JURUSAN MATEMATIKA Drs. Lukman Hanafi, M.Sc FAKULTAS...

Nurlita Wulansari (1210100045)

Dosen Pembimbing:

Drs. M. Setijo Winarko, M.SiDrs. Lukman Hanafi, M.ScJURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMINSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER

SURABAYA2014

KesimpulanPembahasan

Pendahuluan

Home

Tinjauan Pustaka

Metodelogi Penelitian

Pada Tugas Akhir ini menganalisis tentang model penyebaran penyakitmenular . Model ini mempunyai kelas terisolasi dari kontak sexual yangbertujuan untuk mengurangi pertumbuhan jumlah populasi terinfeksi danjumlah kematian pada populasi terinfeksi. Namun, model penyakit ini tidakmemberi kelas kesembuhan. Pada model ini akan dicari titik setimbang daribebas penyakit, titik setimbang endemik dan titik setimbang kepunahanpopulasi Susceptible. Selanjutnya akan dilakukan analisa kestabilan padasetiap titik setimbang tersebut dengan tujuan untuk mengetahui tingkatpenyebaran suatu penyakit. Selain itu dilakukan penyelesaian numerikuntuk model SIA menggunkan metode Runge- Kutta orde empat. Metode inidigunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial yang menyangkutnilai awal, dan memudahkan dalam menganalisa sehingga akan diketahuierror selisih antara nilai eksak dengan numerik pada titik setimbang.Kata kunci — Model Epidemik Transmisi vertikal SIA, Metode Runge-Kutta orde 4.

Abstrak

Home

1.5 Manfaat

1.2 Rumusan Masalah

1.3 Batasan Masalah

1.4 Tujuan

1.1 Latar Belakang

Pendahuluan

Bertambahnya masyarakat pengidap

penyakit yang disebabkan keturunan dan dari pasangannya

Model epidemik

Transmisi vertikal SIA

Tugas Akhir Sebelumnya

HSVMetode Numerik

Runge-Kutta

1.2 Rumusan Masalah

1.3 Batasan Masalah 1.4 Tujuan1.1 Latar

Belakang1.5

Manfaat

1. Bagaimana menentukan kestabilan lokal dari setiap titik kesetimbangan pada model dengan transmisi vertikal?

2. Bagaimana interpretasi hasil analisis dari model epidemik transmis ivertikal dengan menggunakan metode Runge-Kutta?

1.2 Rumusan Masalah


Belakang1.5

Manfaat

Permasalahan yang dibahas pada proposal tugas akhir ini akan dibatasi pada model epidemik tipe SIA dengan

S adalah individu rentan penyakit (Susceptible)

I adalah individu terinveksi (Infected)

A adalah individu yang terisolasi (Abstained class).

1.2 Rumusan Masalah


Belakang1.5

Manfaat

1. Mengetahui syarat-syarat terjadinya penyakit endemik didalam masyarakat.

2. Mengintrepetasikan hasil analisis dari model epidemik transmisi vertikal dengan menggunakan metode Runge-Kutta.

1.2 Rumusan Masalah

1.3 Batasan Masalah 1.4 Tujuan1,1 Latar

Belakang1.5

Manfaat

1. Mengetahui dinamika penyebaran per laju penyakit dan berusaha mengurangi penyebaran dengan memperhatikan syarat terjadinya endemik

2. Sebagai referensi bagi pihak medis/ badan pemerintahan yang terkait dalammenyelesaikan masalah mewabahnya penyakit HSV-2 (Herpes SimpleksVirus tipe 2)

Home

2.1 Penelitian Terdahulu

2.2 Bilangan Reproduksi dasar (R0)

2.3 Kestabilan Titik Tetap

2.4 Stabil Asimtotis

Lokal

2.5 Metode Runge-Kutta

Model kestabilan transmisi vertikal sudah pernah dibahas sebelumnya.Diantaranya oleh :1. Widiarto, Henry. 2010. membahas tentang model epidemik transmisi

vertikal bertipe SIPA.2. Inderajati, Setyanti Wibawaning. 2010. membahas tentang model

epidemik transmisi vertikal bertipe SIQS.3. Pada tugas akhir akan dibahas model epidemik transmisi vertikal

bertipe SIA.

