ﺩﻭﺩﺤﻟﺍ ﺕﺍﺭﻴﺜﻜ لﺍﻭﺩﻟﺍ ﺔﺴﺍﺭﺩ ﺱﺭﺩﻟﺍ …...
18
ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻜﺜﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﺩﺭﺱ ﺘﺼﻤﻴﻡ1 - ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺩﺭﺍﺴﺔ2 - ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺩﺭﺍﺴﺔd cx bx ax x + + + 2 3 a ﺤﻴﺙa≠0 3 - ﺍﻟﺘﻨﺎﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺩﺭﺍﺴﺔ
Transcript of ﺩﻭﺩﺤﻟﺍ ﺕﺍﺭﻴﺜﻜ لﺍﻭﺩﻟﺍ ﺔﺴﺍﺭﺩ ﺱﺭﺩﻟﺍ …...
دراسة الدوال كثيرات الحدود
تصميم الدرس
دراسة الدالة كثير الحدود من الدرجة الثانية -1
دراسة الدالة كثير الحدود من الدرجة الثالثة - 2
dcxbxaxx +++ 23a حيثa≠0
دراسة الدالة التناظرية-3
من الدرجة الثانيةدراسة الدالة كثير الحدود
cbxaxxfx ++= 2)(a حيث:a≠0
a 0⟨a⟨0 ،نميز حالتين في دراستنا لهذه الدالة، IR على لالشتقاق وقابلة IR معرفة على fالدالة
0⟩a
النهايات)1
+∞=−∞→
=−∞→
)2(lim)(lim axx
xfx
وكذلك
+∞=+∞→
=+∞→
)2(lim)(lim axx
xfx
المشتقة الدالة ةعبار) 2
baxxf : لدينا IR من x كل أجل من +=2)('
')( إشارة xf +∞
ab
2− - ∞ x
+ -
f′(x)
f على تماما متزايدة ⎢⎣⎡
⎥⎦⎤ +∞− ,2 a
b
f على تماما متناقصة⎢⎣⎡
⎥⎦⎤ −∞−
ab
2,
التغيرات جدول
+∞a
b2
−- ∞ x
+ -
f′(x)
∞ + ∞ +
a
acb4
42 +−
f(x)
0⟨a
النهايات)1
−∞=−∞→
=−∞→
)2(lim)(lim axx
xfx
وكذلك
−∞=+∞→
=+∞→
)2
(lim)(lim axx
xfx
المشتقة الدالة عبارة) 2
baxxf : لدينا IR من x كل أجل من +=2)('
')( إشارة xf +∞
ab
2−- ∞ x
- + f′(x)
f على تماما متناقصة⎢⎣⎡
⎥⎦⎤ +∞− ,2 a
b
f على تماما متزايدة ⎢⎣⎡
⎥⎦⎤ −
∞−ab
2,
التغيرات جدول
+∞a
b2
− - ∞ x
- +
f′(x)
a
acb4
42 +−
-∞ -∞
f(x)
: ولدينا c
abb
a
baa
bf +−+=− )2
()24
2()
2(
a
acbca
ba
ba
bf4
42
2
2
4
2)
2( +−
=+−=−
1تمرين ♦
f(x)= 3x2-6x+3: بالدستور IR معرفة على fالدالة
المنحنى البياني الممثل لها في معلم متعامد ومتجانس(Cf)وليكن (O , I , J )
f أدرس تغيرات الدالة 1
f عين جدول تغيرات الدالة 2
f(0) ثم أحسب f(x)=0 حل المعادلة 3
( O , I , J) في المعلم (Cf) أنشئ المنحنى 4
:بةاألجو•
دراسة التغيرات 1
]∞+ ,∞-[=Df ومنه IR معرفة على fالدالة :لدينا •
النهايات • +∞=
−∞→=
−∞→)23(lim)(lim x
xxf
x
+∞=+∞→
=+∞→
)2
3(lim)(lim xx
xfx
عبارة الدالة المشتقة •
،IR على لالشتقاق دالة كثير حدود ،فهي قابلة fالدالة
f′(x)= 6x - 6 : لديناIR من xمن أجل كل عدد
