INFORMACION DE CONJUNTOS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICASFacultad de Psicología.

ESTADÍSTICA IProfesor: EMERSON CHAPARRO

TALLER No. 03: TEORÍA DE CONJUNTOS

1. OBJETIVO GENERAL

Al finalizar el taller, el estudiante estará en capacidad de:

Establecer relaciones entre conjuntos y sus elementos Realizar operaciones ente los conjuntos Demostrar las propiedades de los conjuntos empleando diagramas de Ven-Euler Realizar problemas sobre el cardinal de un conjunto.

2. MARCO TEÓRICO

NOCION INTUITIVA DE CONJUNTO

Intuitivamente, un conjunto es una colección o clase de objetos bien definidos y diferenciables. Estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto. En general, se designan los conjuntos usando letras latinas mayúsculas y los elementos con letras minúsculas.

Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia, a A. En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota a A.

Ejemplos de conjuntos:

N: el conjunto de los números naturales. Z: el conjunto de los números enteros. Q : el conjunto de los números racionales. R: el conjunto de los números reales.

Se puede definir un conjunto:

por extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos. por comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza.

Taller 3: Teoría de Conjuntos

Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define por extensión, o su propiedad característica, si se define por comprensión. Por ejemplo:

A := {1,2,3, ... ,n} B := {p Z | p es par}

DEFINICIONES.

Igualdad de Conjuntos. El conjunto A es igual al conjunto B si ambos tienen los mismos elementos, es decir, si cada elemento de A es también elemento de B y recíprocamente. Luego, podemos escribir:

(A = B) ( x)(x A x B).

Subconjuntos. Si todo elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B, entonces se dice que A es un subconjunto de B. Esta relación se denomina relación de inclusión y se denota como: A B. Simbólicamente se puede expresar así:

A B ( x)(x A x B)

Esta relación también se puede leer: "A está contenido en B", "A es una parte de B". Para expresar que A no está contenido en B, escribimos: A B.

Para cualquier conjunto A se verifica que A y A A; B A es un subconjunto propio de A si: A y B A.

Con esta definición de subconjunto se puede dar de otra manera la definición de igualdad de dos conjuntos, así:

(A = B) (A B) (B A)

Puesto que todo conjunto A es subconjunto de si mismo, se dirá que A es un subconjunto propio de B; si A es subconjunto de B y A no es igual a B. Más brevemente, A es subconjunto propio de B si A B y A B. Esta situación puede representarse mediante un diagrama así:

2


Ejemplos

1. Considere los siguientes conjuntos:

M = {1, 3, 5, 7}N = {2, 4, 6, 8}Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Se observa que todos los elementos del conjunto M también se encuentran en el conjunto Q; de esta manera podeos concluir que M esta contenido en Q, de manera más formal: M Q. En este caso, se tiene que M es un subconjunto de Q.

De igual forma se tiene que N Q.

2. Sean

A = {x/x es positivo par 8}B = {1, 2, 3, 4}C = {2, 4, 6, 8}D = {x/x Z, x 10}

De los anteriores conjuntos se puede ver que:

a) A C, y, C A, luego A = Cb) A D, B D, C D.

Conjunto Universal. Es el conjunto de todos los elementos en discusión. También se le llama dominio de discusión o referencial. El conjunto universal se designa con el símbolo U.

Ejemplos

1. En geometría plana el conjunto universal es el de todos los puntos del plano. 2. En los estudios de población humana el conjunto universal estará formado por todos los seres humanos del mundo.

Conjunto Vacío. Es el conjunto que carece de elementos. Este conjunto se denotará por . Un conjunto vacío se puede definir mediante una propiedad que sea contradictoria, por ejemplo:

Sea A = {x / x2 = 4 x es impar}.

3


Conjunto de Partes de un Conjunto. El conjunto de todos los subconjuntos de un

conjunto A, se denomina conjunto de partes de A y se denota P (A). En consecuencia,

x P(A) x A

P(A) = {x / x A}

Se dice que A está contenido en B (también que A es un subconjunto de B o que A es una parte de B), y se denota A B, si todo elemento de A lo es también de B, es decir, a A a B.

