Integratis CBTis 165.ppt

19 de abr de 2023 wenceslao.com.mx/matematicas 1

SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA

SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN E INVESTIGACIÓN TECNOLÓGICAS

DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN TECNOLÓGICA INDUSTRIAL

CBTis 165 DE COATEPEC, VER.

Software educativo elaborado por:

Wenceslao Vargas Márquez

Junio de 2013.

MATEMÁTICAS V

CÁLCULO INTEGRAL


1.1.- LA INTEGRACIÓN COMO OPERACIÓN INVERSA A LA DERIVACION

El material contenido en este disco tiene el objetivo de complementar las clases que recibes en tu salón y ayudarte a comprender mejor el proceso algebraico de la operación

matemática conocida como integración.

Por el lado izquierdo y de manera automática aparecen la integral, su número consecutivo y la página donde la puedes hallar en el libro oficial (Cálculo Integral, Fausto Morales Lizama, SEP-FCE-

DGETI,2002). Enseguida aparece paso a paso el proceso de integrar usando imágenes en movimiento. Lee detenidamente cada paso y avanza hasta que lo hayas comprendido fijando cuidadosamente tu atención en toda expresión remarcada con rojo. Mientras aparezca en cada paso el signo de igual (=), la computadora espera a que des click en el botón izquierdo del ratón o enter en el teclado. También

puedes avanzar oprimiendo la tecla S y retroceder los pasos que quieras con la tecla A. Puedes abandonar en cualquier momento oprimiendo ESC.

Si oyes el sonido de una máquina registradora significa que el proceso concluyó y un nuevo click hará aparecer un nuevo ejercicio.

Ojalá el material te sea de utilidad.


54x dx Pág. 34 Ejercicio 4.-

4

(4)4

xC

4

1c

x

Se cancelan los 4 y x-4 pasa al denominador. La

fracción es negativa:

Al –5 se le suma 1:Se excluye el 4: 54 x dx

Página 34. Ejercicio 5.- 2

dx

x Excluimos el denominador 2 y colocamos la raíz en el numerador:

12

1

2x dx

a (–1/2) le sumamos 1:

1

21.

122

xc

Se cancelan los (1/2) y el exponente fraccionario se convierte en raíz: x c

3

3

xcAl 2 se le suma 1 y resulta 3:2x dx Pág. 34. Ejercicio 3.-

( 1)K x c ( 1)K dx Excluimos la constante (K+1): 1K dx Pág.34. Ejercicio 2.-

5x c5 dx Separamos el 5:5dx Pág.34. Ejercicio 1.-

1.2 FORMAS ORDINARIAS DE INTEGRACIÓN.


Pág.34 ejercicio 6.- axdx Tomemos u = ax y n = ½. La diferencial debe ser du=adx y sólo tenemos dx. Falta a y su compensación 1/a.

12

1( )( )a ax dx

a

321 ( )

32

axc

a A ½ le sumamos 1:

32

2( )

3ax c

a

Otra forma: Separamos en dos raíces el integrando para que quede así:

a xdx 1

2a x dx 31 2

2

32

xa c Separamos la

raíz de a:

A (1/2) le sumamos 1

1 1

2 22

3

a x xc

1 1

2 22

3

xa xc

2

3x ax c

2

3x ax c

Aplicamos exponentes fraccionarios:

Pág. 35. Ejercicio 7.- 2( 3 1)x x dx Separamos los tres términos del integrando y excluimos las constantes:

2 3 1x dx xdx dx 3 2

33 2

x xx c Se suma 1 a cada exponente:


Pág. 35. Ejercicio 8.- 3( )x b dx Fórmula 3. Tomamos u = x+b, n = 3, du = dx

4( ).

4

x bc

Pág. 35. Ejercicio 9:3( 3)

dx

x

Fórmula 3. Colocamos el integrando en el numerador. El exponente cambia de signo y se le sumará 1:

3( 3)x dx 3 1( 3)

3 1

xc

2( 3)

2

xc

El exponente –2 pasa positivo al denominador 2

1.

