ISTOSMJERNE STRUJE 3 - fpz.unizg.hr1).pdf · Analiza linearnih elektri č nih mreža 2. Izravna...
Transcript of ISTOSMJERNE STRUJE 3 - fpz.unizg.hr1).pdf · Analiza linearnih elektri č nih mreža 2. Izravna...
ISTOSMJERNE STRUJE
3
ANALIZA LINEARNIH ELEKTRIČNIH MREŽA
Sadržaj predavanja
1.
Uvod2.
Izravna primjena Kirchhoffovih
zakona
3.
Metoda napona čvorova4.
Metoda konturnih
struja
5.
Metoda superpozicije6.
Theveninov
teorem
7.
Nortonov
teorem8.
Pretvorba trokut –
zvijezda
9.
Rješavanje mreže postupnom pretvorbom izvora
Analiza linearnih električnih mreža
1. Uvod
Rješavanje linearnih mreža–
Postoji više metoda, a sve se temelje na
•
I Kirchhofovom
zakonu•
II Kirchhofovom
zakonu
•
Ohmovom
zakonu•
Ohmovom
zakonu za dio strujnog kruga
Medode
rješavanja ovise o broju nepoznanica i konfiguraciji mreže–
Izravna primjena Kirchhoffovih
pravila
–
Metoda napona čvorova–
Metoda konturnih
struja
–
Metoda superpozicije–
Theveninov
teorem
–
Nortonov
teorem–
Millmanov
teorem
–
pretvorba zvijezda -
trokut
Analiza linearnih električnih mreža
2. Izravna primjena Kirchhoffovih
zakona
–
Električka mreža sastoji se od grana i čvorova–
Općenito u mreži su struje nepoznate
–
Prema Kirchhoffovim
zakonima postavljaju se jednadžbe koje sadrže nepoznanice
–
Jednadžbe se postavljaju za čvorove prema I
Kirchhoffovom
zakonu i za konture (zatvorene petlje) prema II Kirchhoffovom
zakonu
–
Potrebno je postaviti g jednadžbi s g
nepoznanica da bi se sustav jednadžbi mogao riješiti
•
Postupak–
pretpostave se smjerovi struja za svaku granu u mreži (g
– broj grana) !!!
–
odaberu se čvorovi (č
–broj čvorova) i postave jednadžbe prema I Kirchhoffovom
zakonu
•
ako je u mreži č
čvorova potrebno je postaviti č-1
nezavisnih jednadžbi–
proizvoljno se odabiru konture (zatvorene petlje) i postave jednadžbe prema II Kirchhoffovom
zakonu
•
potrebno je postaviti još
n=g
–
(č
– 1) nezavisnih jednadžbi –
rješava se sustav g
jednadžbi s g
nepoznanica i dobivaju se struje svih grana u
mreži
Primjer:
pretpostavka smjera struja
Zadano: R1
=4Ω, R2
=6Ω, R3
=5Ω, R4
=1Ω,
R5
=2Ω
R6
=10Ω, R7
=3Ω, E1
=12V, E2
=4V, E4
=12V, E5
=10V
Analiza linearnih električnih mreža
Primjer
pretpostavka smjera struja
odabir čvorova: a,b,c
odabir kontura
Zadano: R1
=4Ω, R2
=6Ω, R3
=5Ω, R4
=1Ω,
R5
=2Ω
R6
=10Ω, R7
=3Ω, E1
=12V, E2
=4V, E4
=12V, E5
=10V
0 ačvor 321 =−−→ III
0 bčvor 461 =+−−→ III
0 cčvor 542 =−−→ III
0 1 kontura 31441151 =−−−−−→ RIRIRIEE
0 2 kontura 55632325 =+−−+→ RIRIRIEE
0 3 kontura 5544764 =−++→ RIRIRIE
Analiza linearnih električnih mreža
sustav 6 jednadžbi s 6 nepoznanica
rješenje sustava jednadžbi - struje grana
•
Zadano: R1
=4Ω, R2
=6Ω, R3
=5Ω, R4
=1Ω,
R5
=2Ω
R6
=10Ω, R7
=3Ω, E1
=12V, E2
=4V, E4
=12V, E5
=10V
0321 =−− III0461 =+−− III