Entonces, la relación B A es equivalente a decir B (A).

Ejemplos:

Si A = {a, b} entonces (A) = {,{a}, {b}, A}.

Si a A entonces {a} (A).

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

UNIÓN. La unión de los conjuntos A y B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A, o a B, o a ambos. Se denota la unión de A y B por A B y se llama unión de A y B.

En consecuencia, x ( A B) x A, x

Entonces se puede expresar por comprensión este conjunto así:

A B = {x / x A x B}

Una interpretación gráfica de la unión de A y B es la siguiente:

4


En la gráfica la región rayada corresponde a la unión de A y B. Se presentan los conjuntos dentro de un rectángulo que representa el conjunto referencial del cual se seleccionan los conjuntos A y B

Ejemplo

Sean A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {3, 4, 6, 8, 9}

A partir de estos dos conjuntos, se tiene que:

A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9}

Observe que en A U B no se repiten los elementos comunes a los dos conjuntos.

Gráficamente se representa de la siguiente manera:

INTERSECCIÓN. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto de los elementos que son comunes a A y a B, esto es, aquellos que pertenecen a A y que también pertenecen a B. Se denota la intersección de A y B por A B y se lee "A intersección B".

En consecuencia,

x A B x A x B.

El conjunto A B está dado por:

A B = { x / x A x B }.

5

• 1

• 2

• 5• 3

• 4

• 6

• 9

• 8

AA BB

UU

• 1

• 2

• 5• 3

• 4

• 6

• 9

• 8

AA BB

UU


Gráficamente, una representación de A B es:

La región rayada corresponde a A B. Cuando A y B no tienen elementos comunes, se dice que son disyuntos.

Ejemplo

Consideremos nuevamente los conjuntos A y B del ejemplo anterior. Con base en éstos conjuntos se tiene que

A B = {3, 4}.

Gráficamente,

COMPLEMENTO. El complemento de un conjunto A es el conjunto de todos los elementos que no pertenecen a A, es decir, el conjunto de todos los elementos que están en el Universal y no están en A. El complemento de A se denota por A'.

En consecuencia,

x A' x 1 x A.

Gráficamente, su representación está dada por:

6

• 1

• 2

• 5• 3

• 4

• 6

• 9

• 8

AA BB

UU

• 1

• 2

• 5• 3

• 4

• 6

• 9

• 8

AA BB

UU


A' = {x / x U x A}.

Ejemplo

Sean U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}; y, A = {1, 3, 5, 7, 9}


A’ = {2, 4, 6, 8, 10}

Gráficamente A’ se representa de la siguiente manera:

DIFERENCIA

Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia al conjunto

A B = {a A | a B}.

Asimismo, se llama diferencia simétrica entre A y B al conjunto

A B = (A B) A

7


Ejemplo

Sean A = {3, 5, 8, 9, 10}; B = {4, 6, 8, 11, 12}


A - B = {3, 5, 8, 9, 10}y

B - A = {4, 6, 11, 12}

Nótese que A – B B – A.

La representación gráfica de A – B se presenta a continuación:

Si A (U), a la diferencia U A se le llama complementario de A respecto de U, y se denota abreviadamente por A' (U se supone fijado de antemano).

Es fácil ver que si A y B son subconjuntos cualesquiera de U se verifica:

' = U . U ' = . (A')' = A. A B B' A'. Si A = {x U | p(x) es una proposición verdadera} entonces A' = {x U | p(x) es una

proposición falsa}.

Si A y B son subconjuntos de un cierto conjunto universal U, entonces es fácil ver que

A B = A B'.

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PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS

En este caso, las llamadas operaciones booleanas (unión e intersección) verifican las siguientes propiedades:

PROPIEDADES UNION INTERSECCION1.- Idempotencia A A = A A A = A2.- Conmutativa A B = B A A B = B A3.- Asociativa A ( B C ) = ( A B ) C A ( B C ) = ( A B ) C4.- Absorción A ( A B ) = A A ( A B ) = A5.- Distributiva A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) A ( B C ) = ( A B ) ( A C )6.- Complementariedad A A' = U A A' =

Estas propiedades hacen que partes de U con las operaciones unión e intersección tenga una estructura de álgebra de Boole.

