INTRODUZIONE AL GPS Cenni di geodesia spaziale La geodesia moderna si basa in gran parte su dati acquisiti da satelliti artificiali. Ad esempio, lo studio delle orbite di un gran numero di satelliti ha fornito informazioni importanti sulla struttura del campo della gravità, che dipende dalla distribuzione delle masse nel corpo della terra. Se un'irregolarità superficiale nella distribuzione di massa può essere evidenziata da misure locali di gravità eseguite sulla superficie, irregolarità più profonde hanno effetti su regioni molto estese, che possono essere ben evidenziati dall'osservazione delle orbite dei satelliti. Grande importanza hanno avuto nell'ultimo decennio i satelliti altimetrici, che sono in grado di misurare con grande precisione la loro altezza sulla superficie degli oceani, che coprono circa il 70% della superficie terrestre; la conoscenza delle loro orbite fornisce quindi informazioni sulla forma della terra. I satelliti artificiali vengono poi usati per il posizionamento terrestre: viene misurata, con tecniche diverse, la distanza (range) (laser, GPS), o la variazione di distanza (range-rate) (Doppler, ora in disuso) fra il satellite o la costellazione di satelliti e la stazione. Se la posizione dei satelliti è nota, misure ripetute consentono di determinare univocamente la posizione della stazione. E' quindi di fondamentale importanza la determinazione dell'orbita del satellite (ovvero della sua posizione istante per istante), mediante lo studio delle forze a cui è sottoposto. A questo scopo, è necessario porsi in un sistema di riferimento inerziale, perché in caso contrario bisognerebbe tenere conto delle forze apparenti dovute al moto non rettilineo uniforme del sistema di riferimento. Poiché d’altra parte i satelliti sono osservati da punti sulla superficie terrestre, è necessario tenere conto del moto della terra per eseguire la trasformazione da un sistema di riferimento solidale con la terra a uno inerziale.

fig.1 – precessione e nutazione fig.2 – moto del polo (dal 1962 al 1977)

Vengono qui descritti sommariamente i principali componenti del moto della terra rispetto ad un sistema inerziale: oltre al moto orbitale intorno al sole ed alla rotazione diurna, si ha una precessione dell'asse di rotazione intorno alla direzione normale all'eclittica (che è il piano dell'orbita intorno al sole), rispetto a cui è inclinato di circa , con una velocità angolare di circa 50'' all'anno; una nutazione, cioè una piccola oscillazione dell'asse intorno alla sua posizione media definita dalla precessione, con un'ampiezza di 10-20'' e un periodo di circa 18.5 anni (fig.1). Si hanno inoltre spostamenti del polo rispetto alla superficie terrestre, con ampiezza dell'ordine della decina di metri e andamento approssimativamente periodico con periodo di poco più di 400 giorni (fig.2). Tutti questi moti, che possono essere descritti con buona approssimazione partendo dalla teoria del moto del corpo rigido e modellando opportunamente la deformabilità della terra legata alla sua struttura materiale, manifestano notevoli irregolarità, e devono essere sottoposti a continua osservazione se si vuole giungere alla definizione di un sistema riferimento di elevata precisione (compatibile con la precisione nel posizionamento ottenibile con gli strumenti oggi disponibili).

05.23

Alla luce di queste considerazioni, si usa definire un sistema di riferimento inerziale legato alle stelle e un sistema di riferimento solidale con la terra la cui posizione rispetto al sistema inerziale è variabile nel tempo in virtù dei moti sopra descritti. Per una definizione ad elevata precisione del sistema inerziale è necessaria la conoscenza della posizione di un certo numero di corpi celesti e dei loro moti relativi apparenti. A tale scopo, sono disponibili cataloghi stellari basati su un numero molto elevato di osservazioni astronomiche svolte in un certo intervallo di tempo; in epoca recente, alcune missioni spaziali hanno consentito di eseguire osservazioni all’esterno dell’atmosfera, con un notevole incremento di precisione nella determinazione delle posizioni. In realtà, proprio per il fatto che la presenza di moti relativi fra le stelle rende difficile la definizione di un sistema di riferimento basato sulla loro posizione ad elevatissimi livelli di precisione (l'obiettivo è oggi il millesimo di arcsec), in tempi recenti si è scelto di adottare un sistema di riferimento basato sulla posizione di sorgenti radio extragalattiche. Tale sistema è denominato Sistema Inerziale Convenzionale (CIS). Fra le tecniche di osservazione di tali sorgenti utilizzate per la determinazione precisa della posizione relativa di stazioni sulla superficie terrestre è da citare il VLBI (Very Long Baseline Interferometry) Orbite dei satelliti artificiali In un campo di forze centrale (come il campo gravitazionale generato da una massa puntiforme o, più realisticamente, da una distribuzione di masse a simmetria sferica), il moto è regolato delle 3 leggi di Keplero, formulate all’inizio del ‘600 per descrivere il moto dei pianeti nel sistema solare, e spiegate un secolo dopo dalle leggi della dinamica formulate da Newton. La prima legge afferma che le orbite sono piane ed ellittiche, con un fuoco nel centro di massa; la seconda afferma che l’area della porzione di superficie delimitata da un arco orbitale percorso in un tempo e dai raggi congiungenti gli estremi dell’arco con il centro di gravità è proporzionale a

; la terza afferma che il quadrato del periodo orbitale è proporzionale al cubo del semiasse maggiore dell’ellisse (tab.1).

t∆t∆

Le orbite ellittiche sono caratterizzate da 6 parametri (elementi kepleriani) (fig.3):

- a (semiasse maggiore), e (eccentricità, definita da 2

22 1

abe −= , dove b è il semiasse

minore) descrivono la geometria dell'orbita; - i (inclinazione sul piano equatoriale), Ω (longitudine del nodo ascendente, cioè

dell'intersezione fra piano equatoriale e piano dell’orbita, dal lato in cui il satellite percorre

l’orbita inclinata dall’emisfero sud verso quello nord) definiscono l'orientazione del piano orbitale;

- ω (angolo della direzione del pericentro, ossia della più vicina al centro di gravità fra le 2

intersezioni dell’orbita con il suo semiasse maggiore, con la linea del nodo ascendente) definisce l'orientazione dell'ellisse nel piano orbitale

- un parametro (ad esempio l’istante di passaggio al nodo) definisce la posizione

dell'oggetto in moto lungo l'orbita. 0t

i a

ω

Ω

fig.3 – parametri orbitali NOTA: poiché le orbite dei satelliti artificiali della terra vengono studiate in un sistema inerziale, l’angolo Ω deve essere determinato rispetto ad una direzione di riferimento fissa rispetto a questo sistema. Generalmente si usa la direzione del punto γ , che è diametralmente opposta alla direzione del sole nell’equinozio di primavera.

