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Introduction to fractions. Sharing the cakes

As I’m very pleased with your hard work, I have decided to have a little party. That’s why I have

brought two cakes; the first one has been cut into three pieces and the second one into five

pieces. The only problem is, as you can imagine, we have to solve some mathematical

questions before we eat it.

First of all, I want you to draw in your notebook three equal 15 x 10 rectangles. That means

three rectangles with 15 squares long and 10 squares wide. We are going to label the first

rectangle as “Cake 1: lemon”, the second rectangle as “Cake 2: chocolate” and the third one as

“Addition”.

Cake 1: Lemon. Draw in the first rectangle what I have done: the cake divided in three equal

parts. Do it vertically (attending to the 15 squares)

a) I am taking out one piece of cake 1 and I put it on a new dish. Draw this in the first

rectangle; can we express that amount as a fraction?

b) What number do we write as the numerator and which one as the denominator?

c) Can you express the amount of lemon cake that remains on the first dish as a fraction?

d) Now, I´m putting back to the first dish what I had taken aside. Can you express with a

mathematical operation what I have done? + =

e) How do you add fractions with the same denominator?

Cake 2: Chocolate. Draw in the second rectangle what I have done: the cake divided in five

equal parts. Do it vertically (attending to the 15 squares)

a) I am taking out two pieces of cake B and I put them on a new dish. Draw this in the

second rectangle; can we express that amount as a fraction?

b) What number do we write as the numerator and which one as the denominator?

c) Can you express the amount of lemon cake that remains on the first dish as a fraction?

d) Now, I´m putting back to the first dish what I had taken aside. Can you express with a

mathematical operation what I have done? + =

e) How do you add fractions with the same denominator?

Addition

If I gave someone the three pieces of cake (one from cake A and two from cake B).

Don’t be afraid to write your answers, we’ll have time to change it later if don’t agree

a) Can you express that amount as a fraction?

b) What number do we write in the numerator?

c) What number do we write in the denominator?

d) Are all the pieces I have given the person of the same size?

Which pieces are bigger: those of the lemon cake or those of the chocolate cake?

e) This is the time for you to change the previous answers if you think so

Time to think: Shouldn’t we try to cut the cake so that the pieces are of the same size?

2

Remember that in a fraction the denominator is the number of equal parts the unit is

divided into

What do we have to do to have both cakes (the first one divided in three equal parts and

the second one divided in five) divided in the same number of pieces?

Meanwhile, I cut the cakes as we had agreed, do it yourself in the three rectangles (now all

of them must be divided in the same number of parts and all of the parts must be equal).

We are going to repeat the experiment

Cake A: lemon. Look at the first rectangle.

In how many pieces do we have cake A now?

How many pieces of cake A are we taking away to take away the same amount I did

before?

Express as a fraction the amount of the lemon cake we have taken

Cake B: chocolate. Look at the second rectangle.

In how many pieces do we have cake B now?

How many pieces of cake A are we taking away to take away the same amount I did

before?

Express as a fraction the amount of the lemon cake we have taken

Rectangle 3. Addition. I put all the pieces, those from cake A and those from cake B, in a

new tray

Do the same in your third rectangle.

In how many pieces is the third rectangle divided into?

How many pieces of cake am I giving to that person now?

Can you express this amount of cake as a fraction? Write the whole process and the

answer

1

3+

2

5= + =

Conclusion

a) How have we obtained the denominator when adding two fractions with different

denominators?

-

-

b) How have we obtained the numerator when adding two fractions with different

denominators?

3

Actividad de introducción a las fracciones. Hoy es mi cumple

Hoy es mi cumple, así que he traído dos “queques” rectangulares para celebrarlo. El primer

“queque” lo he cortado en tres trozos iguales y el segundo en cinco. Lamentablemente, como

supondrás, antes de comérnoslos tendremos que resolver algunas cuestiones matemáticas.

