2 Division Euclidienne Et Congruences
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Divisibilité dans ℤ
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1 Multiples et diviseurs
a) Définition
Soit a et b deux entiers relatifs.
On dit que a est un multiple de b ,ou que b est un diviseur de a, s’il existe un entier relatif k
tel que a=kb. On dit encore dans ce cas que a est divisible par b ou que b divise a.
Notation : On écrit aussi a|b pour dire que a divise b.
Exemples
19 divise -323 parce que -323=19×(-17).
n étant un entier relatif quelconque, montrer que l’entier n+3 divise l’entier n2–9.
Réponse : n2–9= (n–3)(n+3) où n–3 est un entier relatif.
b) Quelques remarques
a étant un entier relatif.
① Les multiples de l’entier a sont tous les nombres ka où k est un entier relatif ; ce sont les
nombres 0, a, –a, 2a, –2a,…
② ∗ a=1×a= –1×-a ; 1, a, -1et -a sont automatiquement des diviseurs de l’entier a.
Comme |a| et -|a| donnent les nombres a et -a, on peut dire que 1, -1, |a| et -|a| sont des
diviseurs de a.
③ ∗ Si a est nul, a=k×0 pour tout k de ℤ ; tous les entiers relatifs sont des diviseurs de a.
∗ Si a est non nul :
Pour tout diviseur b de a, on peut écrire a=kb avec k dans ℤ ; k et b sont des entiers non nuls.
De cette manière |a|=|kb|=|k||b| où |a|, |k| et |b| sont des entiers naturels non nuls. Forcément
|b| |a| soit -|a| b |a| où -|a| et |a| sont des diviseurs de a.
De plus comme kb≠0, on a aussi b≠0..
D’où l’énoncé suivant :
Tous les entiers relatifs sont des diviseurs de 0.
Si a est un entier relatif non nul, tous les diviseurs de a sont des entiers non nuls, compris
entre -|a| et |a| qui sont aussi des diviseurs de a.
④ On peut vérifier sans difficulté que :
a et -a ont dans ℤ les mêmes diviseurs et mêmes multiples.
Un entier relatif b est un diviseur de a que si sa valeur absolue est un diviseur de a
Exemple : Trouver les diviseurs de -16.
On cherche d’abord les diviseurs positifs de -16 ou 16 entre 0 et 16 : Seuls 1, 2, 4, 8 et 16
conviennent.
Les diviseurs de -16 sont les entiers dont la valeur absolue est égale à ces 5 derniers
nombres. Finalement l’ensemble des diviseurs de -16 est {-16 ; -8 ; -4 ; -2 ; -1 ; 1 ; 2 ;4 ; 8 ;
16}
2 Propriété de la divisibilité dans ℤ
a) Transitivité
Énoncé
Soit a, b et c 3 entiers relatifs tels que a divise b et b divise c alors a divise c.
Démonstration
Par hypothèse on peut écrire b=ka et c=lb où k et l sont 2 entiers relatifs. On a alors
c=l(ka) d’où c=(lk)a avec lk entier relatif. C’est la preuve que a divise c.
b) Effet de la multiplication dans ℤ
Énoncé
a, b et k étant 3 entiers relatifs, si a divise b alors ka divise kb. Dans le cas où k est non nul, la
réciproque est vraie.
Démonstration
∗ Si a divise b, on peut écrire b=na avec n dans ℤ d’où kb = k(na)=n× ka. C’est la preuve que
ka divise kb.
∗ Si k ≠ 0 et si ka divise kb, on peut écrire kb=nka avec n dans ℤ. On simplifie par k non nul
et on obtient b = na d’où a divise b.
c) Opérations sur les multiples
① Exercice
a, b et c sont des entiers relatifs tels que a et b sont des multiples de c.
u et v étant 2 entiers relatifs, prouver que ua+vb est un multiple de c.
Résolution :
On peut écrire a=ck et b=cl où k et l sont 2 entiers relatifs et ainsi :
ua+vb= uck + vcl d’où ua+vb=c(uk+vl) où uk+vl est un entier relatif. C’est la preuve que
ua+vb est un multiple de c.
Avec u=1=v, on a :ua+vb= a+b et avec u=1 et v= -1 on obtient ua+vb = a–b.
② Théorème
Si a, b et c sont des entiers relatifs tels que c divise a et b, c divise aussi la somme a+b, la
différence a–b et plus généralement toute combinaison linéaire ua+vb ( où u et v sont des
entiers relatifs).
On a démontré ce théorème au paragraphe précédent.
3 Exercice
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 9n–2
n est multiple de 7.
Résolution
Soit pour n entier naturel la proposition P(n) : «9n–2
n est multiple de 7 ».
∗ 90–2
0 = 0 : C’est un multiple de 7 , d’où P(0) est bien vérifiée.
∗ On suppose que n est un entier naturel donné tel que P(n) est vérifiée.
n+1 ℕ et 9n+1
–2n+1
= 9×9n–2×2
n= (7+2)×9
n–2×2
n= 7×9
n + (9
n–2
n)×2.
De cette manière 9n+1
–2n+1
est une combinaison linéaire à coefficients entiers de 7 et 9n–2
n qui
sont des multiples de 7 : Forcément 9n+1
–2n+1
est aussi un multiple de 7 et P(n+1) est bien
vérifiée.
