Introduction 

Nous sommes tous habitués aux objets de la géométrie euclidienne : aux droites, aux cercles, aux rectangles, aux cubes... Ils nous permettent de décrire simplement ce que l'on trouve dans la nature. Ainsi, les troncs d'arbres sont approximativement des cylindres et les oranges des sphères. Mais comment fait-on pour décrire un chou-fleur, un flocon de neige ou même un arbre entier ? En effet, les choses se compliquent, la géométrie euclidienne a atteint sa limite. Les scientifiques ne se sont pas découragés, et le mathématicien Mandelbrot, généralisant les travaux des Français Gaston Julia et Pierre Fatou sur les itérations des fonctions complexes, a montré l'intérêt de la géométrie fractale pour caractériser les objets "ayant la propriété de pouvoir être décomposés en parties de telle façon que chaque partie soit une image réduite du tout". C'est à dire que si vous regardez un objet fractal au microscope ou à l’œil nu, vous allez voir la même chose. Cette particularité d'auto similarité est très étonnante, et les fractales ont bien d'autres propriétés, plus fascinantes les unes que les autres. Le terme "fractale" vient en effet du latin, "fractus" qui désigne un objet fracturé, de forme très irrégulière. C'est le français Benoit Mandelbrot qui a introduit en 1975 ce terme pour désigner ces fameux objets mathématiques. Nous étudierons donc les différentes systèmes mathématiques, les fractales au niveau biologique mais voyons tout d’abord ce qu’est une fractale. Vidéo : « au cœur de Mandelbrot »

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Généralités sur les fractales

Pour construire une courbe fractale, il faut débuter avec deux formes géométriques : un initiateur et un générateur. Ce dernier est une ligne bridée faite de n segments égaux de longueur r. En partant de l’initiateur, chaque étape de ma construction consiste à remplacer chaque segments de la ligne brisée par une copie du générateur, réduite et placée de telle façon à ce que les deux points aux extrémités soient les points des extrémités du segment à remplacer. Cette étape est appelé itération puisque l’on répète la même opération un certain nombre de fois. Nous pouvons prendre comme exemple la courbe de Von Koch, une des courbes fractales la plus connue :

Pour fabriquer une variation de la courbe de Von Koch il suffit juste de changer le générateur :

Toutes les fractales ne sont pas construites à partir d'un initiateur et d'un générateur, mais par contre le terme "itération" va revenir souvent. En effet, toutes les fractales sont construites en itérant un algorithme, qui diffère selon le type de fractale que l'on veut construire. Revenons aux itérations : pour dessiner une fractale, nous allons programmer un algorithme, puis demander à l'ordinateur de le répéter un certain nombre de fois. L'écran de l'ordinateur affiche alors la représentation graphique d'une fractale au bout de n itérations. Mais il faut bien comprendre que ce n'est qu'une représentation graphique, et que le véritable objet fractal est une représentation au bout d'une infinité d'itérations. C'est pourquoi, lorsque nous étudierons les fractales, nous allons souvent faire appel aux limites, lorsque le nombre n d'itérations tend vers l'infini.

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Propriétés des courbes fractales 

la première propriété des fractales est qu’il ne peut y avoir de tangentes en aucun point de la courbe tellement cette dernière est irrégulière. Pour déterminer la seconde propriété nous allons utiliser de nouveau le flocon de Von Koch :

Itérations 0 1 2 … n

Nombre de côtés

3 3 4 3 4 4= 3 4²

… 3 4n

Longueur d’un côté

1 1/3 1/3² … 1/3n

Périmètre 

3 1/3 3 4= 4

3 4² 1/3² … 3 (4/3)n

Nombre de nouveaux triangles

0 3 3 4 … 3 4(n-1)

Aire d’un de ces

triangles *

  …

Aire totale … Sn

Nous allons donc étudier les variations dans les formules pour calculer l’aire, le périmètre …

* Rappel : aire d’un triangle équilatéral ½ a² (3/2)

Nous allons maintenant calculer la limite du périmètre du flocon de Von Koch :

car

En ce qui concerne l’aire il faut tout d’abord calculer la formule mathématique :

Nous obtenons donc un périmètre infini et une aire finie quand le nombre d’itération tend vers l’infini. Voici donc la plus grande propriété des fractales. Par exemple pour faire démarrer une voiture, la batterie doit délivrer une puissance suffisante pour lancer le moteur. On a donc besoin d’un courant de forte intensité. Le processus électrochimique d’oxydoréduction est mis en œuvre entre l’électrode et l’électrolyte. Si l’on

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S0 = 1² + 3/4

veut obtenir un courant important, on est obligé d’augmenter la surface d’échange. Ainsi on a été amené à utiliser des electrodes poreuses c’est à dire un milieu où dans un volume donné on a réussi à obtenir un maximum de surface. La géométrie fractale correspond exactement à ce critère.