a T luna ~400000km ~29giorni

satelliti geostazionari ~42000km 23h56’ satelliti GPS ~26000km 11h58’

satelliti per telerilevamento ~7000km ~1h1/2 tab.1 – terza legge di Keplero 23 kTa =

Se il campo delle forze a cui è sottoposto il satellite non è esattamente centrale, a causa di una distribuzione non perfettamente simmetrica delle masse o della presenza di forze non gravitazionali, l’orbita non è più esattamente ellittica, e di conseguenza, a rigore, i parametri sopra definiti sono privi di significato. Tuttavia, in un qualsiasi campo di forze, il moto è completamente determinato quando sono dati i vettori posizione e velocità ad un dato istante (condizioni iniziali), complessivamente descritti da 6 numeri. In particolare, in un moto kepleriano i parametri orbitali sono in corrispondenza biunivoca con le condizioni iniziali del moto. E’ quindi possibile, anche quando l'orbita non è esattamente kepleriana, definire istante per istante gli elementi kepleriani (quelli che competerebbero ad

un'orbita kepleriana con medesime condizioni iniziali in quell'istante), che però non sono costanti nel tempo. Tuttavia è ugualmente utile prenderli in considerazione nella descrizione del moto, dato che, a differenza della posizione del satellite lungo l’orbita, variano lentamente, secondo equazioni ben note (equazioni di Lagrange), se le perturbazioni al campo di forze centrale sono piccole. Ad esempio, una variazione nel tempo di ω si traduce in una rotazione degli assi dell’ellisse nel piano orbitale. Inoltre, alcune variazioni sono piccole oscillazioni periodiche del parametro attorno al suo valore medio, nel qual caso l’orbita si mantiene stabile, mentre altre manifestano una ben precisa tendenza alla crescita o alla diminuzione. In questo caso si ha un allontanamento definitivo dell’orbita dalle sue caratteristiche iniziali: ad esempio, se il semiasse minore tende a diminuire permanentemente, prima o poi il satellite cade sulla terra. Dato un modello di forze, utilizzando le equazioni di Lagrange è possibile studiare il moto orbitale. Viceversa, l'osservazione del moto orbitale consente di trarre informazioni sul modello delle forze (perturbazioni gravitazionali e non, rispetto ad un campo centrale). Le perturbazioni che agiscono su un satellite artificiale sono:

- le deviazioni del campo gravitazionale terrestre rispetto a un campo centrale, dovute ad una distribuzione irregolare delle masse;

- il campo gravitazionale della luna e del sole;

- la pressione di radiazione esercitata della luce solare e da quella riflessa dalla terra;

- l'azione frenante dell'atmosfera residua (rilevante solo a quote basse – poche centinaia di km

– dove, pur essendo estremamente rarefatta, produce ancora un effetto apprezzabile);

- altri effetti vari di minore rilievo.

Il problema è trovare modelli adeguati per descrivere questi effetti. Quanto più grande è l’effetto, tanto più accurato deve essere il modello che lo descrive. Gli effetti degli errori di modello si accumulano nel tempo, cioè l'orbita predetta sulla base del modello si discosta sempre di più dall'orbita vera. La ricostruzione dell'orbita si basa su un modello parametrico e su un procedimento di predizione-correzione (minimi quadrati) per la stima dei valori dei parametri: la posizione viene osservata in certi istanti e confrontata con la posizione predetta sulla base di un modello contenente parametri incogniti; i parametri vengono stimati in modo da minimizzare le differenze fra posizioni predette e osservate. Descrizione del sistema La determinazione della posizione di un punto con il sistema GPS si basa sulle misure di distanza fra il ricevitore e un certo numero di satelliti. Poiché la posizione nello spazio fisico è individuata da 3 coordinate, è necessario misurare simultaneamente le distanze da almeno 3 satelliti, di cui sia nota la posizione. Poiché inoltre, come si vedrà, è necessario utilizzare le osservazioni per sincronizzare la scala dei tempi del ricevitore con quella dei satelliti, occorre introdurre un'incognita tempo accanto alle coordinate del punto nelle equazioni di osservazione, e di conseguenza devono essere almeno 4 i satelliti da cui vanno misurate le distanze.

I satelliti, che costituiscono il segmento spaziale del sistema, sono previsti in numero di 24, disposti su 6 orbite circolari con un raggio di circa 26000km (quindi a una distanza dalla superficie terrestre di circa 20000km), corrispondente ad un periodo orbitale di mezzo giorno sidereo (11 ore e 58 minuti). Tali orbite sono inclinate di sull'equatore e distanziate di in longitudine (fig.4). A loro volta i 4 satelliti su ciascuna orbita sono equidistanziati. In questo modo si realizza una distribuzione spaziale che consente, almeno in regioni della superficie terrestre non troppo vicine ai poli, la visibilità in ogni istante di un adeguato numero di satelliti (minimo 4, ma in generale 7 o 8, o anche più).

055 060

I lanci sono iniziati nel 1978. E’ previsto che i satelliti restino in attività alcuni anni e poi vengano rimpiazzati da nuovi satelliti con caratteristiche tecnologiche aggiornate.

fig.4 – costellazione dei satelliti GPS

La gestione dell'intero sistema è affidata a 5 stazioni a terra, che costituiscono il segmento di controllo. 4 di esse (Hawaii, Ascension, Diego Garcia, Kwajalein) sono nella fascia tropicale, uniformemente distribuite in longitudine attorno al globo; la quinta (Colorado Springs, negli Stati Uniti) svolge funzioni di coordinamento centrale dell'intero sistema (fig.5). La loro funzione consiste nella raccolta dei dati per la determinazione delle orbite dei satelliti, la loro elaborazione e la loro memorizzazione sui satelliti stessi, insieme con altre informazioni da trasmettere ai ricevitori a terra, la correzione delle orbite, quando queste si discostano troppo dalle orbite nominali, il controllo della scala dei tempi sugli orologi a bordo dei satelliti. Ovviamente le stazioni di controllo devono poter determinare la loro posizione con metodi indipendenti dal GPS, per esempio con il Laser Ranging o con il VLBI, già citati in precedenza. Queste tecniche richiedono di avere a disposizione complesse apparecchiature scientifiche, e possono quindi essere utilizzate soltanto in centri appositamente attrezzati. Le stazioni riceventi a terra, che costituiscono il segmento di utilizzo, ricevono dai satelliti un segnale elettromagnetico che, oltre a consentire di misurare la distanza, contiene tutte le informazioni sulla posizione e sullo stato del satellite che permettono di elaborare le misure per ricavare la posizione del ricevitore. Inizialmente il sistema GPS è stato concepito essenzialmente per scopi militari; la sua funzione principale era di assistere la navigazione, ossia di consentire a un veicolo in movimento la determinazione della propria posizione in tempo reale con l'accuratezza di un centinaio di metri. Successivamente sono state sviluppate tecniche di elaborazione dei segnali ricevuti che consentono

di determinare con accuratezza sub-centimetrica, sia pure non in tempo reale, il vettore congiungente due diverse stazioni in posizione fissa che ricevono contemporaneamente segnali GPS. Negli ultimi tempi si stanno sviluppando tecniche per la determinazione precisa e in tempo reale delle posizioni di stazioni in movimento.

