PODRU�NICA MATEMATIQARA VA�EVO

VA�EVSKA GIMNAZIJA

INTEGRAL KUP 2019

VA�EVO, 2019.

Izdavaq

Podru�nica matematiqara Vaevo

www.dms-valjevo.org.rs

Glavni urednik

Veko �irovi�

Tehniqki urednik

Sava Maksimovi�

Tira�

200

Xtampa

Di Print, Vaevo

SADR�AJ

1 INTEGRAL KUP 1

2 VA�EVO 2

3 VA�EVSKA GIMNAZIJA 3

4 PODRU�NICA MATEMATIQARA VA�EVO 5

5 ZADACI 7

6 REXE�A ZADATAKA 14

7 ZAHVALNICA 21

INTEGRAL KUP

Matematiqki turnir”Integral kup" je matematiqko takmiqe-

�e za uqenike osnovnih i sred�ih xkola, od 7. razreda osnovne do2. razreda sred�e xkole i uqenike 6. razreda iz Vaeva.

Pokretaqi i organizatori turnira su Podru�nica matemati-qara Vaevo i Vaevska gimnazija. Prvi

”Integral kup" odr�an

je 3.12.2016. godine. Na �emu se takmiqilo stotinak mladih ma-tematiqara iz presti�nih xkola Srbije koje rade po programu zaobdarene uqenike u matematiqkoj gimnaziji i nekoliko vaevskihxkola. Namera organizatora je da turnir postane tradicionalani da se odr�ava svake xkolske godine u prvom polugodixtu kakobi najuspexniji takmiqari imali jox jedno pripremno takmiqe�eu ovom delu godine za znaqajna takmiqe�a koja slede.

Drugi”Integral kup", odr�an u jesen 2017. godine je bio me�u-

narodnog karaktera jer su na �emu uqestvale i ekipe iz Crne Gorei Bosne i Hercegovine (Republika Srpska). To je turniru daloposebnu te�inu, a organizatorima obevuzu da ga neguju i unapre-�uju.

Cievi turnira su popularizacija matematike, pribli�ava�enauke mladima, razvoj takmiqarskog duha i podrxka talentima izrazliqitih sredina da se zbli�avaju i uqestvuju u zajedniqkimaktivnostima.

Turnir se odr�ava u subotu, 30. novembra 2019. godine.

Format i propozicije turnira

Takmiqarske kategorije su: (1) Xesti razred osnovne xkole,(2) Sedmi i osmi razred osnovne xkole i (3) Prvi i drugi razredsred�e xkole.

U okviru svake kategorije, takmiqari individualno rexavajutest koji sadr�i 12 zadataka podeenih u 3 grupe: (I) algebrai brojevi, (II) geometrija i (III) kombinatorika. U okviru svakegrupe zadataka je po 3 zadatka sa ponu�enim odgovorima i jedanzadatak koji se kompletno rexava. Vreme za izradu zadataka je150 minuta.

Xkolske ekipe broje do dva uqenika po razredu. Rezultati seobra�uju individualno po kategorijama i ekipno.

1

VA�EVO

Vaevo se nalazi u zapadnoj Srbiji na nepunih 100 km jugo-zapadno od Beograda. Gradsko jezgro smexteno je u kotlini krozkoju protiqe reka Kolubara. Vaevo spada me�u ve�a i razvijenijanasea u Srbiji.

Prema popisu iz 2011. godine, na teritoriji grada �ivi 90 312stanovnika. Vaevo se nalazi na proseqnoj nadmorskoj visini od185m. Tokom istorije srpskog naroda Vaevci su qesto imaliistaknutu ulogu u pokretima za nacionalno oslobo�e�e, ali, po-red vojskovo�a i narodnih vo�a, znatan je i broj znaqajnih k�iz-hevnika, umetnika i nauqnika poreklom iz Vaeva.

Vaevo se svrstava i me�u najstarija gradska nasea Srbije.Ime Vaevo se po prvi put sre�e u jednom dokumentu saquvanom uHistorijskom arhivu u Dubrovniku, a datiranom na 1393. godinu.Od tada nasee ima preko xest stotina godina potvr�enog kon-tinuiranog postoja�a. Vaevo ima povoan geografski polo�ajkoji se ogleda u blizini vixe va�nih saobra�ajnica, kao xto suIbarska magistrala, pruga Beograd { Bar i novi auto-put

”Milox

Veliki".U Vaevu nastaje reka Kolubara koja nastaje od reka Jablanice

i Obnice. U Kolubaru se, na teritoriji Vaeva, tako�e ulivajureke �ubosti�a i Gradac.

