SISTEMAS NUMERICOS

Un Sistema Númerico es un conjunto de dígitos utilizadospara representar cantidades.

Un Dígito es un símbolo o carácter que es utilizado por un Sistema Númerico.

Ejemplo de Dígitos:157 en el sistema decimal (de base 10) se compone de los dígitos 1, 5 y 7

Los sistemas de numeración que poseen una base deben cumplir con la notación posicional, es decir, la posición de

cada número le da un valor o peso

005 50 500 5000 etc.

Sistemas de Numeración

Un sistema de numeración consiste de un conjunto ordenado de símbolos, denominados dígitos, donde el número total de dígitos del conjunto representa la base ( r ) de dicho sistema.

Los sistemas de uso común en el diseño de sistemas digitales son: el decimal, el binario, el octal y el hexadecimal.

Sistemas de Numeración Binario

Un sistema de numeración binario está compuesto por los siguientes dígitos:

Sist. de numeración

Conjunto de dígitos Base ( r )

Binario {0,1} 2

Sistemas de Numeración Decimal

Un sistema de numeración decimal está compuesto por los siguientes dígitos:

Sist. de numeración

Conjunto de dígitos Base ( r )

Decimal {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

10

Sistemas de Numeración Octal

Un sistema de numeración Octal está compuesto por los siguientes dígitos:

Sist. de numeración

Conjunto de dígitos Base ( r )

Octal {0,1,2,3,4,5,6,7} 8

Sistemas de Numeración Hexadecimal

Un sistema de numeración hexadecimal está compuesto por los siguientes dígitos:

Sist. de numeración

Conjunto de dígitos Base ( r )

Hexadecimal {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}

16

Los sistemas de numeración binario, octal y hexadecimal están relacionados entre si, puesto que sus bases se relacionan por medio de potencias de 2, así: 2=21, 8=23, 16=24. Esto facilita la conversión entre sistemas de numeración.

Conversión entre Sistemas Numéricos , binario,Octal y hexadecimal.

La conversión entre sistemas de numeración se realiza por separado para la parte entera y para la parte fraccionaria del número N. Asi:

Método de división entre la base

Método de multiplicación por la base

Parte entera

Parte fraccionaria

Conversión entre los sistemas decimal, binario, octal y hexadecimal.

Método de división entre la base Este método se utiliza para convertir la parte entera de un número en base A al entero equivalente en base B.

ii

n

piAaΣN ×=

−

−=

1

La parte entera del número N con base A se puede escribir como: 0

01

12

21

1 ... AaAaAaAaN nn

nnE ++++= −

−−

−

El valor de cualquier número N con n dígitos enteros y p dígitos fraccionarios en base A se puede determinar a partir de:

Método de división entre la base

La división de NE entre la base deseada queda como:

BAaAaAaAaBN nn

nnAE /)...(/)( 0

01

12

21

1 ++++= −−

−−

)()( 0bResiduoQCociente +=

El residuo b0 corresponde al dígito menos significativo del número NE en base B.

Los dígitos (bi)B restantes se obtienen con divisiones sucesivas del cociente (Q) resultante entre la base deseada, hasta que el cociente (Q) resultante llegue a ser igual a cero.

Ejemplo de Conversión Decimal a BinarioMétodo de división entre la base

Convertir (249)10 a bases 2

(249)10 = (11111001)2

249 2124 2

62 231 2

15 2273 2

1 20

10

011111

a0

a1

a7

Ejemplo de Conversión Decimal a OctalMétodo de división entre la base

Convertir (249)10 a bases 2,8,16

(249)10 = (371)8

249 831 8

3 80

17

3

a0

a1

a2

SISTEMAS NUMERICOSBinario -> Decimal

Conversión BINARIO -> DECIMAL

Sumar los valores representativos de cada columna, de derecha a izquierda. Un 1 en la primer columna vale1. Un 1 en cada una de las siguientes columnas representael doble que la anterior.

Ejemplo:

1 0 0 1 1b Si cada columna representa el doble quela anterior, entonces:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2048 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1

16 0 0 2 1

1 0 0 1 1b

16 + 2 + 1 = 19

1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0

8 + 16 + 256 + 2048 + 4096 = 6424

1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1

= 7577

SISTEMAS NUMERICOSBinario -> Decimal

+ Ejemplos

SISTEMAS NUMERICOSDecimal -> Binario

Dividir por 2 sucesivamente el valor a convertir hasta llegar a cero. Cuando exista residuo, poner un 1, cuando la división

sea exacta,poner un 0. Finalmente, tomar los residuos de Abajo hacia arriba. Este será nuestro número binario.

Ejemplo: Convertir 25 a su equivalente en binario25 / 2 = 12.5 - residuo = 1

12 / 2 = 6 - residuo = 0

6 / 2 = 3 - residuo = 0

3 / 2 = 1.5 - residuo = 1

1 / 2 = 0.5 - residuo = 1

25 = 11001b

0

SISTEMAS NUMERICOSDecimal -> Binario

Convertir 7053 a binario:7053

3526

1763

1

0

8811

4401

2200

1100

550

271

13

1

6

3

1

0

11

01

7053 = 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1b

SISTEMAS NUMERICOSBinario -> Hexadecimal

BINARIO HEXADECIMAL DECIMAL0000000100100011010001010110011110001001101010111100110111101111

0123456789ABCDEF

0123456789101112131415

SISTEMAS NUMERICOSBinario -> Hexadecimal

Se hacen grupos de 4 bits, empezando de derecha a izquierda.Si en el último grupo faltan dígitos, se rellena con ceros. Finalmente,

cada grupo se convierte a su equivalente en Hexadecimal.