∗ Finalement, on a bien démontré par récurrence que la proposition P(n) est vérifiée pour
tout n de ℕ.
Ainsi : Pour tout n de ℕ, 9n–2
n est multiple de 7 .
Corrigés d’exercices sur la divisibilité
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1er
exercice
Déterminer les entiers relatifs n tels que n–1 divise n+17, en remarquant que :
n+ 17 = (n –1) +8.
Résolution
a) On a n+17=(n–1)+18 soit 18 = n+17 – (n–1).
∗ Si n–1 divise n+17 :
n–1 divisant n+17 et n–1, n–1 divise aussi la différence n+17 – (n–1) soit n–1 divise 18.
∗ Si n–1 divise 18 :
n–1 divisant 18 et n–1, n–1 divise aussi la somme 18 + (n–1) soit n–1 divise n + 17.
Conclusion On a obtenu l’équivalence : (n–1) | n+17 n–1 | 18 .
b) L’ensemble des diviseurs de 18 est {1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 18 ; -1 ; -2 ; -3 ; -6 ; -18}= E. D’après a),
on a l’équivalence :
(n–1) | n+17 n–1= e avec e dans E
d’où : (n–1) | n+17 n = 1+e avec e dans E .
En ajoutant 1 à tous les éléments de E, on obtient F={2 ; 3 ; 4 ; 7 ; 19 ; 0 ; -1 ; -2 ; -5 ; -17}et
F est l’ensemble de tous les entiers n tels que (n–1) divise n+17.
2ème
exercice Déterminer les entiers relatifs n tels que n – 4 divise 3n +24.
Résolution
a) On commence par remarquer que 3n+24 = 3(n–4)+36.
∗ Si n–4 divise 3n+24, n–4 divisant aussi n–4, n–4 divise la combinaison linéaire
3n+24 – 3(n–4) = 36.
∗ Si n–4 divise 36, n–4 divisant aussi n–4, n–4 divise la combinaison linéaire 3(n–4)+36 = 36.
Conclusion : On a obtenu l’équivalence (n–4)|(3n+24) (n–4)|36 .
b) L’ensemble des diviseurs de 36 est {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36 ; -1 ; -2 ; -3 ; -4 ; -6 ;
-9 ; -12 ; -18 ; -36}=E.
D’après a), on a l’équivalence (n–4)|(3n+24) (n–4=e où eE) qui s’écrit aussi
(n–4)|(3n+24) (n = 4+e où eE) .
En ajoutant 4 à tous les éléments de E, on obtient F= {-32, -14 ; -5 ; -2 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 7 ;
8 ; 10 ; 13 ; 16 ; 22 ; 40} et F est l’ensemble de tous les entiers tels que (n–4) divise (3n+24).
3ème
exercice
Résolution
1. On remarque que n2–9= (n–3)(n+3) d’où (n–3) divise n
2–9.
a) ∗ Si n–3 divise n2+3 : n–3 divise aussi la différence ( n
2+3 ) – (n
2–9) = 12.
∗ Si n–3 divise 12 : n–3 divise aussi la somme (n2–9) +12 = n
2+3.
On vient de démontrer l’équivalence : (n–3)| (n2+3) (n–3)| 12.
b) L’ensemble des diviseurs de 12 est {1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 12 ; -1 ; -2 ; -3 ; -6 ; -12}= E. D’après a),
on a l’équivalence :
(n–3) | (n2+3) n–3= e avec e dans E
d’où : (n–1) | n+17 n = 3+e avec e dans E .
En ajoutant 3 à tous les éléments de E, on obtient F={4 ; 5 ; 6 ; 9 ; 15 ; 2 ; 1 ; 0 ; -3 ; -9}et F
est l’ensemble de tous les entiers n tels que (n–3) divise n2+3 :
F={-9 ;-3 ; 0 ; 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9 ; 15 } .
2 a) Après développement, on trouve que (n–3)(n2+3n+9)= n
3–27. C’est la preuve que :
n–3 divise n3–27.
b) On remarque d’abord que n3–3 = n
3–27 + 24.
) ∗ Si n–3 divise n3–3, n–3 divise la différence (n
3–3) – (n
3–27)=24.
∗ Si n–3 divise 24, n–3 divise l’addition (n3–27) + 24.
On vient de démontrer l’équivalence : (n–3)| (n3–3) (n–3)| 24 .
) L’ensemble des diviseurs de 24 est E= {1 ; 2 ; 3 ; 4 : 6 ; 12 ; 24 ; -1 ; -2 ; -3 ; -4 : -6 ; -12 ;
-24}.
On a l’ équivalence suivante : (n–3)| (n3–3) ( n–3 = e avec e dans E)
soit : (n–3)| (n3–3) ( n= e+3 avec e dans E).
On ajoute 3 à tous les nombres de E pour obtenir F= {4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 9 ; 15 ; 27 ; 2 ; 1 ; 0 ; -1 ;
-3 ; -9 ; -21} qui est l’ensemble de tous les entiers n tels que (n–3) divise n3–3 .