U Petnici, na 5 km od Vaeva, nalaze se otvoreni bazeni itereni za male sportove, kao i vextaqko jezero na reci Pocibravi| stecixte kupaqa i ribolovaca.

2

VA�EVSKA GIMNAZIJA

Vaevska gimnazija osnovana je 1870. godine u Vaevu, kaodvorazredna gimnazijska realka. Xkolske 1874/75. godine dobijatre�i, a 1875/76. i qetvrti razred.

Tek xkolske 1893/94. godine otvoren je peti, a slede�e i xestirazred. Godine 1898. vixi razredi se ukidaju i Vaevska gimna-zija je ponovo svedena na qetvororazrednu.

Xkolske 1903/04. godine ponovo je uveden peti, a slede�e ixesti razred. Godine 1904. zapoqeta je izgrad�a, a 1906. godine seGimnazija uselila u svoju sadax�u zgradu.

Pokuxaj sa uvo�e�em i sedmog razreda 1907. godine nije imaopodrxku dr�avnih organa, te je posle dve godine ovaj razred uki-nut. Sedmi razred otvoren je ponovo 1912. godine. Potpuna osmora-zredna Gimnazija u Vaevu postaje xkolske 1913/14. godine. Juna1914. godine obaven je prvi vixi teqajni ispit u ovoj xkoli.

U toku Prvog svetskog rata Gimnazija je radila samo 1918. go-dine i to bez osmog razreda.

Izme�u dva rata xkola radi kao dr�avna potpuna mexovita re-alna Gimnazija u Vaevu, s tim xto je poqetkom xkolske 1940/41.godine podeena na dve mexovite gimnazije (Prvu i Drugu).

Obe xkole su nastavile rad i pod okupacijom. Prva gimnazijapretvorena je aprila 1942. godine u Muxku, a Druga u �enskugimnaziju.

Posle oslobo�e�a obe gimnazije su u martu 1945. godine nasta-vile rad, s tim xto su ponovo pretvorene u mexovite. Kao Prvai Druga gimnazija, xkole su izdvojeno radile do kraja xkolske1950/51. godine.

Izdvaja�em vixih razreda obeju vaevskih gimnazija, osno-vana je poqetkom xkolske 1951/52. godine tzv. Vixa gimnazija,koja je smextena u zgradu osnovne xkole u ulici Milovana Glixi�abroj 45. Septembra 1966. godine Gimnazija ponovo dobija svojuzgradu, proxirenu i adaptiranu za potrebe savremene nastave.

Povodom proslave stogodix�ice postoja�a i rada Vaevskegimnazije predsednik SFRJ Josip Broz Tito, Ukazom br. 94 od25.5.1970. godine, odlikovao je ovu xkolu Ordenom zasluga za na-rod sa zlatnom zvezdom. Odlukom Saveta xkole od 26.5.1970. go-

3

dine vaevska Gimnazija dobija ime”Vladimir Iiq Le�in", a

ustanoven je i Dan xkole - 22.IV .Usled promena u organizova�u, xkola je dva puta me�ala ime:

OOUR za usmereno obrazova�e”Vladimir Iiq Le�in" u sastavu

Radne organizacije za usmereno obrazova�e”Vaevo" i Radna or-

ganizacija za usmereno obrazova�e”Vaevska gimnazija Vladimir

Iiq Le�in", da bi se 8.6.1987. godine radni udi, tajnim glasa-�em na referendumu, izjasnili da xkola nosi naziv:

”Vaevska

gimnazija Vladimir Iiq Le�in". Na referendumu odr�anom26.9.1989. godine radnici xkole su tajnim glasa�em odluqili daxkola nosi naziv

”Vaevska gimnazija", a za Dan xkole je odre�en

23.XI - dan osniva�a Gimnazije u Vaevu.Kulturno-prosvetna zajednica Srbije 21.12.1995. godine dode-

uje Vukovu nagradu Vaevskoj gimnaziji za izuzetan doprinosrazvoju kulture u Republici Srbiji i svesrpskom kulturnom pro-storu.

