Interferenza
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InterferenzaInterferenza
1. L’interferenza
2. Il principio di Huygens
3. L’esperienza di Young
4. L’interferometro di Michelson
5. Interferenza su lamine sottili
6. Schiera di fenditure
OTTICA
Natura della luce: Corpuscolare e ondulatoria
• Ottica geometrica
Si ignora il carattere ondulatorio della luce e si parla di raggi luminosi che si propagano in linea retta.
Fenomeni della RIFLESSIONE e RIFRAZIONE: studio dei sistemi ottici centrati.
• Ottica fisica
Si occupa della natura ondulatoria della luce.
Fenomeni quali INTERFERENZA, DIFFRAZIONE e POLARIZZAZIONE.
Questi fenomeni non si possono spiegare adeguatamente con l’ottica geometrica, ma considerando la natura ondulatoria della luce si raggiunge una descrizione soddisfacente.
1. L’interferenza1. L’interferenza
ovvero: il trionfo dell’ottica ondulatoria (Young, 1801-1803)
il trionfo dell’ottica ondulatoria (Young, 1801-1803)
Tomas Young dimostrò sperimentalmente per primo la validità della teoria ondulatoria della luce e ne misurò la lunghezza d'onda.
In generale si ha interferenza quando due o più onde dello stesso tipo e stessa frequenza, con una differenza di fase costante tra di loro, attraversano la stessa regione dello spazio nello stesso istante.
1. L’interferenza1. L’interferenza
Considerazioni introduttive.Consideriamo due onde piane monocromatiche:
) cos( ) (z, 111011 tzkEtE
) cos( ) (z, 222022 tzkEtE
per il principio di sovrapposizione:
) (z, ) (z, ) (z, ) (z, 21ris tttt EEEE
) cos() cos( ) (z, 2220211101 tzkEtzkEtE
ovvero:
si noti,riguardo al periodo temporale:
)cos( )( 11011 tEtE
)cos( )( 22022 tEtE
T1
T2
)( )( )( 21 ttt EEE
T = m.c.m.(T1, T2)
l’interferenzal’interferenza
quindi l’intensità luminosa associata a E è:
tt dZ
E
TdtS
TSI
TT
T
1 )(
1
0
2
0 T = m.c.m.(T1, T2)
ovvero:
2
1
11
)(
1
0
21
0
22
0
21
0
221 tttt dEE
TdE
TdE
TZd
Z
EE
TI
TTTT
tdtzktzkT
EE
ZII
T
) cos( ) cos( 2
0
2221110201
21
se 1 2 l'integrale si annulla:
21 III 1 2
l’interferenzal’interferenza materiale del ticacaratteris impedenza
Z
l’interferenzal’interferenza
nmdxnxsmx
nm
nmdxnxsmx
nm
nmdxnxmx
, 0 in cos 1
per 1
per 0 in sin
1
per 1
per 0 cos cos
1
2
0
2
0
2
0
prendiamo invece 1 = 2 = (segue: k1= k2 = k)
l’interferenzal’interferenza
) cos( ) cos( 2
0
2221110201
21 tdtzktzkT
EE
ZIII
Tsi ha:
dEE
ZII )cos( cos
2
2
2
0
020121
ponendo: fasetkz 1 2 tkze
ivafase relat 12 ovvero: Tdtdtd 2
ponendo:
l’interferenzal’interferenza
dEE
ZIII )cos( cos
2
2
2
0
020121
sviluppando cos(+) = coscos- sin sin , e considerando che:
21 αcos , 0 sinα cosα 2
TT
si ha:
cos cos 020121
020121
Z
E
Z
EII
Z
EEIII
ovvero:
cos 2 2121 IIIII
12 con
interferenza didue onde
monocromatiche
interferenza didue onde
monocromatiche
l’interferenzal’interferenza
si noti: cos 2 2121 IIIII 21 II
in particolare, se I1 = I2 = I0 si ha:
)cos 1(2 cos 2 2 000 IIIIinterferenza didue onde con
uguale ampiezza
interferenza didue onde con
uguale ampiezza
I
-5 -3 - 53
4I0
2I0
I = Imax = 4I0 se = ±2m
I = Imin = 0 se = ±(2m+1)
onde in fase
onde in opposizione di fase
I = 2Io se = ±(2m+1/2)onde in quadratura
l’interferenzal’interferenza )cos 1(2 cos 2 2 000 IIII
importante!