Antes de empezar, quiero que dibujes en la misma hoja (si es posible) de tu libreta tres

rectángulos iguales de dimensiones 15x 10. Esto significa tres rectángulos en los que cada uno

de ellos tenga un largo de 15 cuadritos de libreta y un ancho de 10 cuadritos. Encima del

primer triángulo escribiremos “Queque 1: Limón”, encima del segundo escribiremos “Queque

2: Chocolate” y encima del tercero escribiremos “Suma”

Queque 1: limón. Representa en el primer rectángulo lo que yo tengo en realidad; un queque

dividido en tres partes iguales. Hazlo en vertical (los 15 cuadritos).

a) Como ves, saco uno de los trozos y lo pongo en otro plato. Dibuja lo que hecho (la

parte del queque que he apartado) en el primer rectángulo. ¿Puedes expresar esa

cantidad como una fracción?

b) ¿Qué número he puesto en el numerador y cuál en el denominador?

c) ¿Puedes expresar lo que queda del queque en el primer plato como una fracción?

d) Ahora voy a devolver al plato original la fracción que había sacado, ¿puedes expresar

mediante una operación matemática lo que acabo de hacer? Hazlo

e) ¿Cómo se suman fracciones con el mismo denominador?

Queque 2: Chocolate. Representa en el primer rectángulo lo que yo tengo en realidad; un

queque dividido en cinco partes iguales. Hazlo en vertical (los 15 cuadritos).

a) Como ves, saco dos de los trozos y los pongo en otro plato. Dibuja lo que hecho (las

partes del queque que he apartado) en el segundo rectángulo. ¿Puedes expresar esa

cantidad como una fracción?

b) ¿Qué número he puesto en el numerador y cuál en el denominador?

c) ¿Puedes expresar lo que queda del queque en el primer plato como una fracción?

d) Ahora voy a devolver al plato original la fracción que había sacado, ¿puedes expresar

mediante una operación matemática lo que acabo de hacer? Hazlo + =

e) ¿Cómo se suman fracciones con el mismo denominador?

Suma

Si le doy a alguien las tres porciones de queque (una del queque de limón y dos del

queque de chocolate)

Contesta lo que creas, siempre habrá tiempo de rectificar

f) ¿Puedes expresar la cantidad que acabo de poner en el plato como una fracción?

g) ¿Qué número escribiremos en el numerador?

h) ¿Qué número escribiremos en el denominador?

i) ¿Son todas las piezas que he puesto en el plato del mismo grosor?

j) ¿Cuáles son más gordas: las del queque de limón o las del queque de chocolate?

4

k) Si lo estimas necesario puedes cambiar ahora las respuestas de las preguntas

anteriores

Reflexión: ¿No deberíamos tratar de conseguir que todas las piezas tengan el mismo

grosor?

Recuerda la definición de denominador: “Es el número de partes iguales en que dividimos

la unidad”

¿Cómo conseguimos que los dos queques (el primero cortado en tres partes iguales y el

segundo en cinco) estén divididos en el mismo número de partes?

En lo que yo corto los queques como hemos convenido, hazlo tú en los tres rectángulos

(ahora deben estar divididos en las mismas partes y éstas tienen que ser iguales). Repetiremos

ahora el experimento.

Queque 1: Limón. Observa el primer rectángulo.

¿En cuántas partes está dividido ahora? ¿Cuántas partes debo quitar para

quitar la misma cantidad de antes?

Expresa como una fracción la cantidad que nos hemos llevado

Queque 2: Chocolate. Observa el segundo rectángulo.

¿En cuántas partes está dividido ahora? ¿Cuántas partes debo quitar para

quitar la misma cantidad de antes?

Expresa como una fracción la cantidad que nos hemos llevado

Tercer rectángulo: Suma. Pongo todas las piezas que me he llevado en un nuevo plato.

Hazlo tú en tu rectángulo

¿En cuántas partes estará dividido el rectángulo ahora?

¿Cuántas hemos cogido?

¿Podemos expresar la fracción de queque que le he dado a esa persona? Escribe la

operación entera y el resultado

1

3+

2

5= + =

Conclusión

c) ¿Cómo hemos obtenido el denominador cuando hemos sumado dos fracciones con

distinto denominador?

-

-

d) ¿Cómo hemos obtenido los numeradores cuando hemos sumado dos fracciones con

distinto denominador?

