Intégrale Curviligne

Intégrale CurviligneElaboré par M. NUTH Sothan

I- Courbe dans l’espace :

1. Longueur d’une courbe :Soit x, y, z des coordonnées cartésiennes. Soit L

une courbe continue sur [a, b] donnée par :x=φ(t) , y=ψ(t) , z=χ(t) , (a ≤ t ≤ b) (1)

Définition : On dit qu’une courbe L est lisse (ou différentiable) si φ(t) ,ψ(t) et χ(t) admettent des dérivées premières continues sur [a, b].

I- Courbe dans l’espace (suite) :

Soit le rayon vecteur du point (x, y, z)Considérons :

La relation (1) peut être mises sous forme :

où est continue sur [a, b].Donc la courbe L est définie par (1) ou (2).

{ , , }r x y z

( ) { ( ), ( ), ( )} , ( )r t t t t a t b

( ) , (2)r r t

( ) { ( ), ( ), ( )}r t t t t


Définition : On dit qu’un point , t1∈ [a, b] ,d’une courbe L est double si ∃ t1 ≠ t2 (t2∈ [a, b]) tel que .

Soit T={t0 , t1 , ... , tn} une subdivision de [a, b].Considérons la ligne polygonale de sommet :

inscrite dans la courbe L.

1( )r t

1 2( ) ( )r t r t

0 1 2( ), ( ), ( ),..., ( )nr t r t r t r t


On a : la longueur de cette ligne.

Définition : La longueur de courbe L sur [a, b] est :

Th : La longueur de courbe L sur [a, b] est :

1

10

( ) ( )n

i ii

r t r t

1

1( ) 00

lim ( ) ( )n

i ih Ti

l r t r t

( ) (3)b

a

l r t dt


Remarque :1. Si L : x=φ(t) , y=ψ(t) , z=χ(t) , (a ≤ t ≤

b) , alors :

2. Si L : x=φ(t) , y=ψ(t) , (a ≤ t ≤ b) , alors :

2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) (4)b b

a a

r t dt t t t dt

2 2( ) ( ) ( ) (5)b b

a a

r t dt t t dt


Remarque :3. Si L : y=f(x), (a ≤ x ≤ b) , alors :

2( ) 1 ( ) (6)b b

a a

r t dt f x dx


Exemples :Si L : x=a cos t , y= a sin t , z= bt , (0 ≤ t ≤ 2π) , alors :

2

0

22 2 2 2 2 2 2

0

( )

sin cos 2

l r t dt

a t a t b dt a b

II- Intégrale curviligne de 1er espèce :

Définition :Soit L : x=φ(t) , y=ψ(t) , z=χ(t) , (a ≤ t ≤

b) , alors :La courbe différentiable L est régulière si

ou

( ) 0r t

2 2 2( ) ( ) ( ) 0t t t

II- Intégrale curviligne de 1er espèce (suite) :

Remarque : Les points de la courbe en lesquels sont dits singuliers.

Définition : Soit f(x, y, z) définie sur L. L’intégrale curviligne de première espèce de la fonction f(x, y, z) le long de la courbe L est

( ) 0r t

( , , )L

f x y z dl


Cas 1 : L : x=φ(t) , y=ψ(t) , z=χ(t) , (a ≤ t ≤ b) , et f(x, y, z) définie sur L , alors :

2 2 2

( , , )

( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ) ( )

L

b

a

f x y z dl

f t t t t t t dt

II- Intégrale curviligne de 1er espèce(suite) :

Cas 2 : L : x=φ(t) , y=ψ(t) , (a ≤ t ≤ b) , et f(x, y) définie sur L , alors :

2 2

( , )

( ( ), ( )) ( ) ( )

L

b

a

f x y dl

f t t t t dt


Cas 3 : L : y=y(x), (a ≤ x ≤ b) ,et f(x, y) définie sur L , alors :

2

( , )

( , ( )) 1 ( )

L

b

a

f x y dl

f x y x y x dx

II- Intégrale curviligne de 1er espèce(suite) :

Cas 4 : L : r=r(), (1 ≤ ≤ 2) , , et f(x, y) définie

sur L , alors :

2

1

2 2

( , )

( ( ) cos , ( )sin ) ( ) ( )

L

f x y dl

f r r r r d


Remarque 1 :

Remarque 2 :

Exemple 1 : Calculer l’intégrale curviligne :

Indication : x = a cos3 t , y = a sin3 t , 0 t 2

( , ) ( , )AB BA

f x y dl f x y dl

AB

dl l

4 4 2 2 23 3 3 3 3( ) où :

L

x y dl L x y a


Exemple 2 : Calculer l’intégrale curviligne :

Indication : Passer aux coordonnées polaire.