1 - 2 = cost. in t
onde incoerenti onde incoerenti 1 - 2 = variabile
altrimenti, se:
no interferenzano interferenza 21 III
onde mutualmente coerenti (coerenza temporale)
onde mutualmente coerenti (coerenza temporale)
si ha interferenzasi ha interferenza l’energia si ridistribuiscel’energia si ridistribuisce
2. Il principio di Huygens2. Il principio di Huygens
“Ogni punto del fronte d’onda diviene sorgente di un’onda sferica”
Introduciamo ora:
2. Il principio di Huygens2. Il principio di Huygens
“Ogni punto del fronte d’onda diviene sorgente di un’onda sferica”
onda piana
fronte d’ondadiaframma
onda sferica
Introduciamo ora:
frange scure
l’interferenzal’interferenza
3. L’esperimento di Young3. L’esperimento di Young
schermo
fenditure
D
S
sorgentepuntiforme
luce + luce = buio!luce + luce = buio!
3. L’esperimento di Young: descrizione qualitativa3. L’esperimento di Young: descrizione qualitativa
3. L’esperimento di Young: descrizione qualitativa3. L’esperimento di Young: descrizione qualitativa
L’esperimento di YoungL’esperimento di Young
Scoerenti
diaframma
S1
S2
s
s
s’
D
l’interpretazione ondulatorial’interpretazione ondulatoria
onde sferiche
s = s’ - s = Dsins = s’ - s = Dsin
le due onde arrivano in P con una differenza di percorso (cammino) s:
schermo
P
l’esperimento di Youngl’esperimento di Young
diaframma
S1
S2
s
s
s’
D
s = s’ - s = Dsin
E1
E2
) 'cos( ) cos( )( )( '00
21 tksE
tksE
ttss
EEE
) 'cos( ) cos( 0 tkstksL
EE l = k(s - s’)
ovvero: sinθ 2
Dl
Eluce
luce
luce
luce
luce
luce
buio
buio
buio
buio
buio
buio
I
)cos 1(2 cos2 2 000 lIlIII
onde sferiche
“cammino ottico”“cammino ottico”
l’esperimento di Youngl’esperimento di Young
sinθ cos4 sinθ 2
cos 12 )cos 1(2 2000 DIDIlII
y
S1
S2
s
s
s’D
luce
luce
luce
luce
luce
luce
buio
buio
buio
buio
buio
buio
I
L sin Ly
s = Dsin
2D
D
2
3
D
2
D
2
5
D
0
04I
I
sin
I = 4I0 se 2
2 ms
I = 0 se 2
2( )1 ms
. . . . 3, 2, 1, 0, m
sinθD
m
2
)12(sinθ
D
m
l’esperimento di Youngl’esperimento di Youngluce
luce
luce
luce
luce
luce
buio
buio
buio
buio
buio
buio
DLy λ
2D
L
D
L
2
3
D
L
2
D
L
2
5
D
L0
04I
I
D
L
si noti la distanza fra i massimi sullo schermo:
λ
)(sinD
sin Ly
y
S1
S2
D
y
s
s’
L
D
sI
l’esperimento di Youngl’esperimento di Young
diaframma
S1
S2
s
s’
luce
luce
luce
luce
luce
luce
buio
buio
buio
buio
buio
buio
I
effetto di uno spostamento della sorgente puntiforme
effetto di uno spostamento della sorgente puntiforme
S
S’
luce
luce
luce
luce
luce
luce
buio
buio
buio
buio
buio
buiosorgenti estese non danno interferenza alla Young
sorgenti estese non danno interferenza alla Young
S’’
S’’’
S’’’’
la radiazione da sorgenti estese non ha coerenza spaziale
la radiazione da sorgenti estese non ha coerenza spaziale
struttura compattatramite l’uso di una lente
l’esperimento di Youngl’esperimento di Youngeffetto di una sorgente puntiforme
non monocromatica
effetto di una sorgente puntiforme non monocromatica
S1
S2
s
D
sinθ cos4 )cos 1(2 2
00 DIlII
sorgentebianca
S
frangiabianca
4I0
2I0
1
D
2 1
D
0
I
sin 2
D
2 2
D
se /D 1 non c’è interferenza alla Young
se /D 1 non c’è interferenza alla Young
la radiazione non ha sufficiente coerenza temporale
la radiazione non ha sufficiente coerenza temporale
EsercizioEsercizio
Si immagini di voler realizzare un esperimento di Young con due fenditure separate di 0,1 mm ed una distanza diaframma-schermo di 50 cm. Se si osserva una separazione tra due massimi (o minimi) consecutivi di 2,5 mm, qual è la lunghezza d’onda della luce che illumina le fenditure?