Généralisons, et nous obtenons : On cherche Sn

Premièrement on remarque qu’il y a un rapport entre la dimension d’un objet et son unité de mesure. Pour l’instant nous avons vu que des dimensions entières, nous allons donc maintenant mesurer la dimension d’une courbe fractale mais avant tout voyons comment calculer la dimension d’une ligne et d’une figure plane.

II] Mesure de la longueur d’un segment et de la surface d’un carré :Pour calculer la dimension de certains objets, nous allons utiliser la méthode suivante :

nous allons prendre un étalon de cet objet, c’est à dire cette objet lui même mais en plus petit, et nous allons le reporter sur notre objet un certain nombre de fois.

Dimensions fractales

I] Dimensions d’objets courants

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Objet Représentation Dimension Mesure

Un point 0

Une ligne 1 m

Une figure plane 2 m²

Un solide 3 m3

Soit L la longueur totale du segment. On prend un étalon de longueur n que l’on va reporter sue ce segment. Cet étalon sera reporté L / n fois. On remarque que

Prenons comme application le chou fleur qui est un parfait exemple d’objet fractale ( cf partie sur les fractales naturels ). Pour calculer la dimension du chou fleur, il suffit de casser un chou fleur et de remarquer que l’on obtient entre 12 et 14 branches, 3 fois plus petits. On obtient donc ln(13) / ln (3) = 2.33.

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Faisons de même pour la surface d’un carré :

Soit L² la surface totale du carré. Cette fois, nous prenons un autre carré, plus petit de côté n et de surface n². On va reporter le petit carré sur le grand L² / n² pour obtenir la surface du grand carré. On

a :

III] Généralisation de la notion de dimension :

Dans ces deux exemples, on a fait apparaître le nombre 1 pour le segment, et le nombre 2 pour le carré. Ces nombres sont la dimension de l’objet. Généralisons, soit N le nombre de fois que l’on reporte l’étalon de longueur n sur notre objet de longueur L, et soit d la dimension de l’objet, on a :

  « Une bicyclette a (selon une estimation réductrice) cinq parties mobiles principales : le guidon, la roue avant, l'assemblage essieu-chaîne-roue arrière, et deux pédales. Chacune de ces parties nécessite pour être décrite une coordonnée de position et une coordonnée de vitesse : un ingénieur dirait qu'elle a "dix degrés de liberté". Pour faire de la bicyclette, vous devez sentir le mouvement d'un point dans un espace à 10 dimensions ! C'est peut-être pour cela que c'est si difficile à apprendre. »  Ian Stewart . Ainsi donc une dimension est considéré comme un degré de liberté dans un espace à n dimension, n étant un nombre aussi grand que l’on veut.

L’ensemble de JuliaPour construire un ensemble de Julia, on associe pour chaque point du plan ( chaque pixel dans le cas d’un ordinateur ) un nombre complexe Z, qui est l’affixe du point. Si le point a pour coordonnée (x,y), alors Z = x + iy. Ensuite pour chaque point du plan, on effectue le calcul mathématique ci dessous à la sortie de laquelle la variable COULEUR contiendra la valeur de la couleur à donner à chaque point du plan : COULEUR 0 Z x + i.y Répéter        Z Z² + C       Jusqu'à ce que Module (Z) > 2 

Premièrement la signe représente une affectation ( exemple : Couleur 0 signifie « la variable COULEUR reçoit la valeur 0 ». La deuxième ligne représente donc la formule mathématique spécifique à chaque courbe fractale, ici Z Z² + C pour l’ensemble de Julia. Le passage dans la boucle REPETER, le nombre complexe reçoit la valeur Z² + C où C est une constante complexe. Ces deux opérations seront donc répéter jusqu'à ce que le Module (Z) soit supérieur à deux : si le module de Z devient rapidement supérieur à 2, la variable COULEUR aura une valeur faible proche de 0 et le pixel concerné sera sombre. En revanche si le module de Z met du temps avant de devenir supérieur à 2, la variable Couleur prendra une grande valeur, et le pixel sera clair.

