

∂µϕel = nµϕel,

e ne segue che ∂αϕel∂αϕel = 0. Usando queste relazioni nella (5.35) e inserendo la (5.34)

si ottiene,

T µν = nµnνϕ2el = nµnνω2

(2|ε|2 − ε2e2ik·x − ε∗2e−i2k·x) . (5.37)

Mediando il tensore energia–impulso su scale temporali grandi rispetto al periodo e su

scale spaziali grandi rispetto alla lunghezza d’onda, gli esponenziali si mediano a zero e

128

si ottiene,

〈T µν〉 = 2 kµkν |ε|2.

Vediamo che la densita di energia dell’onda vale in media 〈T 00〉 = 2 ω2|ε|2, mentre il

flusso di energia vale 〈T 0i〉 = 2 ω2|ε|2ni ed e diretto lungo la direzione di propagazione

dell’onda. Considerando infine un volume V piccolo, ma grande rispetto alla lunghezza

d’onda, possiamo determinare il quadrimomento P µ ivi contenuto. Otteniamo,

P 0 = 〈T 00〉V = 2 ω2|ε|2 V, P i = 〈T 0i〉V = 2 ω2|ε|2 V ni.

La massa della “particella” corrispondente a questo volume risulta allora essere uguale a

zero in quanto,

M2 = P µPµ =(2 ω2|ε|2 V

)2 (1− |~n|2) = 0.

Questo risultato e in accordo con il fatto che in teoria quantistica di campo la particella

associata a un campo scalare soddisfacente l’equazione delle onde (5.22), e in effetti una

particella (neutra e di spin zero) priva di massa.

5.2.1 Il problema alle condizioni iniziali

Affrontiamo infine il problema alle condizioni iniziali. Vogliamo, cioe, trovare la forma

esplicita della soluzione dell’equazione delle onde, fissati i dati iniziali,

ϕ(0, ~x) ≡ f(~x),

∂0ϕ(0, ~x) ≡ g(~x).

Si tratta dunque di determinare la funzione complessa ε(~k) della (5.33), in termini del-

le due funzioni reali f e g. A questo scopo e conveniente sviluppare queste ultime in

trasformata di Fourier,

f(~x) =1

(2π)3/2

∫d3k e−i~k·~x f(~k), g(~x) =

1

(2π)3/2

∫d3k e−i~k·~x g(~k), (5.38)

e valutare la (5.33) e la sua derivata temporale a t = 0,

f(~x) = ϕ(0, ~x) =1

(2π)2

∫d3k

2ω

(e−i~k·~x ε(~k) + c.c.

),

g(~x) = ∂0ϕ(0, ~x) =1

(2π)2

∫d3k

2ω

(i ω e−i~k·~x ε(~k) + c.c.

). (5.39)

129

Confrontando con le (5.38) e antitrasformando si trova,

f(~k) =1√2π

1

2ω

(ε(~k) + ε∗(−~k)

),

g(~k) =1√2π

i

2

(ε(~k)− ε∗(−~k)

),

e quindi,

ε(~k) =√

(2π)(ωf(~k)− i g(~k)

).

Sostituendo questa espressione nella (5.33) si ottiene,

ϕ(x) =1

(2π)3/2

∫d3k

2ω

[eik·x

(ωf(~k)− ig(~k)

)+ c.c.

]. (5.40)

Infine possiamo invertire le trasformate (5.38) per riesprimere f e g in termini di f e g.

Sostituendo le espressioni che ne risultano nella (5.40) si trova infine la formula cercata,

vedi problema 5.1,

ϕ(t, ~x) =

∫d3y [D(t, ~x− ~y) ∂0ϕ(0, ~y) + ∂0D(t, ~x− ~y) ϕ(0, ~y)] , (5.41)

dove il “kernel antisimmetrico” D e dato da,

D(t, ~x) =1

(2π)3

∫d3k

2 ω i

(eik·x − e−ik·x) =

1

(2π)3

∫d3k

sen(ωt)

ωei~k·~x. (5.42)

La trasformata di Fourier tridimensionale che compare in questa espressione e da inten-

dersi nel senso delle distribuzioni. Eseguendola esplicitamente si trova, vedi problema

5.1,

D(t, ~x) =1

4πr(δ(t− r)− δ(t + r)) =

1

2πε(t) δ(x2), (5.43)

dove ε(·) indica la funzione “segno” e r = |~x|. Dalle espressioni scritte sopra si deduce

facilmente che questo kernel gode delle seguenti proprieta,

2D = 0, (5.44)

D(0, ~x) = 0, (5.45)

∂0D(0, ~x) = δ3(~x). (5.46)

Usando queste proprieta e poi immediato verificare esplicitamente che la (5.41) soddisfa

l’equazione delle onde (5.22), con le corrette condizioni iniziali. Per quanto riguarda

130

ϕ(0, ~x) questo discende direttamente dalle (5.45), (5.46), mentre per quanto riguarda

∂0ϕ(0, ~x), derivando la (5.41) rispetto al tempo e ponendo t = 0 si ottiene,

∂0ϕ(0, ~x) =

∫d3y

[∂0D(0, ~x− ~y) ∂0ϕ(0, ~y) + ∂2

0D(0, ~x− ~y) ϕ(0, ~y)].

Il primo integrale si riduce a ∂0ϕ(0, ~x) grazie alla (5.46), mentre il secondo si annulla

perche la (5.44) valutata in t = 0 da,

∂20D(0, ~x) = ∇2D(0, ~x) = 0,

grazie alla (5.45). Torneremo sul significato fisico del kernel D, e le conseguenti proprieta

della soluzione (5.41), nella prossima sezione.

5.3 Soluzioni dell’equazione di Maxwell nel vuoto

In questa sezione determineremo la soluzione generale dell’equazione di Maxwell in assenza

di sorgenti,

∂µFµν = 0, F µν ≡ ∂µAν − ∂νAµ, Aµ ≈ Aµ + ∂µΛ. (5.47)

Un campo elettromagnetico che soddisfa questa equazione viene chiamato “campo libero”,

oppure “campo di radiazione”. Stiamo quindi cercando la forma di un generico campo

di radiazione. Siccome il sistema di equazioni in questione e lineare nei campi, la tecnica

di soluzione piu appropriata e ancora quella della trasformata di Fourier. Ricordiamo

infatti che, in base all’analisi svolta nella sezione 2.3, consideriamo sia F µν che Aµ come

distribuzioni temperate.

Per affrontare la soluzione del sistema (5.47) dobbiamo innanzitutto decidere il tipo di

gauge–fixing che vogliamo adottare. Come esemplificato nel paragrafo 5.1.3, ci conviene

scegliere la gauge di Lorentz,

∂µAµ = 0,

per via della sua covarianza a vista, mentre ci riserviamo di fissare la gauge residua in

un secondo momento. Secondo l’analisi svolta nel paragrafo 5.1.3, particolarizzata al caso

jµ = 0, dobbiamo allora risolvere il seguente sistema,

2Aµ = 0, (5.48)

131

∂µAµ = 0, (5.49)

Aµ ≈ Aµ + ∂µΛ, 2Λ = 0. (5.50)

La trasformata di Fourier del potenziale vettore e definita in modo standard,

Aµ(k) =1

(2π)2

∫d4x e−ik·xAµ(x),

e analogamente quella Λ(k) del campo Λ(x). L’unica differenza sostanziale tra Aµ(k) e

la trasformata di Fourier del campo scalare ϕ(k), e che sotto trasformazioni di Lorentz

Aµ(k) trasforma come un campo vettoriale, vedi problema 5.2,

A′µ(k′) = ΛµνA

ν(k).

Il sistema di equazioni differenziali (5.48)–(5.50) muta allora nuovamente in un sistema

algebrico,

k2Aµ(k) = 0, (5.51)

kµAµ(k) = 0, (5.52)

Aµ(k) ≈ Aµ(k) + i kµ Λ(k), k2 Λ(k) = 0. (5.53)

La soluzione generale della (5.51) si ottiene come nel caso delle onde scalari, vedi (5.27)

e (5.29), con l’unica differenza che la funzione “peso” ora e un quadrivettore fµ(k),

Aµ(k) = δ(k2)fµ(k) =1

2ω

(δ(k0 − ω) εµ(~k) + δ(k0 + ω) ε∗µ(−~k)

), (5.54)

dove abbiamo posto,

εµ(~k) ≡ fµ(ω,~k), ω = |~k|.

Cosı come nel caso delle onde scalari ε(~k) era un quadriscalare cosı ora εµ(~k) e un quadri-

vettore, che viene chiamato “vettore di polarizzazione”. A questo punto la (5.52) impone

su questo vettore la condizione di “trasversalita”,

kµεµ = 0, con k0 = ω. (5.55)

Analogamente, risolvendo l’equazione (5.53) per Λ si ottiene,

Λ(k) =1

2ωi

(δ(k0 − ω)λ(~k)− δ(k0 + ω)λ∗(−~k)

).

132

La (5.53) asserisce allora che i vettori di polarizzazione, oltre a essere soggetti al vincolo

(5.55), sono definiti modulo la trasformazione di gauge residua,

εµ(~k) ≈ εµ(~k) + kµλ(~k). (5.56)

Si noti che questa trasformazione preserva la gauge di Lorentz (5.55), in quanto grazie a

k2 = 0 si ha,

kµ(εµ + kµλ) = 0.

Si evince cosı che delle quattro componenti del vettore di polarizzazione solo due hanno

rilevanza fisica: una componente viene eliminata dalla condizione (5.55), e un’altra dalla

gauge residua (5.56). Scegliendo per esempio nella (5.56),

λ = −ε0

ω,

possiamo annullare ε0, e la (5.55) si riduce allora a,

~k · ~ε = 0,

che impone l’annullamento della componente di ~ε lungo la direzione di ~k. Riconfermiamo

cosı il fatto che il campo elettromagnetico propaga due gradi di liberta fisici.

Antitrasformando la (5.54) si trova infine il potenziale vettore nello spazio delle coor-

dinate,

Aµ(x) =1

(2π)2

∫d3k

2ω

(eik·xεµ(~k) + c.c.

), (5.57)

e per il campo elettromagnetico si ottiene allora,

F µν = ∂µAν − ∂νAµ =1

(2π)2

∫d3k

2ω

(i eik·x [kµεν − kνεµ] + c.c.

). (5.58)

Introducendo per la variabile di integrazione ~k coordinate polari, ~k ↔ (ω, ϕ, ϑ), d3k =

ω2 dω dΩ, si puo anche scrivere,

F µν(t, ~x) =i

2(2π)2

∫ ∞

0

dω eiωtω

∫dΩ

(e−i~k·~x [kµεν − kνεµ]

)+ c.c. (5.59)

Riconosciamo in particolare che questa espressione puo essere posta nella forma,

F µν(t, ~x) =1√2π

∫ ∞

−∞dω eiωtF µν(ω, ~x), F ∗µν(ω, ~x) = F µν(−ω, ~x). (5.60)

133

Vediamo cosı che la trasformata di Fourier di F µν nella sola variabile t, ovvero la quantita

F µν(ω, ~x), rappresenta il peso relativo con cui ogni frequenza ω compare nella sovrappo-

sizione di onde piane, di cui e composto il campo elettromagnetico nel vuoto. Questo

risultato verra utilizzato quando analizzeremo il contenuto energetico della radiazione

“frequenza per frequenza”, cioe, quando eseguiremo la sua analisi spettrale, vedi capitolo

10.

5.3.1 Proprieta delle onde elettromagnetiche elementari

Dalla soluzione generale (5.57) dell’equazione di Maxwell nel vuoto vediamo che il generico

potenziale vettore risulta sovrapposizione di onde elementari, con vettore d’onda ~k fissato,

Aµel(x) = εµ eik·x + c.c., k0 = ω, kµε

µ = 0, εµ ≈ εµ + kµλ. (5.61)

Dalla sezione 5.2 sappiamo gia che queste onde sono piane, moncocromatiche, e che viag-

giano con la velocita della luce. Ma queste onde non sono scalari, perche il tensore di

polarizzazione εµ e ora un vettore.

Le relazioni delle onde. Per derivare le caratteristiche addizionali derivanti dalla na-

turale tensoriale di queste onde, vedi le proprieta 1) – 4) elencate sotto, e conveniente

trovare un’opportuna forma per le derivate di Aµel. Per non appesantire la notazione d’ora

in poi indicheremo questo potenziale vettore semplicemente con Aµ. Derivando la (5.61)

risulta allora,

∂µAν = ikµ εν eik·x + c.c. (5.62)

Seguendo la notazione della sezione 5.2, vedi (5.36),

nµ ≡ kµ

ω, n0 = 1, ~n =

~k

ω, n2 = nµn

µ = 0,

dalle (5.61) e (5.62) seguono cosı facilmente le “relazioni delle onde”,

∂µAν = nµA

ν , nµAµ = 0, nµnµ = 0. (5.63)

Queste relazioni investono un ruolo importante perche, come vedremo piu avanti, non

valgono solo per le onde piane, ma anche per un generico campo elettromagnetico nella

cosiddetta “zona delle onde”, ovvero a grandi distanze dalle sorgenti. La dimostrazione

134

delle proprieta 1), 2) e 4) si basera infatti su queste relazioni, e non sulle formule esplicite

(5.61): queste proprieta varranno quindi anche per un generico campo nella zona delle

onde – circostanza che sfrutteremo pesantemente quando studieremo il fenomeno dell’ir-

raggiamento da parte di cariche accelerate, vedi capitolo 7.

1) Onde trasverse. Le onde elettromagnetiche sono polarizzate trasversalmente, vale a

dire,

~n · ~E = 0 = ~n · ~B. (5.64)

I campi elettrico e campo magnetico sono quindi sempre ortogonali alla direzione di pro-

pagazione. Per far vedere questo determiniamo il campo elettromagnetico usando le

(5.63),

F µν = ∂µAν − ∂νAµ = nµAν − nνAµ. (5.65)

Quindi,

Ei = F i0 = niA0 − Ai = ni(nkAk)− Ai (5.66)

Bi = −1

2εijkF jk = −εijk nj Ak, (5.67)

dove abbiamo usato che,

nµAµ = 0 ⇒ A0 = nkAk. (5.68)

Le condizioni di trasversalita (5.64) seguono allora immediatamente dalle (5.66), (5.67).

2) Relazione tra ~E e ~B. Le onde elettromagnetiche sono tali che,

| ~E| = | ~B|, ~E · ~B = 0. (5.69)

Per fare vedere questo e sufficiente ricordare la forma degli invarianti quadratici,

εαβγδFαβFγδ = −8 ~E · ~B, F αβFαβ = 2 (B2 − E2).

Inserendo la (5.65) si trova che entrambi gli invarianti sono nulli – il primo per l’antisim-

metria del tensore di Levi–Civita, e il secondo per le (5.63) – e seguono le (5.69). Possiamo

riassumere le proprieta 1) e 2) nelle formule,

~B = ~n× ~E, ~n · ~E = 0. (5.70)

135

3) Due stati di polarizzazione fisici. Per ogni ~k fissato esistono due stati di polarizzazione

fisici indipendenti. Abbiamo gia accennato a questo fatto nel paragrafo precedente, quı lo

illustriamo da un altro punto di vista. Per concretezza scegliamo come asse z la direzione

di propagazione dell’onda, sicche,

kµ = (ω, 0, 0, ω).

La condizione kµεµ = 0 pone allora εµ = (ε0, ε1, ε2, ε0). Questo vettore di polarizzazione

puo essere considerato come sovrapposizione dello stato “longitudinale” non fisico,

εµl = (ε0, 0, 0, ε0),

e dei due stati di polarizzazione “trasversi” fisici,

εµt = (0, ε1, ε2, 0).

Questa terminologia e giustificata dal fatto che lo stato longitudinale puo essere eliminato

con una trasformazione di gauge residua,

εµ → ε′µ = εµ + λ kµ = (ε0 + λω, ε1, ε2, ε0 + λω),

scegliendo λ = −ε0/ω, mentre gli stati trasversi sono gauge invarianti e quindi osservabili.

Vedremo che in pratica non sara quasi mai necessario usare l’invarianza di gauge residua

per eliminare lo stato longitudinale dal potenziale vettore – operazione che violerebbe

l’invarianza di Lorentz manifesta. Al contrario, la presenza formale dello stato longitudi-

nale puo essere usata in molti casi per controllare la correttezza dei calcoli che si stanno

svolgendo: infatti, tutti le quantita osservabili non devono risentire della presenza dello

stato longitudinale. Dal punto di vista matematico questa richiesta si traduce nel fatto

che le grandezze osservabili devono essere invarianti sotto trasformazioni di gauge residue.

A titolo di esempio consideriamo i campi elettrico e magnetico dati in (5.66), (5.67),

che certamente costitituiscono delle grandezze osservabili. Dalle (5.61) vediamo che la

trasformazione di gauge residua per l’onda elementare assume la forma,

Aµ → Aµ + nµϕ, (5.71)

136

dove ϕ e un’arbitraria onda piana scalare di vettore d’onda ~k. E allora immediato verificare

che sotto queste trasformazioni le espressioni (5.66), (5.67) sono invarianti,

Ei → Ei + ni(nknkϕ)− niϕ = Ei

Bi → Bi − εijk njnkϕ = Bi.

La presenza di due soli gradi di liberta fisici nelle onde piane elettromagnetiche puo essere

desunta anche direttamente dalle relazioni (5.70): queste implicano appunto che ~B e

completamente determinato in termini di ~E, e che ~E e vincolato dall’equazione ~n · ~E = 0.

Fissato ~k le uniche osservabili fisiche indipendenti dell’onda sono quindi le due componenti

di ~E ortogonali ad ~n.

4) Contenuto in energia. Il contenuto in energia e quantita di moto di un generico campo

elettromagnetico e espresso dal tensore energia–impulso (2.69),

T µνem = F µ

αFαν +1

4ηµνFαβFαβ.

Valutiamolo per le onde elementari usando le (5.65). Sappiamo gia che l’invariante FαβFαβ

si annulla, e resta da valutare,

T µνem = (nµAα − nαAµ)(nαAν − nνAα) = −nµnν(AαAα), (5.72)

da confrontare con la (5.37). Possiamo riscrivere questa formula in vari modi. Eliminando

A0 secondo la (5.68), otteniamo un’espressione che coinvolge solo il potenziale vettore

spaziale,

T µνem = nµnν(AiAj) Λij, Λij ≡ δij − ninj. (5.73)

Da questa espressione si vede in particolare che il tensore energia–impulso – certamente

una grandezza osservabile – e invariante sotto le trasformazioni di gauge residue (5.71),

che equivalgono alla sostituzione,

Ai → Ai + niϕ. (5.74)

Per vederlo e sufficiente notare che vale identicamente,

Λijnj = 0.

137

In effetti la matrice 3 × 3 simmetrica Λij e un proiettore di rango due, che elimina da

T µνem la componente longitudinale di Ai – quella parallela a ni – la quale non puo essere

trasportatrice di quadrimomento, in quanto non fisica. Quanto detto diventa molto tra-

sparente se scegliamo come asse z la direzione di propagazione dell’onda, ni = (0, 0, 1).

In questo caso la (5.73) si riduce a,

T µνem = nµnν

(AiAi −

(niAi

)2)

= nµnν[(A1)

2 + (A2)2], (5.75)

mentre la (5.74) equivale a,

A1 → A1, A2 → A2, A3 → A3 + ϕ.

L’invarianza del tensore energia–impulso sotto trasformazioni di gauge residue si riduce

allora semplicemente al fatto che esso non dipende dalla componente longitudinale A3.

Confrontando la (5.75) con la (5.37) riscontriamo di nuovo il fatto che alle onde elettro-

magnetiche restano associati due gradi di liberta fisici – trasportatori di quadrimomento

– uno rappresentato da A1 e l’altro da A2. Secondo l’analisi svolta dopo la formula (5.37)

ci aspettiamo inoltre che a livello quantistico a ciascuno dei due stati trasversi sia asso-

ciata una particella priva di massa, ovvero un fotone “trasverso”. Nel prossimo paragrafo

vedremo che quello che distingue questi due stati trasversi tra di loro e l’elicita.

Infine, usando la (5.66) e facile vedere che possiamo riscrivere la (5.73) anche come,

T µνem = nµnν | ~E|2 =

1

2nµnν

(| ~E|2 + | ~B|2

),

espressione che e in accordo con il fatto che per le onde piane il vettore di Poynting assume

la forma, vedi (5.70),

~S = ~E × ~B = ~E × (~n× ~E) = | ~E|2 ~n. (5.76)

Ritroviamo quindi le formule generali T 00em = 1

2(E2 + B2), e T 0i

em = Si. In particolare il

flusso di energia in un’onda piana e diretto lungo la direzione di propagazione dell’onda,

come c’era da aspettarsi.

Concludiamo questo paragrafo con il caveat che le proprieta 1)–4) valgono per le onde

elettromagnetiche elementari (5.61), e non per un generico campo di radiazione (5.58),

sovrapposizione generica delle prime. Ma abbiamo anticipato che il potenziale vettore

138

lontano dalle sorgenti – nella zona (asintotica) delle onde – pur non essendo un’onda

piana elementare soddisfera ugualmente le relazioni delle onde (5.63). Come gia osservato

le proprieta 1), 2) e 4) saranno quindi valide anche per un generico campo elettromagnetico

nella zona delle onde. Ci riferiamo in particolare alle formule (5.66), (5.70) e (5.73), che

danno il campo elettrico, il campo magnetico e il tensore energia–impulso in termini del

solo potenziale vettore spaziale,

~E = − ~A + (~n · ~A )~n = ~n× (~n× ~A ), (5.77)

~B = ~n× ~E, ~n · ~E = 0, (5.78)

T µνem = nµnν(AiAj) Λij = nµnν | ~E|2, Λij ≡ δij − ninj. (5.79)

Insistiamo su questo punto perche, come vedremo, l’analisi energetica di quasi tutti i fe-

nomeni di radiazione non richiede la conoscenza del potenziale vettore esatto, ma soltanto

la conoscenza della sua forma asintotica nella zona delle onde. Per quest’ultima potremo

allora usare le formule molto semplici scritte sopra, e l’analisi energetica risultera cosı

notevolmente semplificata.

5.3.2 Onde piane ed elicita

In questo paragrafo analizzeremo una proprieta caratteristica delle onde piane, che viene

chiamata elicita. Questo concetto riveste un ruolo significativo per la sua connessione

con un’altra grandezza fisica, che gioca invece un ruolo fondamentale nella descrizione

quantistica di un’onda, ovvero lo spin 20. Piu precisamente, si puo far vedere che l’elicita

di un’onda piana corrisponde esattamente allo spin delle particelle che la rappresentano

a livello quantistico. Per chiarire meglio il significato di questo concetto metteremo a

confronto onde scalari, onde elettromagnetiche e onde gravitazionali.

Riportiamo dunque la forme delle onde piane rispettivamente nei tre casi,

ϕ(x) = ε(~k) eik·x + c.c., (5.80)

Aµ(x) = εµ(~k) eik·x + c.c., kµεµ = 0, εµ ≈ εµ + λ kµ, (5.81)

hµν(x) = εµν(~k) eik·x + c.c., kµεµν =

1

2kνεµ

µ, εµν ≈ εµν + λµkν + λνkµ. (5.82)

20Il termine “elicita” viene talvolta usato anche a livello quantistico. In quel caso si intende la proiezionedello spin di una particella priva di massa lungo la sua direzione di propagazione.

139

Onde gravitazionali. Per le onde gravitazionali abbiamo riportato le previsioni fatte

dalla Relativita Generale. In uno spazio–tempo curvo la forma dell’intervallo si generalizza

a,

ds2 = dxµdxνηµν → ds2 = dxµdxνgµν(x),

dove il tensore simmetrico gµν(x) rappresenta la “metrica” del continuo spazio–temporale.

Se la si scrive come,

gµν(x) = ηµν + hµν(x),

allora il campo gravitazionale e rappresentato dal tensore doppio simmetrico hµν . Questo

campo descrive dunque lo scostamento della metrica di uno spazio–tempo curvo dalla

metrica “piatta” ηµν . Si puo poi vedere che nell’approssimazione di campi gravitazionali

deboli, ovvero per,

|hµν | ¿ 1,

le equazioni di Einstein ammettono come soluzioni le onde piane date nella (5.82). In

questo caso il tensore di polarizzazione εµν e simmetrico, ed e soggetto alle condizioni di

gauge–fixing e di invarianza di gauge residua, riportate in formula. In questo caso si hanno

quattro parametri di gauge, λµ, ed e immediatamente verificare che le trasformazioni di

gauge residua preservano la condizione di gauge–fixing. Grazie a k2 = 0, vale infatti,

kµ(εµν + λµkν + λνkµ) =1

2kν(εµ

µ + λµkµ + λµkµ), ∀λµ.

Anche le onde gravitazionali viaggiano con la velocita della luce. Per determinare il

numero di gradi di liberta associati a queste onde osserviamo innanzitutto che il tensore

εµν , essendo simmetrico, ha dieci componenti indipendenti. Abbiamo quattro condizioni

di gauge–fixing, e quattro trasformazioni di gauge residua, rappresentate dal vettore λµ.

Le onde gravitazionali sono quindi caratterizzate da 10 − 4 − 4 = 2 gradi di liberta –

esattamente come le onde elettromagnetiche. Dal punto di vista cinematico l’unica cosa

che le distingue dalle onde elettromagnetiche – in ultima analisi – e l’elicita.

Elicita. Il concetto di elicita e legato alle proprieta di trasformazione dei tensori di

polarizzazione ε(~k), εµ(~k), εµν(~k), sotto una certa classe di rotazioni tridimensionali. Ri-

cordiamo che sotto una generica trasformazione di Lorentz Λµν questi tensori sono soggetti

140

a leggi di trasformazione ben definite,

ε′(~k′) = ε(~k), ε′µ(~k′) = Λµν εν(~k), ε′µν(~k′) = Λµ

αΛνβ εαβ(~k), (5.83)

dove,

k′µ = Λµνk

ν .

Ricordiamo che k0 = ω = |~k|, in quanto k2 = 0. Consideriamo ora un generico vettore

d’onda ~k, che teniamo fisso in tutta l’analisi che segue. Una generica onda piana e allora

completamente caratterizzata dal suo tensore di polarizzazione, soggetto alla rispettiva

condizione di gauge–fixing. Chiamiamo Vi (i = 1, 2, 3) lo spazio vettoriale lineare comples-

so dei tensori di polarizzazione in ciascuno dei tre casi, vincolati dalle rispettive condizioni

di gauge–fixing. Le dimensioni di di questi spazi sono allora,

d1 = 1, d2 = 4− 1 = 3, d3 = 10− 4 = 6.

Definiamo ora il sottogruppo G del gruppo di Lorentz, costituito dalle rotazioni spaziali

di un generico angolo ϑ attorno alla direzione di ~k. G costituisce un sottogruppo di Lie

abeliano ad un solo parametro in quanto, se indichiamo il suo generico elemento con

Λµν(ϑ), abbiamo,

Λµν(ϑ1)Λ

νρ(ϑ2) = Λµ

ρ(ϑ1 + ϑ2).

Per trasformazioni di questo tipo ~k resta ovviamente invariante,

k′µ = Λµν(ϑ) kν = kµ.

Nelle (5.83) trasformano allora solo i tensori di polarizzazione, ma non i loro argomenti. Di

conseguenza le polarizzazioni trasformate continuano a soddisfare le condizioni di gauge–

fixing indicate in (5.80)–(5.82), con lo stesso kµ. Concludiamo quindi che ciascuno spazio

vettoriale Vi e sede di una rappresentazione di G – in generale riducibile. Ma secondo

un noto teorema della teoria dei gruppi, le rappresentazioni complesse irriducibili del

gruppo G sono tutte unidimensionali, con sede i numeri complessi E ∈ C, e in ogni

rappresentazione irriducibile il gruppo agisce secondo,

E → E ′ = ei hϑ E , (5.84)

141

per un qualche numero reale h.

Deve allora essere possibile decomporre lo spazio vettoriale Vi delle polarizzazioni in di

sottospazi unidimensionali, sedi di rappresentazioni irriducibili di G del tipo (5.84). Ogni

sottospazio rappresenta cosı un grado di liberta – fisico o non fisico – e la polarizzazione

E associata trasforma per una rotazione attorno a ~k secondo la (5.84). A ciascuno dei

gradi di liberta dell’onda piana, classificati in questo modo, resta quindi associato in modo

univoco un numero reale h – che viene chiamato elicita.

Il fatto importante e che si puo dimostrare che a un grado di liberta con elicita h, a

livello quantistico corrisponde una particella di spin h.

Per eseguire esplicitamente la decomposizione in rappresentazioni irriducibili in ciascu-

no dei tre casi, e conveniente scegliere come asse z la direzione di ~k, sicche kµ = (ω, 0, 0, ω).

La matrice Λµν(ϑ) e allora la matrice di rotazione di un angolo ϑ attorno all’asse z,

Λµν(ϑ) =

1000

0cos ϑ−sen ϑ

0

0sen ϑcos ϑ

0

0001

. (5.85)

Per ridurre le rappresentazioni di G date in (5.83) in rappresentazioni unidimensionali,

occorre trovare opportune combinazioni lineari E delle componenti dei tensori di pola-

rizzazione, tali che per esse le trasformazioni (5.83) assumano la forma diagonale (5.84).

Eseguiamo ora questa riduzione in ciascuno dei tre casi.

Onde scalari. Per le onde scalari abbiamo d1 = 1. Per qualsiasi trasformazione di Lo-

rentz, e quindi anche per la trasformazione Λµν(ϑ), abbiamo ε′ = ε. La rappresentazione

e gia unidimensionale e vale la (5.84) con E = ε, e h = 0. Le onde scalari corrispondono

quindi a un solo grado di liberta fisico, di elicita zero.

Onde elettromagnetiche. Per queste onde abbiamo d2 = 3. Per via del gauge–fixing

kµεµ = 0 il vettore εµ ha infatti tre componenti indipendenti: le due polarizzazioni fisiche

trasverse ε1 e ε2, e la componente non fisica longitudinale ε3 = ε0. Esplicitando la

trasformazione ε′µ = Λµν(ϑ) εν , si ottiene,

ε′0 = ε0,

ε′1 = cos ϑ ε1 + sen ϑ ε2,

ε′2 = −sen ϑ ε1 + cos ϑ ε2,

142

ε′3 = ε3.

Riconosciamo quindi che la componente longitudinale porta elicita zero. Le combinazioni

lineari delle componenti trasverse che diagonalizzano la trasformazione, sono invece date

da,

E± = ε1∓ iε2.

Infatti,

E ′− = ε′1 + iε′2 = cos ϑ ε1 + sen ϑ ε2 + i (−sen ϑ ε1 + cos ϑ ε2) = e−iϑE−,

e analogamente per E+. Risulta quindi,

E ′± = e±i ϑE±.

Concludiamo che un’onda elettromagnetica contiene uno stato di polarizzazione non fisico,

di elicita zero, e due stati di polarizzazione fisici, di elicita h = ±1. Si puo poi vedere,

vedi problema 5.5, che questi due stati corrispondono a onde elettromagnetiche polarizzate

circolarmente – rispettivamente in senso orario e antiorario.

Onde gravitazionali. Nel caso dell’onda gravitazionale il tensore di polarizzazione εµν ,

per via del gauge–fixing,

kµεµν =

1

2kνεµ

µ, (5.86)

ha d3 = 6 componenti indipendenti, di cui due fisici e quattro non fisici. Per brevita in

questo caso ci occupiamo solo delle due componenti fisiche. Per individuarle facciamo

notare che le componenti 0µ di εµν possono essere eliminate con una trasformazione di

gauge residua,

ε′0µ = ε0µ + λ0kµ + λµω = 0.

E sufficiente scegliere,

λ0 = − 1

2ωε00, λi =

1

ω

(1

2niε00 − ε0i

).

Una volta posto ε0µ = 0, le condizioni (5.86) per ν = 0 implicano,

εµµ = −εii = 0, (5.87)

143

e per ν = i esse si riducono allora a,

kµεµi = −kjεji = 0.

Dato che abbiamo scelto ~k = (0, 0, ω), si ottiene quindi che anche ε3µ = 0. La (5.87) da

allora,

ε11 + ε22 = 0.

Concludiamo cosı che possiamo annullare tutte le componenti di εµν , tranne,

ε12 = ε21, e ε11 = −ε22.

ε12 e ε11 rappresentano allora le due polarizzazioni fisiche indipendenti. Si noti in par-

ticolare che esse sono invarianti sotto le trasformazioni residue di (5.82), perche kµ non

ha componenti lungo le direzioni x e y. Per una rotazione attorno all’asse z queste

componenti si trasformano secondo,

ε′µν = Λµα(ϑ)Λν

β(ϑ) εαβ,

ed esplicitando si trova,

ε′11 = Λ11(ϑ)Λ1

1(ϑ)ε11 + 2Λ12(ϑ)Λ1

1(ϑ)ε12 + Λ12(ϑ)Λ1

2(ϑ)ε22

= cos2ϑ ε11 + 2 sen ϑ cos ϑ ε12 − sen2ϑ ε11

= cos 2ϑ ε11 + sen 2ϑ ε12.

E analogamente,

ε′12 = −sen 2ϑ ε11 + cos 2ϑ ε12.

Come per le onde elettromagnetiche queste trasformazioni si diagonalizzano ponendo,

E± = ε11 ∓ iε12.

Ma ora risulta,

E ′± = e±2i ϑE±.

Le due polarizzazioni fisiche contenute in un’onda gravitazionale hanno quindi elicita

h = ±2. A livello classico le onde elettromagnetiche e le onde gravitazionali hanno dunque

144

in comune la velocita di propagazione e il numero di gradi di liberta, ma si distinguono

per l’elicita.

Possiamo quindi concludere che a livello quantistico un campo scalare, la cui dinamica

discenda dalla lagrangiana (5.21), corrispondera a una particella priva di massa e di

spin, che il campo elettromagnetico sara composto da particelle prive di massa di spin

±1, i fotoni, mentre il campo gravitazionale, supposto che esista una teoria quantistica

consistente dell’interazione gravitazionale, sara composto da particelle prive di massa di

spin ±2, i gravitoni.

Basi diverse di soluzioni. In questa sezione abbiamo studiato una particolare base

completa di soluzioni dell’equazione di Maxwell nel vuoto, le onde piane, e ne abbiamo

analizzato le proprieta piu salienti. Ne menzioniamo ora un’altra, non meno significativa

e forse la piu caratteristica: per trasformazioni di Lorentz ogni suo elemento va in un altro

elemento della stessa base. Detto in altre parole, sotto trasformazioni di Lorentz l’onda

piana (5.61) resta un’onda piana.

Tuttavia e chiaro che la base delle onde piane, pur essendo di particolare rilevanza,

non e l’unica base di interesse fisico. Un altro importante sistema completo di soluzioni

e costituito dalle cosiddette onde sferiche, sistema che risulta molto utile nello sviluppo

sistematico della radiazione in multipoli. Non ci occuperemo in dettaglio di questo si-

stema di soluzioni, perche avremo bisogno dello sviluppo in multipoli solo nel limite non

relativistico, dove sara sufficiente tenere conto dei termini di dipolo e di quadrupolo. Si

vedano tuttavia i paragrafi 9.6 e 9.7 del testo di J.D. Jackson 21.

5.3.3 Onde elettromagnetiche e invarianza di gauge manifesta

Abbiamo visto che l’introduzione del potenziale vettore risulta inevitabile se si vuole

basare l’Elettrodinamica su un principio variazionale, il quale costituisce a sua volta il

punto di partenza indispensabile per la quantizzazione della teoria. D’altra parte il difetto

principale delle procedure che coinvolgono il campo di gauge – e non direttamente il campo

elettromagnetico – e la mancanza dell’invarianza di gauge manifesta, sicche l’assenza di

gradi di liberta non fisici in linea di principio deve essere controllata di volta in volta.

21J.D. Jackson, Classical Electrodynamics, 3a edizione, Wiley & Sons, New York, 1998.

145

In realta nell’ambito dell’Elettrodinamica classica l’introduzione del potenziale vettore

costituisce solo un fatto di convenienza, in quanto puo rendere piu agevole lo studio di certi

fenomeni. Abbbiamo visto, per esempio, che l’introduzione del potenziale vettore, insieme

all’uso della trasformata di Fourier, ci ha permesso di risolvere agevolmente l’equazione di

Maxwell nel vuoto – salvo di controllare poi alla fine l’invarianza di gauge della procedura.

Rimarchiamo, tuttavia, che l’intera Elettrodinamica classica puo essere analizzata an-

che senza mai nominare il potenziale vettore Aµ, ma usando solo il campo elettromagnetico

F µν , con i pregi evidenti che in questo modo non si introducono mai elementi non–fisici e

che l’invarianza di gauge e manifesta. Per illustrare le tecniche che si usano e le difficolta

che si incontrano in questo framework alternativo, in questo paragrafo risolviamo di nuovo

le equazioni di Maxwell nel vuoto – utilizzando solo il campo elettromagnetico.

In questa ottica alternativa dobbiamo riconsiderare oltre all’equazione di Maxwell

anche l’identita di Bianchi, e il sistema da risolvere e allora,

∂µFµν = 0, (5.88)

∂[µFνρ] =1

3(∂µFνρ + ∂νFρµ + ∂ρFµν) = 0. (5.89)

Come primo passo della soluzione dimostriamo che tutte le componenti del campo elettro-

magnetico devono soddisfare l’equazione delle onde. Per fare vedere questo e sufficiente

applicare all’identita di Bianchi l’operatore ∂µ. Risulta,

2Fνρ + ∂ν∂µFρµ + ∂ρ∂

µFµν = 0.

Grazie alla (5.88) il secondo e il terzo termine di questa equazione sono nulli, e si ottiene

effettivamente,

2F µν = 0. (5.90)

Facciamo pero notare che questa equazione segue dalle (5.88), (5.89), ma non le implica.

Con l’esperienza accumulata finora e comunque immediato scrivere la soluzione generale

della (5.90),

F µν =1

(2π)2

∫d3k

2ω

(eik·x fµν(~k) + c.c.

), (5.91)

dove fµν(~k) per il momento e un arbitrario tensore complesso antisimmetrico, e ricordiamo

che k2 = 0. A questo punto cerchiamo di capire per quali fµν l’espressione appena scritta

146

soddisfa anche le (5.88), (5.89). Calcoliamo allora,

∂ρFµν =

i

(2π)2

∫d3k

2ω

(eik·x kρ fµν(~k) + c.c.

),

dove abbiamo portato la derivata sotto il segno di integrale e derivato l’esponenziale.

L’equazione di Maxwell e l’identitia di Bianchi equivalgono quindi rispettivamente alle

equazioni algebriche,

kµfµν = 0, (5.92)

k[µfνρ] = 0. (5.93)

Non e difficile convincersi che la soluzione generale della seconda e,

fµν = kµβν − kνβµ, (5.94)

per qualche vettore complesso βµ, e che la prima allora implica che,

kµβµ = 0. (5.95)

D’altra parte si vede anche subito che non tutti i vettori βµ danno luogo a soluzioni

diverse. Infatti, i vettori βµ e βµ + λ kµ soddisfano entrambi la (5.95), ma danno luogo

allo stesso fµν .

E allora immediato vedere che le soluzioni (5.91), con fµν dato dalle (5.94) e (5.95),

combaciano perfettamente con le soluzioni (5.58) trovate usando il potenziale vettore –

previa l’identificazione,

βµ = i εµ.

Problema di Cauchy. Analizziamo ora brevemente il problema alle condizioni iniziali

per il campo elettromagnetico. In realta, data la (5.90) e visti gli sviluppi del paragrafo

5.2.1, sappiamo gia come si scrive F µν in funzione dei valori del campo all’istante inziale,

vedi (5.41),

F µν(x) =

∫d3y [D(t, ~x− ~y) ∂0F

µν(0, ~y) + ∂0D(t, ~x− ~y) F µν(0, ~y)] . (5.96)

D’altra parte, le derivate temporali ∂0Fµν(0, ~y) all’istante iniziale sono determinati dai

valori iniziali degli stessi campi F µν(0, ~y), attraverso le (5.88) e (5.89). Risultano infatti

le solite relazioni,

∂0~E = ~∇× ~B, ∂0

~B = −~∇× ~E.

147

Valutandole a t = 0 e inserendole nella (5.96) si ottiene allora,

~E(x) =

∫d3y

[D(t, ~x− ~y) ~∇× ~B(0, ~y) + ∂0D(t, ~x− ~y) ~E(0, ~y)

], (5.97)

~B(x) =

∫d3y

[−D(t, ~x− ~y) ~∇× ~E(0, ~y) + ∂0D(t, ~x− ~y) ~B(0, ~y)

]. (5.98)

A questo punto e un semplice esercizio verificare che queste espressioni soddisfano in effetti

le (5.88) e (5.89) per ogni t, purche i dati iniziali soddisfino i vincoli di fisicita,

~∇ · ~E(0, ~x) = 0 = ~∇ · ~B(0, ~x).

Vediamo di nuovo che solo quattro campi iniziali possono essere scelti in modo arbitrario,

per esempio,

E1(0, ~x), E2(0, ~x), B1(0, ~x), B2(0, ~x), (5.99)

a conferma del fatto che il campo elettromagnetico corrisponde a due gradi di liberta del

secondo ordine.

Covarianza. Concludiamo questo paragrafo con una breve analisi delle proprieta strut-

turali delle formule risolutive (5.96)–(5.98); in particolare vogliamo fare vedere come si

puo rendere la (5.96) manifestamente Lorentz–covariante. Riprendiamo la forma esplicita

del kernel antisimmetrico (5.43),

D(x) =1

4π|~x| [δ(t− |~x|)− δ(t + |~x|)] =1

2πε(t) δ(x2), (5.100)

e facciamo vedere che esso e invariante sotto trasformazioni di Lorentz proprie xµ →Λµ

νxν ,

D(Λx) = D(x), Λ ∈ SO(1, 3)c. (5.101)

Dato che il fattore δ(x2) e manifestamente invariante, per dimostrare la (5.101) e sufficiente

fare vedere che ε(t) – il segno di t – e invariante sotto trasformazioni di Lorentz proprie,

se xµ e di tipo tempo o nullo,

x2 = t2 − |~x|2 ≥ 0, ovvero |t| > |~x|. (5.102)

Per fare vedere questo notiamo che per Λ ∈ SO(1, 3)c abbiamo Λ00 ≥ 1, e che la condizione

ΛµαΛν

βηαβ = ηµν , per µ = ν = 0, implica,

(Λ00)

2 = 1 + |~L|2, Li ≡ Λ0i. (5.103)

148

Per il tempo trasformato abbiamo allora,

t′ = Λ00t + Λ0

i xi = Λ0

0t + ~L · ~x = Λ00

(t +

~L · ~xΛ0

0

).

Siccome le (5.102), (5.103) implicano,∣∣∣∣∣~L · ~xΛ0

0

∣∣∣∣∣ ≤|~L| · |~x|√1 + |~L|2

≤ |t|,

abbiamo dunque che il segno di t′ uguaglia quello di t.

Invarianza relativistica dei coni luce. Con l’analisi appena svolta abbiamo in partico-

lare dimostrato che il “cono luce futuro” e il “cono luce passato”, ovvero, gli insiemi di

quadrivettori,

L+ = V µ ∈ R4/V 2 ≥ 0, V 0 > 0, L− = V µ ∈ R4/V 2 ≥ 0, V 0 < 0,

sono invarianti sotto trasformazioni di Lorentz proprie. Useremo queste proprieta nel

prossimo capitolo.

Data la (5.101) siamo ora in grado covariantizzare la (5.96), generalizzandola al caso

in cui i valori “iniziali” dei campi sono dati su un’arbitrario iperpiano di tipo spazio Γ,

vedi paragrafo 3.2.1. Questi iperpiani sono caratterizzati da un vettore normale di tipo

tempo costante Nµ, che possiamo normalizzare scegliendo NµNµ = 1. Ricordiamo che

l’equazione di Γ e,

Nµ(xµ − xµ0) = 0.

Se si assegnano i valori di F µν e della sua derivata normale Nρ ∂ρF µν su Γ, allora la

versione covariante della (5.96) si scrive,

F µν(x) =

∫

Γ

dΣρ [D(x− y) ∂ρF µν(y) + ∂ρD(x− y) F µν(y)] , (5.104)

dove la misura dΣρ = Nρ d3λ e stata definita nel paragrafo 3.2.1. Per verificare che la

(5.104) soddisfa le condizioni al bordo corrette, nonche l’equazione 2F µν = 0, occorro

usare le seguenti versioni covarianti delle proprieta (5.44)–(5.46) del kernel,

2D = 0, (5.105)

D(x) = 0, per x2 < 0 (5.106)

∂µD(x)|Nνxν=0 = Nµ

∫ ∞

−∞δ4(x−Nλ) dλ. (5.107)

149

Causalita. L’altra proprieta importante del kernel consiste nel fatto che esso e suppor-

tato sul (bordo del) cono luce, vale a dire e diverso da zero solo per t = ±|~x|. Questa

circostanza assicura che un generico campo elettromagnetico – e non solo le onde piane

– si propaga con la velocita della luce. Se supponiamo, per esempio, che i campi iniziali

(5.99) siano diversi da zero solo all’interno di una sfera di raggio L, allora nelle (5.97),

(5.98) l’integrale su ~y si restringe alla regione |~y| < L. Di conseguenza, in un generico

punto ~x all’esterno della sfera, a un istante t > 0 il campo sara diverso da zero solo se per

qualche |~y| < L si ha,

|~x− ~y| = t.

In ~x il primo segnale giungera quindi all’istante t = |~x| − L, mentre in tutti gli istanti

t < |~x| − L il campo elettromagnetico in ~x sara nullo.

Essendo invariante per trasformazioni di Lorentz, il kernel e in particolare invariante

per rotazioni spaziali ~x→ R ~x, con R ∈ SO(3),

D(t,R~x) = D(t, ~x).

Da questo segue che il campo elettromagnetico si propaga localmente in modo isotropo

in tutte le direzioni, a conferma del principio di Huygens.

Inversione temporale. L’ultima caratteristica del kernel che facciamo notare e che esso

cambia di segno per inversione temporale t→ −t,

D(−t, ~x) = −D(t, ~x).

Vogliamo fare vedere che questa proprieta e intimamente legata con l’invarianza per

inversione temporale dell’equazione delle onde,

2ϕ =(∂2

0 −∇2)ϕ = 0,

la quale resta appunto invariata se si sostituisce ∂0 con −∂0. Cio comporta che se ϕ(t, ~x)

e soluzione, allora e soluzione anche la funzione,

ϕ(t, ~x) ≡ ϕ(−t, ~x).

In particolare la soluzione ϕ e univocamente determinata dalle condizioni iniziali,

ϕ(0, ~x) = ϕ(0, ~x), ∂0ϕ(0, ~x) = −∂0ϕ(0, ~x).

150

Scrivendo la (5.41) per ϕ si ottiene allora,

ϕ(x) =

∫d3y [−D(t, ~x− ~y) ∂0ϕ(0, ~y) + ∂0D(t, ~x− ~y) ϕ(0, ~y)] .

D’altra parte ϕ puo essere anche ottenuta effettuando nella (5.41) la sostituzione t→ −t,

ϕ(x) =

∫d3y [D(−t, ~x− ~y) ∂0ϕ(0, ~y)− ∂0D(−t, ~x− ~y) ϕ(0, ~y)] .

Si vede che affinche le due formule coincidano e necessario e sufficiente che D sia fun-

zione antisimmetrica di t. Vediamo quindi che l’antisimmetria del kernel (5.100) e – in

ultima analisi – una conseguenza dell’invarianza per inversione temporale delle equazio-

ni di Maxwell. Si puo vedere che la trasformazione t → −t costituisce, in realta, una

simmetria discreta esatta non solo dell’interazione elettromagnetica, ma anche di quelle

gravitazionale e forte, mentre e violata dalle interazioni deboli.

Infine facciamo notare che l’invarianza per inversione temporale e intrinseca anche alla

meccanica non relativistica, in quanto l’equazione di Newton,

md2~x

dt2= ~F = −~∇V (~x),

e invariante per t → −t, purche il potenziale non dipenda esplicitamente dal tempo. E

anche in questo caso ne consegue che se ~x(t) e soluzione, allora lo e anche ~x(−t).

5.4 Effetto Doppler relativistico

Nella sezione precedente abbiamo visto che nel passaggio da un sistema di riferimento a

un altro, un’onda piana elementare resta un’onda piana elementare, ma polarizzazione,

direzione di propagazione e frequenza cambiano. In questo paragrafo ci occuperemo in

particolare del cambiamento della frequenza. A questo scopo consideriamo una sorgente

che emette segnali luminosi monocromatici di frequenza “propria” – vale a dire quando

e a riposo – ω0 = 2πλ0

, in tutte le direzioni. Vogliamo allora determinare la frequenza del

segnale, quando la sorgente si trova in moto rettilineo uniforme con velocita ~v.

Consideriamo allora il sistema di riferimento K∗ in cui la sorgente e a riposo. In

K∗ la quadrivelocita della sorgente e il vettore d’onda quadridimensionale sono dati

rispettivamente da,

u∗µ = (1,~0), k∗µ = (ω0, ~k0).

151

Nel sistema di riferimento K del laboratorio le analoghe quantita sono date da,

uµ =

(1√

1− v2,

~v√1− v2

), kµ = (ω,~k).

Se indichiamo l’angolo tra la direzione di propagazione dell’onda e la velocita della sorgente

– entrambe misurate in K – con α, possiamo sfruttare l’invarianza di Lorentz dello scalare

u · k per ottenere,

ω0 = u∗µk∗µ = uµk

µ =1√

1− v2(ω − ω v cos α).

Per frequenza e lunghezza d’onda nel sistema del laboratorio si ottiene allora,

ω =

√1− v2

1− v cos αω0, λ =

1− v cos α√1− v2

λ0. (5.108)

Queste formule descrivono l’effetto Doppler relativistico.

Nei casi particolari in cui la sorgente che si avvicina (allontana) frontalmente abbiamo

α = 0 (α = π), e ripristinando la velocita della luce otteniamo,

λ =1∓ v/c√1− v2/c2

λ0. (5.109)

Questa formula puo essere confrontata con la formula dell’effetto Doppler non relativistico,

λn.r. = (1∓ v/vp) λ0,

dove vp rappresenta la velocita di propagazione del segnale. Si vede che se la sorgente si

muove con velocita v piccola rispetto alla velocita della luce, il risultato relativistico si

riduce formalmente a quello non relativistico, se si pone vp = c.

Redshift cosmologico. Concludiamo la sezione con un’applicazione importante dell’ef-

fetto Doppler relativistico, il cosiddetto redshift. Per sorgenti che si allontanano dall’osser-

vatore frontalmente, la (5.109) permette di ricavare la variazione relativa della lunghezza

d’onda,

z ≡ λ− λ0

λ0

=

√1 + v/c

1− v/c− 1 > 0. (5.110)

Le lunghezze d’onda aumentano dunque all’aumentare della velocita. Questo fenomeno

e noto come “redshift”, in quanto le frequenze si abbassano e le righe spettrali si sposta-

no verso il rosso, ed e di importanza fondamentale in cosmologia: attraverso un’analisi

152

sistematica del “redshift cosmologico” nella radiazione emessa dalle galassie, Hubble nel

1929 e stato in grado di scoprire l’espansione dell’universo. Le galassie osservate da lui

avevano velocita piccole rispetto alla velocita della luce, dell’ordine di v ≈ 3.000km/s,

per cui l’aumento relativo delle lunghezze d’onda era piccolo. Sviluppando la (5.110) si

ottiene infatti,

z ≈ v

c= 10−2.

Ma oggi sono note anche galassie con valori di z molto elevati. Per esempio, per la galassia

8C1435+635 nel 1994 si e misurato il redshift z = 4.25, corrispondente a una velocita di

allontanamento pari a v = 0.93 c.

Per concludere notiamo che misure molto precise del redshift cosmologico nelle su-

pernovae di tipo Ia, effettuate di recente, hanno permesso di trarre conclusioni nuove e

rivoluzionarie sullo stato del nostro universo: da queste misure sappiamo, infatti, che

l’universo non solo e in espansione, ma che sta accelerando. D’altra parte secondo la Re-

lativita Generale un universo che accelera esige necessariamente una costante cosmologica

diversa zero e positiva, circostanza che ha arricchito la cosmologia odierna di una serie di

problematiche nuove, tuttora irrisolte.

5.5 Problemi

5.1 In riferimento alla soluzione dell’equazione delle onde del paragrafo 5.2.1,

a) si dimostri che la (5.40) si puo riscrivere come in (5.41);

b) si dimostri che il kernel antisimmetrico D dato in (5.42) puo essere scritto come in

(5.43). [Sugg.: si passi dalla variabile d’integrazione ~k in coordinate polari, e si sfrutti

l’invarianza per rotazioni per porre ~x = (0, 0, |~x|). Infine si ricordi che la δ di Dirac

ammette la rappresentazione simbolica in trasformata di Fourier,

δ(x− a) =1

2π

∫eik(x−a) dk.]

5.2 Supponendo che Aµ(x) sia un campo vettoriale e che per una trasformazione di

Lorentz si abbia k′µ = Λµνk

ν , si dimostri che anche la trasformata di Fourier,

Aµ(k) =1

(2π)2

∫d4x e−ik·xAµ(x),

153

e un campo vettoriale nella variabile k.

5.3 Utilizzando il gauge–fixing,

A0 = 0,

si dimostri che l’equazione di Maxwell, ∂µFµν = jν , propaga due gradi di liberta fisici. Si

adotti la seguente strategia:

a) si impongano condizioni iniziali per A1 e A2 e le loro derivate temporali, a t = 0;

b) si determini la forma delle trasformazioni di gauge residue;

c) imponendo l’equazione G0 ≡ ∂µFµ0 − j0 = 0 a t = 0, e utilizzando le trasformazioni di

gauge residue, si fissino le condizioni iniziali per A3 e ∂0A3 a t = 0.

5.4 Partendo dalla (5.58) si deducano le espressioni generali per i campi elettrico e

magnetico nel vuoto,

~E(t, ~x) =1

2(2π)2

∫d3k

(i eik·x [(~n · ~ε)~n− ~ε] + c.c.

),

~B(t, ~x) =1

2(2π)2

∫d3k

(i eik·x [~ε× ~n] + c.c.

).

a) Si verifichi che questi campi soddisfano le equazioni di Maxwell nel vuoto (2.28)–(2.31),

nonche le equazioni delle onde,

2 ~E = 0 = 2 ~B.

b) Noti i campi iniziali ~E(0, ~x) e ~B(0, ~x), si determini il campo vettoriale tridimensionale,

~V (~k) ≡ ~ε− (~n · ~ε)~n,

e quindi ~E e ~B ad ogni t. [Sugg.: si veda il paragrafo 5.2.1.]

c) Il campo ~ε(~k) e univocamente determinato?

5.5 Si consideri un’onda piana elementare propagantesi lungo l’asse z, con vettore d’onda

kµ = (ω, 0, 0, ω), e polarizzazione εµ = (ε0, ε1, ε2, ε0) generica,

Aµ(x) = εµ eik·x + c.c.

a) Si determinino esplicitamente i campi ~E(t, ~x) e ~B(t, ~x) e si verifichi che essi sono

gauge–invarianti, ovvero indipendenti da ε0, e che soddisfano le condizioni di trasversalita

154

E3 = 0 = B3.

b) Nel piano trasverso (x, y) si definisca il campo elettrico complesso E ≡ E1 + iE2. Si

dimostri che risulta,

E = −i ω(E− eik·x − E∗+ e−ik·x) , (5.111)

dove E± sono gli “autostati” di elicita: E± = ε1 ∓ iε2.

c) Si verifichi che per E− = 0 (E+ = 0) la punta del campo elettrico descrive un’elica

percorsa in senso orario, di “elicita” positiva, (antiorario, di “elicita” negativa), corri-

spondente a polarizzazione circolare lungo la direzione del moto (in direzione opposta al

moto). La soluzione generale (5.111) corrisponde quindi a una generica sovrapposizione

dei due stati di polarizzazione circolare.

d) Se εµ e reale si ha E∗− = E+. Si verifichi che in questo caso l’onda risulta polarizzata

linearmente, ovvero, che ~E ha direzione costante.

5.6 Si dimostri che il tensore energia impulso associato all’onda elettromagnetica ele-

mentare (5.61), mediato su scale temporali grandi rispetto al periodo e dato da,

〈T µνem〉 = −2 kµkν ε∗αεα.

Si dimostri che vale 〈T 00em〉 ≥ 0.

5.7 Si consideri l’onda scalare “sferica”,

ϕ(t, ~x) =1

rG(t− r), r ≡ |~x|,

dove G e una funzione arbitraria.

a) Si dimostri che ϕ soddisfa l’equazione delle onde 2ϕ = 0, in ogni regione spaziale che

non contiene il punto ~x = 0. [Sugg.: puo essere utile scrivere il Laplaciano in coordinate

polari,

∇2 =1

r

(∂

∂r

)2

r +1

r2L2,

dove L2 e un operatore differenziale che coinvolge solo gli angoli.]

b) Si spieghi perche ϕ non e soluzione dell’equazione delle onde in tutto lo spazio, e se ne

dia un’interpretazione fisica.

155

5.8 Si consideri l’equazione delle onde in una dimensione spaziale,

(∂2

t − ∂2x

)ϕ(x, t) = 0.

Utilizzando la tecnica della trasformata di Fourier si dimostri che la soluzione generale di

questa equazione si puo scrivere come,

ϕ(t, x) = f(x− t) + g(x + t),

con f e g funzioni arbitrarie.

156

6 Generazione di campi elettromagnetici

Nel capitolo precedente abbiamo determinato la forma di un generico campo di radiazione,

ovverosia di un campo elettromagnetico che soddisfa l’equazione di Maxwell in assenza

di sorgenti. Abbiamo trovato che questo campo consiste di una sovrapposizione lineare

di onde piane, monocromatiche e trasverse, che si propagano con la velocita della luce,

le onde elettromagnetiche. In questo capitolo affronteremo un altro problema centrale

dell’Elettrodinamica classica: la determinazione del campo elettromagnetico generato da

un’arbitraria distribuzione di cariche in movimento. Risolveremo, infatti, l’equazione di

Maxwell in presenza di una generica quadricorrente jµ conservata. Scopo ultimo di questo

capitolo e la derivazione di formule esplicite per i campi elettrico e magnetico, creati da

una singola particella carica in moto arbitrario. Questi campi rivestono a loro volta un

ruolo cruciale in Elettrodinamica classica, e portano i nomi dei loro scopritori, Lienard

(1898), e Wiechert (1900).

In presenza di correnti il campo elettromagnetico deve soddisfare le equazioni,

∂µFµν = jν , F µν = ∂µAν − ∂νAµ,

ovverosia, in gauge di Lorentz,

2Aµ = jµ, (6.1)

∂µAµ = 0. (6.2)

Queste equazioni sono lineari in Aµ, ma non omogenee. La soluzione generale si potra

quindi scrivere come somma di una soluzione particolare Aµret, e della soluzione generale

Aµin del sistema omogeneo associato,

Aµ = Aµret + Aµ

in. (6.3)

Il potenziale Aµin e dunque la soluzione generale del sistema,

2Aµin = 0, ∂µA

µin = 0,

che corrisponde a un campo di Maxwell libero. Dal capitolo precedente sappiamo allora

che Aµin e una generica sovrapposizione di onde elettromagnetiche piane – un generico

campo di radiazione – che gioca il ruolo di un campo esterno “entrante dall’infinito”.

157

Il “potenziale ritardato” Aµret rappresenta invece il campo generato causalmente dalla

corrente jµ, secondo le equazioni (6.1) e (6.2), della cui soluzione ci occuperemo nelle

prossime sezioni. Siccome nel resto di questo capitolo ignoreremo il campo di radiazione,

indicheremo Aµret semplicemente con Aµ.

I pedici in e ret significano rispettivamente incoming e retarded. Questa nomenclatura

deriva dal fatto che convenzionalmente la radiazione Aµin, che si sovrappone al potenziale

ritardato (fisico) Aµret, viene considerata entrante dall’infinito. Per completezza menzio-

niamo che la soluzione (6.3) puo essere scritta formalmente anche in termini del cosiddetto

potenziale avanzato (non fisico) Aµadv, vedi sezione 6.2,

Aµ = Aµadv + Aµ

out.

La radiazione sovrapposta ad Aµadv viene considerata uscente verso l’infinito, outgoing, e

indicata con Aµout. I potenziali Aµ

adv e Aµout hanno una certa rilevanza nella teoria dello

scattering, ma noi non ce ne serviremo. Questa nomenclatura diventera comunque piu

trasparente, quando avremo risolto l’equazione di Maxwell.

Una tecnica efficace per risolvere equazioni differenziali alle derivate parziali del tipo

(6.1), e costituita dal cosiddetto “metodo della funzione di Green”. Prima di applicare

questo metodo alla soluzione della (6.1), nella prossima sezione lo illustriamo nel caso

di un’equazione piu semplice, ma fisicamente rilevante, ovvero, quello dell’equazione di

Poisson.

6.1 Il metodo della funzione di Green: equazione di Poisson

Consideriamo l’equazione di Poisson in tre dimensioni spaziali,

−∇2F (~x) = ϕ(~x), (6.4)

nell’incognita F . Per definitezza assumiamo che sia,

F ∈ S ′(R3), ϕ ∈ S(R3),

ma vedremo che le soluzioni che troveremo saranno valide sotto ipotesi meno restrittive.

Se interpretiamo F come il potenziale elettrico A0, e ϕ come la densita di carica j0, allora

158

la (6.4) si identifica con l’equazione fondamentale dell’Elettrostatica. Ispirati da questa

interpretazione aggiungiamo allora la richiesta ulteriore che ϕ sia a supporto compatto,

ϕ(~x) = 0, per |~x| > R.

Corrispondentemente imponiamo la condizione “fisica” che F si annulli all’infinito,

lim|~x|→∞

F (~x) = 0. (6.5)

Vedremo, infatti, che con questa condizione asintotica l’equazione di Poisson ammettera

soluzione unica. Per completezza ricordiamo che in generale non ha senso imporre una

condizione asintotica, come la (6.5), a una distribuzione. Tuttavia, vedremo che per

un’ampia classe di “funzioni” ϕ, non necessariamente appartenenti ad S, le soluzioni

della (6.4) sono rappresentate da funzioni, di classe C∞ al di fuori di un compatto di R3.

Per tali ϕ la (6.5) e quindi ben posta. Esempi ne sono le ϕ corrispondenti alla densita di

carica associata a un numero finito di cariche puntiformi statiche,

ϕ(~x) =N∑

r=1

er δ3(~x− ~yr), (6.6)

che appartengono ad S ′, ma non ad S.

Discuteremo comunque la soluzione generale dell’equazione di Poisson – indipenden-

temente dalla validita della (6.5) – alla fine di questa sezione.

6.1.1 Una soluzione particolare

Siccome l’equazione di Poisson e un’equazione lineare non omogenea, la sua soluzio-

ne generale e data da una soluzione particolare, sovrappposta alla soluzione generale

dell’equazione omogenea associata, ovvero, dell’equazione di Laplace,

∇2F = 0.

Ovviamente la soluzione particolare non e unica, ma possiamo circoscriverla attraverso

qualche richiesta aggiuntiva. Osserviamo che la (6.4) e “congiuntamente lineare” in F e

ϕ, nel senso che una soluzione particolare relativa alla densita di carica ϕ1+ϕ2, puo essere

ottenuta sommando le soluzioni individuali F1 e F2. Lasciando per il momento da parte le

159

proprieta di regolarita delle grandezze coinvolte, possiamo allora avanzare l’ipotesi che il

valore di F in ~x dipende linearmente dai valori che ϕ assume in tutti i punti dello spazio,

ovvero, che per ogni ~x fissato il numero F (~x) definisca “un funzionale lineare e continuo”

f~x, sullo spazio delle ϕ,

F (~x) = f~x (ϕ).

In notazione simbolica avremo allora,

F (~x) =

∫d3y f~x (~y) ϕ(~y) ≡

∫d3y g(~x, ~y) ϕ(~y), (6.7)

per qualche funzione incognita di due variabili g(~x, ~y). Possiamo vincolare la forma di

questa funzione se adottiamo l’interpretazione elettrostatica della (6.4), e invochiamo il

gruppo di simmetria dello spazio tridimensionale vuoto, ovvero, le rototraslazioni,

~x→ ~x ′ = R ~x + ~a, R ∈ SO(3), ~a ∈ R3.

In un altro sistema di riferimento la (6.7) diventa infatti 22,

F ′(~x ′) =

∫d3y′ g(~x ′, ~y ′) ϕ′(~y ′).

Sotto queste trasformazioni il potenziale elettrico e la densita di carica siano invarianti,

F ′(~x ′) = F (~x), ϕ′(~x ′) = ϕ(~x),

e dato che d3y′ = d3y, ne segue che deve essere,

g(~x ′, ~y ′) = g(~x, ~y),

per una qualsiasi rototraslazione. Scegliendo R = 1 e ~a = −~y si ottiene allora,

g(~x, ~y) = g(~x− ~y, 0) ≡ g(~x− ~y),

mentre l’invarianza per rotazioni impone poi che g(~x) dipenda solo da |~x|. La (6.7) si

riduce allora a,

F (~x) =

∫d3y g(~x− ~y) ϕ(~y), g(~x) = g(|~x|). (6.8)

22Si noti che la funzione g deve essere indipendente dal sistema di riferimento, perche in caso contrarioun osservatore in un altro sistema di riferimento potrebbe accorgersi di essere stato rototraslato. In altreparole, deve valere g(~x ′, ~y ′) = g(~x, ~y), e non g′(~x ′, ~y ′) = g(~x, ~y).

160

Ricordando la definizione della convoluzione, vedi paragrafo 2.3.2, si riconosce che questa

formula puo essere riscritta in modo compatto come,

F = g ∗ ϕ. (6.9)

Posta in questa forma la soluzione F apparterra effettivamente a S ′, purche anche g

appartenga a S ′. Ricordiamo, infatti, che la convoluzione tra una distribuzione e una

funzione di test definisce sempre una distribuzione.

La funzione di Green. Data la (6.8), l’equazione di Poisson si trasforma ora in un’e-

quazione per g,

−∇2F (~x) = −∫

d3y∇2g(~x− ~y) ϕ(~y) = ϕ(~x).

Per l’arbitrarieta della ϕ dovra dunque valere,

−∇2g(~x− ~y) = δ3(~x− ~y),

ovvero, piu semplicemente,

−∇2g(~x) = δ3(~x). (6.10)

Questa equazione identifica g come la funzione di Green associata all’equazione (6.4),

chiamata talvolta anche “propagatore”, o “kernel integrale” dell’equazione. Il metodo

della funzione di Green consiste nel risolvere esplicitamente l’equazione per il kernel (6.10),

e di scrivere la soluzione dell’equazione di partenza nella forma integrale (6.8). L’efficacia

del metodo risiede nel fatto che esso riconduce la soluzione della (6.4), che a priori dovrebbe

essere risolta per ogni ϕ separatamente, alla soluzione di una sola equazione: l’equazione

del kernel (6.10).

L’inverso del Laplaciano. La particolare forma della soluzione (6.9), (6.10) permette

di dare un’interpretazione alternativa a g. Infatti, come qualsiasi kernel integrale anche

g induce un operatore lineare O nello spazio delle funzioni su R3, definito da,

ϕ → O ϕ = g ∗ ϕ.

Alla luce dell’identita,

−∇2O ϕ = −∇2(g ∗ ϕ) = −(∇2g) ∗ ϕ = δ3 ∗ ϕ = ϕ,

161

l’operatore O costituisce un inverso dell’operatore −∇2. Per questo motivo si dice anche

che il kernel g “inverte il Laplaciano”, e formalmente si scrive,

1

−∇2= g.

Ci siamo dunque ricondotti alla soluzione del sistema,

−∇2g(~x) = δ3(~x), g(~x) = g(|~x|), g ∈ S ′. (6.11)

In realta conosciamo gia una soluzione di questo sistema, vedi (2.53),

g(~x) =1

4π|~x| . (6.12)

Ma essa e anche unica, modulo l’aggiunta di una costante additiva. Infatti, come faremo

vedere sotto, l’equazione omogenea associata alla (6.11),

∇2g = 0,

ammette come unica soluzione invariante per rotazioni la costante. Ma e facile vedere che

l’addizione di una costante alla (6.12), porta a una F che non svanisce all’infinito.

Sostituendo la (6.12) nella (6.8) possiamo allora affermare che una soluzione particolare

dell’equazione di Poisson e data da,

F (~x) =1

4π

∫d3y

1

|~x− ~y| ϕ(~y), (6.13)

espressione che riproduce correttamente il potenziale elettrico creato da una densita di

carica statica. Resta da verificare la validita della condizione asintotica (6.5). Per fare

questo valutiamo il limite,

lim|~x|→∞

|~x|F (~x) =1

4πlim|~x|→∞

∫d3y

|~x||~x− ~y| ϕ(~y) =

1

4π

∫d3y ϕ(~y) =

Q

4π,

dove Q e la “carica” totale, finita, perche ϕ e a supporto compatto. Asintoticamente F

va quindi a zero come,

F (~x) ∼ Q

4π|~x| . (6.14)

Infine facciamo notare che la formula risolutiva (6.13), assieme all’andamento asintoti-

co (6.14), possono restare validi anche se ϕ non appartiene ad S, ma e, per esempio, della

forma piu singolare (6.6). In questo caso la (6.13) si riduce infatti all’espressione nota,

F (~x) =∑

r

er

4π|~x− ~yr| ∼∑

r er

4π|~x| , per |~x| → ∞.

162

6.1.2 Validita della soluzione e soluzione generale

Affrontiamo ora la questione della validita della soluzione (6.13), ovvero della (6.9),

F = g ∗ ϕ, (6.15)

in generale. Ricordiamo che avevamo richiesto F ∈ S ′ e ϕ ∈ S. Come osservato sopra,

la funzione di Green (6.12) appartiene ad S ′, e di conseguenza la convoluzione in (6.15)

definisce effettivamente un elemento di S ′, se ϕ appartiene ad S. Per di piu in questo

caso la convoluzione equivale proprio all’integrale (6.13). Tuttavia, come abbiamo fatto

notare nel paragrafo precedente, in diversi casi di interesse fisico ϕ non appartiene a

S. In Elettrostatica esempi sono la (6.6), oppure certe densita di carica macroscopiche

“singolari”, come quelle corrispondenti a distribuzioni di carica superficiali, o filiformi. In

questi casi abbiamo,

ϕ ∈ S ′, ϕ /∈ S,

e la (6.15) e a priori priva di senso, perche in generale la convoluzione tra due distribuzioni

non e definita.

Una convoluzione tra due distribuzioni. Per uscire dall’empasse manteniamo per il mo-

mento ϕ ∈ S, ed eseguiamo la trasformata di Fourier della (6.15), vedi paragrafo 2.3.2,

F (~k) = (2π)3/2 g(~k) ϕ(~k). (6.16)

Sappiamo che la trasformata g sta in S ′, ma possiamo anche valutarla esplicitamente.

Per determinarla in modo spedito procediamo formalmente, cioe, scrivendo l’integrale

corrispondente – di per se divergente – e sfruttando l’invarianza per rotazioni per porre

~k = (0, 0, k), con k = |~k|. Valutiamo l’integrale passando in coordinate polari,

g(~k) =1

(2π)3/2

∫d3x e−i~k·~x 1

4π|~x| =1

(2π)3/2 4π

∫ ∞

0

r2dr

∫ 2π

0

dϕ

∫ 1

−1

d cos ϑ e−i cos ϑrk 1

r

=i

2 (2π)3/2 k

∫ ∞

0

dr(e−ikr − eikr

)=

i

2 (2π)3/2 k

∫ ∞

−∞dx e−ikx ε(x)

=i

2 (2π) kε (k), .

Nell’ultimo passaggio abbiamo introdotto la trasformata di Fourier della funzione segno,

ε(x) = H(x)−H(−x),

ε (k) =1√2π

∫ ∞

−∞dx e−ikx ε(x) = −i

√2

πP

(1

k

),

163

dove P indica la “parte principale”. Dato che k e positivo si ottiene in definitiva,

g(~k) =1

(2π)3/2|~k|2∈ S ′, (6.17)

e quindi,

F (~k) =1

|~k|2ϕ(~k). (6.18)

Si noti in particolare l’esatta corrispondenza tra le relazioni (6.17), (6.18), e le trasformate

di Fourier delle equazioni (6.10), (6.4).

A questo punto notiamo, pero, che il membro di destra della (6.18) – e piu in generale

della (6.16) – ha senso anche se g ∈ S ′ e ϕ ∈ OM23, perche il prodotto di una generica

distribuzione con una funzione in OM definisce sempre una distribuzione, vedi paragrafo

2.3.2. D’altra parte, per il teorema di Paley–Wiener 24 la trasformata di Fourier di una

generica distribuzione ϕ ∈ S ′ a supporto compatto, appartiene a OM . Di conseguenza, per

una tale ϕ il membro di destra della (6.18) costituisce una distribuzione in S ′. In questo

caso possiamo allora definire F come l’antitrasformata di Fourier del membro di destra

della (6.18).