Convertir 1 1 0 1 0 1 1b a Hexadecimal

1 0 1 10 1 1 01.

2. B6

1 1 0 1 0 1 1b = 6Bh

(Se completa con un cero)

Convertir

1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1b

A hexadecimal

1. 0001 1101 1001 1001

2. 1 D 9 9

1110110011001b = 1D99H

SISTEMAS NUMERICOSBinario -> Hexadecimal

SISTEMAS NUMERICOSHexadecimal -> Binario

Cada dígito Hexadecimal se convierte en su equivalente a Binario, haciendo grupos de 4 dígitos binarios. Si faltan dígitos, se completa

con ceros.

Convertir 99D1H a binario

1001 1001 1101 0001 (Se completa con cero)

99D1h = 1001100111010001b

ConversionesConversiones• De Decimal a BinarioDe Decimal a Binario• De Decimal a OctalDe Decimal a Octal

• De Decimal a De Decimal a HexadecimalHexadecimal

2) El cociente se vuelve a dividir entre la base.

1) Se divide el número entre la base.

3) Se repite el paso 2 hasta que el cociente sea

menor a la base.

ConversionesConversiones• De Binario a OctalDe Binario a Octal

• De Binario a De Binario a HexadecimalHexadecimal

• De Octal a BinarioDe Octal a Binario

•De Hexadecimal a De Hexadecimal a BinarioBinario

Se agrupan los dígitos de tres en tres

Se agrupan los dígitos de 4 en 4

Se convierte cada dígito octal a tres binarios

Se convierte cada dígito hexadecimal a cuatro binarios

ConversionesConversiones• De Octal a De Octal a HexadecimalHexadecimal

• De Hexadecimal a OctalDe Hexadecimal a Octal

1) Se convierte a binario

1) Se convierte a binario

2) Se agrupan los dígitos de 4 en 4

2) Se agrupan los dígitos de 3 en 3

¿Que es el código BCD?¿Que es el código BCD?• Ahora ya sabemos que los números del Sistema decimal

tienen equivalentes en el Sistema Binario, La agrupación ordenada de los 0 y 1 de un número Binario representa algún número Decimal.

Los sistemas digitales utilizan por fuerza los números en Sistema Binario, pero para nosotros en el mundo real siempre tienen que ser convertidos al Sistema Decimal, como hemos visto, las conversiones entre uno y otro Sistema de Números pueden llevarnos demasiado tiempo y ser muy complicadas, por ejemplo, si usamos números muy grandes. Para este tipo de conversiones y usos, se utiliza un método sencillo que combina las características de los Sistemas Decimal y Binario, este método lleva el nombre de Codificación Binaria Directa.

• Cuando tomamos cada uno de los dígitos del Sistema Decimal, y lo representamos con su equivalente del Sistema Binario, estamos generando un “nuevo” código, el cuál lleva el nombre de Código Decimal Codificado en Binario (BCD).

Partiendo de este nuevo código, el mayor número que podemos representar es el 9 (1001), por lo tanto forzosamente necesitamos de un número Binario de 4 Bits para hacerlo. Pero veamos gráficamente que es y como funciona el BCD.

En esta ocasión usaremos los números Decimales 586 y 397, el proceso de convertir cada dígito por un equivalente Binario sería el siguiente:

• Cada uno de los dígitos del Número Decimal es convertido en su equivalente Binario, Siempre utilizando 4 Bits para este proceso. En resumen, el Código BCD representa por separado cada uno de los numerales Decimales, empleando para ello números Binarios de 4 Bits.

Como es lógico, si sólo se puede representar un solo número decimal por cada código BCD, los números del 10 al 15 (que es el número decimal más alto para un código Binario de 4 Bits, 1111), están fuera del código, de hecho, si tenemos algún circuito digital que trabaja sobre Código BCD y nos diera una salida como las siguientes, algo no está funcionando bien:

• Decimal 10 = Binario 1010 • Decimal 11 = Binario 1011 • Decimal 12 = Binario 1100 • Decimal 13 = Binario 1101 • Decimal 14 = Binario 1110 • Decimal 15 = Binario 1111

• Como el nombre lo indica, el Código BCD no puede ser catalogado como un Sistema (como el Binario, Octal y Hex). Sólo es una forma de Codificar el Sistema Binario.

Teniendo muy presente este hecho, Un número en código BCD, NO es lo mismo que un número Binario Directo. El código BCD toma cada uno de los dígitos de un número Decimal y los representa, Un número del Sistema Binario representa el número Decimal Completo. Para comprender mejor el concepto, usaremos el número Decimal 387.

Diferencias entre el Sistema Binario y el Código BCD

Tabla de conversión al Sistema Tabla de conversión al Sistema Binario Binario

Tabla de conversión al Código Tabla de conversión al Código BCD BCD

Aritmética BinariaAritmética Binaria• SumaSuma

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1 y llevamos 1

• RestaResta

0 - 0 = 0

1 - 0 = 1

1 - 1 = 0

0 - 1 = 1 y debemos 1

Aritmética BinariaAritmética Binaria•

MultiplicacióMultiplicaciónn

0 x 0 = 0

0 x 1 = 0

1 x 0 = 0

1 x 1 = 1

• DivisiónDivisión

1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1

0

1

01 11 0 1

1

01 001 0 1

11

1

TAREA

Convertir:

378H -> Decimal

3020H -> Binario

11010 -> Binario

8193 -> Hexadecimal

1100000000b -> Decimal

4074 -> Hexadecimal