力学力学力学力学力学力学力学力学IIIIII

工業力学演習工業力学演習工業力学演習工業力学演習工業力学演習工業力学演習工業力学演習工業力学演習解析力学解析力学解析力学解析力学解析力学解析力学解析力学解析力学

６週目

立命館大学 機械システム系 ２００８年度 後期

先週先週先週先週のおさらいのおさらいのおさらいのおさらい先週先週先週先週のおさらいのおさらいのおさらいのおさらい

•ダランベールの原理

•変分法

微分微分微分微分とととと変分変分変分変分微分微分微分微分とととと変分変分変分変分

変分 δIが 0微分 が 0極値の条件

関数 yの形変数 xの値考える

微小変化

汎関数

I(x, y, y’)関数 f(x)対象

変分微分

x

y

d

d

演習演習演習演習演習演習演習演習

汎関数

が極値をとる条件を

変分法により求めよ （レジュメ p.43）

( )∫ ′+′+=2

1

d22x

xxycyybayI

解答解答解答解答解答解答解答解答

ycyybayf ′+′+= 22

( ) ( )

022

22

22d

d

d

d

=−′′=

′−−′+′′=

′+−+′=

∂∂

−

′∂

∂=

ayyb

ycayycyb

ycaycyybx

fy

fyx

Iδ

xb

a

ey =

今週今週今週今週のののの内容内容内容内容今週今週今週今週のののの内容内容内容内容

•変形オイラーの方程式

•汎関数の例、演習

•変分法の例、演習

•変分法の導出

変形変形変形変形オイラーオイラーオイラーオイラーのののの方程式方程式方程式方程式変形変形変形変形オイラーオイラーオイラーオイラーのののの方程式方程式方程式方程式汎関数 の

関数 fが xに依存しない場合、

変分法における極値の条件の計算

（オイラーの方程式 ）が

簡略化 できる （レジュメ p42）

∫ ′=2

1

d),,(x

xxyyxfI

0d

d=

∂∂

−

′∂

∂f

yf

yx

定数=′′∂

∂− yy

ff

変形オイラーの方程式

変形変形変形変形オイラーオイラーオイラーオイラーのののの方程式方程式方程式方程式変形変形変形変形オイラーオイラーオイラーオイラーのののの方程式方程式方程式方程式

yy

fy

y

fx

x

fy

y

fy

y

ff ′

′∂∂

+∂∂

=∂∂

+′′∂

∂+

∂∂

= dddddd

x

y

y

f

x

fy

y

f

d

d

d

d ′′∂

∂−=′

∂∂

∴

xに依存しない関数 fの性質

オイラーの方程式

0d

d=

∂∂

−

′∂

∂f

yf

yx0

d

d=′

∂∂

−′

′∂

∂∴ y

y

fyf

yx

変形変形変形変形オイラーオイラーオイラーオイラーのののの方程式方程式方程式方程式変形変形変形変形オイラーオイラーオイラーオイラーのののの方程式方程式方程式方程式

xで積分すると

x

y

y

f

x

fy

y

f

d

d

d

d ′′∂

∂−=′

∂∂

変形オイラーの方程式の導出

0d

d=′

∂∂

−′

′∂

∂y

y

fyf

yx

0d

d

d

d

d

d=′

′∂∂

+−′

′∂

∂∴

x

y

y

f

x

fyf

yx

定数=−′′∂

∂fy

y

f

xに依存しない関数 fの性質 オイラーの方程式

汎関数汎関数汎関数汎関数のののの例例例例汎関数汎関数汎関数汎関数のののの例例例例

到達時間 tgoal

∫=goalt

goal tt0d

微小時間 dtの間の移動距離 ds

vt

s=

d

d

v: 質点の速度

坂道を転がる質点がある点 xgoalに最も早く到達するような

坂道の形 y(x) を求める問題 （レジュメ p.39）

x

y

m

xgoal

v

y(x)

エネルギー保存則より

汎関数汎関数汎関数汎関数のののの例例例例汎関数汎関数汎関数汎関数のののの例例例例速度 v と位置 y の関係

xys d1d 2′+=

mgymv =22

1

gyv 2=∴

移動距離 ds と各座標の微小変位 dx, dyの関係

x

y

m

xgoal

v

y(x)

x

y

dx

ds

より

汎関数汎関数汎関数汎関数のののの例例例例汎関数汎関数汎関数汎関数のののの例例例例

gy

xy

v

st

2

d1dd

2′+==

tgoalの汎関数表現

∫∫′+

==goalx

0

2

0d

2

1d x

gy

ytt

goalt

goal

xysgyvvt

sd1d,2,

d

d 2′+===

最速降下曲線最速降下曲線最速降下曲線最速降下曲線のののの導出導出導出導出最速降下曲線最速降下曲線最速降下曲線最速降下曲線のののの導出導出導出導出汎関数

∫′+

=goalx

0

2

d2

1x

gy

ytgoal

変形オイラーの方程式

( )定数=

′+=

′+

′′−

′+=

′+′∂

∂′−

′+

2

2

222

12

1

122

1

2

1

2

1

yyg

ygy

yy

gy

y

gy

y

yy

gy

y

（レジュメ p.42）

よって

のとき、 tgoalは極値をとる

( ) 定数=′+ 21 yy

x

y

m

xgoal

v

y(x)

