Independencia lineal - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90...
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Independencia lineal En esta seccin daremos un teorema que nos permite determinar cuando un sistema m n tiene solucin. () May 23, 2014 1 / 16
Transcript of Independencia lineal - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90...
Independencia lineal
En esta sección daremos un teorema que nos permite determinar cuandoun sistema m� n tiene solución.
Para ello vamos a considerar las �las de las matrices como vectores �las ylas columnas como vectores columnas.
En adelante notaremos un vector de n componentes comox = (x1, x2, ..., xn).
Un vector z se puede escribir como combinación lineal de los vectoresx1, x2, ..., xn si existen números reales c1, c2, ..., cn tal que
z = c1x1+c2x2+cnxn
Ejemplo: El vector z =(3, 4, 2) se puede escribir como conbinación linealde x1 = (0, 1, 2), x2=(1, 1, 0) ya que
z = (3, 4, 2) = 1(0, 1, 1) + 3(1, 1, 0) = 1x1 + 3x2
() May 23, 2014 1 / 16
Independencia lineal
En esta sección daremos un teorema que nos permite determinar cuandoun sistema m� n tiene solución.
Para ello vamos a considerar las �las de las matrices como vectores �las ylas columnas como vectores columnas.
En adelante notaremos un vector de n componentes comox = (x1, x2, ..., xn).
Un vector z se puede escribir como combinación lineal de los vectoresx1, x2, ..., xn si existen números reales c1, c2, ..., cn tal que
z = c1x1+c2x2+cnxn
Ejemplo: El vector z =(3, 4, 2) se puede escribir como conbinación linealde x1 = (0, 1, 2), x2=(1, 1, 0) ya que
z = (3, 4, 2) = 1(0, 1, 1) + 3(1, 1, 0) = 1x1 + 3x2
() May 23, 2014 1 / 16
Independencia lineal
En esta sección daremos un teorema que nos permite determinar cuandoun sistema m� n tiene solución.
Para ello vamos a considerar las �las de las matrices como vectores �las ylas columnas como vectores columnas.
En adelante notaremos un vector de n componentes comox = (x1, x2, ..., xn).
Un vector z se puede escribir como combinación lineal de los vectoresx1, x2, ..., xn si existen números reales c1, c2, ..., cn tal que
z = c1x1+c2x2+cnxn
Ejemplo: El vector z =(3, 4, 2) se puede escribir como conbinación linealde x1 = (0, 1, 2), x2=(1, 1, 0) ya que
z = (3, 4, 2) = 1(0, 1, 1) + 3(1, 1, 0) = 1x1 + 3x2
() May 23, 2014 1 / 16
Independencia lineal
En esta sección daremos un teorema que nos permite determinar cuandoun sistema m� n tiene solución.
Para ello vamos a considerar las �las de las matrices como vectores �las ylas columnas como vectores columnas.
En adelante notaremos un vector de n componentes comox = (x1, x2, ..., xn).
Un vector z se puede escribir como combinación lineal de los vectoresx1, x2, ..., xn si existen números reales c1, c2, ..., cn tal que
z = c1x1+c2x2+cnxn
Ejemplo: El vector z =(3, 4, 2) se puede escribir como conbinación linealde x1 = (0, 1, 2), x2=(1, 1, 0) ya que
z = (3, 4, 2) = 1(0, 1, 1) + 3(1, 1, 0) = 1x1 + 3x2
() May 23, 2014 1 / 16
Independencia lineal
En esta sección daremos un teorema que nos permite determinar cuandoun sistema m� n tiene solución.
Para ello vamos a considerar las �las de las matrices como vectores �las ylas columnas como vectores columnas.
En adelante notaremos un vector de n componentes comox = (x1, x2, ..., xn).
Un vector z se puede escribir como combinación lineal de los vectoresx1, x2, ..., xn si existen números reales c1, c2, ..., cn tal que
z = c1x1+c2x2+cnxn
Ejemplo: El vector z =(3, 4, 2) se puede escribir como conbinación linealde x1 = (0, 1, 2), x2=(1, 1, 0) ya que
z =
(3, 4, 2) = 1(0, 1, 1) + 3(1, 1, 0) = 1x1 + 3x2
() May 23, 2014 1 / 16
Independencia lineal
En esta sección daremos un teorema que nos permite determinar cuandoun sistema m� n tiene solución.
Para ello vamos a considerar las �las de las matrices como vectores �las ylas columnas como vectores columnas.
En adelante notaremos un vector de n componentes comox = (x1, x2, ..., xn).
Un vector z se puede escribir como combinación lineal de los vectoresx1, x2, ..., xn si existen números reales c1, c2, ..., cn tal que
z = c1x1+c2x2+cnxn
Ejemplo: El vector z =(3, 4, 2) se puede escribir como conbinación linealde x1 = (0, 1, 2), x2=(1, 1, 0) ya que
z = (3, 4, 2) =
1(0, 1, 1) + 3(1, 1, 0) = 1x1 + 3x2
() May 23, 2014 1 / 16
Independencia lineal
En esta sección daremos un teorema que nos permite determinar cuandoun sistema m� n tiene solución.