fig.5 – stazioni di controllo

Oltre al sistema GPS è attualmente in funzione il sistema GLONASS progettato in Russia, e si prevede che nei prossimi anni sarà attivato il sistema europeo GALILEO. Questi sistemi nel loro insieme costituiscono il GNSS (Global Navigation Satellite System), gestito dal servizio IGS (International GNSS Service), che ha attivato un elevato numero di stazioni distribuite su tutto il globo e 8 centri di analisi dei dati. Il segnale GPS Il segnale elettromagnetico inviato dai satelliti GPS è costituito da due onde portanti sinusoidali, indicate con L1 e L2, con frequenze 1227.60MHz e MHz42.1575 21 == ff , corrispondenti a 154 e 120 volte la frequenza fondamentale dell'oscillatore a bordo dei satelliti, che è . MHz23.100 =fLe lunghezze d'onda di L1 e L2, ricavate dalla formula fc /=λ , dove c è la velocità di trasmissione del segnale elettromagnetico ( ), sono rispettivamente di circa 19cm e 24cm. Le informazioni sono trasmesse sotto forma di modulazioni delle onde portanti. Fra i ricevitori in commercio, i più semplici (monofrequenza) ricevono soltanto la frequenza L1; i ricevitori bifrequenza sono naturalmente più costosi e sono essenziali per rilievi di alta precisione.

m/sec10*3 8≅c

L'espressione analitica di un'onda sinusoidale in funzione del tempo ha la forma

)cos()( ϕω += tAty , dove ϕ è la fase, ω è legato alla frequenza f dalla relazione fπω 2= e A è un'ampiezza costante; una modulazione di ampiezza appare come un fattore moltiplicativo dipendente dal tempo, per cui l'espressione di un'onda modulata è )cos()()( ϕω += ttBty . Di particolare interesse per lo studio del GPS è il caso in cui B(t) è una funzione costante a tratti che assume i valori +1 e -1 (fig.6). Nei punti in cui B(t) cambia il suo valore si ha un cambiamento di segno di y(t), corrispondente ad un cambiamento di fase di (fig.7). Modulazioni di questo tipo 0180

sono introdotte nel segnale usato per la misura della distanza. Esse sono regolate da codici binari, nel senso che il presentarsi ad un certo istante di uno dei 2 valori del codice determina in quell’istante il cambiamento di segno del segnale, mentre il presentarsi dell’altro valore fa sì che in quell’istante il segnale rimanga inalterato. Più precisamente, sono presenti due distinte modulazioni, in cui i cambiamenti i segno sono determinati da codici binari pseudo-random, ossia tali che la sequenza dei 2 valori non presenta apparenti regolarità. Questi codici debbono essere conosciuti dai ricevitori per poter eseguire la misura.

fig6-modulazione binaria non periodica fig.7-onda sinusoidale con modulazione binaria Nel codice detto C/A (coarse acquisition, ossia acquisizione grossolana), che modula la portante L1 ed è di pubblico dominio, la sequenza pseudocasuale ha frequenza , pari a circa 1MHz (corrispondente ad una lunghezza d'onda di circa 300m), è costituita di 1023 bit e si ripete ogni millisecondo. Il codice C/A è diverso da satellite a satellite, ed è quindi utilizzato anche come segnale identificativo. Il codice detto P (precision) ha una sequenza pseudocasuale di frequenza (corrispondente ad una lunghezza d'onda di circa 30m) e si ripete ogni circa 267 giorni; modula sia una componente della portante L1 sfasata di

10/0f

0f

2/π , sia la portante L2. Per fare in modo che questo codice sia riservato esclusivamente all'uso militare, esso viene criptato con il codice W, dando luogo al codice Y. La maggiore accuratezza del codice P rispetto al codice C/A deriva proprio dalla frequenza più elevata della sequenza pseudo-casuale. A questi codici si aggiunge il cosiddetto messaggio D, di frequenza 50Hz, che contiene informazioni sulla posizione e sullo stato di salute dei satelliti. Il segnale GPS può quindi essere espresso nella forma

)2cos()()()2cos()()()2sin()()()( 221111 ϕπϕπϕπ +++++= tftDtPAtftDtPAtftDtCAtS PPC (1) dove C(t) rappresenta il codice C/A, P(t) il codice P, D(t) il messaggio; sono le ampiezze, PC AA ,

2121 , ; , ϕϕff le frequenze e le fasi di L1 e L2. Si noti che il codice C/A modula soltanto la frequenza L1, e che le portanti L1 modulate dai due diversi codici sono sfasate di 2/π .

Se τ è il tempo di percorrenza del segnale dal satellite al ricevitore, il segnale ricevuto al tempo t è )()( τ−= tStSr . Il ricevitore determina τ , da cui si può ricavare la distanza fra satellite e

ricevitore, τcd = . L'espressione della distanza fra l'i-esimo ricevitore e il k-esimo satellite in funzione delle loro coordinate è

[ 2/1222 )()()( ik

ik

ikk

i xxxxxxd −+−+−= ] (2) dove la posizione del satellite è riferita all'istante di emissione, quella del ricevitore all'istante di ricezione. Si noti che per convenzione l’indice relativo al satellite è posto in alto (da non confondersi con un esponente), quello riferito al ricevitore è posto in basso. Il metodo per la determinazione di τ è sostanzialmente simile a quello usato nei distanziometri terrestri, e si basa sulla determinazione dello sfasamento fra e (fig.8). C’è però una differenza sostanziale: mentre nei distanziometri terrestri il segnale segue un percorso di andata e ritorno, e generatore e ricevitore sono parti di uno stesso strumento, nel GPS il segnale segue un percorso di sola andata dal satellite al ricevitore a terra, e quindi il ricevitore deve essere in grado di produrre una copia del segnale inviato per poterlo confrontare con il segnale ricevuto. E' quindi necessario che la scala dei tempi del ricevitore sia sincronizzata con quella del satellite. Si osservi che un errore di sincronizzazione di sec comporta un errore di 30cm nella misura della distanza.

