Introduccin a la METODOLOGA EXPERIMENTAL COLECCIN METRONMICA Serie Metrologa Tcnica Introduccin a la METODOLOGA EXPERIMENTAL Ing. Carlos Gutirrez Aranzeta Profesor titular de la Escuela Superior de Ingeniera Mecnica y Elctrica del Instituto Politcnico Nacional y del Colegio Indoamericano SEGUNDA EDICIN LIMUSA NORIEGA EDITORES MXICO Espaa Venezuela Colombia LA PRESENTACIN Y DISPOSICIN EN CONJUNTO DE INTRODUCCIN A LA METODOLOGA EXPERIMENTAL SONPROPIEDADDELEDITOR.NlNGUNAPARTEDE ESTA OBRAPUEDE SERREPRODUCIDA O TRANSMITIDA, MEDIANTENINGNSISTEMAOMTODO,ELECTRNICO OMECNICO(INCLUYENDOELFOTO-COPIADO,LA GRABACINOCUALQUIERSISTEMADERECUPERACIN YALMACENAMIENTODEINFORMACIN),SIN CONSENTIMIENTO POR ESCRITO DEL EDITOR. DERECHOS RESERVADOS: 1998, EDITORIAL LIMUSA, S.A. DE C.V. GRUPO NORIEGA EDITORES BALDERAS 95, MXICO, D.F. CP. 06040 B 521-21-05 W

91(800)7-06-91 Si 512-29-03 P8 cnoriega@mail.internet.com.mx CANIEM NM. 121 SEGUNDA EDICIN HECHO EN MXICO ISBN 968-18-5500-0 Agradecimientos Como un sincero testimonio de gratitud, deseo expresar mis agradecimientos al lic. Luis NavarroVacaporsuvaliosoimpulsoparaeldesarrollodeestetrabajo,alosings. MarcoA.ReyesSnchezyCarlosSantanaMoralesporsuscomentariosyayuda recibida,aling.arq.RamnFloresPeaporlasfacilidadesquemebrind,alalic. Martha Elena Montemayor por la correccin de estilo, a la C. Mara Eliacer Sols por la transcripcin del manuscrito, a la C. Silvia Terrez Salazar por el mecanografiado final. Para esta segunda edicin deseo agradecer a los C.C. profs. JuanAmrico Gonzlez Melndez, Rafael Mata Hernndez, Vctor Serrano Domnguez, Gerardo Surez, Alberto TapiaDvila,MarcoAntonioSalazarBerzunzayJulioRafaelEspinosaRuizporsus comentariosysugerencia;alC.EdgarVlarruelRamrezporlaelaboracindelas figuras;alalic.AlmaCazaresRuizporsuprofesionalismoenlacoordinacindeesta nueva edicin; a las autoridades del Instituto Politcnico Nacional por su apoyo, y a mi esposa e hijos por su tiempo y comprensin. El autor 6 Contenido INTRODUCCIN......................................................................................................................... 9 PRLOGO A LA SEGUNDA EDICIN .................................................................................. 13 1.CONCEPTOS BSICOS ....................................................................................................... 15 1.1 Introduccin 15. 1.2 Definicin de trminos 15. 1.3 Proceso de medicin 17. 1.4 Ejercicios 20. 2.MTODO CIENTFICO ........................................................................................................21 2.1 Introduccin 21. 2.2 Mtodo cientfico 21. 2.3 Preguntas 26. 3.EXPERDMENTACIN .........................................................................................................27 3.1Introduccin27.3.2Experimento27.3.3Planificacindeexperimentos29.3.4Elespritu cientfico 31. 3.5 Preguntas 32. 4.ERROR EXPERIMENTAL.................................................................................................. 33 4.1Introduccin33.4.2Clasificacindeerrores34.4.3Errorabsolutoyerrorrelativo36.4.4 Clculodeerroresenalgunasexpresionessencillas38.4.5Incertidumbreexperimental40.4.6 Incertidumbreenmedicionesdirectas42.4.7Incertidumbreenmedicionesindirectas(unasola variable)44.4.8Mtodogeneralparaelclculodelaincertidumbreenfuncionesdeunasola variable49.4.9Incertidumbreenmedicionesindirectas(dosomsvariables)51.4.10Mtodo generalparacalcularlaincertidumbreenfuncionesdedosomsvariables58.4.11Cifras significativas61.4.12Mediaaritmticaymedidasdedispersin63.4.13Clculodeladesviacin estndarenmedicionesindirectas70.4.14Elanlisisdelaincertidumbreenlaplanificacinde experimentos 74. 4.15 Combinacin de distintos tipos de incertidumbre 77. 4.16 Preguntas 78. 4.17 Ejercicios 78. 4.18 Problemas 79. 5. ANLISIS GRFICO ............................................................................................................. 83 5.1 Introduccin 83. 5.2 Las grficas 84. 5.3 Elaboracin de grficas 86. 5.4 Grficas lineales 90. 5.5 Recta de regresin 100. 5.6 Correlacin 8CONTENIDO 101. 5.7 Como dibujar la mejor lnea recta a travs de un conjunto de datos 104. 5.8 Ejercicios 110. 5.9 Problemas 111. 6. ANLISIS DIMENSIONAL ................................................................................................ 115 6.1Introduccin115.6.2Dimensindeunamagnitud115.6.3Lasecuacionesyelanlisis dimensional119.6.4Principiodehomogeneidaddimensional121.6.5TeoremadeBuckingham 125.6.6Losmodelosyelanlisisdimensional128.6.7Cambiodeunidades132.6.8Preguntas 136. 6.9 Problemas 136. 7.INSTRUMENTACIN ....................................................................................................... 139 7.1Introduccin139.7.2Instrumentos139.7.3Clasesdeinstrumentos140.7.4Sistemasde medicin 141. 7.5 Calibracin de instrumentos 142. 7.6 Definicin de trminos en instrumentacin 143. 7.7 Preguntas 145. 7.8 Ejercicios 145. 8.REGISTRO DEL TRABAJO EXPER1MENTAL ............................................................ 147 8.1Introduccin147.8.2Cuadernodelaboratorio147.8.3Sugerenciasparaelregistro148.8.4 Reportedellaboratorio153.8.5Estilo153.8.6Principiosgenerales154.8.7Elaboracindel reporte155.8.8Estructuradelreporte156.8.9Recursosauxiliaresdelacomunicacincientfica 161.8.10Signosgramaticalesdelescrito162.8.11Recomendacionesgeneralesparalograrun reporte de calidad 164. 8.12 Preguntas 165. 8.13 Ejercicios 165. 9.SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI) ....................................................... 167 9.1Introduccin167.9.2Antecedentes167.9.3Unidadesfundamentalesobsicas169.9.4 Unidades suplementarias 170. 9.5 Unidades derivadas 171. 9.6 Unidades complementarias 173. 9.7 Prefijos del SI 174. 9.8 Reglas y recomendaciones para la escritura de las unidades del SI175. 9.9 Preguntas 177. 9.10 Ejercicios 178. APNDICES ............................................................................................................................. 179 AConstantesfundamentalesdelafsica181. Cifrassignificativas183 CPapelsemilogartmico 187. D Papel logartmico 195. Mtodo de mnimos cuadrados 201. BIBLIOGRAFA 209 9 Introduccin Enlaactualidadeltrabajoenellaboratorioesunaactividadcomplejayrefinadaqueslo realizanconxitoquieneshantenidounaformacinslidaenmtodosymediciones experimentales. Hay que considerar que como consecuencia de las exigencias de nuestra poca el ingenieroy el cientfico tienen ante s la responsabilidad de resolver numerosos problemas y que para optar por lamejorsolucinnecesitancuantificarlasvariablescontenidasenelproblema.Mientrasmejory msexactamentepuedanmedir,mejorymsexactamentepodrndescribirlosfenmenosdela naturaleza, controlar un proceso, desarrollar nuevos productos o teoras. Esobvioquepararealizarmedicionesconfiablessedebentenerslidosconocimientosen tcnicas de medicin, instrumentacin, tcnicas de anlisis de datos y delfenmeno o proceso que seestmidiendo.Cuandoseencuentrandatosexperimentalesquenoconcuerdanconlosdatos esperados,primerosemiraconescepticismoalosdatos,luegoalasteorascorrespondientes,yse recurrealexperimentoafin deverificarlavalidezdedichos datos.Para quelosdatostenganm-xima significacin se debe precisar el grado de exactitud con que se les midi. Para lograr esto hay que conocer las limitaciones de los instrumentos que se empleen, as como los posibles errores que puedan ocurrir en la obtencin de tales datos. Durantesuformacin,elingenieroyelcientficodebenconocerelmanejodetcnicas estadsticasparapoderanalizaradecuadamentesusdatos,yaquepromediodedichastcnicases posible estimar 10INTRODUCCIN loserroresylasdesviacionesenlasmedidasreales.Tambindebenconocerlos principiosylasideasquerigeneldesarrolloyusodelainstrumentacin,ascomolas tcnicasexperimentalesquelespermitanobtenermayorprecisinenlamedicinde cantidades fsicas y un control ms efectivo de dichas cantidades en los procesos. Esimportantequeenlasinvestigacionesexperimentalessecuenteconuna metodologa previa que evite que los datos se recopilen al azar, o que algunos rasgos de operacinnoseinvestiguencontodaamplitudpornohaberserecolectadoennmero suficiente.Enotraspalabras,siempresedebesaberquesloquesebusca,antesde realizar un experimento, ya que el objetivo del experimento definir el grado de exactitud enlasmediciones,elnmerodemediciones,losinstrumentosqueseemplearn,los recursos humanos y financieros necesarios, etc. Aun si la experimentacin es de carcter bsicoodedesarrollotecnolgico,siempresehacepatenteelrolquedesempeaenla ciencia y la ingeniera,ya que las teoras siempre se deben probar por el cientfico en el laboratorio para estar seguros de su validez. De igual manera, un ingeniero debe llevar a cabounnmerosignificativodeexperimentosparapoderestablecerlautilidaddel productooprocesoqueestdesarrollando.Debidoaqueexisteunaampliagamade experimentos alos que se deben enfrentar y que van desde la simple prueba de determinar el peso de un objeto hasta la determinacin precisa de la actividad radiactiva de un nuevo radioistopo,yqueelrangodeexperimentosesamplio,senecesitaunaslida preparacindeloscientficoseingenierosenelcampoexperimentalquelespermita resolverlosproblemasenquesenecesiterealizarmediciones.Estapreparacinenla experimentacindebeserdetalnivelquepermitaestablecerunequilibrioconla formacintericaquereciben,afindeevitarquehayaingenieros,comoenelpasado, queeranfundamentalmenteexperimentadoresyqueutilizabanelmtododepruebay erroreneldiseo,unmtodomuycostosoquepuedehacerprohibitivocualquier proyecto. Por otra parte, a pesar de que se utilice equipo moderno y complejo en los cursos de laboratorio, se ha encontrado que muchos de los graduados en Ingeniera o en Fsica no son capaces de realizar mediciones con la precisin que se requiere, ni de establecer qu tan buena es una medicin, ni de planear un experimento acorde a las necesidades de la investigacin,nidecomunicarsusresultadosenformaclarayprecisa,etc.Todolo anteriorhaprovocadoqueenlasescuelasdeIngenieraydeCienciassedmayor atencin a los cursos experimentales para asegurar un eficiente uso del tiempo que INTRODUCCIN 1 I pasanlosestudiantesenellaboratorioyparaquestossefamiliaricentantoconlos mtodos de medicin como con las tcnicas de anlisis para la interpretacin de los datos experimentalesyprincipiosdelametodologaexperimental,debidoaquedichos conocimientos son importantes en los campos de la Ciencia y la Ingeniera. Actualmente se pretende que los estudiantes estn conscientes de que el tiempo que empleanpararealizaractividadesexperimentalesesdegranvalorparasuformaciny que el objetivo de los cursos experimentales es prepararlos para resolver problemas en su futura vida profesional, adems de hacerlescomprender que el progreso enla Cienciay la Tcnica se logr con base en el trabajo experimental. Esimportantesealarqueenloscursosexperimentalesesintilformularun conjunto de reglas que sealen cmo se deben realizar los experimentos, ya que el campo delaexperimentacinestanamplioqueelloesprcticamenteimposible.Sinembargo, existenciertoshbitos depensamientoquehan probadosu utilidad,yaseaqueseestn estudiandoratones,estrellas,radioistopos,celdassolares,etc.Hayquedestacarqueen loslaboratoriossepretendedesarrollarenelestudiantelacapacidaddeafrontar situacionesnuevas,pararesolverproblemasdiferentesalosqueresolvidurantesus estudios,yqueadquieralashabilidadesnecesariasparaeltrabajoexperimental.En conclusin, se puede decir que el laboratorio le ofrece la oportunidad de adquirir muchas delashabilidadesrelacionadasconsufuturotrabajo,yaqueendichoscursosrealizar anlisisdelosproblemasqueseplantean,evaluacionesdelassolucionespropuestas, informes de los resultados obtenidos, etc. Estasnotastienenelpropsitodepresentardiversastcnicasymtodos experimentalesquetodoestudiantedeCienciaeIngenieradebeconocer,yhansido preparadasparaqueseutilicencomomaterialdeconsultaenlosprimeroscursosde Fsica Experimental en los planes de estudio convencionales de Ingeniera y de Fsica. 