Iuliana Carmen Barb… …acioru · 2020. 6. 23. · Prelucrarea datelor 8.4.2 Ajust…ari a–ne...

Prelucrarea datelor

Iuliana Carmen B¼arb¼acioru

2013


2

Cuprins

1 Serii de caractere 111.1 Deni̧tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Caractere calitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.1 Deni̧tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.2 Prezentarea tabelului

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5 Caractere cantitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5.1 Deni̧tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5.2 Prezentarea tabelului

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.6 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.7 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.7.1 Enunţuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.7.2 Soluţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2 Reprezentãri grace 312.1 Caractere calitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3 Caractere cantitative discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.4 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.5 Caractere cantitative regrupate în clase . . . . . . . . . . . . . . . 422.6 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.7 Diagrame specice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.8 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.9 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.9.1 Enunţuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3


2.9.2 Soluţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3 Parametrii de pozi̧tie 633.1 Medii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.1.1 Media aritmeticã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.1.2 Media geometricã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.1.3 Media armonicã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.1.4 Media p¼atraticã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.2 Cuantile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.2.1 Deni̧tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.2.2 Determinarea unei cuantile de ordin �%(0 < � < 100) . . . 72

3.3 Mod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.3.1 Deni̧tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.3.2 Determinarea modului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.4 Comparaţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.5 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81


4 Parametrii de dispersie şi de form¼a 914.1 Momente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.1.1 Momente de ordinul r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.1.2 Momente centrate de ordinul r . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.2 Egalitãţi remarcabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.3 Schimbarea originii şi a unitãţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.4 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.5 Varianţa şi abaterea standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.5.1 Varianţa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.5.2 Abaterea standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.5.3 Calcularea varianţei: teorema lui Koenigs . . . . . . . . . . 94

4.6 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.7 Coecient de variaţie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.8 Abaterea medie absolutã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.8.1 Abaterea medie absolutã în raport cu media . . . . . . . . . 984.8.2 Abaterea medie absolutã în raport cu mediana . . . . . . . 98

4.9 Abateri intercuantile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.9.1 Intervale intercuantile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.9.2 Abateri intercuantilice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.9.3 Amplitudinea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4

Prelucrarea datelor

4.10 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.11 Parametrii de formã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.11.1 Parametrii de asimetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.11.2 Parametrii de aplatizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.12 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.13 Cutii cu capete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.13.1 Cutii cu capete de lãţime constantã . . . . . . . . . . . . . 1154.13.2 Cutii cu capete de l¼aţime variabil¼a . . . . . . . . . . . . . . 119

5 Concentra̧tii 1235.1 Mediala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.1.1 Deni̧tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.3 Curba de concentraţie (Gini) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.3.1 Deni̧tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285.3.2 Interpretare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285.3.3 Determinarea grac¼a a medialei . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.4 Indicele de concentraţie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.4.1 Deni̧tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.5 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.6 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143


6 Indici 1516.1 Indicii elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

6.1.1 Deni̧tii şi notaţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1516.1.2 Propriet¼aţi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1526.1.3 Procentul de varia̧tie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

6.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1556.3 Indici sintetici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

6.3.1 Coecienţii bugetari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1566.3.2 Indicii Laspeyres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1576.3.3 Indicii Paasche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1576.3.4 Formule de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1586.3.5 Comparaţii între indicii Laspeyres şi Paasche . . . . . . . . 1586.3.6 Indicii Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

6.4 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1606.5 Indici înl¼anţui̧ti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

5


6.6 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1676.7 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171


7 Distribuţii statistice bidimensionale 1777.1 Deni̧tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1777.2 Prezentarea tabelului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1787.3 Distribuţii asociate şi independenţa statistic¼a . . . . . . . . . . . . 179

7.3.1 Distribuţii marginale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1797.3.2 Independenţa statistic¼a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

7.4 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1817.4.1 Distribuţii condi̧tionate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

7.5 Reprezent¼ari grace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1847.5.1 Nor de puncte ponderate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1847.5.2 Stereograme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

7.6 Parametrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1857.6.1 Medii marginale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1857.6.2 Dispersii marginale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1857.6.3 Momente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1857.6.4 Covarianţa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

7.7 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1887.7.1 Medii condi̧tionate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1917.7.2 Dispersii condi̧tionate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

7.8 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1917.8.1 Relaţii între parametrii marginali şi cei condi̧tionaţi . . . . 1927.8.2 Descompunerea dispersiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

7.9 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1947.9.1 Enunţuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1947.9.2 Soluţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

8 Regresie şi corela̧tie 2058.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2058.2 Regresii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

8.2.1 Regresia lui Y faţ¼a de X şi a lui X faţ¼a de Y . . . . . . . . 2058.2.2 Metoda celor mai mici p¼atrate . . . . . . . . . . . . . . . . 206

8.3 Curbe de regresie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2068.4 Ajust¼ari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

8.4.1 Ajust¼ari ane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

6

Prelucrarea datelor

8.4.2 Ajust¼ari ane prin metoda celor mai mici p¼atrate . . . . . . 2088.5 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2098.6 Corelaţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

8.6.1 Raportul de corelaţie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2158.6.2 Coecientul de determinare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2178.6.3 Coecientul de corelaţie liniar¼a . . . . . . . . . . . . . . . . 219

8.7 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2208.7.1 Enunţuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2208.7.2 Soluţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

9 Serii cronologice 2459.1 Deni̧tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2459.2 Reprezent¼ari grace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2459.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2469.4 Analiza unei serii cronologice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

9.4.1 Tendinţa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2529.4.2 Variaţia sezonier¼a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2539.4.3 Ciclicitatea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2539.4.4 Variaţia accidental¼a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

9.5 Previziunea pe termen scurt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2539.6 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2559.7 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262


10 Teste 26910.1 TEST 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26910.2 TEST 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27310.3 TEST 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27610.4 TEST 4 . . 27910.5 TEST 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28210.6 TEST 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28510.7 TEST 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28810.8 TEST 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29110.9 TEST 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29810.10TEST 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

Bibliograe 314

7

Index 315

Prelucrarea datelor

Prefa̧t¼aAcest curs de prelucrarea datelor se adreseazã studenţilor din anul II si IV ai

Facult¼aţii de Inginerie.Nivelul sãu corespunde anului II, deci este accesibil tuturor absolvenţilor de

liceu.El este conceput pentru a permite studiul individual de-a lungul întregului an

şi bineînţeles pentru pregãtirea examenului.Exerci̧tiile comportã un numãr mare de calcule care sunt fãcute cu ajutorul

calculatorului. Rezultatele sunt aproximate şi trecute cu un numãr mare dezecimale adaptate de la caz la caz. Atunci când calculele sunt înscrise într-untabel, de exemplu, calculele sunt efectuate cu 9 zecimale.

Calculele ulterioare care reprezintã rezultate sigure sunt efectuate cu valorilelor rotunjite.

9


10

Capitolul 1

Serii de caractere

1.1 Deni̧tii

� Popula̧tie1: muļtimea de referinţã, altfel spus muļtimea unitãţilor observate.

� Individ sau unitate statisticã: toate elementele popula̧tiei.

� Efectiv total: numãrul indivizilor observaţi, notat cu n.

� Caracter: aspectul particular al individului de care ne interesãm. Elpoate cantitativ sau calitativ. Dacã este cantitativ poate discretsau continuu.

1.2 Exemple

Exemplul 1.2.1 Spuneţi dac¼a, în vederea efectuãrii unui studiu statistic, urmãtoareapopulaţie este bine denitã:

a) personalul bancar de la B.N.R?

b) indivizii de naţionalitate românã?

c) locuitorii municipiilor?

d) mica publicitate depusã la panoul de aşaj Hypertruc, la 01.04.2001?

e) şomerii români la data 01.01.2002?

1Denţia populaţiei este importantã deoarece ea condi̧tioneazã omogenitatea unitãţilorobservate şi abilitatea rezultatelor.

11


Soluţie: a) Personalul de la B.N.R. nu corespunde unei popula̧tii bine denite.Se poate întâmpla ca:- efectivul total la 31.12 sã e în concediu fãrã platã, concediu de boalã peperioadã îndelungatã şi serviciu militar.- personal prezent permanent de la 01.01 la 31.12.- personal fãrã contract pe o duratã determinatã (replasaţi sau temporari) şiconcediu fãrã platã.b) Aceastã populaţie este bine denitã, dar ea nu exclude indivizii care au dublãnaţionalitate.c) Aceastã deni̧tie nu ne oferã date despre:- soldaţii în termen care î̧si efectueazã serviciul militar în municipii,- studenţi,- persoanele care au ca reşedinţ¼a secundarã municipiile, etc.d) Aceastã populaţie este bine denitã, deoarece un mic anunţ publicitar estesau nu pe panoul de a̧saj.e) Deni̧tia cuvântului şomer nu este precis precizatã.- Ociul Na̧tional pentru ocuparea foŗtei de muncã deneşte ca şomeri toatepersoanele care simultan sunt lipsite de slujbã, cautã o slujbã remuneratã, solicitão slujbã, cautã un loc de muncã plãtit. Aceastã deni̧tie a fost adoptatã de INSEEîn 1975.- Altã deni̧tie posibilã: Toate persoanele fãrã slujbã, înscrise la Ociul Naţionalpentru ocuparea foŗtei de muncã care-̧si cautã un loc de muncã durabil pentrucare sunt dispuse sã înceapã lucrul imediat.

Exemplul 1.2.2 INSEE anunţã în februarie 1984 cã: Numãrul de strãini recenzaţieste de 3.680.100. Statistica anualã a Ministerului de Interne dã ca cifrã 4.223.928la 31.12.1984. Cum explicaţi diferenţa dintre cele douã cifre?

Soluţie: Diferenţa dintre cele douã cifre nu este sucientã pentru a explicaabaterile importante fãcute de cele douã surse citate. Cea de aici provine îndeosebidin faptul cã realitãţile luate în calcul sunt diferite şi cã erorile proprii ale ecãreisurse sunt de sens contrar. De asemenea, Ministerul de Interne nu ia în calculsejururile în curs de desfãşurare dar ţine cont de copii mai mici de 16 ani a cãrorvârstã este declaratã de pãrinţi în timp se INSEE face recensãmântul, anchete peteren cu ajutorul primãriilor.Cele douã metode prezintã lacune şi cele douã cifre furnizate sunt cu certitudineeronate. INSEE crede cã el a sub-estimat populaţia strãinã cu 10 % la recensãmântuldin 1975. Prin urmare putem trage concluzia cã Ministerului de Interne a supra-

12

Prelucrarea datelor

estimat aceastã populaţie pentru a-̧si mãri numãrul angajaţilor sau din motivepolitice...