Si immagini di voler realizzare un esperimento di Young con due fenditure separate di 0,1 mm ed una distanza diaframma-schermo di 50 cm. Se si osserva una separazione tra due massimi (o minimi) consecutivi di 2,5 mm, qual è la lunghezza d’onda della luce che illumina le fenditure?
A5000100,550
01,025,0
λ
5
cmcm
cmcm
L
yD
DLy
S1
S2
D
y
s
s’
L
sI
y
EsercizioEsercizio
Due altoparlanti collegati ad un unico audio amplificatore sono separati di 5 m. Camminando lungo una linea retta parallela alla congiungente gli altoparlanti e distante da essa 100 m, a quale distanza si percepiscono due massimi (o minimi) consecutivi? Si supponga= 30 cm.
Due altoparlanti collegati ad un unico audio amplificatore sono separati di 5 m. Camminando lungo una linea retta parallela alla congiungente gli altoparlanti e distante da essa 100 m, a quale distanza si percepiscono due massimi (o minimi) consecutivi? Si supponga= 30 cm.
mm
mm
DLy 0,6
0,5
3,0100λ
D L=100 m
I intensità suono
yD=5m
4. L’interferometro di Michelson4. L’interferometro di Michelson
S
specchiosemiriflettente
s
s’
)'(2 sss
)cos 1(2 0 lII
sl
2
specchiofisso
specchiomobile
I = I0
2
2 ms
I = 0
2
2( )1 ms
2
λ
2
λ3 2λ
2
λ50
0I
I
s
quello che conta è il cammino ottico
quello che conta è il cammino ottico
S
specchiosemiriflettente
s
s’
specchiofisso
0)'(2 sss
linterferometro di Michelsonlinterferometro di Michelson
n
linterferometro di Michelsonlinterferometro di Michelson
S
specchio(mobile)
diga
interferometro
applicazioni all’ingegneria ambientale e civileapplicazioni all’ingegneria ambientale e civile
controllo di posizione con risoluzione < 4
z
) 'cos( ) (z, 101 tzkEtE
n
considerazioni sul cammino ottico
per un’onda monocromatica la fase dipende dal cammino ottico:
z
) cos( ) (z, 101 tkzEtE ] ) (cos[ ) (z, 202 t szkEtE
ssks l
0λ
2
nel vuoto:
in un mezzo con indice di rifrazione n si ha:
] ) ('cos[ ) (z, 202 t szkEtE
ssss kl n
0λ
2
λ
2 ' '
nel mezzo:
considerazioni sul cammino ottico
ciò vale ovviamente anche allo stesso istante t
z
) cos( ) (z, 0 tkzEtE ] ) (cos[ ) (z, 0 t szkEtE
ssks l
0λ
2
nel vuoto:
sss kl n0λ
2
λ
2 ' '
nel mezzo:
z
) 'cos( ) (z, 0 tzkEtE
n
] ) ('cos[ ) (z, 0 t szkEtE
s
5. Interferenza su lamina sottile5. Interferenza su lamina sottile
’
A
B
C
D
dn
n1 = 1
luce monocromatica
sin'sin 2 2 sin 2 ABnABACnABADABCs n
'cos d2 'cos 2 )'sin1( 2 'sin 'sin 2 2 22 nnABnABnABnAB
quindi: )'cos d2(λ
2
λ
2
00
ns
n1 = 1
n1<n2: + n1<n2: +
ma:
’
A
B
C
D
dn
a d fissato non dipendono dalla posizione sulla lamina
a d fissato non dipendono dalla posizione sulla lamina
luce monocromatica
linterferenza su lamina sottilelinterferenza su lamina sottile
interferenzacostruttiva
frangiachiara2
)1(2 'cos2 d mn
frange di uguale inclinazionefrange di uguale inclinazione
interferenzadistruttiva
frangiascura2
2 'cos2 d mn
quindi:
dn2
non dipende dalla posizione ma da :funziona anche con sorgenti estese
non dipende dalla posizione ma da :funziona anche con sorgenti estese
n1
n1
interferenza su lamine sottiliinterferenza su lamine sottili
frangia
scura
frangia
chiara2
)1(2 'cos2 d mn
2 2 'cos2 d mn
chia
ra
chia
ra
scur
a
dd 2 'cos2 nns
interferenza su lamine sottiliinterferenza su lamine sottiliincidenza quasi-normaleincidenza quasi-normale
nm
2 0d
frangiascura
nm
4)1(2 0d
frangiachiara
lamine a spessore variabile: frange di ugual spessorelamine a spessore variabile: frange di ugual spessore
n0
4
5
n0
4
3
n0
4
1 0
n2
n1
n1
una frangia ogni /2 una frangia ogni /2
misure di spessore in pellicole trasparentimisure di riscontro superfici piane