0542 =−− III
51314411 EERIRIRI −−=++
25556323 EERIRIRI +=−+
4554476 ERIRIRI =+−−
uvrste se poznate vrijednosti0321 =−− III
0461 =+−− III
0542 =−− III229 41 −=+ II
14216 53 =− II1232 654 =−+− III
AIIAIAI
AIAI
2 ;1 ;4 ;1
;3 ;2
65
43
21
−==−==
−=−=
negativna vrijednost struje znači da je pravi smjer struje suprotan od pretpostavljenog
Analiza linearnih električnih mreža
3. Metoda napona čvorova
–
temelji se na određivanju potencijala čvorova u linearnoj mreži
–
POSTUPAK:•
u mreži se odabere jedan čvor kao referentni i dodijeli mu se potencijal nula
•
naponi svih ostalih čvorova prema referentnom čvoru jednaki su njihovim potencijalima
•
struja grane može se izraziti iz Ohmovog
zakona za dio strujnog kruga•
tako izražene struje grana uvrštavaju se u jednadžbe prvog Kirchhoffovog
zakona•
rješavanjem sustava jednadžbi dobivaju se potencijali čvorova u mreži
•
iz dobivenih potencijala računaju se struje
Analiza linearnih električnih mreža•
Metoda napona čvorova -
primjer
ab ERIRI ϕϕ =−−− 11131
referentni čvor c → ϕC=0V
iz Ohmovog zakona za dio strujnog kruga izraze se struje
31
11 RR
EI ab
+−−
=ϕϕ
bc RI ϕϕ =− 44
44 R
I bc ϕϕ −=
da RIRIE ϕϕ =−−+ 63232
62
23 RR
EI da
+−+
=ϕϕ
dc RI ϕϕ =− 55
55 R
I dc ϕϕ −−=
db ERI ϕϕ =−− 476
7
46 R
EI db ϕϕ −−=
(I1
)
(I3
)
(I4
)
(I5
)
(I6
)
(I2
) 312 III −=
R2E2E1
R1
R3
R4 R5
R7
E5
E4
a
b c d
I1
I2
I6
I4 I5
I3R4b cI4
Analiza linearnih električnih mreža•
Metoda napona čvorova -
primjer
struje se uvrštavaju u jednadžbe za čvorove prema I Kirchhoffom zakonu
31
11 RR
EI ab
+−−
=ϕϕ
7
4
31
1
317431 711111
RE
RRE
RRRRRRR dab ++
=−+
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
+ϕϕϕ
44 R
I bc ϕϕ −=
62
23 RR
EI da
+−+
=ϕϕ
55 R
I dc ϕϕ −−=
7
46 R
EI db ϕϕ −−=
(čvor b)
312 III −=
0461 =+−− III
(čvor d) 0653 =++ III
struje se uvrštavaju u jednadžbe za čvorove prema I Kirchhoffom zakonu
7
4
62
2
6275627
11111RE
RRE
RRRRRRR adb −+
=+
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
++− ϕϕϕ
Analiza linearnih električnih mreža•
Metoda napona čvorova -
primjer
rješavanjem tih jednadžbi uz ϕa=E5=10V jer je ϕc=0V dobivaju se potencijali čvorova
A 231
11 −=
+−−
=RR
EI ab ϕϕ
7
4
31
1
317431 711111
RE
RRE
RRRRRRR dab ++
=−+
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
+ϕϕϕ
A 44
4 −=−
=R
I bc ϕϕ
A 162
23 =
+−+
=RR
EI da ϕϕA 1
55 =
−−=
RI dc ϕϕ
A 27
46 −=
−−=
REI db ϕϕ
A 3312 −=−= III
uvrštenjem potencijala u izraze za struju dobijaju se struje
7
4
62
2
6275627
11111RE
RRE
RRRRRRR adb −+
=+
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
++− ϕϕϕ
Vb 4=ϕ
Vd 2−=ϕ
Analiza linearnih električnih mreža
4. Metoda konturnih
struja–
Struje svih grana u mreži mogu se izraziti preko struja nezavisnih kontura
–
POSTUPAK:•
odabere se proizvoljno n=g-č+1