Observa̧tia 1.2.3 Acest exemplu relevã importanţa denirii populaţiei şi modalitateade colectare a datelor.

1.3 Caractere calitative

1.3.1 Deni̧tii

� Un caracter este calitativ dacã pe parcursul studierii individului nu estenecesarã o mãsurare (el este legat de o observaţie care nu face obiectul uneimãsurãtori).

Exemplul 1.3.1 Exemplu: populaţia unei ţãri poate caracterizatã prin:- sex (feminin sau masculin);- situaţie matrimonialã (celibatar, cãsãtorit, vãduv, divorţat).

� Modalitã̧ti: sunt diferite rubrici asociate unui caracter calitativ. Astfel,caracterul sexcomportã douã modalitã̧ti.Proprietate: Modalitãţile unei caracteristici formeazã o parti̧tie, altfelspus, ele trebuie sã e exhaustive şi disjuncte. Fiecãrui individ i se poateasocia o modalitate şi numai una.

� Nomenclator: muļtimea modalitãţilor precedate de un numãr de cod.

� Efectiv ni: de câte ori sau în câte modalitãţi numãrul "i" a fost observat.

� Frecvenţã fi: cantitatea de efectiv ni din efectivul total n.

Observa̧tia 1.3.2 Avem relaţiile:

n =nXi=1

ni (1.1)

fi =ninPi=1ni

(1.2)

nXi=1

fi = 1 (1.3)

13


- Frecvenţele pot exprimate în tabel şi în procente.- Deoarece modalitãţile trebuie sã e exhaustive, putem aprecia o modalitate caind diversãsau alt felsau fãrã rãspuns, grupând astfel indivizii imposibilde catalogat.

1.3.2 Prezentarea tabelului

Modalitatea

numãrul i

Efectivul

ni

Frecvenţa

fi

1

:::::

:::::

r

n1

nr

f1

fr

1.4 Exemple

Exemplul 1.4.1 Producţia de aluminiu în 1988, în cinci ţãri industrializate erade (în miliarde de tone):

U.S.A.

U.R.S.S.

Canada

Japonia

Franţa

5.262

2.415

1.347

1.099

536

a) Calculaţi producţia totalã.b) Calculaţi proporţia producţiei pentru ecare ţarã în parte.

Soluţie: a) Este sucient sã însumãm cifrele din cea de-a doua coloanã pentrua obţine produçtia totalã, adicã 10.659.000 t.

b) Propoŗtia produçtiei pentru ecare ţarã în parte se obţine împãŗtind produçtiaecãrei ţãri în parte la produçtia totalã (vezi ecuaţia 1.2).

14

Prelucrarea datelor

ni fi ( în % )

U.S.A.

U.R.S.S.

Canada

Japonia

Franţa

5.262

2.415

1.347

1.099

536

49,4

22,7

12,6

10,3

5,0

Total 10.659 100,0

Exemplul 1.4.2 Avem urmãtorul text de Alvin To er2: Ceea ce trece astãzidrept învâţãmânt, e el chiar şi în cele mai bune şcoli şi colegii, nu este decât unanacronism dezasperant. Pãrinţii sperã cã învãţãmântul îi va pregãti pe copiii lorpentru viaţa viitorului. Profesorii îi avertizeazã cã lacunele sistemului actual vormutila şansele copilului în lumea de mâine. Instituţiile guvernamentale, biserica,mass-media - toate recomandã cu cãldurã tinerilor sã meargã la şcoalã, insistândasupra faptului cã acum, ca niciodatã în istorie, viitorul omului depinde aproapeîn întregime de studiile sale.Dar, cu toate aceste discuţii despre viitor, şcolile noastre sunt ancorate într-unsistem sortit dispariţiei, în loc sã priveascã înainte, spre societatea nouã în cursde a se naşte. Vastele lor energii sunt folosite pentru a fabrica Oameni Industriali- oameni croiţi pentru a supravieţui doar într-un sistem ce va mort înaintealor. Pentru a evita şocul viitorului, trebuie sã creãm un sistem de învãţãmântsupraindustrial. Iar pentru a face aceasta trebuie sã ne cãutãm obiectivele şimetodele în viitor, şi nu în trecut Care este litera din alfabet cea mai frecventã în acest text? Care sunt cele treilitere cu frecvenţa cea mai mare?

2Alvin To er, Şocul viitorului, Ed. Politicã, Bucureşti, 1973

15


Soluţie: Obţinem urmãtorul tabel:

ni fi ( în % )

a

~a

â

b

c

d

e

f

g

h

71

27

7

3

40

19

93

7

6

1

8; 84

3; 36

0; 87

0; 37

4; 98

2; 36

11; 58

0; 87

0; 74

0; 12

ni fi ( în % )

i

{̂

j

k

l

m

n

o

p

r

98

17

0

0

37

25

53

37

21

48

12; 20

2; 11

0

0

4; 60

3; 11

6; 60

4; 60

2; 61

5; 97

ni fi ( în % )

s

ş

t

ţ

u

v

w

x

y

z

43

9

59

9

52

18

0

0

0

3

5; 35

1; 12

7; 34

1; 12

6; 47

2; 24

0

0

0

0; 37

Se observã cã cea mai des întâlnitã literã în text este i, urmatã de eşi a.

Exemplul 1.4.3 Completaţi tabelul de mai jos, ştiind cã prima şi ultima modalitateau efective egale:

Modalitã̧ti Frecvenţe

A

B

C

D

E

F

:::

0; 12

0; 34

0; 27

0; 15

:::

Soluţie: Fie fi frecvenţa asociatã ecãrei modalitãţi. Avem:

f2 + f3 + f4 + f5 = 0; 12 + 0; 34 + 0; 27 + 0; 15 = 0; 88

Rezultã cã:f1 + f6 = 1� 0; 88 = 0; 12

Cum f1 = f6 deoarece efectivele sunt egale, frecvenţele sunt egale f1 = f6 = 0; 6:

16

Prelucrarea datelor

1.5 Caractere cantitative

1.5.1 Deni̧tii

� Un caracter este cantitativ dacã se poate mãsura. El este:- discret dacã valorile observate sunt izolate sau separate;- continuu dacã acel caracter poate lua toate valorile cuprinse într-uninterval real.Se trateazã ca şi caractere continue toate caracterele discrete ale cãrorivalori au fost regrupate în clase.

� Frecvenţe cumulate crescãtoare: cumulul frecvenţelor asociate la valoride caractere strict inferioare lui x. Avem:

F1 = 0 (1.4)

Fi =

i�1Xj=1

fj pentru i = 1; 2; :::; n

� Funçtia de reparti̧tie: este funçtia F denitã prin:F (x) = proporţia indivizilor pentru care valoarea caracterelor este inferioarãlui x.

� Prin convenţie, o clasã este un interval închis la stânga şi deschis la dreapta,de tipul [bi; bi+1). Aceste intervale se zic bornate dacã bi 6= �1 iarbi+1 6= +1:

� Efectivul ni al clasei numãrul i este numãrul de indivizi ale cãror caractereiau o valoare mai mare sau egalã cu bi şi strict mai micã decât bi+1.

� Centrul unei clase bornate este:

xi =bi + bi+1

2(1.5)

� Amplitudinea unei clase bornate este:

ai = bi+1 � bi (1.6)

� Densitatea unei clase bornate este:

di =niai

(1.7)

Observa̧tia 1.5.1 Densitatea se calculeazã atunci când clasele sunt de amplitudinidiferite (dar nite).

17


1.5.2 Prezentarea tabelului

� Tabelul asociat unui caracter cantitativ discret

Valori

observate xi

Efective

ni

Frecvenţe

fi

Frecvenţe cumulate

crescãtor Fi

x1

xp

n1

np

f1

fp

F1

Fp

� Tabelul asociat unui caracter cantitativ continuu

Clasa

numãrul i

[bi; bi+1)

Centre

xi

Efective

ni

Frecvenţe

fi

Frecvenţe cumulate

crescãtor Fi

[b1; b2)

[bp; bp+1)

x1

xp

n1

np

f1

fp

F1

Fp

1.6 Exemple

Exemplul 1.6.1 Urmãtoarele caractere sunt calitative sau cantitative?

a) sexul d) talia g) tensiunea arterialã

b) starea matrimonialã e) culoarea ochilor h) nivelul colesterolului

c) vârsta f) picioarele i) domiciliul

Soluţie: Caracterele a, b, e, i sunt caractere calitative deoarece nu se potmãsura. Caracterele c, d, f, g, h sunt caractere cantitative, deoarece ecãruiindivid i se poate asocia o valoare numericã.

Exemplul 1.6.2 Analizând caracterele cantitative de mai jos, precizaţi care suntdiscrete şi care pot considerate continue ?

18

Prelucrarea datelor

a) cifra de afaceri a magazinelor alimentare;b) proporţia întreprinderilor ce aparţin de sectoare terţiare;c)cota parte pe membru de familie a unui contribuabil;d) numãrul de persoane ce locuiesc într-o locuinţã principalã;e) numãrul de locuri la cinema asociate ecãrei sãli;f) numãrul copiilor pe familie

Soluţie: a) Cifra de afaceri este un caracter cantitativ continuu deoarece eapoate lua nenumãrate valori reale pozitive.b) Propoŗtia întreprinderilor ce apaŗtin de sectoare teŗtiare corespunde unuinumãr întreg şi deci poate consideratã ca ind discretã. În aceeaşi mãsurã însã,întreprinderile de aceeaşi mãrime se pot grupa pe clase de salariaţi iar atunciacest caracter va considerat drept continuu.c) Cota parte pe membru de familie a unui contribuabil nu este un numãr întregdeoarece poate lua valorile 1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5; 4...., dar acest caracter este totuşiunul discret.d) Numãrul de persoane ce locuiesc într-o locuinţã principalã este un caracterdiscret.e) Numãrul de locuri la cinema asociate ecãrei sãli este un caracter discret, dar,pentru un studiu statistic se pot regrupa sãlile în funçtie de capacitate [0; 100),[100; 200),...f) Numãrul copiilor dintr-o gospodãrie este un caracter discret.

