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PHYSIK A2 WS 2013/14Physik A/B1 SS 2017
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Inhalt der Vorlesung A11. Einführung
Methode der PhysikPhysikalische GrößenÜbersicht über die vorgesehenen Themenbereiche
2. TeilchenA. Einzelne TeilchenBeschreibung von Teilchenbewegung
Kinematik: Quantitative ErfassungDynamik: Ursachen der Bewegung
KräfteArbeit + Leistung, EnergieErhaltungssätze: Energie- und ImpulserhaltungDrehbewegungSchwingungen, harmonischer Oszillator
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Betrachtung in einer Dimension
Fdt
xdm 2
2
Fdt
xdm 2
2
2. Newton‘sches Axiom
Multiplikation mit der GeschwindigkeitdtdxF
dtdx
dtxdm 2
2
dtdxF
dtdx
dtxdm 2
2
dxdE
F potext dt
dEdtdx
dxdE
dtdx
dtxdm potpot 2
2
Zwei kleine Umformungen:
kinEdtd
dtdxm
dtd
dtdx
dtdm
dtdx
dtxdm
22
2
2
22
(1)
(2)
Annahme: Es wirken nur Kräfte, die sich aus einem Potential ableiten lassen.
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Wir fassen zusammen: potkin EdtdE
dtd
oder: 0 potkin EEdtd .constEE potkin
Satz von der Energieerhaltung
Die Summe der mechanischen Energieformen (kinetische und potentielle Energie) bleibt erhalten.
E = Ekin + Epot = const.
Potentielle und kinetische Energie können ineinanderumgewandelt werden.
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Kinetische und potentielle Energie können ineinander umge-
wandelt werden.kinetische potentielleEnergie Energie
Beispiel: Federpendel
Wenn die Masse m in die Höhe h ge-hoben wird, dann hat sie potentielle Energie gewonnen. Lässt man die Masse wieder fallen,gewinnt sie offensichtlich kinetischeEnergie.
Beispiel: Federpendel
x(t)
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Beispiel:Eine Masse befindet sich in einerHöhe h über dem Boden in Ruhe.Dann läßt man die Masse fallen. Frage: Mit welcher Geschwindigkeit trifft sie auf dem Boden auf ?
1
h
Epot
2
v Ekin
1
Die potentielle Energie in der Höhe h ist
Da die Masse in Ruhe ist, hat sie keine kinetische Energie
hgmE (1)pot
0(1)kin E
hgmEEE (1)pot
(1)kin
)1(
2
Beim Auftreffen auf den Boden ist die potentielle Energie ver-schwunden, die Masse ist aber auf die Geschwindigkeit v be-schleunigt worden. Dann gilt für die Energien
2(2)kin
(2)pot
21
0
vmE
E
2(2)
pot(2)kin
)2(
21 mvEEE
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Die Geschwindigkeit beim Auftreffen auf den Boden ist also:
hgv 2
Dieses Ergebnis hatten wir auch schon auch mit den Methoden der Kinematik erhalten, die Berechnung über die Energieerhal-tung ist hier aber wesentlich einfacher.
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Versuch: „Hemmpendel“
Die Kugel des Faden-pendels schwingt auf beiden Seiten auf die gleiche Höhe h, unab-hängig von der Posi-tion des Hemmstabs. In dieser Höhe ist die kinetische Energie vollständig in poten-tielle Energie umgewandelt worden.
Hemmstab
h
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h
Versuch: Loopingbahn
Startpositiondes Wagens
zF
GF
Im Looping will der Wagen sich zu jedem Zeitpunkt geradlinig gleichförmigweiterbewegen. Die Bahn zwingt ihn jedoch auf eine Kreisbahn, so dass auf ihn eine Zentripetalbeschleunigung wirkt.Bei hinreichend hoher Geschwindigkeit überwiegt die resultierende Anpress-kraft A die Gewichtskraft - der Wagen fällt nicht aus dem Looping.
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Ein Wagen der Masse m startet in einer Höhe h auf einer schrägen Rampe und durchläuft eine vertikale, kreisrunde Bahnschleife („Looping“). Wie groß muß h sein, damit der Wagen im höchstenPunkt des Loopings nicht herunter-fällt?
Im obersten Punkt der Kreisbahn wirkt die Schwerkraft
2g sm81.9 ggmF
und ihr entgegengesetzt ist dieAnpresskraft = Masse x Zentri-petalbeschleunigung:
eReRva 2
2
Dann ist die Anpresskraft A
eRvmamF 2
z
Aufgabe zur Loopingbahn:
Da die Kräfte im Scheitelpunkt derBahn entgegengesetzt gerichtet sind, genügt es, mit den Beträgen zu rech-nen. Die Zentrifugalkraft ist dann:
RvmA
2
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Um die Geschwindigkeit zu berech-nen, betrachten wir die potentiellenEnergien. Im Startpunkt gilt
hgmE Startpot
Im Scheitelpunkt ist
)2(Looppot RmgE
Die Differenz hat sich in kinetischeEnergie gewandelt, also
Rhgv
mvRhgmE
22212
2
2pot
Mit (*) folgt daraus sofort
RRh 22
Auflösen liefert schließlich für die gesuchte Mindesthöhe
Rh25
Wegen der unvermeidlichen Reibungsind leicht größere Werte erforderlich.
RgvgmRvm
FFz
22
g
und es ergibt sich sofort:
(*)
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Bemerkung:
Die Erhaltung der Energie gilt natürlich generell und ist nicht nur auf diemechanischen Energieformen beschränkt.
