Il Principio dei Lavori Virtuali - people.unica.it€¦ · Pkm P3 + Pf P3 jm+f Pjm P3 − PT P3...
Transcript of Il Principio dei Lavori Virtuali - people.unica.it€¦ · Pkm P3 + Pf P3 jm+f Pjm P3 − PT P3...
-
Il Principio dei Lavori Virtuali
-
Considerazioni introduttive
• L’applicazione del Principio dei Lavori Virtuali (PLV nel seguito) ha il fine di determinaredeterminaredeterminaredeterminarelalalala condizionecondizionecondizionecondizione didididi equilibrioequilibrioequilibrioequilibrio attraverso la connessione tra posizione (cinematica) e campi diforza applicati.
• Si tratta, di fatto, di un principio di tipo energeticoenergeticoenergeticoenergetico.... Fa parte di quella categoria di principienergetici che indicano che i sistemi evolvono nel senso di minimizzare l’energia associataad ogni stato di possibile configurazione.
SpostamentiSpostamentiSpostamentiSpostamenti virtualivirtualivirtualivirtualiDato un qualunque sistema, generalmente vincolato, gligligliglispostamentispostamentispostamentispostamenti virtualivirtualivirtualivirtuali rappresentanorappresentanorappresentanorappresentano tuttituttituttitutti iiii possibilipossibilipossibilipossibili statistatistatistati((((deformazionideformazionideformazionideformazioni)))) chechecheche nonnonnonnon violinoviolinoviolinoviolino lalalala compatibilitàcompatibilitàcompatibilitàcompatibilità deideideideivincolivincolivincolivincoli. In genere si considerano tali spostamentispostamentispostamentispostamentiinfinitesimiinfinitesimiinfinitesimiinfinitesimi, ossia come piccole perturbazioni rispettoallo stato inizialeSpostamento infinitesimo compatibile con i vincoli ereversibile
-
Considerazioni introduttive
PrendiamoPrendiamoPrendiamoPrendiamo inininin esameesameesameesame ilililil casocasocasocaso delladelladelladella travetravetravetrave incastrataincastrataincastrataincastrata adadadadunaunaunauna estremitàestremitàestremitàestremità
• Gli spostamentispostamentispostamentispostamenti realirealirealireali della trave originati dalla presenza della forza esterna F possonoessere calcolati attraverso l’equazione della linea elastica. Essi sono tutti diretti verso ilbasso.
• Tuttavia è possibile tracciare una deformatadeformatadeformatadeformata ““““virtualevirtualevirtualevirtuale”””” che è ancora compatibile con Ivincoli, ma I cui punti subiscono spostamenti verso l’alto e verso il basso. Quindi essa nonè in relazione con il carico applicato
• Il lavoro compiuto dalle forze agenti sul sistema per uno spostamento virtuale prende ilnome di lavorolavorolavorolavoro virtualevirtualevirtualevirtuale
• Il PLV esamina la condizione in cui si trova il sistema immaginando che esso possa subireuna variazione di configurazione a seguito di spostamenti virtuali, e valuta il lavoro delleforze agenti per tali spostamenti virtuali,,,, ossiaossiaossiaossia ilililil lavorolavorolavorolavoro virtualevirtualevirtualevirtuale
-
Considerazioni introduttive
• Se le forze agenti non hanno possibilità di compiere lavoro virtuale positivo, laconfigurazione è di equilibrio
• Viceversa, se la configurazione è di equilibrio, non è possibile discostarsene facendocompiere alle forze agenti lavoro virtuale positivo
• LaLaLaLa formulazioneformulazioneformulazioneformulazione originariaoriginariaoriginariaoriginaria deldeldeldel PLVPLVPLVPLV sisisisi devedevedevedeve aaaa LagrangeLagrangeLagrangeLagrange eeee recitarecitarecitarecita“Condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio di ogni sistema materiale a
vincoli perfetti è che sia uguale a zero il valore virtuale delle forze attive per il più genericospostamento virtuale”oppure (formulazione alternativa)
“Condizione necessaria e sufficiente perché un sistema materiale sia in equilibrio, èche sia nullo il lavoro virtuale delle forze attive associato a qualunque spostamento virtualecompatibile”In pratica il principio asserisce che ad un sistema perfettamente equilibrato e nella suadeformazione vera, se si perturba infinitesimamente la sua condizione, le forze esterneapplicate non compiono lavoro – il sistema non cambia stato energetico – L’energia totale è inuna condizione di stazionarietà.