F= {-21 ; -9 ; -3 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 9 ; 15 ; 27 }.
4ème
exercice
Résolution
a) (n+1)2+(n+1)–2=n
2+2n+1 + n+1 – 2 = n
2 + 3n.
b) On suppose que a est un entier divisant n+1 et n2 + 3n +19.
∗ n+1 divise (n+1) et (n+1)2= (n+1)×(n+1) donc n+1 divise la somme (n+1)
2+(n+1) ; comme
a divise n+1, a divise (n+1)2+(n+1)
∗ n2 + 3n +19=(n+1)
2+(n+1)–2 +19= (n+1)
2+(n+1)+17.
a divisant n2 + 3n +19 et (n+1)
2+(n+1), divise aussi la différence
n2 + 3n +19 – [(n+1)
2+(n+1)] =17 soit a divise 17.
5ème
exercice
Résolution
On remarque que (n+1) (n+2) =n2+3n+2 et ainsi n
2+3n+13 – (n+1) (n+2)= 11.
Si a est un entier divisant les entiers n2+3n+13 et n+2, a divise aussi la combinaison linéaire
de ces 2 nombres n2+3n+13 – (n+1) (n+2) soit a divise 11.
6ème
exercice
b ) Sans utiliser la calculatrice, démontrer que 38 369 est divisible par 37.
Résolution a) On remarque que 10(a–11b)=10a –110 b et 3 b ×37=111b alors :
10(a–11b)+(3b)×37=10a+b=n.
Si 37 divise a–11b, 37 divisant 37, 37 divise aussi la combinaison linéaire
10(a–11b)+(3b)×37, soit 37 divise n.
b) On remarque que 38 369= 10×3 836 + 9 : On prend ici a=3 836 et b=9 donnant
n=10a+b = 38 369.
a–11b= 3 836 – 11×9 = 3 836–99 = 3737 =37×101 d’où 37 divise a–11b.
D’après la question a) 37 divise aussi n =38 369 .
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7ème
exercice
Résolution Les diviseurs de 18 sont 1, 2, 3, 6, 9, 18, -18, -9, -6, -3, -2, -1.
a) On suppose que x et y soient 2 entiers tels que (x–1)2y=18.
Forcément 18= (x–1)×(x–1)y = (x–1)2y ; le nombre x–1 est alors un diviseur de 18 ainsi que
son carré. On ne peut trouver que :
x–1= -1 donnant x=0 et 1y=18 d’où y=18,
x–1 = 1 donnant x=2 et 1y=18 d’où y=18,
x–1 = -3 donnant x=-2 et 9y=18 d’où y=2,
x–1 = 3 donnant x=3 et 9y=18 d’où y=2.
b) Réciproquement on vérifie en calculant directement (x–1)2y qu’avec :
x=0 et y=18, x=2 et y=18, x= -2 et y=2 ou x=3 et y=2 on obtient bien (x–1)2y = 18.
Conclusion Les nombres x et y vérifiant (x–1)2y = 18 sont donnés dans le tableau suivant :
x y x y
-2 2 2 18
0 18 3 2
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8ème
exercice
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n ≥ 1, le nombre est
divisible par 9.
Résolution
On note pour tout n de ℕ*, un =22n
+6n–1 : un est un entier relatif.
a) u1= 22+6–1=9 : u1 est bien divisible par 9.
b) On suppose que p est un entier naturel non nul tel que up est divisible par 9 :
u(p+1) =22(p+1)
+6(p+1)–1=22p+2
+6p+5 où 22p+2
=22p
×22=4×2
2p ainsi :
u(p+1)= 4×22p
+6p+5.
up=22p
+6p–1 d’où 4up= 4×22p
+24p–4 , or u(p+1) = 4×22p
+24p–4 –18p+9 d’où
u(p+1) = 4up +(1–2p)×9 et u(p+1) est une combinaison linéaire de up et 9 qui sont divisibles par
9. De cette façon u(p+1) est aussi divisible par 9.
Conclusion : On vient de montrer par récurrence que pour tout n de ℕ*, le nombre un =2
2n+6n–1 est divisible par 9.
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9ème
exercice
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n ≥ 1, le nombre est
divisible par 11.
Résolution
On note pour tout n de ℕ, un =44n+2
–3 n+3
: un est un entier relatif.
a) u0 = 42–3
3= 16–27= -11 : u0 est bien divisible par 11.
b) On suppose que p est un entier naturel tel que up = (44p+2
–3 p+3
) est divisible par 11 :
u(p+1) = 44(p+1)+2
–3 (p+1)+3
où 44(p+1)+2
= 44p+2+4
= 44p+2
×44 = 256×4
4p+2
et 3 (p+1)+3
= 3p+3+1
= 3p+3
×3 = 3×3p+3
.
Ainsi u(p+1) =256×44p+2
– 3×3p+3
, or 256up = 256(44p+2
–3 p+3
)=256×44p+2
–256×3 p+3
,
de cette manière u(p+1) = 256×44p+2
–256×3 p+3
+253×3 p+3
donne u(p+1) = up + 3 p+3
×253.
253 = 11×23 alors u(p+1) est alors combinaison linéaire des 2 nombres up et 253 divisibles par
11, forcément u(p+1) est aussi divisible par 11.
