Inferencia Estadistica en los modelos biometricos y su aplicacion al Seguro de Vida

INFEIIENCIA ESTADISTICA EN LOS MODELOS BIOMETRICOS.

Y SU APLICACION AL SEGURO DE V I D A

ANGEL VEGAS Instituto de Investigaciones .Estadisticas

Nos proponemos estudiar los antecedentes cientificos de todo 1o que supon-e la aplicaci6n del C~ilculo~ de Probabilidades y la Estadlstica Matemgttica al estudio del fen dmeno biomdtrico de la supervivencia.

Para el lo empezaremos por definir las caracteristicas estoc~Isticas del fen6meno biomdtrico para despuds, mediante consideraciones a priori de car~icter biol6gic~), determinar la formulaci6n matem~itica del modelo.

Pot fihimo, procederemOs a la determinaci6n esfadfstica de los pa- r~imetros que figuran en el modelo, as[ como la confianza que nos me- rece dicho modelo, expresada la misma en tdrminos de probabilidadL

MODELOS BI, OMETI~ICOS

Entenderemos, en primer lugar, por modelo, la descripcidn mate- m~Itica de las relaeiones esenciales entre las magnitudes que definen' el fendmeno en estudio.

La Biometrfa, pues, serif Ia Ciencia que estudia los modelos biold- gicos determiMmdolos num&icamente y eontrastando su eficacia repre- sentativa pot mdtodos estadlsticos.

~. H'IP6TESI S FUNDAMENTALES

A) Hipdtesis de independencia.--Dado un grupo demogr~ifico formado por N cabezas, suponemos q u e e t fendmeno de la mortalidad es independiente de las dem~Is en cada una de ellas, es decir, que nc~ existe interaccidn entre las mismas, no teni~ndose en cuenta, por tanto la mortaIidad por contagio ni la que se deriva de la aecidn voluntaria de cualquiera de ellas sobre las demds.

B) Hipdtesis de uniformidad.--E1 fendmeno de la mortalidad se desarrolla en todas las cabezas del grupo de una forma an~loga.

26~ A N G E L V E G A S

Estas dos hip6tesis pueden formularse en t&minos de probabi l i - dad de la fo rma s iguiente :

L l amando ~1, : ~ a las edades de muer te de cada una de ~a2Y *''P ~ a

las N cabezas y s iendo 4stas var iantes , o var iables estoc&sticas, la pri- mera hip6tesis s e expresa dic iendo que son independien tes estoc&sti- camente, es decir, que la funci6n de dis t r ibuci6n conjunta , cor respon- diente al pun to (~1, ~=, ..., ~n) en el espacio de N d imens iones es el p roduc to de las funciones de dis t r ibuci6n marg ina l .

O sea

P [~, < z, , ~: < x , , . . . , ~.~ < z~,] = P [~, < z,l. P[~.. < *d . . . P [~ < x~l

La segunda hip6tesis lleva cons igo que todas las funciones de dis- t r ibuci6n mar~inales son iguales, es decir que

P (~, < x,) = G (x,) P (~, < x . ) = G (x,) . . . , . , . , , . . , , . . . ,

P (~.~ <x~) = G (x~)

II . PRINCIPALES FUNCIONES DE LA TEORfA DE LA SUPERVIVENCIA

De acuerdo con lo an ter ior t endremos que la p robab i l idad de que una cabeza muera en una edad comprend ida entre ~ y 'x+ h sergt de

la forma

P ( x < ~ G x + h ) = G(x + h ) - G(x)

La probabi l idad de que una cabeza sobreviva la edad x sergt

1 - G~x)

v de aqul que la p robabi l idad de que una cabeza viva a la edad x y muera en el intervalo x, Ix+h set& la p robab i l idad condic ionada de que habiendo alcanzado la edad x, muera entre ~ y x + h, por tan to

/hqx = G (x + h) - G (x)

1 - G (z)

En el caso de que sea h = l t endremos la l lamada p robab i l idad de mue r t e o tanto anual de mor ta l idad .

G (x + 1) - Ca (x)

1 - - @ ( x )

INFERENCIA ESTADISTICA E;N LOS MODE;LOS BIOME~rRICOS 26~

La probabi l idad de que una cabeza de edad ~ alcance la edad x + 1 ser~ la contrar ia de la anter ior y por tanto

y ami logamente

Px = 1 - qx = 1 - - G ( x + 1)

1 - G (x)

h P x = 1 -- G ( x + h )

I - G (x)

Has ta ahora no hemos tenido en cuenta el car&cter cont inuo o dis- creto de la variante ~. Si suponemos que es cont inua, entonces la funcidn de densidad vendr~i dada por G ' (x)=g( 'x ) .