Na predlog �egovog Preosvextenstva Episkopa vaevskog Go-spodina Milutina, Sveti Arhijerejski Sinod Srpske Pravoslavnecrkve odlikovao je Vaevsku gimnaziju 5.2.2008. godine OrdenomSvetog Save II stepena za �en dugogodix�i plodotvorni vaspitno-obrazovni rad.

Vaevska gimnazija je danas xkola qije aktivnosti odlikujuraznovrsnost, masovnost, kvalitet, rezultati i ponos.

4

PODRU�NICA

MATEMATIQARA VA�EVO

Polaze�i od osnovnih cieva i programskih naqela Druxtvamatematiqara Srbije i opxtih principa koji se ogledaju u:

B dava�u doprinosa napretku matematiqkih i raqunarskih nauka,�ihovim primenama, nastavi i popularizaciji;

B podsticajima qlanovima da aktivno uqestvuju u aktivnostimaod zajedniqkog interesa struke, profesionalnom usavrxava�ui unapre�iva�u rada;

B bave�u svim pita�ima koja se odnose na nastavu matematike iraqunarstva i �enim korelacijama sa drugim srodnim naukama;

B otkriva�u, negova�u i dava�u doprinosa razvoju matematiqkihtalenata;

Podru�nica Druxtva matematiqara Srbije u Vaevu neguje i ra-zvija brojne aktivnosi qiji je ci unapre�e�e i poboxa�e sveu-kupnog druxtvenog ambijenta lokalne sredine.

Aktivnosti Podru�nice matematiqara Vaevo mogu se u naj-kra�em iskazati kroz nekoliko segmenata rada:

B Struqni rad na pou unapre�e�a nastave matematike i raqu-narstva na svim nivoima. Postoja�e akreditovanih programastruqnog usavrxava�a nastavnika i

”Metodiqke radionice\ kao

struqnog foruma koji razmatra znaqajna pita�a iz oblasti me-todike nastave matematike i raqunarstva;

B Organizova�e xkole za talentovane mlade matematiqare i pro-gramere

”Integral", koja je name�ena talentima od 1. do 8. ra-

zreda osnovne xkole i predstava godix�u aktivnost koja se zasve uzraste realizuje kroz 25 nastavnih nedea;

B Projekti iz oblasti obrazova�a, promocije matematike i popu-larizacije nauke;

B Let�e i zimske xkole name�ene mladim telentima iz cele Sr-bije;

5

B Koordinacija i organizacija takmiqe�a u oblasti matematikei informatike. Podstica�e uqenika iz celog okruga da se tak-miqe na raznim takmiqe�ima koja slu�e popularizaciji mate-matike. Pokreta�e novog takmiqe�a

”Integral kup\ zajedno sa

Vaevskom gimnazijom, name�enog popularizaciji matematike,razvoju takmiqarskog duha i zbli�ava�u uqenika sliqnih afi-niteta iz razliqitih sredina;

B Sarad�a sa subjektima iz oblasti obrazova�a i druxtvenimorganizacijama i ustanovama lokalne samouprave; me�unarodnasarad�a;

B Bave�e pita�ima struke i �enog statusa; organizaova�e stru-qnih skupova, struqnih ekskurzija i savetova�a;

B Sarad�a sa Druxtvom matematiqara Srbije, kao krovnom or-ganizacijim i drugim srodnim organizacijama iz zeme i ino-stranstva;

B Predstava�e organizacije i sarad�a sa medijima.

Sred�oxkolci osvajaqi medaa na IK 2017.

6

ZADACI

Xesti razred

I Algebra i brojevi

1. Zbir 111 uzastopnih celih brojeva je 0. Zbir �ihovih apsolut-nih vrednosti je

(A) 0 (B) 110 (V) 1540 (G) 3080 (D) 6105 (N) Ne znam

2. Koliko parova celih brojeva x i y zadovoavaju jednakost

|3x|+ |5y| = 15?

(A) 0 (B) 10 (V) 6 (G) 8 (D) 4 (N) Ne znam

3. Kolika je vrednost proizvoda

6

3· 96· 129· 1512· . . . · 2019

2016?

(A) 673 (B) 1346 (V) 2019 (G) 1344 (D) 675 (N) Ne znam

4. Dat je skup A = {x ∈ Z | −37 ≤ x ≤ 84}. Postoji li podskup Bskupa A takav da je zbir elemenata skupa B jednak zbiru eleme-nata skupa A \B?