: تلخص في الجدول التالي f′(x)وإشارة -∞ 1 +∞ x
+ -
f′(x)
]1 , ∞-[ متناقصة تماما على المجال fالدالة
]∞+ , 1[ متزايدة تماما على المجالfالدالة
f(1)=0: هي قيمة حدية كبرى بحيث f(1)والقيمة
fجدول تغيرات الدالة 2
-∞ 1 +∞ x + -
f′(x)
+∞ ∞+
0
f(x)
f(x)=0حل المعادلة 3
3x2-6x+3=0فئ تكا f(x)=0 لدينا •
∆حساب المميز
b2-4ac = (-6)2-4(3)(3) =36-36=0=∆لدينا
1: ، بحيث ′xومنه للمعادلة حل مضاعف 66
32)6(
2==
×−
−=−=′a
bx و لدينا
f(0)=3(0)2-6(0)+3 = 3 (Cf)إنشاء المنحنى 4
2تمرين ♦
: بالدستورين IRرفتان على المعg وfالدالتان
f(x)= x2+x-6 ،g(x)=-2x2-2x+12
( O , I , J) منحنيهما البياني على الترتيب في المعلم المتعامد والمتجانس (Cg) و (Cf)وليكن
g وf أدرس تغيرات الدالتين1
(Cg) و (Cf) عين نقط تقاطع المنحنيين 2
I→J→
2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4-5-6-7-8
2
3
4
5
6
7
8
-1
-2
-3
-4
0 1
1
x
y
(Cf)
I→J→
2ذات الفاصلة Aالنقطة عند (Cg) و (Cf) عين معادلة المماسين للمنحنيين 3
والمماسين في نفس المعلم (Cg) و (Cf) أنشئ المنحنيين 4
:األجوبة •
fدراسة تغيرات الدالة 1
]∞+ , ∞-[=Df أي Df=IR لدينا •
النهايات •
+∞=−∞→
=−∞→
)2(lim)(lim xx
xfx
+∞=+∞→
=+∞→
)2
(lim)(lim xx
xfx
عبارة الدالة المشتقة •
،IR على لالشتقاقر حدود ،فهي قابلة دالة كثيfالدالة
f′(x)= 2x + 1 : لديناIR من xمن أجل كل عدد
: تلخص في الجدول التالي f′(x)وإشارة
-∞ 21
− +∞ x
+ -
f′(x)
⎣⎢ متناقصة تماما على المجالfالدالة ⎡
⎥⎦⎤ −∞−
21,
متزايدة تماما على المجال fالدالة ⎢⎣⎡
⎥⎦⎤ +∞− ,
21
fجدول تغيرات الدالة
-∞ 21
− +∞ x
+ - f′(x)
+∞ ∞+
425
−
f(x)
425
42421
621
41
)21
(−
=−−
=−−=−f
gدراسة تغيرات الدالة
]∞+ , ∞-[=Dg أي Dg=IR لدينا •
−=∞− النهايات • −∞→
=−∞→
)2
2(lim)(lim xx
xgx
−∞=−+∞→
=+∞→
)2
2(lim)(lim xx
xgx
عبارة الدالة المشتقة •
،IR على لالشتقاق دالة كثير حدود ،فهي قابلة gالدالة
g′(x)= -4x - 2 : لديناIR من xمن أجل كل عدد
: تلخص في الجدول التالي g′(x)وإشارة
-∞ 21
− +∞ x
+ -
g′(x)
ماما على المجال متزايدة تgالدالة ⎢⎣⎡
⎥⎦⎤ −∞−
21,
متناقصة تماما على المجال gالدالة ⎢⎣⎡
⎥⎦⎤ +∞− ,
21
gجدول تغيرات الدالة
-∞ 21
− +∞ x
+ -
g′(x)
225
∞- ∞-
g(x)
225
226113
21121)
41(2)
21( =
+−=+−=++−=−g
(Cg) و (Cf)عيين نقط تقاطع المنحنيين ت 2
f(x)=g(x) : لتكن المعادلة
x2+x-6= -2x2-2x+12: ومنه
3x2+3x-18 =0 : ومنه
x2+x-6=0 : نجد 3بالقسمة على