On peut réussir à partir de cette même formule à créer différentes courbes. Il suffit de préciser quelle constante C employer en faisant attention que certaine valeur ne donne rien. Nous obtenons donc par exemple : 

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C = 0,3a2 + 0,43 iC = -0.0986 – 0.65186 i

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L’ensemble de Mandelbrot

Pour tracer l'ensemble de Mandelbrot, l'idée est la suivante : on ne donne plus à C une valeur constante pour tous les pixels, mais C est l'affixe du pixel concerné. Ainsi, C = x+i.y, et dans l'ensemble de Mandelbrot C a une valeur différente pour chaque pixel, contrairement aux ensemble de Julia où C avait une valeur constante pour tous les pixels.Le programme de base pour tracer l'ensemble de Mandelbrot est alors le suivant, qu'il faudra répéter pour chacun des pixel de l'écran :

COULEUR 0 C x + i.y Z x + i.y Répéter        Z Z² + C Jusqu‘à ce que Module(Z)>2

On peut donc remarquer qu’il ne peut exister qu’une seule courbe pour l’ensemble de Mandelbrot comparé à celui de Julia.

Les autres ensembles

Les ensembles de Julia et de Mandelbrot tels qu'ils sont décris ci-dessus n'ont plus rien d'extraordinaire, au sens qu'ils sont désormais connus de tous aujourd'hui. Nous pouvons donc créer de versions différentes en modifiant l’énoncé de base. Nous étudierons trois manières de créer des variantes.

- La première est de rajouter des fonctions trigonométriques c’est à dire cosinus, sinus, tangente mais aussi sécante, cosécante, cotangente (qui sont les inverses des trois premières) et ainsi de suite. On peut aussi combiner les fonctions entre elles ce qui nous donne par exemple Z SINZ(TANHZ(ARGCOSHZ(COSECZ(x+i.y)))). Prenons l’exemple d’un ajout d’une fonction tangente sur le programme de base de Mandelbrot ce qui nous donne :  COULEUR 0 C x+i.y Z TANHZ(x+i.y) Répéter Z Z² + C Jusqu'à ce que Module(Z)>2

- La deuxième manière est d’augmenter le polynôme de la fonction. L'idée est de modifier l'affectation Z <-- Z²+C dans la boucle REPETER du programme de base de Mandelbrot. Cette affectation peut être par exemple remplacée parZ Z5+C ou Z Z+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+Z7+Z8+C ou bien encore Z Z1.651+C

- La troisième manière est de remplacer les nombres complexes pas des Quaternions ou des Octonions. Le quaternion Q s'écrit Q = a + ib + jc + kd où :        - a est la partie réelle        - b, c, d sont les 3 parties imaginaires        - i, j, k sont 3 nombres imaginaires, tel que i²=j²=k²=-1

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a, b, c, et d étant 4 réels, il suffit de créer 4 réels à partir de x et y. Par exemple :        - a = x        - b = y        - c = x y        - d = cos(x+y) Si on prend ce dernier exemple, le programme de Mandelbrot devient alors : 

COULEUR 0 Q x + i.y + j.x y + k.cos(y+x) C Q Répéter        Q Q² + C        Jusqu'à ce que Module(Q)>2 .         On peut facilement remarquer la richesse de cette image et le nombre de détails supplémentaires dans la spirale, dû au fait que le calcul interne de l'image a été réalisée avec l'algèbre des Quartions. En effet, l'utilisation des algèbres quaternionique ou octonionique donne plus de profondeur aux images fractales. On pourrait aussi très bien utiliser un octonion O à la place du quaternion Q, à condition de trouver 8 composantes pour l'octonion à partir des 2 composantes x et y du pixel

Les possibilités de variantes sont donc infini du fait que l’on puisse ensuite combiner ces trois manières.

Voici le résultat :

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Les L-système

Définition : Un L-Système est un groupe de règles et de symboles qui modélise un processus de croissance. Ces règles permettent de construire une chaine de symboles qui sera modifié à chacune des étapes de la modélisation. Les L-systèmes permettent d’étudier la croissance.Prenons un exemple :Au départ nous avons

ANous établissons une règle qui dit que à chaque fois que l'on voit un A, on le transforme en B, et à chaque fois que l'on voit un B, on le transforme en AB. Soit les règles suivantes:

A -> BB -> AB

Nous obtenons donc à la première génération :B

A la deuxième génération:AB

Et ainsi de suite:génération 3 :

BABgénération 4 :

ABBABgénération 5 :

BABABBABgénération 6 :

ABBABBABABBABgénération 7 :

BABABBABABBABBABABBAB

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On otient donc une suite de symbole pas vraiment compréhensive. Pour mieux comrendre, imaginez que vous êtes une tortue évoluant dans un plan. On vous donne un chemin précis à parcourir à l'aide d'ordres répétitifs. Si l'on vous dit "A", vous avancez d'un pas devant vous, si on vous dit "-" ou "+", vous tourner à droite ou à gauche de 60°. Grâce aux L-Systèmes, vous parcourerez ainsi à chaque génération le même chemin mais vous le répéterez de plus en plus souvent.