Para ello vamos a considerar las �las de las matrices como vectores �las ylas columnas como vectores columnas.
En adelante notaremos un vector de n componentes comox = (x1, x2, ..., xn).
Un vector z se puede escribir como combinación lineal de los vectoresx1, x2, ..., xn si existen números reales c1, c2, ..., cn tal que
z = c1x1+c2x2+cnxn
Ejemplo: El vector z =(3, 4, 2) se puede escribir como conbinación linealde x1 = (0, 1, 2), x2=(1, 1, 0) ya que
z = (3, 4, 2) = 1(0, 1, 1) + 3(1, 1, 0) =
1x1 + 3x2
() May 23, 2014 1 / 16
Independencia lineal
En esta sección daremos un teorema que nos permite determinar cuandoun sistema m� n tiene solución.
Para ello vamos a considerar las �las de las matrices como vectores �las ylas columnas como vectores columnas.
En adelante notaremos un vector de n componentes comox = (x1, x2, ..., xn).
Un vector z se puede escribir como combinación lineal de los vectoresx1, x2, ..., xn si existen números reales c1, c2, ..., cn tal que
z = c1x1+c2x2+cnxn
Ejemplo: El vector z =(3, 4, 2) se puede escribir como conbinación linealde x1 = (0, 1, 2), x2=(1, 1, 0) ya que
z = (3, 4, 2) = 1(0, 1, 1) + 3(1, 1, 0) = 1x1 + 3x2
() May 23, 2014 1 / 16
Independencia lineal
Un conjunto de vectores fx1, x2, ..., xng es linealmente dependiente siuno de los vectores se pueden escribir como una conbinación lineal de losotros restantes.
Un conjunto de vectores fx1, x2, ..., xng es linealmente independiente sino es linealmente dependiente.
Ejemplo: El conjunto de vectores f(3, 4, 2), (0, 1, 2), (1, 1, 0)g eslinealmente dependiente ya que como vimos el ejemplo anterior
(3, 4, 2) = 1(0, 1, 1) + 3(1, 1, 0)
() May 23, 2014 2 / 16
Independencia lineal
Un conjunto de vectores fx1, x2, ..., xng es linealmente dependiente siuno de los vectores se pueden escribir como una conbinación lineal de losotros restantes.
Un conjunto de vectores fx1, x2, ..., xng es linealmente independiente sino es linealmente dependiente.
Ejemplo: El conjunto de vectores f(3, 4, 2), (0, 1, 2), (1, 1, 0)g eslinealmente dependiente ya que como vimos el ejemplo anterior
(3, 4, 2) = 1(0, 1, 1) + 3(1, 1, 0)
() May 23, 2014 2 / 16
Independencia lineal
Un conjunto de vectores fx1, x2, ..., xng es linealmente dependiente siuno de los vectores se pueden escribir como una conbinación lineal de losotros restantes.
Un conjunto de vectores fx1, x2, ..., xng es linealmente independiente sino es linealmente dependiente.
Ejemplo: El conjunto de vectores f(3, 4, 2), (0, 1, 2), (1, 1, 0)g eslinealmente dependiente ya que como vimos el ejemplo anterior
(3, 4, 2) = 1(0, 1, 1) + 3(1, 1, 0)
() May 23, 2014 2 / 16
Independencia lineal
Lo que hemos dicho de vectores de la forma x = (x1, x2, ..., xn) (vectores�las). También lo podemos decir de los vectores columnas de la [email protected]
1CCCA
() May 23, 2014 3 / 16
Independencia lineal
Dada una matriz A =
0BBBBB@a11 a12 a13 � � � a1na12 a22 a23 � � � a2na31 a32 a33 � � � a3n...
......
...am1 am2 am3 � � � amn
1CCCCCATiene m vectores �las de n componentes�a11 a12 a13 � � � a1n
�,�a12 a22 a23 � � � a2n
�,�
a31 a32 a33 � � � a3n�, ...,
�am1 am2 am3 � � � amn
�y n vectores columnas de m [email protected]
1CCCCCA ,[email protected]
1CCCCCA , ...,[email protected]
1CCCCCA .
() May 23, 2014 4 / 16
Independencia lineal
Dada una matriz A =
0BBBBB@a11 a12 a13 � � � a1na12 a22 a23 � � � a2na31 a32 a33 � � � a3n...
......
...am1 am2 am3 � � � amn
1CCCCCA
Tiene m vectores �las de n componentes�a11 a12 a13 � � � a1n
�,�a12 a22 a23 � � � a2n
�,�
a31 a32 a33 � � � a3n�, ...,
�am1 am2 am3 � � � amn
�y n vectores columnas de m [email protected]
1CCCCCA ,[email protected]
1CCCCCA , ...,[email protected]
1CCCCCA .