Exemplul 1.6.3 În urma unui studiu efectuat asupra populaţiei unui oraş s-astabilit numãrul de persoane aferent ecãrui menaj (gospodãrie, locuinţã). Acestaeste trecut în tabelul de mai jos.

Numãr de

persoane1 2 3 4 5 6 7 şi mai multe

Numãr de

menaje2.327 4.533 8.918 10.405 6.210 2.134 1.123

Calculaţi frecvenţele şi frecvenţele cumulate crescãtoare.

Soluţie: Pentru determinarea frecvenţelor trebuie sã calculãm mai înainterapoartele

ninunde ni este efectivul asociat modalitãţii xi şi n este efectivul

total.Pentru determinarea frecvenţelor cumulate crescãtoare, vom determina pentru

19


ecare xi propoŗtia menajelor având un numãr de persoane mai mic strict de xi.Tabelul de mai jos trebuie interpretat în felul urmãtor:De exemplu, valoarea 0,192 este corespunzãtoare lui xi egal cu 3. Deci 19,2 %dintre menaje sunt compuse din mai puţin de 3 persoane, adicã sunt compusedintr-o persoanã sau douã.

xi ni fi Fi

1

2

3

4

5

6

7 şi mai multe

2:327

4:533

8:918

10:405

6:210

2:134

1:123

0:065

0; 127

0; 250

0; 292

0; 174

0; 060

0; 032

0; 000

0; 065

0; 192

0; 442

0; 734

0; 908

0; 968

Total 35.650 1,000

Observa̧tia 1.6.4 Dacã frecvenţa cumulatã crescãtoare asociatã modalitãţii xide caractere este denitã ca o proporţie a menajelor ce se din mai puţin de xipersoane, frecvenţa cumulatã ataşatã valorii 3 nu este 0,192 ci 0,442.Pentru a evita problemele de interpretare ale deniţiei, putem adopta urmãtoareaprezentare tabelarã:

xi ni fi Fi

1

2

3

4

5

6

7şi mai multe

2:327

4:533

8:918

10:405

6:210

2:134

1:123

0:065

0; 127

0; 250

0; 292

0; 174

0; 060

0; 032

0; 000

0; 065

0; 192

0; 442

0; 734

0; 908

0; 968

Total 35.650 1,000

De exemplu, proporţia menajelor ce cuprind 1, 2 sau 3 persoane este egalã cu44,2 %.

20

Prelucrarea datelor

Exemplul 1.6.5 Pentru ecare dintre distribuţiile de mai jos scrieţi clasele subfomã de intervale reale şi calculaţi mijlocul lor.

diametrul (în mm) intervale de ani greutate (în kg)

140� 145145� 150150� 155155� 160160� 165165� 170

0� 5 ani6� 10 ani11� 15 ani16� 20 ani21� 25 ani26� 30 ani

mai puţin de 70

între 70 şi mai puţin de 75





Soluţie:

diametrul ( mm) centrele intervalelor

[140; 145)

[145; 150)

[150; 155)

[155; 160)

[160; 165)

[165; 170)

142; 5

147; 5

152; 5

157; 5

162; 5

167; 5

intervale de ani centrele intervalelor

[0; 5; 5)

[5; 5; 10; 5)

[10; 5; 15; 5)

[15; 5; 20; 5)

[20; 5; 25; 5)

[25; 5; 30; 5)

2; 75

8

13

18

23

28

greutate (în kg) centrele intervalelor

[0; 70)

[70; 75)

[75; 80)

[80; 85)

[85; 90)

[90; 100)

[100;+1)

35

72; 5

77; 5

82; 5

87; 5

95

�

Observa̧tia 1.6.6 Cea de-a doua distribuţie nu este corect denitã deoarece unindivid care are 20 de ani şi 3 luni nu se situeazã în nici un interval de ani deunde şi construcţia intervalelor disjuncte şi adiacente.

21


La cea de-a treia distribuţie ultima clasã nu are centru. Prima clasã are mijlocul35, trebuie deci sã m prudenţi la nivelul de interpretare statistic al acestei valori.Pentru calculele ulterioare, ar de dorit sã nu se ţinã seama de prima şi de ultimaclasã.

Exemplul 1.6.7 Completaţi urmãtorul tabel:

Clase Centre FrecvenţeFrecvenţe

cumulateDensitãţi

[10; 20)

[20; 30)

[30; 40)

[40; 60)

[60; 80)

:::

:::

:::

:::

:::

0; 08

0; 13

:::

:::

:::

:::

:::

0; 21

0; 39

:::

:::

:::

:::

:::

:::

Soluţie: Utiliz¼am ecuaţiile (1.5),(1.2),(1.4) şi (1.7):

ClaseCentre

ni

Frecv.

fi

Frecv.

cum.

Fi

Densitãţi

di

[10; 20)

[20; 30)

[30; 40)

[40; 60)

[60; 80)

15

25

35

50

70

0; 08

0; 13

0; 18

0; 25

0; 36

0; 00

0; 08

0; 21

0; 39

0; 64

0; 008

0; 013

0; 018

0; 012

0; 018

Observa̧tia 1.6.8 Se poate observa cã dacã se ştiu frecvenţele cumulate se potdetermina frecvenţele. Densitãţile sunt calculate aici ca rapoarte între frecvenţeşi amplitudini.

Exemplul 1.6.9 Studiul statistic al unei populaţii a permis regruparea indivizilorpe clase ale cãror centre sunt urmãtoarele:

52, 60, 68, 76, 84, 92

a) Care este amplitudinea acestor clase?b) Calculaţi limita inferioarã şi limita superioarã a ecãrei clase.

22

Prelucrarea datelor

Soluţie: a) Utiliz¼am ecuaţia (1.6). Amplitudinea ecãrei clase este egalã cu8.b) Clasele obţinute sunt urmãtoarele:[48;56) [56;64) [64;72) [72;80) [80;88) [88;96)

23


1.7 Probleme

1.7.1 Enuņturi

Problema 1.7.1 Angajaţii unei întreprinderi sunt repartizaţi în funcţie de salariullor pe orã, conform urmãtorului tabel:

Salariul (în lei ) Efectiv

[200; 250)

[250; 300)

[300; 350)

[350; 400)

[400; 450)

mai mult de 450

38

59

47

24

12

2

a) Care este limita superioarã ce trebuie datã ultimei clase dacã am dori catoate clasele sã aibã aceeaşi amplitudine?

b) Calculaţi centrul ecãrei clase.c) Calculaţi frecvenţele asociate ecãrei clase.d) Care este proporţia angajaţilor care câştigã mai puţin de 350 lei pe orã?

Problema 1.7.2 O anchetã despre înãlţimea a 50 de persoane (în cm) a avutca rezultat urmãtoarele date:

158 172 166 170 168 175 152 190 191 157

163 160 149 186 188 172 173 184 181 180

172 169 171 173 171 180 198 167 175 177

170 173 168 167 169 180 181 178 166 164

160 168 166 162 170 182 183 190 167 169

a) Clasaţi aceste date (amplitudinea unei clase sã e 5 cm).b) Calculaţi frecvenţele.c) Calculaţi frecvenţele cumulate crescãtoare.

Problema 1.7.3 Fie urmãtoarele date punctuale:

24

Prelucrarea datelor

Nume Vârsta Ocupaţie

D-na Popescu

D-nul Ionescu

D-nul Ivan

D-na Bordea

D-na Vasilescu

D-nul Muşat

D-na Luca

D-na Ridea

D-nul Muscalu

D-nul Zoi̧ta

D-nul Nãstase

D-na Duma

D-na Rus

D-nul Şerban

D-na Corici

D-na Barbu

D-nul Cristea

D-na Ridera

D-na Cojan

D-na Trotea

38

27

53

47

54

36

58

37

27

59

30

33

26

44

59

20

62

48

45

32

o̧ter

civil

subo̧ter

subo̧ter

civil

civil

subo̧ter

civil

o̧ter

subo̧ter

subo̧ter

civil

o̧ter

subo̧ter

civil

civil

subo̧ter

civil

civil

o̧ter

Nume Vârsta Ocupaţie

D-na Priescu

D-nul Popovici

D-nul Cambrea

D-na Scarlat

D-na Bordea

D-nul Mirea

D-na Lupu

D-na Scorei

D-nul Covercã

D-nul Dascãlu

D-nul Dinu

D-na Matei

D-na Mihai

D-nul Cintezã

D-na Arnãutu

D-na Dogaru

D-nul Puşcaş

D-na Toma

D-na Damian

D-na Jianu

53

26

35

23

27

47

28

48

56

59

30

38

31

24

38

29

65

57

56

44

subo̧ter

civil

subo̧ter

civil

civil

o̧ter

civil

civil

civil

civil

o̧ter

o̧ter

o̧ter

civil

civil

subo̧ter

o̧ter

subo̧ter

o̧ter

civil

Completaţi urmãtoarele tabele:

Sex Efectiv Frecvenţã

Masculin

Feminin

Total

25


Vârstã Efectiv Frecvenţã

mai puţin de 25

între 25 şi 34

între 35 şi 44

între 45 şi 54

între 55 şi 59

mai mult de 60

Total

Calicare Efectiv Frecvenţã

civil

o̧ter

subo̧ter

Total

Calicare civil o̧ter subo̧ter Total

Sex

VârstãM F M+F M F M+F M F M+F

mai puţin de 25

între 25 şi 34

între 35 şi 44

între 45 şi 54

între 55 şi 59

mai mult de 60

Total

Problema 1.7.4 Prezentãm mai jos punctajul între 1 şi 20 obţinut de 50 decandidaţi:

10 8 3 12 13 9 12 9 12 11

11 11 8 5 13 14 14 6 12 16

7 11 10 10 2 15 12 10 1 14

11 7 8 10 13 9 13 9 7 13

11 19 9 4 10 8 9 6 7 14

26

Prelucrarea datelor

a) Aranjaţi aceste date într-un tabel ( Se vor considera urmãtoarele clase [0;5),[5;7), [7;9), [9;11), [11;13), [13;15), [15;20] ).

b) Calculaţi frecvenţele.

c) Calculaţi frecvenţele cumulate.

d) Care este proporţia candidaţilor cu mai puţin de 9 puncte?

e) Care este proporţia candidaţilor ce au un punctaj mai mare sau egal cu 13?

f) Care este proporţia candidaţilor ce au un punctaj cuprins între 5 şi 20?

g) Care este clasa cu densitatea cea mai mare şi care cu densitatea cea maimicã?