32 2 2 2 2 2 22 où : ( ) ( )

L

x y dl L x y a x y

III- Intégrale curviligne de 2ème espèce :

Définition : On appelle courbe orientée sur laquelle on a choisi l’une de deux orientations possibles.

Soitun champ de vecteurs continu sur une courbe

régulière différentiable L.

( , , ) { ( , , ); ( , , ); ( , , )}u x y z P x y z Q x y z R x y z

III- Intégrale curviligne de 2ème espèce (suite) :

Définition : L’intégrale curviligne de second espèce

du champ de vecteurs le long de la courbe L .

Si la courbe régulière différentiable L est orientée par t croissant, alors

( , , ) ( , , ) ( , , )L

P x y z dx Q x y z dy R x y z dz ( , , )u x y z


Si la courbe régulière différentiable

est orientée par t croissant, alors( , , ) ( , , ) ( , , )

[ ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ( ), ( ), ( )) ( )]

, (2)

L

P x y z dx Q x y z dy R x y z dz

P t t t t Q t t t t R t t t t dt

: ( ), ( ), ( ) , L x t y t z t t


Si la courbe régulière différentiable L est orientée par t décroissant, alors

( , , ) ( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , ) ( , , )L

L




Remarque 1 : L’intégrale (2) peut être mise en forme :

où .

Soit un vecteur unité tangent à la

courbe L .

( ( , , ), ) ( ( ( )), ( ))L

u x y z dr u r t r t dt

{ , , }dr dx dy dz

( )( )( )

r ttr t


Alors :( ( , , ), ) ( ( ( )), ( )) ( )

( ( ( )), ( )) ( )

L

u x y z dr u r t t r t dt

u r t t ds t


Remarque 2 : Si L est traitée comme la trajectoire d’un point

matériel et le vecteur comme la force agissant sur ce point, alors l’intégrale curviligne de second espèce représente le travail de la force le long de la trajectoire L.

( , , )u x y z

( , , )u x y z


Définition : Un champ de vecteur

est dit potentiel si U(X) dérivable tel que

pour x ∈ X.Dans ce cas, U(X) s’appelle potentiel de

1 2( ) { ( ), ( ),..., ( )}nf X f X f X f X

( ) ( ) , 1, 2,..., (3)ii

Uf X X i nx

( )f X


D’après (3), on a :

et

où

1

1 2

( ) ( )

( ) ( )

, ,...,

n

i ii

n

dU X f x dx

f X U X

x x x


Th.1 : Si U1(X) et U2(X) sont des potentiels dedéfini sur X ouvert, alors U1(X)−U2(X) = Const.Th.2 : Pour qu’un champ de vecteur dérivable et

défini sur X ouvert soit potentiel, il est N. et S. que

pour x ∈ X.

( )f X

( )f X

( ) ( ) , , 1, 2,...,ji

j i

ff X X i j nx x


Remarque 1 : Soit Pour que soit potentiel, il est N. et S. que :

Remarque 2 : Soit . Pour que

soit potentiel, il est N. et S. que :

( ) { ( , , ), ( , , ), ( , , )}f X P x y z Q x y z R x y z

( )f X

, ,P Q Q R R Py x z y x z

( ) { ( , ), ( , )}f X P x y Q x y

P Qy x

( )f X


Th.3 : Soit un champ de vecteur potentiel sur

G et soit U(x, y, z) son potentiel.Si L est une courbe R.D. continue dans G et

reliant de point A(x1, y1, z1) vers B(x2, y2 ,z2), alors :

( , , )u x y z

2 2 2 1 1 1( , , ) ( , , )L

Pdx Qdy Rdz U x y z U x y z


Autrement dit que l’intégrale curviligne ne dépend pas du chemin suivi.

Remarque : Soit T={t0 , t1 ,..., tn } une subdivision de [a, b] tel que Li arc de courbe L compris entre et , i = 0, 1, 2 , ..., n-1. Alors :

1

0i

n

iL L

Pdx Qdy Rdz Pdx Qdy Rdz

( )ir t

1( )ir t

1

0

( , , ) ( , , )i

n

iL L

f x y z ds f x y z ds

IV- Formule de Green. Condition de potentialitée :

1. Formule de Green : Soit D={(x, y); y1(x) ≤ y ≤ y2(x), a ≤ x ≤ b} un

trapèze curviligne continu dans G.

