In for Me 200902 Fisica III

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANOFACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Y ARQUITECTURAESCUELA PROFESIONAL DE CIENCIAS FÍSICO MATEMÁTICAS

SEGUNDA

PRÁCTICA PRE-PROFESIONAL

INFORME

CURSO : FÍSICA III

RESPONSABLE : JUAN CARLOS VILCA TISNADO

ASESOR : ING. CARLOS ALEJANDRO CACERES VARGAS

PUNO - PERU

2010

Universidad Nacional del AltiplanoFacultad de Ingeniería Civil y Arquitectura

Escuela Profesional de Ciencias Físico Matemáticas

Informe No -2010-UNA-FICA

Al : Lic. Juan Carlos Benavides HuancaDirector de la Escuela Profesional de Ciencias Físico Matemáticas

De : Ing. Carlos Alejandro Caceres VargasAsunto : Informe de prácticas Pre-Profesionales.Fecha : Puno, 01 de Marzo del 2010

Es grato dirigirme a Ud. a fin de informarle sobre las prácticas realizadas por el estudiante JuanCarlos Vilca Tisnado, el cual detallo a continuación:

1. Mediante el MEMORANDO No -050-2009-D.E.C.F.M-FICA-UNA. de fecha 4 de Marzo del2009, se me asigna al estudiante Juan Carlos Vilca Tisnado para que realice las prácticaspre-profesionales en la asignatura de FÍSICA III a mi cargo.

2. El estudiante realizo la practica pre-profesional a partir del 6 de Marzo del 2009 al 14 deJunio de 2009, por 02 horas semanales; acumulando un total de 30 horas académicas, queconsistió en desarrollar la parte practica de la asignatura de FÍSICA III, correspondiente al IIsemestre de la E.P. Ingeniería Electrónica.

3. Durante la realización de la practica pre-profesional el estudiante en mención, demostrómucha responsabilidad y dominio de los temas, tanto en la preparación de sus sesiones,como durante su desenvolviésemos ante los estudiantes, y demás tareas asignadas.

4. Concluida la practica pre-profesional, el estudiante alcanzo los objetivos establecidos, sien-do así, solicito a Ud. Señor Director realizar los trámites necesarios para la expedición de larespectiva Resolución.

Es cuanto puedo informar a Ud. Señor Director para los fines consiguientes.

———————————————-Ing. Carlos Alejandro Caceres Vargas

CIP 72725

Universidad Nacional del AltiplanoFacultad de Ingeniería Civil y Arquitectura

Escuela Profesional de Ciencias Físico Matemáticas

Informe No -2010-UNA-FICA

Al : Ing. Carlos Alejandro Caceres VargasDe : Juan Carlos Vilca TisnadoAsunto : Informe de prácticas Pre-Profesionales.Fecha : Puno, 26 de Febrero del 2010

Es grato dirigirme a Ud. a fin de informarle sobre las prácticas que realice, el cual detallo acontinuación:

1. Mediante el MEMORANDO No -050-200-D.E.C.F.M-FICA-UNA. de fecha 4 de marzo del 2009,se me asigna como asesor para que realice las prácticas pre-profesionales en la asignaturade Física III a su cargo.

2. La realización de la practica pre-profesional fue en el escuela profesional de ingeniería Elec-trónica en la asignatura de Física III.

3. Los detalles de la practica pre-profesional se encuentran en la documentación adjunta a esteinforme.

Es cuanto puedo informar a Ud. para los fines consiguientes.

————————————–Juan Carlos Vilca Tisnado

Código:022737

Presentación

Estas notas se originan por las prácticas pre-profesionales realizada enla escuela profesional de ingeniería electrónica de la Universidad AndinaNéstor Cáceres Velasquez del semestre académico 2009-I en la asignaturade Física III.

En el capitulo 1 muestro los datos de la institución donde realizo mis prác-ticas pre-profesionales, como también los datos de la asignatura desarrol-lado.

En el capitulo 2 y capitulo 3 muestro la justificación de mis prácticas pre-profesionales como también los objetivos.

En el capitulo 4 al capitulo 10 muestro los ejercicios resueltos en clases decada sección desarrollado.

En el capitulo 11 muestro la metodología que aplico en el desarrollo de misprácticas pre-profesionales.

En el capitulo 13, muestro la lista de estudiantes , como también la lista deasistencia.

Espero que este informe sirva como referencia para consultas sobre lostemas desarrollados.

♣ JUAN CARLOS VILCA TISNADO.

I

Índice general

Presentación I

Índice general II

1. Datos generales 11.1. Datos Personales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Datos de la Institución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Datos de la Asignatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. Justificación 2

3. Objetivos 43.1. Objetivos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2. Objetivos Específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4. Fuerza eléctrica 54.1. Carga puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.2. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.3. Principio de superposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.4. Fuerza para una distribución discreta de cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.5. Fuerza para una distribución continua de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

5. Campo eléctrico 185.1. Campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.2. Principio de superposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.3. Campo eléctrico debido a una distribución discreta de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.4. Campo eléctrico debido a una distribución continua de cargas . . . . . . . . . . . . . . . . 195.5. Flujo del campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.6. Flujo debido a una carga puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.7. Ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

II

ÍNDICE GENERAL III

5.8. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6. Potencial eléctrico 336.1. Potencial eléctrico en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.2. Definición de voltio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.3. Potencial eléctrico debido a una carga puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.4. Potencial debido a cargas discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.5. Potencial debido a una distribución continua de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.6. Relación entre el potencial y el campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.7. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

7. Condensadores 467.1. Condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467.2. Condensadores de planos paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477.3. Condensador cilíndrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487.4. Condensador esféricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487.5. Asociación de condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7.5.1. Condensadores en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497.5.2. Condensadores en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

7.6. Energía almacenada en un conductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517.7. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

8. Corriente eléctrico 638.1. La corriente (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

8.1.1. La densidad de corriente (~J ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638.2. Resistencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648.3. Resistividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658.4. Ley de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658.5. Conductividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658.6. Fuerza electromotriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668.7. Potenciómetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668.8. Resistencia en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678.9. Resistencias en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688.10. Ley de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

8.10.1. Red eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688.10.2. Nudos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688.10.3. Malla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698.10.4. 1ra Ley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698.10.5. 2da Ley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

8.11. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

9. Campo magnético 879.1. Campo magnético o densidad de flujo de magnético (~B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 879.2. Flujo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 879.3. Fuerza de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 889.4. Ley de Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 899.5. Ley de Biot - Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 909.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Fisica III

ÍNDICE GENERAL IV

10.Inducción electromagnética 9610.1. Ley de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9610.2. Ley de Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9710.3. Autoinduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9710.4. Energía del campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9810.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

11.Metodología 10311.1. Estrategias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10311.2. Métodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10311.3. Medios y Materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

12.Cronograma de Actividades 10412.1. Temas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10412.2. Cronograma de Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

13.Relación de Estudiantes y Asistencias 10513.1. Relación de estudiantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10513.2. Lista de Asistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Bibliografía 107

Fisica III

CAPÍTULO 1

Datos generales

1.1. Datos Personales

Alumno Practicante : Juan Carlos Vilca TisnadoAsesor : Ing. Carlos Alejandro Caceres VargasAsignatura : Física IIIDuración : 30 horas

1.2. Datos de la Institución

Lugar : PunoInstitución : Universidad Andina Néstor Cáceres VelasquezEscuela Profesional : Ingeniería Electrónica

1.3. Datos de la Asignatura

Asignatura : Física IIINumero de Horas : 4T. (Teoría) + 2P. (prácticas) = 6 HorasAño Académico : 2009 - ISemestre : IIArea Curricular : GeneralCondición : Flexible

1

CAPÍTULO 2

Justificación

La practica pre-profesional contribuye a lograr el perfil del futuro profesional de la E.P. de Cien-cias Físico Matemáticas, en sus aspectos: personal, profesional y promotor de cambio social y de-sarrollo.

La practica pre-profesionales permite el logro de experiencias en las areas de desempeño do-cente, mediante la aplicación de los conocimientos y el ejercicio de habilidades y destrezas desar-rolladas en la E.P. de Ciencias Físico Matemáticas.

La practica pre-profesional tiene sustento:

1ro En la curricula flexible por competencias de la C.P. de Ciencias Físico Matemáticas 2001-2006en los reglamentos específicos que habla de las prácticas pre-profesionales en sus artículos40-48 señalan:

Art. 40

El presente reglamento se sustenta en el estatuto de la U.N.A. que contempla la realizaciónde prácticas pre-profesionales en la formación de todos los estudiantes de la universidad.

Art. 41

Los estudiantes de la Carrera Profesional de Cs. Físico Matemáticas están obligados a realizarprácticas pre-profesionales pudiendo efectuarse después de haber logrado un mínimo de170 créditos.

Art. 42

Las prácticas pre profesionales de la Carrera Profesional de Cs. Físico Matemáticas seránprácticas productivas y prácticas de investigación.

Art. 43

Las prácticas productivas comprenderán prácticas pedagógicas en centros de enseñanza denivel medio superior y universidades; prácticas en centros productivos, convenio, proyectos

2

2. Justificación 3

y otros que requieran la participación de Físicos Matemáticos.

Art. 44

Las prácticas de investigación se realizan en la U.N.A. bajo la dirección de un profesor des-ignado específicamente con este fin.

Art. 45

Las prácticas productivas de investigación tendrán una duración de un semestre académico.

Art. 46

Los estudiantes, después de haber cumplido con sus prácticas productivas y/o de investi-gación presentaran el informe a la institución donde se realizo y esta a su vez informarade su desarrollo a la Dirección de Carrera quien lo remitirá a la comisión de prácticas preprofesionales para su aprobación o desaprobación.

Art. 47

En el caso de que la practica productiva y/o prácticas de investigación se realice en la Uni-versidad Nacional del Atiplado el practicante presentara el informe al docente a cargo, este asu vez informara su desarrollo a la Dirección de la Carrera para el visto bueno de la comisiónde prácticas Pre-profesionales.

Art. 48

Los aspectos no contemplados en el presente reglamento serán absueltos por la Comisiónde prácticas pre profesionales.

2do En el Estatuto Universitario del Titulo VI del regimen académico y administrativo en su capit-ulo II del regimen de estudios en la facultad, cuando nos habla de los estudios en su articulo122 que señala:

Art. 122

La actividad académica en una Escuela Profesional comprende:

Formación general.

Formación básica profesional.

Formación profesional.

Investigación.

Orientación profesional.

Proyección y extension universitaria

Su diseño involucra la programación curricular teórico-practica de cada asignatura; proyec-tos de investigación sobre la realidad regional, nacional y mundial; plan de actividades deproyección y extension universitaria; y un plan de prácticas pre-profesionales. Concor.: Arts.10,12, 16 y ss. Ley 23733

Fisica III

CAPÍTULO 3

Objetivos

3.1. Objetivos Generales

Las prácticas pre-profesionales tienen como objetivo poner en práctica los conocimientosadquiridos plasmándolo en la enseñanza universitaria.

3.2. Objetivos Específicos

Los objetivos específicos que se tiene para la practica desarrollada en la respectiva asignaturadesignada son:

Familiarizarse en el desempeño de la docencia universitaria.

Afianzar los conocimientos adquiridos, para resolver problemas durante la práctica pre-profesional.

Solucionar con métodos adecuados los problemas que se presentan.

Estar siempre disponible para absolver las inquietudes de los alumnos.

4

CAPÍTULO 4

Fuerza eléctrica

4.1. Carga puntuales

Son aquellas cuyas dimensiones espaciales son muy pequeñas en comparación con cualquierotra longitud pertinente al problema en consideración.

4.2. Ley de Coulomb

La interacción electrostática entre dos partículas cargadas es proporcional a sus cargas e in-versamente proporcional al cuadrado de las distancias entre ellas y su dirección es según la rectaque las une:

~F = K

qq ′

r 2

r

4.3. Principio de superposición

La fuerza existente entre dos cargas, no se modifica por la presencia de una tercera carga.

4.4. Fuerza para una distribución discreta de cargas

Si se tiene mas de dos cargas puntuales, la fuerza mutua, se determina aplicando el principiode superposición

5

4. Fuerza eléctrica 6

~F = K qo

n∑

i=1

qi

r 2i

ri

4.5. Fuerza para una distribución continua de carga

En este caso, se tiene que tomar un diferencial de carga de Q , hallar la fuerza entre esta y lacarga qo y después integrando:

~F = K qo

∫ Q

0

dQ

r 2

r

4.6. Ejercicios resueltos

EJERCICIO NO4. 1 En la figura se lanza una partícula de carga q y masa m en una trayectoria per-pendicular dirigida hacia el centro O de la linea que une dos partículas de cargas Q y masas mo

(mo >>m ) separados una distancia d = 4p

2. ¿A que distancia de O la fuerza sobre q es maxima?