En esta hipdtesis podemos definir el tanto instantfineo de mortalidad como medida de la fuerza de mortal idad, para 1o cual haremos las

s iguientes consideraciones :

Par t iendo del /hq~ anter iormente definido

G- (x + h) -- G (x) /hq~ =

1 - Cx (x)

tendremos que, en. vir tud de ser G(x) una funci6n cont inua y derivable,

/hqx = G ' ( t , + 0 h ~ . h - - G ' ( x ) . h + o ( h ) 1 -- G (x) 1 - O (x)

donde o(h) es un infinitdsimo de orden superior con respecto a h.

De donde se deduce que

G' (x)

I - @ (x)

es la funcidn de densidad condic ionada de que una cabeza viva a la edad ~ y muera entre x y : ~ + h cuando h tiende a 0.

A esta expresidn le l lamaremos tanto instant~neo de morta l idad.

Eviden temente

~t, = - D 1 [1 -- G (x)]

y por tanto

fo X - - }% ax

1 - -CT(x ) - - - K . e

La constante arbitraria K se determina po t la condici6n inicial

G(O)--- 0

~66

y por tanto K--l, y

ANGEL V~GA.9

L X

- - t t x a s

G-(x) = i - e

La probabi l idad, pues, de que la cabeza r viva al f inal del in tervalo

( 0 , X r ] , e s

x r --f ~xa~

1 - - CT (Xr) = • -'o

Apoy~ndose en tas hipdtesis previas, la p robabi l idad de que las r 1, 2, 3, ..., N vivan al final de los intervalos

serfi

(0, x,] (0, x.] (0, x,] . . . (0, ~ 1

[ t - G ( x , / ] - [ I - G (x~)] . . . [ t - G ( z : ) ] =

x I x

En el c a s o ,'v,t = ' N 2 ~ ' x 3 ~ . . . ~ ' x N s e r ~ .

fo [1 - - G" (x ) ] N = e - ~ ~ e~

III. PROCESO ESTOC,~STICO DE MUERTF

P o t proceso estoc~istico de muer te en tenderemos aqudl en el que la var iante cronol6gica es el ndmero de supervivFentes a una edad deter- minada, que proceden, de un g rupo inicial en el que la var iac i6n res- ponde exclus ivamente a un proceso de el iminaci6n por muerte .

As{, pues, los dos es tados suces ivos del fen6meno se representarf in

por E~,, E~,-~, es decir, que el g r u p o de I~ supervivientes se convier te en I~--I.

Los postulados b~isicos de este proceso son los mismos de indepen- denc ia y de un i fo rmidad sobre los que hemos e laborado tas an te r io- res consecuencias, j un t amen te con et que s igue :

La probabi l idad de que una cabeza, per teneciente al g rupo Ix muera en el intervalo x, ~'r es d e l a fo rma

~x.h + 0 (h)

en que o(h) es un infini tdsimo de o~den super ior respecto a h.

INFERE:NCIA ESTADISTtCA F-24" LOS MODELOS BIOMKTRICOS 2 6 7

Como consecuencia de todos estos postulados, la p robab i l idad d e ta el iminaci6n de una cabeza del g r u p o l~ en el intervalo x, z + h, ser~

Prob. [E~, ~ Ez,-1] = l,, ~,:. h + o (h)

LlamemosPz(x) a la p robab i l idad de que vivan l a la edad ~.. S e g d n esto, tendremos,

P~ (x + h) = P~+I (x). (~ + 1) ~x" h + Pz (x) (1 -- l ~x h) + o (h)

es decir

Pz (x + h) - P, (x) = h. ~ [P,+, (x) ( / + 1) -- P~ (x)-/1 + o (h)

y de aqui, d ividiendo por h, y hac iendo tender h a 0 se obt iene

P'~ (x) = ~x [ ( / + 1) P,+, (z) - 1. P, (x)]

Da ndo diferentes valores a I t endr lamos un sis tema de ecuaciones diferenciales.

P a r a proceder a su integraciSn vamos a par t i r de la funcibn carac- teristica. Sabemos que dicha funcibn es la s i gu i en t e :

(t) = E (e 't'~) = X �9 :~x" Px

Hac iendo e i t=s t endremos

La var ian te que nosotros cons ide ramos en nuestTo caso es I, nd- mcro de supervivientes , y como la p robab i l idad P,(x) depende de ~x, la funci6n caracterlst ica serA

(s, x) = X s ~" Pz (x) (0

Der ivando parc ia lmente tench'emos los resul tados

- E s ~ P'~ ( x ) = E s ~ ~:, [(l + 1) Pl+, (x) - l - P~ (x)] 0 x (0'

v ~ (s, x) - E l . s ~-~ Pz (x)

O s (0

por tanto

-- ~= (s - 1) ~ x ~ s

268 ANGEL VEGAS

o sea que

~ (s, x) + ~x (s - ] y (s, x) _ 0

;s

El s is tema adjunto de esta ecuaci6n s iguiente :

dx ds 1 ~x (s -- 1)

d y(s, x) = 0

cuya integraci6n es

en der ivadas parciales, es el

P 4 ( O ) = O , s iendo i g : O

(s, O) = s~

luego, en definitiva,

,~ (s, x) = [1 + (s - 1)

