Приложение 1

Стойност на парите във времето

Много от финансовите решения, включително и в областта на инвестици-ите, са свързани със сравняване на парични потоци, които възникват в различ-ни моменти от времето. Базата, върху която се извършват такива сравнения, еидеята за стойност на парите във времето. Тя дава възможност за обективносравняване на суми пари, които следва да бъдат изплащани или получавани вразлични моменти.

Едно и също количество пари има различна стойност във времето. Товаследва от факта, че ако една сума пари е налична днес, то тя може да бъде ин-вестирана и след време да нарасне с определена доходност. Ако един инвести-тор разполага със 100 лева днес, то той може да ги инвестира и след година даразполага със 105 лева например. Това показва, че 100 лева след една годинане са равни на 100 лева днес, защото всеки рационален инвеститор, ако има из-бор, би предпочел да има 100 лева днес – те могат да му донесат доходност итой да има повече от 100 лева след една година. Следователно 100 лева днесимат по-голяма стойност от 100 лева след една година. Този пример илюстри-ра идеята за стойност на парите във времето – едно количество пари днес имапо-голяма стойност от същото количество пари след определен период от вре-ме.

1. Натрупване на доход и бъдеща стойност Когато парите са инвестирани, нормално е те да нарастват с времето пора-

ди доходността, която носят. Прието е стойността, до която нараства дадена су-ма пари в резултат на инвестирането є за един или повече периоди, да се нари-ча бъдеща стойност на тази сума. Бъдещата стойност винаги ще надвишавасегашната, стига доходността да е положителна. Икономическата теория разг-лежда доходността като компенсация за задържането на употребата на парите.Тази компенсация може да се разглежда като алтернативна цена – доходността,която може да бъде спечелена, ако парите са вложени.

За да се види каква е бъдещата стойност на дадена сума пари, трябва да сепроследи как във времето се натрупвът дохода от нея. Нека дадената сума е оз-

начена с PV. Ако тази сума бъде инвестирана при доходност от r процента го-дишно, то след една година сумата ще е нараснала до РV(1+r), а след две годи-ни сумата ще нарасне до РV(1+r)(1+r). В общия случай, ако с FV е означена бъ-дещата стойност на тази сума, то тя може да се изчисли по формулата:

(П1.1) ,

където:

r – годишна доходност;

n – брой години в периода, за който се изчислява бъдеща стойност.

От инвестиционна гледна точка FV е бъдещата стойност след n години насума РV, защото ако сумата РV бъде инвестирана, то това, което може да очак-ва инвеститорът, е тя да нарасне до размер FV.

Формулата за бъдеща стойност (П1.1) предполага, че полученият доходпрез дадена година се инвестира за следващата година, т.е. доходът се натруп-ва към първоначалната сума след изтичане на годината. Или, казано по друг на-чин, извършва се капитализация на дохода на годишна база. В случай че доходсе реализира на времеви интервали, които са по-кратки от една година6, прин-ципът остава същият, но формулата за бъдеща стойност следва да се модифи-цира. В този случай

(П1.1.а) ,където:

r – годишна доходност;

k – брой на интервалите в една година, за които се капитализира доходът;

n – брой на годините в периода, за който се изчислява бъдеща стойност.

Интервалите на капитализация най-често са 6 или 3 месеца. Но по принципмогат да бъдат и още по-кратки. Колкото по-кратки са те, толкова по-бързо на-раства първоначалната сума, защото се реализира „доход от дохода“7. Най-ви-сок доход ще се получи при възможно най-кратък срок на капитализация, товае, когато капитализацията става постоянно – във всеки момент от времето. То-ва е т.нар. непрекъсната капитализация.

Колкото по-голяма е стойността на k, толкова по-кратък е срокът на капи-тализация. Непрекъсната капитализация се реализира, когато k расте неограни-чено и интервалът на капитализация съответно намалява и теоретично се сви-ва до един момент. Със средствата на математическия анализ може да се дока-же, че когато k расте неограничено, е в сила следното гранично равенство:

.

ИНВЕСТИЦИИ 180

Следователно в условията на непрекъсната капитализация, което представ-лява граничен случай и е възможно най-бързата капитализация, формулата забъдеща стойност придобива вида:

(П1.1.b) .

Изведените формули за бъдеща стойност са валидни за всяка стойност наn, включително и при числа, които не са цели.

2. Дисконтиране и сегашна стойностВ предходната точка се разглежда как дадена сума пари се увеличава до оп-

редeлена нейна бъдеща стойност. Но аналогични разсъждения могат да се нап-равят и в обратната посока, т.е. от бъдеща стойност на дадена сума да се дос-тигне до нейната стойност към настоящия момент. Такава стойност се наричасегашна стойност.