Fisica III


SOLUCIÓN

Representando la partícula de masa m y carga eléctrica q

En la figura la magnitud de la fuerza eléctrica resulta sobre la carga q es:

F = 2kqq

(x 2+8)cosθ

F = 2kqQx

(x 2+8)3/2

Fisica III


Derivando esta expresión respecto de x , e igualando a cero, obtenemos:

d F

d x=

2kqQ

(x 2+8)5/2(8−2x 2) = 0

8−2x 2 = 0

x = 2m

EJERCICIO NO4. 2 En la figura el anillo de radio R = 30c m , masa densidad lineal de carga uniformeλ= 4×10−8C/m , esta en equilibrio en un plano horizontal, en la presencia de la esférica cargadaque se halla a una distancia d = 40c m del centro del anillo. Hallar la carga eléctrica de la esfera(k = 9×109N m 2/C 2)

SOLUCIÓN

En la figura la fuerza eléctrica debido a los dos diferenciales de carga d q , sobre la esfera de cargaQ , esta dirigida verticalmente hacia abajo, y su magnitud es:

d FR = 2d F cosθ

d FR = 2kQd q

(d 2+R2)d

(d 2+R2)1/2

Tomemos dos diferenciales de carga d q simétricos respecto del centro del anillo.

Fisica III


Luego, la magnitud de la fuerza eléctrica resultante sobre la esfera cargada es:

FR =2kλQRd

(d 2+R2)3/2

∫ π

0

dθ

FR =2πλQRd

4πεo(d 2+R2)3/2

Como el anillo esta en equilibrio por la tercera ley de Newton esta fuerza eléctrica, debe ser igualal peso del anillo, esto es:

2πλQRd

4πεo(d 2+R2)3/2= m g

Q =4πεom g (d 2+R2)3/2

2πλRd

Q =(4×10−3)(10)[(4×10−1)+ (3×10−1)2]3/2

(2π)(9×109)(4×10−8)(3×10−1)(4×10−1)Q = 1,84×10−6C

EJERCICIO NO4. 3 En la figura, hallar la magnitud de la fuerza de interacción eléctrica entre losfilamentos metálicos muy finos de longitud a = 10c m y 2a = 20c m , y densidad de carga lineal yuniforme λ= 2×10−5C/m (k = 9×109N m 2/C 2usar log)

Fisica III


SOLUCIÓN

Tomemos un diferencial de carga d q de longitud d y en el filamento vertical cargado negativa-mente.

En la figura la magnitud de la fuerza eléctrica sobre el diferencial de carga d q , debido al campoeléctrico creado por el filamento horizontal cargado es:

d F = E d q

d F =

λa

2πεoyp

y 2+a 2

!

(λd y )

F =λ2a

2πεo

∫ 2a

a

d y

yp

y 2+a 2

F =λ2a

2πεo

−1

alog

a +p

y 2+a 2

y

!

2a

a

F = −(2)(9×109)(2×10−5)2 log

1+p

5

2(1+p

2)

F = −1, 25N

EJERCICIO NO4. 4 En la figura, en el tubo horizontal de longitud l = 10c m se halla una bola concarga de Q = +6µC , y en sus extremos esferas fijas de cargas q1 = +9µC , q2 = +4µC . Hallar laposición de equilibrio de la bola.

Fisica III


SOLUCIÓN

Representemos las fuerzas que actúan sobre la carga puntual Q

En la figura como la bola de carga eléctrica Q se encuentra en equilibrio, se cumple que:

F1 = F2

kq1Q

(l −x )2= k

q2Q

x 2

q1

q2=

l

x−1

2

⇒l

x= 1+

p

q1/q2

x =p

q2p

q1+p

q2l =

p

4µÆ

9µ+p

4µ(25)

x = 10c m

EJERCICIO NO4. 5 En la figura , la esfera de masa m = 90g y carga eléctrica q se encuentra en equi-librio en la posición mostrada. La otra esferilla de carga 3q se encuentra fijo, el radio del casquete,dielectrico y liso, es R = 10c m . Hallar el valor de la carga q (g = 10m/s 2)

SOLUCIÓN

Representemos las fuerzas que actúan sobre la esferilla de la izquierda.

Fisica III


Con la normal (N ), fuerza eléctrica (F ) y peso (m g ) formemos el triángulo de fuerzas.

En la figura como a ángulos iguales le corresponden lados opuestos iguales, se cumples que:

F =m g

F = (90×10−3)(10) (1)

De otro lado, la magnitud de la fuerza de interacción eléctrica entre las cargas q y 3q es:

F = k(q )(3q )(2R cosθ )2

F = 9q 21011 (2)

Igualando (1) con (2), obtenemos:9q 21011 = (90×10−3)

q = 10−6C

EJERCICIO NO4. 6 En la figura, Hallar el modulo de la fuerza eléctrica ejercida por un alambremuy fino de forma semicircular de radio R = 40c m y densidad de carga lineal uniforme λ =2 × 10−7C/m , sobre una carga puntual q = 6µC , ubicado en su centro de curvatura (k = 9 ×109N m 2/C 2)

SOLUCIÓN

Representemos los campos eléctricos en el centro del anillo creado por dos diferenciales de cargasd q , tomados simétricamente en el anillo.

Fisica III


En la figura la magnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga puntual q , debido a los diferen-ciales de carga d q , ubicados simétricamente es:

d FR = qd FR

d FR = q (2d E cosθ )

FR = q

2kλRdθ

R2cosθ

F R =2kλq

R

∫ π/2

0

cosθdθ

FR =2kλq

R(sen)|π/20

FR =2kλq

R

Reemplazando datos:

FR =(2)(9×109)(2×10−7)(6×10−6)

(4×10−1)

FR = 54×10−3N

EJERCICIO NO4. 7 Un cubo de arista a = 3c m tiene una carga q = 2µC , en cada uno de sus vertices.Hallar la magnitud de la fuerza resultante en cualquier de uno de sus vertices k = 9×109N m 2/C 2

SOLUCIÓN

Representemos las fuerzas eléctricas que actúan sobre la carga ubicada en el vértice F debido alas otras cargas.

En la figura la expresión vectorial de cada una de las fuerzas representadas es:

~Fa = kq 2

2p

2a 2(i + j ); ~FB = k

q 2

a 2(i )

~FC = kq 2

3p

3a 3(i + j + k )

Fisica III


~FD = kq 2

2p

2a 2(i + k ); ~FE = k

q 2

a 2( j )

~FG = kq 2

2p

2a 2( j + k ); ~FH = k

q 2

a 2(k )

Luego la fuerza resultante y su magnitud sobre la carga ubicada en el vértice F son:

~F = ~FA + ~FB + ~FC + ~FD + ~FE + ~FG + ~FH

~F =q 2

4πεo

1+1p

2+

1

3p

3

(i + j + k )

F =p

3q 2

4πεoa 2

1+1p

2+

1

3p

3

F =p

3(9×109)(4×10−12)9×10−4

1+1p

2+

1

3p

3

F = 131,6N

EJERCICIO NO4. 8 Dos bolas de igual carga y masas de m = 180g , se suspenden de un mismo puntopor medio de hilos de longitud l = 20c m , separándose y formando entre los hilos un ángulo recto.Hallar el valor de la cargas de las bolas (g = 10m/s 2, k = 9×109N m 2/C 2)

SOLUCIÓN

Las fuerzas que actúan sobre las bolas son. sus peso (W), la fuerza eléctrica (FE ), y la tension delos hilos (T), como muestra la figura.

En la figura como d = 2l senθ , la magnitud de la fuerza eléctrica entre las esferitas es:

FE =q 2

16πεol 2

1

sen2θ

sustituyendo FE en el triángulo de fuerzas tanθ = FE/m g y teniendo en cuenta que: θ = π/4obtenemos la carga q así:

tanθ =q 2

16πεom g l 2 sen2θ

Fisica III


q = (8πεol 2m g )1/2

q =

(2)(4×10−2)(180×10−3)(10)9×109

1/2

q = 4µC

EJERCICIO NO4. 9 En la figura, las cargas iguales a q = +2× 10−10C están unidas por ligas de lon-gitud normal L = 10c m , constante k = 900N /m y sabiendo que d << L. Hallar la distancia deseparación (d )(k = 9×109N m 2/C 2)

SOLUCIÓN

Representemos las fuerzas que actúan sobre las cargas.

En la figura por condición de equilibrio, la fuerza de interacción eléctrica (FE ) entre las cargasq , debe ser igual a la componente vertical de las fuerza de recuperación de Hooke, es decir:

FE = 2Ty

FE = 2k∆x senθ (1)

Fisica III


La magnitud de la fuerza eléctrica y la deformación que experimenta los hilos son:

FE =1

4πεo

q 2

d 2(2)

∆x = [l 2+(d /2)2]1/2 (3)

siendo l la longitud de los hilos y d la distancia de separación de las esferitas cargadas.De otro lado de la figura se tiene que:

senθ =d /2

p

l 2+(d /2)2(4)

Luego, reemplazando (2), (3), (4) en (1) y operando se tiene:

1

4πεo

q 2

d 2= k d

1−1

(1+(d /2l )2)1/2

Como d << l , entonces (d /2l )2 → 0, así, usando la aproximación, (1+ z )n ≈ 1nz en la ecuaciónanterior, obtenemos la distancia d

q 2

4πεod 2=

k d 3

8l 2

d =

8q 2l 2/k 4πεo

1/5

d =

(8)(9×109)(2×10−10)(10−1)2/9×1021/5

d =

25×10−151/5

d = 0,2c m

EJERCICIO NO4. 10 En la figura siete cargas idénticas q =+4µC están mediadas iguales hilos elás-ticos Después de dejar las cargas libres, las longitudes de los hilos de l = 30c m Hallar la tensionde cada hilo (k = 9×109N m 2/C 2, e = 1,602×10−19C )

Fisica III


SOLUCIÓN

Representemos todas las fuerzas que actúan sobre la carga ubicada en el vértice 6, del hexágonoregular de lado L.

Para que la carga 6 se encuentre en equilibrio, la suma de las componentes verticales de lastensiones de los hilos, deberá ser igual a la suma de las componentes verticales de las fuerzas, estoes:

2TY = F1,Y + F2,Y + F3,Y + F4,Y + F5,Y + F7,Y

donde TY son las componentes verticales de las tensiones en los hilos y Fi , Y son las componentesverticales de las fuerzas eléctricas ejercidas sobre la carga 6.

Reemplazando la forma de estas componentes, se tiene:

2T cos 30o =q 2

4πεo L2

0+1

6+p

3

8+

1

3+p

3

2+p

3

2

T =q 2

8πεo L2

9

4+p

3

3

T = 2, 26N

Fisica III

CAPÍTULO 5

Campo eléctrico

5.1. Campo eléctrico

Es un vector, sirve para describir un sistema de cargas.Sea una carga Q y a una distancia r , queremos hallar el valor del campo eléctrico en P

se define el campo eléctrico en P:

~Ep = lımqo→0

KQ

r 2r =

KQ

r 2r

5.2. Principio de superposición

También para el ~E se cumple el principio de superposición, es decir el campo eléctrico en unpunto debido a una carga, su valor no se altera por la presencia de otra carga vecina que se sumao se superpone al valor inicial.

5.3. Campo eléctrico debido a una distribución discreta de carga

Se tiene un conjunto de cargas discretas q1, q2, . . . queremos hallar el campo eléctrico en elpunto P. que están situado a una distribución r1, r2, . . . de las cargas dadas

18

5. Campo eléctrico 19

~E = Kn∑

i=1

qi

r 2i

ri

5.4. Campo eléctrico debido a una distribución continua de car-gas

Sea una carga Q distribuida sobre un cuerpo y queremos hallar el campo eléctrico a una dis-tancia de la carga en el punto P

~E = K

∫ Q

0

dQ

r 2r

Fisica III


5.5. Flujo del campo eléctrico

El flujo total a través de la superficie cerrada S sera:

φ =n∑

i=1

~e ·∆~Si

φ =

∫

S

~E d ~S

5.6. Flujo debido a una carga puntual

Queremos hallar el numero de líneas que salen o llegan a una carga puntual.

dφ = ~E ·d ~S

φ =q

εo

El flujo es independiente del radio de la esfera.

5.7. Ley de Gauss

El flujo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada S es proporcional a la carga neta encer-rada

∮

S

~E ·d ~a =q

εo

Siendo εo la constante de proporcionalidad la permitividad del vació

Fisica III



EJERCICIO NO5. 1 En la figura el electron de carga q = −1,6× 10−19C y masa m = 9,1× 10−31k g selanza vertical mente hacia arriba con rapidez inicial vo = 4m/s , en presencia del campo eléctricode magnitud E = 5×10−11N /C . Hallar el tiempo que demora en regresar al punto de partida.