1.7.2 Solu̧tii

Soluţie: 1.7.1, a) Deoarece toate clasele trebuie sã aibã aceeaşi amplitudine,trebuie ca şi ultima sã aibã o amplitudine de 50. Utiliz¼am ecuaţia (1.6). Limitasuperioarã a ultimei clase este 500.b) Centrul ecãrei clase este mijlocul intervalului. Utiliz¼am ecuaţia (1.5)(vezitabelul de mai jos).c) Efectivul total este egalã cu suma efectivelor ecãrei clase. Utiliz¼am ecuaţia(1.1):

n = 38 + 59 + 47 + 24 + 12 + 2 = 182

Frecvenţele corespund rapoartelor dintre ecare efectiv în parte şi n. Utiliz¼amecuaţia (1.2). Obţinem urmãtorul tabel:

Salariul Efective Centre Frecvenţe (în %)

[200; 250)

[250; 300)

[300; 350)

[350; 400)

[400; 450)

[450; 450)

38

59

47

24

12

2

225

275

325

375

425

475

20; 88

32; 42

25; 82

13; 19

6; 59

1; 10

Total 182 100,00

27


d) Propoŗtia angajaţilor ce câştigã mai puţin de 350 lei este egalã cu sumafrecvenţelor primelor trei clase.

20; 88 + 32; 42 + 25; 82 = 79; 12%

Soluţie: 1.7.2Dupã ordonarea datelor pe clase se obţine urmãtorul tabel:

Clase Efective FrecvenţeFrecvenţe

cumulate

[145; 150)

[150; 155)

[155; 160)

[160; 165)

[165; 170)

[170; 175)

[175; 180)

[180; 185)

[185; 190)

[190; 155)

[195; 200)

1

1

2

5

12

11

4

8

2

3

1

0; 02

0; 02

0; 04

0; 10

0; 24

0; 22

0; 08

0; 16

0; 04

0; 06

0; 02

0; 02

0; 04

0; 08

0; 18

0; 42

0; 64

0; 72

0; 88

0; 92

0; 98

1; 00

Total 50 1,00

Interpretarea frecvenţelor cumulate este, spre exemplu, urmãtoarea: 64 % dinindivizi mãsoarã mai mult de 175 cm.

Soluţie: 1.7.3,

Sex Efectiv Frecvenţã

Masculin

Feminin

15

25

0; 375

0; 625

Total 40 1,000

28

Prelucrarea datelor

Vârstã Efectiv Frecvenţã

mai puţin de 25

între 25 şi 34

între 35 şi 44

între 45 şi 54

între 55 şi 59

mai mult de 60

3

13

8

7

7

2

0; 075

0; 325

0; 200

0; 175

0; 175

0; 050

Total 40 1,000

Calicare Efectiv Frecvenţã

civil

o̧ter

subo̧ter

19

10

11

0; 475

0; 250

0; 275

Total 40 1,000

Calicare civil o̧ter subo̧ter Total

Sex M F

M

+

F

M F

M

+

F

M F

M

+

F

Vârstã

pânã în 25

[25 ; 34]

[35 ; 44]

[45 ; 54]

[55 ; 59]

peste 60

0

3

1

1

0

0

3

2

4

2

3

0

3

5

5

3

3

0

0

1

1

0

0

0

0

4

1

1

1

1

0

5

2

1

1

1

0

2

1

2

2

1

0

1

0

1

1

0

0

3

1

3

3

1

3

13

8

7

7

2

Total 5 14 19 2 8 10 8 3 11 40

29


Soluţie: 1.7.4, a)

ClaseEfective

ni

Frecvenţe

fi

Frecvenţe

cumulate

Fi

Densitãţi

di

[0; 5)

[5; 7)

[7; 9)

[9; 11)

[11; 13)

[13; 15)

[15; 20]

4

3

8

12

11

9

3

0; 08

0; 06

0; 16

0; 24

0; 22

0; 18

0; 06

0; 08

0; 14

0; 30

0; 54

0; 76

0; 94

1; 00

0; 8

1; 5

4; 0

6; 0

5; 5

4; 5

0; 6

Total 50 1,00

b) fi =ni50(vezi tabelul).

c) Fi =i�1Pj=1

fj (vezi tabelul).

d) Pentru a determina propoŗtia candidaţilor cu mai puţin de 9 puncte estesucient sã ne uitãm în tabel, pe coloana frecvenţelor cumulate crescãtoare asociateclasei [7; 9), adicã 30 % .e) Propoŗtia candidaţilor ce au un punctaj mai mare sau egal cu 13 se determinãînsumând frecvenţele asociate claselor [13; 15) şi [15; 20], adicã 24 % dintre candida̧ti.f) Suma frecvenţelor trebuie sã e de 100 %. Pentru calcularea propoŗtiei candidaţilorce au un punctaj cuprins între 5 şi 20 este sucient sã scãdem frecvenţa asociatãprimei clase. 100%� 8% = 92%.g) Densitãţile se calculeazã cu ajutorul formulei di =

niai(vezi tabelul). Clasa

cu densitatea cea mai mare este [9; 11) iar clasa cu densitatea cea mai micã este[15; 20]:3

3Clasa [5; 7) are acelaşi efectiv precum clasa [15; 20];dar densitatea asociatã este mai mare.

30

Capitolul 2

Reprezentãri grace

2.1 Caractere calitative

Reprezentãrile grace1 ale caracterelor calitative sunt foarte numeroase şi se facîn funçtie de diversele modalitãţi de caractere.

� Diagrame sub formã de benziCaracterul ind calitativ, se traseazã pe o dreaptã orizontalã modalitã̧tilede caractere. Trasãm pe o axã verticalã efectivele sau frecvenţele şi ducemparalele la axa orizontalã corespunzãtoare ecãrei modalitãţi.

Diagrama în benzi

0

5

10

15

1 2 3 4 5 6 8

Modalităţi

Efe

ctiv

e sa

ufr

ecve

nţe

1 În acest rezumat de curs reprezentãrile grace sunt simbolizate prin pictograme.

31


12

34

56

8

0 5 10 15

1

3

5

8

Mod

alita

ţi

Efective sau frecvenţe

Diagrame sectorialeSe folosesc îndeosebi pentru o mai bunã înţelegere a semnicaţiilor pe care le aumãrimile relative de structurã2. Efectivul total este reprezentat printr-un disc (sau un semidisc ). Fiecare modalitate este reprezentatã printr-un sector circulara cãrui suprafaţã este propoŗtionalã cu efectivul corespondent.

12

3

4

5

68

17% 2

12%

320%

424%

517%

615%

85%

2Mãrimile relative de structurã se determinã atunci când efectivul total supus analizei a fostîmpãŗtit pe grupe şi subgrupe, dupã variaţia uneia sau mai multor caracteristici de grupare şiexprimã raportul în care se aã un element sau grup de elemente ale efectivului faţã de volumulîntregului efectiv.

32

Prelucrarea datelor

� Diagrame gurative (prin panouri)Efectivele asociate ecãrei modalitãţi sunt reprezentate prin simboluri legatede tipul caracterelor. Aceste diagrame sunt utilizate pentru aspectul lorestetic, dar ele sunt lipsite de precizie.

2.2 Exemple

Exemplul 2.2.1 Tabelul de mai jos corespunde numãrului de autovehicule exportateîncepând cu anul 1991, de cãtre o întreprindere româneascã, în ţãrile din OrientulApropiat.

Arabia Sauditã

Egipt

Irak

Israel

Iordania

Siria

1700

1050

2190

310

1960

2570

Daţi o reprezentare gracã acestui fenomen.

33


Soluţie: Deoarece caracterul este calitativ, putem utiliza o diagramã în benzipentru reprezentarea acestui fenomen. Drept urmare, acest tip de diagramãpermite compararea efectivelor asociate ecãrei modalitãţi.

1700

1050

2190

310

1960

2570

0500

10001500200025003000

Arabia Saudita Egipt Irak Israel Iordania Siria

Exemplul 2.2.2 Tabelul de mai jos reprezintã populaţia câtorva ţãri în 1988 şipopulaţia estimatã pentru 2020 (în milioane de locuitori).

Ţãri Populaţia în 1988 Populaţia în 2020

China

India

Rusia

S.U.A.

Indonezia

Brazilia

Japonia

Mexic

1087

817

286

244

177

144

123

84

1361

1310

355

297

284

234

123

138

Daţi o reprezentare gracã acestui tabel.

34

Prelucrarea datelor

Soluţie:

Populatia in 1988 si 2020

0500

10001500200025003000

China Ind

iaRu

siaS.

U.A.

Indon

ezia

Braz

ilia

Japo

niaMe

xic

19882020

Exemplul 2.2.3 Repartiţia studenţilor facultãţilor de Drept şi Ştiinţe Economiceîn funcţie de nivelul lor de studii şi de specializare, este urmãtorul:

Drept Ştiinţe Economice

Anul I

Anul II

Licenţã

Masterat

Doctorat

650

296

217

148

52

324

132

92

78

23


35


Soluţie: Pentru a putea compara cele douã specializãri trebuiesc reprezentateîn aceeaşi diagramã efectivele ( frecvenţele) asociate ecãrui an de studii.

0100

200300400500

600700

Anu

l I

Anu

l II

Lice

nta

Mas

tera

t

Doc

tora

t

Drept

StiinteEconomice

Exemplul 2.2.4 În 1989, rata şomajului în câteva ţãri industrializate erau urmãtoarele(în % faţã de populaţia activã):

Ţãri Rata în 1989

S.U.A.

Japonia

Franţa

Germania

Marea Britanie

Italia

Suedia

5,20

2,30

9,60

5,50

6,90

10,90

1,40


36

Prelucrarea datelor

Soluţie: Pentru a reprezenta grac acest fenomen vom utiliza o diagramã înbenzi, care permite compararea procentajelor în diferite ţãri.

Rata somajului

0,00%

2,00%

4,00%

6,00%

8,00%

10,00%

12,00%

S.U

.A

Japo

nia

Fran

ta

Ger

man

ia

Mar

ea

Italia

Sued

ia

Exemplul 2.2.5 Tabelul de mai jos ne aratã producţia de energie a Franţei în1980 şi 1988 în funcţie de diferite tipuri de energie.

Energie 1980 1988

Cãrbune

Petrol

Gaz

Hidro

Nuclearã

Altele

24,1

4,4

11,6

28,9

25,1

5,9

8,6

3,9

2,7

17,9

62,8

4,1

Comparaţi aceste rezultate cu ajutorul unei diagrame sectoriale.