misure di spessore in pellicole trasparentimisure di riscontro superfici piane
interferenza su lamine sottiliinterferenza su lamine sottili
misure di riscontro superfici pianemisure di riscontro superfici piane
interferenza su lamine sottiliinterferenza su lamine sottiliincidenza quasi-normaleincidenza quasi-normale
nm
2 0d frangia
scura
nm
4)1(2 0d
frangiachiara
R < 0.1%R < 0.1%
rivestimenti anti-riflessorivestimenti anti-riflesso
n0
4
1
n1 = 1
n2 < n < n1
n2 > n
condizione di frangia scura
per n < n2
condizione di frangia scura
per n < n2
interferenza su lamine sottiliinterferenza su lamine sottiliincidenza quasi-normaleincidenza quasi-normale
0
n1
n1
n2
pellicole a spessore variabilepellicole a spessore variabile
sorgenti non monocromatiche (luce bianca)sorgenti non monocromatiche (luce bianca)
nm
4)1(2 0d
frangiachiara
aria
acqua
olio, benzina
aria
acqua saponata
interferenza su lamine sottiliinterferenza su lamine sottili
aria
acqua
olio, benzina
aria
Riepilogo: l’interferenza Riepilogo: l’interferenza
esperimento di Youngdue sorgenti puntiformidue onde pianeinterferometro di Michelson
riflessione su lamine sottili
I = 0 se
2
λ2(2 0)1'cos
2 mdnsIMAX se
2
λ22 0'cos
2mdns
21, nnI = 0 se
4
λ12( 0
2
)1n
md IMAX se
2
λ1 0
2
n
md incidenza normale
cos 2 2121 IIIII 120
λ
2
scon
I = 0 se 2
λ2( sin 0)1 mDs
IMAX se 2
λ2 sin 0mDs
Esercizio numericoEsercizio numerico
4.1 Si immagini di voler realizzare un esperimento di Young con luce di lunghezza d’onda 0 = 0.632 m e lo schermo a L = 2 m dalle fenditure. Calcolare quanto devono essere distanti le fenditure perché due massimi successivi sullo schermo distino 1 mm.
4.1 Si immagini di voler realizzare un esperimento di Young con luce di lunghezza d’onda 0 = 0.632 m e lo schermo a L = 2 m dalle fenditure. Calcolare quanto devono essere distanti le fenditure perché due massimi successivi sullo schermo distino 1 mm.
Esercizio numericoEsercizio numerico
4.2 Un interferometro di Young a due fenditure distanti D = 1 mm è illuminato da un’onda piana monocromatica con 0 = 0.6 m che si propaga nella direzione x normale allo schermo. In tali condizioni si ha in O un massimo di intensità. Calcolare il valore minimo di cui si deve inclinare il fronte d’onda rispetto a x perché in O si abbia un minimo di intensità.
4.2 Un interferometro di Young a due fenditure distanti D = 1 mm è illuminato da un’onda piana monocromatica con 0 = 0.6 m che si propaga nella direzione x normale allo schermo. In tali condizioni si ha in O un massimo di intensità. Calcolare il valore minimo di cui si deve inclinare il fronte d’onda rispetto a x perché in O si abbia un minimo di intensità.
Esercizio numericoEsercizio numerico
4.4 Due fasci paralleli, provenienti dalla stessa sorgente monocromatica S (0 = 5890 Å) vengono fatti passare attraverso due tubi vuoti di uguale lunghezza l = 20 cm e quindi interferiscono producendo sullo schermo un sistema di frange di interferenza. Se uno dei due tubi viene riempito d’aria la frangia centrale si sposta nella posizione che prima occupava la 98 -esima frangia. Determinare l’indice di rifrazione dell’aria.
4.4 Due fasci paralleli, provenienti dalla stessa sorgente monocromatica S (0 = 5890 Å) vengono fatti passare attraverso due tubi vuoti di uguale lunghezza l = 20 cm e quindi interferiscono producendo sullo schermo un sistema di frange di interferenza. Se uno dei due tubi viene riempito d’aria la frangia centrale si sposta nella posizione che prima occupava la 98 -esima frangia. Determinare l’indice di rifrazione dell’aria.