SOLUCIÓN

Representemos las fuerzas que actúan sobre la carga q , cuando sube y baja, respectivamente:

En la figura cuando la carga sube la velocidad y la aceleración están en sentidos opuestos, y cuandobaja, tienen el mismo sentido, la magnitud de esta aceleración es:

a =m g −q E

m

Sustituyendo en la ecuación de posición la aceleración a y teniendo en cuenta que cuando elcuerpo llega al pido y = 0, obtenemos el tiempo así:

y = vot −1

2a t 2

0 = vot −1

2

m g −q E

m

t 2

t =2m vo

m g −q E

t =(2)(9,1×10−31)(4)

(9,1×10−31)(10)− (1,6×10−19)(5×10−11)t = 6,6s

Fisica III


EJERCICIO NO5. 2 En la figura el ascensor sube con aceleración constante de a = 6m/s 2, la esferitatiene masa de m = 40g y carga de q = 6× 10−4C , la magnitud del campo eléctrico homogéneo esE = 800N /C . Hallar el valor del ángulo θ (k = 9×109N m 2/C 2, g = 10m/s 2)

SOLUCIÓN

1)Realizamos el diagrama de cuerpo libre de la esfera respecto de un observador ubicado en elpiso del ascensor, sistema de referencia no inercial.

2) Para nuestro observador la esferita estará en reposo relativo, este es:

∑

~F = 0

Luego, del triángulo de fuerzas, obtenemos el valor del ángulo θ , así:

Fisica III


tanθ =q E

m (a + g )

θ = arctan

q E

m (a + g )

θ = arctan

(6×10−4)(800)(40×10−3)(6+10)

θ = 37o

EJERCICIO NO5. 3 En la figura en los vertices del triángulo equilátero, de lado a = 3m , se ubica trescargas positivas. Hallar el valor de n sabiendo que la magnitud del campo eléctrico resultante enel baricentro es Eo = 600N /C y q =+10−8C (k = 9×109N m 2/C 2)

SOLUCIÓN

Representemos los campos eléctricos creados por cada una de las cargas en el baricentro

Fisica III


En la figura en la vertical la magnitud del campo eléctrico en el baricentro es:

Eo = E1−2E cos 60o

Eo = E1−E

Eo =

kqn

r 2

−

kq

r 2

Eo = kq

r 2(n −1)

600 = 6×109 10−8

(p

3)3(n −1)

n = 21

EJERCICIO NO5. 4 En la figura en los vertices del trapecio se ubican cargas iguales a q = 1×10−9C .Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto medio de la base del trapecio (a = m , k =9×109N m 2/C 2)

SOLUCIÓN

Representemos los campos eléctricos en el P, creados por +q y −q

Fisica III


En la figura las magnitudes de estos campos eléctricos son:

E+ = kq

2a 2(1+ cosθ )(1)

E− = kq

2a 2(1− cosθ )(2)

Luego como ~E+ y ~E− forman ángulos rectos entonces la magnitud del campo eléctrico resultantees:

E 2 = E 2++E 2

−

E 2 = k 2 q 2

4a 2

1

(1+ cosθ )2+

1

(1− cosθ )2

E =

p2

2k

q

a 2cscθ

p

2 csc2θ −1

E =

p2

2k

q

a 2(2)p

(2)(4)−1

E =p

14kq

a 2

E =p

14(9×109)8×10−8

9×10−2

E = 29,9kN

C

EJERCICIO NO5. 5 En la figura a = 30c m , q = 8× 10−8C θ = 150o, hallar la intensidad del campoeléctrico en el punto P de la circunferencia.

Fisica III


SOLUCIÓN

Representemos los campos eléctricos creados por cada una de las cargas en el punto medio de labase mayor del trapecio.

En la figura los campos creados por las cargas ubicados en los vertices C y D se anulan entresi, de modo que el campo resultante, sera la suma de las componentes verticales de los camposgenerados por las cargas ubicadas en los vertices A, B es decir:

ER = 2E sen 60o

ER = (2)

kq

a 2

p3

2

ER = (9×109 1×10−9

12)(p

3)

Er = 9p

3N

C

EJERCICIO NO5. 6 En la figura en los extremos de un diámetro de 10c m de longitud que pertenecea la base de un cono de altura 8c m se ubica cargas puntuales de 4× 10−12C cada una. Hallar lamagnitud del campo eléctrico resultante en el vértice del cono (k = 9×109N m 2/C 2)

Fisica III


SOLUCIÓN

En la figura en el triángulo rectangular tenemos que:

cosα=h

p

a 2+h2

De otro lado, las magnitudes de los campos eléctricos en el vértice P del cono creados por cadauna de las cargas es:

E = kq

a 2+h2

Luego la magnitud del campo eléctrico resultante en el vértice P es:

ER = 2E cosα

ER = 2kqh

(a 2+h2)3/2

ER = (2)(9×109)4×10−12

(6×10−2)2+(8×10−2)23/2

ER = 72N /C

Fisica III


EJERCICIO NO5. 7 En la figura el plano es infinito y de densidad de carga superficial uniforme σ=2× 10−7C/m 2, si una esferilla de masa m = 16,956g y carga q = 2× 10−5C se halla en equilibrioHallar el ángulo θ

SOLUCIÓN

Representemos las fuerzas que actúan sobre la esferilla, y con estas fuerzas formemos el triángulode fuerzas

Del triángulo rectangular de fuerzas, obtenemos el valor del ángulo así:

Ex =λk

R(senθ )|π/20

Fisica III


tanθ =qσ

2εom g

tanθ =(2π)(9×109)(2×10−5)(2×10−7)

(16,956×10−3)(10)

θ = arctan

4

3

= 53o

EJERCICIO NO5. 8 En la figura los anillos muy finos idénticos de radio R = 10c m y densidad decarga lineales uniforme λ = 4× 10−10C , se hallan en planos perpendiculares entre si. Hallar lamagnitud del campo eléctrico en el punto P situado a la distancia d = 10c m de los centros de losanillos (k = 9×109N m 2/C 2)

SOLUCIÓN

Representemos los campos eléctricos en el punto P creados por cada una de las espiras cargadas

Fisica III


En la figura cada anillo crea en el punto P un campo eléctrico de magnitud E y perpendicular entresi de modo que el campo eléctrico resultante en dicho punto es:

ER =p

2E

ER =

p2λRd

2εo(R2+d 2)3/2

ER =

p2λR2

2εo(2R2)3/2

EJERCICIO NO5. 9 Un electron penetra en un condensador de placa paralelas paralelamente a susplacas y a una distancia de 4c m de la placa positiva. ¿Que tiempo demora el electron en llegara una de las placas ? la magnitud del campo eléctrico uniforme entre las placas es E = 500N /C ,me = 9×10−28 g , e =−1,6×10−19C despreciar la gravedad

SOLUCIÓN

Cuando la carga de la partícula es negativa la fuerza y el campo ~E que actúa sobre ella son opuestos,como se aprecia en la figura.

En la dirección del eje Y , el electron se mueve hacia abajo, por lo que, su aceleración es:

a =−e E

me(1)

En la vertical, de la ecuación de posición del electron, obtenemos el tiempo (t ), así:

y = vot︸︷︷︸

0

+1

2a t 2

t = [2y /a ]1/2 (5.1)

Fisica III


Finalmente de (1) en (5.1), obtenemos el tiempo que tarda el electron en llegar a la placa positiva:

t = [−2m y /e E ]1/2

t =

−(2)(9×10−31)(−4×10−2)(500)(1,6×10−19)

1/2

t = 30×10−9s

EJERCICIO NO5. 10 En la figura se muestra una esfera metálica A de cara q = −8× 10−4C y unaesfera B de caucho. si las dos esferas tienen la misma masa m = 50g , hallar la aceleración a m i n

para la cual las dos esferas están en contacto inminente (E=500N/C)

SOLUCIÓN

Representemos las fuerzas que actúan sobre las esferas A y B.

Aplicando a las esferas metálicas A y B la ecuación fundamental de la dinámica, tenemos:∑

Fx =m a

q ·E −T senθ =m a m i n (1)

T senθ =m a m i n (2)

De (2) y (1), eliminando la tension de la cuerda (T ), obtenemos la aceleración minima, a si:

q E −m a m i n =m a m i n

Fisica III


a m i n =q E

2m=(8×10−4)(5×102)(2)(50×10−3)

a m i n = 4m

s 2

Fisica III

CAPÍTULO 6

Potencial eléctrico

6.1. Potencial eléctrico en un punto

Se toma el punto P a una gran distancia (∞) de toda carga y el potencial eléctrico Vp a estadistancia seda el valor de cero

VQ −Vp =WpQ

qo

Vp (∞) = 0, VQ =WQ

qo

entonces WQ es el trabajo que debe hacer el agente exterior para mover la carga de prueba qo delinfinito al punto Q .

6.2. Definición de voltio

Para trasladar una carga de un coulomb entre dos puntos cuya diferencia de potencial es deun voltio se requiere trabajo de un Joule

6.3. Potencial eléctrico debido a una carga puntual

Sea una carga puntual Q y dado un punto A, situado a una distancia rA de la carga hallaremosel potencial en A debido a la carga Q

33

6. Potencial eléctrico 34

V (r ) =Q

4πεor

6.4. Potencial debido a cargas discretas

Sea un conjunto de cargas puntuales q1, q2, q3, . . . se quiere hallar el potencial en el punto P.sea r1, r2, r3, . . . las distancias de las cargas qi al punto P

VP = Kn∑

i=1

qi

ri

Fisica III


6.5. Potencial debido a una distribución continua de carga

Sea un cuerpo que tiene una distribución de carga y se quiere hallar el potencial en el punto P.

V = K

∫ Q

0

dQ

r

6.6. Relación entre el potencial y el campo eléctrico

A partir del potencial, se puede conocer el campo eléctrico

~E =−

∂

∂ xi +

∂

∂ yj +

∂

∂ zk

V

~E =−∇V


EJERCICIO NO6. 1 En la figura el bloque de 50g de masa y carga q =−50µC se abandona en la posi-ción A dentro de un campo eléctrico homogéneo de magnitud E = 6k V /m . Si no existe fricción,hallar la rapidez del bloque cuando pasa por B, además R = 2m y g = 10m/s 2

Fisica III


SOLUCIÓN

El bloque se mueve bajo la acción de dos campos uniformes el eléctrico y el gravitatorio perpen-diculares entre si:

Aplicando el primero de conservación de la energía a los puntos A y B, obtenemos la rapidezen el punto B, así:

E M A = E M B

m g R =q E R +1

2m v 2

(30×10−3)(10)(2) = (−50×10−6)(6×103)(2)+1

2(50×10−3)v 2

v = 4m/s

EJERCICIO NO6. 2 En la figura hallar el potencial en el punto que se halla a la distancia de r = 1c mde radio. Resolver el problema cuando se conoce

La densidad superficial de carga que es igual a 10−11C/m 2(εo = 8,85×10−12)

El potencial de la esfera, que es de 300V

Fisica III


SOLUCIÓN

I) Según teoría, el potencial creado por la esfera, a una distancia r (r >R), viene dado por:

V =Q

4πεor(1)

De otra parte la densidad de carga superficial de la esfera es:

σ=Q

4πR2(2)

Eliminando la carga Q entre (1) y (2), obtenemos el potencial en puntos de la esfera así:

V =σR2

εor

V =(10−7)(10−4)

(8,85×10−12)(10−1)V = 11,3Vol t ios

II) Em este caso, como se conoce el potencial de la esfera, que lo denominaremos Vo entoncesde la ecu. (1), la carga de la esfera es:

Q = 4πεoRVo (3)

Luego, sustituyendo (3) en (1), obtenemos la expresión del potencial para puntos fuera de la esfera:

V =

R

r

Vo =

10−2

10−1

(300)

V = 30Vol t ios

EJERCICIO NO6. 3 En la figura ¿Que trabajo se realiza al trasladar una carga puntual de 2× 10−8Cdesde el infinito hasta el punto situado a la distancia de 1c m de la superficie de una esfera de radioigual a 1c m con una densidad superficial de cargaσ= 10−9C/c m 2?(p = 10−12)

Fisica III


SOLUCIÓN

Representemos la carga eléctrica puntual qo que se traslada desde el infinito hasta el punto A.

El trabajo para traer la carga desde el infinito hasta el punto A, es igual a la diferencia de susenergías potenciales eléctricas en los puntos A y infinitos, respectivamente esto es:

W∞→A = EP,A −EP,∞

W∞→A = qoσR2

εor−0

W∞→A = (2×10−8)(10−13)(10−4)

(8,85×10−12)(2×10−2)W∞→A = 1,13×10−12 J

Fisica III


EJERCICIO NO6. 4 Dos gotas esféricas de mercurio de radio r = 3c m y 3p

37cm tiene cargas eléc-tricas iguales a q1 = (40/3)× 10−9C y q2 = 20× 10−9C Hallar el potencial eléctrico de gota esféricaresultante que se obtiene al unir las dos gotas.

SOLUCIÓN

Representemos las gotas de mercurio antes y después de su union.