13 Prlogo a la segunda edicin Lafinalidaddeestaobraesofreceruntextoadecuadoparaloscursosde Laboratorio de Fsica que se imparten en los primeros aos de licenciatura de Fsica y en lasdistintasramasdelaIngeniera;asimismo,cubrirlaausencia deliteraturaescritaen castellano acerca de este tema. Ellibroconstadenuevecaptulosenlosqueseabordaninteresantestemasque muestranunpanoramageneraldelasdiversastcnicasymtodosexperimentalescomo son:Conceptosbsicos,Mtodocientfico,Experimentacin,Errorexperimental, Anlisisgrfico,Anlisisdimensional,Instrumentacin,Registrodeltrabajo experimental y Sistema Internacional de Unidades. Redactado en lenguaje claro y sencillo, este libro configura una introduccin bsica a cuestiones que ofrecen dificultades para quienes se inician en el estudio de las ciencias experimentales;lateoradeloserrores,elanlisisdimensional,elanlisisgrficoyla redaccin de informes. Enestanuevaedicin,ademsdehaberleincluidounnuevocaptuloysecciones nuevas a algunos captulos, se intercalaron numerosos ejemplos que ilustran el concepto o aplicacin de las tcnicas presentadas. Asimismo, se incluyeron ejercicios y problemas que permitirn al alumno aplicar lo aprendido. Estelibroesunvaliosoauxiliarparaprofesoresdeenseanzasuperiorymedia superior, pero, en especial para estudiantes de materias cientficas y tecnolgicas de nivel universitario bsico. Debido a su gran nivel didctico as como a la magnfica organizacin del material que presenta, esta obra es sumamente valiosa para la formacin ycapacitacin, tanto de estudiantesdeIngenierayFsicacomodelosprofesionalesinteresadosenesta disciplina. Constituye adems, un excelente acceso a otras obras que tratan el tema desde un punto de vista ms avanzado. 15 1________________________________________________ Conceptos bsicos 1.1INTRODUCCIN Comoenlametodologaexperimentalseutilizanciertos trminos,enestecaptulo se explica enforma concisa el significado de los msfrecuentes. Tambin se analiza en forma breve el proceso de medicin. 1.2DEFINICIN DE TRMINOS Metrologa. Campo de los conocimientos relativos a las mediciones. Medicin. Conjunto de operaciones que tienen por objeto determinar el valor de una magnitud. Sistemademedicin.Conjuntocompletodeinstrumentosdemedicinyotros dispositivos ensamblados para realizar una labor de medicin especfica. Mtodo de medicin. Conjunto de operacionales tericas y prcticas, en trminos generales, involucradas en la realizacin de mediciones de acuerdo a un principio establecido. Mensurando. Magnitud sujeta a medicin. Puede ser, segn el caso, la magnitud medida o la magnitud a medir. Magnitud(medible).Atributodeunfenmeno,cuerpoosubstanciaquees susceptible de ser distinguido cualitativamente y determinado cuantitativamente. Magnitudes de base o fundamentales.Son aquellas que dentro de un sistema de magnitudes se aceptan por convencin, como independientes unas de otras Magnitudesderivadas.Sonaquellasquedentrodeun"sistemademagnitudes", se definen en funcin de las magnitudes de base de ese sistema. La velocidad es una magnitud derivada. Unidad(demedida).Magnitudespecfica,adoptadaporconvencin,utilizada paraexpresarcuantitativamentemagnitudesquetenganlamismadimensin.El metro es la unidad de medida para las longitudes. CONCEPTOS BSICOS Unidad (de medida) de base o fundamental. Unidad de medida de una magnitud de base en un sistema de magnitudes determinado. Unidad(demedida)derivada.Unidaddemedidadeunamagnitudderivadaen un sistema de magnitudes determinado. Mltiplodeunidad(demedida).Unidaddemedidamayorformadaapartirde unaunidaddada,deacuerdoaunescalonamientoconvencional.Ejemplo:Uno de los mltiplos del metro, es el kilmetro. Submltiplodeunaunidad(demedida).Unidaddemedidamenorformadaa partirdeunaunidaddada,deacuerdoaunescalonamientoconvencional. Ejemplo: Uno de los submltiplos del metro, es el milmetro. Valor (de una magnitud). Expresin de una magnitud que se forma de un nmero y una unidad de medida apropiada. Ejemplos: 16 m; 40 kg; 16 N. Smbolo de una unidad (de medida). Signo convencional que designa una unidad de medida. Ejemplo: m, es el smbolo del metro. Resultadodeunamedicin.Valordeunamagnitudmedida,obtenidaporuna medicin. Indicacin(deuninstrumentodemedicin).Valordeunamagnitudmedida suministrado por un instrumento de medicin. Aparatodemedicin.Dispositivodestinadoarealizarunamedicin,solooen conjunto con otros equipos. Medidamaterializada.Dispositivodiseadoareproduciroproporcionar,de manerapermanentedurantesuuso,unoomsvaloresconocidosdeuna magnitud dada. Ejemplos: una pesa y un generador de seales patrn. Transductor de medicin. Dispositivo de medicin que establece correspondencia entreunamagnituddeentradayunadesalida,conformeaunarelacin determinada. Ejemplos: termopar y convertidor electroneumtico. Patrn.Medidamaterializada,aparatodemedicinosistemademedicin destinadoadefinir,realizar,conservaroreproducirunoovariosvaloresco-nocidos de una magnitud para transmitirlos por comparacin a otros instrumentos de medicin. Ejemplo: Patrn de masa de 1 kg. Patrn internacional. Patrn reconocido por acuerdo internacional para servir de baseinternacionalenlafijacindelosvaloresdetodoslosotrospatronesdela magnitud concerniente. Legibilidad. Indica la facilidad con que se puede leer la escala de un instrumento; porejemplo,uninstrumentoquetengaunaescalade10cmdelongitudtendr mayor legibilidad que otro de 5 cm con el mismo rango. Discriminacin. Se utiliza para indicar la menor diferencia que se puede detectar entredosindicacionesenlaescaladelinstrumento;porejemplo,la discriminacin de una regla graduada en centmetros es 1/2 cm. Discrepancia.Seempleaparasealarladiferenciaentredosresultados;por ejemplo, si dos personas obtienen resultados diferentes para la misma cantidad, se dice que existe discrepancia entre ambos resultados. PROCESO DE MEDICIN17 CONCEPTOS BSICOS Histresis. Se usa cuando existe una diferencia en las lecturas de un instrumento, dependiendo el valor de la magnitud del sentido en que se lleve a cabo el proceso demedicin.Lahistresispuedeserelresultadodefriccinmecnica,efectos trmicos, deformacin elstica, etc. Variable.Enunsentidomuygeneral,estetrminoseempleaparaindicar cualquiermagnitudfsicaquepuedasufrircambios.Sisecontrolanestos cambiossetieneunavariableindependiente.Silacantidadfsicacambiaen respuestaalavariacindeunaomsvariables,setieneunavariable dependiente. Sensibilidad.Se definecomolarelacindelmovimientolineal delindicadoren elinstrumentoconelcambioenlavariablemedidaqueoriginadicho movimiento;porejemplo,lasensibilidaddeunvltmetroesde0.1cm/voltsi tiene una escala de 10 cm de longitud, para medir un valor mximo de 100 volts; portanto,uninstrumentomuysensibleproducegranmovimientodelindicador para un pequeo cambio en la cantidad que se mide. Exactitud. Se utiliza para sealar la proximidad del valor real. La exactitud de un instrumentoindicaladesviacindelalecturarespectoaunaentradaconocida. Mientras ms pequea sea esta desviacin mayor ser la exactitud. Precisin.Seempleaparaindicarlareproductibilidaddelosresultados.Alta precisin significa gran proximidad entre los resultados obtenidos en la medicin deunamismamagnitud,mientrasquebajaprecisinsignificaunaamplia dispersindelosmismos.Porejemplo,unampermetroqueobtienelecturasde 10.1,10.2A,10.3A,10.1Aesmsprecisoqueotroqueobtengavaloresde 10.A, ll.A, 10.8A y 10.5A. Para ilustrar la diferencia entre exactitud y precisin considrese un instrumento con undefectoensuoperacin.Dichoinstrumentopuededarunresultadoqueserepita frecuentemente de medicin a medicin, pero ste se encuentra lejos del valor verdadero. Losresultadosqueseobtengandeesteinstrumentosernmuyprecisos,perobastante inexactos. Puede ocurrir tambin que dos instrumentos proporcionen resultados con igual precisin,peroquedifieranenexactituddebidoadesigualdadesensudiseo.Estos ejemplosponendemanifiestoquelaprecisinnogarantizaexactitud,auncuandola exactitud requiere precisin. 1.3 PROCESO DE MEDICIN Lamedicinesunadelasnocionesquelacienciamodernahatomadoalsentido comn. El uso comn de la idea de medida es tan natural en la conducta del hombre que a menudo pasa inadvertida, porque sta surge de la comparacin, y comparar es algo que el hombrehacediariamenteconconcienciaosinella.Enlacienciayenlatcnica, medicin es el proceso por el cual se asigna un nmero a una propiedad fsica de algn objetoofenmenoconpropsitodecomparacin,siendoesteprocesounaoperacin fsicaenlaqueintervienennecesariamentecuatrosistemas:Elsistemaobjetoquese deseamedir;elsistemademedicinoinstrumento,elsistemadecomparacinquese definecomounidadyquesuelevenirunidooestarincluidoenelinstrumento,yel operadorquerealizalamedicin.Porejemplo,enelprocesollamado"medicinde longitud" intervienen: 1.El objeto cuya longitud se quiere medir. 2.El instrumento que en este caso es una regla. 3.La unidad que est incluida en la regla. 4.El operador. Paradefinirunvocamenteelprocesodemedicinesnecesariodarademsla "receta" mediante la cual se deben poner en interaccin el sistema objeto, el instrumento ylaunidad.Porejemplo,"lareceta"paramedicindelongitudessera:tmeseun instrumentodenominadoreglaenlaqueestnmarcadasciertonmerodedivisionesy hgase coincidir la primera divisin de la regla con el extremo del objeto cuya longitud sequieredeterminar;finalmente,determneseladivisinquecoincideconelotro extremo del objeto. Cada proceso de medicin define lo que se llama una magnitud fsica; por ejemplo, sedefinecomolongitudaquello quesemideenel proceso descritocomo"medicin de longitudes". Existen muchos procesos de medicin que definen una misma magnitud; por ejemplo, para medir una longitud existen muchos procedimientos. Dependiendodelapropiedaddelobjetoquesedeseamedir,delconocimiento disponible,delosrequisitosoexigenciasdeprecisin,delahabilidaddelobservador, etc.,seseleccionardeterminadatcnicademedicin,yaqueunacosaesmedir distancias accesibles, otra distancias interatmicas y otra interplanetarias. Aunque en los trescasossesuponeelmismoconceptode distancia,los procedimientosparamedirsus valores numricosson muy diferentes; en el caso de los cuerpos que se pueden manejar directamente,lamedidadeunadesuspropiedadessepuedeleerenlaescaladeun instrumento,mientrasqueenelcasodeobjetosprcticamenteinaccesiblessemidenen realidadmagnitudesrelacionadasconellosylapropiedadquesedeseaconocerse investiga con la ayuda de frmulas. De acuerdo con lo anterior es posible establecer que las mediciones pueden ser directas o indirectas. 