∆حساب المميز
b2-4ac=(1)2-4(1)(-6)=1+24=25=∆:لدينا
:ومنه للمعادلة حلين متمايزين هما
224
1251
21 ==×+−
=∆+−
=a
bx،326
1251
22−=
−=
×−−
=∆−−
= ab
x
{A(2,0),B(-3,0)}=(Cg)∩(Cf):إذن (Cg) و (Cf)منحنيين لل معادلة المماسين 3
A عند (Cf) المماس للمنحنى(∆)ليكن
y=f′(2)(x-2)+f(2)ومنه
f′(2)=5 ، f(2)=0وبما أن
y=5(x-2)+0إذن
y= 5x – 10 معادلته الديكارتية هي (∆) أي
A عند (Cg) المماس للمنحنى(D)ليكن
y=g′(2)(x-2)+g(2)ومنه
g′(2)=-10 ، g(2)=0وبما أن
y= -10(x-2)+0إذن
y= -10x + 20 لته الديكارتية هي معاد(D) أي
(Cg) و (Cf)منحنيين إنشاء ال 4
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17
23456789
10111213
-1-2-3-4-5-6-7-8-9
-10-11
0 1
1
x
y
(Cf)
(∆)
(Cg)(D)
دراسة الدالة كثير الحدود من الدرجة الثالثة
dcxbxaxx +++ 23a حيثa≠0 :نشاط تمهيدي ♦
f يالمتغير الحقيق الدالة العددية ذات x لمعرفة على اIRبالدستور : f(x)=x3+3x2-4
المنحنى البياني الممثل لها في معلم متعامد ومتجانس (Cf)وليكن (O , I , J )
تكتب على الشكل f(x) فإنIR من x بين أنه من أجل كل عدد 1 f(x)=(x-1)(x+2)2
f أدرس تغيرات الدالة 2
اثيات مع حاملي محوري اإلحد(Cf) عين نقط تقاطع المنحنى 3
'')( أحسب 4 xfثم أدرس إشارتها
-1 ذات الفاصلة A عين معادلة المماس عند النقطة 5
( O , I , J) والمماس في المعلم (Cf) أنشئ 6
:األجوبة•
]∞+ , ∞-[=Df أي Df=IR:لدينا
: لدينا IR من xمن أجل كل عدد 1
f(x)=(x-1)(x+2)2
=(x-1)(x2+4x+4)
x3 +4x2+4x-x2-4x-4 =
=x3+3x2-4
x3+3x-4 = (x-1)(x+2)2 :ومنه
fدراسة تغيرات الدالة 2
النهايات −∞=
−∞→=
−∞→)3(lim)(lim x
xxf
x
+∞=+∞→
=+∞→
)3
(lim)(lim xx
xfx
عبارة الدالة المشتقة
،IR على لالشتقاق دالة كثير حدود ،فهي قابلة fالدالة
xxxf: لدينا IR من xمن أجل كل عدد 623)(' += ')(3)2(: ومنه += xxxf
3x(x+2)= 0 يكافئ f′(x)=0لدينا
(x = -2) أو (x = 0) إذن (x+2 = 0) أو (3x=0)ومنه
')(نلخص إشارة xf في الجدول التالي :
∞ + 0 2- ∞- x
+ -+
f′(x)
جدول التغيرات
∞ + 0 2- ∞- x
+ -+
f′(x)
+∞ 0
4- ∞-
f(x)
f(0)=-4 ، f(-2)=0:ولدينا
مع حاملي المحورين(Cf)تعيين نقط تقاطع 3
مع محور الفواصل (Cf) نقط تقاطع •
(Cf) (x′ox)∩نبحث عن المجموعة
f(x)=0نضع
2(x-1)=0(x+2) ومنه
(x-1=0) أو (x+2=0) :ومنه
(x=1) أو (x=-2) :إذن
(Cf) {B(-2 ,0),B′(1,0)}= (x′ox)∩ومنه
مع محور التراتيب(Cf) نقط تقاطع •
(Cf) ∩ (y′oy) نبحث عن المجموعة
