Movimiento peridico del sistema masa-resorte.Jess Muoz 1222603, Yordan Gonzlez 1225288, John Steven Jimnez 1226318Experimentacin Fsica III, Universidad del Valle, 13-marzo-2014 ResumenEn este laboratorio se hizo el estudio de un sistema masa- resorte , el cual est conformado por un resorte, que en un extremo se encuentra agarrado a un porta pesas, en el cual se le adicionaran diferentes cantidades de masas, y en su otro extremo se encuentra sostenido a un soporte fijo. En esta prctica se realizaron 2 procedimientos. En el primer procedimiento (mtodo estatico) se midi la elongacin del resorte con diferentes masas y en la segunda parte (mtodo dinmico) se realizaron oscilaciones con diferentes masas y se midi el tiempo que tardan 5 oscilaciones completas, con el fin de hallar el periodo de cada oscilacin. Teniendo en cuenta la gravedad en Cali que es de 9.81m/s2.Se calcul los valores de la constante elstica del resorte para los dos casos correspondientes, el esttico y el dinmico: y

I. INTRODUCCIONSe denomina oscilatorio a todo movimiento que se repite parcial o totalmente cerca de la posicin de equilibrio estable. Si la oscilacin se caracteriza por el cambio de magnitudes mecnicas, como el desplazamiento, la velocidad, la aceleracin, la presin, etc., dicho movimiento se denomina oscilacin mecnica. Si cada valor de la magnitud que cambia durante la oscilacin se repite a iguales intervalos de tiempo, tal oscilacin se denomina peridica. El intervalo de tiempo T necesario para la realizacin de una oscilacin completa se denomina perodo de la oscilacin y la magnitud inversa al perodo, f=1/T, se denomina frecuencia de la oscilacin peridica. Un ejemplo de movimiento oscilatorio peridico se tiene cuando se suspende verticalmente un cuerpo del extremo de un resorte. Examinemos cuidadosamente la secuencia de Figuras1a-1d:

Figura 1. Modelo del sistema masa resorte: (a) Posicin del resorte sin estirarlo; (b) Posicin media del resorte estirado; (c) Posicin a la que se lleva el resorte manualmente, y desde la cual se suelta; (d) Oscilaciones del resorte alrededor de la posicin media del resorte estirado.

En la Figura 1a se ha representado un resorte suspendido verticalmente, de cuyo extremo libre cuelga un portapesas. Denominemos Lo la longitud medida desde el punto de suspensin del resorte hasta el extremo libre del portapesas. Al agregar una masa m al portapesas, el resorte se estirar bajo la accin del peso F=mg, lo cual se evidencia en el desplazamiento X del extremo libre del portapesas. La relacin entre la fuerza estacionaria F aplicada al resorte y la magnitud del estiramiento X de ste se denomina Ley de Hooke y se expresa mediante la ecuacin:F = -KX (1)donde K es una constante caracterstica del resorte denominada constante elstica. El signo negativo indica que la direccin de la fuerza aplicada sobre el resorte es de sentido contrario al desplazamiento experimentado por el sistema. Si el sistema de la Figura 1b se desplaza manualmente una distancia A hacia abajo o hacia arriba con respecto a la posicin de equilibrio X, el sistema oscilar alrededor de X con una amplitud A, tal como se muestra en las Figs. 1c-d. El anlisis matemtico demuestra que: Si se desprecia la fuerza de rozamiento; Si se desprecia la masa del resorte; Si la amplitud A de las oscilaciones es tal que se cumple la ley de Hooke, entonces el periodo de la oscilacin est dado por la relacin (2)Ntese que bajo las premisas anteriormente mencionadas, el perodo es independiente de la amplitud de las oscilaciones. Sin embargo, en las condiciones experimentales la masa del resorte participa en la dinmica del sistema de una manera compleja, ya que todas las partculas del resorte no oscilan de la misma manera. Se puede demostrar por consideraciones de variacin de energa cintica y potencial elstica del sistema oscilante, que 1/3 parte de la masa del resorte participa en la dinmica de la oscilacin. Si designamos mediante mef a esta fraccin de la masa del resorte, entonces la relacin (2) debe escribirse de la siguiente forma (3)II. MONTAJE EXPERIMENTALMateriales y Equipo: - Resortes muy livianos.- Portapesas.- Juego de pesas completo. - Cronmetro graduado en 0.01s. - Regla de 1m graduada en mm. - Soporte universal.- Balanza.