20 CONCEPTOS BSICOS DEFINICIN DE TRMINOS 19 Unamedicindirectaserealizacomparandolamagnitudqueinteresamedircon una"patrn"oconlasunidadesdeunaescalamaterial,ycontandoelnmerodeveces quelaunidadestcontenidaenlamagnitud.Porejemplo,paramedirlalongituddel margen en un cuaderno se realiza una medicin con el empleo de una regla. Una medicin indirecta es la que supone medicin directa (de algo que no es lo que semide)ycmputo.Unejemplomuysencilloesladeterminacindelvolumendeuna esfera a partir de la medicin directa de su dimetro y el empleo de la frmula V =1/6 D3. Algunascosassepuedenmedirtantopormtodosindirectoscomopormtodos directos. Porejemplo,sepuede obtenerelvalordel permetrodeuncuadradomediante una medicin directa, pero tambin se puede obtener dicho valor midiendo un solo lado y sustituyendo dicho valor en la ecuacin = 4L, donde es la medida del permetro y L la del lado. El resultado de un proceso de medicin es un nmero real, que es la medida o valor delamagnituddequesetrata.Seleinterpretacomoelnmerodevecesquelaunidad estcontenidaendichamagnitud.Elvalordeunamagnituddadaesindependientedel procesoparticulardemedicin,dependiendoslodelaunidadqueseelija.Comoesta unidad en principio es arbitraria y se fija por convencin, es necesario aadir un smbolo alvalornumricodeunamagnituddada,paraindicarculunidadsehautilizadocomo comparacin. Por ejemplo, decir que una longitud es4.5 no tiene sentido fsico si no se indica la unidad de referencia. Si se utiliza el metro como unidad, la medida debe escri-birse 4.5 m, pero si se emplea el centmetro como unidad, el resultado debe escribirse 450 cm..Oseaqueelvalornumricodeunamismamagnitudcambiadependiendodela unidadseleccionada.Porello,antesdeefectuarunamedicinhayqueseleccionarla unidad para la magnitud por medir. Debido a que la eleccin de unidades es convencional, para el caso de las cantidades fundamentalesyparaquelosinvestigadoresdediferentespasespudierancompararlos resultadosdesusexperimentos,fuenecesarioadoptaranivelmundialunsistemade unidadesbsicollamadoSistemaInternacionaldeUnidadesyquesedesignaconel smbolo SI. En este sistema las unidades fundamentales son las indicadas en la tabla 1.1. Tabla 1.1 CantidadUnidadSmbolo LongitudMetrom MasaKilogramokg TiempoSegundos Corriente elctricaAmpereA TemperaturaKelvin Intensidad luminosaCandelacd Cantidad de sustanciaMolmol Enelprocesodemedicinelinstrumentoperturbaenmayoromenorgradoel sistema que se estmidiendo. Por ejemplo, al medir la temperatura de un objeto con un termmetroesnecesarioqueseestablezcaelequilibriotrmico,loqueimplicauna variacin de temperatura del sistema que se est midiendo y del instrumento, de manera que lo que mide el termmetro es la temperatura de equilibrio y no la que tena el objeto antesdeponerseencontactotrmicoconl.Lainstrumentacinmodernapretende perturbarlomenosposiblelaspropiedadesquesemiden,y,porotraparte,elexpe-rimentadorintentaatribuirunvalornumricoadichaperturbacin,afindeinferirel valor real de las propiedades de los objetos antes de la medicin. Estebreveanlisisdemuestraquelamedicinnoconsisteenverrpidamentela escala del instrumento y concluir sin ms, sino que es un eslabn de una cadena ms bien larga de operaciones conceptuales y empricas. 1.4 EJERCICIOS 1.Define los siguientes trminos: 1.1Magnitud 1.2Patrn 1.3Mensurando 1.4Discrepancia 1.5Medida materializada 2.Cul es la diferencia entre precisin y exactitud? 3.Cules son los sistemas que intervienen en el proceso de medicin? 4.Qu es una medicin directa? 5.Da un ejemplo de medicin indirecta. 6.Para cada enunciado escribe en el parntesis una V si es correcto y una F si es falso, 6.1 () La medicin es una magnitud fundamental. 6.2() El mltiplo de una unidad es una unidad de medida menor que la unidad dada. 6.3() El valor de una magnitud es una expresin que se forma de un nmero y una unidad. 6.4 () La metrologa es el campo de conocimientos relativos a las mediciones. 6.5() El newton es una unidad fundamental. 6.6() La exactitud se utiliza para sealar la proximidad al valor real. 6.7() La legibilidad se emplea para sealar la diferencia entre resultados. 6.8() Una variable es una magnitud fsica que puede sufrir cambios. 22 Mtodo cientfico 2.1INTRODUCCIN La ciencia est estrechamente relacionada con las luchas y los trabajos que elhombredesdesusorgeneshadebidoafrontarparasobrevivir,oseapara satisfacer sus necesidades materiales e intelectuales, mejorar sus condiciones de vidayacrecentarsuconocimientoycomprensindelmediodelcualforma parte. Loquesellamacienciaesunaadquisicinrelativamenterecienteenla historiadelhombre.Susaspectosfilosficosdecrucialimportanciafueron expresadosexplcitamenteporvezprimeraporlosgriegoshaciaelao600a. C. Pero los eruditos del mundo clsico no visualizaron la estrecha relacin entre teorayexperimento,queesunadelascaractersticasmsdestacadasdela ciencia de hoy. Otradelascaractersticasdelacienciaeselmtodoparadarrespuestasa los problemas que le son planteados y que ha desarrollado a travs de los aos. Enestecaptuloseanalizaelmtodocientficoaldescribiralgunasdesus virtudes y limitaciones. 2.2MTODO CIENTFICO Actualmente el hombre se enfrenta a innumerables problemas por su deseo dedescubrirlossecretosdelanaturalezayporlanecesidaddedisear dispositivos que le permitan vivir mejor. Para afrontar 23MTODO CIENTFICO dichosproblemaselhombreempleadiversosprocedimientoscomoeldel mtodo cientfico. Loscientficoseingenieroscuyasinvestigacionestuvieronxitoanotaron cmo lograron los resultados. Otros despus de ellos analizaron tales procesos y justificaronsueficacia.Deestamaneratalesprocedimientossetransformaron gradualmente en mtodos verdaderamente cientficos. Hoyendanilosingenierosniloscientficossepuedendarellujode improvisaralbuscarsolucionesalosproblemasquelessonplanteados;porlo contrario,tienenqueadaptarsusesfuerzosalasexigenciasdelproblemapor resolver siguiendo un mtodo. Cada clase de problemas requiere un conjunto de mtodos y tcnicas especiales, pero el "mtodogeneral" de la ciencia o mtodo cientfico es un procedimiento queseaplicaalciclo entero delainvestigacin, independientementedeltemadeestudio. Estemtodo imponeun orden tanto a lasactividadesquerealizaelinvestigadorcomoalosconocimientosquese obtienen,ademsdeorientarlainvestigacin,pasoapaso,haciaunfinenun proceso. El mtodo cientfico es un rasgo caracterstico de la ciencia, tanto de la pura comodelaaplicada.Peronoesunmtodoenelsentidodeunprocedimiento formal,nitampocoesunarecetainfalibleparalosdescubrimientos,sinoms bien una actitud y unafilosofa que proporcionan una orientacin segn la cual sepuedendeducir,conconfianza,conceptosgeneralesdelasimpresionesque desdeelmundoexteriorentranaraudalesenlossentidosdelhombreyque permitenencontrarsolucionesmsacertadasalosproblemasplanteadosporla sociedad. Elmtodocientficoestangeneralquelopuedenutilizarcientficosde todas las especialidades, pues es el instrumento de que se sirven para conseguir conocimiento de la naturaleza y de la sociedad. Jams se debe olvidar que es un instrumentodetrabajocuyafinalidadprcticaimponelanecesidaddeteneren cuenta siempre sus posibilidades de aplicacin. Dadas sus caractersticas, el mtodo cientfico es tambin un proceso que se produceeneltiempoyquecomprendevariasfasesgenerales,cadaunadelas cuales comprende y necesita la anterior. Dichas fases o pautas generales son: 1.Planteamiento del problema. 2.Formulacin de la hiptesis. MTODO CIENTFICO 2:i 4.Comprobacin de la hiptesis. 5.Construccin de leyes, teoras y modelos. Paraquesedesteprocesoserequiereelempleodeprocedimientos racionales(deduccin,induccin,inferenciaporanaloga)yempricos (observacinyexperimentacin),loscualesseponenenjuegoenelmomento en que se requieren. A continuacin se hace una descripcin general de las fases que caracterizan al mtodo cientfico. 1.Planteamientodelproblema.Enlavidacotidianayenlacientficase presentanproblemasdediversandole,entendindoseporproblema cualquier dificultad que no se pueda resolver automticamente; es decir, con la sola accin de nuestros reflejos instintivos y condicionales. Estos surgengraciasalacuriosidadnaturaldelhombreyasunecesidadde satisfacer necesidades prcticas. Engeneraltodoproblemaseplanteaconrespectoaciertofondo previoconstituidoporelconocimientopreexistenteyenparticularpor los presupuestos especficos del mismo, pues si se es ignorante respecto aalgntemanoesposibleplantearseproblemasconreferenciaaeste tema. Actualmente el nivel de investigacin y de desarrollo de un pas se mide por el tipo y dimensin de los problemas que se manejan. A la metodologa de la ciencia le preocupan de manera preferente los problemascientficos,pero,comoesobvio,notodoproblemaes cientfico;losproblemascientficossonexclusivamentelosquese plantean acerca deun trasfondo cientficoy con elobjetivo primario de incrementarelconocimiento.Sielobjetivodelainvestigacinesms prctico que terico, pero el trasfondo y los instrumentos son cientficos, entonces el problema es de ciencia aplicada o tecnologa. Yaquelainvestigacincientficaseiniciaconelplanteamientodel problema, es importante tomar en cuenta las siguientes condiciones en la formulacin: a )Debe existir un "cuerpo de conocimientos" cientficos en que se pueda insertar el problema, de tal modo que sea posible tratarlo. b )Debe ser concebido en el sentido de que su trasfondo y, en particular, sus presupuestos no sean falsos ni por decidir. MTODO CIENTFICO d )Se tiene que expresar en forma clara, con trminos lgicos y precisos. e )Debe estar bien delimitado para evitar confusiones. Tomar en cuenta estas condiciones no garantiza el xito, pero s evita prdidasdetiempo,porquelasolucinseobtendrmsrpidosiel problema se formula correctamente. 2.Formulacind e hiptesis.Unavezplanteadoyexaminadoun problemasebuscasusolucin.Algunosproblemasseresuelven organizandoexperienciascientficas,otrosmediantelaelabo- racindeteorascontrastablesacercadelmundo.Peroningn problemaseresuelveprecipitndosesinmshaciaellaboratorio puesantesdelaactividadexperimentalserequierelaformula- cin de la hiptesis que gue la investigacin. Unahiptesisesunasuposicincomprobablequesebasaen conocimientoprevioysedestinaadarsolucinaunproblema.Las hiptesiscientficashanconstituidovaliosasguasparalaformulacin deteorascientficas.Porejemplo,alrevisarlahistoriadelateora atmicadelamateriasemuestralamaneraenquelasdiferentesclases dehiptesishancontribuidoasuactualdesarrolloycmoalgunas hiptesis,apesardehaberresultadofalsas,alsometerlasaprueba sirvierondeinstrumentosparahaceravanzarelconocimientodela estructura de la materia. Lahiptesisesunproductodelpensamientocientficoydela imaginacinracionalensunivelmselevado.Comoejemplodeese ejercicio de la imaginacin cientfica se tiene el de Dalton al formular la hiptesisdel"tomo",eldeDarwinalestablecerlahiptesisdela "seleccinnatural",eldeMendeleievalconstruirla"tablaperidicade loselementos"yeldeJJ.Thompsonalpostularlahiptesisdel "electrn". La formulacin de la hiptesis no depende absolutamente de una lista de condiciones a manera de formulario, ya que en la realidad no hay una recetavlidaparaformularla,cadacientficohatenidosupropioestilo deacuerdoconsusexperiencias,conocimientos,caractersticasdel problema por resolver y capacidad creadora. 