() May 23, 2014 4 / 16
Independencia lineal
Dada una matriz A =
0BBBBB@a11 a12 a13 � � � a1na12 a22 a23 � � � a2na31 a32 a33 � � � a3n...
......
...am1 am2 am3 � � � amn
1CCCCCATiene m vectores �las de n componentes�a11 a12 a13 � � � a1n
�,�a12 a22 a23 � � � a2n
�,�
a31 a32 a33 � � � a3n�, ...,
�am1 am2 am3 � � � amn
�
y n vectores columnas de m [email protected]
1CCCCCA ,[email protected]
1CCCCCA , ...,[email protected]
1CCCCCA .
() May 23, 2014 4 / 16
Independencia lineal
Dada una matriz A =
0BBBBB@a11 a12 a13 � � � a1na12 a22 a23 � � � a2na31 a32 a33 � � � a3n...
......
...am1 am2 am3 � � � amn
1CCCCCATiene m vectores �las de n componentes�a11 a12 a13 � � � a1n
�,�a12 a22 a23 � � � a2n
�,�
a31 a32 a33 � � � a3n�, ...,
�am1 am2 am3 � � � amn
�y n vectores columnas de m [email protected]
1CCCCCA ,[email protected]
1CCCCCA , ...,[email protected]
1CCCCCA .
() May 23, 2014 4 / 16
Independencia lineal
Ejemplo:
A =�2 3 �1 41 0 4 5
�Las �las son L.I. pues no existe c tal que�
2 3 �1 4�= c
�1 0 4 5
�
En cambio las columnas son L.D. ya que��14
�= 4
�21
�� 3
�30
�.
Sin embargo las columna�21
�y�30
�son L.I. Observemos que A
tiene (como máximo) dos columnas L.I.
() May 23, 2014 5 / 16
Independencia lineal
Ejemplo:
A =�2 3 �1 41 0 4 5
�Las �las son L.I. pues no existe c tal que�
2 3 �1 4�= c
�1 0 4 5
�En cambio las columnas son L.D. ya que��14
�= 4
�21
�� 3
�30
�.
Sin embargo las columna�21
�y�30
�son L.I. Observemos que A
tiene (como máximo) dos columnas L.I.
() May 23, 2014 5 / 16
Independencia lineal
Ejemplo:
A =�2 3 �1 41 0 4 5
�Las �las son L.I. pues no existe c tal que�
2 3 �1 4�= c
�1 0 4 5
�En cambio las columnas son L.D. ya que��14
�= 4
�21
�� 3
�30
�.
Sin embargo las columna�21
�y�30
�son L.I. Observemos que A
tiene (como máximo) dos columnas L.I.
() May 23, 2014 5 / 16
Independencia lineal
Ejemplo:
B =
0BB@5 �16 31 �1711 2
1CCA
Las columnas son L.I. ya que no existe c tal que0BB@56111
1CCA = c
0BB@�13
�172
1CCAEn cambio las �las son L.D. ya que,�
11 2�=�5 �1
�+�6 3
�Sin embargo las �las
�5 �1
�y�6 3
�son L.I. B tiene (como
máximo) dos �las L.I.
() May 23, 2014 6 / 16
Independencia lineal
Ejemplo:
B =
0BB@5 �16 31 �1711 2
1CCALas columnas son L.I. ya que no existe c tal que0BB@
56111
1CCA = c
0BB@�13
�172
1CCA
En cambio las �las son L.D. ya que,�11 2
�=�5 �1
�+�6 3
�Sin embargo las �las
�5 �1
�y�6 3
�son L.I. B tiene (como
máximo) dos �las L.I.
() May 23, 2014 6 / 16
Independencia lineal
Ejemplo:
B =
0BB@5 �16 31 �1711 2
1CCALas columnas son L.I. ya que no existe c tal que0BB@
56111
1CCA = c
0BB@�13
�172
1CCAEn cambio las �las son L.D. ya que,�
11 2�=�5 �1
�+�6 3
�
Sin embargo las �las�5 �1
�y�6 3
�son L.I. B tiene (como
máximo) dos �las L.I.
() May 23, 2014 6 / 16
Independencia lineal
Ejemplo:
B =
0BB@5 �16 31 �1711 2
1CCALas columnas son L.I. ya que no existe c tal que0BB@
56111
1CCA = c
0BB@�13
�172
1CCAEn cambio las �las son L.D. ya que,�
11 2�=�5 �1
�+�6 3
�Sin embargo las �las
�5 �1
�y�6 3
�son L.I. B tiene (como
máximo) dos �las L.I.() May 23, 2014 6 / 16
Independencia lineal
C =
0@ 2 3 �51 �2 11 5 �6
1ALas �las don L.D. ya que,�
2 3 �5�=�1 5 �6
�+�1 �2 1
�
Sin embargo las �las�1 5 �6
�y�1 �2 1
�son L.I. Observemos que
C tiene (como máximo) dos �las L.I.