5

CUARTO CRECIENTE, CUARTO MENGUANTE

Pedro estaba cansado. Después de haber pasado los meses de calor con su rebaño

aprovechando las últimas briznas de verde hierba en el pinar de Garafía y en la Caldera

de Taburiente, las primeras lluvias del otoño habían llegado y era la hora de volver a su

anhelado hogar. Echaba de menos su casa en Fuencaliente, a sus amigos y,

especialmente, a su madre y a sus tres hermanas. Los dos últimos días habían sido

especialmente duros. La caminata que les había conducido desde El Tablado, que había

sido su último refugio, hasta lo alto del pico Birigoyo había sido larga. Atrás quedaban

el Roque de los Muchachos, toda la Crestería y El Refugio del Pilar. Junto a su padre,

había cercado a los animales en el interior de la Caldera y se disponía a hacer noche en

un antiguo “almogarén” en lo alto de la loma. La cena había sido frugal; un poco de gofio

amasado con miel, un trocito de queso ahumado, un puñado de dátiles y un buchito de

parra para contrarrestar el relente de la noche. La lluvia había dejado paso a noches frías

pero nítidas, sin una sola nube en un cielo plagado de brillantes estrellas en el que la

luna se mostraba reluciente. El áureo satélite inquietaba a Pedro.

Pedro: - “Pa”, ¿por qué la semana pasada la Luna se veía redonda y blanca como un

queso y ahora parece que le falta un “cacho”?

Padre: - Porque esta noche hay “Cuarto Menguante” y la semana pasada había “Luna

Llena”.

Pedro: - ¿Y eso? ¿Es qué hay diferentes lunas y van saliendo según les dé?

Padre: - No, la Luna es siempre la misma. Lo que pasa es que va girando en torno a la

Tierra y hay momentos en los que, dependiendo de la posición que esté, hay partes de

su superficie que no se ven.

6

Pedro: - ¿Y cómo se llaman las lunas?

Padre: - Como ya te dije la Luna es siempre la misma aunque se nos muestra con cuatro

caras distintas: Luna Llena, Cuarto Menguante, Cuarto Creciente y Luna Nueva.

Pedro: - ¿Qué significa “cuarto”?.

Padre: - Significa cuarta parte, es decir, una parte de algo que está dividido en cuatro

trozos.

Pedro: - ¿Y por qué hay dos que se llaman “cuarto nosequé” y “cuarto nosecuánto”?

¿Es que son iguales?

Padre: - No son “cuarto nosequé” ni “cuarto nosecuánto” sino Cuarto Creciente y Cuarto

Menguante, Pedro. Creciente viene de crecer. Cuando la Luna cambia de Luna Nueva,

que es cuando no la vemos, a Cuarto Creciente “crece” una cuarta parte y por eso recibe

ese nombre. De igual manera, menguar significa hacerse más pequeño, por lo que

Cuarto Menguante es un cuarto más pequeño que Luna Llena.

En realidad, sería más correcto decir “tres cuartos de luna”.

Pedro: - Tres cuartos, ¿y eso qué es?

Padre: - “Eso”, cómo tú dices, es una fracción. Fracción significa dividir algo en partes y

coger un número determinado de porciones del total. Para expresar una fracción

siempre debes decir en cuántas partes se divide el total y cuántas de ellas se cogen. Así,

tres cuartos significa que cuando cortamos, por ejemplo, un pan en cuatro trozos,

cogemos tres y cinco octavos significa que cuando cortas el pan en ocho partes, te

comes cinco.

Pedro: - ¿Qué más fracciones hay por “ahí”?

Padre:- Las fracciones están en todos los aspectos de nuestra vida. Por ejemplo, como

sabes, se tarda tres días para llegar desde El Tablado hasta casa. Como ya hemos

caminado dos días y nos queda uno para llegar, podemos afirmar que hemos andado

los dos tercios del total y que aún nos falta un tercio.

Pedro: - ¿También se pueden hacer fracciones con el ganado?

Padre: - Por supuesto. Nosotros tenemos treinta animales de los cuales veinte son

cabras y diez son ovejas. Podemos decir que las cabras representan veinte treintavos

del total o, mejor aún, que representan dos tercios.

Pedro: - No entiendo nada, ¿cómo va a ser lo mismo veinte “no sequés” que dos

“nosécuántos” si los números son distintos?