In conclusione, l’espressione formale (6.15), definita come l’antitrasformata di Fourier

del membro di destra della (6.16), costituisce una soluzione della (6.4) con F ∈ S ′, purche

ϕ sia una distribuzione a supporto compatto. Tali sono in particolare tutte le distribuzioni

statiche di carica realizzate in natura.

Unicita della soluzione ed equazione di Laplace. Per concludere discutiamo brevemen-

te la soluzione generale della (6.4), indipendentemente dalla condizione asintotica (6.5).

Per ottenere la soluzione generale dell’equazione di Poisson e sufficiente aggiungere alla

soluzione particolare (6.13), la soluzione generale F0 dell’equazione omogenea associata,

ovvero dell’equazione di Laplace,

∇2F0(~x) = 0. (6.19)

Questa equazione ammette in effetti infinite soluzioni, ma nessuna di queste svanisce

all’infinito. Per provarlo troviamo la soluzione generale per F0 ∈ S ′(R3). A questo scopo

23Ricordiamo che con OM (RD) si intende lo spazio delle funzioni C∞ su RD, polinomialmente limitateassieme a tutte le loro derivate parziali.

24Vedi per esempio, M. Reed e B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics – I FunctionalAnalysis, Academic Press, New York, 1980.

164

e conveniente eseguire la trasformata di Fourier della (6.19),

|~k|2 F0(~k) = 0, (6.20)

e sfruttare il teorema sulle distribuzioni con supporto in un punto, vedi paragrafo 2.3.2.

L’equazione appena scritta implica, infatti, che F0(~k) ha come supporto l’origine ~k = 0.

Essa e dunque necessariamente una combinazione lineare finita della δ3(~k) e delle sue

derivate. Avremo cioe,

F0(~k) =N∑

n=1

Ci1···in∂i1 · · · ∂inδ3(~k), (6.21)

dove i Ci1···in sono tensori costanti completamente simmetrici. Inserendo questa espres-

sione nella (6.20) si trova che, affinche F0(~k) sia soluzione, e necessario e sufficiente che i

coefficienti siano a traccia nulla, vedi il problema analogo per l’equazione di D’Alembert

in sezione 5.2,

δi1i2 C i1···in = 0. (6.22)

Esistono quindi effettivamente infinite soluzioni. Tuttavia, eseguendo l’antitrasformata di

Fourier della (6.21), si ottiene semplicemente il polinomio,

F0(~x) =1

(2π)3/2

N∑n=1

(−i)nCi1···inxi1 · · ·xin , (6.23)

che all’infinito diverge. Concludiamo che l’equazione di Laplace non ammette soluzioni

che svaniscono all’infinito, esclusa la soluzione banale F0 = 0.

Infine, per dimostrare l’unicita della soluzione del sistema (6.11), facciamo vedere che

l’equazione di Laplace non ammette soluzioni invarianti per rotazioni, a parte la costante.

A questo scopo e conviente introdurre una base di soluzioni alternativa alle (6.23), che

si ottiene risolvendo la (6.19) in coordinate polari. Scrivendo il Laplaciano come nel

problema 5.7, e infatti immediato vedere che la base di soluzioni che ne risulta e data da,

F lm0 (~x) = rl Ylm(ϕ, ϑ), (6.24)

dove le Ylm sono le armoniche sferiche, e r = |~x|. Contando le potenze di ~x nella (6.23),

si vede che l’indice l della base (6.24) si identifica direttamente con l’intero n della base

(6.23). Usando la base F lm0 si vede poi che l’unica soluzione dell’equazione di Laplace

invariante per rotazioni, ovvero, indipendente dagli angoli, e F 000 , che e una costante.

165

Metodo della funzione di Green in generale. Il metodo della funzione di Green si gene-

ralizza facilmente a un’equazione differenziale lineare in uno spazio D–dimensionale, che

coinvolge un arbitrario operatore polinomiale nelle derivate parziali P (∂),

P (∂) F = ϕ.

Secondo l’esempio appena svolto la funzione di Green g associata a questa equazione deve

soddisfare l’equazione del kernel,

P (∂) g(x) = δD(x),

e la soluzione si scrive come,

F = g ∗ ϕ.

Infatti, ricordando le proprieta della convoluzione riportate nel paragrafo 2.3.2 si trova,

P (∂) F = P (∂) (g ∗ ϕ) = P (∂) g ∗ ϕ = δD ∗ ϕ = ϕ.

6.2 Il campo generato da una corrente generica

Cerchiamo ora di applicare il metodo della funzione di Green per risolvere l’equazione di

Maxwell in presenza di una generica corrente conservata, in gauge di Lorentz,

2Aµ = jµ, (6.25)

∂µAµ = 0. (6.26)

Come anticipato cercheremo non la soluzione generale, ma il campo generato causalmente

dalla corrente jµ. Per il momento per definitezza assumeremo che sia,

Aµ ∈ S ′ ≡ S ′(R4), jµ ∈ S ≡ S(R4). (6.27)

Ricordiamo tuttavia che – come nel caso dell’equazione di Poisson – la corrente di un siste-

ma di particelle puntiformi in realta non sta in S, ma in S ′. Anche nel caso dell’equazione

di Maxwell, alla fine dovremo allora affrontare il problema di come estendere la soluzione

al caso “fisico” – in cui jµ ∈ S ′. La differenza principale tra la (6.25) e l’equazione di

Poisson e essenzialmente che la seconda vive in tre dimensioni spaziali, mentre la prima

166

e formulata nello spazio quadrimensionale di Minkowski: il suo gruppo di invarianza sara

quindi il gruppo di Poincare, in sostituzione del gruppo delle rototraslazioni.

Ci occuperemo prima della soluzione della (6.25), e imporremo poi la gauge di Lorentz

alle soluzioni trovate. Per la linearita congiunta in Aµ e jµ dell’equazione di Maxwell,

cerchiamo ora una soluzione della forma,

Aµ(x) =

∫d4y G(x, y) jµ(y), (6.28)

dove la funzione di Green G(x, y) e una funzione incognita delle coordinate spazio–

temporali xµ e yµ. Come prima cosa vediamo allora quali sono i vincoli imposti a questa

funzione dalla richiesta di covarianza sotto trasformazioni di Poincare. Cambiando sistema

di riferimento,

xµ → x′µ = Λµνx

ν + aµ,

abbiamo,

A′µ(x′) =

∫d4y′ G(x′, y′)j′µ(y′),

e dato che si ha,

A′µ(x′) = ΛµνA

ν(x), j′µ(y′) = Λµνj

ν(y), d4y′ = d4y,

segue facilmente,

Aν(x) =

∫d4y G(x′, y′)jν(y).

Confrontando con la (6.28) concludiamo allora che G deve essere invariante per trasfor-

mazioni di Poincare, cioe 25,

G(Λx + a, Λy + a) = G(x, y), ∀ Λµν ∈ SO(1, 3)c, ∀ aµ ∈ R4.

Scegliendo Λµν = δµ

ν , e aµ = −yµ si ottiene,

G(x, y) = G(x− y, 0) ≡ G(x− y).

25Come nel caso dell’equazione di Poisson la quantita G(x, y) va considerata non come un camposcalare in x e y, ma come una funzione invariante di x e y, con una dipendenza funzionale ben definita.Questa funzione deve essere la stessa in ogni sistema di riferimento, altrimenti due correnti con la stessadipendenza funzionale in due diversi sistemi di riferimento, darebbero luogo a potenziali con dipendenzefunzionali diverse, in contrasto con il principio di relativita einsteiniana. In altre parole, deve valereG(x′, y′) = G(x, y), e non G′(x′, y′) = G(x, y).

167

Scegliendo poi aµ = 0 e Λµν generico, si trova che G(x) deve essere invariante per

trasformazioni di Lorentz proprie 26,

G(Λx) = G(x), ∀Λµν ∈ SO(1, 3)c. (6.29)

In particolare vediamo allora che la (6.28) puo essere scritta nella forma prevista dal

metodo della funzione di Green,

Aµ(x) =

∫d4y G(x− y) jµ(y), (6.30)

ovvero, in notazione compatta,

Aµ = G ∗ jµ. (6.31)

Sostituendo infine la (6.30) nella (6.25) si trova,

2Aµ(x) =

∫d4y 2G(x− y) jµ(y) = jµ(x),

che comporta per la funzione di Green l’equazione,

2G(x) = δ4(x). (6.32)

La soluzione dell’equazione di Maxwell e quindi ricondotta alla soluzione di questa equa-

zione, compatibilmente con il vincolo (6.29).

Tuttavia, si puo vedere che le condizioni (6.29) e (6.32) non determinano ancora la

funzione di Green univocamente. Aggiungiamo a questo punto una richiesta fisica, concer-

nente la propagazione causale del campo elettromagnetico: richiediamo che il potenziale

Aµ(x) nel punto x non possa dipendere dai valori della corrente jµ(y) in punti y che sono

temporalmente successivi a x, ovverosia, punti per cui x0 < y0. Questo vuol dire che deve

essere G(x− y) = 0 per x0 < y0, ovvero,

G(x) = 0, ∀ t < 0.

Vedremo che con questa richiesta aggiuntiva le (6.29) e (6.32) ammettono un’unica solu-

zione. La funzione di Green risultante viene chiamata “funzione di Green ritardata”, e

viene indicata con Gret.

26Tra un attimo spiegheremo il motivo per cui G non puo essere invariante sotto l’intero gruppo diLorentz.

168

Per spiegare la nomenclatura osserviamo che in certe analisi teoriche si introduce anche

la “funzione di Green avanzata”, definita da,

Gadv(x) = 0, ∀ t > 0, (6.33)

alla quale si puo associare la soluzione formale,

Aµadv = Gadv ∗ jµ.

Tuttavia, non rispettando la causalita questa soluzione non giochera nessun ruolo nella

nostra trattazione.

6.2.1 La funzione di Green ritardata

La funzione di Green ritardata e definita dalle condizioni,

2G(x) = δ4(x), (6.34)

G(Λx) = G(x), ∀Λ ∈ SO(1, 3)c, (6.35)

G(x) = 0, ∀ t < 0. (6.36)

Prima di procedere alla soluzione di questo sistema di equazioni, dimostriamo che la

soluzione, se esiste e, unica.

Unicita della funzione di Green. Per dimostrare l’unicita della funzione di Green e

sufficiente dimostrare che non esistono soluzioni dell’equazione delle onde – l’equazione

omogenea associata –

2F = 0, (6.37)

soddisfacenti (6.35) e (6.36). Determineremo prima tutte le soluzioni della (6.37) soddi-

sfacenti la (6.35), ovvero F (Λx) = F (x), e alla fine imporremo la (6.36). Per eseguire

questa analisi e conveniente passare in trasformata di Fourier, F (x)→ F (k). La Lorentz–

invarianza di F (x) si traduce allora semplicemente nella Lorentz–invarianza di F (k), come

funzione di kµ. Infatti, eseguendo il cambiamento di variabili x = Λy, d4x = d4y, si ha,

F (Λk) =1

(2π)2

∫d4x e−i Λk·xF (x) =

1

(2π)2

∫d4y e−i Λk·ΛyF (Λy)

=1

(2π)2

∫d4y e−i k·yF (y) = F (k).

169

Dobbiamo dunque risolvere il sistema,

k2F (k) = 0, F (Λk) = F (k), ∀Λ ∈ SO(1, 3)c.

In realta l’equazione delle onde e stata risolta in tutta generalita in sezione 5.2, e possiamo

quindi ricorrere ai risultati di quella sezione. Avevamo trovato che le soluzioni cadono in

due classi, rispettivamente,

FI = δ(k2)f(k) (6.38)

FII =N∑

n=1

Cµ1···µn ∂µ1 · · · ∂µnδ4(k), Cννµ3···µn = 0, (6.39)

dove i tensori Cµ1···µn sono completamente simmetrici. Si tratta allora di selezionare da

ciascuna di queste classi le soluzioni Lorentz–invarianti. Per quanto riguarda le soluzioni

di tipo I osserviamo che, per l’invarianza per rotazioni spaziali, f puo dipendere solo da

k0 = ±|~k|. Ma le uniche funzioni di k0 Lorentz–invarianti sul cono luce, sono la costante

e la funzione segno ε(k0). Tenendo conto della condizione di realta F ∗(k) = F (−k), si

ottengono cosı le due soluzioni linearmente indipendenti,

F1 = δ(k2), F2 = i ε(k0) δ(k2).

Per quanto riguarda invece le soluzioni di tipo II osserviamo che l’invarianza di Lorentz

impone che i tensori completamente simmetrici Cµ1···µn devono essere tensori Lorentz–

invarianti. I tensori di rango dispari devono allora essere nulli, mentre quelli di rango

pari devono essere proporzionali al prodotto completamente simmetrizzato di metriche di

Minkowski. Deve essere, cioe,

Cµ1···µn = an η(µ1µ2 · · · ηµn−1µn),

dove gli an sono costanti. Ma questi tensori devono essere anche a traccia nulla, vedi

(6.39),

Cννµ3···µn =

(n + 2) an

n− 1η(µ3µ4 · · · ηµn−1µn) = 0.

Ne segue che deve essere an = 0 per n 6= 0. Per n = 0 otteniamo invece una terza soluzione

indipendente,

F3 = δ4(k).

170

Si noti che queste tre soluzioni si possono ottenere formalmente dalla (5.29), scegliendo

rispettivamente ε(~k) = 1, i, ω δ3(~k). Le antitrasformate delle Fi possono essere valutate

analiticamente, e noi le riportiamo senza dimostrazione:

F1 = − 1

πP

(1

x2

),

F2 = −ε(t) δ(x2),

F3 =1

(2π)2,

dove “P” indica la parte principale rispetto alla variabile x0. Si vede che tutte e tre le

soluzioni sono invarianti per SO(1, 3)c, come da costruzione, ma nessuna di esse soddisfa

la condizione di causalita (6.36). La funzione di Green ritardata, se esiste, e quidi unica.

Determinazione della funzione di Green ritardata. Determiniamo ora la soluzione del

sistema (6.34)–(6.36). Notiamo innanzitutto che l’invarianza per rotazioni spaziali,

G(t,R ~x) = G(t, ~x), ∀ R ∈ SO(3),

implica che G puo dipendere da ~x solo attraverso la variabile r = |~x|,

G = G(t, r).

Poniamoci ora nella regione ~x 6= 0, t arbitrario. In questa regione si deve avere 2G = 0.

Per ~x 6= 0 e lecito usare coordinate polari, e scrivere il Laplaciano come nel problema 5.7.

Sfruttando il fatto che G non dipende dagli angoli si ottiene allora,

2G =

(∂2

t −1

r∂2

r r

)G =

1

r

(∂2

t − ∂2r

)(rG) = 0, (6.40)

che corrisponde all’equazione delle onde in una dimensione. Ricordando la forma della

sua soluzione generale, vedi problema 5.8, abbiamo dunque,

G(t, r) =1

r(f(t− r) + g(t + r)) ,

dove f e g sono funzioni arbitrarie di una variabile. Ma siccome G deve annullarsi ∀ t < 0

dobbiamo scegliere g = 0, e restiamo con,

G =1

rf(t− r).

171

Per determinare f imponiamo ora che G soddisfi l’equazione del kernel (6.34) “in tutto

lo spazio”, ovvero, nel senso delle distribuzioni,

∂2t G−∇2G = δ3(~x) δ(t). (6.41)

Indicando la derivata della f rispetto al suo argomento con un “primo”, abbiamo intanto,

∂2t G =

1

rf ′′(t− r).

Per valutare invece il Laplaciano occorre procedere con un po’ di cautela, per via della

singolarita in r = 0 del fattore 1/r. Possiamo comunque applicare la regola di Leibnitz per

le derivate, se supponiamo che f(t− r) sia regolare in r = 0, proprieta che verificheremo

a posteriori,

∇2G =

(∇2 1

r

)f(t− r) +

1

r∇2f(t− r) + 2

(~∇ 1

r

)·(

~∇ f(t− r))

.

Per funzioni invarianti per rotazioni e regolari in r = 0, possiamo usare la forma del

Laplaciano utilizzata in (6.40). Abbiamo quindi,

∇2f(t− r) =1

r∂2

r (rf(t− r)) = f ′′(t− r)− 2

rf ′(t− r).

Ricordiamo poi che nel senso delle distribuzioni si ha,

~∇ 1

r= − ~x

r3, ∇2 1

r= −4π δ3(~x),

e che

~∇f(t− r) = −~x

rf ′(t− r).

Si vede allora che le derivate prime di f si cancellano e rimane,

∇2G = −4π δ3(~x) f(t) +1

rf ′′(t− r).

La (6.41) si riduce allora a,

(∂2

t −∇2)G = 4πδ3(~x)f(t) = δ3(x) δ(t),

e quindi deve essere,

f(t) =1

4πδ(t).

172

Concludiamo che la funzione di Green ritardata e data da,

Gret =1

4πrδ(t− r). (6.42)

Questa espressione soddisfa la (6.36), ma non sembra soddisfare (6.35). In realta, ricor-

dando l’identita,

δ(x2) = δ(t2 − r2) =1

2r[δ(t− r) + δ(t + r)] ,

possiamo riscrivere la (6.42) nella forma manifestamente Lorentz–invariante,

Gret =1

2πH(x0) δ(x2). (6.43)

Analogamente per la funzione di Green avanzata (6.33) si otterrebbe,

Gadv =1

4πrδ(t + r) (6.44)

=1

2πH(−x0) δ(x2). (6.45)

In definitiva abbiamo dunque ottenuto due funzioni di Green soddisfacenti (6.34) e (6.35),

entrambi appartenenti ad S ′, vedi problema 6.1. In particolare vale quindi,

2Gret = δ4(x),

2Gadv = δ4(x).

A priori avremmo quindi potuto scegliere come funzione di Green qualsiasi combinazione

del tipo,

G = α Gret + (1− α) Gadv, 2G = δ4(x),

con α numero reale arbitrario, ma la condizione di causalita (6.36) seleziona il valore

α = 1 ! D’ora in poi al posto di Gret scriveremo semplicemente G.

Osserviamo inoltre che c’e un semplice legame tra i kernel avanzati e ritardati, e il

kernel antisimmetrico D introdotto nel paragrafo 5.2.1, vedi (5.43). Vale infatti,

D = Gret −Gadv, (6.46)

da cui discende immediatamente l’equazione caratteristica del kernel antisimmetrico,

2D = 0,

che lo identifica come “propagatore” delle onde elettromagnetiche libere.

173

6.2.2 Il potenziale vettore ritardato

Inserendo la (6.43) nella (6.30) otteniamo cosı il “potenziale ritardato” Aµ ≡ Aµret,

Aµ(x) =1

2π

∫d4y H(x0 − y0) δ((x− y)2)jµ(y), (6.47)

in forma covariante a vista. Usando invece la (6.42) possiamo integrare sulla coordinata

y0 e riscriverlo come,

Aµ(t, ~x) =1

4π

∫d4y

1

|~x− ~y| δ(t− y0 − |~x− ~y|) jµ(y0, ~y)

=1

4π

∫d3y

1

|~x− ~y| jµ(t− |~x− ~y|, ~y). (6.48)

In seguito faremo uso sia della (6.47) che della (6.48); la prima scrittura ha il pregio di

essere manifestamente Lorentz–invariante, la seconda quello di contenere un’integrazione

in meno.

Resta allora da imporre la condizione di gauge–fixing (6.26), che abbiamo lasciato in

sospeso. La soluzione appena scritta, con i criteri imposti, ha il carattere di unicita. Per

consistenza la condizione di Lorentz dovrebbe allora essere soddisfatta automaticamente.

In realta questo e quello che succede. Per farlo vedere e sufficiente ricorrere alla (6.31) e

usare le proprieta della convoluzone del paragrafo 2.3.2,

∂µAµ = ∂µ(G ∗ jµ) = G ∗ ∂µj

µ = 0,

dove abbiamo sfruttato la conservazione della quadricorrente. Si noti che il potenziale

Aµ = G ∗ jµ soddisfa la gauge di Lorentz indipendentemente dalla forma di G.

Funzioni di Green e causalita. Analizziamo ora brevemente la struttura causale della

soluzione (6.47). Abbiamo derivato questa formula imponendo la “condizione minimale”

che la funzione di Green si annulli per tempi negativi, assicurando cosı che eventi futuri

non possano influenzare eventi passati. D’altra parte una semplice richiesta di questo

tipo e in palese conflitto con la Relativita Ristretta, perche in generale l’ordinamento

temporale tra due eventi non viene preservato da una trasformazione di Lorentz. Per

preservare l’ordinamento temporale bisogna imporre una condizione ulteriore, cioe, che

due eventi possano influenzarsi solo se sono a distanza di tipo tempo o nullo. Infatti,

174

secondo la causalita relativistica un evento y puo influenzare un evento x, solo se valgono

le due condizioni,

(x− y)2 ≥ 0, x0 ≥ y0,

che definiscono il cone luce futuro di y – insieme che sappiamo essere invariante sotto

trasformazioni di Lorentz proprie, vedi paragrafo 5.3.3. L’evento y puo quindi influenzare

l’evento x, solo se x appartiene al cono luce futuro di y. Corrispondentemente una generica

funzione di Green causale e relativistica deve godere delle proprieta minimali,

G(x) = 0, ∀ t < 0.

G(x) = 0, ∀ x2 < 0.

La funzione di Green (6.43) dell’equazione di Maxwell non solo possiede queste proprieta,

ma e anche supportata interamente sul bordo del cono luce. Come conseguenza nella

(6.47) il potenziale vettore in un punto x e causalmente connesso solo con punti y della

corrente che stanno a distanze di tipo luce da x, e che appartengono al passato di x.

Concludiamo che nel campo elettromagnetico l’informazione si propaga dalle particelle

cariche al punto di osservazione con la velocita della luce, e non viceversa. Vedremo

che sara proprio questa asimmetria per inversione temporale, imposta dalla causalita, a

dar luogo – in ultima analisi – al fenomeno dell’irraggiamento, ovvero, dell’emissione di

radiazione da parte di particelle cariche accelerate. Nel paragrafo 6.4.3 vedremo, infatti,

che per via di questa asimmetria le particelle accelerate emettono energia – e non la

assorbono.

Il ritardo. Concludiamo questo paragrafo con un ulteriore commento sulla struttura

relativistica della (6.48), confrontandola con la soluzione (6.13) dell’equazione di Poisson.

Riportiamo la (6.13) nell’interpretazione dell’Elettrostatica, “accendendo” il tempo,

A0(t, ~x) =1

4π

∫d3y

1

|~x− ~y| j0(t, ~y). (6.49)

Per confrontare questa espressione con la (6.48) riscriviamo anche quest’ultima, reinse-

rendo le potenze della velocita della luce. Risulta,

Aµ(t, ~x) =1

4π

∫d3y

1

|~x− ~y| jµ

(t− |~x− ~y|

c, ~y

).

175

Vediamo che l’unica differenza tra le due formule e la comparsa del “ritardo” − |~x−~y|c

, nel-

l’argomento temporale della corrente. Questo termine corrisponde esattamente al tempo

che la luce impiega per passare dal punto ~y in cui e situata la carica, al punto di osser-

vazione ~x, dove si valuta il campo. Il campo all’istante t nel punto ~x dipende quindi dal

valore della corrente nel punto ~y, all’istante “ritardato” t′ = t − |~x−~y|c

. Nel potenziale

elettrostatico (6.49) si suppone, invece, un’interazione non locale a distanza, e il ritardo

viene trascurato.

6.2.3 Validita della soluzione e trasformata di Fourier

In questo paragrafo discuteremo brevemente i limiti di validita della soluzione formale

(6.47), o alternativamente della (6.31), date le singolarita presenti necessariamente in una

corrente jµ di particelle puntiformi.

Dato che G ∈ S ′, la soluzione (6.31),

Aµ = G ∗ jµ, (6.50)

e in effetti ben definita in S ′, purche jµ stia in S, come supposto in (6.27). Ma in realta

sappiamo che le correnti fisiche non stanno in S, ma in S ′, e per di piu questa volta esse

non sono nemmeno a supporto a compatto – come succedeva invece nel caso dell’equazione

di Poisson – semplicemente perche la corrente jµ in generale e diversa da zero per qualsiasi

−∞ < t < +∞ ! Non possiamo quindi piu applicare il teorema di Paley–Wiener, come

in sezione 6.1. Ciononostante, come in quel caso possiamo cercare di dare un senso alla

(6.50), passando in trasformata di Fourier. Senza dimostrazione riportiamo le formule per

le trasformate di Fourier in S ′ dei kernel ritardati e avanzati,

Gret(k) = − 1

(2π)2

(P

(1

k2

)+ i π ε(k0) δ(k2)

)(6.51)

Gadv(k) = − 1

(2π)2

(P

(1

k2

)− i π ε(k0) δ(k2)

). (6.52)

Si noti, comunque, la compatibilita di queste formule con la trasformata di Fourier

dell’equazione del kernel (6.32), e con le (5.42), (6.46).

A questo punto possiamo eseguire esplicitamente la trasformata di Fourier della (6.50),

Aµ(k) = (2π)2 Gret(k) j µ(k) = −(

P

(1

k2

)+ i π ε(k0) δ(k2)

)j µ(k). (6.53)

176

Come anticipato sopra, la trasformata della corrente, j µ(k), in generale non appartiene

ad OM , e quindi non e garantito che il prodotto a secondo membro sia ben definito. Illu-

striamo la situazione, considerando la corrente di una particella carica in moto rettilineo

uniforme, yµ(λ) = uµ λ,

jµ(x) = e uµ

∫dλ δ4(x− uλ).

La sua trasformata di Fourier e facile da valutare,

j µ(k) =e uµ

(2π)2

∫d4x e−ik·x

∫dλ δ4(x− uλ) =

e uµ

(2π)2

∫dλ e−ik·u λ =

e uµ

2πδ(u · k),

e come si vede, essa non appartiene a OM , bensı a S ′. Ciononostante, in certi casi il

prodotto formale (6.53), ovvero l’espressione,

Aµ(k) = −e uµ

2π

(P

(1

k2

)+ i π ε(k0) δ(k2)

)δ(u · k), (6.54)

possono essere comunque ben definiti in S ′. Per vedere quando questo succede conside-

riamo separatamente i casi di particelle massive, e particelle prive di massa.

a) Traiettorie di tipo tempo. Per una particella massiva la traiettoria e di tempo, e

possiamo porci nel suo sistema di riferimento a riposo. In questo sistema abbiamo uµ =

(1, 0, 0, 0) e δ(u · k) = δ(k0). Il secondo termine del prodotto (6.54) e allora nullo, in

quanto,

ε(k0) δ(k2) δ(u · k) =1

2|~k|(δ(k0 − |~k|)− δ(k0 + |~k|)

)δ(k0) = 0. (6.55)

La (6.54) si riduce allora a,

Aµ(k) = −P

(1

k2

)e uµ

2πδ(k0) =

e uµ

2π|~k|2δ(k0),

che appartiene effettivamente a S ′. In realta in questo caso e anche immediato determinare

l’antitrasformata di Fourier di Aµ(k) esplicitamente – si veda la (6.17) – per ottenere il

noto potenziale coulombiano,

Aµ(x) =e uµ

4π|~x| . (6.56)

Similmente si puo vedere che il prodotto (6.53) definisce una distribuzione temperata, se la

corrente jµ(x) corrisponde a un’arbitraria linea d’universo di tipo tempo. E in questi casi

vedremo esplicitamente che anche le rappresentazioni integrali (6.47) e (6.48) sono sempre

177

ben definite – motivo per cui d’ora in poi ci serviremo sempre di queste rappresentazioni

esplicite.

b) Traiettorie di tipo luce. Per una particella carica priva di massa la quadrivelocita

soddisfa u2 = 0, e possiamo metterci nel sistema di riferimento in cui uµ = (1, 0, 0, 1),

sicche δ(u · k) = δ(k0 − k3). In questo caso avremmo, al posto di (6.55),

ε(k0) δ(k2) δ(u · k) = ε(k0) δ((k1)2 + (k2)2) δ(k0 − k3).

A questa espressione formale si puo associare un elemento di S ′, ponendo,

δ((k1)2 + (k2)2) = π δ(k1) δ(k2).

Questa identificazione emerge se si applica il primo membro a una funzione di test di

S(R2). Usando coordinate polari bidimensionali (ϑ, ρ =√

(k1)2 + (k2)2), si ottiene infatti,∫

d2k δ((k1)2 + (k2)2) ϕ(k1, k2) =

∫ 2π

0

dϑ

∫ ∞

0

ρ dρ δ(ρ2) ϕ(ρ, ϑ)

=1

2

∫ 2π

0

dϑ

∫ ∞

0

dρ2 δ(ρ2) ϕ(ρ, ϑ) = π ϕ(0).

La (6.54) diventerebbe allora,

Aµ(k) =e uµ

2π

(1

(k1)2 + (k2)2− i π2 ε(k3) δ(k1) δ(k2)

)δ(k0 − k3), (6.57)

che non appartiene a S ′. Infatti, mentre il secondo addendo sta in S ′, la funzione,

1

(k1)2 + (k2)2,

non e localmente integrabile in R4, e non ammette nessuna regolarizzazione in S ′. Per una

particella priva di massa il prodotto (6.53) non costituisce, dunque, una distribuzione. In

questo caso questa formula, e la (6.47), sono prive di senso e devono essere abbandonate

– insieme al metodo della funzione di Green. Nondimeno vedremo che le (6.25), (6.26)

ammettono soluzioni ben definite nel senso delle distribuzioni, anche per particelle prive di

massa, e le determineremo esplicitamente in sezione 6.3.2 seguendo una strada alternativa.

6.3 Campo di una particella in moto rettilineo uniforme

Come prima applicazione della formula (6.47), in questa sezione calcoleremo il campo

elettromagnetico creato da una particella carica in moto rettilineo uniforme. Tratteremo

178

separatamente i casi di particelle massive e particelle prive di massa. Nel primo caso

il campo potrebbe essere calcolato anche attraverso una trasformazione di Lorentz dal

sistema a riposo della particella, dove,

~E =e

4π

~x

r3, ~B = 0,

al sistema di riferimento del laboratorio, vedi problema 6.3. Tuttavia, questa procedura

romperebbe l’invarianza di Lorentz manifesta. Nel secondo caso – per di piu – questa pro-

cedura non sarebbe nemmeno applicabile, perche non esiste nessun sistema di riferimento

in cui una particella di massa nulla e a riposo. Nel paragrafo 6.3.2 vedremo comunque

che il campo di una particella priva di massa puo essere dedotto da quello di una parti-

cella massiva, attraverso un’opportuna procedura di limite nel senso delle distribuzioni,

superando cosı le difficolta menzionate alle fine della sezione precedente.

6.3.1 Campo di una particella massiva

Secondo la (6.47) come prima cosa dobbiamo esplicitare la forma della corrente jµ(y)

associata a una particella in moto rettilineo uniforme. La linea di universo di una particella

con quadrivelocita costante si scrive,

yµ(s) = yµ(0) + uµ s, u2 = 1,

e se scegliamo l’origine del sistema di riferimento in modo tale che a t = 0 la particella

passi per l’origine, abbiamo piu semplicemente,

yµ(s) = uµ s.

Per la quadricorrente si ottiene allora,

jµ(y) = e

∫ds uµδ4(y − y(s)) = e uµ

∫ds δ4(y − u s). (6.58)

Sostituendo nella (6.47) otteniamo allora,

Aµ(x) =e

2πuµ

∫d4y

∫dsH(x0 − y0) δ((x− y)2) δ4(y − us)

=e

2πuµ

∫ds H(x0 − su0) δ((x− us)2)

=e

2πuµ

∫ds H(x0 − su0) δ(f(s)). (6.59)

179

Abbiamo definito la funzione di s,

f(s) ≡ (x− us)2 = x2 − 2 s (ux) + s2, (ux) ≡ uµxµ,

sottintendendo la dipendenza da xµ e uµ. Per valutare l’integrale della (6.59) dobbiamo

esplicitare la distribuzione δ(f(s)) in base alla (2.37), e quindi dobbiamo preventivamente

individuare gli zeri della f . Essendo quadratica f(s) ha due zeri,

s± = (ux)∓√

(ux)2 − x2, f(s±) = 0, (6.60)

entrambi reali. La quantita scalare (ux)2−x2 e, infatti, sempre maggiore o uguale a zero.

Per rendercene conto possiamo sfruttare l’invarianza di Lorentz e valutarla nel sistema di

riferimento in cui la particella e a riposo, dove si ha uµ = (1,~0). Si ottiene allora,

(ux)2 − x2 = (x0)2 − ((x0)2 − |~x|2) = |~x|2 ≥ 0. (6.61)

Secondo la (2.37) abbiamo allora,

δ(f(s)) =δ(s− s+)

|f ′(s+)| +δ(s− s−)

|f ′(s−)| . (6.62)

Essendo,

f ′(s) = 2(s− ux),

abbiamo inoltre,

|f ′(s±)| = 2√

(ux)2 − x2.

Inserendo questi elementi nella (6.59) si ottiene allora,

Aµ(x) =e

4π

uµ

√(ux)2 − x2

∫ds

(H(x0 − s+u0) δ(s− s+) + H(x0 − s−u0) δ(s− s−)

).

Per valutare l’integrale rimanente dobbiamo studiare i segni di x0−s±u0. Per farlo usiamo

argomenti di covarianza. Se definiamo i quadrivettori,

V µ± = xµ − s±uµ,

per costruzione questi vettori appartengono al cono luce, V 2± = 0. Il segno delle componen-

ti temporali V 0± = x0−s±u0 e allora un invariante di Lorentz, e possiamo determinarlo nel

riferimento a riposo della particella. In questo riferimento abbiamo, vedi (6.60) e (6.61),

s± = x0 ∓ |~x| ⇒ V 0± = x0 − s±u0 = ±|~x|.

180

Concludiamo che in qualsiasi riferimento vale,

x0 − s+u0 > 0, x0 − s−u0 < 0.

Di conseguenza,

H(x0 − s+u0) = 1, H(x0 − s−u0) = 0.

Si ottiene quindi,

Aµ(x) =e

4π

uµ

√(ux)2 − x2

, (6.63)

formula manifestamente Lorentz–invariante. Vediamo in particolare che per la particella

statica, uµ = (1, 0, 0, 0), riotteniamo il noto potenziale coulombiano, vedi anche (6.56),

A0 =e

4π|~x| ,~A = 0. (6.64)

Infine possiamo calcolare il campo elettromagnetico. Dato che si ha,

∂µAν =e

4π

xµ − uµ(ux)

((ux)2 − x2)3/2uν , (6.65)

risulta,

F µν = ∂µAν − ∂νAµ =e

4π

xµuν − xνuµ

((ux)2 − x2)3/2. (6.66)

Contraendo invece nella (6.65) µ con ν, si verifica che il potenziale soddisfa la gauge di

Lorentz ∂µAµ = 0, come da costruzione.

I campi ~E e ~B. Partendo dalla (6.66) analizzeremo ora le proprieta generali dei campi

elettrico e magnetico prodotti da una particella in moto rettilineo uniforme, confrontandoli

in particolare con i campi di una particella non relativistica, v ¿ 1. Analizzeremo poi

questi campi anche nel regime opposto, quello ultrarelativistico, corrispondente a una

particella che si muove con velocita prossima a quella della luce.

Cominciamo con il calcolo di ~E e ~B a partire dalla (6.66),

Ei = F i0 =e

4π

xiu0 − x0ui

((ux)2 − x2)3/2=

e u0

4π

xi − vi t

((ux)2 − x2)3/2.

Bk = −1

2εkijF ij = −1

2

e

4πεkij xiuj − xjui

((ux)2 − x2)3/2=

e u0

4πεkij vixj

((ux)2 − x2)3/2

=e u0

4πεkij vi(xj − vj t)

((ux)2 − x2)3/2= εkijviEj. (6.67)

181

Abbiamo, cioe, ripristinando la velocita della luce,

~B =~v

c× ~E. (6.68)

In ogni punto il campo magnetico e dunque una semplice funzione del campo elettrico, ed

e quindi sufficiente analizzare quest’ultimo. In particolare vediamo che rispetto al campo

elettrico il campo magnetico e soppresso di un fattore v/c, in accordo con il fatto che il

secondo rappresenta un effetto dinamico.

Per analizzare la forma del campo elettrico e conveniente introdurre il vettore,

~R = ~x− ~v t,

congiungente in ogni istante t il punto di osservazione ~x con la posizione ~y(t) = ~v t della

particella. Con semplice algebra si trova allora,

(ux)2 − x2 =R2 + (~v · ~R)2 − v2R2

1− v2,

e quindi,

~E =e

4π

(1− v2)~R

(R2 + (~v · ~R)2 − v2R2)3/2. (6.69)

Se introduciamo infine l’angolo ϑ tra ~v e ~R, il campo elettrico si puo scrivere come,

~E =(1− v2)

(1− v2sen2 ϑ)3/2~Enr, (6.70)

dove abbiamo introdotto il campo coulombiano non relativistico,

~Enr =e

4π

~R

R3.

Analizziamo ora le proprieta del campo elettrico ottenuto. Intanto vediamo che per

ogni t fissato, a grandi distanze ~E decade come 1/r2, come il campo coulombiano non

relativistico, e quindi abbiamo l’andamento asintotico,

F µν ∼ 1

r2, per r →∞. (6.71)

Inoltre ~E e ancora un campo centrale, cioe, e diretto lungo la retta passante per la posizione

della particella e il punto di osservazione. Tuttavia, questo campo non e piu a simmetria

sferica come il campo coulombiano non relativistico, perche il suo modulo ora dipende

182

dalla direzione. Infatti, per ~R rispettivamente ortogonale (ϑ = π/2) e parallelo (ϑ = 0, π)

a ~v, la (6.70) da per i corrispondenti moduli del campo elettrico,

E⊥ =1√

1− v2Enr > Enr, (6.72)

E‖ = (1− v2) Enr < Enr. (6.73)

Lungo la direzione del moto il campo risulta quindi schiacciato, in entrambi i versi, mentre

lungo le direzioni ortogonali al moto il campo risulta potenziato. In particolare, per

velocita che si approssimano alla velocita della luce il primo svanisce, mentre il secondo

va a infinito. Difatti per velocita molto elevate il campo elettromagnetico e praticamente

nullo in tutte le direzioni, tranne per valori di ϑ molti vicini a π/2.

Vista la (6.68), risultati analoghi valgono per il modulo del campo magnetico. Dato

che ~E e radiale, questa formula ci dice inoltre che le linee di campo di ~B sono circonferenze

ortogonali alla traiettoria della particella, e concentriche con essa.

6.3.2 Campo di una particella di massa nulla

Abbiamo dedotto il campo (6.66) nell’ipotesi che la velocita della particella sia costante,

ma minore di quella della luce. In questo paragrafo affrontiamo il problema del campo

elettromagnetico generato da una particella carica di massa nulla, che viaggia dunque

con la velocita della luce. Per le peculiarita dei campi di una particella ultrarelativistica,

appena messe in evidenza, ci aspettiamo campi con singolarita molto pronunciate, ai quali

si potra dare senso solo nello spazio delle distribuzioni.

Per una particella che viaggia con la velocita della luce il tempo proprio non e definito,

e dobbiamo parametrizzare la sua linea di universo con un parametro λ generico. Se

introduciamo il quadrimomento pµ della particella possiamo parametrizzarla secondo,

yµ(λ) = pµλ, p2 = 0, p0 = |~p| > 0,

dove di nuovo abbiamo supposto che per t = 0 la particella passi per l’origine. La direzione

del moto e allora,

~n =~p

|~p| ,

183

e la traiettoria tridimensionale e data da ~y(t) = ~n t. Per quello che segue e conveniente

definire anche il vettore nullo,

nµ = (1, ~n) =pµ

p0, n2 = 0.

La quadricorrente della particella e comunque data da,

J µ(x) = e pµ

∫δ4(x− λp) dλ = e nµ δ3(~x− ~n t),

e il sistema di equazioni da risolvere e,

∂µFµν = J ν , ∂[µFνρ] = 0. (6.74)

Una procedura di limite. Vogliamo ora derivare la soluzione di questo sistema dai ri-

sultati del paragrafo precedente, con un’opportuna procedura di limite. Ponendo nella

(6.58) ~v = v ~n e ricordando le (2.40), (2.41) per una particella singola, si vede intanto che

abbiamo il limite in S ′(R4),

S ′ − limv→1

jµ = J µ.

Siccome il tensore F µν definito in (6.66) soddisfa per costruzione,

∂µFµν = jν , ∂[µFνρ] = 0,

e siccome le derivate costituiscono operazioni continue in S ′, se esiste il limite di F µν per

v → 1 nel senso delle distribuzioni, allora il tensore,

Fµν ≡ S ′ − limv→1

F µν , (6.75)

soddisfa automaticamente le (6.74). Insistiamo sul fatto che questa strategia ha senso solo

se i limiti di cui sopra vengono eseguiti nel senso delle distribuzioni: si noti in particolare

che il limite puntuale di F µν e nullo quasi ovunque, vedi (6.69).

Affrontiamo ora la determinazione del limite (6.75), partendo non direttamente dal-

la (6.66) ma dall’espressione del potenziale (6.63), che appare piu semplice. Se questo

potenziale ammettesse limite nel senso delle distribuzioni, potremmo infatti scrivere,

S ′ − limv→1

F µν = ∂µ(S ′ − lim

v→1Aν

)− ∂ν

(S ′ − lim

v→1Aµ

).

184

Ora, eseguendo il limite puntuale della (6.63) si ottiene in effetti il risultato finito,

limv→1

Aµ(x) =e

4π

nµ

|(n x)| , (nx) = t− ~n · ~x,

ma questa espressione non costituisce una distribuzione! Vedremo tra poco che in realta

il limite di Aµ nel senso delle distribuzioni non esiste – in accordo con il fatto che l’espres-

sione (6.57) non costituisce una distribuzione. Sorge allora la domanda se F µν ammette

effettivamente limite in S ′, oppure no. La risposta puo essere ancora affermativa se la

parte di Aµ che “diverge” per v → 1 in S ′, in qualche modo non contribuisce a F µν .

A questo proposito ricordiamo in effetti che il potenziale e definito solo modulo una

trasformazione di gauge. Affinche F µν ammetta un limite ben definito e allora sufficiente

che la parte divergente del potenziale possa essere eliminata con una trasformazione di

gauge. Consideriamo, per esempio, una trasformazione di gauge con parametro,

Λ =e

4πln

∣∣∣(ux)−√

(ux)2 − x2

∣∣∣ . (6.76)

Con un semplice calcolo si trova che il potenziale trasformato, del tutto equivalente a

(6.63) ma non piu soddisfacente la gauge di Lorentz, e dato da,

Aµ = Aµ + ∂µΛ =e

4π

(1 +

(ux)√(ux)2 − x2

)xµ

x2, F µν = ∂µAν − ∂νAµ, (6.77)

dove con 1/x2 intendiamo la sua parte principale. Grazie al limite puntuale,

limv→1

(ux)√(ux)2 − x2

= ε(nx),

dove ε(·) indica la distribuzione segno, non e difficile vedere che il limite distribuzionale

del potenziale trasformato ora e ben definito, e che coincide semplicemente con il suo

limite puntuale,

Aµ ≡ S ′ − limv→1

Aµ =e

2π

xµ

x2H(nx). (6.78)

Dato che Aµ ammette limite per v → 1, mentre nello stesso limite il parametro di gauge Λ

diverge, vedi (6.76), risulta ora anche chiaro perche (6.63) non poteva ammettere limite.

Usando le (6.77), (6.78), possiamo ora determinare il campo elettromagnetico creato

da una particella carica di massa nulla, in moto in direzione ~n,

Fµν = S ′ − limv→1

F µν = S ′ − limv→1

(∂µAν − ∂νAµ) = ∂µAν − ∂νAµ =e

2π

nµxν − nνxµ

x2δ(nx).

185

Per i campi elettrico e magnetico si ottiene allora facilmente,

~E = − e

2π

~x− ~n t

x2δ(nx), B = ~n× ~E , ~n · E = 0. (6.79)

In particolare per i “moduli” vale E = B.

Se vede che in ogni istante i campi sono diversi da zero solo sul piano passante per la

posizione della particella in quell’istante, e perpendicolare alla sua velocita. Per esempio,

se la particella si muove lungo l’asse z si ha,

~E =e

2π(x2 + y2)(x, y, 0) δ(z − t), (6.80)

~B =e

2π(x2 + y2)(−y, x, 0) δ(z − t), (6.81)

e all’istante t i campi sono non nulli solo sul piano z = t, dove sono “molto intensi”, cioe,

proporzionali alla δ di Dirac. Ricordiamo poi che per costruzione questi campi soddisfano

le equazioni di Maxwell. Si verifica per esempio facilmente che vale, vedi problema 6.4,

~∇ · ~E = e δ(x) δ(y) δ(z − t) = j0(x), ~∇ · ~B = 0. (6.82)

Infine, se si vuole nuovamente ottenere un potenziale nella gauge di Lorentz, e suffi-

ciente eseguire un’altra trasformazione di gauge,

Aµ = Aµ − ∂µ( e

4πH(nx) ln

∣∣x2∣∣)

= − e

4πln |x2| δ(nx) nµ, ∂µAµ = 0.

Shock waves. Campi del tipo (6.79) vengono chiamati “shock waves”, perche in ogni

istante il campo e diverso da zero solo su un piano, che avanza con la velocita della luce.

Succede allora che una carica di prova avverte un effetto solo nell’istante in cui questo

piano la colpisce, subendo una variazione istantanea, ma finita, della propria quantita di

moto. Supponiamo, per esempio, che il piano d’onda della particella colpisca all’istante

t = 0 una particella di carica e∗ non relativistica, v ¿ 1, nella posizione (x, y, 0) ≡ ~b. In

questo caso nell’equazione di Lorentz,

d~p

dt= e∗ (E + ~v × B)

il campo magnetico e trascurabile. Inserendo in questa formula la (6.80), e integrando

tra un instante precedente e uno successivo all’urto, si trova che alla particella viene

186

comunicata la quantita di moto,

∆~p =

∫ t

−t

d~p

dtdt = e∗

∫ t

−t

~E dt = e∗∫ t

−t

e~b

2π b2δ(z(t)− t) dt =

e∗e~b

2π b2 (1− vz)' e∗e~b

2π b2c.

Nel risultato finale abbiamo ripristinato la velocita della luce, per evidenziare il fatto che

si tratta di un effetto relativistico. L’urto provoca quindi un “kick” di allontanamento se

le cariche sono dello stesso segno, e un kick di avvicinamento se sono di segno opposto.

Osserviamo, comunque, che in Elettrodinamica il fenomeno delle shock waves costi-

tuisce solo un’estrapolazione matematica – e non una situazione fisicamente realizzabile –

perche in natura non esistono particelle cariche prive di massa. Al contrario, risolvendo le

equazione di Einstein si puo vedere che il campo gravitazionale generato da una particella

che viaggia con la velocita della luce, e ancora di tipo shock wave 27. Ma questa volta le

soluzioni hanno valenza fisica, perche qualsiasi particella senza massa – come il fotone –

essendo dotata di energia e gravitazionalmente “carica”, e quindi crea un campo gravita-

zionale di questo tipo. In questo caso l’estrapolazione matematica descrive, dunque, una

situazione realizzata in natura.

6.4 Campo di una particella in moto arbitrario

Come seconda applicazione importante della (6.8), determiniamo il campo elettromagne-

tico creato da una particella che percorre un’arbitraria traiettoria di tipo tempo. Rispetto

al moto rettilineo uniforme la particella possiede dunque un’accelerazione generalmente

non nulla, e vedremo che il campo generato apparira qualitativamente molto diverso. Le

peculiarita distintive che emergeranno rispetto al moto rettilineo uniforme si possono rias-

sumere come segue. Il campo di tipo coulombiano (6.66) verra deformato, ma manterra il

suo andamento a grandi distanze, ovvero 1/r2. In aggiunta comparira un campo nuovo,

dovuto all’accelerazione della particella, che a grandi distanze decadra piu debolmente,

ovvero come 1/r, e che sara quindi dominante rispetto al primo. Vedremo poi che sara

proprio questo andamento asintotico piu intenso ad essere responsabile del fenomeno del-

l’irraggiamento, del quale ci occuperemo in dettaglio nel prossimo capitolo: gli artefici

dell’irraggiamento sono dunque le cariche accelerate.

27P. Aichelburg e R. Sexl, Gen. Rel. Grav. 2 (1971) 303).

187

6.4.1 Condizioni asintotiche.

Cominciamo con qualche considerazione di carattere generale, sulle traiettorie delle par-

ticelle cariche che prenderemo in considerazione.

Riferendoci a una singola particella ricordiamo che possiamo parametrizzare la sua

linea di universo con il tempo proprio, yµ(s), ma anche con il tempo t,

t ≡ y0(s) −→ s(t) −→ yµ(s(t)).

Con un abuso di linguaggio, in questo secondo caso indicheremo la linea di universo,

per semplicita, di nuovo con yµ(t) ≡ (t, ~y(t)). Ricordiamo poi che, a parte una costante

additiva, la relazione esplicita tra i due parametri e,

s(t) =

∫ t

0

√1− v2(t′) dt′, ~v(t) ≡ d~y

dt. (6.83)

Dato che in natura non esistono particelle cariche di massa nulla, prenderemo in conside-

razione solo particelle massive, per cui ad ogni istante finito si ha v < 1. Per t→ ±∞, in

linea di principio puo succedere che v tende a 1, come per esempio nel caso di una par-

ticella in un campo elettrico costante e uniforme, vedi problema 2.7. Difatti imporremo

una condizione leggermente piu forte, cioe, che esista una velocita vM tale che,

v(t) ≤ vM < 1, ∀ t. (6.84)

Sotto questa condizione si ha,

√1− v2(t) ≥

√1− v2

M ,

e la (6.83) implica allora che,

limt→±∞

s(t) = ±∞, (6.85)

Cio assicura che i parametri s e t possono essere usati equivalentemente, per tutta l’evo-

luzione temporale. Difatti, per i moti realizzati in natura la condizione (6.84) e sempre

soddisfatta, come ora illustreremo. Le traiettorie che si riscontrano sperimentalmente

sono essenzialmente di due tipi – moti limitati e moti illimitati – e analizzeremo ora

separatamente questi due casi.

188

Moti illimitati. Per questi moti per definizione la quadrivelocita della particella am-

mette limiti finiti per t→ ±∞,

limt→±∞

uµ = uµ±.

Questa ipotesi e equivalente ad assumere che le velocita ordinarie ammettano limiti ~v±, con

v± < 1. Fisicamente queste condizioni sono motivate dal fatto che non esistono campi di

forza con un’estensione spaziale illimitata. All’infinito l’accelerazione deve quindi essere

nulla, e la velocita tendere a un vettore costante. E allora ovvio che esiste un valore

vM , per cui vale la (6.84). Esempi tipici di moti illimitati sono le traiettorie aperte di

un esperimento di scattering. Si puo comunque vedere che anche per campi (costanti e

uniformi) che si estendono fino all’infinito, per cui le velocita limite eguagliano la velocita

della luce, si hanno le relazioni asintotiche, vedi problema 2.7,

s(t) ∼ ± ln |t|.

Anche in questo caso valgono quindi le (6.85).

Moti limitati. Per questi moti sono soddisfatti i vincoli,

v(t) ≤ vM < 1, |~y(t)| ≤ L, ∀ t.

Questa categoria riguarda particelle confinate a una regione limitata dello spazio, come

per esempio un elettrone in un’antenna, oppure una particella carica in un ciclotrone. Nel

primo caso la particella e sottoposta a una forza “costante” oscillante, ma contempora-

neamente dissipa energia per effetto Joule e per irraggiamento. Il risultato e che la sua

energia resta limitata, e quindi la sua velocita strettamente minore di quella della luce.

Nel caso del ciclotrone, durante alcuni tratti del ciclo, oltre al campo magnetico sono

presenti anche campi elettrici acceleranti, che tendono a fare aumentare l’energia della

particella. Tuttavia, a regime questo aumento e completamente compensato dalla perdita

di energia per irraggiamento e, come vedremo, esiste una velocita massima minore della

velocita della luce – seppure spesso molto vicina ad essa.

Infine notiamo che, dato che in natura tutti i campi acceleranti F µν hanno intensita

limitata, la (6.84) assicura, per di piu, che l’accelerazione ordinaria ~a resta limitata, vedi

problema 2.10. Ricordando la relazione tra ~a e wµ si vede allora che anche la quadriacce-

lerazione di una particella carica e sempre limitata, sia per i moti limitati che per quelli

189

illimitati. In seguito tutte le traiettorie considerate saranno supposte appartenere a una

di queste due categorie.

6.4.2 I campi di Lienard–Wiechert

Per determinare il campo elettromagnetico creato da una particella in moto arbitrario,

procediamo formalmente come nel caso di una particella in moto rettilineo uniforme.

Riprendiamo la forma generale della corrente,

jµ(y) = e

∫ds uµ(s) δ4(y − y(s)),

e la inseriamo nella (6.30),

Aµ(x) =e

2π

∫d4y

∫ds uµ(s) H(x0 − y0) δ((x− y)2) δ4(y − y(s))

=e

2π

∫ds uµ(s) H(x0 − y0(s)) δ((x− y(s))2)

=e

2π

∫ds uµ(s) H(x0 − y0(s)) δ(f(s)). (6.86)

Abbiamo definito la funzione,

f(s) = (x− y(s))2 = (x0 − y0(s))2 − |~x− ~y(s)|2,

in cui sottintendiamo la dipendenza dal punto di osservazione xµ = (x0, ~x), che e fissato.

Come prima, per valutare δ(f(s)) dobbiamo individuare gli zeri della f . Dimostreremo

ora che questa funzione ha esattamente due zeri s±(x), soddisfacenti,

x0 − y0(s+) > 0, x0 − y0(s−) < 0. (6.87)

Per fare questo sfrutteremo le proprieta generali delle traiettorie di tempo considerate,

discusse nel paragrafo precedente.

Determinazione degli zeri di f(s). Incominciamo con l’osservare che si hanno i limiti,

lims→±∞

f(s) = +∞. (6.88)

Per i moti limitati questo e ovvio, perche per s→ ±∞ si ha,

y0(s) = t(s)→ ±∞,

190

mentre ~y(s) resta limitata. Per i moti illimitati, invece, per s → ±∞ le quadrivelocita

tendono a limiti uµ± ben definiti, e quindi,

yµ(s)→ uµ± s ⇒ f(s)→ x2 − 2 (xu±) s + s2 → +∞.

Dai limiti (6.88) segue che f(s) ha almeno un estremale – in particolare almeno un minimo

– e quindi la sua derivata almeno uno zero. Scegliamo un estremale qualsiasi, s = a.

Calcolando la derivata,

f ′(s) = −2(xµ − yµ(s)) uµ(s), (6.89)

si deduce che,

f ′(a) = −2(xµ − yµ(a)) uµ(a) = 0.

Ne segue che 28,

f(a) < 0.

Per provare questo sfruttiamo il fatto che le quantita f(s) e f ′(s) sono scalari per trasfor-

mazioni di Lorentz, quindi possiamo calcolarle in un sistema di riferimento arbitrario. Sce-

gliamo il sistema di riferimento in cui per s = a la particella e a riposo, uµ(a) = (1, 0, 0, 0).

Allora abbiamo,

0 = f ′(a) = −2(x0 − y0(a)) ⇒ f(a) = −|~x− ~y(a)|2 < 0.

Tutti i minimi e massimi di f(s) si trovano dunque nel semipiano inferiore. Questa

informazione, assieme al fatto che per s → ±∞ f va a +∞, implica che per ogni xµ

fissato f possiede esattamente due zeri s±,

f(s±) = 0, s+ < s−.

In s+ f passa da valori positivi a valori negativi, e in s− da valori negativi a valori positivi.

Di conseguenza abbiamo,

f ′(s+) < 0, f ′(s−) > 0.

Valutando queste disuguaglianze tramite la (6.89) nei riferimenti in cui la particella e

a riposo, rispettivamente agli istanti s+ e s−, si ottengono le relazioni (6.87) in questi

28In tutta questa analisi e sottointeso che x non appartenga alla linea di universo della particella, cioe,xµ 6= yµ(s), ∀ s. Nei punti x appartenenti alla linea di universo il potenziale vettore diverge.

191

riferimenti. Ma dato che i vettori xµ − yµ±(s) appartengono al cono luce, il segno di

x0 − y0±(s) e un invariante relativistico. Concludiamo quindi che le disuguaglianze (6.87)

valgono in qualsiasi sistema di riferimento, c.v.d.

Il quadripotenziale di Lienard–Wiechert. A questo punto possiamo valutare l’integran-

do della (6.86), usando la (2.37),

H(x0 − y0(s)) δ(f(s)) = H(x0 − y0(s))

(δ(s− s+)

|f ′(s+)| +δ(s− s−)

|f ′(s−)|)

= H(x0 − y0(s+))δ(s− s+)

|f ′(s+)| + H(x0 − y0(s−))δ(s− s−)

|f ′(s−)|=

δ(s− s+)

|f ′(s+)| =δ(s− s+)

2(x− y(s+))u(s+).

Sostituendo nella (6.86) si ottiene il quadripotenziale di Lienard–Wiechert,

Aµ(x) =e

4π

uµ(s)

(x− y(s))u(s)

∣∣∣∣s=s+(x)

, (6.90)

dove la funzione s+(x) e determinata in modo univoco dalle relazioni,

(x− y(s))2 = 0, x0 − y0(s) > 0, (6.91)

equivalenti a,

x0 − y0(s) = |~x− ~y(s)|. (6.92)

Il tempo ritardato. Per renderci conto del significato della posizione yµ(s+) della par-

ticella al tempo proprio s+, e piu conveniente parametrizzare la sua linea di universo con

il tempo,

t′ = y0(s), yµ(t′) = (t′, ~y(t′)), ~v(t′) =d~y(t′)dt′

, uµ(t′) =1√

1− v(t′)2(1, ~v(t′)).

Questo permette di riscrivere il potenziale di Lienard–Wiechert come,

Aµ(x) =e

4π

uµ(t′)(x− y(t′)) u(t′)

=e

4π

(1, ~v(t′))t− t′ − (~x− ~y(t′)) · ~v(t′)

=e

4π

(1, ~v(t′)

c

)

|~x− ~y(t′)| − (~x− ~y(t′)) · ~v(t′)c

, (6.93)

192

dove il “tempo ritardato” t′(t, ~x) e determinato dalla (6.92),

t− t′ =1

c|~x− ~y(t′)|. (6.94)

Nelle formule finali abbiamo reinserito la velocita della luce, per evidenziare le correzioni

relativistiche; per il caso statico si veda la (6.64). Come si vede, il potenziale nel punto

xµ = (t, ~x) non dipende dalle variabili cinematiche della particella all’istante t, bensı dai

valori di posizione e velocita all’istante ritardato t′. Dalla (6.94) si vede che questo istante

e determinato in modo tale che l’evento (t′, ~y(t′)) sia connesso attraverso un segnale di tipo

luce “futuro”, al punto d’osservazione xµ. La presenza del ritardo comporta nella (6.93)

correzioni relativistiche implicite, in quanto t′ = t− o(1/c). Piu precisamente, eseguendo

lo sviluppo non relativistico della (6.94) si ottiene,

t′(t, ~x) = t− |~x− ~y(t)|c

− (~x− ~y(t)) · ~v(t)

c2+ o

(1

c3

). (6.95)

Al denominatore della (6.93) compare poi una correzione relativistica esplicita, per la

presenza del termine proporzionale a v(t′)/c.

I campi di Lienard–Wiechert. Passiamo ora al calcolo del campo elettromagnetico

F µν = ∂µAν−∂νAµ. In seguito per semplicita con “s” indicheremo la funzione di x s+(x).

Introduciamo oltre alla quadriaccelerazione wµ = duµ/ds, il quadrivettore dipendente da

x,

Lµ(x) ≡ xµ − yµ(s), (6.96)

dove bisogna tenere presente che la dipendenza da x avviene anche attraverso s. Allora il

sistema (6.91) puo essere riscritto come,

LαLα = 0, L0 = |~x− ~y(s)|. (6.97)

Per il potenziale e il campo elettromagnetico si ottiene allora,

Aµ =e

4π

uµ

(uL), F µν =

e

4π

(1

(uL)∂µuν − 1

(uL)2∂µ(uL) uν − (µ↔ ν)

). (6.98)

Per determinare le derivate rimanenti dobbiamo valutare le derivate parziali di s ≡ s(x)

rispetto a xµ. A questo scopo e sufficiente derivare la (6.97) rispetto a xµ,

0 = Lα∂µLα = Lα∂µ(xα − yα(s)) = Lα

(ηαµ − ∂s

∂xµ

dyα

ds

)= Lµ − (uL)

∂s

∂xµ,

193

che da,∂s

∂xµ=

Lµ

(uL).

Possiamo ora calcolare le derivate che compaiono in F µν ,

∂µuν =∂s

∂xµ

duν

ds=

Lµwν

(uL),

∂µLν = ηµν − ∂s

∂xµ

dyν

ds= ηµν − Lµuν

(uL),

e quindi,

∂µ(uL) = (∂µuν)Lν + uν∂µLν

=1

(uL)Lµ(wL) + uν

(ηµν − Lµuν

(uL)

)

=1

(uL)((wL)− 1)Lµ + uµ.

Sostituendo queste espressioni nella (6.98) si ottiene infine un’espressione covariante a

vista, per il campo elettromagnetico prodotto da una particella carica in moto arbitrario,

F µν =e

4π(uL)3

(Lµuν + Lµ [(uL) wν − (wL) uν ]− (µ↔ ν)

). (6.99)

Campi di velocita e campi di accelerazione. Come prima cosa vogliamo analizzare il

comportamento della (6.99) a grandi distanze dalla particella. A questo scopo e convenien-

te suddividere i termini che compaiono in F µν in due classi, in base alla loro dipendenza

dalla variabile,

R ≡ L0 = |~x− ~y(s)|,

vedi (6.97). E anche conveniente definire il versore nullo,

mµ ≡ Lµ

R, mµmµ = 0,

con componenti,

m0 = 1, ~m =~x− ~y(s)

|~x− ~y(s)| , |~m| = 1.

Scrivendo Lµ = R mµ possiamo allora riscrivere il campo (6.99) come somma di due

contributi, il “campo di velocita” F µνv , e il “campo di accelerazione” F µν

a ,

F µν = F µνv + F µν

a , (6.100)

F µνv =

e

4π(um)3R2(mµuν −mνuµ) , (6.101)

F µνa =

e

4π(um)3R

(mµ [(um) wν − (wm) uν)]− (µ↔ ν)

). (6.102)

194

In F µνa abbiamo incluso i termini proporzionali a 1/R, e in F µν

v i termini proporzionali

a 1/R2. Come si vede il primo risulta proporzionale alla quadriaccelerazione, mentre il

secondo ne e indipendente.

Analizziamo ora gli andamenti di questi campi a grandi distanze dalla particella. Per

fare questo supponiamo che la particella si muova in una regione limitata dello spazio,

|~y| ≤ D,

e consideriamo il campo in un punto ~x lontano da questa regione,

r ≡ |~x| À D.

Allora abbiamo le identificazioni asintotiche,

R = |~x− ~y| ≈ r, ~m =~x− ~y

|~x− ~y| ≈~x

r≡ ~n. (6.103)

Siccome per qualsiasi valore di r i vettori uµ, wµ e mµ sono limitati, vediamo che a grandi

distanze dalla particella il campo di accelerazione decade come,

F µνa ∼

1

r, (6.104)

mentre il campo di velocita decade come,

F µνv ∼

1

r2. (6.105)

In particolare vediamo che a grandi distanze il campo di accelerazione domina sul campo

di velocita, e quindi il campo totale decade come,

F µν ∼ 1

r,

in contrapposizione con l’andamento del campo del moto rettilineo uniforme, vedi (6.71).

Consideriamo ora piu da vicino il campo di velocita, riscrivendolo come,

F µνv =

e

4π(uL)3(Lµuν − Lνuµ) . (6.106)

E facile vedere che per un moto rettilineo uniforme questo campo si riduce in realta alla

(6.66). Infatti, se yµ(s) = uµs, si ha Lµ = xµ − uµs, e quindi,

Lµuν − Lνuµ = xµuν − xνuµ,

(uL) = uµ(xµ − uµs) = (ux)− s+(x) =√

(ux)2 − x2,

195

vedi (6.60). Il campo F µνv rappresenta quindi una deformazione del campo elettromagneti-

co di una particella in moto rettilineo uniforme, ed eredita in particolare il suo andamento

asintotico 1/r2. Per questo motivo F µνv viene anche chiamato “campo coulombiano”.

Un effetto genuinamente nuovo e invece rappresentato dalla comparsa del campo di

accelerazione F µνa – causato appunto dall’accelerazione della particella – che a grandi

distanze soppianta il campo di velocita. Nel prossimo paragrafo vedremo che e proprio

questo campo a causare il fenomeno dell’irraggiamento.

I campi ~E e ~B. Esplicitiamo ora i campi elettrico e magnetico corrispondenti alla

(6.99). Usando le (6.100)–(6.102), questi campi possono a loro volta essere suddivisi

in campi di velocita, indipendenti dall’accelerazione e proporzionali a 1/R2, e in campi di

accelerazione, lineari nell’accelerazione e proporzionali a 1/R,

~E = ~Ev + ~Ea,

~B = ~Bv + ~Ba.

Esplicitiamo prima la quadriaccelerazione in termini dell’accelerazione spaziale ~a = d~v/dt′,

wµ =~a · ~v

(1− v2)3/2uµ +

1

(1− v2)(0,~a).

Si vede allora che il termine proporzionale a uµ si cancella, quando wµ viene inserito in

[(um) wν − (wm) uν ]. Usando anche che,

(um) =1√

1− v2(1− ~v · ~m),

con calcoli elementari dalle (6.101), (6.102) si trova allora, ripristinando la velocita della

luce,

~Ev =e

4πR2

(1− v2

c2

) (~m− ~v

c

)(1− ~v·~m

c

)3 , ~Bv = ~m× ~Ev, (6.107)

~Ea =e

4πc2R

~m× [(~m− ~v

c

)× ~a]

(1− ~v·~m

c

)3 , ~Ba = ~m× ~Ea, (6.108)

che sono i campi di Lienard–Wiechert. Si badi che le quantita cinematiche ~y, ~v e ~a che

compaiono in queste formule sono valutate all’istante ritardato t′(x), definito dalla (6.94).

196

Vediamo che in ogni punto i campi elettrico e magnetico sono ortogonali tra di loro, in

quanto si ha,

~B = ~m× ~E.

Data l’espressione particolare di ~Ev si vede poi che si puo anche scrivere,

~Bv =~v

c× ~Ev.

Il campo magnetico di velocita e quindi soppresso di un fattore v/c rispetto al campo

elettrico di velocita, come nel caso del moto rettilineo uniforme, vedi (6.68). Viceversa,

i campi elettrico e magnetico di accelerazione sono invece uguali in modulo, in quanto si

ha,

~m · ~Ea = 0, ~Ba = ~m× ~Ea, | ~Ba| = | ~Ea|, (6.109)

relazioni che sfrutteremo nel prossimo paragrafo.

Facciamo infine notare che rispetto al campo di velocita ~Ev, i campi ~Ea e ~Ba portano

un prefattore 1/c2. I campi di accelerazione rappresentano quindi degli effetti prettamente

relativistici !

Andamenti asintotici in generale. Concludiamo questo paragrafo con una generaliz-

zazione importante. Grazie al fatto che la (6.47) e lineare nella corrente, gli andamenti

asintotici del campo (6.99) derivati sopra si estendono, infatti, automaticamente al campo

elettromagnetico generato da un arbitrario sistema di cariche puntiformi. In particolare

il campo si scrivera ancora come,

F µν = F µνv + F µν

a , (6.110)

dove a grandi distanze,

F µνv ∼

1

r2, F µν

a ∼1

r. (6.111)

Per il campo totale si avra quindi di nuovo,

F µν ∼ 1

r. (6.112)

A livello asintotico si possono generalizzare anche le (6.109), ricordando che per grandi r

si ha l’identificazione, vedi (6.103),

~m ≈ ~n,

197

dove il versore radiale ~n e indipendente dalle traiettorie delle particelle. Per un siste-

ma arbitrario di particelle dalle (6.109) – per linearita – si ottengono allora le relazioni

asintotiche,

~n · ~Ea = 0, ~Ba = ~n× ~Ea, | ~Ba| = | ~Ea|, per r →∞. (6.113)

Ancora, siccome anche le correnti “macroscopiche” – come quelle corrispondenti agli elet-

troni in un’antenna o in un circuito elettrico – possono essere pensate come sovrapposizioni

delle correnti elementari delle cariche costituenti, gli andamenti asintotici (6.113) valgono

anche per i campi generati da tali correnti.

6.4.3 Emissione di radiazione da cariche accelerate

Ora che abbiamo un’espressione per il campo elettromagnetico prodotto da una particella

carica in moto arbitrario, possiamo chiederci sotto quali condizioni una particella cede o

assorbe energia o, piu in generale, quadrimomento, attraverso questo campo. Non siamo

quindi interessati al quadrimomento che le particelle cedono al campo, ma piuttosto al

quadrimomento che il sistema campo + particelle cede all’“ambiente” – che e quello che

viene rivelato sperimentalmente. Con un abuso di linguaggio, che adotteremo anche noi,

si parla comunque di “quadrimomento emesso dalle particelle”.

Formula fondamentale per l’emissione di quadrimomento. Consideriamo dunque un ge-

nerico sistema di particelle cariche interagenti con il campo elettromagnetico. Come ab-

biamo visto, il trasporto di quadrimomento di un tale sistema e quantificato dal tensore

energia–impulso del solo campo elettromagnetico, vedi paragrafo 2.4.3,

T µνem = F µ

αFαν +1

4ηµνFαβFαβ.

In particolare, se consideriamo “positivo” il quadrimomento emesso – come d’ora in poi

faremo sempre – il quadrimomento emesso nell’unita di tempo da una superficie chiusa Γ

e dato da, vedi (2.81),dP µ

dt=

∫

Γ

T µiem dΣi. (6.114)

Tuttavia, il quadrimomento che puo essere considerato definitivamente ceduto dal sistema

all’ambiente, e solo quello che successivamente non viene riassorbito. Il quadrimomento

198

in questione e quindi quello che riesce a raggiungere l’infinito spaziale 29. Questo vuol

dire che nell’integrale in (6.114) dobbiamo scegliere per Γ una sfera di raggio r, e poi fare

tendere r all’infinito. Scrivendo l’elemento di superficie della sfera come d~Σ = ~n r2 dΩ,

dove dΩ e l’angolo solido, per il quadrimomento emesso nell’unita di tempo otteniamo

allora,dP µ

dt= r2

∫T µi

em nidΩ, r →∞. (6.115)

Da questa espressione possiamo infine selezionare il quadrimomento emesso nell’unita di

tempo e nell’unita di angolo solido, in direzione ~n,

d2P µ

dt dΩ= r2

(T µi

em ni), r →∞, (6.116)

dove d’ora in poi il limite per r → ∞ sara sempre sottinteso. La (6.116) costituisce la

formula fondamentale per l’analisi di tutti i fenomeni di irraggiamento. Si vede allora in

particolare che, per valutare il quadrimomento emesso, e sufficiente selezionare da T µiem i

contributi che vanno come 1/r2 ovverosia, dato che T µνem e proporzionale a (F µν)2, da F µν

quelli che vanno come 1/r. Ma visti gli andamenti asintotici (6.111), questo significa che

al membro di destra della (6.116) contribuisce solo il campo di accelerazione.

La doppia conclusione di questa analisi – completamente generale – e che al quadrimo-

mento emesso da un sistema di cariche contribuisce solo il campo di accelerazione, e che

per determinare il primo e sufficiente valutare il secondo a grandi distanze dalle cariche.

Emissione di energia. Consideriamo ora piu in dettaglio l’emissione di energia. Per

l’energia P 0 ≡ ε emessa nell’unita di tempo e nell’unita di angolo solido, ovverosia, per la

potenza W = dε/dt emessa nell’unita di angolo solido, la componente zero della (6.116)

fornisce, si ricordi che T 0iem = Si,

dWdΩ

=d2ε

dt dΩ= r2(~S · ~n). (6.117)

Ma per quanto concluso sopra, al vettore di Poynting contribuiscono solo i campi di

accelerazione,

~S = ~E × ~B → ~Ea × ~Ba,

29A livello quantistico questo significa che consideriamo “emessi” solo quei fotoni che riescono araggiungere l’infinto, e non vengono successivamente risassorbiti dalle particelle.