Las columnas son L.D. ya que
0@ 211
1A = �1
0@ 3�25
1A+ (�1)0@ �5
1�6
1ASin embargo las columnas
0@ 3�25
1A y
0@ �51
�6
1A son L.I. Observemos que C
tiene (como máximo) dos columnas L.I.
() May 23, 2014 7 / 16
Independencia lineal
C =
0@ 2 3 �51 �2 11 5 �6
1ALas �las don L.D. ya que,�
2 3 �5�=�1 5 �6
�+�1 �2 1
�Sin embargo las �las
�1 5 �6
�y�1 �2 1
�son L.I. Observemos que
C tiene (como máximo) dos �las L.I.
Las columnas son L.D. ya que
0@ 211
1A = �1
0@ 3�25
1A+ (�1)0@ �5
1�6
1ASin embargo las columnas
0@ 3�25
1A y
0@ �51
�6
1A son L.I. Observemos que C
tiene (como máximo) dos columnas L.I.
() May 23, 2014 7 / 16
Independencia lineal
C =
0@ 2 3 �51 �2 11 5 �6
1ALas �las don L.D. ya que,�
2 3 �5�=�1 5 �6
�+�1 �2 1
�Sin embargo las �las
�1 5 �6
�y�1 �2 1
�son L.I. Observemos que
C tiene (como máximo) dos �las L.I.
Las columnas son L.D. ya que
0@ 211
1A = �1
0@ 3�25
1A+ (�1)0@ �5
1�6
1A
Sin embargo las columnas
0@ 3�25
1A y
0@ �51
�6
1A son L.I. Observemos que C
tiene (como máximo) dos columnas L.I.
() May 23, 2014 7 / 16
Independencia lineal
C =
0@ 2 3 �51 �2 11 5 �6
1ALas �las don L.D. ya que,�
2 3 �5�=�1 5 �6
�+�1 �2 1
�Sin embargo las �las
�1 5 �6
�y�1 �2 1
�son L.I. Observemos que
C tiene (como máximo) dos �las L.I.
Las columnas son L.D. ya que
0@ 211
1A = �1
0@ 3�25
1A+ (�1)0@ �5
1�6
1ASin embargo las columnas
0@ 3�25
1A y
0@ �51
�6
1A son L.I. Observemos que C
tiene (como máximo) dos columnas L.I.() May 23, 2014 7 / 16
Independencia lineal
D =
0@ �15 �8 �3�9 �5 �2�5 �3 �1
1ALas �las y las columnas son L.I.
() May 23, 2014 8 / 16
Independencia lineal y Rango
Lema: En una matriz el número (máximo) de �las linealmenteindependientes, coincide con el número (máximo) de columnas linealmenteindependientes.
Se llama rango de una matriz al número (máximo) de �las (o columnas)L.I.
Denotamos por ran (A) al rango de la matriz A.
() May 23, 2014 9 / 16
Independencia lineal y Rango
Lema: En una matriz el número (máximo) de �las linealmenteindependientes, coincide con el número (máximo) de columnas linealmenteindependientes.
Se llama rango de una matriz al número (máximo) de �las (o columnas)L.I.
Denotamos por ran (A) al rango de la matriz A.
() May 23, 2014 9 / 16
Independencia lineal y Rango
Lema: En una matriz el número (máximo) de �las linealmenteindependientes, coincide con el número (máximo) de columnas linealmenteindependientes.
Se llama rango de una matriz al número (máximo) de �las (o columnas)L.I.
Denotamos por ran (A) al rango de la matriz A.
() May 23, 2014 9 / 16
Independencia lineal y Rango
Ejemplo: Si A =
0@ 1 11 �10 �2
1A es fácil ver que ran(A) = 2.
Se puede probar que las operaciones o transformaciones elementales deuna matriz no cambian el rango de una matriz. Es decir, las operacionesque se usan en el método de Gauss no modi�ca el rango.
Ejemplo: Dada la matriz A =
0@ 1 �2 32 1 �4
�3 4 �1
1A , por medio de laoperaciones elementales llegamos a la matriz B =
0@ 1 �2 30 1 �50 0 1
1A.Es fácil ver que ran(B) = 3.Luego ran(A) = 3.
() May 23, 2014 10 / 16
Independencia lineal y Rango
Ejemplo: Si A =
0@ 1 11 �10 �2
1A es fácil ver que ran(A) = 2.
Se puede probar que las operaciones o transformaciones elementales deuna matriz no cambian el rango de una matriz. Es decir, las operacionesque se usan en el método de Gauss no modi�ca el rango.