)(tS )(tSr

910−

fig.8 – sfasamento fra segnale prodotto e segnale ricevuto La misura eseguita utilizzando il segnale modulato dai codici C/A e P è detta pseudo-range. Poiché il ricevitore deve essere in grado di riprodurre una copia del segnale, il codice deve essere noto. L'accuratezza con cui è possibile rilevare lo sfasamento fra il segnale ricevuto e quello prodotto varia da circa 3m a qualche dm per il codice C/A; per il codice P è potenzialmente migliore di circa un ordine di grandezza, ma, come si è detto, questo codice è criptato, e l’accuratezza del codice Y risulta degradata. Si potrebbe pensare che, dato che il codice C/A si ripete ogni msec, si possa generare ambiguità nella scelta della particolare sequenza pseudo-casuale prodotta dal ricevitore, da confrontare con il segnale ricevuto. Tuttavia, bisogna osservare che l’intervallo temporale di 1msec corrisponde, alla

velocità di propagazione del segnale, ad una lunghezza di 300km, e questo è il minimo errore commesso nella determinazione della distanza utilizzando nella misura una copia sbagliata del codice. Poiché questo errore è molto maggiore dell'incertezza a priori sulla posizione del ricevitore, non c'è rischio di ambiguità; l'argomento vale a maggior ragione per il codice P, che ha un periodo molto più lungo. Per misure di alta precisione è possibile utilizzare la differenza di fase delle portanti che, come si è visto, hanno una lunghezza d'onda dell'ordine di 20cm, e consentono quindi un'accuratezza molto più elevata nella determinazione della differenza di fase, dell'ordine di 2mm (ma, come si vedrà più avanti, il contributo più grande all'incertezza della misura non viene da questo errore casuale, ma dai ben più rilevanti errori sistematici). Nelle misure di differenza di fase si pone il problema dell'ambiguità, dato che la lunghezza d'onda è molto più piccola dell'incertezza a priori sulla distanza misurata. Quindi, per determinare la distanza non basta conoscere la parte frazionaria dello sfasamento, ma occorre anche conoscere il numero intero di lunghezze d'onda. Il numero intero di cicli prodotti fra l'emissione e la ricezione del segnale è dell'ordine di , e deve essere noto esattamente se si vuole conoscere la posizione con precisione centimetrica.

810

Il problema può essere risolto sfruttando il fatto che, per tutto il tempo del collegamento del ricevitore con un satellite, viene tenuta memoria della variazione del numero intero di lunghezze d'onda (che non è costante, dato che la distanza fra satellite e ricevitore varia nel tempo), anche se le acquisizioni dei dati vengono fatte a tempi discreti (ad esempio, ogni secondo, ogni 5sec, ogni 30sec, a seconda delle condizioni operative); l'unica quantità incognita è quindi l'ambiguità iniziale. E' pertanto possibile utilizzare la ridondanza delle osservazioni durante una sessione per stimare il numero intero di lunghezze d'onda all'istante iniziale, ad esempio con il metodo dei minimi quadrati. E' da notare che il risultato di questa procedura di stima non è in generale un numero intero e l'algoritmo di stima deve quindi prevedere anche una procedura per la scelta di un numero intero (la scelta più immediata è quella dell'intero più vicino). Bisogna tener presente che in ogni caso, a causa degli errori nelle misure, il risultato è stocastico, e presenta un'incertezza che diminuisce con l'aumentare della ridondanza, e quindi con la durata della sessione; per poter fissare il valore intero, occorre che l’incertezza sia inferiore all’unità. Una inadeguata trattazione di questo problema può portare ad una sottostima degli errori quadratici medi delle coordinate del punto. Bisogna inoltre tener presente che durante una sessione di misura ci possono essere interruzioni fortuite del collegamento fra ricevitore e satellite, dovute a presenza di ostacoli o a difetti di trasmissione. In questo caso si ha un'interruzione nel conteggio del numero intero di lunghezze d'onda (cycle slip) e la procedura di stima dell'ambiguità deve essere ricominciata da capo. E' chiaro da quanto visto sopra che l'osservazione della differenza di fase non consente la determinazione istantanea della posizione, e non è quindi adatta all'uso del GPS per navigazione. Infatti, durante il moto del veicolo (specialmente se si tratta di veicolo terrestre) è facile che si verifichino occultazioni, ed ogni volta si richiede un certo tempo per rideterminare l’ambiguità. Per la sua elevata accuratezza, l’osservazione della differenza di fase è invece adatta per il posizionamento di alta precisione, con lunghe sessioni di osservazione e post-processing dei dati. Gli errori sistematici Si è accennato sopra all'errore casuale dovuto a imprecisioni nella determinazione dello sfasamento fra segnale ricevuto e segnale riprodotto. A questo si aggiungono errori sistematici dovuti all'inaccurata conoscenza della posizione dei satelliti, a difetti di sincronizzazione fra gli orologi, a

perturbazioni nella propagazione e nella ricezione del segnale (fig.9). L'entità di questi errori può essere molto superiore a quella degli errori casuali; per questo sono stati studiati attentamente, per cercare di modellizzarli al meglio. Non è però possibile stimare i loro effetti ad un livello soddisfacente per una determinazione di precisione centimetrica della posizione di un singolo punto. Come si vedrà più avanti, è tuttavia possibile utilizzare come osservabili differenze fra distanze per la determinazione dei vettori congiungenti due stazioni che acquisiscono contemporaneamente (baselines). Poiché nel fare le differenze diversi errori si cancellano o si riducono di molto, la determinazione delle baselines risulta molto più accurata del posizionamento di un singolo punto. Per questo è importante poter fare stazione su punti di cui sia nota la posizione precisa, come i vertici della rete IGM95, o, in prospettiva, le stazioni permanenti.