3.Comprobacindelahiptesis.Lahiptesis,unavezformulada, permiteinferiryhacerprediccionesverificablesque,asuvez, inducen a la realizacin de los experimentos necesarios y a la MTODO CIENTFICO26 realizacin de nuevas operaciones racionales. Para que una hiptesis est debidamentefundamentadatienequesometerseacontrastacin,yasea formal o experimental. La contrasta-cin formal consiste en fundamentar la hiptesis con respecto a una base terica ya establecida que le sirva de apoyo.Lacontrastacinexperimentalseapoyaenlaconcordanciacon los hechos, para lo cual se requiere: a )Establecer la tctica cientfica. b )Aplicar la tcnica cientfica adecuada. c )Recopilar los datos resultantes. d )Interpretar los datos a fin de obtener conclusiones. Muchas veces la hiptesis misma sugiere el mtodo conveniente para explorar lo que propone. En otras ocasiones sehacenecesario descubrir especficamenteelmtodoms adecuado. En todos los casos elmtodo experimentaleselprocedimientogeneralmedianteelcualsesometen rigurosamente las hiptesis a la prueba de la prctica. Cuandoelresultadoexperimentalverificaelcumplimientodelas consecuenciasdelahiptesisstaquedacomprobada,mientrasque cuandodichoresultadodifieredelprevistoporlahiptesisesnecesario cambiarlaparcialmenteycuandolosresultadosseencuentranen oposicinalasconsecuenciasprevistaslahiptesisquedarefutadayse debereformular.Paralarefutacindeunahiptesisessuficientecon encontrarexperimentalmenteuncasodeincumplimientodesus consecuencias. As sucedi por ejemplo con el resultado del experimento realizadoporMichelsonyMorleyen1887quesirviparadescartaren definitiva la hiptesis de la existencia del ter. Es pertinente advertir que cada hiptesis que se comprueba trae consigo elplanteamientodenuevosproblemasporresolver.4.Formulacinde leyes,teorasymodelos.Paraelinvestigadorunahiptesiscientficase convierteenleycuandohasidocomprobadatericayexperimentalmente de manera simultnea. Las leyes tienen un papel importante en la ciencia, y selereconocealdecirqueelobjetivocentraldelainvestigacinessu descubrimiento. Enlainvestigacinprimerosecuentacondatosaislados,porloquese formulan hiptesis para explicarlos. Estas al ser comprobadas 26MTODO CIENTFICO se convierten en leyes. Al principio no existe conexin entre estas leyes, pero a medidaquesedesarrollalainvestigacinsedescubrenrelacionesentreellas, hasta que se conforman en un sistema coherente denominado teora. Finalmente seconstruyeunmodeloqueexpreselascaractersticasfundamentalesdela teoraylasposiblesconsecuenciasquestapudieratenerenotroscamposde estudio. Contodassusvirtudes,elmtodocientficotieneciertaslimitaciones naturales como el que no pueda reemplazar la inspiracin de un Arqumedes que lehacedescubrirunaleyfundamentaldelaHidrostticaestandosentadoenla tinadebao,nielquepuedacrearcienciaautomticamente,delamisma maneraqueunmanualdeestrategiasmilitaresnopuedeganarunabatalla.Sin embargo, se puede decir que elmtodo cientfico es como una brjula que gua al investigador por la senda correcta. 2.3 PREGUNTAS 1.Brevemente describe qu es la ciencia? 2.A qu se le llama mtodo cientfico? 3.Cules son las fases del mtodo cientfico? 4.Qu es una hiptesis? 5.Cul es la diferencia entre induccin y deduccin? 6.Hacer una diferencia entre una hiptesis y una ley. 7.Investigar y describir brevemente. Cul es la importancia de las leyes de la naturaleza? 28 3 Experimentacin 3.1INTRODUCCIN La experimentacin es el enlace comn entre fsicos, ingenieros, bilogos e investigadores;puesindependientementedequeelbilogopruebeunnuevo productoparaacelerarelcrecimientodelasplantas,elfsicoexplorelas propiedadesdeunapartcularecindescubierta,elingenierocomparediversos mtodosdeproduccin,todosellosrealizanexperimentos,apesardequelos procedimientos que se empleen para dar solucin a sus problemas sean distintos en cada caso. Yasetratedeunainvestigacinfundamental,deunaaplicadaodeuna tecnolgica,laexperimentacintieneunpapelimportante,yaqueparaqueun conocimientoseconsiderevlidonoessuficienteconhaberloobtenidoo demostradopormediodeinferenciascorrectasyquenosecontrapongan,por numerosas,estrictasyampliasquestaspuedanser,sinoqueademsse requiere la comprobacin directa mediante la experimentacin. Porlotanto,elestudiodelexperimentocientficotieneintersparael cientfico mismo, para el tecnlogo y para el filsofo. 3.2EXPERIMENTO Elexperimentoeslaexperienciacientficaenqueseprovocade-liberadamente algn cambio y se observa e interpreta su resultado 29 EXPERIMENTACIN con alguna finalidad cognoscitiva. Por ejemplo, sera un experimento acerca del comportamientosocialdeloschimpancsmanteneralgunosdeellosaislados individualmente desde su nacimiento para estudiar la influencia del aprendizaje ylaherenciaensucomportamiento.Lasolacradechimpancssinuna intencindeesanaturalezanoesunexperimentosinosimplementeuna experiencia con mayor o menor observacin. Enelexperimentoeldesarrollodelosprocesosocurreencondiciones previamenteplaneadasy controladas.En efecto, si sevaran las condiciones es posible lograr queserepitan los procesos, queseretardeo seaceleresu curso; en fin, que se produzcan otras muchas perturbaciones en su comportamiento. El controldelascondicionespuedeconsistirsimplementeenqueelinvestigador sea capaz de hacer que se presenten y de conseguir que se mantengan durante el tiempo que dure el experimento. El control puede ir ms all de las condiciones deproduccinydemantenimientodelproceso,comprendiendotambinlas condiciones de observacin y medicin de las observaciones. Laobservacinesunaparteimportanteeimprescindibledelexperimento, porquesteenciertosentidonoesotracosaqueunaobservacinprovocada dentro de las condiciones controladas por el investigador. Elcontroldelinvestigadorseejercetantoenlosestmulosquedebe provocar al proceso como en el proceso mismo. Si el control no se lleva a cabo con precisin cuantitativa se tiene un experimento cualitativo, pero si el control serealizamediantemedicionesprecisassetieneunexperimentocuantitativo. Por ejemplo, los experimentos de Oersted acerca de la interaccin entre imanes ycorrientesfueroncualitativosylosexperimentosqueproyectAmpereen cuantoaesosmismoshechosfueroncuantitativos,porquealprimer investigador slo leinteresabademostrar quelasfuerzas delanaturalezaestn relacionadas,yalsegundoverificarsuteoracuantitativaparaexplicarel experimento de Oersted. Unexperimentocuantitativoesnaturalmentemscomplejoqueun experimentocualitativo,perononecesariamentemssutildesdeelpuntode vista intelectual, porque el uso de instrumentos de medicin en los experimentos cuantitativospresuponequelasvariablesquesemidanestnyaobjetivadasy las tcnicas de medicin desarrolladas. Mientras que un experimento cualitativo puedeponerdemanifiestoporvezprimeraciertasvariablesyrelacionesentre las mismas, sean EXPERIMENTACIN onocuantitativas,losexperimentossuponenconstruccionescientficas, conceptos, teoras e hiptesis. Es obvio que la intervencin de hiptesis y teoras es an mayor cuando se busca la contrastacin de una hiptesis o de una teora. Usualmentelosexperimentosdifierenenaspecto,peroengeneraltodos estnsometidosaunpatrnsecuencialdeplaneacin,imple-mentaciny evaluacin.Aligualqueeneltrabajoanaltico,eneltrabajoexperimentales importanteseguirunmtodoparalaformulacinysolucindesusproblemas; sedenominamtodoexperimental.Lasfasesprincipalesdelmtodo experimentalsonobservacincuidadosa,reflexinacercadelahiptesis, prediccindesusconsecuencias,planeacindelexperimentoparasometerla hiptesis a prueba, diseo del experimento, ejecucin del experimento planeado, obtencinderesultadosyconfrontacinentrelosresultadosexperimentalesy las predicciones tericas para la interpretacin de las conclusiones. A pesar de la gran cantidad de experimentos que se pueden realizar y de la variedaddeobjetivos,todosellostienenmuchoencomn,comotratarde eliminarlosefectosdeciertasvariables,reducirycontrolarelnmerode variables por investigar, realizar mediciones precisas y exactas, estimar el error experimental, interpretar en forma objetiva los resultados, etc. En resumen, el experimento es directriz en la bsqueda de respuestas a los problemas que se plantean al experimentador. 3.3 PLANIFICACIN DE EXPERIMENTOS La planificacin de un experimento depende de la determinacin previa de lascondicionesenquesepuedeprovocarelsurgimientoolapresenciadel proceso,delosmediosparamantenerelcontroldeesascondiciones,delos procedimientosparaobservarymedirelcomportamientodelproceso,del conocimientotericodisponible,delaclasededatosqueseesperanydela exactitud que se requiera. Por tanto, el experimentador debe reflexionar, ensayar y combinar dediversasmaneras paradescubrir las condicionesms apropiadas y que resulten factibles para poder lograr los objetivos propuestos. Con base en loanteriorseprocedeadisearelexperimentoespecificandoinstrumentos, materiales, personal, recursos econmicos y precauciones. Para asegurar el xito eneltrabajoexperimentalesconvenientequeelinvestigadorseplanteelas siguientes preguntas: PLANIFICACIN DE EXPERIMENTOS31 1.En cuanto al objetivo. 1.1 Cul es el objetivo del experimento? 2.En cuanto a las variables. 2.1Cules son las variables por investigar? 2.2Cules son las ms importantes? 2.3Qu rangos de las variables sern necesarios? 2.4Cuntos valores se debern tomar en los diferentes rangos de operacin? 3.En cuanto al equipo y medio ambiente. 3.1Es necesario un ambiente especial para realizar el experimento? 3.2Qu equipo es necesario para la realizacin del experimento? 3.3Cul es el equipo disponible? 3.4De qu fuentes financieras se dispone para llevar a cabo el experimento? 4.En cuanto a los instrumentos de medicin. 4.1Existen comercialmente los instrumentos o se deben fabricar especialmente para el experimento? 4.2Cul es la exactitud que se requiere para efectuar cada medicin? 4.3Qu tanto se apegan las caractersticas de los instrumentos al presupuesto asignado? 4.4Se calibraron los instrumentos? 4.5Cul debe ser la respuesta a la frecuencia del instrumento si es medicin dinmica? 5.En cuanto al procedimiento. 5.1Qu procedimiento es el adecuado? 5.2Cul secuencia se deber utilizar en la variacin de parmetros? 5.3Cules son los aspectos de seguridad preventiva necesarios si dentro del experimento existe alguna operacin peligrosa? 6.En cuanto a la evaluacin de resultados. 6.1Son confiables los resultados? 6.2Qu tipo de relacin existe entre las variables? 7.En cuanto a la presentacin de resultados. 7.1Cules son los resultados significativos? 7.2Cmo se van a presentar los resultados? 8.En cuanto a conclusiones. 8.1 Satisfacen las conclusiones el objetivo original? EXPERIMENTACIN 8.2 De existir discrepancias entre las predicciones y los resultados experimentales, a qu factores se pueden atribuir? Esconvenientesealarqueelinvestigadordeberreflexionarcuidado-samenteprimeroenlanecesidaddeefectuarelexperimento,porqueunagran cantidaddedineroytiempodesperdicianindividuosqueseprecipitanenun proyecto slo para descubrir ms tarde que el experimento fue innecesario para sus propsitos particulares. Duranteelperododeplanificacinelinvestigadordeberealizarunan-lisis de incertidumbre cuidadoso, para seleccionar las tcnicas e instrumentos de medicinmsadecuadosasuproyecto.Esobvioquelatcnicaconlamenor incertidumbre es la deseable desde un punto de vista de exactitud experimental; peropuederesultarlamscostosa.Sinembargo,frecuentementeseencontrar que el costo no es un factor determinante, ya que la tcnica con la menor incer-tidumbrepuedesertanfcildellevaracabocomocualquierotromtodocon menor exactitud. 