-
Campi di applicabilità del PLV
• A corpi rigidi o deformabilideformabilideformabilideformabili• A strutture staticamentestaticamentestaticamentestaticamente determinatedeterminatedeterminatedeterminate oooo indeterminateindeterminateindeterminateindeterminate (iso, iper, ipostatiche o labili)• In presenza di non linearità di forze o spostamenti• In presenza di vincoli cedevoli – ossia vincoli con rigidezza finita• In presenza di effetti legati alle dilatazioni termiche• In presenza di stati di tensioni residue – ossia tensioni interne alla strutturaTuttavia noi considereremo solo l’applicazione a travi staticamente determinate e non masempre in regimeregimeregimeregime elasticoelasticoelasticoelastico linearelinearelinearelineare. Saranno presi in considerazione casi con cedimentivincolari e carichi dovuti a gradienti termici. In particolare applicheremo il PLV per• CalcolareCalcolareCalcolareCalcolare lelelele reazionireazionireazionireazioni neineineinei vincolivincolivincolivincoli didididi sistemisistemisistemisistemi iperstaticiiperstaticiiperstaticiiperstatici (in questo caso si considera il corpo
come deformabile e anche gli sforzi compiono lavoro virtuale)• StudiareStudiareStudiareStudiare lelelele deformazionideformazionideformazionideformazioni elasticheelasticheelasticheelastiche perperperper sistemisistemisistemisistemi isostaticiisostaticiisostaticiisostatici eeee iperstaticiiperstaticiiperstaticiiperstatici (anche in questo caso
si considera il corpo come deformabile e anche gli sforzi compiono lavoro virtuale)
-
PLV per strutture deformabili
La distribuzione degli sforzi che agiscono su unagenerica porzione della trave è data dallasovrapposizionesovrapposizionesovrapposizionesovrapposizione delledelledelledelle distribuzionidistribuzionidistribuzionidistribuzioni deglideglideglidegli sforzisforzisforzisforziderivanti dall’azione assiale, dal taglio, dalmomento flettente dal momento torcente.
Consideriamo la trave in figura: ad essasono applicati carichi concentrati,distribuiti, momenti flettenti e momentitorcenti
Sotto l’azione dei carichi applicati, la struttura è in equilibrio, quindi la distribuzione deglisforzi all’interno della struttura è tale per cui ogni concio di trave di lunghezza dz è inequilibrioSupponiamoSupponiamoSupponiamoSupponiamo oraoraoraora didididi imporreimporreimporreimporre allaallaallaalla travetravetravetrave unaunaunauna deformatadeformatadeformatadeformata virtualevirtualevirtualevirtuale, tale cioè che coinvolga solospostamenti infinitesimi compatibili con i vincoli e reversibili.
-
Consideriamo un tronco finito P1P2 della trave34 > 36
P1
P1’
P2
P2’
78 3 = : 3 ;8 + = 3 >8
y
z
z1z2
36 ≥ 034 ≤ C
0 ≤ 36 < 34 ≤ C
Inifinitesimalità degli spostamenti: gli spostamenti non modificano di molto la posizione delle forze, che possono considerarsi applicate alla configurazione indeformata.