Bilangan Reproduksi dasar adalah bilangan yang menunjukkanjumlah individu rentan yang dapat menderita penyakit disebabkanoleh satu individu infeksi. Kondisi yang akan timbul adalah satudiantara tiga kemungkinan berikut ( Giesecke, 1994):

Jika Ro<1 , maka penyakit akan menghilang dalam populasi Jika Ro=1 , maka penyakit akan menetap dalam populasi. Jika Ro>1, maka penyakit akan meningkat menjadi wabah dalam

populasi.



2.3 Kestabilan Titik Tetap


Lokal


Pandang persamaan diferensial



2.3 Titik setimbang


Lokal


Sebuah titik merupakan titik kesetimbangan dari persamaan(1) jika memenuhi dan karena turunansuatu konstanta sama dengan nol, maka sepasang fungsi konstan.

merupakan penyelesaian kesetimbangandari persamaan (1) untuk semua t. ( Thieme HR.1992)

Kestabilan asimtotis lokal pada titik kesetimbangan ditentukan oleh tanda pada bagian real dari akar-akar karakteristik sistem. (Thieme HR.1992)

Teorema 1 :Titik setimbang stabil asimtotis jika dan hanya jika nilai karakteristikdari matriks j=

mempunyai tanda negatif pada bagian realnya dan tidak stabil jikasedikitnya satu dari nilai karakteristik mempunyai tanda positif padabagian realnya.

Dari matriks jacobian yang dihitung disekitar titik kesetimbangan didapatkan akar-akar karakteristik sistem



2.3 Titik Setimbang


Lokal


Definisi 2.4.4 ( Finizion, N. 1992)Jika J adalah matriks yang berukuran n x n maka vektor tak nol dinamakan vektorkarakteristik dari J jika memenuhi

(2)Skalar disebut nilai karakteristik dari j dan dikatakan vektor karakteristik yang

bersesuaian dengan .. Untuk mencari nilai karakteristik matrik j yang berkuran n xn, maka persamaan (2) dapat ditulis (3)(3) mempunyai penyelesaian tak nol jika dan hanya jika

(4)Jika matriks maka persamaan (4) dapat ditulis

Atau

2.4.1 Akar- Akar Karakteristik

Akar-akar karakteristik

Sifat stabilitas titik setimbang berdasarkan tanda bagian real dibagi menjadi 3 yaitu:1.Stabil

Titik setimbang dikatakan stabil jika dan hanya jika akar karakteristik mempunyaibagian real yang bernilai negatif atau mempunyai bagian real tak positif.2. stabil asimtostis

Titik setimbang dikatakan stabil asimtotis jika dan hanya jika akar karakteristikmempunyai bagian real negatif .

3.tidak stabilTitik setimbang dikatakan tidak stabil jika dan hanya jika terdapat sedikitnya satu

akar karakteristik yang mempunyai bagian positif.

Lanjutan Akar- Akar Karakteristik

Kriteria kestabilan Routh –Hurwitz adalah suatu metode untuk menunjukkkankestabilan sistem dengan memperhatikan koefisien dari persamaan karakteristik tanpamenghitung akar-akar karakteristik secara langsung.

Jika diketahui suatu persamaan karakteristik dengan derajat n sebagai berikut

Kemudian disusun koefisien persamaan karakteristik sehingga menjadi sebuah tabel sebagai berikut:

Tabel 2.1. tabel koefisien persamaan karakteristik

2.4.2 Kriteria kestabilan Routh-Hurwitz

Dimana nilai

Didefinisikan sebagai berikut:

Tabel (2.1) tersebut dilanjutkan mendatar dan menurun hingga diperoleh nilai nol.Semua akar tersebut dilanjutkan bernilai negatif pada bagian realnya jika dan hanyajika elemen-elemen dari kolom pertama tabel (2.1) mempunyai tanda yang sama.

Lanjutan Kriteria kestabilan Routh-Hurwitz

Pada metode ini nilai sebelumnya digunakan. Perhitungan dan bergantian

dan

Dengan



2.3 Titik Setimbang


Lokal


Home

Studi Literatur

Mengkaji model transmisi vertikal SIA

. Mencari titik kesetimbangan dari model

Menganalisis stabilitas titik kesetimbangan

Menginterpretasikan model dengan menggunakan metode runge-kutta

Menarik kesimpulan dan saran serta menyusun laporan tugas akhir.

