GRAĐEVINSKI FAKULTEGRAĐEVINSKI FAKULTEТТ ООdsek za geodezijudsek za geodeziju

Doc.Doc.

drdr

ZagorkaZagorka

GospaviGospavićć,

dipl.geod.inž.

ŠŠkolska 200kolska 2009/109/10

MODEL IZRAVNANJAGEODETSKIH MREŽA

U teoriji izravnanja geodetskih mreža, koja se bazira na primeni metoda najmanjih kvadrata (MNK), postoji širok spektar različitih matematičkih modela izravnanja. U praktičnim primenama izravnanja geodetskih mreža najčešće se koriste sledeće metode:

•

izravnanje po metodi posrednih merenja,•

izravnanje po metodi uslovnih merenja,•

izravnanje po metodi uslovnih merenja sa nepoznatim parametrima,

•

izravnanje po metodi posrednih merenja kada su parametri u određenim matematičkim uslovima.

Model izravnanja geodetskih

mreža

zasnovan

je

na

matematičkom

modelu

koji

predstavlja

matematički

opis

pretpostavki

o merenjima

i njihovoj

funkcionalnoj

vezi

sa

nepoznatim

parametrima

(najčešće

koordinatama

tačaka).

Model izravnanja

Matematički

model koji

se koristi

prilikom

analiza

geodetskih

mreža, a koji najbolje

opisuje

stvarno

stanje

jednog

takvog

sistema, je

Gaus-Markovljev

model, koji

za

ocene

parametara

modela

koristi

metod

najmanjih

kvadrata (MNK).

1. Izravnanje po metodi posrednih merenja

Analiza

merenja

pre izravnanja

Analiza i testiranje rezultata merenja pre izravnanja:

1.

Postojanje grubih grešaka1.1. Iz odstupanja sumljivog merenja od aritmetičke sredine1.2. Preko raspona merenja

1.

Homogenost rezultata merenja 2.

Normalnost rasporeda merenja

Gauss-Markovljev

model-

Stohasticki

model -

Osnovna

pretpostavka

o merenjima, koju

je

još

Gaus

(1908) uveo, a pod kojom

važi

metod

najmanjih

kvadrata, jeste

da

matematičko

očekivanje

greške

merenja

bude

nula, odnosno

da

greške

merenja

slede

normalnu

raspodelu, sa

matematičkim

očekivanjem

nula

i kovaricionom

matricom

‘’K’’.

Merene

veličine

su

slučajne

veličine

koje

slede

normalnu

raspodelu

verovatnoća

izraženu

u obliku:

gde

je

vektor

očekivanja

i kovarijaciona

matrica

merenih

veličina.

),(~ ll KNl μ

0)()( == vMM ε ),0(~ KNε

lμ lK

Geodetska

merenja

odnose

se na

različite

fizičke

veličine

(uglovi, pravci, dužine, visinske

razlike

i druge

fizičke

veličine) koje se u zavisnosti od metode i mernog pribora određuju sa različitom tačnošću. Stohasticki

model definise

određene pretpostavke vezane za merenja.

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nl

ll

l...

2

1

l

lllll

lllll

lllll

QK

nnn

n

n

20

21

2

2

...............

...

...

2

2212

1211

σ

σσσ

σσσσσσ

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=l

nlll ..., , , 21

Gauss-Markovljev

model-

Stohasticki

model -

Pretpostavke

koje

se odnose

na

korelisanost

opažanja

- Slučaj

korelisanih

opažanja

različite preciznosti ll QK 20σ=

1l−⋅=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

= P

p

p

p

K o

n

o

l

l

l

l

n

22

1

2

2

2

2

1

1

1

2

1

σσ

σ

σσ

OO

120

−= ll PK σ- Slučaj

nekorelisanih

opažanja

različite preciznosti

llll EKEP 20σ=⇒=- Slučaj

nekorelisanih

opažanja

iste

preciznosti

Gauss-Markovljev

model-

Funkcionalni

model -

Funkcionalni model definise funkcionalnu –

matematičku vezu između merenih veličina i nepoznatih parametara modela.

