Inleiding Meten 8E020. Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM) De Meetcyclus...

Inleiding Meten8E020

Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM)

De Meetcyclus

Object Signaal Meting Analyse Informatie

Control en/of

Feedback


8E020 Inleiding Meten 3

De Meetcyclus

Object Signaal Meting Analyse Informatie

Control en/of

Feedback

Transfer function



Transfer functions - overview

• In colleges 3 en 4 lag de focus op het beschrijven van een signaal in termen van sinussen en cosinussen met verschillende frequenties en fasen

• Het gedrag van een elektrisch circuit (meetsysteem) kan worden beschreven met een transfer function (overdrachtsfunctie)

• Transfer function is frequentie afhankelijk!



Transfer fuctions - overview

• Inleiding complexe getallen

• Transfer functies van schakelingen met alleen weerstanden zijn onafhankelijk van de frequentie

• Transfer functies van schakelingen met condensatoren en/of spoelen zijn frequentie-afhankelijk

• Definitie: complex impedance

• Frequentie-afhankelijke transfer functie wordt beschreven m.b.v. complexe getallen



Complex Numbers



Complex numbers

2

2 2

2

1 1

Re( )

Im( )

arctan

cos sin

1

1

j ofwel j

c a j b

c a

c b

c a b

b

a

c c j

j j jj

j j j j

j

a

b

c

is de afstand tot de oorsprong

is de hoek van de vector met positieve x-as

ofwel


College 6 8E020 Inleiding Meten 8

Complex numbers

• Uit de gegeven definities volgt

1 2

1 2

1 1

2 2

1 2 1 2

| || |

| |

( )( ) | | | | | |

c c c

c c c

c ca bjc c and

c d ej c

c c c a bj c dj c c c and

en

en


Complex numbers1 1

2 2

| || |

| |

c ca bjc c

c d ej c

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 22 2 2

2 2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) 2 2| | { } { }

( )

a bj a bj d ej a bj d ej ad aej bdj be ad be bd ae jc

d ej d ej d ej d ej d ej d e d e

ad be bd aej

d e d e

ad be bd ae a d b e abde b d a e abdec

d e d e c d

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

22 21

2 2 22

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

| |( ). . .

( ) | |

a d b e b d a e a d e b d e a b d e

d e d e d e

ca bQ E D

d e c


10

Complex numbers

1 2

1

2c c c

c a bjc

c d ej

1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

2 2

2 2 2 2

2 2

( )( ) ( ) ( )

tan( ) ( )

tan tan( )

tan tantan( )

1 tan tan

( )

( )

c

c c c c c c

c cc c

c c

bd aead be bd ae bd aed ec j

ad bed e d e ad bed e

If then

Since in general

bbd ae awethus haveto proof thatad be

1

edb ea d

Thisundoubtedly you cando for yourself

Als dan

In het algemeen:

We moeten dus bewijzen:

Bewijs: zelf doen



Transfer Functions



Transfer functions

• Electrisch domein:– effort = voltage U– flow = current I

• Wet van Ohm:– U = I × R, met R de impedance

• Vaak wordt ook admittance gebruikt:– G = 1 / R



Transfer functions

• Voorbeeld: Spanningsverschil U1 (uitgang) over R2 kan worden beschreven in termen van spanningsverschil U0 (ingang) en weerstanden R1 en R2

R1

U0 U1R2

+

-

0 0 2 21 2 0

1 2 1 2 1 2

U U R RI en U I R U

R R R R R R



Transfer functions

• Transfer functie H wordt gedefinieerd door:

• H is dus een uitdrukking voor de ratio uitgang U1 / ingang U0

• In dit voorbeeld:

1

0

UH

U

2

1 2

RH

R R

R1

U0 U1R2

+

-



Transfer functions

Voor dit voorbeeld geldt:1. H is makkelijk te berekenen2. H is een constante, onafhankelijk van de

frequentie van ingang U0

Ad 1: Transfer functies voor schakelingen met veel weerstanden zijn moeilijker

Ad 2: Transfer functies voor schakelingen met condensatoren en spoelen zijn wèl afhankelijk van de frequentie van U0