III. METODELOGI PENELITIAN

Home

4.1 Diagram Kompartemen

4,2 Model

4.8 Kestabilan Lokal titik kesetimbangan kepunahan populasi susceptible

4,7 Kestabilan lokal titik kesetimbangan Endemik

4.3 Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit

4.4 Titik Kesetimbangan Endemik

4.6 Kestabilan lokal titik kesetimbangan bebas penyakit

4.5 Titik Kesetimbangan kepunahan populasi susceptible

4.9 Runge- Kutta

4.. 10 Simulasi

IV. PEMBAHASAN

Home

Gambar 1. Diagram kompartemen model epidemik transmisi vertikal bertipe SIAdengan

4.1 Diagram Kompartemen

Model dapat dituliskan sebagai berikut

dengan

4.2 MODEL

Titik Kesetimbangan Bebas Penyakittitik kesetimbangan model didapatkan dengan

Dari persamaan (1), (2) dan (3) ketikaTitik kesetimbangan bebas penyakit adalah

dengan

4.3 Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit

Titik Kesetimbangan Endemik

Dari persamaan (1), (2), dan (3) ketika

Titik kesetimbangan endemik adalah

Dengan (4)

Dan (5)

Ketika dan didapatkan (6) sehingga titik kesetimbanganendemik ada jika memenuhi

4.4 Titik Kesetimbangan Endemik

Titik kesetimbangan kepunahan populasi susceptibleDari persamaan (1), (2), dan (3) ketikaTitik kesetimbangann kepunahan populasi susceptible adalah

dengan (7)

dan (8)

dimana

4.5 Titik Kesetimbangan Kepunahan Populasi Susceptible

Kestabilan lokal titik kesetimbangan bebas penyakitAnalisis kestabilan dilakukan untuk mengetahui tingkat penyebaran suatu penyakit.Model epidemik transmisi vertikal SIA merupakan model persamaan yang taklinier, sehingga perlu dilakukan pelinieran dengan menggunakan ekspansi derettaylor pada persamaan (1) sampai (3).Matriks Jacobian persamaan (1) sampai (3) adalah

dengan

4.6 Kestabilan lokal titik kesetimbangan bebas penyakit

Teorema 1Jika maka titik kesetimbangan kepunahan populasi susceptible,infected, dan abstained class stabil asimtotik lokal

Jika dan maka titik kesetimbangan bebas

penyakit stabil asimstotik lokal.

Lanjutan Kestabilan lokal titik kesetimbangan bebas penyakit 1

Bukti matriks Jacobian kepunahan populasi susceptible, infected, abstained class sebagai berikut

Selanjutnya akan dicari persamaan karakteristik dari matriks Jacobian tersebut dengan menggunakan

Sehingga menjadi

atau atau


Berdasarkan Teorema 1 jikadan maka titik kesetimbangan kepunahan populasi

susceptible, infected, dan abstained class stabil asimtotik lokal.Dengan diberikan dan ,SehinggaSedangkan untuk titik kesetimbangan bebas penyakit padaJika makaMatriks Jacobian dari titik kesetimbangan bebas penyakit adalah

dengan


Selanjutnya akan dicari akar- akar karakteristiknya menggunakan Sehingga menjadi

dengan

Didapatkan

Akar karakteristiknya adalah(9)

Dan akar- akar karakteristik yang lain dapat ditulis dalam bentuk matriks


Maka didapatkandan

Sehingga nilai dari M mempunyai bagian real negatif.Jika nilai eigen (9)Maka stabil asimtotik lokal untuk bebas penyakit dan ekuivalen dengan

jadi titik kesetimbangan bebas penyakit stabil asimtotik lokal


Seperti kestabilan lokal titik bebas penyakit dilakukan pelinieran terlebih dahulusebelum melakukan analisis kestabilan. Pada persamaan (1) sampai (3) denganTeorema 2Jika salah satu

dan

Terpenuhi maka titik kesetimbangan endemik ada dan stabil asimtotik lokal.Jika

Maka titik kesetimbangan kepunahan populasi susceptible ada dan stabilasimtotik lokal

4.7 Kestabilan lokal titik kesetimbangan Endemik

Bukti :Matriks Jacobian dari titik setimbang endemik adalah

Selanjutnya akan dicari akar- akar karakteristiknya

didapatkan (10)dengan

Lanjutan Kestabilan lokal titik kesetimbangan Endemik 1

Untuk menentukan nilai dari akar- akar karakteristik pada persamaan (10)dapat digunakan rumus Ruth- Hurrwitz.