Po r otra parte, para ~'~=0, I ~ ' = s - - ! , ya que, como hemos visto,

S- -1 K e f~ ~x ~

La relaci6n existente entre las constantes , dadas estas re lac iones iniciales, ser~, pues,

K, = (Ks + 1) u

- - Sxd.~

- F l - e

Si l o es el g rupo inicial

PIG(O) = 1,

po t tanto

(s, x) = K, / - . . x .

x "/0 8 z dx f l o g ( s - 1 ) = J o ~xdx+lK:; s- - l=K~, e

La soluci6n general , pues, de la ecuaci6n anterior sera

[ ( s , x ) = H ( s - - 1 ) - e ~o " j

Pa ra determinar la funcidn arbi t rar ia H segfin el mdtodo de Cau- chy pa-rtiremos de las s iguientes condiciones iniciales:

INFERE'NCIA ESTADISTICA IgN LOS M O D E L O S BIOMETRICOS 269

fo X 8-- 3 x d x P o n i e n d o s = i t y P ( x ) = , t endremos

(s, x) = [P (x) e ~ + Q (x)p

que es la func idn caracterlst ica de una dis t r ibucidn binomial de probabi l idades P~x) y Q(x).

De aqui se deduce que la p robab i l idad de que a la edad x sobre- vivan l~ personas que proceden del g r u p o inicial lo, sertl

Prob . [ l= lx ]=( lo )p (x ) '~Q(x ) z~ lx

P(~x) es, por tanto, la p robab i l idad de que una cabeza per teneciente a 1 o alcance la edad .% pot lo cual t endremos

Pero sabemos que

Y

de donde se deduce que

1 - G ( x ) = P ( x )

•fo X

- - ~ x d x

1 - - G (X) = e

j0 x P(x)=e- ~x~

A1 tratarse de una dis tr ibucidn b inomial el valor medio ser&

de donde si E(/x)=l=

E(/~) = I o p ( x ) = Io[1 - G(x)]

G- ( x ) = 1 - - - - lo

expresi6n que relaciona la funcidn de dis t r ibucidn G(x) con el valor medio de supervivientes a la edad x.

De todo esto se deduce que la d is t r ibucidn de las edades de muerte queda de te rminada por el modelo que recoge los supervivientes , pero como

f ; - - ~ - x d x

l~ = loe

270 AUGEL VEGAS

el p rob lema de la determinacidn del modelo l~ se reduce a la determinacidn de ~ que, por definicidn, recoge las caracterlst icas b io ldg icas del f endmeno de la super~-ivencia.

P o t eso, a cont inuacidn d iscut imos la formulacidn matem~tica de estas caracterist icas a tend iendo a tas invest igaciones cldsicas.

IV. MODELOS DE MAKEHAM u L~ZARLTs.--Su REPRESENTACI6N ESTAD~STICA

La biometr la cl&sica, sobre todo a par t i r de Gomper t z y Makeham, e tabor6 modelos matem~ticos con f u n d a m e n t o bioldgico para el estudio del fen6meno de la mor ta l idad. Es tos modelos, asf como la gene- ralizacidn de Quiquet , se refer ian p r inc ipa lmente al mnto instant&neo

de morta l idad. En nuestro t rabajo p rocederemos de forma an&loga apoy6.ndonos,

po t tanto, en la est imacidn de t*=. Nos vamos a referir exc!us ivamente a las leyes de Makeham y LA-

zarus que, como es sabido, representan respect ivamente el tan to ins-

tant&neo de morta l idad de la fo rma

~x = a + be ~ e > 1

P-x --- a + btet x + b-.q x ez > 1 e. < 1

La expresi6n de Lazarus puede considerarse, segfin mgts ade lan te veremos, como una aprox imac i6n super ior a la de Makeham, insufi-

ciente para las edades m~s j6venes .

1. Espacio ]uncionaI representativo.--Sean las tres funciones

1; et x ; G ~ en que

e t > l , e ~ < l

Es fficil ver que son l inealmente independientes , ya que su wrons- k iano no es id4nticamente n u l o . E n efecto,

W = 0 el ~ log cl c~ x log e. = cl X e. ~ log e~ log e~ > 0 0 c, x (log el} ~ e= ~ (log es) t log e t log e=

A par t i r de estas funciones p o d e m o s elaborar an sistema de funciones or togonales y, para ello, utilizare.mos el conocido mdtodo de E r h a r d -

Schmid t .