Opšti nelinearni funkcionalni model)ˆ(ˆ XFvll =+=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nl

ll

l

ˆ

ˆˆ

ˆ 2

1

M⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nl

ll

lM2

1

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

n

v

υ

υυ

M2

1

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

)X(F

)X(F)X(F

XF

nˆ

ˆˆ

)ˆ( 2

1

M

lv

)ˆ(XF

X̂

l̂ Vektor izravnatih (ocenjenih ) veličinaVektor merenih veličinaVektor popravaka merenih veličina

Vektor nelinearnih matematičkih funkcijaVektor izravnatih (ocenjenih ) parametara

,

i

)ˆ(ˆ XFvll =+=

) , ... , ,()ˆ ..., ,ˆ,ˆ(ˆ000 dttdyydxxFtyxFll iiiii +++==+= υ

Gauss-Markovljev

model-

Funkcionalni

model -

xXX ˆˆ0 +=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

t

yx

X

ˆ

ˆˆ

ˆM

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

0

0

0

t

yx

XM

0

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

dt

dydx

xM

ˆ

Vektor

ocenjenih

vrednostiparametara

Vektor

pribliznih

vrednostiparametara

Vektor

priraštajaparametara

Gauss-Markovljev

model-

Linearizacija funkcionalnog modela

-

Metod najmanjih kvadrata podrazumeva linearnost funkcija veze.

dttFdy

yFdx

xFtyxFl iii

iii000

000 ....) , ... , ,(∂∂

++∂∂

+∂∂

+=+υ

iiiii fdtudybdxa +⋅++⋅+⋅= ...υ

Gde je:

0xF

a ii ∂

∂=

0yF

b ii ∂

∂=

0tF

u ii ∂

∂=

iii ltyxFf −= ) , ... , ,( 000

-

Parcijalni izvodi funkcije po nepoznatim parametrima

-

Slobodni članovi (približno –

mereno)

Funkcija veze

)ˆ(XF

Gauss-Markovljev

model-

Funkcionalni model u matričnom obliku -

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

nnnnn f

ff

dt

dydx

uba

ubauba

v

vv

MM

L

MOMM

L

L

M2

1

222

111

2

1

fxAv +⋅= ˆˆ

Algoritam izravnanja-

Primena

metoda najmanjih kvadrata -

min=⋅⋅ vPv lT

Metod najmanjih kvadrata predstavlja rešenje preodređenog sistema linearnih jednačina (jednačina veza) pod pretpostavkom stohastičkog modela,uz uslov minimizacije kvadratne forme . .

fxAv +⋅= ˆ

dvPvvPdv lTT

lT ⋅⋅=⋅⋅ )(

0=⋅⋅+⋅⋅ dvPvvPdv lT

lT

02 =⋅⋅⋅ dvPv lT

xdAdv ˆ⋅=

0ˆ =⋅⋅⋅ xdAPv lT

Tl

T APv /0=⋅⋅

0=⋅⋅ vPA lT

0ˆ =+⋅⋅⋅ )( fxAPA lT

0ˆ =⋅⋅+⋅⋅⋅ fPAxAPA llT

0ˆ =+⋅ nxNPAAN T=

fPAn l ⋅⋅=

-

Matrica koeficijenata normalnih jednačina

-

Matrica slobodnih članova normalnih jednačina

- Sistem normalnih jednačina

,ˆ ˆ1 nQnNx x ⋅−=⋅−= −

Algoritam izravnanja-

Ocene parametara modela -

-

Vektor ocenjenih priraštaja nepoznatih parametara

fxAv +⋅= ˆˆ

-

Izravnate vrednsti nepoznatih parametaradtttdyyydxxx +=+=+= 000ˆ . .ˆ,ˆ

-

Vektor ocenjenih popravaka merenja

iii vll ˆˆ +=-

Izravnate vrednsti merenih veličina)ˆ ..., ,ˆ,ˆ(ˆ tyxFl ii =

iii vltyxF ˆ)ˆ ..., ,ˆ,ˆ( += -

Kontrola izravnanja!!!