Arreglo Experimental: La Figura 2 nos ilustra esquemticamente la geometra del arreglo experimental. El sistema consta de un resorte R suspendido verticalmente de un soporte S. Del extremo libre del resorte R cuelga un platillo portapesas P sobre el que se pueden colocar pesas adicionales, constituyendo la masa del sistema. En la base del portapesas se cuenta con una lmina delgada de aluminio L que permite visualizar la posicin de la masa sobre la regla milimetrada B anclada al soporte S en el punto de amarre A. El resorte hace oscilar verticalmente a la masa con un cierto periodo, el cual se mide con el cronmetro digital C.

Figura 2. Arreglo experimental del sistema masa-resorte.III. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL.1. Medicin de la constante elstica (mtodo esttico): Determine la masa del resorte mr y la masa del sistema portapesas+lmina de aluminio mp con la ayuda de la balanza. Arme el montaje experimental indicado en la Figura 2. Mida el estiramiento (elongacin) x1 que experimenta el resorte cuando al portapesas se le agrega una masa de m=20 g. Al observar la posicin del portapesas con la ayuda de la lmina de aluminio, debe asegurarse que sus ojos estn al mismo nivel de la lmina.

Determine la masa total mt=m+mp bajo la cual el resorte se estira x1. Repita los dos pasos anteriores para masas de 40g, 60g, ....., 240g. Designe mediante x2, x3,.....etc las respectivas elongaciones del resorte bajo la accin de las masas totales m2, m3,.....etc

Lleve los datos obtenidos a una tabla. 4.2.

2. Medicin de la constante elstica (mtodo dinmico): Retire la regla milimetrada. Ponga en el portapesas una masa de 20 g y con la ayuda del cronmetro, mida el tiempo de 3 oscilaciones completas, 3 veces para esta masa y calcule el tiempo promedio. Divida el tiempo promedio por el nmero de oscilaciones para obtener el periodo T.

Registre en una tabla el valor de T vs. la masa total suspendida al resorte. Repita los dos pasos anteriores aumentando paulatinamente la masa agregada al portapesas, hasta llegar a 240 g. 4.3. Precauciones para eliminar el error sistemtico. Tenga en cuenta que la precisin de los pesos asignados es del 1%. Para medir el tiempo es conveniente que accione el cronmetro despus de las 2 primeras oscilaciones del sistema. La exactitud de la medida del tiempo est limitada por la velocidad de reaccin del observador, la cual es de 0.2 seg para iniciar el cronmetro y 0.2 seg. para detenerlo.

Al desplazar el resorte de su posicin de equilibrio, verifique que su desplazamiento sea solo vertical y que no se le ha dado un impulso adicional, por ejemplo, un movimiento torsional alrededor del eje del resorte. IV. RESULTADOS Y ANALISIS.Parte 1: Medicin de k con el metodo estatico.

Obtenemos los datos de las masas m y su respectiva elongacion x, los cuales registramos en la tabla 1.

Tabla 1.Para encontrar el valor de la constante de elasticidad usamos el mtodo de regresin lineal con la ecuacin (1). Realizamos la grafica F vs x, donde F=mg. El valor de k esta dado por la pendiente de dicha grafica.

Grafica 1. F vs x.