fig.9 – quadro sintetico degli errori sistematici del GPS

Come si è detto, la posizione del satellite è comunicata all'utilizzatore mediante un messaggio contenuto nel segnale. Si è già visto che le orbite sono approssimativamente circolari; tuttavia esse si discostano da quelle previste dalle leggi di Keplero in primo luogo perché il campo di gravità della terra non è esattamente a simmetria sferica, a causa delle irregolarità nella distribuzione delle masse, in secondo luogo perché alla gravità si sommano forze non gravitazionali (la più rilevante è la pressione di radiazione, dovuta alla luce proveniente direttamente dal sole o riflessa dalla terra). Queste perturbazioni, pur essendo piccole, fanno sì che l'orbita reale si discosti da quella kepleriana di una quantità rilevante e crescente nel tempo. La loro modellizzazione, necessaria per il calcolo dell'orbita mediante soluzione numerica delle equazioni del moto, eseguita dal segmento di controllo e trasmessa ai satelliti, dipende da un certo numero di parametri che possono essere

stimati sulla base delle osservazioni dei satelliti stessi. Poiché queste orbite calcolate sono ancora affette da errori crescenti nel tempo, è necessario aggiornare continuamente (ad esempio, ogni giorno) la soluzione, utilizzando le osservazioni immediatamente precedenti. Gli errori su queste soluzioni possono essere dell'ordine del centinaio di metri. Un'accuratezza più elevata (errori dell'ordine del metro sulla posizione del satellite) può essere ottenuta utilizzando, anziché le orbite trasmesse dai satelliti e basate su osservazioni in tempi precedenti, orbite calcolate sulla base di osservazioni eseguite nello stesso intervallo di tempo, adottando quindi una procedura di interpolazione anziché di predizione. Questi dati sono reperibili via Internet dopo alcuni giorni, e non sono quindi utilizzabili per il posizionamento in tempo reale. Per avere un'idea dell'effetto dell'errore d'orbita sulle baselines, si può fare riferimento alla regola empirica bbrr // δδ = , dove r è la distanza fra satellite e stazione (dell’ordine di 20000km) e b è la lunghezza della baseline; quindi, ad esempio, su una base di 20km l'errore è dell'ordine di 1/1000 dell'errore d'orbita. Per quanto riguarda gli errori dovuti alla sincronizzazione fra gli orologi, va detto che il sistema GPS adotta una sua scala dei tempi, e fornisce informazioni sulla sincronizzazione degli orologi dei satelliti rispetto a questa scala; inoltre, una stima dell'errore di sincronizzazione dell'orologio del ricevitore rispetto alla scala dei tempi GPS viene, come si è già accennato, dalla ridondanza delle osservazioni eseguite contemporaneamente dalla stazione. E' anche importante tenere conto dell'instabilità degli orologi, e della deriva che ne consegue, di maggior entità per gli orologi al quarzo, più contenuta per gli orologi atomici (quelli al cesio sono più stabili di quelli al rubidio). Il tempo di percorrenza del segnale fra satellite e ricevitore viene alterato dal fatto che la velocità della luce varia nell'attraversamento dei diversi strati dell'atmosfera. Occorre distinguere fra la ionosfera, che è al di sopra dei 40-50km di altezza, in cui la radiazione elettromagnetica interagisce con elettroni liberi, e la troposfera, ad altezza inferiore, in cui sono presenti atomi e molecole neutre. Va inoltre osservato che l'errore dovuto all'attraversamento dell'atmosfera è più rilevante, ovviamente, se il satellite è basso sull'orizzonte, dato che, in questo caso, il percorso del segnale dentro l’atmosfera è molto più lungo che se il satellite si trova sulla verticale del ricevitore. Per questa ragione, in generale, le osservazioni al di sotto dei sull’orizzonte vengono considerate inaffidabili e scartate. Gli stessi ricevitori possono essere tarati in modo da registrare soltanto osservazioni di satelliti la cui altezza sull'orizzonte supera un dato valore.

015

L'errore ionosferico è variabile nel tempo a causa di variazioni di densità degli elettroni liberi dovute per esempio all'attività solare, e dipende dalla lunghezza d'onda della radiazione incidente. Più precisamente, la variazione del tempo di percorrenza è approssimativamente proporzionale all'inverso del quadrato della frequenza; di conseguenza, confrontando i risultati ottenuti con L1 e L2, è possibile stimare l'entità dell'effetto, e anche costruire una combinazione delle due osservazioni che non è affetta dall'errore. Per questa ragione per rilievi di alta precisione è essenziale disporre di ricevitori bifrequenza. L'errore troposferico, al contrario, è indipendente dalla frequenza, ed è costituito da due termini, le cosiddette componenti secca e umida. In particolare, il termine umido dipende dalla quantità di vapore acqueo contenuto nell'atmosfera, ed è difficilmente stimabile a causa della difficoltà di avere informazioni accurate sull'umidità atmosferica, che è rapidamente variabile sia con la quota sia con la posizione planimetrica. Per questa ragione l'errore troposferico costituisce il limite principale all'accuratezza delle determinazioni GPS di alta precisione. Infine, altri errori possono avere origine dalle condizioni di ricezione del segnale. L'errore di multipath è dovuto al fatto che il segnale può giungere al ricevitore non solo per via diretta, ma anche dopo riflessione su superfici presenti nelle vicinanze. Inoltre sono possibili interferenze di altri segnali elettromagnetici nella stessa banda di frequenze. Questi inconvenienti possono essere

evitati con un'accurata scelta del sito per la messa in stazione dello strumento; a volte anche piccoli spostamenti possono modificare significativamente la qualità del segnale. Si riportano qui di seguito alcune formule relative alle osservabili GPS, in cui è esplicitato il contributo degli errori sistematici. Si indica con il tempo misurato dall'orologio del k-esimo satellite, con il tempo misurato dall'orologio dell'i-esimo ricevitore, con il tempo riferito alla scala dei tempi del sistema GPS.

)(kt )(it

GPSt

)()(

)()(

iGPSi

kGPS

k

ttttttδδ

+=+=

(3)

Se il segnale è inviato al tempo ed è ricevuto al tempo , il tempo di trasmissione è

. All'istante dell'invio il tempo indicato dall'orologio del satellite è

; all'istante della ricezione il tempo indicato dall'orologio del ricevitore è

1,GPSt 2,GPSt

1,2, GPSGPSGPS ttt −=∆)(

1,)(

1,k

GPSk ttt δ+=

)(2,2),( iGPSi ttt δ+= . Il tempo di trasmissione determinato dalla stazione è

. Lo pseudo-range è quindi )()(

)(1,2),(

kiGPS

ki ttttt δδτ −+∆=−=

)(

)(k

iGPSki tctctccp δδτ −+∆== (4)

A sua volta, non rappresenta esattamente la distanza da misurare, dato che l'attraversamento della ionosfera e della troposfera modifica la velocità del segnale. In ultima analisi, l'equazione di osservazione per lo pseudo-range si può scrivere

GPStc∆

νεδδ ++−+∆+∆+= )(

)(k

itropionki

ki tctcdddp (5)

dove con ε sono indicati errori sistematici dovuti al moto del satellite e alle condizioni di ricezione e con ν il rumore di osservazione (errori casuali a media nulla). Se vengono osservati gli sfasamenti ψ (misurati in cicli: il valore iniziale di ψ è compreso fra 0 e 1), la distanza che risulta dalla misura è fcN /)( +ψ , dove N è l'ambiguità iniziale del numero intero di cicli, f è la frequenza del segnale. Quindi

νεδδψψψ ++−−+∆+∆+= ki

kitropion

ki

ki Ntftf

cfd )(

)( (6)

L'uso di osservazioni differenziate Si è già accennato al fatto che, usando come osservabili differenze fra distanze misurate, gli errori sistematici possono essere cancellati o significativamente ridotti. Ad esempio, l'errore dell'orologio del ricevitore è cancellato nella differenza delle distanze misurate fra una singola stazione e due diversi satelliti; se uno stesso satellite viene osservato da due stazioni vicine (fig.10), in modo che i percorsi del segnale attraversano porzioni di atmosfera vicine fra loro, è presumibile che gli errori atmosferici siano fra loro non molto diversi e si cancellino quasi completamente nell'eseguire la differenza.