Soluţie: În aceastã diagramã suprafa̧ta ecãrui sector este propoŗtionalã cupartea asociatã ecãrui tip de energie. Trebuie calculat unghiul la centru care

37


este propoŗtional cu suprafaţa ecãrui sector.3 Obţinem urmãtorul tabel:

Energie1980

%

1980

Unghi

1988

%

1988

Unghi

Cãrbune

Petrol

Gaz

Hidro

Nuclearã

Altele

24,1

4,4

11,6

28,9

25,1

5,9

87

16

42

104

90

21

8,6

3,9

2,7

17,9

62,8

4,1

31

14

10

64

226

15

1980

Carbune

Petrol

Gaz

Hidro

Nucleara

Altele

1988

Carbune

Petrol

Gaz

Hidro

Nucleara

Altele

2.3 Caractere cantitative discrete

� Diagrame în batoane sau orgiCaracterele ind cantitative, se marcheazã pe axa absciselor valorile discreteale ca-racterelor şi pe axa ordonatelor efectivele (sau frecvenţele) asociate caracterelor.Se traseazã apoi batoane verticale a cãror lungime este propoŗtionalã cu

3Pentru petrol, în 1980, sectorul reprezintã 4,4 % din suprefaţa totalã. Unghiul la centrueste deci egal cu 4,4 % din 360 de grade, adicã 16 grade.

38

Prelucrarea datelor

efectivele (sau frecvenţele).

� Diagrame cumulativeDiagramele cumulative nu reprezintã scheme ce asociazã efectivele cu valorilecaracterelor, dar ele permit vizualizarea evoluţiei efectivelor cumulate (saufrecvenţelor cumulate) în funçtie de valorile caracterelor. Caracterele inddiscrete, curba frecvenţelor cumulate este o funçtie în trepte. Aceasta estefunçtia de reparti̧tie, notatã prin F şi denitã prin:

F (x) = propoŗtia indivizilor pentru care valoarea caracterului

este strict inferioarã lui x

Fiecare segment al gracului în trepte este deci deschis la stânga şi închisla dreapta.

39


2.4 Exemple

Exemplul 2.4.1 O populaţie statisticã de menaje (gospodãrii) a fost repartizatãîn funcţie de numãrul membrilor din gospodãrie pentru care se poate calculaimpozitul pe venit.

Nr. membri 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

Nr. menaje 48 58 136 184 210 122 62 12

1. Calculaţi proporţia menajelor ce au mai mult de 2 membri.2. Daţi o reprezentare grac¼a a acestei populaţii.

Soluţie: 1. Propoŗtia menajelor ce au mai mult de 2 membri este:

p =184 + 210 + 122 + 62 + 12

832� 0; 71

2. Caracterul ind cantitativ discret, poate reprezentat printr-o diagramã înbatoane. Înãļtimea ecãrui baton este propoŗtionalã cu efectivul.

Exemplul 2.4.2 Tabelul de mai jos aratã repartiţia menajelor unei populaţiistatistice, dupã numãrul de autovehicule pe care le posedã.

Nr. autovehicule 0 1 2 3 4 şi mai multe

Nr. menaje 488 1872 884 186 18

1. Daţi o reprezentare gracã acestui fenomen.2. Trasaţi diagrama cumulativã.

40

Prelucrarea datelor

Soluţie: 1. Caracterul este cantitativ discret. Ultima modalitate 4 şi maimulte va asimilatã modalitãţii exact 4 pentru reprezentarea gracã (înacest caz va o diagramã în batoane).

2. Pentru diagrama cumulativã va trebui sã calculãm frecvenţele cumulate4.

xi ni fi Fi

0

1

2

3

4 şi mai multe

488

1872

884

186

18

0,142

0,543

0,256

0,054

0,005

0; 000

0; 142

0; 685

0; 941

0; 995

1; 000

3448 1,000

4Pentru interpretarea tabelului, vezi exerci̧tiul 1.6.3, cap. I.

41


2.5 Caractere cantitative regrupate în clase

HistogramaHistograma este un ansamblu de dreptunghiuri învecinate, ecare dreptunghiasociat unei clase, având o suprafaţã propoŗtionalã cu efectivul acestei clase.- Clase de amplitudini egaleClasele având amplitudini egale, este sucient ca ecare dreptunghi sã aibã oînãļtime propoŗtionalã cu efectivul ecãrei clase.

- Clase de amplitudini diferiteDeoarece clasele au amplitudini diferite iar înãļtimea trebuie sã e propoŗtionalã

42

Prelucrarea datelor

cu efectivul, nu putem sã construim o histogramã. Trebuie deci sã construimdreptunghiuri a cãror înãļtime este

propoŗtionalã cu densitatea, ceea ce ne permite sã asigurãm o suprafa̧tã propoŗtionalãcu efectivul.

� Poligonul frecvenţelorAtunci când clasele sunt de amplitudini egale, poligonul frecvenţelor setraseazã unind mijloacele segmentelor superioare ale ecãrui dreptunghi.Acest poligon al frecvenţelor are o suprafaţã egalã cu suprafaţa histogramei.5

- Curba frecvenţelor cresc¼ator cumulateIndivizii ind grupaţi în clase, frecvenţa cumulatã asociatã clasei i corespunde

5 Şi atunci când clasele au amplitudini diferite se poate trasa poligonul frecvenţelor dar trebuiesã avem grijã ca suprafaţa acestuia sã e egalã cu cea a histogramei.

43


propoŗtiei indivizilor pentru care valoarea caracterului este strict inferioarãlimitei superioare a clasei i.6

2.6 Exemple

Exemplul 2.6.1 Punctele obţinute de candidaţii la un examen sunt consemnateîn tabelul urmãtor:

Puncte Nr. de candidaţi

[0; 4[

[4; 6[

[6; 8[

[8; 10[

[10; 11[

[11; 12[

[12; 14[

[14; 16[

[16; 20[

20

60

90

100

70

80

70

40

20

Construiţi histograma corespunzãtoare acestui tabel.

6Se poate în mod analog trasa o curbã a frecvenţelor cumulative descrescãtoare.

44

Prelucrarea datelor

Soluţie: Deoarece clasele nu au amplitudini egale, trebuie sã calculãm densitateaecãrei clase pentru a putea desena histograma.

Puncte Nr. de candidaţi Amplitudine Densitate

[0; 4[

[4; 6[

[6; 8[

[8; 10[

[10; 11[

[11; 12[

[12; 14[

[14; 16[

[16; 20[

20

60

90

100

70

80

70

40

20

4

2

2

2

1

1

2

2

4

5

30

45

50

70

80

35

20

5

Exemplul 2.6.2 Sã considerãm o populaţie statisticã de 1000 de indivizi, repartizaţiîn funcţie de vârstã:1. Construiţi histograma corespunzãtoare acestei populaţii.2. Trasaţi poligonul frecvenţelor.

45


Vârstã Numãr

[0; 10[

[10; 15[

[15; 20[

[20; 30[

[30; 40[

[40; 60[

[60; 80[

120

100

140

200

180

160

100

Soluţie: Clasa vârstei neavând amplitudini egale, trebuie sã calculãm densitateaasociatã ecãrei clase pentru a putea desena histograma.7

Vârsta ni ai di

[0; 10[

[10; 15[

[15; 20[

[20; 30[

[30; 40[

[40; 60[

[60; 80[

120

100

140

200

180

160

100

10

5

5

10

10

20

20

12

20

28

20

18

8

5

7Deoarece suprafaţa situatã sub poligonul frecvenţelor este egalã cu suprafaţa histogramei,am subdivizat clasele ini̧tiale în clase de amplitudine 5.

46

Prelucrarea datelor

Exemplul 2.6.3 Repartiţia angajaţilor unei întreprinderilor în funcţie de primade la sfârşit de an este dat¼a în tabelul de mai jos:1. Calculaţi frecvenţa.2. Calculaţi frecvenţele cumulate.3. Trasaţi curba frecvenţelor cumulate.

47


Mii lei Nr. de angaja̧ti

[0; 1000[

[1000; 2000[

[2000; 3000[

[3000; 3500[

[3500; 4000[

[4000; 4500[

[4500; 5000[

[5000; 6000[

[6000; 7000[

[7000; 8000[

18

44

112

120

138

164

106

98

52

8

Soluţie: 1. Pentru determinarea frecvenţelor trebuie calculat efectivul total:

n =Xi

ni = 860

fi =nin

2. Frecvenţele cumulate sunt Fi =i�1Pj=1

fj (vezi tabelul de mai jos).

3. Pentru trasarea curbei frecvenţelor cumulate trebuie trasatã o curbã continuãdeoarece caracterul poate considerat ca ind continuu. Cumulul se face pentruecare clasã la limita superioarã. Considerãm cã reparti̧tia angajaţilor în ecareclasã este uniformã.

48

Prelucrarea datelor

Mii lei ni fi în % Fi în %

[0; 1000[

[1000; 2000[

[2000; 3000[

[3000; 3500[

[3500; 4000[

[4000; 4500[

[4500; 5000[

[5000; 6000[

[6000; 7000[

[7000; 8000[

18

44

112

120

138

164

106

98

52

8

2; 1

5; 1

13; 0

14; 0

16; 0

19; 1

12; 3

11; 4

6; 0

1; 0

2; 1

7; 2

20; 2

34; 2

50; 2

69; 3

81; 6

93; 0

99; 0

100; 0

Total 860 100,0

49


2.7 Diagrame specice

� Diagrame triunghiulareDiagrama triunghiularã este utilizatã atunci când avem de-a face cu ostatisticã teŗtiarã, adicã atunci când valorile numerice sunt repartizate petrei funçtii. Se utilizeazã un triunghi echilateral în care se plaseazã indiviziiţinând cont de cele trei valori asociate ecãrei funçtii.

� Diagrame cartograce:Atunci când populaţia statisticã este repartizatãîn plan geograc se utilizeazã o hartã pentru vizualizarea valorilor asociate

50

Prelucrarea datelor

unui caracter şi unei regiuni.

� Piramida vârstelor: Dacã dorim sã repartizãm o populaţie în funçtiede vârsta şi sexul indivizilor, vom reprezenta fenomenul cu ajutorul uneidiagrame particulare numitã piramida vârstelor.