Conclusion : On vient de montrer par récurrence que pour tout n de ℕ, le nombre
un =44n+2
–3 n+3
est divisible par 11.
Division euclidienne dans ℤ
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1 Problème fondamental
Soit a un entier relatif et b un entier naturel non nul.
Prouver qu’il existe un unique couple d’entiers relatifs (q, r) tel que a = bq+ r où 0 r< b
(on pourra faire intervenir la fonction partie entière).
Résolution
① Démonstration de l’unicité de q et r :
On suppose que (q,r) sont un couple d’entiers relatifs tels que a = bq+ r où 0 r< b.
0 r< b donne bq bq+ r<bq+b=b(q+1) d’où bq a<b(q+1) où 0<b, d’où q b
a< q+1 .
q étant entier, forcément q= E(b
a) et finalement a = bq+ r donne r=a–bq=a–b E(
b
a).
q et r sont donc uniques.
② Démonstration de l’existence de q et r :
On choisit directement q= E(b
a) et r= a–bq : q et r sont bien des entiers relatifs.
q= E(b
a) donne bien q
b
a< q+1. Comme 0<b, on a : bq a<b(q+1)=bq+b d’où
0 a–bq<b soit : 0 r<b.
r= a–bq donne aussi a = bq+ r .
On a bien démontré l’existence des entiers relatifs q et r tels que a = bq+ r où 0 r< b.
2 Théorème de la division euclidienne dans ℤ
Énoncé
Soit a un entier relatif et b un entier naturel non nul.
Il existe un unique couple d’entiers relatifs (q, r) tel que a = bq+ r où 0 r< b
On appelle division euclidienne de a par b l’opération qui, au couple (a, b) associe le couple
(q, r) : q est le quotient, r est le reste.
De plus le quotient q est la partie entière du rapport a/b; le reste r est alors déterminé par :
r= a–bq.
Démonstration : Elle a été faite au paragraphe précédent.
3 Complément
Avec a et r entier relatifs, b entier naturel tels que 0 r<b, on a les équivalences :
b| (a–r) Il existe q dans ℤ tel que : a–r = bq
Il existe q dans ℤ tel que : a = bq +r
r est le reste de la division euclidienne de a par b.
On retiendra bien que :
b ne divise a–r que si r est le reste de la division euclidienne de a par b.
En particulier pour r=0, on a le résultat suivant :
b ne divise a que si 0 est le reste de la division euclidienne de a par b.
Problèmes de divisibilité d’un entier par un autre
1er
énoncé : Combinaison linéaire
On souhaite déterminer les entiers naturels n tels que n + 1 divise c) Conclure.
Résolution
a) n2+3n+7–(n+1)(n+2) = n
2+3n+7–[n
2+3n+2] soit n
2+3n+7–(n+1)(n+2) =5 .
b) ∗ Supposons que n+1 divise n2+3n+7, n+1 divisant (n+1)(n+2) divise aussi la différence
n2+3n+7–(n+1)(n+2) =5.
∗ Réciproquement si n+1 divise 5, n+1 divisant (n+1)(n+2) divise aussi la somme
(n+1)(n+2) +5 = n2+3n+7.
L’ensemble des diviseurs de 5 est {5, 1, -1, -5}= E ; on vient de démontrer l’équivalence
(n+1)| (n2+3n+7) (n+1)| 5 soit : (n+1)| (n
2+3n+7) n+1 = e où eE soit :
(n+1)| (n2+3n+7) n=e–1 où e E.
On ajoute -1 à tous les éléments de E pour obtenir F= {4, 0, -2, -6} et F est l’ensemble de tous
les entiers n tels que n+1 divise n2+3n+7.
2ème
énoncé : Division euclidienne
c) Conclure.
Résolution
Avec n dans ℕ*, 2n+3 et 5n+3 sont des entiers strictement positifs.
a) On fait une démonstration par l’absurde .
Supposons que 3 soit le quotient de la division euclidienne de 5n+3 par 2n+3 : On aurait alors
5n+3 = 3 (2n+3) + r avec r ℤ tel que 0 r < 2n+3, d’où 5n+3= 6n +6 +r soit -n–3 =r.
-n–3 <0 d’où r<0. Ce qui est absurde.
Forcément 3 n’est pas le quotient de la division euclidienne de 5n+3 par 2n+3.
b) Il s’agit de déterminer quotient et reste de la division euclidienne de 5n+3 par 2n+3.
∗ Cas où n=1 : 5n+3 = 8 et 2n+3 =5 ; 8 = 1×5 + 3 soit :
(5n+3) = 1×(2n+3) + 3 avec 0 3 < 2n+3 . Le reste 3 de la division euclidienne de5n+3 par
2n+3 étant non nul, 2n+3 ne divise pas 5n+3.
∗ Cas où n=2 : 5n+3 = 13 et 2n+3 =9 ; 13= 1×9+4 soit :
(5n+3) = 1×(2n+3) + 4 avec 0 4 < 2n+3 . Le reste 4 de la division euclidienne de5n+3 par
2n+3 étant non nul, 2n+3 ne divise pas 5n+3.