Lavoro virtuale delle forze interne
-
PLV per strutture deformabili
Si indichino con Fi le forze esterne agenti sulla trave e con ∆i le proiezioni, secondola direzione e il verso della forza, degli spostamenti del loro punto di applicazione.Il lavoro delle forze esterne è allora espresso da:
SupponiamoSupponiamoSupponiamoSupponiamo oraoraoraora didididi imporreimporreimporreimporre allaallaallaallatravetravetravetrave unaunaunauna deformatadeformatadeformatadeformata virtualevirtualevirtualevirtuale, talecioè che coinvolga solo spostamentiinfinitesimi compatibili con ivincoli e reversibili.
Si indichino poi con Ni le risultanti delle azioni interne e con δi i corrispondentispostamenti virtuali. Il lavoro virtuale interno è espresso dalla relazione:
CF = G HI · ΔII
CI = G LI · MII
-
Lavoro virtuale delle forze esterne
Se il carico esterno è una forzaforzaforzaforza, il lavoro virtualeè dato dal prodottoprodottoprodottoprodotto scalarescalarescalarescalare delladelladelladella forzaforzaforzaforza perperperper lolololospostamentospostamentospostamentospostamento del suo punto di applicazione pereffetto della deformazione virtuale
IlIlIlIl lavorolavorolavorolavoro delledelledelledelle forzeforzeforzeforze esterneesterneesterneesterne èèèè ilililil lavorolavorolavorolavoro compiutocompiutocompiutocompiuto dalledalledalledalle forzeforzeforzeforze esterneesterneesterneesterne applicateapplicateapplicateapplicate allaallaallaallastrutturastrutturastrutturastruttura durantedurantedurantedurante lolololo spostamentospostamentospostamentospostamento virtualevirtualevirtualevirtuale
Se il carico esterno è una coppiacoppiacoppiacoppia, il lavoro virtuale èdato dal prodottoprodottoprodottoprodotto scalarescalarescalarescalare delladelladelladella coppiacoppiacoppiacoppia perperperper lalalalarotazionerotazionerotazionerotazione del suo punto di applicazione per effettodella deformazione virtuale
Se il carico esterno è un caricocaricocaricocarico distribuitodistribuitodistribuitodistribuito, il calcolo del lavoro compiuto si traducenella valutazione di un integrale esteso alla lunghezza dell’elemento su cui agisce ilcarico distribuito stesso, ma in pratica la valutazione di questo integrale non ènecessaria
CFNO = G HI · ΔII
PCFNO,Q = HI · PRI
PCFNO,S = TI · PUI
CFNO = G HI · PRII + G TI · PUII
-
Lavoro virtuale delle forze interne
IlIlIlIl lavorolavorolavorolavoro delledelledelledelle azioniazioniazioniazioni interneinterneinterneinterne èèèè funzionefunzionefunzionefunzione delladelladelladella deformazionedeformazionedeformazionedeformazione subitasubitasubitasubita dall’elementodall’elementodall’elementodall’elemento durantedurantedurantedurante lolololospostamentospostamentospostamentospostamento virtualevirtualevirtualevirtuale In figura sono rappresentate le
possibili deformazioni virtuali delgenerico elemento di lunghezzainiziale dx. Si vuole valutare il lavorodelle forze interne sull’elementoconsiderato per le quattrodeformazioni virtuali illustrate
Lavoro delle forze interne per lo spostamento virtuale dδSullo spostamento virtuale dζ lavora solo l’azione interna Nmentre le altre azioni presenti non compiono lavoro
Lavoro delle forze interne per la rotazione virtuale dφSulla rotazione virtuale d φ lavora solo l’azione interna diflessione M
Lavoro delle forze interne per lo spostamento trasversalevirtuale dη. Sullo spostamento virtuale dλ lavora solo l’azionedi taglio T. (nota: dλ=γdz essendo γ fattore di taglio
Lavoro delle forze interne per la rotazione virtuale tra duesezioni dφ. Sulla rotazione virtuale dφ lavora solo l’azioneinterna di momento torcente Mt
(PCI)[ = NP\
(PCI)] = TP^
(PCI)S = −TP`
(PCI)SO = TPU
-
Lavoro virtuale delle forze interne
Il lavoro dLi complessivamente compiuto dalle azioni interne sull’elementino dz,pertanto, risulta esserePCI = (PCI)[+(PCI)]+(PCI)S+(PCI)SaPCI = NP\ + TP^ − TP` + TOPU
N, M, T e Mt sono le risultanti delle azioni interne reali nella struttura originati daicarichi applicati, mentre dδ, dθ, dλ e dφ sono gli spostamenti interni generalizzatiassociati alla deformazione virtuale.