La carga eléctrica de la gota esférica resultante es:

q =q+q2 ⇒ q =

100

3

10−9C

Igualando el volumen de la gota esférica resultante a la suma de los volúmenes de las gotas, obten-emos su radio así:

V =V1+V2

4

3πR3 =

4

3πR3

1 +4

3πR3

2

R = [33+( 3p

37)3]1/3

R = 4c m

Luego el potencial eléctrico de la gota esférica resultante es:

V = kq

R

V =

9×109 (100/3)10−9

4×10−2

V = 7,5k V

EJERCICIO NO6. 5 Hallar el trabajo necesario para suministrar cargas eléctrica uniforme a una es-fera de radio R = 10c m y esta adquiere una densidad de carga volumétrica uniforme igual aρo = 2×10−89C/m 3(k = 9×109N m 2/C 2, y p = 10−12)

SOLUCIÓN

Representemos una esfera de radio r y carga eléctrica q , rodeado por un cascaron esférico deespesor d r .

Fisica III


El trabajo necesario, es igual a la energía potencial eléctrica que adquiere la esfera, esto es:

W =U =

∫

dU

siendo q el trabajo realizado para traer un diferencial de carga d q desde el infinito, en presenciade la esfera de radio r y carga q , y distribuirlo en el cascaron esférico de radio r y espesor d r yespesor d r , así:

W =

∫

V (r )d q

W =

∫ R

0

kq

rρo4πr 2d r

W =

∫ R

0

k(4/3)πr 3ρo

rρo4πr 2d r

W =16π2ρ2

o k

3

∫ R

0

r 4d r

W =16π2ρ2

o R5

15(4πεo)

W =(16π2)(9×109)(2×10−8)2(10−1)5

15W ≈ 379×10−12

EJERCICIO NO6. 6 Cargas eléctricas de 1C cada una se ubica en los vertices de un triángulo equi-látero de 10c m de lado. Hallar la energía potencial de cada una de las cargas (T = 1012)

SOLUCIÓN

Representemos las cargas eléctricas puntuales situadas en los vertices del triángulo equilátero.

Fisica III


La energía potencial de cada una de las cargas es la misma, así, la energía potencial de la cargasituada en (A) es:

EP = kq 2

l+k

q 2

l

EP = (2)(9×109)

12

10−1

EP = 1,8×1011 J

EJERCICIO NO6. 7 en la figura la distancia entre las laminas paralelas planas es de 2c m y su diferen-cia de potencial de 120V . ¿Que rapidez adquiere un electron bajo la acción del campo al recorrer,según una linea de fuerza, la distancia de 3m m ? (q =−1,6×10−19C , m = 9,1×10−31k g )

SOLUCIÓN

Representemos la fuerza que actúa sobre el electron.

Fisica III


Como la fuerza eléctrica que actúa sobre el electron es F = e E = e (V /d ), entonces, la acel-eración que adquiere el electron debido a esta fuerza es:

a =F

m=

e V

md (1)

De otra parte, el electron recorre la distancia d , según la linea del campo de fuerza del campoeléctrico, con una aceleración de magnitud:

a =v 2

a d ′(2)

Igualando (1) con (2), obtenemos la rapidez que adquiere el electron:

v =

2e V

V

d

d ′

1/2

v =

(2)(1,6×10−19)(120)9,1×10−31

3

20

1/2

v = 2,52×106m/s

EJERCICIO NO6. 8 Un conductor cilíndrico muy largo de radio RA esta rodeado por un cilindrocoaxial hueco de radio RB . Los cilindros densidades de carga lineal uniforme iguales a λ y −λrespectivamente Hallar la diferencia de potencial entre los cilindros Ay B sabiendo que RB = 2RA yλ= 4×10−10C/m

SOLUCIÓN

Representemos los cilindros concéntricos A y B de radios RA , RB .

Como el campo eléctrico es radial, el gradiente del potencial eléctrico en coordinadas cilíndri-cas, se reduce a:

E =−d V

d r(1)

De otro lado, del teorema de Gauss, encontramos que la magnitud del campo eléctrico, para pun-tos ubicados entre los cilindros A y b es:

E =1

4πεo

λ

r(2)

Fisica III


De (2) en (1), e integrando para A < r <RB , se tiene:∫ VB

VA

d V ) = − f r a cλ2πεo

∫ RB

RA

1

rd r

V |VBVA= −

λ

2πεoln

RB

RA

VA B = (2)(9×109)(4×10−10) ln(2)

VA B = 4,99V

EJERCICIO NO6. 9 Dentro de un campo eléctrico uniforme de magnitud E = 5× 105N /C dirigidohorizontalmente hacia la derecha, gira con velocidad angular constante w = 6r a d /s en un planovertical describiendo una trayectoria circular, una esferita de masa m = 0,5k g y carga eléctricaq = 6,63µC unida a un hilo de longitud L = 0,5. Hallar la tension maxima en al hilo de seda (g =10m/s 2)

SOLUCIÓN

Representemos la trayectoria circular que describe la esfera cargada

1) De la ecuación fundamental de la dinámica lineal, hallemos la gravedad efectiva(g e f )

g e f = FR/m

g e f = [g 2+(q E/m )2]1/2

g e f =

102+

(6,63×10−6)(5×105)5×10−1

1/2

g e f ≈ 12m/s 2 (1)

2) La tension en el hilo sera maxima„ cuando la esfera pasa por la posición mas baja respecto delcampo efectivo, por consiguiente la tension T y el peso efectivo son colineales.

Fisica III


3) DE la ecuación fundamental de la dinámica circular, tenemos:∑

Fr =m a c

T −m g e f =m w 2L (2)

De (1) en (2), obtenemos la magnitud de la tension en la cuerda, así:

T = m g e f +m w 2L

T = (0,5)(12)+ (0,5)(6)2(0,5)

T = 15N

EJERCICIO NO6. 10 Un filamento de longitud a = 10c m se halla sobre el eje de simetría de un anillode radio R = 10c m , ambos tienen densidad de carga lineal uniforme λ= 2µC/m . Hallar la energíapotencial de interacción eléctrica del filamento cuyo extremo se ubica en el centro de anillo

SOLUCIÓN

Tomemos un diferencial de carga eléctrica d q en el filamento rectilineal.

Fisica III


En la figura la energía potencial del diferencial de carga d q , debido al potencial V creado porel anillo es:

d EP =V d q

d EP =

λR

2εo

p

y 2+R2

!

(λd y )

EP =λ2R

2εo

∫ a

0

d yp

y 2+R2

EP =λ2R

2εolog

y +p

y 2+R ‘2a

0

EP =λ2R

2εolog(1+

p2)

EP = (2π)(9×109)(2×10−6)2(10−1) log(1+p

2)

EP = 8,66×10−3 J

Fisica III

CAPÍTULO 7

Condensadores

7.1. Condensadores

Es el potencial de una esfera aislada de radio R y carga q es (+q )

V ′+ =K q

R=

q

4πεoR(7.1)

Para una esfera aislada de radio R y carga (−q ) el potencial de la esfera es:

V′

− =K (−q )4πεoR

(7.2)

para mostrar la diferencial de potencial entre dos esferas

V ′ =V ′+−V ′− =q

4πεoR−

−q

4πεoR

V ′ =q

2πεoR(7.3)

despejando tenemosq = (2πεoR)V ′ =C ′V ′ (7.4)

q =C ′V ′ (7.5)

donde C ′: constante llamada la capacitancia de las dos esferas, si acercamos las dos esferasentonces la distancia de las líneas de fuerza que salen o llegan a la otra carga se ve alterar tal comse indica.

46

7. Condensadores 47

En este caso el potencial V ′+ se reduce a V+ y V ′− aumenta a V− la deferencia de potencial es:

V =V+−V−

si q = C V , q = C ′V ′, como V ′ > V entonces C > C ′ queda definido, la capacitancia de una esferaaislada de radio "R .así

C =Q

V=

QQ

4πεo R

= 4πεoR

C = 4πεoR (7.6)

UNIDADES:

MKS: FARADAY(F ) =Coulomb

Voltios

CGS:c m =Stat Coulomd

Stat Voltio

1F = 9×1010c m

7.2. Condensadores de planos paralelos

Sea dos planos paralelos de area A y separados una distancia d a las cuales se le carga aplicandouna diferencial de potencial.

Fisica III

7. Condensadores 48

Luego como sabemos que:

C =q

V(7.7)

usando la Ley de Gauss, para encontrar q

∫

E dS =q

εo⇒ ES =

q

εo⇒ q = ESεo (7.8)

anteriormente sabemos queV = E d (7.9)

de (7.7), (7.8) y (7.9) tenemos

C =ESεo

E d=

Sεo

d(7.10)

C =Sεo

d(7.11)

7.3. Condensador cilíndrico

Consta de los cilindros concéntricos de radio a y b que poseen una carga (−Q) y (+Q), tal comoe indica en la figura

Por definición:

C =Q

Vb a=

2πεo L

ln(b/a )(7.12)

7.4. Condensador esféricos

Consta de dos esferas concéntricas de radios a y b , que poseen (+Q) y (−Q) tal como se indicaen la figura

Fisica III

7. Condensadores 49

Por definición

C =Q

Vab

C =4πεoab

b −a(7.13)

7.5. Asociación de condensadores

Hay dos formas básicas como los condensadores se asocian y son : SERIE y PARALELO

7.5.1. Condensadores en serie

Se asocia los conductores, se aplica una diferencial de potencia entre los puntos .a 2"b"se cargalos condensadores, por que estar en serie la carga es la misma en todo ellos

Vab =V1+V2+V3

=q

C1+

q

C2+

q

C3

Vab =q

1

C1+

1

C2+

1

C3

(7.14)

para encontrar el condensador equivalente del sistema

Fisica III

7. Condensadores 50

Vab =q

Ce q(7.15)

de (7.14) y (7.15) tenemos1

Ce q=

1

C1+

1

C2+

1

C3(7.16)

en general1

Ce q=∑ 1

Co(7.17)

7.5.2. Condensadores en paralelo

La carga distribuye en cada una de los condensadores

q = (C1+C2+C3)Vab (7.18)

para encontrar el condensador equivalente

Fisica III

7. Condensadores 51

q =Ce q

Vab(7.19)

de (7.18) y (7.20) tenemos

Ce q =C1+C2+C3 =∑

C i (7.20)

7.6. Energía almacenada en un conductor

para cargar un condensador se requiere una batería, el cual permite llevar la carga de bornenegativo al positivo, al inicio ambas placas están descargados y después llevamos cargas de unaplaca a la otra sea esta carga q ′, transportada en un tiempo t y la diferencial de potencial entre lasplacas sera

V ′ =q ′

C(7.21)

Si lavamos carga,los comunicamos una carga total Q el trabajo total sera:

W =

∫

d W =

∫ Q

0

q ′

C

d q ′ =Q2

2C(7.22)

También se puede usar la relación

W =1

2C V 2 (7.23)


EJERCICIO NO7. 1 Una esfera conductora cargada de 2cm de radio se pone en contacto con otraesfera conductora de 5cm, de radio. Después de separar ambas esferas la mayor radio se energizacon 9000ergios ¿Que carga tenia la esfera inicialmente cargada?

SOLUCIÓN

Sea Q la carga de la esfera mas pequeña. entonces inicialmente:

Fisica III

7. Condensadores 52

La carga inicial del sistemas es: "Q". Luego se le pone en contacto,

La transformación de carga finaliza cuando ambas esfera alcanza igual potencial. Entonces alsepararlas la carga en cada una de ellas sera:

V1 =V2

kq1

r= k

q2

Rq1

q2=

r

R=

2

5(1)

Por conservación de la carga:q1+q2 =Q (2)

De (1) y (2):

q1 =2

7Q

q2 =5

7Q

Por datos la esfera de mayor radio se energiza con 9000regios, luego:

W2 =1

2

q2

C2

=1

2

(5Q/7)2

R

W2 =25

98

Q2

5

Q = 420s t −Cou l

Q = 1, 4×10−7cou l

EJERCICIO NO7. 2 Un condensador plano, cuyos placas tienen las dimensiones 25×25c m 2 y estánseparadas entre si por la diferencial de potencial V1 = 10V y desconectando de la fuente.

¿Cual sera la diferencial de potencial V2 si las placas se separan hasta la distancia d 2 = 5m m ?

Fisica III

7. Condensadores 53

SOLUCIÓN

La carga "Q"del condensador después de separar las placas no varia, por lo tanto:

Q =V1C1 =V2C2 = c t e

V1

εoA

d 1

=V2

εoA

d 2

Simplificando:

V2 =V1

d 2

d 1

= 10

5

0, 5

V2 = 100V

EJERCICIO NO7. 3 Determine la tension maxima que se puede aplicar a un capacitor 0, 2µF con unarea de sus lacas de 0, 3m 2. Entre sus placas tiene porcelana cuya constante dielectrica es 6 y surigidez dielectrica 7, 875K V /m m

SOLUCIÓN

La capacidad de un condensador esta dado por:

C = εoA

d= εεo

A

d

Para la porcelana: ε = 6 Reemplazando:

0, 2×10−6 = 6×8, 85×10−12

0, 3

d

d = 7, 97×10−5m = 0, 08m m

Además se sabe que la rigidez dielectrica (K) esta definido como

K =Vm a x

d

7, 875=Vm a x

0, 08

Vm a x = 630V

EJERCICIO NO7. 4 En la figura en el circuito eléctrico, la diferencia de potencial entre los extremosA y B es de 10Voltios. Hallar la carga acumulada en el condensador de capacidad 6µF

Fisica III

7. Condensadores 54

SOLUCIÓN

Los condensadores de capacidad 3µF y 6µF están conectados en serie, por consiguiente almace-na, igual, cantidad de carga q

Los condensadores de capacidad 2µF y 8µF están conectados en paralelo, por consiguientelas cargas acumuladas serán q y 4q , respectivamente

Analizando el condensador equivalente:

Q =VA BCe q

5q = (10V )(10µF )

q = 20µC

Luego la carga acumulada en cada placa, por el condensador de 6µF es de 20µC

EJERCICIO NO7. 5 En la figura en el circuito eléctrico, hallar la carga acumulada en el condensadorde 3µF , sabiendo que la diferencia de potencial entre los puntos A y B es de 30Voltios.