f(0)=(0)3+3(0)-4 = 0: ومنه x=0: نضع
(Cf) ∩ {c(0 ,-4)}=(y′oy): إذن
f′′(x) وإشارة f′′(x)ساب ح 4
،IR على لالشتقاق دالة كثير حدود ،فهي قابلة ′fالدالة
f′′(x)=6x+6: لديناIR من x من أجل كل عدد
f′′(x)نلخص في الجدول التالي إشارة
∞ +1- ∞- x
+ -
f′′(x)
f(-1)=-2:ولدينا
A(-1 , -2)معادلة المماس عند النقطة 5
المستقيم المماس هو(∆) وليكن
y=f′(-1)(x+1)+f(-1): لدينا
f′(-1)= -3 و f(-1)= -2: وبما أن
y= -3(x+1) -2 :فإن
y = -3x -5 لته الديكارتية معاد (∆) ومنه المستقيم
جدول مساعد لرسم المستقيم المماس0 -1 x
-5 -2 y (Cf)إنشاء المنحنى 6
I→J→
2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
0 1
1
x
y
(∆)
(Cf)
I→J→
نتائج ومالحظات
A(-1 ,-2) يخترق المماس في النقطة (Cf)الحظ أن المنحنى )1
2 (f′′(x) من أجل هويغير إشارت ينعدم x=-1
(Cf) كز تناظر للمنحنى هي مرA(-1 , -2 )النقطة )3
مركز التناظر
f(x)= ax3+bx2+cx+d: المعرفة بالدستورf هي مركز تناظر لمنحنى الدالة A(x0 , f(x0))النقطة (a≠0 )
طريقة للبرهان على مركز التناظر
A(x0 , f(x0)) هي مركز تناظر لمنحنى الدالة f
( A , I , J) إلى المعلم ( O , I , J) ونغير المعلم y0=f(x0)نضع
}: حيث نضع 00
xXxyYy
+=+=
في المعلم الجديد ،ثم نبين أن الدالة fونكتب معادلة منحنى الدالة
Y=f(X) هي دالة فردية ،وعليه فإن النقطة A(x0 , f(x0)) تناظر للمنحنى هي مركز(Cf)
مثــال♦
f(x)=x3-3x+1: بالدستورIRلمعرفة على ا x يالمتغير الحقيقذات fلتكن الدالة العددية
المنحنى البياني الممثل لها في معلم متعامد ومتجانس (Cf)وليكن (O , I , J )
ثياها يطلب تعيين إحداA انعطاف نقطة (Cf) بين أن للمنحنى 1
(Cf) هي مركز تناظر للمنحنى A بين أن النقطة 2
االنعطافتعريف نقطة
F ىمعرفة عل دالة عددية Df كل مجال من مرتين على األقل علىلالشتقاق وقابلةDf
: إذا تحقق طإذا وفق Df من x0 فاصلتها انعطاف يقبل نقطة fالمنحنى الممثل للدالة
f′′(x) ينعدم عند x0مغيرا إشارته
(Cf) للمنحنىانعطاف هي نقطة A(x0 , f(x0))ة النقط:إذن
األجوبــة •
x من أجل كل عدد ،IR على األقل مرتين على لالشتقاق دالة كثير حدود ،فهي قابلة f الدالة1
f′′(x)= 6x: لديناIR من xومن أجل كل عدد f′(x)= 3x2-3: لديناIRمن
f′′(x)إشارة
∞ +- ∞ - x
+ - f′′(x)
انعطاف هي نقطة A(0,f(0)) وتغير إشارتها، فإن النقطة x0=0 تنعدم من أجل f′′(x) إن
(Cf)للمنحنى
A(0,1) فإن f(0)=1 وبما أن
2 A(0 , 1)مركز تناظر للمنحنى (Cf)