Soient P(x, y) et Q(x, y) sont continues dans G

avec ses dérivées partielles .

et P Qy x

IV- Formule de Green. Condition de potentialité (suite) :

D

y

x0y=y1 (x)

y=y2 (x)F

a

E

BA

b


On a :

2

1

( )

2 1( )

2 1

( , ) ( , )

( , ) ( , )

y xb b

a y x a

b b

a a AB EF

AB BE EF FA

P Pdxdy dy dx P x y P x y dxy y

P x y dx P x y dx Pdx Pdx

Pdx Pdx Pdx Pdx


Alors :

Or :

Analogiquement :

( , ) (1)D C

P dxdy P x y dxy

( , ) ( , ) 0

BE FA

P x y dx P x y dx

( , ) (2)D C

Q dxdy Q x y dyx


En soustrayant (1) et (2) :

qui s’appelle formule de Green.

Soit C un contour fermé contenant G,D l’ensemble des points intérieur à C,et D ⊂ G.

( , ) ( , ) (3)D C

Q P dxdy P x y dx Q x y dyx y


Th.1 :Supposons que P(x, y) et Q(x, y) est

continues avec ses dérivées

dans un domaine simplement connexe. On a :

où le contour C est parcouru dans le sens direct.

et P Qy x

(4)D C

Q P dxdy Pdx Qdyx y


Remarque : Si l’on pose P = y et Q = 0.

D’après (4), on obtient la formule pour l’aire du

D :

Analogiquement, si P = 0 et Q = x , on trouve :

( ) (5)D C

D dxdy ydx

( ) (6)D C

D dxdy xdy


L’addition (5) et (6) , nous donne une formule

pour le calcul de l’aire.1( )2 C

D xdy ydx


2. Condition de potentialité :Soit un champ de vecteur

continu dans G.Th.2 : est potentiel dans

G s.s.s.

Th.3 : est potentiel dans

G s.s.s. dans G.

( , ) { ( , ), ( , )}u x y P x y Q x y

( , ) { ( , ), ( , )}u x y P x y Q x y

( , ) ( , ) 0C

P x y dx Q x y dy ( , ) { ( , ), ( , )}u x y P x y Q x y

P Qy x


Ex. :

G={(x, y), x2 + y2 > 0} non simplement connexe.

Posons : x = r cos t , y = r sin t , 0 ≤ t ≤ 2

2 2 2 2,y xP Qx y x y


Th.4 : Soit continue sur

AB : x = x(t), y = y(t), a ≤ t ≤ b .

Soit la direction de la tangente

à AB en M(x, y).

( , ) { ( , ), ( , )}u x y P x y Q x y

{cos ,cos }

( , ) ( , ) ( cos cos )AB AB

P x y dx Q x y dy P Q ds

Exemples :

Calculer les intégrales curvilignes de 1er espèce :

1.

2.

3.

4.

( ) , où L est les sommets O(0, 0),

A(1, 0), B(0, 1) de triangleL

x y dl

2 , L : ( sin ), (1 cos ),0 2 .L

y dl x a t t y a t t 2 2

, L : {( , ),0 ,0 2 }.x y

L

e dl r r a 2 2 2 2 , L : .

L

x y dl x y ax

Exemples :

Calculer les intégrales curvilignes de 2ème espèce :

1. , où O(0, 0), A(1, 1) : a. une droite. b. une parabole x = y2 .

2.

3.

OA

xdx ydy

2 2 2( 2 ) ( 2 ) , L : , 1 1.L

x xy dx y xy dy y x x 2 2 2 2

2

( ) ( ) ,

L : 1 1 ,0 2.L

x y dx x y dy

y x x x

Exemples :

Calculer les intégrales curvilignes de 2ème espèce en utilisant la formule de Green :

1.

2.

3.

2 2 2 2 2 , L: C

xy dy x dx x y a 2 2

2 2( ) ( ) , L : 1.C

x yx y dx x y dya b

2 2 2(2 ) ( ) , L est un périmètre

de triangle de sommets A(1, 1), B(2, 2) et C(1, 3).C

x y dx x y dy

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