199

e questi ultimi vanno inoltre valutati a grandi distanze. Possiamo allora usare le relazioni

asintotiche (6.113), per derivare la semplice formula,

~S = ~Ea × ~Ba = ~Ea × (~n× ~Ea) = ~n | ~Ea|2. (6.118)

Risulta, quindi, che ~S ha la stessa direzione e lo stesso verso di ~n, e ne segue che il flusso

di energia e sempre radiale uscente, verso l’infinito: l’energia viene quindi sempre emessa

dalle particelle, e mai assorbita ! Questa circostanza e una conseguenza diretta del fatto

che abbiamo utilizzato il kernel ritardato Gret; se avessimo usato il kernel avanzato Gadv,

il flusso di energia sarebbe stato invece sempre entrante dall’infinito.

Se inseriamo la (6.118) nella (6.117) vediamo che la potenza emessa dipende in modo

semplice dal modulo del campo elettrico di accelerazione, valutato a grandi distanze dalla

particella,dWdΩ

= c r2| ~Ea|2, (6.119)

dove abbiamo ripristinato la velocita della luce. Grazie al fatto che ~Ea decade come 1/r,

la potenza emessa sara in particolare sempre finita. Inoltre, siccome | ~Ba| = | ~Ea| abbiamo,

W = 0 ⇔ F µνa = 0.

La presenza o assenza di energia emessa costituisce quindi un fenomeno Lorentz invarian-

te, cioe, indipendente dal sistema di riferimento. In presenza di una singola particella

abbiamo inoltre, vedi la (6.102) e il problema 6.2,

F µνa = 0 ⇔ wµ = 0.

La presenza o assenza di energia emessa e quindi legata inscindibilmente all’accelerazione

della particella.

Il campo di accelerazione come campo di radiazione. Possiamo infine cercare di met-

tere in relazione il campo di accelerazione F µνa , con i “campi di radiazione” – le soluzioni

dell’equazione di Maxwell nel vuoto, che abbiamo studiato nel capitolo precedente. A

questo proposito notiamo che nel complemento della linea di universo, il campo totale

(6.100) soddisfa evidentemente le equazioni di un campo di radiazione,

∂µFµν = 0 = ∂[µFνρ].

200

Ma dato che F µν = F µνv + F µν

a , e che F µνv decade come 1/r2, ne segue che F µν

a (che di per

se decade solo come 1/r) soddisfa queste equazioni asintoticamente, vale a dire modulo

termini 1/r2,

∂µFµνa = o

(1

r2

), ∂[µFa νρ] = o

(1

r2

).

Ci aspettiamo allora che a grandi distanze dalla particella il campo di accelerazione si

comporti come un campo di radiazione, e che risulti in particolare sovrapposizone di on-

de piane. Dalla formula del vettore di Poynting (6.118) – formalmente identico a quello

delle onde piane (5.76) – si desume allora che le onde che compongono F µνa si propagano

necessariamente lungo la direzione radiale uscente. Siamo quindi portati a concludere che

l’energia emessa (6.119) viaggia asintoticamente a cavallo di un campo di radiazione, che

e composto da onde elettromagnetiche che si propagano in direzione radiale. Nel prossi-

mo capitolo renderemo questa affermazione precisa, analizzando in dettaglio le proprieta

asintotiche di un generico campo di accelerazione F µνa . Per le caratteristiche appena de-

scritte, il campo di accelerazione viene spesso anche chiamato semplicemente “campo di

radiazione”.

In conclusione, una carica accelerata cede energia e quantita di moto attraverso il suo

campo di radiazione, liberando onde elettromagnetiche che le trasportano fino all’infinito.

6.4.4 Limite non relativistico e formula di Larmor

Per illustrare il significato delle formule del paragrafo precedente determiniamo la potenza

totale emessa da una particella carica accelerata in tutte le direzioni,

W =

∫dWdΩ

dΩ, (6.120)

nel limite non relativistico. Per essere precisi, vogliamo valutare questa potenza all’ordine

piu basso in 1/c che, come vedremo, corrisponde a W ∼ 1/c3.

Data la (6.119) si tratta dunque di valutare il campo elettrico di accelerazione all’ordine

piu basso in 1/c. Siccome questo campo porta un prefattore 1/c2, nella (6.108) possiamo

allora trascurare i fattori v/c, ottenendo,

~Ea =e

4πR c2~m× (~m× ~a), | ~Ea|2 =

e2 |~m× ~a|216 π2 R2 c4

. (6.121)

201

La validita di questa approssimazione richiede dunque in particolare che la particella si

muova con velocita piccola rispetto alla velocita della luce,

v ¿ c,

come c’era da aspettarsi. Per determinare la distribuzione angolare della potenza emessa

(6.119) dobbiamo inoltre valutare ~Ea asintoticamente, a grandi distanze dalla particella,

per cui secondo le (6.103) si ha R→ r e ~m→ ~n. La (6.119) diventa allora,

dWdΩ

=e2

16 π2 c3|~n× ~a|2 . (6.122)

La potenza emessa nell’unita di angolo solido e quindi quadratica nell’accelerazione della

particella, ma esibisce anche una dipendenza esplicita dalla direzione ~n in cui si osserva

la radiazione.

Il ritardo asintotico. Prima di poter determinare la potenza totale integrando la (6.122)

sull’angolo solido, occorre fare una precisazione sull’interpretazione di questa formula in

relazione alla propagazione causale della radiazione. Questa formula da, infatti, l’energia

emessa dalla particella nell’unita di tempo e nell’unita di angolo solido in direzione ~n

– rivelata all’istante t a una distanza r molto grande dalla particella, e il membro di

sinstra della (6.122) andrebbe quindi scritto meglio come dWdΩ

(t, r, ~n). L’accelerazione che

compare al membro di destra della formula e, invece, valutata all’istante ritardato t′(t, ~x),

determinato dalla relazione (6.94),

t− t′ =1

c|~x− ~y(t′)|. (6.123)

Anche questa relazione va valutata asintoticamente, per punti di osservazione ~x molto

lontani dalla traiettoria della particella. Supponiamo allora che la particella sia confinata

alla sfera SD, di raggio D e centro nell’origine: |~y(t)| < D, ∀ t, e scegliamo r = |~x| À D.

Ricordando che ~n = ~x/r abbiamo allora lo sviluppo,

|~x− ~y(t′)| = r

∣∣∣∣~n−~y(t′)

r

∣∣∣∣ = r

√1− 2

~n · ~y(t′)r

+y2(t′)

r2

= r

(1− ~n · ~y(t′)

r+ o

(1

r2

))= r − ~n · ~y(t′) + o

(1

r

), (6.124)

e si ottiene per la versione asintotica della (6.123),

t′ = t− r

c+

~n · ~y(t′)c

≡ T +~n · ~y(t′)

c. (6.125)

202

La (6.122) si scrive quindi piu precisamente,

dWdΩ

(t, r, ~n) =e2

16 π2 c3|~n× ~a(t′)|2 , (6.126)

dove la funzione t′ = t′(t, ~x) e definita dalla relazione implicita (6.125).

Vediamo che il tempo ritardato (6.125) e composto da un termine “macroscopico”,

T = t − rc, e da un contributo “microscopico”, ~n · ~y(t′)/c. Il primo rappresenta l’istante

(ritardato) in cui la radiazione deve lasciare il centro di SD, per giungere all’istante t

nel punto di rivelazione ~x. Questo istante e indipendente dal moto della particella e

dalla direzione di osservazione ~n. Il termine microscopico rappresenta invece un ritardo

aggiuntivo causato dal moto ~y(t) della particella all’interno di SD, e dipende da ~n. Siccome

questo termine e inoltre soppresso di un fattore 1/c, nel limite non relativistico esso potra

essere trascurato, vedi sotto.

Il membro di destra della (6.126) esibisce quindi una dipendenza esplicita da ~n, e una

implicita attraverso t′. Di conseguenza l’integrale sugli angoli nella (6.120) in generale

non puo essere eseguito analiticamente. Possiamo comunque risolvere iterativamente la

(6.125) attraverso uno sviluppo non relativistico in potenze di 1/c,

t′ = T +~n · ~y(T )

c+

(~n · ~y(T ))(~n · ~v(T ))

c2+

(1

c3

).

che porta a,

~a(t′) = ~a(T ) +~n · ~y(T )

c~a(T ) +

(1

c2

). (6.127)

Tuttavia, dato che la (6.126) e stata ottenuta trascurando nella (6.108) i fattori v/c,

per consistenza anche nella (6.127) dobbiamo omettere i termini di ordine 1/c, e tenere

quindi solo il contributo di ordine zero ~a(T ), che equivale a porre t′ = T . In questo limite

si trascura quindi, in particolare, il ritardo microscopico. In conclusione, nel limite non

relativistico la radiazione che viene rivelata a un istante t a una distanza r dalla particella,

viene considerata emessa dalla particella all’istante ritardato T = t− rc, e quindi l’energia

emessa corrisponente (6.126) deve dipendere dal valore dell’accelerazione ~a(T ) allo stesso

istante.

Nello sviluppo (6.127) i termini di ordine 1/c e successivi rappresentano, invece, corre-

zioni relativistiche di ordine superiore. Per una trattazione sistematica degli sviluppi non

203

relativistici rimandiamo alla sezione 7.3, dove faremo in particolare vedere che, affinche il

ritardo microscopico possa essere trascurato, e necessario che le particelle si muovano con

velocita piccole rispetto alla velocita della luce.

Formula di Larmor. Nell’approssimazione non relativistica l’accelerazione ~a(T ) ≡ ~a

nella (6.126) risulta indipendente dagli angoli, e la potenza totale (6.120) puo allora essere

valutata esplicitamente. Per fare questo e sufficiente scegliere come asse z la direzione di

~a, e usare le relazioni,

|~n× ~a|2 = |~a |2sen2ϑ, dΩ = senϑ dϑ dϕ.

Risulta allora,

W =e2|~a |216 π2 c3

∫ 2π

0

dϕ

∫ π

0

sen3ϑ dϑ.

Svolgendo gli integrali si ottiene una formula semplice per la potenza totale emessa da

una particella non relativistica, con carica e e accelerazione ~a,

W =e2 |~a |26π c3

, (6.128)

che e la nota formula di Larmor (1897). Insistiamo sul fatto che in questa formula la

potenza W(t, r) rivelata a un istante t a una distanza r dalla particella, coinvolge al

membro di destra l’accelerazione valutata all’istante t − rc. Proprio perche la radiazione

si propaga con velocita c, la formula puo allora anche essere interpretata dicendo che, se

a un dato istante la particella possiede l’accelerazione ~a, in quell’istante essa emette la

potenza e2|~a|2/6πc3. Torneremo su questo punto in sezione 9.1, dove discuteremo la gene-

ralizzazione relativistica della (6.128). Le conseguenze fenomenologiche della formula di

Larmor saranno invece analizzate nel prossimo capitolo, dove la rideriveremo nell’ambito

di un approccio piu sistematico.

6.5 Problemi

6.1 Si dimostri che la funzione di Green ritardata (6.43) definisce una distribuzione in

S ′(R4).

6.2 Si dimostri che il campo F µνa asintotico dato in (6.102) e nullo in ogni direzione ~n,

se e solo se wµ = 0. [Sugg.: puo essere utile usare il sistema a riposo istantaneo.]

204

6.3 Si consideri una particella di carica e che si muove con velocita v costante lungo

l’asse z, nel sistema di riferimento del laboratorio K. Si consideri che nel sistema di

riferimento K ′, dove la particella e a riposo in ~x ′ = 0, il quadripotenziale vale,

A′µ(x′) =e

4π|~x ′| (1, 0, 0, 0).

a) Si determini la trasformazione di Lorentz Λµν che connette un evento in K con l’evento

corrispondente in K ′.

b) Si determini il potenziale Aµ(x) in K sfruttando il fatto che esso e un quadrivettore, e

si confronti il risultato con la (6.63).

6.4 Si verifichi che i campi elettrico e magnetico di una particella priva di massa soddi-

sfano le equazioni (6.82), dimostrando in particolare che in due dimensioni vale l’identita

distribuzionale,

~∇ · ~x

r2= 2π δ2(~x),

dove ~x ≡ (x, y) e r =√

x2 + y2.

Se ne deduca che la funzione di Green del laplaciano bidimensionale e data dal

logaritmo,

∇2

(1

2πln r

)= (∂2

x + ∂2y)

(1

2πln

√x2 + y2

)= δ2(~x).

205

7 Irraggiamento

Con “irraggiamento” si intende genericamente il fenomeno dell’emissione di radiazione

da parte di un generico sistema carico. Nel capitolo precedente abbiamo derivato un’e-

spressione esatta per il campo elettromagnetico generato da una particella carica in moto

arbitrario. Abbiamo visto che se la particella e accelerata, allora essa genera un campo di

accelerazione che a grandi distanze decade come 1/r e che trasporta energia e quantita di

moto. Abbiamo anche constatato che l’analisi quantitativa della radiazione, e in partico-

lare la determinazione del quadrimomento emesso, in realta non richiedono la conoscenza

dei campi di Lienard–Wiechert esatti, ma solo della loro forma asintotica.

Nel presente capitolo vogliamo eseguire un’analisi sistematica della radiazione emessa

da un arbitrario sistema carico, rappresentato da una quadricorrente jµ generica. Siccome

a livello microscopico qualsiasi sistema carico puo essere pensato come composto da un

insieme di particelle cariche puntiformi, il suo campo a grandi distanze decade ancora

come 1/r, e per analizzare la radiazione emessa e di nuovo sufficiente determinare il suo

andamanto asintotico. Uno degli scopi principali di questo capitolo sara in particolare la

determinazione del quadrimomento emesso dal sistema nell’unita di tempo, vedi (6.116),

d2P µ

dt dΩ= r2

(T µi

em ni). (7.1)

Siccome al membro di destra di questa formula contribuiscono solo i campi F µν che a

grandi distanze decadono come 1/r, per valutare il quadrimomento emesso e allora suffi-

ciente selezionare anche dal quadripotenziale Aµ di (6.48) i contributi che vanno come 1/r.

La prossima sezione sara dunque dedicata a un’analisi sistematica del quadripotenziale a

grandi distanze dal sistema carico, ovvero nella “zona della onde”.

Decomposizione spettrale della corrente. Concludiamo questa premessa con una speci-

ficazione sulla natura delle correnti che considereremo. In primo luogo queste dovranno

certamente essere conservate, ∂µjµ = 0. Le correnti che compaiono nella realta fisica si

suddividono poi naturalmente in due categoria a seconda della loro dipendenza dal tem-

po, correnti aperiodiche e correnti periodiche. Nel primo caso la corrente ammette una

trasformata di Fourier nella sola variabile temporale, ovvero, ammette la “decomposizione

206

spettrale”,

jµ(t, ~x) =1√2π

∫ ∞

−∞dω eiωtjµ(ω, ~x), (7.2)

dove la trasformata jµ(ω, ~x) rappresenta il “peso continuo” con cui la frequenza ω compare

nella corrente. Siccome la corrente e reale questi pesi devono soddisfare la condizione di

realta,

jµ∗(ω, ~x) = jµ(−ω, ~x),

a causa della quale in seguito le frequenze saranno considerate sempre positive. Esempi

di processi che corrispondono a correnti aperiodiche sono gli urti elastici tra particelle

cariche, o il passaggio di una particella carica attraverso una zona limitata con un campo

elettromagnetico non nullo.

Se la corrente e invece periodica nel tempo con periodo T – come la corrente macro-

scopica in un’antenna, o quella dovuta a una particella carica in un ciclotrone – allora la

decomposizione (7.2) viene sostituita dalla serie di Fourier 30,

jµ(t, ~x) =∞∑

N=−∞eiNω0 t jµ

N(~x), jµ∗N (~x) = jµ

−N(~x), (7.3)

dove ω0 = 2πT

e la frequenza fondamentale. In questo caso jµN(~x) rappresenta il “peso

discreto” con cui la frequenza,

ωN = Nω0,

compare nella corrente.

In seguito considereremo anche “sorgenti monocromatiche” corrispondenti a correnti

con frequenza fissata, del tipo,

jµ(t, ~x) = eiωtjµ(ω, ~x) + c.c. (7.4)

Qualsiasi sorgente potra quindi essere pensata come sovrapposizione – discreta o continua

– di sorgenti monocromatiche. La denominazione “frequenza” per la variabile duale ω

30In realta la (7.3) puo essere riguardata come un caso particolare della (7.2), se si pone,

jµ(ω, ~x) =√

2π

∞∑

N=−∞δ(ω − ωN )jµ

N (~x).

207

deriva dal fatto che, come vedremo, una sorgente monocromatica genera un campo elet-

tromagnetico che nella zona delle onde assume la forma di un’onda piana monocromatica,

con la stessa frequenza ω della sorgente.

7.1 Il campo elettromagnetico nella zona delle onde

In questa sezione considereremo una generica corrente a supporto spaziale compatto. Sce-

gliendo opportunamente l’origine spaziale del sistema di riferimento, il suo supporto

spaziale sara allora contenuto in una palla di raggio R e avremo,

jµ(t, ~x) = 0, per |~x| > R, ∀ t.

La limitazione a correnti siffatte trova la sua motivazione fisica nel fatto che le distribuzioni

di carica realizzabili in natura sono necessariamente confinate a una regione limitata.

Il potenziale nella zona delle onde. Definiamo come “zona delle onde” la regione lon-

tana dalle cariche, ovvero la regione spaziale 31,

|~x| ≡ r À R. (7.6)

Per i motivi detti valutiamo ora il quadripotenziale esatto (6.48),

Aµ(x) =1

4π

∫d3y

1

|~x− ~y| jµ(t− |~x− ~y|, ~y), (7.7)

nella zona delle onde, arrestandoci ai termini di ordine 1/r. Siccome la corrente nell’in-

tegrando e nulla per |~y| > R, l’integrale in d3y puo essere ristretto ai valori di ~y per cui

|~y| ≤ R. In base alla (7.6) abbiamo allora,

|~x| À |~y|.31Come “zona delle onde” si definisce spesso la regione degli r che oltre alla (7.6) soddisfano anche,

r À λ, r À R2

λ, (7.5)

dove λ = 2π/ω e la lunghezza d’onda, e ω indica la generica frequenza presente nella corrente (7.2). Se rsoddisfa queste relazioni ulteriori, allora le formule (7.9) e (7.10) mantengono la loro validita anche pervalori finiti di r, e non solo asintoticamente. Per esempio, per arrivare alla (7.9) nell’argomento temporaledella corrente in (7.7) abbiamo trascurato un termine o(y2/r), vedi (7.8), che nello sviluppo della correntedarebbe luogo a un contributo del tipo (y2/r)∂0j

µ. Considerando la componente monocromatica (7.4)schematicamente si ha ∂0j

µ ' iωjµ, e quindi questo termine e trascurabile se ωy2/r < ωR2/r ¿ 1, cheequivale alla seconda condizione in (7.5).

208

Introducendo il versore radiale ~n = ~x/r abbiamo allora gli sviluppi, vedi (6.124),

|~x− ~y| = r

√1− 2

~n · ~yr

+y2

r2= r − ~n · ~y + o

(1

r

), (7.8)

1

|~x− ~y| =1

r+ o

(1

r2

).

Inserendo queste espansioni in (7.7) si ottiene il potenziale nella zona delle onde,

Aµ(x) =1

4πr

∫d3y jµ(t− r + ~n · ~y, ~y) + o

(1

r2

). (7.9)

In seguito trascureremo i termini di ordine 1/r2, in quanto siamo interessati solo al termine

leading – che e di ordine 1/r come anticipato. Si noti in particolare che l’integrale che

moltiplica il fattore 1/4πr dipende, oltre che da ~x, anche dal tempo. Di conseguenza il

potenziale (7.9) dara luogo a un campo F µν che a grandi distanze decade ancora come 1/r,

vedi sotto, corrispondente appunto a un campo di accelerazione. Per confronto ricordiamo

che anche il potenziale coulombiano statico e proporzionale a 1/r, ma che in quel caso il

coefficiente di proporzionalita e indipendente dal tempo e il campo corrispondente decade

allora come 1/r2, e non come 1/r.

Notiamo poi nella (7.9) la comparsa del tempo ritardato “macroscopico” T = t − r,

che tiene conto del tempo che il campo elettromagnetico impiega per raggiungere il punto

di osservazione, a partire dal centro della palla contenente le cariche. Il termine ~n · ~ytiene invece conto del ritardo “microscopico” delle cariche individuali, a seconda della

loro posizione all’interno della palla.

Le relazioni delle onde. Le proprieta principali del campo elettromagnetico nella zona

della onde, derivato dal potenziale (7.9), seguono dalle relazioni delle onde (5.63),

∂µAν = nµA

ν , nµAµ = 0, nµnµ = 0, (7.10)

relazioni che ora dimostreremo essere valide anche per il potenziale (7.9), modulo ter-

mini di ordine 1/r2. Cominciamo definendo il “quadrivettore” nullo nµ = (n0, ~n) con

componenti,

n0 = 1, ~n =~x

r, n2 = 0.

Calcoliamo poi le derivate rispetto a t e xi dell’integrando della (7.9)

1

rjµ(t− r + ~n · ~y, ~y),

209

tralasciando di scrivere esplicitamente gli argomenti,

∂0

(1

rjν

)=

1

r∂0j

ν ,

∂i

(1

rjν

)= −xi

r2∂0j

ν + o

(1

r2

).

Modulo termini di ordine 1/r2 queste relazioni equivalgono a,

∂µ

(1

rjν

)= nµ ∂0

(1

rjν

).

Dalla (7.9) si ottiene allora,

∂µAν =

1

4π

∫d3y ∂µ

(1

rjν

)=

1

4π

∫d3y nµ ∂0

(1

rjν

)= nµ ∂0

1

4πr

∫d3y jν = nµ ∂0A

ν ,

che e la prima relazione in (7.10). La seconda e conseguenza del fatto che il potenziale

per costruzione soddisfa la gauge di Lorentz, ∂µAµ = 0.

Una volta appurato che valgono le (7.10), concludiamo che il campo elettromagnetico

nella zona delle onde condivide con le onde piane le proprieta (5.77)–(5.79),

~E = − ~A + (~n · ~A )~n = ~n×[~n× ~A

], (7.11)

~B = ~n× ~E, ~n · ~E = 0, | ~E| = | ~B|, (7.12)

T µνem = nµnν(AiAj) Λij = nµnν

∣∣∣~n× ~A∣∣∣2

= nµnν | ~E|2, Λij ≡ δij − ninj. (7.13)

In particolare i campi elettrico e magnetico sono ortogonali tra di loro, e la direzione di

propagazione del campo e la radiale uscente ~n. Infatti, dalle (7.12) segue che il vettore di

Poynting e parallelo e concorde a ~n,

~S = ~E × ~B = ~n | ~E|2. (7.14)

Le relazioni (7.12) e (7.14) generalizzano in particolare le formule asintotiche (6.113) e

(6.118) – valide per il campo asintotico di un sistema di particelle puntiformi – al caso di

una corrente generica. Dalla (7.9) segue inoltre l’andamento asintotico,

Aµ ∼ 1

r,

e le (7.11), (7.12) comportano allora per il campo elettromagnetico l’andamento asintotico

previsto, F µν ∼ 1/r.

Notiamo infine che la valutazione esplicita delle formule (7.11)–(7.13) richiede solo la

conoscenza della parte spaziale ~A del quadrivettore (7.9).

210

7.1.1 Emissione di quadrimomento

Inserendo la formula per il tensore energia–impulso asintotico (7.13) nella (7.1) otte-

niamo un’espressione compatta per la distribuzione angolare del quadrimomento emesso

nell’unita di tempo,d2P µ

dt dΩ= r2 nµ| ~E|2. (7.15)

Per calcolare invece il quadrimomento emesso nell’unita di tempo in tutte le direzioni,

occorre integrare il membro di destra della (7.15) sull’angolo solido totale,

dP µ

dt= r2

∫dΩ nµ| ~E|2. (7.16)

Per processi di radiazione transitori, ovvero processi originati da cariche che sono accele-

rate solo per un intervallo finito di tempo, sara finito anche il quadrimomento emesso in

direzione ~n nell’unita di angolo solido, durante l’intero processo,

dP µ

dΩ= r2nµ

∫ ∞

−∞| ~E|2 dt.

Indicando come al solito la potenza emessa condε

dt=W , le componenti temporale e

spaziali della (7.15) si scrivono, vedi (7.11),

d2ε

dt dΩ=

dWdΩ

= r2 | ~E|2 = r2 (AiAjΛij), Λij ≡ δij − ninj, (7.17)

d2 ~P

dt dΩ=

dWdΩ

~n. (7.18)

Si noti in particolare la compensazione delle potenze di r nella (7.17), una volta inserita

la (7.9). Si vede che per il campo elettromagnetico nella zona delle onde, 1) il flusso di

quantita di moto e determinato localmente dal flusso di energia e, 2) la quantita di moto

e l’energia soddisfano localmente le relazioni,

∆~P = ~n ∆ε, (∆ε)2 − |∆~P |2 = 0, (7.19)

come nel caso delle onde piane. Siccome a livello quantistico il fenomeno dell’irraggia-

mento corrisponde all’emissione di fotoni, le (7.19) indicano allora che queste particelle

sono prive di massa, e che si propagano in direzione radiale. Torneremo su alcuni aspetti

quantistici della radiazione nel capitolo 10.

211

Il risultato piu importante di questo paragrafo e la relazione (7.17), in quanto punto

di partenza per l’analisi energetica di tutti i fenomeni di radiazione: essa permette di

determinare la distribuzione angolare e temporale della radiazione emessa da una generica

corrente jµ, una volta valutata la parte spaziale del potenziale vettore attraverso la (7.9).

7.1.2 Sorgenti monocromatiche e onde piane

Abbiamo appena constatato che il campo elettromagnetico nella zona delle onde possiede

molte delle proprieta delle onde piane. Questo fatto chiaramente non e casuale perche,

essendo jµ(t, ~x) = 0 per |~x| > R, al di fuori della palla di raggio R il campo e un campo

libero. Pur non essendo libero in tutto lo spazio, la sua forma si avvicinera tanto piu a

quella di un campo libero in tutto lo spazio, quanto piu ci allontaniamo dalla sorgente.

C’e allora da aspettarsi che nella zona delle onde il campo elettromagnetico risulti con

buona approssimazione una sovrapposizione di onde piane, e non stupisce che esso erediti

le loro proprieta piu salienti. Tuttavia, e altrettanto chiaro che in generale questo campo

non sara costituito da una singola onda piana monocromatica.

Per decomporre il campo nella zona delle onde in onde elementari, sfruttiamo la li-

nearita in jµ del potenziale vettore (7.9), e utilizziamo le decomposizioni spettrali del-

la corrente (7.2) e (7.3). Considerando una singola frequenza ω inseriamo la sorgente

monocromatica (7.4) nella (7.9),

Aµ(x) =1

4πr

∫d3y eiω(t−r+~n·~y) jµ(ω, ~y) + c.c.

=1

4πreiω(t−r)

∫d3y eiω(~n·~y) jµ(ω, ~y) + c.c.

≡ εµ eik·x + c.c. (7.20)

Abbiamo definito il vettore d’onda kµ con componenti,

k0 = ω, ~k = ω ~n,

soddisfacente,

k2 = 0, k · x = kµxµ = ω(t− r),

e il vettore di polarizzazione,

εµ =1

4πr

∫d3y eiω(~n·~y)jµ(ω, ~y). (7.21)

212

Vediamo allora che una sorgente monocromatica genera un campo che nella zona delle

onde si riduce formalmente a un’onda piana, con i vettori d’onda e di polarizzazione

indicati. In particolare, una corrente di frequenza ω genera un’onda della stessa frequenza.

Onde piane e onde sferiche. Tuttavia, la (7.20) non costituisce un’onda piana vera

e propria, perche sia il vettore d’onda, sia il vettore di polarizzazione esibiscono una

dipendenza residua dalla posizione ~x = ~n r. In particolare il vettore di polarizzazione porta

il prefattore 1/r, la cui presenza e tra l’altro richiesta dalla conservazione dell’energia.

Infatti, scrivendo il vettore di Poynting mediato nel tempo associato all’onda (7.20) si ha,

vedi il problema 5.6,

~S = −2~nω2ε∗µεµ,

e si vede che ~S e proporzionale a 1/r2. Di conseguenza l’energia che attraversa la sezione

di un cono di apertura angolare dΩ nell’unita di tempo,

~S · (~n r2dΩ),

e indipendente da r. L’energia fluisce quindi verso l’infinito, conservandosi. La polariz-

zazione εµ dipende poi anche dalla direzione ~n, attraverso l’esponenziale nell’integrando

della (7.21). Per queste particolari dipendenze da r e ~n il potenziale (7.20) corrisponde,

propriamente parlando, a una sovrapposizione di “onde sferiche”, vedi il testo di J.D.

Jackson 32, piuttosto che a un’onda piana.

Tuttavia, in una regione con estensioni spaziali L piccole rispetto a r,

L¿ r,

i vettori kµ e εµ risultano praticamente costanti, e localmente la (7.20) appare quindi

come un’onda piana. Infatti, all’interno di una regione di questo tipo le variazioni relative

di r e ~n sono limitate da,∆r

r<

L

r, |∆~n| < L

r,

e la variazione relativa di ~k equivale allora a,

|∆~k|ω

= |∆~n| < L

r¿ 1.

32J.D. Jackson, Classical Electrodynamics, 3a edizione, Wiley & Sons, New York, 1998.

213

Per quanto riguarda invece la variazione del vettore di polarizzazione, dalla (7.21) si ricava,

∆εµ =1

4πr

∫d3y

(−∆r

r+ i ω (∆~n · ~y)

)eiω(~n·~y)jµ(ω, ~y).

Considerando che |~y| < R abbiamo,∣∣∣∣−

∆r

r+ i ω (∆~n · ~y)

∣∣∣∣ <L

r+ ωR |∆~n| < (1 + ωR)

L

r.

Siccome per sistemi microscopici ωR corrisponde alla velocita delle cariche nella corrente,

vedi la prossima sezione, anche la variazione relativa di εµ e allora dell’ordine di L/r ¿ 1.

Se a titolo di esempio consideriamo la radiazione emessa dal sole e osservata sulla terra,

r corrisponde alla distanza terra–sole, r = 1.5 · 108km, mentre L e il diametro della terra,

L = 1.2 · 104km. Sulla superficie della terra il vettore d’onda e il vettore di polarizzazione

sono quindi soggetti a variazioni relative molto piccole, dell’ordine di L/r ∼ 10−4, e la

radiazione osservata risulta in pratica composta da onde piane.

Sorgenti generiche. Data la linearita della (7.9), questi risultati si estendono diretta-

mente alle generiche quadricorrenti (7.2) e (7.3). Nel caso generale il campo elettroma-

gnetico nella zona delle onde risulta dunque – localmente – sovrapposizione di onde piane

monocromatiche, e le frequenze presenti nella radiazione sono un sottoinsieme di quelle

presenti nella corrente. Puo, infatti, succedere che l’integrale nella (7.21) sia zero.

In particolare, a un arbitrario sistema di cariche che eseguono un moto periodico di

periodo T , corrisponde una corrente periodica del tipo (7.3), e sistemi siffatti emettono

quindi radiazione con frequenze appartenenti all’insieme,

ωN = Nω0, N = 1, 2, 3 · · · .

Viceversa, a un sistema di particelle che seguono orbite aperte corrisponde una corrente

aperiodica del tipo (7.2), e un tale sistema di cariche emette quindi radiazione con uno

spettro continuo di frequenze.

7.2 La radiazione dell’antenna lineare

Dalle formule derivate nella sezione precedente si vede che il calcolo del quadrimomento

emesso richiede la valutazione del potenziale spaziale ~A nella zona delle onde. Sfortu-

natamente l’integrale che compare nella (7.9) raramente puo essere eseguito in modo

214

esatto, ed in generale e necessario ricorrere a un approccio perturbativo, come per esem-

pio lo sviluppo in multipoli che presenteremo nella prossima sezione. Uno dei rari casi

in cui l’integrale nella (7.9) puo essere valutato esattamente e quello dell’antenna lineare,

alimentata al centro.

Senza entrare nei dettagli diamo la forma della densita di corrente spaziale in un’an-

tenna lineare di lunghezza L disposta lungo l’asse z, alimentata al centro da un generatore

di frequenza ω,

~j(t, ~y) = I δ(y1) δ(y2) sen(ω(L/2− |y3|)) cos(ωt) ~u, (7.22)

I ≡ I0

sen(ωL/2). (7.23)

E sottinteso che ~j = 0 per |y3| ≥ L/2. Si vede che la corrente si annulla al bordo,

per y3 = ±L/2, mentre per ogni t fissato essa e massima al “gap”, ovvero in y3 = 0,

che e il punto in cui viene alimentata. I0 ha le dimensioni di una corrente, nel senso di

carica per unita di tempo, e corrisponde alla corrente al gap. ~u = (0, 0, 1) e il versore

lungo z. Confrontando con la (7.4) vediamo in particolare che la (7.22) e una corrente

monocromatica, e quindi essa emette radiazione monocromatica di frequenza ω e lunghezza

d’onda λ = 2π/ω.

Per determinare il potenziale nella zona delle onde inseriamo la (7.22) nella (7.9),

~A(t, ~x) =I~u

4πr

∫ L/2

−L/2

dy3

∫dy1

∫dy2 δ(y1) δ(y2) sen(ω(L/2− |y3|)) cos(ω(t− r + ~n · ~y)).

Possiamo integrare le funzioni δ in y1 e y2, sostituendo ~n · ~y = n1y1 + n2y2 + n3y3 con

n3y3 = cosϑ y3, dove ϑ e l’angolo tra ~n e l’asse z. Si ottiene cosı,

~A(t, ~x) =I~u

4πr

∫ L/2

−L/2

dy3 sen(ω(L/2− |y3|)) cos(ω(t− r + cos ϑ y3)).

L’integrazione rimanente su y3 e elementare e porta a,

~A(t, ~x) =I cos(ω(t− r))

2πr ω sen2ϑ

(cos

(ωL

2cosϑ

)− cos

ωL

2

)~u. (7.24)

Il potenziale vettore e quindi in ogni punto parallelo all’asse z, cosı come lo e ~A. Dalle

(7.11) vediamo allora che il campo elettrico giace sempre nel piano individuato dall’asse

z e da ~n, essendo ortogonale a ~n.

215

La distribuzione angolare della potenza emessa si ottiene invece derivando la (7.24)

rispetto al tempo, e inserendo l’espressione risultante nella (7.17). Sfruttando il fatto che

~A e diretto lungo l’asse z risulta,

dWdΩ

= r2(AiAjΛij) = r2∣∣∣ ~A

∣∣∣2

sen2ϑ. (7.25)

La derivata temporale della (7.24) equivale alla sostituzione,

cos(ω(t− r))→ −ω sen(ω(t− r)).

Eseguendo inoltre la media temporale della (7.25) dobbiamo effettuare la sostituzione,

sen2(ω(t− r))→ 1/2.

In definitiva otteniamo per la distribuzione angolare della potenza media emessa dall’an-

tenna lineare l’espressione 33,

dWdΩ

=I20

8π2

∣∣∣∣∣cos

(ωL2

cosϑ)− cosωL

2

sen(ωL2

) senϑ

∣∣∣∣∣

2

. (7.26)

Da questa formula si vede che l’esistenza di direzioni in cui dW/dΩ e massima o minima

dipende fortemente dai valori del rapporto,

ωL

2=

πL

λ.

Invece di eseguire un’analisi sistematica della distribuzione angolare (7.26), di seguito ci

limiteremo a considerare qualche caso particolare. Vediamo comumque che dW/dΩ e

sempre nulla per ϑ = 0, cioe, lungo la direzione dell’antenna, mentre ha un massimo per

ϑ = π/2, cioe nel piano ortogonale all’antenna, a patto che sia L/λ 6= 2 n con n intero.

Inoltre si puo vedere facilmente che se L ≤ λ allora la potenza non ha altri estremali,

mentre se L > λ allora esistono ulteriori direzioni in cui essa e massima o nulla.

Qualitativamente possiamo dividere le antenne in due categorie, antenne “lunghe”

corrispondenti a L ' λ, e antenne “corte” corrispondenti a L ¿ λ. Tratteremo le

ultime in dettaglio nel paragrafo 7.3.3 nell’ambito dell’approssimazione di dipolo, mentre

di seguito consideriamo un tipico esempio di antenna lunga.

33Si noti che per L = nλ, con n intero, la normalizzazione di I nella (7.23) deve essere cambiata.

216

Antenne lunghe. Casi particolarmente interessanti di antenne lunghe sono le antenne

a “mezz’onda” di lunghezza L = λ/2, e quelle a “onda intera” di lunghezza L = λ.

Consideriamo a titolo d’esempio un’antenna a mezz’onda, per cui ωL/2 = π/2. In questo

caso la (7.26) si riduce a,dWdΩ

=I20

8π2

cos2(

π2cosϑ

)

sen2ϑ,

che ha un unico massimo in ϑ = π/2 e un unico minimo in ϑ = 0, dove si annulla. Se

vogliamo invece analizzare “l’efficienza” dell’antenna a mezz’onda dobbiamo calcolare la

potenza totale,

W =

∫dWdΩ

dΩ =I20

8π2

∫ 2π

0

dϕ

∫ π

0

dϑcos2

(π2cosϑ

)

senϑ=

I20

4π

∫ π

0

dϑcos2

(π2cosϑ

)

senϑ.

L’ultimo integrale puo esser valutato solo numericamente e vale 1.22. In definitiva otte-

niamo,

W = 0.097 I20 =

1

2I20 R

(1/2)rad . (7.27)

Abbiamo introdotto la “resistenza di radiazione” dell’antenna a mezz’onda,

R(1/2)rad = 2 · 0.097,

da non confondere con la sua resistenza ohmica Rohm. Se torniamo alle unita di misura

del sistema MKS, il nostro valore adimensionale della resistenza deve essere moltiplicato

per la “resistenza del vuoto”,

R0 =

õ0

ε0

≈ 377 Ohm.

La resistenza di radiazione dell’antenna a mezz’onda diventa allora,

R(1/2)rad = 2 · 0.097 R0 ≈ 73 Ohm, (7.28)

mentre per un’antenna a onda intera si otterrebbe,

R(1)rad ≈ 201Ohm.

Si puo vedere che questi valori della resistenza sono tipicamente molto maggiori della

resistenza ohmica dell’antenna,

Rohm ¿ Rrad.

217

Un’antenna lunga costituisce quindi un radiatore molto efficace, in quanto la maggior

parte dell’energia fornita dal generatore viene irradiata sotto forma di onde elettromagne-

tiche, mentre solo una piccola parte viene dissipata per effetto Joule. Nel paragrafo 7.3.3

vedremo, invece, che un’antenna corta costituisce al contrario un radiatore poco efficace,

in quanto in quel caso si ha Rohm À Rrad.

7.3 Sviluppi non relativistici

In sezione 7.1 abbiamo ricondotto il calcolo del quadrimomento emesso da una generica

distribuzione di carica, si vedano le (7.17) e (7.18), alla determinazione della parte spa-

ziale del quadripotenziale nella zona delle onde (7.9), che quı riportiamo ripristinando la

velocita della luce,

Aµ(x) =1

4πr c

∫d3y jµ

(t− r

c+

~n · ~yc

, ~y

). (7.29)

Insistiamo sul fatto che questo procedimento fornisce risultati esatti. Tuttavia, in pratica

non e quasi mai possibile valutare l’integrale tridimensionale nella (7.29) analiticamente,

ed e quindi necessario ricorrere a qualche approccio perturbativo. Se le cariche si muovono

con velocita piccole rispetto alla velocita della luce, allora risulta appropriato un metodo

perturbativo che viene chiamato “sviluppo in multipoli”. Vediamo in che cosa consiste.

7.3.1 Sviluppo in multipoli

Per definizione lo sviluppo in multipoli del potenziale (7.29) equivale a uno sviluppo in se-

rie di Taylor della corrente jµ

(t− r

c+

~n · ~yc

, ~y

)attorno al tempo ritardato macroscopico

T = t− r

c, considerando come parametro di sviluppo il ritardo microscopico

~n · ~yc

,

Aµ(x) =1

4πr c

∫d3y

(jµ(T, ~y) +

~n · ~yc

∂tjµ(T, ~y) +

1

2

(~n · ~y)2

c2∂2

t jµ(T, ~y) + · · ·

). (7.30)

Come si vede questo sviluppo equivale a un’espansione in potenze di 1/c, e costitui-

sce quindi uno sviluppo non relativistico. Il primo termine nella (7.30) viene chiamato

“termine di dipolo”, il secondo “termine di quadrupolo”, e cosı via.

Spieghiamo innanzitutto il motivo per cui questa espansione risulta appropriata, se le

velocita delle particelle cariche che compongono la corrente jµ sono piccole rispetto alla

218

velocita della luce. Supponiamo che queste particelle si muovano con velocita caratteristi-

ca v. Esse impiegano allora il tempo caratteristico R/v per attraversare la palla di raggio

R entro la quale sono confinate, e ne segue che la corrente varia sensibilmente su scale

temporali dell’ordine di t0 = R/v. Dato che |~y| < R, possiamo allora dare la seguente

stima del ritardo microscopico,

∣∣∣∣~n · ~y

c

∣∣∣∣ <R

c=

v

ct0. (7.31)

Siccome la corrente varia su scale temporali caratteristiche dell’ordine di t0, concludiamo

allora che jµ

(T +

~n · ~yc

, ~y

)differisce poco da jµ(T, ~y), a patto che il ritardo microscopico

sia molto minore di t0, ∣∣∣∣~n · ~y

c

∣∣∣∣¿ t0. (7.32)

Ma per la (7.31) cio equivale a,

v

ct0 ¿ t0 ⇒ v ¿ c.

Per velocita piccole rispetto a c la corrente potra allora essere sviluppata in serie di potenze

di~n · ~y

c.

Un modo alternativo per analizzare il significato dello sviluppo in multipoli consiste

nell’analizzare Aµ frequenza per frequenza, cioe, considerando la corrente monocromatica

(7.4),

jµ(t, ~x) = eiωtjµ(ω, ~x) + c.c. (7.33)

con frequenza ω fissata. La velocita caratteristica delle cariche risulta allora essere v = ωR.

Siccome in questo caso schematicamente abbiamo,

∂Nt jµ ' ωNjµ,

dalla (7.31) segue che il termine N–esimo dello sviluppo in (7.30) ammonta a,

1

N !

(~n · ~y)N

cN∂N

t jµ(T, ~y) ' 1

N !

(ωR)N

cNjµ(T, ~y) =

1

N !

(v

c

)N

jµ(T, ~y),

che equivale quindi direttamente a uno sviluppo in serie di potenze div

c.

219

7.3.2 La radiazione di dipolo

Il resto di questa sezione sara dedicato a un’analisi dettagliata dell’approssimazione di

ordine piu basso – l’approssimazione di dipolo – che equivale a considerare nella (7.30)

solo il primo termine dello sviluppo,

Ai(x) =1

4πr c

∫d3y ji

(t− r

c, ~y

). (7.34)

Ricordiamo che per l’analisi della radiazione emessa e sufficiente determinare Ai. Il campo

elettromagnetico risultante dalla (7.34) viene chiamato “campo di dipolo”, e la radiazione

ad esso associata “radiazione di dipolo”. Quando le velocita delle cariche in gioco sono

piccole rispetto alla velocita della luce, l’approssimazione di dipolo fornisce in generale

valori sufficientemente accurati per il campo asintotico e per il quadrimomento irradiato.

Se si richiede, invece, un grado di precisione piu elevato, oppure se il campo di dipolo e

nullo, allora nella (7.30) bisogna tenere conto anche dell’ordine successivo, corrispondente

al “campo di quadrupolo”. Come vedremo in sezione 7.4, l’energia emessa trasportata

dal campo di quadrupolo e soppressa di un fattore(v

c

)2

rispetto a quella trasportata dal

campo di dipolo.

Il momento di dipolo. La (7.34) puo essere riscritta in modo piu semplice, se si intro-

duce per una generica quadricorrente jµ il suo momento di dipolo (elettrico),

Di(t) ≡∫

d3xxiρ(t, ~x), j0 = c ρ. (7.35)

Come conseguenza dell’equazione di continuita ∂µjµ = 0, la sua derivata temporale

soddisfa,

Di(t) =

∫d3x ji(t, ~x). (7.36)

Infatti, dato che ρ = ∂0j0, si ha,

Di(t) =

∫d3xxi ∂0j

0 = −∫

d3xxi ∂kjk = −

∫d3x

[∂k(x

ijk)− ji]

=

∫d3x ji,

dove nell’ultimo passaggio la derivata totale non contribuisce, perche per |~x| > R la

corrente e zero. La (7.34) diventa allora semplicemente,

Ai =1

4πr cDi, (7.37)

220

dove e sottointeso che il momento di dipolo e valutato all’istante ritardato macroscopico

t − rc. La caratteristica principale di questa formula – peculiare per l’approssimazione

di dipolo – e che esprime Ai in termini della sola densita di carica, senza coinvolgere

esplicitamente la corrente spaziale.

Il potenziale scalare A0. Per l’analisi della radiazione e sufficiente la conoscenza di Ai,

ma per completezza facciamo notare che nello sviluppo (7.30) occorre fare una distinzione

tra Ai e A0. Questa distinzione deriva dal fatto che la componente temporale della corrente

e legata alla densita di carica ρ dalla relazione j0 = c ρ, mentre le sue componenti spaziali

sono indipendenti da c. Per una singola particella si ha, infatti, ~j = ~v ρ. Ne segue

che, se nello sviluppo in multipoli (7.30) per Ai ci si arresta all’ordine (~n · ~y)N/cN , per

consistenza nello sviluppo di A0 bisogna considerare anche il termine successivo di ordine

(~n ·~y)N+1/cN+1. In approssimazione di dipolo nel calcolo di A0 bisogna allora tenere conto

anche del termine lineare in ~n · ~y/c. La (7.30) da allora,

A0 =1

4πr c

(∫d3y c ρ + ~n · 1

c∂t

∫d3y ~y c ρ

)=

1

4πr

(Q +

niDi

c

), (7.38)

dove Q =∫

d3x ρ e la carica totale conservata del sistema. Si riconosce nel primo termine,

indipendente dal tempo, il potenziale coulombiano, mentre il secondo, dipendente dal

tempo, coinvolge a sua volta il momento di dipolo. Si noti come nell’approssimazione di

dipolo il potenziale vettore (7.37), (7.38) soddisfi la gauge di Lorentz ∂µAµ = 0, modulo

termini di ordine 1/r2. D’ora in poi porremo di nuovo c = 1.

Emissione di quadrimomento. Dato il potenziale vettore (7.37) possiamo usare le (7.11)

e (7.12), valide nella zona delle onde, per ottenere espressioni semplici per i campi di

dipolo,

~E = − 1

4πr[ ~D − (~n · ~D)~n], ~B = − 1

4πr~n× ~D. (7.39)

Il campo elettrico giace quindi nel piano individuato da ~D e ~n. Inserendo infine la

(7.37) nella (7.17) otteniamo la distribuzione angolare della potenza emessa da un generico

sistema di cariche non relativistiche,

dWdΩ

=1

16 π2DiDj(δij − ninj) =

1

16 π2

∣∣∣ ~D∣∣∣2

sen2ϑ =1

16 π2

∣∣∣~n× ~D∣∣∣2

, (7.40)

221

dove ϑ e l’angolo tra ~D e ~n. Vediamo quindi che la radiazione di dipolo ha una distri-

buzione angolare molto semplice: essa e nulla lungo la direzione di ~D, mentre e massima

nel piano ortogonale a ~D.

La potenza totale si ottiene invece integrando dW/dΩ sugli angoli. Usando gli integrali

invarianti del problema 2.6 risulta,

W =

∫dWdΩ

dΩ =1

16π2DiDj

∫dΩ

(δij − ninj

)

=1

16π2DiDj

(4π δij − 4π

3δij

)=

1

6π

∣∣∣ ~D∣∣∣2

. (7.41)

Al contrario, la quantita di moto totale emessa in tutte le direzioni e nulla. Infatti, dalla

(7.18) segue,

dP k

dt=

∫nk dW

dΩdΩ =

1

16π2DiDj

∫dΩ nk(δij − ninj) = 0, (7.42)

dove di nuovo si sono usati gli integrali invarianti. L’annullamento della quantita di moto

totale emessa e dovuta al fatto che, come conseguenza dell’invarianza della (7.40) per

~n→ −~n, le energie emesse in due direzioni opposte sono uguali; ne segue che le quantita

di moto emesse in direzioni opposte si cancellano.

Sistemi di particelle e Bremsstrahlung. Consideriamo ora come caso particolare un si-

stema di particelle cariche puntiformi non relativistiche. In questo caso la densita di carica

e

j0(t, ~x) =∑

r

er δ3(~x− ~yr(t)),

e per il momento di dipolo la (7.35) da,

~D(t) =

∫d3x~x

∑r

er δ3(~x− ~yr(t)) =∑

r

er ~yr(t) ⇒ ~D =∑

r

er ~ar, (7.43)

dove ~ar e l’accelerazione della particella r–esima. Secondo la (7.41) un tale sistema emette

quindi radiazione di dipolo con potenza istantanea,

W =1

6π

∣∣∣∣∣∑

r

er ~ar

∣∣∣∣∣

2

. (7.44)

Questa formula, che lega l’energia emessa direttamente alla causa della radiazione – l’ac-

celerazione delle particelle – generalizza la formula di Larmor (6.128) a un sistema di piu

222

particelle. Si noti, in particolare, che la potenza emessa non e data dalla somma delle

potenze individuali, ovvero 16π

∑r e2

r |~ar|2, in quanto sono presenti anche dei termini di

“interferenza” tra le varie particelle. La presenza di questi termini e conseguenza del

fatto che il campo elettromagnetico soddisfa il principio di sovrapposizione, e che obbe-

disce quindi alle leggi dell’interferenza. Se indichiamo il campo elettrico asintotico della

particella r–esima con ~Er, vedi (7.45), la (7.17) si scrive per l’appunto,

dWdΩ

= r2

∣∣∣∣∣∑

r

~Er

∣∣∣∣∣

2

,

e non dWdΩ

= r2∑

r | ~Er|2.Il fenomeno della radiazione emessa da particelle cariche a causa di un’accelerazione

momentanea, o prolungata nel tempo, viene genericamente chiamato Bremsstrahlung,

ovvero, radiazione di frenamento. La formula (7.44) quantifica l’entita di questa radiazione

– sommata sugli angoli – per un arbitrario sistema di particelle non relativistiche. Nei

prossimi paragrafi analizzeremo in dettaglio vari casi di Bremsstrahlung non relativistica,

tra cui la diffusione Thomson, e la radiazione emessa a causa dell’interazione coulombiana

tra due particelle cariche.

Particella singola. Consideriamo piu in dettaglio il caso di una particella singola, per

cui ~D = e~a. Per i campi a grandi distanze le (7.39) danno allora,

~E = − e

4πr[~a− (~n · ~a)~n], ~B = − e

4πr~n× ~a. (7.45)

Si noti come questi campi siano fondamentalmente diversi dai campi prodotti a grandi

distanze da una particella non relativistica in moto rettilineo uniforme, vedi (6.70) e

(6.68). Vediamo in particolare che in questo caso il campo elettrico non e piu radiale –

essendo piuttosto ortogonale alla direzione radiale ~n – e che appartiene al piano formato

da ~n e ~a. Per la distribuzione angolare della radiazione la (7.40) da invece,

dWdΩ

=e2 |~n× ~a|2

16 π2. (7.46)

Vediamo che la particella non emette radiazione lungo la direzione dell’accelerazione, men-

tre l’emissione e massima nel piano ortogonale ad essa. Anticipiamo che questa proprieta

della distribuzione angolare della radiazione e caratteristica per il limite non relativisti-

223

co. Vedremo, infatti, che per particelle ultrarelativistiche la distribuzione angolare della

radiazione sara radicalmente diversa.

Infine, per la potenza totale emessa da una particella singola non relativistica con

carica e e accelerazione ~a, la (7.44) si riduce a,

W =e2|~a |2

6π,

che e la formula di Larmor (6.128).

Si noti come le formule per una singola particella non relativistica appena derivate,

siano in perfetto accordo con i limiti non relativistici delle corrispondenti formule esatte

derivate nel paragrafo 6.4.4, a partire dai campi di Lienard–Wiechert.

Assenza della radiazione di dipolo. Menzioniamo ora alcuni casi importanti in cui la

radiazione di dipolo e assente. Oltre al caso ovvio di un sistema di cariche che si muovono

di moto rettilineo uniforme, quindi molto distanti tra di loro, la radiazione di dipolo e

assente per un sistema isolato di cariche con rapporto er/mr = γ indipendente da r. In

questo caso il momento di dipolo si puo infatti scrivere come,

~D(t) =∑

r

er ~yr(t) = γ∑

r

mr ~yr(t),

e quindi,

~D = γd

dt

(∑mr ~vr

)= 0,

in quanto la quantita di moto totale di un sistema isolato non relativistico e una costante

del moto. Concludiamo in particolare che in qualsiasi processo isolato che coinvolge solo

una specie di particelle, come per esempio lo scattering tra due particelle identiche, non

c’e emissione di radiazione di dipolo.

La radiazione di dipolo e pure assente per una distribuzione sferica di cariche. Cio e

conseguenza del teorema di Birkhoff, vedi problema 2.5, che assicura che una distribuzione

sferica di carica nel vuoto da luogo a un campo statico. E un campo statico non puo

emettere radiazione. Per verificare che le nostre formule sono in accordo con questa

previsione, e sufficiente ricordare che per una distribuzione sferica la densita di carica

dipende solo da r e t,

j0(t, ~x) = j0(t, r).

224

Per il momento di dipolo si ottiene allora, usando coordinate polari e sfruttando gli

integrali invarianti,

Di(t) =

∫d3xxij0(t, r) =

(∫r3drj0(t, r)

)(∫dΩ ni

)= 0.

Nei casi in cui la radiazione di dipolo e assente diventa dunque rilevante il termine di ordine

successivo nello sviluppo (7.30), ovvero, quello corrispondente alla campo di quadrupolo.

Per sistemi a simmetria sferica la radiazione e evidentemente assente a tutti gli ordini.

Riepilogo. Concludiamo questo paragrafo riassumendo le varie formule per il potenziale

vettore, e la corrispondente distribuzione angolare della potenza emessa.

a) Potenziale esatto:

Aµ(x) =1

4π

∫d3y

1

|~x− ~y| jµ(t− |~x− ~y|, ~y).

b) Potenziale nella zona delle onde:

Aµ(x) =1

4πr

∫d3y jµ(t− r + ~n · ~y, ~y).

c) Potenziale nella zona delle onde in approssimazione di dipolo:

Ai(x) =1

4πr

∫d3y ji(t− r, ~y) =

1

4πrDi.

a) Potenza locale esatta:dWdΩ

= r2( ~E × ~B) · ~n.

b) Potenza “emessa” esatta:dWdΩ

= r2(AiAjΛij).

c) Potenza emessa in approssimazione di dipolo:

dWdΩ

=1

16π2

∣∣∣~n× ~D∣∣∣2

.

Nell’approssimazione di dipolo si puo anche determinare la potenza totale emessa in tutte

le direzioni,

W =1

6π

∣∣∣ ~D∣∣∣2

.

225

7.3.3 Potenza emessa da un’antenna lineare corta

Come prima applicazione dell’approssimazione di dipolo determiniamo la potenza emessa

da un’antenna lineare alimentata al centro, molto piu corta della lunghezza d’onda su cui

emette,

L¿ λ, ovvero ωL¿ 1. (7.47)

Siccome la potenza emessa da un’antenna lineare di lunghezza arbitraria e gia stata cal-

colata in modo esatto, vedi sezione 7.2, l’analisi che segue ci permettera in particolare di

discutere i limiti di validita dell’approssimazione di dipolo in un esempio concreto.

Ripartiamo dalla corrente spaziale (7.22),

~j(t, ~y) = I0 δ(y1) δ(y2)sen(ω(L/2− |y3|))

sen(ωL/2)cos(ωt) ~u. (7.48)

In questo caso l’approssimazione di dipolo e in effetti appropriata perche il tempo carat-

teristico con cui varia la corrente e t0 = 2π/ω, e la condizione (7.32) diventa allora,

|~n · ~y| ≤ L¿ t0 = 2π/ω,

che e soddisfatta grazie alla (7.47). La potenza emessa dall’antenna puo allora essere

calcolata usando la (7.40), che coinvolge solo il momento di dipolo. La determinazione di

quest’ultimo richiede in realta la conoscenza della densita di carica, ma questa puo essere

determinata a sua volta sfruttando la conservazione della quadricorrente,

∂0j0 = −∂ij

i = − ∂

∂y3j3.

Dalla (7.48) si ottiene allora facilmente,

j0(t, ~y) = I0 δ(y1) δ(y2)cos(ω(L/2− |y3|))

sen(ωL/2)sen(ωt) ε(y3),

dove ε(·) e la funzione segno. Possiamo allora calcolare il momento di dipolo,

~D(t) =

∫d3y ~y j0(t, ~y) =

I0 sen(ωt)

sen(ωL/2)

∫d3y ~y δ(y1) δ(y2) cos(ω(L/2− |y3|)) ε(y3)

=2I0sen(ωt) ~u

sen(ωL/2)

∫ L/2

0

dy3 y3cos(ω(L/2− y3)) =2I0 sen(ωt)(1− cos(ωL/2))

ω2 sen(ωL/2)~u.

Siccome per ipotesi abbiamo ωL¿ 1, questa espressione si riduce a,

~D =I0 L

2ωsen(ωt) ~u, ~D = −1

2I0 ωL sen(ωt) ~u.

226

La potenza istantanea si ottiene allora dalla (7.40),

dWdΩ

=(I0ωL)2sen2(ω(t− r))

64 π2sen2ϑ,

dove ϑ e l’angolo tra ~n e l’asse z. Eseguendo la media temporale su un periodo abbiamo

< sen2(ω(t− r)) >= 1/2, e quindi,

dWdΩ

=(I0ωL)2

128 π2sen2ϑ, (7.49)

da confrontare con il risultato esatto (7.26). In effetti si vede facilmente che nel limite

ωL¿ 1 quest’ultimo si riduce alla (7.49). Per quanto riguarda la distribuzione angolare

notiamo che la potenza approssimata (7.49) ha una distribuzione molto semplice – tipica

per la radiazione di dipolo – con un massimo nel piano ortogonale all’antenna, e uno zero

nella direzione parallela ad essa. Da un confronto qualitativo tra la (7.49) e la (7.26)

emerge allora che fino a quando L ≤ λ quest’ultima ha in effetti una forma molto simile

alla prima: un unico massimo in ϑ = π/2 e uno zero in ϑ = 0.

La discrepanza maggiore tra il trattamento esatto e l’approssimazione di dipolo emer-

ge, invece, se si confrontano le intensita delle radiazioni. Per rendercene conto, per sem-

plicita consideriamo la potenza totale. Integrando la (7.49) sull’angolo solido si ottiene

infatti,

W =(ωL)2

48 πI20 =

1

2I20 R

(c)rad, (7.50)

dove la resistenza di radiazione e data da,

R(c)rad =

(ωL)2

24 π=

π

6

(L

λ

)2

.

Reinserendo la resistenza del vuoto, R0 ≈ 377 Ohm, risulta dunque,

R(c)rad =

π

6

(L

λ

)2

R0 = 197

(L

λ

)2

Ohm. (7.51)

Se in accordo con l’ipotesi di lavoro (7.47) scegliamo, per esempio, L = λ/50 otteniamo,

R(c)rad = 0.08 Ohm,

che e molto minore della resistenza (7.28) dell’antenna a mezz’onda, R(1/2)rad = 73 Ohm.

Tuttavia, il dato piu rilevante e che la resistenza ohmica di un’antenna corta puo essere

227

dello stesso ordine di grandezza di R(c)rad, o anche sensibilmente maggiore: un’antenna corta

costituisce quindi in generale un radiatore poco efficace.

Infine possiamo chiederci quale risultato avremmo ottenuto se per l’antenna a mez-

z’onda – sbagliando – avessimo usato l’approssimazione di dipolo. Il risultato sarebbe

stata la (7.50) con L = π/ω, cioe,

W =π

48I20 = 0.065 I2

0 ,

al posto della (7.27), W = 0.097 I20 . Avremmo quindi ottenuto il corretto ordine di

grandezza, ma un valore numerico sbagliato.

7.3.4 Diffusione Thomson della radiazione

Un fenomeno che ricopre un ruolo importante in Elettrodinamica e costituito dalla dif-

fusione di radiazione elettromagnetica da parte di una particella carica libera. Se questo

processo viene considerato a livello classico, esso e descritto da un’onda elettromagnetica

che investe una particella carica, e viene chiamato “diffusione Thomson”. A livello quan-

tistico lo stesso processo e invece descritto dall’urto tra un fotone e una particella carica,

e viene chiamato “effetto Compton”.

Vediamo in cosa consiste qualitativamente la diffusione Thomson. Se un’onda elet-

tromagnetica piana incide su una particella carica libera, la particella incomincera ad

oscillare, principalmente lungo la direzione del campo elettrico. Essendo accelerata es-

sa emettera a sua volta radiazione elettromagnetica. Questa radiazione “diffusa” viene

emessa in direzioni diverse da quella dell’onda incidente, ma vedremo che per velocita non

relativistiche della particella, essa ha la stessa frequenza dell’onda incidente.

Consideriamo dunque una generica onda piana “incidente” in direzione ~u, con campi

elettrico e magnetico dati da, vedi problema 5.5,

~E = ~E0 eik·x + c.c., ~B = ~u× ~E ,

dove ~E0 e un generico vettore complesso costante, ortogonale a ~u. In seguito assumeremo

che l’onda incidente sia polarizzata linearmente, vale a dire che ~E abbia direzione costante.

Avremo allora,

~E∗0 = ~E0.

228

L’intensita media dell’onda incidente, definita come l’energia che attraversa l’unita di

superficie nell’unita di tempo e allora data da,

I0 =< |~S| >=< |~E|2 >= 2 E20 . (7.52)

In seguito supporremo che l’intensita dell’onda incidente sia sufficientemente bassa, in

modo tale che la velocita della particella si mantenga molto minore della velocita della

luce. Per l’analisi della radiazione emessa risultera dunque appropriata l’approssimazione

di dipolo.

Vediamo ora qual e l’effetto di questa onda se investe una particella di massa m e

carica e. Per moti non relativistici dovremo risolvere l’equazione,

m~a = e(

~E + ~v × ~B)

. (7.53)

Siccome abbiamo v ¿ 1 e | ~B| = |~E|, il campo magnetico puo essere trascurato. L’equa-

zione da risolvere si scrive allora piu precisamente,

md2~y(t)

dt2= e ~E0 ei(ω t− ~k · ~y(t)) + c.c. = 2 e ~E0 cos(ω t− ~k · ~y(t)).

Se supponiamo che la direzione di incidenza sia z – nel qual caso ~k = (0, 0, ω) – e che ~E0sia diretto lungo x, si ottiene la soluzione stazionaria,

x(t) = −2 e E0mω2

cos(ωt), y(t) = z(t) = 0. (7.54)

La particella si mette quindi a oscillare attorno all’origine lungo la direzione del campo

elettrico incidente, con la sua stessa frequenza ω. Vediamo in particolare che la no-

stra approssimazione non relativistica e consistente, purche la velocita massima vM della

particella sia molto minore di 1,

vM =2 e E0mω

¿ 1. (7.55)

L’onda diffusa. Dalle (7.54) si ottiene l’accelerazione,

~a(t) =2 e ~E0

mcos(ωt). (7.56)

229

A questo punto possiamo applicare le formule (7.45) e (7.46), per scrivere i campi di

radiazione e la potenza emessa,

~E = − e2

2πm r

(~E0 − (~n · ~E0)~n

)cos(ω(t− r)), ~B = ~n× ~E, (7.57)

dWdΩ

=e4

4π2m2

(E2

0 − (~n · ~E0)2)

cos2(ω(t− r)), (7.58)

Il campo elettromagnetico di radiazione, che rappresenta l’onda diffusa, ha quindi la stessa

frequenza dell’onda incidente, ma si propaga radialmente in tutte le direzioni. Inoltre la

sua intensita e massima nel piano passante per la particella ed ortogonale a ~E0. Vediamo

poi che la sua polarizzazione appartiene sempre al piano formato da ~E0 e ~n.

Onda incidente non polarizzata. Analizziamo ora piu in dettaglio la distribuzione an-

golare (7.58) della potenza emessa. Possiamo intanto eseguire la media temporale, che

equivale alla sostituzione cos2(ω(t − r)) → 1

2. Inoltre, nella maggior parte dei casi la

radiazione incidente non e polarizzata, ma ammonta a una sovrapposizione equiprobabile

di tutte le polarizzazioni ~E0 ortogonali a ~k, come nel caso della luce naturale. In questo

caso dobbiamo mediare la distribuzione angolare della potenza emessa (7.58), su tutte

le polarizzazioni ortogonali a ~k. Per fare questo esplicitiamo i termini della (7.58) che

dipendendono dalle polarizzazioni,

E20 − (~n · ~E0)2 = E2

0 − (nx E0x + ny E0y)2 = E2

0 − n2x E2

0x − n2y E2

0y − 2 nxnyE0xE0y.

Prendendo la media di questa espressione si ha < E20x >=< E2

0y >= 12E2

0 , e < E0xE0y >= 0.

Inoltre, se chiamiamo ϑ l’angolo tra ~n e la direzione di inicidenza, nel presente caso l’asse

z, allora abbiamo nz = cosϑ, e quindi n2x + n2

y = sen2ϑ. Si ottiene cosı,

< E20 − (~n · ~E0)2 >= E2

0 −1

2sen2ϑ E2

0 =1

2(1 + cos2ϑ) E2

0 .

Per un’onda incidente non polarizzata dalla (7.58) si ottiene allora la potenza diffusa,(

dWdΩ

)

n.p.

=e4 E2

0

16 π2m2(1 + cos2ϑ). (7.59)

Si vede che questa potenza risulta massima lungo la direzione di propagazione dell’onda

incidente, in entrambi i versi ϑ = 0 e ϑ = π, in accordo con il fatto che per qualsiasi

polarizzazione dell’onda incidente, la particella oscilla nel piano ortogonale alla direzione

di incidenza.

230

Infine possiamo integrare la (7.59) sugli angoli per ottenere la potenza totale. Usando,

∫dΩ (1 + cos2ϑ) =

∫ 2π

0

dϕ

∫ π

0

senϑ dϑ (1 + cos2ϑ) =16 π

3, (7.60)

si ottiene,

W =

∫ (dWdΩ

)

n.p.

dΩ =e4 E2

0

3 πm2.

Lo stesso risultato si puo ovviamente anche ottenere inserendo la (7.56) nella formula di

Larmor (6.128) per la potenza totale, e mediando sul tempo. Il risultato cosı ottenuto e

indipendente dalle polarizzazioni, e la media su queste e quindi banale.

Sezione d’urto. Dal punto di vista sperimentale le grandezze rilevanti in un processo

di diffusione sono la sezione d’urto differenzialedσ

dΩ, ed eventualmente la sezione d’urto

totale σ. Nel caso in questionedσ

dΩe definita come l’energia diffusa nell’unita di tempo

in una data direzione nell’unita di angolo solido, divisa l’energia incidente per unita di

superficie nell’unita di tempo, ovvero, l’intensita incidente I0, vedi (7.52). Analogamente,

σ e definita come l’energia diffusa nell’unita di tempo in tutte le direzioni, divisa l’intensita

incidente. Dalle formule scritte sopra risulta,

dσ

dΩ=

1

I0

(dWdΩ

)

n.p.

=1 + cos2ϑ

2r20, (7.61)

dove abbiamo introdotto il raggio classico della particella r0, che per l’elettrone vale,

r0 =e2

4πm c2= 2.8 · 10−13 cm. (7.62)

Possiamo confrontare questo raggio con il raggio di Bohr rB, e la lunghezza d’onda

Compton λC dell’elettrone,

rB =4π~2

me2= 5.3 · 10−9 cm, λC =

~mc

= 3.8 · 10−11 cm. (7.63)

La sezione d’urto totale si ottiene integrando la (7.61) su tutti gli angoli. Usando di nuovo

la (7.60) ottiene,

σ =

∫dσ

dΩdΩ =

WI0

=8π

3r20. (7.64)

Questa sezione d’urto viene chiamata sezione d’urto di Thomson. Essa ha le dimensioni

di una superficie e – vista la definizione – puo essere interpretata come la superficie che

231

l’elettrone “offre” come bersaglio all’onda incidente. E proprio questa circostanza che

permette di interpretare r0 come il raggio classico dell’elettrone.

Bilancio del quadrimomento e reazione di radiazione. Concludiamo l’analisi della dif-

fusione Thomson con un commento sulla conservazione del quadrimomento in questo

processo. Ricordiamo innanzitutto che in approssimazione di dipolo la radiazione emessa

complessivamente non trasporta quantita di moto, vedi (7.42). Di conseguenza alla radia-

zione diffusa, rappresentata dal campo (7.57), complessivamente non e associata nessuna

quantita di moto. Inoltre, vista la definizione di σ, il processo di diffusione in questione

puo essere interpretato come segue: di tutta l’onda incidente, concettualmente infinita-

mente estesa, solo la parte che colpisce la superficie σ viene diffusa, mentre il resto passa

indisturbato e costituisce l’onda trasmessa.

Consideriamo ora il bilancio del quadrimomento separatamente per l’onda trasmessa,

l’onda diffusa e la particella. Per l’onda trasmessa il quadrimomento iniziale e finale

sono evidentemente uguali. Anche la particella conserva in media il suo quadrimomento,

perche essa si trova in moto stazionario. All’onda diffusa prima della diffusione e associato

il flusso di energia σI0, mentre dopo la diffusione le e associato il flusso W ; siccome si ha

W = σI0 la sua energia si conserva. Al contrario, il suo flusso di quantita di moto prima

della diffusione vale,dPz

dt= σI0,

mentre dopo la diffusione esso e nullo! Dato che la quantita di moto totale del sistema si

deve conservare, dobbiamo concludere che la quantita di moto mancante e stata trasferita

alla particella. Quest’ultima deve quindi subire una forza media in avanti pari a,

Fz =dPz

dt=

16 π

3r20 E2

0 , (7.65)

forza che andrebbe ad aggiungersi al membro di destra della (7.53).

Emerge quindi il seguente quadro. La forza e(~E+~v× ~B) costituisce la causa primaria che

imprime un’accelerazione alla particella. Di conseguenza la particella da luogo a un campo

di radiazione emettendo onde elettromagnetiche le quali, a loro volta, provocano una

reazione di rinculo nella particella, rappresentata dalla forza Fz. Questa forza scaturisce

quindi dall’interazione tra la particella e il campo da essa stessa creata, e viena chiamata

232

alternativamente “reazione di radiazione”, “forza di autointerazione”, o anche “forza di

frenamento”. Si noti che mentre la forza di Lorentz e(~E + ~v × ~B) – la causa primaria – e

lineare in E0, la reazione di radiazione Fz – un effetto secondario – e quadratica in E0, e

corrisponde a una correzione relativistica. Stimando il rapporto tra le due forze si ottiene

infatti, vedi (7.55) e (7.62),

Fz

e E0 =16 π r2

0

3 eE0 ∼ ω r0

vM

c= 2π

r0

λ

vM

c.

Nel capitolo 12 vedremo che la validita dell’Elettrodinamica classica richiede comunque

che sia λ > r0. La forza di reazione e quindi soppressa rispetto alla forza di Lorentz dal

fattore non relativistico vM/c.

Per completezza aggiungiamo che in realta e possibile dedurre la presenza della rea-

zione di radiazione (7.65), direttamente dall’equazione di Lorentz “completa” (2.21),

d~p

dt= e(~E + ~v × ~B) + e( ~E + ~v × ~B), (7.66)

dove ~E e ~B sono i campi di Lienard–Wiechert prodotti dalla particella stessa. Tutta-

via, in questo caso non e lecito usare le loro espressioni asintotiche (7.57), perche nella

(7.66) questi campi sono valutati nella posizione della particella – dove essi sono diver-

genti. Un’analisi dettagliata del membro di destra della (7.66) conferma sı la presenza

del termine (7.65), ma rivela anche la presenza di termini infiniti: l’equazione di Lorentz,

nella sua forma originale (2.21), dovra dunque essere abbondonata. Anticipiamo che una

trattazione sistematica della reazione di radiazione, che comporta in particolare la sostitu-

zione dell’equazione di Lorentz con l’equazione di Lorentz–Dirac, vede l’Elettrodinamica

classica entrare in contraddizione con se stessa, vedi capitolo 12.