Mere kvaliteta (tačnosti) modela-

Mere preciznosti modela-

unvQv

QtragQvQvs l

T

vl

lo −

==−

−

− ˆˆˆˆˆˆ

1

1

1T Empirijska

standardna

devijacija

jedinice

težine određena iz izravnanja (a posteriori standarna

devijacija

obeležava se još

i sa ).oσ̂

iii xxox Qss ⋅= Empirijska

standardna

devijacija

nepoznatih parametara.

122ˆ

2ˆ )(ˆˆˆ −− ⋅=⋅=⋅= APAsNsQsK l

TooXoX

1

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

uuuu

u

u

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

QQQ

QQQQQQ

Q

L

MOMM

L

L

21

22212

12111

x̂

Preciznost

geodetskih

mreža

predstavlja

statistički

kvalitet

ocena

veličina

( funkcija

ili

nepoznatih

parametara

-

koordinata

). Mere preciznosti

nam, pre svega, daju

informaciju

o prisustvu

i uticaju

slučajnih

grešaka.Osnovi izvor informacija o preciznosti ocena predstavljaju kovariciona matrice ocena K, odnosno, kofaktorske matrica ocena (u ovom slučaju najvažnija kofaktorska matrica nep. parametara x̂Q

iiiii yyxxop QQss +⋅= Položajna tačnost iz izravnanja tačaka 2D mreže.

iii llolQss ˆˆˆ ⋅= Empirijska

standardna

devijacija

izravnatih merenih veličina

T1T1 AAPAAsAANsQsK lT

oolol−− ⋅=⋅=⋅= )(ˆˆˆ 22

ˆ2 Kovariciona matrica izravnatih merenih veličina

)(ˆˆ 12ˆ

2ˆ

Tlovov AANQsQsK −−⋅=⋅= Kovariciona matrica popravaka

Mere kvaliteta (tačnosti) modela- Globalne mere preciznosti modela-

k

kxx

kxx

K

trK

λλλλλ

λλλ

λλλσ

λλλσ

⋅⋅⋅→−

→

→→⋅⋅⋅=

→+++=

.....min

min

minmin).....(ˆdet

min).....(ˆ

21

minmax

min

max

max

2120ˆˆ

2120ˆˆ

Mere kvaliteta (tačnosti) modela-Lokalne mere preciznosti modela-

Elementi apsolutnih elipsi grešaka

( )

( )kQQ

kQQ

yyxx

yyxx

−+=

++=

2121

2

1

λ

λ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

yyyx

xyxx

QQQQ

Qx̂ 0)(

)()det( ˆ =

−−

=⋅−λ

λλ

yyyx

xyxx

QQQQ

IQx

0)( 22 =−++− xyyyxxyyxx QQQQQ λλ

( )

( )kQQsssB

kQQsssA

yyxxoBoo

yyxxoAoo

−+⋅=⋅=⋅=

++⋅=⋅=⋅=

2121

2

1

λλ

λλ

x

y

yyxx

xy

xx

arctgQQ

Qarctg

1

1221

=−

=θ

( ) 22 4 xyyyxx QQQk +−=

Elementi elipse grešaka za verovatnoću (1-α)

