JURUSAN MATEMATIKA Drs. Lukman Hanafi, M.Sc FAKULTAS ... fileFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU...

Click here to load reader

  • date post

    08-Apr-2019
  • Category

    Documents

  • view

    224
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of JURUSAN MATEMATIKA Drs. Lukman Hanafi, M.Sc FAKULTAS ... fileFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU...

Nurlita Wulansari (1210100045)

Dosen Pembimbing:

Drs. M. Setijo Winarko, M.SiDrs. Lukman Hanafi, M.ScJURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMINSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER

SURABAYA2014

KesimpulanPembahasan

Pendahuluan

Home

Tinjauan Pustaka

Metodelogi Penelitian

Pada Tugas Akhir ini menganalisis tentang model penyebaran penyakitmenular . Model ini mempunyai kelas terisolasi dari kontak sexual yangbertujuan untuk mengurangi pertumbuhan jumlah populasi terinfeksi danjumlah kematian pada populasi terinfeksi. Namun, model penyakit ini tidakmemberi kelas kesembuhan. Pada model ini akan dicari titik setimbang daribebas penyakit, titik setimbang endemik dan titik setimbang kepunahanpopulasi Susceptible. Selanjutnya akan dilakukan analisa kestabilan padasetiap titik setimbang tersebut dengan tujuan untuk mengetahui tingkatpenyebaran suatu penyakit. Selain itu dilakukan penyelesaian numerikuntuk model SIA menggunkan metode Runge- Kutta orde empat. Metode inidigunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial yang menyangkutnilai awal, dan memudahkan dalam menganalisa sehingga akan diketahuierror selisih antara nilai eksak dengan numerik pada titik setimbang.Kata kunci Model Epidemik Transmisi vertikal SIA, Metode Runge-Kutta orde 4.

Abstrak

Home

1.5 Manfaat

1.2 Rumusan Masalah

1.3 Batasan Masalah

1.4 Tujuan

1.1 Latar Belakang

Pendahuluan

Bertambahnya masyarakat pengidap

penyakit yang disebabkan keturunan dan dari pasangannya

Model epidemik

Transmisi vertikal SIA

Tugas Akhir Sebelumnya

HSVMetode Numerik

Runge-Kutta

1.2 Rumusan Masalah

1.3 Batasan Masalah 1.4 Tujuan

1.1 Latar Belakang

1.5 Manfaat

1. Bagaimana menentukan kestabilan lokal dari setiap titik kesetimbangan pada model dengan transmisi vertikal?

2. Bagaimana interpretasi hasil analisis dari model epidemik transmis ivertikal dengan menggunakan metode Runge-Kutta?

1.2 Rumusan Masalah

1.3 Batasan Masalah 1.4 Tujuan

1.1 Latar Belakang

1.5 Manfaat

Permasalahan yang dibahas pada proposal tugas akhir ini akan dibatasi pada model epidemik tipe SIA dengan

S adalah individu rentan penyakit (Susceptible)

I adalah individu terinveksi (Infected)

A adalah individu yang terisolasi (Abstained class).

1.2 Rumusan Masalah

1.3 Batasan Masalah 1.4 Tujuan

1.1 Latar Belakang

1.5 Manfaat

1. Mengetahui syarat-syarat terjadinya penyakit endemik didalam masyarakat.

2. Mengintrepetasikan hasil analisis dari model epidemik transmisi vertikal dengan menggunakan metode Runge-Kutta.

1.2 Rumusan Masalah

1.3 Batasan Masalah 1.4 Tujuan

1,1 Latar Belakang

1.5 Manfaat

1. Mengetahui dinamika penyebaran per laju penyakit dan berusaha mengurangi penyebaran dengan memperhatikan syarat terjadinya endemik

2. Sebagai referensi bagi pihak medis/ badan pemerintahan yang terkait dalammenyelesaikan masalah mewabahnya penyakit HSV-2 (Herpes SimpleksVirus tipe 2)

Home

2.1 Penelitian Terdahulu

2.2 Bilangan Reproduksi dasar (R0)

2.3 Kestabilan Titik Tetap

2.4 Stabil Asimtotis

Lokal

2.5 Metode Runge-Kutta

Model kestabilan transmisi vertikal sudah pernah dibahas sebelumnya.Diantaranya oleh :1. Widiarto, Henry. 2010. membahas tentang model epidemik transmisi

vertikal bertipe SIPA.2. Inderajati, Setyanti Wibawaning. 2010. membahas tentang model

epidemik transmisi vertikal bertipe SIQS.3. Pada tugas akhir akan dibahas model epidemik transmisi vertikal

bertipe SIA.

Bilangan Reproduksi dasar adalah bilangan yang menunjukkanjumlah individu rentan yang dapat menderita penyakit disebabkanoleh satu individu infeksi. Kondisi yang akan timbul adalah satudiantara tiga kemungkinan berikut ( Giesecke, 1994):

Jika Ro1, maka penyakit akan meningkat menjadi wabah dalam

populasi.

2.1 Penelitian Terdahulu

2.2 Bilangan Reproduksi dasar (R0)

2.3 Kestabilan Titik Tetap

2.4 Stabil Asimtotis

Lokal

2.5 Metode Runge-Kutta

Pandang persamaan diferensial

2.1 Penelitian Terdahulu

2.2 Bilangan Reproduksi dasar (R0)

2.3 Titik setimbang

2.4 Stabil Asimtotis

Lokal

2.5 Metode Runge-Kutta

Sebuah titik merupakan titik kesetimbangan dari persamaan(1) jika memenuhi dan karena turunansuatu konstanta sama dengan nol, maka sepasang fungsi konstan.

merupakan penyelesaian kesetimbangandari persamaan (1) untuk semua t. ( Thieme HR.1992)

Kestabilan asimtotis lokal pada titik kesetimbangan ditentukan oleh tanda pada bagian real dari akar-akar karakteristik sistem. (Thieme HR.1992)

Teorema 1 :Titik setimbang stabil asimtotis jika dan hanya jika nilai karakteristikdari matriks j=

mempunyai tanda negatif pada bagian realnya dan tidak stabil jikasedikitnya satu dari nilai karakteristik mempunyai tanda positif padabagian realnya.