: ،أي نضع ( A , I , J) في المعلم(Cf)نكتب معادلة المنحنى
{ 00
xXxyYy
+=}ومنه=+ Xx
Yy=
+= 1
Y+1=f(X)ومنه f(x)=y: لدينا
Y+1=X3-3X+1أي
Y=X3-3Xومنه
IRعلى دالة فرديةg ونبرهن أن g(X)=X3-3X نضع
ومنهIR من (X-) فإن IR من Xمن أجل كل عدد
g(-X)=(-X)3-3(-X)=-X3+3X
g(-X)=-(X3-3X)=-g(X): إذن
(Cf)هي مركز تناظر للمنحنى A(0 , 1) دالة فردية ،ومنه نستنتج أن النقطة gأي أن
دراسة الدالة التناظرية
تعريف
من الشكلfنسمي دالة تناظرية كل دالة dcxbaxx
++
a حيث a,b,c,d
ad-cb≠0 و c≠0مع أعداد حقيقية ثابتة،
دراسة تغيرات الدالة التناظرية
مجموعة التعريف •
أي ≠cx+d 0 نإذا كا طإذا وفق تكون معرفة fالدالة cdx −≠
ومنه U ⎢⎣
⎡⎥⎦⎤ +∞−⎢⎣
⎡⎥⎦⎤ −∞−= ,,
cd
cd
fD
النهايات •
لدينا )(
)()(
xdcx
xbax
dcxbax
xf+/
+/=
++
ومنه =
xdc
xba
xf+
+=)(
lim)(lim)(0وبما أن =−∞→
=−∞→ x
dxx
bx
فإن caxf
x=
−∞→)(lim
lim)(lim)(0وكذلك =+∞→
=+∞→ x
d
xxb
xفإن
ca
xfx
=+∞→
)(lim
lim)(ساب النهاية في ح dcxbax
cdx
++
−→
: فإن
)(يساوي القيمة ax+bالبسط bcad
بالعدد xعند تعويض −+cd
−
ينعدم من اجل القيمةcx+dوالمقام cd
.ما النهاية ومنه فإن الكسر يؤول إلى−
مالحظة *
cول إلىيؤ x(ندرس إشارة المقام لتعيين النهايتين d
)قيم أكبر−
يؤول إلى x(و cd
)بقيم أصغر−
عبارة الدالة المشتقة •
ومنه من ، Df على لالشتقاق فهي قابلة ،Df على لالشتقاق هي حاصل قسمة دالتين قابلتين fالدالة
: لدينا Df من xأجل كل عدد
2)(
)()'()()()('dcx
baxdcxdcxbaxxf+
++−+′+=
: ومنه 2)(2)(
)()()('dcx
cbxacadxca
dcx
baxcdcxaxf+
−/−+/=+
+−+=
: إذن 2)(
)('dcx
cbadxf+
− من إشارة البسط f′(x)وإشارة =
)(02: لديناDf من xألن من أجل كل عدد ⟩+dcx
مبرهنـة
الدالة التناظرية هي الدالة المعرفة بالدستور dcxbaxx
++
a
} والمعرفة على ad-cb≠0 وc≠0حيث }cdIR ولدينا−−
−⟨0كان إذا cbadفإنf من أجل كل عدد متزايدة تماماx من Df
−⟩0 نإذا كا cbadفإنf من أجل كل عدد متناقصة تماماx من Df
جدول تغيرات الدالة التناظرية
لدينا bcad−⟨0كان إذا
-∞ cd
− +∞ x
+ + f′(x)
ca
+∞
ca
-∞
f(x)
−⟩0كان إذا bcadلدينا
∞+ cd
− ∞- x
- - f′(x)
∞ + ca
ca
∞ -
f(x)
المستقيمات المقاربة
( O , I , J) منسوب لمعلم يالمستو
المستقيم المقارب الموازي لحامل محور التراتيب)أ تعريف
a عدد حقيقي ثابت
يعنيf مستقيم مقارب لمنحنى الدالة x=a ذو المعادلة (∆)المستقيم
+∞=→
)(lim xfax
=∞− أو →
)(lim xfax
يالتفسير البيان