3.4 EL ESPRITU CIENTFICO Pocoseavanzaraenelconocimientodelanaturalezasinelrigoryla seriedad que debe inspirar el trabajo experimental. Esta atmsferadeseriedadyhonestidad queenvuelvey empapael trabajo experimental slo aparece y trasciende si el individuo ha hecho suyo y cree en el espritu cientfico. El espritu cientficoes,antes quenada, unaactitud o disposicin delindi-viduo que busca soluciones serias con mtodos adecuados para el problema que enfrenta. Estaactitudnoesinnataenelindividuo:esalgoqueseobtieneabasede esfuerzosy ejercicios alo largo delavida. En laprctica,elespritu cientfico hacequeelinvestigador,elingeniero,ocualquierotroindividuotengauna conciencia crtica que lo lleva a perfeccionar su capacidad de juicio; a distinguir y separar lo esencial de lo accidental, lo importante de lo secundario. El espritu cientfico implica tener a una conciencia objetiva, es decir, estar dispuestoalrompimientodetodaslasposicionessubjetivaspersonalesymal fundamentadas,debidasalainfluenciadelmedioolavisinquesurgepor nuestra propia organizacin biolgica y psicolgica. Si un cientfico cree que cierta hiptesis, ley o principio es verdadero, pero encuentraunapruebaexperimentalcontradictoria,entoncesconespritucien-tficosecambiaoabandonadichahiptesis,leyoprincipio,sinconsiderarla reputacin o autoridad de quienes la formularon o la defienden. Por ejemplo: el filsofogriegoAristtelesafirmabaqueunobjetocaeaunavelocidadpropor-cional al peso. Esta falsa idea se conserv verdadera durante ms de2000 aos, debido a la importante autoridad de Aristteles. Sin embargo, para el espritu PLANIFICACIN DE EXPERIMENTOS33 cientficodeGalileo,bastunsoloexperimentoconunresultadoopuestopara rechazardichaafirmacin,sinconsiderarlareputacinodelnmerodese-guidoresdelaidearefutada.Enlacienciacomoenlatecnologatienepoco valor un argumento que apele al prestigio de una autoridad. Los ingenieros y cientficos deben aceptar sus hallazgos experimentales aun cuando quisieran que fueran diferentes. Deben esforzarse por distinguir entre lo quevenyloquedeseanver.Laobjetividaddelespritucientficotornael trabajo experimental en impersonal: slo interesa elproblemay lasolucin. Es decir,cualquierotropuederepetirlamismaexperiencia,encualquierotro tiempo,yelresultadosersiempreelmismo,puesnodebedependerdelindi-viduo que realiz el experimento. Loobjetividaddelespritucientficonoaceptasolucionesamedias,ni soluciones personales. El yo creo que es as o el que no es posible no satisfacen la objetividad del saber. 3.5 PREGUNTAS 1.Qu es un experimento? 2.Cul es la diferencia entre experimento y observacin? 3.Por qu es importante planear un experimento? 4.A qu se le llama espritu cientfico? 5.En qu consiste la objetividad del espritu cientfico? 34 4 Error experimental 4.1INTRODUCCIN LasmedicionesqueserealizanenlaCienciaylaIngenieratienenpor objetivoestablecerelvalornumricodedeterminadamagnitud.Estevalor numriconocorrespondealvalorrealdelamagnitudquesemideporquelos resultados que se obtienen en el proceso de medicin son aproximados debido a la presencia del error experimental. Paratratardemaneracrticadichosvaloresyobtenerconclusiones provechosasdeellosesnecesariovalorarelerrorasociadoalamagnituden cuestin durante el proceso de medicin. En la prctica, la tarea de determinar el error de una magnitud que se mide no es posible. La mayor dificultad radica en quelamedicin vaacompaadadelaaccin einteraccindegran cantidad de factoresqueinfluyenenunouotrogradoenelresultadodelamedicin.Sin embargo, s es posible establecer los lmites dentro de los cuales se encuentra el valorverdaderodelamagnitudmedida.Cuantomsprximosseencuentren esos lmites, ms precisa ser la medida. Es conveniente advertir que el objetivo delexperimentadornoessloprocurarqueelerrorexperimentalsealoms reducidoposiblesinoquesealosuficientementepequeoparanoafectaralas conclusiones que se puedan inferir de los resultados experimentales. Enestecaptuloseestudialanaturalezabsicadelerror,ascomolas tcnicas para estimarlo afin de valorar los lmites de validez de unamagnitud, ya sea que sta se mida por mtodos directos o indirectos. 34ERROR EXPERIMENTAL 4.2 CLASIFICACIN DE ERRORES Muchagentepiensaquelascienciascomolafsicasonexactas.Sinem-bargo, esto no es cierto, pues los resultados que se obtienen en las mediciones en estas ciencias contienen errores.Lanaturaleza deestos errores esmuyvariada, as como sus valores, pero su completa eliminacin es prcticamente imposible. Yaqueloserroresenlaexperimentacinnosepuedenevitar,hayque aprender aconvivir con ellos,y acontrolary estimar su valor deacuerdo alas necesidades experimentales. Elerrorexperimentalesinherentealprocesodemedicin,suvalorso-lamente se puede estimar. Dicho error est definido como la diferencia entre el valor verdadero y el valor medido de la magnitud. Enestadefinicinsehabladeun"valorverdadero"delacantidadquese mide pero, realmente existe un valor verdadero? La respuesta es no. Por ejem-plo,enlamedicindelanchodeestahojanoesposibleobtenerunvalorver-dadero,yaqueexistenunaseriedefactoresqueimpidenlograresto.Destos cabedestacar:elquelosbordesdelahojanoseanparalelos,quesulongitud cambieconlasvariacionesdetemperatura,quelareglanoestbiencalibrada, quelostomoslmitesdeambosbordesdelahojanoestnenreposocon respecto a los dela reglautilizada, etctera. Como consecuencia delo anterior, lo nico que se puede hacer es dar un valor "estimado" de dicha longitud. Para muchos investigadores e ingenieros es frecuente tomar como punto de partidalahiptesisdequeexisteun"valorverdadero"delacantidadquevaa medir,yqueelprocesodemedicintieneporobjetodeterminarese"valor verdadero" tan aproximadamente como sea posible. Debidoaqueloserrorespuedensurgirpormuydistintascausas,parasu anlisis los cientficos los han clasificado en dos amplias categoras: 1. Errores sistemticos. 2. Errores aleatorios o accidentales. Errores sistemticos Los errores sistemticos son los que en principio se pueden evitar, corregir ocompensar.Estosalteranlamedidapornotomarencuentaalgunacircuns-tancia que afecta al resultado siempre igual, dando lugar a un alejamiento hacia unsentidodelvalorverdadero.Selesllamasistemticosporquedanefectos consistentes, pues cuando estn presentes se obtienen valores que son ms altos o ms bajos que el valor verdadero. Los errores sistemticos se pueden originar por: a)Defectos o falta de calibracin de los instrumentos de medicin. b ) El estado del medio ambiente en que se realizan los experimentos. ERROR EXPERIMENTAL CLASIFICACIN DE ERRORES 35 c)Malos hbitosyformapeculiar derealizar las observaciones por parte del experimentador d ) Lalimitadaprecisindelasconstantesuniversalesdelasecuaciones que se usan en el diseo y calibracin de los instrumentos. No obstante, si se conoce la fuente de error sistemtico se puede considerar suinfluenciaenlamagnitudquesemide,yenunaseriedecasossepuede excluir total o parcialmente, bien sea eliminando la fuente que lo provoca, o in-troduciendolacorreccinquetieneencuentaaproximadamentesuinfluencia. Esconvenientesealarquelaeliminacindeloserroressistemticosenlos resultados experimentalesselograen formams eficiente si setomaen cuenta lo siguiente: a ) Primero,elexperimentadordebeesperarydescubrirlaexistenciade errores sistemticos. b ) Una vez detectado el error se estimar su influencia en el resultado. c)Valorar la importancia del error en funcin de la exactitud total que se desea y el costo y dificultad de las posibles alternativas para evitarlo. d)Finalmente se estudian los medios para eliminar o disminuir el error, lo cual se puede lograr sustituyendo el equipo defectuoso, controlando las condicionesdelexperimento,oinclusocambiandototalmenteel mtodo de medida. Ladeteccindeloserroressistemticosesdegranimportanciadebidoa quelapresenciainadvertidadeestetipodeerrorespuedeconduciraun resultado aparentemente digno de confianza. Un ejemplo de esto lo proporcion elexperimentodelagotadeaceiterealizadoporMillikanparamedir"e",la cargaelemental.Enesteexperimentoesnecesariosaberlaviscosidaddelaire. El valor utilizado por Millikan fue demasiado bajo y como resultado el valor que obtuvo para "e" fue de: e=(1.5910.002)X10 -19C.quenocorrespondeal valor actual de "e", el cual es igual a: e = (1.602 0.002) x 10-19 C. Errores accidentales Por lo general los errores accidentales se deben a la suma de gran nmero deperturbacionesindividualesyfluctuantesquesecombinanparadarlugara quelarepeticindeunamismamedicindencadaocasinunvalordistinto. Estos errores siempre estn presentes en las mediciones y en ausencia de erroressistemticossoncausadequelaslecturassucesivassedispersenalre-dedor delvalor verdadero de lamagnitudmedida. Por ejemplo, almedirvarias veceselperododeunpnduloconlaayudadeuncronmetroseobtienen resultadosligeramentediferentesdebidoalapresenciadeerroresaleatorios. Estoserrorespuedenseroriginadosporelobservadoralleerlaescala,porlas pequeasirregularidadesdelmovimientodelpndulo,etc.Sinohayerrores sistemticos presentes, algunos resultados sern mayores y otros menores que el del valor verdadero. Engeneral,loserroresaleatoriosnosepuedeneliminar,perosestimar. Sedebeobservarqueloserroressistemticosyaccidentalessediferencianen quelosprimerosproducenefectossistemticosylossegundosefectosaleato-rios. Las fuentes de error pueden originar tanto efectos sistemticos como alea-torios. Por ejemplo, al operar un cronmetro no slo se podr ponerlo en marcha ydetenerloenformaligeramenteirregularalmedirelperododeunpndulo, introducindoseasiunerroraleatorio,sinoquesepodrtenerlatendenciaa ponerloenmarchadespusydetenerloantes,loqueconduciraunerror sistemtico. Aunquenosepuededeterminarelvalordelerroraleatorio,productode lasfluctuacionespersonales,delasalteracionesaleatoriasdelmedioambiente, delafaltadecalibracin dealgunos delos instrumentos queseutilizan, etc. s es posible estimular su valor mediante mtodos estadsticos. 