51


2.8 Exemple

Exemplul 2.8.1 Considerãm cinci populaţii statistice, notate cu A, B, C, D, E.Indivizii sunt repartizaţi în funcţie de preferinţa lor în materie de spectacole. S-aobţinut:

Cinematograf Teatru Concert

A 140 110 80

B 290 210 220

C 70 80 60

D 430 250 130

E 160 220 200

Reprezentaţi în aceeaşi diagramã triunghiularã cele cinci populaţii.

Soluţie: Pentru a reprezenta aceste populaţii diferite într-o diagramã triunghiularã,trebuie calculat pentru ecare popula̧tie procentul indivizilor avut în ecarespectacol.

Cinematograf Teatru Concert

A 43 % 33 % 24 %

B 40 % 29 % 31 %

C 33 % 38 % 29 %

D 53 % 31 % 16 %

E 28 % 38 % 34 %

52

Prelucrarea datelor

53


2.9 Probleme

2.9.1 Enuņturi

Problema 2.9.1 Producţia de zãcãminte petroliere extrasã pe platformele marine,pe regiuni, este urmãtoarea:

Regiuni 1960 1970 1975 1981

America de Nord

America Latinã

Africa

Orientul Mijlociu

Extremul Orient

Europa

Ţãri cu economie planicatã

13; 3

81; 3

�9

0; 1

0; 5

7

82; 5

134

36; 2

87; 9

10; 9

1; 4

13

68

99

54

162

43

13

11

53

121

71

237

74

118

10

1. Calculaţi pentru aceşti patru ani producţia totalã de petrol o¤ shore.2. Daţi o reprezentare gracã acestui fenomen.3. Producţia totalã de petrol este:- în 1960: 1 052 milioane tone

- în 1970: 2 336 milioane tone

- în 1975: 2 715 milioane tone

- în 1981: 2 852 milioane toneCalculaţi cota parte din petrolul o¤ shore , în procente.4. Daţi o reprezentare gracã, indicând evoluţia petrolului o¤ shore în raportcu producţia mondialã totalã.

Problema 2.9.2 Tabelul urmãtor ne dã, pentru ecare ţarã din U.E., populaţia

54

Prelucrarea datelor

în 1991 şi suprafaţa, în km2:

Populaţia(în mil.)

Suprafaţaîn mii km2

Belgia

Danemarca

Spania

Franţa

Marea Britanie

Grecia

Irlanda

Italia

Luxemburg

Ţãrile de Jos

Portugalia

Germania

9 908

5 140

39 812

56 330

57 256

10 101

3 564

57 788

366

14 938

10 607

60 977

30 513

43 070

504 750

547 026

244 820

131 944

70 282

301 230

2 586

41 500

92 082

248 580

1. Calculaţi populaţia totalã a U.E. în 1991.2. Daţi o reprezentare gracã a numãrului de locuitori.3. Daţi o reprezentare gracã a suprafeţei.4. Calculaţi densitatea (numãrul de locuitori pe km2) pentru ecare dintre ţãri şiaranjaţi ţãrile în ordinea descrescãtoare a acesteia.5. Daţi o reprezentare gracã a densitãţii.

Problema 2.9.3 Tabelul urmãtor aratã rezultatele unei anchete referitoare lagreutatea ( în kg ) indivizilor unei populaţii:

48 72 54 80 58 70 69 58 57 60

85 94 78 81 64 49 54 57 57 62

63 69 72 71 82 87 64 65 73 58

61 67 49 52 60 66 69 89 84 82

73 70 72 58 64 51 65 77 79 80

59 57 81 78 76 79 68 67 53 59

1. Aranjaţi aceste date dupã clasa amplitudinilor.2. Calculaţi frecvenţele şi frecvenţele cumulate.

55


3. Construiţi histograma şi poligonul frecvenţelor.4. Construiţi curba cumulativã crescãtoare a frecvenţelor.5. Determinaţi grac proporţia indivizilor cu o greutate medie de 75 kg.6. Comparaţi rezultatele cu valorile calculate la punctul 2.

2.9.2 Solu̧tii

Soluţie: 2.9.1, 1. Produçtia totalã de petrol o¤ shore este urmãtoarea:

1960 1970 1975 1981

Produçtia totalã

o¤ shore111,2 365,9 450 684

Produçtia totalã

mondialã1 052 2 336 2 715 2 852

Procentul petrolului

o¤ shore11% 18% 17% 24%

2. Diagrama ne aratã creşteri importante ale produçtiei între 1960 şi 1981, atâtîn Orientul Mijlociu cât şi în Europa.

Producţ ia de petrol

0,00250,00500,00750,00

1000,001250,001500,001750,002000,002250,002500,00

Amer

ica

deN

ord

Amer

ica

Latin

a

Afric

a

Orie

ntul

Mijl

ociu

Extre

mul

Orie

nt

Euro

pa

Tari

cu e

c.Pl

anifi

cata

in m

il. d

e to

ne

1960

1970

1975

1981

3. Tabelul de la punctul 1 ne aratã cã procentul de petrol o¤ shore este de 11%în 1960 faţã de 24% în 1981.4. Suprafaţa ecãrei diagrame circulare este propoŗtionalã cu produçtia mondialã,iar procentul de petrol o¤ shore este reprezentat printr-un sector circular din ceîn ce mai mare. Deoarece suprafaţa diagramei (S = �r2) va propoŗtionalã cuproduçtia totalã, trebuie ca sectorul sã e propoŗtional cu rãdãcina pãtratã a

56

Prelucrarea datelor

produçtiei totale. Unghiul la centru asociat ecãrui sector se calculeazã folosindpropoŗtia de petrol o¤ shore: de exemplu, în 1960 partea de petrol o¤ shoreeste de 11%, deci unghiul sectorului circular este egal cu 11% din 3600, adicãaproximativ de 200:

196016%

197024%

197525%

198135%

1960

1970

1975

1981

Soluţie: 2.9.2, 1. Populaţia totalã a U.E. în 1991 este de 326,787 milioanede locuitori.2. Diagrama aleasã este aceea în benzi pentru a pune în evidenţã o comparare aefectivelor.

010000200003000040000500006000070000

Bel

gia

Dan

emar

ca

Spa

nia

Franţa

Mar

eaB

ritan

ie

Gre

cia

Irlan

da

Italia

Luxe

mbu

rg

Ţăril

e de

Jos

Por

tuga

lia

Ger

man

ia

în z

eci d

e m

ii

3. Diagrama sectorialã este foarte des utilizatã pentru reprezentarea gracã asuprafȩtelor. Drept urmare, ecare sector al unei suprafȩte este propoŗtional cuefectivul.Pentru calcularea unghiului la centru asociat ecãrui sector a trebuit sã determinãm

57


procentul din suprafaţã asociat ecãrei ţãri din U.E. Am obţinut urmãtorul tabel:

Suprafaţa

în mii km2Procentaj

din suprafaţã

Unghiul

în grade

1. Belgia

2. Danemarca

3. Spania

4. Franţa

5. Marea Britanie

6. Grecia

7. Irlanda

8. Italia

9. Luxemburg

10. Ţãrile de Jos

11. Portugalia

12. Germania

30 513

43 070

504 750

547 026

244 820

131 944

70 282

301 230

2 566

41 500

92 082

248 580

1,35%

1,91%

22,35%

24,22%

10,84%

5,84%

3,11%

13,34%

0,11%

1,84%

4,08%

11,01%

5

7

80

87

39

21

11

48

0

7

15

40

Total 2 258 383 100,00% 360

1

2

3

45

6

7

8

9

10

11 12

58

Prelucrarea datelor

4. Densitatea este egalã cu conţinutul numãrului de locuitori pe suprafaţã.

Populaţia(în mil.)

Suprafaţaîn mii km2

Densitatea

Ţãrile de Jos

Belgia

Germania

Marea Britanie

Italia

Luxemburg

Danemarca

Portugalia

Franţa

Spania

Grecia

Irlanda

9 908

5 140

39 812

56 330

57 256

10 101

3 564

57 788

366

14 938

10 607

60 977

41 500

30 513

248 580

244 820

301 230

2 586

43 070

92 082

547 026

504 750

131 944

70 282

360

325

245

234

192

142

119

115

103

79

77

51

Total 326 787 2 258 383

5. Pentru reprezentarea densitãţii, putem utiliza diagrama în benzi.

Densitati

050

100150200250300350400

Ţăril

e de

jos

Bel

gia

Ger

man

ia

Mar

eaB

ritan

ie

Italia

Luxe

mbu

rg

Dan

emar

ca

Por

tuga

lia

Franţa

Spa

nia

Gre

cia

Irlan

da

59


Soluţie: 2.9.3, 1. Extragerea şi prezentarea în tabel:

Clase Punctaj Efective FrecvenţeFrecvenţe

cumulate

[45;50[

[50;55[

[55;60[

[60;65[

[65;70[

[70;75[

[75;80[

[80;85[

[85;90[

[90;95[

III

IIII

IIII IIII

IIII III

IIII IIII

IIII III

IIII I

IIII II

III

I

3

5

10

8

9

8

6

7

3

1

0,050

0,083

0,167

0,133

0,150

0,133

0,100

0,117

0,050

0,017

0,050

0,133

0,300

0,433

0,583

0,716

0,816

0,933

0,983

1,000

Total 60 1,000

2. Frecvenţele se obţin împãŗtind efectivele la efectivul total (n = 60 ): fi =ni60

(vezi tabelul).

Frecvenţele cumulate sunt egale cu: Fi =iPj=1

fi (vezi tabelul).

3. Histograma şi poligonul frecvenţelorToate clasele sunt de amplitudini egale. Este deci inutil sã calculãm densitã̧tilecare, în acest caz, sunt propoŗtionale cu efectivele.Poligonul frecvenţelor are aceeaşi suprafaţã ca histograma.

0

24

6

810

12

45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95

60

Prelucrarea datelor

4. Curba cumulativã crescãtoareCaracterul ind considerat continuu, curba frecvenţelor cumulate este continuã.

5. Grac, putem considera cã, 72 % din populaţie are o greutate medie de 75 kg.6. Calculele au permis stabilirea faptului cã 71,6 % din indivizi au o greutatemedie de 75 kg. Aceastã valoare este foarte apropiatã de valoarea gracã.

61


62

Capitolul 3

Parametrii de pozi̧tie

Parametrii de pozi̧tie (sau valorile centrale) sunt valorile numerice care reprezintão serie statisticã, caracterizând ordinul valorii observaţiilor. Ei se exprimã înaceleaşi unitãţi ca şi observaţiile.