Ejemplo: Dada la matriz A =
0@ 1 �2 32 1 �4
�3 4 �1
1A , por medio de laoperaciones elementales llegamos a la matriz B =
0@ 1 �2 30 1 �50 0 1
1A.Es fácil ver que ran(B) = 3.Luego ran(A) = 3.
() May 23, 2014 10 / 16
Independencia lineal y Rango
Ejemplo: Si A =
0@ 1 11 �10 �2
1A es fácil ver que ran(A) = 2.
Se puede probar que las operaciones o transformaciones elementales deuna matriz no cambian el rango de una matriz. Es decir, las operacionesque se usan en el método de Gauss no modi�ca el rango.
Ejemplo: Dada la matriz A =
0@ 1 �2 32 1 �4
�3 4 �1
1A , por medio de laoperaciones elementales llegamos a la matriz B =
0@ 1 �2 30 1 �50 0 1
1A
.
Es fácil ver que ran(B) = 3.Luego ran(A) = 3.
() May 23, 2014 10 / 16
Independencia lineal y Rango
Ejemplo: Si A =
0@ 1 11 �10 �2
1A es fácil ver que ran(A) = 2.
Se puede probar que las operaciones o transformaciones elementales deuna matriz no cambian el rango de una matriz. Es decir, las operacionesque se usan en el método de Gauss no modi�ca el rango.
Ejemplo: Dada la matriz A =
0@ 1 �2 32 1 �4
�3 4 �1
1A , por medio de laoperaciones elementales llegamos a la matriz B =
0@ 1 �2 30 1 �50 0 1
1A.Es fácil ver que ran(B) = 3.
Luego ran(A) = 3.
() May 23, 2014 10 / 16
Independencia lineal y Rango
Ejemplo: Si A =
0@ 1 11 �10 �2
1A es fácil ver que ran(A) = 2.
Se puede probar que las operaciones o transformaciones elementales deuna matriz no cambian el rango de una matriz. Es decir, las operacionesque se usan en el método de Gauss no modi�ca el rango.
Ejemplo: Dada la matriz A =
0@ 1 �2 32 1 �4
�3 4 �1
1A , por medio de laoperaciones elementales llegamos a la matriz B =
0@ 1 �2 30 1 �50 0 1
1A.Es fácil ver que ran(B) = 3.Luego ran(A) = 3.
() May 23, 2014 10 / 16
Independencia lineal y Rango
Ejemplo: Si A =
0@ 1 11 �10 �2
1A es fácil ver que ran(A) = 2.
Se puede probar que las operaciones o transformaciones elementales deuna matriz no cambian el rango de una matriz. Es decir, las operacionesque se usan en el método de Gauss no modi�ca el rango.
Ejemplo: Dada la matriz A =
0@ 1 �2 32 1 �4
�3 4 �1
1A , por medio de laoperaciones elementales llegamos a la matriz B =
0@ 1 �2 30 1 �50 0 1
1A.Es fácil ver que ran(B) = 3.Luego ran(A) = 3.
() May 23, 2014 10 / 16
Independencia lineal y Rango
Ejemplo: Dada la matriz A
0@ 1 1 01 0 10 1 �1
1A por medio de la operaciones
elementales llegamos a la matriz B =
0@ 1 1 00 1 10 0 0
1A .
Es fácil ver que ran(B) = 2. Luego ran(A) = 2.
() May 23, 2014 11 / 16
Independencia lineal y Rango
Ejemplo: Dada la matriz A
0@ 1 1 01 0 10 1 �1
1A por medio de la operaciones
elementales llegamos a la matriz B =
0@ 1 1 00 1 10 0 0
1A .Es fácil ver que ran(B) = 2. Luego ran(A) = 2.
() May 23, 2014 11 / 16
Teorema de Rouché
Teorema [Rouché]:La condición necesaria y su�ciente para que unsistema de m ecuaciones con n variables8>>><>>>:
a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn = b2
...am1x1 + am2x2 + ...+ amnxn = bm
(1)
tenga solución es que
ran
0BBBBB@
0BBBBB@a11 a12 a13 � � � a1n
a12 a22 a23 � � � a2n
a31 a32 a33 � � � a3n...
.
.
....
.
.
.
am1 am2 am3 � � � amn
1CCCCCA
1CCCCCA =ran
0BBBBB@a11 a12 a13 � � � a1n
a12 a22 a23 � � � a2n
a31 a32 a33 � � � a3n...
.
.
....
.
.
.
am1 am2 am3 � � � amn
�����������
b1
b2
b3...
bm
1CCCCCA() May 23, 2014 12 / 16
Teorema de Rouché
Demostración. Podemos escribir el sistema (1), en forma [email protected]
1CCCCCA [email protected]
1CCCCCA [email protected]
1CCCCCA x3+ [email protected]
1CCCCCA xn [email protected]
1CCCCCA(2)
Si el sistema (2) tiene solución, existen números
x1, x2, x3, ..., xn
que al multiplicarlos por las columnas de la matriz A y sumarlos nos da lacolumna de los b,. Es decir que la columna de los términos independienteses combinación lineal de las anteriores.Por esto cuando agregamos esta columna a la matriz A no se aumenta elrango (numero de columnas L.I.) así se tiene que ran(A) = ran(A0).El recíproco es similar.