nezavisih
kontura
•
odabere se po volji smjer konturnih
struja•
za svaku konturu napiše se jednadžba prema II Kirchhoffovom
zakonu
–
za konturu k
ℑk
–
konturna
struja konture kRkk
–
vlastiti otpor konture (zbroj svih otpora u konuturi)ℑj
–
konturna
struja konture jRkj
–
zajednički otpori konture k i konture jEkk
–
ukupna suma naponskih izvora u konturi k
•
rješava se sustav n
jednadžbi sa n
nepoznanica da bi se dobile vrijednosti konturnih
struja
•
struje u pojedinim granama dobijaju
se superpozicijom
konturnih
struja
kk
n
kjj
kjjkkk ERR =ℑ+ℑ ∑≠=1
Analiza linearnih električnih mreža
•
Metoda konturnih
struja -
primjer
( ) 51433411 EERRRR −−=ℑ−++ℑ
na shemi odabrane konture i smjerovi konturnih struja - jednadžbe
( ) 25536522 EERRRR +=ℑ−++ℑ
( ) 475435241 ERRRRR =++ℑ+ℑ−ℑ
rješavanjem jednadžbi dobiju se konturne struje
2210 31 −=ℑ−⋅ℑ
14518 32 =⋅ℑ−⋅ℑ
1262 321 =⋅ℑ+⋅ℑ−ℑ
A21 −=ℑ
A12 =ℑ
A23 =ℑ
struje grana superpozicijom konturnih struja
AI 211 −=ℑ=
AI 123 =ℑ=
AI 1235 =ℑ−ℑ=
AI 3212 −=ℑ−ℑ=
AI 4314 −=ℑ−ℑ=
AI 236 −=−ℑ=
5. Metoda superpozicije
–
U linearnoj mreži u kojoj ima više izvora struja
grane jednaka je zbroju svih struja koje bi u toj grani proizveli pojedini izvori
–
POSTUPAK:
•
odredi se grana gdje se traži struja•
ostavi se samo jedan izvor koji daje doprinos, a ostali se uklone
–
naponski se kratko spoje, a strujni odspoje
time da se njihovi otpori ostave priključeni
•
izračuna se doprinos tog izvora•
ponavlja se postupak dok se ne izračunaju doprinosi svih izvora
•
Metoda superpozicije-
primjer
traži se struja kroz otpor R
•
Zadano: R1
=2 Ω, R2
=3 Ω,R3
=4 Ω, R4
=5Ω, R=1 Ω
, E1
=12 V, E2
=12 V, Ik
=10 A
Analiza linearnih električnih mreža
•
Metoda superpozicije-
primjer
traži se struja kroz otpor R
( )Ω=++
+++
= 83124
24 RRRRRRRRRuk
•
Zadano: R1
=2 Ω, R2
=3 Ω,R3
=4 Ω, R4
=5Ω, R=1 Ω
, E1
=12 V, E2
=12 V, Ik
=10 A
I) ostavlja se naponski izvor E1
AREI
uk
5.111 ==-
struja izvora
( ) ( ) ARR
RRIEI IR 5.0
4
3111 =+
+−=
-
doprinos izvora E1 struji kroz otpor R
Analiza linearnih električnih mreža
•
Metoda superpozicije-
primjer
( )( )Ω=+
+++++
= 62431
314 RRRRRRRRRRuk
II) ostavlja se naponski izvor E2
AREI
uk
222 ==-
struja izvora
( ) ARR
RIEI IIR 1
4
222 =+−
=
-
doprinos izvora E1 struji kroz otpor R
Analiza linearnih električnih mreža
•
Metoda superpozicije-
primjer
Ω=
+++
+=
1321111
3124 RRRRRRuk
III) ostavlja se strujni izvor Ik
( ) ARR
RII ukk
IIIR 5.2
4
=+
=
-
doprinos izvora Ik
struji kroz otpor R
( ) ( ) ( ) AIIII IIIR
IIR
IRR 1=+−−=
Ω= 5.1ukR
ukupna struja kroz otpor R – superpozicijastruja
-
pretpostavit će se da je pozitivan smjer struju prema dolje, pa se sukladno dobivenim smjerovima piše jednadžba
Analiza linearnih električnih mreža
6. Theveninov