Effetti quantistici. La diffusione Thomson come quı analizzata non tiene conto di effetti

quantistici, in quanto trascura il fatto che le onde elettromagnetiche sono costituite da

particelle, i fotoni. A livello quantistico il processo di diffusione di radiazione di frequenza

ω da parte di elettroni si realizza, infatti, attraverso urti tra fotoni “incidenti” di energia

~ω, ed elettroni, e viene chiamato effetto Compton. In questo caso “l’onda” uscente e

costituita da fotoni che si propagano in tutte le direzioni ϑ. Fino a quando le lunghezze

d’onda della radiazione incidente sono molto maggiori della lunghezza d’onda Compton,

233

λ =2πc

ωÀ λC =

~mc

, e quindi ~ω ¿ mc2, gli effetti quantistici possono essere trascurati,

ed e valida l’analisi svolta sopra. Viceversa, per λ ≈ λC il fotone incidente cede parte

della sua energia all’elettrone, ed emerge quindi dall’urto con una frequenza piu piccola,

ovvero, con una lunghezza d’onda λ′ maggiore di λ. Imponendo la conservazione del

quadrimomento risulta, infatti, la nota formula dell’effetto Compton,

λ′ = λ + 2π(1− cosϑ)λC ,

dove ϑ e l’angolo tra il fotone entrante e quello uscente.

Le differenze principali rispetto all’analisi classica della diffusione sono quindi 1) che

l’energia non viene piu irradiata con continuita, ma sotto forma di quanti di luce e 2) che

la frequenza della radiazione uscente e minore di quella della radiazione incidente. Inoltre

si puo vedere 3) che la sezione d’urto di Thomson subisce una correzione quantistica che

al primo ordine in ~ risulta in,

σ =8π

3r20

(1− 4π

λC

λ

).

Per λ À λC i fotoni entranti e uscenti hanno praticamente la stessa energia ~ω,

indipendentemente dall’angolo di diffusione ϑ, e in questo limite sono inoltre valide le

formule per le sezioni d’urto (7.61), (7.64). In questo limite l’energia delle radiazioni

incidente ed uscente e data semplicemente dal numero di fotoni moltiplicato per ~ω, e

quindi queste sezioni d’urto danno allora anche il numero di fotoni diffusi nell unita di

tempo, diviso il numero di fotoni incidenti per unita di superficie nell’unita di tempo,

ovvero il “flusso entrante”.

7.3.5 Bremsstrahlung dall’interazione coulombiana

In questo paragrafo consideriamo la radiazione generata dall’interazione elettromagnetica

tra due particelle cariche in moto non relativistico – prototipo di Bremsstrahlung non

relativistica. Di nuovo siamo interessati principalmente alla determinazione dell’energia

emessa sotto forma di radiazione. Dato che nel limite non relativistico l’interazione elet-

tromagnetica tra due particelle e governata dal potenziale coulombiano α/r, le orbite

relative sono coniche, ovvero ellissi, iperboli o parabole. La conoscenza della forma ana-

litica delle orbite facilitera notevolmente l’analisi della potenza emessa e, come vedremo,

234

essa ci permettera di determinare l’energia totale irraggiata durante il moto in modo

esatto.

Consideriamo dunque un sistema isolato formato da due particelle cariche, con masse

m1 e m2 e cariche e1 e e2. Indichiamo i vettori posizione rispettivamente con ~r1 e ~r2, la

posizione relativa con ~r = ~r1 − ~r2, e quella del centro di massa con ~rCM . Allora abbiamo,

~r1 = ~rCM +m2

m1 + m2

~r, ~r2 = ~rCM − m1

m1 + m2

~r. (7.67)

Secondo la teoria dei moti relativi la dinamica del sistema e allora governata dalle equa-

zioni del moto,

µ ~r = α~r

r3, ~rCM = 0, (7.68)

dove,

α =e1e2

4π, µ =

m1m2

(m1 + m2),

essendo µ la massa ridotta.

Cinematica delle coniche. Siccome il potenziale coulombiano e centrale e a simmetria

sferica, il moto relativo e piano, e si conservano l’energia ε e il momento angolare L.

Introducendo le coordinate polari piane r e ϕ si ha,

ε =1

2µ v2 +

α

r, L = µ r2ϕ. (7.69)

Per il potenziale in questione le orbite del moto relativo sono coniche. Se l’energia e

negativa, e quindi necessariamente α < 0, l’orbita e un ellisse di equazione,

r(ϕ) =(1− e2) a

1 + e cosϕ, (7.70)

dove l’eccentricita e e il semiasse maggiore a sono dati da,

e =

√1 +

2 εL2

µα2, a = − α

2 ε. (7.71)

Il periodo risulta essere,

T = 2π

õ a3

|α| .

Si noti che il momento angolare puo essere scritto anche come,

L =√

µ a|α|√

1− e2.

235

Se l’energia e invece positiva, le orbite sono iperboli di equazione,

r(ϕ) =(e2 − 1) a

±1 + e cosϕ, (7.72)

dove il segno + corrisponde al caso attrattivo, α < 0, e il segno – al caso repulsivo, α > 0.

I parametri e ed a sono ancora dati dalle (7.71), ma ora le costanti del moto possono

essere espressi anche in termini del parametro d’impatto b e della velocita asintotica v0,

ε =1

2µ v2

0, L = µ b v0. (7.73)

Ricordiamo poi che nel caso delle iperboli la variabile angolare e limitata da,

−ϕ0 < ϕ < ϕ0, cos ϕ0 = ∓1

e. (7.74)

L’energia emessa. Torniamo ora al calcolo dell’energia emessa via Bremsstrahlung.

Secondo la (7.41) la potenza emessa istantanea e data in termini del momento di dipolo

del sistema, dalla formula,

W =1

6π

∣∣∣ ~D∣∣∣2

. (7.75)

Possiamo valutare ~D usando le (7.67),

~D = e1 ~r1 + e2 ~r2 = (e1 + e2)~rCM + µ

(e1

m1

− e2

m2

)~r.

Derivando due volte e usando le (7.68) si ottiene,

~D = µ

(e1

m1

− e2

m2

)~r =

(e1

m1

− e2

m2

)α

~r

r3.

Per la potenza istantanea si ottiene allora 34,

W =α2

6π

(e1

m1

− e2

m2

)21

r4. (7.76)

Vediamo che la radiazione di dipolo e assente se le due particelle hanno lo stesso rapporto

e/m – in particolare se le particelle sono identiche – come dimostrato nel paragrafo 7.3.2.

Se siamo interessati all’energia emessa tra due istanti temporali t1 e t2, dobbiamo inte-

grare la (7.76) tra questi istanti. L’integrale risultante puo essere ricondotto a un integrale

34Ricordiamo che questa formula rappresenta la potenza emessa W(t, r) all’istante t a una distanza rmolto grande dalla particella, se il raggio r che compare a secondo membro e valutato all’istante ritardatot− r. Se valutiamo il raggio r invece in t, allora la formula fornisce l’energia che viene emessa all’istantet e che raggiunge l’infinito. Torneremo su questo punto nel capitolo 9.

236

sugli angoli, valutabile esattamente, se sfruttiamo la costanza del momento angolare (7.69)

per scrivere,

dt =µ r2

Ldϕ.

Se indichiamo gli angoli corrispondenti ai due istanti temporali t1 e t2 con ϕ1 e ϕ2, l’energia

emessa tra questi due istanti risulta allora,

∆ε =

∫ t2

t1

W dt =µα2

6πL

(e1

m1

− e2

m2

)2 ∫ ϕ2

ϕ1

1

r2dϕ. (7.77)

Inserendo in questa espressione le equazioni polari (7.70) e (7.72) si ottengono integrali

elementari che possono essere valutati esattamente. Consideriamo ora separatamente moti

ellittici e moti iperbolici.

Moti ellittici. Se il moto relativo e ellittico entrambe le particelle compiono moti pe-

riodici di periodo T . La corrente associata jµ e allora pure periodica, e il sistema emette

quindi radiazione sulle frequenze discrete ωN = 2πN/T , con N intero, vedi paragrafo

7.1.2. In questo caso l’energia totale emessa e evidentemente infinita, e ha senso solo la

potenza media, ottenuta mediando la (7.77) su un periodo,

W =1

T

∫ T

0

W dt =µα2

6πL T

(e1

m1

− e2

m2

)2 ∫ 2π

0

1

r2dϕ

=µα2

6πLT

(e1

m1

− e2

m2

)21

a2(1− e2)2

∫ 2π

0

(1 + e cosϕ)2dϕ.

Usando l’integrale, ∫ 2π

0

(1 + e cosϕ)2dϕ = 2π

(1 +

e2

2

),

e sostituendo i valori cinematici dati sopra si ottiene,

W =α2

6πa4

(e1

m1

− e2

m2

)2 1 + e2

2

(1− e2)5/2. (7.78)

L’energia che la Bremsstrahlung asporta invece durante un ciclo e data da,

∆εc = T W .

Una conseguenza importante della Bremsstrahlung e che l’energia totale del sistema “ca-

riche + campo”, che nel limite non relativistico quı in esame e data dalla (7.69), non

puo restare costante, perche durante ogni ciclo essa deve diminuire della quantita T W .

237

Di conseguenza le orbite ellittiche non possono restare stabili e si devono, in particolar

modo, “aprire”, entrando in un regime spiraleggiante. La causa diretta di questo feno-

meno e di nuovo la forza di frenamento, le cui conseguenze fisiche saranno analizzate in

modo sistematico piu avanti, vedi capitolo 12. Nel prossimo paragrafo quantitificheremo

comunque la perdita di energia (7.78) in un caso importante dal punto di visto storico,

quello dell’atomo di idrogeno classico, e vedremo che la forza di frenamento lo farebbe

collassare in una frazione di secondo.

Moti iperbolici. Se il moto relativo e iperbolico, entrambe le particelle compiono moti

aperiodici. Anche la corrente associata e allora aperiodica, e il sistema emette dunque

radiazione con uno spettro continuo di frequenze. Questo processo corrisponde a un urto

tra due particelle cariche che arrivano dall’infinito, si deflettono a vicenda, e poi escono

di nuovo verso l’infinito. Negli istanti iniziale e finale l’accelerazione delle due particelle e

nulla, e l’energia totale irradiata durante l’intero processo, come vedremo, risulta finita.

Per calcolarla dobbiamo porre nella (7.77) t1 = −∞ e t2 = +∞, ovvero ϕ1 = −ϕ0 e

ϕ2 = ϕ0, vedi (7.74). Inserendo la (7.72) nella (7.77) troviamo per l’energia irradiata

durante l’intero processo,

∆ε =

∫ ∞

−∞W dt =

µα2

6πL

(e1

m1

− e2

m2

)21

a2(e2 − 1)2

∫ ϕ0

−ϕ0

(±1 + e cosϕ)2dϕ

=µα2

6πL

(e1

m1

− e2

m2

)21

a2(e2 − 1)2

((2 + e2) ϕ0 ± 3

√(e2 − 1)

).

Usando le (7.73) possiamo esprimere questo risultato in termini della velocita asintotica

v0 e del parametro d’impatto b. Per fare questo e conveniente introdurre il parametro

adimensionale,

γ =∓1√e2 − 1

=α

µ v20 b

, ϕ0 =π

2− arctg γ.

Si noti che nel caso attrattivo si ha γ < 0, mentre nel caso repulsivo risulta γ > 0. Dopo

semplici passaggi si ottiene allora,

∆ε =µ3v5

0

6π α

(e1

m1

− e2

m2

)2 [(3γ2 + 1)

(π

2− arctg γ

)− 3γ

]γ3. (7.79)

Notiamo che per parametri d’impatto grandi, corrispondenti a valori di γ piccoli, l’energia

irradiata va a zero,

∆ε ≈ α2

12 v0

(e1

m1

− e2

m2

)21

b3, (7.80)

238

in accordo con il fatto che per b grandi le orbite si discostano poco da traiettorie rettilinee.

Parametri d’impatto piccoli. Se il parametro d’impatto va invece a zero, si ha un urto

frontale e,

|γ| → ∞.

In questo caso la (7.79) ha due andamenti diversi, a seconda che il potenziale sia attrat-

tivo o repulsivo. Nel caso attrattivo si ha γ → −∞, e entrambi i termini tra le parentesi

quadre in (7.79) vanno a piu infinito. Anche l’energia irradiata tende quindi a piu in-

finito, in accordo con il fatto che l’accelerazione diverge quando le particelle collidono.

Si noti, tuttavia, che in questo caso anche la velocita delle particelle va a piu infinito, e

l’approssimazione non relativistica non e piu valida.

Nel caso repulsivo le particelle si avvicinano invece solo fino alla distanza minima,

rm =2 α

µ v20

,

e l’energia totale irradiata deve quindi essere finita. In questo caso il parametro γ tende

a +∞, ed eseguendo il limite nella (7.79) si trova,

∆ε0 ≡ limγ→∞

∆ε =2 µ3v5

0

45 π α

(e1

m1

− e2

m2

)2

. (7.81)

Per renderci conto dell’entita dell’energia irradiata assumiamo che una delle due particelle

sia molto piu pesante dell’altra, m2 À m1, e che le cariche siano uguali, come succede

per esempio nell’urto protone/positrone. In queste condizioni il processo equivale all’urto

della particella leggera contro la particella pesante, considerata praticamente a riposo. Si

ha allora µ ≈ m1 e α = e2/4π, e otteniamo,

∆ε0 ≈ 8 m1 v50

45.

Infine, dato che ora ε ≈ 12m1v

20, per la diminuzione relativa dell’energia della particella

leggera durante l’urto otteniamo,

∆ε0

ε≈ 16

45

(v0

c

)3

.

Siccome siamo nel limite non relativistico abbiamo v0 ¿ c, e quindi ∆ε0/ε¿ 1. Come nel

caso (7.80) la perdita di energia per irraggiamento e quindi completamente trascurabile.

239

Nel prossimo capitolo analizzeremo il fenomeno dell’irraggiamento nel limite ultrarela-

tivistico, ovvero per v ≈ c, e vedremo che le conseguenze saranno drasticamente diverse.

Vedremo, infatti, che per velocita prossime alla velocita della luce gli effetti radiativi

possono dare luogo a perdite di energia notevoli, anche negli urti dovuti all’interazione

coulombiana.

7.3.6 La radiazione dell’atomo d’idrogeno classico

In questo paragrafo illustriamo brevemente il quadro fenomenologico che emergerebbe

per l’atomo d’idrogeno, se la sua dinamica fosse governata dalle leggi della fisica classica.

Concentreremo la nostra analisi sullo stato fondamentale dell’atomo, che classicamente

corrisponde all’elettrone che compie un moto circolare uniforme attorno al protone, con

velocita v ¿ 1. Possiamo allora applicare le formule derivate nel paragrafo precedente

per il moto ellittico, nel caso particolare di eccentricita nulla.

Dato che il protone e molto piu pesante dell’elettrone vale m2 À m1 ≡ m e µ ≈ m,

e inoltre in questo caso abbiamo α = − e2

4πe r = a. Siccome la forza centripeta vale

mv2

r=

e2

4πr2, l’energia totale e la velocita angolare dell’elettrone diventano, vedi (7.69),

ε = − e2

8πr= −1

2mv2, ω =

v

r=

√e2

4π mr3=

√r0

r3=

me4

(4π)2~ 3, (7.82)

dove abbiamo introdotto il raggio classico r0 dell’elettrone, e identificato r con il raggio

di Bohr, vedi (7.63).

Il moto dell’elettrone e periodico con periodo T = 2π/ω, e la sua accelerazione ~a(t) e

quindi una funzione periodica semplice. Secondo le (7.45) il campo di radiazione e allora

costituito da una singola onda monocromatica di frequenza ω. Concludiamo che l’atomo

d’idrogeno classico emetterebbe radiazione unicamente sulla frequenza fondamentale ω.

Come vedremo piu avanti, vedi sezione 10.4, una particella relativistica in moto circolare

uniforme emette, invece, radiazione su tutte le frequenze ωN = Nω, con N intero. Queste

previsioni sono comunque in contrasto con la formula quantistica di Rydberg, che prevede

le frequenze di emissione,

ωMN =1

2

(1

N2− 1

M2

)me4

(4π)2~ 3,

240

dove N e M sono interi.

Torniamo ora al calcolo della potenza emessa dall’atomo classico. Ponendo nella (7.78)

l’eccentricita uguale a zero si ottiene,

W =

(e2

4π

)2e2

6π m2 r4=

e2

6π

r20

r4=

e2

6πω4 r2, (7.83)

in accordo con la formula di Larmor (6.128). Siccome W = −dε

dtabbiamo dunque quan-

tificato la perdita di energia dell’atomo. Ma dato che ε ∝ −1/r questa perdita comporta

anche una diminuzione del raggio. Dalle (7.82), (7.83) si ottiene la variazione relativa,

1

r

dr

dt= −1

ε

dε

dt= −4

3

r20

r3≈ −2 · 1010/s,

dove abbiamo sostituito i valori (7.62), (7.63). Si vede che il raggio dell’orbita dell’elet-

trone si ridurrebbe a meta in meno di 10−10s, e l’atomo di idrogeno classico collasserebbe

nella frazione di un secondo ! Si noti in particolare che la velocita dell’elettrone andrebbe

allora a piu infinito, vedi (7.82).

E comunque interessante calcolare la diminuzione relativa dell’energia dell’atomo du-

rante un ciclo,∆ε

ε=

TWε

=2πWω ε

=8π

3

(r0

r

)3/2

≈ 3 · 10−6,

che e in realta una frazione molto piccola. Quello che in ultima analisi fa collassare l’atomo

di idrogeno classico in pochissimo tempo e la brevita di un ciclo,

T =2π r

c

√r

r0

≈ 1.4 · 10−16s.

Per concludere aggiungiamo che la velocita dell’elettrone e data da,

v

c= ω r =

√r0

r≈ 0.7 · 10−2,

ed era quindi corretto affrontare il problema nell’approssimazione non relativistica di

dipolo.

Conlcudiamo questo paragrafo con un caveat sui limiti di validita della nostra analisi.

Da un punto di vista quantitativo l’analisi quı eseguita e infatti valida solo fino a quando

il raggio dell’orbita dell’elettrone non varia apprezzabilmente. Se il raggio non e costante

non e piu costante nemmeno l’accelerazione da inserire nella formula di Larmor, e anche la

241

potenza emessa varierebbe nel tempo. L’equazione del moto dell’elettrone dovrebbe allora

essere risolta tenendo conto della perdita di energia attraverso la formula di Larmor, la

quale coinvolge a sua volta l’accelerazione incognita. Le equazioni differenziali risultanti

sarebbero non lineari, e non risolubili in modo analitico. Per di piu, come notato sopra, la

diminuzione del raggio porta a un aumento della velocita, la quale per r → 0 tenderebbe

a piu infinito. Riassumendo, per affrontare il problema dell’atomo di idrogeno classico

in modo corretto, in linea di principio bisognerebbe risolvere le equazioni di Maxwell e

di Lorentz complete, come sistema accoppiato. Inoltre da un certo istante in poi non

e piu lecito affrontare il problema nell’approssimazione non relativistica. Tuttavia, le

conclusioni qualitative della nostra trattazione restano comunque valide.

7.4 Radiazione di quadrupolo elettrico e di dipolo magnetico

Nei casi in cui la radiazione di dipolo e assente, ovverosia, quando la derivata seconda del

momento di dipolo si annulla,

~D = 0,

nello sviluppo in multipoli (7.30) diventa rilevante il termine perturbativo successivo,

cioe, quello lineare in ~n · ~y/c. Questo termine da luogo alle cosiddette radiazioni di

quadrupolo elettrico e di dipolo magnetico, soppresse rispetto a quella di dipolo elettrico

di un fattore non relativistico v/c. In questa sezione determiniamo l’apporto all’eneriga

irradiata, dovuto a queste radiazioni. Per via della formula generale (7.17) e di nuovo

sufficiente determinare la parte spaziale del quadripotenziale.

Il potenziale ~A fino all’ordine 1/c2. Riprendiamo lo sviluppo (7.30), considerando ora

anche il termine lineare in ~n · ~y/c. Sottintendendo che la quadricorrente jµ e valutata in

(t− r, ~y), e ponendo c = 1, abbiamo allora,

Ai =1

4πr

∫ (ji + (nkyk) ∂tj

i)

d3y,

=1

4πr

[Di + nk ∂t

∫ (1

2

(ykji − yijk

)+

1

2

(ykji + yijk

))d3y

]

=1

4πr

(Di − M ik nk +

1

2nk ∂t

∫ (ykji + yijk

)d3y

). (7.84)

242

Abbiamo definito il tensore tridimensionale antisimmetrico,

M ik ≡ 1

2

∫ (xijk − xkji

)d3x,

legato al momento di dipolo magnetico,

~M ≡ 1

2

∫d3x~x×~j,

dalle relazioni,

M i =1

2εijkM jk, M ij = εijkMk. (7.85)

Per un sistema di particelle, per cui,

~j(t, ~x) =∑

r

er ~vr(t) δ3(~x− ~yr(t)),

si ha in particolare,

~M =1

2

∑r

er ~yr × ~vr. (7.86)

L’ultimo termine in (7.84) puo invece essere valutato introducendo il momento di quadru-

polo elettrico Dij della distribuzione di carica, e la sua versione “ridotta” Dij, a traccia

nulla,

Dij =

∫d3xxixj ρ, ρ = j0, Dij = Dij − 1

3δijDkk, Dii = 0. (7.87)

L’ultimo termine nella (7.84) puo infatti essere espresso in termini di Dij sfruttando

l’identita,

Dij =

∫ (xijj + xjji

)d3x,

analoga alla (7.36). La si dimostra – come nel caso di quest’ultima – con un’integrazione

per parti, usando la conservazione della quadricorrente, e ricordando che jµ ha supporto

compatto,

Dij =

∫xixj ∂0j

0 d3x = −∫

xixj(∂kjk)d3x =

∫∂k

(xixj

)jkd3x

=

∫ (δikx

j + xiδjk

)jkd3x =

∫ (xijj + xjji

)d3x.

Otteniamo quindi,

Ai =1

4πr

(Di − M ij nj +

1

2Dij nj

)

=1

4πr

(Di − M ij nj +

1

2

(Dij − 1

3δijDkk

)nj

)+

Dkk

24πrni, (7.88)

243

dove abbiamo tolto e aggiunto lo stesso termine. Consideriamo ora l’ultimo termine di

questa espressione. Dalla definizione (7.87) risulta che Dkk e funzione solo di t−r, perche

nell’integrale la densita di carica ρ e valutata in (t− r, ~x). Questo ci permette di scrivere,

Dkk(t− r)

24πrni = ∂i

(Dkk(t− r)

24πr

)+ o

(1

r2

). (7.89)

Il termine o(1/r2) e ininfluente perche il potenziale e valutato nella zona delle onde. Inoltre

sappiamo che una funzione del tipo 1rf(t − r) soddisfa l’equazione delle onde per r 6= 0,

vedi problema 5.7. Questo ci permette di concludere che l’ultimo termine nella (7.88)

puo essere eliminato con una trasformazione di gauge residua, Ai → Ai + ∂iΛ, 2Λ = 0,

scegliendo,

Λ = −Dkk(t− r)

24πr.

Alla stessa conclusione si giunge osservando che un contributo ad Ai che e proporzionale a

ni, come quello in (7.89), comunque non contribuisce alla potenza (7.17), perche Λijnj = 0.

Ritroviamo il fatto che l’energia, essendo una quantita osservabile, e invariante sotto

trasformazioni di gauge.

In definitiva, a meno di una trasformazione di gauge, e ripristinando la velocita della

luce, otteniamo per il potenziale corretto fino all’ordine 1/c2,

Ai =1

4πr c

(Di − 1

cM ij nj +

1

2 cDij nj

). (7.90)

In questa approssimazione il campo nella zona delle onde risulta quindi sovrapposizione

lineare di un campo di dipolo elettrico, un campo di dipolo magnetico e un campo di

quadrupolo elettrico. Gli ultimi due sono soppressi di un fattore 1/c rispetto al primo, e

costituiscono quindi correzioni relativistiche di ordine superiore. Confrontando la (7.43)

con la (7.86) si vede in particolare che, schematicamente, si ha,

M ij ∼ v Di.

La potenza totale. In presenza dei campi di dipolo magnetico e di quadrupolo elettrico

la distribuzione angolare della potenza emessa (7.17) esibisce ora una dipendenza dagli

angoli abbastanza complicata, perche ora ni compare non solo in Λij, ma anche in Ai.

244

Ciononostante e ancora possibile derivare un’espressione compatta per la potenza totale.

Integrando la (7.17) sull’angolo solido si ottiene infatti,

W =r2

c

∫(AiAjΛij) dΩ (7.91)

=1

16π2c3

∫dΩ

Di − M ik

cnk +

˙Dik

2cnk

Dj − M jl

cnl +

˙Djl

2cnl

(δij − ninj).

Gli integrali sugli angoli possono essere valutati come al solito, usando gli integrali inva-

rianti. Siccome alla fine tutti gli indici di Di, M ij e ˙Dij

devono contrarsi tra di loro, e

siccome Dij e simmetrico e a traccia nulla ed M ij e antisimmetrico, i termini misti non

contribuiscono all’integrale. I termini diagonali, invece, possono esser valutati facilmente

usando gli integrali invarianti. Dalla relazione (7.85) si ricava in particolare,

M ijM ij = 2∣∣∣ ~M

∣∣∣2

.

Il risultato finale che cosı si ottiene e,

W =1

6πc3

∣∣∣ ~D∣∣∣2

+1

6πc5

∣∣∣ ~M∣∣∣2

+1

80πc5

˙Dij ˙D

ij

. (7.92)

I tre contributi alla potenza corrispondono rispettivamente alla radiazione di dipolo elet-

trico, di dipolo magnetico e di quadrupolo elettrico, gli ultimi due termini essendo sublea-

ding di un fattore 1/c2 rispetto al termine di dipolo elettrico. Come si vede, grazie alla

cancellazione dei termini misti non ci sono correzioni di ordine 1/c4. Si noti, tuttavia, che

tali correzioni sono presenti nella distribuzione angolare dW/dΩ.

Facciamo infine un commento importante sull’utilizzo corretto della formula (7.92).

L’espansione non relativistica (7.30) del potenziale nella zona delle onde puo essere scritta

come,

~A =1

c~A1 +

1

c2~A2 +

1

c3~A3 + · · · , (7.93)

dove con ~AN intendiamo il contributo di 2N–polo, includendo anche i corrispondenti con-

tributi magnetici. La (7.90) rappresenta allora i primi due termini di questa espansione.

Notiamo in particolare che il termine ~AN contiene N − 1 fattori dei versori ~n. Se si

inserisce lo sviluppo (7.93) nella (7.91) si ottiene una serie di potenze in 1/c, ma dato

che l’integrale sugli angoli di un numero dispari di fattori ~n e zero, sopravvivono solo i

245

prodotti del tipo AN AM con M + N pari. La (7.91) si scrive allora,

W = r2

∫ (1

c3Ai

1 Aj1 +

1

c5

(Ai

2 Aj2 + 2 Ai

1 Aj3

)+ o

(1

c7

))Λij dΩ.

Si vede, dunque, che per calcolare correttamente la potenza emessa fino all’ordine 1/c5,

alla (7.92) andrebbe aggiunto il termine dovuto al prodotto misto Ai1 Aj

3, che coinvolge

la radiazione di sestupolo ~A3. Possiamo comunque concludere che la (7.92) da la potenza

corretta fino all’ordine 1/c5, se la radiazione di dipolo e assente,

~A1 = 0 ↔ ~D = 0.

Solo in questo caso la (7.92) e allora di utilita concreta. In caso contrario in generale

bisogna tenere conto anche della radiazione di sestupolo.

Assenza delle radiazioni di quadrupolo e di dipolo magnetico. Vediamo ora qualche ca-

so in cui i contributi di ordine 1/c5 alla potenza emessa (7.92) si annullano. Il contributo

di dipolo magnetico e nullo per un sistema isolato di particelle, con rapportoer

mr

= γ in-

dipendente da r. Questo e una conseguenza della conservazione del momento angolare di

un sistema isolato. Per vederlo e sufficiente inserire la relazione er = γ mr nella definizione

(7.86) del momento di dipolo magnetico. Risulta,

~M =γ

2

∑r

~yr ×mr ~vr =γ

2~L,

dove ~L e il momento angolare totale conservato; ne segue che ~M = 0. Il contributo di

dipolo magnetico e assente anche per un sistema isolato composto da due sole particelle,

con cariche arbitrarie. In questo caso nel sistema di riferimento del centro di massa si ha

m1~r1 + m2~r2 = 0, ~p1 = −~p2, e risulta,

~M =1

2(e1 ~r1 × ~v1 + e2 ~r2 × ~v2) =

1

2

(e1

m21

+e2

m22

)m1m2

m1 + m2

~L,

dove ~L = ~r1× p1 + ~r2× ~p2 e il momento angolare totale conservato del sistema. Di nuovo

abbiamo quindi che ~M = 0.

Infine, come conseguenza del teorema di Birkhoff i contributi di ordine 1/c5 nella

(7.92) si devono annullare entrambi, se la corrente jµ e a simmetria sferica, ~j = ~x j(t, r),

246

j0 = ρ(r, t). In effetti si vede che ~M e nullo, perche ~x×~j = 0. Per quanto riguarda invece

il momento di quadrupolo ridotto, usando coordinate polari si ha,

Dij =

∫d3x

(xixj − 1

3δijx2

)ρ =

[∫ ∞

0

r4ρ dr

] [∫dΩ

(ninj − 1

3δij

)]= 0, (7.94)

in quanto l’integrale sugli angoli e zero.

7.5 Problemi

7.1 Radiazione di ciclotrone nel limite non relativistico. Si consideri una parti-

cella di carica e che in presenza di un campo magnetico costante e uniforme compie un

moto circolare uniforme, con frequenza ω = eB/m e raggio R, tale che v = ωR¿ 1.

a) Si determini il campo elettrico generato dalla particella nella zona delle onde.

b) Per ogni istante t fissato si determinino le direzioni in cui la potenza emessa e massima

e minima.

c) Mediando su tempi grandi rispetto al periodo si dimostri che la distribuzione angolare

della potenza media e data da,

dWdΩ

=e2ω4R2

32π2(1 + cos2ϑ),

dove ϑ e l’angolo tra la direzione di osservazione e l’asse della circonferenza.

d) Supponendo che la carica sia vincolata a un anello di raggio R, si determini la legge

oraria con cui la velocita della particella diminuisce. Si assuma che valga,

|v| ¿ ω2R,

in modo da poter considerare nella formula di Larmor solo l’accelerazione centripeta. Si

verifichi la validita di questa ipotesi a posteriori.

7.2 Si consideri una particella carica leggera che compie un moto circolare uniforme

attorno a una particella carica pesante, nelle stesse ipotesi del paragrafo 7.3.6.

a) Si determini la legge oraria con cui variano la velocita e il periodo della particella

leggera.

b) Si discutano i limiti di validita dell’analisi svolta.

247

7.3 Distribuzioni di carica a simmetria sferica. Si consideri la formula (7.9) per il

potenziale Aµ nella zona delle onde. Si supponga che la corrente jµ sia dotata di simmetria

sferica, come specificato nel problema 2.5. Si verifichi che una tale distribuzione di carica

non irradia in nessuna direzione, cioe,

dWdΩ

= 0, ∀~n,

come implicato dal teorema di Birkhoff.

Traccia dello svolgimento. E sufficiente dimostrare Ai dato in (7.9) e della forma,

~A(t, ~x, ) = ~n g(t, ~x), (7.95)

per qualche funzione g. A questo scopo si puo sfruttare il seguente teorema sugli integrali

invarianti tridimensionali.

Teorema: Sia data una funzione di due variabili tridimensionali f(~x, ~y), invariante per

rotazioni, cioe,

f(R~x,R~y) = f(~x, ~y), ∀R ∈ SO(3),

condizione che risulta essere equivalente ad assumere che f dipenda da ~x e ~y solo attraverso

gli invarianti |~x|, |~y| e ~x · ~y. Si definisca la funzione vettoriale,

~F (~x) =

∫~y f(~x, ~y) d3y.

Allora ~F e necessariamente della forma,

~F (~x) = ~xF0(|~x|). (7.96)

Dimostrazione: eseguendo nell’integrale che definisce ~F il cambiamento di variabili ~y →R~y, si ricava che ~F e una “funzione covariante” per rotazioni, cioe,

~F (R~x) = R~F (~x), ∀R ∈ SO(3).

La funzione ~F (~x) e allora necessariamente della forma (7.96).

Risulta che la funzione g(t, ~x) che compare nella (7.95), in generale e diversa da zero

e dipendente dal tempo. Cio sembra in contraddizione con il teorema di Birkhoff, secondo

cui per distribuzioni sferiche di carica il campo elettromagnetico nel vuoto e statico. Il

248

paradosso si risolve facilemente se si ricorda che Aµ e definito modulo una trasformazione

di gauge. La funzione g che compare nella (7.95) e, infatti, della forma particolare g(t, ~x) =

1rf(t − r), e si puo fare vedere allora che esiste una trasformazione di gauge che annulla

Ai, e riporta allo stesso tempo il potenziale scalare nella forma standard A0 =Q

4πr.

7.4 A partire dai campi di Lienard–Wiechert (6.99) si verifichi che il tensore energia–

impulso del campo prodotto da una particella in moto arbitrario, nella zona delle onde si

riduce a,

T µνem = nµnν | ~E|2,

in accordo con la formula generale (7.13).

Traccia dello svolgimento. Nella zona delle onde il campo elettromagnetico (6.99) e

dominato dal campo di accelerazione (6.102), che riscriviamo come,

F µν → F µνa =

e

4π(um)3 R(mµ∆ν −mν∆µ) , ∆µ ≡ (um) wµ − (wm) uµ.

Questa scrittura e conveniente in quanto si ha,

mµmµ = 0 = mµ∆µ, ∆2 = (um)2w2 + (wm)2.

Allora e immediato valutare il tensore energia–impulso nella zona delle onde,

T µνem = F µρFρ

ν +1

4ηµνF ρσFρσ = − e2∆2

16π2(um)6 R2mµmν . (7.97)

Per r grandi si ha R → r, ~m → ~n, e segue in particolare che mµ → nν . La verifica

che il coefficiente di nµnν nella (7.97) eguaglia allora | ~Ea|2, vedi (6.108), e lasciato come

esercizio.

7.5 Bremsstrahlung in campo coulombiano a grandi distanze. Si consideri un

elettrone non relativistico che passa accanto a un nucleo di carica Ze, considerato fisso,

a una distanza molto grande. In questo modo la sua traiettoria si discosta poco da una

retta. Indicando la sua velocita asintotica con v0 ¿ 1, e il parametro d’impatto con b, la

sua distanza dal nucleo come funzione del tempo puo allora essere approssimata con,

r(t) = |~y(t)| '√

b2 + v20 t2.

249

a) Considerando che l’accelerazione dell’elettrone lungo la traiettoria e data da,

~a = − Ze2

4πm

~y

r3,

si dimostri che durante il passaggio vicino al nulceo esso irraggia l’energia,

∆ε(v0, b) =e6Z2

192π2m2v0

1

b3.

Si confronti questa espressione con il risultato esatto (7.79).

b) Si supponga ora di avere un fascio di elettroni incidenti a velocita v0. Si dimostri che

“l’irraggiamento efficace”, definito come la potenza irraggiata Wrad divisa per il flusso j

di elettroni incidenti, e dato in generale da 35,

χ(v0) =

∫ ∞

0

2π b db ∆ε(v0, b), Wrad = χ(v0) j. (7.98)

Si noti che χ(v0) ha le dimensioni di [energia]·[area].

c) Per il caso in questione l’integrale in b diverge per b→ 0. A questo proposito bisogna

tenere presente che il calcolo di ∆ε(v0, b) eseguito sopra e valido per b grandi, e che a

distanze piccole non si possono trascurare gli effetti quantistici. In Meccanica Quantistica

un cut–off naturale e fornito dal principio di indeterminazione, che suggerisce di stimare la

distanza di minimo avvicinamento d attraverso dmv0 ≈ ~, ovvero d ≈ ~/mv0. Si puo allo-

ra dare una stima dell’irraggiamento efficace sostituendo l’estremo inferiore dell’integrale

in (7.98) con b ≈ d. Si ottiene,

χ(v0) ≈ e6Z2

96 π m~ c3, (7.99)

formula che riproduce il corretto ordine di grandezza del risultato della Meccanica Quan-

tistica. In realta si puo vedere che per un fascio non relativistico di elettroni incidenti –

per esempio – su un solido, la perdita di energia per irraggiamento (7.99) e soppressa di

un fattore (v0/c)2, rispetto alla perdita di energia dovuta alle collisioni. In questo caso il

fenomeno dell’irraggiamento diventa quindi rilevante solo nel limite ultrarelativistico.

7.6 Si consideri una particella non relativistica in un ciclotrone come nel problema 7.1.

a) Si dimostri che la radiazione di dipolo magnetico e assente.

35Con “flusso incidente” si intende in generale il numero di particelle incidenti che attraversano l’unitadi superficie nell’unita di tempo.

250

b) Si determini il contributo alla potenza emessa dovuto alla radiazione di quadrupolo,

confrontandolo con il contributo della radiazione di dipolo.

c) Si determinino le frequenze presenti nella radiazione di quadrupolo.

7.7 Si consideri un urto tra due particelle cariche identiche non relativistiche, nel sistema

di riferimento del centro di massa. Si stimi la potenza istantanea emessa durante l’urto,

confrontandola con la potenza istantanea emessa nell’urto tra due particelle della stessa

massa ma di carica opposta. Per la soluzione si veda il testo di L.D. Landau et. al. 36,

paragrafo 71, problema 1.

36L.D. Landau e E.M. Lifsits, Teoria dei Campi, Editori Riuniti, Roma, 1976.

251

8 La radiazione gravitazionale

Questo capitolo e dedicato a un confronto tra la radiazione elettromagnetica e quella gravi-

tazionale, ed e quindi di carattere piu speculativo, visto che la seconda attende tuttora un

riscontro sperimentale diretto. Per concretezza considereremo queste radiazioni nel limite

non relativistico, ovvero quando vengono generate da corpi che si muovono con velocita

piccole rispetto alla velocita della luce. In questo modo risulta appropriato lo sviluppo in

multipoli, e cosı avremo a disposizione formule sufficientemente esplicite da permettere un

confronto concreto. Riporteremo le previsioni fatte dalla Relativita Generale omettendo

evidentemente le deduzioni, ma forniremo, ove possibile, argomentazioni euristiche. No-

nostante le onde gravitazionali attendano a tuttoggi una conferma sperimentale diretta,

esistono pochi dubbi sul fatto che qualsiasi corpo accelerato ne debba emettere, non per

ultimo perche le equazioni di Einstein le predicono come soluzioni. Resta comunque il

fatto curioso che fino a pochissimo tempo fa, l’unica traccia indiretta della loro esisten-

za proveniva dalla pulsar binaria PSR 1913+16, scoperta nel 1974 da R.A. Hulse e J.H.

Taylor, che nel 1993 valse ai suoi scopritori il premio Nobel 37.

8.1 Onde gravitazionali e onde elettromagnetiche

Per quanto riguarda il confronto tra le onde elettromagnetiche e quelle gravitazionali i

risultati di questo capitolo possono essere riassunti come segue. 1) Mentre le onde elet-

tromagnetiche costituiscono soluzioni esatte delle equazioni di Maxwell, le equazioni di

Einstein ammettono come soluzioni onde gravitazionali solo nel limite di campo debole.

Questa approssimazione e piu che giustificata, perche le onde gravitazionali, se esistono,

hanno sicuramente un’intensita bassissima, altrimenti sarebbero gia state osservate. 2)

Cosı come la sorgente del campo elettromagnetico e la quadricorrente jµ, cosı la sorgente

del campo gravitazionale e il tensore energia–impulso T µν del sistema, e cosı come una

carica elettrica accelerata emette onde elettromagnetiche, cosı qualsiasi corpo accelerato

emette onde gravitazionali. 3) Un sistema a simmetria sferica emette ne onde elettroma-

gnetiche, ne onde gravitazionali. 4) Le onde gravitazionali trasportano quadrimomento

37Per osservazioni piu recenti si veda M. Kramer et. al, Tests of General Relativity from Timing theDouble Pulsar, Science 314, 97-102 (2006); astro–ph/0609417.

252

come quelle elettromagnetiche, ma rispetto alle ultime l’intensita delle prime e soppressa

di un fattore relativistico(v

c

)2

. Questo segue dal fatto che le radiazioni di dipolo “elet-

trico” e “magnetico” nel caso gravitazionale sono assenti per qualsiasi sistema isolato, e

che il contributo dominante della radiazione gravitazionale e quindi costituito dalla ra-

diazione di quadrupolo. 5) Ricordiamo che entrambi i tipi di onda sono onde trasversali a

due gradi di liberta, che si propagano con la velocita della luce. Ma mentre le onde elet-

tromagnetiche hanno elicita ±1, quelle gravitazionali hanno elicita ±1. 6) Infine facciamo

notare, senza entrare nei dettagli, che il gruppo di simmetria di “gauge” dell’interazione

gravitazionale e rappresentato dai “diffeomorfismi”, ovverosia, da arbitrari cambiamenti

di coordinate,

xµ → x′µ(x),

che generalizzano le trasformazioni di Poincare, xµ → Λµνx

ν + aµ.

8.2 Le equazioni per un campo gravitazionale debole.

In questa sezione useremo da una parte argomenti di invarianza relativistica, e dall’altra

la stretta analogia esistente tra le forze gravitazionale e elettromagnetica a livello non

relativistico, per dedurre le equazioni di propagazione per un campo gravitazionale di

bassa intensita in modo euristico. Le equazioni che otterremo, vedi (8.10), si identificano

con le equazioni di Einstein nel limite di campo debole. Come vedremo, queste equazioni

hanno una struttura analoga a quella delle equazioni di Maxwell in gauge di Lorentz,

e sfruttando l’esperienza accumulata con queste ultime non avremo nessuna difficolta a

risolvere le prime.

Cominciamo con la semplice osservazione che a livello non relativistico le interazioni

gravitazionale e elettromagnetica hanno in realta la stessa identica struttura. Le forze

quasi–statiche tra due corpi sono infatti date da,

~Fem =e1 e2

4πr3~r (8.1)

~Fgr = −Gm1m2

r3~r, (8.2)

essendo G la costante di Newton. Corrispondentemente i potenziali scalari elettrico e

253

gravitazionale soddisfano le equazioni di tipo Poisson,

−∇2ϕem = ρe, (8.3)

∇2ϕgr = 4πGρm, (8.4)

dove ρe e la densita di carica elettrica e ρm la densita di massa. Queste equazioni eviden-

temente non sono covarianti per trasformazioni di Lorentz, ma nel caso elettromagnetico

sappiamo bene come modificare la (8.3) per renderla tale. Come primo passo dobbiamo

covariantizzare il Laplaciano sostituendolo con il d’Alembertiano, −∇2 → −∇2 +∂20 = 2,

ottenendo cosı,

2ϕem = ρe. (8.5)

Come secondo passo dobbiamo assegnare un ben definito carattere tensoriale alle gran-

dezze coinvolte. A questo proposito ricordiamo che la densita di carica e la componente

0 della quadricorrente, ρe = j0, e cosı possiamo concludere che anche il potenziale sca-

lare debba essere la componente 0 di un certo quadrivettore Aµ, ϕem = A0. Imponendo

l’invarianza di Lorentz arriviamo cosı a postulare l’equazione,

2Aµ = jµ. (8.6)

La conservazione della quadricorrente impone infine il vincolo,

∂µAµ = 0. (8.7)

Abbiamo effettivamente ottenuto le equazioni di Maxwell in gauge di Lorentz.

Cerchiamo ora di applicare la stessa strategia alla (8.4), per derivare un’equazione

relativistica per il campo gravitazionale. Di nuovo cominciamo sostituendo la (8.4) con,

2ϕgr = −4πGρm. (8.8)

Per individuare il multipletto tensoriale al quale appartiene il campo ϕgr, dobbiamo allora

trovare il multipletto tensoriale al quale appartiene la densita di massa. A questo proposito

ricordiamo che in Relativita Ristretta la massa e una forma di energia, e ci dobbiamo allora

aspettare che in una teoria relativistica della gravitazione il campo gravitazionale venga

generato non dalla massa, ma piuttosto dall’energia di un corpo. Sappiamo, infatti, che i

254

fotoni vengono deviati da un campo gravitazionale, pur non possedendo massa, ma “solo”

energia. Nella (8.8) dobbiamo quindi sostituire la densita di massa con la densita di

energia, che altro non e che la componente 00 del tensore energia–impulso,

ρm → T 00.

Si noti che per un sistema di particelle non relativistiche T 00 si riduce di nuovo alla

densita di massa, vedi (2.71). Questa analisi ci induce dunque a considerare ϕgr co-

me la componente 00 di un tensore doppio simmetrico Hµν , il “campo gravitazionale”.

Convenzionalmente si pone,

ϕgr =1

4H00.

La (8.8) si scrive allora,

2H00 = −16πG T 00, (8.9)

che si covariantizza naturalmente in,

2Hµν = −16πG T µν . (8.10)

La legge di conservazione ∂µTµν = 0, analoga a ∂µj

µ = 0, impone poi al campo gravita-

zionale il vincolo,

∂µHµν = 0. (8.11)

Confrontando la (8.10) con la (8.6) si vede che la sorgente del campo gravitazionale e

il tensore energia–impulso, cosı come la quadricorrente elettrica e la sorgente del campo

elettromagnetico. Ma a parte questo, la struttura delle (8.10), (8.11) e identica a quella

delle (8.6), (8.7), e la soluzione delle prime sara quindi immediata.

8.2.1 La relazione con le equazioni di Einstein

Le equazioni per il campo gravitazionale (8.10) costituiscono una covariantizzazione “mi-

nimale” della (8.4), in quanto realizzano l’invarianza di Lorentz nel modo piu semplice.

In realta le equazioni di campo esatte, ovvero, le equazioni di Einstein, come postulate

dalla Relativia Generale, si riducono alle (8.10) solo nel limite di campo debole. E infatti

immediato rendersi conto le (8.10) non possono descrivere la dinamica del campo gravita-

zionale in modo esatto. Il motivo principale e che secondo la (8.10) il campo gravitazionale

255

sarebbe generato unicamente dal tensore energia–impulso T µν della materia, che per un

sistema di particelle cariche, per esempio, e dato dalla (2.66). Questa equazione non tiene

dunque conto dell’energia e della quantita di moto trasportate dal campo gravitazionale

stesso. Occorre quindi completare il membro di destra della (8.10), aggiungendo il ten-

sore energia–impulso T µνgr del campo gravitazionale. In analogia con il tensore T µν

em del

campo elettromagnetico, T µνgr dovrebbe essere costruito con termini quadratici in Hµν , ma

secondo la Relativita Generale esso contiene tutte le potenze (Hµν)N , per N ≥ 2. Emerge

cosı la differenza fondamentale tra le equazioni di Maxwell e quelle di Einstein: mentre le

prime sono lineari in Aµ in quanto il campo elettromagnetico non porta carica elettrica,

le seconde sono (altamente) non lineari in Hµν in quanto il campo gravitazionale porta

quadrimomento.

Facciamo tuttavia notare che, se il campo gravitazionale e di intensita cosı bassa da

non (auto)influenzare la sua propagazione, allora nella (8.10) il contributo T µνgr potra essere

trascurato.

Data la presenza di potenze di tutti gli ordini in Hµν , per ottenere il corretto com-

pletamento non lineare della (8.10), ovvero le equazioni di Einstein, e necessario ricorrere

al principio di equivalenza, che a sua volta si traduce nella richiesta di invarianza sotto

diffeomorfismi. Mentra questa costruzione esula dagli scopi di questo testo, spieghiamo

comunque in che modo il campo Hµν e legato alla “curvatura” dello spazio–tempo. Come

anticipato nel paragrafo 5.3.2, in presenza di un campo gravitazionale non nullo l’intervallo

tra due eventi si scrive,

ds2 = dxµdxνgµν(x),

dove gµν rappresenta la “metrica” di uno spazio–tempo curvo. Se la scriviamo nella forma,

gµν(x) = ηµν + hµν(x),

allora il campo hµν quantifica lo scostamento della metrica, dalla metrica ηµν dello spazio–

tempo piatto. Dato che secondo Einstein e la materia a curvare lo spazio, in assenza di

materia (e di onde gravitazionali) si dovra dunque avere hµν = 0. Si definisce poi il campo

Hµν a partire da hµν attraverso,

Hµν = hµν − 1

2ηµν hρ

ρ, (8.12)

256

relazione che si inverte facilmente, dato che Hρρ = −hρ

ρ,

hµν = Hµν − 1

2ηµν Hρ

ρ. (8.13)

Si dimostra allora che nel limite di campo debole, cioe, per |hµν | ¿ 1, ovvero |Hµν | ¿ 1,

le equazioni di Einstein per la metrica,

gµν = ηµν + Hµν − 1

2ηµν Hρ

ρ, (8.14)

si riducono alle equazioni (8.10), (8.11), per un’opportuna scelta di gauge–fixing per i

diffeomorfismi. Risolte queste ultime per Hµν , la (8.14) permette di determinare la metrica

in ogni punto dello spazio–tempo.

Scelte alternative per il campo gravitazionale. A priori si offrono due alternative per il

tipo di tensore da scegliere per il campo gravitazionale. La prima – immediata – emerge

se si riguarda ρm come la componente 0 della “quadricorrente di massa”, la quale per un

sistema di particelle e data da,

Jµm =

∑r

mr

∫uµ

r δ4(x− yr) dsr. (8.15)

Seguirebbe infatti,

J0m =

∑r

mr δ3(~x− ~yr) = ρm.

In base alla (8.8) il campo ϕgr sarebbe allora la componente 0 di un quadrivettore. Questa

scelta e, tuttavia, in conflitto con due fatti sperimentali fondamentali. In primo luogo in

questo modo costruiremmo una teoria relativistica della gravita, in completa analogia con

l’Elettrodinamica – procedura che e in palese contrasto con il fatto che la prima prevede

solo “cariche” positive, le masse, mentre la seconda prevede cariche di entrambi i segni.

In secondo luogo, data la (8.15) si conserverebbe la massa totale di un sistema – di nuovo

in contrasto con l’esperienza.

La seconda scelta alternativa consiste, invece, nel considerare ϕgr come un quadrisca-

lare. Nel limite non relativistico le componenti T 0i e T ij del tensore energia–impulso sono

trascurabili rispetto a T 00, vedi (2.71), e di conseguenza T µµ ≈ T 00. Potremmo allora

identificare ρm con la traccia di T µν . Al posto di (8.10) otterremmo allora l’equazione,

2ϕgr = −4πG T µµ.

257

Tuttavia, essendo che Temµ

µ = 0, qesta scelta implicherebbe che il campo elettromagnetico

non genera alcun campo gravitazionale, in contrasto con il fatto che i raggi luminosi in

un campo gravitazionale vengono deviati.

8.3 Irraggiamento gravitazionale

Nel limite di campo debole le equazioni del campo gravitazionale hanno dunque la stessa

struttura delle equazioni del campo elettromagnetico, di cui conosciamo tutte le soluzioni.

In questo limite, dunque, anche le equazioni del campo gravitazionale possono essere

risolte esattamente. In questa sezione riportiamo le soluzioni rilevanti e ne discutiamo le

conseguenze fisiche, specie in riferimento al fenomeno dell’irraggiamento gravitazionale.

Come prima cosa osserviamo che nel vuoto, dove T µν = 0, le (8.10) si riducono alle

equazioni delle onde,

2Hµν = 0. (8.16)

Come sappiamo, queste equazioni ammettono come soluzioni delle onde piane “gravita-

zionali”, e viste le (8.11), (8.12) e immediato verificare che esse sono date proprio dalle

(5.82).

Viceversa, in presenza di un tensore energia–impulso diverso da zero la (8.10) ammette

la soluzione esatta, vedi (6.48),

Hµν = −4 G

∫d3y

1

|~x− ~y| T µν(t− |~x− ~y|, ~y).

A grandi distanze dalla sorgente – nella zona delle onde – possiamo ripetere l’analisi

asintotica svolta in sezione 7.1. Usando le stesse notazioni di quella sezione e allora

immediato vedere che il campo gravitazionale nella zona delle onde e dato da,

Hµν = −4 G

r

∫d3y T µν(t− r + ~n · ~y, ~y), r = |~x|, ~n =

~x

r. (8.17)

A grandi distanze il campo gravitazionale decade quindi come 1/r, come si conviene a un

campo di accelerazione. Come in sezione 7.1 si dimostra inoltre che, modulo termini di

ordine 1/r2, il campo (8.17) soddisfa le relazioni delle onde,

∂ρHµν = nρH

µν , nµHµν = 0, n2 = 0, nµ = (1, ~n). (8.18)

258

Con lo stesso argomento del pargrafo 7.1.2 si puo poi vedere che asintoticamente il campo

hµν = Hµν − 12ηµν Hρ

ρ risulta sovrapposizione di onde piane del tipo (5.82), come si

conviene a un campo di radiazione.

Infine, nel limite non relativistico si puo trascurare il termine ~n · ~y, e si ottiene la

semplice espressione,

Hµν = −4G

r

∫d3y T µν(t− r, ~y). (8.19)

La potenza emessa. Passiamo ora all’analisi energetica della radiazione emessa. Per

eseguire questa analisi occorre conoscere l’espressione esplicita del tensore energia–impulso

del campo gravitazionale T µνgr , in termini di Hµν . Noto questo tensore si possono deter-

minare la distribuzione angolare della potenza emessa dWgr/dΩ, e la potenza totale Wgr,

in completa analogia con la componente µ = 0 della (6.116),

dWgr

dΩ= r2

(T 0i

gr ni), r →∞, Wgr =

∫dWgr

dΩdΩ. (8.20)

Tuttavia, per derivare la forma esplicita di T µνgr e necessario ricorrere alle equazioni

di Einstein esatte. Per il momento ci e sufficiente sapere che nel limite di campo debole

esso risulta quadratico in Hµν , di modo tale che per r → ∞ la (8.20) da luogo a un

risultato finito. Nella prossima sezione valuteremo la (8.20) esplicitamente, e l’espressione

di Wgr risultante sara in effetti molto semplice, vedi (8.25). In sezione 8.5 applicheremo

poi questa formula per valutare la perdita di energia della pulsar binaria PSR 1913+16,

causa emissione di onde gravitazionali, ne analizzeremo le conseguenze fenomenologiche

e le confronteremo con le osservazioni astronomiche di Hulse e Taylor.

8.3.1 Un argomento euristico per la formula di quadrupolo

Invece di passare direttamente al calcolo esplicito della (8.20), in questo paragrafo daremo

un argomento euristico – basato ancora sull’analogia con l’Elettrodinamica – per valutare

l’ordine di grandezza di Wgr. Questo argomento ci permettera inoltre di comprendere

meglio il significato fisico del risultato. Prima di procedere ricordiamo che nella trattazione

svolta finora abbiamo supposto che ∂µTµν = 0, cioe, che il sistema irradiante che stiamo

considerando sia isolato. Per valutare la potenza emessa e infatti sufficiente considerare

la dinamica del sistema nell’approssimazione di ordine zero, cioe, trascurando la “forza di

frenamento gravitazionale”.

259

Torniamo dunque all’espansione non relativistica (7.92) della potenza elettromagnetica

emessa da un sistema carico,

Wem =1

6πc3

∣∣∣ ~D∣∣∣2

+1

6πc5

∣∣∣ ~M∣∣∣2

+1

80πc5

˙Dij ˙D

ij

. (8.21)

Supponiamo ora che il sistema in questione sia formato da un certo numero di particelle,

con cariche er e masse mr. Allora l’analogia fra la (8.1) e la (8.2) suggerisce di stimare la

potenza gravitazionale emessa dallo stesso sistema, operando nella (8.21) semplicemente

le sostituzioni,

er →√

4πG mr. (8.22)

Dato che a livello non relativistico l’energia e dominata dalla massa, dovremo quindi

effettuare la sostituzione, vedi (2.80),

jµ →√

4πGT µ0.

Se si ricordano le definizioni dei vari momenti di multipolo che compaiono nella (8.21), si

vede che questa procedura porta alla stima,

Wgr ≈ 2 G

3c3

∣∣∣ ~P∣∣∣2

+G

6c5

∣∣∣~L∣∣∣2

+G

20c5

˙Pij ˙P

ij

, (8.23)

dove ~P =∑

r mr~vr e la quantita di moto totale del sistema, ~L =∑

r ~yr ×mr~vr e il suo

momento angolare totale, e P ij e il suo momento di quadrupolo gravitazionale ridotto,

P ij = P ij − 1

3δij P kk, P ij =

∫d3xxixj T 00. (8.24)

Ma siccome il sistema e isolato abbiamo ~P = 0 = ~L, ed entrambi i contributi di dipolo

nella (8.23) sono allora nulli! In ultima analisi l’assenza dei contributi di dipolo nella

radiazione gravitazionale e conseguenza del principio di equivalenza, che assicura che la

“carica gravitazionale” di un corpo coincide con la sua massa: dopo la sostituzione (8.22)

il rapporto “er/mr” diventa allora indipendente da r per qualsiasi corpo, eguagliando la

costante γ =√

4πG. E in questo caso sappiamo, infatti, che le radiazioni di dipolo sono

entrambe assenti, si vedano il paragrafo 7.3.2 e la sezione 7.4.

Resterebbe quindi solo il termine di quadrupolo. In realta nel prossimo paragrafo

vedremo che la valutazione esplicita della (8.20) conferma il risultato (8.23) – a parte un

260

fattore moltiplicativo 4. Otterremo infatti,

Wgr =G

5c5

˙Pij ˙P

ij

. (8.25)

Questa e la celebrata formula di quadrupolo per l’irraggiamento gravitazionale. Essa

costituisce a tutti gli effetti la controparte gravitazionale dell’analogo risultato (7.41)

dell’Elettrodinamica,

Wem =1

6πc3

∣∣∣ ~D∣∣∣2

,

in quanto entrambe le formule danno il termine leading della potenza totale emessa in

approssimazione non relativistica. Previa l’identificazione e ↔ √4πGm si vede che l’in-

tensita della radiazione gravitazionale, essendo di quadrupolo, e soppressa di un fattore

(v/c)2 rispetto alla radiazione elettromagnetica, che e appunto di dipolo.

Teorema di Birkhoff. Facciamo, infine, notare che nella (8.25) la comparsa del momen-

to di quadrupolo ridotto (8.24) e dovuta al fatto che il teorema di Birkhoff, vedi problema

2.5, vale anche per il campo gravitazionale, per il quale, in realta, originalmente e stato

dimostrato. In Relativita Generale questo teorema afferma che il campo gravitazionale

prodotto da un sistema sferico nel vuoto, e statico, e quindi un tale sistema non puo

emettere onde gravitazionali, ovvero Wgr = 0. La formula (8.24) verifica in effetti questo

teorema, perche per un sistema a simmetra sferica si ha T 00 = T 00(t, r), e l’argomento

dato in (7.94) si estende allora immediatamente al momento di quadrupolo ridotto (8.24),

e ne segue che P ij = 0. Per un sistema sferico si ha quindi Wgr = 0.

8.4 La potenza della radiazione di quadrupolo

In questa sezione deriviamo la (8.25) a partire dalla (8.20).

Punto di partenza e l’espressione per il tensore energia–impulso del campo gravitazio-

nale, che viene fornita dalle equazioni di Einstein. Invece di riportare l’espressione esatta,

diamo la sua forma nella zona delle onde, che risulta particolarmente semplice,

T µνgr =

nµnν

32π G

(HαβHαβ − 1

2(Hα

α)2

). (8.26)

Scrivendo la (8.26) abbiamo omesso un termine proporzionale a una quadridivergenza,

261

del tipo,

∂ρWρµν = nρ

∂W ρµν

∂t, (8.27)

dove W ρµν e un tensore bilineare in Hαβ e Hαβ. Essendo una derivata totale rispetto al

tempo, questo termine non contribuisce quando si considera un sistema che compie un

moto periodico, e si media la potenza (8.20) nel tempo. In questo caso Hαβ e, infatti,

periodico nel tempo, e tale sara allora W ρµν . Se un sistema compie, invece, un moto

aperiodico, ed e accelerato per un intervallo temporale finito, allora il termine (8.27) non

contribuisce all’energia totale emessa, perche in quel caso per t→ ±∞ Hαβ tende a zero,

e per t→ ±∞ si annulla quindi anche W ρµν .

Facciamo notare l’analogia formale tra la (8.26) e l’espressione corrispondente di T µνem

per il campo elettromagnetico (5.72),

T µνem = −nµnν(AαAα).

Per la distribuzione angolare della potenza le (8.20), (8.26) danno allora,

dWgr

dΩ=

r2

32πG

(HαβHαβ − 1

2(Hα

α)2

). (8.28)

Come nel caso elettromagnetico esprimiamo innanzitutto il membro destra di questa for-

mula in termini delle sole componenti spaziali H ij del campo gravitazionale. A questo sco-

po riprendiamo dalle (8.18) le identita algebriche nµHµν = 0, che permettono di esprimere

tutte le componenti di Hµν in termini delle sole H ij,

H00 = ninjH ij

H0i = njH ij.

Inserendo queste espressioni nella (8.28) si ottiene facilmente,

dWgr

dΩ=

r2

32πGH ij H lm Λijlm, (8.29)

Λijlm ≡ δilδjm − 1

2δijδlm − 2 δilnjnm + δijnlnm +

1

2ninjnlnm, (8.30)

analoga alla (7.17) dell’Elettrodinamica. Per procedere e piu conveniente riesprimere il

membro di destra della (8.29) in termini della parte di traccia di H ij, cioe H ii, e della sua

parte a traccia nulla,

Hij ≡ H ij − 1

3δijHkk, Hii = 0.

262

Inserendo nella (8.29) l’espressione,

H ij = Hij +1

3δijHkk,

e svolgendo i calcoli si vede che la parte di traccia si cancella, e si ottiene,

dWgr

dΩ=

r2

32πGHij Hlm Σijlm, (8.31)

Σijlm ≡ δilδjm − 2 δilnjnm +1

2ninjnlnm. (8.32)

I campi H ij, infine, sono dati dalle (8.19),

H ij = −4G

r

∫d3y T ij. (8.33)

Come ultimo passo facciamo vedere che questi campi sono legati in modo molto semplice

ai momenti di quadrupolo (8.24). Si dimostra infatti che vale l’identita,∫

d3xT ij =1

2P ij.

La dimostrazione sfrutta la conservazione del tensore energia–impulso ∂µTµν = 0, che

comporta,

T 00 = −∂kTk0,

T 0k = −∂mTmk,

e quindi,

T 00 = −∂kTk0 = ∂k∂mT km.

Integrando due volte per parti si ottiene allora,

P ij =

∫d3xxixjT 00 =

∫d3xxixj ∂k∂mT km =

∫d3x ∂k∂m

(xixj

)T km

=

∫d3x

(δikδ

jm + δj

kδim

)T km = 2

∫d3xT ij.

Concludiamo che nel limite non relativistico il campo gravitazionale nella zona delle onde

e legato al momento di quadrupolo dalla semplice relazione 38,

H ij = −2G

rP ij, (8.34)

38Ripristinando la velocita della luce e identificando nella (8.24) T 00 con la densita di massa ρm, la

(8.34) si scrive, Hij = − 2G

rc4P ij . Rispetto alla (7.37) – che e una radiazione e di dipolo – ci si sarebbe

aspettati una potenza di 1/c2. L’ulteriore fattore 1/c2 e dovuto al fatto che hµν corrisponde al campogravitazionale, diviso c2.

263

da confrontare con la (7.37). Per questo motivo la radiazione rappresentata da H ij

corrisponde a una “radiazione di quadrupolo”. Sottraendo dalla (8.34) la traccia si trova,

Hij = −2G

rP ij,

e sostituendo in (8.31) si ottiene,

dWgr

dΩ=

G

8π˙P

ij ˙Plm

Σijlm.

In generale la distribuzione angolare della potenza e quindi una funzione abbastanza

complicata degli angoli. Tuttavia, grazie agli integrali invarianti del problema 2.6 si

ottiene una formula molto semplice per la potenza totale,

Wgr =G

8π˙P

ij ˙Plm

∫Σijlm dΩ (8.35)

=G

8π˙P

ij ˙Plm 2π

15

(δijδlm + 11 δilδjm + δimδjl

)

=G

5˙P

ij ˙Pij

, (8.36)

che e la formula di quadrupolo (8.25).

8.5 La pulsar binaria PSR 1913+16

La formula appena derivata fornisce l’energia emessa nell’unita di tempo da un sistema

non relativistico mediante onde gravitazionali, noto il momento di quadrupolo (8.24), e

quindi la sua densita di energia. Nel limite non relativistico la densita di energia e a sua

volta dominata dalla densita di massa. Se il sistema e composto da un certo numero di

particelle con massa Mr e traiettorie ~yr(t), o piu in generale, da un certo numero di corpi

rigidi con moti rotazionali trascurabili, allora abbiamo dunque, vedi (2.80),

T 00 =∑

r

Mr δ3(~x− ~yr).

Di conseguenza otteniamo la semplice espressione,

P ij =

∫d3x xixj T 00 =

∑r

Mr

∫d3xxixj δ3(~x− ~yr) =

∑r

Mr yir yj

r . (8.37)

Derivandola tre volte rispetto al tempo, sottraendo la traccia e inserendo l’espressione

risultante nella (8.25), si puo quindi calcolare facilmente l’energia che viene emessa nel-

l’unita di tempo. Per i motivi spiegati sopra l’entita di questa energia e in generale

264

molto piccola, e quindi difficile da misurare. La verifica sperimentale della (8.25) necessi-

ta dunque dell’esistenza di particolari sistemi fisici, in cui la radiazione gravitazionale sia

cosı intensa da poter essere rivelata sperimentalmente. In linea di principio ci sono due

possibilita diverse per stabilire la presenza di onde gravitazionali.

Osservazioni dirette. Siccome in Wgr compaiono le derivate delle coordinate, l’inten-

sita della radiazione sara elevata se un sistema e costituito da corpi con accelerazioni

molto violente e masse molto grandi. In questo caso dovrebbe essere possibile osservare

direttamente gli effetti del campo (8.34), anche se la durata delle accelerazioni e molto

breve, come per esempio nelle supernovae. Le tecniche sperimentali per effettuare misure

di questo tipo impiegano antenne gravitazionali o dispositivi interferometrici.

Osservazioni indirette. Se un sistema fisico e soggetto ad accelerazioni troppo picco-

le, allora la radiazione gravitazionale emessa puo essere troppo poco intensa per essere

osservata sperimentalmente. Tuttavia, per la conservazione dell’energia il fenomeno del-

l’irraggiamento gravitazionale comporta necessariamente una diminuzione dell’energia del

sistema irradiante. Anche se la potenza istantanea e molto piccola, se il sistema irradia

abbastanza a lungo, compiendo per esempio un moto periodico, allora puo succedere che la

continua perdita di energia causa nel sistema effetti cumulativi cosı grandi da poter essere

rivelati sperimentalmente. Effetti di questo tipo possono essere, per esempio, variazioni

molto leggere delle velocita o delle dimensioni delle orbite di un sistema – altrimenti sup-

posto periodico. Un sistema astronomico con queste caratteristiche e stato scoperto da

R.A. Hulse e J.H. Taylor nel 1974, la pulsar binaria PSR 1913+16, la quale e stata tenuta

sotto osservazione dagli scopritori per una decina di anni.

La pulsar PSR 1913+16 e la sua compagna ruotano una attorno all’altra su orbite

ellittiche pressoche newtoniane, di periodo T = 7.75h, a una distanza di 2 r ≈ 1.8 ·106km. Il diametro di entrambe le stelle si stima di una decina di km. La pulsar si

trova inoltre in rotazione rapida attorno a un suo asse con periodo di “spin” τ ≈ 59 ms,

ed in corrispondenza emette impulsi elettromagnetici intervallati dallo stesso periodo.

L’osserazione di questi impulsi, in particolare l’analisi delle oscillazioni del periodo di spin

dovute all’effetto Doppler, causato dal moto orbitale, ha permesso di effettuare una serie

di misure molto precise sulla dinamica del sistema. Una caratteristica delle pulsar isolate

265

e, infatti, costituita dal fatto che l’intervallo τ tra due impulsi successivi resta costante

nel tempo, con una precisione che rasenta spesso quella degli orologi atomici.

Cosı e stato possibile, per esempio, determinare le masse delle due stelle e l’eccentricita

dell’orbita relativa, con precisione molto elevata. Se indichiamo con M0 la massa del sole,

la massa della pulsar e quella della sua compagna valgono rispettivamente,

M1 = 1.4414(2)M0, M2 = 1.3867(2)M0,

mentre l’eccentricita dell’orbita e,

e = 0.617127(3).

Le misure effettuate su questo sistema hanno permesso, in particolare, di verificare diverse

previsioni della Relativita Generale in un regime di campi gravitazionali forti, ma il dato

sperimentale forse piu rilevante e che il periodo orbitale T del sistema diminuisce nel

tempo, anche se molto lentamente. Le osservazioni effettuate da Hulse e Taylor nell’arco di

circa un decennio, tra il 1974 e il 1987, hanno infatti rivelato che sussiste una diminuzione

costante e sistematica del periodo data da,

(dT

dt

)

oss

= −(2.4056± 0.0051) · 10−12 s/s. (8.38)

Si noti che in un anno il periodo di 7.75 ore diminuisce di soli 7 · 10−5s.

Valutazione della formula di quadrupolo. Analizzeremo ora gli effetti dell’emissione di

radiazione gravitazionale sul sistema stesso, in stretta analogia con l’analisi svolta per

l’atomo di idrogeno classico nel paragrafo 7.3.6. In questo caso svolgeremo l’analisi ap-

prossimando le traiettorie ellittiche con orbite circolari di raggio r, e assumendo che si

abbia M1 = M2 = M ; la correzione dovuta all’eccentricita non nulla sara introdotta alla

fine. Dai dati riportati si vede che la velocita delle stelle vale v/c = 2πr/T ≈ 0.7 · 10−3, e

quindi e giustificata l’approssimazione non relativistica.

Per valutare la potenza irradiata (8.25) dobbiamo partire dal momento di quadrupolo

(8.37). Dato che abbiamo ~y1 = −~y2 ≡ ~y, si ottiene semplicemente,

P ij = 2M yi yj.

266

Sfruttando la cinematica del moto circolare uniforme e ponendo vi = yi si ottiene poi

facilmente,

˙Pij

= −8Mv2

r2

(yivj + yjvi

).

Dato che ~y · ~v = 0, segue che ˙Pii

= 0, e quindi in questo caso abbiamo,

˙Pij

= ˙Pij

.

La (8.25) da allora immediatamente,

Wgr =128 GM2v6

5r2c5. (8.39)

Per quantificare gli effetti della potenza emessa (8.39) sul sistema, procediamo come

nel caso dell’atomo di idrogeno classico. Poniamo,

Wgr = −dε

dt,

dove ε e l’energia totale non relativistica del sistema. Dall’equazione della forza centripeta,

Mv2

r=

GM2

(2r)2⇒ v2 =

MG

4r,

si ottiene,

ε = 2

(1

2Mv2

)− GM2

2r= −GM2

4r.

D’altra parte, siccome,T 2

4π2=

r2

v2=

4r3

MG,

risulta che ε e proporzionale a T−2/3. Si conclude allora che il periodo diminuisce nel

tempo secondo la legge,dT

dt= −3

2

T

ε

dε

dt= −12

5

TG3M3

r4c5,

dove per −dε

dtabbiamo sostituito la (8.39). Infine, si puo vedere che la struttura el-

littica delle orbite modifica questo risultato solo per un fattore correttivo dipendente

dall’eccentricita,dT

dt= −12

5

TG3M3

r4c5

1 + 73e2/24 + 37e4/96

(1− e2)7/2.

Inserendo in questa formula i dati di Hulse e Taylor si conclude che la Relativita Generale

prevede per la diminuzione del periodo orbitale nel tempo il valore,(

dT

dt

)

RG

= −(2.40242± 0.00002) · 10−12 s/s.

267

La diminuzione del periodo osservata (8.38) e quindi perfettamente consistente con l’e-

missione di onde gravitazionali, come prevista dalla Relativita Generale. Risulta infatti,

(dTdt

)oss(

dTdt

)RG

= 1.0013± 0.0021.

8.6 Problemi

8.1 Si dimostri che l’integrale sugli angoli nella (8.35) da la (8.36).

8.2 Si consideri un sistema formato da due stelle identiche di massa M , che ruotano

una attorno all’altra su orbite circolari di raggio r, come in sezione 8.5.

a) Si dimostri che la potenza totale della radiazione gravitazionale emessa e data dalla

(8.39).

b) Si esegua l’analisi spettrale della radiazione emessa.

268

9 Irraggiamento ultrarelativistico

La fisica moderna ricorre frequentemente ad esperimenti che coinvolgono particelle cariche

con velocita molto elevate, spesso prossime alla velocita della luce. Per farle raggiungere

velocita cosı grandi occorre fornire loro energia, e se inoltre le si vogliono confinare a zone

limitate le loro traiettorie devono essere necessariamente curvate. In entrambi i processi

le particelle sono sottoposte ad accelerazione ed emettono quindi radiazione elettroma-

gnetica, dissipando parte dell’energia accumulata. In questi casi per valutare la perdita

di energia non si puo piu ricorrere allo sviluppo in multipoli, valido nel limite non re-

lativistico, ma sono necessari strumenti di calcolo che forniscono risultati esatti, validi

per velocita arbitrarie. In questo capitolo svilupperemo gli strumenti utili a tal scopo,

e li useremo in particolare per analizzare il fenomeno della dissipazione di energia negli

acceleratori ad alte energie, a causa dell’irraggiamento.