() May 23, 2014 13 / 16
Teorema de Rouché
Demostración. Podemos escribir el sistema (1), en forma [email protected]
1CCCCCA [email protected]
1CCCCCA [email protected]
1CCCCCA x3+ [email protected]
1CCCCCA xn [email protected]
1CCCCCA(2)
Si el sistema (2) tiene solución, existen números
x1, x2, x3, ..., xn
que al multiplicarlos por las columnas de la matriz A y sumarlos nos da lacolumna de los b,
. Es decir que la columna de los términos independienteses combinación lineal de las anteriores.Por esto cuando agregamos esta columna a la matriz A no se aumenta elrango (numero de columnas L.I.) así se tiene que ran(A) = ran(A0).El recíproco es similar.
() May 23, 2014 13 / 16
Teorema de Rouché
Demostración. Podemos escribir el sistema (1), en forma [email protected]
1CCCCCA [email protected]
1CCCCCA [email protected]
1CCCCCA x3+ [email protected]
1CCCCCA xn [email protected]
1CCCCCA(2)
Si el sistema (2) tiene solución, existen números
x1, x2, x3, ..., xn
que al multiplicarlos por las columnas de la matriz A y sumarlos nos da lacolumna de los b,. Es decir que la columna de los términos independienteses combinación lineal de las anteriores.
Por esto cuando agregamos esta columna a la matriz A no se aumenta elrango (numero de columnas L.I.) así se tiene que ran(A) = ran(A0).El recíproco es similar.
() May 23, 2014 13 / 16
Teorema de Rouché
Demostración. Podemos escribir el sistema (1), en forma [email protected]
1CCCCCA [email protected]
1CCCCCA [email protected]
1CCCCCA x3+ [email protected]
1CCCCCA xn [email protected]
1CCCCCA(2)
Si el sistema (2) tiene solución, existen números
x1, x2, x3, ..., xn
que al multiplicarlos por las columnas de la matriz A y sumarlos nos da lacolumna de los b,. Es decir que la columna de los términos independienteses combinación lineal de las anteriores.Por esto cuando agregamos esta columna a la matriz A no se aumenta elrango (numero de columnas L.I.) así se tiene que ran(A) = ran(A0).
El recíproco es similar.
() May 23, 2014 13 / 16
Teorema de Rouché
Demostración. Podemos escribir el sistema (1), en forma [email protected]
1CCCCCA [email protected]
1CCCCCA [email protected]
1CCCCCA x3+ [email protected]
1CCCCCA xn [email protected]
1CCCCCA(2)
Si el sistema (2) tiene solución, existen números
x1, x2, x3, ..., xn
que al multiplicarlos por las columnas de la matriz A y sumarlos nos da lacolumna de los b,. Es decir que la columna de los términos independienteses combinación lineal de las anteriores.Por esto cuando agregamos esta columna a la matriz A no se aumenta elrango (numero de columnas L.I.) así se tiene que ran(A) = ran(A0).El recíproco es similar.
() May 23, 2014 13 / 16
Teorema de Rouché
EjemploDeterminar por el teorema de Rouché si el sistema tienen solución:8<:
2x1 + x2 � 4x3 = 3x1 � 2x2 + 3x3 = 4
�3x1 + 4x2 � x3 = �2.
Tenemos que determinar el rango de la matriz de los coe�cientes el de lamatriz ampliada
A3x3 =
0@ 2 1 �41 �2 3
�3 4 �1
1A A03x4 =
0@ 2 1 �41 �2 3
�3 4 �1
������34
�2
1A
() May 23, 2014 14 / 16
Teorema de Rouché
EjemploDeterminar por el teorema de Rouché si el sistema tienen solución:8<:
2x1 + x2 � 4x3 = 3x1 � 2x2 + 3x3 = 4
�3x1 + 4x2 � x3 = �2.
Tenemos que determinar el rango de la matriz de los coe�cientes el de lamatriz ampliada
A3x3 =
0@ 2 1 �41 �2 3
�3 4 �1
1A A03x4 =
0@ 2 1 �41 �2 3
�3 4 �1
������34
�2
1A
() May 23, 2014 14 / 16
Teorema de Rouché
A3x3 =
0@ 2 1 �41 �2 3
�3 4 �1
1A A03x4 =
0@ 2 1 �41 �2 3
�3 4 �1
������34
�2
1APodemos ver ran (A3x3) = 3 (aplicando Gauss)
Además (aplicando el método de Gauss)
A03x4 =
0@ 2 1 �41 �2 3
�3 4 �1
������34
�2
1A!
0@ 1 �2 3 42 1 �4 3
�3 4 �1 �2
1A!0@ 1 �2 3 40 5 �10 �5
�3 4 �1 �2
1A!
0@ 1 �2 3 40 5 �10 �50 �2 8 10
1A!
0@ 1 �2 3 40 5 �10 �50 0 4 8
1A Luego ran�A03x4
�= 3.
Entonces ran (A3x3) = ran�A03x4
�Por el Teorema de Rouché el sistema es compatible.
() May 23, 2014 15 / 16
Teorema de Rouché
A3x3 =
0@ 2 1 �41 �2 3
�3 4 �1
1A A03x4 =
0@ 2 1 �41 �2 3
�3 4 �1
������34
�2
1APodemos ver ran (A3x3) = 3 (aplicando Gauss)Además (aplicando el método de Gauss)
A03x4 =
0@ 2 1 �41 �2 3
�3 4 �1
������34
�2
1A!
0@ 1 �2 3 42 1 �4 3
�3 4 �1 �2
1A!0@ 1 �2 3 40 5 �10 �5
�3 4 �1 �2
1A!
0@ 1 �2 3 40 5 �10 �50 �2 8 10
1A!
0@ 1 �2 3 40 5 �10 �50 0 4 8
1A Luego ran�A03x4
�= 3.
Entonces ran (A3x3) = ran�A03x4
�Por el Teorema de Rouché el sistema es compatible.
() May 23, 2014 15 / 16
Teorema de Rouché
A3x3 =
0@ 2 1 �41 �2 3
�3 4 �1
1A A03x4 =
0@ 2 1 �41 �2 3
�3 4 �1
������34
�2
1APodemos ver ran (A3x3) = 3 (aplicando Gauss)Además (aplicando el método de Gauss)
A03x4 =
0@ 2 1 �41 �2 3
�3 4 �1
������34
�2
1A!
0@ 1 �2 3 42 1 �4 3
�3 4 �1 �2
1A!
0@ 1 �2 3 40 5 �10 �5
�3 4 �1 �2
1A!
0@ 1 �2 3 40 5 �10 �50 �2 8 10
1A!
0@ 1 �2 3 40 5 �10 �50 0 4 8
1A Luego ran�A03x4
�= 3.
Entonces ran (A3x3) = ran�A03x4
�Por el Teorema de Rouché el sistema es compatible.
() May 23, 2014 15 / 16
Teorema de Rouché
A3x3 =
0@ 2 1 �41 �2 3
�3 4 �1
1A A03x4 =
0@ 2 1 �41 �2 3
�3 4 �1
������34
�2
1APodemos ver ran (A3x3) = 3 (aplicando Gauss)Además (aplicando el método de Gauss)
A03x4 =
0@ 2 1 �41 �2 3
�3 4 �1
������34
�2
1A!
0@ 1 �2 3 42 1 �4 3
�3 4 �1 �2
1A!0@ 1 �2 3 40 5 �10 �5
�3 4 �1 �2
1A!
0@ 1 �2 3 40 5 �10 �50 �2 8 10
1A!
0@ 1 �2 3 40 5 �10 �50 0 4 8
1A Luego ran�A03x4
�= 3.
Entonces ran (A3x3) = ran�A03x4
�Por el Teorema de Rouché el sistema es compatible.
() May 23, 2014 15 / 16
Teorema de Rouché
A3x3 =
0@ 2 1 �41 �2 3
�3 4 �1
1A A03x4 =
0@ 2 1 �41 �2 3
�3 4 �1
������34
�2
1APodemos ver ran (A3x3) = 3 (aplicando Gauss)Además (aplicando el método de Gauss)
A03x4 =
0@ 2 1 �41 �2 3
�3 4 �1
������34
�2
1A!
0@ 1 �2 3 42 1 �4 3
�3 4 �1 �2
1A!0@ 1 �2 3 40 5 �10 �5
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1A!
0@ 1 �2 3 40 5 �10 �50 �2 8 10
1A!
0@ 1 �2 3 40 5 �10 �50 0 4 8
1A Luego ran�A03x4
�= 3.
Entonces ran (A3x3) = ran�A03x4
�Por el Teorema de Rouché el sistema es compatible.
() May 23, 2014 15 / 16
Teorema de Rouché
A3x3 =
0@ 2 1 �41 �2 3
�3 4 �1
1A A03x4 =
0@ 2 1 �41 �2 3
�3 4 �1
������34
�2
1APodemos ver ran (A3x3) = 3 (aplicando Gauss)Además (aplicando el método de Gauss)
A03x4 =
0@ 2 1 �41 �2 3
�3 4 �1
������34
�2
1A!
0@ 1 �2 3 42 1 �4 3
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1A!0@ 1 �2 3 40 5 �10 �5
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1A!
0@ 1 �2 3 40 5 �10 �50 �2 8 10
1A!
0@ 1 �2 3 40 5 �10 �50 0 4 8
1A Luego ran�A03x4
�= 3.
Entonces ran (A3x3) = ran�A03x4
�Por el Teorema de Rouché el sistema es compatible.
() May 23, 2014 15 / 16
Teorema de Rouché
A3x3 =
0@ 2 1 �41 �2 3
�3 4 �1
1A A03x4 =
0@ 2 1 �41 �2 3
�3 4 �1
������34
�2
1APodemos ver ran (A3x3) = 3 (aplicando Gauss)Además (aplicando el método de Gauss)
A03x4 =
0@ 2 1 �41 �2 3
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�2
1A!
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0@ 1 �2 3 40 5 �10 �50 �2 8 10
1A!
0@ 1 �2 3 40 5 �10 �50 0 4 8
1A Luego ran�A03x4
�= 3.
Entonces ran (A3x3) = ran�A03x4
�
Por el Teorema de Rouché el sistema es compatible.
() May 23, 2014 15 / 16
Teorema de Rouché
A3x3 =
0@ 2 1 �41 �2 3
�3 4 �1
1A A03x4 =
0@ 2 1 �41 �2 3
�3 4 �1
������34
�2
1APodemos ver ran (A3x3) = 3 (aplicando Gauss)Además (aplicando el método de Gauss)
A03x4 =
0@ 2 1 �41 �2 3
�3 4 �1
������34
�2
1A!
0@ 1 �2 3 42 1 �4 3
�3 4 �1 �2
1A!0@ 1 �2 3 40 5 �10 �5
�3 4 �1 �2
1A!
0@ 1 �2 3 40 5 �10 �50 �2 8 10
1A!
0@ 1 �2 3 40 5 �10 �50 0 4 8
1A Luego ran�A03x4
�= 3.
Entonces ran (A3x3) = ran�A03x4
�Por el Teorema de Rouché el sistema es compatible.
() May 23, 2014 15 / 16
Teorema de Rouché
Ejemplo: Considere el sistema8<:�5λ� 10µ = �4
λ+ 2µ = 2�λ� 2µ = �5
Tenemos que
0@ �102�2
1A = 2
0@ �51�1
1A . Por tanto el ran(A) = 1Ahora si consideramos la matriz ampliada A0 =
0@ �102�2
�51�1
�������42
�5
1A .Tenemos que ran
�A0�= 2 (pues
0@ �102�2
1A y
0@ �42�5
1A son L.I.).
Por tanto el sistema es incompatible.
() May 23, 2014 16 / 16
Teorema de Rouché
Ejemplo: Considere el sistema8<:�5λ� 10µ = �4
λ+ 2µ = 2�λ� 2µ = �5
Tenemos que
0@ �102�2
1A = 2
0@ �51�1
1A . Por tanto el ran(A) = 1
Ahora si consideramos la matriz ampliada A0 =
0@ �102�2
�51�1
�������42
�5
1A .Tenemos que ran
�A0�= 2 (pues
0@ �102�2
1A y
0@ �42�5
1A son L.I.).
Por tanto el sistema es incompatible.
() May 23, 2014 16 / 16
Teorema de Rouché
Ejemplo: Considere el sistema8<:�5λ� 10µ = �4
λ+ 2µ = 2�λ� 2µ = �5
Tenemos que
0@ �102�2
1A = 2
0@ �51�1
1A . Por tanto el ran(A) = 1Ahora si consideramos la matriz ampliada A0 =
0@ �102�2
�51�1
�������42
�5
1A .
Tenemos que ran�A0�= 2 (pues
0@ �102�2
1A y
0@ �42�5
1A son L.I.).
Por tanto el sistema es incompatible.
() May 23, 2014 16 / 16
Teorema de Rouché
Ejemplo: Considere el sistema8<:�5λ� 10µ = �4
λ+ 2µ = 2�λ� 2µ = �5
Tenemos que
0@ �102�2
1A = 2
0@ �51�1
1A . Por tanto el ran(A) = 1Ahora si consideramos la matriz ampliada A0 =
0@ �102�2
�51�1
�������42
�5
1A .Tenemos que ran
�A0�= 2 (pues
0@ �102�2
1A y
0@ �42�5
1A son L.I.).
Por tanto el sistema es incompatible.
() May 23, 2014 16 / 16
Teorema de Rouché
Ejemplo: Considere el sistema8<:�5λ� 10µ = �4
λ+ 2µ = 2�λ� 2µ = �5
Tenemos que
0@ �102�2
1A = 2
0@ �51�1
1A . Por tanto el ran(A) = 1Ahora si consideramos la matriz ampliada A0 =
0@ �102�2
�51�1
�������42
�5
1A .Tenemos que ran
�A0�= 2 (pues
0@ �102�2
1A y
0@ �42�5
1A son L.I.).
Por tanto el sistema es incompatible.
() May 23, 2014 16 / 16