II Geometrija

1. Kru�nica preqnika 10 dodiruje dve du�e stranice pravougao-nika kao na slici. Ako je jedna stranica pravougaonika dvepetine od druge, onda je obim pravougaonika jednak

(A) 140 (B) 70 (V) 56 (G) 28 (D) 100 (N) Ne znam

7

2. Ako na datoj slici va�i:

AC ‖ BD, AE ‖ BF, ]CAB = 123°, ]DBF = 45° i ]EAC = x°,

koliki je zbir cifara broja x?

A

B

FD

C

E

(A) 3 (B) 6 (V) 9 (G) 10 (D) 15 (N) Ne znam

3. U trouglu ABC spoax�i ugao kod temena C je 5 puta ve�i odunutrax�eg ugla kod temena B i ]ABC+]BCA = 81°. Kolikoje 3 · ]BCA− ]ABC?

(A) 100° (B) 111° (V) 122° (G) 133° (D) 144° (N) Ne znam

4. Dat je trougao ABC takav da je ]BAC = 50° i ]ABC = 60°. Si-metrale stranica AC i BC seku se u taqki O. Odrediti mereuglova ]AOB, ]BOC i ]COA.

III Kombinatorika

1. Koliko ima belih kvadrata na 40. qlanu niza qija su prva qe-tiri qlana data na slici?

(A) 1596 (B) 271 (V) 278 (G) 1000 (D) 1560 (N) Ne znam

8

2. Pet kocaka, qija je mre�a prikazana na slici, slo�ene su jednana drugu tako da je dobijen kvadar. Koliki je najma�i mogu�izbir brojeva na stranama kvadra?

2431 3 81

9

27

(A) 600 (B) 843 (V) 602 (G) 601 (D) 435 (N) Ne znam

3. Na tabli su nacrtani razliqiti magiqni kvadrati qiji su ele-menti brojevi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Koliko je najvixe magiqnihkvadrata nacrtano na tabli?

(A) 2 (B) 4 (V) 6 (G) 8 (D) 9 (N) Ne znam

4. Palindrom je broj koji se qita sleva u desno jednako kako seqita zdesna u levo (na primer: 13531 je palindrom). Da li jevixe neparnih trocifrenih brojeva koji su palindromi ili jevixe parnih qetvorocifrenih brojeva koji su palindromi?

Sedmi i osmi razred

I Algebra i brojevi

1. Ako je x negativan realan broj, koliko od navedenih izraza imanegativnu vrednost?

x

|x|, −1

x, −x2,

√−x, (−x)2019, |−2x|

x

(A) 2 (B) 3 (V) 4 (G) 5 (D) 6 (N) Ne znam

2. Neki trocifren prirodan broj je 33 puta ve�i od zbira svojihcifara. Razlika izme�u najve�e i najma�e cifre tog broja je

(A) 3 (B) 4 (V) 5 (G) 6 (D) 7 (N) Ne znam

9

3. Broj rexe�a jednaqine x ·y2 = 1 ·2 · . . . ·10 u skupu celih brojevaje

(A) 12 (B) 20 (V) 30 (G) 45 (D) 60 (N) Ne znam

4. Koliko ima qetvorocifrenih prirodnih brojeva koji se istoqitaju sleva na desno i zdesna na levo, a koji su potpuni kva-drati?

II Geometrija

1. Ako u oxtrouglom trouglu ABC va�i ]CAB = 30°, BC =√2 i

AC = 2, onda je ]ABC jednak

(A) 15° (B) 22°30′ (V) 30° (G) 45° (D) 60° (N) Ne znam

2. U jednakokrakom trapezu visine 12, sred�a linija ima du�inu16. Du�ina dijagonale tog trapeza je

(A) 18 (B) 20 (V) 22 (G) 24 (D) 26 (N) Ne znam

3. Dat je trapez qije su osnovice 7 i 32, a kraci 15 i 20. Ako jepovrxina tog trapeza x, zbir cifara broja x je

(A) 9 (B) 10 (V) 11 (G) 12 (D) 13 (N) Ne znam

4. Dat je paralelogram ABCD i taqka M u �egovoj unutrax�o-sti koja ne pripada ni dijagonalama ni du�ima koje spajajusredixta naspramnih stranica paralelograma. Kroz taqku Mpovuqene su dve prave koje su paralelne stranicama paralelo-grama. Te dve prave razla�u dati paralelogram na qetiri qe-tvorougla. Dokazati da bar jedan od dva dobijena qetvorougla,od kojih jedan sadr�i teme A, a drugi teme C, ima povrxinuma�u od qetvrtine povrxine paralelograma ABCD.