Commencons par l'ordre: A---A---A Cette séquence aura pour représentation

On peut donc appliquer la règle suivante :

A -> A+A—A+AOn a donc la première itération :

Puis :

Il est possible de continuer cette opération à l’infini pour obtenir un détail de précision plus grand. Cependant il est inutile d’effectuer cette opération un trop grand nombre de fois car il deviendrait impossible de voir les détails à l’œil nu.Ainsi les L-Systèmes permettent de mieux comprendre l’organisation des objets naturelles et principalement de prouver que ces objets sont donc des fractales.

Ainsi le résultat obtenu :

Les objets naturels De nombreux objets naturels ressemblent à des fractales. Tels que le chou ou la fougère. Par

exemple, certaines espèces de fougères présentent des particularités propres aux fractales, comme la répétition de structures identiques à plusieurs niveaux d'agrandissement. Il s’agit de l’homothétie interne qui est la répétition de formes, de structures, à plusieurs niveaux d'agrandissement et lorsque une partie ressemble au tout.

Le chou fleur possède aussi une homothétie interne.

La vue en coupe montre bien la similitude entre une partie (à droite) et le tout.

Les fractales sont souvent utilisées pour créer des reliefs montagneux. En effet, la forme des montagnes possède une homothétie interne, elle se retrouve dans la chaîne entière comme dans un des ses sommets, ou un simple rocher, ou même un morceau de granit vu avec un fort grossissement. Mais tous ces objets naturels ne sont pas de vraies fractales, puisque leur complexité n'est pas infinie. La complexité s'arrête au niveau de l'atome, et non au niveau de l'infiniment petit. De même, elle ne s'étend pas dans l'infiniment grand.

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En Rouge :N=2Nombre de pas = 2L(N)1 = 4En Jaune :N=1Nombre de pas = 5L(N)2 = 5 Donc, L(N)1 < L(N)2, cela confirme bien que si n diminue, alors L(N) augmente. La côte de la Bretagne est donc une fractale, car elle a une surface finie et un périmètre infini. On peut aussi retrouver le phénomère d'auto-similarité en Bretagne : certaines presqu'îles ressemblent à la Bretagne elle-même. Les fractales permettent donc de representer des reliefs complexes. Ainsi les fractales sont présentes tout autour de nous. A partir des fractales naturelles furent découvert les fractales dans les autres domaines scientifiques. A toutes les échelles les fractales représentent donc une homothétie interne qui est donc la même représentation que l’objet en son total.

La cote bretonne  Une côte est un bon exemple d'un objet fractal présent dans la nature. Imaginons un homme se promenant le long de la côte sauvage bretonne. Grâce à sa carte, l'homme pense parcourir un certain nombre de kilomètres. Mais à la fin il est anormalement fatigué. En effet, il a effectué un trajet plus long que celui prévu par la carte qui ne tenait pas compte des irrégularités du terrain. Et si à la place du promeneur c'était une souris qui longeait la côte, l'animal ferait le tour de chaque rocher que l'homme enjambe et son trajet serait beaucoup plus long. De même avec une fourmi. Quelle est donc la longueur réelle de la côte bretonne? Les longueurs exactes des côtes ne sont pas mesurables car ells sont trop irrégulières. Effectivement en allant encore plus loin dans la précision, galet par galet, molécule par molécule, atome par atome, on arriverait vite à une longueur quasiment infinie. Montrons que la côte bretonne est une fractale naturelle. Comme pour le flocon de Von Koch on a une fractale a, sur une surface définie, et un périmètre infini. Il faut donc mesurer la côte avec l’aide d’un compas. On prend une ouverture n puis on se promène le long de la côte avec chaque pas commencant là où le précédent se terminait. On obtient ainsi une longueur de la côte L(n), équivalente au nombre de pas multiplié par l’ouverture du compas (n). L(n)=n On constate par la suite que lorsque la valeur n diminue la longueur L(n) augmente.Shéma explicatif :

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Conclusion :

Les fractales, aux multiples propriétés extraordinaires, permettent de modéliser des objets très complexes à partir de formules très simples. A toutes les échelles les fractales représentent donc une homothétie interne qui est donc la même représentation que l’objet en son total. On retrouve ces courbes fractales réparties dans différents ensembles telles que celui de Mandelbrot et de Julia pour les principales mais il en existe une infinité de variantes laissant le potentiel de fractales infini. C'est enfin à partir d'objets de la nature que l'on a découvert l'existence des fractales, mais l'application de cette nouvelle géométrie est utilisée pour modéliser et comprendre d'autres phénomènes, bien différents. Les fractales sont bien plus qu'une simple géométrie qui permet de décrire la nature.

Quelques courbes fractales :