SOLUCIÓN

Cuando dos condensadores están conectados en paralelo, las carga acumuladas son directamenteproporcionales a sus capacidades

Fisica III

7. Condensadores 55

Cuando dos condensadores están conectados en serie, todos los condensadores es serie alma-cenan igual, cantidad de carga independientemente de us capacidades.

Luego, la capacidad equivalente, Ce q = 2µF , almacena en cada placa una carga de magnitud3q

Q =VA BCe q

3q = (30V )(2µF ) = 60µC

q = 20µC

Finalmente, el condensador de 3µF almacena en cada placa una carga de magnitud 60µC

EJERCICIO NO7. 6 En la figura en el circuito eléctrico todos los condensadores tienen capacidadC = 6µF , hallar la capacidad equivalente entre a y b (µ= 10−6)

SOLUCIÓN

Los extremos de los cuatro condensadores, están conectados a puntos comunes, es decir, están enparalelo.

Luego, la capacidad equivalente del sistema de condensadores es:

Ce q = C +C +C +C

Ce q = 4C = (4)(6µ)

Ce q = 24µF

EJERCICIO NO7. 7 En la figura en el circuito eléctrico todos los condensadores tienen capacidadC = 40µF . Hallar la capacidad equivalente entre a y b.

Fisica III

7. Condensadores 56

SOLUCIÓN

Reduciendo el sistema inicial de condensadores, tenemos:

Ce q =5

8C =

5

8(40µF )

Ce q = 25µF

EJERCICIO NO7. 8 En la figura en el sistema de condensadores, hallar la capacidad equivalente en-tre a y b

SOLUCIÓN

Los extremos del condensador de 4µF de la derecha, están al mismo potencial, de modo que estecondensador se anula, así, el sistema de condensadores inicial, se reduce a:

Fisica III

7. Condensadores 57

1

Ce q=

1

4+

1

4+

2

4

Ce q = 1µF

EJERCICIO NO7. 9 En la figura en el circuito eléctrico V = 300Vol t ios , C = 4× 10−8F si se abre elinterruptor S1 y se cierra el S2, hallar la carga final de los condensadores de capacidad C y 2C

SOLUCIÓN

Sea q ′, q ′′ las cargas de los condensadores 1 y 2 cuando S1 esta abierto y S2 cerrado, entonces

1. Cuando S2 esta abierto y S1 cerrado, el condensador 1, adquiere una carga igual a:

q =V C (1)

Fisica III

7. Condensadores 58

2. Cuando S2 esta cerrado y S1 abierto, los extremos de los condensadores 1 y 2 están a la mismadiferencia de potencial, por lo mismo, se cumple:

q ′

C=

q ′′

2C(2)

Además por conservación de la carga, la total antes y después, es la misma:

q ′+q ′′ =q (3)

De (1) y (2) en (3), obtenemos la carga en el condensador 1 y 2:

q ′+2q ′′ =V C

q ′ =1

3V C =

1

3(300)(4×10−8) = 4×10−6C

q ′′ =2

3V C =

2

3(300)(4×10−8) = 8×10−6C

EJERCICIO NO7. 10 En la figura en el circuito eléctrico Vab = 12Vol t ios . Hallar la energía acumu-lada en el condensador de 3µF .

Fisica III

7. Condensadores 59

SOLUCIÓN

Reduciendo el sistema de condensadores inicial, tenemos:

En la figura la diferencia de potencial en los extremos del condensador de 3µF es:

Vb c =6

6+3(12) = 8Vol t ios

Luego, la energía almacenada en dicho condensador es:

E =1

2C V 2

b c =1

2(3µF )(8V )2

E = 96µJ

EJERCICIO NO7. 11 En la figura en el circuito eléctrico todos los condensadores tienen capacidadC = 4µF . Hallar la capacidad equivalente entre a y b .

SOLUCIÓN

Identificando los puntos (nudos) que están al mismo potencial así:

En la figura los tres condensadores que se ubican en el triángulo de vertices e-e-e, se anulan, demodo que el sistema inicial de condensadores, queda así:

Fisica III

7. Condensadores 60

Luego, la capacidad equivalente entre a y b es:

1

Ce q=

1

2C+

1

2C

Ce q =C = 4µF

EJERCICIO NO7. 12 En la figura en el circuito eléctrico, todos los condensadores tienen capacidadC = 6µF . Hallar la capacidad equivalente entre a y b

SOLUCIÓN

Reduciendo el sistema inicial de condensadores, se tiene

Fisica III

7. Condensadores 61

Ce q =5

2C = 15µF

EJERCICIO NO7. 13 En la figura en el circuito eléctrico, hallar la carga del condensador de capaci-dad C = 10µF

SOLUCIÓN

Reduciendo el sistema de condensadores inicial, tenemos:

En la figura la diferencial de potencial entre los puntos x e y es:

Vx y =Vab

3

Vx y =600V

3= 200V

Fisica III

7. Condensadores 62

Luego, la carga en el condensador de 10µF sera igual a:

Q = (10µF )(200V )

Q = 2mC

Fisica III

CAPÍTULO 8

Corriente eléctrico

Los electrones libre en un conductor se mueven en forma irregular a igual que las moléculasde un gas encerrado.

Esta campo ~E actúa sobre los electrones libres y adquieren un movimiento en la dirección (−~E )este flujo de electrones se llama corriente eléctrica (i ) entonces se define.

i =q

t(8.1)

donde: q : carga constante, t : tiempo.Si el flujo de la carga es constante entonces se define

i =d q

d t(8.2)

8.1. La corriente (I)

Es una cantidad escalar macroscópica y propia de un conductor

8.1.1. La densidad de corriente (~J )

Si la corriente esta distribuida uniformemente a través de un conductor de sección transversalA. Luego.

J =i

A(8.3)

63

8. Corriente eléctrico 64

Si el flujo ~J es un punto cualquiera esta orientación en la dirección en que los portadores positivosde carga se moverán en esa parte la relación general entre ~J e i , para una superficie dado en unconductor es la siguiente el flujo vector ~J es i

i =

∫

~J d ~S (8.4)

Si n : es el numero de electrones por unidad de volumen

q = (n oAL)e (8.5)

El electron recorre:L =Vd t (8.6)

i =q

t(8.7)

de (8.5) y (8.6) y (8.7) tenemos

i =n oAL

L/Vd(8.8)

J =i

A= nqVd (8.9)

UNIDADES:i = Am p e r ios

[J ] = Am p e r ios/m 2

8.2. Resistencias

Todos los conductores ofrecen cierto resistencia al paso de la corriente a través de el

R =V

i(8.10)

Fisica III


8.3. Resistividad

Es una cantidad escalar y es una característica de un material para un material ISOTROPICO(cuyas propiedades eléctricas no varían con la dirección que se considera en el material). Luego

ρ =E

J(8.11)

8.4. Ley de Ohm

Aplicamos una diferencial de potencial variable entre los extremos de un alambre conductor.Luego para cada diferencial de potencial aplicada midamos la corriente (i ) y asemos un gráfica

de ella en función de V tal como se indica en la figura.

También la relación R = Vi

se conserva como la definición general de la resistencia de un con-ductor, sea que el conductor cumpla a no con la Ley de Ohm.

El equivalente microscópico de V =Ri es

E =ρ J (8.12)

8.5. Conductividad

Existe una analogía estrecha entre el flujo de carga debido a una diferencial de potencial es elflujo de calor a causa de un diferencial de temperatura.

Fisica III


Se define la conductividad como la inversa de la resistividad

σ=1

ρ(8.13)

8.6. Fuerza electromotriz

Se considera fuentes de voltajes (Fuentes electromotriz o fuente fem) aquellos que conviertanla energía química en energía eléctrica una fuente de "fem"debe ser capaz de hacer trabajos sobrelos portadores de carga que penetran en ella.

Para una carga (d q ) en un tiempo (d t ) entra a la fuente de fem (ε) en su extremo de bajapotencial y sale de ella en su extremo de elevado potencial.

La fuente debe hacer una cantidad de trabajo (d W ) sobre los portadores de carga positiva paraforzarlos a que vayan al punto de mayor potencial, luego la fuente fem (ε) se define

ε =d W

d q(8.14)

8.7. Potenciómetro

Es un instrumento que mide las fem de un generador sin que pase corriente por el usaremosel circuito de la figura.

Fisica III


Hay condiciones que debe cumplirVab = εx

Luego:i Rab =VC D

donde: C el contactoεx =Vc d

εx = i Rcb

8.8. Resistencia en serie

Son tres resistencia situadas en serie como se indica en la figura.

Vab =V1+V2+V3

Vab = I r1+ i R2+ i R3

Vab = i (R1+R2+R3) (8.15)

El sistema puede reducirse efectivamente a un resistor equivalente Re q y que satisface la relación

Vab = I Re q

Luego i (R1+R2+R3) = i Re q

Re q =R1+R2+R3 =3∑

i=1

Ri (8.16)

Fisica III


8.9. Resistencias en paralelo

Sea tres resistencias en paralelo, como se muestra en la figura.

comoi = I1+ i 2+ i 3

i =Vab

R1+

Vab

R2+

Vab

R3

i =

1

R1+

1

R2+

1

R3Vab

(8.17)

también el sistema puede reducirse en una resistencia equivalente

i =Vab

Re q

Luego

1

Re q=

3∑

i=1

Ri (8.18)

8.10. Ley de Kirchhoff

Antes definiremos algunos términos a ser usados en circuitos

8.10.1. Red eléctrica

Es la combinación de conductores y fem.

8.10.2. Nudos

Es un punto de la red en el cual se unes tres o mas conductores.

Fisica III


8.10.3. Malla

Es cualquier recorriendo del conductor cerrado. Ejemplo:

8.10.4. 1ra Ley

La suma algebraica de las intensidades de las corrientes que concurren en un nudo cualquieraes nula

∑

i = 0(Conservacion de la carga)

8.10.5. 2da Ley

La suma algebraica de las fem en una malla cualquiera de uno rd es igual a la suma algebraicade los productos (i R) en la misma malla

∑

ε−∑

I R = 0


EJERCICIO NO8. 1 Por un alambre de cobre de densidad ρ = 9,0g /c m 3, que tiene un electron deconducción por átomo y diámetro de su sección transversal D = 0,1c m pasa una corriente deintensidad i = 50A, hallar la velocidad media de los electrones de conducción (A = 63,54, q =−1,6×10−19C )

SOLUCIÓN

La intensidad de corriente (J ) en todos el alambre es la misma (homogeneidad del material) y esigual a:

J =i

A=

i

πR2

J =50

(π)(0, 05×10−2)2= 6, 37×7 A/m 2

El numero de electrones de conducción por unidad de volumen, viene dado por:

n =NA zρ

A

Fisica III


Siendo, NA numero de Avogadro, Z numero de electrones de conducción por átomo, A numero demasa atómica y ρ masa por unidad de volumen, evaluando:

n =(6, 023×1023)(1)(9)

63, 54= 8, 53×1022 eS

c m 3

n = 8, 53×1028eS/m3

Luego, la velocidad media de los electrones de conducción es:

vm =J

ne=

6, 37×7

(8, 53×28)(1, 602×10−19)

vm = 4, 66×10−3 m

s

EJERCICIO NO8. 2 Una unidad calefactor de potencia P = 500W , se diseña para que opere con unalinea de V = 115vol t ios ¿Cual es el puntaje en que decae el calor cedido cuando el voltaje de lalinea disminuye a V = 110vol t ios ? Supongase que no ocurre cambios en la resistencia

SOLUCIÓN

Evaluando la expresión de la potencia, obtenemos la resistencia del calefactor, así:

R =V 2

P=(115)2

500= 26, 45Ω

De otro lado, recordemos que la energía cedida a un dispositivo, viene dado por:

W = Pt =V 2

Rt

Evaluando esta expresión para V = 115V y V = 110V , respectivamente, tenemos:

W1 =(115)2

(26, 45)t = 500t J

W2 =(110)2

(26, 45)t = 457, 46t J

Luego, la variación del calor cedido en porcentaje es:

δ=|W1−W2|

W1(100)

δ= 8, 5 %

EJERCICIO NO8. 3 Un haz estacionario de partículas alfa (q = 2e ) que viaja con cinética constantede Ec = 20M e V transporta una corriente de intensidad i = 0,25,10−6A. Si el haz se lanza perpen-dicularmente a una superficie plana ¿Cuantas partículas alfa inciden sobre la superficie duranteel tiempo t = 3,0s ?