∗ Cas où 3 n. On remarque que 5n+3 = 2 (2n+3) + n–3 et on a ici 0 n–3 .
D’autre part (2n+3)–( n–3)= n+6 > 0 d’où n–3< 2n+3 .
Finalement 5n+3 = 2 (2n+3) + n–3 où 0 n–3<2n+3 .
n–3 est le reste de la division euclidienne de 5n+3 par 2n+3 et 2n+3 ne divise 5n+3 que si n–3
est nul soit n=3.
c) D’après l’étude des 3 cas du b), 2n+3 ne divise 5n+3 que si n=3.
3ème
énoncé : Factorisation et divisibilité
n désigne un entier naturel.
Résolution
Avec n entier naturel, n+1 est un entier naturel supérieur ou égal à 1.
a) n2+5n+4 =(n+1)(n+4) et n
2+3n+2=(n+1)(n+2) et n+1, n+4 et n+2 sont des entiers.
n+1 divise ainsi n2+5n+4 et n
2+3n+2.
b) On remarque que 3n2 + 15 n+ 19 = 3(n
2+5n+4)+7
∗ Si n+1 divise 3n2 + 15 n+ 19, n+1 divisant n
2+5n+4 divise aussi la combinaison linéaire
3n2 + 15 n+ 19 –3(n
2+5n+4)=7.
∗ Réciproquement si n+1 divise 7, n+1 divisant n2+5n+4 divise aussi la combinaison linéaire
3(n2+5n+4)+7=3n
2 + 15 n+ 19.
Finalement n+1 ne divise 3n2 + 15 n+ 19 que si n+1 se trouve dans l’ensemble E des diviseurs
entiers naturels de 7 : E= { 1, 7 }.
On enlève 1 à tous les éléments de E pour obtenir F={ 0, 6}qui est l’ensemble des entiers
naturels tels que n+1 divise 3n2 + 15 n+ 19. L’ensemble des entiers naturels cherchés est
donc {0, 6}.
c) On fait une démonstration par l’absurde.
Avec n entier naturel :
Supposons que n2+3n+2 divise 3n
2 + 15 n+ 19, comme n+1 divise n
2+3n+2 on aurait aussi
(transitivité de la divisibilité) l’entier n+1 qui diviserait 3n2 + 15 n+ 19, et ainsi l’entier
naturel n serait un des 2 nombres 0 ou 6.
Comme n + 2 divise aussi n2+3n+2, par transitivité de la divisibilité, n+2 divise aussi
3n2 + 15 n+ 19.
On a la situation suivante pour n= 0 ou n=6 :
valeur de
n
valeur de
n+2
valeur de
3n2 + 15 n+ 19
n+2 divise t’il
3n2 + 15 n+ 19 ?
0 4 19 Non
6 8 217 Non
n prenant forcément la valeur 0 ou 6: n+2 ne divise pas 3n2 + 15 n+ 19 .
On arrive ainsi à une contradiction : Forcément avec n entier naturel,
n2+3n+2 ne divise pas 3n
2 + 15 n+ 19 pour tout n de ℕ.
4ème
énoncé : Raisonnement par récurrence et divisibilité
utiliser un raisonnement par récurrence).
2. Déterminer les restes de la division par 7 des puissances de 2.
Résolution
1. Pour tout n de ℕ, soit un= 23n
–1, vn = 23n+1
–2 et wn= 23n+2
–4 : ce sont des entiers relatifs.
a) Vérifions par récurrence si un est divisible par 7 :
① u0=20–1=0 d’où u0 est divisible par 7.
② On suppose que p est un entier naturel tel que up est divisible par 7. On a up+1 = 23(p+1)
–1
soit up+1 = 23p+3
–1= 23p
×23 –1= 8×2
3p–1 ; or 8up = 8×2
3p–8 d’où 8up +7=8×2
3p–1 =up+1.
up et 7 sont divisibles par 7 alors la combinaison linéaire 8up +7 est divisible par 7 soit
up+1 est divisible par 7.
Conclusion : On a vérifié par récurrence sur n que
un = 23n
–1 est divisible par 7 pour tout n de ℕ .
b) Pour tout n de ℕ, vn = 23n
×2–2=(23n
–1)×2=2un alors un divise vn.
Comme 7 divise un, 7 divise aussi vn= 23n+1
–2, pour tout n de ℕ .
c) Pour tout n de ℕ, wn = 23n
×22–4=(2
3n–1)×4=4un alors un divise wn.
Comme 7 divise un, 7 divise aussi wn= 23n+2
–4, pour tout n de ℕ .
2. Pour tout p de ℕ, les restes possibles de la division euclidienne de p par 3 sont 0, 1, 2 et
ainsi on peut écrire p=3n ou p=3n+1 ou p=3n+2 où n est le quotient de la division
euclidienne de p par 3.
∗ Dans le cas où p=3n : 7 divisant 23n–1=2
p–1, le reste de la division euclidienne de 2
p par 7
est 1.
∗ Dans le cas où p=3n+1 : 7 divisant 23n+1
–2=2p–2, le reste de la division euclidienne de 2
p
par 7 est 2.
∗ Dans le cas où p=3n+2 : 7 divisant 23n+2
–4=2p–4, le reste de la division euclidienne de 2
p
par 7 est 4.