Dari matriks jacobian yang dihitung disekitar titik kesetimbangan didapatkan akar-akar karakteristik sistem

2.1 Penelitian Terdahulu

2.2 Bilangan Reproduksi dasar (R0)

2.3 Titik Setimbang

2.4 Stabil Asimtotis

Lokal

2.5 Metode Runge-Kutta

Definisi 2.4.4 ( Finizion, N. 1992)Jika J adalah matriks yang berukuran n x n maka vektor tak nol dinamakan vektorkarakteristik dari J jika memenuhi

(2)Skalar disebut nilai karakteristik dari j dan dikatakan vektor karakteristik yang

bersesuaian dengan .. Untuk mencari nilai karakteristik matrik j yang berkuran n xn, maka persamaan (2) dapat ditulis (3)(3) mempunyai penyelesaian tak nol jika dan hanya jika

(4)Jika matriks maka persamaan (4) dapat ditulis

Atau

2.4.1 Akar- Akar Karakteristik

Akar-akar karakteristik

Sifat stabilitas titik setimbang berdasarkan tanda bagian real dibagi menjadi 3 yaitu:1.Stabil

Titik setimbang dikatakan stabil jika dan hanya jika akar karakteristik mempunyaibagian real yang bernilai negatif atau mempunyai bagian real tak positif.2. stabil asimtostis

Titik setimbang dikatakan stabil asimtotis jika dan hanya jika akar karakteristikmempunyai bagian real negatif .

3.tidak stabilTitik setimbang dikatakan tidak stabil jika dan hanya jika terdapat sedikitnya satu

akar karakteristik yang mempunyai bagian positif.

Lanjutan Akar- Akar Karakteristik

Kriteria kestabilan Routh Hurwitz adalah suatu metode untuk menunjukkkankestabilan sistem dengan memperhatikan koefisien dari persamaan karakteristik tanpamenghitung akar-akar karakteristik secara langsung.

Jika diketahui suatu persamaan karakteristik dengan derajat n sebagai berikut

Kemudian disusun koefisien persamaan karakteristik sehingga menjadi sebuah tabel sebagai berikut:

Tabel 2.1. tabel koefisien persamaan karakteristik

2.4.2 Kriteria kestabilan Routh-Hurwitz

Dimana nilai

Didefinisikan sebagai berikut:

Tabel (2.1) tersebut dilanjutkan mendatar dan menurun hingga diperoleh nilai nol.Semua akar tersebut dilanjutkan bernilai negatif pada bagian realnya jika dan hanyajika elemen-elemen dari kolom pertama tabel (2.1) mempunyai tanda yang sama.

Lanjutan Kriteria kestabilan Routh-Hurwitz

Pada metode ini nilai sebelumnya digunakan. Perhitungan dan bergantian

dan

Dengan

2.1 Penelitian Terdahulu

2.2 Bilangan Reproduksi dasar (R0)

2.3 Titik Setimbang

2.4 Stabil Asimtotis

Lokal

2.5 Metode Runge-Kutta

Home

Studi Literatur

Mengkaji model transmisi vertikal SIA

. Mencari titik kesetimbangan dari model

Menganalisis stabilitas titik kesetimbangan

Menginterpretasikan model dengan menggunakan metode runge-kutta

Menarik kesimpulan dan saran serta menyusun laporan tugas akhir.

III. METODELOGI PENELITIAN

Home

4.1 Diagram Kompartemen

4,2 Model

4.8 Kestabilan Lokal titik kesetimbangan kepunahan populasi susceptible

4,7 Kestabilan lokal titik kesetimbangan Endemik

4.3 Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit

4.4 Titik Kesetimbangan Endemik

4.6 Kestabilan lokal titik kesetimbangan bebas penyakit

4.5 Titik Kesetimbangan kepunahan populasi susceptible

4.9 Runge- Kutta

4.. 10 Simulasi

IV. PEMBAHASAN

Home

Gambar 1. Diagram kompartemen model epidemik transmisi vertikal bertipe SIAdengan

4.1 Diagram Kompartemen

Model dapat dituliskan sebagai berikut

dengan

4.2 MODEL

Titik Kesetimbangan Bebas Penyakittitik kesetimbangan model didapatkan dengan

Dari persamaan (1), (2) dan (3) ketikaTitik kesetimbangan bebas penyakit adalah

dengan

4.3 Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit

Titik Kesetimbangan Endemik

Dari persamaan (1), (2), dan (3) ketika

Titik kesetimbangan endemik adalah

Dengan (4)

Dan (5)

Ketika dan didapatkan (6) sehingga titik kesetimbanganendemik ada jika memenuhi

4.4 Titik Kesetimbangan Endemik

Titik kesetimbangan kepunahan populasi susceptibleDari persamaan (1), (2), dan (3) ketikaTitik kesetimbangann kepunahan populasi susceptible adalah

dengan (7)

dan (8)

dimana

4.5 Titik Kesetimbangan Kepunahan Populasi Susceptible

Kestabilan lokal titik kesetimbangan bebas penyakitAnalisis kestabilan dilakukan untuk mengetahui tingkat penyebaran suatu penyakit.Model epidemik transmisi vertikal