(PCI)S = −TP` (PCI)SO = TOPUP\ = bP3 Pc = ^P3 P` = −dP3 PU = ΦP3
PCI = Lb + fg + Td + TOΦ P3PCI = LbP3 + fgP3 + TdP3 + TOΦP3
CI = h Lb + fg + Td + TOΦ P3
Il lavoro Li compiuto dalle azioniinterne sulla struttura sarà datodall’integrale
(PCI)[ = NP\ (PCI)] = TP^
-
Si mostra che, sotto le condizioni di• sistema equilibrato di forze• infinitesimalità, congruenza, compatibilità con i vincoli, del sistema di
spostamentiil lavoro totale esterno uguale al lavoro totale internolavoro totale esterno uguale al lavoro totale internolavoro totale esterno uguale al lavoro totale internolavoro totale esterno uguale al lavoro totale interno
Principio dei Lavori Virtuali
Si consideri la generica struttura soggetta a vincoli e carichi esterni, ed una deformata virtuale (non legata ai carichi esterni).
Inifinitesimalità degli spostamenti: gli spostamenti non modificano di molto la posizione delle forze, che possono considerarsi applicate alla configurazione indeformata.
0 ≤ 36 < 34 ≤ C
34 > 3636 ≥ 034 ≤ C
-
Consideriamo un tronco di trave finito compreso tra i punti P1 e P2.Su di esso agiscono le forze esterne f(z) e le azioni agenti sulle sezioni in P1 e P2:N1, T1, M1, N2, T2, M2 (per semplicità, nella trattazione non si terrà conto del momento torcente)
Principio dei Lavori Virtuali
-
Di seguito si indicheranno con N, T, M le azioni interne REALI generate dalle forze esterne.Con gli apici si indicheranno le grandezze (spostamenti, azioni interne) relative alla deformazione VIRTUALE (fittizia).Nella configurazione deformata, il punto P1 si porterà in P1’ ed il punto P2 in P2’.Gli spostamenti v’, w’ e ϕ’ dei due punti sono rappresentati in figura.
Sul tronco di trave compreso tra P1 e P2 . Su di esso agiscono le forze esterne f(z) e le azioni agenti sulle sezioni in P1 e P2.Scriviamo il lavoro compiuto dalle forze esterne (lavoro esterno)…
Lavoro virtuale delle forze esterne
-
Scriviamo l’espressione per ilLavoro esterno Lavoro esterno Lavoro esterno Lavoro esterno (si noti che in P1’ il lavoro è negativo):
CF = i :j1 + =k1 P3l4l6 + L2km2 + f2jm2 − T2`m2 − (L1km1 + f1jm1 − T1`m1)Gli ultimi 6 termini equivalgono a Lkm + fjm − T`m 64
CF = h :j′ + =k′ P3l4
l6+ Lkm + fjm − T`m 64
CF = h :j′ + =k′ + P(Lkm)
P3 +P(fjm)
P3 −P(T`m)
P3 P3l4
l6
Lavoro virtuale delle forze esterne
previa derivazione, si possono portare dentro l’integrale
Sviluppando le derivate si trova…CF = h :(3)j′ + =(3)k′ + PLP3 km + L
PkmP3 +
PfP3 jm + f
PjmP3 −
PTP3 `m − T
P`mP3 P3
l4l6
-
PLP3 + p(z) = 0PfP3 + q(z) = 0
PTP3 − T(z) = 0
Si ricorda che consideriamo un sistema di forze equilibrato ed un sistema di spostamenti virtuali congruente:
Sistema equilibrato in forma forte, rappresenta l’equilibrio per ogni elementino del tronco di trave.