Esercizio numericoEsercizio numerico
4.5 Due lastrine di vetro rettangolari con facce piane e parallele, poste una sull’altra, formano un piccolo angolo fra di loro. Illuminate con luce monocromatica di lunghezza d’onda 0 = 6328 Å ad incidenza normale mostrano in riflessione N = 10 frange di interferenza per centimetro di lunghezza. Determinare l’angolo .
4.5 Due lastrine di vetro rettangolari con facce piane e parallele, poste una sull’altra, formano un piccolo angolo fra di loro. Illuminate con luce monocromatica di lunghezza d’onda 0 = 6328 Å ad incidenza normale mostrano in riflessione N = 10 frange di interferenza per centimetro di lunghezza. Determinare l’angolo .
Esercizio numericoEsercizio numerico
4.6 Una pellicola di acqua saponata in aria dello spessore d = 2900 Å viene illuminata con luce bianca incidente normalmente. Assumendo per l’indice di rifrazione della pellicola n = 1.33, determinare il colore che predominerà nella luce riflessa.
4.6 Una pellicola di acqua saponata in aria dello spessore d = 2900 Å viene illuminata con luce bianca incidente normalmente. Assumendo per l’indice di rifrazione della pellicola n = 1.33, determinare il colore che predominerà nella luce riflessa.
6. Schiera di fenditure (di sorgenti)6. Schiera di fenditure (di sorgenti)
d
d
d
d
d
d sin
S1
S2
S3
S4
S5
S6 D
P
Differenza di fase tra le onde provenienti da due fenditure consecutive:
sin
2sin
dkdl
Campo elettrico totale in P
)5sin()4sin()3sin(
)2sin()sin()sin( 0
ltkxltkxltkx
ltkxltkxtkxEE
{
}
Utilizziamo il metodo dei fasori
2sin2
62
sin2
0
RE
l
lR
El
l
l
l
l
R
R
l
l/2
/2
E0
2/sin
2/6sin0 l
lEE
Dalle relazioni precedenti, eliminando R, si ottiene:
2/sin
2/sin0 l
lNEE
e quindi l’intensità è
2/sin
2/sin2
2
0 l
lNII
Poniamo
sin
sin
2 0
NII
l
Massimi principali:
02
0
cos
cos
sin
sinlim ma
re,denominato il che numeratore il sia annullano si
... ,2 ,1 ,0con per
ININNNN
mm
Posizione dei massimi principali:
... ,2,1,0con sin
2 mm
dl
... ,3,2,1con sin md
m
Minimi : al di fuori dei valori precedenti, il denominatore non si annulla mai, invece il numeratore si annulla anche per
0 punti questiin
... ,2 ,1 ,0'con 'per 0sen
I
mmNNα
Tra due massimi principali ci sono N – 1 minimi
Esempio.
Per N = 4
eaccettabilnon
2 2
3
4
3
2
2
4
4
3
2
1
l
l
l
l 2
l
l
2
3 l
Massimi secondari: Poiché l’intensità è una funzione di sempre positiva, tra due minimi deve esistere un massimo (secondario), quindi tra due massimi principali ci sono N-2 massimi secondari.Le posizioni dei massimi secondari si ottengono ponendo
... 1,2,3,con 2
12 cui da
1sin
''''
mmN
N
In questi punti 2''
2
max2''
0
212
sin2
12sin
1
Nm
N
I
Nm
II
Esempio.
Per N = 4
eaccettabilnon
4
5
8
5
4
3
8
3
2
1
l
l
Grafico dell’intensità nell’interferenza di 8 fenditure equispaziate
Massimi principali
02
.... ,4 ,2 ,0
INI
l
180l
902
l
454
l
MinimiTra 2 massimi principali ci sono N-1 minimi in cui
0I
Poiché l’intensità è una funzione di sempre positiva, tra due minimi deve esistere un massimo (secondario), quindi tra due massimi principali ci sono N-2 massimi secondari.
Grafico dell’intensità nell’interferenza di 2, 8, 16 fenditure equispaziate
N = 2 N = 8 N = 16
Per N → ∞
d
Nd
Nd
Nd
Nd
Nd
MAX PRINCMAX PRINC
minminminmin
MAXSEC
MAXSEC
MAXSEC
N = 5
Imax ∝ N2
I ∝ 1/N2