Le basi per l’analisi relativistica della radiazione emessa da un generico sistema ca-

rico sono gia state sviluppate nel capitolo precedente. Sappiamo in particolare che la

valutazione del quadrimomento emesso, che secondo le (7.13) e (7.15) e dato da,

d2P µ

dt dΩ= r2

(T µi

emni)

= r2nµ| ~E|2, (9.1)

richiede solo la conoscenza del campo elettrico nella zona delle onde; e per una distribu-

zione di carica generica questo campo puo essere calcolato agevolmente usando le (7.9) e

(7.11). Tuttavia, in seguito ci occuperemo principalmente della radiazione emessa da una

singola particella, e in questo caso per ~E potremo usare alternativamente l’espressione di

Lienard–Wiechert. Eseguendo i limiti asintotici R → r e ~m→ ~n, dalla (6.108) si ottiene

infatti,

~E =e

4π r

~n× [(~n− ~v)× ~a]

(1− ~v · ~n)3. (9.2)

Ricordiamo che le variabili cinematiche ~v e ~a che compaiono in questa espressione sono

valutate al tempo ritardato t′(x), definito dalla relazione implicita,

t− t′ = |~x− ~y(t′)|. (9.3)

Anche questa relazione deve allora essere specificata al caso di grandi r. Eseguendo

269

l’espansione di |~x− ~y(t′)| per grandi r si ottiene, vedi sezione 7.1,

|~x− ~y(t′)| = r − ~n · ~y(t′) +

(1

r

),

da cui segue la relazione asintotica,

t = t′ + r − ~n · ~y(t′). (9.4)

Derivando quest’ultima rispetto a t′, per ~x = ~n r fissato, si ottiene una relazione che

useremo piu volte in seguito,dt

dt′= 1− ~n · ~v(t′). (9.5)

Inserendo infine la (9.2) nella (9.1) si ottiene un’espressione, abbastanza complicata,

per la distribuzione angolare del quadrimomento emesso. Tuttavia, nella prossima sezione

faremo vedere che integrando la (9.1) sugli angoli e possibile derivare un’espressione molto

semplice per il quadrimomento totaledP µ

rad

dt, irradiato dalla particella nell’unita di tempo

in tutte le direzioni. Dato che per una particella singola possiamo sempre scrivere,

d

ds= u0 d

dt,

questo risultato fornira poi anche il quadrimomento totale irradiato per unita di tempo

proprio,dP µ

rad

ds= u0 dP µ

rad

dt,

che e una quantita Lorentz–covariante. La formula risultante costituisce una generalizza-

zione relativistica della formula di Larmor, valida per velocita arbitrarie.

Un’analisi qualitativa della distribuzione angolare della radiazione emessa da particelle

ultrarelativistiche verra invece svolta in sezione 9.3.

9.1 Generalizzazione relativistica della formula di Larmor

Consideriamo una particella carica che compie un moto arbitrario. In quanto segue, per

semplicita supporremo che la particella sia accelerata solo durante un intervallo temporale

limitato, oppure che l’accelerazione vada a zero con sufficiente rapidita per |t| → ∞. In

questo modo la particella emettera radiazione solo per un intervallo temporale finito, e an-

che il quadrimomento totale emesso sara allora finito. In questa sezione vogliamo, infatti,

270

calcolare il quadrimomento totale emesso in tutte le direzioni lungo l’intera traiettoria, e

successivamente il quadrimomentodP µ

rad

dsemesso in tutte le direzioni per unita di tempo

proprio. Per fare questo dovremmo inserire la (9.2) nella (9.1), e integrare l’espressione

risultante su tutti gli angoli e su tutti i tempi. Questo calcolo e istruttivo e lo eseguiremo

esplicitamente nel paragrafo 9.1.2, ma esso risulta anche un po’ lungo. Per questo motivo

nel paragrafo che segue daremo una deduzione alternativa e piu rapida didP µ

rad

ds, sfrut-

tando il semplice fatto che sotto trasformazioni di Lorentz il quadrimomento si comporta

come un quadrivettore.

9.1.1 Un argomento di covarianza

Riprendiamo i risultati per l’energia e la quantita di moto irradiate nell’unita di tempo

da una particella non relativistica, vedi paragrafo 7.3.2,

dε

dt=

e2

6π|~a(t− r)|2, d ~P

dt= 0.

Ricordiamo che questo quadrimomento viene rivelato a un istante t a una distanza r dalla

particella, motivo per cui l’accelerazione e valutata all’istante ritardato t − r. Proprio

questa circostanza ci permette di interpretare l’espressione,

dP µrad

dt=

e2

6π|~a(t)|2 (1, 0, 0, 0), (9.6)

come quella frazione di quadrimomento emessa da una particella non relativistica all’i-

stante t, che raggiunge l’infinito.

Cio premesso consideriamo ora una particella che compie un moto arbitrario. Dato che

siamo in presenza di un’unica particella, al posto del tempo possiamo equivalentemente

considerare il suo tempo proprio, e chiederci quanto vale il quadrimomentodP µ

rad

ds, irradiato

dalla particella nell’unita di tempo proprio. In seguito assumeremo che questa quantita sia

un quadrivettore 39. Per riallacciarci alla (9.6) consideriamo per ogni s fissato il sistema

di riferimento K∗, in cui la particella in quell’istante e a riposo. Secondo quanto stabilito

sopra, in questo sistema di riferimento vale allora,

dP ∗µrad

ds=

e2

6π|~a ∗|2 u∗µ, u∗µ ≡ (1, 0, 0, 0), (9.7)

39Se la quantita dPµrad/ds uguagliasse la perdita di quadrimomento della particella in quell’istante,

questa ipotesi sarebbe soddisfatta banalmente. Ma in realta piu avanti vedremo che la particella perdelocalmente un’ulteriore porzione di quadrimomento, il termine di Schott, che risulta covariante anch’esso.La nostra ipotesi si giustifica quindi a posteriori.

271

dove u∗µ e la quadrivelocita della particella in K∗. Abbiamo posto dt∗ = ds, in quanto

~v ∗ = 0. Notiamo poi che in K∗ la quadriaccelerazione vale w∗µ = (0,~a ∗), e quindi

possiamo scrivere,

w∗2 = w∗µw∗µ = −|~a ∗|2.

La (9.7) si scrive allora,dP ∗µ

rad

ds= − e2

6πw∗2 u∗µ.

Dato che questa relazione eguaglia un quadrivettore a un quadrivettore, concludiamo che

essa vale in qualsiasi riferimento, e otteniamo dunque,

dP µrad

ds= − e2

6πw2 uµ, (9.8)

che costituisce la generalizzazione relativistica della formula di Larmor. Rimarchiamo il

fatto che questa formula non esprime il quadrimomento “totale” emesso dalla particella

all’istante s, ma solo quella parte che raggiunge l’infinito.

Dalla (9.8) si vede che a livello relativistico la radiazione trasporta ora anche quantita

di moto. Ricordando ched

ds= u0 d

dt, la componente spaziale di questa formula corrisponde

appunto a,d~Prad

dt= − e2

6πw2 ~v,

che risulta trascurabile se v ¿ 1. Considerando invece la componente temporale della

(9.8) si ottiene la potenza totale emessa da una particella in moto arbitrario,

W = − e2

6πw2. (9.9)

Facciamo notare che questa espressione e Lorentz invariante, nonostante la potenza in

generale non sia una quantita scalare, ma dipenda dal sistema di riferimento. Nel caso in

questione la Lorentz–invarianza di W e una conseguenza del fatto chedP µ

rad

ds∝ uµ.

~a ⊥ ~v e ~a ‖ ~v. Per confrontare la (9.9) con la formula di Larmor non relativistica

(6.128), esprimiamo la prima in termini dell’accelerazione spaziale ~a, vedi problema 2.1,

W =e2

6π

a2 − (~a× ~v)2

(1− v2)3.

Per velocita piccole riotteniamo ovviamente la potenza di Larmor, ma per particelle ul-

trarelativistiche i fattori1

1− v2– a parita di accelerazione – danno luogo a una potenza

272

irradiata molto piu elevata, rispetto al caso non relativistico. In particolare possiamo

analizzare separatamente i moti per cui ~a ‖ ~v e quelli per cui ~a ⊥ ~v,

W‖ =e2a2

6π

1

(1− v2)3, W⊥ =

e2a2

6π

1

(1− v2)2. (9.10)

Si vede che a parita di accelerazione per particelle ultrarelativistiche si avrebbeW‖ ÀW⊥,

e quindi in un moto rettilineo verrebbe emessa molta piu radiazione che non in un moto con

pura accelerazione centripeta. Tuttavia, questa analisi non tiene conto delle accelerazioni

che si possono raggiungere sperimentalmente in un caso e nell’altro, e inoltre non rapporta

l’energia irradiata all’energia posseduta dalla particella. Vedremo, per esempio, che nel

caso degli acceleratori ad alte energie la situazione e difatti rovesciata.

9.1.2 Deduzione della formula di Larmor relativistica

Deriveremo ora la formula di Larmor relativistica (9.8), a partire dalla formula base (9.1).

La procedura che seguiremo ci permettera in particolare di confermare la correttezza

dell’interpretazione fisica datane sopra.

Invece di inserire la (9.2) direttamente nella (9.1), e piu conveniente usare per il tensore

energia–impulso dei campi asintotici di Lienard–Wiechert l’espressione equivalente (7.97),

vedi problema 7.4. La riportiamo quı con le identificazioni asintotiche R→ r, mµ → nµ,

T µν = −e2[(un)2w2 + (wn)2]

16π2(un)6 r2nµ nν . (9.11)

Inserendo questa formula in (9.1) risulta,

d2P µ

dt dΩ= −e2[(un)2w2 + (wn)2]

16π2(un)6nµ. (9.12)

E un semplice esercizio fare vedere che si ottiene lo stesso risultato se si inserisce la (9.2)

nella (9.1).

L’espressione (9.12) fornisce la distribuzione angolare del quadrimomento emesso nel-

l’unita di tempo. Per determinare il quadrimomento totale ∆P µ emesso lungo tutta la

traiettoria, la integriamo su tutti gli angoli e su tutti i tempi,

∆P µ = − e2

16π2

∫ ∞

−∞dt

∫dΩ nµ

(w2

(un)4+

(wn)2

(un)6

). (9.13)

L’integrando in questa espressione dipende in modo complicato da t e ~n, per via del fatto

che u e w sono valutati al tempo ritardato t′(t, ~x). Per valutare l’integrale e allora piu

273

conveniente passare dalla variabile d’integrazione t al tempo proprio s della particella. Per

ogni ~x fissato esiste, infatti, una relazione biunivoca tra t e t′, vedi (9.4), e una relazione

biunivoca tra t′ e s, vedi (6.83). Usando la (9.5) si trova in particolare,

dt =dt′

ds

dt

dt′ds = u0 (1− ~n · ~y) ds = (un) ds,

e la (9.13) diventa in definitiva,

∆P µ = − e2

16π2

∫ ∞

−∞ds

∫dΩ nµ

(w2

(un)3+

(wn)2

(un)5

). (9.14)

Ora s e una variabile di integrazione indipendente, e l’integrazione sugli angoli e elemen-

tare. La eseguiamo esplicitamente, per illustrare alcune tecniche che vengono usate di

frequente in fisica teorica.

Cominciamo notando che la funzione integranda in (9.14) dipende dai “parametri”

u e w, che sono soggetti ai vincoli u2 = 1 e uw = 0. La tecnica che useremo prevede,

invece, di valutare l’integrale per vettori u e w generici, cioe, non soggetti a tali vincoli.

L’integrale che ci interessa sara poi ottenuto imponendo questi vincoli nel risultato finale.

Considerando dunque uµ come una variabile libera, possiamo riscrivere l’integrando di

(9.14) come un gradiente rispetto a uµ,

nµ

(w2

(un)3+

(wn)2

(un)5

)= −1

2

∂

∂uµ

(w2

(un)2+

1

2

(wn)2

(un)4

).

Portando la derivata rispetto a uµ fuori dall’integrale sugli angoli otteniamo,

∆P µ =e2

32π2

∫ ∞

−∞ds

∂

∂uµ

∫dΩ

(w2

(un)2+

1

2

(wn)2

(un)4

).

Ci siamo dunque ricondotti al calcolo di un unico integrale. Possiamo semplificare ulte-

riormente l’integrando se notiamo l’identita,

(wn)2

(un)4= wα wβ

nαnβ

(un)4=

1

6wα wβ

∂2

∂uα∂uβ

1

(un)2,

e portiamo le derivate rispetto a uµ di nuovo fuori dal segno di integrale,

∆P µ =e2

32π2

∫ ∞

−∞ds

∂

∂uµ

[(w2 +

1

12wα wβ

∂2

∂uα∂uβ

) ∫dΩ

1

(un)2

].

274

Abbiamo quindi ricondotto l’integrale al calcolo di qualche derivata e alla valutazione di

un unico integrale elementare 40,∫

dΩ1

(u n)2=

4π

u2. (9.15)

Si ottiene,

∆P µ =e2

8π

∫ ∞

−∞ds

∂

∂uµ

[(w2 +

1

12wα wβ

∂2

∂uα∂uβ

)1

u2

]. (9.16)

Il calcolo delle derivate e elementare e da,

∂

∂uµ

[(w2 +

1

12wαwβ

∂2

∂uα∂uβ

)1

u2

]=

(2

3− 2u2

)w2uµ

(u2)3+

(4

3u2wµ − 4(uw)uµ

)uw

(u2)4

= −4

3w2uµ,

dove nell’espressione finale, valida per qualsiasi u e w, abbiamo imposto i vincoli fisici

u2 = 1, uw = 0. La (9.16) si riduce quindi a,

∆P µ = − e2

6π

∫ ∞

−∞w2uµ ds. (9.17)

Questo risultato quantifica il quadrimomento totale irradiato dalla particella lungo tutta

la traiettoria. Vediamo che esso risulta da una somma di contributi individuali, ciascuno

associato ad un istante d’emissione fissato s, dati da,

∆P µrad(s) = − e2

6πw2(s) uµ(s)∆s, (9.18)

che equivale in effetti alla (9.8).

Dopo questa deduzione possiamo affermare, con piu precisione, che la generalizzazione

relativistica della formula di Larmor (9.8) rappresenta il quadrimomento che la particel-

la emette all’istante s e che raggiunge l’infinito. In effetti non possiamo affermare che

la (9.18) rappresenta tutto il quadrimomento emesso all’istante s, perche la particella

potrebbe emettere in quell’istante un quadrimomento addizionale,

∆P µadd = Gµ(s)∆s,

40Questo integrale e a priori una funzione generica di u0 e di ~u. Tuttavia, per l’invarianza per rotazionitridimensionali esso puo dipendere solo da u0 e |~u|, ma non dalla direzione di ~u, perche una rotazionespaziale di ~u puo essere compensata da un cambiamento delle variabili d’integrazione angolari nella (9.15).E allora sufficiente calcolare l’integrale, per esempio, per uµ = (u0, 0, 0, u3). Si ottiene,

∫dΩ

1(un)2

= 2π

∫ π

0

senϑ dϑ

(u0 − u3 cosϑ)2=

4π

(u0)2 − (u3)2=

4π

u2.

275

e riassorbirlo successivamente. Questi termini non darebbero, infatti, nessun contributo

al quadrimomento totale ∆P µ, se vale,

∫ ∞

−∞Gµ(s) ds = 0. (9.19)

In questo caso dovremmo allora concludere che la variazione istantanea del quadrimomen-

to della particella, dovuta all’emissione di radiazione, non eguaglia −dP µrad

dsma piuttosto,

−dP µrad

ds−Gµ.

Nel capitolo 12 vedremo in effetti che il quadrivettore Gµ e diverso da zero.

Facciamo, infine, notare che l’interpretazione che abbiamo dato alla quantita (9.17) –

come la variazione del quadrimomento della particella tra lo stato iniziale e quello finale,

causata dell’irraggiamento – presuppone che il quadrimomento del campo elettromagne-

tico negli stati iniziale e finale sia lo stesso. Questa ipotesi verra giustificata nel capitolo

13, dove faremo vedere che il quadrimomento (rinormalizzato) del campo elettromagne-

tico di una particella che si muove di moto rettilineo uniforme e in effetti nullo. Siccome

abbiamo supposto che la particella sia accelerata solo per un intervallo temporale finito,

il quadrimomento del campo negli stati iniziale e finale e quindi lo stesso, ovvero zero.

9.2 Perdita di energia negli acceleratori

In questa sezione applicheremo la formula (9.9) per valutare la perdita di energia negli

acceleratori ad alte energie. In questi casi le velocita delle particelle sfiorano quella della

luce, e l’approssimazione non relativistica non e piu valida. Negli acceleratori il moto delle

particelle e determinato essenzialmente dai campi elettrici e magnetici presenti lungo la

traiettoria. Incominceremo quindi questa sezione derivando una formula per la potenza

emessa, nel caso in cui l’accelerazione della particella e dovuta a un generico campo elettro-

magnetico F µν esterno. Useremo poi questa formula per analizzare la portata degli effetti

radiativi negli acceleratori ultrarelativistici. Troveremo che mentre negli acceleratori li-

neari questi effetti sono completamente trascurabili, negli acceleratori circolari le perdite

di energia dovute all’irraggiamento possono diventare il fenomeno dinamico dominante –

a un punto tale da limitare in modo sostanziale le energie massime raggiungibili.

276

Supponiamo dunque di avere una particella carica che si muove sotto l’influenza

di un campo elettromagnetico F µν . Sappiamo allora che il suo moto e determinato

dall’equazione di Lorentz,dpµ

ds= e F µνuν . (9.20)

Questa equazione permette di esprimere la quadriaccelerazione,

wµ =1

m

dpµ

ds,

in termini dei campi e della quadrivelocita, e possiamo usarla per esplicitare la formula

di Larmor relativistica (9.9). Otteniamo,

W = − e2

6πm2

dpµ

ds

dpµ

ds=

e2

6πm2

1

1− v2

[ ∣∣∣∣d~p

dt

∣∣∣∣2

−(

dε

dt

)2 ].

Usando l’equazione di Lorentz in notazione tridimensionale, vedi (2.19) e (2.20), si ottiene

in definitiva,

W =e4

6πm2

| ~E + ~v × ~B| 2 − (~v · ~E)2

1− v2. (9.21)

Questa formula fornisce dunque la potenza istantanea, in termini dei campi esterni valuta-

ti lungo la traiettoria ~y(t) della particella, per determinare la quale bisognerebbe risolvere,

a sua volta, l’equazione di Lorentz. La (9.21) risulta quindi particolarmente utile quando

quest’ultima puo essere risolta esattamente, come per esempio nel caso di campi costanti

e uniformi. Occorre, tuttavia, tenere presente che procedendo in questo modo si trascura

l’effetto della perdita di energia sulla forma della traiettoria, ovverosia la forza di frena-

mento. L’attendibilita del risultato deve quindi essere accertata a posteriori, verificando

che il valore di W fornito dalla (9.21) e piccolo, rispetto alla potenza Wex somministrata

alla particella dai campi esterni.

Concludiamo queste considerazioni introduttive con un’osservazione di carattere ge-

nerale, riguardante la fisica degli acceleratori. A questo scopo riscriviamo la (9.21) in

termini dell’energia ε della particella,

W =e4 ε2

6πm4

(| ~E + ~v × ~B| 2 − (~v · ~E)2

).

Dalle potenze di m che compaiono a denominatore si vede allora che a parita di campi

acceleranti e di energia raggiunta, nel caso ultrarelativistico una particella leggera irradia

277

molto di piu di una particella pesante. Questo segue essenzialmente dal fatto che a

parita di forza applicata, una particella leggera subisce un’accelerazione maggiore di una

particella pesante. Si conclude che dal punto di vista della dissipazione di energia per

irraggiamento, gli acceleratori di protoni, come LHC, sono molto piu convenienti degli

acceleratori di elettroni e positroni, come LEP, in quanto mp ≈ 2000 me.

9.2.1 Acceleratori lineari

Applichiamo ora la (9.21) per analizzare la rilevanza della perdita di energia per irraggia-

mento negli acceleratori lineari. In questi acceleratori le particelle sono sottoposte ad un

campo elettrico ~E parallelo al loro moto, diciamo lungo l’asse x, e l’equazione di Lorentz

da allora,

Wex =dε

dt= e v E.

D’altra parte, ponendo nella (9.21) ~B = 0, otteniamo,

W =e4

6πm2E2. (9.22)

Notiamo che questa formula sembra in conflitto con l’espressione di W‖ calcolata nella

(9.10), in quanto sono scomparsi i fattori relativistici1√

1− v2. Tuttavia, dall’equazione

di Lorentz per un moto unidimensionale,

md

dt

(v√

1− v2

)= eE,

e immediato dedurre che si ha, vedi problema 2.10,

a =dv

dt=

(√1− v2

)3 eE

m,

e le due formule combaciano. Per valutare la rilevanza di (9.22) rapportiamo la potenza

emessa alla potenza fornita dal campo esterno,

WWex

=e3 E

6πm2 v=

2 r0

3 mv

dε

dx, (9.23)

dove,dε

dx=

1

v

dε

dt= eE,

rappresenta l’energia fornita dal campo esterno per unita di spazio percorso, ed r0 =

e2/4πm e il raggio classico della particella. Per velocita elevate, v ≈ 1, avremmo quindi

278

che la perdita di energia per irraggiamento e rilevante solo in presenza di campi esterni

cosı intensi, da fornire alla particella un’energia dell’ordine di grandezze della sua massa,

mentre essa percorre uno spazio dell’ordine di grandezza del suo raggio classico. Ma

in pratica i campi elettrici che si riescono a produrre sperimentalmente sono molto piu

piccoli, e non superano il valore E ≈ 100 MV/m, per cui,

dε

dx≈ 100 MeV/m.

Il rapporto (9.23) e comunque massimo per la particella carica piu leggera, ovvero l’elet-

trone, per cui m = 0.5 MeV e r0 = 3 · 10−13cm, e si otterrebbe,

WWex

≈ 4 · 10−13,

mentre per il protone questo rapporto sarebbe ancora piu piccolo, dell’ordine di 10−19.

Concludiamo quindi che negli acceleratori lineari ad alta energia il fenomeno dell’irrag-

giamento e completamente trascurabile.

9.2.2 Acceleratori circolari

In un acceleratore circolare – o ciclotrone – una particella carica compie un moto circolare

uniforme sotto l’influenza di un campo magnetico B costante e uniforme. L’equazione di

Lorentz diventa allora,d~u

dt= ~u×

( e

m

√1− v2 ~B

),

da cui si ricava la frequenza relativistica di ciclotrone,

ω0 =eB

m

√1− v2 =

e B

ε. (9.24)

In questo caso abbiamo ~E = 0 e la (9.21) da,

W =e4

6πm2

v2B2

1− v2=

e2

6π

v2ω20

(1− v2)2, (9.25)

da confrontare con la potenza non relativistica di Larmor,

Wn.r. =e2 a2

6π, a =

v e B

m.

Per esaminare la rilevanza degli effetti dell’irraggiamento negli acceleratori circolari, cal-

coliamo l’energia ∆ε emessa durante un ciclo. Indicando il raggio dell’orbita con R e

279

usando ω0 = v/R si ha,

∆ε =2πR

vW =

e2

3R

v3

(1− v2)2=

e2 v3

3R m4ε4,

dove abbiamo introdotto l’energia ε della particella. Per particelle ultrarelativistiche

poniamo v ≈ 1 nel numeratore, e otteniamo cosı l’importante formula per l’irraggiamento

nei ciclotroni ultrarelativistici,

∆ε =e2

3R

( ε

m

)4

. (9.26)

Questa formula impone, infatti, forti restrizioni sulle caratteristiche tecniche degli acce-

leratori circolari realizzabili in pratica. Vediamo in particolare che a parita di energia

accumulata, l’effetto dell’irraggiamento e minore se si scelgono orbite grandi e particelle

pesanti.

Esempi di ciclotroni ad alta energia. Dato che in un acceleratore circolare la perdita

di energia (9.26) e inevitabile, se si vogliono mantere le particelle in orbita ad energia

costante, lungo l’anello di accumulazione devono essere disposti dei campi elettrici accele-

ranti – delle cosiddette cavita a radiofrequenza – che compensano questa perdita. A titolo

di esempio valutiamo l’energia dissipata nel sincrotrone di elettroni di Cornell, che era at-

tivo dal 1968 al 1979. Questo acceleratore raggiungeva energie dell’ordine di ε = 10 GeV ,

ed aveva un raggio R = 100 m. La (9.26) da allora,

∆ε = 8.9 ·MeV,∆ε

ε≈ 10−3,

mentre le cavita risonanti erano capaci di fornire un’energia di 10.5 MeV per ciclo. Ad

un’energia di 10 GeV l’acceleratore funzionava dunque al limite delle sue possibilita.

Come secondo esempio consideriamo l’acceleratore circolare LEP presso il CERN di

Ginevra, che accumulava elettroni e positroni. In questo caso il raggio e di circa R =

4.3 km, e l’energia massima raggiunta per elettrone era di circa 100 GeV . Si ottiene,

∆ε ≈ 2 GeV,

che significa una perdita di energia del 2% per ogni ciclo. Dato che in un secondo le

particelle compiono circa 11.000 cicli, in assenza di cavita a radiofrequenza tutta l’energia

accumulata si sarebbe quindi dispersa nella frazione di un secondo.

280

Infine consideriamo l’acceleratore LHC del CERN, che prevede la collisione tra due

fasci di protoni di energia ε = 7 TeV . Grazie al fatto che la massa di un protone e circa

duemila volte quella di un elettrone, la (9.26) da per la perdita di energia in un ciclo il

valore molto piccolo,

∆ε ≈ 3 keV.

Ne segue che,∆ε

ε≈ 0.5 · 10−9,

ed e immediato vedere che nell’arco di un’ora l’energia dei protoni diminuisce solo del 2%.

9.3 Distribuzione angolare nel limite ultrarelativistico

In questo paragrafo effettuiamo un’analisi qualitativa della distribuzione angolare della

radiazione emessa da una particella ultrarelativistica.

Prima di procedere ricordiamo le caratteristiche della distribuzione angolare della ra-

diazione di una particella non relativistica, v ¿ 1. In questo caso avevamo ottenuto, vedi

(7.46),dWdΩ

=e2 |~n× ~a|2

16 π2=

e2

16 π2|~a|2sen2ϑ, (9.27)

dove ϑ e l’angolo tra ~a e ~n. In questo limite la potenza emessa ha quindi una distribu-

zione angolare “continua”, con un massimo nel piano ortogonale all’accelerazione, ed uno

zero lungo la direzione dell’accelerazione. In particolare essa risulta indipendente dalla

direzione della velocita della particella. Vedremo ora che nel limite ultrarelativistico la

natura della distribuzione angolare cambia drasticamente.

Riprendiamo dunque la formula generale per la distribuzione angolare (7.17),

dWdΩ

= r2| ~E|2,

e inseriamo il campo elettrico asintotico (9.2). Risulta l’espressione,

dWdΩ

=e2

16 π2

|~n× [(~n− ~v)× ~a]|2(1− ~v · ~n)6

, (9.28)

che e valida per velocita arbitrarie. Per v → 0 essa si riduce evidentemente alla (9.27),

ma per v ∼ 1 il suo andamento e determinato dalla presenza delle potenze del fattore

281

1

1− ~v · ~n . Per velocita non relativistiche questo fattore e prossimo all’unita, in qualsiasi

direzione, ma per velocita elevate esso diventa molto grande lungo la direzione di volo

della particella. Per ~n = ~v/v si ha infatti,

1

1− ~v · ~n =1

1− v.

Per analizzare l’effetto di questi termini piu in dettaglio riscriviamo la (9.28) come pro-

dotto di due fattori,

dWdΩ

=e2

16 π2

∣∣∣∣~n× [(~n− ~v)× ~a]

(1− ~v · ~n)

∣∣∣∣2

· 1

(1− ~v · ~n)4, (9.29)

e distinguiamo i seguenti due casi.

Velocita e accelerazione generiche. Consideriamo un istante in cui la velocita e l’acce-

lerazione formano un generico angolo diverso da zero. Per ~n = ~v/v abbiamo,

~n− ~v

1− ~v · ~n = ~n, (9.30)

e quindi lungo la direzione di volo il primo fattore della (9.29) si riduce a 41,

∣∣∣∣~n× [(~n− ~v)× ~a]

(1− ~v · ~n)

∣∣∣∣2

= |~n× ~a|2 ,

che e indipendente dalla velocita. D’altra parte, il secondo fattore della (9.29) lungo la

direzione di volo diventa 1/(1 − v)4, che per v ∼ 1 e molto grande. Concludiamo quindi

che una particella ultrarelativistica in moto generico emette radiazione principalmente “in

avanti”, lungo la direzione del moto.

Possiamo stimare l’apertura angolare α del cono centrato in ~v, all’interno del qua-

le viene emessa la maggior parte della radiazione. Le direzioni ~n in questione devono

soddisfare,

1− ~v · ~n ∼ 1− v, (9.31)

41Un’analisi piu accurata mostra che per qualsiasi ~n vale,

1 ≤∣∣∣∣

~n− ~v

1− ~v · ~n

∣∣∣∣ ≤1√

1− v2,

dove, se α e l’angolo tra ~v e ~n, l’estremo inferiore viene raggiunto per α = 0 e α = π, mentre l’estremosuperiore si raggiunge per sen α =

√1− v2. In realta, quindi, per v ∼ 1 anche il vettore (~n−~v)/(1−~v ·~n)

diventa molto grande, nella direzione α ≈ √1− v2, sicche la (9.30) equivale a una stima per difetto.

282

di modo tale che il valore del fattore1

(1− ~v · ~n)4della (9.29) si mantenga vicino al suo

massimo1

(1− v)4. Indicando l’angolo tra ~n e ~v con α, e sfruttando il fatto che questo

angolo e piccolo, abbiamo,

1− ~v · ~n = 1− v cosα ∼ 1− v

(1− α2

2

)∼ 1− v +

α2

2.

Se vogliamo che valga la (9.31) dobbiamo dunque avere α ∼ √1− v, oppure, che e lo

stesso,

α ∼√

1− v2. (9.32)

In conclusione, una particella ultrarelativistica in moto generico, irradia principalmente

lungo la direzione di volo, e la maggior parte della radiazione e contenuta nel cono centrato

in ~v di apertura angolare α ∼ √1− v2.

Velocita parallela all’accelerazione. Un caso speciale e rappresentato dalle orbite ret-

tilinee, vedi paragrafo 9.2.1, per cui ~a ‖ ~v. Per tali orbite la (9.29) si riduce a,

dWdΩ

=e2

16 π2

|~n× ~a|2(1− ~v · ~n)6

=e2

16 π2

a2sen2α

(1− v cosα)6,

dove α e di nuovo l’angolo tra ~n e ~v. In questo caso si vede che la particella non emette

radiazione lungo la direzione di volo, perchedWdΩ

si annulla in α = 0. Tuttavia, dalla

formula appena scritta e facile vedere che nel limite ultrarelativistico,dWdΩ

ha un massimo

molto pronunciato per α ∼ √1− v2, vedi problema 9.2. Anche in questo caso la maggior

parte della radiazione viene quindi emessa all’interno del cono centrato in ~v e di apertura

∼ √1− v2.

Da queste considerazioni di carattere generale segue, per esempio, che un elettrone

ultrarelativistico in un ciclotrone emette radiazione principalmente nel piano dell’orbita,

attraverso un lampo spiraleggiante di tipo “pulsar”. Si noti che questa distribuzione

angolare della radiazione e radicalmente diversa da quella emessa da un ciclotrone non

relativistico, vedi problema 7.1.

Energia osservata ed energia emessa. Concludiamo questa sezione con un commen-

to sull’interpretazione della formula generale (9.28). Come osservato varie volte questa

espressione fornisce la distribuzione angolare dell’energia della radiazione che a un istante

283

fissato t attraversa la sfera di raggio r nell’unita di tempo. Sappiamo poi che questa

radiazione proviene dalla posizione della particella all’istante ritardato t′ dato dalla (9.4),

t = t′ + r − ~n · ~y(t′).

Se si vuole invece determinare la distribuzione angolare dell’energia emessa dalla particella

tra gli istanti τ1 e τ2 bisogna considerare l’espressione,

dε

dΩ=

∫ τ2+r−~n·~y(τ2)

τ1+r−~n·~y(τ1)

dWdΩ

dt =

∫ τ2

τ1

dWdΩ

(1− ~n · ~v) dt′,

dove abbiamo usato la (9.5). La potenza emessa dalla particella nell’unita dt′ del suo

tempo di accelerazione e allora data da,

dW ′

dΩ=

dt

dt′dWdΩ

= (1− ~n · ~v)dWdΩ

. (9.33)

dWdΩ

rappresenta l’energia osservata da un osservatore lontano, mentredW ′

dΩrappresenta

l’energia emessa dalla particella. Per capire meglio il significato fisico della relazione

(9.33) tra queste due grandezze, conviene considerare l’energiaW0 emessa dalla particella

nell’unita di tempo proprio ds,

dW0

dΩ=

dt′

ds

dW ′

dΩ=

1√1− v2

dW ′

dΩ=

1− ~n · ~v√1− v2

dWdΩ

,

ovvero,dWdΩ

=

√1− v2

1− ~n · ~vdW0

dΩ.

In questa formula riconosciamo il fattore di proporzionalita dell’effetto Doppler, vedi

sezione 5.4, che connette giustappunto la frequenza – e quindi l’energia – della radiazione

emessa da una sorgente in moto, alla frequenza della radiazione rivelata da un osservatore

statico.

E comunque immediato riconoscere che la presenza del fattore (1− ~n · ~v) nella (9.33),

non cambia i risultati dell’analisi qualitativa della distribuzione angolare ultrarelativistica

di cui sopra.

9.4 Problemi

9.1 Si dimostri che l’energia totale irradiata da una particella ultrarelativistica con carica

e, massa m e velocita v0, che passa con parametro d’impatto b grande accanto a un nucleo

284

di carica Ze, considerato fisso, vale,

∆ε(v0, b) =e6Z2

192π2m2b3v0

1− v20/4

1− v20

.

Si confronti il risultato con quello del problema 7.5. [Sugg.: Dato che v0 ≈ 1 e b e

grande, la particella praticamente non viene deviata e si puo assumere che la traiettoria

sia pressoche rettilinea, ovvero ~y(t) = (v0t, b, 0).]

9.2 Un’onda piana polarizzata circolarmente, con campo elettrico dato da,

~E(t, ~x) = (E0 cos(ω(t− z)), E0 sen(ω(t− z)), 0),

investe una particella carica relativistica.

a) Si dimostri che i moti stazionari della particella sono moti circolari uniformi, determi-

nandone velocita e raggio.

b) Per questi moti si determini la potenza totale irradiata dalla particella.

9.3 Si analizzi la distribuzione angolare della radiazione emessa da una particella ultrare-

lativistica in moto rettilineo, individuando in particolare le direzioni di emissione massima

e minima, e la si confronti con la distribuzione angolare del limite non relativistico.

285

10 Analisi spettrale

Nei capitoli precedenti abbiamo fornito gli strumenti principali per un’analisi sistematica

del contenuto energetico della radiazione emessa da un generico sistema carico. Abbiamo

in particolare derivato formule esplicite per l’energia emessa nell’unita di tempo, e per la

distribuzione angolare della radiazione. Per alcuni sistemi siamo anche stati in grado di

determinare le frequenze su cui essi emettono. Abbiamo visto, per esempio, che l’antenna

lineare emette tutta la radiazione sulla frequenza fondamentale, mentre nel moto circolare

uniforme la radiazione di dipolo contiene la frequenza fondamentale, e la radiazione di

quadrupolo la prima armonica superiore, vedi problema 7.6. In generale la radiazione

emessa da sistemi relativistici e distribuita su un’ampia banda di frequenze, e molti sistemi

fisici – da un semplice atomo a una pulsar – sono difatti identificabili attraverso il loro

spettro di emissione.

La grandezza osservabile rilevante e la quantita di energia che viene emessa tra le

frequenze ω e ω + ∆ω, osservabile che quantifica il peso con cui le varie frequenze sono

presenti nella radiazione emessa dal sistema. Lo studio di questa grandezza viene chiamato

“analisi spettrale”, o anche “analisi in frequenza”. In questo capitolo presenteremo un

approccio sistematico all’analisi spettrale, valido per la radiazione di un sistema carico

arbitrario. Nella prima sezione presenteremo gli strumenti fondamentali dell’approccio,

in sezione 10.2 applicheremo questi strumenti a sistemi non relativistici, e in sezione 10.3

li applicheremo a sistemi relativistici.

10.1 Analisi di Fourier e risultati generali

Abbiamo visto che la soluzione generale delle equazioni di Maxwell nel vuoto corrisponde

a una sovrapposizione di onde piane monocromatiche, e che l’analisi temporale di Fourier

del campo elettromagnetico risultante equivale a un’analisi in frequenza, vedi (5.60).

Corrispondentemente nel paragrafo 7.1.2 abbiamo visto che anche il campo elettro-

magnetico prodotto da una generica corrente nella zona delle onde e sovrapposizione di

onde elementari, e che il campo risultante ammette un’analisi di Fourier temporale, che

equivale ancora a un’analisi in frequenza. E possibile esprimere la trasformata di Fourier

del campo elettrico nella zona delle onde, direttamente in termini della generica sorgente

286

jµ data in (7.2). Per fare questo e sufficiente inserire la (7.2) nella (7.9), e usare la (7.11).

Si trova,

~E(t, ~x) =1√2π

∫ ∞

−∞dω eiωt ~E(ω, ~x),

dove,

~E(ω, ~x) ≡ − i ω e−i ωr

4πr

∫d3y ei ω ~n· ~y

[~j(ω, ~y)− (~n ·~j(ω, ~y))~n

]. (10.1)

Come visto nel paragrafo 7.1.2, se la corrente e periodica nel tempo anche il campo

elettrico e periodico, e la trasformata di Fourier puo allora essere sostituita da una serie

di Fourier, ed e immediato adattare le relazioni appena scritte a questo caso particolare.

Per una corrente generica jµ l’analisi spettrale potrebbe essere basata sulla formula

generale (10.1), ma siccome in questo capitolo siamo interessati principalmente alla ra-

diazione emessa da una singola particella, preferiamo procedere in altro modo. L’analisi

spettrale per una corrente generica verra sviluppata nella sezione 10.5.

Dalle considerazioni appena svolte concludiamo comunque che per correnti aperiodiche

possiamo porre,

~E(t) =1√2π

∫ ∞

−∞dω eiωt ~E(ω), (10.2)

~E(ω) =1√2π

∫ ∞

−∞dt e−iωt ~E(t), (10.3)

∫ ∞

−∞| ~E(t)|2dt =

∫ ∞

−∞| ~E(ω)|2dω = 2

∫ ∞

0

| ~E(ω)|2dω, (10.4)

dove l’ultima riga rappresenta l’identita di Parseval. Se la corrente e invece periodica, con

periodo T e frequenza fondamentale ω0 = 2π/T , il campo elettrico puo essere sviluppato

in serie di Fourier,

~E(t) =∞∑

N=−∞eiNω0t ~EN , (10.5)

~EN =1

T

∫ T

0

e−iNω0t ~E(t) dt, (10.6)

1

T

∫ T

0

| ~E(t)|2dt =∞∑

N=−∞| ~EN |2 = 2

∞∑N=1

| ~EN |2. (10.7)

Per scrivere l’ultima espressione in ciascun caso abbiamo sfruttato il fatto che il campo

elettrico e reale, quindi,

~E∗(ω) = ~E(−ω), ~E∗N = ~E−N ,

287

e che le frequenze vengono considerate positive. Inoltre, nella serie di Fourier abbiamo

omesso il termine con N = 0. Il campo elettrico e, infatti, proporzionale alla derivata

temporale del potenziale vettore, vedi (7.11),

~E(t) =∂

∂t

(~n× (~n× ~A)

),

e siccome anche ~A e periodico, la (10.6) da,

~E0 =1

T

∫ T

0

~E(t) dt = 0.

Facciamo notare che tutte le quantita indicate con ~E(·) andrebbero scritte piu corretta-

mente come ~E(·, ~x), ma per non appesantire la notazione omettiamo di indicare esplici-

tamente la dipendenza da ~x. Dalla (10.1) vediamo, comunque, che ~E(ω, ~x) dipende da r

semplicemente attraverso il fattoree−i ωr

r. La grandezza ~E(ω, ~x) e quindi essenzialmente

una funzione di ω e della direzione ~n. Ricordiamo ancora che quı non stiamo considerando

il campo elettrico esatto, ma il campo nella zona delle onde.

Riprendiamo dunque la formula generale per la distribuzione angolare della potenza

emessa,dWdΩ

=d 2ε

dt dΩ= r2| ~E(t)|2.

Sistemi aperiodici. Per una corrente aperiodica la grandezza fisica rilevante e l’energia

totale emessa nell’unita di angolo solido tra t = −∞ e t = ∞. Se le particelle sono

sottoposte a forze per un tempo limitato, l’accelerazione ha una durata finita, e anche

l’energia totale emessa sara, quindi, finita. Utilizzando la (10.4) si ottiene allora,

dε

dΩ=

∫ ∞

−∞

dWdΩ

dt = r2

∫ ∞

−∞| ~E(t)|2dt = 2r2

∫ ∞

0

| ~E(ω)|2dω.

L’energia emessa nell’intervallo unitario di frequenze e nell’unita di angolo solido e quindi

data da,d 2ε

dω dΩ= 2r2| ~E(ω)|2, (10.8)

e lo spettro di frequenze presenti e in generale un sottoinsieme “continuo” di R+.

Sistemi periodici. Per una corrente periodica l’energia totale emessa e infinita, e la

grandezza di rilievo e allora la potenza media, ovvero, l’energia emessa durante un periodo

288

divisa il periodo. In questo caso utilizziamo la (10.7) e otteniamo,

dWdΩ

=1

T

∫ T

0

dWdΩ

dt = r2 1

T

∫ T

0

| ~E(t)|2dt = 2r2

∞∑N=1

| ~EN |2. (10.9)

La potenza della radiazione emessa con la frequenza ωN = Nω0 nell’unita di angolo solido,

e quindi data da,dWN

dΩ= 2r2| ~EN |2. (10.10)

Le formule (10.8) e (10.10) costituiscono il punto di partenza per l’analisi spettrale di un

generico fenomeno radiativo. Si noti che esse richiedono solo la conoscenza del campo

elettrico – nella zona delle onde.

10.2 Analisi spettrale nel limite non relativistico

Nel limite non relativistico le (10.8) e (10.10) possono essere valutate immediatamente,

perche in questo caso il campo elettrico e dato semplicemente in termini del momento di

dipolo del sistema, vedi (7.39),

~E(t) =1

4πr~n×

(~n× ~D(t− r)

). (10.11)

Trattiamo separatamente i due tipi di corrente.

Corrente aperiodica. Definendo la trasformata di Fourier di ~D(t) in modo standard,

~D(ω) =1√2π

∫ ∞

−∞dt e−iωt ~D(t), (10.12)

dalla (10.11) segue facilmente, si confronti con (10.1),

~E(ω) = −ω2 e−i ω r

4πr~n×

(~n× ~D(ω)

).

La (10.8) da quindi,d 2ε

dω dΩ=

ω4

8π2

∣∣∣~n× ~D(ω)∣∣∣2

. (10.13)

Integrando sugli angoli risulta poi,

dε

dω=

ω4

3π| ~D(ω)|2. (10.14)

Infine l’integrale∫∞

0dεdω

dω fornisce l’energia totale emessa.

289

Frequenze caratteristiche: analisi qualitativa. Consideriamo ora come caso particolare

una particella non relativistica che esegue un moto aperiodico. Dato che il suo momento

di dipolo e ~D(t) = e ~y(t), abbiamo ~D(t) = e~a(t), e la trasformata di Fourier di questa

relazione da −ω2 ~D(ω) = e~a(ω), dove ~a(ω) indica la trasformata di Fourier di ~a(t). La

(10.14) fornisce allora la distribuzione in frequenza,

dε

dω=

e2

3π|~a(ω)|2. (10.15)

Supponiamo ora che la forza ~F (t) agente sulla particella sia caratterizzata da un tempo

caratteristico T . Dato che ~a(t) =~F (t)

m, per le proprieta della trasformata di Fourier

possiamo allora concludere che |~a(ω)| e una funzione apprezzabilmente non nulla solo per

valori di ω che si estendono circa fino a1

T. Vale allora il seguente risultato generale circa

la distribuzione spettrale della radiazione emessa da una particella non relativistica in

moto aperiodico: se la forza alla quale e sottoposta la particella varia su scale temporali

dell’ordine di T , allora la radiazione emessa e concentrata principalmente in un intervallo

di frequenze limitato superiormente da,

ω ∼ 1

T. (10.16)

Corrente periodica. Per una corrente periodica definiamo i coefficienti di Fourier,

~DN =1

T

∫ T

0

e−iNω0t ~D(t) dt, (10.17)

e dalla (10.11) segue allora,

~EN = −(Nω0)2 e−i Nω0r

4πr~n×

(~n× ~DN

).

La (10.10) da quindi,dWN

dΩ=

(Nω0)4

8π2

∣∣∣~n× ~DN

∣∣∣2

. (10.18)

Integrando sugli angoli risulta poi,

WN =(Nω0)

4

3π| ~DN |2. (10.19)

Infine la somma∑∞

N=1WN uguaglia la potenza totale media W .

Per quanto riguarda le frequenze dominanti, per i moti periodici vale un risultato simile

a quello visto per i moti aperiodici. Se la scala temporale su cui varia la forza esterna

290

e dell’ordine del periodo, allora il sistema emette principalmente sulle prime armoniche

superiori, cioe, sulle frequenze,

ωN = Nω0,

con N dell’ordine dell’unita. Questo risultato e illustrato nell’esempio del paragrafo 10.2.2.

Moti armonici semplici. Consideriamo un sistema di particelle che compiono moti

armonici semplici,

~yr(t) = ~br sen

(2π

Tt

)+ ~cr cos

(2π

Tt

),

con lo stesso periodo T . Esempi di moti di questo tipo sono i moti circolari uniformi,

e i moti di oscillazione sinusoidale in una direzione. Un tale sistema emette radiazione

sclusivamente sulla frequenza fondamentale ω0 =2π

T. Infatti, in questo caso la relazione

~D(t) =∑

r er ~ar(t) da,

−ω2N

~DN =∑

r

er ~arN ,

dove ~arN indica il coefficiente di Fourier N–esimo di ~ar(t). Ma siccome per un moto

armonico semplice si ha ~arN = 0 per N 6= 1, nella (10.19) solo il termine W1 e allora

diverso da zero.

Insistiamo sul fatto che i risultati qualitativi di questo paragrafo valgono nel limite

non relativistico.

10.2.1 Bremsstrahlung a spettro continuo e catastrofe infrarossa

In questo paragrafo vogliamo illustrare i risultati del paragrafo precedente, nel caso di

una particella non relativistica che viene accelerata da un campo elettrico esterno.

Per essere precisi consideriamo una particella carica che attraversa una regione limitata

in cui esiste un campo elettrico costante e uniforme. L’accelerazione e allora diversa

da zero solo per un periodo limitato, e la particella compie un moto aperiodico. Di

conseguenza essa emette radiazione – Bremsstrahlung – a spettro continuo. Vogliamo

determinare la forma dello spettro di emissione, e individuare in particolare le frequenze

su cui la particella emette maggiormente. Confronteremo poi i risultati ottenuti con la

previsione fatta nella (10.16).

Senza perdita di generalita possiamo supporre che la particella entri nella zona del

campo elettrico all’istante t = −T , e che esca da questa zona all’istante t = T . In questo

291

intervallo temporale la sua accelerazione vale allora,

~a =e ~E

m,

mentre fuori dall’intervallo essa e zero. La (10.15) richiede allora di valutare la trasformata

di Fourier,

~a (ω) =1√2π

∫ ∞

−∞dt e−iωt ~a(t) =

e ~E

m

1√2π

∫ T

−T

dt e−iωt =2 e ~E√2π m

sen(ωT )

ω.

La (10.15) da allora,dε

dω=

2 e2a2

3π2

sen2(ωT )

ω2. (10.20)

Questa funzione ha un massimo per ω = 0, e si annulla la prima volta per ω =π

T. Oltre

questo valore essa va rapidamente a zero, in accordo con il risultato generale (10.16).

Possiamo anche valutare l’energia totale emessa durante l’intera fase di accelerazione.

Per fare questo possiamo integrare la (10.20) su tutte le frequenze, usando l’integrale,

∫ ∞

0

(sen x

x

)2

dx =π

2,

oppure possiamo applicare la formula di Larmor W = e2a2/6π. Si ottiene,

∆ε =

∫ ∞

0

dε

dωdω =

∫ T

−T

W dt =e2a2 T

3π=

e2 |∆~v|212 π T

, (10.21)

dove abbiamo introdotto la differenza tra le velocita iniziale e finale,

∆~v ≡ ~vf − ~vi = 2 T~a.

Abbiamo quindi trovato un legame diretto tra l’energia irradiata, e la variazione della

velocita della particella – causa della radiazione. Vediamo ora come si comporta la di-

stribuzione spettrale nel limite in cui la durata del processo va a zero, T → 0, a parita di

∆~v. Dalla (10.20) segue,

dε

dω=

e2|∆~v|26π2

sen2(ωT )

ω2T 2→ e2|∆~v|2

6π2,

e si otterrebbe quindi uno spettro “piatto”, in cui tutte le frequenze sono equiprobabili,

ancora in accordo con la (10.16). D’altra parte in questo limite l’energia totale (10.21)

divergerebbe. Da cio si desume che la schematizzazione dell’urto di una particella carica

292

come un processo istantaneo – usata spesso negli studi teorici, per via della sua semplicita

– e fisicamente inconsistente, perche l’energia emessa sarebbe infinita.

Catastrofe infrarossa. Concludiamo la discussione di questo esempio con un commento

su un fenomeno quantistico che viene chiamato “catastrofe infrarossa”. Abbiamo appena

visto che l’energia totale emessa durante il processo e finita. Teniamo ora in conto che

l’emissione di radiazione elettromagnetica di frequenza ω a livello quantistico corrisponde

all’emissione di fotoni con energia individuale ~ω 42. Possiamo allora chiederci quanti

fotoni vengono emessi nell’intervallo di frequenza ω e ω + dω, e la risposta e,

dN

dω=

1

~ωdε

dω=

2 e2a2

3π2~sen2(ωT )

ω3.

Il numero di fotoni emessi tra le frequenze ω1 e ω2 e allora dato da,

N(ω1, ω2) =

∫ ω2

ω1

dN

dωdω =

2 e2a2

3π2~

∫ ω2

ω1

sen2(ωT )

ω3dω.

Come si vede il numero di fotoni “duri”, cioe, di frequenza elevata, risulta finito in quanto

l’integrale N(ω,∞) e finito. D’altra parte il numero di fotoni “soffici”, cioe, di frequenza

bassa, diverge perche per ω → 0 si ha,

sen2(ωT )

ω3≈ T 2

ω,

e N(0, ω) diverge. Questo vuol dire che nonostante l’energia totale irradiata sia finita,

il numero di fotoni soffici emessi durante il processo di accelerazione e infinito. Questo

fenomeno fisico porta il nome di “catastrofe infrarossa”, in quanto legato alla presenza di

infiniti fotoni con energie tendenti a zero. So noti, tuttavia, che solo un numero finito di

questi fotoni e osservabile sperimentalmente, perche qualsiasi apparato di misura ha una

“sensibilita” finita, potendo rivelare solo i fotoni che hanno un’energia al di sopra di una

certa soglia ∆ε.

Dall’analisi svolta e chiaro che la catastrofe infrarossa e dovuta semplicemente all’ac-

celerazione della particella, indipendentemente dalla forza che la causa, e in particolare

essa accompagna allora qualsiasi processo d’urto che coinvolge particelle cariche. D’al-

tro canto questo fenomeno e legato strettamente al fatto che il mediatore dell’interazione

42La nostra analisi classica della radiazione resta valida per lunghezze d’onda molto superiori allalunghezza d’onda Compton, λÀ λC = ~/mc, cioe per ω ¿ mc2/~, che vuol dire T À ~/mc2 ≈ 10−21s.L’analisi della catastrofe infrarossa svolta nel testo riguarda il caso ω → 0, per cui la trattazione classicae comunque valida.

293

elettromagnetica – il fotone – essendo privo di massa puo raggiungere energie ~ω arbi-

trariamente piccole. Concludiamo quindi che la catastrofe infrarossa non avviene nelle

interazioni deboli, i cui mediatori sono massivi, mentre e presente sia nelle interazioni

gravitazionali che in quelle forti. Notiamo, tuttavia, che nelle interazioni forti, per via del

fenomeno del confinamento, i gluoni soffici non si presentano come particelle “asintotiche”

libere, perche adronizzano in pochissimo tempo formando particelle massive.

Infine osserviamo che, essendo un fenomeno di basse energie, la catastrofe infrarossa

considerata quı a livello classico, si ripresenta in teoria quantistica di campo dove causa

una seria di problemi, sia di carattere tecnico che concettuale, che in parte aspettano

tuttora di essere risolti – come per esempio in Cromodinamica Quantistica.

10.2.2 Bremsstrahlung a spettro discreto

Consideriamo una particella non relativistica che compie un moto periodico di periodo T

lungo un arco di circonferenza di raggio R, con legge oraria,

~y(t) = (R cosϕ(t), R senϕ(t), 0), ϕ(t) = ϕ0 sen(ω0t), 0 < ϕ0 < π/2,

dove ω0 = 2π/T e la frequenza fondamentale, e ϕ0 e l’elongazione. Sappiamo allora che

questa particella emette radiazione con frequenze ωN = Nω0. Vogliamo eseguire l’analisi

spettrale di questo sistema, cercando in particolare di individuare le frequenze su cui la

particella emette la maggior parte della radiazione.

Per la potenza totale mediata su un ciclo possiamo usare la formula di Larmor,

W =e2

6πa2,

e un semplice conto fornisce,

W =e2R2ω4

0

6π

(1

2ϕ2

0 +3

8ϕ4

0

).

Per calcolare la potenza che la particella emette sulla frequenza ωN = Nω0, occorre

valutare i coefficienti di Fourier del momento di dipolo ~D(t) = e ~y(t),

~DN =1

T

∫ T

0

dt e−i Nω0t ~D(t) =eR

T

∫ T

0

dt e−i Nω0t(cosϕ(t), senϕ(t), 0). (10.22)

294

Funzioni di Bessel. Gli integrali di cui sopra possono essere espressi in termini delle

funzioni di Bessel di ordine intero N ,

JN(y) =1

2π

∫ 2π

0

ei(Nx−y senx) dx =1

π

∫ π

0

cos(Nx− y senx)d x, (10.23)

di cui elenchiamo ora qualche proprieta. Esse soddisfano,

JN(−y) = J−N(y) = (−)NJN(y). (10.24)

Si ha inoltre,

1

2π

∫ 2π

0

ei(Nx−y senx) cosx dx =N

yJN(y), (10.25)

1

2π

∫ 2π

0

ei(Nx−y senx) senx dx = i J ′N(y). (10.26)

La prima discende dall’identita,

∫ 2π

0

d

dxei(Nx−y senx) dx = 0,

mentre la seconda e immediata. Si hanno poi gli andamenti asintotici,

JN(y) ∼√

2

πycos

(y − π

4(2N + 1)

), per y →∞, N fissato, (10.27)

JN(y) ∼ 1

N !

(y

2

)N

, per y → 0, N fissato, (10.28)

JN(y) ∼ 1

N !

(y

2

)N

, per N →∞, y fissato. (10.29)

Il coincidere degli ultimi due andamenti deve considerarsi una casualita.

La valutazione degli integrali nella (10.22) e allora immediata,

~DN =eR

2

(JN(ϕ0) + JN(−ϕ0),

1

i(JN(ϕ0)− JN(−ϕ0)), 0

).

Per la potenza irradiata sulla frequenza N–esima risulta in definitiva,

WN =(Nω0)

4

3π| ~DN |2 =

e2 R2 (Nω0)4

3πJ2

N(ϕ0),

e il teorema di Parseval assicura poi che,

W =∞∑

N=1

WN .

295

Cerchiamo ora di capire quali sono i WN che contribuiscono maggiormente a questa som-

ma. Per fare questo sfruttiamo gli andamenti asintotici delle funzioni di Bessel di cui

sopra. Per N grandi abbiamo,

WN

W =N4J2

N(ϕ0)14ϕ2

0 + 316

ϕ40

≈ 1

N2N, (10.30)

che vuol dire che le armoniche superiori sono comunque fortemente soppresse.

Possiamo considerare inoltre il caso di elongazioni ϕ0 piccoli, e di elongazioni del-

l’ordine dell’unita. Per ϕ0 piccoli possiamo rapportare la potenza emessa sull’armonica

fondamentale, alla potenza totale,

W1

W =J2

1 (ϕ0)14ϕ2

0 + 316

ϕ40

= 1− ϕ20 + o

(ϕ4

0

),

dove abbiamo utilizzato lo sviluppo

J1(x) =x

2− x3

16+ o(x5). (10.31)

Per ϕ0 piccoli quasi tutta la potenza viene quindi emessa sull’armonica fondamentale. Ma

anche scegliendo elongazioni ϕ0 dell’ordine dell’unita, la situazione resta qualitativamente

la stessa. Per ϕ0 = 1, che corrisponde a un’elongazione di circa 60o, la (10.30) da,

WN

W =16

7N4J2

N(1),

e usando per JN(1) i valori tabulati si ricava,

W1

W = 0.43,W1 +W2

W = 0.91,W1 +W2 +W3

W = 0.98.

Si vede che praticamente tutta l’energia viene emessa sulle prime armoniche piu basse.

10.3 Analisi spettrale relativistica

In questa sezione ci occupiamo dello spettro di emissione di un generico sistema relativi-

stico. Nel primo paragrafo deriveremo la formula fondamentale per lo spettro di emissione

di una particella singola in moto arbitrario, vedi (10.40), (10.42), e nel paragrafo succes-

sivo useremo questa formula per determinare le frequenze caratteristiche della radiazione

emessa da una generica particella ultrarelativistica. Nella sezione 10.4 la applicheremo,

296

invece, per eseguire l’analisi spettrale quantitativa della radiazione emessa da una parti-

cella in un ciclotrone relativistico. Nella sezione 10.5 deriveremo, infine, un’espressione

per lo spettro di emissione di una corrente generica.

10.3.1 Spettro di emissione di una particella singola

In questo paragrafo vogliamo dunque derivare una formula per la distribuzione in fre-

quenza della radiazione emessa da una particella carica in moto arbitrario. Il risultato

dara l’energia emessa per unita di frequenza, in termini di un integrale semplice lungo la

traiettoria della particella.

Riprendiamo il campo elettrico asintotico di Lienard–Wiechert (9.2),

~E(t, ~x) =e

4πr

~n× [(~n− ~v)× ~a]

(1− ~v · ~n)3. (10.32)

Per determinare la distribuzione in frequenza della radiazione dobbiamo inserire que-

sta formula rispettivamente nelle (10.3) e (10.6), e usare le (10.8) e (10.10). Di nuovo

trattiamo separatamente moti periodici e aperiodici.

Moto periodico. Per un moto periodico si tratta di valutare, per ogni ~x fissato, il

coefficiente di Fourier ~EN(~x) ≡ ~EN ,

~EN =1

T

∫ T

0

dt e−iNω0t ~E(t, ~x). (10.33)

Prima di procedere dobbiamo ricordarci che le variabili ~v e ~a che compaiono nella (10.32)

non sono valutate all’istante t, ma all’istante ritardato t′(t, ~x), dato dalla (9.4),

t = t′ + r − ~n · ~y(t′). (10.34)

Nell’integrale (10.33) conviene allora passare dalla variabile d’integrazione t alla variabile

t′. Siccome ~x e tenuto fisso, la misura di integrazione cambia secondo la (9.5),

dt = (1− ~n · ~v) dt′. (10.35)

Usando queste relazioni la (10.33) si scrive allora come un integrale lungo la traiettoria,

~EN =e

4πre−iNω0 r 1

T

∫ T

0

e−iNω0(t′−~n·~y(t′)) · ~n× [(~n− ~v)× ~a]

(1− ~v · ~n)2dt′, (10.36)

Si noti che la (10.34) assicura che, se t corre lungo un periodo, anche t′ corre lungo un

periodo, perche la legge oraria ~y(t′) e periodica. L’integrale nella (10.36) e quindi di

297

nuovo tra 0 e T . Inserendo questa espressione nella (10.10), e chiamando la variabile

d’integrazione di nuovo t, si ottiene per la distribuzione angolare della potenza emessa

sulla frequenza ωN = Nω0,

dWN

dΩ=

e2

8π2

∣∣∣∣1

T

∫ T

0

e−i Nω0(t−~n·~y) · ~n× [(~n− ~v)× ~a]

(1− ~v · ~n)2dt

∣∣∣∣2

. (10.37)

Questa formula puo essere ulteriormente semplificata, se si usano le identita,

~n× [(~n− ~v)× ~a]

(1− ~v · ~n)2=

d

dt

[~n× (~n× ~v)

(1− ~v · ~n)

], (10.38)

d

dte−i Nω0(t−~n·~y) = −i Nω0(1− ~v · ~n) e−i Nω0(t−~n·~y). (10.39)

Con un’integrazione per parti la (10.37) si riduce allora a,

dWN

dΩ=

e2(Nω0)2

8π2

∣∣∣∣~n×1

T

∫ T

0

e−i Nω0(t−~n·~y) ~v dt

∣∣∣∣2

, (10.40)

dove abbiamo usato che |~n× (~n× ~V )| = |~n× ~V |, per qualsiasi vettore ~V .

Limite non relativistico. La (10.40) fornisce la distribuzione in frequenza della radia-

zione emessa da una particella con velocita arbitraria, nota la sua legge oraria ~y(t). E

immediato verificare che nel limite non relativistico questa formule si riduce alla (10.18),

ricavata nel paragrafo 10.2. In questo limite il termine ~n · ~y nell’esponente della (10.40)

e, infatti, trascurabile, e scrivendo ~v =d~y

dt, un’integrazione per parti muta la (10.40) in,

dWN

dΩ≈ e2(Nω0)

4

8π2

∣∣∣∣~n×1

T

∫ T

0

e−i Nω0t ~y dt

∣∣∣∣2

.

Questa espressione coincide con la (10.18), in quanto per una particella singola si ha,

~DN =1

T

∫ T

0

e−i Nω0t ~D(t) dt =e

T

∫ T

0

e−iNω0t ~y dt.

Moto aperiodico. Per un moto aperiodico si procede in modo del tutto analogo, par-

tendo dalle (10.8), (10.3) e (10.32), e si trova facilmente che al posto di (10.37) ora si

ottiene per la distribuzione in frequenza,

d 2ε

dω dΩ=

e2

8π2

∣∣∣∣1√2π

∫ ∞

−∞e−iω(t−~n·~y) · ~n× [(~n− ~v)× ~a]

(1− ~v · ~n)2dt

∣∣∣∣2

. (10.41)

Tuttavia, l’integrazione per parti basata sulle (10.38), (10.39), con l’identificazione Nω0 ↔ω, non puo essere eseguita in modo naiv nell’integrale presente nella (10.41). Il motivo

298

e che il termine al bordo dell’integrazione per parti e situato ora all’infinito temporale,

e l’integrando non ammette limite per t → ±∞, per la presenza dei fattori oscillanti

e−iω(t− ~n · ~y). Per ovviare a questa difficolta tecnica conviene regolarizzare l’integrale

nella (10.41) introducendo un cut-off temporale L,∫ ∞

−∞dt →

∫ L

−L

dt,

ed eseguire l’integrazione per parti per L finito. Per L → ∞ il termine al bordo ancora

non ammette limite, ma esso va a zero se questo limite viene eseguito nel senso delle

distribuzioni nella variabile ω. Questa procedura e quindi perfettamente lecita, purche

anche l’integrale improprio risultante vada considerato come limite nel senso delle distri-

buzioni. Con questo caveat e allora immediato vedere che le (10.38), (10.39) mutano la

(10.41) nell’espressione piu semplice,

d 2ε

dω dΩ=

e2ω2

8 π2

∣∣∣∣~n×1√2π

∫ ∞

−∞e−i ω(t−~n·~y) ~v dt

∣∣∣∣2

, (10.42)

analoga alla (10.40).

Per illustrare come la (10.42) sia ben definita solo nel senso delle distribuzioni, verifi-

chiamo che per una particella in moto rettilineo uniforme, ~y(t) = ~v t, si ottiened 2ε

dω dΩ= 0,

in accordo con il fatto che una particella non accelerata non emette radiazione. Si noti

che in questo caso la (10.41), che e comunque ben definita, da il risultato corretto, perche

~a(t) = 0 identicamente. Volendo usare la (10.42) si tratta, invece, di valutare l’integrale,∫ ∞

−∞e−i ωt(1−~n·~v) ~v dt ≡ S ′ − lim

L→∞

∫ L

−L

e−i ωt(1−~n·~v) ~v dt.

Ricordando la rappresentazione della δ di Dirac,

S ′ − limL→∞

∫ L

−L

e−ik xdk = 2π δ(x),

risulta dunque l’espressione ben definita nello spazio delle distribuzioni,∫ ∞

−∞e−i ωt(1−~n·~v) ~v dt =

2π ~v

1− ~n · ~v δ(ω).

Tuttavia, nella (10.42) questo integrale appare moltiplicato per ω, e siccome ω δ(ω) = 0,

risulta in effettid 2ε

dω dΩ= 0.

Usando la (10.41), infine, e immediato vedere che nel limite non relativistico si riottiene

la (10.13).

299

10.3.2 Frequenze caratteristiche nel limite ultrarelativistico

Vogliamo ora eseguire un’analisi qualitativa dello spettro emesso da una generica particella

ultrarelativistica, v ∼ 1, in moto aperiodico. Ci chiediamo in particolare quali sono le

frequenze su cui una particella ultrarelativistica emette in generale la maggior parte della

radiazione. Ricordiamo che nel caso non relativistico la risposta a questa domanda e data

dalla (10.16), ovverosia, la particella emette la maggior parte della radiazione entro le

frequenze,

ω ∼ 1

T, (10.43)

se T e la scala temporale sulla quale la forza varia sensibilmente.

Per analizzare la distribuzione in frequenza della radiazione emessa da una particella

ultrarelativistica, possiamo sfruttare il fatto che una particella che viaggia con velocita

molto elevata, devia poco dalla traiettoria rettilinea. L’angolo di scattering χ, che e

l’angolo tra la direzione incidente e quella uscente, sara quindi molto piccolo, cosı come

e piccola l’apertura angolare α del cono, entro il quale viene emessa la maggior parte

della radiazione. Dalla sezione 9.3 sappiamo, infatti, che vale α ∼ √1− v2. Eseguiremo

l’analisi spettrale ultrarelativistica distinguendo i casi χ¿ α, e α¿ χ.

L’angolo di scattering χ. Per dare una stima dell’angolo di scattering, supponiamo che

la particella sia soggetta alla forza di Lorentz,

d~p

dt= e( ~E + ~v × ~B),

dε

dt= e~v · ~E,

e che i campi esterni siano sensibilmente diversi da zero solo in una regione spaziale

limitata, di dimensioni lineari L. Siccome la particella e ultrarelativistica, essa percepira

dunque questi campi per una durata caratteristica T ∼ L. Per le variazioni della quantita

di moto e dell’energia tra lo stato iniziale e quello finale, otteniamo allora,

|∆~p| = e

∣∣∣∣∫ ∞

−∞( ~E + ~v × ~B) dt

∣∣∣∣ ∼ e F T, ∆ε = e

∫ ∞

−∞~v · ~E dt ∼ e F T, (10.44)

dove abbiamo posto v ∼ 1, e indicato con F un valore caratteristico dei campi elettrico

e magnetico. Dato che la particella viene deflessa poco, l’angolo di scattering e dato dal

modulo della differenza tra i versori finale e iniziale, χ ∼ |~nf − ~ni|. Siccome abbiamo

300

~v =~p

ε, si ottiene allora,

χ =

∣∣∣∣~vf

vf

− ~vi

vi

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∆(

~v

v

)∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∆(

~p

|~p|)∣∣∣∣ ,

dove ~vi e ~vf sono le velocita iniziale e finale. Dato che |~p| = √ε2 −m2, e quindi ∆|~p| =ε ∆ε

|~p| ∼ ∆ε, si ottiene,

∆

(~p

|~p|)

=∆~p

|~p| −~p ∆ε

|~p| 2 ∼√

1− v2

m(∆~p− ~v ∆ε) .

Usando le (10.44) risulta quindi la stima,

χ ∼√

1− v2

meF T. (10.45)

Si ottiene allora,χ

α∼ e F T

m, (10.46)

rapporto che e indipendente dalla velocita della particella, ma dipende solo dalle carat-

teristiche del campo esterno. La (10.46) puo essere scritta anche come il rapporto tra la

“frequenza di ciclotrone” non relativisticae F

m, vedi (9.24), e la frequenza

1

Tdi un moto

aperiodo non relativistico, vedi (10.16),

χ

α∼

(e F

m

)

(1

T

) . (10.47)

Frequenze caratteristiche per χ¿ α. Consideriamo ora il caso in cui χ¿ α. In questa

situazione la maggior parte della radiazione viene emessa all’interno del cono centrato in ~v

di apertura α, il cui asse durante il moto praticamente non cambia. Pertanto e sufficiente

analizzare la radiazione emessa nell’immediata vicinanza della direzione di ~v, e porre

quindi nella formula generale (10.41),

~n ≈ ~v

v, ~n− ~v ≈ (1− v)~n, ~y(t) ≈ ~v t.

Si ottiene cosı,

d 2 ε

dω dΩ≈ e2

8π2

∣∣∣∣~n

1− v× 1√

2π

∫ ∞

−∞e−iω t(1−v) ~a(t) dt

∣∣∣∣2

≈ e2

8π2(1− v)2|~n× ~a(ω(1− v))|2 ,

301

dove ~a(ω(1 − v)) e la trasformata di Fourier di ~a(t), calcolata in ω(1 − v). Dato che la

particella percepisce la forza esterna per un tempo limitato T , la sua accelerazione varia

sensibilmente sulla stessa scala temporale T . Per le proprieta della trasformata di Fourier

la funzione ~a(ω(1 − v)) e allora apprezzabilmente diversa da zero per valori di ω per cui

ω(1− v) ∼ ω(1− v2) <1

T. In termini dell’energia della particella la maggior parte della

radiazione viene quindi emessa entro le frequenze caratteristiche,

ω ∼ 1

T

1

1− v2=

1

T

( ε

m

)2

, (10.48)

da confrontare con la (10.43).

Se χ¿ α, lo spettro di radiazione di una particella ultrarelativistica e quindi spostato

molto verso le frequenze alte. Da un punto di vista quantistico questo vuol dire che la

particella emette principalmente fotoni “duri”, cioe, molto energetici, mentre nel caso non

relativistico la particella emette fotoni molto piu “soffici”, cioe, poco energetici

Frequenze caratteristiche per α¿ χ. Se l’angolo di scattering e grande rispetto ad α,

la direzione di emissione cambia sensibilmente durante il moto, e la radiazione emessa in

una data direzione ~n proviene solo da quel piccolo arco della traiettoria, lungo il quale

la velocita della particella forma con ~n un angolo inferiore a α ∼ √1− v2. Chiamando

∆x la lunghezza di questo arco, e ricordando che durante l’intero percorso di lunghezza

T ∼ L, la direzione della traiettoria cambia di un angolo χ, avremo che lungo questo arco

la direzione della velocita cambia di un angolo,

∆x

Tχ.

Siccome questo angolo e uguale ad α, otteniamo per la lunghezza dell’arco in questione

la stima,

∆x ∼ α

χT ¿ T.

Dato che ∆x e, dunque, molto minore di T , lungo questo arco i campi possono essere

assunti costanti, e dato che inoltre l’arco e piccolo, esso potra essere approssimato con

un arco di circonferenza. Siccome, per di piu, abbiamo che v ∼ 1, su questo arco il

moto sara pressoche circolare uniforme. Possiamo allora anticipare il risultato (10.65)

della sezione 10.4, in cui si esegue un’analisi dettagliata della radiazione emessa da una

302

particella ultrarelativistica in moto circolare uniforme – in quel caso in presenza di un

campo magnetico costante e uniforme B. Previa la sostituzione B → F , la (10.65) da

allora le frequenze caratteristiche,

ω ∼ e F

m

( ε

m

)2

. (10.49)

Come si vede, queste frequenze mostrano la stessa dipendenza dall’energia della (10.48),

ma il coefficiente di proporzionalita corrisponde ora alla “frequenza di ciclotrone” non

relativisticae F

m, al posto di

1

T.