Didapatkan karena . Elemen pada kolom pertama padaTabel 1 memiliki tanda yang sama yaitu positif maka titik kesetimbangan endemikstabil asimtotik lokalDari persamaan (4) dan (5) didapatkan

(11)


Dan dari persamaan (9) substitusi ke persamaan (6) didapatkan(12)

Pertama akan ditentukan bahwa sisi sebelah kiri positif .Dan juga ekuivalen dengan kuadrat dari sisi sebelah kiri pada persamaan (12)

Untuk pertidaksamaan sebelah kanan pada persamaan (12) didapatkan .Dan kuadrat dari sisi sebelah kanan pada persamaan (12) didapatkan

Sehingga kesetimbangan endemik ada dan stabil asimtotik lokal karena kondisi padateorema 2 terpenuhi.


Matriks Jacobian dari persamaan (1) sampai (3) dengan pada titik setimbang kepunahan populasi susceptible adalah

Selanjutnya akan dicari akar- akar karakteristik dari matriks Jacobian kepunahan populasi susceptible

Sehingga akar karakteristiknya adalah

ketika

4.8 Kestabilan lokal titik kesetimbangan kepunahan populasi susceptible

Dan ekuivalen dengan

Dan akar- akar karakteristik yang lain dapat ditulis dalam bentuk matriks

Didapatkan

Dari persamaan (7) dan (8) didapatkan Jadi titik kesetimbangan kepunahan populasi susceptible stabil asimtotik lokal dengan memenuhi teorema 2.

Lanjutan Kestabilan lokal titik kesetimbangan kepunahan populasi susceptible 1

dengan

4.9 Runge- Kutta

dengan

Lanjutan Runge- Kutta 1

Dan h adalah langkah waktu

Lanjutan Runge- Kutta 1

Berikut ini adalah tabel parameter untuk Bebas penyakit, Endemik, dan Kepunahan populasi susceptible pada penyakit HSV, yaitu

Tabel Parameter 1

Tabel Parameter 2

GUI

Pada Gambar 2 menunjukkan bahwa populasi susceptible menuju ke titik setimbangS = 86, 1325 yang berarti 86 juta jiwa mulai dari hari ke 4.998. Populasi Infectedmenuju titik setimbang I = 0 mulai dari hari ke 27 dan populasi Abstained classmenuju titik setimbang A= 13,87 yang berarti 14 juta jiwa mulai dari hari ke 4.902.sehingga menunjukkan tidak terjadinya penyebaran penyakit.

Simulasi model SIA bebas penyakit

Pada Gambar 3 menunjukkan bahwa populasi susceptible menuju ke titik setimbangS = 86, 130 yang berarti 86 juta jiwa mulai dari hari ke 4.242. Populasi Infectedmenuju titik setimbang I = 0 mulai dari hari ke 23 dan populasi Abstained classmenuju titik setimbang A= 13,8696 yang berarti 14 juta jiwa mulai dari hari ke 4.021.sehingga menunjukkan tidak terjadinya penyebaran penyakit.


Pada Gambar 4 tidak menunjukkan kestabilan pada populasi karena h yang begitu besar.


Sehingga didapatkan perilaku sistem berdasarkan nilai h sebagai berikut:

Grafik akan stabil jika nilai h kurang dari 159

PERILAKU SISTEM BERDASARKAN NILAI h PADA MODEL SIA BEBAS

PENYAKIT

Pada Gambar 5 menunjukkan bahwa populasi susceptible menuju ke titiksetimbang S = 73, 4732 yang berarti 74 juta jiwa mulai dari hari ke 14. 998.Populasi Infected menuju titik setimbang I = 5, 2637 yang berarti 5 juta jiwa mulaidari hari ke 14. 983 dan populasi Abstained class menuju titik setimbang A=15,7299 yang berarti 16 juta jiwa mulai dari hari ke 14. 994. sehingga terjadinyapenyebaran penyakit.

Simulasi model SIA Endemik

Pada Gambar 6 menunjukkan bahwa populasi susceptible menuju ke titik setimbangS = 73, 4734 yang berarti 74 juta jiwa mulai dari hari ke 11. 143. Populasi Infectedmenuju titik setimbang I = 5,2637 yang berarti 5 juta jiwa mulai dari hari ke 11.301dan populasi Abstained class menuju titik setimbang A= 15,7299 yang berarti 16 jutajiwa mulai dari hari ke 10.257. sehingga terjadinya penyebaran penyakit.