Padre: - Veinte treintavos y dos tercios. Depende, como casi todo en la vida, del color

del cristal con que se mira. Si tú cuentas los animales de uno en uno, de los treinta que

son, veinte son cabras por lo que las cabras conforman veinte treintavos del rebaño. Sin

embargo, si juntamos los animales en grupos de diez, tendremos tres grupos, de los

cuales dos son de cabras y uno es de ovejas, por lo que los grupos de cabras representan

dos tercios del total.

Pedro: - ¡Ñoooos! ¡Esto de las fracciones parece complicado como el demonio!

Padre: - Al principio todo parece complicado pero, cuando se le coge el tranquillo, todo

sale. ¿O no te acuerdas lo difícil que te resultó al principio que el Pirata fuese capaz de

apañar las cabras él solo?

Pedro: - Eso sí es verdad. Pensé que nunca lo conseguiría pero, después de echarle un

montón de tiempo y de ganas, lo conseguí.

7

Padre: Y estoy seguro que lo mismo pasará con las fracciones. Por cierto, ya va siendo

hora que nos acostemos que mañana hay que levantarse al alba. ¡Buenas noches, Pedro!

Pedro: - ¡Buenas noches, “Pa”!

A pesar del cansancio acumulado, a Pedro le costó aquella noche quedarse dormido. Su

mente divagaba entre las proporciones, o fracciones, de su vida cotidiana; cuál era la

proporción de chicas en su clase, qué fracción de días de vacaciones había en un año,

qué fracción de cabras quedarían preñadas,…

AMPLIACIÓN DE “CUARTO CRECIENTE, CUARTO MENGUANTE”

Pedro y su padre ya habían regresado a su hogar. Pedro era feliz. Había pasado un gran día

compartiendo experiencias con sus hermanas, había comido como un rey, ¡cúanto había

echado de menos la comida de su mamá!, y había vuelto a ver a sus amigos del pueblo. Sin

embargo, el tema de las fracciones aún le inquietaba.

Pedro:- “Pa”

Padre:- ¿Qué?

Pedro:- He estado dándole vueltas a lo que hablamos anoche y creo que lo de las

fracciones ya lo entiendo aunque tengo una duda.

Padre:- Bien, pregunta.

Pedro:- Las fracciones son números o son otra cosa.

Padre:- Son números, ¿por qué?

Pedro:- Porque si son números se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir como los

números de toda la vida.

Padre:- Tienes razón, Pedro. Las fracciones, como números que son, se pueden operar.

Pedro:- ¿Y cómo se suman? ¿Lo de arriba más lo de arriba más lo de abajo más lo de

abajo?

Padre:- No, Pedro. Al igual que no puedes sumar peras con manzanas, no puedes sumar

denominadores distintos.

Pedro:- ¿Y cómo se hace, entonces?

Padre:- Vamos a verlo con un ejemplo. Supón que queremos sumar dos tercios más un

cuarto. Fíjate aquí tengo dos tercios de queso con pimentón y un cuarto de queso duro y

quiero saber qué fracción de queso tengo

8

Padre:- ¿Son todos los trozos de queso del mismo tamaño?

Pedro:- Los de queso con pimentón no son iguales que los de queso duro.

Padre:- Muy bien. Ahora partiremos cada trozo del primer queso en cuatro trozos como

corresponde al segundo queso y cada trozo del segundo queso en tres partes como

corresponde al primer queso.

Padre:- ¿Son todos los trozos de queso del mismo tamaño?

Pedro:- ¡Sí! Ahora ya puedo sumar los ocho trozos del primer queso con los tres del

segundo porque tienen el mismo tamaño y tengo once trozos. El numerador está claro

pero, ¿el denominador es 12 o 24?

Padre:- ¿Tú qué crees?

Pedro:- Veinticuatro, pues ocho doceavos más tres doceavos debe ser once

veinticuatroavos. Lo de arriba más lo de arriba y lo de abajo más lo de abajo.

9

Padre:- Yo no te digo nada, pero mira qué pasa si juntamos los trozos de los dos quesos.

Pedro:- ¡Guau! ¡El denominador es doce! ¡Cuando conseguimos que los dos

denominadores sean iguales sólo sumamos los numeradores!

Padre:- Muy bien, Pedro. Así es.