4.3 ERROR ABSOLUTO Y ERROR RELATIVO El error absoluto designado por la letra "e" est definido como la diferencia entreelvalorverdadero( xv) deunamagnitudyelvalormedidox . Suvalor puede ser positivo o negativo, pero en general se supone que | e |x .Matemticamente "e" se define como: e = x - xv( 1) La palabra absoluta es para distinguir esta medida de error de otro llamado error relativo. El error relativo "E" se define como el cociente del valor absoluto del error absoluto entre el valor verdadero de la magnitud, es decir: ( 2)Confrecuenciaesmstilelconocimientodelerrorrelativoqueelco-nocimiento del error absoluto, ya que con el primero se obtiene una medida ERROR EXPERIMENTAL ERROR ABSOLUTO Y ERROR RELATIVO2 del error en relacin con la magnitud medida. Por ejemplo, almedir una longi-tud de 10 cm y otra de 100 m se comenten errores absolutos de 1 cm en ambos casos;sinembargo,elerrorrelativodelasegundamedicinesmenorqueel cometidoenlamedicindeunalongitudde10cm,loqueindicaquelaexac-titud de la medida de la longitud de 100 m es mayor que la del primer caso. Ejemplo 4.1 Siimaginamosquetenemosunacintamtricagastadaenunodesusex-tremosyconellamedimosunalongitudrealde16cm,peroelvalorquese obtieneen lamedidaes de17cm. Calcular elerror absoluto y el error relativo de la medicin SOLUCIN a) El error absoluto: De la definicin: error absoluto = valor medido - valor "verdadero" e = x - xv Sustituyendo valores: e =17 - 16 e = l c m Paracorregirlosvaloresdadosporlacintamtricadebemoshacerunaco-rreccin de -1 cm (el negativo del error) en las lecturas que se hagan con ella. b) Error relativo: De la definicin: xveEx=Sustitucin:116xE =Ex = 6.2 10 -2 Siestevalordeerrorsemultiplicaporcien,obtenemoselerrorporcentualo porcentaje de error, que en este caso sera de 6.2% 38ERROR EXPERIMENTAL (4) 4.4 CLCULO DE ERRORES EN ALGUNAS EXPRESIONES SENCILLAS Comoenlamayoradelosexperimentossehacenmedicionesdevarias cantidadesystasintervienenenelclculodelresultado,elvalordelerror asociado se determina aplicando las siguientes reglas. Regla 1 Elerrorabsolutodeunasumaounadiferenciaeslasumadeloserrores absolutosdecadaunadelascantidadesqueintervienenendichasumaodi-ferencia. Ejemplo 4.2. Supngase una expresin del tipo =X+W dondelasvariablesXyWestnafectadasporerroresabsolutosexyewres-pectivamente. De acuerdo con la regla anterior, el error absoluto asociado a se determina por la siguiente expresin: ez = ex+ew(3) Regla 2 El error relativo de un producto o un cociente es la suma de los errores re-lativos de las cantidades que intervienen en dicho producto o cociente. Ejemplo 4.3 Supngase una expresin del tipo: =X W dondelasvariablesXyWestnafectadasporerroresrelativosExyEwres-pectivamente. De acuerdo con la regla anterior, el error relativo asociado a se determina mediante la siguiente expresin: CLCULO DE ERRORES EN ALGUNAS EXPRESIONES SENCILLAS 39 Ejemplo 4.4 Calcular el error relativo en la medicin de la densidad del agua, si un volumen de 100 cm3 de este lquido (con un error absoluto de 0.5 cm3), tiene una masa de 100 g (con un error absoluto de 1 g en su medicin). SOLUCIN Como la densidad est definida por: mV= Entonces, el error relativo se obtiene de la siguiente ecuacin: E= Em + Ev donde:emyevson los errores absolutos en lamedicin delamasayvolumen, respectivamente. Sustituyendo valores: E=0.01 +0.005 E= 0.015 En funcin del porcentaje de error, el resultado sera 1.5%. Laestimacindelerrorenelprocesodemedicinesimportante,puessin sta, es imposible obtener conclusiones definitivas de los resultados experimen-tales.Porejemplo,supngasequesedeseadeterminarsilatemperaturatiene efecto sobre la densidad del agua. Los valores de las densidades que se midieron fueron: 0.9997g/cm3a10C 0.9887 g/cm3 a 50 C Es significativa la diferencia entre estos dos valores? Sin conocer elvalor de los errores, no se puede contestar la pregunta. As, sielerrorenladensidades0.001g/cm3,ladiferenciaentredichasmedidases significativa; en tanto que si el error es de 0.01 g/cm3, no lo es. 40ERROR EXPERIMENTAL 4.5 INCERTIDUMBRE EXPERIMENTAL Conelavancecientficoytecnolgicosehalogradodisminuirelerroren lasmedicionesperonoevitarlonicalcularlo,porqueactualmenteloquese determinaeslaincertidumbreexperimental,oseaelvalorposiblequepuede tener el error experimental. Esta cuantificacin es importante para poder estimar elgradodevalidezdelosdatosqueseobtienenyexpresarloslmitesdel intervalo dentro de los cuales se est seguro de capturar el valor verdadero. Por ejemplo, una medicin de la aceleracin de la gravedad expresada como g = (981.34 0.01) cm/seg2 indicaqueelvalormsprobabledeges981.34cm/seg2,perodebidoala presenciadelos errores elvalor verdadero deg en ellugar delamedicin est comprendidodentrodelintervalo981.33cm/seg2a981.35cm/seg2.Veamos otro ejemplo: Ejemplo 4.5 Antes de 1983 el valor aceptado de la velocidad de la luz era de: c = (2.997923 0.000 008 ) 108 m/s Qu significado tiene esta expresin? SOLUCIN Deestaexpresin,elvalor2.997923108m/srepresentalamejor estimacinovalormsprobabledelavelocidaddelaluzmientrasqueeln-mero 0.000 008 108 m/s representa una indicacin de la "incertidumbre" sobre el resultado numrico de c. En otras palabras, este valor de la incertidumbre nos dicequelaluzsepropagaconunarapidezquenoesmenorqueelvalor numrico(2.997923-0.000008)108m/s,niesmayorqueelvalornumrico (2.997923+0.000008)108m/s.Esdecir,nosepuedeprecisarculeselvalor "exacto" de c, pero s se puede confiar de que se encuentradentro del intervalo 1(2.997915 108 m/s), (2.997931 108m/s)]. En este ejemplo se evidencia que no es posible obtener resultados exactos y quecualquierexperimentadortendrqueconformarseconmedidasquetoman laformadeintervalos,dentrodeloscualessedebetenerconfianzadequese encuentran los valores reales de las magnitudes medidas. Deloanteriorseconcluyequetodamedicinx,debeserexpresadadela siguiente manera: x = x0 xdonde: x0 puede ser la magnitud leda en el instrumento o el valor promedio. INCERTIDUMBRE EXPERIMENTAL o x es la incertidumbre evaluada segn el tipo de medicin de que se trate Antes de establecer los criterios mediante los cuales se asocia la incertidumbre al resultado de una medicin es conveniente definir algunos conceptos tiles. Incertidumbreabsoluta.Sedesignaconoxyrepresentaloslmitesde confianza dentro de los cuales se est seguro (alrededor del 99%) de que el valor verdadero se encuentra en dicho intervalo. Incertidumbrerelativa.Sedefinecomoelcocientedelaincertidumbre absolutayelvalormedidoovalorpromedio.SedesignaconIr.Mate-mticamente se expresa: (5) La incertidumbre relativa no tiene unidades Incertidumbreporcentual.Eselndicequemscomnmenteseusapara especificarlaexactituddeunamedida.Sedefinecomolaincertidumbre relativa por 100, es decir I(%) = Ir(100)(6) donde I (%) = incertidumbre porcentual. Algunos autores la consideran como la "precisin" de la medida. Ejemplo 4.6 Ral al medir con una cinta mtrica la altura de su escritorio seala que no es mayor de 96.4 cm, ni menor de 96.2 cm. a ) Escribir esta medicin como un valor central incertidumbre. b ) Cul es la incertidumbre relativa de la medicin? SOLUCIN a)Para encontrar el valor central se suman los valores 96.4 cm y 96.2 cm y el resultado se divide por 2. Es decir: 96.4 96.2valor central = 96.32cm+= INCERTIDUMBRE EN MEDICIONES DIRECTAS 43 2ERROR EXPERIMENTAL El valor de la incertidumbre se puede obtener restando el valor ms peque-o del valor ms grande y dividiendo dicho cociente por dos. Por lo tanto el resultado de la medicin se puede expresar como: h =(96. 3 0.1) cm b )Para calcular la incertidumbre relativa empleamos la siguiente frmula: donde: x0 = valor central x = incertidumbre absoluta Al sustituir valores, se obtiene: Ir = 0.0010 Siseexpresaenfuncindelaincertidumbreporcentual,elresultadoes igual a: I (%) = 0.10% 4.6 INCERTIDUMBRE EN MEDICIONES DIRECTAS Cuandoserealizaunamedicindirectadeunamagnitudynoesposible repetir la medicin, o cuando al hacer una serie de lecturas se obtienen los mis-mosresultadosparalamagnitud,alalecturaqueseobtieneseleasociagene-ralmenteunaincertidumbreabsoluta,igualalamitaddeladivisinmspe-queadelaescaladelinstrumento.Porejemplo,sialmedirrepetidasvecesla longitud de un cuerpo con una regla graduada en milmetros se obtiene siempre 125mm,nosepuedeconcluirquelaincertidumbreesceroporqueloserrores accidentalesquedanocultosalsermenoresquelaincertidumbreasociadaala regla, la cual es de oL= 0.5 mm, por lo que el resultado se debe indicar as: L = (125 0.5) mm El intervalo de incertidumbre va de 124.5 mm a 125.5 mm y es el doble de la incertidumbre absoluta. Elqueseasociealaslecturasobtenidaseninstrumentossencillosunain-certidumbreigualalamitaddeladivisinmspequeadelaescalasedebea quelamayoradelosfabricantesgarantizanquesusinstrumentosestndise-ados y construidos de tal manera que la incertidumbre mxima que pueden in-troducir no sea mayor de ese valor. Sin embargo, este criterio no siempre es vlido en situaciones en las que se empleaninstrumentosconescalascuyasdivisionesseanmuyfinasparamedir objetosconbordesmaldefinidosondicesmuygruesos,pues,enestascon-diciones, la incertidumbre que se va asociar a la medicin debe ser igual a una o ms divisiones delaescala. Por otra parte, un instrumentocon escalaadecuada cuyas divisiones no estn muy prximas, un objeto con bordes bien definidos se puede identificar un intervalo mucho menor que la divisin ms pequeas de la escala.Enestecaso,laincertidumbrequeseasociaalamedicinpuedeser menor que la mitad de la divisin ms pequea de la escala. Porloanterior,esfundamentallaexperienciadelexperimentadorycarac-tersticasdelinstrumentodemedicinyobjetoamedirenelmomentodeaso-ciar la incertidumbre correspondiente. Ejemplo 4.7 Se muestran dos probetas graduadas en cm3. Si cada una de ellas tiene agua hastaelnivelmarcado,ylaslecturasobtenidasporRalsonlasqueaparecen enmarcadas, cul es la incertidumbre absoluta que debe asociar a cada lectura? SOLUCIN Por las caractersticas de las probetas la incertidumbre que Ral asocia a las lecturas es igual a la mitad de la divisin ms pequea de cada una de las escalas. INCERTIDUMBRE EN MEDICIONES DIRECTAS 45 ERROR EXPERIMENTAL Primeramente se determina el valor de la divisin de cada escala. Para esto, seseleccionan dos trazossucesivos quetengan los valores asignadosyseresta elvalormayordelmenor.Esteresultadoesdivididoentreelnmerodepartes en que se encuentra dividido el espacio entre dichos trazos. El valor obtenido es igual al valor de una divisin de la escala. Para la probeta 1. valor de la divisin39 8 10.110 10cm= = = Para la probeta 2. valor de la divisin345 4015cm= =

Finalmente, la incertidumbre (oV) para cada probeta se obtiene de: incertidumbre absoluta = Para la probeta (1)Para la probeta (2)3 33 31 20.1 10.05 0.52 2cm cmV cm V cm o o = = = = Por lo tanto los resultados se deben reportar por Ral como: Para la probeta (1)Para la probeta (2) V1 = (8.74 0.05) cm3V2 = (44.6 0.5) cm3 Esimportantesealarqueenlaslecturasdelosvolmenesseincluyuna cifra estimada; para el V1 la cifra estimada es la cifra 4 y para el volumen V2, la cifra estimada es el 6. El apreciar una cifra ms en la lectura de un instrumento de medicin tiene el propsito de asegurar que el valor "verdadero" se debe encontrar en el inter-valodeincertidumbrecorrespondiente.ParaV1,seestasegurandoqueel volumen del lquido se encuentra entre 8.69 cm3 y 8.79 cm3. 