De la grafica obtenemos una funcin lineal, cuyo valor de la pendiente es 4.535 , por lo tanto

Incertidumbre de k:

Para encontrar la incertidumbre de la constante obtenida, hallamos las derivadas parciales de la ecuacin anterior, que quedara expresada de la siguiente forma:

Encontramos el k para cada una de las masas y luego hallamos k promedio.

Por lo tanto, el valor de la constante de elasticidad encontrado por el mtodo estatico es:

Incertidumbre relativa

La incert. relativa del valor de k obtenidoes del 0.09%, lo que nos indica que fue un resultado con muy buena precisin, teniendo en cuenta que estos resultados se ven afectados por distintos factores.

Tabla 2.

Parte 2: Medicin de k con el metodo Dinamico.Despues del procedimiento se obtiene los valores de las masas m y los tiempos para 5 oscilaciones, los cuales estan registrados en la tabla 2. Para encontrar el valor de la constante de elasticidad usamos el mtodo de regresin lineal con la ecuacin (3). Realizamos la grafica T2 vs m. El valor de k esta dado por la pendiente de esta grafica.Para encontrar T2, hallamos el promedio de los cuatro tiempos registrados, y posteriormente lo dividimos entre el numero de oscilaciones (5 oscilac.) para obtener el periodo, el cual elevamos al cuadrado.

Grafica 2. T2 vs m

La pendiente de la recta es , por lo tanto:

Incertidumbre de k:

Para encontrar la incertidumbre de la constante obtenida, hallamos las derivadas parciales de la ecuacin anterior, que quedara expresada de la siguiente forma:

Encontramos el k para cada una de las masas y luego hallamos k promedio.

Por lo tanto, el valor de la constante de elasticidad encontrado por el mtodo esttico es:

Incertidumbre relativa

La incert. relativa del valor de k obtenido experimentalmente es del 1,37%, lo que nos indica que fue un resultado con una buena precisin.ERROR ABSOLUTO Y RELATIVO DE k:El valor de teorico de k esta dado por el valor encontrado mediante el procedimiento estatico.

Para encontrar el valor experimental de , usamos el intercepto de la grafica 2,

Para el valor de k, usamos el promedio de los dos valores encontrados (metodo estatico y dinamico).

El valor terico de

Error: Se presento una diferencia de 0,0255 entre el valor experimental y el terico de , cuyo error equivale al 108%, que puede deberse a la propagacin de los errores, ya que de algn modo las diversas operaciones que se usaron van aumentando el error, y tambin debido a errores que se presentan a la hora de registrar los datos, errores en los clculos, y otros factores que afectan los resultados del experimento.

V. CONCLUSIONES-Al realizar este laboratorio de masa - resorte pudimos ver que el valor de la constante de elasticidad (K), hallado de manera terica (por met. esttico) fue muy similar al obtenido de manera experimental (por met. dinmico) lo cual nos dice que en este caso la teora concuerda muy bien con la prctica, donde obtuvimos una diferencia de 0,17 que equivale al 3,74%.-Por el mtodo esttico la constante nos dio mas precisa comparado con la dinmica , debido a que en el primer procedimiento se realizo menos mediciones comparado con el segundo, adems entre menos variables tenga la formula a utilizar menor es la propagacin de errores. La precisin del k (mtodo dinmico) fue de 1.37% y la del esttico fue de 0.09%.-En un sistema masa-resorte, el periodo depende del coeficiente de elasticidad del resorte, y de la masa del peso adjunto al mismo, adems ambos factores son directamente proporcionales, como vimos en la grafica T2 vs m, donde a medida que aumenta la masa total del resorte tambin aumenta el periodo del mismo.-Cuando se trabaja con un sistema de masa-resorte, generalmente se desprecia la masa del resorte, ya que no afecta mucho en el sistema .En este caso se considero que esta masa influira en nuestros resultados, por lo tanto fue necesario incluirla en las formulas para tener una mayor exactitud, a la que llamamos mef, que equivale a 1/3 parte de la masa del resorte que es la fraccin de esta masa que participa en la dinmica de la oscilacin.