Si è anche detto che le osservazioni differenziate, quando riguardano stazioni diverse, vengono utilizzate per determinare le baselines. Infatti la differenziazione produce in ogni caso una perdita di informazione, e si può provare che l'uso di osservazioni differenziate per determinare la posizione assoluta di un singolo punto è, se non impossibile, tale in ogni caso da causare inaccettabili amplificazioni degli errori di osservazione, che cancellano il vantaggio della riduzione degli errori sistematici; questo problema non si presenta, al contrario, nelle determinazioni delle baselines. I vantaggi nella cancellazione degli errori che si ottengono differenziando da un lato osservazioni di 2 satelliti da una stessa stazione, dall'altro osservazioni di uno stesso satellite da 2 stazioni, possono essere combinati costruendo differenze doppie, ossia differenze delle differenze relative ad una stessa coppia di stazioni e a due distinti satelliti (o, equivalentemente, ad una stessa coppia di satelliti e a due distinte stazioni) (fig.11). In effetti, le differenze doppie delle misure di sfasamento sulla portante sono le quantità normalmente utilizzate per il posizionamento relativo (determinazione delle baselines) di alta precisione.

fig.10 – differenze singole

fig.11 – differenze doppie

fig.12 – differenze triple

Si è visto che gli sfasamenti della portante misurati nel corso di una sessione tengono memoria della variazione del numero intero di cicli e che l'incognita da determinare è unicamente il numero intero di cicli all'istante iniziale. Quando si presenta un cycle slip, questa memoria si perde, e si ha una

discontinuità dello sfasamento misurato. Questa discontinuità ovviamente si mantiene quando si fanno le differenze, se il cycle slip si manifesta su uno solo degli sfasamenti misurati. In particolare, nelle differenze doppie, che sono funzioni lentamente variabili nel tempo, il cycle slip si evidenzia chiaramente come un gradino in una funzione liscia. Se si eseguono differenze fra le differenze doppie degli sfasamenti relativi ad una stessa coppia di stazioni e ad una stessa coppia di satelliti ad istanti diversi, e , con , separati da un intervallo di tempo costante

1t 2t 12 tt >τ , si ottengono le differenze triple (fig.12), in cui, se nell'intervallo fra

e non si verifica alcun cycle slip, si cancella l'incognita del numero intero di cicli. Se si osserva una differenza tripla nel corso di una sessione, un cycle slip al tempo

1t 2tt dà luogo ad una

discontinuità per tt =2 e ad una discontinuità di segno opposto per tt =1 . Il cycle slip si presenta quindi come un picco nel segnale che può essere facilmente evidenziato da un'analisi automatica dei dati. Vengono qui riportate le espressioni esplicite dei vari tipi di differenze di misure di fase: - Differenze singole di osservazioni simultanee di due ricevitori su uno stesso satellite:

ij

ik

ijk ψψψ −=∆ (7)

- Differenze singole di osservazioni simultanee di due satelliti distinti da parte di una stessa stazione:

ji

ki

jki ψψψ −=∇ (8)

- Differenze doppie (due satelliti e due stazioni):

hki

hkj

hij

kij

hkij ψψψψψ ∇−∇=∆−∆=∆∇ (9)

- Differenze triple (differenze fra differenze doppie ad epoche diverse):

)()(),( 1221 tttt hkij

hkij

hkij ψψψδ ∆∇−∆∇=∆∇ (10)

Il sistema di riferimento Le posizioni determinate con il GPS sono espresse in un sistema di riferimento solidale con la terra denominato WGS84 (World Geodetic System 1984). Vengono fornite coordinate cartesiane riferite ad una terna di assi geocentrica (ossia con l'origine nel centro di massa della terra) con l'asse z nella direzione dell'asse convenzionale di rotazione e l'asse x diretto verso il meridiano di Greenwich. Queste possono essere facilmente trasformate in coordinate geografiche h,,λϕ riferite ad un ellissoide geocentrico di parametri geometrici noti a,f (GRS80: Geodetic Reference System 1980). Si ricorda che la quota h è l’altezza rispetto all’ellissoide, che differisce dalla quota ortometrica H (altezza sul livello del mare) per l’ondulazione del geoide: h=H+N. In realtà il sistema di riferimento è definito dal fatto che le posizioni di un certo numero di stazioni sono considerate note; esso subisce piccole variazioni nel tempo, dovute a movimenti crostali. Nell'ultimo decennio sono state istituite reti di stazioni permanenti GPS, che acquisiscono dati in

continuo, elaborati da appositi organismi internazionali. Annualmente vengono fornite stime aggiornate delle posizioni delle stazioni che definiscono il sistema di riferimento e della loro velocità di variazione. Queste stime vengono indicate con le sigle ITRFxx (International Terrestrial Reference Frame) per la rete globale, o ETRFxx (European Terrestrial Reference Frame) per la rete regionale europea (xx indica l’anno). Attualmente in Italia sono attive circa dieci stazioni permanenti gestite dal Centro di Geodesia Spaziale dell'ASI (Agenzia Spaziale Italiana), ed è prevista l'istituzione di nuove stazioni nel prossimo futuro.