3. On garde les notations de la question 2., avec p dans ℕ :
a) Dans le cas où p=3n avec n dans ℕ : Ap = 2
3n+2
6n+2
9n = 2
3n +2
3(2n)+ 2
3(3n) alors Ap –3 =2
3n –1+2
3(2n)–1+ 2
3(3n)–1.
n, 2n et 3n sont dans ℕ et d’après la question 1. 7 divise chacun des entiers 23n
–1, 23(2n)
–1 et
23(3n)
–1, alors par addition de ces 3 entiers 7 divise Ap –3.
Dans ce cas 3 est le reste de la division euclidienne de Ap par 7.
b) Dans le cas où p=3n+1 avec n dans ℕ : Ap = 2
3n+1+2
6n+2+2
9n+3 = 2
3n+1+2
3(2n)+2+2
3 (3n+1) .
Ap – 7 = (23n+1
–2)+ (2 3(2n)+2
–4)+(23 (3n+1)
–1) d’où Ap = (23n+1
–2)+ (2 3(2n)+2
–4)+(23 (3n+1)
–1) +7
n, 2n et 3n+1 sont dans ℕ et d’après la question 1. 7 divise chacun des entiers 23n+1
–2,
23(2n)+2
–4 et 23(3n +1)
–1, et bien sûr 7.
alors par addition de ces 4 entiers7 divise Ap.
c) Dans le cas où p=3n+2 avec n dans ℕ : Ap = 2
3n+2+2
6n+4+2
9n+6 = 2
3n+2+2
3(2n+1)+1+2
3 (3n+2) .
Ap – 7 = (23n+2
–4)+ (2 3(2n+1)+1
–2)+(23 (3n+2)
–1) d’où
Ap = (23n+2
–4)+ (2 3(2n+1)+1
–2)+(23 (3n+2)
–1) +7
n, 2n+1 et 3n+2 sont dans ℕ et d’après la question 1. 7 divise chacun des entiers 23n+2
–4,
23(2n+1)+1
–2 et 23(3n +2)
–1, et bien sûr 7.
alors par addition de ces 4 entiers 7 divise Ap.
Congruences dans ℤ
_______________
1 Définition
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
a et b étant 2 entiers relatifs, on dit que a et b sont congrus modulo n lorsque a et b ont le
même reste dans la division euclidienne par n.
« a et b sont congrus modulo n » est noté : a b (modulo n), a b (mod. n), a b [n] ou
encore a b (n).
Conséquences immédiates
De par sa définition, la relation de congruence vérifie les propriétés suivantes analogues à
celles de l’égalité : Avec a, b et c entiers relatifs,
a a (n) ;
Si a b (n) alors b a (n) ;
Si a b (n) et b c (n) alors a c (n).
2 Une propriété fondamentale
n est un entier naturel supérieur ou égal à 2.
∗ Exercice
a et b étant 2 entiers relatif :
1) Montrer que si a et b sont congrus modulo n alors a–b est un multiple de n.
2) Prouver que si a–b est un multiple de n, alors a et b sont congrus modulo n.
Résolution
1) Dans le cas où a et b sont congrus modulo n, ils ont le même reste r dans la division
euclidienne par n : On écrit ces divisions a=nq+r et b=nq’+r avec q et q’ entiers relatifs.
On obtient : a–b=nq–nq’ soit a–b = n(q–q’) : a–b est bien un multiple de n.
2) Si a–b est un multiple de n, on peut écrire a–b = kn où k est un entier relatif ; a=b + kn.
Écrivons la division euclidienne de b par n : b = qn+ r où q et r sont des entiers avec 0 r<n.
On obtient a=qn+r +kn d’où a = (q+k)n+r où q + k et r sont des entiers avec 0 r<n : On
vient d’écrire la division euclidienne de a par n.
Dans la division euclidienne par n, a et b ont le même reste soit ab (n).
∗ Théorème fondamental
Avec a et b entiers relatifs, ab (n) si et seulement si a–b est un multiple de n.
Ce théorème a été démontré dans la résolution de l’exercice précédent.
∗ Remarque Avec a, r entiers relatifs tels que 0 r<n :
On a déjà vu l’équivalence suivante :
r est le reste de la division euclidienne de a par n a–r est un multiple de n.
Cela donne d’après le théorème fondamental précédent :
r est le reste de la division euclidienne de a par n ar (n).
3. Congruence et division euclidienne
On retiendra que :
Avec a, r entiers relatifs,
r n’est le reste de la division euclidienne de a par n que si : ar [n] et 0 r<n .
4 Opérations usuelles et congruences
n est un entier naturel supérieur ou égal à 2.
∗ Exercice
a, a’, b et b’ sont des entiers relatifs vérifiant aa’ (n) et bb’ (n).
1) Vérifier si a+b a’+b’(n).
2) Calculer b(a–a’)+a’(b–b’). En déduire que ab a’b’ (n).