III Kombinatorika

1. Prva dva poteza u xahovskoj partiji odigrana su pexacima (pojedan potez belog i crnog igraqa). Na koliko naqina je tomogu�e?

(A) 32 (B) 64 (V) 128 (G) 192 (D) 256 (N) Ne znam

10

2. U neprovidnoj vre�i nalazi se 15 crvenih, 16 crnih i 17 belihkuglica. Milanqe, ne gledaju�i, izvlaqi kuglice iz vre�e. Ko-liko najma�e kuglica mora da izvuqe da bi bio siguran da me�uizvuqenim kuglicama ima 7 crvenih, 6 crnih i 5 belih?

(A) 18 (B) 36 (V) 38 (G) 40 (D) 48 (N) Ne znam

3. Koliko ima petoslovnih xifara zapisanih svim slovima reqiXIFRA, takvih da su prvo i posled�e slovo samoglasnici?

(A) 6 (B) 12 (V) 18 (G) 24 (D) 120 (N) Ne znam

4. Neka je S skup svih petocifrenih prirodnih brojeva abcde zakoje va�i b = a · c i d = c+ e. Odrediti broj elemenata skupa S.

Prvi i drugi razred

I Algebra i brojevi

1. Ako je x = 44 · 55 · 66 i y = 46 · 55 · 64, koliko prirodnih delilacaima broj x+ y?

(A) 210 (B) 390 (V) 510 (G) 630 (D) 900 (N) Ne znam

2. Ako je n = 999 999 998, sa koliko razliqitih cifara se zapisujebroj n3?

(A) 2 (B) 3 (V) 4 (G) 5 (D) 7 (N) Ne znam

3. Definiximo funkciju f : N→ N sa

f(1) = 2 i f(n) =

{f(n− 1) + 1 ako je n parno,

f(n− 1) + 2 ako je n neparno i n > 1.

Koliko je f(2019)?

(A) 2019 (B) 2020 (V) 3029 (G) 3030 (D) 4040 (N) Ne znam

4. Neka je n = 1! · 2! · 3! · . . . · 64!. Ispitati postoje li prirodnibrojevi x i y takvi da je x! · y2 = n.

11

II Geometrija

1. Kvadrat ABCD ima dijagonalu du�ine 1. Ako je O centarkru�nice upisane u trougao BCD, onda je rastoja�e od A doO jednako

(A)2

3(B)

√2

2(V)

3

4(G)

4

5(D)

2√2

3(N) Ne znam

2. Skup T sadr�i trouglove qije su du�ine stranica prirodnibrojevi ma�i od 6. Koliko najvixe elemenata mo�e imati skupT ako u �emu nema ni podudarnih ni sliqnih trouglova?

(A) 15 (B) 16 (V) 17 (G) 18 (D) vixe od 18 (N) Ne znam

3. Dat je trougao ABC takav da je AB = 42, BC = 34 i CA = 20.Na stranici AB data je taqka D takva da je AD = 14, a nastranici AC taqka E takva da je AE = 15. Povrxina trouglaADE je jednaka

(A) 84 (B) 96 (V) 108 (G) 112 (D) 144 (N) Ne znam

4. Za pravougli trapez ABCD va�i da je AB ‖ CD i ]ABC = 75°.Neka je H podno�je normale iz taqke A na pravu BC. Ako jeBH = CD i AD+AH = 8, odrediti povrxinu trapeza ABCD.

III Kombinatorika

1. Prva tri poteza u xahovskoj partiji odigrana su skakqima (dvapoteza belog i jedan potez crnog). Na koliko naqina je to mogu�e?

(A) 32 (B) 46 (V) 64 (G) 96 (D) 112 (N) Ne znam

2. Neka je A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} i B = {2, 3, 5}. Broj svih funkcijaf : A→ B takvih da za svako x ∈ A va�i f(x) 6= x je

(A) 24 (B) 54 (V) 216 (G) 514 (D) 702 (N) Ne znam

3. Koliko podskupova, koji imaju vixe od 2 elementa, ima skupkoji ima 10 elemenata?

(A) 968 (B) 969 (V) 979 (G) 1013 (D) 1023 (N) Ne znam

12

4. Oznaqimo sa D(n) skup prirodnih delilaca prirodnog broja n.Pod boje�em skupa D(n) podrazumevamo zapisiva�e svakog �e-govog elementa nekom od qetiri date boje, pri qemu se tri ele-menta skupa D(n) moraju zapisati razliqitim bojama kad god jejedan od �ih najve�i zajedniqki delilac druga dva.Neka ϕ(n) predstava broj razliqitih boje�a skup D(n). Kojaje najve�a vrednost koju mo�e imati ϕ(n) ako je n prirodan brojkoji nije stepen prostog broja?