fig.13 – vertici della rete IGM95

L’aggiornamento del sistema di riferimento è necessario sia per il controllo delle orbite dei satelliti, sia per il rilevamento dei movimenti crostali, che è di grande importanza nello studio dei fenomeni geofisici. Tuttavia, per un operatore interessato ad eseguire rilevamenti in un area limitata, in cui è presumibile che i movimenti relativi delle stazioni siano trascurabili, non è conveniente che le coordinate delle stazioni di riferimento cambino frequentemente nel tempo. Si è stabilito quindi di fornire queste coordinate in un sistema di riferimento costante nel tempo, precisamente ITRF89, che corrisponde all’anno di attivazione del servizio internazionale. Inoltre, l'Istituto Geografico Militare ha istituito la rete IGM95 (fig.13) , costituita di circa 1200 vertici, uniformemente distribuiti su tutto il territorio nazionale, con distanze dell'ordine di 20km, di cui sono note le coordinate determinate con il GPS. E' quindi possibile, facendo stazione su questi vertici, determinare delle baselines che possono poi essere utilizzate per calcolare, partendo dalle posizioni note dei vertici IGM95, le coordinate di altri punti di stazione. Inoltre, l'IGM fornisce, insieme con le coordinate dei vertici IGM95, un software, denominato VERTO, per il calcolo delle trasformazioni necessarie per ricavare le coordinate geodetiche nel sistema di riferimento Roma40, che sono la base per il calcolo delle coordinate cartografiche Gauss-Boaga. A causa delle deformazioni presenti nella rete Roma40, i parametri delle trasformazioni (roto-traslazioni con variazione di scala) sono in generale diversi da punto a punto, e la loro applicabilità è limitata ad una piccola area intorno a ciascun vertice. Non è quindi possibile adottare

un’unica formula, e il calcolo delle trasformazioni deve essere eseguito localmente con opportuni procedimenti numerici. Recentemente alcune regioni, in collaborazione con centri universitari, si sono attivate per creare sia reti locali di stazioni permanenti, sia nuovi vertici di rete, che raffittiscono quelli IGM95 già esistenti, fino a raggiungere distanze medie di 6-7km. GPS differenziale Con la sigla DGPS (GPS differenziale) si indica quella modalità di posizionamento puntuale che si avvale della stima degli errori eseguita da una stazione posta nelle vicinanze la cui posizione è nota. Infatti, se la posizione di una certa stazione è nota, si può calcolare la sua distanza dai satelliti GPS, e, sottraendo da essa la distanza osservata, si ottiene l'errore di osservazione, che, come si è visto, è somma degli errori orbitali, degli errori di orologio dei satelliti e delle stazioni e degli errori nella propagazione del segnale. Se la stazione di cui si vuole determinare la posizione è posta nelle vicinanze, e osserva lo stesso satellite nello stesso istante, si può assumere che gli errori di propagazione non siano molto differenti, e gli errori dovuti al satellite sono identici. L'errore stimato per la prima stazione può quindi essere applicato anche alla seconda, e solo l'errore di orologio delle stazioni deve essere trattato a parte. Questa procedura di correzione può essere applicata sia ad osservazioni di codice sia di fase. Le informazioni dalla stazione di riferimento possono essere acquisite in tempo reale via radio o tramite telefono cellulare, e sono standardizzate secondo un protocollo internazionale indicato con la sigla RTCM. Si noti che il DGPS consente il posizionamento puntuale, e comporta un trattamento dei dati differente da quello usato per determinare le baselines con le osservazioni di differenze di distanze. Concettualmente, tuttavia, le due procedure non sono molto dissimili: in ogni caso, per ottenere una sensibile riduzione dell'errore, è necessario che sia nota la posizione di un'altra stazione non molto distante. GPS cinematico L'uso del GPS per la navigazione, basato sul posizionamento puntuale in tempo reale con misure di codice, inizialmente è stato adottato sulle navi, e non era sufficientemente accurato per essere adottato su un veicolo terrestre che si muove su un sistema stradale. Per questa ragione l'applicazione del GPS ai veicoli terrestri si è sviluppata soltanto in tempi relativamente recenti; i sistemi più sofisticati, installati a bordo di veicoli attrezzati ad esempio per rilevamenti territoriali e ambientali, utilizzano anche le misure di fase e i metodi differenziali, sia DGPS sia misure differenziate. Si assume quindi che sia disponibile nelle vicinanze una stazione di posizione nota, e, per il posizionamento in tempo reale (RTK, real time kinematics), è necessario poter ricevere i dati relativi alle osservazioni di questa stazione via radio o mediante telefono cellulare; sono stati istituiti servizi di trasmissione basati su satelliti di telecomunicazioni. In Italia non è ancora disponibile un servizio di trasmissione funzionante su tutto il territorio; nell'Italia settentrionale è possibile utilizzare servizi forniti da paesi confinanti, e in alcune regioni si stanno istituendo servizi legati alle nuove reti di stazioni permanenti.

La possibilità di utilizzare misure di fase, come si è visto, è legata alla determinazione dell'ambiguità del numero intero di cicli. Nel caso che la misura venga eseguita per una posizione fissa, si sfrutta il fatto che, nel corso di una sessione di misura, viene eseguito un numero elevato di misure riferite tutte alla stessa posizione della stazione ed allo stesso valore dell'ambiguità iniziale, mentre i satelliti si muovono nel tempo. Se invece la stazione è in movimento, le incognite di posizione sono diverse ad ogni misura. Questo non esclude che si possa avere ridondanza, dato che ad ogni nuova misura si aggiungono 3 coordinate incognite, oltre all’errore di orologio, ma i satelliti osservati sono in generale più di 4. Per essere più precisi, considerando le misure di fase su una singola frequenza, il numero totale di osservazioni in un intervallo temporale contenente epoche, in cui vengono osservati satelliti, è .

tn sn

st nnNel caso statico le incognite sono le 3 coordinate del punto, errori di sincronizzazione (uno per ogni epoca) e ambiguità intere (una per ogni satellite, purché non ci siano cycle-slips). Quindi deve essere , ossia

tn

sn

stst nnnn ++> 3 )1/()3( −+> sst nnn (quindi almeno 3 epoche con 4 satelliti, almeno 2 se il numero di satelliti è maggiore). Nel caso cinematico ad ogni epoca cambiano le coordinate del punto, quindi in totale le incognite sono . Di conseguenza deve essere st nn +4 )4/(4 −>⇒+> sststst nnnnnnn . Quindi i satelliti osservati devono essere almeno 5, e il numero di epoche è in ogni caso maggiore che nel caso statico. Tuttavia è necessario, specialmente se si è interessati al posizionamento in tempo reale, che la determinazione dell'ambiguità sia fatta nel tempo più breve possibile. Nell'uso cinematico del GPS si richiedono osservazioni eseguite ad intervalli molto brevi, ad esempio 1sec, mentre nel caso di una stazione fissa sono preferibili intervalli maggiori, ad esempio 30sec, con stazionamento più lungo, in modo da ottenere differenze maggiori nelle configurazioni della costellazione dei satelliti durante la sessione. Nelle prime applicazioni del GPS cinematico differenziale (ad esempio, l'uso del GPS a bordo di un aereo che esegue riprese fotogrammetriche, in modo da ridurre la necessità di punti di appoggio a terra), la determinazione dell'ambiguità (inizializzazione) veniva effettuata mantenendo fissa la stazione; questa procedura richiedeva però che durante il moto non ci fossero cycle-slips. Questa condizione si verifica difficilmente nel caso del moto di un veicolo a terra in ambiente urbano, dove sono continuamente presenti ostacoli alla visibilità della volta celeste. Diventa dunque disagevole (quando non impossibile, come nel moto di un aereo) fermare il veicolo per l'inizializzazione ogni volta che si verifica un cycle-slip. Sono stati elaborati algoritmi (indicati con la sigla OTF, on the fly) che, utilizzando contemporaneamente misure di fase e di codice e adottando metodi di stima di tipo sequenziale, consentono la stima dell'ambiguità iniziale con un numero molto piccolo di misure, e quindi con un ritardo molto breve. Nelle applicazioni più avanzate il ricevitore GPS viene integrato da un sistema INS (inerziale) in grado di misurare le accelerazioni, e di ricostruire quindi il moto negli intervalli di interruzione della ricezione GPS. Si tratta però di apparecchiature molto costose, la cui utilizzazione è limitata a veicoli destinati a particolari campagne di rilevamento. L'accuratezza raggiungibile nel GPS cinematico è senz'altro inferiore al metro e può raggiungere pochi cm. Non è certamente paragonabile all'accuratezza del posizionamento di una stazione fissa con stazionamento di lunga durata, ma è senz'altro di gran lunga migliore di quella del posizionamento puntuale, ed è sufficiente per la maggior parte delle applicazioni pratiche.

La modalità cinematica (ossia con il ricevitore acceso durante gli spostamenti) viene spesso utilizzata anche per rilievi speditivi su piccole aree, con brevi stazionamenti nei vertici da rilevare. Reti GPS Come si è già accennato, la determinazione precisa della posizione delle stazioni GPS richiede lo stazionamento per un periodo di tempo abbastanza lungo (anche diverse ore), per avere un'ampia ridondanza di dati indipendenti, relativi a configurazioni di satelliti molto diverse. Inoltre, poiché l'accuratezza elevata si ottiene sulle baselines e non nella determinazione puntuale della posizione, è necessario che almeno due ricevitori acquisiscano contemporaneamente e che uno almeno sia stazionato in un punto noto; quest'ultimo può essere il sito di una stazione permanente, nel qual caso il ricevitore è già installato e i dati possono essere acquisiti via rete, oppure un vertice della rete IGM95, che è individuato da un caposaldo su cui l'operatore deve mettere in stazione un suo strumento, le cui coordinate sono fornite a pagamento dall'IGM. Si ottiene un livello maggiore di accuratezza usando strumenti bifrequenza, che consentono la correzione dell'errore ionosferico. Disponendo di più di due ricevitori, è possibile determinare più di una baseline per ogni sessione. Va però osservato che tutte le misure di baselines uscenti da un vertice utilizzano gli stessi dati relativi a quel vertice, e non sono quindi fra loro indipendenti. Occupando n vertici in una sessione è possibile determinare soltanto n-1 basi (algebricamente) indipendenti; le misure delle altre basi, che utilizzano gli stessi dati relativi a ciascun vertice, sono completamente determinate dalle misure delle n-1 basi indipendenti, e non possono quindi essere utilizzate in una compensazione di rete come misure ridondanti. Inoltre, due basi aventi un vertice comune, anche se sono algebricamente indipendenti, sono statisticamente correlate, poiché usano gli stessi dati relativi al vertice comune. A livello di una singola sessione, i calcoli sono finalizzati alla determinazione delle componenti delle baselines, compensando la rete i cui vertici sono le stazioni a terra e le posizioni dei satelliti nei diversi istanti di acquisizione, e le cui osservabili sono gli pseudo-range e le differenze di fase. In questo caso, essendo le equazioni di osservazione non lineari, debbono essere note le coordinate approssimate delle stazioni e i loro errori di orologio approssimati. Questi dati possono essere ottenuti in tempo reale da osservazioni di pseudo-range. La compensazione fornisce anche le matrici di covarianza delle componenti, che dipendono soprattutto dalle condizioni geometriche di osservazione. L'elaborazione dei dati può essere fatta separatamente per ciascuna delle baselines, oppure, utilizzando i programmi di elaborazione più avanzati, anche in modalità multibase, con cui tutte le baselines indipendenti di una sessione vengono trattate simultaneamente. Soltanto con quest'ultima procedura si possono ottenere le correlazioni statistiche fra le diverse basi. Per compensare una rete è necessario eseguire più sessioni di misure, dato che baselines misurate in sessioni diverse sono fra loro indipendenti. I ricevitori vengono spostati in maniera da ottenere le ridondanze necessarie. I dati di ingresso della compensazione sono le componenti cartesiane delle baselines determinate nelle diverse sessioni, e la ridondanza ha origine dal fatto che le somme dei lati di poligonali chiuse devono avere componenti nulle. La procedura di compensazione, quindi, è simile a quella per le reti altimetriche, e se ne differenzia soltanto per il fatto che ogni lato ha 3 componenti. Dal punto di vista della scelta della forma ottimale della rete e delle baselines da misurare in ogni sessione, va osservato che, poiché le quantità misurate sono le distanze dai satelliti, la geometria complessiva della rete comprende anche i satelliti, e i criteri di ottimalità sono quindi diversi da quelli che si seguono quando le misure sono fatte con strumenti a terra.

Per la compensazione della rete devono essere fornite le matrici di covarianza delle baselines determinate. Se l'elaborazione è stata fatta separatamente per ciascuna delle baselines, sono disponibili soltanto le correlazioni fra le diverse componenti di una stessa baseline, mentre baselines diverse devono essere necessariamente trattate come se fossero incorrelate. E' intuitivo che l'accuratezza con cui una posizione puntuale o una baseline viene determinata dipende dalla configurazione geometrica dei satelliti osservati. Al limite, se tutti i satelliti fossero allineati nella stessa direzione, la determinazione della posizione sarebbe impossibile; se i satelliti sono raggruppati in una piccola porzione di volta celeste, la determinazione è possibile, ma piccoli errori di osservazione comportano grossi errori nelle coordinate della stazione o nelle componenti della baseline. Si dice in questo caso che il sistema di equazioni è mal condizionato. I migliori risultati, viceversa, si ottengono se i satelliti sono uniformemente distribuiti su tutta la volta celeste. Il parametro che stabilisce il rapporto fra errori di osservazione e errori di stima è indicato con la sigla DOP (dilution of precision), ed un suo valore troppo grande è indice di una cattiva qualità della determinazione. Sono stati introdotti diversi DOP, a seconda dei parametri di interesse per il particolare rilievo; ad esempio, il DOP relativo alla posizione puntuale è indicato con PDOP, quello riferito alla posizione relativa con RDOP.