Résolution
Par hypothèse a–a’ et b–b’ sont des multiples de n
1) (a–a’) + (b–b’) est aussi un multiple de n, alors (a+a’)–(b+b’) est un multiple de n, soit
a+b a’+b’(n).
b) b(a–a’)+a’(b–b’) = ab–a’b+a’b–a’b’= ab –a’b’ ; c’est une combinaison linéaire à
coefficients entiers de a–a’ et b–b’ d’où ab –a’b’ est aussi un multiple de n et ainsi
ab a’b’ (n).
∗ Théorème
a, a’, b et b’ sont des entiers relatifs vérifiant aa’ (n) et bb’ (n).
On a aussi : a+b a’+b’(n) et ab a’b’ (n).
Le théorème a été justifié par la résolution de l’exercice précédent, on le résume en disant
que : « La relation de congruence est compatible avec l’addition et la multiplication dans ℤ ».
- En faisant éventuellement plusieurs multiplications des mêmes termes dans ℤ, on montre
aussi en utilisant la compatibilité de la congruence avec la multiplication :
Si a et a’ sont 2 entiers relatifs, si k est un entier naturel non nul, aa’ [n] entraîne
a k
a’
k [n] .
(Si a et a’ sont non nuls, on a automatiquement a0 a’
0 [n].)
- En utilisant la compatibilité de la congruence avec la multiplication et l’addition des entiers,
on vérifie encore que :
Si a, a’, b et b’ sont des entiers relatifs vérifiant aa’ (n) et bb’ (n), alors
avec et entiers, a a’ [n] et a + b a’ + b’ [n] ,
a–b a’–b’ [n] .
Quelques exercices les congruences Exercice 1 : Soit n un entier naturel. Montrer que 10
n–(-1)
n est divisible par 11.
Résolution : ∗ Si n=0, 10n–(-1)
n= 1–1=0 donc 10
n–(-1)
n est divisible par 11.
∗ Désormais n est un entier naturel non nul.
10 –(-1 ) = 11 est divisible par 11 d’où 10 -1 [11] alors 10n (-1)
n [11]
10n–(-1)
n est divisible par 11.
Finalement, pour tout n de ℕ, 10n–(-1)
n est divisible par 11.
Exercice 2 : Déterminer le reste de la division euclidienne de a= 264
–1 par 7.
Résolution : On remarque que 23
= 8 = 1×7+1 : 1 est le reste de la division euclidienne de 23
par 7 ainsi : 23 1 [7].
On fait la division euclidienne de 64 par 3 : 64 = 3×21+1 et ainsi
264
= 23×21+1
=23×21
×21= (2
3)21
×2.
23 1 [7] donne (2
3)21 1
21 [7] soit (2
3)21 1 [7]. Par multiplication par 2 : (2
3)21
×2 1×2 [7]
soit 264
2 [7]. On ajoute -1 : 264
–1 2 –1 [7] soit 264
–1 1 [7] d’où :
1 est le reste de la division euclidienne de 264
–1 par 7.
Exercice 3 : Montrer que, quel que soit l’entier naturel n, a=2n2+n+1 n’est pas divisible par 3.
Résolution : Soit r le reste de la division euclidienne de n par 3 : r{0 ; 1 ; 2}.
n r [3] d’où n2 r
2 [3] et 2 n
2 2 r
2 [3]
n r [3] donne aussi n +1 r +1 [3] et par addition 2n2+n+1 2r
2+r+1 [3] .
Cela signifie que 2n2+n+1 et 2r
2+r+1 ont le même reste dans la division euclidienne par 3.
Cas où r =0 : 2r2+r+1=1 et 2n
2+n+1 1 [3] .
Cas où r=1 : 2r2+r+1= 4 d’où (2r
2+r+1) – 1 = 3 est divisible par 3 et ainsi 2r
2+r+1 1 [3] .
On a ainsi 2n2+n+1 1 [3].
Cas où r= 2 : 2r2+r+1= 2×4+2+1 = 11 alors (2r
2+r+1) – 2 = 9 est divisible par 3 et ainsi
2r2+r+1 2 [3].
On a ainsi 2n2+n+1 2 [3].
Conclusion : On vient de vérifier que le reste de la division euclidienne de a=2n2+n+1 par 3
est égal à 1 ou 2 : Ce reste est non nul donc : a n’est pas divisible par 3.
Exercice 4
a. Déterminer l’ensemble E des entiers x tels que x+5 3 [8].
b. Déterminer l’ensemble F des entiers x tels que 3x 5 [8].
Résolution de a. : On se sert de la compatibilité de la congruence avec l’addition .
x+5 3 [8] x+5 – 5 3–5 [8] x -2 [8] , comme 8 0 [8] on a finalement
x+5 3 [8] x+0 -2+8 [8] soit x+5 3 [8] x 6 [8]
E est ainsi l’ensemble des entiers qui ont 6 comme reste par la division euclidienne par 8,
E est l’ensemble des entiers 8k+6 avec k entier.
Résolution de b. : Pour tout x de ℤ, soit r le reste de la division euclidienne de x par 8 :
0 r<8 et x r [8] alors par compatibilité de la congruence avec la multiplication,
3x 3r [8].
Soit R le reste de la division euclidienne de 3r par 8 : 0 R<8 et 3r R [8]. On a alors
3x R [8] où 0 R<8 : R est le reste de la division euclidienne de 3x par 8.