2( 3)c

x

Pág. 35. Ejercicio 10: 3 3x dx Para usar la fórmula 3, convertimos la raíz cuadrada a exponente fraccionario (1/2) :

1

23 3x dx

Tomamos u = 3x + 3. De esta forma du debe ser du=3dx. Sólo tenemos dx. Falta la constante 3 que añadimos y compensamos con (1/3):

1

21

(3)(3 3)3

x dx

11

21 (3 3)13 12

xc

321 (3 3)

332

xc

Se multiplica los extremos 2 por 1 y los medios 3 por 3, resultando (2/9):3

22(3 3).

9

xc


Ejercicio 11. Pág. 35: 1x x dx Usaremos las fórmulas 2 y 3. Multipliquemos la raíz de x por x y por 1:

1 112 2x x dx x dx

3 12 2x dx x dx

5 32 2

5 32 2

x xc

5 32 22 2

.5 3

x xc

Ejercicio 12. Pág. 35 2

dx

x

Fórmula 4. Usamos u = x –2; y du = dx. ln( 2) .x c

Ejercicio 13. Pág. 353 1

dx

x

Fórmula 4. Si usamos u=3x+1, entonces du=3dx. Falta 3 que añadimos y compensamos con 1/3:

1 3

3 3 1

dx

x

1ln 3 1

3x c

Por propiedades de logaritmos el coeficiente fraccionario (1/3) se convierte en exponente y luego en raíz cúbica:

1

3ln 3 1x c 3ln 3 1x c

Ejercicio 14. Pág. 35. 2( 1)

xdx

x

2

1 2

2 ( 1)

xdx

x

21ln( 1)

2x c 2ln 1x c


Ejercicio 15. Pág. 35.-2

(2 1)

xdx

x

Si tomamos u=2x o si tomamos u=2x+1 no obtenemos la diferencial. Por tanto procedamos a hacer la división de 2x entre 2x+1 para que resulte:

2 1 2x x

1(1 )

2 1dx

x

Hemos usado la fórmula 2. La primera integral se resuelve con la fórmula 1. La segunda con la 4 donde u=2x-1 y du=2dx. Falta 2 y su compensación (1/2).

2 1

dxdx

x

1 2

2 2 1

dxdx

x

1ln(2 1)

2x x c 1

2ln ln(2 1)xe x c Usando propiedades de logaritmos: ln2 1

xec

x

Ejercicio 16. Pág. 35.- 2

( 1)

2 1

x dx

x x

Ninguna de las dos funciones tomada como u nos proporciona una du útil para usar la fórmula 3. Debemos factorizar del denominador y cancelar (x+1):

( 1)

( 1)( 1)

x dx

x x

1

dx

x

Con la fórmula 4 la respuesta es: ln( 1)x c

Ejercicio 17. Pág. 35.- 1 1

x a x b

Separemos usando la fórmula 2 y luego aplicaremos la 4 en dos ocasiones:

dx dx

x a x b

ln( ) ln( )x a x b c Usando la propiedad de logaritmos que se suman: ln( )( )x a x b c


Ejercicio 18. Pág. 35. 2 1 2 1

dx dx

x x

Integraremos término a término con la fórmula 2. Cada integral será del modelo de la fórmula 4. En ambos casos du=2dx. Añadimos 2 y compensamos con ½.

1 (2) 1 (2)

2 2 1 2 2 1

dx dx

x x

1 1ln(2 1) ln(2 1)

2 2x x c Con propiedades de logaritmos

que se restan:

12

12

(2 1)ln

(2 1)

xc

x

122 1

ln2 1

xc

x

2 1ln .

2 1

xc

x

Ejercicio 19. Pág. 35.dx

a bx

Hagamos u=a-bx por lo que du= -bdx. Falta (-b) y su compensación (-1/b).

1 ( )b dx

b a bx

1

ln( )a bx cb

Por propiedades de logaritmos, el cambio de signo de un coeficiente de logaritmos invierte la fracción afectada por el logaritmo:

1 1

ln .cb a bx

Ejercicio 20. Pág. 35.2xa dx Fórmula 6 con u=2x y además du=2dx.

Falta un 2 y su compensación (1/2).21

(2)2

xa dx 21

2 ln

xac

a

2

2.

ln

xac

a

Ejercicio 21. Pág. 35.xa dx Fórmula 6 con u=-x y dx= -dx.