Pedro:- Ya tengo claro que el denominador común para poder sumar se obtiene

multiplicando los dos denominadores que tenía al principio pero, ¿cómo se consiguen los

numeradores?

Padre:- La forma más fácil es multiplicando el numerador del primero por el denominador

del segundo y al revés. Fíjate, cuando teníamos 3

2+

4

1, el denominador común lo

obteníamos multiplicando los denominadores 3·4 = 12 y el numerador de la primera

fracción multiliplicando 2·4 = 8 y el de la segunda multiplicando 3·1 = 3. Así, nos queda 3

2+

4

1 =

12

8+

12

3 =

12

11.

Pedro:- Visto de esta manera, no parece tan difícil. El problema será acordarse de todos

los pasos.

Padre:- En cuanto practiques un poco, verás que es muy fácil. De todas maneras, cuando

yo fui a la escuela, me lo explicaron de otra forma. Usando el mínimo común múltiplo.

Aunque a mí me resulta más fácil así, como te lo expliqué.

Pedro:- ¿Y cómo se restan las fracciones?

Padre:- Igual que la suma pero, como es lógico, en vez de sumar, restar. Si tuviésemos que

hacer 6

7-5

4, primero multiplicamos los denominadores 6·5 = 30 y ése es el denominador

común. Luego multiplicamos el numerador del primero por el denominador del segundo,

10

es decir, 7·5 =35 y, al revés, el denominador del primero por el numerador del segundo, o

sea, 6·4 = 24. Ahora sólo queda restar. Ésta sería la operación 6

7-5

4 =

30

35-30

24=

30

2435−=

30

11.

Pedro:- Es un poco largo pero yo creo que ya sé hacerlo.

Padre:- Estoy muy contento porque ya tienes más confianza en ti mismo.

Pedro:- Es que las matemáticas con ejemplos de la vida diaria; el ganado, el queso, la luna,

… son mucho más fáciles. Por cierto, ¿qué pasa con la multiplicación de fracciones?

¿También necesito tener el mismo denominador en las dos para poder multiplicar los

numeradores?

Padre:- No, multiplicar fracciones es muy fácil. Sólo tienes que multiplicar lo de arriba por

lo de arriba y lo de abajo.

Pedro:- Ah, ¡qué fácil! Pero, ¿por qué no necesitamos que los denominadores sean iguales

como antes? ¿Es que se pueden multiplicar cosas distintas?

Padre:- Claro que sí. Para la multiplicación casi siempre operamos con cosas distintas. Por

ejemplo, tanto tú como yo tenemos seis higos en el morral. En total, tenemos seis higos

por dos morrales igual a doce higos. Como ves las “cosas” no son iguales y se pueden

multiplicar. Lo mismo pasa con la división, podemos dividir un kilo de gofio entre ocho

personas.

Pedro:- Vale. Ya tengo claro que se pueden multiplicar cosas distintas. Pero, ¿por qué es lo

de arriba por lo de arriba y lo de abajo por lo de abajo?

Padre:- Bien, veámoslo también con un ejemplo. Pero antes recuerda lo que vimos ayer; la

fracción de una cantidad. Cuando decíamos que dos tercios de nuestros treinta animales

eran cabras, para calcular el número de cabras multiplicábamos el numerador por la

cantidad y después dividíamos por el denominador. En nuestro caso, dos por treinta que

son sesenta dividido entre tres que es veinte. Por eso decíamos que dos tercios de treinta

es veinte.

Pedro:- De todo eso me acuerdo pero no sé que tiene que ver con la multiplicación de

fracciones.

Padre: - Supongamos que dos tercios de queso lo queremos multiplicar por tres cuartos.

Primero tomemos los dos tercios de queso. Aquí los juntamos:

11

Pedro:- Bien

Padre:- Ahora lo multiplicamos por tres. Eso significa que cogemos dos veces más dos

tercios. Pásamelos, Pedro.

Pedro:- Vale. Aquí tienes dos tercios de queso y aquí otros dos tercios.

Padre:- Ahora debemos dividirlo entre cuatro. Imagínate que lo vamos a repartir entre tus

tres hermanas y tú. Repártelo.

Pedro:- A ver. Este trozo para Juana, éste para Jacinta, éste para Clotilde, éste para mí,

éste para Juana, éste para Jacinta y,… ¡No hay más!