INFERENCIA E S T A D I S T I C A E~N L O S M O D E L O S B I O M / i ~ T R I C O S '2"/'i

S e a n las funciones

% (x) = 1

?, ( x ) = c, ~ - - b,o

% ( x ) = c= ~ - - b:, - b.. t Yl ( x )

luego

Los parAmetros b se determinan pot la condicidn de ortogonalidad

- - 1

,% ( z ) .% (x) = 0 (r =I= s) ac~O

Tendremos, por tanto,

n - - I ~ - - 1 n - - 1

Z +,(x>. +o(=) = y.; : = o x = O 0 0

n - - i

Z r x

b ~ o - o _ Cl n - - 1

n n (e, - - 1)

de dond~

,% (x ) = c, ~ c~" - 1 n % - - 1)

An{dogamente r * - - I n - - 1 n - . - : l

0 0 0

y como

tendremos

n - - 1

% (x) = 0 0

n--1

Z C~ x

b_-o- o __ c~ n - - 1

n n (co - - 1)

La determinaci6n de b.,t se obtiene por la condicidn

n--I n - - 1

Z q~' ( x ) % (x ) = Z [co': - - b~o - - b., ? , ( x ) ] y , ( x ) = 0 0

n - - 1 n - - 1

0 0

272 ANGEL VEGAS

luego

b21

pot tanto

n--1

0 c, c . - 1 n ( e , - 1 ) (c~-- 1)

. - 1 cy-i 1 ( r

Z %(x)" e , ' - i n \ ~ 1 0

(el c.)n-- 1 ~ (ctn--1) (C~n-- 1)

c , , ' - I e l e - 1 n (e l -1 ) (c . , -1 ) [ c~- -1 .] % (x) = c. ~ " " ~_ n (ct-- 1)J n(c~- i ) c," '--1 1 ( c ~ - 1 ~' c'~

cl ~ -1 n \ c~--i ]

2. Representacidn de ~ . - - L a ley de Makeham, como an te r io rmen- t e hemos recordado, expresa el va lor medio de ~ segfin la f6rmula

si

E (~x) = a + b~ c( ~

Es evidente que esta expresiCn es igual a

E (1~) = % % (x) + ~, ,% (x)

~1 n - 1 a ~ G O ~ (21

n (c , - - 1 )

b I = a 1

S e g d n esto, la ley de Makeham surge de la representaciCn de E(~.)

a - - _ % _ r I - -

(C lc2) n - 1 -- (C/n-])(C$ n - l ) 1

c~ n - 1 c2 ~ -- 1 c, c: - 1 n (c~-- 1 ) (e~-- 1 ) r 1 . /

en el espacio definido por %(rx)=ll y

% (x) = cl ~ e, ~ -- 1 n (el -- 1)

De forma amiloga, la Icy de L~zarus

E (~) = a + b, e, "~ + b, e. x

puede expresarse de la fo rma

E (ll~) = % % (x) + ~1 Y~ (x) + %. %. (x) s iendo

INFERENCIA ESTADISTICA EN LOS MODELOS BIOMETRICOS 273

b I ~-- ~t I -- 12 2

b , = %

(c, c=)" - 1 ( c ~ " - - 1) (c=" - 1)

~ v , - - i n (c ,- 1) (cz-1)

el~--I o,~--i cl z - - 1 n ( c , - - 1) ~

Esto se ha conseguido considerando una dimensidn m&s en el espacio representativo, definido por

(c, c~)~--I 1 (c,n--1)(C.."--I)

e~.'~--i e , e~ - I n (e,-- l)(e,--1) [ cL- -1 ] ~"(x)-=c'X--n(c,--1)- c,~'"--i I [cj--l~" ~c"~--, (c,--1)/

c,"- i n \ c , -1 ]

3. Estimacidn de los pardmetros.--La estimacidn de ar en la ex- presi6n

a partir de las ecuaciones de observacidn

E(~) =.~o + ~ ,~ ~('~) + ~.,~=(x)

en las que ~0, ~ , --., ~*~-., se suponen independientes y de igual va- r ianza D2(~,)=d " se har~t pot minimos cuadrados, con to que se ga- rantiza su eficiencia, es &cir , su var ianza m~nima.

P o t la or togonal idad de 1,'ts ~,.(~) la estimaci6n mlnimo-cuadrSttica de los ,a~ vendr~, dada por

n - I n - 1 D - I

- - 0 - - 0 - - : 0 ~

{2 0 - - ~ (X 1 -- ~ C~.. - - n E %' (x) E r (z)]

Evidentemente se verifica

E(%) -

n - 1 n - 1

0 0 n a o

n n - - ~ ' o

i 1 - 1

0

n - 1

0

2

274 ANGEL VEGAS

I I - I

~ ~ (x)E. (~.)

a g

D ~" (%) - n

I1-1

.~ ~',' ( x ) C ~

D~ (~-) _ o o. = n - 1- )]I~ I1 -~

o

D" (~..) - o: n - 1

~ ] ~." (x)

Es s a b i d o que la var ian te

o~ 0

~Z ~Z

se d is t r ibuye con arreglo a X 2 con n - 3 g rados de ibertad, si hacemos la h ip6tes is de que las ~,~ son normales .