Ако се използва зависимостта (П1.1), като се посочат също и нейните оз-начения, може да се напише следната формула:

(П1.2) ,

Получената формула дава възможност да се изчислява сегашната стойностРV на бъдеща сума пари. В нея известни са бъдещата стойност, периодът, закойто тя се отнася, и доходността, от която е получена, а се изчислява сегашна-та стойност. Както се вижда от формулата, сегашната стойност се получава от

бъдещата, като последната се умножава по коефициента който е прие-

то да се нарича дисконтов фактор8. А доходността r, чрез която се пресмятадисконтовият фактор, се нарича норма на дисконтиране. Съответно умножа-ването на бъдеща стойност с дисконтов фактор, за да се получи сегашна стой-ност, се нарича дисконтиране.

Често се налага да се изчисляват бъдещата стойност и сегашната стойностне само на еднократни плащания, а на няколко плащания. Това става, като фор-мулите (П1.1) и (П1.2) се приложат неколкократно за съответните суми и пери-оди. Може да се изчисли бъдеща и сегашна стойност на множество от плаща-ния, като се използват горните равенства за всяко плащане поотделно и накраясе съберат получените количества пари. По-точно бъдеща стойност на няколкоплащания, които се извършват в предходни периоди, се изчислява по форму-лата:

(П1.3) ,

Финансови инструменти с фиксиран доход – безрискови облигации 181

където:

FV – бъдеща стойност към края на година n на плащанията;

Cj– плащане в края на j-та година;

n – година, към края на която се определя бъдеща стойност;

r – годишна доходност;

j – текущ индекс.

От своя страна сегашната стойност на множество парични суми се опреде-ля по формулата:

(П1.4) ,

където:

РV – сегашна стойност на плащанията към началото на първата година;

Cj– плащане в края на j-та година;

n – година на последното плащане;

r – норма на дисконтиране;

j – текущ индекс.

Приложение на горните формули за сегашна стойност на множество пла-щания в бъдещето са анюитетът и перпетюитетът. Анюитет е серия отравни годишни плащания, които се получават за определен брой години. Се-гашната стойност на такива плащания може да се изчисли по формулата (П1.4).Като се използва тази формула и нейните означения, след преобразуване, сестига до следната формула за сегашна стойност на анюитетни плащания (с С еозначен размерът на годишното плащане, а с n – броят на годините, за които сеполучават плащанията):

(П1.5) .

От своя страна перпетюитет е серия от равни годишни плащания, коитосе получават неограничено във времето – завинаги. Сегашната стойност на та-кива плащания също може да се изчисли по формулата (П1.4). Отново, като сеизползва тази формула и нейните означения, след преобразуване, въз основа насвойствата на безкрайната геометрична прогресия, се стига до формулата за се-

ИНВЕСТИЦИИ 182

гашна стойност на перпетюитетни плащания (с С е означен размерът на годиш-ното плащане):

(П1.6) ,

3. Обобщение и приложение за оценяване на стойността на финансови инструментиИма две важни променливи, които са необходими, за да се определят бъде-

ща и сегашна стойност на някаква сума от пари. Първата е броят периоди, презкоито се натрупва доходност или съответно се дисконтира, а втората е норма-та на доходност, чрез която се изчислява натрупването на доходността или дис-контовите фактори. Основните зависимости, които могат да се констатират, са:

бъдещата стойност на една сума пари е по-голяма от сегашната є стой-ност;

бъдещата стойност нараства, когато броят периоди (n) нараства и когатодоходността (r) нараства;

сегашната стойност намалява, когато броят периоди нараства и когатонормата на дисконтиране нараства, т.е. между сегашната стойност и тезипроменливи има обратна зависимост.

От гледна точка на инвеститорите стойността на даден финансов инстру-мент произтича от ползите, които те получават от тях. Така стойността на все-ки финансов инструмент може да се разглежда като сегашната стойност наочакваните по него бъдещи плащания. Такова разбиране дава основание на все-ки инвеститор да сравнява текущата пазарна цена на даден финансов инстру-мент със сегашната стойност на очакваните бъдещи плащания, които той щеполучи. По този начин инвеститорите се ориентират дали текущата цена под-ценява, или надценява стойността на дадения инструмент и могат да вземат съ-ответното инвестиционно решение. Сегашната стойност на очакваните бъдещиплащания се нарича още присъща стойност на даден финансов инструмент. Тясе базира на очаквани бъдещи плащания, които могат да включват лихви илидивиденти, както и цената при евентуална продажба, или сумата, получавана нападеж.

Финансови инструменти с фиксиран доход – безрискови облигации 183