Pour trouver F, l’ensemble des entiers x tels que R = 5, on peut dresser le tableau exhaustif
suivant :
r , le reste de la division
euclidienne de x par 8 0 1 2 3 4 5 6 7
3r 0 3 6 9 12 15 18 21
R, le reste de la division
euclidienne de 3x par 8 0 3 6 1 4 7 2 5
F est ainsi l’ensemble de tous les entiers relatifs qui ont 7 pour reste dans la division
euclidienne par 8, F est l’ensemble des entiers 8k+7 avec k entier relatif.
Exercice 5 : Déterminer les restes possibles de la division euclidienne de 5n par 13 pour n
entier naturel.
Résolution : On a 52=25 d’où 5
2–(-1) = 26 est divisible par 13 : 5
2 -1 [13] et alors
(52)2 ( -1)
2 [13] soit 5
41 [13] .
Pour tout entier naturel n, on fait la division euclidienne de n par 4 : n=4q + r où q et r sont
des entiers naturels avec 0 r < 4.
5n = 5
4q + r = 5
4q . 5
r = (5
4)q . 5
r
541 [13] et q entier naturel donne (5
4)q 1
q [13] soit 5
4q 1 [13]. Alors 5
4q × 5
r 1× 5
r [13]
soit 5n 5
r [13].
Cas où r=0 : 50 =1 et 5
n 1 [13]. 1 est le reste de la division euclidienne de 5
n par 13.
Cas où r=1 : 51= 5 et 5
n 5
[13]. 5 est le reste de la division euclidienne de 5
n par 13.
Cas où r=2 : 52= 25= 1×13 +12 : 12 est le reste de la division euclidienne de 5
r par 13.
5n 5
r [13] signifie que le reste de la division euclidienne de 5
n par 13 est aussi 12.
Cas où r =3 : 52 -1 [13] donne 5× 5
2 5× -1 [13] soit 5
3 -5 [13]
0 13 [13] par addition
53 8 [13]. De plus 5
n 5
3 [13] d’où 5
n 8 [13] . 8 est le reste de la division euclidienne de 5
n
par 13.
Lorsqu’on fait la division euclidienne de 5n (avec n dans ℕ), les restes possibles sont 1, 5, 12
et 8.
Problème sur les congruences
Résolution 1. a) 2
4 = 16 = 3×5 +1 d’où 1 est le reste de la division euclidienne de 16 par 5 ; soit
241 (mod. 5) .
b) Pour tout entiers naturels k et r : 241 (mod. 5) entraîne (2
4)k 1
k (mod. 5) soit
24k1 (mod. 5). On multiplie par l’entier naturel 2
r pour obtenir 2
4k × 2
r 1×2
r (mod. 5) soit :
24k+r
2r (mod. 5) pour tous entiers naturels k et r.
c) On fait la division euclidienne de l’entier naturel n par 4 : n=4k+r où k et r sont des
entiers naturels et 0 r< 4. r est le reste de la division euclidienne de n par 4.
r {0 ; 1 ; 2 ; 3} et d’après b) 2 n 2
r (mod. 5).
∗ Cas où r=0 : 2r =1 et on obtient 2
n 1 (mod. 5) . 1 est le reste de la division euclidienne de
2n par 5.
∗ Cas où r=1 : 2r =2 et on obtient 2
n 2 (mod. 5) . 2 est le reste de la division euclidienne de
2n par 5.
∗ Cas où r=2 : 2r =4 et on obtient 2
n 4 (mod. 5) . 4 est le reste de la division euclidienne de
2n par 5.
∗ Cas où r=3 : 2r = 8 et on obtient 2
n 8 (mod. 5). 2
n et 8 ont le même reste par la division
euclidienne par 5, or 8=1×5+3 : 3 est le reste de la division euclidienne de 8 par 5.
Donc 3 est le reste de la division euclidienne de 2n par 5 et 2
n3 (mod. 5).
2. ∗ 17= 3×5+2 : 17–2 est divisible par 5 et 172 (mod. 5) .
4p+2 est un entier naturel non nul d’où 174p+2
24p+2
(mod. 5).
L’entier 4p +2 a pour reste dans la division euclidienne par 4 automatiquement 2, alors
d’après un cas de la question 1.c) on a 24p+2
4 (mod. 5).
On a alors 174p+2
4 (mod. 5).
∗ 32= 25 et 5= 1×4+1 : 1 est le reste de la division euclidienne de 5 par 4 et d’après 1.c)
2 5 2 (mod. 5) soit 32 2 (mod. 5) d’où 32
4p+3 2
4p+3 (mod. 5)
L’entier 4p +3 a pour reste dans la division euclidienne par 4 automatiquement 3, alors
d’après un cas de la question 1.c) on a 24p+2
3 (mod. 5) d’où 32 4p+3
3 (mod. 5).
∗ On a aussi 33 (mod. 5) alors :
174p+2
+ 324p+3
+3 4 + 3 + 3 (mod. 5) soit 174p+2
+ 324p+3
+3 10 (mod. 5).
Comme 100 (mod. 5), on a aussi 174p+2
+ 324p+3
+3 0 (mod. 5).
Dans ce cas 174p+2
+ 324p+3
+3 est divisible par 5 .