Segfin esto

~( ~w~.-o0- ~.,.~-~.,~I~,l' ) Si en lugar del de IAzarus hubi6ramos elegido el modelo de Ma-

keham, tendrfamos

4. IntervaIos de confianza.--La hip6tesis de que las ~ son n o rm a- les, lleva consigo el que tambi6n lo sean

n ' E ~ ~(x) " ' ~ - E ~ { x )

INFERENCIA ESTADISTICA EN LOS MODELOS BIOMETRICOS 2 7 5

pot lo que las var iantes

1 /

tl =

V a : ' ( n - -3~

Vg

V )2 ?i"(x) -. /

t~ V ~ (n - 3)

Kr, ~."(~) se d is t r ibuyen con ar reglo a la ~ de S tu d en t con n - - 3 g rados de li- ber tad.

Segt ln 6stos, si e legimos el nivel de significaci6n- , y l lamamos ** al valor cor respondiea te del parAmetro , t endremos los s iguientes intervalos de confianza

~ o - ~ ' K o < % < % - b - ~ "K0

=, - - ~ �9 K, < %-.< =. + v~ �9 K ,

en que ] / _ _

( n - - 3 ) . n

V K ~ . = Z[~ , , - - ~o - - e~ % (x) - ~. ~. (x)i" (n - - 3) 2 ~ ' (x)

K, = X [~. - % - =, ?, (x) - ~, ?. (x)]' ( n - - 3) s ,%" (x)

En el caso en que el modelo fuese de Makeham, en Iugar de estos valores t endr iamos

V K o = X [~= - % - ~, ~, (xJ]' (n - 9) n

1 /

K~ V (n - 9) E'~#(x)

276 ANGEL VEGAS

No es preciso, en este caso, K~ po r existir so l amen te los parf ime-

tros =0 Y at.

C o m o una g'eneralizacidn, p o d e m o s cons idera r s imult~ineamente ~0,

a~ y a, de t e rminando el e l ipsoide de conf ianza .

Las %, a~ y % son independien tes . P a r a demos t ra r lo bastar~i pone r de manif ies to su incorrelacidn, ya que, como v imos , son normales .

En efecto

oov. (~0 ~,/= E [ )2 [~x - ~ (t~x/]~ r ~, (x/[~x - E (z~.)] ] = ) 2 ~,' (~)

= z ~ ) 2 ~ 1 ( x ) - 0 n E ~ (x)

E ~0. (x) coy. (% %) = a ? - 0

n 2 ,%: (z )

~ov c~,~.! = . E[ - )2 ~-~(z) I~ - )2 ~r" cx)~ (~')J )2 ~.. (x)r~-~ .~.' (~)~ (~x)l ] =

=~:-" E ~ , ( x ) ~ o ( x ) = 0

)2 ,~,-~ (x) ! : ~ / ( x )

Segdn esto, la var ian te

F = '* (~-o - ~oY" + )2 ~,: (~} (~, - ~ , ~ + )2 ~.:" (z ) (~-. - ~.~: n - 3 m _ _

2 [~-~ - =o - ~, ~, (x) - ~, ~,. (x)] 3

se d i s t r ibuye con a r reg lo a la F de S n edeco r con 3 y n - 3 g r a d o s de l ibertad.

Si p rec i samos un nivel de s ign i f icac i6n al que co r re sponde un F~ tal que

P rob . (F > F~) =

t end remos

n (O:o - ~-o)" + Y~ ~,? (x) ('h - -~,)" + v ~.:.' (x) (o:~ - ~ ) ~ <

- 3

n - - 3

que no es o t ra cosa que el e l ipsoide de conf ianza , cuyo centro t iene

po r coordenadas (%, al, %)- P a r a t e rmina r esta pa r te p r o c e d e r e m o s a la de te rminac i6n de 1o

q u e e n a l g u n a ocasi6n se ha l l amado ,(zona de c o n f i a n z a , , que no es

I N F E R E N C I A E S T A D I S T I C A I~N L O S M O D E L O S B I O M K T R I C O s 277

o t r a cosa que la p o r c i d n de p i a n o l i m i t a d a p o t los l u g a r e s de los p u n - tos que de f inen los c o r r e s p o n d i e n t e s i n t e r v a t o s de c o n f i a n z a .

L a v a r i a n t e - - q

= ~-~ - ao - % ~ (x) - a. % (x)

es n e c e s a r i a m e n t e n o r m a l , po r ser lo [x~, ~ , a I y ~ . Ademgts

E (I~) = E [ ~ - ~ ~ - - ~ ',,, ix) - ~ ~ (x)] = 0 Y

- 2 ,~, (x) c o y . (~t,:~,) - ~ (x) c o y . ( ~ a") =

= ~ ' + - - + - - + '" 2 - - - - 2 - - ~ : ' - - 2 ' "

n ~_2' ~ (x): E (P:" (x) n E ,~t" (x) Y ~ : (x)

y a que, c o m o h e m o s v is to ,

c o y . (~o ~ ) = c o y . (~0 ~-_) = c o y . ( ~ ~.) = 0

c o y . (~ ~ go) = m [ ~ - E (~x)] r [~.. - E ( ~ ) ] _ o'-

c o y . (I~.~ ~ ) E b.~ E ( ~ ) ] 2 ~,, (x) [ ~ x - E (~x)] ,~, (x)

�9 . - - ' - (32

Z ,% (x): E ~ (x):

y, p o r t an to , la v a r i a n t e

T + +

b . - ao-- ~(,~,(x) - a~%(x)]'-

n - 3

se d i s t r i b u y e con a r r e g l o a la -: de S t u d e n t con b e r t a d .