Fisica III


SOLUCIÓN

La carga eléctrica de la partícula alfa, viene dado por:

q = 2e = (2)(1, 6×10−19C )

q = 3, 2×10−19C

En el tiempo de T = 3s la carga total de las partículas alfa es:

Q = i t = (0, 25×10−6A)(3s )

Q = 0, 75×10−6C

Luego, el numero de partículas alfa que inciden sobre la superficie es:

n =Q

q

n =0, 75×10−6C

3, 2×10−19C

n = 2, 3×1012

EJERCICIO NO8. 4 Un haz estacionario de partículas alfa (q = 2e , q =−1,6× 10−19C ) que viaja conenergía cinética constante de EC = 20M e V transporta una corriente de intensidad i = 0,25 ×10−6A. Hallar el numero de partículas alfa, en un instante dado, en l = 20c m de longitud del haz.

SOLUCIÓN

La carga eléctrica de la partícula alfa es

q = 2e = (2)(1, 6×10−19)

q = 3, 2×10−19C

La velocidad se determina a partir de la energía cinética, así:

EC ,0 =1

2m v 2

o vo = [2EC ,0/m ]1/2

vo =

(2)(20×106)(1, 6×10−19)3, 1×10−31

1/2

vo = 4, 54×109m/s

El numero de partículas alfa por unidad de longitud es:

no =i

qvo=

(0,25×10−6)(3, 2×10−19)(4, 54×1019)

no = 172, 08particulas alfa

mLuego, en una longitud de 20cm, el numero de partículas alfa existe es:

n = l no = (0, 5)(172)

n = 0, 06×103

Fisica III


EJERCICIO NO8. 5 La densidad del aluminio es deρ = 2,7g /c m 3 y su masa atómica de M = 27g /mol ;cada átomo tiene tres electrones de conducción. por un alambre de aluminio de area transversalS = 1m m 2 de fluye una corriente de intensidad i = 10−3A, hallar la velocidad media de los elec-trones (q =−1,6×10−19C , µ= 10−6, NA = 6,023×1023)

SOLUCIÓN

El numero de electrones de conducción por unidad de volumen es:

n =NA zρ

A

siendo NA : numero de Avogadro, z : numero de electrones de conducción por átomo, A: numerode masa atómica y ρ: masa por unidad de volumen:

n =(6, 023×1023)(3)(2, 7)

27= 1, 8×1023 eS

c m 3

La velocidad media de deriva de los electrones de conducción es:

vm =i

ne A

vm =(10−3)

(1, 807×1023)(1, 602×10−9)(10−2)

vm = 3, 47×10−6 c m

s

EJERCICIO NO8. 6 Un calentador de inmersión de 350W opera en una linea de 120V , y se utilizapara elevar la temperatura de 250c m 3 de agua desde 27oC hasta el punto de ebullición. ¿En quetiempo hierve esta cantidad de agua? (ρ = 1000k g /m 3, ce = 4,186J k g oC )

SOLUCIÓN

Según el principio de conservación de la energía, se cumple:

Energia electrica consumida= Calor absorvido para hervir el agua

Pt =m ce∆T

Siendo P potencia, t tiempo, m masa, ce calor especifico y∆T variación de temperatura (T −To).

Ahora como, m =ρV , y despejando t :

t =ρV ce (T −To)

P

t =(103)(2, 5×10−4)(4186)(100−27)

350

t ≈ 218, 27≈ 3, 64m i n

EJERCICIO NO8. 7 En la figura toda la resistencia son iguales a R = 30Ω, hallar la resistencia equiv-alente entre a y b para este sistema de resistencia

Fisica III


SOLUCIÓN

Gracias a la simetría que presenta el sistema de resistencias, si desconectamos los conductores enel punto .O", las corrientes que pasan a través de las diagonales del cuadrado no se altera, quedandoel circuito inicial, como el que se muestra en la figura.

Reduciendo este circuit, se tiene el circuito inicial, como el que se muestra en la figura.

Luego, la resistencia equivalente es:

1

Re q=

1

2R/3+

1

8R/3

Re q =8

15R =

8

15(30)

Re q = 16Ω

Fisica III


EJERCICIO NO8. 8 La resistencia de un alambre de hierro es 5,9veces la de un alambre de cobrede las mismas dimensiones ¿Cual debe se el diámetro de un alambre de hierro para que tengala misma resistencia que un alambre de cobre de 0,12c m de diámetro si ambos tienen la mismalongitud?

SOLUCIÓN

En primer lugar, se tiene dos alambres de las mismas dimensiones, uno de hierro y otro de cobre,entonces sus resistencias iniciales, son:

ROF e =ρF el

A(1)

ROC u =ρC ul

A(2)

Dividiendo (1) entre (2), tenemos:ROF e

ROC u

=ρF e

ρC u= 5, 9

Ahora, se trata de dos alambres de igual resistencia y longitud, uno de hierro (Fe) y otro de cobre(Cu), entonces:

RF e =RC u

ρF el

πD2=ρC u

l

πd 2

D2 =[ρF e

ρC ud 2 ⇒ D =

p

5, 9(0, 12)

D = 0, 291c m

EJERCICIO NO8. 9 ¿A que temperatura se duplica la resistencia de un conductor de cobre con re-specto a su valor a 0oC , la dilatación lineal del cobre es α= 390×10−5,0C−1?

SOLUCIÓN

La resistencia en función de la temperatura, viene dado por:

R = Ro[1+α(T −To)]

2Ro = Ro[1+390×10−5T ]

T =1

390×10−5

T = 256, 4oC

EJERCICIO NO8. 10 En cierta region del espacio hay 2,108 partículas noblemente ionizados (cargapositiva) por centímetro cubico que se mueven hacia el norte con rapidez de v = 107c m/s . Hallarla magnitud de la densidad de corriente J

SOLUCIÓN

Dado que las partículas están noblemente ionizadas, la densidad de carga volumétrica, viene dadopor:

ρ = n2e = (2, 0×14)(2)(1, 6×10−19)

Fisica III


ρ = 6, 4×10−5C/m 3

siendo n el numero de partículas por unidad de volumen.Luego, la densidad de corriente debido a las partículas noblemente ionizadas es:

J = ρv

J = (6, 4×10−5C/m 3)(1, 0×5 m/s )

J = 6, 4A/m 2

EJERCICIO NO8. 11 En la figura en el circuito eléctrico la llave pasa de posición a a la posición b¿En cuanto cambia la lectura en el amperímetro ideal A?

SOLUCIÓN

Representemos a la llave en las posiciones a y b, respectivamente.1) llave en la posición a

Analizando el circuito en la posición a aplicamos la segunda ley de Kirchoff a la malla izquier-da.

ε =∑

i .R

6= 2i (1)+ i (2) ⇒ 6= 4i

i = 1,5A (1)

Analizando el circuito en la posición b aplicamos la segunda ley de Kirchoff a la malla izquierda.2) Llave en la posición b

Fisica III


ε =∑

i ′.R

6= (4i ′)(1)+)(3i ′)(2) ⇒ 6= 10i ′

i ′ = 0,6A (2)

Luego el cambio de lectura en el amperimetro es:

∆i = i − i ′ = 1,5A −0,6A

∆i = 0,9A

EJERCICIO NO8. 12 En la figura en cada arista del tetraedro se ubica una resistencia R = 120Ω, hal-lar la diferencia de potencial entre los vertices A y B del tetraedro, sabiendo que la intensidad decorriente que ingresa es i = 0, 2A

SOLUCIÓN

Ordenemos el circuito para observar mejor el arreglo puente:

Fisica III


Ya me el producto en cruz, es igual, los puntos C y D se cortocircuitan.

Recurriendo:

Así la resistencia equivalente del sistema es:

Re =R

2=

120

2= 60Ω

Luego, la diferencia de potencial entre los puntos A y B es:

VA B = i Re = (0,2)(60)

VA B = 12vol t ios

EJERCICIO NO8. 13 En la figura en el circuito eléctrico R1 = 12Ω, R2 = 6Ω, R3 = 4Ω, R4 = 22Ω, R5 = 5ΩR6 = 20Ω, R7 = 8Ω, la batería esta formada por tres pilas de resistencias internas ri = 1/3Ω, cadauna de ellas. Hallar la corriente eléctrica en la batería.

Fisica III


SOLUCIÓN

El voltaje total en la batería es igual a la suma de los voltajes de las tres pilas, es decir V = 9vol t iosy su resistencia interna total igual a ri = (3)(1/3) = 1Ω

Las resistencias R1, R1 y R3 están en paralelo, su resistencia equivalente es:

1

Re l=

1

R1+

1

R2+

1

R3

1

Re l=

1

12+

1

6+

1

4=

1

2

Re l = 2Ω

Las resistencias Re l y R4 están en serie, su resistencia equivalente es:

Re 2 =Re l +R4 = 2Ω+Ω22

Re 2 = 24Ω

Fisica III


Las resistencias R5 y R6 están en paralelo, sus resistencias equivalente es:

1

Re 3 = 1R5+ 1

R6

=1

5+

1

20=

1

4

Re 3 = 3Ω

Las resistencias Re 3 y R7 están en serie, su resistencia equivalente es:

Re 4 =Re 3+R7 = 4Ω+8Ω

Re 4 = 12Ω

Las resistencias Re 2 y Re 4 están en paralelo luego, la resistencia equivalente total es:

1

Re=

1

Re 2+

1

Re 4=

1

24+

1

12=

1

8

Re = 8Ω

Luego, de la figura obtenemos la intensidad de corriente en la batería, así:

i =V

ri +Re=

9

1+8

i = 1A

EJERCICIO NO8. 14 En la figura en el circuito eléctrico, hallar la corriente que pasa por el conductorab

Fisica III


SOLUCIÓN

Asignemos arbitrariamente en sentidos horarios la circulación de las corriente eléctricas, en cadauna de las mallas.

Luego en la figura aplicando el método matricial, obtenemos:

i 1 =

10−15 −1025+15 14

15 −10−10 14

=

−5 −1040 14

15 −10−10 14

i 1 =−70+400

210−100=

330

110

i 1 = 3A

Del mismo modo, calculamos la intensidad de corriente i 2

i 2 =

15 10−15−10 25+15

15 −10−10 14

=

15 −5−10 40

15 −10−10 14

i 2 =600−50

210−100=

550

110

i 2 = 5A

Luego, la intensidad de corriente neta que pasa por el conductor ab es:

i ab = i 2− i 1 = 5A −3A

i ab = 2A

EJERCICIO NO8. 15 En la figura en el circuito eléctrico, hallar la corriente que pasa por la rama b d

Fisica III


SOLUCIÓN

Asignemos arbitrariamente en sentido horario la circulación de las corrientes eléctricas, en cadauna de las mallas del circuito.

En la figura utilizando el método matricial, calculemos i 1

i 1 =

8 0 −12 5 −20 −2 9

7 0 −10 5 −2−1 −2 9

i 1 =8(45−4)−0(18−0)−1(−4−0)

7(45−4)−0(0−2)−1(0+5)

Fisica III


i 1 =166

141A

Del mismo modo, calculemos i 2:

i 2 =

7 8 −10 2 −2−1 0 9

7 0 −10 5 −2−1 −2 9

i 2 =7(18−0)−8(0−2)−1(0+2)7(45−4)−0(0−2)−1(0+5)

i 2 =70

141A

Luego, la intensidad de corriente neta que pasa por db es:

i b d = i 1− i 2

i b d =166

141−

70

141=

96

141

i b d =32

47A

EJERCICIO NO8. 16 La diferencia de potencial entre los terminales de una batería es de 8, 5V cuan-do por ella pasa una corriente de 3A desde el borde negativo al positivo. Cuando la corriente es de2A en sentido contrario, la diferencial de potencial se hace igual a 11V . Hallar la f .e .m . (ξ) de labatería

SOLUCIÓN

La diferencia de potencial entre dos puntos ay b de la rama de un circuito, viene dado por:

(±)Va −∑

n

Rn i +∑

m

(∓)εm +(∓Vb ) = 0

siendo n y m el numero de resistencias y baterías en la rama, respectivamente. Para i = 3A yVab = 8,5V , se tiene:

Vb − i ri + ε−Va = 0

ε−3ri = 8,5 (1)

Para, i = 2A y Vab = 11V , se tiene:Va − ε− i 2ri −Vb = 0

ε+2ri = 11 (2)

Fisica III


Restandolo (2) menos (1), obtenemos la resistencia interna ri :

2,5= 5ri

ri = 2,5/5= 0,5Ω (3)

Sustituyendo ri en (1), obtenemos la fuerza electromotriz (ε), así:

ε = 8,5+3r1 = 8,5+(3)(0,5)

ε = 10vol t ios

EJERCICIO NO8. 17 En la figura en el circuito mostrado, hallase la diferencia de potencial entre lospuntos a y b

SOLUCIÓN

Asignemos arbitrariamente los sentidos de circulación de las corrientes.