3.1 Medii

3.1.1 Media aritmeticã

Media aritmeticã a unei serii statistice fxigi=1;n este egalã cu suma valorilorobservate împãŗtitã la numãrul de observaţii. În general se noteazã cu x. Deci:

x =x1 + x2 + :::+ xn

n=1

n

nXi=1

xi (3.1)

În cazul unui tabel de distribuţie avem:

x =

pPi=1nixi

pPi=1ni

=

pXi=1

fixi (3.2)

unde:- x1; x2; :::; xp sunt valorile observate (sau centrele claselor dacã distribuţia estegrupatã);- n1; n2; :::; np efectivele corespunzãtoare;- f1; f2; :::; fp frecvenţele corespunzãtoare.

63


Fie fxigi=1;n o serie statisticã şi seria denitã prin:

8i 2 I; yi = axi + b; a; b 2 R

Atunci1:y = ax+ b

Fie r serii statistice de aceeaşi naturã:

fx1ig de efectiv total n1 şi de medie x1....................................................................

fxrig de efectiv total nr şi de medie xr

Atunci media aritmeticã a celor r serii este media aritmeticã a mediilor aritmeticeale ecãrei serii, ponderate respectiv prin efectivele lor:

x =

rPi=1nixi

rPi=1ni

(3.3)

Exemplul 3.1.1 În cele opt încercãri la un test care este notat de la 1 la 10, uncandidat a obţinut urmãtoarele rezultate:

3 5 8 10 7 1 9 9

Calculaţi nota medie a acestui candidat.

Soluţie: Nota medie corespunde mediei aritmetice

x =

8Pi=1xi

8

=3 + 5 + 8 + 10 + 7 + 1 + 9 + 9

8= 6; 5

Media este deci 6,5.

1 Înmuļtirea cu "a" corespunde schimbãrii unitãţii (scãrii) iar adunarea lui "b" corespundeschimbãrii originii. Aceastã proprietate permite simplicarea calculului mediei aritmetice.

64

Prelucrarea datelor

3.1.2 Media geometricã

Media geometricã a unei serii statistice pozitive fxigi=1;n este rãdãcina de ordinuln a produsului valorilor observate. În general se noteazã cu G. Deci:

G = npx1 � x2 � ::: � xn =

"nYi=1

xi

# 1n

(3.4)


G =

"pYi=1

xi

# 1pPi=1

ni=

pYi=1

xfii (3.5)

Calculul lui G se poate face şi cu ajutorul rela̧tiei:

lnG =

pPi=1ni lnxi

pPi=1ni

;8i = 1; :::; p dacã xi > 0 (3.6)

Fie fxigi2I şi fyigi2I douã serii statistice pozitive de aceeaşi naturã iar fzigi2Işi ftigi2I seriile denite prin:

8i 2 I; zi = xiyi; ti =xiyi; yi 6= 0

Atunci:

Gz = GxGy şi Gt =GxGy

Exemplul 3.1.2 Calculaţi media geometricã a seriei urmãtoare:

1 2 4 8 16 32 64

Soluţie: G = (1� 2� 4� 8� 16� 32� 64)17 . În parantezã este produsul

primilor termeni ai unei serii geometrice de raţie 2. Obţinem deci:

G =�1� 2� 22 � 23 � 24 � 25 � 26

�17

=�21+2+3+4+5+6

�17 =

�221�17 = 23 = 8

65


3.1.3 Media armonicã

Media armonicã a unei serii statistice strict pozitive fxigi=1;n este egalã cuinversa mediei aritmetice a inverselor valorilor observate. În general se noteazãcu H. Deci:

H =1

1

n

nPi=1

1

xi

=n

nPi=1

1

xi

(3.7)


H =

pPi=1ni

pPi=1

nixi

=1

pPi=1

fixi

(3.8)

Exemplul 3.1.3 O întreprindere alocã pentru o campanie de publicitate, unbuget x B, în ecare trimestru, în vederea tip¼aririi unor uturaşi.În primul trimestru, preţul uturaşilor este de 350 RON.În cel de-al doilea trimestru, preţul uturaşilor este de 380 RON.În cel de-al treilea trimestru, preţul uturaşilor este de 400 RON.În trimestrul patru, preţul uturaşilor este de 440 RON.Calculaţi preţul mediu al uturaşilor.

Soluţie: Prȩtul mediu al uturaşilor, în acest caz, nu este media aritmeticã anumerelor 350, 380, 400, 440. Prin urmare, nu este adevãrat faptul cã dacãnumãrul de uturaşi este acelaşi în ecare trimestru, prȩtul publicitãţii esteacelaşi, datoritã evoluţiei prȩturilor.

Numãrul de uturaşi cumpãraţi este, succesiv,B

350;B

380;B

400;B

440: S-au cumpãrat

deci în totalB

350+B

380+B

400+B

440uturaşi la prȩtul de 4B RON. Prȩtul mediu

este deci:

m =4B

B

350+B

380+B

400+B

440

=4

1

350+

1

380+

1

400+

1

440

� 389; 8 RON

Media m este media armonic¼a a prȩturilor trimestriale.

3.1.4 Media p¼atraticã

Media pãtraticã a unei serii statistice pozitive fxigi=1;n este rãdãcina pãtratã amediei aritmetice a p¼atratelor valorilor observate. În general se noteazã cu Q.

66

Prelucrarea datelor

Deci:

Q =

rx21 + x

22 + :::+ x

2n

n=

vuut 1n

nXi=1

x2i (3.9)

În cazul unui tabel de distribuţie avem2:

Q =

2664pPi=1nix

2i

pPi=1ni

377512

=

"pXi=1

fix2i

# 12

(3.10)

Exemplul 3.1.4 Considerãm 5 plãcuţe metalice pãtrate, cu latura de 5 cm, 6cm, 9 cm, 10 cm, respectiv 12,5 cm.a) Care este aria medie a acestor plãcuţe ?b) Care este dimensiunea corespunzãtoare plãcii medii ?c) Ce reprezintã aceastã cotã în raport cu cele 5 cote ale plãcuţelor ?

Soluţie: a) Aria plãuţelor este respectiv:

25 cm2; 36 cm2; 81 cm2; 100 cm2; 156,25 cm2

Aria medie este deci:

Am =25 + 36 + 81 + 100 + 156; 25

5= 79; 65 cm2

b) Dimensiunea medie va deci: c =p79; 65 � 8; 92 cm.

c) Media pãtraticã a dimensiunilor este:

Q =

r52 + 62 + 92 + 102 + 12; 52

5=p79; 65 � 8; 92 = c

Exemplul 3.1.5 Beneciul unei întreprinderi a crescut astfel:

� cu 5 % pe an, pe parcursul primilor 2 ani;2Fie o serie statisticã pentru care existã toate cele patru medii statistice de mai înainte.

Atunci:H � G � x � Q

67


� cu 9 % pe an, pe parcursul urmãtorilor 5 ani;

� cu 12 % pe an, pe parcursul urmãtorilor 3 ani.

Care este creşterea medie în cei 10 ani.Soluţie: Fie B0 beneciul realizat de întreprindere în anii anteriori perioadei

conside-rate. (B0 6= 0): Beneciile vor :

1 an mai târziu: B1 = B0 � 1; 052 ani mai târziu: B2 = B1 � 1; 05 = B0 � (1; 05)2

3 ani mai târziu: B3 = B2 � 1; 09 = B0 � (1; 05)2 � 1; 09............................................................................................

10 ani mai târziu: B10 = B0 � (1; 05)2 � (1; 09)5 � (1; 12)3

Fie a creşterea anualã medie în cei 10 ani. Vom avea:

B10 = B0 � (1 + a)10

Trebuie deci sã avem3:

B0 � (1 + a)10 = B0 � (1; 05)2 � (1; 09)5 � (1; 12)3

(1 + a)10 = (1; 05)2 � (1; 09)5 � (1; 12)3

1 + a =h(1; 05)2 � (1; 09)5 � (1; 12)3

i 110

ln (1 + a) = 110 (2 ln 1; 05 + 5 ln 1; 09 + 3 ln 1; 12)

ln (1 + a) � 0; 08681 + a � e0;0868

a � 0; 090679

adicã o creştere medie de 9 % pe an, pe parcursul celor 10 ani.

Exemplul 3.1.6 Fie seria statisticã:

1 2 5 7 10 13

Calculaţi media aritmeticã, geometricã, armonicã şi pãtraticã.

3Media geometricã pondereazã creşterile.

68

Prelucrarea datelor

Soluţie: Pentru calculul mediei aritmetice vom utiliza ecuaţia (3.2):

x =

6Pi=1xi

6

0

=1 + 2 + 5 + 7 + 1 0 + 13

6=38

6� 6; 33

Pentru calculul mediei geometrice vom utiliza ecuaţiile (3.4) şi(3.6):

G = (1� 2� 5 � 7 � 1 0� 13)1

6 � 4; 57sau

lnG =1

6(ln 1 + ln 2 + ln 5 + ln 7 + ln 1 0 + ln 13) =

1

6� 9; 12 � 1; 52

G � 4; 57

Pentru calculul mediei armonice vom utiliza ecuaţia (3.8):

H =6

1 +1

2+1

5+1

7+

1

1 0+1

13

� 2; 97

Pentru calculul mediei p¼atratice vom utiliza ecua̧tia (3.10):

Q =1

6

�12 + 22 + 52 + 72 + 1 02 + 132

�=p58 � 7; 61

Se vericã faptul cã:

H < G < x < Q

Exemplul 3.1.7 Considerãm urmãtoarea serie statisticã discretã:

xi 1 2 3 4 5 6

ni 22 31 20 11 4 1

Calculaţi media aritmeticã, geometricã, armonicã şi pãtraticã a acestei serii.