Además de éstas, se verifican también las siguientes propiedades:

A = A , A = ( elemento nulo ). A U = U , A U = A ( elemento universal ). ( A B )' = A' B' , ( A B )' = A' B' ( leyes de Morgan ). ( A' )' = A , ( U )' = )' = U

DIAGRAMAS DE VENN - EULER

Los conjuntos de suelen representar gráficamente mediante "diagramas de Venn-Euler", con una línea que encierra a sus elementos.

Así, todas las operaciones entre conjuntos se pueden representar gráficamente con el fin de obtener una idea más intuitiva.

A B

A B

9

AABB

UU

AABB

UU


A B

A B

A B

10

AABB

UU

AABB

UU

AA

BB

UU

AA

BB

UU

AA

BB

UU

AA

BB

UU


Cardinal de un conjunto

Sea A un conjunto dado; se denomina al “cardinal de A” como el número de elementos de A, el cual se denota (A).

Ejemplos:

Si V = {x/x es estación del año} entonces (V) = 4. Si P= {x/x es un primo par} entonces (P) = 1.

Conociendo el cardinal de ciertos conjuntos dados, podemos obtener el cardinal de otros conjuntos que son unión, intersección, diferencia o complementos de los conjuntos dados.

Si se tienen dos conjuntos A y B, definimos el cardinal de la unión de estos conjuntos de la siguiente manera:

(A B)= (A) + (B) - (A B).

Si los conjuntos son disyuntos, la relación anterior se reduce a:

(A B)= (A) + (B)

Ejemplos.

1. Una farmacia rebajó el precio de una loción y el de una crema. La contabilidad al final de un día indicó que 66 personas habían comprado crema; 21 compraron loción y 21 ambos productos.a. ¿Cuántas personas aprovecharon la oferta?b. ¿Cuántas compraron solamente la loción?

11

AA

BB

UU

AA

BB

UU


c. ¿Cuántas compraron solamente la crema?Solución

Consideremos los siguientes conjuntos:

C = {x/x compró crema}L = {x/x compró loción}

De acuerdo al problema tenemos que:

(C L) = 21

Este será nuestro elemento clave para resolver el problema, para ello la herramienta más práctica para solucionar el ejercicio es mediante el uso de los diagramas de Venn-Euler.

Cabe anotar que dentro del total de personas que adquirieron las cremas (66) se están contabilizando las que compraron cremas y lociones (12), de esta manera se tiene que, para saber cuántas personas compraron SOLAMENTE cremas realizamos el siguiente cálculo:

(Solamente Crema) = (C) - (C L)(Solamente Crema) = - = 54

De la misma manera, para conocer la cantidad de personas que adquirieron SOLAMENTE lociones:

(Solamente Lociones) = (L) - (C L)(Solamente Crema) = - = 9

De esta forma, ¿cuántas personas aprovecharon la oferta?

(C L)= (C) + (L) - (C L).(C L)= + -

12


(C L)= 75Gráficamente se observa la solución del ejercicio planteado:

2. Una encuesta realizada a un grupo de empleados reveló que 277 tenían casa propia; 233 poseían automóvil; 405 televisor; 165 automóvil y televisor; 120 automóvil y casa; 190, casa y televisor y 105 tenían casa, automóvil y televisor.a. ¿Cuántas personas fueron encuestadas?b. ¿Cuántas personas tienen solamente casa propia?c. ¿Cuántas personas tienen solamente casa y televisor?