Aplicando la segunda Ley de Kiirchoff, a las mallas (I) y (II), tenemos:

∑

k

i j .Rk =∑

L

(±)εL

A la malla (I):1i 1+3(i 1+ i 2) = 8

Fisica III


4i 1+3i 2 = 8 (8.19)

A la malla "2":3(i 1+ i 2)+ (2+4)i 2 =−3

3i 1+9i 2 =−3 (2)

Resolviendo (8.19) y (2), obtenemos las intensidades de corriente i 1, i 2, así:

i ab = i 1+ i 2 = 3−4

3

i ab = 5/4A

Luego, la diferencia de potencial eléctrico entre los puntos a y b es:

Vab = i ab Rab =

5

3

(3)

Vab = 5vol t ios

EJERCICIO NO8. 18 Una pila se conecta a una resistencia de 4Ω luego se reemplaza esta resistenciapor una de 9Ω disipando ambas resistencia la misma potencia. Hallar la resistencia interna de lapila.

SOLUCIÓN

Las intensidades de corriente cuando la pila esta conectada en serie a las resistencias de 4Ω y 9Ωson:

i 1 =ε

r +4y i 2 =

ε

r +9Luego, como las potencias disipadas por las resistencias de 4Ω y 9Ω es la misma entonces:

ε

r +4

2

(4) =

ε

r +9

2

(9)

2r +18= 3r +12

r = 6Ω

EJERCICIO NO8. 19 En la figura en el circuito, ε = 5V , r = 2Ω, R1 = 5Ω, R2 = 4Ω. Si Ra = 0,1Ω. Hallarel error porcentual cometido al medir la corriente, sin considerar la resistencia interna, suponerque el voltímetro no esta conectado

Fisica III


SOLUCIÓN

Las intensidades de corriente que circulan por el amperimetro ideal (Ra = 0), y de resistenciainterna Ra 6= 0 son:

i =ε

R1+R2+ r, i ′ =

ε

R1+R2+RA + r

De otro lado, el error porcentual esta dado por la expresión:

Er =

i − i ′

i ′

(100 %)

Reemplazando las expresiones de las intensidades de corriente i , i ′ tenemos:

Er =

εR1+R2+r

− εR1+R2+RA+rε

R1+R2+RA+r

(100 %)

Er =

RA

R1+R2+ r

(100 %)

Er =

0,1

5+4+2

(100 %)

Er = 0,9 %

EJERCICIO NO8. 20 Dos alambres A y B de 40m de longitud y 0, 10m 2 de sección transversal, seconectan es serie. Entre los extremos del alambre compuesto se aplica un potencial de 60V . Lasresistencias de los alambres son de 40 y 20Ω respectivamente. Hallar la magnitud de los camposeléctricos en los alambres A y B.

SOLUCIÓN

La intensidad de corriente eléctrica, que circula por los alambres es:

i =V

R=

60V

60Ω= 1V

Así, los voltajes en cada uno de los alambres son:

VA = i RA = (1)(40) = 40V

Fisica III


VB = i RB = (1)(20) = 20V

Luego, la magnitud de los campos eléctricos, en los alambres A y B son:

EA =VA

l A=

40V

40m= 1

V

m

E B =VB

l B=

20V

40m=

1

2

V

m

Fisica III

CAPÍTULO 9

Campo magnético

9.1. Campo magnético o densidad de flujo de magnético (~B)

Para definir ~B , consideremos lo siguiente:

a) Una carga en movimiento

b) Una fuerza ~F (no gravitacional, no eléctrico) que actúa sobre la carga en movimiento.

Sea una carga positiva q , que se mueve con una velocidad ~v y si actúa una fuerza lateral ~F sobrela carga que se mueve, entonces diremos que en esa region existe un campo magnético ~B y quesatisface la relación:

~F =q (~v × ~B )

Unidades:MKS: [B]=[F/qv]

[B ] = Te s l a =W e b e r

m 2

9.2. Flujo magnético

Se toma una superficie cerrada S en una region donde existe un ~B . Consideremos un 4~S, de-spués de haber dividido la superficie en pequeñas superficies4S.

Efectuemos el producto escalar para hallar el flujo que atraviese esta superficie: ~B · 4~S comodeseamos hallar el flujo total, sumamos todas las contribuciones:

∑

~B · 4~S, pero como 4~S no esperpendicular a todos los puntos de la superficie que representa, entonces tenemos que dividir lasuperficie en mayor numero de secciones o hacer que4S tienda a cero en el limite, se tendrá:

lım4S→0

∑

4φ = lım4S→0

∑

~B ·4~S

87

9. Campo magnético 88

∮

dφ =

∮

S

~B .d

φ =

∮

S

~B .d ~S

dondeφ es el numero de líneas de campo en Webers o Maxwell.Como la fuerza magnética es siempre perpendicular a la dirección del movimiento, quiere de-

cir que(para campos magnéticos constantes), el trabajo hecho por esta fuerza sobre la partícula escero.

Luego un campo estático (generado por una corriente constante); no puede cambiar la energíacinética de una carga en movimiento solo puede desviarla lateralmente.

9.3. Fuerza de Lorentz

Cuando una partícula se mueve en una region donde hay un ~E y ~B (Supongamos perpendicu-lares), la fuerza total es la suma de la fuerza eléctrica (q ~E ) y la fuerza magnética q (~v × ~B ) ; es decir:~F =q (~E + ~v × ~B ) se indica en la figura

Fisica III


9.4. Ley de Ampere

Cuando un alambre lleva una corriente I , usando la ley de Ampere, podemos hallar el campomagnético producido por I , bajo ciertas condiciones.

Sea una corriente que esta en el eje z . Consideremos una trayectoria cerrada C que encierra ala corriente, como se muestra en la figura.

Dividamos la trayectoria cerrada en segmentos diferenciables d l y efectuamos el productoescalar con el campo magnético ~B :

~B ·d~lSumemos estos productos, es decir integramos, es lo que se llama circulación del campo magnéti-co:∮

C~B ·d~l , tal como se hizo con el campo eléctrico y definimos diferencia de potencial, entre dos

puntos, fue necesario previamente definir la integral curvilínea del campo ~E . Luego:∮

C

~B ·d~l =∮

C

Bd l cosθ

Según el gráfico: d l cosθ = r dφ∮

C

Bd l cosθ =

∮

C

Br dφ (1)

se sabe que el campo magnético creado por una corriente I a una distancia r es:

B =µo I

2πr(2)

De (2) en (1):∮

C

Bd l cosθ =

∮

C

Br dφ =

∮

C

µo I

2πrr dφ =

µo I

2π

∮

C

dφ =µo I

2π(2π)

∮

C

~B ·d~l =µo I

Esta ultima expresión se conoce como la Ley de ampere y dice: "La corriente del campo magnéticoes proporcional a las corriente I , encerrada por la trayectoria C".

Esta Ley es útil para cierta simetría de las líneas del campo y (~B ·d~l ) sean fáciles de evaluar.Si la corriente I , figura esta fuere de la trayectoria cerrada C ′, se tiene lo siguiente:

Fisica III


∮

C ′

~B ·d~l =µo I

2π

∮

C ′dα

∮

C ′

~B ·d~l =µo I

2π

∮ α2

α1

dα+

∫ α1

α2

dα

∮

C ′

~B ·d~l =µo I

2π[(α2−α1)+ (α1−α2)]

∮

C ′

~B ·d~l = 0

Esto quiere decir que las corrientes que no están encerrados por la trayectoria C ′, no con-tribuyen a la integral.

9.5. Ley de Biot - Savart

Sabemos que la Ley de Ampere se puede usar para calcular campos magnéticos solamente se lasimetría de la distribución de corriente es suficientemente completa para que sea fácil de evaluarla integral.

∮

C

~B ·d~l

Esta condición, limita la utilización de esta Ley de los problemas prácticos.En cambio la Ley de Biot - Savart, nos sirve para hallar el campo ~B producido por corrientes

en un punto cualquiera debido a una distribución arbitraria de corriente, tal como se indica en lafigura.

Fisica III


Dividamos el alambre en porciones de longitudes d~l , que llevan una corriente i , la direccióndel d~l son tangentes al conductor.

Luego la inducción magnética d ~B en el punto P, asociada con el elemento de corriente, segúnla Ley de Biot - Savart es:

d ~Bp =µoi

4π·

d~l ×~rr 3

Luego el campo resultante en el punto P debido a todo el alambre sera:

~B =µoi

4p i

∫

d~l ×~rr 3

donde µo = 4π×10−7 W bA−m

se llama la permeabilidad magnética del vació.


EJERCICIO NO9. 1 En la figura por el alambre en forma de L que esta dentro de un campo magnéti-co uniforme de magnitud B = 20T . circula una corriente de intensidad i = 6A además PQ = 3m yQR = 4m . Hallar la magnitud de la fuerza total sobre el alambre.

Fisica III


SOLUCIÓN

Representemos la fuerza neta sobre el alambre en forma de L, así:

Calculo de la fuerza de Ampere usando la longitud efectiva entre los extremos del conductor:L e f = PR = 5m

F = i L e f B sen 90o

F = (6)(5)(20)(1)

F = 600N

EJERCICIO NO9. 2 Un proton de masa m = 1, 6×10−27k g y carga eléctrica q = 1, 6×10−19C se mueveen una trayectoria circular, dentro de un campo magnético uniforme de magnitud 2T . Hallar elperiodo de su movimiento (n = 10−9)

SOLUCIÓN

Representemos al proton describiendo la trayectoria circular así:

Fisica III


En la figura la fuerza magnética (FM ) sobre el proton, es la fuerza centrípeta (FC ), esto es:

qv B sen 90o = mv 2

R

q B = m(2πR/T )

R

T =(2π)(1, 6×10−27)(1, 6×10−19)(2)

T = 31, 4×10−9s

EJERCICIO NO9. 3 En la figura las espiras idénticas de radio R =p

3/2m , conducen corriente deintensidad i = 2A, y se encuentra en planos que forman 60o entre si. Hallar la magnitud del campomagnético en el centro común de las espiras.

SOLUCIÓN

Representemos los campos magnéticos creados por cada una de las esperas, así:

En la figura la magnitud de los campos magnéticos, creados por cada una de las espiras es:

Fisica III


B =µo

2

i

R

Luego, de la Ley de cosenos, la magnitud del campo magnético resultante en el punto O es:

BR = [B 2+ B 2−2B 2 cos 120o]1/2

BR = [2B 2+2B 2 sen 30o]1/2

BR =p

3B =p

3µoi

2R

BR =p

3µo

2

2p

3/2BR = 2µoT

EJERCICIO NO9. 4 Al campo magnético de la tierra en el Ecuador es horizontal en dirección Nortey su magnitud es aproximadamente B = 1, 0× 10−4W b/m 2. Hallar la magnitud de la fuerza sobreuna linea de transmisión del longitud l = 100m que conduce una corriente de intensidad i = 700Ade Oriente a Poniente.

SOLUCIÓN

La magnitud de la fuerza ejercida sobre la linea de transmisión es:

F = i l M senθ

F = (700)(100)(1, 0×10−4)(sen 90o)

F = 7N

EJERCICIO NO9. 5 El segmento de un conductor rectilineal con corriente tiene una longitud de30m . ¿A que distancia limite del mismo, para los puntos situados en la perpendicular trazada des-de su punto medio, el campo magnético se puede considerar como el campo magnético de unconductor rectilineal infinitamente largo recorrido por la corriente? El error tolerante no debe sermayor del 5 %

SOLUCIÓN

Representando los filamentos de longitud finita e infinita.

La magnitud del campo magnético, creado en P, por el filamento finito de longitud l es:

B1 =µoi

2πd

l /2p

(l /2)2+d 2

Fisica III


La magnitud del campo magnético, creado en P, por el filamento de longitud infinita, es:

B2 =µo

2π

i

d

Luego, el error relativo tolerante al medir el campo magnético es:

δ=B2− B1

B2

5

100

µo i2πd

1− l

2p

d 2+(l /2)2

(µoi/2πd )

19

10=

lp

d 2+(l /2)2

100

361=

d 2+(l /2)2

l 2

d

l

2

=39

1444⇒ d =

39

1444

1/2

l

d = 4, 93c m

Fisica III

CAPÍTULO 10

Inducción electromagnética

10.1. Ley de Faraday

La Ley de inducción de Faraday dice: "La fuerza electromotriz inducida: ε en el circuito esigual al valor negativo de la rapidez con la cual esta cambiando el flujo que atraviesa el circuito",su expresión es:

ε =−

dφ

d t

(1)

En un campo magnético variable se induce una fem en cualquier circuito cerrado, la cual esigual a menos la derivada con respecto al tiempo del flujo magnético a través del circuito.