演習演習演習演習演習演習演習演習 （（（（汎関数汎関数汎関数汎関数））））（（（（汎関数汎関数汎関数汎関数））））重力下で左右の２点（A,B）が固定された

質量 m[kg]、長さ l[m] のひもを考える

重力によるポテンシャルエネルギー Eを

汎関数の形式で求めよ

x

y

x2x1

ひもg

A B

解答解答解答解答解答解答解答解答 （（（（汎関数汎関数汎関数汎関数））））（（（（汎関数汎関数汎関数汎関数））））微小長さ dlが持つエネルギー dE

gyl

lmEd

d =

dl と dx, dyの関係

( )

xy

xx

yxl

d1

dd

ddd

2

2

2

′+=

+=

ひも全体のエネルギー E

∫=B

AEE d

x

y

x2x1

ひもg

A B

x

y

dx

dl

解答解答解答解答解答解答解答解答 （（（（汎関数汎関数汎関数汎関数））））（（（（汎関数汎関数汎関数汎関数））））

より

エネルギー E

xylgyl

lmEEE

B

Ad1d,

dd,d 2′+=== ∫

x

y

x2x1

ひもg

A B

∫

∫∫

′+=

==

2

1

d1

dd

2

0

x

x

lB

A

xyyl

mg

lyl

mgEE

演習演習演習演習演習演習演習演習 （（（（変分法変分法変分法変分法））））（（（（変分法変分法変分法変分法））））

汎関数 が

極値を取るための関数 yの条件

を変分法を用いて求めよ

x

y

x2x1

ひもg

A B

∫ ′+=2

1

d1 2x

xxyy

l

mgE

ほっておくとひもは

エネルギー最小の状態になる

解答解答解答解答解答解答解答解答 （（（（変分法変分法変分法変分法））））（（（（変分法変分法変分法変分法））））

( ) ( ) 定数=′′+′∂

∂−′+ yyyy

yy 22 11

変形オイラーの方程式

( )

定数=′+

=

′+

′−′+=′′+

′∂∂

−′+

2

2

2222

1

1111

y

y

y

yyyyyyy

yyy

xccy 21 cosh=

変分法変分法変分法変分法のののの導出導出導出導出変分法変分法変分法変分法のののの導出導出導出導出

関数 yの微小変化 y+δyによる汎関数の変化 δI

のとき となる証明

∫

∫∫

∫∫

′′∂

∂+

∂∂

=

′−

′+′′∂

∂+

∂∂

=

′−′+′+=

′−′+′+=

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

d

d),,(d),,(

d),,(d),,(

),,(),,(

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xyy

fy

y

f

xyyxfxyyxfyy

fy

y

f

xyyxfxyyyyxf

yyxIyyyyxII

δδ

δδ

δδ

δδδ

0d

d=

∂∂

−

′∂

∂f

yf

yx

（レジュメ p.40-41）

0=Iδ

変分法変分法変分法変分法のののの導出導出導出導出変分法変分法変分法変分法のののの導出導出導出導出（レジュメ p.40-41）

∫

∫∫

′∂∂

−∂∂

=

′∂∂

−∂∂

=

′′∂

∂+

∂∂

=

2

1

2

1

2

1

dd

d

dd

dd

x

x

x

x

x

x

xyy

f

xy

f

xyy

f

xy

y

fxy

y

fy

y

fI

δ

δδδδδ

( )

∫∫

∫∫

′∂∂

−=

′∂∂

−

′∂

∂=

′∂∂

=

′∂

∂

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

dd

dd

d

d

dd

dd

d

d

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xyy

f

xxy

y

f

xy

y

f

xx

y

y

fx

x

y

y

f

δδδ

δδ

の十分条件は

変分法変分法変分法変分法のののの導出導出導出導出変分法変分法変分法変分法のののの導出導出導出導出（レジュメ p.40-41）

∫

′∂∂

−∂∂

=2

1

dd

dx

xxy

y

f

xy

fI δδ

0=Iδ 0d

d=′∂

∂−

∂∂

y

f

xy

f