Solución

Consideremos los siguientes conjuntos:

C = {x/x tiene casa propia}T = {x/x tiene televisor}

A = {x/x tiene automóvil}

De acuerdo al problema tenemos que

(C T A) = 105

Es decir, el número de empleados que poseen los tres servicios corresponde a la intersección de los tres conjuntos. A partir de este cardinal, se encuentran los otros cardinales que corresponden a las diferentes intersecciones entre los diferentes pares de conjuntos que puedan conformarse, tal como se observa a continuación:

13


(C T) = 190 - (C T A) = 190 – 105 = 85(C A) = 120 - (C T A) = 120 – 105 = 15(A T) = 165 - (C T A) = 165 – 105 = 60

De esta manera, se puede representar gráficamente mediante los diagramas de Venn-Euler, así:

Observe que la suma de los números que se encuentran en la región sombreada de corresponde al cardinal del conjunto; por ejemplo,

(C) = 277(C) = x + (C A T) + (C A) + (C T) = x + 15 +105 + 85, de donde x = 72

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Siguiendo el anterior raciocinio se llega a:

a. Para saber cuántas personas fueron encuestadas, calculamos el cardinal de la unión de los tres conjuntos:

(C A T) = (C)+(A)+(T)-(C A)-(C T)-(A T)+(C A T)(C A T) = 277 + 233 + 405 – 120 – 190 – 165 + 105(C A T) = 545

b. La región sombreada representa el número de personas que tienen solamente tienen casa propia, es decir, 72

15


c. La región sombreada en la siguiente figura corresponde al número de personas que solamente tienen casa y televisor (190 = 105 + 85) que se obtiene de:

(C T) = (C) + (T) - (C T)(C T) = (C) + (T) - (C T)(C T) = 277 + 405 – 492(C T) = 190

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Define por extensión cada uno de los siguientes conjuntos, usando la notación ′ . . .′cuando sea necesario:

a) {x | x es entero y − 3 < x < 4}b) {x | x es entero positivo y x es múltiplo de 3}c) {x | (3x − 1)(x + 2) = 0}d) {x | x es un entero y (3x − 1)(x + 2) = 0}

2. Enumera cinco elementos de cada uno de los siguientes conjuntos:

a) {n | n es natural y n es divisible por 5}

b) { | n es primo}

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c) {2n | n es natural}d) {r | r es racional y 0 < r < 1}

3. Describe por extensión cada uno de los siguientes conjuntos o escribe ∅ si son vacíos:

a) {n | n ∈ N y n2 = 9}b) {x | x ∈ R y x2 = 9}c) {x | x ∈ R, x < 1 y x ≥ 2}e) {x | x ∈ Q, x2 = 3}f ) {3n + 1 | n ∈ N y n ≤ 6}.

4. Describe por comprensión los siguientes conjuntos:

a) El conjunto de todos los enteros que pueden ser escritos como suma de cuadrados de dos enteros.

b) El conjunto de todos los enteros menores que 1000 que son cuadrados perfectos.c) El conjunto de todos los números que son múltiplos enteros de 13.d) { a, e, i, o, u }

5. Si U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} es el conjunto universal y A = {1, 4, 7, 10},B = {1, 2, 3, 4, 5}, C = {2, 4, 6, 8}, defina por extensión los siguientes conjuntos:

a) A ∪ Bb) A − Bc) Ac

d) Uc

e) B ∩ Uf ) Bc ∩ (C − A)g) (A ∩ B)c ∪ Ch) B ∩ Ci) A ∪ ∅j) A ∩ (B ∪ C)k) (A ∩ B) ∪ Cl) A ∩ B) − Cm) (A ∪ B) − (C − B)

2. Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, . . . , 12}, A = {1, 3, 5, 7, 9, 11}, B = {2, 3, 5, 7, 11},C = {2, 3, 6, 12} y D = {2, 4, 8}. Determine los conjuntos

a) A ∪ Bb) A ∩ Cc) (A ∪ B) ∩ Cc

d) A − Be) C − D

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f ) (B − D) ∪ (D − B)

2. A una conferencia internacional sobre contaminación del medio ambiente, asisten cien especialistas, de los cuales cincuenta hablan inglés, sesenta portugués y cincuenta español; de ellos treinta hablan portugués e inglés; veinte inglés y español; veinte portugués y español.

¿Cuántos asistentes hablan los tres idiomas?