Data la (10.47) possiamo riassumere i risultati di questo paragrafo, affermando che un

sistema carico ultrarelativistico emette radiazione con frequenze caratteristiche,

ω ∼ ω∗( ε

m

)2

, (10.50)

dove ω∗ e la piu grande tra le “frequenze fondamentali”e F

me

1

T.

10.4 La radiazione del ciclotrone

In questa sezione eseguiamo l’analisi spettrale e angolare della radiazione emessa da una

particella carica in un ciclotrone, dedicando particolare attenzione al caso ultrarelativistico

v ∼ 1.

Adottando la notazione del paragrafo 9.2.2, ricordiamo che la frequenza di ciclotrone

e la velocita della particella sono date rispettivamente da,

ω0 =eB

m

√1− v2 =

eB

ε, v = ω0R,

dove R e il raggio dell’orbita. Siccome la particella compie un moto periodico con periodo

T = 2π/ω0, il sistema emette radiazione sulle frequenze,

ωN = Nω0.

Conosciamo anche la formula per la potenza totale media, vedi (9.25),

W =e2

6π

v2ω20

(1− v2)2. (10.51)

Ciclotrone non relativistico. Prima di procedere ricordiamo le principali caratteristiche

della radiazione emessa da una particella non relativistica, v ¿ 1. In questo caso il sistema

303

emette solo sulla frequenza fondamentale (non relativistica) ω0 ≈ eB/m, con distribuzione

angolare,dWdΩ

=dW1

dΩ=

e2v2ω20

32π2(1 + cos2ϑ), (10.52)

dove ϑ e l’angolo tra la direzione di emissione ~n, e l’asse del ciclotrone, vedi problema 7.1.

Il rapporto fra l’intensita della radiazione emessa lungo ϑ = π/2 (nel piano dell’orbita), e

l’intensita emessa lungo ϑ = 0 (ortogonalmente all’orbita) risulta allora,

W‖W⊥≡

dWdΩ

(π

2

)

dWdΩ

(0)

=1

2. (10.53)

Integrando la (10.52) sugli angoli si ottiene poi la potenza totale,

W =W1 =e2

6πv2ω2

0,

da confrontare con la (10.51).

10.4.1 Analisi spettrale

D’ora in poi consideriamo una particella con velocita arbitraria. Cominciamo l’analisi

della radiazione, valutando esplicitamente i coefficienti spettrali, (10.40),

dWN

dΩ=

e2(Nω0)2

8π2

∣∣∣∣~n×1

T

∫ T

0

e−i Nω0(t−~n·~y) ~v dt

∣∣∣∣2

. (10.54)

Prendendo come asse z l’asse dell’orbita, traiettoria, velocita e accelerazione istantanea

della particella sono date da,

~y(t) = R (cosϕ, senϕ, 0) (10.55)

~v(t) = v (−senϕ, cosϕ, 0), (10.56)

~a(t) = −ω20 ~y(t), (10.57)

dove,

ϕ = ω0t. (10.58)

Per via dell’invarianza per rotazioni attorno all’asse z, per quanto riguarda la valutazio-

ne della (10.54) non e restrittivo scegliere la direzione di emissione ~n nel piano (y, z).

Possiamo allora scrivere,

~n = (0, senϑ, cosϑ), (10.59)

304

dove ϑ e l’angolo tra ~n e l’asse z. Notando che,

ω0 ~n · ~y = v senϑ senϕ,

possiamo riscrivere l’integrale lungo l’orbita che compare nella (10.40) come,

1

T

∫ T

0

e−i Nω0(t−~n·~y) ~v dt =v

2π

∫ 2π

0

e−i N(ϕ−v senϑ senϕ)(−senϕ, cosϕ, 0) dϕ, (10.60)

dove dall’integrale in t siamo passati a un integrale in ϕ. Utilizzando le proprieta (10.25)

e (10.26) delle funzioni di Bessel, e allora immediato riconoscere che la (10.60) equivale a,

1

T

∫ T

0

e−i Nω0(t−~n·~y) ~v dt = v

(i j′N(vNsenϑ),

1

vsenϑjN(v Nsenϑ), 0

).

Calcolando il prodotto esterno tra questo vettore e ~n, e inserendolo nella (10.54), ottenia-

mo cosı le distribuzioni angolari spettrali cercate,

dWN

dΩ=

e2(Nω0)2

8π2

(ctg2ϑ j2

N(vNsenϑ) + v2j′ 2N (vNsenϑ)). (10.61)

Come prima cosa analizziamo il loro comportamento nel limite non relativistico v ¿ 1.

Dalle formule asintotiche (10.28) vediamo che per v → 0 si hanno gli andamenti leading,

dWN

dΩ∼ e2ω2

0 v2N ,

e quindi in questo limite le armoniche con N ≥ 2 sono fortemente soppresse rispetto

all’armonica fondamentale N = 1. D’altra parte, usando la (10.28) e immediato vedere

che il peso spettrale (10.61) per N = 1, nel limite non relativistico si riduce alla (10.52).

10.4.2 Lo spettro nel limite ultrarelativistico

Per eseguire un’analisi qualitativa dello spettro emesso da una particella ultrarelativistica,

conviene integrare la (10.61) sugli angoli, si veda per esempio J. Schwinger et. al. 43,

WN =

∫dWN

dΩdΩ =

e2Nω20

4πv

(2v2j′2N(2Nv)− (1− v2)

∫ 2Nv

0

j2N(y) dy

). (10.62)

Un argomento qualitativo. Prima di procedere con l’analisi della (10.62) nel limite

v ∼ 1, diamo un argomento qualitativo per stabilire l’ordine di grandezza delle frequenze,

43J. Schwinger, L.L. DeRaad, K.A. Milton e W. Tsai, Classical Electrodynamics, Perseus Books,Reading (MA), 1998.

305

su cui la particella emette maggiormente. Ricordiamo dalla sezione 9.3 che, se v ∼ 1, allora

in un dato istante la particella emette principalmente in un cono attorno alla direzione

di volo, di apertura angolare α ∼ √1− v2. Se la particella compie un moto circolare di

periodo T = 2π/ω0, allora la radiazione in una data direzione di osservazione proviene solo

da una piccola porzione dell’orbita, ovvero da quella che viene percorsa dalla particella

nel tempo,

∆t′ ∼ α

2πT ∼

√1− v2

ω0

.

Una tipica frequenza di emissione e allora data,

ω′ =1

∆t′∼ ω0√

1− v2.

D’altra parte, al tempo di emissione ∆t′ corrisponde il tempo di osservazione, vedi (10.35),

∆t = (1− ~n · ~v)∆t′ ∼ (1− v)∆t′ ∼ (1− v2)∆t′,

a cui corrisponde dunque la frequenza osservata,

ω =1

∆t∼ ω′

1− v2.

Concludiamo che le frequenze caratteristiche della radiazione del ciclotrone ultrarelativi-

stico sono date da,

ω ∼ ω0

(1− v2)3/2= ω0

( ε

m

)3

, (10.63)

che corrispondono dunque a armoniche di ordine molto elevato,

N ∼( ε

m

)3

. (10.64)

In termini del campo esterno le frequenze caratteristiche della radiazione sono allora date

da,

ω ∼ eB

m

( ε

m

)2

. (10.65)

Analisi quantitativa. Torniamo ora alle espressioni quantitative (10.62). Per quello

che abbiamo appena visto dobbiamo apsettarci che per velocita vicine alla velocita della

luce, sono dominanti i pesi spettrali WN con N molto grande. In realta si puo vedere

che l’andamento della successione (10.62) per grandi N , dipende sensibilmente dal valore,

grande anch’esso, di 1/√

1− v2. Attraverso un’analisi asintotica delle funzioni di Bessel

306

che compaiono nella (10.62) si trova, infatti, che per v ∼ 1, a parte fattori numerici, si ha

44,

WN ≈

e2 ω20 N1/3, per 1¿ N ¿ 1

(1−v2)3/2 ,

e2 ω20

√N (1− v2)1/4 e−

23

N(1−v2)3/2, per 1

(1−v2)3/2 ¿ N .(10.66)

Vediamo dunque che per valori di N grandi ma inferiori a 1/(1 − v2)3/2, i pesi spettrali

crescono come N1/3, mentre per N molto maggiore di 1/(1 − v2)3/2 essi sono esponen-

zialmente soppressi. La particella emette dunque radiazione fino a frequenze dell’ordine

di,

ωN = Nω0 ∼ ω0

(1− v2)3/2,

a conferma della (10.63).

Dato che nel limite ultrarelativistico si ha ω0 = v/R ∼ 1/R, per le lunghezze d’onda

emesse si trova allora il valore caratteristico,

λ =2π

ωN

∼ R(m

ε

)3

.

In base a questa formula la radiazione emessa da LEP conteneva lunghezze d’onda mol-

to corte dell’ordine di λ ∼ 10−3 nm, corrispondenti a raggi γ, mentre la radiazione di

LHC sara piccata su lunghezze d’onda molto piu lunghe, dell’ordine di λ ∼ 10 nm,

corrispondenti a raggi X molli.

10.4.3 Distribuzione angolare

Invece di analizzare la distribuzione angolare delle singole frequenze, analizziamo la di-

stribuzione angolare totale. A questo scopo si dovrebbe risommare la serie,

dWdΩ

=N∑

N=1

dWN

dΩ,

cosa che risulta difficile da fare direttamente. In questo caso e piu conveniente ricorrere

alla (10.9),dWdΩ

=r2

T

∫ T

0

| ~E|2dt. (10.67)

44Vedi per esempio J. Schwinger et. al., op. cit.

307

Come prima cosa bisogna dunque valutare | ~E|2, con ~E dato come al solito dalla (10.32).

Inserendo le (10.55)–(10.57) e la (10.59), con un semplice conto si ottiene,

| ~E|2 =e2v2ω2

0

16π2r2· (1− v2) cos2ϑ + (v − senϑ cosϕ)2

(1− v senϑ cosϕ)6, (10.68)

dove ora ϕ = ω0 t′ = ω0 t′(t, ~x). Di nuovo e conveniente cambiare variabile d’integrazione

e passare da t a ϕ, utilizzando le (10.34), (10.35). Siccome si ha,

dt = (1− ~n · ~v(t′)) dt′ =1− v senϑ cosϕ

ω0

dϕ,

la (10.67) diventa,dWdΩ

=r2

2π

∫ 2π

0

| ~E|2(1− v senϑ cosϕ) dϕ.

Inserendo in questa formula la (10.68) si trova un integrale che puo essere valutato

esplicitamente, e il risultato e,

dWdΩ

=e2v2ω2

0

32π2· 1 + cos2ϑ− v2

4(1 + 3v2) sen4ϑ

(1− v2sen2ϑ)7/2. (10.69)

Per velocita piccole riotteniamo la distribuzione “continua” (10.52), che ha un massimo

per ϑ = 0. Viceversa, per velocita elevate, v ∼ 1, dall’esame del denominatore della

(10.69) si vede chedWdΩ

ha un massimo pronunciato nelle vicinancze di ϑ =π

2, cioe, nel

piano dell’orbita. Cerchiamo allora di individuare le direzioni vicine al piano dell’orbita,

entro le quali viene emessa la maggior parte della radiazione. Le direzioni in questione

sono quelle per cui il denominatore della (10.69) resta essenzialmente dello stesso ordine

di grandezza del suo valore massimo, ovvero, per angoli ϑ per cui,

1− v2sen2ϑ ∼ 1− v2.

Ponendo α =π

2− ϑ, cio succede se,

1− v2cos2α ∼ 1− v2

(1− α2

2

)∼ 1− v2 +

α2

2∼ 1− v2,

ovvero, per direzioni ~n che formano con il piano dell’orbita angoli α minori o uguali a,

α ∼√

1− v2.

Si noti che questi risultati qualitativi sono in accordo con l’analisi generale della distribu-

zione angolare nel limite ultrarelatvistico, svolta in sezione 9.3.

308

Infine calcoliamo il rapporto tra l’intensita emessa nel piano dell’orbita, a ϑ =π

2, e

quella emessa lungo il suo asse, a ϑ = 0. Dalla (10.69) si trova facilmente,

W‖W⊥

=

dWdΩ

(π

2

)

dWdΩ

(0)

=1

8

4 + 3v2

(1− v2)5/2.

Nel limite non relativistico si riottiene la (10.53), mentre per velocita ultrarelativistiche

si ottiene un rapporto molto grande.

10.4.4 Luce di sincrotrone

La radiazione emessa da un ciclotrone relativistico viene chiamata radiazione (o luce) di

sincrotrone, perche fu osservata per la prima volta in un sincrotrone di elettroni, presso

la “General Electric Company” di Schenectady, a New York, nel 1947. Da allora le

previsioni quantitative (10.61) e (10.69) sono state verificate sperimentalmente in diversi

sincrotroni, e le distribuzioni angolari e in frequenza misurate sono in ottimo accordo con

queste formule. Mentre negli acceleratori ad alte energie questa radiazione rappresenta

un effetto dissipativo, nei sincrotroni dedicati essa viene prodotta ad arte, ed utilizzata

per le ricerche nei campi della materia condensata, della biologia e della medicina, che

necessitano di fotoni molto energetici. Uno dei pregi di questa radiazione consiste nel fatto

che lo spettro emesso e in generale molto ampio, vedi (10.65), potendo coprire le regioni

del visibile, dell’ultravioletto e dei raggi X. Attraverso particolari dispositivi sperimentali,

i “wigglers” o gli “ondulatori”, si possono infatti selezionare dallo spettro la particolare

banda di frequenze richiesta per le ricerche specifiche che si intendono svolgere.

Luce di sincrotrone viene prodotta anche in ambito astronomico, ad esempio dal pia-

neta Giove e dalla nebulosa Granchio. La radiazione proveniente da Giove, che e avvolto

da un campo magnetico intenso, con B ∼ 1gauss, viene emessa da elettroni con energie

comprese circa tra 3MeV < ε < 50MeV , che compiono quindi orbite di ciclotrone con

raggi che arrivano fino a qualche centinaio di metri. Per un valore tipico di ε ∼ 5MeV

la (10.65) da la frequenza caratteristica ω ∼ 109/s, corrispondente ad onde radio, e se-

condo la (10.64) la radiazione comprende armoniche fino all’ordine N ∼ 1.000, previsioni

che sono in buon accordo con l’osservazione. La radiazione proveniente dalla nebulosa

Granchio viene, invece, emessa da elettroni che raggiungono anche energie dell’ordine di

309

ε ∼ 104GeV , in presenza di un campo magnetico B ∼ 10−4gauss. Gli elettroni piu ener-

getici emettono quindi radiazione con frequenze caratteristiche molto elevate, ω ∼ 1018/s,

che corrispondono all’estremo ultravioletto, e sono presenti le armoniche fino all’ordine

N ∼( ε

m

)3

∼ (2 · 107)3 ∼ 1022.

10.5 Spettro di emissione di una corrente generica

In questa sezione vogliamo determinare la distribuzione spettrale della radiazione pro-

dotta da una corrente macroscopica jµ generica, non composta necessariamente da par-

ticelle puntiformi. Distingueremo di nuovo quadricorrenti periodiche, e quadricorrenti

aperiodiche.

10.5.1 Corrente periodica

Se la corrente e periodica, con periodo T =2π

ω0

, essa ammette uno sviluppo in serie di

Fourier nella coordinata temporale, e una rappresentazione in trasformata di Fourier nelle

tre coordinate spaziali,

jµ(x) =1

(2π)3/2

∞∑N=−∞

∫d3p ei(Nω0t−~p·~x) Jµ

N(~p). (10.70)

Eseguendo le antitrasformate si ottengono i coefficiente di Fourier,

JµN(~p) =

1

T

∫ T

0

dt1

(2π)3/2

∫d3x e−i(Nω0t−~p·~x) jµ(x). (10.71)

Possiamo utilizzare lo sviluppo (10.70) per valutare il potenziale e il campo elettrico nella

zona delle onde, secondo le (7.9), (7.11). I pesi spettrali possono poi essere determinati

usando le formule fondamentali dell’analisi spettrale (10.6), (10.10).

Come primo passo dobbiamo inserire la (10.70) nella (7.9),

~A =1

4πr (2π)3/2

∞∑N=−∞

∫d3p

∫d3y ei Nω0(t−r+~n·~y) e−i~p · ~y ~JN(~p)

=1

4πr (2π)3/2

∞∑N=−∞

∫d3p

∫d3y ei Nω0(t−r) e−i(~p−Nω0~n)·~y ~JN(~p).

L’integrale in d3y da luogo a una δ di Dirac tridimensionale,

∫d3y e−i(~p−Nω0~n)·~y = (2π)3δ3(~p−Nω0~n),

310

la presenza della quale permette a sua volta di eseguire l’integrale in ~p. Risulta,

~A =

√2π

2r

∞∑N=−∞

∫d3p ei Nω0(t−r) δ3(~p−Nω0~n) ~JN(~p)

=

√2π

2r

∞∑N=−∞

ei Nω0(t−r) ~JN(Nω0~n).

Dalla (7.11) si ottiene allora per il campo elettrico,

~E(t) =i√

2π

2rn×

(~n×

∞∑N=−∞

Nω0 ei Nω0(t−r) ~JN(~k)

),

dove abbiamo posto ~k = Nω0~n. Confrontando questa espressione con la (10.5), si vede

che i coefficienti di Fourier del campo elettrico sono dati da,

~EN =i√

2π

2rNω0 e−iNω0 r ~n× (~n× ~JN(~k)).

Inserendo questi coefficienti nella (10.10), si trova infine una semplice formula per i pesi

spettrali,dWN

dΩ= π(Nω0)

2∣∣∣~n× ~JN(~k)

∣∣∣2

. (10.72)

Questa formula viene presentata spesso in modo leggermente diverso, sfruttando la

conservazione della quadricorrente. Usando la rappresentazione (10.70) si ottiene infatti,

∂µjµ(x) =

i

(2π)3/2

∞∑N=−∞

∫d3p

(Nω0J

0N(~p)− ~p · ~JN(~p)

)ei(Nω0t−~p·~x) = 0,

che comporta l’identita,

J0N(~p) =

~p · ~JN(~p)

Nω0

.

Ponendo ~p = ~k = Nω0~n, si ottiene allora,

J0N(~k) = ~n · ~JN(~k),

e quindi, ∣∣∣~n× ~JN(~k)∣∣∣2

= | ~JN(~k)|2 − |~n · ~JN(~k)|2 = −J∗µN (~k)JNµ(~k).

La (10.72) puo allora essere posta nella forma alternativa,

dWN

dΩ= −π(Nω0)

2J∗µN (~k)JNµ(~k). (10.73)

311

L’antenna lineare. Esemplifichiamo l’uso della (10.72), riderivando la formula (7.26)

per la distribuzione angolare della radiazione emessa da un’antenna lineare. Riprendiamo

la corrente dell’antenna (7.22),

~j(t, ~x) = I δ(x) δ(y) sen

(ω

(L

2− |z|

))cos(ωt) ~u, I =

I0

sen(

ωL2

) , (10.74)

dove ~u e il versore lungo l’asse z. Siccome questa corrente e una corrente monocromatica,

con frequenza ω e periodo T =2π

ω, i coefficienti ~JN(~p) nella (10.71) sono tutti nulli, tranne

quello corrispondente ad N = 1. L’antenna emette quindi solo sull’armonica fondamentale

ω1 = ω, e si ha,dWdΩ

=dW1

dΩ= π ω2

∣∣∣~n× ~J1(~k)∣∣∣2

. (10.75)

Per valutare ~J1(~k) dobbiamo inserire la (10.74) nella (10.71), e porre ~p = ~k = ω ~n. Si

ottiene,

~J1(~k) =I ~u

T (2π)3/2

∫ T

0

dt e−iωt cos(ωt)

∫d3x ei ω ~n·~x δ(x) δ(y) sen

(ω

(L

2− |z|

))

=I ~u

2(2π)3/2

∫ L/2

−L/2

dz e i ω cosϑ zsen

(ω

(L

2− |z|

))

=I ~u

(2π)3/2

∫ L/2

0

dz cos (ω cosϑ z) sen

(ω

(L

2− z

)), (10.76)

dove ϑ e l’angolo tra l’asse z e ~n. L’integrale in z e elementare, e porta a,

~J1(~k) =I ~u

(2π)3/2 ω sen2ϑ

(cos

(ωL

2cosϑ

)− cos

ωL

2

).

Inserendo questa espressione nella (10.75) e notando che |~n × ~u| = senϑ, si riottiene la

(7.26).

Particella singola. Nel caso di una particella singola la (10.72) si deve ridurre alla

(10.40). Per verificare questo e sufficiente determinare i coefficienti di Fourier (10.71), per

le sole componenti spaziali della corrente, vedi (2.41),

~j(x) = e~v(t) δ3(~x− ~y(t)). (10.77)

Inserendo questa espressione nella (10.71), ed eseguendo l’integrale su ~x, si ottiene,

~JN(~p) =e

T

∫ T

0

dt1

(2π)3/2

∫d3x e−i(Nω0t−~p·~x) ~v δ3(~x− ~y) =

e

T

∫ T

0

dt1

(2π)3/2e−i(Nω0t−~p·~y) ~v.

312

Ponendo ~p = ~k = Nω0~n, risulta allora,

~JN(~k) =e

(2π)3/2 T

∫ T

0

dt e−i Nω0(t−~n·~y) ~v.

Inserendo questa formula nella (10.72) si riottiene la (10.40).

10.5.2 Corrente aperiodica

Nel caso di un sistema carico aperiodico la corrente ammette una rappresentazione in

trasformata di Fourier in tutte e quattro le variabili, e possiamo scrivere,

jµ(x) =1

(2π)2

∫dω

∫d3p ei(ω t−~p·~x) Jµ(ω, ~p), (10.78)

dove,

Jµ(ω, ~p) =1

(2π)2

∫d4x e−i(ω t−~p·~x) jµ(x). (10.79)

Procediamo come sopra, inserendo la (10.78) nella (7.9). Come prima l’integrale su ~y da

luogo a una δ3 di Dirac, che permette poi di eseguire l’integrale su ~p. Si ottiene,

~A =1

4πr (2π)2

∫d3y

∫dω

∫d3p ei ω(t−r+~n·~y) e−i~p · ~y ~J(ω, ~p)

=1

2r

∫dω ei ω(t−r) ~J(ω, ω~n).

Dalla (7.11) si ottiene allora per il campo elettrico,

~E(t) =i

2rn×

(~n×

∫dω ω ei ω(t−r) ~J(k)

),

dove la variabile kµ di ~J e definita da, k0 = ω, ~k = ω ~n. Confrontando questa formula

con la (10.2), si individua la trasformata di Fourier temporale del campo elettrico,

~E(ω) =i√

2π

2rω e−iω r ~n× (~n× ~J(k)).

Inserendo questa espressione nella (10.8), si trova per la distribuzione spettrale della

radiazione,d 2ε

dω dΩ= π ω2

∣∣∣~n× ~J(k)∣∣∣2

. (10.80)

Sfruttando il fatto che ∂µjµ = 0, la (10.78) da ω J0(ω, ~p) = ~p · ~J(ω, ~p), che per ~p = ~k = ω~n

da,

J0(k) = ~n · ~J(k).

313

Di conseguenza la (10.80) puo essere scritta anche come,

d 2ε

dω dΩ= −π ω2 J∗µ(k)Jµ(k). (10.81)

Come prima e immediato fare vedere che nel caso di una particella singola, la (10.80)

si riduce alla (10.42). Inserendo la (10.77) nella (10.79), ed eseguendo gli stessi passaggi

di cui sopra si arriva infatti a,

~J(k) =e

(2π)3/2

1√2π

∫ ∞

−∞dt e−i ω(t−~n·~y) ~v. (10.82)

Sostituendo questa espressione nella (10.80), si riottiene in effetti la (10.42). Tuttavia,

come gia notato nel paragrafo 10.3.1, l’integrale presente nella (10.82) in generale non

converge. Nella procedura quı adottata l’origine di questa divergenza e evidente: la

(10.82) rappresenta la trasformata di Fourier della distribuzione ~j(x), e come tale deve

essere eseguita nel senso delle distribuzioni. Un modo per farlo consiste nell’introdurre

nella (10.82) un’opportuna regolarizzazione, per esempio restringendo l’integrale in t tra

−L ed L, come illustrato nel paragrafo 10.3.1, e nell’eseguire poi il limite per L→∞, nel

senso delle distribuzioni.

314

11 L’effetto Cerenkov

Nel 1934 il fisico russo P.A. Cerenkov studio il fenomeno della luminescenza emessa da

certe soluzioni liquide, se irradiate con raggi γ provenienti da sorgenti radioattive. Nel

corso degli esperimenti, durati fino al 1938, si accorse che i raggi γ causano una radia-

zione molto debole anche in solventi puri, come l’acqua e il benzolo, dando luogo a una

luce blu, vale a dire radiazione nello spettro visibile. Da un’analisi approfondita delle

caratteristiche della luce emessa si rese conto che questo effetto non poteva essere un fe-

nomeno di luminescenza, come assunto inizialmente. La radiazione osservata era infatti

caratterizzata da una polarizzazione lineare ben definita, e veniva emessa solo in avanti,

lungo un cono di direzioni che formavano un ben determinato angolo con la direzione dei

raggi γ, entrambe proprieta non possedute dalla luminescenza. La radiazione osservata

aveva inoltre carattere universale, nel senso che le sue caratteristiche erano indipendenti

dalle specifiche proprieta delle soluzioni usate, come la temperatura e la loro particolare

composizione. Ci si aspettava allora che anche la spiegazione teorica dell’effetto dovesse

avere carattere universale.

Questa spiegazione fu data dai fisici russi I.E. Frank e I.M. Tamm nel 1937, i quali

assumevano che la radiazione osservata da Cerenkov non fosse causata direttamente dai

raggi γ, ma da elettroni ad alta velocita, prodotti dai raggi γ attraverso l’effetto Compton.

Secondo la loro teoria questa radiazione viene generata da elettroni che si trovano in moto

rettilineo uniforme in un mezzo dielettrico, con una velocita superiore alla velocita della

luce nel mezzo. Ricordiamo che un mezzo con costante dielettrica reale ε ha indice di

rifrazione n =√

ε, e che la velocita della luce nel mezzo valec

n. Per n > 1 essa risulta

dunque minore di c.

In questa sezione analizzeremo in dettaglio i campi prodotti da una particella in moto

rettilineo uniforme in un mezzo, sia per velocita minori che per velocita maggiori della

velocita della luce nel mezzo, e spiegheremo cosı l’origine e le proprieta della “radiazione

Cerenkov”.

Aspetti macroscopici e microscopici. La spiegazione dell’effetto Cerenkov data da Frank

e Tamm si basa sulle equazioni di Maxwell in un mezzo dielettrico, che forniscono una

315

descrizione macroscopica della dinamica del campo elettromagetico. Come e noto, queste

equazioni rappresentano un metodo semplice per tenere conto delle cariche di polarizza-

zione che si creano in un mezzo, a causa delle cariche “libere”. Il campo elettromagnetico

totale risulta, infatti, dalla sovrapposizione del campo prodotto dalla particella nel vuoto,

e da quello prodotto dalle cariche di polarizzazione. Siccome una particella in moto rettili-

neo uniforme “nel vuoto” non da luogo a nessun campo di radiazione, a livello microscopico

la radiazione di Cerenkov deve dunque originare dalle cariche di polarizzazione. In effetti,

quello che succede a livello microscopico e che l’elettrone durante il suo passaggio nel mez-

zo deforma le molecole facendo loro acquistare un momento di dipolo elettrico, il quale

scompare immediatamente dopo il passaggio dell’elettrone. Le cariche che compongono i

momenti di dipolo sono cosı sottoposti a un’accelerazione quasi–istantanea, e diventano

quindi sorgenti impulsive di onde elettromagnetiche elementari, che si manifestano come

radiazione Cerenkov.

Tuttavia, non e immediato determinare il campo macroscopico, valutando esplicita-

mente la sovrapposizione coerente di queste infinite onde elementari “microscopiche”.

Viceversa, le equazioni di Maxwell in un mezzo costituiscono uno strumento molto effica-

ce per valutare il campo elettromagnetico prodotto a livello macroscopico dalla particella,

e dalle cariche di polarizzazione da essa indotte. Per semplicita parleremo comunque di

“campo prodotto dalla particella” nel mezzo, e di “energia irradiata dalla particella”.

11.1 Campo di una particella in moto rettilineo uniforme in unmezzo

Equazioni di Maxwell in un mezzo dielettrico. Consideriamo un mezzo isotropo e omoge-

neo, con permeabilita magnetica uguale a quella del vuoto, µ = 1, e con costante dielettrica

ε > 1 e reale. In questo modo trascuriamo l’assorbimento del mezzo, ipotesi giustificata

per frequenze lontane dalle frequenze di risonanza. Per il momento assumiamo anche

che non vi sia dispersione, ovvero, che ε sia indipendente dalla frequenza, rinviando la

trattazione del caso realistico di un mezzo dispersivo alla sezione 11.4. Anche l’indice di

rifrazione,

n =√

ε, (11.1)

316

risulta allora indipendente dalla frequenza.

In un mezzo dielettrico con queste caratteristiche le equazioni di Maxwell (2.28)–(2.31)

diventano,

−n2

c

∂ ~E

∂t+ ~∇× ~B =

~j

c, (11.2)

1

c

∂ ~B

∂t+ ~∇× ~E = 0, (11.3)

~∇ · ~E =ρ

n2, (11.4)

~∇ · ~B = 0, (11.5)

dove ρ indica la densita di carica, e abbiamo momentaneamente ripristinato la velocita

della luce. Si noti che queste equazioni si possono ottenere dalle (2.28)–(2.31) effettuando

le sostituzioni,

~E → n ~E, ~B → ~B c→ c

n, ρ→ ρ

n, ~j →

~j

n. (11.6)

Le identita di Bianchi (11.3) e (11.5) sono rimaste immutate, e quindi possiamo risolverle

nel modo standard,

~E = −~∇A0 − 1

c

∂ ~A

∂t, (11.7)

~B = ~∇× ~A, (11.8)

e i potenziali A0 e ~A sono ancora definiti modulo le trasformazioni di gauge Aµ → Aµ+∂µΛ.

In questo caso e conveniente effettuare il gauge–fixing di Lorentz adattato,

n2

c

∂A0

∂t+ ~∇ · ~A = 0.

E allora immediato vedere che le (11.2), (11.4) si riducono a,

2n Aµ ≡(

n2

c2

∂2

∂t2−∇2

)Aµ =

(ρ

n2,~j

c

). (11.9)

In assenza di cariche libere, jµ = 0, nel mezzo il campo elettromagnetico si propaga quindi

con la velocitac

n.

Consideriamo ora una particella che si muove di moto rettilineo uniforme, quindi con

velocita ~v e quadrivelocita uµ = (c, ~v)/√

1− v2/c2 costanti. Allora da (6.58) segue,

ρ = e u0

∫δ4(x− u s) ds = e δ3(~x− ~v t), ~j = ρ~v, (11.10)

317

ed e sufficiente risolvere le (11.9) per µ = 0,

2nA0 =ρ

n2. (11.11)

La parte spaziale del quadripotenziale e, infatti, data semplicemente da,

~A =n2~v

cA0. (11.12)

In seguito supporremo che la particella si muova lungo l’asse delle z, quindi con

traiettoria,

~y(t) = (0, 0, vt).

In questo caso e conveniente introdurre coordinate cilindriche, ~x ↔ (z, r, ϕ), dove r e ϕ

sono coordinate polari bidimensionali, nel piano ortogonale alla traiettoria della particella.

In particolare r indica allora la distanza di ~x dall’asse z. Corrispondentemente useremo i

versori ~uz, ~ur e ~uϕ.

11.2 Il campo per v <c

n

Supponiamo ora che la velocita della particella sia minore della velocita della luce nel

mezzo, v <c

n. In questo caso la (11.11) puo essere risolta con lo stesso metodo usato nel

paragrafo 6.3.1 per risolvere l’analoga equazione nel vuoto,

2A0 = ρ. (11.13)

In quel caso si aveva n = 1 e v < c. Per ottenere la soluzione della (11.11) e sufficiente

eseguire nella soluzione (6.63) della (11.13) le sostituzioni e→ e

n2, c→ c

n. La componente

0 della (6.63) si scrive,

A0 =e

4π

u0

√(ux)2 − x2

=e

4π

1√(z − vt)2 +

(1− v2

c2

)r2

,

e la soluzione della (11.11) risulta allora,

A0 =e

4πn2

1√(z − vt)2 + (1− v2n2)r2

, (11.14)

318

dove abbiamo posto di nuovo c = 1. Per i campi elettrico e magnetico le (11.7), (11.8)

danno allora,

~E =e

4πn2

(1− v2n2)(~x− ~v t)

((z − vt)2 + (1− v2n2)r2)3/2, ~B =

e

4π

(1− v2n2) v r ~uϕ

((z − vt)2 + (1− v2n2)r2)3/2,

(11.15)

e il vettore di Poynting diventa,

~S = ~E × ~B =( e

4πn

)2

· (1− v2n2)2 v r [r ~uz − (z − vt) ~ur]

((z − vt)2 + (1− v2n2)r2)3= Sz ~uz + Sr ~ur. (11.16)

Vediamo ora quali sono le proprieta del campo ottenuto. Come nel vuoto, il campo

elettromagnetico non presenta singolarita al di fuori della traiettoria, perche per v < 1/n

il denominatore nelle (11.15) si annulla solo per ~x = ~v t. Inoltre, dalla (11.16) si vede che

non c’e flusso radiale netto di energia, perche “dietro” la particella – per z < vt – esiste

un flusso radiale uscente, Sr > 0, mentre “davanti” – per z > v t – esiste un flusso radiale

entrante, Sr < 0, e i due si compensano. In particolare, se calcoliamo il flusso di energia

totale attraverso un cilindro concentrico con la traiettoria, di raggio r e basi situate in z1

e z2, troviamo,

∆ε = 2πr

∫ z2

z1

dz

∫ ∞

−∞Sr dt =

2πr

v

∫ z2

z1

dz

∫ ∞

−∞Sr dl = 0, (11.17)

perche Sr e una funzione antisimmetrica della variabile l = z − vt.

11.2.1 Analisi in frequenza

In vista del confronto con il caso v > 1/n e utile eseguire anche una “analisi spettrale”

del campo. In realta questa analisi ha senso se siamo in presenza di campi di radiazione,

mentre il campo di una particella con velocita costante minore di quella della luce, a

grandi distanze decade come1

|~x|2 , vedi (11.15), e non costituisce quindi un campo di

radiazione. Eseguiamo comunque la trasformata di Fourier temporale della (11.14),

A0(ω) =e√

2π 4πn2

∫ ∞

−∞

e−iωt

√(z − vt)2 + (1− v2n2)r2

dt. (11.18)

Con semplici passaggi si ottiene,

A0(ω) =e

(2π)3/2n2 ve−i ωz/vK

(√1− v2n2

vω r

), (11.19)

319

dove K(x) e la funzione di Bessel modificata del secondo tipo di ordine 0, indicata

comunemente con K0(x),

K(x) =1

2

∫ ∞

−∞

ei x s

√s2 + 1

ds =

∫ ∞

0

cos(x senh β) dβ.

La seconda rappresentazione si ottiene con il cambiamento di variabile, s = senh β.

La funzione K(x). Per quello che segue e utile dare un’altra rappresentazione ancora

di K, che si ottiene usando l’analisi complessa. Si noti che K(−x) = K(x), per cui di

seguito supporremo x > 0. Consideriamo la funzione di variabile complessa,

f(z) =ei x z

√z2 + 1

,

che e analitica nel semipiano superiore, esclusa la semiretta z = i u con u ∈ [1,∞] dove

possiede un taglio. Allora si annulla l’integrale di linea,∮

γ

f(z) dz = 0, (11.20)

in cui γ e una curva chiusa composta 1) dall’asse reale, 2) da due quarti di circonferenza

giacenti nel semipiano superiore e centrati nell’origine, con raggio R e aperture angolari

rispettivamente 0 < ϕ < π/2 e π/2 < ϕ < π, 3) dalle due semirette z = ±ε + i u, con

u ∈ [1,∞], e infine, 4) da una semicirconferenza centrata in z = i e di raggio ε, rivolta

verso il basso. Nel limite per R→∞ e per ε→ 0, gli integrali sui tre archi di circonferenza

vanno a zero se x > 0, e nella (11.20) sopravvivono allora solo gli integrali lungo l’asse

reale e lungo le due semirette. Risulta allora,∫ ∞

−∞

ei x s

√s2 + 1

ds− 2

∫ ∞

1

e−x u

√u2 − 1

du = 0.

Si conclude quindi che per x > 0 la funzione K puo essere scritta anche come,

K(x) =

∫ ∞

1

e−x u

√u2 − 1

du =

∫ ∞

0

e−x cosh βdβ, (11.21)

dove abbiamo posto u = coshβ.

Andamenti asintotici di K(x). La rappresentazione (11.21) e in particolare convenien-

te per determinare gli andamenti asintotici di K, per x grandi e piccoli. Per grandi x

usiamo il metodo del punto sella. Per x→∞, nell’integrando in (11.21) contano i valori

di β per cui cosh β e minimo, cioe, i valori di β vicino allo zero. Espandendo,

cosh β = 1 +1

2β2 + o(β4),

320

si trova allora,

K(x) = e−x

∫ ∞

0

e−[x2

β2+x o(β4)] dβ.

Riscalando β → β/√

x, risulta cosı,

K(x) =e−x

√x

∫ ∞

0

e−[ 12β2+o(β4)/x] dβ =

√π

2xe−x

(1 + o

(1

x

)). (11.22)

Per x → 0 la funzione K(x) diverge invece. Per determinare il tipo di divergenza, sepa-

riamo dall’integrale (11.21) la parte convergente. Per fare questo riscaliamo la variabile

d’integrazione, u→ u/x, e riscriviamo l’integrale come,

K(x) =

∫ ∞

x

e−u

√u2 − x2

du =

∫ 1

x

e−u

√u2 − x2

du +

∫ ∞

1

e−u

√u2 − x2

du. (11.23)

L’ultimo integrale converge per x→ 0, ed e sufficiente valutare il penultimo,

∫ 1

x

e−u

√u2 − x2

du =

∫ 1

x

1√u2 − x2

du +

∫ 1

x

e−u − 1√u2 − x2

du.

Di nuovo, per x→ 0 l’ultimo integrale converge, perche la funzione (e−u− 1)/u e regolare

nell’intervallo [0, 1], ed e sufficiente calcolare,

∫ 1

x

1√u2 − x2

du = arccosh

(1

x

)= − ln

(x

2

)+ o(x).

Per x che va a zero K diverge quindi logaritmicamente,

K(x) = − ln x + C + o(x), (11.24)

dove C e una costante.

Un’equazione differenziale per K(x). Le funzioni speciali vengono spesso anche definite

attraverso le equazioni differenziali che esse soddisfano. L’equazione definente per K e,

per x 6= 0,

K ′′ +1

xK ′ −K = 0. (11.25)

Verifichiamo che essa e soddisfatta dalla (11.21),

K ′′ +1

xK ′ =

∫ ∞

1

(u2

√u2 − 1

− 1

x

u√u2 − 1

)e−ux du

=

∫ ∞

1

(u2

√u2 − 1

− 1

x

d√

u2 − 1

du

)e−ux du.

Con un’integrazione per parti si ottiene allora di nuovo l’integrale (11.21).

321

In realta l’equazione differenziale lineare (11.25), essendo del secondo ordine ha due

soluzioni indipendenti. Una e K(x), e l’altra e data dalla funzione,

K(x) =

∫ 1

−1

ex u

√1− u2

du =

∫ π

0

ex cosϑdϑ, (11.26)

che e legata alla funzione di Bessel modificata del primo tipo di ordine 0, I0(x), dalla

relazione K(x) = π I0(x). Anch’essa e pari, K(−x) = K(x), e i suoi andamenti asintotici

per x > 0 sono,

K(x) =

√π

2xex

(1 + o

(1

x

)), K(x) = π + o(x), (11.27)

da confrontare con le (11.22), (11.24). Si noti in particolare che, al contrario di K(x), la

funzione K(x), divergendo esponenzialmente per |x| → ∞, non costituisce una distribu-

zione temperata.

Un’onda evanescente. Torniamo ora alla (11.19). Vediamo che A0(ω) dipende da z

attraverso il termine di “onda piana” e−ikzz, con vettore d’onda,

kz =ω

v.

Questo termine descrive quindi un’onda che si propaga in direzione z con la velocita della

particella, in quanto vz ≡ ω

kz

= v. Tuttavia, a grandi distanze dalla traiettoria, ovvero

per grandi r, a causa dell’andamento asintotico (11.22), A0(ω) si comporta come,

A0(ω) ∼ C√r

e−ikzz − ω

v

√1− v2n2 r

, (11.28)

dove C e una costante indipendente da ~x. Vediamo che A0(ω) esibisce un fattore1√r,

tipico per un’onda cilindrica 45, che in questo caso viene pero soppiantato dal fattore di

decrescita esponenziale exp(−ω

v

√1− v2n2 r

), che rappresenta una “onda evanescente”.

Per rappresentare una vera “onda” questo esponenziale dovrebbe essere sostituito da un

fattore oscillante del tipo exp (ikrr). Ritroviamo cosı che una particella in moto rettilineo

uniforme, con velocita costante minore dic

n, non irradia onde elettromagnetiche.

45Come spiegheremo in sezione 11.5, per le onde a simmetria cilindrica la presenza del fattore 1/√

re richiesta dalla conservazione dell’energia. Per le onde sferiche l’andamento analogo, implicato sempredalla conservazione dell’energia, e invece 1/r.

322

11.3 Il campo per v >c

n

Se v >c

n, la soluzione della (11.11) non puo essere ottenuta con semplici sostituzioni dalla

(6.63), ma possiamo comunque applicare il metodo usato nel paragrafo 6.3.1. In seguito

porremo di nuovo c = 1.

Introduciamo una funzione di Green adattata Gn soddisfacente,

2nGn = δ4(x) = δ(t)δ3(x).

La soluzione di questa equazione puo essere ottenuta dalla funzione di Green (6.43),

soddisfacente 2G = δ4(x), attraverso la sostituzione t → t

n. Ricordando che δ

(tn

)=

n δ(t), si ottiene cosı,

Gn =1

2πnH(t) δ(x2

n), x2n ≡

t2

n2− |~x|2.

In seguito useremo anche la notazione,

(a b)n ≡ a0b0

n2− ~a ·~b.

La soluzione della (11.11) e allora data da,

A0 =1

n2Gn ∗ ρ =

1

n2

∫Gn(x− y)ρ(y) d4y.

Sostituendo la (11.10), con passaggi standard si ottiene,

A0 =e u0

2πn3

∫H(t− u0s) δ(f(s)) ds =

e u0

2πn3

(H(t− u0s+)

|f ′(s+)| +H(t− u0s−)

|f ′(s−)|)

, (11.29)

purche la forma quadratica,

f(s) ≡ u2ns

2 − 2s(ux)n + x2n,

abbia due zeri reali s±. In caso contrario A0 e zero. Il valore dell’integrale nella (11.29)

dipende quindi 1) dalla presenza di zeri reali di f(s), e 2) dal segno di t− u0s±. Gli zeri

sono dati da,

s± =(ux)n ±

√(ux)2

n − u2nx

2n

u2n

, u2n =

1− v2n2

(1− v2)n2< 0,

e,

|f ′(s±)| = 2√

(ux)2n − u2

nx2n = 2

u0

n

√(z − vt)2 − (v2n2 − 1)r2.

323

Vediamo che esistono zeri reali solo nella regione,

(z − vt)2 > (v2n2 − 1)r2 ↔ r2

(z − vt)2 + r2<

1

v2n2, (11.30)

che corrisponde a un cono doppio centrato nella posizione della particella, e con asse la

sua traiettoria, di apertura angolare,

senα =1

v n. (11.31)

Al di fuori di questo cono doppio il campo e quindi nullo. Stando all’interno del cono

studiamo ora il segno di t− u0s±. Da un semplice calcolo risulta,

t− u0s± = − n

v2n2 − 1

(v n (z − vt)∓

√(z − vt)2 − (v2n2 − 1)r2

).

Siccome il termine (v2n2 − 1) e positivo, per z − vt > 0 si ha t− u0s± < 0, e il campo e

nullo, mentre per,

z − vt < 0, (11.32)

si ha t − u0s± > 0, e nella (11.29) contribuiscono tutti e due i termini. Concludiamo

quindi che ad ogni istante il campo e diverso da zero solo all’interno del cono centrato

nella particella, coassiale con la traiettoria e rivolto in direzione opposta al moto, di

apertura angolare α = arcsen

(1

v n

).

Singolarita del campo. Tenendo conto delle (11.30) e (11.32), dalla (11.29) risulta il

potenziale,

A0 =e

4πn2

2 H[−(z − vt)− r

√v2n2 − 1

]√

(z − vt)2 − (v2n2 − 1)r2. (11.33)

Confrontando con il potenziale (11.14) del caso v <c

n, si vede che le due espressioni

esibiscono formalmente le stesse dipendenze funzionali da ~x e t. Nella (11.33) compare in

piu un fattore due, ma in compenso il campo e nullo all’esterno del cono “all’indietro” di

apertura α. Inoltre, sul bordo di questo cono, ovvero per,

z = vt− r√

v2n2 − 1, (11.34)

A0 diverge. Vedremo tra poco che questa singolarita non e fisica, in quanto dovuta alla

nostra schematizzazione di un mezzo non dispersivo. Siccome le (11.14) e (11.33) hanno la

stessa dipendenza funzionale, a parte il fattore due i campi ~E e ~B e il vettore di Poynting

324

sono ancora dati dalle (11.15) e (11.16). Ma questa volta la componente radiale di ~S e

diversa da zero – e positiva – solo per z < vt (all’interno del cono), mentre e nulla per

z > vt. Ci aspettiamo dunque un flusso radiale uscente netto di energia elettromagnetica.

Si noti come la forma del potenziale (11.33) sia analoga al fronte d’onda sonoro conico,

che si crea quando un aereo viaggia con velocita supersonica, il cosiddetto “cono di Mach”.

11.3.1 Il campo nella zona delle onde e l’angolo di Cerenkov

Per indagare la presenza di radiazione elettromagnetica, eseguiamo di nuovo la trasformata

di Fourier temporale di A0. Per via della presenza della funzione di Heaviside in (11.33),

ora abbiamo,

A0(ω) =e√

2π 2πn2

∫ ∞

1v (z+r

√v2n2−1)

e−iωt

√(z − vt)2 − (v2n2 − 1)r2

dt.

Traslando e riscalando la variabile t si arriva a,

A0(ω) =e

(2π)3/2n2 ve−i ωz/vL

(√v2n2 − 1

vω r

), (11.35)

dove la funzione complessa L(x) e data da,

L(x) =

∫ ∞

1

e−i x u

√u2 − 1

du =

∫ ∞

0

e−i x cosh β dβ, (11.36)

ed e legata alla funzione di Haenkel di ordine zero H(2)0 (x), dalla relazione L(x) =

π2i

H(2)0 (x). La seconda espressione nella (11.36) e stata ottenuta attraverso il cambia-

mento di variabile, u = cosh β. Confrontando la (11.35) con la (11.19) vediamo che le due

espressioni di A0(ω) costituiscono una la continuazione analitica dell’altra, dalla regione

v <1

n, alla regione v >

1

n. Formalmente vale infatti, vedi (11.21),

L(x) = K(i x).

Proprieta della funzione L(x). A partire dalla (11.36), con le stesse tecniche del pa-

ragrafo 11.2.1 si possono derivare le proprieta principali della funzione L(x). Notiamo

che vale L∗(x) = L(−x), condizione imposta dalla realta di A0(t, ~x), sicche e sufficiente

limitarsi al semiasse x > 0. In questo caso si ottengono gli andamenti asintotici,

L(x) =

√π

2xe−i(x+π/4)

(1 + o

(1

x

)), L(x) = − ln x + C + o(x), (11.37)

325

da confrontare con le (11.22), (11.24). Separando L in parte reale e parte immaginaria,

L(x) = L1(x) + iL2(x), L1(−x) = L1(x), L2(−x) = −L2(x), (11.38)

si vede quindi che per x→∞ entrambe queste funzioni hanno un andamento oscillatorio,

mentre per x → 0 solo L1(x) esibisce una divergenza logaritmica, e L2(x) e regolare.

L’equazione differenziale soddisfatta da L e, invece,

L′′ +1

xL′ + L = 0, (11.39)

da confrontare con la (11.25). Siccome anche questa equazione e reale, L1 ed L2 la

soddisfano separatamente, e costituiscono quindi un insieme completo di soluzioni. La

particolare combinazione delle due soluzioni che compare nella (11.35) rappresenta un’on-

da uscente in direzione radiale, vedi (11.40), la presenza della quale e dettata dalla

causalita. L’altra combinazione indipendente, la complessa coniugata L∗ = L1 − iL2,

corrisponderebbe invece a un’onda entrante.

L’angolo di Cerenkov. Con l’aiuto della (11.37), nella zona delle onde, ovvero, per

grandi r, la (11.35) assume la forma,

A0(ω) =e

4πn2· e−iπ/4

(v2n2 − 1)1/4√

v ω re−i

ω

v

(z +√

v2n2 − 1 r)

(11.40)

=C√r

e−i (kzz + krr), (11.41)

dove C e una costante indipendente dalle coordinate, e abbiamo trascurato termini di ordi-

ne o(1/r3/2). Al contrario della (11.28) questa espressione rappresenta un’onda (cilindrica)

vera e propria, con vettore d’onda ~k dato da,

kz =ω

v, kr =

ω

v

√v2n2 − 1, kϕ = 0.

La sua velocita di propagazione e allora data da,

ω

|~k|=

ω√k2

r + k2z

=1

n,

che e la velocita della luce nel mezzo. La direzione di propagazione dell’onda e invece

individuata dall’angolo ϑC che ~k forma con la direzione del moto della particella, l’angolo

326

di Cerenkov,

cos ϑC =kz

|~k|=

1

v n. (11.42)

Tale angolo e ben definito fino a quando risulta soddisfatta la condizione di Cerenkov

v >1

n. Le direzioni di emissione giacciono quindi su un cono “in avanti”, coassiale con

la traiettoria della particella e di apertura ϑC , che viene chiamato cono di Cerenkov.

L’angolo di Cerenkov e legato all’angolo α di (11.31) dalla relazione di complementaria,

ϑC =π

2− α.

La direzione della radiazione coincide, inoltre, con la direzione del vettore di Poynting sul

bordo del cono in cui il campo e diverso da zero. Valutando il numeratore della (11.16)

per z = vt − r√

v2n2 − 1, si vede infatti che risulta ~S ‖ ~k. In realta, come anticipato

sopra, sul bordo di questo cono il modulo di ~S diverge, vedi sezione 11.4.

Nell’acqua, che alle frequenze visibili ha un indice di rifrazione n = 43, si ha emissione

di radiazione Cerenkov se v > 34, e quando v varia tra 3

4e 1, l’angolo di emissione varia

tra ϑC = 0 e ϑC = arccos 34

= 41.4o.

11.4 Mezzi dispersivi

Molti mezzi dielettrici hanno un indice di rifrazione che nello spettro visibile e pratica-

mente costante, ma nei mezzi reali esso e in generale una funzione della frequenza, n(ω).

Si dice che il mezzo e dispersivo. L’andamento della funzione n(ω) dipende molto dalle

proprieta atomiche del mezzo, in particolare dalla presenza di frequenze di risonanza. Le

sue caratteristiche generali sono comunque,

n(ω) < 1, per ω > ωm,

limω→∞ n(ω) = 1,(11.43)

dove ωm e un valore limite, che e vicino alla frequenza di risonanza piu elevata. Per grandi

ω si ha in particolare l’andamento asintotico n(ω) ≈ 1 − ω2p/ω

2, dove ωp e la “frequenza

di plasma” del mezzo. La banda di frequenze in cui n(ω) < 1 e quindi limitata.

Equazioni di Maxwell in un mezzo dispersivo. In un mezzo dispersivo la dinamica del

campo elettromagnetico non e piu descritta dalle (11.2)–(11.5), ovvero, dalle (11.9), ma

327

dalle “trasformate di Fourier temporali” di queste ultime,

−(n2(ω) ω2 +∇2

)Aµ(ω) =

(ρ(ω)

n2(ω),~j(ω)

), (11.44)

dove ρ(ω) e ~j(ω) indicano rispettivamente le trasformate di Fourier temporali di ρ(x) e

~j(x). In caso di dispersione il potenziale vettore e allora definito come l’antitrasformata,

Aµ(x) ≡ 1√2π

∫ ∞

−∞eiωtAµ(ω) dt, (11.45)

dove le Aµ(ω) risolvono, per definizione, le (11.47). In particolare Aµ(x) non soddisfa

quindi piu un’equazione differenziale locale, come la (11.9).

Il campo per un moto rettilineo uniforme. Per il moto rettilineo uniforme e di nuovo

sufficiente determinare la componente µ = 0 del quadripotenziale, perche dalla (11.10)

segue che ~j(ω) = ρ(ω)~v, e la (11.44) implica allora che,

~A(ω) = n2(ω)A0(ω)~v. (11.46)

Eseguendo la trasformata di Fourier della (11.10) si ottiene,

ρ(ω) =e√2π

∫ ∞

−∞e−iωt δ(z − vt) δ2(~r) dt =

e√2π v

e−iωz/v δ2(~r),

e la componente µ = 0 della (11.44) diventa allora,

(n2(ω) ω2 +∇2

)A0(ω) = − e√

2π v n2(ω)e−iωz/v δ2(~r). (11.47)

Ci siamo quindi ricondotti alla soluzione di questa equazione differenziale alle derivate

parziali. In realta, ripercorrendo la procedura della sezione precedente, in particolare

considerando la trasformata di Fourier temporale della (11.11), non e difficile rendersi

conto che la (11.47) e risolta dalle (11.19), (11.35), rispettivamente per i valori di ω per

cui n(ω) < 1v

e n(ω) > 1v, purche si effettui nelle (11.19), (11.35) la sostituzione n→ n(ω).

Per verificarlo esplicitamente ricordiamo che in coordinate cilindriche il laplaciano si scrive,

∇2 = ∂2z +∇2

r, ∇2r ≡ ∂2

r +1

r∂r +

1

r2∂2

ϕ,

e poniamo,

A0(ω) =e

(2π)3/2v n2(ω)e−i ωz/vI(ω, r), (11.48)

328

dove assumiamo che I(ω, r) non dipenda da z e ϕ. La (11.47) si riduce allora a,

(∂2

r +1

r∂r +

ω2

v2

(n2(ω)v2 − 1

))I(ω, r) = −2πδ2(~r). (11.49)

Notando che per x 6= 0 le funzioni K e L soddisfano le equazioni differenziali (11.25),

(11.39), vediamo che per r 6= 0 la (11.49) e soddisfatta se poniamo, rispettivamente per

n(ω) < 1v

e n(ω) > 1v,

I(ω, r) = K

(√1− v2n2(ω)

vω r

), I(ω, r) = L

(√v2n2(ω)− 1

vω r

), (11.50)

in accordo con le (11.19), (11.35). Per rivelare, invece, la presenza della δ2(~r) nella (11.49),

occorre ricordare che in x = 0 le funzioni L e K esibiscono le singolarita logaritmiche

(11.24) e (11.37), sicche nelle vicinanze di r = 0 I(ω, r) si comporta come,

I(ω, r) = − ln r + a + o(r),

dove a e una costante indipendente da r. Siccome la funzione di Green del laplaciano

bidimensionale e il logaritmo, vedi problema 6.4,

∇2r (ln r) = 2π δ2(~r),

la parte singolare in r = 0 di ∇2r I(ω, r) risulta proprio,

(∇2r I(ω, r)

)sing

= ∇2r (− ln r) = −2π δ2(~r).

Si conclude quindi che la I(ω, r) data in (11.50) soddisfa la (11.49) nel senso delle

distribuzioni.

Unicita della soluzione. Discutiamo brevemente l’unicita della soluzione (11.50), fa-

cendo vedere che l’equazione omogenea associata alla (11.49) non ammette soluzioni “fisi-

che”. Per n(ω) <1

vquesta equazione coincide con la (11.25), che ha come unica soluzione

K, in quanto solo essa in x = 0 e regolare, vedi (11.27). 46 Tuttavia, questa funzione

diverge esponenzialmente per x → ∞, e quindi non e accettabile come soluzione fisica.

Per n(ω) <1

vla soluzione e quindi unica. Per n(ω) >

1

vinvece, l’equazione omogenea

46In realta la funzione K non costituisce una “distribuzione temperata”, ovvero un elemento di S ′, pervia della divergenza esponenziale per x→∞. Essa rappresenta, tuttavia, una “distribuzione”, ovvero unelemento di D′, e come tale soddisfa la (11.25).

329

associata alla (11.49) e data dalla (11.39), e l’unica soluzione di questa equazione e la

funzione L2, che e regolare in x = 0 e costituisce in effetti una distribuzione temperata,

vedi (11.37), (11.38). Dato che A0(t, ~x) e reale, la (11.48) impone che I∗(ω, r) = I(−ω, r).

Siccome si ha L2(−x) = −L2(x), per n(ω) >1

vla soluzione generale della (11.49) e allora

data da, tralasciando gli argomenti,

I = L + a i L2 =(1 +

a

2

)L− a

2L∗,

dove a e una costante reale arbitraria. Tuttavia, dall’andamento asintotico (11.37) si vede

che L rappresenta un’onda uscente radialmente, mentre L∗ rappresenta un’onda entrante

radialmente dall’infinito. La causalita impone allora la scelta a = 0, e la soluzione fisica

e di nuovo unica.

Dispersione, fronti d’onda e singolarita. Riassumendo possiamo dire che in presenza

di un mezzo dispersivo, il potenziale scalare di una particella in moto rettilineo uniforme

e dato da, vedi (11.45), (11.48) e (11.50),

A0(t, ~x) =e

(2π)2 v

∫ ∞

−∞e−i

ω

v(z − v t) I(ω, r)

n2(ω)dω, (11.51)

dove,

I(ω, r) =

K

(√1−v2n2(ω)

vω r

), per n(ω) < 1

v,

L

(√v2n2(ω)−1

vω r

), per n(ω) > 1

v.

(11.52)

In modo analogo si determina l’espressione per ~A, usando la (11.46),

~A(t, ~x) =e ~uz

(2π)2

∫ ∞

−∞e−i

ω

v(z − v t)

I(ω, r) dω.

Per velocita piccole, ovvero, per v < 1n(ω)∀ω, la (11.51) si riduce alla (11.14), che

costituisce un potenziale regolare per qualsiasi ~x 6= ~v t. Per un mezzo non dispersivo (n

costante), e v >1

n, la (11.51) si riduce invece alla (11.33), e si crea un fronte d’onda

singolare per z − vt = −r√

v2n2 − 1. Illustriamo brevemente come questa singolarita

emerge dalla rappresentazione integrale (11.51). In questo caso si ha I = L per ogni ω, e

per grandi valori di ω la (11.37) fornisce l’andamento asintotico oscillante,

I(ω, r) ∼ 1√|ω| e− i

ω r

v

√v2n2 − 1

. (11.53)

330

Si vede allora che per z − vt = −r√

v2n2 − 1, nella (11.51) per grandi ω i due fattori

oscillanti si compensano tra di loro, e l’integrale in ω diverge: sul fronte d’onda A0(t, ~x)

e quindi infinito.

Viceversa, se v >1

n(ω)solo per un insieme limitato di frequenze – come succede in un

qualsiasi mezzo reale, vedi le (11.43) – allora per ω sufficientemente grande si ha I = K.

In questo caso l’andamento asintotico (11.53) e sostituito da, vedi (11.22),

I(ω, r) ∼ 1√|ω| e−|ω| r

v

√1− v2n2

,

e l’integrale nella (11.51) converge allora per ogni ~x 6= ~v t. In un mezzo reale A0(t, ~x) e

dunque una funzione regolare in tutto lo spazio, qualsiasi sia la velocita della particella, e

non compare nessun fronte d’onda singolare. Risultati identici si ottengono per ~A(t, ~x).

Per quello che segue sara comunque sufficiente conoscere esplicitamente le funzioni

spettrali A0(ω), date in (11.48).

11.5 Perdita di energia ed emissione di fotoni

Stabilita la presenza di radiazione, in questa sezione quantifichiamo l’energia irradiata dal-

la particella durante il suo passaggio nel mezzo. Per il carattere stazionario del fenomeno

cercheremo l’energia emessa per unita di frequenza e per unita di spazio percorso,

d 2ε

dz dω.

Prima di passare alla valutazione esplicita di questa grandezza a partire dai campi derivati

nella sezione precedente, presentiamo una derivazione euristica.

11.5.1 Un argomento euristico

Partiamo dalla formula generale dell’analisi spettrale della radiazione emessa da una

particella in moto aperiodico (10.42),

d 2ε

dω dΩ=

e2ω2

16 π3

∣∣∣∣~n×∫ ∞

−∞e−i ω(t−~n·~y) ~v dt

∣∣∣∣2

. (11.54)

Ricordiamo che questa formula e valida nel vuoto, con indice di rifrazione uguale a 1, e

per v < 1. Se la particella non e accelerata risulta ovviamento d 2εdω dΩ

= 0.

331

L’espressione (11.54) si riferisce all’energia emessa nell’unita di frequenza, lungo tutta

la traiettoria. Se un moto e illimitato e l’accelerazione ha una durata infinita, allora questa

grandezza in generale e divergente. Per ottenere un valore finito – eventualmente nullo

– consideriamo l’energia emessa durante un tempo finito, diciamo tra gli istanti −T e T .

Per fare questo dobbiamo limitare l’integrale temporale che compare nella (11.54) tra gli

estremi −T e T . Per determinare l’energia media emessa nell’unita di tempo dobbiamo

successivamente dividere per 2T , e prendere il limite per T → ∞. Infine, dividendo il

risultato cosı ottenuto per v, otteniamo un’espressione per l’energia emessa nell’unita di

spazio percorso,

d 3ε

dz dω dΩ=

e2ω2

16 π3 vlim

T→∞1

2T

∣∣∣∣~n×∫ T

−T

e−i ω(t−~n·~y) ~v dt

∣∣∣∣2

. (11.55)

Se ~v e costante abbiamo ~y = ~v t, e svolgendo i calcoli si ottiene,

1

2T

∣∣∣∣~n×∫ T

−T

e−i ω(t−~n·~y) ~v dt

∣∣∣∣2

= 2(v2 − (~n · ~v)2

) · sen2 ((1− ~n · ~v) ω T )

(1− ~n · ~v)2 ω2 T. (11.56)

Per eseguire il limite per T →∞ e sufficiente notare che si ha il limite in S ′,

limT→∞

sen2(Tx)

Tx2= π δ(x),

limite che si verifica facilmente applicando ambo i membri a una funzione di test. Usando

questa relazione il limite della (11.56) diventa,

limT→∞

1

2T

∣∣∣∣~n×∫ T

−T

e−i ω(t−~n·~y) ~v dt

∣∣∣∣2

= 2π(v2 − (~n · ~v)2

)δ((1− ~n · ~v) ω)

=2π

ω

(v2 − 1

)δ (1− ~n · ~v) . (11.57)

Ripristinando la velocita della luce e introducendo l’angolo ϑ tra ~v e la direzione di

emissione ~n, la (11.55) diventa allora,

d 3ε

dz dω dΩ=

e2ω

8π2v c

(v2

c2− 1

)δ(1− v

ccosϑ

). (11.58)

Per v < c l’argomento della δ non si annulla per nessun valore di ϑ e quindi non si

ha emissione di energia, come conviene a una particella che si muove di moto rettilineo

uniforme nel vuoto.

332

Continuazione analitica. La formula appena scritta, valida nel vuoto, ammette una

continuazione analitica naturale quando si e in presenza di un mezzo. E, infatti, sufficiente

effettuare nella (11.58) le sostituzioni (11.6), per ottenere (n ≡ n(ω)) 47,

d 3ε

dz dω dΩ=

e2ω

8π2v n c

(v2n2

c2− 1

)δ(1− v n

ccosϑ

). (11.59)

Si vede che per v >c

nesiste ora un cono di direzioni di emissione, formanti con la velocita

della particella un’angolo ϑ determinato da,

cosϑ =c

vn,

angolo che coincide in effetti con l’angolo di Cerenkov (11.42). Grazie alla presenza della

δ e immediato effettuare l’integrale sugli angoli della (11.59). Siccome abbiamo,∫

δ(1− v n

ccosϑ

)dΩ = 2π

∫ 1

−1

δ(1− v n

ccosϑ

)dcosϑ =

2π c

v nH(v n− c),

si ottiene,d 2ε

dz dω=

e2ω

4πc2

(1− c2

v2n2

), se v >

c

n, (11.60)

e d 2εdz dω

= 0, se v <c

n. La formula (11.60) e stata derivata da Frank e Tamm nel 1937, in

spiegazione dell’effetto Cerenkov. Torneremo al suo significato nel prossimo paragrafo.

11.5.2 La formula di Frank e Tamm

L’argomento del paragrafo precedente ha evidentemente carattere euristico e puo risultare

piu o meno convincente; esso e comunque interessante per via degli strumenti che abbiamo

utilizzato. In questo paragrafo daremo, invece, una derivazione della formula di Frank e

Tamm a partire dai “principi primi”, ovvero a partire dall’analisi asintotica dei campi,

svolta nella sezione precedente.

Consideriamo allora l’energia totale ∆ε che la particella emette attraverso un cilindro

coassiale con la traiettoria, di raggio r e lunghezza ∆z = z2−z1, durante l’intero percorso.

Dai risultati della sezione precedente sappiamo che i campi dipendono da t e z solo

attraverso la combinazione z − vt, vedi (11.51), e ∆ε e quindi indipendente da z1 e z2, e

dipende solo da ∆z. Risulta allora,

∆ε = (2πr ∆z)

∫ ∞

−∞

(~E × ~B

)· ~ur dt = (2πr ∆z)

∫ ∞

−∞

(~E∗(ω)× ~B(ω)

)· ~ur dω,

47Non si confonda l’indice di rifrazione n con il modulo del versore ~n, che vale 1.

333

dove abbiamo usato il teorema di Parseval. Come vedremo tra poco, frequenze positive

e negative contribuiscono in ugual maniera, e quindi l’energia emessa per unita di spazio

percorso e per unita di frequenza e data da,

d 2ε

dz dω= 4πr

(~E∗(ω)× ~B(ω)

)· ~ur. (11.61)

Per calcolare l’energia “emessa” dobbiamo prendere il limite per r →∞. Vediamo quindi

che per avere emissione di radiazione in simmetria cilindrica, a frequenza fissata i campi

devono decrescere all’infinito come1√r, come “onde cilindriche”.

La valutazione esplicita della (11.61) e facilitata dai risultati della sezione precedente.

Per v <1

n(ω)i campi decadono esponenzialmente, vedi (11.28), e non c’e emissione di

energia. Per v >1

n(ω)l’andamento del potenziale per grandi r e stato determinato in

(11.40),

A0(ω) =e

4πn2· e−iπ/4

(v2n2 − 1)1/4√

v ω re−i

ω

v

(z +√

v2n2 − 1 r). (11.62)

Il campi ~E(ω) e ~B(ω) si determinano facilmente eseguendo la trasformata di Fourier delle

definizioni (11.7), (11.8), e ricordando la (11.46),

~E(ω) = −~∇A0(ω)− i ω ~A(ω) = −(

~∇+ i ω n2 ~v)

A0(ω),

~B(ω) = ~∇× ~A(ω) = −n2~v × ~∇A0 = n2 ~v × ~E(ω).

E quindi sufficiente calcolare ~E(ω), limitandosi ai termini di ordine1√r. Nella valutazione

di ~∇A0 e sufficiente derivare l’esponenziale in (11.62), perche la derivata di1√r

porta a

termini di ordine1

r3/2. Si ottiene cosı,

~∇A0(ω) = −i ω

v

(~uz +

√v2n2 − 1 ~ur

)A0(ω),

~E(ω) =i ω

v

√v2n2 − 1

(~ur −

√v2n2 − 1 ~uz

)A0(ω), (11.63)

~B(ω) = i ω n2√

v2n2 − 1 A0(ω) ~uϕ. (11.64)

Polarizzazione. Dalle espressioni di ~E(ω) e ~B(ω) vediamo in particolare che i vettori di

polarizzazione sono reali, a parte una fase overall. Concludiamo quindi che la radiazione

334

Cerenkov e linearmente polarizzata, e che la polarizzazione di ~E appartiene al piano

contenente la direzione della particella e la direzione di propagazione della radiazione –

in accordo con le osservazioni fatte da Cerenkov.

Infine, inserendo le (11.63), (11.64) nella (11.61) si ottiene,

d 2ε

dz dω=

4πr n2ω2

v

(n2v2 − 1

)3/2 |A0(ω)|2.

Calcolando dalla (11.62),

|A0(ω)|2 =( e

4πn2

)2 1

v ω r√

v2n2 − 1,

si ottiene il risultato di Frank e Tamm,

d 2ε

dz dω=

e2ω

4πc2

(1− c2

v2n2(ω)

), (11.65)

dove abbiamo ripristinato la velocita della luce e la dipendenza dell’indice di rifrazione da

ω. Per determinare l’energia totale emessa per unita di spazio percorso, occorre integrare

la (11.65) sulle frequenze,

dε

dz=

e2

4πc2

∫ω

(1− c2

v2n2(ω)

)dω,

dove per una velocita fissata l’integrale si estende su tutte le frequenze per cui v >c

n(ω).

Siccome l’insieme di queste frequenze e un insieme limitato, l’energia emessa e sempre

finita.

Numero di fotoni emessi. Ricordando che radiazione di frequenza ω e composta da

fotoni di energia ~ω, possiamo anche determinare il numero N di fotoni che viene emesso

per unita di spazio percorso, nell’intervallo unitario di frequenze. Dividendo la (11.65)

per l’energia di un fotone risulta,

d 2N

dz dω=

e2

4πc2~

(1− c2

v2n2(ω)

),

mentre il numero totale di fotoni emessi per unita di spazio percorso e dato da,

dN

dz=

α

c

∫ (1− c2

v2n2(ω)

)dω, (11.66)

dove abbiamo introdotto la costante di struttura fine α =e2

4π~c=

1

137. Anche questo

numero e quindi finito.

335

A titolo di esempio stimiamo il numero di fotoni emessi nello spettro visibile, da una

particella che viaggia con velocita prossima a quella della luce in acqua pura. Siccome

nell’ottico l’acqua ha un indice di rifrazione praticamente costante, n(ω) =4

3, in questo

caso abbiamo,

1− c2

v2n2(ω)= 1− 9

16=

7

16.

Considerando λ1 = 400nm e λ2 = 800nm, e ω1,2 = 2πc/λ1,2, la (11.66) da allora,

dN

dz=

α

c

∫ ω1

ω2

(1− c2

v2n2(ω)

)dω =

7πα

8

(1

λ1

− 1

λ2

)≈ 250/cm. (11.67)

Mentre la particella percorre un centimetro in acqua, essa emette dunque circa 250 fotoni

con frequenze nello spettro visibile. Si noti che la (11.67) permette di dare la stima

qualitativa generale,dN

dz≈ α

λ=

1

137λ,

che indica che su una distanza di 137 volte la lunghezza d’onda, la particella emette circa

un fotone.

11.6 Rivelatori Cerenkov

Un dispositivo sperimentale che si avvale dell’effetto Cerenkov per rivelare particelle ele-

mentari, viene chiamato “rivelatore Cerenkov”. In genere e costituito da un contenitore

riempito da un mezzo trasparente – il cosiddetto radiatore – per esempio acqua purissima,

che funge da dielettrico polarizzabile. La luce provocata dal passaggio di una particella

carica con velocita elevata viene raccolta da fotorivelatori. Dall’angolo di emissione, e dal

numero di fotoni emessi in un intervallo di lunghezze d’onda, vedi (11.42) e (11.67), si

determina la velocita della particella. Siccome la radiazione viene emessa su coni concen-

trici, si puo risalire inoltre alla direzione del moto della particella. Benche le potenzialita

dell’effetto Cerenkov come base per un rivelatore fossero chiare sin dai primordi, e solo

l’avvento dei fotomoltiplicatori, capaci di rivelare con un’alta efficienza ed una risposta

veloce anche piccole intensita di luce, che permise a John Valentine Jelley nel 1951 di

sviluppare il primo dispositivo impiegato in un esperimento.