Lavoro virtuale delle forze interne
Pj′P3 = `′ + g′Pk′P3 = b′
P`′P3 = −d′
Congruenza ed infinitesimalitàdegli spostamenti virtuali
-
CF = h :(3)j′ + =(3)k′ + PLP3 km + LPkmP3 +
PfP3 jm + f
PjmP3 −
PTP3 `m − T
P`mP3 P3
l4l6
PLP3 + p(z) = 0
PfP3 + q(z) = 0
PTP3 − T(z) = 0
Pj′P3 = `′ + g′
CF = h L Pkm
P3 + fPjmP3 −
PTP3 `m − T
P`mP3 P3
l4l6
CF = h L Pkm
P3 + f(`m + gm ) − f`m − TP`mP3 P3
l4l6
Ricordando che e che si trova
Lavoro virtuale delle forze esterne
-
P`′P3 = −d′
CF = h L Pkm
P3 + fgm − TP`mP3 P3
l4l6
Pc′P3 = g′
CF = h Lb′ + fgm + Td′ P3l4
l6= CI
PkmP3 = b′
Infine, ricordando che
Lavoro virtuale delle forze esterne
Quindi si trova:
E sostituendo nell’espressione precedente si ottiene:
Ovvero, il lavoro compiuto dalla forze esterne è uguale al lavoro delle azioni interneil lavoro compiuto dalla forze esterne è uguale al lavoro delle azioni interneil lavoro compiuto dalla forze esterne è uguale al lavoro delle azioni interneil lavoro compiuto dalla forze esterne è uguale al lavoro delle azioni interne
CF = h Lb′ + fgm + Td′ P3l4
l6= CI
-
Lavoro virtuale delle forze interne
P\m = bmP3 P^m = gmP3 P`′ = −dmP3 PU′ = ΦmP3
b′ = L′st g′ =uf′vt d′ =
T′sw Φ′ =
TO′vxy
PCI = N L′st P3 + Tuf′vt P3 + T
T′sw P3 + T
TO′vxy P3
Sostituendo nell’espressione del lavoro infinitesimo dLi si trova:
AbbiamoAbbiamoAbbiamoAbbiamo vistovistovistovisto chechecheche ilililil lavorolavorolavorolavoro esternoesternoesternoesterno èèèè ugualeugualeugualeuguale alalalal lavorolavorolavorolavoro internointernointernointerno.... VediamoVediamoVediamoVediamo oraoraoraora comecomecomecomearrivarearrivarearrivarearrivare aaaa scriverescriverescriverescrivere unununun sistemasistemasistemasistema didididi equazioniequazioniequazioniequazioni utileutileutileutile perperperper lalalala risoluzionerisoluzionerisoluzionerisoluzione didididi problemiproblemiproblemiproblemi praticipraticipraticipratici....SimbologiaSimbologiaSimbologiaSimbologia::::• Con N, M e T(V) indicheremo le azioni interne riferite alla struttura REALE• Con N’, M’ e T’ (V’) indicheremo le azioni interne della struttura FITTIZIASi ricordi che:
TrazioneTrazioneTrazioneTrazione FlessioneFlessioneFlessioneFlessioneTaglioTaglioTaglioTaglio TorsioneTorsioneTorsioneTorsione
-
Lavoro virtuale delle forze interne
Per ottenere il lavoro Li complessivamente svolto sulla struttura occorre integrare
CI = h PCI = h N L′st + Tuf′vt + T
T′sw + T{
TO′vxy P3
l4
l6
Facciamo ora alcune considerazioni sulla struttura reale, sui carichi agenti su di essa, e sulle azioni interne che ne derivano.In generale, si consideri una struttura sulla quale agiscono m carichi, e sia Li il generico carico agente.Per effetto di tali carichi, nella struttura si genera una distribuzione delle azioni interne che, nella generica sezione identificata dalla coordinata z può essere espressa genericamente come: N(z), T(z), M(z), Mt(z).Poiché si sta considerando il problema elastico-lineare e soggetto a spostamenti infinitesimi, la generica azione interna può essere espressa come la somma dei contributi attribuibili a ciascun carico.Pertanto, ad esempio, per l’azione normale, si può scrivere:
-
Poiché si sta considerando il problema elastico-lineare e soggetto a spostamenti infinitesimi, la generica azione interna può essere espressa come la somma dei contributi attribuibili a ciascun carico.Pertanto, ad esempio, per l’azione normale, si può scrivere:
N z = n6(z) · L6 + n4(z) · L4+ ⋯ + n(z) · L= G n(3) · L
6
Dove Li è il generico carico agente sulla struttura, ed ni il coefficiente di proporzionalità tra il carico i-esimo ed relativo contributo Ni all’azione normale N(z).Analogamente, per il taglio, momento flettente e momento torcente si può scrivere:
T z = G tL
6M z = G mL
6M z = G mL
6
N z = N6(z) + N4(z) + ⋯ + N(z) = G N(3)
6
Lavoro virtuale delle forze interne
-
Consideriamo il caso in cui la struttura sia n volte iperstatica e soggetta a p carichi esterni. Come visto in precedenza, per risolvere il problema è possibile associare alla sistema iperstatico un sistema equivalente costituito da una struttura isostatica soggetta ai medesimi carichi esterni e ad n forze che rappresentano l’azione dei vincoli sovrabbondanti soppressi.Indicando con Le il generico carico esterno e con X la generica iperstatica, si ha la seguente situazione:
Lavoro virtuale delle forze interne
mCarichi complessivamente agenti LLLLkkkk
pCarichi esterni
(noti) LLLLejejejejn
iperstatiche(da determinare) XXXXiiii
m=p+n
-
Analogamente, per il taglio, momento flettente e momento torcente, si ha:
le azioni interne possono quindi essere scritte nella forma:
N z = G n(3) · L
6= G nLF
y
6+ G nX
I6= n + G nX
I6
T z = t + G tX
I6
n = G nLFy
I6
M z = m + G mX
I6M z = m + G mX
6
Lavoro virtuale delle forze interne
mmmmcarichi agenti, LLLLkkkk
nnnniperstatiche, XXXXiiii
ppppCarichi esterni, LLLLejejejej m=p+n
dove si è posto:
-
CI = h PCI = h N L′st + Tuf′vt + T
T′sw + T
TO′vxy P3
l4
l6
b′ = n + ∑ nXI6
st
Assumiamo come deformazioni virtuali quelle reali:
g′ = u(t+ ∑ tXI6 )
vt
d′ = m + ∑ mXI6
swΦ′ = m + ∑ mX
6vxy
Torniamo all’espressione del lavoro interno
Lavoro virtuale delle forze interne
-
Se si considera la struttura isostatica associata come soggetta ai soli carichi esterni Lej, le azioni interne sarebbero date da:
Analogamente, se si considera la struttura isostatica associata come soggetta alla solasolasolasolaiperstatica Xi, le relative azioni interne sono:
N z = G(n(3) · LF)y
6= n(3) T z = G(t(3) · LF)
y
6= t(3)
M z = G(m(3) · LF)y
6= m(3) M z = G(m(3) · LF)
6= mO(3)
T z = t 3 · X
M z = m(z) · XM z = m(z) · X
N z = n 3 · X
Lavoro virtuale delle forze interne
-
Si consideri la struttura isostatica associata e si applichi principio dei lavori virtuali n volte, per ciascuna delle quali si facciano le seguenti assunzioni:• il sistema di forze sistema di forze sistema di forze sistema di forze sia dato dalla sola iperstatica h-esima di valore unitariodi valore unitariodi valore unitariodi valore unitario• il sistema di spostamenti sistema di spostamenti sistema di spostamenti sistema di spostamenti sia il sistema di spostamenti reali.sistema di forze:
f′ z = t 3 · X = t
M′ z = m(z) · X= mM′ z = m(z) · X= m
N′ z = n 3 · X = n 3 · 1 = n
sistema di spostamenti: b = n + ∑ nX
I6st
g = u(t+ ∑ tXI6 )
vt
d = m + ∑ mXI6
swΦ = m + ∑ mX
6vxy
Lavoro virtuale delle forze interne
-
Lavoro esterno.L’unica forza agente sulla i-esima struttura fittizia associata è l’iperstatica Xi. Pertanto il lavoro esterno associato sarà pari al valore dell’iperstatica per lo spostamento del punto di applicazione di quest’ultima.Se l’iperstatica h-esima è una coppia, lo spostamento sarà una rotazione.