teorem
–
Struja kroz neki otpor R linearne mreže može se odrediti tako da se cijela preostala mreža od stezaljki otpora nadomjesti jednim naponskim izvorom napona ET
i unutarnjeg otpora RT
•
ET -
Theveninov
napon je napon praznog hoda na otvorenim stezaljkama a i b•
RT - unutarnji otpor između stezaljki a i b kad je odspojen
otpor R, a
djelovanje svih izvora uklonjeno (naponski se kratko spoje, a strujni odspoje)
RREI
T
TR +
=
Analiza linearnih električnih mreža
7. Nortonov
teorem
–
Struja kroz neki otpor R linearne mreže može se odrediti tako da se cijela preostala mreža od stezaljki a i b nadomjesti jednim strujnim izvorom struje Ik
i unutarnje otpora RT
•
Ik
–
Nortonova
struja jest struja kratkog spoja stezaljnki
a i b, a određuje se tako da se umjesto otpora
R napravi kratki spoj između stezaljki a i b
•
RT - unutarnji otpor između stezaljki a i b kad je odspojen
otpor R, a djelovanje svih izvora uklonjeno (naponski se kratko spoje, a strujni odspoje)
RRRII
T
TkR +
=
Analiza linearnih električnih mreža
8. Pretvorba trokut –
zvijezdaprimjenjuje se kad pretvorbom dolazi do pojednostavljenja mreže
TROKUT ⇒
ZVIJEZDA
312312
12311 RRR
RRR++
⋅=
312312
23122 RRR
RRR++
⋅=
312312
31233 RRR
RRR++
⋅=
ZVIJEZDA ⇒
TROKUT
3
212112 R
RRRRR ⋅++=
1
323223 R
RRRRR ⋅++=
2
131331 R
RRRRR ⋅++=
Analiza linearnih električnih mreža
9. Rješavanje mreže postupnom pretvorbom izvora
–
struja u nekoj grani ili kroz neki otpor može se dobiti tako da se mreža postupno svodi na samo jedan naponski ili strujni izvor:
1.
serijski spojeni naponski izvori pretvaraju se u jedan naponski2.
paralelno spojeni strujni izvori pretvaraju se u jedan strujni
3.
paralelni naponski pretvaraju se u strujne, a zatim u jedan strujni4.
serijski strujni pretvaraju se u naponske, a zatim u jedan naponski
•
Rješavanje mreže postupnom pretvorbom izvora -
primjer
•
Zadano: R1
=1Ω, R2
=1Ω, R3
=2Ω, R4
=2Ω,, E1
=12V, E2
=12V, E3
=12V, E4
=24V, RT
=8,5Ω•
Traži se struja kroz RT
Analiza linearnih električnih mreža
•
Rješavanje mreže postupnom pretvorbom izvora -
primjer
•
Zadano: R1
=1Ω, R2
=1Ω, R3
=2Ω, R4
=2Ω,, E1
=12V, E2
=12V, E3
=12V, E4
=24V, RT
=8,5Ω•
Traži se struja kroz RT
AREI 12
26
1
11 ===
AREI 12
112
2
22 ===
AREI 6
212
3
33 ===
AREI 12
224
4
44 ===
transformacija naponskih izvora u strujne (unutrašnji otpori ostaju isti)
Analiza linearnih električnih mreža
AIII 242112 =+=
Ω=+
=21
21
2112 RR
RRR
spajanje paralelno spojenih strujnih izvora
AIII 64334 =+−=
Ω=+
= 143
4334 RR
RRR
Analiza linearnih električnih mreža
VRIE 12121212 ==
pretvorba strujnih u naponske izvore
VRIE 6343434 ==
Analiza linearnih električnih mreža
VEEE 183412 =+=
spajanje naponskih izvora
Ω=+=23
3412 RRR
struja kroz otpor RT
ARR
EIT
8.1=+
=