Tim za izbor zadataka:

B dr Vojislav Andri�

B dr Milan Jovanovi�

B Sava Maksimovi�, saradnik u koordinaciji

B Marijana Stefanovi�

B Ivanka Tomi�

B Veko �irovi�, koordinator

13

REXE�A ZADATAKA

Xesti razred

I Algebra i brojevi

Broj zadatka 1 2 3

Taqan odogovor G D A

Zadatak 4. Neka je B proizvoan podskup skupa A. Oznaqimo sax zbir elemenata skupa B, a sa y zbir elemenata skupa A\B. Va�ida je x+y jednak zbiru elemenata skupa A. Kako je zbir elemenataskupa A jednak −37+(−36)+. . .+84 = 38+39+. . .+84 = 122·23+61,to je on neparan broj, pa ne mo�e biti x = y.Dakle, ne postoji B ⊆ A takav da je zbir elemenata skupa B jednakzbiru elemenata skupa A \B.

II Geometrija

Broj zadatka 1 2 3

Taqan odogovor B V D

Zadatak 4. Kako je O taqka na simetrali du�i AC, to je OA =OC. Sliqno je i OB = OC, pa je i OA = OB = OC. Odatlezakuqujemo da su trouglovi AOB, BOC i COA jednakokraki kaoi da su �ihove osnovice AB, BC i CA, redom. Istim tim redom,oznaqimo mere unutrax�ih uglova na osnovicama posmatranih jed-nakokrakih trouglova sa x, y i z (vidi sliku).

xxy

yz

z

sBC

sAC

A B

C

O

Sada imamo ]BAC = x+ z, ]ABC = x+ y, ]BCA = y+ z, iz qegadobijamo x + z + x + y + y + z = 180°, tj. 2x + 2y + 2z = 180°, pax+ y+ z = 90°. Kako je x+ z = ]BAC = 50° i x+ y = ]ABC = 60°,

14

to redom dobijamo y = 90° − 50° = 40°, z = 90° − 60° = 30° ix = 50° − 30° = 20°. Najzad, iz trouglova AOB, BOC i COAdobijamo ]AOB = 180° − 2x = 140°, ]BOC = 180° − 2y = 100° i]COA = 180°− 2z = 120°.

III Kombinatorika

Broj zadatka 1 2 3

Taqan odogovor A V G

Zadatak 4. Neparni trocifreni palindromi su trocifreni pri-rodni brojevi oblika ABA, gde je A bilo koja neparna cifra, a Bbilo koja cifra. Dakle, neparnih trocifrenih palindroma ima5 · 10 = 50.Parni qetvorocifreni palindromi su qetvorocifreni prirodnibrojevi oblika ABBA, gde je A bilo koja parna cifra razliqitaod 0, a B bilo koja cifra. Dakle, parnih qetvorocifrenih pa-lindroma ima 4 · 10 = 40.Prema tome, vixe je neparnih trocifrenih palindroma.

Sedmi i osmi razred

I Algebra i brojevi

Broj zadatka 1 2 3

Taqan odogovor B V D

Zadatak 4. Neka je n tra�eni prirodan broj. Kako se on isto qitasleva na desno kao i zdesna na levo, zakuqujemo da je n = ABBA,za neku cifru A 6= 0 i neku cifru B.Iz ABBA = A · 1001 + B · 110 = 11 · (91A + 10B), dobijamo da jen deiv sa 11. Kako je n potun kvadrat, to 11 mora biti prostqinilac broja 91A+ 10B = 11 · (8A) + 3A+ 10B, pa 11 | 3A+ 10B.Iz posled�e relacije dobijamo da A i B mogu biti jedino neki odparova iz tabele

A 1 2 3 4 5 6 8 9

B 3 6 9 1 4 7 2 5 ,tj. n ∈ {1331, 2662, 3993, 4114, 5445, 6776, 8228, 9559}.