Transfer functions

• Voorbeeld:

• Transfer functie H = U1/U0 is moeilijker te bepalen, maar het is niet onmogelijk (probeer dit zelf)

R 3U0

U1

R1

R2

R4

R5

R6



Transfer functions

• Transfer functies voor schakelingen met condensatoren en spoelen zijn wèl afhankelijk van de frequentie van U0

• Condensatoren en spoelen zijn “buffers”:– Condensator (capaciteit) C:

“buffer of displacement”– Spoel (inductie) L:

“buffer of impulse”

• Transfer functies van schakelingen zonder buffers zijn frequentie-onafhankelijk en kunnen niet fungeren als “filter”



Transfer functions - frequency dependent

• Voorbeeld met condensator:

• Gedrag van een condensator (en een spoel) is afhankelijk van de frequentie

• Transfer functie H = U1/U0 is frequentie-afhankelijk

U0U1

R1

R2C


19


• Stel stroom I(t) door condensator is gegeven door:

• Bereken de spanning U(t) over de condensator:

cosCi t A t

0

1(0)

sin (0)

cos (0)2

CC

t

C C C

C C

C C

dui t C

dt

u t i t dt uC

Au t t u

C

Au t t u

C




• Als de stroom amplitude A heeft, dan heeft de spanning amplitude A/(ωC)

• Als de stroom een cosinus is, dan is de spanning een sinus

• Dus de spanning loopt ½π achter, ofwel de condensator introduceert een faseverschil van −½π tussen spanning en stroom




• Omdat een condensator eigenlijk een integrator voor stroom is: blokgolf IC(t) levert zaagtand UC(t)

0 200 400 600 800 1000-2

0

2

4

Blok: iC en uC, of uL en iL

0 200 400 600 800 1000-2

0

2

4

tijd

Sinus: iC en uC, of uL en iL

uC of iL

iC of uL

Zaagtand UC(t)

Blokgolf IC(t)

Sinus UC(t)

Sinus IC(t)

Tijd



Complex Impedance



Complex impedance

• Om dit gedrag met één formule te beschrijven introduceren we de term impedance

• Deze definitie is equivalent met de definitie van impedance Z voor een pure dissipator (weerstand R):

• Z = effort / flow (R = U / I)• G = flow / effort (de admittance = 1/Z)



Complex impedance

De ratio effort / flow moet echter twee aspecten beschrijven:

1. Verandering in amplitude geϊntroduceerd door de condensator

2. Verandering in fase geϊntroduceerd door de condensator

Impedance Z beschrijft beide aspecten m.b.v. een complex getal



Complex impedance

Impedance Z is dus een complex getal:

Z = a + bj

zodanig dat

|Z| = |effort| / |flow|arg(Z) = phase shift effort vs flow



Complex impedance

Voor een condensator wordt de impedance gegeven door:

ZC = 1 / jωC

De admittance van een condensator wordt gegeven door:

GC = jωC


27

Complex impedance

• Controle van de definitie van een impedance voor een condensator m.b.v. een complex getal:

• Hieruit volgt: |effort| / |flow| = 1/ωC, dus

• Phase shift Δφ is gegeven door Δφ = arg(ZC)

2

1 1 1| | | | | | | |C

jZ j

j C j C C C

| || |

floweffort

C

1 1arg( ) arg( ) arg( )

11

tan0 2

cZ jj C C

C

komt overeen met sheet 20

komt overeen met sheet 20



Complex impedance

• Bij hoge frequentie, ω∞, gaat de impedance van een condensator naar nul. Bij hoge frequentie is de condensator dus een shortcut

• Hoogfrequente stroom door een condensator leidt dus niet tot een spanningsverschil

• Voor ω=0 geldt dat de impedance van een condensator oneindig is. Dus voor ω=0 zal er geen stroom lopen door de condensator (het circuit is “open” bij de condensator)



Complex impedance

• Voor een spoel geldt:– Als de stroom amplitude A heeft, dan heeft de

spanning amplitude AωL– Als de stroom een cosinus is, dan loopt de

spanning ½π voor, ofwel de spoel introduceert een faseverschil van +½π

( ) cos

( )( ) ( ) sin sin( )