12

¡No es justo! A Juana y a Jacinta les toca más queso que a Cloti y a mí.

Padre:- ¡Desde luego que no es justo! Vamos a partir cada trozo a la mitad y volver a

repartir

Ahora vuelve a hacer el reparto, Pedro.

Pedro:- Vamos a ver. Este “cacho” para Juana, éste para Jacinta, éste para Cloti y éste para

mí. Este “cacho” para Juana, éste para Jacinta, éste para Cloti y éste para mí. Este “cacho”

para Juana, éste para Jacinta, éste para Cloti y éste para mí.

13

Está claro que a cada uno le toca tres “cachos· de queso pero, ¿cuál es la fracción? No

tengo nada claro cuál es el denominador.

Padre:- Seis. Recuerda que repartíamos dos tercios de queso, es decir, que el queso estaba

partido en tres trozos y que después cortamos cada trozo a la mitad para que el reparto

fuese justo. En total, hemos cortado el queso en seis trozos. De todas maneras, es más

fácil de ver si juntas los trozos.

Pedro:- Eso es. Nos corresponden tres sextos de queso a cada uno o, mejor aún, nos toca

la mitad de un queso por barba. ¡Ya controlo eso de las fracciones equivalentes!

Padre:- Muy bien, Pedro. Si únicamente hubiésemos hecho la operación dos tercios por

tres cuartos multiplicando lo de arriba por lo de arriba y lo de abajo por lo de abajo, como

te dije al principio, sería dos por tres seis y tres por cuatro doce y nos queda seis doceavos

que, como bien sabes, es lo mismo que tres sextos y lo mismo que un medio.

Pedro:- Desde luego que de esta manera es muy fácil. Mucho más sencillo que la suma o la

resta. ¿Qué pasa con la división de fracciones? ¿Es fácil como la multiplicación o difícil

como la suma y la resta?

14

Padre:- Muy fácil. Sólo tienes que multiplicar el numerador de una fracción por el

denominador de la otra y al revés. Fíjate, si dividimos dos quintos entre cuatro novenos

nos queda

5

2:9

4=

4·5

9·2=

20

18 que simplificado es

10

9.

Para no confundirnos, se dice que la multiplicación de fracciones es en línea (lo de arriba

por lo de arriba y lo de abajo por lo de abajo) y la división es en cruz (el de arriba de una

fracción por lo de debajo de la otra y al revés).

Pedro:- ¡Ah, qué chollo! ¡Es superfácil! ¡Eso sí no me lo expliques con el queso, que ya

tenemos al pobre mareado!

ACTIVIDADES DE MATEMÁTICAS: “CUARTO CRECIENTE, CUARTO MENGUANTE”

1) En la página 57 vuelve a leer las dos primeras intervenciones del padre y la de Pedro que está en medio:

Demuestra que has entendido el concepto de fracción rellenando el siguiente cuadro:

2) Termina de leer la página 57 y demuestra que has entendido el concepto de fracción equivalente asociando a cada uno de los textos que se presentan su fracción correspondiente y aportando también al menos una fracción equivalente.

Texto F. corres

pondiente

Fs. Equivalentes

15

De los 200 huéspedes del hotel, 150 son extranjeros

200

150

100

75,

40

30,

20

15,8

6

, 4

3

De las 10 porciones de pizza, comimos 6

De los 24 alumnos de la clase, 16 aprobaron

Matemáticas

En una encuesta a 25 personas, 10 se mostraron

satisfechos con el gobierno

2 de las 24 manzanas estaban podridas

3) Has estado trabajando las fracciones equivalentes de una forma muy intuitiva pero hay una manera mucho más fácil; multiplicando o dividiendo numerador y denominador por el mismo número. Cuando multiplicamos diremos que estamos obteniendo fracciones equivalentes por ampliación y cuando dividimos, lo estamos haciendo por reducción.

a) Aporta 5 fracciones equivalentes por ampliación de:

a) 8

3 b)

5

2 c)

4

9 d)

5

4

b) Aporta, si se puede, 3 fracciones equivalentes por reducción de:

a) 30

18 b)

60

30 c)

20

36 d)

42

18 e)