15

Kako nijedan od brojeva iz navedeog skupa nije potpun kvadrat(2662, 3993, 8228 se ne zavrxavaju sa 1, 4, 5, 6, 9; 2 | 4114, 4 - 4114;5 | 5445, 25 - 5445; 1331 = 113; 6776 = 23 · 7 · 112; 9559 = 112 · 79), tozakuqujemo da ne postoji prirorodan broj sa tra�enim osobi-nama.

II Geometrija

Broj zadatka 1 2 3

Taqan odogovor G B A

Zadatak 4. Oznaqimo sa M1,M2,M3,M4 presek paralela kroz M(iz teksta zadatka) sa stranicama paralelograma ABCD kao naslici.Treba dokazati da mora biti taqna bar jedna od relacija

PAM1MM4 < P , PCM3MM2 < P ;

gde je sa P oznaqena qetvrtina povrxine paralelograma ABCD.Primetimo da bax takav zakuqak sledi iz relacije

PAM1MM4 + PCM3MM2 < 2P.

A B

CD

O1

O2

M

M1

M2

M3

M4

O4

O3

O

P1

P′1 Pc

P′′1

P2P′2

P′′2

A B

CD

O1

O2

M

M1

M2

M3

M4

O4

O3

O

Neka su O1, O2, O3 i O4 sredixta stranica AB, BC, CD, DA,redom. Paralelogram ABCD je pravama O1O3 i O2O4 razlo�enna qetiri podudarna paralelograma: AO1OO4, BO2OO1, CO3OO2

i DO4O3 (O je presek pravih O1O3 i O2O4), pa je svaki od �ihpovrxine P . Kako taqka M ne pripada pravama O1O3 i O2O4, toona mora pripadati unutrax�osti jednog od ova qetiri paralelo-grama.

16

Ako taqka M pripada paralelogramu AO1OO4, onda je paralelo-gram AM1MM4 strogi podskup paralelograma AO1OO4, pa je

PAM1MM4 < PAO1OO4 = P.

Sliqno se dokazuje da je PCM3MM2 < P ako taqka M pripada pa-ralelogramu CO3OO2.Razmotrimo sluqaj kada taqkaM pripada paralelogramuDO4OO3.Oznaqimo povrxine odgovaraju�ih paralelograma kao na slici.Primetimo da je P

′1+Pc = P

′′2 i P

′2+Pc = P

′′1 , odakle sledi P

′1 < P

′′2

i P′2 < P

′′1 . Sada imamo

PAM1MM4 + PCM3MM2 = (P1 + P′1) + (P2 + P

′2)

< P1 + P′′2 + P2 + P

′′1

= (P1 + P′′1 ) + (P2 + P

′′2 )

= P + P = 2P,

iz qega sledi tra�eni zakuqak.Sliqno se dokazuje PAM1MM4 + PCM3MM2 < 2P ako taqka M pri-pada paralelogramu BO2OO1.

III Kombinatorika

Broj zadatka 1 2 3

Taqan odogovor D G B

Zadatak 4. Cifre a, c i e jedinstveno odre�uju cifre b i d. Zacifre a, c, e mo�emo uzeti bilo koje cifre takve da su zadovoeniuslovi a 6= 0, a · c < 10 i c+ e < 10. Oqigledno, c mo�e biti bilokoja cifra, dok izbor cifara a i e zavisi od izbora cifre c.

vrednost cifre c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

broj izbora za a 9 9 4 3 2 1 1 1 1 1

broj izbora za e 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

ukupno brojeva 90 81 32 21 12 5 4 3 2 1

Dakle, ukupno ima 90 + 81 + 32 + 21 + 12 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 251takvih brojeva.

17

Prvi i drugi razred

I Algebra i brojevi

Broj zadatka 1 2 3

Taqan odogovor D G V

Zadatak 4. Kako je

1! · 2! · 3! · 4! · . . . · 64! = 1! · (1! · 2) · 3! · (3! · 4) · . . . · 63! · (63! · 64)= (1! · 1!) · 2 · (3! · 3!) · 4 · . . . · (63! · 63!) · 64= ((1!)2 · (3!)2 · . . . · (63!)2) · (2 · 4 · . . . · 64)= (1! · 3! · . . . · 63!)2 · (2 · 1 · 2 · 2 · . . . · 2 · 32)= (1! · 3! · . . . · 63!)2 · 232 · 32!= (216 · 1! · 3! · . . . · 63!)2 · 32!,

to za x = 32 i y = 216 · 1! · 3! · . . . · 63! va�i x! · y2 = n, xto potvr�ujeegzistenciju tra�enih brojeva.