Sea un campo magnético que varia con el tiempo, y se coloca una espira conductora, luegoel flujo varia a través de la espira circular y se producirá una fem inducida en la espira. Esta fem,moverá a los portadores de la carga, es decir induce una corriente, lo cual se debe interpretar comola acción de un campo eléctrico en que satisface la relación:

ε =

∮

C

~E ·d~l (2)

Este campo eléctrico es no electrostático, es decir su origen no se debe a cargas en reposo y tam-poco es conservativo, porque la expresión (2) es diferente de cero:

ε =−dφ

d t=

∮

C

~E ·d~l

=−d

d t

∫

~B ·d ~S =∮

C

~E ·d~l

Esta ultima expresión es la llamada ley de Faraday y Henry y significa: Ün campo magnético de-pendiente del tiempo implica la existencia de un campo eléctrico ~E , tal que su circulación a lo

96

10. Inducción electromagnética 97

largo de un camino arbitrario cerrado C es igual a menos la derivada con respecto al tiempo delflujo magnético a través de una superficie limitada por el camino C; tal como se indica en la figura"

Es necesario agregar, algunas características de este campo eléctrico ~E .

a) Este campo ~E no esta relacionado con cargas, sino con flujos magnéticos cambiante.

b) Las líneas de este campo eléctrico ~E , pueden formar curvas cerradas.

c) Los campos ~E asociados con campos magnéticos cambiantes son no conservativos.

d) El potencial eléctrico, que se puede definir solo para una fuerza conservativa, no tiene ningúnsignificado para campos ~E producidos por inducción.

10.2. Ley de Lenz

Sirve para explicar la dirección de la corriente inducidas en una espira cerrada. esta Ley dice:"La corriente inducida aparece en un sentido tal que ese opone a la causa que la produce..En la Leyde Faraday, aparece el signo negativo, y sugiere esta oposición.

10.3. Autoinduccion

Sea un circuito que lleva una corriente I constante. Por la Ley de Ampere esta corriente gen-era un campo magnético, que es proporcional a la corriente que la genera Figura. Luego el flujomagnético a través del circuito, debido a su propio campo magnético, se llama flujo propia:φI

Luego:φI ∝ IφI = LI

Donde L: se llama autoinduccion del circuito, depende de la forma geométrica del conductor susunidades en el sistema MKS.

[L] =W e b e r s/Am p =He nr y

Ahora si la corriente I varia con el tiempo, el flujoφL a través del circuito también cambia y por laley de Faraday, se induce una femφL en el circuito.

Este caso es lo que se llama AUTOINDUCCION.

Fisica III


Luego: εL =−dφI

d t=− d

d t(LI )

εL =−Ld I

d tSe ha supuesto que la espira es rígida y no cambia con el tiempo. El signo menos significa que εL

se opone a la variación de la corriente.Luego cuando la corriente aumente (d I /d t ) es positiva y (εL) se opone a la corriente figura.Ahora si la corriente disminuye (d I /d t ) es negativa y (εL) actúa en el mismo sentido que la

corriente figura.

10.4. Energía del campo magnético

Sea el circuito que se indica en la figura .

La fem total aplicada al circuito es:

ε+ εL = ε− L(d I /d t )

Por la ley de Ohm:RI = ε− L(d I /d t ), ε =RI + L(d I /d t )

Multiplicando por I :E I =RI 2+ LI (d I /d t )

Luego I 2R , significa la energía consumida por unidad de tiempo.El termino LI (d I /d t ) es la energía que se emplea por unidad de tiempo para establecer la

corriente o su campo magnético.Luego el aumento de la energía magnética es:

dUB

d t= LI

d I

d t

Luego la energía magnética necesaria para aumentar la corriente es:

UB =

∫ I

0

LI d I =1

2LI 2 (1)

Luego para hallar la densidad de energía o energía por unidad de volumen del campo magnético,se puede hallar considerando el solenoide largo L que tiene n o de numeros de vueltas por longitudunitaria, en cuyo interior existe un campo magnético: B =µon oI

Fisica III


Se puede calcular la autoinduccion: L =µon oN Acomo n o =N /L

L =µo(n o)2LA

donde L: es la longitud del solenoide, reemplazando en la expresión (1):

UB =1

2LI 2 =

1

2(µon o2l A)

B

µon o

2

UB =1

2µoB 2(l A), donde (l A)

Es el volumen del interior del solenoide, luego la densidad de energía del campo magnético es:

µB =UB

v=

1

2µoB 2 (2)

Si queremos calcular la energía total almacenada en un volumen definido (V )usamos la expresión:

UB =1

2µo

∫

v

B 2d v

Esta a expresión (2), es análogo para la energía almacenada para un condensador:

U =1

2C V 2

Para un campo eléctrico:

µE =1

2εo E 2


EJERCICIO NO10. 1 la figura el conductor rectilineal de longitud l = 10c m se desplaza con veloci-dad v = 15m/s perpendicularmente al campo magnético uniforme de B = 0,1T de inducción.Hallar el valor de la fuerza electromotriz (ξ) inducida en el conductor

Fisica III


SOLUCIÓN

Representemos a la barra después de haber recorrido una distancia "x "

La magnitud de la fuerza electromotriz (ξ) inducida, viene dado por:

ξ =∆Φ∆t=∆(Bl x )∆t

ξ = Bl

∆x

∆t

= Bl v

ξ = (0, 1)(10×10−2)(15)

ξ = 0, 15V

EJERCICIO NO10. 2 En la figura la barra delgada de 1m de longitud gira en un campo magnéticode magnitud B = 0, 05T , alrededor de un eje que por uno de sus extremos y es paralelo al campomagnético. Hallar el flujo de inducción magnética (Φ) que atraviesa la barra en cada vuelta.

SOLUCIÓN

El flujo de inducción magnética, que pasa a través de la barra en cada vuelta es:

Φ = BS = Bπl 2

Φ = (0, 05)(π)(12)

Φ = 0, 157W b

Fisica III


EJERCICIO NO10. 3 Se coloca una bobina de N = 200v u e l t a s de R = 0, 10m de radio perpendic-ular a un campo magnético uniforme de b = 0, 2T . Hallar el valor de la fuerza electromotriz (ξ)inducida en la bobina si en (0,1s) se duplica la magnitud del campo magnético

SOLUCIÓN

El valor de la fem (ξ) inducida en la bobina (sin signo), viene dado por:

ξ = N∆Φ∆t=N

Φ−Φo

t − to

ξ = N A

B − Bo

t − to

ξ = N (πR2)

2Bo − Bo

t − to

ξ = (200)(π0, 1×102)

(2)(0, 2)− (0, 2)0, 1−0

ξ = 4πvol t ios

EJERCICIO NO10. 4 Por un solenoide de excitación magnética H = 16 × 103A/m y longitud l =100c m , circula una corriente de intensidad i = 40A. Hallar el valor de la fuerza electromotriz (ξ)inducida en el solenoide si se ubica en un campo cuyo flujo magnético varia 600×10−8W e b e r /m 2

en cada segundo

SOLUCIÓN

El numero de vueltas (N) del solenoide hallemos de la formula de la excitación magnética, así:

H =i N

l⇒ N =

Hl

i

Luego, el valor de la fem (ξ) inducida en el solenoide es:

ξ = N

∆ΦB

∆t

=Hl

i

∆ΦB

∆t

ξ =16×103(1)

40(600×−8)

ξ = 2, 40×10−3V

EJERCICIO NO10. 5 Una espira circular conductora, de area A = 100c m 2 se halla en un magnéticouniforme de inducción igual a B = 1W b/m 2. El plano de la espira es perpendicular a la direccióndel campo magnético. Hallar valor medio de la fuerza electromotriz (ξ) de inducción que se creaen la espira si gira un ángulo de 180o en 0,01s

SOLUCIÓN

La fem (ξ) inducida en la espira, viene dado por la let de faraday:

ξ=−∆Φ∆t=−Φ−Φo

t − to

ξ=−BA

cosθ − cosθo

t − to

Fisica III


ξ=−(1)(100×10−4)

cosπ− cos 0

0, 01−0

ξ= 2vol t ios

Fisica III

CAPÍTULO 11

Metodología

11.1. Estrategias

El desarrollo del curso, se realiza utilizando la estrategia del aprendizaje significativo, brindan-do apoyo a los alumnos en la solución de los diferentes problemas que se les puede presentar.

11.2. Métodos

El método que se emplea para el desarrollo de las prácticas pre-profesionales es el inductivo ydeductivo

11.3. Medios y Materiales

Los medios y materiales para el desarrollo de las sesiones de aprendizaje son:

Auditivo: de acceso personal, esto es, voz humana.

Visual: empleo de pizarra, plumón y mota.

103

CAPÍTULO 12

Cronograma de Actividades

12.1. Temas

No Temas01 Fuerza eléctrica02 Campo eléctrico03 Potencial eléctrico04 Condensadores05 Corriente eléctrica06 Campo magnético e inducción magnética

12.2. Cronograma de Actividades

FechasMarzo Abril Mayo Junio

Temas 6 13 18 20 28 4 10 17 22 24 31 2 5 7 1401 ∗ ∗02 ∗ ∗03 ∗ ∗ ∗ ∗04 ∗ ∗ ∗05 ∗ ∗ ∗06 ∗ ∗ ∗

104

CAPÍTULO 13

Relación de Estudiantes y Asistencias

13.1. Relación de estudiantesNo CODIGO APELLIDOS Y NOMBRES1 080661 AGUILAR AHUMADA, ADAN WILLY2 040662 ANCCORI PARIAPAZA, RENE3 081405 ANTONIO FLORES, DAWIZZ WILLIAM4 082281 APAZA CRUZ, DENNIS HERIBERTO5 082284 CACERES SONCCO, JOSUE LINO6 085390 CAHUANA COAQUIRA, HASSAN ROLDAN7 085399 CHOQUE CASTILLO, HOLGUER HELART8 082291 CHUQUIJA TITO, YAXON SANTIAGO9 082292 COAPAZA AGUILAR, HERNAN

10 082295 CONDORI MAYTA, JESUS ANGEL11 082698 CRUZ IBAÑEZ, CUOSET ELDER12 082681 FERNANDEZ MACEDO, MARCO ANTONIO13 085406 GOMEZ CRUZ, EBERTH SABINO14 083885 GUTIERREZ LLAVILLA, CRISP LEONOR15 082301 HUAYCANI HUAYCANI, JOEL EDWIN16 081238 HUMPIRI JILAPA, CESAR17 085413 ITUSACA AYALA, RENE ANGEL18 082306 LUQUE LUQUE, OMAR MILTON19 083888 MAYTA MAMANI, CARLOS RODOLFO20 980264 OLAGUIVEL MAMANI, ORLANDO ELARD21 083889 PAREDES RAMOS, CARLOS EDUARDO22 982171 PATRICIO TINTAYA, MILTON MANUEL23 084666 PAYVA AQUINO, RIBERT CRISTHIAN24 084667 PILCOMAMANI ARIAS, AMADOR25 082318 QUENTA YANAPA, AGUSTO FREDDY26 083891 QUISOCALA MOROCCO, SAMUEL27 085428 QUISPE BUSTINCIO, JHOVANY28 083892 QUISPE TECCE, ABEL

105

13. Relación de Estudiantes y Asistencias 106

13.2. Lista de Asistencia

Datos Marzo Abril Mayo JunioNo CODIGO 6 13 18 20 28 4 10 17 22 24 31 2 5 7 141 080661 • • • • • • • • • • • • • •2 080662 • • • • • • • • • • • • • •3 081405 • • • • • • • • • • • • • •4 082281 • • • • • • • • • • • • • •5 082284 • • • • • • • • • • • •6 085390 • • • • • • • • • • • •7 085399 • • • • • • • • • • • •8 082291 • • • • • • • • • • • •9 082292 • • • • • • • • • • • •

10 082295 • • • • • • • • • • • •11 082698 • • • • • • • • • • • •12 082681 • • • • • • • • • •13 085406 • • • • • • • • • • •14 083885 • • • • • • • • • • • • • • •15 082301 • • • • • • • • • • • • • • •16 081238 • • • • • • • • • • •17 085413 • • • • • • • • • • • •18 082306 • • • • • • • • • • • • • • •19 083888 • • • • • • • • • • • •20 080264 • • • • • • • • • • • •21 083889 • • • • • • • • • • • • • •22 082171 • • • • • • • • • • • •23 084666 • • • • • • • • • • • • •24 084667 • • • • • • • • • • • • • • •25 082318 • • • • • • • • • • • •26 083891 • • • • • • • • • • • • • • •27 085428 • • • • • • • • • • • • •28 083892 • • • • • • • • • • • • • •

Fisica III

Bibliografía

[1] Humberto Leyva Naveros, Electrmagnetismo Y magnetismo ,Editorial Moshera, Lima - Peru,2003

[2] R. A. Serway,Fisica Tomo II, Editorial McGraw-Hill,1982

[3] Regulo A. Sabrera Alvarado, Fisica III Teoria y problemas, Editorial Megabyte,Lima -Peru,2009

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In for Me 200902 Fisica III

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