Sólo falta el signo negativo (-)( ) ( ) xa dx ( )

ln

xac

a

El exponente negativo de la a-x en el numerador se hace positivo si la pasamos al denominador. Arriba queda un 1 negativo:

1.

lnxc

a a


Ejercicio 22. Pág. 35. 5xe dx Usemos la fórmula 5 con u = 5x. Así tendremos dx = 5dx. Falta 5 y su compensación (1/5):

51(5)

5xe dx 51

5xe c

Ejercicio 23. Pág. 35. ln

2x dx

ex

Usemos la fórmula 5 tomando u = lnx. Así du=(dx/x). Tenemos (1/2) sobrante que excluimos como una K en la fórmula 1:

ln1

2x dx

ex

ln1.

2xe c

Ejercicio 24. Pág. 35.2

3x x

e dx El 3 en el denominador es (1/3) que excluimos como una K en la fórmula 1. Usemos la fórmula 5 con u=x² por lo que du=2xdx. Anotemos el faltante 2 y su compensación (1/2).

21 1(2)

3 2xe xdx

21.

6xe c

Ejercicio 25. Pág. 36.

4cossenxe xdx El 4 tomado como factor se excluye como una K. Usemos la fórmula 5 con u=senx y diferencial completo du=cosxdx:

4 cossenxe xdx 4 .senxe c

Ejercicio 26. Pág. 36. 3 2 3xsenx dx Es más frecuente hallar la integral con la 3x² al principio para no confundir el ángulo (x³). Se tomará u=x³ Usaremos la fórmula 7. La diferencial se halla completa con du=3x²dx.

2 3(3 )x senx dx 3cos .x c


Ejercicio 27. Pág. 36. cos2

xdx

La función trigonométrica es el coseno, fórmula 8. Tomemos el ángulo u=x/2. Entonces du=dx/2. Falta (1/2) y su compensación 2.

12 ( )cos

2 2

xdx 2 .

2

xsen c


2cos

dx

x x

La función trigonométrica es el coseno y la fórmula de integración es la 8. El ángulo u=2/x= 2x-1 por lo que usando la fórmula 7 de diferenciación du= -2x-2dx . Falta –2 que se añade y se compensa con (-1/2).

2

1 22 cos

2

dx

x x

1 2( ) .

2sen c

x

Ejercicio 29. Pág. 36. ( )x xtan e e dx El ángulo es u=ex por lo que du=exdx, que representa a una diferencial completa. El signo simplemente se excluye como si fuese un (-1). La función es una tangente, fórmula 9.

tan ( )x xe e dx

()lncos.x

ec Ejercicio 30. Pág. 36. 2tan ( )x x dx Tomando u = x² tendremos du=2xdx. Falta un 2 que añadimos y compensamos con (1/2).

Fórmula 9:

21tan (2)

2x xdx 21

ln cos2

x c El coeficiente fraccionario del logaritmo se hace exponente y luego raíz cuadrada:

122ln(cos )x c 2ln cos .x c

Ejercicio 31. Pág. 36. cot( )x b dx Notamos una función cotangente. Si tomamos u=x+b tendremos du=dx, que es la diferencial completa. La fórmula es la 10:

ln ( ) .sen x b c

ln cos .xe c


Ejercicio 32. Pág. 36. cot lndx

xx

Notamos una función cotangente afectando a un logaritmo natural. Tomemos u = ln x La diferencial du es: ( )

dxdu

x

La diferencial está completa. Queda escribir el resultado siguiendo símbolo a símbolo la fórmula 10: ln (ln ) .sen x c

Ejercicio 33. Pág. 36. 3 2sec (3 )x x dx El cubo afecta sólo al ángulo (x³) no a la secante. Al tomar u=x³ tendremos du=3x² que es la diferencial completa. Se usará la fórmula 11 ( sec u du) escribiendo símbolo a símbolo la respuesta:

3 3ln sec tanx x c

Ejercicio 34. Pág. 36.2sec axdx

La fórmula que usaremos es la 13 ( sec² u du). En el análisis del ángulo hallamos que u=ax por lo que du=adx. Falta (a) y su recíproco (1/a).

21sec ( )ax a dx

a

1tan .ax c

a

Ejercicio 35. Pág. 36. 2

2 3

x dx

sen x Escribamos en un solo renglón el integrando.