II Geometrija

Broj zadatka 1 2 3

Taqan odogovor B V A

Zadatak 4. Oznaqimo sa P presek pravih AD i BC. Imamo da je]ABC = ]DCP (odgovaraju�i uglovi na transvezali).

4

30°A

B

P

H

D

C

S H1

Na osnovu SUS (BH = CD, 75°, 90°) zakuqujemo da BHA ∼= CDP ,a iz qega sledi AH = PD i PABCD = PAHP .Dae, PA = PD +DA = AH +DA = 8.Oznaqimo sa S sredixte du�i PA. Kako je trougao AHP pravou-gli sa pravim uglom kod H, to je SA = SH = SP = 4.

18

U trouglu SAH va�i SA = SH i ]SAH = ]SAB − ]HAB = 75°,pa je ]HSA = 180°− 2 · 75° = 30°.Oznaqimo sa H1 podno�je normale iz H na PA. Trougao SH1H jepravougli sa hipotenuzom SH = 4 i uglom ]HSH1 = ]HSA = 30°,iz qega zakuqujemo da je HH1 = 4 : 2 = 2.

Najzad, PABCD = PAHP =1

2·AP ·HH1 = 8.

Napomena: Ne oqekuje se da uqenik dokazuje implicitno korix�e-ne rasporede taqaka na pravama.

III Kombinatorika

Broj zadatka 1 2 3

Taqan odogovor G V A

Zadatak 4. Oznaqimo sa T (n) skup svih ure�enih trojki (a, b, c)gde su a, b, c razliqiti elementi skupa D(n) takvi da c = NZD(a, b).Jedini uslov pri dodeiva�u boja elementima skupa D(n) je da subrojevi a, b, c razliqitih boja za svako (a, b, c) ∈ T (n) .

Ako D(n) sadr�i tri razliqita prosta broja p, q i r, onda brojeve1, p, q, r i pq treba zapisati razliqitim bojama jer

(q, p, 1), (r, p, 1), (r, q, 1), (pq, r, 1), (pq, pr, p), (pq, qr, q) ∈ T (n).

Kako nemamo pet boja na raspolaga�u, sledi da se D(n) ne mo�eobojiti (ϕ(n) = 0) ako n ima vixe od dva prosta delioca.

Razmotrimo sluqaj kada n ima dva prosta delioca (p i q).

Ako D(n) sadr�i p2 i q2, onda brojevi 1, p, q, p2 i q2 moraju bitirazliqitih boja jer

(q, p, 1), (p2, q, 1), (p2, pq, p), (q2, p, 1), (q2, pq, q), (q2, p2, 1) ∈ T (n).

Ako D(n) sadr�i p3 i q, onda brojevi 1, p, q, p2 i p3 moraju bitirazliqitih boja jer skup T (n) sadr�i trojke

(q, p, 1), (p2, q, 1), (p2, pq, p), (p3, q, 1), (p3, pq, p), (p3, p2q, p2).

Dakle, ϕ(n) = 0 ako n ima dva prosta delioca i vixe od tri prostaqinioca.

19

Ako je n = p2 · q, onda je D(n) = {1, p, q, p2, pq, n}. Sliqno kao i ra-nije, zakuqujemo da 1, p, q, p2 moraju biti razliqitih boja. Kakose pq nalazi jedino u trojci (p2, pq, p) ∈ T (n), to se �egova bojamora jedino razlikovati od boja brojeva p i p2 . Boja broja n mo�ebiti bilo koja od 4 date boje jer se n ne nalazi ni u jednoj trojciskupa T (n). Dakle, ϕ(n) = 4! · 2 · 4 = 192.

Ako je n = p ·q, onda je D(n) = {1, p, q, n}, pa sliqnim razmatra�emkao u prethodnom sluqaju dobijamo ϕ(n) = 4 · 3 · 2 · 4 = 96.

Kako ne treba razmatrati sluqaj kada n ima taqno jednog prostogdelioca, to je ostao jedino sluqaj n = 1 (iako se broj 1 mo�e po-smatrati kao stepen prostog broja sa eksponentom 0). Oqiglednoje ϕ(1) = 4.Dakle, tra�ena vrednost je 192.

20

ZAHVALNICA

Organizaciju turnira pomogao je GRAD VA�EVO.

21