E l e g i m o s un n ive t de s i g n i f i c a c i d n s y t e n d r e m o s

n - - 3 g r a d o s de ]i-

en que

- - - - - ~

2; ,%~ (x) E % (x):

E S T A D I S T I C A . - - ~

n - 3

278 ANGEL VEGAS

D a n d o va lores a :c t end remos un doble con jun to de .puntos que determinan la , z o n a de c o n f i a n z a , .

E v i d e n t e m e n t e q u e e n el caso de t ra tarse del modelo de M a k e h a m tendr iamos las s iguientes expres iones pa ra la , e l ipse de c o n f i a n z a , y pa ra la , z o n a de c o n f i a n z a ,

L a elipse de conf ianza vendrgt dada por

n (% - - ~o) = + X ,% (x) 2 (at - 71) = -< F~ X [~x - ~ - aq % (x)] ~-

e n que F se d i s t r ibuye con 2 y ( n - g ) graclos de l ibertad. La , z o n a de c o n f i a n z a , ser&

=0 + % ,% (x) - K,, ~, < gx < =0 + ~, ~, (x) + K~ =~

en que = se d i s t r ibuye con n - 2 g r ados de l ibertad.

5. Estimacidn de c~ y c 2 . ~ S u p o n g a m o s que se trata del mode lo de M a k e h a m . La lev de s upe rv i venc i a serif

- - ? ( a + b , e l x) dx

1 . = 1 o e ~

por tanto

--?+t(a+b:c**) dx

P x = e

logF~ = A, + A~ el ~

Def in imos , como hizo Quique t , la funci6n

z X = log Px+l -- logp,~ = At (c - - l ) cl ~ = t f c( ~

de donde deduc imos que z= es la solucidn genera l de la ecuacidn en

diferencias f ini tas

&+l + Bz~ = 0

cuva ecuacidn caracter is t ica es

luego

y, por tanto, la ecuaci6n ser~

luego

h + B = 0

- B = q

Zx+I--CIZx=0

Zx+l d 1 - -

Z•

INFERENCIA ESTADISTICA EN LOS .MOI)ELOS mO5~TRtCOS 27N

Esto nos permi te contrast ar las hipdtes is que h a g a m o s sob re

c1:>1

En efecto, cons ide ramos las var ian tes

Zx+l - - r l x

Z x

Es evidente que las ~.~ no son independientes , y, pa ra ev i ta r h ip6- tesis sobre su funci6n de dis t r ibuci6n, e l eg imos como es t imador !a med i ana M y de t e rm i na rem os los l i m i t e s de confianza median te la expres idn

Prob . (~x,. < ~I < "q~) = "~ =.1 - l=r

en que s es el nivel de s ignif icaci6n. Las tablas de S. K. Baner jee permi ten resoh 'e r i n m e d i a t a m e n t e

este p rob l ema . Si el mode lo de superv ivenc ia fuera el de LSzarus, tendr{amos

--f"(a.b, c~x+b: e, x) dx

l~ = 10" e ~

-ff+'(~+b, e~x+b, %x) dx

P x = e

logpx = Ao + AIe{" + A.c.':

z x = A logp.~ = A~ (et - - 1) et" + A. (e. - 1) e.: ~ = Kt e~ ~ + K . e.. ~

La z, ser~i, pues , la soluci6n genera l de la ecuaci6n

z~._~ + Btz~+ 1 + Boz.~= 0

L a ecuacidn caracter{stica set(t, po t tan to

h '2 + B l l ~ q- B~ = 0

Si las dos soluciones han de set c~ y c_. t endremos

h 2 + g~h + Bo = (h-- q) ( h - c.~) es decir

s iendo, por filtimb,

~ - ( c l + c, . )h + c l c ~ = 0

z,+~-(cl +c~)zx+~ +clc~z~=O

2 8 0 ANGEL VEGAS

Pues to que hemos dicho que la ley de L6.zarus es una aprox imac idn ma yor que la de Makeham en la expres idn de ~t~ podemos par t i r de un c x > l y est imar c~%l mediante el con junto de variantes

z~+. -- c~ Zx+ 1 = "/~x

Sx+l - - Cl Zx

determinando, igual que se hizo antes, el intervalo de conf ianza del par~metro c 2 segdn la expresidn

Prob . (~-~r < N~ < ~1~,) = Z \ n : 1 - l = r

Un caso par t icular que puede ser interesante es el que se a p o y a en la hip6tesis

c ~ = l + ~ ; c 2 = 1 - ? siendo. 0 < ~ < 1 .