4.7 INCERTIDUMBRE EN MEDICIONES INDIRECTAS (UNA SOLA VARIABLE) Como se sabe, en una medicin indirecta el resultado se obtiene a partir de una ecuacin o una frmula en la que intervienen una o ms variables. En esta INCERTIDUMBRE EN MEDICIONES INDIRECTAS (UNA SOLA VARIABLE)46 seccinsloseanalizalapropagacindelaincertidumbreenmedicionesindi-rectas que dependan de una sola variable. Consideremos que unamagnitud "y" es funcin de una cantidad medida x0 con una incertidumbre x, que puede expresarse como: y =f ( x )Estafuncinpermitecalcularelvalory0apartirdeunvalormedidox0. Puesto que la variable x (cantidad medida) puede variar de x0 xa x0 + x ,entonceslavariablecalculadapuedetenerunodelosposiblesvaloresquese encuentran en el intervalo y0 y. a y0 + y. Esto se ilustra en la figura 4.1 Figura 4.1Propagacin de la incertidumbre. Antes de considerar algn mtodo general para conocer y, se mostrar de manera sencilla cmo se propaga xen una suma y en una potencia. Suma Si la magnitud "y" se obtiene en funcin de x por: y = 2x o lo que es lo mismo por: y = x + xSi x = x0 + xEntonces: y = (x0 x) + ( x0 x )y = (xo + x0) + ( x x ) 47ERROR EXPERIMENTAL Como y debe ser igual y0 xentonces: y0 y = 2x0 x De esta igualdad se concluye que: y0 = 2x0 y = 2 x Tomando el valor mximo de y se obtiene: y = x + xo lo que es lo mismo: y = 2 y Deacuerdoconesto,laincertidumbreabsolutadelasumadeunamisma magnitud es igual a la incertidumbre absoluta de la magnitud que interviene en la operacin multiplicada por el nmero de veces que se suma. Ejemplo 4.8 Se va a colocar una cinta en la orilla de una mesa cuadrada. Si al medir los lados se encontr que son iguales y con un valor de (74.4 0.5) cm, cul es el valor de su permetro? Expresa el resultado con su incertidumbre. SOLUCIN Como se trata de una mesa cuadrada, su permetro (P) se obtiene de: = 41 O de la siguiente forma: = 1+1+1+1 Como:10 = 1 lP0 = P Entonces: P0 P =(10 l)+(l0 l)+(l0 l)+(l0 l) INCERTIDUMBRE EN MEDICIONES INDIRECTAS (UNA SOLA VARIABLE)2 Simplificando: P0 P = 410 4 l Sustituyendo valores: P0 = 4 (74.4) = 297.6 cm P= 4 (0.5) = 2.0 cm De acuerdo a lo anterior el permetro de la mesa es: = (297.6 2.0) cmPotencia Si una magnitud "y" se obtiene en funcin de x por: y = x2 Si x puede variar entre x0 - x y x0 + x ,entonces "y" puede variar entre y0 yyy0 + y. Por tanto: y0 y = (X0 x)2 y0 y = x02 2x0 x ( x )2 Sixespequeoentonces( x)2sepuedeignorareigualary0=x02,de manera que: y = 2x0 x Si esta ecuacin se divide entre y0: 00 02 y xxy yoo = Como y0 = x02, en el segundo miembro de la igualdad se puede dividir por x02.020 02 y xxy xoo = 2ERROR EXPERIMENTAL Es decir: 0 02 y xy xo o= Deacuerdoconestolaincertidumbrerelativadelvalorcalculadoeslain-certidumbrerelativadelacantidadoriginalmultiplicadaporlapotenciares-pectiva. Ejemplo 4.9 Del ejemplo 4.8 determinar; a) la incertidumbre relativa del rea de la mesa; b) su incertidumbre porcentual; y c) el rea con su incertidumbre respectiva. SOLUCIN Como la mesa es cuadrada, su rea (A) se determina por: A=l2Como:1 = 10 l1 = (74.4 0.5) cm Entonces:A0 A = (10 1)2 Reordenando e igualando: A0 = l02 A0 = (74.4)2 A0 = 5535.36 cm2 Comosetratadeunapotenciaesmsfcilcalcularlaincertidumbre relativa, es decir: 0 02 A lA lo o= Sustituyendo valores:02(0.5)74.4AAo= MTODO GENERAL PARA EL CLCULO DE LA INCERTIDUMBRE 4> 2011.3 1074.4AAo= = La incertidumbre porcentual es igual a: 2 20100% 1.3 10 10 1.3%AAo = = Finalmente, el resultado del rea se puede expresar por:A = 5535.36 cm2 1.3% 4.8 MTODO GENERAL PARA EL CLCULO DE LA INCERTIDUMBRE EN FUNCIONES DE UNA SOLA VARIABLE Ladeterminacindelaincertidumbredeunafuncinquedependedeuna sola variable se puede llevar a cabo empleando el clculo diferencial. Una de las cosasquesepuedenhaceressustituirlasdiferenciasfinitasdyyxporlas derivadas dyy dx.Porlotanto,enestemtodoloprimeroquesehaceesobtenery/ x mediante las tcnicas normales del clculo en la siguiente forma:( ) ( )d f xdydx dx= donde: y=f ( x) Habiendo derivado, se procede a cambiar dy por dy y dx por x,quedando: y= x Estemtodo es confiabley enmuchos casos preferible, sobretodo cuando la expresin algebraica de la funcin de y es compleja. As por ejemplo, si( )1xyx=+ 2ERROR EXPERIMENTAL entonces al derivar:( )( )221111dy x xdxxdydxx+ =+=+ Al hacer el cambio dy por oy y dx = x se obtiene: ( )211y xxo o =+ Al hacer el cambio pertinente:2DA Dto o = Al sustituir valores:( )( )4.60.52Ato = Por lo tanto: A = 3.6 cm2. Entonces,paracalcularlaexpresinquepermitaconoceroA,sederivala frmula del rea con respecto al dimetro. Es decir:24dA DdDt= Ejemplo 4.10 Calcular la incertidumbreabsolutadelrea deun crculo cuyo dimetro es igual a; D = (4.6 0.5) cm. SOLUCIN Puesto que el rea de un crculo en funcin del dimetro se obtiene de:24DAt= 52 ERROR EXPERIMENTAL 4.9 INCERTIDUMBRE EN MEDICIONES INDIRECTAS (DOS O MS VARIABLES) En virtud de que la mayora de las mediciones que se realizan en la ciencia yenlaingenierasonindirectas,esimportantedeterminarcmosepropagala incertidumbreenestetipodemediciones.Primerosedeterminarla incertidumbre asociada en resultados que se obtengan por una suma o una resta, o un producto, o un cociente de dos variables. Suma Si una magnitud se obtiene por la adicin de dos variables, = X+W en donde X=X0oX W=W0 oW por lo tanto, = ( X0 o X) +( W0oW)( 7 )Como a la magnitud "Z" se le debe asociar una incertidumbre absoluta o Z, entonces = Z0 ( 8 )Combinandolasecuaciones7y8ytomandoelvalormximodese obtiene = + o W ( 9)El signo positivo en esta ecuacin se debe a que se ha considerado que los errores pueden actuar en el mismo sentido. INCERTIDUMBRE EN MEDICIONES INDIRECTAS (DOS O MS VARIABLES) 53 Resta Si una magnitud se obtiene por la diferencia de dos variables,=XW donde X=X0 W=W0W por lo tanto, = (X0 ) ( W0 oW)(10) Comoalamagnitudseledebeasociarunaincertidumbreabsoluta, entonces = Z0 (11) Combinando las ecuaciones(10) y (11)y tomando el valor mximo de se obtiene: = +W(12) Deacuerdoconlosresultadosobtenidossepuedeconcluirquetantoenla sumacomoenlarestadedosmagnitudeslaincertidumbreabsolutadel resultadoeslasumadelasincertidumbresabsolutasdelasmagnitudesque intervienenenlaoperacin.Ejemplo:Sialmedirelvolumendeunobjetopor desplazamiento de agua en una probeta se obtienen los siguientes valores: V1 = (340 0.5) ml y V2 = (392 0.5) ml, el volumen del objeto se debe reportar as: V= (52 1) ml ya que la incertidumbre absoluta asociada al volumen del objeto es igual: V = V1 + V2 52 ERROR EXPERIMENTAL Ejemplo 4.11 Almedirlosngulosinterioresdeuntringulorectnguloconun transportadorgraduadoengradossexagesimalesseobtuvieronlossiguientes valores: = 89.4 0.5 = 30.0 0.5 = 61.5 0.5 a)Determinarlaincertidumbreabsolutadelasuma(S)delosngulos internos. b)Dibujarelintervalodeincertidumbreyverificarsidentrodedicho intervalo seencuentralo queestablece lageometraen cuanto alvalor de la suma de los ngulos interiores de un tringulo. SOLUCIN La suma de los ngulos interiores es igual a: S0 = 0 + + en funcin de los valores:So = 89.4+ 30+ 61.5S0= 180.9 54ERROR EXPERIMENTAL La incertidumbre absoluta de la suma de los ngulos interiores (S) es igual a la suma de las incertidumbres absolutas de los ngulos interiores, es decir: o S = + + Sustituyendo valores: o S = 0.5+ 0.5+ 0.5 o S= 1.5 De manera que el resultado de la suma se debe expresar como: S = So o S S =180.9 1.5 Paradibujarel"intervalodeincertidumbre"secalculananteslosvalores mximo y mnimo de la suma de los ngulos anteriores. Es decir: Smx= S0 + o S = 180.9 + 1.5 = 182.4 Smin= S0 - o S = 180.9 - 1.5 = 179.4 Sedibujaunarectahorizontalconunaescalaconvenienteenlaque aparezcan; Smax, Smin y S0. intervalo de incertidumbre Como se observa el valor de 180 predicho por la geometra para la suma de losngulosinterioresdeuntringulo,seencuentradentrodelintervalode incertidumbre. INCERTIDUMBRE EN MEDICIONES INDIRECTAS (DOS O MS VARIABLES)2 Multiplicacin Sea una magnitud que se obtiene del producto de dos variables Z= X W donde X =X0 XW = W0 W Comoalamagnitudseledebeasociarunaincertidumbre,en-tonces = Z0 Z El valor mximo de se calcula deZ0 + = ( X0+ X ) ( W0+ W)Por lo tanto,Z0 = X0W0 Z =X0 W+ W0 + W W Si yWsoncantidadesmuypequeas,suproductosepuede despreciar quedando: = X0 W+ W0 X Al dividir ambos miembros de la ecuacin anterior por Z0 se obtiene la incertidumbre relativa de Z.0 00 0 0Z X W W XZ Z Zo o o= + Finalmente: 0 0 0Z W XZ W Xo o o= + INCERTIDUMBRE EN MEDICIONES INDIRECTAS (DOS O MS VARIABLES)57 56ERROR EXPERIMENTAL Divisin Sea una magnitud que se obtiene del cociente de dos variables:XZW= donde X=X0 X W=W0 W Como a se le asocia una incertidumbre ,Z = Z0 Por lo tanto, 000X XZ ZW Wooo = Se calcula el valor mximo de de la siguiente ecuacin 000X XZ ZW Wooo++ = Despejando y sustituyendo Z0 por X0/ W0se tiene: ( )0 00 00 00 0X X XZW W WW X X WW W Woooo oo+= += ComoWespequeocomparadoconW0, sepuededespreciareste trmino en el denominador, por lo que se obtiene0 020W X X WZWo oo+= DividiendoentreZ0ambosmiembrosdelaigualdadseobtienela incertidumbre relativa de Z (14) Se puede concluir que de acuerdo con los resultados que se obtienen laincertidumbrerelativadeunproductoodeuncocienteesigualala sumadelasincertidumbresrelativasdelasmagnitudesqueintervienen en la operacin. Ejemplo 4.12 Si en la determinacin de la potencia elctrica deuna resistenciase midieron el voltaje y la corriente elctrica y se obtuvieron los siguientes resultados: V = (50 1) v;1 =(4 0.5) A, la incertidumbre relativa asociada a la potencia elctrica es igual a:1 0.550 40.145P V IP V Io o o= += += y la incertidumbre absoluta asociada a es igual a: P = P.(0.145)= 200(0.145)= 29.0 watts Por lo tanto, el resultado se debe expresar as: = (200 29) watts. INCERTIDUMBRE EN MEDICIONES INDIRECTAS (DOS O MS VARIABLES)59 2ERROR EXPERIMENTAL 4.10 MTODO GENERAL PARA CALCULAR LA INCERTIDUMBRE EN FUNCIONES DE DOS O MS VARIABLES Siseadmitequelasincertidumbresabsolutasx, w,z...sonmuype-queascomparadasconx, w, z. . . entoncessepuedenaplicarlasreglasdel clculo diferencial para determinar la incertidumbre al resultado que se obtenga en una medicin indirecta. Sea una magnitud z funcin de las variables x y wz =f ( x , w) (15) dondex y w sonvariablesindependientes;entoncesladiferencialtienepor valor Pero si se trata a las diferenciales como incertidumbres absolutas se obtiene la expresin general mediante la cual se obtiene la incertidumbre asociada a una medicin indirecta:f fz x wx wo o oc c= +c c ( 17)f fdz dx dwx wc c= +c c(16) ( ) ( )x w x wz x wx wz x wo o oo o oc + c += +c c= + La derivada parciales fxcc y fwcc se evalan para los valores x0 y w0. El signo queselesdebeasociaralasincertidumbresabsolutasoxyowdependerdel signo resultantedelas derivadas parciales, debido aqueen elclculo deozse consideran las contribuciones de los errores de todas las variables en elmismo sentido. Ejemplo 4.13 Siseaplicalaecuacin(17)paradeterminarlaincertidumbreabsolutaoz, cuando z la da la ecuacin z = x + w se obtiene MTODO GENERAL PARA CALCULAR LA INCERTIDUMBRE59 Comoseobserva,estaexpresinesigualaladelaecuacin(9)quese obtuvo de modo distinto. Puestoqueenlafsicacomoenlaqumicaesmuyfrecuenteencontrar ecuaciones de la forma: y = x a wb donde: a y b pueden ser positivos o negativos, enteros o fracciones. Seconsideraimportantedeterminarunaexpresingeneralparaconocerla incertidumbre dey. Para conocer dicha expresin se aplicar elmtodo general para calcular la incertidumbre. Puesto que: y =f (x, w) Entonces y se obtendr de:f fy x wx wo o oc c= +c c Que en este caso es igual a:( ) ( )1 1a b a bb a a bx w x wy x wx wx wy aw x x bx w wx wo o oo o o c c= +c cc c| | | |= + ||c c\ . \ . Al dividir entre "y" cada miembro de la igualdad:1 1 b a a ba b a by aw x bx wx wy x w x woo o = + Por lo tanto:y x wa by x wo o o= + 2 ERROR EXPERIMENTAL Expresinquerelacionalaincertidumbrerelativadelasvariablesque intervienen en la ecuacin. Ejemplo 4.14 Determinarlaincertidumbrerelativadelvolumendeuncilindrocuyas dimensionesaparecenenlafigurayexpresarelresultadoenfuncindela incertidumbre porcentual. SOLUCIN D = (2.40.1)cmh = (10.00.5) cm Considerando que el volumen de un cilindro se obtiene por:24DV ht= Aplicando el mtodo general para determinar la incertidumbre relativa: 2 224 42 4D Dh hV D hD hDh DV D ht to o ot to o o| | | | ||\ . \ .= c + cc c| || |= + ||\ .\ . CIFRAS SIGNIFICATIVAS61 Dividiendo entre V se obtiene:2 V D hV D ho o o= + Sustituyendo valores:0.1 0.522.4 100.13VVVVoo| |= + |\ .