El seno pasa al numerador como cosecante:2 2 3cscx x dx

Nuestra función es una csc² u du, que es la fórmula 14. Tenemos a u=x³ y su diferencial du=3x². Falta un 3 y su recíproco (1/3):

2 2 31(3) csc

3x x dx 31

cot .3

x c


Ejercicio 36. Pág. 36. sec tan2

dxx x Separemos el 2 en el denominador como factor K=1/2:

1sec tan

2x xdx

La fórmula es la 15 (sec u tan u du) donde u=x y además la diferencial du=dx está completa:1

sec .2

x c

Ejercicio 37. Pág. 36. sec tanx x

dxa a

Comparando con la integral anterior es notorio que el modelo es nuevamente el de la fórmula 15. Ahora u=(x/a) y du=dx/a. Debemos añadir (1/a) y compensar con (a):

1( ) ( ) sec tan

x xa dx

a a a sec .

xa c

a

Ejercicio 38. Pág. 36.

2csc cotx x dx

Desarrollamos el binomio al cuadrado e integramos término a término según la fórmula 2:

2 2csc 2csc cot cotx x xdx x dx

La cot² x = csc² x - 1 por lo que transformamos el tercer término: 2 2csc 2csc cot csc 1x x x x dx

Separemos términos teniendo en cuenta que hay dos csc²x que se sumarán: 22csc 2csc cotxdx x xdx dx Las intregrales se resuelven con las fórmulas 14, 16 y 1, respectivamente: 2cot 2csc ( )x x x c

Teniendo en cuenta signos, factorizamos con el número (-2) que se repite: 2(cot csc ) .2

xx x c


Ejercicio 39. Pág. 36. 2 16

dx

x

2 2( ) (4)

dx

x

Nota como en el denominador hay una x al cuadrado y un 4 al cuadrado:

Usemos la fórmula 17, haciendo u=x y haciendo a=4. La respuesta con la fórmula :1

arctanu

ca a

1

arctan .4 4

xc


6 4

x dx

x

El término x6 es el cuadrado de x³ además de que 4 es el cuadrado de 2. Usemos la misma fórmula 17 haciendo u=x³ y también a=2.

En el numerador debemos tener du=3x²dx. Falta un 3 que anotamos y compensamos como (1/3).

31arctan .

6 2

xc

2

3 2 2

1 (3)

3 ( ) (2)

xdx

x

31

( )arctan .2 2

xc

1( )3

será


xdx

x

La diferencial de 3-x4 no genera xdx. Se usará la fórmula 18 donde la respuesta es

uarcsen + c

a

Como a²=3, entonces a=3. Como u²=x4, entonces u=x² con lo que du=2xdx. En el numerador de la integral falta un 2 que escribimos compensándolo con (1/2).

2 2 2

1 (2)

2 ( 3) ( )

xdx

x

21.

2 3

xarcsen c

Ejercicio 42. Pág. 36.2 1

dx

x

Usaremos la fórmula 19 donde u=x y además du=dx.

También a=1.

2 2ln u u a c 2ln 1 .x x c



2

4 1

dx

x

Usemos la fórmula 20 donde 2 2

1ln

2

du u ac

u a a u a

Por comparación en la integral hallamos que u² = 4x², por ello u=2x y entonces du = 2dx lo que significa que la diferencial está completa y la respuesta será:

1 2 1ln

2(1) 2 1

xc

x

Y como el coeficiente (1/2) de un logaritmo se puede hacer exponente y luego raíz cuadrada:

2 1ln .

2 1

xc

x

Ejercicio 44. Pág. 36. 21x x

dx

e e

Esta integral es del modelo de la fórmula 17:2 2(1) ( )

x

x

e dx

e

Transformando:

Por comparación: a=1. También u=e-x por lo que du=(-)e-xdx. Falta sólo el signo negativo.1

arctan .x

ce

Ejercicio 45. Pág. 36. 24 x dx Con la fórmula 23, a=2 y u=x la respuesta es: 24 2 .2 2

x xx arcsen c

Ejercicio 46. Pág. 36. sec tan 2x x dx Se desarrolla el binomio al cuadrado, se separan términos y aplicando igualdades:

2 2sec 2 sec tan tanxdx x xdx xdx 2 tan 2sec .x x x c

F I N

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