1 1cos( ) cos( )

2 2

I t A t

dI tU t L U t L A t L A t

dt

L A t L A t



Complex impedance

Voor een spoel wordt de impedance gegeven door:

ZL = jωL

De admittance voor een spoel wordt gegeven door:

GL = 1 / jωL



Complex impedance

• Voor ω0 gaat de impedance van een spoel naar nul. Bij ω=0 is de spoel dus een shortcut

• Laagfrequente stroom door een spoel leidt dus niet tot een spanningsverschil

• Bij hoge frequentie, ω∞, geldt dat de impedance van een spoel oneindig is. Bij hoge frequentie zal er geen stroom lopen door de spoel (het circuit is “open” bij de spoel)



Complex impedance

Voor een dissipator (weerstand) wordt de impedance gegeven door:

ZR = R

De admittance voor een weerstand wordt gegeven door:

GR = 1 / R



Complex impedance

• De impedance voor een weerstand is dus onafhankelijk van de frequentie

• Het gedrag van de weerstand is gelijk voor iedere frequentie



Working with complex impedances




• Notatie op basis van complexe getallen voor impedance heeft twee voordelen:

1. Men kan rekenen met impedanties met de rekenregels voor complexe getallen

2. Men kan rekenen met impedanties in electrische schakelingen zoals men kan rekenen met echte weerstanden




• Voor N impedanties in serie geschakeld geldt:

• Voor N impedanties parallel geschakeld geldt:

1

N

tot kk

Z Z

1

N

tot kk

G G




• De electrische schakeling van sheet 18 wordt nu:

U0U1

Z1= R1

Z2= R2

Zc=1/jC



Frequency-dependent transfer functions




• Beschouw Z2 en ZC als 2 parallel geschakelde impedanties

• Z2 en ZC kunnen worden vervangen door ZV:

• Deze schakeling is equivalent met de schakeling op sheet 13 waarbij R1 vervangen is door Z1 en R2 door ZV

2 2

2 2 2 2 2

2

2

11 1 1 1 1

1

v c

v

j CR j CRj C

Z Z Z R R R R

RZ

j CR




• Voor deze schakeling gelden dus ook equivalente formules (zie sheet 13):

Z1

U0 U1Zv

+

-

0 01 0

1 1 1

v vv

v v v

U U Z ZI en U I Z U

Z Z Z Z Z Z




• De transfer functie H(jω) wordt gevonden door Z1 en ZV in te vullen in de formule:

• Interpretatie van frequentie-afhankelijke transfer functies zal worden besproken in volgende colleges

2 2

1 2 2 2

2 1 2 20 1 2 1 21

2 2

1 1( )

(1 )1 1

R R

U j CR j CR RH j

R R j CR RU R R j CR RRj CR j CR

1 1

2

21v

Z R

RZ

j CR




• Merk op dat H(jω) het quotiënt is van twee complexe getallen:

• Voor H(jω) gelden dezelfde rekenregels als voor complexe getallen (zie sheets 6-10)

2 1

1 2 1 2 2

1 2

2 1 2 1 2

( )

0

( ) ( )

R CH j with

R R j CR R C

C R j

C R R CR R j

met




• Voor H(jω) gelden dus ook de regels van sheet 8:

1 2

1 2

1

2

1

2

1 2

1 2

( )( )

( )

| ( ) || ( ) |

| ( ) |

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

| ( ) | | ( ) | | ( ) |

H H H

H H H

H ja bjH j

c dj H j

H jH j and

H j

H j a bj c dj H j H j

H j H j H j and

en

en




• In het algemeen wordt de transfer functie van een electrische schakeling weergegeven met complexe getallen

• In het volgende college worden verschillende klassen van transfer functies besproken:– low pass– high pass– band pass

• Ook wordt dan een grafische weergave voor transfer functies besproken: bode diagrams

Inleiding Meten 8E020. Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM) De Meetcyclus...

Documents

Transcript of Inleiding Meten 8E020. Cardiovascular Research Institute Maastricht (CARIM) De Meetcyclus...