La ecuacidn en diferencias ser~

z~+~-- 9 z~+l + (1-- ~2)z~= 0

luego A2~ _~z~.

Cont ras taremos la hipdtesis ~ median te las var iantes

A: Z x

~x

E1 intervalo de conf ianza Se de te rmina como .~e ha hecho anter ior -

mente.

Has ta ahora nos hemes referido a los modelos de Makeham y 1.5-

zarus. Pe ro dste admite una evidente general izacidn a la teoria general

de Quiquet , ya que Ia expres idn del tanto instant~neo de natal idad, pot set la solucidn general de una ecuacidn diferencial lineal de orden

n, tiene la forma

~,: = 2 f i (x) e~i ~

siendo l inealmente independien tes las funciones

X s . e r l x

INFRRENCIA ESTADISTICA EN LOS MODI'LLOS BIOMETRICOS 281

sobre las cuales se puede, por tanto, segdn el teorema de Erhard- Schmidt, elaborar un espacio funcional ortogonal, pudidndose aplicar a este espacio de n dimensiones los mismos estudios bechos ya para

los de dos y tres dimensiones, en lo que no hay dificultad alguna, es-

tando todos los casos comprendidos en la teor{a de ta estimaci6n lineal que hemos utilizado en las anteriores investigaciones.

A P L I C A C I O N E S AL F U N D A M E N T O D E L C .~LCULO A C T U A R I A L

Si llamamos, como hemos hecho, ~ a la variante edad de muerte. toda funcidn de ~ ser~i tambi6n una variable estoc&stica. En particular, vr siendo v = ( ] . + i ) -1 es una variante, y anz~logamente

1 - - v~ a ~ - - i

lo set& tambidn.

El principio de equivalencia podemos formularto en los s iguientes tdrminos : Se dice que dos procesos estoc&stico-financieros son equiva- lentes s i lo son sus valores medios.

Consideremos un seguro de vida entera de capital 1. peseta, para una cabeza de edad -~. { es la edad de muerte y, pot tanto ta fecha de la terminaci6n del seguro.

El valor medio correspondiente a la variante ~,~ set&

f/ A ~ = g ( v ~ ) = v x d G ( x ) = ' ~ d~.t_, vt �9 t = l ~X

ya que la variante ~ tiene una distr ibucidn cuva funci6n de frecuencia es ta probabil idad de muerte t+l/q-,.

Segdn el principio de equivalencia, la prima dnica que recoge el compromiso del asegurado, ser~- igual a Ax.

Pero si se trata de una prima anual , pagadera hasta la muerte del asegurado, tendremos

E (e~. aTi) = P,=~ ~ 1 7 - - v - " d e ( x ) = ~ _ a P x ' ' = e x . E(a~q) "; i �9 V t = l

v e n vir tud del principio de equivalencia

P=. E (a~) = A

2 8 2 ANGEL VEGAS

Pero

de donde

. Ix+t d~+~ __ E " E ( a ~ ) = E a r l Ix l.~

A~= P~%

fdrmula conocida en la matems actuaria[ cl~sica. Supongamos ahora que se trata del seguro mixto.

En este caso la variante vr tiene una distribucidn de probabilidad

segfln la cual

t < n la probabilidad serA

si t = n l~,. lx

y finalmente si t:>n la probabilidad se r50 . En efecto

dX4- t

n-I d~+~ l~+n __ 1

l~ ' + l.~ t=0 -

Entonces tendriamos

n - I d x + t ' / x * n vn

t,=O -

En este casd, para el cAlculo de la prima anual tendr[amos

i- v = ax'~ por tanto

A x , - 1 = P , ~ . a.~,~

ESTUDIO D E L A G A N A N C I . X D E L A C O M P A N i A

Si el contrato estuviera en v igor por n afios, la gananci~ tendr{a la forma

G C~) = P ~ , . a-: , . - v~

pot tanto, ser~i tambi6n una variable estoc~stica, cuyo valor medio ser~i

E (G) = Px,n a~,n - - A~,~

I N F E R E N C I A ESTADISTIC A EN L O S M O D E L O S B I O M E T R I C O S 283

donde

sidndo A=. == E(v~ ) un seguro cuya forma concreta depender~ de la distr ibucidn de v a, como hemos visto antes en las aplicaciones al seguro vida entera y seguro mixto.

Pa ra el cgflculo de la varianza de G podemos expresarla en la si- gu ien te forma

G = P a ~ - l - - V ~ = - 1 + i . v i . v

de donde

var. O ( 1 + P ) ' -- .... var. v~ i.v

el problema queda resuelto si calculamos var. v ~. Recordando que

11.2 ~ - a~ - - a l "~

tendremos

v a t . (v~)= E (v2~) - [E (v~) l~=A~, . - A=~,~

A~,= significarh un seguro en que 8 = l o g ( , l + i ) se sust i tuye pot ge. En consecuencia

var. G = 1 -t- [A;z, '=--A;,~]

Si el criterio que s iguidramos fuera el de que e! valor medio de la ganancia fuese 0, se cumplirfa el que hemos l lamado principio de equivalencia o, en otras palabras, el pr incipio de equivalencia supone que la gananc ia sea nula.