αα

αα

λ

λ

−−

−−

⋅⋅=⋅⋅⋅=

⋅⋅=⋅⋅⋅=

1,,21,,2

1,,21,,2

22

22

rrBoF

rrAoF

FBFsB

FAFsA

yyxx

xyF QQ

Qarctg

−==

221θθ

Pouzdanost

geodetskih

mreža

predstavlja

kvalitet

predloženog

rešenja

mreže

(geometrije

i merenja) s’obzirom

na

mogućnost

otkrivanja

grubih

grešaka

u merenjima

(unutrašnja

pouzdanost) i s’obzirom

na

uticaj

neotkrivenih

grubih

grešaka

na

ocene

traženih

veličina

(spoljašnja

pouzdanost). Kod

mera

pouzdanosti

razlikujemo

još

lokalne

i globalne

mere pouzdanosti. Globalne

mere pouzdanosti

odnose

se na

mogućnost

utvrđivanja

postojanja

grubih

grešaka

bez

mogućnosti

njihovog

lociranja, dok

su

mere lokalne

pouzdanosti

vezane

za

verovatnoću

otkrivanja

rezultata

koji

odskaču.

Mere kvaliteta (tačnosti) modela-

Mere pouzdanosti modela-

=⋅−=− −− lQANAEv lT ) ( 1 1

=⋅−= −− 11 )( lT

l QAANQ

lQQ lv ⋅= −1 lR ⋅=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

== −

nnnn

n

n

lv

rrr

rrrrrr

QQR

L

MOM

L

21

22221

11211

1

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nl

ll

M2

1

l

=+++++=− niniiiiii lrlrlrlr ......2211υ

ivlvii PQQQriiii

== −1

Faktor rii predstavlja uticaj grube greške i-tog opažanja na i-tu popravku. Iz toga sledi da je verovatnoća otkrivanja grube greške u i-tom opažanju veća ukoliko je faktor rii veći.

Kod

merenja kod kojih je rii manje od 0.3 smatraju se nepouzdanim.

Faktor rii kao mera lokalne unutrašnje pouzdanosti:

Metode isključenja grubih grešaka

Grube

greške

u merenjima

su

najčešće

prouzrokovane

neispravnostima

instrumenata

ili

ličnim

greškama

operatera. Prilikom

izravnanja

merenja

u mreži

po

metodi

najmanjih

kvadrata, a po

modelu

Gauss-Markovljeva, kao

rezultat

ocene

dobijaju

se popravke

merenja

koje

u sebi

sadrže

mešavinu

različitih

tipova

grešaka. Da

bi došli

do određenih

saznanja

o pojavi

grubih

grešaka

neophodno

je

uvesti

određene

pretpostavke

u vezi

stohastičkih

svojstava

popravaka. U tom smislu

pod rezultatom

merenja

koji

odskače

(koji

je

opterećen

grubom

greškom) tretira

se popravka

koja

prema

određenim

pravilima

odstupa

od

neke

pretpostavke.

Globalna test statistika za greške matematičkog modela

)E(σ)E(sH ooa22 : =

~2

,2

2

2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≅== ∞ r

FsrPvvT r

ro

o

o

T χσσ

ar HFT →≤ ∞− ,,1 α

0,,1 HFT r →> ∞−α

)E(σ)E(sH oo22

0 : ≠

Test statistika Test odluka

Metode isključenja grubih grešaka

Lokalna test statistika

(data-snooping)

za grube greške merenih veličina

Kada nije prihvaćena nulta hipoteza, neophodno je ispitati

razloge njenog neprihvatanja odnosno, proveriti da li postoje grube greške, da li je uzeta odgovarajuća tačnost opažanja i odgovarajući funkcionalni model opažanja. Prvo se identifikuju eventualne grube greške u pojedinim

merenim veličinama odnosno, hipoteze

glasi:

0 : ≠∇iAH0 : =∇ioH

gde je :

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∇=∇

00

00

iVektor grubih grešaka u merenju

iil

i

o

iii rQ

iiii⋅−

=−

=−

=σ

υσ

υσυω

υυυ

oi HN /)1 ,0(~ω

oNi Hk →< )1 ,0(ω

aNi Hk →> )1 ,0(ω

Test statistika Test odluka