Super–Kamionkande. In tempi recenti rivelatori Cerenkov sono stati impiegati nelle

ricerche sulla fisica dei neutrini, effettuate dagli esperimenti “Kamiokande” e “Super–

336

Kamiokande” nelle miniere di Kamioka in Giappone. I neutrini interagiscono debolmente

con la materia, ma e possibile che un neutrino molto energetico interagisca con un atomo,

e trasferisca buona parte della sua energia ad una particella carica, tipicamente un elet-

trone o un muone, che irradia a sua volta luce Cerenkov. Super–Kamiokande si avvale di

un recipiente cilindrico di 40m di altezza e di diametro, contenente come radiatore 50.000

tonnellate di acqua purissima, la cui superficie e disseminata di circa 11.000 fotomolti-

plicatori. Gli esperimenti di Kamioka hanno conseguito scoperte importanti nel campo

della fisica dei neutrini. Cosı nel 1987 Kamiokande rivelo per la prima volta un flusso

di neutrini proveniente dall’esplosione di una supernova, nella Grande Nube di Magel-

lano, mentre nel 1988 osservo neutrini provenienti dal Sole. Nel 1998 gli esperimenti di

Super–Kamiokande hanno invece fornito la prima evidenza sperimentale dell’oscillazione

dei neutrini, fenomeno che e possibile solo se i neutrini hanno una massa diversa da zero.

I rivelatori Cerenkov hanno giocato un ruolo altrettanto essenziale nella scoperta del-

l’antiprotone con il Bevatrone di Berkeley nel 1955, e in quella del quark charm nei

laboratori di Brookhaven nel 1974.

337

12 La reazione di radiazione

Riprendiamo le equazioni dell’Elettrodinamica per una particella singola,

∂µFµν = jν , (12.1)

dpµ

ds= e F µν(y)uν , (12.2)

con le definizioni consuete,

F µν = ∂µAν − ∂νAµ, jµ = e

∫uµ δ4(x− y) ds.

Dalle analisi svolte nei capitoli precedenti appare evidente che, escluso casi banali, questo

sistema di equazioni accoppiate non puo essere risolto analiticamente, e difatti finora ab-

biamo affrontato la sua soluzione adottando implicitamente un approccio “riduzionistico”.

Riassumiamolo brevemente.

Come primo passo abbiamo determinato la soluzione esatta dell’equazione di Maxwell

(12.1), assumendo nota la traiettoria yµ(s) della particella. Abbiamo trovato che il campo

elettromagnetico risultante e dato dalla somma del campo di Lienard–Wiechert (6.99),

che d’ora in poi indicheremo con Fµν , e di un arbitrario campo esterno libero F µνin ,

F µν = Fµν + F µνin . (12.3)

Se la particella si trovava in presenza di campi esterni noti, come i campi elettromagne-

tici negli acceleratori di particelle, oppure quello dell’onda piana che incide sull’elettrone

nell’effetto Thomson, abbiamo determinato preliminarmente la traiettoria della particella

risolvendo l’equazione di Lorentz (12.2), ponendo ivi F µν = F µνin : cosı facendo abbiamo,

dunque, trascurato l’azione del campo di Lienard–Wiechert sulla particella stessa, ovvero,

abbiamo trascurato “l’autocampo”.

Avendo determinato la traiettoria della particella in questo modo, abbiamo calcolato

il campo da essa creato risolvendo la (12.1), e lo abbiamo poi valutato a grandi distanze

dalla stessa, per analizzare il quadrimomento trasportato dalla radiazione emessa. In al-

cuni casi siamo inoltre stati in grado di quantificare l’effetto dell’emissione di radiazione

sul moto della particella, invocando la conservazione del quadrimomento. Abbiamo visto

338

che in generale questo effetto e costituito da una diminuzione dell’energia della particel-

la, e da una variazione della sua quantita di moto. Ricordiamo come esempi la forza di

reazione nella diffusione Thomson, la diminuzione della velocita di una particella carica

in un ciclotrone, e il collasso dell’atomo di idrogeno classico. Questo effetto secondario,

chiamato “reazione di radiazione”, “forza di frenamento” o anche “forza di autointera-

zione”, scaturisce dall’azione del campo elettromagnetico Fµν(x) creato dalla particella,

sulla particella stessa. Per ragioni di localita questa azione puo avvenire solo nel punto

x = y(s) ≡ y dove la particella si trova, e quindi deve coinvolgere il valore del campo

Fµν(y) in quel punto. Corrispondentemente, dalle (12.2) e (12.3) si vede che la forza di

frenamento e rappresentata proprio dal termine,

eFµν(y) uν . (12.4)

Tuttavia, come abbiamo anticipato varie volte, la grandezza Fµν(y) – l’autocampo –

e sempre infinita! Piu precisamente, per ~x → ~y(t) si ha che l’istante ritardato t′ si

approssima a t, vedi (6.94), e segue che 48,

R = |~x− ~y(t′)| ∼ |~x− ~y(t)| ≡ r.

Dalle (6.100)–(6.102) si vede allora che nelle vicinanze della traiettoria domina il campo

coulombiano, e che per ~x → ~y(t), ovvero, per xµ → yµ, il campo di Lienard–Wiechert

(6.99) diverge come,

Fµν(x) ∼ 1

r2. (12.5)

Questa e la ragione per cui abbiamo rinviato la trattazione sistematica della reazione di

radiazione fino a questo capitolo.

48In realta, quando ~x → ~y(t), la distanza R = |~x − ~y(t′)| si identificata con la “distanza fisica”r = |~x − ~y(t)|, solo modulo una costante moltiplicativa. Risolvendo la condizione del ritardo (6.94) alprimo ordine in r, si trova infatti,

t′(t, ~x) = t−(

~v · ~m +√

1− v2 + (~v · ~m)2

1− v2

)r + o(r2), ~m ≡ ~x− ~y(t)

r.

Dato che R = |~x− ~y(t′)| = t− t′(t, ~x), si ottiene allora,

R =

(~v · ~m +

√1− v2 + (~v · ~m)2

1− v2

)r + o(r2).

Vicino alla linea di universo R differisce quindi da r per una costante moltiplicativa, di origine relativistica,che pero non si annulla mai.

339

A parte la difficolta concettuale appena menzionata, appare chiaro che l’approccio

riduzionistico adottato finora non puo che avere validita limitata, perche il moto della

particella e determinato non solo dalle forze esterne, ma anche dalla forza di frenamento,

e in generale queste due forze devono essere prese in considerazione contemporaneamen-

te. Nelle prossime sezioni affronteremo il problema della reazione di radiazione in modo

sistematico, a partire dai principi primi, cioe, dalle equazioni (12.1) e (12.2).

Particelle puntiformi e divergenze ultraviolette. Le divergenze appena evidenziate si

riflettono anche nella definizione dell’energia totale del campo elettromagnetico, come

discusso nel caso della particella statica nel paragrafo 2.3.4. Nel caso generale, a causa

della (12.5), vicino alla particella il tensore energia–impulso del campo elettromagnetico

(2.69) diverge come,

T µνem ∼

1

r4,

che rappresenta una singolarita non integrabile in R3. Per ogni t fissato gli integrali del

quadrimomento totale, P µem =

∫T 0µ

em d3x, sono quindi divergenti. Questo problema verra

affrontato e risolto nel capitolo 13, dove faremo vedere come si puo costruire un nuovo

tensore energia–impulso, ben definito nello spazio delle distribuzioni, conservato e con

quadrimomento totale finito.

E chiaro che l’origine di entrambe le patologie quı descritte – forza di frenamento

divergente, e energia del campo elettromagnetico infinita – risiede nella struttura punti-

forme della particella carica. E infatti proprio la distribuzione puntiforme della carica

a dare luogo a un campo, che nelle immediate vicinanze della particella diverge come

1/r2. In teoria quantistica, a causa del principio di indeterminazione, l’analisi di regioni

molto piccole richiede energie molto elevate, ovvero, fotoni con frequenze molto grandi.

Per questo motivo divergenze che occorrono a piccole scale spaziali vengono comunemen-

te chiamate “divergenze ultraviolette“ – anche nell’ambito della fisica classica – mentre

divergenze che emergono a distanze grandi vengono chiamate “divergenze infrarosse”. Le

divergenze presenti nella forza di frenamento e nell’energia del campo elettromagnetico

corrispondono quindi a divergenze ultraviolette, perche si percepiscono a distanze molto

piccole dalla particella. D’altra parte una particella carica puntiforme non da luogo a nes-

suna singolarita infrarossa, perche all’infinito il campo decresce come 1/r2, e l’integrale

340

del quadrimomento∫

T 0µem d3x converge quindi a grandi distanze 49.

Viceversa, una particella con una distribuzione piu regolare di carica, per esempio

una distribuzione superficiale su una sfera rigida, creerebbe un campo elettromagnetico

ovunque privo di singolarita. Tuttavia, una tale distribuzione sarebbe in conflitto con i

principi della Relativita: il vincolo di rigidita richiederebbe forze interne a “distanza”,

che violerebbero la causalita, e la compensazione della repulsione elettrostatica della di-

stribuzione di carica, richiederebbe l’introduzione di nuove forze di legame, di origine non

elettromagnetica. Volendo preservare i postulati della Relativita e l’economia inerente alla

formulazione minimale dell’Elettrodinamica – che non prevede altre forze fuorche quelle

di origine elettromagnetica – preferiamo mantenere le particelle puntiformi, e modificare

invece l’equazione di Lorentz – sostituendola con l’equazione di Lorentz–Dirac (12.12).

12.1 Forze di frenamento: analisi preliminare

Prima di passare a un’analisi sistematica delle forze di frenamento facciamo qualche con-

siderazione di carattere generale. Ci sono, infatti, molti casi in cui localmente le forze di

frenamento possono essere trattate come una perturbazione, ed eventualmente trascura-

te. Con “localmente trascurabile” intendiamo il fatto che queste forze influenzano poco il

moto instantaneo della particella. Questo succede, per esempio, se le forze di frenamento

sono piccole rispetto alle forze esterne primarie, oppure se esse vengono compensate da

opportune forze esterne aggiuntive – come le cavita a radiofrequenza in un ciclotrone, o i

generatori di differenza di pontenziale che mantengono gli elettroni in un’antenna in stato

di oscillazione.

Forze di frenamento trascurabili. Analizziamo ora qualitativamente le condizioni fisi-

che in cui le forze di frenamento sono localmente trascurabili. Adottiamo il seguente

criterio: la reazione di radiazione puo essere trascurata, se l’energia ∆ε persa dalla par-

ticella a causa dell’irraggiamento durante un intervallo temporale, e piccola rispetto al-

l’energia ∆ε0 fornita dalla forza esterna nello stesso intervallo temporale. Applichiamo

il criterio nel limite non relativistico. Indichiamo con T la scala temporale caratteristi-

49Per ogni t fissato, a grandi distanze Fµν decresce come 1/r2, purche la particella sia accelerata perun intervallo temporale finito. In caso contrario domina il campo di accelerazione, e Fµν decresce come1/r.

341

ca della forza esterna, ovvero, il tempo durante il quale la velocita della particella varia

apprezzabilmente, ∆v ∼ v. Se a e l’accelerazione della particella abbiamo dunque,

∆v ∼ a T ∼ v.

Allora possiamo usare la formula di Larmor per stimare,

∆ε ∼ e2 a2

6πT,

mentre l’energia comunicata dalla forza esterna alla particella nel tempo T e,

∆ε0 = ∆

(1

2mv2

)∼ mv ∆v ∼ m a2 T 2.

Si ottiene allora,∆ε

∆ε0

∼ e2

3πm

1

T.

La quantita,

τ =e2

6πmc3, (12.6)

corrisponde a un tempo molto piccolo, che e legato al raggio classico della particella dalla

relazione τ =2r0

3c. Per l’elettrone si ha, per esempio,

τ = 0.6 · 10−23 s.

Abbiamo quindi,∆ε

∆ε0

∼ τ

T. (12.7)

Localmente la reazione di radiazione e quindi trascurabile, fino a quando la scala tempo-

rale T sulla quale la forza esterna varia sensibilmente e grande rispetto a τ . Al contrario,

la reazione di radiazione non puo essere trascurata, se la forza varia molto violentemente,

ovvero, se durante l’intervallo temporale piccolo τ essa subisce una variazione relati-

va apprezzabile. Torneremo sull’effetto di forze di questo tipo nel paragrafo 12.2.5, in

connessione con il fenomeno della “preaccelerazione”.

L’analisi appena svolta ha validita locale. Anche se le forze variano su scale tempo-

rali T À τ , esse possono comunque dare luogo ad effetti cumulativi apprezzabili. Cosı

un elettrone in un ciclotrone non relativistico dopo un tempo sufficientemente grande si

342

arresta. D’altra parte, come abbiamo visto nel paragrafo 9.2.2, nel ciclotrone ultrarela-

tivistico l’irraggiamento ha effetti importanti anche localmente, e puo portare all’arresto

della particella in una frazione piccolissima di secondo. In questi casi la reazione di radia-

zione certamente non puo essere trascurata, e in certe situazioni essa puo diventare anche

dominante rispetto alla stessa forza esterna.

12.1.1 Un argomento euristico per l’equazione di Lorentz–Dirac

Tornando all’equazione di Lorentz (12.2) e sostituendo la soluzione generale dell’equazione

di Maxwell (12.3), si arriva a,

dpµ

ds= eFµν(y) uν + e F µν

in (y) uν . (12.8)

Per rendere operativa questa equazione dovremmo valutare esplicitamente la forza di fre-

namento (12.4) – divergente. La valutazione di questa forza e in realta indispensabile, per

chiudere il sistema di equazioni che governano l’Elettrodinamica di una particella carica.

Sostituito al posto di Fµν il campo di Lienard–Wiechert, la (12.8) corrisponderebbe ap-

punto a quattro equazioni del secondo ordine nelle incognite yµ(s), di cui tre indipendenti.

L’intero problema dinamico dell’Elettrodinamica sarebbe cosı ricondotto alla soluzione di

queste tre equazioni del secondo ordine: per quanto complicate esse siano, la legge oraria

~y(t) della particella sarebbe completamente determinata dai dati iniziali ~y(0) e ~v(0). In

realta vedremo che, una volta eliminate le divergenze attraverso un’opportuna procedu-

ra di “rinormalizzazione”, in ultima analisi questa strategia non potra essere portata a

termine.

Prima di passare all’analisi esplicita della forza di frenamento (divergente), presentia-

mo un semplice argomento euristico per derivare una sua possibile espressione finita. A

questo scopo ricordiamo che il quadrimomento irradiato dalla particella al tempo proprio

s, e che raggiunge l’infinito, e dato dalla formula relativistica di Larmor (9.8),

dP µrad

ds= − e2

6πw2uµ. (12.9)

Se il quadrimomento totale si deve conservare, allora ci dobbiamo aspettare che la parti-

cella ceda questa quantita di quadrimomento, subendo la forza di frenamento,

dpµ

ds=

e2

6πw2uµ + · · ·+ e F µν

in (y) uν , (12.10)

343

dove abbiamo indicato la presenza di eventuali termini addizionali. Infatti, indipenden-

temente dalla presenza o meno del campo esterno, il termine di Larmor non puo essere

l’unico termine presente al membro di destra di questa equazione. Per convincersi di

questo e sufficiente contrarre l’equazione con uµ: il membro di sinistra si annulla allora,

perche uµwµ = 0, mentre quello di destra resta diverso da zero. In realta abbiamo gia

anticipato la possibilita della presenza di termini addizionali, quando nel paragrafo 9.1.2

abbiamo discusso il significato della (12.9). L’analisi appena svolta dimostra che questi

contributi addizionali sono necessariamente presenti, e non e difficile avanzare un’ipotesi

sulla loro forma. E sufficiente notare l’identita,

uµdwµ

ds= −w2, (12.11)

che si ottiene derivando rispetto a s la relazione uµwµ = 0,

wµwµ + uµ

dwµ

ds= 0.

Allora e immediato vedere che un completamento dell’equazione (12.10) – consistente con

il vincolo uµdpµ

ds= 0 – e costituito dall’equazione di Lorentz–Dirac 50,

dpµ

ds=

e2

6π

(dwµ

ds+ w2uµ

)+ e F µν

in (y) uν . (12.12)

Insistiamo sul fatto che questa equazione non potra essere dedotta dalla (12.8), perche

quest’ultima e divergente.

La conclusione dell’analisi preliminare di questa sezione e che non e possibile derivare

un’equazione chiusa per la dinamica di una particella carica, a partire dalle equazioni di

Maxwell e di Lorentz: la teoria deve quindi necessariamente essere modificata. Dall’analisi

svolta si capisce anche che, volendo mantenere le equazioni di Maxwell – nella cui soluzione

tra l’altro non abbiamo incontrato nessuna inconsistenza – dovremo modificare l’equazione

di Lorentz.

12.2 L’equazione di Lorentz–Dirac

In questa sezione presenteremo una deduzione dell’equazione di Lorentz–Dirac, a partire

da un’equazione di Lorentz modificata, in particolare “regolarizzata”, e analizzeremo le

50Lorentz dedusse la versione non relativistica di questa equazione nel 1904, mentre Dirac ottenne laversione covariante (12.12) nel 1938.

344

sue proprieta piu salienti. Per semplicita considereremo prima una particella singola,

presentando la generalizzazione al caso di N particelle alla fine della sezione.

Per l’equazione del moto per una particella carica consistente – in sostituzione dell’e-

quazione di Lorentz – poniamo le seguenti richieste minimali, di ovvio significato:

1) Invarianza relativistica.

2) Assenza di termini divergenti nell’equazione.

3) Consistenza dell’equazione con l’identita uµdpµ

ds= 0.

4) Compatibilita con la conservazione del quadrimomento totale.

In seguito ci occuperemo delle richieste 1) – 3), mentre la richiesta 4), non meno

importante delle altre, verra affrontata nel capitolo 13.

Incominciamo riprendendo l’espressione per il campo di Lienard–Wiechert (6.99),

Fµν(x) =e

4π(uL)3

(Lµuν + Lµ [(uL) wν − (wL) uν ]− (µ↔ ν)

). (12.13)

Ricordiamo che,

Lµ(x) = xµ − yµ(λ), (12.14)

e che le variabili cinematiche della particella, y(λ), u(λ), e w(λ), sono valutate al tempo

ritardato proprio λ(x), definito da,

(x− y(λ))2 = 0, x0 > y0(λ). (12.15)

Regolarizzazione e rinormalizzazione. La nostra strategia per ottenere un’equazione di

Lorentz “finita”, a partire dall’equazione di Lorentz singolare (12.8), segue una procedura

che viene applicata comunemente nelle teorie di campo quantistiche relativistiche, per

curare le divergenze ultraviolette. Questa procedura prevede due passaggi, il primo e

costituito da una “regolarizzazione”, e il secondo da una “rinormalizzazione”. Vediamo

come essa si attua in concreto.

Come primo passo si introduce un regolarizzatore ε > 0, che nel presente caso avra le

dimensioni di una lunghezza. Si introduce poi un campo di Lienard–Wiechert regolariz-

zato,

Fµν(x)→ Fµνε (x), (12.16)

soggetto al limite puntuale,

limε→0Fµν

ε (x) = Fµν(x),

345

con la richiesta che esso sia regolare sulla traiettoria. Richiediamo, cioe, che la grandezza,

Fµνε (y(s)),

sia finita per ogni ε > 0, e per ogni s. Come secondo ingrediente della procedura sosti-

tuiamo la massa m della particella con il parametro mε, la cui forma verra specificata in

seguito 51. Non necessariamente dovra essere, e non sara, limε→0 mε = m.

La nostra proposta per la nuova equazione di Lorentz, in sostituzione della (12.8), e

allora,

limε→0

[mε

duµ

ds− eFµν

ε (y) uν − e F µνin (y) uν

]= 0, (12.17)

purche si riesca a trovare un parametro mε, che elimini dall’equazione eventuali termini

divergenti per ε → 0. Si noti che quest’ultima condizione e molto restrittiva, perche per

qualsiasi scelta di mε si riescono ad eliminare solo termini divergenti che sono proporzionali

a wµ =duµ

ds. Questo passaggio finale viene chiamato “rinormalizzazione”.

Formulata in questo modo, se un tale mε esiste la nostra proposta soddisfa automatica-

mente le richieste 2) e 3). La richiesta 3) e soddisfatta semplicemente perche nella (12.17)

uν moltiplica sempre un tensore antisimmetrico. La richiesta 1) sara, invece, soddisfatta

se la regolarizzazione (12.16) preserva l’invarianza di Lorentz. Con cio intendiamo che

il campo Fµνε (x) si trasforma come un campo tensoriale sotto trasformazioni di Lorentz,

per ogni ε > 0.

12.2.1 Derivazione dell’equazione

Implementeremo ora questo programma, scegliendo una specifica regolarizzazione che

preserva l’invarianza di Lorentz.

Una regolarizzazione Lorentz–invariante. Introduciamo un campo di Lienard–Wiechert

regolarizzato mantenendo formalmente l’espressione (12.13), ma sostituendo la funzione

λ(x) di (12.15), con l’espressione regolarizzata λε(x), definita da,

(x− y(λε))2 = ε2, x0 > y0(λε). (12.18)

51A priori si potrebbe anche introdurre una carica regolarizzata eε, ma nel caso in questione non enecessario.

346

Definiamo, cioe 52,

Fµνε = Fµν

∣∣∣λ→λε

. (12.19)

Questa regolarizzazione preserva l’invarianza di Lorentz, perche le condizioni (12.18) sono

Lorentz–invarianti. Si ricordi, in particolare, che il cono luce futuro e Lorentz–invariante.

E anche immediato vedere che Fµνε (y), dove sottintendiamo yµ ≡ yµ(s), e ben definito

per ogni ε > 0. Infatti, valutando la (12.18) per xµ = yµ(s) abbiamo,

(y(s)− y(λε))2 = ε2,

che pone, al posto della soluzione λ = s del caso non regolarizzato,

λε = s− ε + o(ε2).

Si ottiene cosı,

Lµε (y(s)) = yµ(s)− yµ(λε) = ε uµ(s) + o(ε2) ⇒ (uL)ε = ε + o(ε2) 6= 0.

Il prefattore1

[(uL)ε]3della versione regolarizzata di (12.13) e quindi finito lungo tutta la

traiettoria, e l’autocampo Fµνε (y) e allora ben definito per ogni ε > 0 e per ogni s.

La regolarizzazione (12.19) ha l’ulteriore pregio di preservare la struttura causale del

campo non regolarizzato. Dalla (12.18) si vede infatti che Fµνε (x) dipende dalle variabili

cinematiche y, u e w della particella nel punto y(λε), che e connesso a x attraverso un

segnale causale futuro, segnale che per ε > 0 si propaga con velocita strettamente minore

della velocita della luce. Inoltre, non e difficile dimostrare che vale λε(x) < λ(x), per ogni

ε > 0. In questo modo il campo regolarizzato Fµνε (x) dipende dalle variabili cinematiche

della particella a un istante ritardato precedente all’istante ritardato fisico t′(x), ma non

dalle variabili cinematiche ad istanti successivi a t′(x).

52Non e difficile convincersi che questa regolarizzazione equivale a tutti gli effetti a sostituire la funzionedi Green ritardata G, con la funzione di Green regolarizzata, ma ancora Lorentz invariante, Gε, data da,

G =12π

H(x0)δ(x2) ⇒ Gε =12π

H(x0)δ(x2 − ε2).

Definendo Aµε = Gε ∗ jµ, e infatti immediato dimostrare che vale,

Fµνε = ∂µAν

ε − ∂νAµε .

347

Il campo regolarizzato del moto rettilineo uniforeme. Prima di applicare questa rego-

larizzazione a un moto generico, la illustriamo nel caso di una particella in moto rettilineo

uniforme, con linea di universo,

yµ(s) = uµs, wµ(s) = 0.

In questo caso possiamo determinare il campo di Lienard–Wiechert regolarizzato esatta-

mente. Come primo passo determiniamo λε(x), risolvendo il vincolo (12.18),

(x− uλ)2 = ε2 ⇒ λε(x) = (ux)−√

(ux)2 − x2 + ε2.

Secondo la (12.19) dobbiamo allora valutare la (12.13), sostituendo λ(x) → λε(x). Ab-

biamo,

Lµε = xµ − uµλε(x) ⇒ (uL)ε = (ux)− λε(x) =

√(ux)2 − x2 + ε2.

Siccome wµ = 0, la (12.13) da allora,

Fµνε (x) =

e

4π

xµuν − xνuµ

[(ux)2 − x2 + ε2)]3/2, (12.20)

espressione manifestamente Lorentz–invariante. Per ε → 0 si riottiene evidentemente il

campo creato da una particella in moto rettilineo uniforme, vedi (6.66). Ma il campo

(12.20) e ora ben definito anche sulla traiettora della particella, cioe, per xµ = yµ(s) =

uµ s. Il denominatore si riduce infatti a 4πε3, mentre il numeratore va a zero, e quindi,

Fµνε (y) = 0.

Anche il limite limε→0Fµνε (y) e allora nullo. Questo significa che una particella che si

muove di moto rettilineo uniforme, quindi con F µνin = 0, non esercita nessuna autointe-

razione. Questo risultato e evidentemente in accordo con il fatto che una particella che

non e accelerata non emette radiazione. Dall’analisi appena svolta traiamo anche un’al-

tra conclusione importante: per un moto arbitrario il limite (divergente) limε→0Fµνε (y)

deve necessariamente dipendere dalla quadriaccelerazione wµ e/o eventualmente dalle sue

derivate, perche per un moto rettilineo uniforme esso e zero.

Rinormalizzazione della massa. Torniamo ora al caso generale. Per analizzare il limite

in (12.17) dobbiamo determinare l’andamento dell’autocampo Fµνε (y), nel limite per ε→

348

0. Nel paragrafo 12.2.2 faremo vedere che per un moto generale questo limite non esiste,

e che Fµνε (y) ammette invece lo sviluppo in serie di Laurent attorno a ε = 0,

Fµνε (y) =

e

8πε(uµwν − uνwµ)− e

6π

(uµ dwν

ds− uν dwµ

ds

)+ o(ε). (12.21)

Utilizzando questo risultato e facile valutare la forza di frenamento regolarizzata, che

compare in (12.17). Usando l’identita (12.11) si ottiene,

eFµνε (y) uν =

e2

6π

(dwµ

ds+ w2uµ

)− e2

8πεwµ + o(ε).

Come si vede, la forza di frenamento contiene un termine divergente per ε → 0, che e

pero proporzionale aduµ

ds. Grazie a questa circostanza, a meno di termini di ordine ε la

(12.17) si scrive dunque,

(mε +

e2

8πε

)duµ

ds=

e2

6π

(dwµ

ds+ w2uµ

)+ e F µν

in uν . (12.22)

Il termine divergente puo allora essere eliminato se si sceglie per la massa regolarizzata il

valore, tendente a −∞,

mε = m− e2

8πε,

dove identifichiamo m con la massa fisica finita della particella. Questa ridefinizione

(infinita) della massa della particella rappresenta la “rinormalizzazione”. Dopo questa

operazione la (12.22) si riduce in effetti all’equazione di Dirac–Lorentz (12.12). Questa

equazione puo essere scritta anche come,

wµ = τ

(dwµ

ds+ w2uµ

)+

e

mF µν

in uν , (12.23)

dove il parametro τ , con le dimensioni di un tempo, e lo stesso che compare nella (12.6),

τ =e2

6πmc3. Si vede che questo tempo e massimo per la particella carica piu leggera,

ovvero, per l’elettrone.

Equazioni di Lorentz–Dirac per un sistema di N particelle. E immediato generalizza-

re l’equazione (12.12) a un sistema di N particelle cariche. In questo caso nell’equazione

della particella r–esima bisogna tenere conto anche dei campi di Lienard–Wiechert Fµνs ,

creati dalle altre particelle. Si ottiene cosı,

dpµr

dsr

=e2

r

6π

(dwµ

r

dsr

+ w2ru

µr

)+ er F µν

r (yr) urν , (12.24)

349

dove il “campo esterno” agente sulla particella r–esima e dato da,

F µνr = F µν

in +∑

s 6=r

Fµνs . (12.25)

E chiaro che il campo F µνr (x) non presenta nessuna singolarita in x = yr.

Analizzeremo le caratteristiche principali dell’equazione di Lorentz–Dirac nel paragrafo

12.2.3.

12.2.2 Determinazione dell’autocampo regolarizzato

In questo paragrafo dimostriamo la formula (12.21). La valutazione di Fµνε (y(s)) richiede

intanto di determinare per ogni s fissato il parametro λε, tale che, vedi (12.18),

(y(s)− y(λε))2 = ε2. (12.26)

Siccome per ε→ 0 abbiamo che λε → s, e conveniente porre,

λε = s−∆, (12.27)

dove ∆ e un parametro positivo che per ε→ 0 va a zero. Piu precisamente, inserendo la

(12.27) nella (12.26) e sviluppando in serie si ottiene,

[y(s)−

(y(s)−∆ u(s) +

1

2∆2 w(s)

)+ o(∆3)

]2

= ∆2 + o(∆4) = ε2,

e quindi,

∆ = ε + o(ε3). (12.28)

Invece di analizzare il limite di Fµνε (y(s)) per ε → 0, possiamo allora usare la (12.27) e

analizzarne il limite per ∆→ 0. Per quello che segue sara sufficiente sapere che ∆ ugaglia

ε, modulo termini cubici.

In definitiva si tratta quindi di sviluppare l’espressione,

Fµνε (y(s)) =

e

4π

[1

(uL)3

(Lµuν + LµLγ [uγ wν − wγ uν ]− (µ↔ ν)

)]

λ=s−∆

, (12.29)

in serie di Laurant attorno a ∆ = 0, dove in questa formula e sottointeso che,

Lµ = yµ(s)− yµ(λ).

350

Siccome nella (12.29) a denominatore compare il termine (uL)3, ed Lµ e di ordine ∆,

e necessario espandere il numeratore fino al terzo ordine in ∆. Definendo uµ ≡ uµ(s),

wµ ≡ wµ(s) e dwµ

ds≡ dwµ

ds(s) otteniamo gli sviluppi,

Lµ = yµ(s)− yµ(λ) = ∆ uµ − 1

2∆2wµ +

1

6∆3 dwµ

ds+ o(∆4),

uµ(λ) = uµ −∆wµ +1

2∆2 dwµ

ds+ o(∆3),

wµ(λ) = wµ −∆dwµ

ds+ o(∆2),

usando i quali e facile espandere i vari termini che compaiono nella (12.29) fino all’ordine

desiderato,

(uL) = uµ(λ)Lµ = ∆ + o(∆3),

Lµ uν(λ)− Lν uµ(λ) = −1

2∆2 (uµwν − uνwµ) +

1

3∆3

(uµ dwν

ds− uν dwµ

ds

),

[uγ wν − wγ uν ] (λ) = uγwν − uνwγ −∆

(uγ dwν

ds− uν dwγ

ds

),

LµLγ [uγ wν − wγ uν ] (λ)− (µ↔ ν) = ∆2(uµwν − uνwµ)−∆3

(uµ dwν

ds− uν dwµ

ds

).

Inserendo queste espressioni nella (12.29) si ottiene in definitiva,

Fµνε (y(s)) =

e

8π∆(uµwν − uνwµ)− e

6π

(uµ dwν

ds− uν dwµ

ds

)+ o(∆), (12.30)

dove, data la (12.28), ∆ puo essere sostituito di nuovo con ε. Il risultato e quindi la

(12.21).

12.2.3 Caratteristiche dell’equazione di Lorentz–Dirac

Il ruolo dell’equazione. Insistiamo sul fatto che l’equazione di Lorentz–Dirac non e stata

“dedotta” dalle equazioni dell’Elettrodinamica, ma che ne abbiamo data una deduzione

euristica: in ultima analisi essa deve venire postulata. La sua giustificazione ultima di-

scende, invece, dal fatto che, come spiegheremo nel capitolo 13, essa viene imposta dalla

conservazione del quadrimomento totale del sistema particelle + campi. Non per niente

Dirac baso la sua deduzione dell’equazione su argomenti di conservazione.

Finora abbiamo determinato il moto di una particella carica, tenendo conto solo della

forza esterna e/o della forza di interazione con le altre particelle cariche, vedi il termine

351

F µνr (yr) nella (12.24). In base al moto cosı derivato abbiamo determinato la radiazione

emessa e, infine, tramite la formula di Larmor abbiamo analizzato gli effetti della forza

di frenamento, trattandola come una perturbazione. Questa procedura approssimata

deve essere ora sostituita, in linea di principio, dalla soluzione del sistema di equazioni

accoppiate dato in (12.24) – autointerazioni comprese.

Forza di frenamento e termine di Schott. Il vettore,

Γµ =e2

6π

(dwµ

ds+ w2uµ

), (12.31)

in (12.12) rappresenta la quadriforza di frenamento, ed e composto da due termini. Il

secondo termine e il termine di Larmor, la cui presenza e stata ipotizzata in sezione

12.1, sfruttando la conservazione del quadrimomento. Il primo termine, detto “termine

dell’energia di Schott”, e invece necessario per assicurare la consistenza della forza di

frenamento con l’identita uµ(dpµ/ds) = 0, cioe, la nostra richiesta 3). Ricordiamo, infatti,

che la (12.11) assicura che vale identicamente,

uµ Γµ = 0.

Bilancio del quadrimomento. Abbiamo appena visto che il termine di Schott non ori-

gina da una legge di conservazione, ma da una richiesta di consistenza algebrica. Cor-

rispondentemente facciamo notare che questo termine non contribuisce al bilancio del

quadrimomento totale, 1) in un processo di scattering, per cui wµ → 0 per s→ ±∞ e, 2)

durante un moto quasi–periodico. In entrambi i casi si ha, infatti,

∆P µSchott =

e2

6π

∫ f

i

dwµ

dsds =

e2

6π

(wµ

f − wµi

)= 0.

La variazione totale del quadrimomento della particella e quindi dovuta soltanto al termine

di Larmor – come supposto in tutte le nostre analisi precedenti – e evidentemente al campo

esterno F µνin , ovverosia, in presenza di piu particelle, a F µν

r .

Conflitto con il determinismo e condizioni supplementari. Pur non contribuendo al bi-

lancio del quadrimomento totale, il termine di Schott ha effetti locali sul moto della parti-

cella, che in generale non possono essere trascurati. Per di piu questo termine e in conflitto

con il determinismo newtoniano, perche contiene la derivata terza delle coordinate ~y(t)

352

rispetto al tempo: dunque il moto non e piu univocamente determinato, note ~y(0) e ~v(0).

Date queste condizioni iniziali sarebbero, infatti, possibili infiniti moti diversi, a seconda

dell’accelerazione iniziale ~a(0). Questa circostanza, oltre a essere in contrasto con l’os-

servazione, svuoterebbe l’equazione del moto del suo potere predittivo. Concludiamo,

quindi, che non tutte le soluzioni dell’equazione di Lorentz–Dirac possono corrispondere a

moti realizzati in natura, ed occorre allora imporre opportune condizioni supplementari,

atte a selezionare i moti fisicamente ammessi, senza inficiare l’invarianza di Lorentz.

Se supponiamo che i campi esterni vanno a zero all’infinito spaziale con sufficiente

rapiditia, allora esistono delle condizioni supplementari che si offrono in modo naturale.

Se all’infinito i campi svaniscono e, infatti, naturale aspettarsi che per tempi grandi l’ac-

celerazione tenda a zero, e che la velocita tenda a un valore limite, diverso dalla velocita

della luce. Imponiamo dunque le seguenti condizioni supplementari 53,

lims→+∞

wµ(s) = 0, lims→+∞

uµ(s) = uµ∞. (12.32)

Non imponiamo condizioni analoghe per s → −∞, per un motivo che sara chiaro tra

poco. Si noti che nel linguaggio tridimensionale queste condizioni equivalgono a,

limt→+∞

~a(t) = 0, limt→+∞

~v(t) = ~v∞, |~v∞| < 1. (12.33)

Sotto opportune condizioni di regolarita, la richiesta dell’annullamento asintotico del-

l’accelerazione implica la costanza asintotica della velocita, sicche la seconda condizione

in (12.32) risulta ridondante. Esploreremo le conseguenze fisiche di queste condizioni

supplementari nelle soluzioni esplicite dei prossimi paragrafi.

Un determinismo alternativo del terzo ordine? Una strategia alternativa all’imposizio-

ne delle (12.32) – piu pragmatica e “sperimentale”, ma anche piu rinunciataria – potrebbe

essere la seguente. Supponiamo di misurare all’istante iniziale non solo posizione e velo-

cita, ma anche l’accelerezione della particella. Con questi tre dati iniziali l’equazione di

Lorentz–Dirac determinerebbe il moto della particella allora univocamente, e si potrebbe

cosı predire la sua posizione ad ogni istante successivo. Oltre a essere in conflitto con il

53Difatti queste condizioni sono soddisfatte anche per i “moti limitati”. In un acceleratore, per esempio,una particella non puo essere alimentata da un campo elettrico per un tempo infinito, e irraggiando perdequindi energia fino a quando non raggiunge una velocita nulla o costante.

353

determinismo newtoniano, questo determinismo “del terzo ordine” fallisce, tuttavia, per

motivi sperimentali. Illustriamolo nell’esempio della particella libera. Per accertare se

essa si muove di moto rettilineo unifome, l’osservatore misura la velocita della particella

in vari istanti, ma alla fine potra solo fornire un valore massimo, seppur molto piccolo,

per l’accelerazione. Tuttavia, dalla soluzione generale dell’equazione di Lorentz–Dirac

per la particella libera, vedi (12.40), si vede che per una qualsiasi accelerazione iniziale

diversa da zero, la particella accelera violentemente, e la sua velocita tende a quella della

luce. L’osservatore concluderebbe, quindi, che teoria ed esperimento sono in disaccordo.

L’unico modo per verificare la teoria consisterebbe nell’eseguire misure con errori nulli,

ottenendo per l’accelerazione il valore zero, ma questo non e possibile.

L’equazione di Lorentz–Dirac e il principio variazionale. Una volta sostituita l’equa-

zione di Lorentz – che sappiamo discendere attraverso il principio variazionale dall’azione

(4.7) – con l’equazione di Lorentz–Dirac, resta la domanda se anche quest’ultima possa

essere dedotta da un’opportuna azione. La questione e rilevante in quanto l’esistenza di

un’azione assicurerebbe, grazie al teorema di Noether, l’esistenza di un tensore energia–

impulso conservato e simmetrico. Il fatto che non esiste nessuna azione canonica da cui

l’equazione di Lorentz–Dirac possa essere dedotta – il motivo essendo essenzialmente la

comparsa della derivata terza delle coordinate – mette cosı in dubbio la conservazione del

quadrimomento e del momento angolare totali in Elettrodinamica classica. Per illustrare il

problema consideriamo una particella singola in un campo esterno F µνin = ∂µAν

in − ∂νAνin,

nel qual caso si tratterebbe di trovare un’azione che riproduce l’equazione (12.12). In

assenza della forza di frenamento l’azione sarebbe data dalla (4.7). D’altra parte, per

riprodurre la forza di frenamento (12.31), che contiene un termine lineare nella deri-

vata terza delle yµ, nell’azione devono comparire termini quadratici nelle yµ, con com-

plessivamente tre derivate. Imponendo anche l’invarianza relativistica e l’invarianza per

riparametrizzazione della linea d’universo, la forma piu generale dell’azione sarebbe allora,

I = −m

∫ds− e

∫Aµ

in dyµ + e2

∫ (a

dyµ

ds

d2yµ

ds2+ b yµ d3yµ

ds3

)ds, (12.34)

dove a e b sono costanti adimensionali. A questo punto notiamo, pero, che il primo termine

nella parentesi uguaglia a uµwµ, che e zero identicamente, mentre il secondo termine puo

354

essere ricondotto al primo attraverso un’integrazione per parti,

yµ d3yµ

ds3=

d

ds(yµwµ)− dyµ

ds

d2yµ

ds2=

d

ds(yµwµ) .

Nell’azione questo termine da quindi luogo a un termine al bordo, che non contribuisce

alle equazioni del moto. L’azione (12.34) fornisce dunque l’equazione del moto dpµ/ds =

eF µνin uν , e non l’equazione di Lorentz–Dirac.

L’assenza di un’azione da cui l’equazione di Lorentz–Dirac possa essere dedotta com-

porta, in particolare, che un eventuale tensore energia–impulso conservato debba essere

costruito “a mano”, problema che verra affrontato nel capitolo 13.

12.2.4 La particella carica libera: soluzione esatta

In alcuni casi semplici l’equazione di Lorentz–Dirac puo essere risolta esattamente, un

esempio essendo quello della particella libera. In questo caso si tratta di risolvere la

(12.23) con F µνin = 0,

wµ = τ

(dwµ

ds+ w2uµ

). (12.35)

Limite non relativistico e soluzioni “runaway”. Prima di affrontare la soluzione ge-

nerale di questa equazione, la risolviamo nel limite non relativistico. Per fare questo

dobbiamo sviluppare la (12.35) in serie di potenze di 1/c, ed arrestarci all’ordine piu bas-

so. E sufficiente considerare le tre equazioni funzionalmente indipendenti, ovvero, quelle

spaziali, che possono essere scritte come,

~w =τ√

1− v2

(d~w

dt+ w2~v

), (12.36)

dove,

~w =1√

1− v2

d

dt

~v√1− v2

=~a

1− v2+

~v · ~a(1− v2)2

~v, w2 = −a2 − (~a× ~v)2

(1− v2)3,

vedi problema 2.1. Moltiplicando l’espressione di ~w scalarmente per ~v si ottiene,

~v · ~w =~v · ~a

(1− v2)2,

e cosı possiamo esprimere ~a in termini di ~w,

~a = (1− v2) (~w − (~v · ~w)~v) .

355

Sostituendo per ~w la (12.36), e ricordando che si ha τ =e2

6πmc3, si ottiene l’equazione di

Newton tridimensionale,

m~a =e2

√1− v2

c2

6πc3

(d~w

dt− 1

c2

(~v · d~w

dt

)~v +

1

c2

(1− v2

c2

)w2~v

), (12.37)

dove abbiamo ripristinato la velocita della luce. Come si vede, nell’espansione non re-

lativistica il contributo dominante proviene dal termine di Schott, che e di ordine 1/c3,

mentre il termine di Larmor da luogo a contributi di ordine 1/c5. Tenendo nella (12.37)

solo il termine dominante, e ricordando che ~w = ~a + o(1/c2), concludiamo che nel limite

non relativistico la (12.35) si riduce semplicemente a m~a =e2

6πc3

d~a

dt, ovvero,

~a = τd~a

dt. (12.38)

La soluzione generale di questa equazione e,

~a(t) = ~C et/τ ⇒ ~v(t) = τ ~C(et/τ − 1

)+ ~v0,

dove ~C e un arbitrario vettore costante. Si riscontra quindi un fenomeno anomalo: pur

trovandosi in assenza di forze esterne, la particella accelera, e per t→ +∞ la sua velocita

tende a piu infinito, mentre non si riscontra nessuna anomalia per t → −∞. Queste

soluzioni, chiamate “runaway solutions”, non sono quindi fisicamente accettabili e devono

essere scartate. Se si impongono le condizioni supplementari (12.33), si vede che le uniche

soluzioni che le soddisfano sono quelle per cui ~C = 0. Otteniamo quindi,

~v(t) = ~v0,

corrispondente a un moto rettilineo uniforme – come si conviene a una particella libera.

La situazione appena vista e prototipica: il ruolo delle condizioni supplementari

sara, infatti, sempre quello di eliminare le soluzioni che fisicamente non sono accetta-

bili. Nei prossimi paragrafi vedremo, tuttavia, che in presenza di interazione le soluzioni

dell’equazione di Lorentz–Dirac che soddisfano anche le (12.32), pur non esibendo un

comportamento anomalo di tipo runaway, sono in conflitto con la causalita.

Soluzione relativistica esatta. Abbiamo appena visto che in approssimazione non rela-

tivistica l’equazione di Lorentz–Dirac comporta moti per cui la velocita della particella

356

aumenta indefinitamente, comportamento che di per se invalida l’approssimazione stessa.

Cerchiamo allora di risolvere l’equazione (12.35) esattamente. Per trovare la sua soluzione

generale e conveniente eseguire il cambiamento di variabile,

s→ λ(s) = e s/τ ,d

ds=

λ

τ

d

dλ.

Indicando la derivatad

dλcon un primo “ ′ ”, si ha,

wµ =λ

τuµ′,

dwµ

ds=

1

τ 2

(λ2 uµ′′ + λuµ′) ,

e la (12.35) si riduce allora a,

u′′µ + (u′u′) uµ = 0, (u′u′) ≡ u′νuν ′. (12.39)

Per risolvere questa equazione notiamo che l’identita u2 = 1, implica che (uu′) = 0.

Contraendo la (12.39) con uµ′ si ottiene allora,

0 = (u′u′′) =1

2(u′u′)′ ⇒ (u′u′) = −K2,

con K costante positiva. Risostituendo questo risultato nella (12.39) si ottiene l’equazione

del repulsore armonico, con soluzione generale,

uµ = Aµ eKλ + Bµ e−Kλ, wµ =λK

τ

(Aµ eKλ −Bµ e−Kλ

), (12.40)

dove Aµ e Bµ sono vettori costanti. Infine, per soddisfare il vincolo u2 = 1, questi vettori

devono essere vincolati dalle relazioni,

A2 = 0 = B2, AµBµ =1

2. (12.41)

Come si vede, le soluzioni (12.40) esibiscono di nuovo un comportamento di tipo runa-

way, in quanto per s → +∞, che corrisponde a λ → +∞, tutte le componenti della

quadrivelocita divergono. Per grandi s l’energia, per esempio, cresce come,

ε(s) = mu0(s) ∼ mA0 exp(K exp

(s

τ

)).

Allo stesso modo divergono tutte le componenti di uµ e wµ. Corrispondentemente per

s → +∞ la velocita della particella tende alla velocita della luce, la velocita asintotica

essendo data da,

~v∞ = lims→+∞

~v = lims→+∞

~u

u0=

~A

| ~A|, |~v∞| = 1.

357

Di nuovo vediamo che per s→ −∞, che corrisponde a λ→ 0, la quadrivelocita ammette

invece limite finito,

lims→−∞

uµ(s) = Aµ + Bµ,

sicche per s→ −∞ la velocita tende a un valore minore della velocita della luce. Si noti

che le scelte ~A = 0 e/o ~B = 0 sono proibite dalle (12.41).

Imponiamo allora di nuovo le condizioni supplementari (12.32). Dalle (12.40) si vede

che le uniche soluzioni per cui wµ(s) tende a zero per s→ +∞, sono quelle corrispondenti

a,

K = 0 ⇒ wµ(s) = 0, ∀ s,

che comporta uµ(s) = Aµ + Bµ = costante.

Concludiamo che le uniche soluzioni dell’equazione di Lorentz–Dirac per la particella

libera, compatibili con le (12.32), corrispondono a moti rettilini uniformi, in accordo con

l’esperienza. Nel prossimo paragrafo vedremo, invece, che in presenza di forze esterne la

situazione sara alquanto piu problematica.

12.2.5 Moto in campo costante: preaccelerazione

Analizzeremo ora il moto di una particella soggetta a un campo elettrico indipendente

dal tempo e unidirezionale, esteso a una regione spaziale limitata. Considereremo soli

moti che avvengono lungo la stessa direzione del campo. Questo esempio, per quanto

semplice possa sembrare, esibisce tutti gli aspetti problematici inerenti all’equazione di

Lorentz–Dirac in presenza di una generica forza esterna.

In questo caso il campo esterno F µνin consiste di un campo elettrico, diciamo in direzione

z, ~E = (0, 0, E), e di un campo magnetico nullo. Per il momento non facciamo nessuna

ipotesi sulla dipendenza di E da z, a parte la solita condizione asintotica,

limz→±∞

E(z) = 0.

E allora consistente assumere che il moto avvenga lungo l’asse delle z. Definendo,

u ≡ u3,

e indicando la derivatad

dscon un primo “ ′ ”, abbiamo allora,

uµ = (u0, 0, 0, u), (u0)2 − u2 = 1, wµ = (u0′, 0, 0, u′).

358

Riferendoci alla (12.23) la quadriforza esterna diventa allora,

e F µνin uν =

(eEu, 0, 0, eEu0

).

Siccome la variabile u0 e una funzione di u – che diventa l’unica incognita del sistema – e

sufficiente scrivere la componente z dell’equazione di Lorentz–Dirac, come unica equazione

funzionalmente indipendente. Dato che si ha,

u0′ =d

ds

√1 + u2 =

uu′√1 + u2

,

segue,

w2 = u0′2 − u′2 = − u′2

1 + u2,

e la componente z della (12.23) si scrive allora,

u′ = τ

(u′′ − uu′2

1 + u2

)+

F

mu0, F ≡ eE, (12.42)

dove F e la forza esterna. E conveniente cambiare incognita u(s)→ γ(s), secondo,

u = sinh γ, u0 = cosh γ,

che dopo semplici passaggi riduce la (12.42) a,

γ′ = τγ′′ +F

m. (12.43)

Per quello che segue e utile riscrivere γ′ come,

γ′ =

du

dsdu

dγ

=1

u0

du

ds,

che equivale quindi a,

γ′ =du

dt=

w3

u0. (12.44)

Aanalizzamo ora le caratteristiche della soluzione generale della (12.43). Siccome

all’infinito spaziale il campo esterno va a zero, per s→ +∞ l’equazione si riduce sempli-

cemente a,

γ′ = τγ′′ ⇒ γ′ = Ces/τ ⇒ γ = Cτ es/τ + B. (12.45)

359

La quadrivelocita u(s) = sinh γ(s) diverge quindi di nuovo violentemente per s → +∞,

anche se la forza all’infinito va zero, e le (12.32) impongono di nuovo C = 0. Per

E(z) = 0 identicamente, riotteniamo in particolare le soluzioni della particella libera

(12.40). Tuttavia, per E 6= 0 non e piu cosı ovvio in che modo possiamo imporre le

condizioni supplementari (12.32), e che effetto tali condizioni avranno sulle soluzioni che

le soddisfano.

Campo esterno uniforme. Per fare un esempio concreto supponiamo che il campo elet-

trico sia diverso da zero solo in un intervallo dell’asse z, e che sia ivi costante. Sara

allora,

F (s) = e E χ[a,b](s),

dove abbiamo introdotto la funzione caratteristica dell’intervallo [a, b], ed E e costante.

Per una forza esterna siffatta e facile scrivere la soluzione generale (“integrale primo”)

della (12.43),

γ′ =F

m+

eE

m

(H(a− s) e(s−a)/τ −H(b− s) e(s−b)/τ

)+ C es/τ , (12.46)

con C costante arbitraria. Per s → +∞ si conferma l’andamento asintotico (12.45), in

quanto per s > b le funzioni di Heaviside si annullano entrambe.

E ora facile imporre le (12.32), che in questo caso si riducono a,

lims→+∞

w3 = 0, lims→+∞

u0 = u0∞.

Per via della (12.44) questo significa che deve essere,

lims→+∞

γ′ = 0,

e l’unico valore di C per cui cio succede risulta essere ancora C = 0. Usando la (12.44) e

introducendo la quantita di moto p = mu, la (12.46) si riduce allora a,

dp

dt= F + Ffr, (12.47)

dove,

Ffr = eE(H(a− s) e(s−a)/τ −H(b− s) e(s−b)/τ

),

rappresenta la forza di frenamento. La (12.47) e da interpretarsi a tutti gli effetti come

l’equazione di Newton della particella, che tiene conto anche della reazione di radiazione.

360

Si vede che la forza di frenamento e diversa da zero ∀ s < a, e la particella subisce quindi

una “preaccelerazione” lungo un intero tratto dell’asse z, in cui la forza esterna e nulla.

Questo fenomeno e chiaramente in conflitto con la causalita in quanto “l’effetto”, cioe,

l’accelerazione, precederebbe la “causa”, cioe, la forza esterna. D’altra parte la forza di

frenamento Ffr – responsabile della preaccelerazione – e sensibilmente diversa da zero

solo negli intervalli [a, a− τ ] e [b, b− τ ]. Questa forza distorce quindi apprezzabilmente la

forza esterna solo se b− a ∼ τ , cioe, se il campo esterno varia apprezzabilmente su scale

temporali piccolissime, dell’ordine di τ .

Da questa soluzione esatta dell’equazione di Lorentz–Dirac vediamo che (l’inevitabile)

riduzione dell’equazione dal terzo al secondo ordine, comporta una violazione della cau-

salita – sotto forma di una preaccelerazione – su una scala temporale dell’ordine di τ .

Nella prossima sezione faremo vedere che questa conclusione ha carattere completamente

generale, e discuteremo in particolare la possibilita di osservare questa rottura di causalita

sperimentalmente.

12.3 L’equazione integro–differenziale di Rohrlich

In questa sezione vogliamo analizzare le proprieta generali del sottoinsieme di soluzioni

dell’equazione di Lorentz–Dirac, che soddisfano anche le condizioni supplementari (12.32).

Abbiamo visto che queste ultime sono necessarie per eliminare le soluzioni runaway, e

per rendere l’equazione di Lorentz–Dirac nuovamente compatibile con il determinismo

newtoniano. Con le condizioni “iniziali” 54,

yµ(0) = yµ0 , uµ(0) = uµ

0 , lims→+∞

wµ(s) = 0, (12.48)

l’equazione (12.23) ammette, infatti, un’unica soluzione.

Vediamo allora quali sono le caratteristiche delle soluzioni che soddisfano questi dati

iniziali, in particolare la condizione asintotica sull’accelerazione. Un metodo standard per

imporre concretamente una condizione iniziale su un’equazione differenziale di ordine n,

consiste nel trasformare l’equazione differenziale in un’equazione integro–differenziale di

54L’unicita della soluzione e garantita sotto opportune ipotesi di regolarita della forza esterna. Inparticolare in (12.48) abbiamo omesso la condizione dell’esistenza della velocita asintotica – vedi (12.32)– in quanto implicata, sotto opportune condizioni, dall’annullamento della quadriaccelerazione asintotica.

361

ordine n− 1, che ingloba automaticamente la condizione iniziale. In generale ci sono vari

modi per operare questa riduzione; noi seguiremo quı il metodo di F. Rohrlich 55, che ha

il particolare pregio di preservare l’invarianza di Lorentz a vista.

Riprendiamo dunque l’equazione di Lorentz–Dirac (12.23), riscrivendola nella forma,

m

(wµ − τ

dwµ

ds

)=

e2

6πw2uµ + e F µν

in uν ≡ F µ. (12.49)

Siccome e F µνin uν e la forza esterna, e il termine di Larmor e2

6πw2uµ e responsabile dell’e-

missione del quadrimomento totale, interpretiamo F µ come la quadriforza totale effettiva.

Un argomento qualitativo. Prima di procedere diamo un argomento qualitativo – ma

generale – per la presenza inevitabile di un effetto di preaccelerazione, in una generica

soluzione dell’equazione di Lorentz–Dirac. Siccome τ e piccolo possiamo, infatti, riscrivere

la (12.49) come,

mwµ(s− τ) ≈ F µ(s),

oppure,

mwµ(s) ≈ F µ(s + τ). (12.50)

L’accelerazione all’istante s sarebbe quindi determinata dalla forza effettiva all’istante

avanzato s′ ∼ s + τ , di nuovo in conflitto con la causalita.

Riduciamo ora l’equazione differenziale del terzo ordine (12.49), a un’equazione integro–

differenziale del secondo ordine, imponendo la condizione asintotica su wµ in (12.48). A

questo scopo moltiplichiamo l’equazione per e−s/τ e la riscriviamo nella forma,

−mτd

ds

(e−s/τwµ(s)

)= e−s/τF µ(s).

Integrando tra un generico istante s e un istante finale b otteniamo,

m(e−s/τwµ(s)− e−b/τwµ(b)

)=

1

τ

∫ b

s

e−λ/τF µ(λ) dλ. (12.51)

Per imporre la condizione,

limb→+∞

wµ(b) = 0,

55F. Rohrlich, Classical charged particles, Addison–Wesley, Massachusetts, 1965.

362

eseguiamo nella (12.51) il limite per b→ +∞, ottenendo 56,

me−s/τwµ(s) =1

τ

∫ ∞

s

e−λ/τF µ(λ) dλ.

Dopo il cambiamento di variabile λ = ατ + s, si ottiene l’equazione integro–differenziale

di Rohrlich,

mwµ(s) =

∫ ∞

0

e−αF µ(s + τα) dα. (12.52)

Questa equazione e ora del secondo ordine nelle derivate di yµ(s) – altamente non lineare

in quanto F in generale e una funzione complicata di y, u e della stessa w – che ammette,

tuttavia, soluzione unica, note le condizioni iniziali y0 e u0. L’equazione presuppone

implicitamente l’esistenza dell’integrale a secondo membro nella (12.52).

Abbiamo gia anticipato che il pregio principale di questa equazione e la sua Lorentz–

invarianza manifesta. Uno dei suoi difetti, invece, sta nel fatto che difficilmente essa

puo essere usata per analizzare in concreto l’effetto della forza di frenamento sul moto

della particella. Per esempio, nel caso della particella libera la forza effettiva si riduce

a F µ = e2

6πw2uµ, ma non e immediato risolvere la (12.52) esplicitamente – nemmeno in

questo caso semplice. Si puo, tuttavia, verificare che tra le soluzioni generali (12.40), le

uniche che soddisfano la (12.52) con F µνin = 0, sono quelle per cui K = 0.

12.3.1 Preaccelerazione e violazione della causalita

Eseguiamo ora un’analisi qualitativa delle soluzioni dell’equazione di Rohrlich. Come

prima cosa osserviamo che l’accelerazione nel punto s non dipende solo dal valore della

forza effettiva F µ in s, ma anche dai suoi valori in tutti gli istanti successivi s′ = s + τα.

Di nuovo riscontriamo, quindi, una violazione della causalita sotto forma di una preac-

celerazione. Tuttavia, grazie alla presenza del fattore di damping e−α, che nell’integrale

sopprime i contributi provenienti dai valori di αÀ 1, gli istanti che contribuiscono mag-

giormente all’accelerazione in s, sono quelli dell’ordine di s′ ∼ s + τ , in accordo con la

(12.50).

56Si noti che per una soluzione generica il termine e−b/τwµ(b) diverge per b → +∞, nonostante lapresenza del termine di smorzamento e−b/τ , perche wµ(b) diverge piu fortemente dell’esponenziale. Siveda in proposito la soluzione per la particella libera (12.40), nel qual caso,

wµ(b) ∼ K · exp(b/τ) · exp[K(exp(b/τ))].

363

Per quantificare l’effetto della violazione della causalita riscriviamo la (12.52) nel modo

seguente,

mwµ(s) = F µ(s) + ∆F µ(s), (12.53)

∆F µ(s) ≡∫ ∞

0

e−α [F µ(s + τα)− F µ(s)] dα. (12.54)

Abbiamo cosı diviso la forza risultante in due contributi: il primo, F µ(s), rappresenta la

forza “nominale” e dipende solo da s. Il secondo invece, ∆F µ(s), codifica la violazione

della causalita. In particolare, confrontando la (12.53) con la (12.49) vediamo che questo

ultimo eguaglia proprio il termine di Schott,

∆F µ(s) = mτdwµ

ds.

La violazione della causalita sara quindi riscontrabile sperimentalmente, se ∆F µ e ap-

prezzabile rispetto a F µ. Per stimare ∆F µ notiamo che, come visto sopra, nell’inte-

grale (12.54) i valori di α rilevanti sono dell’ordine dell’unita. Possiamo quindi porre

F µ(s + τα) ∼ F µ(s + τ), e dare la stima,

∆F µ(s) ≈∫ ∞

0

e−α [F µ(s + τ)− F µ(s)] dα = F µ(s + τ)− F µ(s). (12.55)

∆F µ eguaglia, quindi, la variazione di F µ su una scala temporale dell’ordine di τ . Se

questa variazione e piccola rispetto a F µ, allora la violazione della causalita sara inosser-

vabile. Di nuovo vediamo che il fenomeno della preaccelerazione risulta osservabile solo se

i campi esterni variano in modo apprezzabile durante il tempo τ = 0.6 ·10−23s. Si noti che

in questo tempo la luce percorre lo spazio c τ ∼ r0, pari al raggio classico della particella.

Violazione della causalita e Meccanica Quantistica. Analizziamo ora l’effetto di campi

variabili cosı rapidamente a livello quantistico 57. Per campi che variano su una scala

temporale generica ∆T , il principio di Heisenberg predice un’indeterminazione in energia

dell’ordine di ∆ε ∼ ~∆T

. D’altra parte, la scala energetica alla quale si innesca la pro-

duzione di coppie virtuali particella/antiparticella e data da ∆ε ∼ 2m. Per raggiungere

questa soglia e allora necessario che i campi varino su una scala temporale dell’ordine di,

∆T ∼ ~2m∼ 4π~

e2

e2

6πm∼ 137 τ.

57L’analisi quantistica che segue va pensata svolta nel sistema di riferimento in cui la particella e istan-taneamente a riposo, dove valgono le leggi della Meccanica Quantistica non relativistica. In particolare,il tempo proprio s si identifica allora con il tempo t.

364

Per poter osservare una violazione della causalita in Elettrodinamica classica servireb-

bero, invece, campi che variano su una scala temporale τ , scala che e di un fattore 137

piu piccola di ∆T ! Campi siffatti danno dunque luogo alla produzione di coppie, e si

trovano quindi gia in forte regime quantistico. Concludiamo che la rottura classica della

causalita e schermata da effetti quantistici: nel regime in cui la violazione della causalita

si manifesterebbe, l’Elettrodinamica classica non e piu valida, e la rottura della causalita

quindi inosservabile.

A una conclusione analoga si arriva considerando una particella che si muove sotto

l’effetto di una forza esterna, che le imprime una frequenza ω. In questo caso si ha, da

(12.55),

∆F µ(s) ∼ τdF µ(s)

ds∼ τ ω F µ(s).

∆F µ(s) e quindi apprezzabile rispetto a F µ(s) solo se la frequenza e molto grande, del-

l’ordine di ω ∼ 1

τ, ovverosia, dato che λ =

2π

ω, se la lunghezza d’onda della radiazione

emessa e molto piccola, dell’ordine di λ ∼ r0. D’altra parte, l’ordine di grandezza del-

le lunghezze d’onda alle quali l’Elettrodinamica classica cessa di valere, e rappresentato

dalla lunghezza d’onda Compton,

λC =~m∼ 137 r0.

Per lunghezze d’onda di questo ordine di grandezza incomincia a manifestarsi la natura

quantistica del campo elettromagnetico, cioe, la sua composizione in termini di fotoni.

Per poter osservare la violazione della causalita servirebbero, invece, lunghezze d’onda

dell’ordine di λ ∼ r0, che sono di un fattore 137 piu piccole di λC . Per lunghezze d’onda

cosı corte il campo elettromagnetico si trova gia in pieno regime quantistico, ed eventuali

effetti acausali sono di nuovo inosservabili.

Riassumendo possiamo quindi affermare che l’equazione di Lorentz–Dirac, ovverosia,

la sua versione integro–differenziale di Rohrlich, da luogo a una violazione della causa-

lita, che rende l’Elettrodinamica classica inconsistente. Tuttavia, da un punto di vista

fenomenologico questa violazione avviene su scale di distanze, energie e tempi per cui l’E-

lettrodinamica classica non e piu valida, e deve essere sostituita dalla teoria quantistica

relativistica dei campi.

365

12.4 Il problema relativistico a due corpi

In questa sezione analizziamo il bilancio del quadrimomento nel problema a due corpi

relativistico. Ci limiteremo a considerare due particelle cariche che percorrono orbite

aperte, essendo sottoposte alla sola interazione elettromagnetica reciproca. Nel limite

non relativistico queste orbite sono iperboli.

Limite non relativistico. Riassumiamo prima la descrizione della dinamica di questo

sistema nel limite non relativistico, v1,2 ¿ 1. Indicando le leggi orarie con ~y1,2 ≡ ~y1,2(t),

in questo caso le particelle obbediscono alle equazioni del moto e leggi della potenza,

d~p1

dt= e1

~E2(~y1),dε1

dt= e1 ~v1 · ~E2(~y1), (12.56)

d~p2

dt= e2

~E1(~y2),dε2

dt= e2 ~v2 · ~E1(~y2), (12.57)

dove i campi elettrici (di Lienard–Wiechert) non relativistici sono dati da,

~E1(~x) =e1

4π

~x− ~y1

|~x− ~y1|3 , ~E2(~x) =e2

4π

~x− ~y2

|~x− ~y2|3 .

Vale il principio di azione e reazione e1~E2(~y1) + e2

~E1(~y2) = 0, e quindi si conserva la

quantita di moto totale ~p1 + ~p2. Per quanto riguarda l’energia risulta invece,

d(ε1 + ε2)

dt= − d

dt

(e1 e2

4π|~y1 − ~y2|)≡ −dεp

dt, (12.58)

e si conserva l’energia “meccanica” ε1 +ε2 +εp . Siccome l’energia potenziale εp a t = ±∞si annulla, si conserva pure l’energia cinetica totale ε1 + ε2, tra t = −∞ e t = +∞.

Indicando con “∆” la variazione tra questi due istanti asintotici abbiamo quindi,

∆pµ ≡ ∆(pµ1 + pµ

2) = 0. (12.59)

Diffusione relativistica. Consideriamo ora lo stesso processo a livello relativistico. In

questo caso le (12.56), (12.57) devono essere sostituite dalle equazioni, vedi (12.24),

dpµ1

ds1

=e21

6π

(dwµ

1

ds1

+ w21u

µ1

)+ e1Fµν

2 (y1) u1ν , (12.60)

dpµ2

ds2

=e22

6π

(dwµ

2

ds2

+ w22u

µ2

)+ e2Fµν

1 (y2) u2ν , (12.61)

dove Fµν1,2(x) sono i campi di Lienard–Wiechert prodotti dalle due particelle. In questo caso

non vale piu il principio di azione e reazione, e di conseguenza la (12.59) risulta violata.

366

Come sappiamo, il quadrimomento totale delle due particelle non si conserva durante il

processo di diffusione a causa dell’emissione di radiazione – che nel limite non relativistico

viene trascurata. In quanto segue vogliamo trovare la generalizzazione relativistica della

(12.59).

Per velocita arbitrarie le orbite delle particelle non sono piu iperboli, ma asintotica-

mente l’accelerazione e ancora nulla, perche a grandi distanze la forza di mutua interazione

svanisce 58. Avremo quindi,

lims→±∞

wµ(s) = 0, lims→±∞

uµ(s) = uµ±, (12.62)

per entrambe le particelle. Integrando le (12.60), (12.61) tra s = −∞ e s = +∞, il

termine di Schott allora non contribuisce, e risulta,

∆pµ1 =

e21

6π

∫w2

1 uµ1 ds1 + e1

∫Fµν

2 (y1) u1ν ds1, (12.63)

∆pµ2 =

e22

6π

∫w2

2 uµ2 ds2 + e2

∫Fµν

1 (y2) u2ν ds2. (12.64)

Occupiamoci ora degli integrali che coinvolgono la forza di interazione reciproca. Espri-

mendo il tensore di Maxwell in termini del potenziale vettore abbiamo,

e1

∫Fµν

2 (y1) u1ν ds1 = e1

∫[∂µAν

2(y1)− ∂νAµ2(y1)] u1νds1

= e1

∫∂µAν

2(y1)u1ν ds1 − e1

∫dAµ(y1)

ds1

ds1

= e1

∫∂µAν

2(y1)u1ν ds1 − e1 (Aµ(∞)−Aµ(−∞))

= e1

∫∂µAν

2(y1)u1ν ds1, (12.65)

dove abbiamo sfruttato il fatto che il potenziale vettore all’infinito spaziale si annulla.

Per valutare il termine rimasto conviene usare l’espressione per il potenziale di Lienard–

Wiechert data in (6.86),

Aν2(x) =

e2

2π

∫uν

2 H(x0 − y02) δ((x− y2)

2) ds2.

Si ottiene,

∂µAν2(x) =

e2

π

∫(xµ − yµ

2 ) uν2 H(x0 − y0

2) δ′((x− y2)2) ds2,

58E sottinteso che selezioniamo le soluzioni “fische” delle (12.60), (12.61), che soddisfano le condizionisupplementari (12.32).

367

in quanto la derivata della funzione di Heaviside non contribuisce, e quindi,

e1

∫∂µAν

2(y1)u1ν ds1 =e1 e2

π

∫ds1

∫ds2 (yµ

1 − yµ2 ) (u2 u1) H(y0

1 − y02) δ′((y1 − y2)

2).

Sommando le (12.63) e (12.64), per la variazione del quadrimomento totale delle due

particelle tra t = −∞ e t = +∞ si ottiene allora,

∆pµ =e21

6π

∫w2

1 uµ1 ds1 +

e22

6π

∫w2

2 uµ2 ds2 + (12.66)

e1 e2

π

∫ds1

∫ds2 (yµ

1 − yµ2 ) (u2 u1)

(H(y0

1 − y02)−H(y0

2 − y01)

)δ′((y1 − y2)

2),

versione relativistica della (12.59). Al membro di destra abbiamo il contributo dei due

termini di Larmor, che rappresentano la radiazione emessa dalle due particelle singolar-

mente. Ma poi compare un ulteriore termine, proporzionale a e1e2 ed originante quindi

dalle forze di mutua interazione, che e dovuto all’interferenza tra i campi di radiazione

delle due particelle.

Per analizzare la natura delle varie correzioni relativistiche contenute nella (12.66) e piu

conveniente tornare alle equazioni di partenza (12.60) e (12.61), ed eseguirne un’espansione

non relativistica. In questo modo saremo anche in grado di confrontarle direttamente con

le (12.56), (12.57).

12.4.1 Espansione non relativistica

Di seguito eseguiremo un’espansione non relativistica in potenze di 1/c, delle equazioni

(12.60) e (12.61). Dalle espansioni del paragrafo 12.2.4 sappiamo che le forze di frenamento

cominciano con termini di ordine 1/c3, e conosciamo anche la loro forma. Limitandoci

a termini fino all’ordine 1/c3, le componenti spaziali delle (12.60) e (12.61) si scrivono

allora,

d~p1

dt=

e21

6πc3

d~a1

dt+ ~F21, (12.67)

d~p2

dt=

e22

6πc3

d~a2

dt+ ~F12, (12.68)

dove abbiamo definito le forze di interazione,

~F21 = e1

(~E2(y1) +

~v1

c× ~B2(y1)

), ~F12 = e2

(~E1(y2) +

~v2

c× ~B1(y2)

). (12.69)

368

Per quanto riguarda, invece, le leggi della potenza occorre valutare la componente 0 della

forza di frenamento Γµ, vedi (12.31). In questo caso contribuiscono sia il termine di

Larmor, che quello di Schott,

Γ0 =e2

6πc3

1√1− v2

c2

(dw0

dt+ w2

)=

e2

6πc3

(d

dt(~v · ~a)− |~a|2

)+ o

(1

c5

)

=e2

6πc3~v · d~a

dt+ o

(1

c5

).

Arrestandoci all’ordine 1/c3, le componenti µ = 0 delle (12.60), (12.61) si riducono allora

a,

dε1

dt=

e21

6πc3~v1 · d~a1

dt+ e1 ~v1 · ~E2(y1), (12.70)

dε2

dt=

e22

6πc3~v2 · d~a2

dt+ e2 ~v2 · ~E1(y2). (12.71)

Si verifica facilmente che le (12.70), (12.71) sono conseguenze delle (12.67), (12.68), in

quanto dalla relazione algebrica ε2 = c2p2 + m2c4 segue che,

εdε

dt= c2 ~p · d~p

dt⇒ dε

dt= ~v · d~p

dt.

Espansione non relativistica di potenziali e campi. Dalle formule scritte si vede che,

per consistenza dell’approssimazione, e necessario espandere il campo elettrico fino ai

termini di ordine 1/c3, e il campo magnetico fino ai termini di ordine 1/c2. Dovremmo

quindi sviluppare i campi di Lienard–Wiechert (6.107), (6.108) in serie di potenze di 1/c,

arrestandoci agli ordini richiesti. Dal punto di vista tecnico questa operazione risulta

complicata dal fatto che e necessario sviluppare in serie di potenze di 1/c anche il tem-

po ritardato t′(t, ~x). Difatti, per eseguire l’espansione non relativistica dei campi e piu

conveniente esprimere questi ultimi in termini dei potenziali di Lienard–Wiechert (6.93),

~E = −~∇A0 − 1

c

∂ ~A

∂t, ~B = ~∇× ~A, (12.72)

e sviluppare dunque i potenziali. Dobbiamo allora espandere A0 fino ai termini di ordine

1/c3, e ~A fino ai termini di ordine 1/c2. Infine, invece di usare per il quadripotenziale la

formula (6.93), e piu conveniente ripartire dalla rappresentazione integrale (6.48),

Aµ =1

4πc

∫d3z

1

|~x− ~z| jµ

(t− |~x− ~z|

c, ~z

), (12.73)

369

dove per una singola particella la corrente e data da,

jµ(t, ~x) = e V µ(t) δ3(~x− ~y(t)), V µ(t) = (c, ~v(t)) .