12

48

4) Hemos visto en el ejercicio anterior que siempre hay muchísimas fracciones equivalentes a una dada. De hecho, por ampliación siempre se pueden obtener infinitas fracciones equivalentes a una dada y por reducción, frecuentemente se obtienen varias aunque en ocasiones no se encuentra ninguna. En ese caso, se dice que la fracción es irreducible. Para obtener esta fracción hay diversos métodos pero el más cómodo es dividiendo numerador y denominador por el máximo común divisor de ambos números. Veámoslo con un ejemplo:

Hallar la fracción irreducible de 45

30

a) Descomponemos factorialmente 30 = 2·3·5 45 = 3 2 ·5

b) Obtenemos m.c.d (comunes al menor exponente)

16

30 = 2·3·5 m.c.d (30, 45) = 3·5 = 15

45 = 3 2 ·5

c) Dividiendo numerador y denominador por 15 nos queda

45

30=

3

2

Obtén tú las fracciones irreducibles correspondientes a las siguientes fracciones:

a) 25

20 b)

42

18 c)

54

36 d)

160

100 e)

5

3

5) Lee la ampliación del diálogo entre Pedro y su padre y aplica los conocimientos

aprendidos y efectúa las siguientes operaciones (sumas o restas) de fracciones:

a) 9

5+

5

4= b)

3

4-8

3= c)

15

7+

4

9= d)

3

2-2

1=

e) 4

3-9

7= f)

3

5-

5

3+

8

1= g)

3

5-

+

8

1

5

3 =

6) Ahora utiliza conjuntamente los conocimientos adquiridos en los ejercicios 5) y 4) (opera primero las fracciones y simplifica luego el resultado) y resuelve:

a) 10

3+

6

5= b)

4

9-8

5= c)

14

9-6

5= d)

10

1

35

4+ =

e) 4

3-6

5+

9

5= f)

2

1-

−

8

5

4

3= g)

8

5+

−

4

3

6

1=

7) Demuestra que sabes multiplicar y dividir fracciones:

a) 5

3·9

2= b)

3

4:8

3= c)

4

7:9

5= d)

3

2·8

1 =

e) 2

3:7

2= f)

5

3:5

3 = g)

5

3·5

3= h)

12

5·1

9=

8) Si no has simplificado los resultados del ejercicio anterior (en caso que sea posible), hazlo ahora. Recuerda que hay que dividir numerador y denominador por el máximo común divisor de los dos.

17

Ahora es el momento de aplicar los conocimientos adquiridos. En cada cuestión vas a

tener que decidir si hay que hacer suma, resta, multiplicación o división de fracciones.

Al principio, te aconsejo que cambies las fracciones por números naturales de tu

elección y así te resultará más sencillo decidir cuál es la operación conveniente.

PROVISIONES

Pedro y su padre necesitan controlar en todo momento la cantidad de agua y de

alimentos que disponen porque, aunque conocen muy bien la situación de pozos y

lugares donde aprovisionarse de comida, no pueden permitirse el lujo de apartarse de

su camino, con la consiguiente pérdida de tiempo que eso supone.

1) Agua

a) El Padre de Pedro, Chanito, tiene una bota con un litro y medio de capacidad,

¿podrías expresar esta cantidad mediante una fracción?

b) Si Pedro tiene una cantimplora de tres cuartos de litro de capacidad, ¿de qué

cantidad de agua disponen cuando los dos recipientes están llenos? Exprésalo

como fracción

c) Chanito ha enseñado a Pedro a economizar el agua porque se trata de una

necesidad básica imprescindible. Para ello debe dividir el contenido de su

cantimplora en cuatro tomas iguales de tal manera que consume una por la

mañana, otra a mediodía, otra por la tarde y una última por la noche, ¿qué

fracción de la cantimplora bebe Pedro en cada ocasión?

d) Supón que en estos últimos días que ha hecho más calima han decidido dosificar

su agua de distinta manera dividiendo el contenido de la cantimplora en cinco

tomas de las cuales se bebe una por la mañana, dos a mediodía, una por la tarde y

otra por la noche, ¿qué fracción de la cantimplora beberá en cada ocasión?

e) En las dos situaciones de los apartados anteriores, ¿qué cantidad de su bota

beberá Chanito en cada ocasión? Exprésalo como fracción

f) ¿Cuánta agua consumen Chanito y Pedro en una semana? Exprésalo como fracción

g) En la cueva donde pernoctan tienen un aljibe de treinta y seis litros de capacidad.