قريب قدر x من أجل x=a يحصر في شريط يشمل المستقيم ذو المعادلة (Cf)الحظ أن المنحنى
a من العدد اإلمكان
المستقيم المقارب الموازي لحامل محور الفواصل)ب
تعريف
b عدد حقيقي ثابت
يعنيf مستقيم مقارب لمنحنى الدالة y=b ذو المعادلة (∆)المستقيم
bxfx
=−∞→
)(lim أو bxfx
=+∞→
)(lim
يالتفسير البيان
I→J→
0 1
1
x
y
(y=b)
(Cf)
I→J→
I→J→
0 1
1
x
y
(Cf)
(x=a)
I→J→
x كبير جدا،أوx من أجل y=b شريط يشمل المستقيم ذو المعادلة يحصر في(Cf)الحظ أن المنحنى
جدا قدر اإلمكان صغير
نتائـج*
من دراسة تغيرات الدالة التناظرية وجدنا ) 1
ca
dcxbax
x=
++
−∞→lim و
ca
dcxbax
x=
++
+∞→lim
إذن منحنى الدالة التناظرية يقبل المستقيم ذو المعادلة cay=يم مقارب موازي لحامل محور كمستق
.الفواصل
وكذلك ) 2+∞=
++
−→dcxbax
cdx
lim
أو −∞=
++
−→dcxbax
cdx
lim
إذن منحنى الدالة التناظرية يقبل المستقيم ذو المعادلة cd
x كمستقيم مقارب موازي لحامل =−
محور التراتيب
أمثلـة♦
1مثـال♦
f الدالة المعرفة علىIR-{2}بالدستور :2
4)(−
=x
xf،
منحناها البياني الممثل لها في المعلم المتعامد والمتجانس(Cf)وليكن (O , I , J )
(0:لدينا 2
4(lim =−−∞→ xx
(0 و 2
4(lim =−−∞→ xx
ور كمستقيم مقارب موازي لحامل محy=0يقبل المستقيم ذو المعادلة (Cf) إذن المنحنى
الفواصل
(x-2)إشارة المقام -∞ 2 +∞ x
+ -
x - 2
x⟨⎯→⎯2 أي بقيم أكبر2 يؤول للعدد x لما lim f(x)نحسب
:لدينا
2
)(lim
→⟩
+∞=
x
xfألن :⎩⎨⎧ →
+→−44
02x
x⟩⎯→⎯2أي بقيم أصغر2 يؤول للعدد x لما lim f(x)نحسب
:لدينا
2
)(lim
→⟨
−∞=
x
xfألن :⎩⎨⎧ →
−→−44
02x
ب كمستقيم مقارx=2يقبل المستقيم ذو المعادلة (Cf)إذن المنحنى
موازي لحامل محور التراتيب
2مثـال♦
g الدالة المعرفة علىIR-{-1}1 بالدستور23
)(+−
= xx
xg،
( O , I , J) منحناها البياني الممثل لها في المعلم المتعامد والمتجانس(Cg)وليكن
3:لدينا 2 3lim ( ) lim ( ) 31x x
x xx x→−∞ → −∞
− /= =+ /
3 و 2 3lim ( ) lim ( ) 31x x
x xx x→ +∞ → +∞
− /= =+ /
كمستقيم مقارب موازي لحامل محور الفواصل y=3عادلة يقبل المستقيم ذو الم (Cg)إذن المنحنى
(x+1)إشارة المقام -∞ -1 +∞ x
+ -
x +1
x⟨⎯→⎯−1أي بقيم أكبر-1 يؤول للعدد x لماlim g(x)نحسب
: لديناl im ( )
1g x
x= − ∞
>⎯ ⎯→ −
: ألن⎩⎨⎧ −→−
+→+523
01x
x
x⟩⎯→⎯−1أي بقيم أصغر-1 يؤول للعدد x لما lim g(x)نحسب
:لدينا
1
)(lim
−→⟨
+∞=
x
xgألن :⎩⎨⎧ −→−
−→+523
01x
x
كمستقيم مقارب موازي لحامل محور x=−1و المعادلة المستقيم ذ يقبل (Cg) إذن المنحنى
التراتيب