Treten jedoch nur sog. konservative Kräfte auf, so bleibtdie Energie im den mechanischen Energieformen erhalten.
Tritt dagegen Reibung auf, so wird Energie aus den mechanischen Energieformen herausgezogen und in Wärme verwandelt,
bis beispielsweise ein Bewegungsvorgang völlig zum Erliegen kommt.Beispiel: Federpendel!!
Ganz allgemein gilt für die Energieerhaltung:
EEEE "andere"potkin
Dabei bezeichnet E“andere“ bisher noch nicht behandelte, andere Energieformen.
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Hinweis:Die Energieerhaltung ist im strengen Sinne nicht beweisbar! Empirisch wurde jedoch noch nie Verletzung gefunden.
Beispiel: -Zerfallursprünglicher experimenteller Befund
Neutron zerfällt in Proton+Elektron.Energiemessungen ergaben jedoch, dass die Energiebilanz vor und nach demZerfall nicht stimmte.
Diese Annahme tat einigen Physikern so weh, dass Pauli 1930 kurzerhand ein weiteres Teilchen postulierten, das die fehlende Energie mit sich wegführen sollte.
Das Neutrino besitzt eine so geringe Wechselwirkung mit Materie, dass seineExistenz lange Zeit Postulat blieb. Erst 1956 konnte es schließlich nachgewie-sen werden.
epn0
eepn 0 onoAntineutri-Elektron e
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1 2 3 4 5
Die Kugel 1 stößt auf die Reihevon vier anderen, zunächstruhenden Kugeln. Alle Kugelnhaben dieselbe Masse.
1 2 43 5
Nach dem Stoß kommt die ersteKugel zur Ruhe, der Stoß pflanztsich durch die Kugelreihe fort und stößt zuletzt die 5. Kugel ab.
Versuch: Stoß einer Kugelreihe
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Satz von der Erhaltung des Impulses
In einem abgeschlossenen System mit N Körpern bleibt die Summe der Impulse immer erhalten,
unabhängig von der Art der stattfindenden Stöße
const.1
N
iip
Abgeschlossenes System: Es greifen keine externen Kräfte an!!
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Die Impulserhaltung ist ebenfalls eine Folge der Newton‘schen Axiome:
N
ii
N
i
iN
ii p
dtd
dtpdF
dtpdF
111
2. Newton-Axiom:
Wegen des 3. Newton‘schen-Axioms gibt es in einem abgeschlossenen System zu jeder Kraft Fi eine Gegenkraft –Fi, d.h. die Wechselwirkungen der N Kräfte untereinander kompensieren sich.
0 111
const.ppdtdF
N
ii
N
ii
N
ii
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Definition einer neuen Größe: Schwerpunkt – center-of-mass
N
NN
mmmM
rmrmrmM
R
21
2211
1
Bewegung des Schwerpunkts:
extNextextextNN FFFFrmrmrmRM
,2,1,2211
Der Schwerpunkt eines Körpers bewegt sich wie ein Teilchen, in dem die gesamte Masse der Objekte, die den Körper aufbauen, konzentriert ist und andem die äußere Kraft angreift. Die internen Wechselwirkungen kompensierensich wegen actio=reactio.
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Stöße
Wechselwirkungs-bereich
11,vm 11,vm
22 ,vm 22 ,vm
Bewegte Körper können untereinander Stöße ausführen. Dabei ändert sich im allgemeinen deren Geschwindigkeit und Richtung.
Energie- und Impulserhaltung sing von entscheidender Bedeutungbei der Behandlung von Stossprozessen.
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Daraus folgt wie bisher (2. Newton‘sches Gesetz)
pvmrmF
m1
m1
m1
m2
m2
m2
01 v
02 v
sF
sF
01 v02 v
t > 0
t = 0
t < 0
Beim Stoß ist der Kraftverlauf
sF
t0
harte Kugeln(Stahl)
weiche Kugeln(Gummi)
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Dabei gilt für den sog. „Kraftstoß“
GummiStahl
)()( dttFdttF
dttF )(
Was bedeutet der Kraftstoß
physikalisch ?
d.h. durch den Kraftstoß wird der Impuls einer Masse verändert.
Es gibt zwei prinzipiell unterschied-liche Arten von Stößen:
1. Der elastische Stoßdabei bleibt die mechanische Energie erhalten.
pvvmdtFvdm
dtFvdmv
v
t
t
12
2
1
2
1
Nach dem 2. Newton‘schen Gesetzist
dtvdmvmrmF
2. Der inelastische Stoßdabei wird ein Teil der Energie z.B. in Wärme umgewandelt
pdtFt
t
2
1
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Beispiel: Die Ramme M
h
Aus der Höhe h wird die Masse Mauf dem Pfahl fallengelassen. Nachdem Aufprall wird sie in der Zeit tgestoppt. Wie groß ist die Kraft F ?
F
t1 t2 = t1 + t
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Die Geschwindigkeit beim Aufprall ist:
ghvght
tghtgv
2221,
11
2111
Zahlenbeispiel:
M = 1000 kg, h = 8.5 m, t = 0.01 s
Berechnung der Kraft:
)(
)()(
12
12
2
1
vvMtF
ttFdttFt
t
Mit v2 = 0 folgt:
tghM
tvMF
21
N103.1s
m kg01.0
5.881.921000
6
2
F
Einsetzen liefert