IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Distribusi … PEMODELAN STOKASTIK Distribusi Multivariat Dosen: Aniq A....

IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIKDistribusi Multivariat

Dosen:Aniq A. Rohmawati, M.Si

TELKOM UNIVERSITY

JALAN TELEKOMUNIKASI 1, BANDUNG, INDONESIA

Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Distribusi Multivariat

Review: Fungsi Distribusi

Fungsi distribusi kumulatif (cdf) dari peubah acak X,

F(x) = P(X ≤ x), −∞ < x <∞

F(x) fungsi tidak turun

limb→∞ F(b) = F(∞) = 1

limb→−∞ F(b) = F(−∞) = 0


Demo Matlab

clc;x = exprnd(0.1,100)hist(x)


Latihan 1

Setiap ’item’ yang diproduksi oleh suatu mesin, memiliki peluangrusak sebesar 0.1 yang saling bebas terhadap ’item’ lainnya. Dari tigasampel ’item’ yang diambil secara acak, berapa peluang palingbanyak satu ’item’ rusak?


Sebuah mesin ’kroket’ akan rusak dengan peluang 1− p, saling bebasantara mesin satu yang lain. Sebuah ’kroket’ akan melakukanperjalanan sukses jika setidaknya 50% mesin bekerja dengan baik(tidak rusak). Untuk p berapa, sebuah ’kroket’ dengan 4 mesin akanlebih disukai (terbang lebih baik) dibandingkan ’kroket’ dengan 2mesin?


If the density function of X equals

f (x) = ce−2x, 0 < x <∞f (x) = 0, x < 0

Find c? What is P(X > 2)?


The random variable X has the following probability mass function

p(1) =12, p(2) =

13, p(24) =

16

Calculate E(X)?


c = 2

P(X > 2) = e−4

E(X) =316


Kejadian Diskrit

pmf bersama dari X dan Y

pXY(x, y) = P(X = x,Y = y)

Distribusi bersama dari X dan Y

FXY(x, y) = Σa≤xΣb≤ypXY(a, b)


pmf marginal dari X

pX(x) = ΣypXY(x, y)

pmf marginal dari Y

pY(y) = ΣxpXY(x, y)


pmf bersyarat dari X diberikan Y = y

pX|Y(x|y) =pXY(x, y)

pY(y), pY(y) > 0

Distribusi bersyarat dari X diberikan Y = y

FX|Y(x|y) = Σa≤xpXY(a, y)

pY(y), pY(y) > 0


Ekspektasi bersyarat dari X diberikan Y = y

E[X|Y = y] = ΣxxpX|Y(x|y)


Kejadian Kontinu

pdf bersama dari X dan Y

fXY(x, y) =∂2F(x, y)

∂y∂x

Distribusi bersama dari X dan Y

FXY(x, y) =

∫ y

−∞

∫ x

−∞fXY(s, t)dsdt


pdf marginal dari X

fX(x) =

∫y

fXY(x, y)dy

pdf marginal dari Y

fY(y) =

∫x

fXY(x, y)dx


pdf bersyarat dari X diberikan Y = y

fX|Y(x|y) =fXY(x, y)

fY(y), fY(y) > 0

Distribusi bersyarat dari X diberikan Y = y

FX|Y(x|y) =

∫ x

−∞

fXY(t, y)

fY(y)dx, fY(y) > 0


Ekspektasi bersyarat dari X diberikan Y = y

E[X|Y = y] =

∫ ∞−∞

xfX|Y(x|y)dx


KOVARIANSI X DAN Y

Cov(X,Y) = E(XY)− E(X)E(Y)

KOEFISIEN KORELASI X DAN Y

ρ(X,Y) =Cov(X,Y)√

Var(X) Var(Y)


Latihan 2

Suppose that the joint probability density of X and Y is

fX,Y(x, y) = λ2e−λy, 0 < x < y <∞

Find the density of X?Find the density of Y?


fX(x) =

∫ ∞x

λ2e−λydy

= λe−λx

fY(y) =

∫ y

0λ2e−λydx

= λ2ye−λy


Latihan 2

Suppose that the joint probability density of X and Y is

f (x, y) =12

ye−xy, 0 < x <∞, 0 < y < 2

Find E(ex2 |y = 1)?


PD=Pekerjaan Dirumah

Jika X variabel acak non-negatif dengan distribusi F(x). AsumsikanF(0) = 0. Tunjukkan,

E(X) =

∫ ∞0

(1− F(x))dx

E(Xn) =

∫ ∞0

nxn−1(1− F(x))dx


Untuk∫∞

x f (t)dt = 1−∫ x

0 f (t)dt

E(X) =

∫ ∞0

xf (x)dx =

∫ ∞0

tf (t)dt

=

∫ ∞0

f (t)(∫ t

01dx)

dt =

∫ ∞0

∫ t

0f (t)dxdt

=

∫ ∞0

∫ ∞x

f (t)dtdx

=

∫ ∞0

[1−

∫ x

0f (t)dt

]dx

=

∫ ∞0

[1− F(x)] dx


Teorema Fubini:∫X

(∫Y

f (x, y)dy)

dx =

∫Y

(∫X

f (x, y)dx)

dy

=

∫X x Y

f (x, y)d(x, y)


IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Distribusi … PEMODELAN STOKASTIK Distribusi Multivariat Dosen: Aniq A....

Documents

Transcript of IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Distribusi … PEMODELAN STOKASTIK Distribusi Multivariat Dosen: Aniq A....