Evidentemente , la prima correspondiente a este caso de

E ( G ) = 0

es la que se entiende en el Cgtlculo actuarial po t pr ima neta. A continuacidn, y como una aplicacidn de los anteriores estudios,

nos ocupareinos de lo que podria llamarse

Solvencia de una Compa~ia.--Vamos a demostrar el s iguiente teorema :

Si las pr imas netas correspondientes a los contratos de una Com- pafi[a se las afecta de una eonstante adit iva, pot pequefia que sea, la

284 ANGEL VEGAS

gananc ia es as int6t icamente cierta, o mejor dicho, existe la cer t idum- bre asint6t ica de que no hay pdrdida, lo que supone que si N es el nfimero de contratos, la p robab i l idad de obtener una gananc ia mayor que 0 t iende a 1 cuando N t iende a oo.

En efecto : S u p o n g a m o s que se t rata de una Compafi ia con N con- t ratos de los cuales, el i-dsimo es de cuantfa s, y su duraci6n n~.

En estas condiciones podemos hacer las s iguientes bip6tes is :

a) Exis te un S ~ s tal que s < s i < S .

b) Exis te un ~2>0 tal que % > ~ .

Est~i claro que estas condic iones pueden cumpl i rse teniendo en cuenta la existencia del Reasegu ro .

La expresi6n de la gananc ia cor respondien te al contra to i ~ s i m o ser~i; des ignando por < la cor respondien te constante adit iva

y pot tanto

E (Gi) = [(Px,, n, + ai) axl, n, -- Axl, n,] Si

pero, como en v i r tud del pr incipio de equivalencia

P x i , n i axi, i11 - - A•i , Ii 1 = 0 resulta

donde se ha hecho

E (~-i) = ,giaxl,91 Ei = $iE ' i A x b n i

~'i ~ E'i PXi" 111

la gananc ia total tendrgt po t valor medio

.|=1 1-1

donde evidentemente

P~D 11!

0 <.S < $i < S

Axe, n, > v '~

R e c o r dando la fo rma de la va r i anza

n

var. ~ @i = si" (i -I- i=I

P x l , n! ~- E i I " (:)) K,,,O

I N F E R E N C I A E S T A D I S T I C A ~'.N L O S M O D E L O S B I O M E T R I C O S 285

y teniendo en cuenta que

tendremos

Pxl, n~ ~ P~, n

A ~1, nl < 1

N 2

i=t i .V

ApIicamos ahora e[ teorema de Tchebycheff , segfin el cual

Prob. (E Gi >~ O) >~ Prob. (2 "f ) E Gi ) O) = Prob. ( I E Gi - ; I "-< ~) >~

1 var. (~ (:~i) ~ 1 S= K~ ~f-~ N e s ~" v 2~

en que

( )' K = 1 + 1+'~- P~,n i

Evidentemente , cuando N--~cm

Prob. (E Gi > 0)-~- 1

con Io cual queda demostrado el teorema, ya que la probabil idad de pdrdida es asint6t icamente 0.

En todo este razonamiento hemos supuesto ~:>0. Evidentemente, si fuese ~-<0 lo que llevarla consigo V<0, el resulta-

do seHa el s igu ien te :

Prob. (E Gi ~ / 0 ) < Prob. (I E G i _ ; 1 ~ _ X).~ var- ~Gi ~ S~K~"

y por tanto

l im Prob. (E Gi ~ 0) = 0 N ~

lo que indica que si la constante es sustractiva, tenemos una p&dida segura en t&minos de probabil idad.

Estos resultados justifican el recargo sobre las pr imas netas. Con este teorema, tan fundamenta l en la teorla del Seguro, y e n el

que se aplican los fundamentos que hemos estudiado anteriormente, damos pot terminado el presente trabajo.

286 ANGEL VEGAS

S U M M A R Y

This work endeavours t;o study the survivance theory coming from the postu- lates that permit to explain the main biometric functions as regards a close de- mographic group. The biometric models are c, btained through the study of the stocasfi~ proceeding of the death. The valuation of the Makeham and Lazarus models is made through its planning in a functional orthogonal scope which per- mits to use lineal estimation technics, obtaining in this manner the reliance in- tervals of the cc~-respondent coefficients.

It is ended applyin.g the attained iss~ues to the demonstration of the theorems of consistency of the hfe insurance mathematics.

Bibliographic note.

DR. JoAo LYRA M,XDmRA: Revista deI Instituto de Reaseguro do Brasil, nfim. 41. ERLING SVERDRUP: S~kandinvisk Aktuarietidskrift, nt'Hns. 3 y 4, 1952.

Inferencia Estadistica en los modelos biometricos y su aplicacion al Seguro de Vida

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