= La incertidumbre porcentual es igual a: ( )( )100% 0.13 100 13%VVo = = Por lo tanto el volumen se puede expresar por: V = 45cm3 13% 4.11 CIFRAS SIGNIFICATIVAS Elvalornumricoqueseobtieneenlasmedicionesdirectasesledoen muchas ocasiones en un instrumento analgico en elque aparecen una o varias escalas (figura 4.2). Al expresar la lectura slo se deber reportar aquellas cifras que pueden leerse directamente en la escala respectiva del instrumento. Elreportarelresultadodeunamedicinconelnmerocorrectodecifras, indicaimplcitamentelamnimaescaladelinstrumentoempleadoenla medicin y esto a su vez permite identificar la incertidumbre que se debe asociar a la medida. Cadaunadelascifrasodgitosqueseobtienenenunamedicinyqueel operador est razonablemente seguro deobtener en elinstrumento demedicin sedenominancifrassignificativas.Estascifrasestnintegradasporaquellas cifrasdelasqueseestseguroyunacifraestimada,siesqueelndiceo extremo del objeto a medir queda entre dos divisiones y la distancia entre ambas es lo suficientemente amplia para que el operador la pueda apreciar. ERROR EXPERIMENTAL Figura4.2Enlalecturade12.5lasprimerascifras(1y2)sonsegurasyla tercera cifra (el 5) es estimada. Las tres cifras son significativas Enelcasodelasmedicionesindirectas,alhacerlasoperacionesco-rrespondientesparaobtenerelresultado,sedebetenercuidadodecitarel resultadofinalconelnmerodecifrassignificativascorrecto;pues,cuandono setieneexperiencia,esmuyfcilexpresarelresultadodelaoperacinconun mayor nmero de cifras significativas. Por ejemplo, si un auto recorre 17.0 m en 3.0 s su rapidez obtenida en la calculadora reporta un valor de 5.666666667 m/s, pero ste no es el resultado que se debe reportar. Un anlisis de la incertidumbre deladistanciayeltiempodaloselementosparaestablecerquelarapidezdel auto se debe reportar como 5.7 m/s. En la obtencin de este resultado, se tuvieron que eliminar cifras decimales debidoaquenoeransignificativas,esdecir,serecurrialredondeodecifras, procedimientoderivadodeltratamientoestadsticodedatosqueseresumeen unas cuantas reglas que aparecen en el apndice de cifras significativas. Unavezquesehayaobtenidolaincertidumbredelresultadofinalsedebe plantearelproblemadelnmerodecifrassignificativasquedebenconservarse en el resultado. Un criterio quepuedeseguirsees eldeno dejar en elresultado cifrasdespusdelaprimeracifrainciertaestimada.Porejemplo;(16.42751 0.3) cm debe reportarse como (16.4 0.3) cm, porque si 4 es incierto, las cifras 2751 lo son mucho ms. Sin embargo, si se conoce la incertidumbre con mayor precisin,puedeestarjustificadoelreteneruncifrasms.Deestemodo,sila incertidumbreenlugardeser0.3cmes0.35cm,seravlidoreportarel resultado como (16. 42 0.35) cm. Finalmenteesfundamental recordar queelresultadoysu incertidumbrese debenreportardetalmaneraqueseanconsistentesconrespectoalnmerode cifras significativas. MEDIA ARITMTICA Y MEDIDAS DE DISPERSIN Comoseobserva,estaexpresinesigualaladelaecuacin(9)quese obtuvo de modo distinto. 4.12 MEDIA ARITMTICA Y MEDIDAS DE DISPERSIN Comoconsecuenciadeloserroresaleatorios,alhacerrepeticionesdeuna medida stas en general resultan diferentes, y dado que no se conoce lamedida quedelvalorverdadero,surgendospreguntasinteresantes:Culeselvalor que se debe reportar? Qu incertidumbre es la que se debe asociar al resultado? Paracontestarlaprimerahayquetenerpresentequeloserroresaleatorios provocan en primer lugar que lasmedidassedistribuyan alrededor deun valor promedio, y en segundo que la frecuencia relativa de dichas medidas la describa la curva conocida como curva de Gauss (figura 4.3). Figura 4.3 Curva de Gauss Estacurvaindicaqueloserroresaleatoriosocurrenigualmenteenforma positiva o negativa y que la ocurrencia de desviaciones pequeas es mucho ms probable que la de desviaciones grandes. De acuerdo con ello, elvalor alrededor del cual se distribuyen las medidas es el que se acepta como el valor ms probable y como la mejor estimacin del valor verdadero. Este valor es la media aritmtica o promedio cuyo clculo se 65ERROR EXPERIMENTAL efecta por la siguiente expresin matemtica.1 2...nx x xxn+ + += x = Media aritmtica.x1 x2... xn = Valor de cada lectura.n= Nmero de lecturas. Ejemplo 4.15 Si los valores obtenidos en la medicin de unamisma resistencia son:52.7 , 53.1 , 53.0 y 52.8 , el valor ms probable es: R= 52.9 Sivariasmedidasserepiten,esdecirsielvalorx1aparececonuna frecuencia f1, x2 con una frecuencia f2 y el valor xn con una frecuencia fn, entonces lamediaaritmticavienedadaporlasumadecadavalormultiplicadoporsu frecuencia y dividido por el nmero total de datos. Es decir 1 1 2 2...n nx f x f x fxN+ + +=; donde = nmero total de datos El valor verdadero de una cantidad medida es un parmetro estadstico muy til en la teora de las mediciones aunque su determinacin exacta es imposible. El valor verdadero se puede definir como el valor medio de un conjunto infinito demedicionesqueserealizanencondicionesconstantesyrepresentadoporel smbolo . As definido, el valor verdadero no es una variable sino una constante que se trata de estimar por mtodos estadsticos. Puesto que no se puede obtener unconjuntoinfinitodemedicionesparaevaluar,setomaunconjuntofinito. Deacuerdo con elloy con lateoraestadsticadelmuestreo, elvalormedioxdel conjunto muestra de "w" mediciones es la mejor estimacin de . Encuantoalasegundapregunta,larespuestarigurosaperteneceala estadstica; pero en estas notas se emplearn adems criterios sencillos que MEDIA ARITMTICA Y MEDIDAS DE DISPERSIN reflejan la dispersin de los valores obtenidos. En tal situacin, se puede asignar comoincertidumbrealadesviacinabsolutamxima(d.a.m.)quees simplemente la mayor de las diferencias absolutas entre el valor promedio y las lecturasobtenidas.Porejemplo,laincertidumbrequeselepuedeasociaral valor52.9delejemploanteriores0.2,elcualseobtuvoalhacerla diferencia entre el valor promedio y la lectura ms alejada de dicho valor. Por lo tanto, el resultado se puede reportar as: R = ( 52. 9 0. 2) En la asignacin de la incertidumbre se utilizan ndices de precisin como: rango, desviacinmedia, desviacin estndar, desviacin estndar delamedia, etc. Dichos ndices son medidas de la dispersin de las lecturas obtenidas, y en vista de su importancia en las mediciones se definen a continuacin. Rango Este ndice de precisin no se evala en trminos de un valor central, sino entrminosdeladispersin.Sedefinecomoladiferenciaentrelamayoryla menordelaslecturasqueseobtienenalmedirunamagnitud.Seutilizapara tener una idea de la dispersin de los datos de una muestra pequea. Desviacin media La desviacin media de un conjunto de lecturas de determinada magnitud x se define as: 1 1n nii ix x xxn n= = AA = = ( 19)donde x A= desviacin media xi = desviacin del valor x, con respecto al valor x n = nmero de lecturas 2KRROR EXPERIMENTAL ylaincertidumbreasociadacorrespondealadesviacinmedia,lacual se obtuvo de 5154.2 4.1 4.0 4.1 4.1 4.1 4.2 4.1 4.0 4.150.450.08 0.1 (redondeado)iimmmmm g g=AA = + + + + A =A =A = = Ejemplo 4.16 En la medicin de la masa de un cuerpo se obtuvieron los siguientes valores: 4.2 g, 4.0 g, 4.1 g , 4 . 2 g y 4 . 0 g Porlotanto,elvalormsprobabledelamasaylaincertidumbre asociada a dicho valor es igual m = (4.1 0 . 1 )g ya que el valor ms probable de m se obtuvo de5154.2 4.0 4.1 4.2 4.054.1iimmm g==+ + + +== MEDIA ARITMTICA Y MEDIDAS DE DISPERSIN67 Desviacin estndar Esunodelosndicesdeprecisindemsutilidad.Porlogeneralse representaconelsmbolo.Sedefineparaunconjuntoinfinitodelecturas como( )21niix xno== ( 20)donde o= Desviacin tpica o estndar de un conjunto infinito de lecturas.xi = Una de las lecturas.n= Nmero de lecturas. Ladesviacinestndaraligualqueelvalorsonparmetroscuya determinacinexactaesimposible.Lomejorquesepuedehacerconun conjuntofinitodemedicionesesconsiderarlocomounamuestradelconjunto infinito y calcular la mejor estimacin de o, la cual se representa con el smbolo "s" y cuyo valor se obtiene de la siguiente expresin matemtica: ( )211niix xsn==

( 21)donde s = Desviacin de un conjunto finito de lecturas. Cuando elnmero demediciones esmuygrande, losvalores desyoson prcticamente iguales, no as cuando la muestra es pequea. Alreportarelresultadodeunamedicincomoxsxseestablecequeel 68%delaslecturasseencuentraendichosintervalo;perosielresultadose reporta como x 2sxocomo x 3sx, entonces el 95% y 99% de las medidas se encuentran respectivamente en dichos intervalos. ERROR EXPERIMENTAL (24) Larelacinentreladesviacinmediaxyladesviacinestndars,est dada por la siguiente ecuacin:0.8xx s A =Desviacin estndar del promedio Sixeselpromediodeunaseriedemedidasx1X2. . . Xnyalhacerotra serie de n medidas en las mismas condiciones que la anterior se obtienen valores x'1, x'2. . . x'ncuyopromedio' x nonecesariamentetienequeserigualax.Deigualmodo,,lasdesviacionessys' nosonidnticas,aunquesdelmismo orden demagnitud. Por lo tanto, los promedios' x , x , . . .nx que se obtienen pormediodeseriesdemedicionesconnvalorescadaunofluctuarn alrededor de un promedio general ( )xde valor1MiixxM== (22) ylamedidadeladispersindeesospromediosconsideradoscomolecturas individuales de una serie de mediciones ser:( )21Miimx xMo== (23) donde om = Desviacin estndar del promedio.x= Valor promedio de los promedios. = Nmero de serie de mediciones. Estadesviacinestndardelpromediotambinsepuedecalcularporla siguiente expresin matemtica:msno = MEDIA ARITMTICA Y MEDIDAS DE DISPERSIN Estaltimaecuacinpermitepredecirlafluctuacindelpromediodeuna serie de n mediciones sin necesidad de realizar ms series de mediciones. Segn laecuacin(24),cuantomsmedicionessehagan,tantomsseacercarel promedio al valor verdadero, pues el rango de fluctuacin que se espera para el promediodadoporomestarcadavezmsrestringido.Estaeslaraznporla cual el valor de unamagnitud se conoce tanto mejor cuanto ms mediciones se realizan. Ejemplo 4.17 Dado el siguiente conjunto de mediciones de corriente elctrica tomadas de un ampermetro, encontrar: a ) Su valor promedio. b ) Desviacin media. c ) Desviacin estndar. d )Desviacin estndar del promedio. Datos: No. de lectura12345678910 ( )4767476247634765476147584762476347624769 Solucin: a)El valor promedio o media aritmtica1011 2 3 4 1010...104 763iiIII I I I IA ==+ + + + +== 2ERROREXPERIENTAL Como ya se dijo, la determinacin experimental del valor de ciertas magnitudes fsicas, como la velocidad o la densidad, rara vez se b ) La desviacin media = 2.2 c ) La desviacin estndar = 3.1 d)La desviacin estndar del promedio = 1 Por lo tanto, el resultado se puede expresar como I = (4 763 1) Tambin se puede expresar como I 3 om, es decir: I = (4 763 + 3) . 4.13CLCULODELADESVIACINESTNDAREN MEDICIONES INDIRECTAS CLCULO DE DESVIACIiN ESTNDAR EN MEDICIONES INDIRECTAS71 obtieneconmtodosdemedicindirecta.Porlogenerallamagnitudpor determinar es una funcin de una o ms variables, como longitud, masa, tiempo, etc. El propsito de esta seccin es determinar la desviacin estndar asociada a una magnitud, la que es funcin de una o ms variables. Sea una magnitud z, funcin de las variables x y w: z = f ( x,w) Si los valores de las variables x y w se distribuyen de acuerdo con la curva deGaussysusdesviacionesestndarsonsxyswrespectivamente,para determinar la desviacin estndar sz asociada a z = f ( x,w )se debe emplear la siguiente expresin matemtica: 2 22 2Z x wf fs S Sx w| | | | c c= + ||c c\ . \ . (25) Sizesunafuncindemsdedosvariablesesconvenienteagregar trminos similares a la ecuacin anteriorsz. Por lo general se est interesado en ladesviacinestndardelpromedio,porloq