Incominciamo espandendo la (12.73) in serie di potenze di 1/c, arrestandoci al terzo

ordine,

Aµ =1

4πc

∫d3z

(jµ(t, ~z)

|~x− ~z| −1

c

∂jµ(t, ~z)

∂t+

1

2c2|~x− ~z| ∂

2jµ(t, ~z)

∂t2− 1

6c3|~x− ~z|2 ∂3jµ(t, ~z)

∂t3

)

=1

4πc

∫d3z

jµ(t, ~z)

|~x− ~z| −1

4πc2

∂

∂t

∫d3z jµ(t, ~z)

+1

8πc3

∂2

∂t2

∫d3z |~x− ~z| jµ(t, ~z)− 1

24πc4

∂3

∂t3

∫d3z |~x− ~z|2 jµ(t, ~z)

=e

4πc

(V µ

r− 1

c

∂V µ

∂t+

1

2c2

∂2

∂t2(rV µ)− 1

6c3

∂3

∂t3(r2V µ

)),

dove abbiamo posto,

~r = ~x− ~y(t), r = |~r|.

I potenziali, fino all’ordine richiesto, sono allora dati da,

A0 =e

4π

(1

r+

1

2c2

∂2r

∂t2− 1

6c3

∂3r2

∂t3

),

~A =e

4π

(~v

c r− ~a

c2

).

Si noti che in A0 e assente il contributo di ordine 1/c. Ricordiamo che le formule appena

scritte costituiscono le espansioni non relativistiche dei potenziali di Lienard–Wiechert

(6.93). Per determinare il campo elettrico occorre calcolare,

−~∇A0 =e

4π

(~r

r3− 1

2c2

∂2r

∂t2− 1

3c3

d~a

dt

), (12.74)

−1

c

∂ ~A

∂t= − e

4π

(1

c2

∂

∂t

(~v

r

)− 1

c3

d~a

dt

), (12.75)

dove abbiamo posto,

r =~r

r.

370

Usando,∂r

∂t=

(r · ~v) r − ~v

r,

∂r

∂t= −r · ~v,

per valutare le derivate nelle (12.74), (12.75), le (12.72) danno allora,

~E =e

4π

(~r

r3− 1

2c2

∂

∂t

(~v + (r · ~v)r

r

)+

2

3c3

d~a

dt

)(12.76)

=e

4π

(~r

r3− 1

2c2r

(~a + (r · ~a) r +

(3(r · ~v)2 − v2) r

r

)+

2

3c3

d~a

dt

), (12.77)

~B =e

4πc~v × ~r

r3. (12.78)

Si noti che in ~B il termine di ordine 1/c2 e assente, perche ~a e indipendente da ~x.

In ~E si riconosce all’ordine piu basso il termine coulombiano, l’ordine 1/c2 compren-

de una correzione relativistica di tipo cinetico al campo coulombiano, mentre il termi-

ne di ordine 1/c3 rappresenta la radiazione, come vedremo tra poco. Insistiamo sul

fatto che le (12.77), (12.78) costituiscono le espansioni non relativistiche dei campi di

Lienard–Wiechert (6.107), (6.108).

Determinazione di ∆pµ. Dati questi campi possiamo ora analizzare il trasferimento

di quadrimomento dalle particelle al campo elettromagnetico durante il processo di dif-

fusione. Consideriamo prima la quantita di moto. Valutando i campi (12.77) e (12.78)

lungo le traiettorie delle due particelle, possiamo determinare la forza d’interazione totale

~F12 + ~F21, usando le (12.69). Il campo coulombiano si cancella, e dopo un semplice conto

si ricava che questa forza si puo scrivere come una derivata totale,

~F12 + ~F21 =e1e2

4π

d

dt

(− 1

2c2r12

(~v1 + ~v2 + [~m · (~v1 + ~v2)]~m ) +2

3c3(~a1 + ~a2)

), (12.79)

dove abbiamo posto,

r12 = |~y2 − ~y1|, ~m =~y2 − ~y1

|~y2 − ~y1| .

Sommando le (12.67) e (12.68), e integrando tra t = −∞ e t = +∞ si trova allora,

∆ (~p1 + ~p2) =

∫ ∞

−∞

(~F12 + ~F21

)dt = 0,

perche per t → ±∞ si ha ~a1,2 → 0, e 1/r12 → 0. Durante il processo di diffusione

la quantita di moto totale delle due particelle dunque non cambia, nonostante si abbia

371

d(~p1 + ~p2)/dt 6= 0. Questo risultato e evidentemente in accordo con il fatto che in ap-

prossimazione non relativistica, ovvero, in approssimazione di dipolo, la radiazione non

trasporta quantita di moto, vedi paragrafo 7.3.2. Con cio abbiamo in particolare verificato

che il membro di destra della parte spaziale dell’equazione (12.66) e di ordine 1/c4.

Passiamo ora all’analisi del trasferimento di energia, sommando le (12.70) e (12.71).

Usando la (12.76) si dimostra facilmente che la somma delle “potenze relative” si puo

scrivere come,

e1 ~v1 · ~E2(y1) + e2 ~v2 · ~E1(y2) = −dεp

dt+

e1e2

6πc3

(~v1 · d~a2

dt+ ~v2 · d~a1

dt

), (12.80)

dove abbiamo definito l’energia potenziale modificata,

εp =e1e2

4πr12

(1 +

1

2c2(~v1 · ~v2 + (~m · ~v1)(~m · ~v2))

).

Nella (12.80) il termine di ordine zero e il potenziale coulombiano non relativistico, vedi

(12.58), i termini di ordine 1/c2 corrispondono a una correzione cinematica al potenziale

coulombiano, mentre i termini di ordine 1/c3 rappresentano gli effetti dell’interferenza

tra le radiazioni emesse dalle due cariche. Sommando le (12.70), (12.71) si ottiene in

definitiva,d

dt(ε1 + ε2 + εp) =

1

6πc3(e1~v1 + e2~v2) · d

dt(e1~a1 + e2~a2).

Integrando questa relazione tra t = −∞ e t = +∞, e sfruttando il fatto che all’infinito

vale ancora εp → 0, si ottiene per la variazione dell’energia totale delle due particelle,

∆(ε1 + ε2) =1

6πc3

∫dt (e1~v1 + e2~v2) · d

dt(e1~a1 + e2~a2) = − 1

6πc3

∫dt |e1~a1 + e2~a2|2 .

(12.81)

Abbiamo eseguito un’integrazione per parti, sfruttando di nuovo il fatto che per t →±∞, si ha ~a1,2 → 0. Si noti che il risultato (12.81) e in accordo con la formula (7.44),

che da la potenza emessa da un generico sistema carico sotto forma di radiazione, in

approssimazione di dipolo: in assenza di forze esterne l’energia totale del sistema “cariche

+ campo” si deve, infatti, conservare. Confrontando la (12.81) con la componente 0 della

(12.66) si vede, infine, che i termini di Larmor vengono riprodotti correttamente nel limite

non relativistico, mentre il termine di interferenza – la seconda riga nella (12.66) – e dato

372

da,

−e1 e2

3πc3

∫dt (~a1 · ~a2),

modulo termini di ordine 1/c4.

Lagrangiana al secondo ordine. Per concludere osserviamo che la dinamica di un si-

stema di due particelle cariche – vedi le equazioni (12.67), (12.68) – tenendo conto delle

correzioni relativistiche fino all’ordine 1/c2 puo essere dedotta dalla lagrangiana,

L =1

2m2

1v21 +

1

2m2

2v22 +

1

8m1

v41

c2+

1

8m2

v42

c2− e1e2

4πr12

(1− 1

2c2(~v1 · ~v2 + (~m · ~v1)(~m · ~v2))

).

La verifica e lasciata per esercizio. Osserviamo, comunque, che i termini di ordine v4/c2

discendono dallo sviluppo dell’azione libera, −mc∫

ds = −mc2∫ √

1− v2/c2dt, fino al-

l’ordine 1/c2. I termini del tipo v2/c2r12 riproducono, invece, le correzioni di ordine 1/c2

alle forze (12.69), dove i campi elettrico e magnetico sono dati dalle (12.77), (12.78).

Infine facciamo notare che i termini di ordine 1/c3 nelle equazioni (12.67), (12.68), non

possono essere dedotti da una lagrangiana, il motivo essendo che questi termini sono lineari

nelle derivate terze delle coordinate. Considerando una singola particella l’equazione da

riprodurre sarebbe,

m~a =e2

6πc3

d~a

dt+ · · ·

Per motivi dimensionali la lagrangiana dovrebbe allora avere la forma,

L =1

2mv2 +

e2

c3

(k1 ~v · ~a + k2 ~y · d~a

dt

)+ · · · ,

dove k1 e k2 sono costanti adimensionali. Tuttavia, i termini tra parentesi corrispondono

a una derivata totale,

k1 ~v · ~a + k2 ~y · d~adt

=d

dt

(k2 ~y · ~a +

k1 − k2

2v2

).

L da quindi luogo all’equazione del moto della particella libera. Riscontriamo di nuovo il

fatto che l’equazione di Lorentz–Dirac non puo essere derivata da un principio variazionale,

vedi paragrafo 12.2.3.

373

12.5 Problemi

12.1 Si dimostri che nel limite non relativistico l’equazione di Lorentz–Dirac (12.23), e

la sua versione integro–differenziale (12.52), si riducono rispettivamente a,

m~a = mτd~a

dt+ e ~E,

m~a(t) = e

∫ ∞

0

e−α ~E(t + τ α) dα, (12.82)

dove ~E e il campo elettrico esterno.

a) Si dimostri che la seconda e soluzione implicita della prima.

b) Si supponga che ~E sia diverso da zero solo in una regione limitata dello spazio, e che

sia ivi costante e uniforme. Si determini esplicitamente il membro di destra della (12.82),

e si discuta la violazione della causalita nell’equazione di Newton che ne risulta.

374

13 Un tensore energia–impulso privo di singolarita

Nel capitolo precedente abbiamo visto che il campo creato da una particella diverge nelle

vicinanze della stessa come,

F µν ∼ 1

r2, r = |~x− ~y(t)|,

e di conseguenza il tensore energia–impulso,

T µνem = F µαFα

ν +1

4ηµνFαβFαβ, (13.1)

diverge come,

T µνem ∼

1

r4. (13.2)

Nel caso particolare di una particella statica nell’origine, per cui ~y(t) = 0, si ha,

~E =e

4π

~x

r3, ~B = 0, (13.3)

e, vedi (2.76)–(2.78),

T 00em =

1

2

( e

4π

)2 1

r4, (13.4)

T 0iem = 0, (13.5)

T ijem =

1

2

( e

4π

)2 1

r4

(δij − 2

xixj

r2

). (13.6)

Due problemi di T µνem. L’andamento singolare (13.2) comporta due patologie, legate

tra di loro. La prima, gia menzionata nel capitolo 12, consiste nel fatto che gli integrali

del quadrimomento totale P µem =

∫T 0µ

emd3x, sono divergenti. Nel caso particolare della

particella statica si ha,

εem =

∫T 00

em d3x =1

2

( e

4π

)2∫

1

r4d3x =∞, P i

em =

∫T 0i

em d3x = 0, (13.7)

e diverge solo l’energia, ma per una particella in moto arbitrario diverge anche la quantita

di moto. Ovviamente divergono anche gli integrali del quadrimomento su un qualsiasi

volume finito V contenente la particella. Si noti, comunque, che nelle analisi dei bilanci

energetici svolte nei capitoli precedenti, il problema dell’energia infinita non e mai inter-

venuto direttamente. La potenza irradiata coinvolge, infatti, il campo elettromagnetico a

375

grandi distanze dalla particella, dove esso e regolare. D’altra parte la potenza irradiata si

riferisce a differenze di valori di energia, e si puo supporre che nelle differenze le divergenze

si cancellino. In effetti, quello che risulta osservabile in natura sono le differenze dei valori

dell’energia di un sistema fisico, e non la sua energia stessa. Tuttavia, se si vuole dare

un significato preciso all’affermazione “il quadrimomento si conserva”, e necessario che il

quadrimomento sia una grandezza finita.

Il secondo problema consiste nel fatto che le componenti del tensore T µνem non sono

distribuzioni temperate, ovvero, elementi di S ′(R4): mentre le componenti di F µν sono

distribuzioni, i loro prodotti, che compaiono nella (13.1), non lo sono. Ricordiamo che

in generale prodotti di distribuzioni non definiscono distribuzioni. L’andamento (13.2)

rappresenta, infatti, una singolarita non integrabile in R4. Non essendo le componenti

di T µνem distribuzioni, le loro derivate non sono definite, e la domanda quanto valga la

quadridivergenza ∂µTµνem e quindi priva di senso, e la questione della conservazione del

quadrimomento dunque malposta. Si noti, in proposito, che l’espressione formale derivata

per la quadridivergenza di T µνem in (2.72),

∂µTµνem = −

∑r

er

∫F νµ(yr)urµ δ4(x− yr) dsr, (13.8)

e, in realta, divergente. Il coefficiente F νµ(yr) comprende, infatti, l’autocampo di Lienard–

Wiechert della particella r–esima, che sappiamo essere divergente. Vediamo cosı che la

dimostrazione della conservazione del tensore–energia impulso totale T µνem+T µν

p , presentata

nel paragrafo 2.4.3, aveva solo validita formale, essendo per di piu basata sull’equazione

di Lorentz orginale – che ora sappiamo pure divergere.

Scopo di questo capitolo e la costruzione di un tensore energia–impulso totale T µν , le

cui componenti siano distribuzioni, che sia Lorentz covariante, a divergenza nulla e che

ammetta integrali di quadrimomento finiti. La costruzione di per se risultera semplice,

ma la dimostrazione che il tensore cosı costruito abbia le proprieta richieste e un po’

complicata, e verra riportata solo per il campo generato da una particella in moto rettilineo

uniforme.

Nella prossima sezione presentiamo la strategia che sta alla base della costruzione, e

diamo un argomento euristico per la costruzione esplicita. In sezione 13.2 dimostriamo la

376

validita dell’approccio nel caso di una particella in moto rettilineo uniforme, e in sezione

13.3 presentiamo la sua generalizzazione ad un sistema di N particelle.

13.1 Linee guida della costruzione

Per costruire un tensore energia–impulso con le proprieta desiderate a partire dalla (13.1),

seguiamo una procedura simile a quella del capitolo 12, consistente di una regolarizzazione

seguita da una rinormalizzazione. Consideriamo una particella singola, e mettiamo a zero

il campo esterno F µνin , supposto regolare, perche la sua presenza e ininfluente per quanto

riguarda le singolarita del tensore energia–impulso. Il campo elettromagnetico totale e

allora dato dal solo campo di Lienard–Wiechert Fµν di (12.13).

Regolarizzazione. Dato che le singolarita di Fµν sono localizzate nei punti dove si

trovano le particelle, possiamo adottare ancora la regolarizzazione che abbiamo usato per

dedurre l’equazione di Lorentz–Dirac, che tra l’altro preserva l’invarianza relativistica.

Ripartiamo allora dal campo di Lienard–Wiechert regolarizzato, vedi (12.19),

Fµνε = Fµν

∣∣∣λ→λε(x)

,

che costituisce, in effetti, una distribuzione regolare. Piu precisamente, le componenti

di questo campo sono funzioni di classe C∞(R4), per ogni ε > 0. Illustriamo questa

proprieta per una particella statica nell’origine. Per il moto rettilineo uniforme il campo

regolarizzato e stato valutato nella (12.20), che per uµ = (1, 0, 0, 0) si riduce a,

~Eε =e

4π

~x

(r2 + ε2)3/2, ~Bε = 0. (13.9)

Questi campi sono effettivamente di classe C∞(R4), e come tali sono regolari in tutto lo

spazio, compreso il punto ~x = 0, dove si trova la particella. In particolare, l’energia totale

del campo elettromagnetico regolarizzato e finita. Al posto di (13.7) abbiamo, infatti,

εem,ε =1

2

∫| ~Eε|2 d3x =

1

2 ε

( e

4π

)2∫

r2

(r2 + 1)3d3x =

( e

4π

)2 3π2

8 ε. (13.10)

Per valutare l’integrale abbiamo eseguito il cambiamento di variabili ~x→ ε ~x e usato,

∫r2

(r2 + 1)3d3x =

3π2

4.

377

Si noti che per ε→ 0 l’energia regolarizzata diverge di nuovo, come 1/ε.

Tornando a un moto yµ(s) arbitrario notiamo che, essendo Fµνε una distribuzione

regolare di classe C∞, risultano distribuzioni di Classe C∞ anche i suoi prodotti. Possiamo

allora definire un tensore energia–impulso elettromagnetico regolarizzato, ponendo,

T µνε ≡ Fµα

ε Fε αν +

1

4ηµνFαβ

ε Fε αβ. (13.11)

Le componenti di questo tensore appartengono a S ′ per ogni ε > 0. Inoltre, per ogni

xµ 6= yµ(s) esiste il limite puntuale,

limε→0

T µνε (x) = T µν

em(x).

Tuttavia, tale limite non esiste se eseguito nella topologia di S ′, a causa delle singolarita

presenti per xµ = yµ(s), e infatti T µνem /∈ S ′ ! Queste proprieta sono molto evidenti nel caso

statico 59.

Rinormalizzazione. Prima di poter eseguire il limite per ε → 0 nella topologia di S ′,occorre quindi individuare e sottrarre “la parte divergente” di T µν

ε , che indichiamo con

T µνε . Questa sottrazione rappresenta la “rinormalizzazione”. Al tensore T µν

ε , che viene

anche chiamato “controtermine”, richiediamo le seguenti proprieta:

1) Deve essere un tensore sotto trasformazioni di Lorentz.

2) Deve essere supportato sulla traiettoria della particella, cioe, T µνε (x) = 0, se xµ 6= yµ(s).

3) Deve essere simmetrico e a traccia nulla, come lo e il tensore regolarizzato T µνε , cioe,

ηµνTµνε = 0.

4) Deve essere tale che esista il tensore limite,

Θµνem ≡ S ′ − lim

ε→0

(T µν

ε − T µνε

). (13.12)

Identifichiamo Θµνem con il tensore energia–impulso elettromagnetico rinormalizzato, che

sostituisce a tutti gli effetti il tensore originale, mal definito, T µνem.

59Nel caso statico si ha,

T 00ε =

12| ~Eε|2 =

12

( e

4π

)2 r2

(r2 + ε2)3,

che per ε→ 0 converge, per ogni ~x 6= 0, puntualmente a,

T 00em =

12

( e

4π

)2 1r4

.

Ma questa espressione non costituisce una distribuzione.

378

5) T µνε deve essere tale che il tensore energia–impulso totale del sistema campo + particella

sia conservato,

T µν ≡ Θµνem + T µν

p , ∂µTµν = 0,

dove per T µνp manteniamo la forma standard (2.70).

La richiesta 1) assicura che Θµνem e un tensore sotto trasformazioni di Lorentz, dato che

anche T µνε lo e. La richiesta 2) e motivata dai seguenti due fatti. Primo, nel complemento

della traiettoria della particella il tensore energia–impulso totale originale T µνem + T µν

p e

regolare e conservato. Secondo, la forma di T µνem nel complemento della traiettoria e

ben testata dal punto di vista fenomenologico, come abbiamo visto per esempio dalla

componente T 0iem = ( ~E × ~B)i, che e responsabile dell’irraggiamento. La procedura di

rinormalizzazione non deve, dunque, cambiare il valore di T µνem nel complemento della

traiettoria. Questo vuol dire che il supporto del controtermine deve essere la linea di

universo della particella, e T µνε deve quindi essere una combinazione lineare della δ di

Dirac e delle sue derivate, supportate sulla traiettoria. La richiesta 3) segue dal fatto

che la parte divergente di un tensore simmetrico a traccia nulla, e ancora un tensore

simmetrico a traccia nulla. Il significato delle richieste 4) e 5) e, invece, evidente. Si

puo, infine, vedere che le richieste 1)–5) determinano il tensore T µνε univocamente, moduli

termini di ordine o(ε) nella topologia di S ′. Cio assicura in particolare l’unicita del tensore

Θµνem, come definito in (13.12).

Costruzione esplicita: un argomento euristico. Cerchiamo ora di sfruttare queste ri-

chieste per determinare euristicamente la forma di T µνε . Per la proprieta 2) questo tensore

deve essere proporzionale a δ3(~x− ~y(t)), o meglio, alla grandezza Lorentz–invariante,∫

δ4(x− y(s)) ds =√

1− v2(t) δ3(~x− ~y(t)).

Inoltre, dato che T µνε e proporzionale alla carica al quadrato, tale dovra essere anche

T µνε . Per la richiesta 4) il controtermine deve poi cancellare le parti divergenti di T µν

ε ,

e quindi deve divergere per ε → 0. Visto l’esempio (13.10), ci aspettiamo che queste

divergenze compaiano come poli in 1/ε. Includiamo allora in T µνε un fattore 1/ε. Queste

considerazioni ci portano quindi a ipotizzare la forma,

T µνε =

1

ε

( e

4π

)2∫

Hµν δ4(x− y(s)) ds,

379

dove Hµν e un tensore simmetrico e a traccia nulla. Essendo definito lungo la linea di

universo, questo tensore deve dipendere dalle quantita cinematiche yµ(s), uµ(s), wµ(s)

etc., e puo coinvolgere eventualmente le derivate spazio–temporali ∂µ. Inoltre, T µνε deve

avere le stesse dimensioni di T µνε , e dato che ε ha le dimensioni di una lunghezza, Hµν deve

essere adimensionale. Siccome uµ e l’unica quantita cinematica adimensionale, Hµν deve

allora essere necessariamente della forma a uµuν + b ηµν , con a e b costanti. Ma dovendo

essere anche a traccia nulla, si conclude che,

Hµν = C

(uµuν − 1

4ηµν

),

per qualche costante numerica C. Si noti che contributi ad Hµν del tipo yµwν + yνwµ −12ηµνyρwρ, oppure yµ∂ν + yν∂µ − 1

2ηµνyρ∂ρ, che sarebbero pure adimensionali, simmetrici

e a traccia nulla, sono esclusi perche non invarianti sotto traslazioni, yµ → yµ + aµ.

Le nostre richieste porterebbero allora alla seguente proposta per il tensore energia–

impulso rinormalizzato,

Θµνem = S ′ − lim

ε→0

[T µν

ε −C

ε

( e

4π

)2∫ (

uµuν − 1

4ηµν

)δ4(x− y(s)) ds

], (13.13)

dove l’unica quantita indeterminata e la costante C. Questa costante dovrebbe essere

fissata imponendo la richiesta 4), cioe, che T µνε cancelli le parti divergenti di T µν

ε , e la

richiesta 5), cioe, che il tensore energia–impulso totale risultante sia conservato. In effetti

si puo dimostrare il risultato non banale che con la scelta,

C =π2

2,

si riescono a soddisfare entrambe queste richieste. Siccome la dimostrazione di questo

fatto per una particella in moto arbitrario e abbastanza complicata 60, ci limitiamo a

svolgerla nel caso di una particella libera.

13.2 Costruzione di Θµνem per la particella libera

Una particella libera si muove di moto rettilineo uniforme e genera i campi determinati

in sezione 6.3. Data la Lorentz–invarianza della procedura appena congetturata, se essa

60Si veda, K. Lechner and P.A. Marchetti, Variational principle and energy–momentum tensor forrelativistic Electrodynamics of point charges, Ann. Phys. 322 (2007) 1162-1190, (hep-th/0602224).

380

ha successo in un sistema di riferimento particolare, allora ha automaticamente successo

in qualsiasi sistema di riferimento. E allora sufficiente considerare una particella statica

nell’origine, con ~y(t) = 0.

Conosciamo gia i campi regolarizzati di una particella statica, vedi (13.9), e usando

le (2.76)–(2.78) e allora immediato scrivere le componenti del tensore energia–impulso

regolarizzato (13.11),

T 00ε =

1

2

( e

4π

)2 r2

(r2 + ε2)3, (13.14)

T 0iε = 0, (13.15)

T ijε =

1

2

( e

4π

)2 δij r2 − 2 xixj

(r2 + ε2)3. (13.16)

Si noti che ηµνTµνε = 0. Anche il controtermine in (13.13) e facile da valutare, perche si

ha uµ = (1, 0, 0, 0), e∫

δ4(x− y(s)) ds = δ3(~x). Inserendo le (13.14)–(13.16) nella (13.13),

dovremmo allora, prima di tutto, stabilire l’esistenza dei limiti,

Θ00em =

1

2

( e

4π

)2

· S ′ − limε→0

(r2

(r2 + ε2)3− 3 C

2 εδ3(~x)

), (13.17)

Θ0iem = 0, (13.18)

Θijem =

1

2

( e

4π

)2

· S ′ − limε→0

(δij r2 − 2 xixj

(r2 + ε2)3− C

2 εδij δ3(~x)

), (13.19)

per un’opportuna costante C.

13.2.1 Esistenza di Θµνem

Nella valutazione dei limiti che seguono risultera spesso necessario portare il limite sotto

il segno di integrale, operazione non sempre lecita. A questo proposito e utile il teorema

della convergenza dominata, che enunciamo senza dimostrazione.

Teorema della convergenza dominata. Sia data una successione di funzioni fn ∈L1 ≡ L1[RD] tale che, a) esista il limite puntuale (quasi ovunque rispetto alla misura

di Lebesgue in RD),

limn→∞

fn(x) = f(x),

e, b) esista una funzione positiva g ∈ L1, tale che (quasi ovunque rispetto alla misura di

Lebesgue in RD),

|fn(x)| ≤ g(x), ∀n.

381

Allora f ∈ L1, e le fn convergono ad f nella topologia di L1,

L1 − limn→∞

fn = f.

Corollario. Il teorema assicura che la successione fn converge nella topologia di L1.

Cio e sufficiente per poter portare il limite sotto il segno di integrale. Abbiamo, infatti,

la maggiorazione,∣∣∣∣∫

fn dDx−∫

f dDx

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫

(fn − f) dDx

∣∣∣∣ ≤∫|fn − f | dDx = ||fn − f‖L1 .

Siccome per n→∞ si ha che fn → f in L1, l’ultimo membro della maggiorazione converge

a zero, e quindi converge a zero anche il primo. Abbiamo allora,

limn→∞

∫fn dDx =

∫f dDx =

∫lim

n→∞fn dDx,

dove abbiamo usato la definizione di f . Concludiamo che, se le fn soddisfano le ipotesi

del teorema della convergenza dominata, allora possiamo scambiare i segni di limite e di

integrazione. Nei casi di nostro interesse al posto dell’indice discreto n avremo l’indice

“continuo” ε. Inoltre, siccome il limite puntuale – ipotesi a) – esistera sempre banalmente,

per assicurare la validita del teorema si trattera di trovare una maggiorante g “uniforme”,

ovvero, indipendente da ε, come richiesto dall’ipotesi b).

Esistenza di Θ00em. Cominciamo la dimostrazione dell’esistenza di Θµν

em, dimostrando

l’esistenza del limite che definisce la componente Θ00em, cioe, la densita di energia. In

particolare vorremo ottenere una definizione operativa per questa distribuzione, ovverosia,

una definizione che ci permetta di determinare esplicitamente l’energia contenuta in un

volume qualsiasi. Secondo la definizione del limite nel senso delle distribuzioni, dobbiamo

dimostrare che per un’opportuna costante C esiste il limite ordinario,

Θ00em(ϕ) ≡ 1

2

( e

4π

)2

limε→0

[∫r2 ϕ(~x)

(r2 + ε2)3d3x− 3 C

2 εϕ(0)

],

per ogni funzione di test ϕ ∈ S(R3) 61. Sottraendo e aggiungendo ϕ(0) nel numeratore

dell’integrando, e notando che si ha l’integrale,

∫r2

(r2 + ε2)3d3x =

3 π2

4 ε,

61Lo spazio delle funzioni di test da usare sarebbe S(R4), ma nel caso statico la dipendenza dal tempoe banale e puo essere omessa.

382

otteniamo,

Θ00em(ϕ) =

1

2

( e

4π

)2

limε→0

[∫r2(ϕ(~x)− ϕ(0))

(r2 + ε2)3d3x +

3

2 ε

(π2

2− C

)ϕ(0)

]. (13.20)

Il limite per ε→ 0 dell’integrale a secondo membro e ora finito. Per farlo vedere separiamo

nella regione d’integrazione gli r piccoli da quelli grandi,

∫r2(ϕ(~x)− ϕ(0))

(r2 + ε2)3d3x =

∫

r<1

r2(ϕ(~x)− ϕ(0)− xi∂iϕ(0))

(r2 + ε2)3d3x+

∫

r>1

r2(ϕ(~x)− ϕ(0))

(r2 + ε2)3d3x.

(13.21)

Nel primo integrale abbiamo sottratto un termine che e nullo, in quanto si annulla l’in-

tegrale sugli angoli∫

nidΩ, dove ni = xi/r. Nel primo integrale possiamo ora portare il

limite sotto il segno di integrale, usando il teorema della convergenza dominata. Abbiamo

infatti la maggiorazione uniforme,

∣∣∣∣r2(ϕ(~x)− ϕ(0)− xi∂iϕ(0))

(r2 + ε2)3

∣∣∣∣ ≤|ϕ(~x)− ϕ(0)− xi∂iϕ(0))|

r4≡ g(~x) ∈ L1(R3),

dove e sottointeso che per r > 1 poniamo g = 0. La maggiorante g sta in L1(R3), perche

il numeratore ϕ(~x) − ϕ(0) − xi∂iϕ(0) si annulla come r2, per r → 0. In questo caso

particolare la maggiorante coincide con il modulo della funzione limite. Per portare il

limite sotto il segno di integrale nel secondo integrale della (13.21), e sufficiente usare la

maggiorazione, ∣∣∣∣r2(ϕ(~x)− ϕ(0))

(r2 + ε2)3

∣∣∣∣ ≤2 ||ϕ||

r4≡ g(~x) ∈ L1(R3),

dove con ||ϕ|| intendiamo l’estremo superiore del modulo di ϕ in R3, ed e sottinteso che

g = 0 per r < 1.

Portando nella (13.21) i limiti sotto i segni di integrale, otteniamo allora il limite finito,

limε→0

∫r2(ϕ(~x)− ϕ(0))

(r2 + ε2)3d3x =

∫

r<1

ϕ(~x)− ϕ(0)− xi∂iϕ(0)

r4d3x +

∫

r>1

ϕ(~x)− ϕ(0)

r4d3x.

(13.22)

Concludiamo che per ottenere un limite finito nella (13.20), e necessario e sufficiente

scegliere,

C =π2

2.

Se nel primo integrale della (13.22) facciamo precedere l’integrazione su r dall’integrazione

sugli angoli, il terzo termine non contribuisce, e la somma dei due integrali si puo scrivere

383

di nuovo come un integrale unico su tutto R3. La densita di energia rinormalizzata si puo

allora scrivere semplicemente come,

Θ00em(ϕ) =

1

2

( e

4π

)2∫

ϕ(~x)− ϕ(0)

r4d3x, (13.23)

dove, per costruzione, l’integrazione sugli angoli deve precedere l’integrazione su r (“con-

vergenza condizionata”).

In modo completamente analogo si dimostra che, per lo stesso valore di C, esiste anche

il limite (13.19), e che risulta,

Θijem(ϕ) =

1

2

( e

4π

)2∫

ϕ(~x)− ϕ(0)

r6

(δij r2 − 2 xixj

)d3x. (13.24)

Nella dimostrazione conviene fare uso degli integrali invarianti del problema 2.6, scrivendo

xixj = ninj r2. Abbiamo quindi concluso la dimostrazione dell’esistenza del limite (13.13),

secondo la richiesta 4).

13.2.2 Conservazione di Θµνem

Affrontiamo ora la richiesta 5), cioe, la conservazione del tensore energia–impulso. Per

una particella in moto rettilineo uniforme, il quadrimomento del campo elettromagnetico

si deve conservare separatamente, perche il quadrimomento della particella e costante.

Dobbiamo quindi dimostrare che vale,

∂µΘµνem = 0.

La componente ν = 0 di questa equazione e banalmente soddisfatta, perche Θi0em = 0,

e Θ00em non dipende dal tempo. Resta quindi da verificare la componente ν = j, che si

riduce a,

∂iΘijem = 0, (13.25)

equazione non ovvia. Si vede, quindi, che anche per la particella libera la conservazione

del tensore energia–impulso rinormalizzato non e garantita a priori. Per dimostrare che

Θijem soddisfa la (13.25), invece di usare direttamente la (13.24) e piu conveniente usare la

definizione originale (13.19), e sfruttare il fatto che la derivata e un’operazione continua in

S ′. Cio ci permette di scambiare i limiti con le derivate. Ponendo C = π2/2 e prendendo

384

la divergenza della (13.19), si ottiene allora,

∂iΘijem =

1

2

( e

4π

)2

· S ′ − limε→0

(∂i

(δij r2 − 2 xixj

(r2 + ε2)3

)− π2

4 ε∂j δ3(~x)

). (13.26)

Siccome il primo termine e una distribuzione regolare, le sue derivate possono essere

calcolate nel senso delle funzioni,

∂i

(δij r2 − 2 xixj

(r2 + ε2)3

)= −6

xj ε2

(r2 + ε2)4= ∂j

(ε2

(r2 + ε2)3

).

La (13.26) puo allora essere riscritta come,

∂iΘijem =

1

2

( e

4π

)2

∂j

(S ′ − lim

ε→0

[ε2

(r2 + ε2)3− π2

4 εδ3(~x)

]).

Abbiamo di nuovo scambiato le derivate con il limite. Questo passaggio e lecito, purche

il limite della distribuzione tra parentesi quadre esista. In realta questo limite e zero.

Per dimostrarlo occorre fare vedere che per ogni ϕ ∈ S, e zero il limite per ε → 0 della

quantita,

ε2

∫d3x

ϕ(~x)

(r2 + ε2)3− π2

4 εϕ(0) = ε2

∫d3x

ϕ(~x)− ϕ(0)

(r2 + ε2)3=

∫d3x

ϕ(ε~x)− ϕ(0)

ε (r2 + 1)3, (13.27)

dove abbiamo usato l’integrale,

∫d3x

(r2 + ε2)3=

π2

4 ε3.

Nell’ultimo integrale della (13.27) possiamo ora portare il limite sotto il segno di inte-

grale, sfruttando il teorema della convergenza dominata. In questo caso la successione

integranda,

fε(~x) ≡ ϕ(ε~x)− ϕ(0)

ε (r2 + 1)3,

puo essere maggiorata usando la stima,

ϕ(ε~x)− ϕ(0) = ε~x ·∫ 1

0

~∇ϕ(ε~xα) dα ⇒ |ϕ(ε~x)− ϕ(0)| ≤ 3 εr ||∂ϕ||,

dove con ||∂ϕ|| intendiamo l’estremo superiore dei moduli delle derivate parziali di ϕ in

R3. Abbiamo allora la maggiorazione uniforme, ipotesi b),

|fε(~x)| ≤ 3r||∂ϕ||(r2 + 1)3

≡ g(~x) ∈ L1[R3].

385

D’altra parte la successione fε ammette il limite puntuale ∀ ~x, ipotesi a),

limε→0

fε(~x) =xi∂iϕ(0)

(r2 + 1)3≡ f(~x).

Portando dunque nella (13.27) il limite sotto il segno di integrale risulta,

limε→0

(ε2

∫d3x

ϕ(~x)

(r2 + ε2)3− π2

4 εϕ(0)

)=

∫d3x lim

ε→0

ϕ(ε ~x)− ϕ(0)

ε (r2 + 1)3=

∫d3x

xi∂iϕ(0)

(r2 + 1)3= 0,

(13.28)

dove la conclusione deriva dal fatto che, scrivendo xi = nir, l’integrazione sugli angoli da∫

dΩ ni = 0. Segue la (13.25).

Concludiamo che il tensore energia–impulso definito dalle (13.17)–(13.19) soddisfa,

∂µΘµνem = 0. (13.29)

13.2.3 Una definizione operativa dell’energia elettromagnetica

La costruzione del paragrafo 13.2.1 ha fornito in particolare una definizione operativa per

la densita di energia Θ00em – la (13.23) – che permette di determinare esplicitamente l’ener-

gia contenuta in un arbitrario volume V . Indichando con χV (~x) la funzione caratteristica

del volume V , la (13.23) ci dice, infatti, come calcolare l’energia contenuta in V ,

εem,V =

∫

V

Θ00em d3x = Θ00

em(χV ) =1

2

( e

4π

)2∫

χV (~x)− χV (0)

r4d3x.

Da questa formula, ma equivalentemente anche dalla (13.17), vediamo che l’energia cosı

definita ha le seguenti proprieta:

1) εV e finita ∀V , il cui bordo non contenga l’origine, cioe, la particella.

2) Se V non contiene l’origine, allora εV =∫

VT 00

em d3x, dove T 00em = 1

2

(e4π

)2 1r4 .

3) Se VR e una palla di raggio R centrata nell’origine, allora εem,VR= − e2

8πR.

4) Se VR indica il complemento di VR in R3, allora εem,eVR= e2

8πR.

5) εem,R3 = 0, cioe, l’energia totale del campo elettromagnetico di una particella statica

e zero, cosı come e zero pure la sua quantita di moto totale, vedi la (13.18). Abbiamo

quindi,

P µem ≡

∫Θ0µ

em d3x = 0. (13.30)

6) L’energia cosı definita riproduce, in particolare, la sottrazione che si opera di solito “a

mano” nel caso di un sistema di cariche non relativistiche, vedi problema 2.8.

386

Moto rettilineo uniforme generico. Grazie all’invarianza di Lorentz della nostra proce-

dura, tutti questi risultati si estendono automaticamente a un moto rettilineo uniforme

generico. Possiamo allora riassumere le conclusioni di questo paragrafo come segue.

Per un moto rettilineo uniforme il tensore energia–impulso Θµνem dato in (13.13), con

C = π2/2, definisce una distribuzione Lorentz–covariante, simmetrica, e conservata,

∂µΘµνem = 0, Θµν

em = Θνµem.

Gli integrali a tempo fissato,

P µem,V =

∫

V

Θµ0em d3x,

esistono finiti per ogni V , e rappresentano il quadrimomento del campo elettromagnetico

contenuto nel volume V . Se in un dato istante la particella non e contenuta in V allora

si ha,

P µem,V =

∫

V

T µ0em d3x,

coincidente con il quadrimomento fornito dal tensore energia–impulso originale. Il qua-

drimomento totale del campo della particella e zero,

P µem =

∫Θµ0

em d3x = 0.

13.3 Costruzione generale

In questa sezione presentiamo, senza dimostrazione, la generalizzazione dei risultati delle

sezioni precedenti al caso di un sistema di N particelle in moto arbitrario.

Consideriamo N particelle puntiformi che interagiscono tra di loro, e con un campo

esterno F µνin . Ciascuna di queste particelle produce allora un campo di Lienard–Wiechert,

che indichiamo con Fµνr , r = 1, · · · , N . Il campo elettromagnetico totale del sistema e

dunque dato da,

F µν = F µνin +

∑r

Fµνr . (13.31)

Ciascuno dei campi di Lienard–Wiechert puo essere regolarizzato secondo la (12.19), dan-

do luogo al campo Fµνr ε . Come campo elettromagnetico totale regolarizzato del sistema

387

definiamo allora,

F µνε = F µν

in +∑

r

Fµνr ε .

Definiamo poi il tensore energia–impulso regolarizzato come,

T µνε = F µα

ε Fε αν +

1

4ηµνFαβ

ε Fε αβ.

Il tensore energia–impulso rinormalizzato segue allora dalla ricetta (13.13),

Θµνem = S ′ − lim

ε→0

[T µν

ε −π2

2 ε

∑r

( er

4π

)2∫ (

uµr u

νr −

1

4ηµν

)δ4(x− yr) dsr

]. (13.32)

Si noti che il controtermine e dato semplicemente dalla somma dei controtermini delle

singole particelle. Questa scelta discende dal fatto che le mutue interazioni tra le particelle,

corrispondenti ai prodotti dei campi di Lienard–Wiechert di particelle differenti, danno

luogo in T µνε a singolarita integrabili di tipo 1/r2, che sono ben definite nel senso delle

distribuzioni. In particolare si dimostrano i seguenti due teoremi, si veda la nota 60.

Teorema A. Il limite distribuzionale in (13.32) esiste, qualsiasi siano le traiettorie delle

particelle. Inoltre, il quadrimomento totale del campo elettromagnetico,

P µem ≡

∫Θµ0

em d3x,

e finito, purche l’accelerazione delle particelle svanisca con sufficiente rapidita per t →−∞.

Teorema B. Per traiettorie arbitrarie delle particelle – non soggette a nessuna equazione

del moto – la divergenza di Θµνem, come definito in (13.32), e data da,

∂µΘµνem = −

∑r

∫ (e2

r

6π

(dwν

r

dsr

+ w2ru

νr

)+ erF

νµr (yr)urµ

)δ4(x− yr) dsr, (13.33)

dove abbiamo definito,

F µνr = F µν

in +∑

s 6=r

Fµνs .

Questa relazione e la controparte – ben definita – della relazione formale (13.8). Confron-

tando le due relazioni, e tenendo conto della (13.31), si vede che e come se nella (13.8) la

forza di frenamento divergente erFνµr (yr)urµ, fosse stata sostituita con la forza di frena-

mento ben definitae2

r

6π

(dwν

r

dsr

+ w2ru

νr

). In particolare, per una particella singola in moto

rettilineo uniforme, e quindi in assenza di forze esterne, la (13.33) si riduce alla (13.29).

388

Mantenendo per il tensore energia–impulso delle particelle l’espressione (2.70),

T µνp =

∑r

mr

∫uµ

r uνr δ4(x− yr) dsr,

si ha ancora, vedi paragrafo 2.4.3,

∂µTµνp =

∑r

∫dpν

r

dsr

δ4(x− yr) dsr.

Considerando come tensore energia–impulso totale del sistema la somma,

T µν = Θµνem + T µν

p ,

si ottiene dunque,

∂µTµν =

∑r

∫ (dpν

r

dsr

− e2r

6π

(dwν

r

dsr

+ w2ru

νr

)− erF

νµr (yr)urµ

)δ4(x− yr) dsr.

Se si vuole, infine, che il quadrimomento totale sia conservato localmente, ∂µTµν = 0,

allora occorre dunque che le cariche soddisfino le equazioni di Lorentz–Dirac (12.24),

dpµr

dsr

=e2

r

6π

(dwµ

r

dsr

+ w2ru

µr

)+ er F µν

r (yr) urν .

Vediamo che, in ultima analisi, e la richiesta della conservazione del quadrimomento

ad imporre che le particelle soddisfino queste equazioni del moto del terzo ordine. Questa

richiesta va, quindi, considerata come la causa ultima di tutti gli aspetti problematici che

queste equazioni comportano.

389

14 Monopoli magnetici

Nelle equazioni dell’Elettrodinamica i campi elettrico e magnetico giocano sotto certi

aspetti ruoli molto simili, ma sotto altri hanno funzioni completamente diverse. In assenza

di sorgenti le similitudini tra questi campi sono evidenti se si considerano le equazioni di

Maxwell in notazione tridimensionale (2.28)–(2.31). In questo caso le equazioni per ~E e

~B sono difatti identiche, a parte un segno.

D’altra parte nell’equazione di Lorentz,

d~p

dt= e

(~E + ~v × ~B

),

questi campi giocano ruoli molto diversi, in particolare il campo magnetico e soppresso

di un fattore v/c rispetto al campo elettrico. Ma la differenza piu significativa emerge in

presenza di sorgenti non nulle: cariche statiche generano infatti solo un campo elettrico,

e nessun campo magnetico. In altre parole essendo,

~∇ · ~E = j0, ~∇ · ~B = 0,

l’Elettrodinamica classica non prevede cariche magnetiche, ma solo cariche elettriche.

In questo capitolo esploreremo la possibilita di introdurre in Elettrodinamica particel-

le dotate di carica magnetica, i cosiddetti monopoli magnetici. A priori questa impresa

sembra avere poche possibilita di successo perche la struttura interna di questa teoria

appare molto rigida, essendo sorretta da vari requisiti che sono in delicato equilibrio tra

di loro, come l’invarianza relativistica e la conservazione della carica elettrica, del quadri-

momento e del momento angolare. Sappiamo poi che queste proprieta sono intimamente

legate tra di loro. Qualsiasi modifica ad hoc delle equazioni di Maxwell e dell’equazione di

Lorentz rischia quindi di compromettere la consistenza interna della teoria. Alla luce di

questo fatto il risultato principale del presente capitolo, cioe, che l’Elettrodinamica clas-

sica resta perfettamente consistente anche in presenza di monopoli magnetici, deve essere

considerato un risultato altamente non banale. L’introduzione di monopoli magnetici in

Elettrodinamica fu in effetti presa in considerazione gia all’inizio del secolo scorso 62, e rie-

62Vedi per esempio, H. Poincare, Compt. Rendus 123 (1896) 530, e J.J. Thomson, Electricity andMatter, Scribners, New York, 1904, p. 26.

390

saminata a livello quantistico pochissimi anni dopo l’avvento della Meccanica Quantistica

da Dirac.

Una volta accertato che i monopoli magnetici sono compatibili con la struttura ge-

nerale dell’Elettrodinamica, l’ipotesi di questo nuovo tipo di particelle assume una certa

rilevanza anche da un punto di vista sperimentale. Il dato sperimentale in questione e la

quantizzazione della carica elettrica, cioe, il fatto che tutte le cariche elettriche presenti

in natura sono multipli interi di una carica fondamentale – fenomeno che tuttora attende

una spiegazione teorica. Ebbene, come dimostrato da P.A.M. Dirac nel 1931, se in natura

esiste anche un solo monopolo magnetico allora la consistenza dell’Elettrodinamica quan-

tistica comporta automaticamente la quantizzazione della carica elettrica. Nella sezione

finale di questo capitolo presenteremo una deduzione semiclassica di questa “condizione

di quantizzazione di Dirac”.

14.1 La dualita elettromagnetica

Riprendiamo le equazioni di Maxwell nel vuoto,

−∂ ~E

∂t+ ~∇× ~B = 0, (14.1)

~∇ · ~E = 0, (14.2)

∂ ~B

∂t+ ~∇× ~E = 0, (14.3)

~∇ · ~B = 0. (14.4)

Come si vede questo insieme di equazioni resta invariato se si eseguono le sostituzioni,

~E → ~B, ~B → − ~E. (14.5)

Queste trasformazioni generano un gruppo discreto di simmetrie che viene chiamato “dua-

lita elettromagnetica”, o semplicemente “dualita”. Si verifica facilmente che il gruppo in

questione e Z4. Infatti, e sufficiente notare che se si esegue la trasformazione generatrice

(14.5) due volte, si ottiene meno l’identita. In presenza di cariche elettriche questa sim-

metria e evidentemente violata – per via della presenza di sorgenti solo nella prima coppia

di equazioni.

391

Per dare valenza relativistica alla dualita elettromagnetica introduciamo il “tensore

elettromagnetico duale”, antisimmetrico anche’esso 63,

F µν ≡ 1

2εµνρσ Fρσ. (14.6)

Eseguendo l’operazione di dualita due volte e notando l’identita εαβγδεαβµν = −4δγ[µδ

δν] si

ottiene,

˜F

µν

=1

2εµνρσ Fρσ = −F µν . (14.7)

In termini del tensore elettromagnetico duale le trasformazioni di dualita (14.5) corrispon-

dono difatti semplicemente alle sostituzioni,

F µν → F µν , F µν → −F µν . (14.8)

Per vederlo e sufficiente determinare i campi elettrico e magnetico “duali”. Usando la

definzione (14.6) si trova infatti,

Ei ≡ F i 0 =1

2εi0jkFjk = −1

2εijkF jk = Bi, (14.9)

Bi ≡ −1

2εijk F jk = −1

2εijkεjkl0Fl0 = −1

2εijkεljkEl = −Ei, (14.10)

in accordo con (14.5).

E anche immediato verificare che le due coppie di equazioni di Maxwell, precedente-

mente chiamate “equazione di Maxwell” e “identita di Bianchi”, si possono scrivere nella

forma equivalente,

∂µFµν = jν

e , (14.11)

∂µFµν = 0, (14.12)

dove abbiamo introdotto il pedice “e” per indicare che si tratta della quadricorrente elet-

trica. Risulta allora chiaro che se si vogliono mantenere le equazioni di Maxwell invarianti

63L’operazione di contrazione di un tensore completamente antisimmetrico di rango n con il tensoredi Levi–Civita si chiama “dualita di Hodge”. Il risultato dell’operazione e un tensore completamenteantisimmetrico di rango D−n, se D e la dimensione dello spazio–tempo. Da un conteggio delle componentiindipendenti di un tensore antisimmetrico,

(Dn

)per la precisione, ci si convince facilmente che questa

mappa preserva il numero di componenti. La dualita di Hodge e infatti una biiezione tra lo spazio deitensori antisimmetrici di rango n e quello dei tensori antisimmetrici di rango D − n.

392

sotto le trasformazioni di dualita (14.8) in presenza di sorgenti, allora e necessario in-

trodurre anche delle “sorgenti magnetiche” al membro di destra dell’identita di Bianchi

(14.12).

L’introduzione di una quadricorrente magnetica nell’identita di Bianchi comporta a

priori vari aspetti problematici riguardo alla consistenza interna della teoria modificata.

Esponiamo quı di seguito l’aspetto che risulta il piu problematico di tutti. Supponiamo

pure di introdurre una quadricorrente magnetica nella (14.12) e di preservare in questo

modo l’invarianza di Poincare delle equazioni del moto. Sussistendo tale invarianza sap-

piamo che e garantita la conservazione del quadrimomento e del momento angolare totali,

se esiste un’azione invariante per trasformazioni di Poincare, dalla quale queste equazioni

possono essere dedotte. Ma, come abbiamo visto, per scrivere un’azione e necessario in-

trodurre un potenziale vettore Aµ. In assenza di correnti magnetiche l’identita di Bianchi

stessa e equivalente all’esistenza di un potenziale vettore, ma in presenza di tali correnti

l’identita di Bianchi e violata e non esiste nessun modo naturale per introdurre un po-

tenziale vettore. In effetti si puo far vedere che in presenza di correnti magnetiche non

esiste nessuna azione canonica 64. La conservazione del quadrimomento e del momento

angolare non e quindi piu garantita a priori.

Nonostante cio, come faremo vedere nella prossima sezione, esiste un modo consistente

per modificare le equazioni di Maxwell e di Lorentz in presenza di monopoli magnetici,

che preserva l’invarianza di Poincare e mantiene tutte le leggi di conservazione dell’Elet-

trodinamica con sole cariche – un risultato altamente non banale alla luce del fatto che

non esiste un’azione canonica.

14.2 L’Elettrodinamica classica in presenza di dioni

In questa sezione proponiamo un nuovo insieme di equazioni fondamentali per l’Elettrodi-

namica – in sostituzione delle (2.12)–(2.14) – che descrivono la dinamica di un arbitrario

64Per scrivere un’azione si deve rinunciare ad almeno una delle proprieta base che si richiedono disolito a un’azione, per esempio la localita, oppure l’invarianza di Lorentz manifesta. Ciononostante leequazioni del moto che si ottengono da queste azioni sono locali e Lorentz–invarianti. Tuttavia, l’assenzadi un’azione manifestamente Lorentz–invariante crea gravi problemi qualora si cerchi di quantizzare lateoria. Questa difficolta ha ritardato di molto la dimostrazione della consistenza quantistica della teoriadei monopoli magnetici, avvenuta solo nel 1979.

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sistema di particelle che portano sia carica elettrica che carica magnetica, i cosiddetti

dioni.

Consideriamo dunque un sistema di N particelle puntiformi con masse mr e linee di

universo yµr (sr), dotate – oltre che di carica elettrica er – di carica magnetica gr. Se per

una particella si ha er 6= 0, gr 6= 0 essa viene chiamata “dione”, se er 6= 0, gr = 0 la si

chiama carica (elettrica), e se er = 0, gr 6= 0 essa viene chiamata monopolo (magnetico).

A questo sistema di particelle possiamo associare le quadricorrenti elettriche e magne-

tiche,

jµe =

∑r

er

∫uµ

r δ4(x− yr) dsr,

jµm =

∑r

gr

∫uµ

r δ4(x− yr) dsr.

Allo stesso modo in cui si e dimostrato che la corrente elettrica e conservata, si dimostra

che e conservata anche quella magnetica. Abbiamo quindi,

∂µjµe = 0, ∂µj

µm = 0, (14.13)

qualsiasi siano le cariche er e gr. In particolare la carica magnetica totale G =∫

j0m d3x

risulta conservata.

Proponiamo la seguente modifica delle equazioni di Maxwell,

∂µFµν = jν

e , (14.14)

∂µFµν = jν

m. (14.15)

Intanto vediamo che queste equazioni sono compatibili con le (14.13), in quanto sia F che

F sono tensori antisimmetrici. Inoltre ora possiamo ristabilire l’invarianza per dualita se

poniamo le seguenti trasformazioni,

F → F , F → −F, je → jm, jm → −je, (14.16)

cioe, per quanto riguarda le cariche,

er → gr, gr → −er. (14.17)

394

L’invarianza sotto queste trasformazioni e anche evidente se si scrivono le nuove equazioni

di Maxwell nel formalismo tridimensionale,

~∇ · ~E = j0e , (14.18)

~∇× ~B − ∂ ~E

∂t= ~je, (14.19)

~∇ · ~B = j0m, (14.20)

−~∇× ~E − ∂ ~B

∂t= ~jm. (14.21)

Notiamo che, anche in presenza di dioni, l’identita di Bianchi modificata puo essere scritta

in tre modi equivalenti,

∂µFµν = jν

m.

∂µFνρ + ∂νFρµ + ∂ρFµν = −εµνρα jαm (14.22)

∂[µFνρ] = −1

3εµνρα jα

m.

Dalle (14.18)–(14.21) si vede che, il campo magnetico e ora generato non solo da

cariche elettriche in moto, ma anche da monopoli magnetici statici, cosı come il campo

elettrico sara ora generato non solo da cariche elettriche statiche, ma anche da monopoli

magnetici in moto.

14.2.1 Leggi di conservazione

Come test principale della consistenza del nuovo sistema di equazioni (14.14), (14.15),

affrontiamo ora la questione dell’esistenza di un tensore energia–impulso, che soddisfi

l’equazione di continuita ∂µTµν = 0. Manteniamo la definizione sia del contributo del

campo elettromagnetico che di quello delle particelle 65, T µν = T µνem + T µν

p ,

T µνem = F µαFα

ν +1

4ηµνFαβFαβ, T µν

p =∑

r

mr

∫uµ

r uνr δ4(x− yr) dsr, (14.23)

e valutiamo separatamente la divergenza dell’uno e dell’altro. Cominciamo con il contri-

buto elettromagnetico,

∂µTµνem = jα

e Fαν + F µα∂µFα

ν +1

2Fαβ∂νFαβ

65Per semplicita trascuriamo quı il problema delle divergenze dovute all’autointerazione, risolubile conle stesse tecniche del capitolo precedente.

395

= −F ναjeα +1

2Fαβ

(∂αF βν + ∂βF να + ∂νFαβ

)

= −F ναjeα − 1

2Fαβεαβνµjmµ

= −F ναjeα − F ναjmα

= −∑

r

∫ (erF

να + grFνα

)urα δ4(x− yr) dsr.

Nel primo passaggio al posto di ∂µFµα abbiamo sostituito jα

e , usando (14.14). Il

secondo passaggio contiene rimaneggiamenti elementari degli indici. Nel terzo abbiamo

usato l’identita di Bianchi modificata, nella forma (14.22). Nel quarto abbiamo applicato

la definizione di F , e nell’ultimo la definizione delle correnti.

La divergenza del tensore energia–impulso delle particelle e stata calcolata in (2.73),

∂µTµνp =

∑r

∫dpν

r

dsr

δ4(x− yr) dsr.

Sommando i due contributi si ottiene allora,

∂µTµν =

∑r

∫ (dpν

r

dsr

−(erF

να + grFνα

)urα

)δ4(x− yr) dsr.

Vediamo, quindi, che se vogliamo mantenere il tensore eneriga–impulso totale conservato,

allora dobbiamo modificare anche l’equazione di Lorentz, sostituendola con,

dpνr

dsr

=(erF

να + grFνα

)urα. (14.24)

Si noti che questa formula e ora invariante per dualita, vedi (14.8) e (14.17). Usando le

(14.9), (14.10) e immediato scriverla in notazione tridimensionale,

dεr

dt= ~vr ·

(er

~E + gr~B)

(14.25)

d~pr

dt= er

(~E + ~vr × ~B

)+ gr

(~B − ~vr × ~E

). (14.26)

Un dione – una particella dotata oltre che di carica elettrica er anche di carica magnetica

gr – e quindi soggetta alla forza di Lorentz aggiuntiva gr( ~B − ~vr × ~E).

Dalle equazioni (14.18)–(14.21), e (14.26) si vede allora che – grazie alla dualita – la

dinamica di un sistema di soli monopoli, e completamente identica alla dinamica di un

sistema di sole cariche, cioe, all’Elettrodinamica standard.

396

Essendo il tensore energia–impulso totale conservato e simmetrico, sappiamo che si

conserva automaticamente anche la corrente di densita di momento angolare,

Mµαβ = xαT µβ − xβT µα, ∂µMµαβ = 0. (14.27)

Inoltre, dato che il tensore–energia impulso ha mantenuto la stessa forma, anche l’espres-

sione del momento angolare conservato, Lαβ =∫

d3xM0αβ, in termini di ~E e ~B rimane

immutata. Ricordiamo in particolare l’espressione per il momento angolare spaziale totale

Li = 12εijkLjk, vedi (2.88),

~L =∑

r

(~yr × ~pr) +

∫d3x

[~x× ( ~E × ~B)

]≡ ~Lp + ~Lem. (14.28)

Si noti che per un sistema statico di sole cariche, o soli monopoli, si ha ~Lem = 0, in

quanto nel primo caso si annulla ~B, mentre nel secondo si annulla ~E. Nella prossima

sezione vedremo che per un sistema statico costituito da cariche e monopoli, avremo

invece ~Lem 6= 0.

14.3 La condizione di quantizzazione di Dirac

Abbiamo visto che l’Elettrodinamica classica di un sistema di dioni, basata sulle equazioni

(14.14), (14.15) e (14.24), e perfettamente consistente qualsiasi siano le cariche er e gr delle

particelle. In questa sezione daremo un argumento semiclassico per cui la dinamica quan-

tistica di un tale sistema risulta consistente solo se queste cariche sono opportunamente

vincolate tra di loro – dalla condizione di quantizzazione di Dirac.

14.3.1 Una carica e un monopolo

Dalla trattazione precedente risulta chiaro che aspetti fenomenologici nuovi possono emer-

gere solo se consideriamo un sistema in cui compaiono sia cariche che monopoli. La si-

tuazione non banale piu semplice da analizzare e la seguente. Consideriamo un monopolo

magnetico statico (particella 1) con massa M e cariche e1 = 0 e g1 = g, fisso nell’origine.

Possiamo allora studiare la dinamica di una carica elettrica non relativistica (particella

2) con massa m¿M e cariche e2 = e e g2 = 0, che si muove nel campo elettromagnetico

creato dal monopolo.

397

Come prima cosa dobbiamo dunque calcolare il campo elettromagnetico generato dal

monopolo. Essendo statico e fisso nell’origine le sue correnti sono,

j0m = g δ3(~x), ~jm = 0, jµ

e = 0,

in quanto e1 = 0. Si tratta allora di risolvere il sistema (14.18)–(14.21) in presenza di

queste correnti. Dato che ci troviamo in un regime statico esso si riduce essenzialmente

all’equazione ~∇· ~B = g δ3(~x). La soluzione, ottenibile per dualita dal caso della particella

carica statica, e,

~E1(t, ~x) = 0, ~B1(t, ~x) =g

4π

~x

r3. (14.29)

La particella 2 si muove quindi in questo campo elettromagnetico sotto l’azione della forza

di Lorentz data in (14.26).

Nella presente trattazione non relativistica la forza di frenamento agente sulla parti-

cella 2 puo essere trascurata, e il campo creato da essa non ha quindi nessuna influenza

sulla sua dinamica. Tuttavia, piu avanti avremo bisogno di conoscere il campo elettroma-

gnetico totale del sistema carica + monopolo, e quindi anche il campo creato dalla carica.

Se denotiamo la sua traiettoria con ~y(t), nel limite non relativistico le sue correnti sono,

j0e = e δ3(~x− ~y(t)), ~je ≈ 0, jµ

m = 0.

Per queste correnti le (14.18)–(14.21) danno luogo al campo elettromagnetico ben noto,

~E2(t, ~x) =e

4π

~x− ~y(t)

|~x− ~y(t)|3 , ~B2(t, ~x) = 0. (14.30)

Scriviamo ora l’equazione del moto (14.26) della carica nel limite non relativistico.

Tenendo conto che g2 = 0 e che ~E1 = 0 si ottiene (~v = d~y/dt, ~a = d~v/dt),

m~a = e~v × ~B1(t, ~y) =eg

4π~v × ~y

y3. (14.31)

Questa e un’equazione differenziale del secondo ordine che determina la legge oraria ~y(t)

della carica, note le condizioni iniziali ~y0 e ~v0. Data questa legge oraria vogliamo ora esplo-

rare le leggi di conservazione del sistema carica + monopolo + campo elettromagnetico,

sfruttando il fatto che – come dimostrato nella sezione precedente – energia, quantita di

moto e momento angolare totali si devono conservare.

398

Consideriamo innanzitutto l’energia. Si vede subito che l’energia cinetica della carica

si conserva perche,d

(12mv2

)

dt= m~a · ~v = 0,

cosı come si conservano seperatamente l’energia del monopolo, che e zero, e quella del

campo elettromagnetico. L’energia di quest’ultimo vale 1/2∫

d3x( ~E22 + ~B2

1), che e infatti

una “costante” infinita.

La quantita di moto m~v della carica evidentemente non si conserva, ma non e difficile

dimostrare che la quantita di moto del sistema carica + monopolo e conservata 66. La

quantita di moto del campo elettromagnetico dovrebbe allora essere costante. Usando le

(14.29) e (14.30) si trova infatti che,

~Pem =

∫d3x ~E × ~B =

∫d3x ~E2 × ~B1 = − eg

(4π)2~y ×

∫~x

r3 |~x− ~y|3 d3x = 0,

in quanto l’integrale in d3x e proporzionale a ~y.

14.3.2 Il momento angolare del sistema

Analizziamo ora in dettaglio la conservazione del momento angolare. Nel limite statico

il monopolo ha momento angolare nullo, perche anche se la sua quantita di moto resta

diversa da zero, il suo braccio va a zero. Il momento angolare della carica ~Lp = ~y ×m~v e

invece diverso da zero e, per di piu, non si conserva. Usando la (14.31) si trova appunto,

d~Lp

dt= ~y ×m~a =

eg

4π

(~v

y− (~v · ~y) ~y

y3

). (14.32)

Di conseguenza anche il momento angolare del campo elettromagnetico deve essere diverso

da zero. Lo possiamo valutare usando la sua definizione (14.28), con ~E = ~E2, e ~B = ~B1,

(~n ≡ ~x/r),

~Lem =

∫d3x~x× ( ~E × ~B)

=g

4π

∫d3x~x×

(~E × ~x

r3

)

=g

4π

∫d3x

(1

r~E − (~x · ~E)

~x

r3

)

66Nel limite statico la velocita del monopolo va a zero, ma la sua quantita di moto resta finita. Lasomma delle quantita di moto di carica e monopolo e infatti costante per il principio di azione e reazionedi Newton, valido nel limite non relativistico.

399

=g

4π

∫d3x

(Ei ∂i ~n

)

=g

4π

∫d3x

(∂i

(~nEi

)− ~n (~∇ · ~E))

=g

4π

[limr→∞

(∫r2ni Ei ~n dΩ

)− e

∫d3x~n δ3(~x− ~y)

]

=eg

(4π)2

∫~n dΩ− eg

4π

~y

y

= − eg

4π

~y

y. (14.33)

Il momento angolare totale e quindi dato da,

~L = ~Lp + ~Lem = ~y ×m~v − eg

4π

~y

y, (14.34)

e usando (14.32) si verifica facilmente che e conservato, d~L/dt = 0.

Il fatto che il momento angolare del sistema a due corpi (carica + monopolo) da solo

non si conserva ha due conseguenze importanti. La prima e che il moto non e piano,

come succede invece per due corpi che interagiscono attraverso una forza centrale. La

seconda e che in un esperimento di scattering una carica inizialmente priva di momento

angolare, passando vicino a un monopolo magnetico puo acquistare un momento angolare

non nullo, sottraendolo al campo elettromagnetico. La variazione del momento angolare

della carica tra lo stato iniziale e quello finale puo infatti essere letta dalla (14.34),

∆~Lp = −∆~Lem =eg

4π

((~y

y

)

f

−(

~y

y

)

i

).

Supponiamo ora di eseguire un esperimento di scattering in cui la carica passa a

una distanza molto grande dal monopolo, ovverosia con un parametro d’impatto b molto

grande. In questo caso la carica praticamente non viene deflessa perche la forza a cui e

sottoposta si annulla a grandi distanze come 1/y2, vedi (14.31). Indicando allora con z il

versore della velocita a piu e meno infinito, che e dunque la stessa, abbiamo,(

~y

y

)

i

= −z,

(~y

y

)

f

= z,

e quindi,

∆~Lp =eg

2πz. (14.35)

Calcolo esplicito di ∆Lzp. Per capire meglio il meccanismo che fa emergere per b→∞

una variazione non nulla del momento angolare, mentre nello stesso limite le velocita

400

iniziale e finale sono uguali, calcoliamo esplicitamente la variazione della velocita durante

l’intero processo di scattering. In questo caso la traiettoria e praticamente rettilinea, e

supponendo che essa giaccia nel piano (x, z) abbiamo ~y(t) = b x+vt z, ~v(t) = v z. L’unica

componente non nulla della forza in (14.31) e allora la componente y 67,

Fy =eg

4π

[~v × ~y

y3

]

y

=eg

4π

v b

(b2 + v2t2)3/2.

Di conseguenza l’unica componente della velocita che varia e la componente y,

∆vy =

∫ ∞

−∞ay(t) dt =

1

m

∫ ∞

−∞Fy dt =

eg vb

4π m

∫ ∞

−∞

dt

(b2 + v2t2)3/2=

eg

2π m b.

Si vede quindi che la particella acquista una velocita lungo y diversa da zero – che la fa

uscire dal piano iniziale (x, z) – che si annulla nel limite per b → ∞. Al contrario, la

componente z del momento angolare subisce una variazione non nulla anche per b→∞,

∆Lzp = b (m∆vy) =

eg

2π,

in accordo con la (14.35).

14.3.3 Consistenza quantistica e condizione di quantizzazione di Dirac

Cerchiamo ora di interpretare il risultato di questo esperimento nel contesto della Mec-

canica Quantistica. In questo ambito, dato che abbiamo considerato il limite b→∞, sia

nello stato iniziale che in quello finale la carica puo essere considerata come una particella

libera che si muove di moto rettilineo uniforme lungo l’asse z. Inoltre, le componenti z

della velocita e del momento angolare sono variabili compatibili, perche da,

[Li, pj] = i~ εijkpk,

segue,

[Lzp, p

z] = 0.

Possiamo quindi misurare l’osservabile Lzp con precisione sia nello stato iniziale che in

quello finale, senza modificare la velocita lungo z. I valori che otteniamo per Lzp nei

67Ovviamente la traiettoria della carica giace nel piano (x, z) solo per per t → −∞, perche il motonon e piano. In realta quı stiamo eseguendo un calcolo perturbativo attorno alla traiettoria rettilineaimperturbata, con parametro di espansione 1/b.

401

due stati sono evidentemente due autovalori permessi per una componente del momento

angolare, cioe, n1~ e n2~, con n1 e n2 interi. Ma allora deve essere quantizzata anche la

differenza,

∆Lzp = n~,

con n intero. Confrontando con la (14.35) si deduce cosı la condizione di quantizzazione

di Dirac 68,

e g = 2πn~c, (n = 0,±1,±2, · · ·). (14.36)

Possiamo concludere che una condizione necessaria per la coesistenza quantistica di

monopoli e cariche e che qualsiasi coppia di cariche e monopoli soddisfi la condizione di

quantizzazione di Dirac, per qualche intero positivo o negativo n. Solo recentemente e

stato dimostrato che la (14.36) e in realta anche sufficiente per la costruzione di una teoria

quantistica relativistica di campo che coinvolge sia cariche che monopoli 69.

Nonostante questi risultati teorici confortanti la ricerca sperimentale di monopoli ma-

gnetici – tuttora in atto – ha dato finora esiti negativi. Tuttavia, per l’interesse sia teorico

che sperimentale che queste particelle continuano a suscitare, elenchiamo quı di seguito

alcune conseguenze che deriverebbero dall’esistenza di monopoli magnetici in natura.

Quantizzazione della carica elettrica. Supponendo che esista anche un solo monopolo,

di carica g0, la carica elettrica er di una qualsiasi particella carica a noi nota dovrebbe

soddisfare la relazione er g0 = 2πnr~, e quindi,

er = e0 nr, e0 ≡ 2π~g0

.

Si risolverebbe cosı il problema della quantizzazione della carica elettrica, perche tutte le

cariche sarebbero necessariamente multiple di una carica fondamentale e0. Questo fatto e

confermato dagli esperimenti con estrema precisione – per esempio la differenza relativa

tra i moduli della carica dell’elettrone e della carica del protone e minore di 10−20 – ma

a tuttoggi non esiste nessuna spiegazione teorica di questa “coincidenza”.

Dualita di accoppiamento debole/forte. La condizione di Dirac stabilisce una relazione

68P.A.M. Dirac, Proc. Roy. Soc. (London), A133, 60 (1931).69R.A. Brandt et al., Phys. Rev. D19 4 1153 (1979)

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tra le costanti di struttura fine elettrica e magnetica,

αe ≡ e2

4π ~c, αm ≡ g2

4π ~c,

che in teoria quantistica di campo giocano il ruolo di costanti di accoppiamento. Usando

la (14.36) si ottiene infatti,

αe αm =n2

4.

Per un dato sistema di cariche abbiamo quindi che se αe e piccola allora αm e grande, e

viceversa. D’altra parte sotto una trasformazione di dualita e e g si scambiano tra di loro

secondo e→ g, g → −e, che per le costanti di accoppiamento equivale a,

αe ←→ αm. (14.37)

La dualita elettromagnetica scambia quindi regimi di accoppiamento debole con regimi di

accoppiamento forte. Per questo motivo questa dualita viene anche chiamata “dualita di

accoppiamento debole/forte”. Si puo allora facilmente intuire che una relazione di dualita

puo essere molto utile per analizzare una teoria a livello non perturbativo, cioe, in un

regime in cui la costante di accoppiamento e grande, per cui non avrebbe senso effettuare

uno sviluppo perturbativo.

I monopoli in Teorie di Grande Unificazione. Lo studio dei monopoli – introdotti da

noi ad hoc nell’ambito dell’Elettrodinamica classica – e motivato anche dal fatto che nelle

Teorie di Grande Unificazione (GUT), come per esempio quella basata sul gruppo di gauge

SU(5), la presenza di monopoli e una previsione inevitabile della teoria stessa. Il fatto che

i monopoli non siano stati ancora osservati evidentemente non contraddice queste teorie,

per il semplice motivo che le masse previste per queste particelle sono troppo elevate da

poterle produrre negli acceleratori oggi in uso.

La condizione di quantizzazione di Schwinger. Concludiamo presentando la generaliz-

zazione della condizione di Dirac al caso di particelle dioniche. L’argomento semiclassico

che abbiamo presentato sopra si estende infatti facilmente al caso in cui abbiamo una

particella con cariche e1 e g1, statica nell’origine, e una particella con cariche e2 e g2 che

si muove nel campo elettromagnetico creato dalla prima. In questo caso si ottiene la

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condizione 70,

e1g2 − e2g1 = 2πn ~c, (n = 0,±1,±2, · · ·). (14.38)

Il segno relativo tra i due termini in questa relazione e dettato dall’invarianza per dualita,

vedi (14.17).

Sottolineiamo il fatto che le condizioni di quantizzazione (14.36) e (14.38) sono state

ottenute come condizioni necessarie – attraverso un argomento semiclassico nell’ambito

della Meccanica Quantistica non relativistica. Per completezza aggiungiamo che nell’am-

bito delle teorie quantistiche relativistiche di campo si puo far vedere che un sistema di

N dioni puo interagire consistentemente se vale, in alternativa, l’uno o l’altro dei seguenti

due set di condizioni,

ergs = 2πnrs ~c, ∀ r, s,

ergs − esgr = 4πnrs ~c, ∀ r, s,

dove gli nrs sono interi postivi o negativi. Il fattore 2 aggiuntivo nel secondo set di

condizioni, rispetto a (14.38), e da interpretarsi come un effetto relativistico.

70J. Schwinger, Phys. Rev. 144 4 (1966) 1087.

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