69


Soluţie: Pentru calculul mediei aritmetice vom utiliza ecuaţia (3.2):

x =

6Pi=1nixi

6Pi=1ni

=22 + 2� 31 + 3� 20 + 4� 11 + 15� 4 + 6

89=214

89� 2; 40

Pentru calculul mediei geometrice vom utiliza ecuaţiile (3.4) şi(3.6):

G =89p122 + 231 + 320 + 411 + 54 + 6

lnG =1

89(22 ln 1 + 31 ln 2 + 20 ln 3 + 11 ln 4 + 4 ln 5 + ln 6)

� 189(1; 52 + 21; 97 + 15; 25 + 6; 44 + 1; 79) � 66; 94

89� 0; 752

G � e0;752 � 2; 12

Pentru calculul mediei armonice vom utiliza ecuaţia (3.8):

H =89

22

1+31

2+20

3+11

4+4

5+1

6

� 8947; 883

� 1; 86

Pentru calculul mediei p¼atratice vom utiliza ecuaţia (3.10):

Q2 =1

89

�22� 12 + 31� 22 + 20� 32 + 11� 42 + 4� 52 + 1� 62

�=

1

89(22 + 124 + +180 + 176 + 100 + 36) =

638

89� 7; 17

Q � 2; 68

Se vericã faptul cã:H < G < x < Q

3.2 Cuantile

3.2.1 Deni̧tii

Numim cuantilã de ordinul �% şi o vom nota cu Q� , valoarea xi a caracteruluipentru care �% dintre valorile observate sunt strict mai mici decât xi:

70

Prelucrarea datelor

Dacã F desemneazã funçtia frecvenţe cumulative crescãtoare, atunci:

F (Q�) =�

100

Mediana, notatã cu Me, este cuantila de ordin 50 %. Ea împarte seriavalorilor observate în douã serii egale ca numãr.

Exemplul 3.2.1 Calculaţi mediana urmãtoarei serii statistice:

14 16 12 9 11 18 7 8 9 16 7 9 18

Soluţie: Trebuiesc ordonate datele în ordine crescãtoare:

7 7 8 9 9 9| {z } 11 12 14 16 16 18 18| {z }6 elemente 6 elemente

Mediana împarte seria în douã pãŗti egale, deci:

Me = 11

Exemplul 3.2.2 Mulţimea abonaţilor unei biblioteci a fost clasicatã dupã numãrulvolumelor împrumutate pe parcursul unei luni:

xi 0 1 2 3 4 5 6 7

ni 18 39 57 64 42 33 21 14

Calculaţi mediana acestei serii.

Soluţie: Caracterul seriei este discret.

xi ni fi în % Fi în %

0

1

2

3

4

5

6

7

18

39

57

64

42

33

21

14

6,25

13,54

19,79

22,22

14,58

11,46

7,29

4,87

0,00

6,25

19,79

39,58

61,80

76,38

87,84

95,13

Total 288 100

71


Gãsim:

F (3) < 50% < F (4)

În aceastã situaţie, convenim (vezi rezumatul de curs) sã luãm ca valoare amedianei xi = 3:Totodatã, putem remarca faptul cã 39,58 % dintre indivizi împrumutã mai puţinde 3 cãŗti şi cã 38,20 % dintre indivizi împrumutã mai mult de 3 cãŗti.

Trei cuartile împart o serie în patru pãŗti egale:25 % din observaţii sunt inferioare primei cuartile Q254.50 % din observaţii sunt inferioare celei de-a doua cuartile Q50.75 % din observaţii sunt inferioare celei de-a treia cuartile Q755.

Nouã decile şi nouãzeci şi nouã de centile împart seria respectivã în 10 şi100 pãŗti egale.

3.2.2 Determinarea unei cuantile de ordin �%(0 < � < 100)

Cazul discret

Funçtia de reparti̧tie este o funçtie în trepte, discontinuã. Curba cumulativãcrescãtoare este deci formatã din trepte orizontale. Se dovedesc a distinctedouã cazuri:

1. Pentru o serie pentru care nici o treaptã nu are pentru ordonate valoarea�%: Convenim sã considerãm ca şi cuantilã de ordinul �% valoarea observatã xipentru care avem:

F (xi) < �% < F (xi+1)

Avem:

Q� = xi

Situaţia poate reprezentatã grac:

4Se mai numeşte şi cuartila inferioarã.5Se mai numeşte şi cuartila superioarã.

72

Prelucrarea datelor

2. Pentru o serie pentru care o treaptã are pentru ordonate valoarea �%,adicã existã o valoare observatã xi pentru care:

8x 2 (xi�1;xi]; F (x) = �%

Convenim în acest caz sã considerãm ca şi cuantilã de ordinul �% valoareaxi: Avem:

Q� = xi

73


Situaţia poate reprezentatã grac6:

Exemplul 3.2.3 Tabelul de mai jos ne dã repartiţia unei populaţii pe intervale

6Determinarea unei cuantile a unei serii de date punctualeSã presupunem cã datele punctuale sunt clasicate în ordine crescãtoare.

Calcularea cuantilei de ordin 50 %, de exemplu, revine la determinarea valorii caracterului xipentru care 50 % din valorile observate sunt strict inferioare lui xi:Dacã numãrul observaţiilor este impar, adicã n = 2p+1, convenim sã considerãm ca şi cuantilãde ordinul 50 % cea de-a p+ 1 valoare din seria valorilor observate.Dacã numãrul observaţiilor este par, adicã n = 2p, sunt posibile douã cazuri:- Valorile de ordinul p şi p+ 1 sunt egale. Convenim sã considerãm ca şi cuantilã de ordinul 50% aceastã valoare.- Valorile de ordinul p şi p + 1 sunt diferite. Convenim sã considerãm ca şi cuantilã de ordinul50 % cea de-a p+1 valoare a seriei.Se poate proceda în aceeaşi manierã şi pentru alte cuantile.

74

Prelucrarea datelor

de vârste:Clase Nr.

[0;10[

[10;20[

[20;30[

[30;40[

[40;50[

[50;60[

[60;70[

[70;80[

18

44

68

54

42

36

16

10

Calculaţi cuartilele acestei serii statistice.

Soluţie: Caracterul seriei este discret.

Clase ni fi în % Fi în %

[0;10[

[10;20[

[20;30[

[30;40[

[40;50[

[50;60[

[60;70[

[70;80[

18

44

68

54

42

36

16

10

6,3

15,3

23,6

18,7

14,6

12,5

5,5

3,5

6,3

21,6

45,2

63,9

78,5

91,0

96,5

100,0

Total 288 100

Prima cuartilã este în clasa [20;30[ deoarece frecvenţele cumulate crescãtordepãşesc 25 %.

Q25 � 2030� 20 =

25� 21; 645; 2� 21; 6

sau, încã:

Q25 = 20 + (30� 20)�25� 21; 645; 2� 21; 6 � 21; 44

25 % din populaţia studiatã are o vârstã mai micã de 21,44 ani.

75


În aceeaşi manierã se calculeazã Q50 şi Q75.

Q50 =Me = 30 + (40� 30)�50� 45; 263; 9� 45; 2 � 32; 57

Mediana este egalã cu 32,57 ani.

Q75 = 40 + (50� 40)�75� 63; 978; 5� 63; 9 = 47; 60

Cuartila superioarã este deci egalã cu 47,60 ani.

Cazul continuu

Pentru calcularea cuantilei de ordinul �% trebuie sã determinãm clasa în carefrecvenţele cumulate crescãtor ating �%:Fie [a; b) aceastã clasã. Notãm:

a : limita inferioarã a clasei;

b : limita superioarã a clasei;

F (a) : frecvenţa cumulatã crescãtor ( în procente ) în punctul a;

F (b) : frecvenţa cumulatã crescãtor ( în procente ) în punctul b.

Presupunem ca ipotezã de lucru faptul cã valorile observate sunt egal repartizateîn ecare clasã. Acest lucru permite calcularea lui Q� prin interpolare liniarã:

Q� � ab� a =

�� F (a)F (b)� F (a) (3.11)

sau, încã:

Q� = a+ (b� a)�� F (a)F (b)� F (a) (3.12)

76

Prelucrarea datelor

Valoarea cuantilei de ordinul �% poate determinatã grac cu ajutorulcurbei frecvenţelor cresc¼ator cumulate.

3.3 Mod

3.3.1 Deni̧tii

Numimmod al unei distribuţii statistice negrupate, valoarea observatã de efectivmaxim. De obicei se noteazã Mo.

Pentru o distribuţie grupatã ale cãrei clase sunt de amplitudini egale, numimclase modale clasele de efectiv maxim.Atunci când amplitudinile nu sunt egale, o clasã de efectiv maxim nu este în modobligatoriu o clasã modalã.

O serie care are mai multe mode se numeşte plurimodalã.

3.3.2 Determinarea modului

- Pentru caracterele cantitative discrete, mai întâi se ordoneazã datele. Cele deefectiv maxim ne dau modul. Grac, modul corespunde batonului cel mai lung.

- Pentru caracterele cantitative regrupate în clase se traseazã histograma(atenţie la clasele de amplitudini inegale!). Clasa modalã corespunde dreptunghiului

77


cu înãļtimea cea mai mare.

3.4 Compara̧tii

Media este parametrul cel mai utilizat. Calculul mediei se bazeazã pe muļtimeavalorilor xi: Din aceastã cauzã media este inuenţatã de valorile extreme.La polul opus este mediana care se calculeazã în funçtie de pozi̧tia pe care oocupã în serie.Modul este parametrul cel mai uşor de calculat, dar şi cel mai sensibil atuncicând are loc o regrupare a observaţiilor. Douã regrupãri diferite pot conduce ladouã moduri distincte.Atunci când distribuţia este perfect simetricã, cei trei parametrii: x;Me;Mo suntegali.

Calitãţi

(Yule & Kendall)Mod Medianã

Medie

aritmeticã

Este denit în mod obiectiv da da da

Depinde de nr. de termeni ai seriei nu da da

Este sensibil la valorile termenilor extremi da da nu

Are o semnicaţie concretã da da da

Este simplu de calculat da da da sau nu

Este sensibil la uctuaţiile eşantionului sucient nu da

Se preteazã la calcule algebrice nu nu da

Exemplul 3.4.1 Tabelul de mai jos ne aratã distribuţia unei populaţii, în funcţiede numãrul de indivizi care viziteazã muzee pe parcursul unui an.

xi 0 1 2 3 4 5 6

ni 12 34 43 39 28 10 4

Calculaţi modul acestei serii.

Soluţie: Modul acestei serii este valoarea caracterului corespunzãtor celuimai mare efectiv, adicã 2.

78

Prelucrarea datelor

Exemplul 3.4.2 Un studiu efectuat asupra duratei de viaţã a unui acelaşi tip deaparat electrocasnic a permis stabilirea tabelului de mai jo

Iuliana Carmen Barb… …acioru · 2020. 6. 23. · Prelucrarea datelor 8.4.2 Ajust…ari a–ne...

Documents

Transcript of Iuliana Carmen Barb… …acioru · 2020. 6. 23. · Prelucrarea datelor 8.4.2 Ajust…ari a–ne...