L = X · δ
Successivamente, nella formulazione delle equazioni di muller-Breslau, il lavoro sarà genericamente indicato con η.In particolare, il lavoro esterno relativo all’azione della i-esima iperstatica sarà indicato con:
η = X · δ
Lavoro virtuale delle forze interne
-
Il lavoro interno elementare relativo alla iperstatica h-esima sarà:dL = N′εdz + T′γdz + M′κdz + M′Φdz
dL = N′ n + ∑ nXI6
st dz + T′u(t+ ∑ tIXI6 )
vt dz + M′m + ∑ mXI6
sw dz + M′m + ∑ mIX6
vxy dz
dL = n n +∑ nX6st dz + t
u(t+ ∑ tXII6 )vt dz + m
m + ∑ mXI6sw dz + m
m + ∑ mIX6vxy dz
dL = nnst + uttvt +
mmsw +
mmvxy dz +
n ∑ nXI6st + u
t ∑ tXII6vt +
m ∑ mIXI6sw +
m ∑ mIX6vxy dz
L = h dL = h nnst + uttvt +
mmsw +
mmvxy dz + h
n ∑ nXI6st + u
t ∑ tXII6vt +
m ∑ mIXI6sw +
m ∑ mIX6vxy dz
L = h nnst + uttvt +
mmsw +
mmvxy dz + h
∑ nnIXII6st + u
∑ ttXII6vt +
∑ mmXI6sw +
∑ mmIX6vxy dz
L = h nnst + uttvt +
mmsw +
mmvxy dz + G X h
nnst + u
ttIvt +
mmIsw +
mmIvxy dz
I6
^I = h Ist + u{{Ivt +
Isw +
OOIvxy P3^ = h
st + u
{{vt +
sw +
OOvxy P3
Lavoro virtuale delle forze interne
Per ottenere il lavoro totale integriamo sul tratto (finito) di struttura
Poniamo:
-
Ricordando che per il teorema dei lavori virtuali, il lavoro interno è uguale al lavoro esterno, si può scrivere:
CFNO, = CIO, CFNO, = ^ = · M
^I = h Ist + u{I{vt +
Isw +
OIOvxy P3
^I = h Ist + u{{Ivt +
Isw +
OOIvxy P3
CIO, = ^ + ^I
^ = ^ + G ^II
I6
^666 + ^644 + ⋯ + ^6 = ^6 − ^6^466 + ^444 + ⋯ + ^4 = ^4 − ^4….^66 + ^44 + ⋯ + ^ = ^ − ^
Il risultato è un sistema lineare di n equazioni in n incognite.I coefficienti si determinano sulla base delle iperstatiche unitarie agenti sugli schemi isostatici associati.Solamente i termini ηi0 dipendono dal carico (n0, t0, m0, mt0).La matrice del sistema è simmetrica, ηij = ηji (ninj = njni, etc)
Lavoro virtuale delle forze interne
Quindi, applicando il PLV n volte (una volta per ciascuna iperstatica, si ottiene: