Intégrale triple
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Intégrale tripleElaboré par M. NUTH Sothan
I- Notion de l’intégrale triple:Soit V un domaine fermé et borné dans un espace rapporté
au repère cartésien OXYZ .
Soit f(x, y, z) une fonction bornée et définie dans V.
Divisons V par ∆V1, ∆V2, ... , ∆Vn, .
Prenons Mi (xi , yi , zi ) ∈ ∆Vi , (i=1, 2, ... , n ).
La somme :
où ∆Vi est le volume du i-ème parallélépipède, s’appelle somme de Riemann tridimensionnelle .
1
( , , ) , (1)n
n i i i ii
S f x y z V
I- Notion de l’intégrale triple (suite)Soit di le diamètre de ∆Vi .
Soit
Alors, l’intégrale triple, étendue au domaine V, de la fonction f(x, y, z) :
Dans les coordonnées rectangles OXYZ, on peut prend ∆Vi comme ∆Vijk = ∆xi ∆yj ∆zk .
01
( , , ) lim ( , , ) (2)n
i i i id
iV
f x y z dV f x y z V
max ii
d d
I- Notion de l’intégrale triple (suite)On a ainsi :
dV = dx dy dz (3)D’après (3), l’intégrale triple s’écrit sous forme :
Supp. : V={(x, y, z), (x, y) ∈ S, z1(x, y) ≤ z ≤ z2(x, y)}
On a :
( , , ) ( , , ) (4)V V
f x y z dV f x y z dxdydz
2
1
( , )
( , )
( , , ) ( , , ) (5)z x y
V S z x y
f x y z dxdydz dxdy f x y z dz
I- Notion de l’intégrale triple (suite)Soit S={(x, y), a ≤ x ≤ b, y1(x) ≤ y ≤ y2(x)} un
domaine standard par rapport à l’axe OY.On a :
Analogiquement, si le domaine est standard par rapport à l’axe OX : S={(x, y), c ≤ y ≤ d, x1(y) ≤ x ≤ x2(y)}
on a :
2 2
1 1
( ) ( , )
( ) ( , )
( , , ) ( , , ) (6)y x z x yb
V a y x z x y
f x y z dxdydz dx dy f x y z dz
2 2
1 1
( ) ( , )
( ) ( , )
( , , ) ( , , ) (7)x y z x yd
V c x y z x y
f x y z dxdydz dy dx f x y z dz
II- Changement des variables dans l’intégrale triple:
1. Coordonnées cylindrique :Pour passer aux coordonnées cylindriques on pose :x = r cos φ , y = r sin φ , z = z (1)où 0 ≤ r < + , 0 ≤ φ ≤ 2π , − < z < +.On a :
où r est un jacobien J de coordonnées cylindriques.
2
1
( , )2
0 0 ( , )
( , , ) ( cos , sin , ) (2)z x y
V z x y
f x y z dxdydz d rdr f r r z dz
II- Changement des variables dans l’intégrale triple (suite):
En effet :
cos sin 0
sin cos 0
0 0 1
cos sin (3)
sin cos
x x x
r zr
y y yj r
r z
z z z
r z
rr
r
y
x
z
φo r
M(x,y, z)z
N(x,y)
II- Changement des variables dans l’intégrale triple (suite):
2. Coordonnée sphérique :Pour passer aux coordonnéessphérique on pose :x = r sinθ cosφ ,y = r sinθ sinφ , (4)z = r cosθ ,où 0 ≤ r < + ,0 ≤ φ ≤ 2π ,0 ≤ θ ≤ π.
y
x
z
φor
M(x,y, z)z
θN(x,y)
II- Changement des variables dans l’intégrale triple (suite):
On a :
Où :
sin cos cos cos sin sin
sin sin cos sin sin cos
cos sin 0
x x x
rr r
y y yj r r
rr
z z z
r
( , , )
( sin cos , sin sin , cos ) (5)
V
V
f x y z dxdydz
f r r r J d d dr
II- Changement des variables dans l’intégrale triple (suite):
Et :
En fin :J= r2 sinθ (6)
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 3 2 2 2 2
cos cos sin sin sin cos sin sincos sin
cos sin sin cos sin sin sin cos
cos (sin cos cos cos sin sin )
sin (sin cos sin sin )
cos sin sin sin (cos sin ) sin
r r rr
r r r
r
r
r r r r
II- Changement des variables dans l’intégrale triple (suite):
On peut poser aussi :x = r cosθ cosφ ,y = r cosθ sinφ , (7)z = r sinθoù 0 ≤ r < + ,0 ≤ φ ≤ 2π ,−π/2 ≤ θ ≤ +π/2.On a :J= r2 cosθ (8)
y
x
z
φor
M(x,y, z)zθ
N(x,y)
II- Changement des variables dans l’intégrale triple (suite):
3. En général :On peut passer aux coordonnées (u, v, w) :
x = x(u, v, w) , y = y(u, v, w) , z = z(u, v, w) (9)Le jacobien
0 (10)
x x x
u v wy y y
ju v wz z z
u v w
II- Changement des variables dans l’intégrale triple (suite):
Et l’intégrale triple s’écrit sous forme :
( , , )
( ( , , ), ( , , ), ( , , )) (11)
V
V
f x y z dxdydz
f x u v w y u v w z u v w J dudvdw
III- Application géométrique:Calculer le volume d’un corps limité par le domaine V.
Ex.1 : Calculer le volumed’un sphère de centred’origine de coordonnéeset de rayon R.
V
V dV
x
y
z
o
M(x, y, z)
φθ
r
N(x, y)
Exemple:Une sphère de centre O(0, 0, 0) et rayon R définie sous
forme V: x2 + y2 + z2 = R2 .En passant aux coordonnées sphériques, on pose :x = r cosθ cosφ , y = r cosθ sinφ , z = r sinθoù 0 ≤ r < R , 0 ≤ φ ≤ 2π , −π/2 ≤ θ ≤ +π/2.V: r = R et J= r2 cosθ .
2 322 32
20 02
4cos 2 sin
3 3
R
V
RV dV d d r dr R
Exemple:Ex.2 : Calculer l’intégrale
où V est une sphère de centre O(0, 0, 0) et rayon R.En passant aux coordonnées sphériques, on pose :x = r cosθ cosφ , y = r cosθ sinφ , z = r sinθoù 0 ≤ r ≤ R , 0 ≤ φ ≤ 2π , −π/2 ≤ θ ≤ +π/2.V: r = R et J= r2 cosθ .
2 22 4
0 02
cosR
I d d rr dr R
2 2 2
V
I x y z dxdydz
Exemple:Calculer le volume limité par les surface suivantes :Ex.3 :Ex.4 :Ex.5 :Ex.6 :
Ex.7 :
Ex.8 :
2 2 2 22 , 2 , 0x y ax x y az z 2 2 2 2 2 2 2,x y z a x y z 2 2 2 2 24, 3x y z x y z
2 2 2 2 2 2,x y ax x y z a 22 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
x y z x y z
a b c a b c
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 22, 0
x y z x y z
a b c a b c