3. Una ensambladora de autos recibió una orden de fabricación de 38 automóviles tipo sedán, con las siguientes características: 18 con aire acondicionado; 23 con vidrios eléctricos y 29 con cojinería de lujo. De estos, 3 deben tener solamente vidrios eléctricos, 8 deben tener solamente cojinería de lujo; 9 de los vehículos deben tener solamente vidrios eléctricos y cojinería de lujo, 5 de los vehículos deben tener los tres aditamentos.

Determinar:

a. ¿Cuántos vehículos llevan aire acondicionado y cojinería de lujo, solamente? b. ¿Cuántos vehículos llevan aire acondicionado solamente? c. ¿Cuántos vehículos llevan aire acondicionado y vidrios eléctricos solamente?

4. En un inventario minero realizado en algunas regiones del país acerca de la producción futura de recursos no renovables, se encontró que: 8 poseen petróleo, 15 poseen carbón y 13 poseen oro; 6 poseen solamente carbón y oro; 4 solo poseen oro, 3 poseen los tres recursos; petróleo y carbón solamente, ninguna de las regiones.

Determinar:

a. ¿Cuántas regiones intervinieron en el inventario? b. ¿Cuántas regiones poseen solamente petróleo? c. ¿Cuántas regiones poseen solamente carbón?

5. Los siguientes son los datos que muestran las preferencias de algunos aspirantes a ingresar a la universidad por ciertos programas:

50 prefieren medicina. 47 prefieren ingeniería. 35 prefieren biología. 16 prefieren ingeniería y biología. 11 prefieren medicina e ingeniería. 15 prefieren medicina y biología. 9 prefieren las tres.

Determinar:

18


a. ¿Cuántos aspirantes fueron encuestados. b. ¿Cuántos aspirantes prefieren únicamente medicina? c. ¿Cuántos aspirantes no prefieren biología? d. ¿Cuántos aspirantes prefieren medicina o biología pero no ingeniería? e. ¿Cuántos aspirantes prefieren medicina o ingeniería?

6. La secretaría de educación municipal requiere la provisión de veintinueve cargos docentes en las siguientes áreas: 13 profesores de matemáticas, 13 profesores de física, y 15 profesores de Sistemas. Para el cubrimiento de los cargos se requiere que: 6 profesores dicten matemáticas y física, 4 profesores dicten física y sistemas y 5 profesores dicten matemáticas y sistemas.

Determinar:

a. ¿Cuántos profesores se requiere que dicten las tres áreas? b. ¿Cuántos profesores se requiere para dictar matemáticas únicamente? c. ¿Cuántos profesores se requiere para dictar matemáticas y sistemas pero no física?

7. Con relación al problema 6.

En respuesta a la solicitud de trabajo, se seleccionaron veintinueve aspirantes cuyas solicitudes presentan la siguiente información:

15 pueden dictar física. 16 pueden dictar sistemas. 6 pueden dictar matemáticas y física. 5 pueden dictar física y sistemas. 1 puede dictar las tres áreas. 7 pueden dictar solamente sistemas.

Determinar

a. ¿Cuántos aspirantes seleccionados se presentaron para dictar matemáticas? b. ¿Qué puestos no pueden cubrirse? c. ¿Cuántos solicitantes y en qué áreas no pueden ser finalmente admitidos

8. De un total de 60 alumnos de un colegio:

15 estudian francés solamente,11 estudian francés e inglés;12 estudian alemán solamente;8 estudian francés y alemán;10 estudian ingles solamente;

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5 estudian inglés y alemán; y3 los tres idiomas.

Determine:

a) ¿Cuántos no estudian ningún idioma?b) ¿Cuántos estudian alemán?c) ¿Cuántos estudian alemán e inglés solamente?d) ¿Cuántos estudian francés?

BIBLIOGRAFÍA

Matemáticas Universitarias. Carl B. Allendoertfer, Cletus O. Oakley. 4ª Ed. Mc. Graw – Hill

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Conjuntos/marco_conjuntos.htm

http://docencia.udea.edu.co/SistemasDiscretos/contenido/conjuntos.html

http://www.famaf.unc.edu.ar/ingresantes/material/elementos.pdf

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http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Conjuntos/marco_conjuntos.htm

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