Pada Gambar 7 tidak menunjukkan kestabilan pada populasi karena h yang begitubesar


Sehingga didapatkan perilaku sistem berdasarkan nilai h sebagai berikut:


Perilaku sistem berdasarkan nilai h pada model SIA Endemik

Pada Gambar 8 menunjukkan bahwa populasi susceptible menuju ke titik setimbangS = 0 mulai dari hari ke 16. Populasi Infected menuju titik setimbang I = 934,9515yang berarti 935 juta jiwa mulai dari hari ke 1.049 dan populasi Abstained classmenuju titik setimbang A= 1.165 yang berarti 1.165 juta jiwa mulai dari hari ke 488.sehingga terjadi kepunahan pada populasi susceptible maka sebaliknya populasiinfected dan Abstained class meningkat.

Simulasi model SIA Kepunahan Populasi Susceptible

Pada Gambar 9. tidak menunjukkan kestabilan pada populasi karena h yangbegitu besar

Simulasi model SIA Kepunahan Populasi Susceptible

Sehingga didapatkan perilaku sistem berdasarkan nilai h sebagai berikut


Perilaku sistem berdasarkan nilai h pada model SIA Kepunahan Populasi Susceptible

1. Titik Setimbang dan analisis kestabilan dari model epidemik bertipe SIA dengantransmisi vertikal.

a. Titik setimbang bebas penyakit adalah

Stabil asimtotik lokal jika dan

b. Titik setimbang endemik adalah

stabil asimtotik lokal jika

KESIMPULAN

Dan

c. Titik setimbang kepunahan populasi susceptible adalah

stabil asimtotik jika

2. Simulasi model epidemik bertipe SIA dengan menggunakan metode numerikRunge- Kutta langkah waktu (h) mempengaruhi waktu yang dibutuhkan untukmendekati titik setimbang, semakin besar langkah waktu (h) yang digunakanmaka semakin pendek pula waktu yang dibutuhkan untuk mendekati titiksetimbang.

3. Error antara nilai eksak dan nilai numerik dengan menggunakan metodeRunge- Kutta pada titik kesetimbngan sangat kecil

LANJUTAN KESIMPULAN 1

.[1] Guihua Li, dkk. 2005. ”Global Stability of SEIR Epidemic Model with Infectious Force to Latent, Infected and Immune Period”. Chaos, Solitions and Fractals. hal.1177-1184.

[2] Daniel Maxin, TIM Olson, Adam Shull. 2011. ”Vertical Transmission in EpidemicModels of Sexually Transmitted Diseases with Isolation from Reproduction”

[3] Didit BN. 2009. Diktat kuliah. Program Studi Matematika Fakultas Sains danMatematika Universitas Kristen Satya Wacana.

[4] Widiarto, Henry. 2010. ”Analisa Stabilitas Dari Model Epidemik AIDS DenganTransmisi Vertikal”. Tugas Akhir. Matematika ITS

[5]. Inderajati, Setyanti Wibawaning. 2010. “ Pengaruh Karantina Terhadap PenyebaranPenyakit Menular dalam Model Epidemik Tipe SIQS”. Tugas Akhir. Matematika ITS.

[6] Maxin, Daniel. 2007. “The Effect of Nonreproductive Groups on Persistent Sexually Transmitted Diseases”. Mathematical Biosciences and Enginering

[7] Anonim. 2012. “ Penyakit Infeksi dan Menular”. (http://mhs.blog.ui.ac.id/putu01/2012/01/09/penyakit-infeksi-dan-menular/, diakses pada tangal 27 Agustus 2013 pukul 12.02)

[8] Sun, Changjun, Hsieh, Ying-Hen. 2010.”Global Analysis of an SEIR Model with Varying Population Size and Vaccination”. Applied Mathematical Modelling

http://mhs.blog.ui.ac.id/putu01/2012/01/09/penyakit-infeksi-dan-menular/

JURUSAN MATEMATIKA Drs. Lukman Hanafi, M.Sc FAKULTAS...

Documents

Transcript of JURUSAN MATEMATIKA Drs. Lukman Hanafi, M.Sc FAKULTAS...