¿Para cuántos días les dará teniendo en cuenta la cantidad que consumen Chanito

y Pedro diariamente?

2) Queso

A Pedro y a su padre les acaba de regalar un pastor de Buen Lugar las tres cuartas partes de

uno de sus quesos artesanales.

a) Si quiere guardar cada uno la misma cantidad de queso en su morral. ¿Cómo lo harán? ¿Qué

cantidad de queso tendrá cada uno?

b) Si el queso debe durarles tres días comiendo lo mismo cada uno de los días. ¿Qué fracción

de queso comerá cada uno diariamente?

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IES VALSEQUILLO. DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS general

EXAMEN DIVISIBILIDAD, POTENCIAS Y RAÍCES. 1 ESO C. 08/11/18

Nombre:________________________________________________________

1) Completa esta tabla (ve columna por columna): (0,75 puntos) Producto 4·4·4

Se expresa 73

Se lee Seis elevado al cuadrado

Resultado

2) Realiza las siguientes operaciones combinadas. Recuerda a mi tía Sally (PEMDAS) (2,5 puntos) a) 13 – 4·(5-2) + 3·(2+8) = b) 23-8+6·23-(15+10) :5 =

3) Expresa como una única potencia: (2,5 puntos)

a) 5 3 ·5 4 = b) (3 4 ) 5 : 3 = c) 4 5 : 2 5 ·2 2 =

d) (24: 22) · (32 · 52) = e) 85: 25 = f) (52)3 =

4) Calcula la raíz cuadrada entero y el resto de: (1 punto)

a) 200 = Resto = b) =90 Resto =

c) √40 = Resto = d) √64 = Resto =

19

5) El pirata Barba Plata me ha dicho que ha encontrado un tesoro en una isla desierta

que tenía en total 3000 monedas de oro repartidas por igual en 3 cofres. Además, en

cada cofre había también 200 monedas de plata y el doble de monedas de bronce que de

plata. ¿Cuántas monedas había en total en cada cofre? (1,5 puntos)

6) Quince cajas de bombones contienen quince estuches cada una. Estos, tienen, a su vez,

quince bombones con un peso de quince gramos cada uno. ¿Cuánto pesan todos los

bombones de los que disponemos? Exprésalo también mediante una potencia (1,5 puntos)

IES VALSEQUILLO. DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS adaptado

EXAMEN DIVISIBILIDAD, POTENCIAS Y RAÍCES. 1 ESO C. 08/11/18

Nombre:________________________________________________________

1) Completa esta tabla (ve columna por columna): (1 punto) Producto 4·4·4

Se expresa 73

Se lee Seis elevado al cuadrado

Resultado 64 343

2) Realiza las siguientes operaciones combinadas. Recuerda a mi tía Sally (PEMDAS) (2,5 puntos) a) 13 – 4·(5-2) =

Parenthesis

20

Exponents (potencias)

𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛

} → Cuando tienen la misma importancia se va de izda a dcha.

𝐴𝑑𝑑𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 (+)𝑆𝑢𝑏𝑡𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 (−)

} → Cuando tienen la misma importancia se va de izda a dcha.

b) 2 + 3·5 =

Parenthesis

Exponents (potencias)

𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛

} → Cuando tienen la misma importancia se va de izda a dcha.

𝐴𝑑𝑑𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 (+)𝑆𝑢𝑏𝑡𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 (−)

} → Cuando tienen la misma importancia se va de izda a dcha.

3) Expresa como una única potencia: (2 puntos)

a) 5 3 ·5 4 = b) 85: 25 = f) (52)3 =

4) Calcula la raíz cuadrada entero y el resto de: (1,5 puntos)

a) √25 = Resto = b) √40 = Resto =

5) Pepe se compró unos pantalones por 52 euros y una camiseta por 36 euros. ¿Cuánto se

gastó? (1,5 puntos)

Si pagó con un billete de 100 euros, ¿cuánto le devolvieron? (1 punto)